SERIE D’EXERCICES SUR P9: ETUDE DU DIPOLE (R,C)

Année scolaire: 2018-2019 Cellules de Sciences Physiques

Classe TS2

document 1

SERIE D’EXERCICES SUR P9: ETUDE DU DIPOLE (R,C) EXERCICE 1: Pour étudier la réponse d’un dipôle (R, C) à un échelon de tension, on met à la disposition des élèves, sur chaque poste de travail: ►Un condensateur de capacité C = 50µF,

►Un résistor de résistance R inconnue,

►Un générateur délivrant une tension constante E,

►Un oscilloscope à mémoire,

►Un interrupteur et des fils de connexion. 1/ Reproduire le schéma de la figure 1 et y représenter la masse et les deux voies et de l’oscilloscope à fin de visualiser sur la voie yA la tension uG délivrée par le générateur et sur la voie yB la tension uC aux bornes du condensateur. 2/ On ferme l’interrupteur K, on obtient sur l’écran de l’oscilloscope à mémoire les chronogrammes du document 1 a/ Etablir l’équation différentielle que vérifie la tension uC aux bornes du condensateur.

b/ Montrer que uC(t) = E(1 - 𝐞−𝐭𝛕) est la solution de cette équation différentielle où τ est la constante de temps du

dipôle.

c/ Déterminé graphiquement les valeurs de E et τ. En déduire la valeur de R.

3/ On note θ la durée au bout de laquelle le condensateur sera chargé à 99%.

a/ Evaluer la durée θ. 4/

a/ Exprimer la tension aux bornes du résistor en fonction de t, τ et E. b/ En déduire l’expression de l’intensité du courant de charge i(t). c/ Tracer l’allure du chronogramme de i(t) tout en y précisant les valeurs que prend l’intensité respectivement à la fermeture de l’interrupteur K et lorsque le condensateur sera complètement chargé. d/ En déduire le rôle que joue le condensateur dans le circuit de la figure 1 en régime permanent.

EXERCICE 2: On réalise le circuit électrique comportant en série, un condensateur de capacité C inconnue, un conducteur ohmique

de résistance R = 1 K, un générateur idéal de tension de f.e.m E et un interrupteur K (figure 1).

Le condensateur étant initialement déchargé. A l’instant de date t = 0, on ferme l’interrupteur K. 1/ a/ Etablir l’équation différentielle régissant les variations de la charge en fonction du temps.

b/ Sachant que la solution de cette équation différentielle est de la forme: q(t) = A(1 - 𝒆−𝜶𝒕), compte tenu de la condition initiale relative à la charge du condensateur.

En vérifiant que cette expression est solution de l’équation différentielle, identifier A et α en fonction de: E, R et C. En déduire l’expression de uC(t). c/ Trouver alors l’expression de uR(t). 2/ Un oscilloscope a mémoire, convenablement branché a donné les courbes (1) et (2) de la figure 2. a/ Identifier les courbes (1) et (2). b/ Compléter le schéma de la figure 1, en ajoutant les connexions à réaliser avec l’oscilloscope. 3/

-

K

R

C E

Figure 1

+

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Figure 2

a/ Déterminer à partir des graphes de la figure 2:

►la f e m du générateur.

►la constante du temps τ du dipôle RC b/ Déduire la capacité C du condensateur. 4/

a/ Exprimer en fonction de τ la date t pour laquelle les tensions uR et uc sont égales.

b/ Déterminer à cette date t, l’énergie emmagasinée dans le condensateur et la comparer à celle emmagasiné en régime permanent. Conclure.

EXERCICE 3: On dispose au laboratoire d’un dipôle RC. Pour déterminer expérimentalement la valeur de C et de R on réalise le circuit électrique ci-contre comportant: le dipôle RC ; un interrupteurs K ; un générateur de tension idéale de f.e.m E et un résistor de résistance R0 = 3R. I/ La charge du condensateur par le générateur de tension: Le condensateur étant initialement déchargé. A t=0s, on bascule l’interrupteur K en position 1. Un dispositif d’acquisition de données relié à un ordinateur donne le (document 1) qui représente l’évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours des temps 1/ Montrer que l’équation différentielle vérifiée par la tension uc aux bornes du condensateur pendant la phase de

charge, s’écrit: τ0 duC

dt + uC = E ; avec τ0 = C(R+R0 )

2/ Une solution de cette équation est de la forme: uC (t) = A(1 - 𝒆−𝜶𝒕), compte tenu de la condition initiale relative à la charge du condensateur.

a/ En vérifiant que cette expression est solution de l’équation différentielle, identifier A et α en fonction de: E, R, R0 et C. b/Montrer que le produit C(R+R0) est homogène à un temps. 3/ En utilisant le (document 1) déterminer: a/ La valeur de la f.é.m E du générateur. b/ La valeur de la constante de temps τ0 .Expliquer la méthode. c/ Déterminer le temps de charge tch si on admet que le condensateur est complètement chargé lorsqu’il a acquis 99 % de sa charge maximale. II/ Décharge du condensateur: Le condensateur précèdent est complètement chargé. A une nouvelle origine des temps t = 0s on bascule l’interrupteur K en position 2. Le dispositif d’acquisition donne le (document 2) qui représente l’évolution temporelle du courant circulant dans le circuit. 1/ Faire le schéma du circuit de la décharge du condensateur et représenter les flèches tensions aux bornes du résistor et du condensateur 2/ L’équation différentielle vérifiée par la tension uc aux bornes du condensateur pendant cette phase devient:

RCduC

dt + uC = 0

a/ Montrer que uC(t) = E 𝐞−𝐭𝛕 est bien une solution de cette équation différentielle avec τ = RC constante du temps du

dipôle RC.

b/ Montrer que l’expression de l’intensité du courant électrique s’écrit: i(t) = - ER

𝐞−𝐭𝛕

c/ Déterminer à partir du document 2, l’intensité du courant I0 à l’origine des temps. d/ En déduire la valeur de: R, R0 et C.

+ -

R

C E

Figure 1

K1

K2 R

C

E

R0



EXERCICE 4: On étudie le comportement d’un condensateur de capacité C dans un circuit série (figure 1).Pour cela, on réalise le montage schématisé ci-contre où: ►Go est un générateur de courant idéal,

►K est un interrupteur qui permet de charger le condensateur (K en position 1) ou de le décharger (K en position 2) à travers le conducteur ohmique de résistance

R = 10 k. Un dispositif (non représenté) relève à intervalles de temps réguliers, la tension uAB = uC aux bornes du condensateur. 1/ A la date t = 0, le condensateur étant entièrement déchargé, on place l’interrupteur K en position 1, le

microampèremètre indique alors une valeur constante I0 = 10 μA. On a représenté ci-après (graphe 1) la courbe donnant la tension uC en fonction du temps t. a/ Etablir la relation qui lie uC, C, I0 et t. b/ A l’aide du graphe 1, déterminer la capacité C du condensateur. 2/ Lorsque la tension aux bornes du condensateur égale U0 = 6 V, on bascule K en 2 à l’instant t = 0. a/ Etablir l’équation différentielle relative à la tension uC aux bornes du condensateur à une date t.

b/ Vérifier que uC(t) = U0𝒆−

𝒕

𝑹𝑪 est solution de cette équation différentielle.

Calculer la valeur de uC à t = 5. Quelle remarque peut-on faire ? Donner la signification physique de . c/ A l’aide d’un logiciel, on a tracé la courbe donnant le logarithme népérien de uC en fonction du temps t, soit lnuC = f(t) (graphe 2). Retrouver la valeur de C à partir d’une exploitation de ce graphe. EXERCICE 5: PARTIE A On réalise un circuit électrique, comportant en série, un générateur idéal de courant débitant un courant d’intensité

constante I = 50 μA, un conducteur ohmique R, un interrupteur K, un condensateur de capacité C inconnue et un voltmètre.

Document 1 Document 2

i

-

2

G0

A A

B R

1

+

Figure 1

uC (V)

t(s)

graphe 1

1 2 3 4 5

2

4

6

8

0

ln(uC)

t(ms)

graphe 2

20 40 60 80

1

2

0



A un instant pris comme origine des temps (t=0), on ferme l’interrupteur K et on suit l’évolution de la tension uC aux bornes du condensateur au cours du temps, ce qui a permis de tracer la courbe d’évolution de l’énergie électrique Ec emmagasinée dans le condensateur en fonction du carré du temps.(graphe1) 1/ Représenter le schéma du montage qui permet de suivre l’évolution de la tension uC au cours du temps. 2/ En exploitant le graphe, déterminer la capacité C du condensateur.

3/ Le condensateur utilisé est plan de permittivité électrique absolue ε, l’aire de la surface commune en regard est S =1m2 et l’épaisseur du diélectrique est e = 0,01mm.

Calculer la permittivité relative du condensateur εr = ε ε

. On donne ε0 = 8,85.10-12 S.I

Partie B Le condensateur précédent est utilisé dans le circuit ci-dessous. Le circuit comporte un générateur idéal de tension de fem E = 12V, deux conducteurs ohmiques de résistances

R2 =1 KΩ et R1 inconnue et un interrupteur K (figure 1). 1/ A un instant pris comme origine de temps (t=0), on ferme l’interrupteur K. a/ Etablir l’équation différentielle régissant les variations de la tension uR2 aux bornes du résistor R2

b/ La solution de l’équation différentielle précédemment établie s’écrit sous la forme: uR2(t) = Ae-αt.

Montrer que A = R.E

R R

et =

CR R

c/ Définir la constante de temps . d/ Sur le graphe 2, on donne la courbe d’évolution de la tension R2 au cours du temps. En exploitant le graphe 2

►Déterminer la valeur de la résistance R1

►Déterminer la valeur de la constante de temps puis retrouver la valeur de la capacité C du condensateur.

►Calculer l’énergie emmagasinée dans le condensateur lorsque uR1+ uR2 – uC = 0

►Déterminer, à l’instant t1 = 0,05 s, la charge portée par l’armature B du condensateur.

-

E A B

+

Figure 1

R1

R2

EC (10-2 J)

t2 (s2)

graphe 1

100

1,25

0

t (10-2 s)

uR2 (V)

6

0 10

graphe 2



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