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1 Série 1: Thermodynamique classique EXERCICE 1: Un compresseur formé par un récipient, fermé par un piston mobile, contient 2 g de l’hélium ( gaz parfait, monoatomique ) dans les conditions ( P 1 ,V 1 ). On opère une compression adiabatique, de façon réversible, qui amène le gaz dans les conditions ( P 2 ,V 2 ). Sachant que P 1 = 1 atm, V 1 = 10 litres et P 2 = 3 atm. Déterminer : a - Le volume final V 2 ? b - Le travail reçu par le gaz ? c - La variation d’énergie interne du gaz ? d - En déduire l’élévation de température du gaz, sans calculer la température initiale T 1 On donne : - le rapport des chaleurs massiques à pression et volume constants: = = - constante des gaz parfaits : R = 8,3 S.I. Solution 1: a- on a P 1 =P 2 soit V 2 =V 1 d’où V 2 = 10 = 5,16 l b- Pour une transformation adiabatique on écrit : W=- avec P = cte = K1 d’où W = - = W = = 822 J c- La variation de l’énergie interne est égale à : U 2 -U 2 = W + Q = W ( car Q = 0 ) ; donc U 2 -U 1 = 822 J d- Pour n moles de gaz parfait, on a : U 2 -U 2 =W=nC V ( T2 – T1 ) or = et C P -C V = R ( pour une mole ) C V = d’où W=n ( T2 – T1 ) ou bien ( T2 – T1 ) = ( T2 – T1 ) = 132 ° K

Série 1: Thermodynamique classique quantité de chaleur élémentaire peut s’exprimer en fonction de deux variables que l’on choisira. Les trois formes classiques sont (pour 1

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Série 1: Thermodynamique classique

EXERCICE 1:Un compresseur formé par un récipient, fermé par un piston mobile, contient 2 g de

l’hélium ( gaz parfait, monoatomique ) dans les conditions ( P1 , V1 ). On opère unecompression adiabatique, de façon réversible, qui amène le gaz dans les conditions ( P2 , V2 ).Sachant que P1 = 1 atm, V1= 10 litres et P2 = 3 atm. Déterminer :

a - Le volume final V2 ?b - Le travail reçu par le gaz ?c - La variation d’énergie interne du gaz ?d - En déduire l’élévation de température du gaz, sans calculer la température initiale T1

On donne :

- le rapport des chaleurs massiques à pression et volume constants: = =

- constante des gaz parfaits : R = 8,3 S.I.

Solution 1:

a- on a P1 = P2 soit V2 = V1 d’où V2 = 10 = 5,16 l

b- Pour une transformation adiabatique on écrit :

W = - avec P = cte = K1 d’où W = - =

W = = 822 J

c- La variation de l’énergie interne est égale à :

U2 - U2 = W + Q = W ( car Q = 0 ) ; donc U2 - U1 = 822 J

d- Pour n moles de gaz parfait, on a :U2 - U2 = W = n CV ( T2 – T1 )

or = et CP - CV = R ( pour une mole ) CV =

d’où W = n ( T2 – T1 )

ou bien ( T2 – T1 ) = ( T2 – T1 ) = 132 ° K

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autre méthode : Dans on remplace P V = n R T et on trouve

EXERCICE 2:Pour vérifier que la quantité de chaleur est une fonction qui dépend du chemin suivi,

on considère un gaz parfait diatomique ( CV = 5/2 R ) qui est porté réversiblement d’un étatinitial i à un état final f par 3 chemins différents iaf, ibf, icf .· iaf : isochore suivie d’une isobare· ibf : isobare suivie d’une isochore· icf : chemin rectiligne direct.Calculer la quantité de chaleur échangée dans les trois cas en fonction de la température del’état initial Ti sachant que : Pf= 2 Pi et Vf = 2 Vi . Conclusion ?.

Solution 2:

La quantité de chaleur élémentaire peut s’exprimer en fonction de deux variables que l’onchoisira. Les trois formes classiques sont (pour 1 mole) :

Q = CV dT + l dT

Q = CP dT + h dT

Q = dP + dV

iaf : isochore suivie d’une isobare

Q = = + = CV ( Ta – Ti ) + CP ( Tf - Ta )

En f on a Pf Vf = R Tf et en i on a Pi Vi = R Ti d’où Tf = 4 Ti

De même en a on a Pf Vi = R Ta (car Pf = Pa isobare et Va = Vi isochore )

Danson a Q = CV ( 2Ti – Ti ) + CP ( 4T i - 2Ti ) ; or CV = R et CP = R

d’où Q = R Ti

3

ibf : isobare suivie d’une isochore On trouve Q = R Ti

icf : chemin rectiligne direct.

Q = dP + dV = CV dP + CP dV

or P = k V car c’est une transformation linéaire

Q = CV k dV + CP k dV = ( CV + CP ) V dV

Q = ( CV + CP ) V = ( CV + CP ) k

or k Vi = R Ti d’où Q = R Ti

Conclusion : Q n’est pas une différentielle totale exacte.

EXERCICE 3 :Une ensileuse fonctionne selon un cycle ABCA décrit comme suit :

1 - Le gaz parfait est amené de l’état A ( PA , VA , TA ) à l’état B ( PB , VB , TB ) par unetransformation à volume constant. Sachant que PB = 2 PA , calculer TB en fonction de TA ?2 - Le gaz subit ensuite une détente isotherme qui l’amène à un état C ( PC , VC, TC ) de tellesorte que PC = PA . Calculer VC en fonction de VA ?3 - Le gaz revient alors à son état initial A par une transformation à pression constante.

a - Faire un schéma du cycle ABCA dans le diagramme de CLAPEYRON.b - Calculer le travail total W échangé par le gaz pendant le cycle ABCA avec le milieu

extérieur. Exprimer ce travail en fonction des variables PA et VA

1°) D’après la loi des gaz parfaits on a :

n R = = or PB = 2 PA et VB = VA

D’où = TB = 2 TA

2°) De B à C , le gaz a subit une transformation isotherme on écrit :

n R = = Or PC = PA = et TC = TB

4

donc = VC = 2 VB =

2 VA

3°)

a-

b- Soit W le travail fournit au gaz pendant le cycle :

W = WAB + WBC + WCA

avec :

WAB = 0 transformation isochore ;

WBC =- = nRTB =-PBVB =- 2 PAVA Ln 2 car la transformation est

isotherme ;

WCA = - PA ( VA - VC ) = PAVA transformation isobare ;

Donc: W = WAB + WBC + WCA = PAVA ( 1 - 2 Ln 2 ) = - 0,4 PAVA

Conclusion : Ce travail est négatif : c’est donc le gaz qui fournit du travail au milieu extérieur.

Le cycle parcouru dans le sens ABCA est moteur.

Série 2 : Le premier principe de la thermodynamique

EXERCICE 1 :En hiver et afin d’éviter le gel, on chauffe une serre contenant 812 g d’air (gaz supposé

parfait) dont la température s’élève de 2° C à 16° C. Calculer :a - la variation d’énergie interne de l’air au cours de cet échauffement ?b - la quantité de chaleur reçue par le gaz, si ce dernier a fourni un travail de 846,4 joules.On donne: La masse molaire de l’air M = 29 g /mole, R = 8,32 S.I. ;

Le rapport des chaleurs massiques de l’air = CP /Cv = 1,4

Solution 1 :

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a - La variation d’énergie interne de n moles de gaz parfait : U = n CV T

L’air est un gaz parfait diatomique : CV = R donc :

U = 8,32 14 = 8153,6 J

b - On a : U = W + Q ou U = W + QLa quantité de chaleur échangée par le gaz (l’air) est :Q = U - W Or W = - 846,4 car l’air a fourni un travail,

d’où Q = 8153,6 - ( - 846,4 ) = 9000 J

EXERCICE 2 :L’état initial d’une mole de gaz parfait est caractérisé par P0 = 2.105 Pascals, V0 = 14

litres. On fait subir successivement à ce gaz:- une détente isobare, qui double son volume,- une compression isotherme, qui le ramène à son volume initial,- un refroidissement isochore, qui le ramène à l’état initial (P0 , V0 ).

a - A quelle température s’effectue la compression isotherme ? En déduire la pressionmaximale atteinte. Représenter le cycle de transformation dans le diagramme (P, V )b - Calculer le travail, la quantité de chaleur et la variation d’énergie interne échangés par le

système au cours de chaque transformation ?. Faire le bilan du cycle ?.On donne : constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K-1.

Solution 2 :

a - L’état initial du gaz, représenté par le point A0, est caractérisé par :

P0 = 2 105 Pa ; V0 = 14 10-3 m3 ; T0 = = 336,78 °K

A la fin de la détente isobare, l’état du gaz, représenté par le point A1, est caractérisé par :

P1 = P0 ; V1 = 2 V0 ; T1 = = = 2 T0 = 673,56 °K

A la fin de la compression isotherme, l’état du gaz représenté par le point A2, estcaractérisé par

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P2 = = 2 P0 ( d ‘après la loi de Mariotte ) ; V0 ; 2 T0

La pression maximale du gaz est donc : P2 = 2 P0 = 4 105 Pa

b -

u Au cours de la détente isobare A0A1 on a :

W1 = - P0 ( 2 V0 - V0 ) = - P0 V0 = - 2800 J

Q1 = CP ( T1 - T0 ) = 8,314 336,78 = 9800 J

u Au cours de la compression isotherme A1A2 on a :

W2 = R T1 ln = 2 R T0 ln 2 = 3881,61 J

Q2 = = R T1 ln = - 2 R T0 ln 2 = - 3881,61 J

u Au cours du refroidissement isochore A2A0 on a :

W3 = 0 J ( à volume constant)

Q3 = CV ( T0 - T1 ) = - 8,314 336,78 = -7000 J

Transformation W en J Q en J U= W+Q en J

Isobare -2800 9800 7000

Isotherme 3881,61 -3881,61 0

Isochore 0 -7000 -7000

total 1081,61 - 1081,61 0

Au cours du cycle :

Le bilan mécanique du cycle est donc : W = W1W2 W3 1081,61 J /mole.

La quantité de chaleur échangée est donc : Q = - W = - 1081,61 J / mole

La variation de l’énergie interne est nulle car c’est une fonction d’état.

W est positif, Q est négatif ; par conséquent, le système a reçu un travail qu’il a intégralementrestitué au milieu extérieur sous forme de chaleur.

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EXERCICE 3 : TRAVAIL DU CŒURLe travail effectué par un système peut dans certains cas s’exprimer, par le produit d’une

pression P (grandeur intensive ), par une variation de volume V (grandeur extensive ).1- Montrer que le produit P V a la dimension d’un travail.2- Sachant que chaque pulsation fait circuler du sang ; avec P1 la pression sanguine dans leventricule droit, et V1= V1 le volume de celui-ci complètement rempliSoient P2 et V2 ces mêmes grandeurs pour le ventricule gauche. On suppose constantes lespressions P1 et P2 et le travail des oreillettes négligeable par rapport à celui des ventricules.a - Exprimer le travail du cœur pour une pulsation ?b - Exprimer la puissance du « moteur » cardiaque sachant qu’il a n pulsations par minute.c - Calculer ce travail et cette puissance sachant que :

P1 = 3 cm Hg ; P2 = 9 cm Hg ; V1 = V2 = 71 cm3

n = 65 pulsations par minuted - Le rendement énergétique du muscle cardiaque sera pris égal à celui du muscle strié, c’està dire à 20% . Calculer la puissance fournie au muscle cardiaque par l’organisme. e -L’énergie consommée par jour par ce sujet au repos (métabolisme basal ) correspond à 1600Kcal. Calculer la fraction de cette énergie totale utilisée par le cœur ?.

Solution 3 :

2- a ) Pendant une pulsation, le cœur droit expulse le volume V1 à la pression constante P1 et

le cœur gauche expulse le volume V2 à la pression constante P2 ; Donc le travail cardiaque

fourni pendant une pulsation est : W = P1 V1 + P2 V2

b ) La puissance du moteur cardiaque est égale au travail qu’il fournit pendant 1 seconde.

Pendant 60 s, le cœur fournit n ( P1 V1 + P2 V2 ). Donc : P =

c ) A.N : V1 = V2 = 71 10 –6 m 3 , n = 65P1 = 3 cm Hg = 4 103 Pa ; P2 = 9 cm Hg = 12 103 Pa

Donc W = 1,14 Joule et P = 1,23 Watt

d ) Si est le rendement du cœur, et si P’ est la puissance fournie au cœur par l’organisme := P/ P’ P’ = / P P’ = 6,15 Watts

e ) L’énergie que l’organisme fournit au cœur pendant 24 h est :W’ = 24 x 60 x 60 x P’ = 531360 J

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Or un sujet au repos consomme au total en 24 h :E = 1600 kcal = 4,18 1600 103 J = 6688000 J .

D’après le premier principe, l’énergie que l’organisme fournit au cœur est une fraction del’énergie totale consommée par le sujet au repos. La fraction de cette énergie utilisée par lecœur est donc :

x = x = 7,9 %

Le cœur consomme donc à peu près 8 % de l’énergie totale consommée par le sujet. Le restede cette énergie est utilisé plus spécialement par le fonctionnement des autres organes :poumons, cerveau, rein,…..( les muscles ne travaillent pas, puisque le sujet est au repos).

Série 3: Le second principe de la thermodynamique

EXERCICE 1:Une personne respire 12 l d’air par minute à la température de 20 °C et le rejette à 45 °C.

En considérant que l’air est un gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g/mole ;calculer la quantité de chaleur fournie pour le réchauffement de l’air respiré en 24 heures. Onsuppose que la composition de l’air reste inchangée entre l’inspiration et l’expiration sous unepression constante d’une atmosphère.On donne : la masse volumique de l’air = 1,24 Kg.m-3 ;

la constante des gaz parfaits R = 8,32 S.I.

Solution 1:

La masse d’air réchauffée en 24 h est : m = V n24

avec : masse volumique , V : volume d’air, n24 : nombre de minutes en 24 hd'où m = 1,24x 12 10 –3 x60x 24 = 21,427 kg

Le nombre de moles d’air est : n = = = 738,86 moles.

La quantité de chaleur fournie pour le réchauffement de l’air respiré en 24 h est :

Qp = n Cp T avec Cp = R gaz diatomique

Qp = 738,86 8,32 x ( 45 – 20 ) = 537,882 KJ 538 KJ

Remarque :on utilise Cp car la pression est supposée constante, alors que le volume varie aucours de la transformation.

EXERCICE 2:a- Calculer la pression atmosphérique à l’altitude z ; sachant que les conditions

atmosphériques au sol sont caractérisées par la température T0 et la pression P0 et que latempérature varie avec l’altitude selon la loi : T = T0 – k z .

b- Déterminer la relation liant l’altitude z à la pression P au cours de l’ascension d’unemasse d’air (en le supposant comme gaz parfait) qui s’élève dans l’atmosphère sans échangede chaleur avec l’extérieur (d’une façon adiabatique).

On donne : z = 4000 m ; P0 = 750 mm Hg ; T0 = 293 °K; g = 10 m s-2

k = 0,005 °K /m ; 0 = 1,19 Kg.m-3 ; = CP /Cv = 1,4

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Solution 2:1- La différence de pression entre deux points d’altitude z et z + dz est donnée par

l’équation de l’hydrostatique : dP = - g dz où la masse volumique de l’air ( gaz supposé

parfait) est : = avec PV = RT , soit =

on en déduit dP = - P dz , soit = -

Intégrons entre l’altitude O et l’altitude z ; il vient : Ln = Ln

La relation pression - altitude s’écrit donc : P(z) = P0

2- Relation ( T, P )Lorsque la masse d’air passe de l’altitude z à l’altitude voisine z + dz, sa pression passe de P

à P + dP et sa température de T à T + dT de façon à satisfaire la loi adiabatique = cte

que l’on écrit sous la forme différentielle : + = 0 ¬

· Relation ( P, z )L’équation fondamentale de l’hydrostatique s’écrit :

dP = - g dz avec PV = RT pour une mole d’air,

donc : = = ­ , soit dP = - g dz ou + dz = 0 ®

· Relation ( T, z )

Éliminons la pression P entre ¬ et ®, il vient : dT + dz = 0

On en déduit le gradient vertical de température, correspondant à l’équilibre adiabatique de

l’atmosphère Ka = = - ¯ on pose Ka = - =cte

A.N Ka = - 9,76 10-3 k / mLe gradient thermique Ka est constant, si on suppose et g constants,on obtient donc en intégrant ¯ T = Ka z + T0 ,

soit T = T0 ° et P = P0 ± car = cte

La masse volumique de l’air à l’altitude z est d’après ­, ° et ± :

=

EXERCICE 3:On considère un cylindre horizontal de volume invariable qui est divisé en deux

compartiments A et B par un piston mobile se déplaçant sans frottements. On suppose que lesdeux compartiments et le piston sont athermanes et qu’à l’instant initial les deuxcompartiments A et B ont le même volume V0 = 2 l d’hélium (gaz parfait), à la pression P0 =

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1 atm, et à la température T0 = 273 °K , = 5 / 3 ; le gaz du compartiment C1 reçoit à l’aided’une résistance chauffante, de la chaleur du milieu extérieur.Déterminer :1- Les pressions, les volumes et les températures des compartiments C1 et C2, lorsque lapression du gaz contenu dans C1 devient P1 = 3P02- La variation d’énergie interne du gaz dans C1 et C2 et l’énergie fournie par la résistancechauffante.

Solution 3 :

1- L’équilibre mécanique se traduit par P1 = P2 = 3P0 = 3 atm

dans le compartiment C2 le gaz a subi une transformation adiabatique donc :

P0 = P2 V2 = V0

V2 = 1,03 l et V1 = 2 V0 - V2 = 2,97 l

Pour T2 = T0 T2 = 423,7 °K

Pour T1 on utilise P V = n R T T1 = T0 = 1216 °K

2- U1 = n CV ( T1 – T0 ) or CV =

U1 = ( T1 – T0 ) = = 1040 KJ

De même U2 = = 164 KJ

La résistance électrique a fourni l’énergie : E = U1 + U2 = 1204 KJ

EXERCICE 4:

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On considère un cylindre fermé, dont les parois sont adiabatiques. Les deux compartiments Aet B, séparés par un piston qui est fixe au départ, contiennent de l’air. Dans A l’air est dansl’état ( P0,V0,T0 ) et dans B, il est dans l’état ( 2P0,V0,T0 ). On considère le piston mobile,lorsque l’équilibre est établi, détermine la pression finale P1 de l’air, ainsi que les volumes etles températures du gaz, dans chaque compartiment. On admettra que le déplacement dupiston s’effectue de façon quasi-statique.A.N : P0 = 1 atm ; = 7 / 5 ; V0 = 2 l ; T0 = 300 °K.

Série 4: Le second principe de lathermodynamique : Les cycles

EXERCICE 1: Cycle de Beau de Rochas ou OttoPour faire fonctionner une moissonneuse-batteuse, on utilise n moles d’un gaz parfait

qui décrivent le cycle de Beau de Rochas dans le sens indiqué sur la figure. Lestransformations DA et BC sont des adiabatiques alors que les transformations CD et ABsont des isochores. On désigne par a =V2 / V1 le rapport des volumes (taux decompression). Cv est supposé constant pendant tout le cycle.1– Exprimer la quantité de chaleur reçue par le gaz pendant l’explosion AB en fonction de TA et

TB .2– Déterminer le travail W fourni pendant le cycle en fonction des températures.3– En déduire le rendement du cycle en fonction des températures.4– Montrer que ce rendement s’exprime simplement en fonction de a et de 5– Donner l’expression de la variation d’entropie au cours des différentes transformationsApplication numérique : a = 9 ; = 1,4.

Solution 1:

1- S’il y a n moles de gaz parfait dans le cylindre on a :

QAB = n CV ( TB - TA ) QAB est positif

2- WAB = WCD = 0 puisque AB et CD sont isochores.

WBC = UBC = n CV ( TC - TB ) puisque BC est adiabatique.

WDA = UDA = n CV ( TA - TD ) puisque DA est adiabatique.

W = WBC + WDA = n CV ( TC - TB + TA - TD ) négatif.

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3- = = =

4- = et =

D’où = = = a( 1 - ) et = 1 - a( 1 - ) = 0,585

SAB = n CV ln ; SBC = 0 ; SCD = n CV ln et SDA = 0

EXERCICE 2:

Une centrale thermique électrique, qu’elle soit alimentée en combustible nucléaire ou fossile,est une machine thermique qui fonctionne selon le cycle de Carnot entre la température duréacteur (ou du foyer) et celle du milieu ambiant représenté en général par un fleuve (ou uneautre masse d’eau). On considère une centrale nucléaire moderne de 750000 KW ; latempérature du réacteur atteint 315 °C et on dispose d’un fleuve à 21 °C.1– Quel rendement thermique maximal peut-on obtenir de la centrale et quelle quantitéminimale de chaleur doit être rejetée dans le fleuve ?2 – Si le rendement théorique effectif de la centrale est 60 % du rendement théoriquemaximal, quelle quantité de chaleur doit être rejetée dans le fleuve et quelle seral’augmentation de la température de ce dernier si son débit est 165 m3 / s ?Solution 2:

Cycle de Carnot voir le cours

1- Le rendement = = 1 - = 1 - = 0,5

Dans ce cas 50 de chaleur sont convertis en travail et 50 de chaleur sont rejetés dans lefleuve,

or W = 750 000 kW = 760 106 J / s et = 0,5 avec U = W + Q1 + Q2 = 0

D’où Q2 = 750 000 KW = 750 106 J / s

2- Si le rendement réel = 60 de la valeur théorique, on a = 0,6= 0,6 0,5 = 0,30

or = = = = 2,5 109 J / s

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Les 70 de cette quantité qui ne sont pas convertis en travail, sont rejetés dans le fleuve ,donc :

Q2 = 0,7 ( 2,5 10 9 ) = 1,75 109 J / s = 1750 000 KW

On a le débit 165 m3 / s = 165 103 kg / s ; puisque Q2 = m C T

T = = = 2 ,54 °K

Cette élévation de température provoquée par une centrale thermique est appelée aussipollution thermique.

EXERCICE 3:Le moteur d’un tracteur fonctionne selon le cycle de Diesel : de l’air supposé gaz

parfait, parcourt le cycle idéal ABCDA représenté sur la figure. A la fin de l’admission (nonreprésentée), le gaz est dans l’état A(PA ,VA , TA). AB et CD sont des transformationsadiabatiques réversibles. L’injection s’effectue entre B et C et l’ouverture entre D et A.Les rapports volumiques sont VA / VB = a et Vc/ VB = b.1 – Déterminer le rendement du cycle en fonction des températures, puis en fonction de a etde b.2 – Calculer le rendement du cycle ainsi que les différentes températures et pressions dugaz ?.

on donne : PA = 1 atm, TA = 288 °K, a =16, b = 2 et = 1,4.3 – Déterminer la variation de l’entropie et la variation de l’énergie interne au cours des

différentes transformations en fonction de n.

Solution 3:

1- QAB = QCD = 0

Pour l’isobare : QBC = n CP ( TC - TB ) positif

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pour l’isochore : QDA = n CV ( TA - TD ) négatif

le travail du cycle : W = - (QBC + QDA )

le rendement du cycle : = =

En exprimant les températures : TB = TA , TC = TB b , TD = TA

On obtient : =

2- = 61,38 , TB = 873 °K , TC = 1746 °K et TD = 760 °K

PB = PA a= 48,5 atm et PD = PB = 2,64 atm

SAB =SCD = 0 ; SBC = n Cp ln = n Cp ln b = n R ln 2 = 20,17 J/ °K

SDA = n Cv ln = n Cv ln = -n Cv ln b= - n Cv ln b

SDA = - SBC = - 20,17 J/ °K

UAB = = = = 12153 n.

UBC = n Cp ( TC – TB ) – P (VC – VB ) = n Cv ( TC – TB ) = 18136 n.

UCD = = = = -20484 n.

UDA = n Cv ( TA – TD ) = n 8,31 ( 288 – 760 ) = -9805 n.

Vérifier que UAB +UBC + UCD + UDA = 0

Série 5:Changement de phase d'un corps pur

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EXERCICE 1 :On considère 600 g d’eau à la température t = 60 °C qu’on mélange à 500 g de glace à

la température t2 = - 14 °C.Si la température d’équilibre tf est supposée nulle, déterminer les masses finales respectivesd’eau et de glace?On donne : Ce = 1 cal / g °K , Cg = 0,5 cal / g °K , Lf = 80 cal / gSolution1:

A la température tf = 0 °C ,quand il y a changement de phase :

ou bien on a fusion d’une partie de la glace,

ou bien on a solidification d’une partie du liquide.

Dans les deux cas on écrit ; Qp = x L avec :

x > 0 si le changement d’état est une fusion.

x < 0 si le changement d’état est une solidification.

Conclusion : est la quantité de glace ou de liquide qui s’est transformée.

On écrit : ( en tenant compte que tf = 0 °C )

U = 0 = Qeau + Qglace + x L = 0

d’où meCe ( Tf - T1 ) + mgCg ( Tf - T2 ) + x L = 0

x = -

x = - = 406,25 g

Comme x > 0 , donc il y a 406,25 g de glace qui s’est transformée en eau ; on obtient :

600 + 406,25 g = 1006,25 g d’eau

500 – 406,25 = 93,75 g de glace

Exercice 2:1- a)1 litre d’eau liquide est introduit dans une enceinte vide de 5 m3. La température est

fixe et vaut 50 °C. En utilisant la formule de Duperray, expliquer que se passe-t-il ?

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b)En admettant que la vapeur d’eau se comporte comme un gaz parfait, combien y a-t-il d’eau vaporisée à l’équilibre ?

2- Dans un récipient clos de 5 m3 contenant de l’air sec à la pression 0,8 atm et à latempérature de 50 °C, on introduit 1 litre d’eau.

a) Que se passe-t-il en supposant que la température est maintenue fixe?b) Quelles sont à l’équilibre les valeurs de la pression partielle de l’air, de l’eau

vaporisée, et de la pression totale ? quelle est la quantité d’eau vaporisée ?

Solution 2:

1- a ) Pour calculer la pression de vapeur saturante de l’eau à t = 50 °C, utilisons la

formule de Duperray PS = fS(T) = P0 ( P0 = 1 atm et t en °C ) ;

On trouve PS = 0,062 atm = 6331 Pa.

L’eau introduite dans l’enceinte vide, va se vaporiser jusqu’à ce que la pression de la vapeuratteigne la valeur de la pression de vapeur saturante.

b ) A l’équilibre, on suppose que l’eau vaporisée occupe tout le volume de l’enceinte, (c’est à dire 5 m3 ) et que cette vapeur d’eau ( à PS = 6331 Pa ) se comporte comme un gazparfait ;

le nombre de moles vaporisées est alors n = = = 11,8 moles

ce qui correspond à m = n M = 11,8 18 = 212 g d’eau.

2- Dans un récipient clos de 5 m3, où la pression initiale d’air est 0,8 atm à 50 °C, l’eauintroduite va s’évaporer jusqu’à ce que la pression partielle de l’eau atteigne la pression devapeur saturante ( calculée en 1- a ).

A l’équilibre, la pression partielle de l’air est 0,8 atm, la pression de l’eau vaporisée vaut0,062 atm et la pression totale vaut 0,862 atm.

Pour l’évaporation seule compte la pression partielle de vapeur ( qui est la même queprécédemment ) : la quantité d’eau vaporisée sera donc la même, soit 212 g.

Exercice 3: Formule de Clapeyron. Point triple de l’eau

On se propose d’étudier les équilibres entre les phases solide, liquide et gazeuse de l’eau

au voisinage du point triple qui correspond à une température t0 = 0,01 °C.

1- Donner l’équation de l’isotherme relative à 1 g d’eau pour la température de 0 °C, en

admettant que la vapeur d’eau peut être assimilée à un gaz parfait, et sachant que la pression

17

de vapeur saturante de la glace est, à 0 °C, de 4,60 mm de mercure. On exprimera les

volumes en cm3 et les pressions en mm de mercure.

2- On admet que la courbe de sublimation et la courbe de fusion peuvent être assimilées à des

droites entre 0 °C et la température du point triple.

Sachant que la chaleur de sublimation de la glace à 0 °C est égale à 684 cal/g, calculer la

pression du point triple.

3- Calculer la chaleur de fusion de la glace à la température de 0 °C.

On donne : uS = 1 cm3/g , uL = 1,09 cm3/g et Vmolaire (de la vapeur d’eau) : = 22,4 litres.

Solution 3:

1- L’équation de l’isotherme est p v = cte. Le point

p = 4,6 mm Hg = 613,3 Pa , v = vv = = 205,603 m3

(car 760x0,022 = 1xRx273 et 4,6xV = (1/18) xRx273 v = 205,603 m3)

appartient à l’isotherme, donc :

p v = 126096 J

2- La chaleur de sublimation est donnée par la formule de Clapeyron , en négligeant le

volume massique du solide par rapport à celui de la vapeur, on obtient :

Ls = T vV ( car Ls = T( vV - vS ) et vS « vV )

D’où

= = 0,51 Pa = 0,004 mm Hg

et la pression du point triple :

PT = 4,60 + 0,004 = 4,604 mm Hg.

3- La chaleur de fusion est donnée par la formule de Clapeyron :

LF =

Avec dPF = PF = 760 – 4,604 = 755,396 mm Hg , dT = T= 0,01 °K.

Par suite,

18

LF = = 349570 J/kg = 83,63 cal/g

Série 6: Air humide

EXERCICE 1 :Un récipient de volume V = 1 m3 fermé, contient de l’air humide dont les

caractéristiques sont : la température t1 = 20 °C, la pression P = 1 bar et l’humidité relative1 = 0,5 .1- Calculer l’humidité absolue x1 ?2- Comment faut-il faire varier la température, à volume constant, pour amener cet air à lasaturation ?

Solution 1 :

1- A l’état initial, on a : V = 1 m3 , t1 = 20 °C , P1 = 1 bar , 1 = 0,5

On a x1 = 0,622 or d’après la table PS,20°C = 23,369 m bar

D’où x1 = 0,622 = 0,007353 kg / kg AS

2- A la saturation, on a : = 1 et xS = x1

d’où xS = 0,622 = 0,00735 kg / kg AS

donc = 0,011 816 = on obtient PS = 11,684 m bar

d’après la table puisque PS 9,2°C = 11,629 m bar et PS 9,3°C = 11,707 m bar.

alors t2 = 9,2 °C

Exercice 2 :De l’air humide qui se trouve dans un état initial, caractérisé par sa température t1 = 18

°C, sa pression P1 = 1 bar et son humidité relative 1 = 0,8 , est refroidi à pression constanteet sans échange de matière avec le milieu extérieur jusqu’à la température de 4 °C .1- Quelle est la production d’eau liquide par Kg d’air sec ?2- Quelle est la quantité de chaleur à soustraire à cet air humide par Kg d’air sec ?3- A partir de quelle température un brouillard commence-t-il à se former ? .

Solution 2 :

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1- On a à l’état e1 : t1 = 18 °C , P1 = 1 bar , 1 = 0,8

or PS,18°C = 20,623 mbar ( voir la table )

d’où x2 = 0,622 = 0,010434 kg/kg AS

à 4 °C on est à la saturation : 1 = 1 et PS,4°C = 8,129 mbar

donc x2,S = 0,622 = 0,005097 kg/kg AS

La production d’eau liquide par kg d’air sec est égale à :

xL = x2 - x2,S = 0,0053 kg/kg AS

2- La quantité de chaleur à soustraire à cet air humide par kg d’air sec est :

1ère méthode :

h ( KJ/Kg AS) = 1,01 t + xS ( 2500 + 1,85 t ) + ( x – xS) 4,18 t

où t est la température de rosée (saturation) , on a t = 14,5 °C(voir (c))

d’où h = 1,01 14,50,005097 ( 2500 + 1,85 14,5 ) + 0,0053 4,18 14,5

h = 27,6 KJ/Kg AS

2ème méthode : (voir cours)

3- Le brouillard commence à se former à partir de la température de rosée (saturation), onécrit :

x2 = 0,622 ou bien 0,010434 = 0,622

D’où PS = 16,498 d’après la table t = 14,4 °C = 14,5 °C ?

Exercice 3 :Un cylindre de volume V1 = 2 dm3 fermé par un piston, contient initialement de l’air

humide à la température t1=15 °C, à la pression P1 = 1 bar, et à l’humidité relative 1 = 0,2 .1- Quelle augmentation de pression isotherme (piston lentement enfoncé dans le cylindre)faut-il faire subir à cet air pour l’amener à la saturation ?.2- Calculer la masse d’eau liquide par Kg d’air sec qui apparaît si la variation de la pressionréalisée est égale à 1,25 fois celle qui est juste suffisante pour provoquer la saturation ?.

Solution 3 :

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1- A l’état initial, on a : V1 = 2 dm3 , t1 = 15 °C , P1 = 1 bar , 1 = 0,2

A la saturation, on a : = 1 et P = P2 – P1

Pour une transformation qui garde à l’état de vapeur toute l’eau contenue dans le cylindre, on

a : mV = cte d’où x = = cte

Soit e2 l’état de saturation, lorsqu’il est atteint par augmentation de pression isotherme sansqu’il y a production du liquide,

on a x1 = 0,622 or d’après la table PS,15°C = 17,04 m bar

d’où x1 = 0,622 = 0,002127 kg / kg AS

Or à l’état e2 de saturation, on a : x2 = x1 = cte ,

d’où 1 = 1 et x2 = 0,622

donc P2 = PS,15°C + = PS,15°C car x2 = x1

On obtient P2 = 17,04 = 5000 m bar 4993 m bar

et par conséquent P = P2 – P1 = 4,993 – 1 = 3,993 m bar 4 bar

2- On a x3L = x3 - x3S ( x3L est la masse d’eau liquide )

or x3 est donnée d’après a-) on a x1 = x3

on écrit P’ = 1,25 P ( à la Saturation )

P3-P1 = 1,25(P2-P1) =1,25 4 = 5 bar , On obtient : P3 = 5 + P1 = 6 bar ,

xS,3 = 0,622 = 0,622 = 0,00177 kg/kg AS

D’où la masse du liquide par kg d’air sec :

x3L = x3 - x3,S = 2,13 10-3 – 1,77 10-3 kg = 0,36 10-3 kg/kgAS = 0,36 g/kg AS

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x3L = 0,36 g/kg AS

Les exercices des examens

Exercice 1: prélèvement d'une masse d’eau dans de l'air humide

Un volume de 60 m3 d’air, dont l’humidité relative est de 80 à 24,5 °C, est

entièrement séché, après son passage dans un séchoir.

Quelle est la masse d’eau prélevée ?

On donne : La masse molaire d’eau vapeur : M = 18 g/mole

pour la pression de saturation de H2O voir tableau ci-après

tableau de la pression de saturation de H2O

en millibars en fonction de la température

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Exercice 2: fabrication de cubes de glace à l'aide d'un réfrigérateur

Quel est le travail total fournit par un réfrigérateur au cours de la fabrication 4 kg de

cubes de glace à partir d’une eau initialement à 0 °C. On suppose que la température du

milieu extérieur est 17 °C.

On donne : La chaleur latente de fusion de la glace à 0 °C est 333,5 kJ/kg.

Indication : Vous pouvez calculer directement l’efficacité du réfrigérateur en

fonction des températures et en déduire le travail demandé.

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Exercice 3: théorie cinétique des gaz parfaits

Calculer pour la température t = 17 °C, l’énergie cinétique moyenne ec d’une

molécule d’oxygène et sa vitesse quadratique moyenne de translation ?

On donne : La masse molaire d’oxygène : M = 32 g/mole

Constante de Boltzmann : k = 1,38. 10-23J/K

Nombre d’Avogadro : N = 6,023. 1023

Exercice 4: mélange de glace et d’eau

On mélange 0,1 kg de glace à 0 °C et 100 g d’eau à 60 °C.

Calculer la variation de l’entropie de l’univers ?

On donne : Ce = 4180 J/kg °K ; Lf = 333. 103 J/ kg.

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Exercice 5: Cycle de Joule : rendement d'un moteur

Le moteur d’un tracteur fonctionne selon le Cycle de Joule : n moles de l’air

supposé gaz parfait, parcourt le cycle idéal ABCDA représenté sur la figure.

AB : compression isentropique

BC : combustion isobare

CD : détente isentropique

DA : refroidissement isobare

Déterminer le rendement du cycle en fonction du rapport des pressions a = PB / PA ; et

calculer sa valeur numérique ?

On donne a = 2,3 et = 1,4

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Exercice 6: refroidissement d'une masse d’eau par un réfrigérateur

Une masse d’eau liquide m = 3kg, initialement en équilibre thermiqueavec l’atmosphère à 70°C, est refroidie à pression constante jusqu’à 20°C, aumoyen d’un réfrigérateur fonctionnant d’une façon quasi-statique entre la massed’eau et l’atmosphère. Quel est le travail total fournit par le réfrigérateur au coursde ce refroidissement ?

On donne : pour l’eau Ce = 1 cal/g°K.

Exercice 7: air humide : installation d’air conditionné,

Dans une installation d’air conditionné, l’air humide caractérisé par satempérature t1 = 15,8 °C, par sa pression P = 1 bar et par son humidité relative 1 =0,9 , est d’abord refroidi jusqu’à 10,3 °C pour éliminer une partie de son humidité,ensuite il est chauffé jusqu’à ce que son enthalpie h ( sans tenir compte de laquantité de l’eau liquide éliminée ) soit égale à 42866,71313 J/kg A.S pour êtreenvoyé dans une grande salle.

Encadrer obligatoirement les valeurs utilisées dans le tableau

Déterminer le pourcentage de vapeur d’eau éliminé de l’air et calculerl’humidité relative finale ?

On donne : h = 1,01 t + x (2500 + 1,85 t) + 4,18 xL t …

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Exercice 8: Un cylindre immergé dans un calorimètre contenant de l’eau et dela glace

Un cylindre de 1 dm2 de section est fermé par un piston situé à 50 cm du

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fond; le cylindre contient de l’air sous une pression de 75 cm de mercure.

Il est immergé dans un calorimètre contenant de l’eau et 10 g de glace. On enfonce

le piston de 20 cm d’une façon réversible, calculer la masse de glace fondue.

On donne : chaleur de fusion de la glace : 335 KJ/kg. L’air est assimilé à un gaz

parfait.

Exercice 9: Évolution de la glace en contact de l'extérieur

1 kg de glace pris à -10 °C est mis en contact avec un milieu extérieur à 25 °C,

Calculer la variation d’entropie :

a- de cette masse d’eau

b- de la source

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c- de l’univers

On donne :

CPg (glace) = 2090 J/kg °K ; CPe ( liquide) = 4180 J/kg °K

Lf (chaleur latente de fusion de la glace à 273 °C ) = 333 KJ/kg