Segmentation tarifaire et suivi du risque en incapacité...durée de franchise, l’âge de l’assuré, son sexe, sa profession, la nature du sinistre (maladie, accident), etc. 17

Segmentation tarifaire et suivi du risque en incapacité

Journées d’étude IA / SACEI17 septembre 2009

Frédéric PLANCHET

Préambule

Les garanties offertes pour le risque « arrêt de travail » distinguentg p q gtraditionnellement l’état d’incapacité et celui d’invalidité. Cette distinction,quoi

Dans la suite de cette présentation on se limite aux prestations d’incapacitéde travail, donc à des prestations servies mensuellement dans la limite de36 mois36 mois.

17 septembre 2009 Page 2

Préambule

A titre d’illustration, voici quelques chiffres issus du RSI :

Impact de l’âge et du sexe (commerçants)

Facteurs associés Eff. Total % Benef Analyse univariée Analyse multivariéeORa brut ICb 95% p-value ORa ajusté ICb 95% p-value

Sexe <10-4 <10-4Féminin 122328 9,4 1,36 [1,32-1,39] 1,40 [1,36-1,43]Masculin 281071 7,1 1 1

Age <10 4 <10 4

y y

Age <10-4 <10-425 à 29 9716 9,8 1,27 [1,17-1,38] 1,28 [1,18-1,39]30 à 34 31779 7,4 0,94 [0,88-0,99] 0,95 [0,89-1,01]35 à 39 53360 6,9 0,87 [0,82-0,92] 0,88 [0,83-0,94]40 à 44 65155 6,8 0,85 [0,81-0,90] 0,87 [0,82-0,92]45 à 49 72953 7,5 0,96 [0,91-1,01] 0,98 [0,92-1,03]50 à 54 81908 9,3 1,07 [1,01-1,12] 1,09 [1,03-1,14]55 à 59 64359 8,9 1,14 [1,08-1,20] 1,16 [1,10-1,23]60 à 64 24169 7,8 1 1


Préambule

A titre d’illustration, voici quelques chiffres issus du RSI :

Impact de la profession (artisans)

Facteurs associés Eff. Total % Benefa b a b

Analyse univariée Analyse multivariéeORa brut ICb 95% p-value ORa ajusté ICb 95% p-value

Profession <10-4 <10-4Autres " 45 " 48997 12,6 1,29 [1,25-1,33] 1,34 [1,30-1,39]Autres " 93 " 10187 8,5 0,83 [0,77-0,89] 0,73 [0,68-0,79]Coiffure 39439 9,0 0,88 [0,85-0,92] 0,78 [0,75-0,82]Détaillant Autom 7837 8 4 0 83 [0 76 0 90] 0 86 [0 79 0 93]Détaillant. Autom 7837 8,4 0,83 [0,76-0,90] 0,86 [0,79-0,93]Entretien&rép auto 14901 8,0 0,78 [0,73-0,83] 0,79 [0,74-0,85]Fabr.meubles/divers 13867 9,5 0,94 [0,89-0,99] 0,96 [0,90-1,02]Installation eau&gaz 18443 12,3 1,26 [1,20-1,32] 1,28 [1,22-1,35]Mécanique générale 10040 10,5 1,06 [0,99-1,13] 1,09 [1,02-1,17]Menuis.bois&plast. 18720 13 0 1,34 [1 28-1 41] 1,4 [1 33-1 46]Menuis.bois&plast. 18720 13,0 1,34 [1,28 1,41] 1,4 [1,33 1,46]Peinture 24161 12,9 1,33 [1,27-1,39] 1,34 [1,28-1,40]Taxi 19932 9,1 0,90 [0,85-0,95] 0,89 [0,85-0,94]Install. Électrique 19565 9,9 0,99 [0,94-1,04] 1,03 [0,98-1,09]Maçonnerie générale 30883 13,9 1,44 [1,39-1,50] 1,49 [1,43-1,55]Autres 97007 10,0 1 1


> Comment prendre en compte cette hétérogénéité ?

Sommaire

1. Prendre en compte l’hétérogénéitép g

2. L’incidence

3. Le maintien

4 Le tarif4. Le tarif


1. Prendre en compte l’hétérogénéité

L’hétérogénéité (mélange de populations de caractéristiques différentes vis-à-vis du phénomène de durée étudié) a un impact important sur la perception

p g

à vis du phénomène de durée étudié) a un impact important sur la perceptionde la fonction de hasard du modèle.

Par exemple un mélange de populations exponentielles (donc à hasardPar exemple un mélange de populations exponentielles (donc à hasardconstant) conduit à un hasard agrégé décroissant :

(biais d’hétérogénéité)


(biais d hétérogénéité)


De nombreux modèles permettent de prendre en compte ce mélange depopulations : modèles de fragilité (Vaupel 1979), fragilité combinée (Barbi

p g

populations : modèles de fragilité (Vaupel 1979), fragilité combinée (Barbi1999), modèles à chocs communs, modèle de Cox (Cox 1972), à hasardadditif (Aalen 1978), des combinaisons des 2, etc.

Dans le cadre de la modélisation de l’arrêt de travail, ce sont essentiellementles modèles de type Cox et, plus récemment, Aalen, qui sont utilisés,

t t d f it d l f ilité d i t d’i t ét ti tnotamment du fait de leur facilité de mise en œuvre et d’interprétation, etégalement du fait de la présence de censure (droite) et de troncature(gauche).

Un focus sur ces 2 approches est donc effectué.



Le modèle de référence est le modèle de Cox (1972), spécifié de la manièresuivante à partir de la fonction de hasard :

p g

suivante à partir de la fonction de hasard :

( ) ( )1

ln lnp

i ii

h t Z z h t z β=

= = +∑

Il s’agit donc d’un modèle de régression dont les coefficients peuvent êtreestimés par maximum de vraisemblance (partielle). Le lien avec les tauxdiscrets est immédiat :discrets est immédiat :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 01 1exp '

; exp 'z

q x z q x q x zθ

θ θ−

= − − ≈ × −

l’approximation étant valide lorsque le taux de sortie est faible.

Avec R :


res=coxph(Surv(Entree,Sortie,NonCensure,type="counting") ~ var1 + var2 + var3 + ..., data=t)


L’analyse des résultats s’effectue à deux niveaux :

p g

- Significativité des coefficients :

- Validité de l’hypothèse de hasard proportionnelyp p p



Lorsque la propriété de hasard proportionnel n’est pas vérifiée, on peut setourner vers les modèles additifs (Aalen 1978) :

p g

tourner vers les modèles additifs (Aalen 1978) :

( ) ( ) ( )Th t Z t tβ=

En introduisant la matrice n x p et soninverse généralisée :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11 , ,

TnnX t R t Z t R t Z t= K

on sait estimer les coefficients de régression cumulés :

( ) ( ) ( )( ) ( )1T TX t X t X t X t

−− =

( ) ( )t

B t u duβ= ∫on sait estimer les coefficients de régression cumulés :( ) ( )0

β∫

( ) ( )î

j ji i iT t

B t X T D−

≤

= ×∑


Avec R :res=aareg(Surv(Entree,Sortie,NonCensure,type="counting") ~ var1 + var2 + var3 + ..., data=t)

iT t≤


L’analyse des résultats

p g

- Significativité des coefficients :

- Validité du modèle :



Les critères de choix entre les 2 approches sont synthétisés dans le tableauci-dessous (adapté de Choukroun [2008]) :

p g

ci dessous (adapté de Choukroun [2008]) :

Modèle de Cox Modèle d’Aalen Type de modélisation Effet multiplicatif des

i blEffet additif des covariables

covariablesDépendance au temps Estimateurs constants Estimateurs fonction du temps Méthode d’estimation Maximum de vraisemblance

partielle Estimation des moindres carrés

Stabilité de la modélisation La suppression d’une covariable indépendante des autres conduit

La suppression d’une covariable indépendante des autres ne

à modifier les estimations conduit pas à modifier les estimations

Logiciel Tous les logiciels statistiques Timereg avec programmes supplémentaires sous SAS ou Survival

Limite du modèle Hypothèse de proportionnalité matrice X (défini auparavant) soit de rang plein

Facilité de mise en oeuvre Facilité de lancement du modèle, validation des hypothèses et des tests avec une seule procédure

Plus délicate, lancement du modèle sous R Validation sous R Martingales sous SAS


Sommaire


2. L’incidence

3. Le maintien



2. L’incidence

6 00%

On obtient une courbe pour la population de référence :

y = 2E‐06x3 ‐ 9E‐05x2 + 0,0013x + 0,0199R² = 0,9224

3,00%

4,00%

5,00%

6,00%

Qx

0,00%

1,00%

2,00%

, %Q

24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58

Age

et les courbes pour les autres populations s’en déduisent via :p p p

( ) ( )( ) ( )01 1

êxp 'ˆ;z

q x z q xθ

θ−

= − −


Sommaire


2. L’incidence

3. Le maintien



3. Le maintien en incapacité

La construction d’une loi de maintien est plus délicate. Les modèles usuelsintègrent de fait de la segmentation en prenant en compte l’effet de l’âge à

p

intègrent de fait de la segmentation en prenant en compte l effet de l âge àl’entrée en arrêt de travail. Mais cet effet est souvent intégré de manière« artisanale » en construisant autant de lois de maintien qu’il y a d’âges àl’entrée possiblesl entrée possibles.

La démarche décrite ici permet d’intégrer la variable « âge à l’entrée » avecd’ t i bl d iè ét id’autres variables de manière symétrique.

Une fois réintégrée la durée de franchise dans la durée de maintien lemodèle comporte uniquement de la censure droite et peut être estimé par :

res=coxph(Surv(DureeMaintien,NonCensure,type="right") ~ var1 + var2 + var3 + ..., data=t)w=survfit(res, type="kaplan-meier" )



On obtient une courbe pour la population de référence :

p

70 00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

Qx

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

Q

et les courbes pour les autres populations s’en déduisent via :

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Ancienneté

p p p

( ) ( )( ) ( )01 1

êxp 'ˆ;z

q x z q xθ

θ−

= − −



Les règlements espérés d’un assuré entré en incapacité à l’âge x dontl’ancienneté dans l’arrêt est a sont calculés à l’aide de la formule suivante,

p

l ancienneté dans l arrêt est a sont calculés à l aide de la formule suivante,pour une prestation unitaire :

( )351 k a x xr l l−

− ⎡ ⎤+∑( ) 11212

r k kx

k a a

l lx a r el

+

=

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑, ,π

On peut également calculer la volatilité de ces règlements :

⎛ ⎞ ⎡ ⎤( ) ( )35

2112 121 1k a k a x xr r k k

xk a a

l lx a r e e x a rr l

− −− −

+

=

⎛ ⎞ ⎡ ⎤+= − −⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎝ ⎠∑, , , ,σ π



Ces résultats sont utiles pour deux tâches distinctes :

p

- la validation de lois de maintien d’expérience ;

- l’estimation a posteriori d’intervalles de confiance sur lespprovisions.

Dans le premier cas ils permettent de quantifier le risque systématiqueDans le premier cas ils permettent de quantifier le risque systématiqueassocié à l’erreur d’estimation sur les paramètres.


Sommaire


2. L’incidence

3. Le maintien



4. Le tarif

La segmentation tarifaire est simple à mettre en œuvre dans le cadre d’unmodèle de Cox, les coefficients s’appliquant multiplicativement dans le cadremodèle de Cox, les coefficients s appliquant multiplicativement dans le cadred’une approche « fréquence x coût » :

( ) ( ) ( )t Z q Z d Z= ×

Plus généralement on peut observer que :

( ) ( ) ( )x x xt Z q Z d Z= ×

Ma

avec et on peut donc calculer la variance de X d’où l’on

{ } { }00

1 1M

s mx x

arl

T T ll

X e−

= ≥=

= ∑

( ) ( )t Z E X Z=avec et on peut donc calculer la variance de X, d où l ondéduit des intervalles de confiance pour le tarif.

( ) ( )xt Z E X Z


4. Le tarif

L’examen des résultats de la segmentation met en évidence descomportements très variables en fonction des caractéristiques prise encomportements très variables en fonction des caractéristiques prise encompte (profession, franchise et sexe) :

Cela renforce l’intérêt pour une prise en compte de l’hétérogénéité dansl’expérience


l expérience.

Conclusion

Les modèles à hasard proportionnel ou additif permettent de quantifier desdifférences de coût entre des sous-populations même lorsque la taille desdifférences de coût entre des sous populations même lorsque la taille desdonnées reste limitée, au prix d’un risque de modèle.

Au-delà de l’intérêt que cela peut représenter dans la construction d’un tarifAu delà de l intérêt que cela peut représenter dans la construction d un tarif,ces analyses sont utiles dans le cadre de la formalisation des règles de calculdes BEL en prévoyance. En effet, comme le BEL est

La moyenne pondérée en fonction de leur probabilité des futurs flux de trésorerie comptetenu de la valeur temporelle de l’argent, laquelle est estimée sur la base de la courbe destaux sans risque pertinente.q p

il est important que l’information sur des écarts de risque intégrée au tarif soitreflétée dans le provisionnement.


e étée da s e p o s o e e t

Références bibliographiquesAALEN O. [1978] « Non-parametric inference for a family of counting processes ». Ann. Stat. 6, 710-726.

BARBI E.[1999] « Eterogeneità della popolazione e sopravvivenza umana : prospettive metodologiche ed applicazioni allegenerazioni italiane 1870-1895 » Florence Dipartimento Statistico (Ph D thesis) 91 p

g p q

generazioni italiane 1870-1895 », Florence, Dipartimento Statistico (Ph.D. thesis), 91 p.

CHOUKROUN M. [2008] « Le modèle additif d'Aalen, une alternative au modèle de Cox dans le cadre de la construction d'uneloi de maintien en incapacité de travail » Bulletin français d’actuariat, vol. 8, n°16.

COX D.R. [1972] « Regression models and life-tables (with discussion) ». J. R. Statist. Soc. Ser. B, pages 187-220.

MARTINUSSEN T SCHEIKE T [2006] D i R i M d l f S i l D t N Y k S iMARTINUSSEN T., SCHEIKE T. [2006] Dynamic Regression Models for Survival Data, New York : Springer.

PLANCHET F., THÉROND P.E. [2006] Modèles de durée – applications actuarielles, Paris : Economica.

PLANCHET F., WINTER P. [2007] « L'utilisation des splines bidimensionnels pour l’estimation de lois de maintien en arrêt detravail », Bulletin français d’actuariat, vol. 7, n°13.

RSI [2008] « L’essentiel du RSI en chiffres » , publication du RSI

VAUPEL J. W., MANTON K., STALLARD E., 1979, « The impact of heterogeneity in individual frailty on the dynamics of mortality», Demography, 16, p. 439-454.

http://www.ressources-actuarielles.net


Contacts

Frédéric [email protected]

WINTER & AssociésB rea de L on

Bureau de Paris43-46 avenue de la Grande Armée

F-75 116 Paris+33-(0)1-45-72-63-00

Bureau de Lyon55 avenue René Cassin

CS7041069338 LY0N CEDEX 09

( )+33-(0)4-37-37-80-90

http://www.winter-associes.fr/http://www.ressources-actuarielles.net/// / /


http://actudactuaires.typepad.com/laboratoire/

Documents

Segmentation tarifaire et suivi du risque en incapacité...durée de franchise, l’âge de l’assuré, son sexe, sa profession, la nature du sinistre (maladie, accident), etc. 17