OPTIQUE  II  Section  de  Physique  Professeur  :  R.  Houdré  Exercices  :  R.  Therisod  

Série  4  14  Octobre  2015  

Cohérence  spatiale  et  polarisation      

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Ex  1  :  Illumination  de  Köhler    Historiquement,  il  existe  deux  méthodes  pour  éclairer  un  objet  que  l’on  observe  sous  un  microscope.   La   première,   appelée   «  illumination   critique  »   utilise   une   lentille  condenseur  pour  faire  l’image  de  la  source  de  lumière  dans  le  plan  de  l’objet  étudié.  La  seconde,   dite   «  de   Köhler  »     utilise   une   seconde   lentille   pour   faire   l’image   d’un  diaphragme  intermédiaire,  lui-­‐même  éclairé  par  un  condenseur.      

 

   

a) Laquelle de ces méthodes permet d’obtenir la meilleure uniformité d’éclairage de l’objet?

b) On suppose une source lumineuse dont l’intensité ne dépend pas de l’angle d’émission. Montrer que la lentille condenseur collecte une quantité de lumière qui varie avec l’angle θ formé entre l’axe optique et la position de l’élément de surface unitaire considéré.

c) Que faire pour maximiser l’uniformité dans le cas de l’illumination de Köhler? Quelle conséquence sur la cohérence spatiale de l’illumination ?

 

2  

Ex  2  :  Le  microscope  

                                              Image  Nikon  

a) Identifier  les  principales  parties  du  microscope  :  optique  d’illumination,  objectif,  oculaire.  

b) Identifier  le  diaphragme  contrôlant  l’ouverture  numérique  de  l’illumination  ainsi  que   celui   contrôlant   l’uniformité   de   l’éclairage   (comme   décrit   dans   l’exercice  précédent).  

c) Le  système  représenté  fait  l’image  du  spécimen  sur  un  détecteur  (CCD,  pellicule  photographique,...  ).  Quelle  modification  apporter  si  l’utilisateur  veut  obtenir  une  image  visuelle  de  l’objet  ?  

d) Identifier   la   région   limitant   le   champ   d’observation   du   microscope.   On  souhaiterait  obtenir  une   image  de  champ  plus   large.  Que  doit-­‐on   faire  ?  Quelles  sont   les   conséquences   sur   les   autres   paramètres   de   l’image   (clarté,  résolution,…)  ?  

   Ex    3  :  Cohérence  spatiale  et  granularité  (speckle)    

a) Soient  deux   fentes  éclairées  par  source   lumineuse  située  à   très  grande  distance  (c.f.  figure  ci-­‐dessous).  On  supposera  la  source  unidimensionnelle  avec  une  taille  angulaire   2uq.   La   distance   entre   les   fentes   est   notée  

€

d = x1 − x2 .   En   utilisant   le  

3  

théorème  de  van  Cittert-­‐Zernike,  déterminez,  à  une  constante  près,  la  fonction  de  cohérence  

€

γ s(d)  (degré  complexe  de  cohérence  spatiale).  

 b) En  déduire  une  formule  approchée  de  la  taille  

€

dγ  de  la  surface  illuminée  de  façon  cohérente   (aire   de   cohérence).   Que   devient   cette   formule   pour   une   source  circulaire?  Quelle  est  l’interprétation  physique  de  l’aire  de  cohérence?  

c) Nous   allons   maintenant   étudier   l’effet   de   la   cohérence   spatiale   sur   le   système  imageur,   la   rétine   d’un  œil   par   exemple.   Pour   l’objet   on   considère   une   surface  diffusante  en  transmission  ou  en  réflexion,  telle  que  du  verre  dépoli  par  exemple  (c.f.  figure  ci-­‐dessous).  La  fonction  de  cohérence  au  niveau  du  verre  dépoli  a  une  largeur  𝑑! = 60𝜇𝑚.  On  suppose  que   l’œil  est   limité  par  diffraction,  ce  qui  est   le  cas   pour   une   illumination   par   le   soleil   où   la   pupille   de   l’œil   un   diamètre   de  seulement  Φ=2.5  mm.  Calculer  le  diamètre  de  la  tache  de  diffraction  d’une  source  ponctuelle  sur  la  rétine  sachant  que  la  focale  de  l’œil  est  f=18mm.  

 d) Calculer   la  distance   latérale   résolvable  par   l’œil   dres  au  niveau  de   l’objet   situé  à  

une  distance  z0=250mm,  qui  est  appelée   la  distance  confortable  de  vision.  Nous  appellerons  u0  l’ouverture  d’observation  côté  objet.  

e) Comment   apparaît   l’image   sur   la   rétine   si   nous   ne   pouvons   pas   résoudre   au  niveau  de  l’objet  des  distances  plus  petites  que  dγ ,  i.e.   dres >> dγ  ?  Discuter  les  cas  

z0=250mm  et  z0=2.5m.  f)  Déterminer   le   contraste   des   interférences

€

C = γ s(d) ,   i.e.   le   contraste   de   la  granularité,  encore  appelée  speckle,  quanddγ >> dres .  

g) Nous  admettrons  que  le  contraste  des  interférences  décroît  comme  l’inverse  de  la  racine   carrée   du   nombre   N   de   motifs   d’interférences   moyennés   de   façon  incohérente.  Tracer  

€

C  en  fonction  de  uq/  u0  (Indication:  exprimer  N  en  fonction  de  la  surface  du  spot  de  diffraction  et  de  la  surface  de  cohérence).  Commenter  le  résultat  obtenu.  

h) Quelle   serait   la   conséquence  pour  une  mouche   si   elle   possédait   un  œil   de   type  humain  ?  

   

x

xd  

uq  source  

écran  double  fente    

uq  source  

verre  œil    uu’O  

4  

Ex.  4  :  Interféromètre  de  Hanbury-­‐Brown  et  Twiss  :  Corrélation  d’intensité  

L’interféromètre  de  Hanbury-­‐Brown  et  Twiss  mesure   les   corrélations   temporelles  des  fluctuations  de  l’intensité  d’un  signal  mesurées  à  deux  positions  différentes  r1  et  r2.  On  notera  I1  et  I2   les  intensités  mesurées  en  r1  et  r2,  respectivement,  ainsi  que  V1  et  V2  les  signaux   analytiques   complexes   associés.   On   a  

€

I j(t) =Vj*(t)Vj(t)  et  

€

Vj(t) = 12 Vj

(r )(t) + iVj(i)(t)( )  avec  

€

Vj(r )(t)  et  

€

Vj(i)(t) les  parties  réelles  et  imaginaires  du  signal  

(j=1  ou  2).  

a) Déterminer  

€

I1(t)I2(t + τ)  en  fonction  des  parties  réelles  et  imaginaires  des  deux  signaux  mesurés.  

b) Déterminer  le  degré  complexe  de  cohérence  G12(t)  en  fonction  des  parties  réelles  et  imaginaires  des  deux  signaux  mesurés.  

Indication  :  pour  deux  signaux  analytiques  on  a    

€

V1(t)V2(t + τ) = 0  ;  

€

V1(i)(t)V2

(r )(t) = 0  ;  

€

V1(r )(t)V2

(r )(t + τ) = V1(i)(t)V2

(i)(t + τ)  ;  

€

V1(i)(t)V2

(r )(t + τ) = − V1(r )(t)V2

(i)(t + τ)  

c) Montrer  que   .  Commenter.  

Indication  :  pour  deux  fonctions  aléatoire  de  Gauss  X(t)  et  Y(t)  on  peut  utiliser  la  propriété  

€

X2Y2 = X2 + Y2 + 2 XY 2  et  

€

XY = 0  si  X  et  Y  sont  indépendants.  

d) En   déduire  

€

δI1(t)δI2(t + τ)  avec   les   fluctuations   instantanées   de   l’intensité.  Commenter.  

Indication  :  les  effets  de  cohérence  temporelle  et  de  cohérence  spatiale  peuvent  se  factoriser,  ceci  est  une  propriété  de  la  théorie  de  la  cohérence  appelée  la  propriété  de  réduction  du  degré  de  cohérence.    

 Ex.  5  :  Effets  de  lames  à  retard  

a) Considérons  une  onde  polarisée  linéairement  incidente  sur  une  lame  demi-­‐onde  avec  un  angle  𝜃  par  rapport  à  l’axe  rapide  de  la  lame.  Quel  est  l’effet  de  la  lame  ?  

b) Même   question   pour   une   lame   quart   d’onde.   On   peut   considérer   les   cas  particuliers  𝜃 = 0°,𝜃 = 45°  et  𝜃 = 90°.  

€

I1(t)I2(t + τ) = I1 I2 + G12(τ)2

5  

c) Comment  peut-­‐on  utiliser  ces  éléments  pour  analyser  une  onde  avec  polarisation  elliptique  quelconque  ?  

Indication  :  si  on  part  d’une  polarisation   linéaire,  comment  peut-­‐on  obtenir  une  polarisation   elliptique   avec   le   grand   axe   à   un   angle   voulu  𝜑  par   rapport   au  système  de  coordonnées?  

   

6  

Correction  

Ex  1  :  Illumination  de  Köhler  

1. L’illumination   critique   fait   l’image   de   la   source   lumineuse   (généralement   un  filament   d’ampoule)   dans   le   plan   du   spécimen   (plan   objet   de   l’objectif   de  microscope).   Par   conséquent   les   zones   du   spécimen   étudié   seront   illuminées  de  manière  différente   selon  qu’elles   coïncident  avec  une  zone   intense  ou  une  zone   sombre  de   la   source   lumineuse.  Cette  méthode  à   l’avantage  de   collecter  une   grande   quantité   de   lumière,   mais   au   détriment   de   l’uniformité   de  l’illumination.    

L’illumination   Köhler   fait   l’image   d’un   diaphragme   placé   après   la   lentille  condenseur,   dans   le   plan   du   spécimen.   L’illumination   sur   le   condenseur   est  uniforme  car  toutes   les  parties  de  la  source  S  contribuent  pour  chaque  points  dans  le  plan  du  condenseur.  On  va  donc  positionner  une  seconde  lentille  après  le   condenseur   afin   de   faire   l’image   d’un   diaphragme   que   l’on   va   placer   juste  après   le   condenseur.   De   cette   façon,   l’illumination   de   l’échantillon   n’est   pas  affectée   par   l’inhomogénéité   de   la   source.   L’ajout   du   diaphragme   et   de   la  seconde  lentille  risque  néanmoins  de  réduire  la  quantité  de  lumière  disponible  par  rapport  à  l’illumination  critique.  

2. On   suppose   que   la   source   émet   une   intensité   constante   dans   toutes   les  directions  de   l’espace.   Il   suffit  alors  de  montrer  que   l’angle  solide  sous   lequel  un  point  de  la  source  voit  la  lentille  de  collection  varie  avec  son  éloignement  de  l’axe  optique.  Pour  ceci  on  trace  la  figure  suivante  (ici  en  réduisant  le  problème  à   2   dimensions   de   par   la   symétrie   cylindrique   du   système   autour   de   l’axe  optique):  

 

L’angle  solide  sous  lequel  la  lentille  est  vue  depuis  le  point  M  vaut  

€

w =apOM

2  ou  

€

ap  est  

la  surface  apparente  

€

a  vue  de  M.    

Or,  

€

ap = a OPOP

.OMOM

= a cosθ  et  

€

OM =OPcosθ

=Rcosθ

 

7  

On   trouve   alors   que  

€

w =aRcos3θ ,   loi   bien   connue   des   photographes,   qui   explique  

pourquoi  une  mauvaise  combinaison  de   lentille/diaphragme/dimension  de   film  donne  une  image  claire  près  de  l’axe  optique  et  sombre  sur  les  bords.    

   

Pour   maximiser   l’uniformité   d’un   système   d’illumination   de   Köhler   il   suffit   alors   de  réduire   l’ouverture   du   diaphragme.   Cela   permettra   de   ne   sélectionner   que   la   partie  proche  de  l’axe  optique  qui  est  la  partie  la  plus  homogène.    Mais  la  quantité  de  lumière  transmise   au   plan   du   spécimen   s’en   trouve   alors   réduite.   D’autre   part,     fermer   le  diaphragme  revient  à  diminuer  l’ouverture  effective  de  collection  (les  rayons  formant  un  grand  angle  avec  l’axe  optique  et  traversant  la  lentille  sont  rejetés).  Or,  comme  il  a  été  vu  dans   le  cours,  cela  revient  à  augmenter   la  cohérence  spatiale  de   la  source  du  fait  de   la  

dépendance   du   degré   complexe   de   cohérence   spatiale   en  

€

aλR

.   L'augmentation   de   la  

cohérence   spatiale   de   l'illumination  permet   d'augmenter   la   résolution,  mais   ce   fait   au  prix   de   de   l’apparition  de   tavelures   (speckles)   qui   dégradent   fortement   la   lisibilité   de  l’image.    

 

 

 

 

 

Ex  2  :  Le  microscope  

Ces  deux  schémas  représentent  les  chemins  d’imagerie  (en  jaune)  et  d’illumination  (en  rouge)  pour  un  microscope  utilisant  une  illumination  de  Köhler.  

8  

 

a) Il est possible d’identifier les 3 éléments : a. L’optique d’illumination se trouve sous l’échantillon et comprend le

condenseur, le diaphragme de champ (field diaphragm), le diaphragme d’ouverture (aperture diaphragm) plus une lentille de collection (non visible) qui fait l’image de la source (non visible) dans le plan du diaphragme d’ouverture.

b. L’objectif se trouve juste au dessus du spécimen observé. Il créé une image agrandie du spécimen

c. L’oculaire se place normalement entre l’œil et l’objectif. Le but de l’oculaire est de transformer l’image créée par l’objectif en image observable à l’œil en la projetant à l’infini.

Dans ce schéma, une lentille à été rajouté au dessus de l’oculaire afin de faire l’image en sortie du microscope sur une CCD.

b) Le diaphragme contrôlant l’ouverture numérique de l’illumination est l’"Aperture diaphragm" En effet, le fait de fermer l'"Aperture diaphragm" va couper les rayons de l'illumination faisant un grand angle avec l'axe optique. L'ouverture numérique va donc être réduite. Afin d'optimiser l'illumination, il faut que l'ouverture numérique de l'illumination soit identique ou supérieure à l'ouverture numérique de l'objectif.

c) Il faut retirer la lentille après l'oculaire. d) Pour obtenir une image de champ plus large, une des possibilités est de remplacer

l’objectif par un autre objectif de grandissement plus petit. Il est fort probable que le nouvel objectif ait une ouverture numérique plus petite et donc une limite de résolution plus faible.

9  

Une autre possibilité est de remplacer l’oculaire par un autre oculaire de pupille d’entrée plus large. Cette modification n’altérera pas la limite de résolution du système et la clarté de l’image sera améliorée. Si finalement on ne souhaite remplacer ni l’objectif ni l’oculaire, on peut imaginer d’insérer une lentille de champ entre l’objectif et l’oculaire. Cette option aurait les mêmes conséquences qu’un changement d’oculaire.

 

Ex  3  :  Cohérence  spatiale  et  granularité  (speckle)  

a) Le   théorème   de   Van   Cittert-­‐Zernike   dit   que   le   degré   complexe   de   cohérence  spatiale   d'une   source   incohérente   est   la   transformée   de   Fourier   du   profile  d'intensité   de   la   source.   Dans   notre   cas,   la   source   est   unidimensionnelle.   Elle  possède  un  profile  d'intensité  rectangulaire  de  dimension  ∆𝑠.  Le  degré  complexe  de  cohérence  est  donc  un  sinus  cardinal:    

𝛾(𝑢) =sin  (𝜋𝑢∆𝑠)𝜋𝑢∆𝑠  

De  plus,  on  peut  noter  la  fréquence  spatiale:  𝑢 =   (!!!!!)!!!

=   !!!!  ou  𝐷!  est  la  

distance  entre  la  source  et  le  plan  contenant  les  fentes.  On  peut  alors  noter  :

γ (d) = sinc(dθSλ)  avec  θS  le  diamètre  angulaire  de  la  source,  qui  est  ici  2uq.  

b) La   largeur   de   la   fonction   de   cohérence,   qui   définit   la   taille   de   la   surface  d’illumination  cohérente,  peut  être,  à  partir  de  la  formule  précédente.  Il  s'agit  du  

premier   zéro   du   sinus   cardinal:   dγ =λ2uq

.   Pour   une   source   circulaire   il   faudrait    

tenir   compte  du   facteur  additionnel  1.22   car   la   fonction   sinc  est   remplacée  par  une   fonction   de   Bessel   du   premier   ordre.   Si   deux   points   de   l’objet   sont   plus  proches  que  

€

dγ ,   ils   seront   illuminés  avec  un   fort  degré  de  cohérence.   Il   s’ensuit  que   les   ondes   lumineuses   diffusées   à   partir   de   tels   points   situés   dans   l’aire   de  cohérence  peuvent  produire  un  motif  d’interférence  dans   le  champ   lointain.  On  négligera  le  facteur  1.22  par  la  suite.  

c) La   largeur   de   la   tache   de   diffraction   d’une   source   ponctuelle   crée   par   l’œil   est  

approximée  par   ddiffr=2.44λ fφ

.  On  obtient  alors   ddiffr

' = 9µm    

d)  

 

10  

Le  diamètre  de  la  tache  de  résolution  se  calcule  de  la  façon  suivante: z0f=dresddiffr

 

Ainsi,   dres =125µm .  

e) Quand  dres >> dγ  les  images  des  points  de  l’objet  répartis  sur  la  surface  du  spot  de  diffraction  sont  plus  ou  moins  moyennées  de   façon   incohérente  au  niveau  de   la  rétine   comme   l’illustre   le   dessin   ci-­‐dessous.   Les   différentes   zones   délimitées  (artificiellement)  par  

€

dγ  ne  produise  pas  d’interférence  par  définition.  

 Par   conséquent   l’observateur   distinguera   peu   de   contraste   d’interférence,  encore   appelé   granularités   ou   speckles.   La   question   précédente  montre   que   le  moyennage   incohérent   commence  pour  des  distances  plus   grandes  que   z0=250  mm.  Pour  z0=2.5  m  la  distance  qui  peut  être  résolue  au  niveau  de  l’objet  est  1.2  mm,  ce  qui  est  10  fois  plus  grande  que  le  diamètre  de  l’aire  de  cohérence.  

f) Quand  dγ >> dres ,  on  a  

€

C = γ s(d) =1  

g) N  est   égal   au   rapport   de   l’aire  Adiff=(dres)2   du   spot   de  diffraction   et   de   l’aire  de  cohérence  AΓ=(dγ)2.  On  a  donc    

€

C =1   pour  uq<u0  

€

C =1/ N = u0 /uq    pour  uq≥u0  

 

h) Avec   une   grande   ouverture   numérique   d’observation   et   à   courte   distance,   le  monde  est  plein  de  bruit  de  type  speckle.  D’où  l’œil  à  facettes  de  la  mouche.  

Important:   La   cause   principale   de   bruit   dans   les   mesures   d’imagerie   optique   est   la  cohérence   spatiale.   La   cohérence   temporelle   ne   joue   généralement   pas   de   rôle  significatif.  

 

 

Ex.  4  :  Interféromètre  de  Hanbury-­‐Brown  et  Twiss  :  Corrélation  d’intensité  

a) En    développant  on  trouve  

Tache  de  diffraction  

dγ  dres  

uq/u0  u0>   u0<  1  

C  

1   régime  de  cohérence  partielle  

régime  cohérent  

C=u0/uq  

11  

 

€

I1(t)I2(t + τ) = 116 V1

(r )2(t)V2(r )2(t + τ) + V1

(i)2(t)V2(r )2(t + τ){

+ V1(r )2(t)V2

(i)2(t + τ) + V1(i)2(t)V2

(i)2(t + τ) }  

b) De  même  en  développant  et  en  utilisant  les  relations  donnée  dans  l’indication  on  trouve  :  

€

G12(τ) = V1*(t)V2(t + τ)  

€

G12(τ) = 12 V1

(r )(t)V2(r )(t + τ) − 1

2 i V1(i)(t)V2

(r )(t + τ)  

c) En  utilisant  l’indication  on  trouve  :  

€

V1(r )2(t)V2

(r )2(t + τ) = V1(r )2(t) V2

(r )2(t + τ) + 2 V1(r )(t)V2

(r )(t + τ)2  

en  utilisant  

€

Vj(r )2(t) = Vj

(i)2(t) = 2 Vj(t)2

= 2 Ij  on  obtient  :  

€

V1(r )2(t)V2

(r )2(t + τ) = 4 I1 I2 + 2 V1(r )(t)V2

(r )(t + τ)2  

€

V1(r )2(t)V2

(r )2(t + τ) = 4 I1 I2 + 8 Re G12(τ){ }( )2  

de  même  

€

V1(i)2(t)V2

(r )2(t + τ) = 4 I1 I2 + 8 Im G12(τ){ }( )2  

€

V1(r )2(t)V2

(i)2(t + τ) = 4 I1 I2 + 8 Im G12(τ){ }( )2  

€

V1(i)2(t)V2

(i)2(t + τ) = 4 I1 I2 + 8 Re G12(τ){ }( )2  

On  en  déduit  :  

 

Cette  expression  peut  se  réécrire  de  la  façon  suivante  :  

€

γ12(2)(τ) =

I1(t)I2(t + τ)I1(t) I2(t)

=1+ γ12(τ)2  

avec  

€

γ12(2)(τ)  le   degré   de   cohérence   du   second   ordre.   Pour   τ>>τc   (temps   de  

cohérence  de   la  source),  on  obtient  

€

γ12(2) →1  car  

€

γ12 → 0  et  en  outre   il  est  évident  que  

€

γ12(2)(0) = 2 .  Pour  des  sources  classiques  et  y  compris  pour  un  laser  idéal  on  a  

€

1≤ γ12(2)(τ) ≤ 2 .   Par   contre   pour   des   états   non   classiques   de   la   lumière   on   a  

€

0 ≤ γ12(2)(τ) ≤ +∞.  

d) En  utilisant  

€

δI j(t) = I j(t) − I j ,  on  en  déduit  :  

€

I1(t)I2(t + τ) = I1 I2 + G12(τ)2

12  

€

I1(t)I2(t + τ) = I1 + δI1(t)[ ] I2 + δI2(t + τ)[ ]  

€

I1(t)I2(t + τ) = I1 I2 + δI1(t)δI2(t + τ)  

par  conséquent  en  utilisant  la  question  précédente  :  

€

δI1(t)δI2(t + τ) = G12(τ)2  

ou  encore  

€

δI1(t)δI2(t + τ) = I1 I2 γ12(τ)2  

Le   degré   complexe   de   cohérence  mutuelle   du   premier   ordre   peut   se   réécrire  :  

€

γ12(τ) = γ(τ)γ12(τ = 0,r = r1 − r2 )  avec   γ(τ)   le   degré   de   cohérence   temporel   du  premier   ordre   et  

€

γ12(τ = 0,r = r1 − r2 )  le   degré   de   cohérence   spatiale.   En   faisant  varier   r,   i.e.   la   distance   entre   les   deux   détecteurs,   on   peut   donc   déterminer   le  diamètre   angulaire   d’un   objet   tel   qu’une   étoile   (cf.   interféromètre   stellaire   de  Michelson).  

Les  fluctuations  de  l’intensité  de  la  lumière  incidente  ont  une  bande  de  fréquence  de  l’ordre  de  1/τc,  à  savoir  100MHz.  Il  est  donc  beaucoup  plus  facile  de  suivre  ces  fluctuations  que  d’essayer  de  suivre  les  variations  instantanées  de  l’intensité  qui  oscille  à  1015Hz.    

 Ex.  5  :  Effets  de  lames  à  retard  

a) On   peut   décomposer   le   champ   en   ses   composantes   polarisées   selon   les   axes  rapide   et   lent,   comme   cela   est   illustré.   En   sortie   de   lame,   prenons   un   vecteur  champ   dont   la   composante   rapide   passe   par   son   maximum.   Puisque   la  composante   lente   est   retardée   d’une   demi-­‐onde,   elle   se   trouve   à   180°   de   son  maximum,   c’est-­‐à-­‐dire   au   maximum   du   côté   négatif   de   l’axe   lent.   Dans   sa  propagation,   la   composante   lente   reste   en   exacte   opposition   de   phase   par  rapport   à   ce   qu’elle   était   avant   la   traversée   de   la   lame.   Les   deux   composantes  constituent   à   présent   une   onde   polarisée   linéairement,   mais   dont   le   plan   de  polarisation  fait  un  angle  θ  de  l’autre  côté  de  l’axe  rapide.  Le  plan  de  polarisation  a  donc  subi  une  rotation  d’angle  2θ.  Pour  cette  raison  les  lames  demi-­‐onde  sont  parfois  appelées  rotateurs  de  polarisation.  

Image  Newport  

b) Pour  𝜃 = 0°  𝑒𝑡  𝜃 = 90°  rien   ne   se   passe  :   l’onde   en   sortie   de   lame   a   la   même  polarisation  qu’en  entrée.    

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Pour  𝜃 = 45°  considérons   à   nouveau   un   vecteur   champ   dont   la   composante  rapide  passe  par  son  maximum.  Sa  composante   lente  passe  par  zéro  puisqu’elle  est  retardée  d’un  quart  d’onde,  ou  de  90°  de  phase.  Un  huitième  d’onde  plus  loin,  les  deux  composantes  ont  la  même  longueur,  mais  la  rapide  diminue  alors  que  la  lente  augmente.  Un  autre  huitième  d’onde  plus  loin,  la  composante  lente  est  à  son  maximum   et   la   rapide   est   à   zéro.   Le   vecteur   champ   qui   résulte   de   ces  composantes  décrit  une  hélice  dont  le  pas  est  exactement  une  longueur  d’onde.  Il  s’agit  donc  d’une  onde  polarisée  circulairement.  

Image  Newport  

Pour  𝜃 =  𝛼  quelconque  on  a  une  ellipse.    

c) À  partir  d’une  polarisation  linéaire,  avec  une  lame  quart-­‐onde  on  peut  créer  une  polarisation   elliptique   avec   l’excentricité   voulue.   Avec   une   lame   demi-­‐onde   on  peut   alors   appliquer   une   rotation   du   plan   de   polarisation   et   obtenir   enfin   la  polarisation   voulue.   Le   tout   est   valable   à   l’inverse  :   on   peut   donc   analyser   une  onde  avec  polarisation  quelconque.