SDM 1J1P 2014 - lundi c1 c2 c3 - Académie de Reimswheb.ac-reims.fr/dsden51/iria51/IMG/pdf/sdm_1j1p_2014... · 2017-09-25 · La semaine des mathématiques 2014 Un jour un problème

La semaine des mathématiques 2014

Un jour un problème

Cycle 1

Simplifions l’internet – cycle 1

L’Internet permet à tous les ordinateurs connectés au réseau dans le monde

d’être reliés les uns aux autres.

Et si on simplifiait l’Internet ?

Pour relier 3 ordinateurs tous ensemble, nous avons besoin de 3 fils (le vert, le

rouge et le bleu).

De combien de fils a-t-on besoin pour relier 6 ordinateurs les uns aux autres ?



L’Internet – CYCLE 2

L’Internet permet à tous les appareils connectés au réseau dans le monde


Le « chemin » reliant un ordinateur à un autre sur le réseau Internet est

composé de plusieurs étapes.

Voici par exemple le chemin reliant un ordinateur français à un ordinateur

américain :

Un modem peut être branché sur 8 ordinateurs au maximum.

Un répartiteur peut accueillir jusqu’à 10 modems.

Un N.R.A. peut être relié à 10 répartiteurs.

Combien d’ordinateurs au maximum peuvent communiquer grâce à

seulement 2 N.R.A. reliés entre eux ?



L’Internet – CYCLE 3

L’Internet permet à tous les appareils connectés au réseau dans le monde


Le « chemin » reliant un ordinateur à un autre sur le réseau Internet est

composé de plusieurs étapes.

Voici, par exemple, le chemin reliant un ordinateur français à un ordinateur

américain :


Un répartiteur peut accueillir jusqu’à 50 modems.

Un N.R.A. peut être relié à 200 répartiteurs.

Si dans la ville imaginaire de Mégacity on a recensé 200000 ordinateurs,

combien le maire de la ville doit-il installer de N.R.A. pour que tous ces

ordinateurs soient reliés à l’Internet ?



L’Internet – CYCLE 3 -2

L’Internet permet à tous les appareils connectés au réseau dans le monde d’être reliés les uns aux

autres.

Le « chemin » reliant un ordinateur à un autre sur le réseau Internet est composé de plusieurs

étapes.

Voici par exemple les chemins reliant un ordinateur français, un ordinateur américain et un

ordinateur chinois.


Combien faut-il brancher de fils pour relier les 8 ordinateurs d’une école française, les 16

ordinateurs d’une école américaine et les 14 ordinateurs d’un regroupement scolaire en Chine ?



Document pour l’enseignant Le transfert de l’information est une question cruciale dans les réseaux. Les mathématiques interviennent à différents niveaux dans ce traitement de l’information par un signal informatique. Le codage des données mais aussi le chemin que l’information prend pour circuler entre les ordinateurs font l’objet d’un traitement informatique. Nous avons choisi deux problèmes cruciaux qui font appel aux mathématiques :

• La théorie des graphes est très utile dans la question de la circulation de

l’information. Un graphe est un ensemble de points que l’on peut relier par

des liens. Cette partie des mathématiques étudie la composition de ces

chemins (qui peuvent être pris uniquement dans un sens ou dans les deux

sens)

• La compression des données, leur conversion et le traitement des erreurs.

Théorie des graphes : aspects historiques Léonard Euler (mathématicien suisse 1707-

1783) et le problème des sept ponts de

Königsberg :

Léonhard Euler propose et résoud le

problème suivant : dans la ville de

Königsberg il y a 7 ponts. Comment faire

une promenade permettant de passer une

et une seule fois par chacun des sept ponts

et revenir à son point de départ

Voici un représentation de la ville de

Königsberg :

La théorie des graphes amène également à la démonstration du théorème des 4

couleurs qui est facile à mettre en œuvre avec des élèves.

(http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_quatre_couleurs). Ce théorème

fonctionne dans le plan mais aussi sur les surfaces comme le cube ou le tore. Le

sudoku peut également se ramener à un travail de coloration de graphes…

Compression du signal : une façon simple de compresser les données Codage RLE : Run-length encoding.

C’est un des codages les plus simples : toute suite d’éléments identiques est remplacée

par un couple (nombre d'occurrences ; élément répété).

Exemple: AAAAAAAAZZEEEEEER donne : 8A2Z6E1R, ce qui est plus court. Attention

parfois le codage peut être plus long que l’original…. Par exemple pour coder

BONJOUR…



Cette méthode est utilisée par de nombreux formats d'images (BMP, PCX, TIFF).

Nous proposons de mettre en œuvre cette démarche de codage sur une image ASCII

art c’est à dire uniquement faite avec des caractères du clavier.

Cette démarche provient des débuts de l’ordinateur et à déboucher sur les

émoticones :-) = ☺

Il est possible de la rapprocher du caligramme :

1918 : Calligramme de Guillaume Apollinaire (1880-1918)

http://www.mcah.columbia.edu/dbcourses/krauss/large/jss_031302_apollinaire_01.jp

g

Œuvre dans le domaine public (70 ans depuis le décès de l’auteur)

Euler est un des mathématicien qui a marqué les mathématiques, voici quelques

sources

http://www.bibmath.net/bios/index.php?action=affiche&quoi=euler

http://mpt2013.fr/leonhard-euler-plus-grand-mathematicien-de-tous-les-temps/



Réponses au problème

Personnages célèbres qu’Euler aurait pu croiser : si les élèves ne peuvent pas

effectuer de recherche (type internet vous pouvez leur donner la liste et leur

demander de faire une courte bio de certains d’entre eux :

• Sir Isaac Newton (1642 - 1727) • Jean Le Rond d'Alembert (1717 - 1783) • James Watt (1736 - 1819) (concepteur de la machine à vapeur) • Jean Sébastien Bach (1685-1750) • Jean-Jacques Rousseau (1712–1778) • Denis Diderot (1713–1784) • Nicole Reine Lepaute, née Étable de la Brière (1723-1788) Astronome • Marie-Catherine Biheron (1719-1795) Anatomiste • Marie-Sophie Germain (1776-1831) Mathématicienne • Madame de Lavoisier (1758-1836) Chimiste • Jean-Honoré Fragonard (1732-1806) peintre • François Boucher (1703-1770) peintre • Maurice Quentin de La Tour (1704-1788) peintre



Proposition pédagogique Problème de Königsberg simplifié : (maternelle et cycle 2)

Organisation matérielle : matérialiser au

sol la rivière. Placer des plots ou des

marches qui permettent de matérialiser

les ponts comme sur le dessin ci-contre.

Prévoir 6 jetons pour matérialiser le

passage par un pont et un cerceau pour

matérialiser le point de départ

Présentation du problème :

« Vous partez en promenade ; le ruban

représente une rivière qu’on ne peut pas

traverser. Vous devez passer une et une

seule fois par chacun des ponts et revenir

à votre point de départ. Je vous donne un cerceau, vous le placer où vous voulez

(sauf dans l’eau). Il faudra revenir dans le cerceau. Je vous donne aussi 6 jetons. Vous

devrez le placer sur le pont quand vous l’avez traversé. On ne peut plus passer sur un

pont où il y a dejà un jeton »

Les variantes :

Il est possible de demander d’abord aux élèves de travailler sur la feuille de papier

puis d’aller valider le trajet dans le dispositif réel. Dans ce cas, les élèves travaillent

par deux sur le papier (annexe 1) puis on fait une mise en commun pour valider ou

non les trajets. On peut aussi chercher les trajet qui sont identiques.

L’autre solution est de laisser les élèves chercher dans le dispositif (par groupe de 4

par exemple, dans ce cas prévoir plusieurs dispositifs ou un travail en ateliers). Puis

les élèves doivent matérialiser leur trajet sur le papier.

Dans les deux cas il est possible de filmer les trajets et de les vidéo projeter (TV, écran

ou TNI) pour travailler sur le passage de l’espace réel à l’espace modélisé sur la

feuille de papier. Dans ce cas, à la place de l’annexe 1 on peut utiliser une photo du

dispositif (vu de dessus) pour le travail sur feuille.

Droits à l’image (tabouret) auteur SSIRE http://commons.wikimedia.org/wiki/User:Ssire

Annexe 1 : document pour le travail sur feuille



Codage RLE d’un ASCII art (cycle 2 et cycle 3)

Voici un ASCII art c’est-à-dire un dessin fait

uniquement à partir des caractères

disponibles au clavier. Pourquoi est-ce que

l’on fait cela ? Et bien parce qu’avant avec les

ordinateurs on ne pouvait afficher et

imprimer que ces caractères alors pour faire

des dessins on n’avait pas d’autre choix…

Le problème :

Je veux mémoriser ce dessin.

Il utilise 17 colonnes et 19 lignes. Combien

est ce que je dois mémoriser de caractères

en tout ?

Maintenant je vais utiliser un codage pour gagner de la place. Sur chaque ligne

je vais noter le nombre de symboles qui se répètent par exemple :

je mets ° pour symboliser le vide.

Voici le code écrit : 2°4M4/

Maintenant, à toi de coder le dessin.

De combien de caractères as-tu eu besoin ? Combien de caractères as-tu

gagnés ?

M M M M / / / /



Le dessin à coder : Annexe 2

I ( ) I . T T / M T / M M M / M T M M M M M M / M M M T M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M C M M M M M M M M M M M C C C M M C

C M M C C M M M M M M M M M M M C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C



Théorème des 4 couleurs cycle 2 et cycle 3

Lorsque l’on travaille sur les chemins que parcourt l’information sur les réseaux internet on est

amené à réfléchir sur les zones que délimitent ces chemins. Alors on rencontre une propriété

intéressante que l’on appelle le théorème des 4 couleurs :

« On peut toujours colorier une carte découpée en régions avec 4 couleurs sans que deux régions qui

se touchent par un côté n’aient la même couleur »

Cycle 2 : colorie cette carte des départements de la France avec seulement 4 couleurs. Deux

départements qui ont une « frontière » commune doivent être de couleur différente (quand il se

touchent pas un point cela ne compte pas)



Cycle 3 : colorie ce patron du cube (version 1 facile, version 2 plus compliquée) de sorte qu’une fois

le cube reconstitué il n’y ait pas deux zone qui se touchent qui aient une couleur identique. Tu dois

utiliser le moins possible de couleurs (tu devrait pouvoir y arriver en 4 couleurs)

Tiré de la brochure jeux 5 de l’APMEP

http://www.apmep.asso.fr/JEUX-5-Des-activites-mathematiques



Un mathématicien célèbre : Léonhard Euler Cycle 2 Né à Bâle le 15 avril 1707, Leonhard Euler se destine d’abord à l’église, avant que des leçons privées

avec le mathématicien Johann Bernoulli lui fassent découvrir sa passion pour les mathématiques.

Johann Bernoulli, qui était ami avec son père était également un grand mathématicien de son

époque. Il s'installa à Saint-Petersbourg, puis à Berlin. Son oeuvre est considérable.

Euler intervint dans les trois domaines fondamentaux de la science de son époque : l'astronomie, les

sciences physiques, les mathématiques.

Il publia 886 ouvrages, le tout en 80 volumes.

Portrait par Johann Georg Brucker (1756) - domaine public

De quelle nationalité est Leonhard Euler ?

Dans quels pays a-t-il vécu ?

Son portrait est reproduit ici, est-ce une photographie ? Pourquoi ?

Que tient-il à la main sur le portrait ? Pourquoi ?

Que signifie : son œuvre a été considérable ?



Un mathématicien célèbre : Léonard Euler cycle 3 Né à Bâle le 15 avril 1707, Leonhard Euler se

destine d’abord à l’église, avant que des leçons

privées avec le mathématicien Johann Bernoulli lui

fassent découvrir sa passion pour les

mathématiques. Johann Bernoulli, qui était ami

avec son père était également un grand

mathématicien et physicien de son époque. Il

s'installa à Saint-Petersbourg, auprès de Pierre le

Grand, puis à Berlin sous le règne de Frédéric II, où

à chaque fois il rencontra un environnement

scientifique exceptionnel. Son œuvre est

considérable. Euler intervint dans les trois

domaines fondamentaux de la science de son

époque : l'astronomie (orbites planétaires,

trajectoires des comètes), les sciences physiques (champs magnétiques,

hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière,...), les

mathématiques. On lui doit aussi la très jolie relation entre les nombres de

sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre (ex : le cube, le tétraèdre,...)

convexe (sans trous) :

Si f est le nombre de faces, a le nombre d’arêtes et s le nombre de sommets on

a toujours

s-a+f=2

Il publia 886 ouvrages, le tout en 80 volumes. Il meurt le 18 septembre 1783 à

Saint-Pétersbourg.

Questions :

• De quelle nationalité est Leonhard Euler ? • Dans quels pays a-t-il vécu ? • Vérifie la relation d’Euler avec les polyèdres que tu connais • Connais-tu des scientifiques et des artistes contemporains d’Euler ? Cite

quelques noms ou fais des recherches pour en trouver, hommes et femmes.

Portrait par Johann Georg Brucker (1756) - domaine public



L’Internet cycle 3

Internet est un réseau informatique à l’échelle mondiale. Les utilisateurs d'Internet sont appelés les internautes. Internet peut fournir différents services aux personnes qui y sont connectées et notamment :

• l’envoi ou la réception de courrier électronique ; • le transfert de fichiers (musique, photos, vidéos…) ; • la messagerie instantanée • le Web, qui est certainement le service le plus populaire d'Internet.

En 2010, en France, plus de 34 millions de personnes se disent connectées à Internet, soit plus de deux tiers des Français de 15 ans et plus ; cette proportion ne cesse d'augmenter. Les deux sites les plus visités en France (et dans le monde) sont Google et Facebook.

Histoire de l’Internet Internet est né dans les années 1960 aux États-Unis. À l’époque, alors que la guerre froide battait son plein, les États-Unis craignaient de subir des attaques nucléaires. Sachant qu’une attaque nucléaire pourrait mettre hors service son système de communication, le gouvernement américain convoqua un groupe de chercheurs afin qu’il trouve une solution pour créer un réseau de communication fiable. Ils choisirent une solution plutôt simple : faire passer les données informatiques par les lignes téléphoniques, car si une partie du réseau est détruite, on peut toujours faire passer les données par une autre voie ! Au cours du temps, le réseau a continué à évoluer pour devenir ce qu’il est maintenant. On peut citer les points importants suivants : Années 1970

• En 1971, le courrier électronique (e-mail) est inventé. • En 1978, le protocole TCP/IP fait son apparition.

Années 1980 • En 1984, les DNS arrivent.

Années 1990 • En 1990, le protocole HTTP permet le transfert des pages Web.

Fonctionnement de l’Internet Pour pouvoir communiquer entre eux, tous les ordinateurs qui sont connectés à Internet sont identifiés par une suite de nombres : une adresse IP, qui leur est donnée par leur fournisseur d’accès à Internet (FAI). On peut comparer les adresses IP aux adresses qu’ont nos maisons. Chaque ordinateur peut ainsi être identifié sur le réseau de manière unique car une adresse IP ne peut être attribuée à un moment donné qu’à un seul ordinateur. Une fois que l’ordinateur relié à Internet a une adresse IP, il peut communiquer avec d’autres ordinateurs reliés eux aussi dans « la toile » (web en anglais).



Les principales dates qui ont marqué l’histoire de l’Internet Année Évènement

1958 Les Laboratoires Bell crée le premier Modem permettant de transmettre des données binaires sur une simple ligne téléphonique.

1962 Début de la recherche par ARPA, une agence du département de la Défense américain, où J.C.R. Licklider y défend avec succès ses idées relatives à un réseau global d'ordinateurs.

1967 Première conférence sur ARPANET

1969 Connexion des premiers ordinateurs entre 4 universités américaines via l'Interface Message Processor de Leonard Kleinrock

1971 23 ordinateurs sont reliés sur ARPANET. Envoi du premier courriel par Ray Tomlinson. 1972 Naissance du InterNetworking Working Group, organisme chargé de la gestion d’Internet 1973 L'Angleterre et la Norvège rejoignent le réseau Internet avec chacun 1 ordinateur 1973 Définition du protocole TCP/IP 1979 Création des NewsGroups (forums de discussion) par des étudiants américains 1983 Adoption du protocole TCP/IP et du mot « Internet » 1983 Premier serveur de noms de sites 1984 1 000 ordinateurs connectés 1987 10 000 ordinateurs connectés 1989 100 000 ordinateurs inter-connectés 1990 Disparition d'ARPANET 1990 Annonce publique du World Wide Web 1992 1 000 000 ordinateurs connectés 1993 Apparition du Navigateur web NCSA Mosaic 1996 36 000 000 ordinateurs connectés 2000 Explosion de la bulle internet (368 540 000 ordinateurs connectés)

Pourcentage d'internautes par pays (par rapport au nombre d'habitants du pays) en 2012

Selon une évaluation du 30 juin 2010, il y avait près de 1,99 milliard d'internautes dans le monde. En août 2012, on en comptabilisait environ 2.50 milliard, alors qu'ils étaient deux fois moins nombreux 5 ans auparavant1. En 2013 le nombre d'internautes est de 2,2 milliards.



Pourcentage de la population ayant accès à Internet en 2012

Pays Pourcentage Norvège 95,00 %

Pays-Bas 93,00 %

Royaume-Uni 87,02 %

Canada 86,77 %

Suisse 85,20 %

Allemagne 84,00 %

France 83,00 %

Australie 82,35 %

Belgique 82,00 %

États-Unis 81,03 %

Japon 79,05 %

Taïwan 75,99 %

Pologne 65,00 %

Maroc 55,00 %

Arabie saoudite 54,00 %

Russie 53,27 %

Brésil 49,85 %

Turquie 45,13 %

Chine 42,30 %

Tunisie 41,44 %

Afrique du Sud 41,00 %

Indonésie 15,36 %

Algérie 15,23 %

Inde 12,58 %

Bangladesh 6,30 %

Corée du Nord —

En 2013, voici les 10 sites les plus visités en France :

Google France Facebook YouTube Amazon.fr Google.com leboncoin.fr Orange Windows Live delta-search.com Yahoo!

Voici le classement en mai 2012 des 10 sites les plus visités dans le monde (selon le moteur de recherche Google) : facebook.com Réseau social

youtube.com Video

yahoo.com Portail web

live.com Moteur de recherche

msn.com Portail web

wikipedia.org Dictionnaire/ Encyclopédie

blogspot.com Service de blogs

baidu.com Moteur de recherche

microsoft.com Logiciel

qq.com Portail web

Questions = • Pourquoi est-ce qu’Internet a été inventé ? • Depuis combien de temps peut-on envoyer un courriel ? lire une page web ? • Qu’est-ce qu’une IP ? • Quelles sont les principales utilisation d’Internet actuellement ?

Documents

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