Serie Dipole RC-2012

7/23/2019 Serie Dipole RC-2012

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Exercices chapitre 6 : le dipôle RC

Exercice 1 Utiliser la loi d’additivité des tensions On souhaite réaliser l’étude de la charge d’un condensateur initialementdéchargé à l’aide du montage ci-contre.

Un système d’acquisition permet d’acquérir simultanément la tension uG auxbornes du générateur de tension continue, la tension u BM aux bornes du

conducteur ohmique de résistance R. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K .

1. Représenter sur le schéma les tensions u AB et u BM..

2. La masse du montage étant en M , représenter sur le schéma ci-contre lesconnexions à l’ordinateur permettant de visualiser les tensions uG et u BM ..

3. Comment à l’aide du logiciel peut-on déduire de uG et u BM lesvariations de la tension u AB aux bornes ducondensateur. Justifier.

4. On obtient sur l’écran de l’ordinateur le grapheci-contre.

4.1 Associer à chaque courbe la tension qui luicorrespond. Justifier.

4.2. A la date t = 2,0 s déterminer les valeurs destensions uG , u AB et u BM .. Ces valeurs sont-ellescohérentes avec la loi d’additivité des tensions ?

4.3. En appliquant la loi d’Ohm, justifier le sens ducourant dans le circuit ainsi que le signe des charges accumulées sur armatures du condensateur.

Exercice 2 Repérer la charge et la décharge d’un condensateur : détermination de lacapacité.

On réalise le montage du document ci-contre comportant un dipôle RC. Onétudie les variations de la tension aux bornes du condensateur ainsi que lesvariations de l’intensité du courant dans le circuit lors de la charge, puis lorsde la décharge du condensateur.

Le condensateur est initialement déchargé.

A la date t = 0, l’interrupteur est basculé en position 1. Un dispositif informatisé permet d’acquérir simultanément la tension u AB aux bornes ducondensateur et u BN aux bornes du conducteur ohmique.

Le condensateur étant complètement chargé, on bascule l’interrupteur enposition 2 et le dispositif informatisé acquiert alors à nouveau simultanémentles tensions u AB et u BN . On appellera également t = 0 la date du début de la

décharge du condensateur.

Données : uPN = 6,0 V ; R = 2000 .

1. Indiquer, en justifiant la réponse, laquelle de ces tensions u AB ou u BN représente à un coefficient près :

a. la charge q A de l’armature A du condensateur.

b. l’intensité i du courant.

2. Etablir la relation entre i et u AB à une date t quelconque.

3. Après traitement des acquisitions obtenues à la charge et à la décharge, on obtient les 4 graphes A,B, C et D. représentés ci-après. En vous a idant s i nécessaire, des conditions initiales de charge ou dedécharge, de la loi d’Ohm, de la loi d’additivité des tens ions, de la relation établie en 2 ou de lacontinuité de la tension aux bornes du condensateur, justifier quel est le graphe qui correspond :

a. à la tension u AB aux bornes du condensateur lors de la décharge ;

b. à la tension u AB aux bornes du condensateur lors de la charge ;

c. à l’intensité i du courant dans le circuit lors de la charge ;

d. à l’intensité i du courant dans le circuit lors de la décharge.

A

i(t)



On précisera les unités utilisées sur les axes des ordonnées des graphes, en s’appuyant sur des données ou

sur un calcul.

4. Déterminer la capacité C du condensateur.

Exercice 3 Décharge d’un condensateur dans une rés istance : établissement de l’équationdifférentielle ; dissipation d’énergie.

Un condensateur, chargé depuis un temps très long sous une tension de E =6,0 V est placé dans le circuit ci-contre. A la date t = 0, on fermel’interrupteur ( non représenté sur le schéma ).

Données : R = 2000 : C = 200 F.

1. Quelle est la valeur de la charge initialement emmagasinée parl’armature A du condensateur. Placer sur le schéma, les signes des chargesdéposées sur les armatures.

2. Calculer l’énergie initialement emmagasinée par le condensateur.

3. Etablir une relation entre les tensions uC et u R .

4. Etablir la relation entre i et uC à partir des relations charge-intensité etcharge-tension.

5. Etablir l’équation différentielle vérifiée par uC (t ).

6. On propose comme solution de l’équation différentielle uC (t ) = A exp ( - t / ). Etablir les expressionsde A et en fonction de R, C et E .

7. Calculer la constante de temps du dipôle RC.

8. Etablir l’expression de i en fonction du temps t , de E , de R et de C .

9. Quelle est en mA, la valeur de i(0) ? Interpréter le signe de i(0) ?

10. Quelle sont les limites de uC et de i lorsque t tend vers l’infini.

11. Tracer les allures des courbes représentant uC (t ) et i(t ) pour t variant entre - et + . Quelles sontles particularités des fonctions uC (t ) et i(t ) au passage par la date t = 0s?

12. Déterminer l’énergie dissipée par le condensateur ? Sous quelle forme s’est-elle diss ipée à votre avis ?Comment peut-on expliquer la particularité que présente uC (t ) au passage par la date t = 0 s.



Exercice 4 Décharge d’un condensateur dans un autrecondensateurLe circuit ci-contre comprend en parallèle deux condensateurs1 et 2 initialement déchargés de capacités respectives C 1= 1,0

F et C 2 = 3,0 F et un générateur de tension continuedélivrant à ses bornes une tension uG = 12,0 V.

On charge dans un premier temps le condensateur 1 en plaçant l’interrupteur K en position 1. Puis on place l’interrupteur en position 2. On admet que dans cette opération, il n’y a pas de perte de chargesélectriques.

1. Calculer la charge Q1 portée par le condensateur 1 à la fin de sa charge puis l’énergie E 1 qu’il aemmagasiné.

2. A la fin du processus de décharge un état d’équilibre électrique est atteint. Calculer dans cesconditions :

a. la tension U aux bornes des deux condensateurs.

b. les charges finales Q’ 1 et Q’ 2

portées par les condensateurs 1 et 2.c. l’énergie totale E emmagasinée par le système des deux condensateurs.

3. Comparer E à E 1. Interpréter.

Exercice 5 Etude énergétique de la charge d’un condensateur

On réalise le montage de la figure ci-contre dans le but d’étudier les transferts d’énergie lors de la charge du condensateur d’undipôle RC.

Initialement en position 2 pendant un temps suffisant, lecommutateur est basculé en position 1 à la date t = 0.

Grâce à un système informatisé, on réalise l’acquisition de latension uC aux bornes du condensateur.

Données : R = 2000 ; C = 400 F

1. Un logiciel de traitement de données permet, à partir de latension uC (t ), de tracer i(t ) puis la puissance P(t) électriquetransférée au condensateur.

1.1. Quelle relation existe-t-il entre i(t ) et uC (t ) ?

1.2. Quelle est la relation permettant au logiciel de calculer P(t), àpartir de i(t ) et uC (t ) ?

1.3. L’énergie acquise E e(t ) par le condensateur au cours du temps peut être calculée par la relation :

E e(t ) =t t t P

0 'd )'( . Montrer que E e(t ) = )(

21 2 t C uC .

2. Le document ci-après représente trois courbes sans indicat ions de la grandeur représentée enordonnées.

uG C 1

1 2

C 2

K +

-

1

2

i

temps (s)



2.1. Attribuer à chacune des grandeurs uc(t), i(t ) et P(t), la courbe qui lui correspond et préciser les unitésemployées sur les axes des ordonnées des graphes i(t ) et P(t) sachant que sur le graphe uc(t) la tensionest exprimée en volt. Justifier.

2.2. Indiquer sur le graphique approprié comment on pourrait déterminer graphiquement l’énergieemmagasinée par le condensateur à la date t = 2,0 s.

2.3. Déterminer graphiquement la constante de temps du condensateur et comparer à la valeurthéorique.

3. Le document ci-contre représente l’évolution temporelle de l’énergie E e emmagasinée par lecondensateur

3.1 Sachant que la puissance instantanée P(t) reçue par le condensateur est la dérivée de E e(t), expliquerl’allure du graphe P(t).

3.2. Déterminer graphiquement la valeur de l’énergie emmagasinée par le condensateur lorsque la chargeest terminée.

3.3. Calculer à partir des données l’énergie finale emmagasinée par le condensateur . Comparer les deuxvaleurs obtenues.

Exercice 6 Tension triangulaire aux bornes d’un condensateur

On a réalisé le montage ci-contre et l’on visualise sur l’écran d’unoscilloscope :

la tension uC aux bornes du condensateur de capacité C ( tensiontriangulaire ) sur la voie 2

la tension u R aux bornes du conducteur ohmique de résistance R = 1,0k . sur la voie 1.

On obtient l’oscillogramme ci-après.

1. Indiquer les connexions du montage à l’oscilloscope pour visualiser lestensions uC et u R : on indiquera la masse du montage et l’on indiqueraquelle voie il faudra « inverser » ( changement de u en - u ).

2. Quelle relation existe-t-il entre l’intensité i du courant dans le circuit et la tension u R ?

3. Quel est l’intérêt de visualiser la tension u R ?

4. Quelle est l’expression de l’intensité i du couranten fonction de la tension uC aux bornes ducondensateur ?

5. On s’intéresse à l’intervalle de temps [T 1 ; T 2 ] .

5.1. Comment évolue uC(t ) sur cet intervalle de temps ?

5.2. Calculert

uC

d

d.

5.3. Justifier la forme de l’oscillogramme de u R (t ).

5.4. Calculer la valeur de l’intensité i du courant.

5.5. Calculer la capacité du condensateur.

6. Justifier le changement de signe de i après la date T 2.

Données Sensibilité verticale : voie 1 : 0,5 V/DIV ; voie 2 : 2 V/DIV

Sensibilité horizontale : 1 ms/DIV.

C

R



Exercice 7 Tension en créneaux appliquée à un dipôle RC

Une cellule RC est constituée d’un condensateur de capacité C = 10

nF et d’un conducteur ohmique de résistance R = 2,2 k . Elle estsoumise à une tension créneaux (0, 5V ), de fréquence 1 kHz. ( cf schéma ci-contre ).

On réalise le montage ci-contre. Un oscilloscope permet de visualiserla tension d’entrée ue sur la voie 1 et la tension de sortie uS sur la

voie 2.

A. l’interrupteur K est ouvert.

1. Représenter les connexions à l’oscilloscope pour visualiser lestensions ue et uS .

2. Lorsque la tension ue prend la valeur 5V à la date t = 0 lecondensateur, initialement déchargé, se charge.

2.1. Justifier, en utilisant la loi d’additivité des tension et la loi d’Ohmcomment évolue l’intensité du courant dans le conducteur ohmique pendant l’intervalle de temps [0, T/ 2 ] et préciser la valeur initiale de latension de sortie uS .

2.2. Calculer la constante de temps de la cellule RC et la comparer àla durée T/ 2 de la phase de charge. Conclure.

2.3. Représenter, l’allure du graphe uS (t ) pendant l’intervalle de temps [0,T /2]

3. A la date T /2, la tension ue du générateur passe brutalement à la valeur 0V. Dans l’intervalle de temps[T/ 2 ; T ], le condensateur se décharge.

3.1. Expliquer pourquoi la tension de sortie uS devient négative à la date T /2. Décrire, en justifiant,l’évolution de uS (t) dans l’intervalle de temps [T /2 ; T ].

3.2. Compléter alors sur le schéma de la figure 1.3, le graphe uS (t) dans l’intervalle de temps [T /2 ; T ].

3.3 Représenter l’allure du graphe uS (t ) dan s l’interva lle de temps [0, 4T ].

3.4. Représenter , au dessous du graphe de la question 2.3, le graphe de uC (t) aux bornes condensateur en

convention récepteur dans l’intervalle de temps [0, 4T ].

B. On ferme l’interrupteur K

La diode est supposée idéale ce qui signifie qu’elle se comporte comme un fil sans résistance lorsqu’elleest passante ( la tension à ses bornes est alors nulle ) et comme un interrupteur ouvert lorsqu’elle estbloquée.

4. Comment est modifié l’oscillogramme de la tension de sortie dans l’intervalle [0, 4T ] ? Représenterson allure.

Exercice 8 : stockage d’énergie : le flash électronique

L’énergie libérée en un temps très bref par l’éclair d’un flash est au préalable stockée dans uncondensateur de grande capacité, chargé par quatre piles en série équivalente à un générateur de f .é.m.

U = 6V. Elles peuvent fournir une énergie totale e = 18 kJ lorsqu’elles sont neuves.

On admettra que pour un fonctionnement optimal, la moitié de cette énergie est transférable aucondensateur. Au-delà, les piles doivent être changées.

Le mode d’emploi du flash Minolta 5400 HS indique, pour une alimentation par quatre piles alcalines detype AA :

Autonomie

( en nombre d’éclairs )

100 à 3500

Temps de recharge après un éclair

( en secondes )

0,2 à 11

L’autonomie indique le nombre d’éclairs possibles avant de changer de piles. La durée de l’éclair peut être limitée par un circuit électronique, ce qui explique les fourchettes de données.

Les indications en gras correspondent à des éclairs d’intensité lumineuse et de durée maximales, résultant de la décharge du condensateur.



M L

D

AK

R

E

C P

+

– u

1. En utilisant les données du mode d’emploi, calculer la valeur de l’énergie libérée par un éclair d’intensité lumineuse et de durée maximales.

2. En déduire la capacité C du condensateur qui a été chargé sous la tension constante U’ = 300 V quiest une tension amplifiée grâce à un dispositif électronique approprié.

3. En utilisant les données du mode d’emplo i, donner un ordre de grandeur de la constante de temps ducircuit de charge.

4. En déduire l’ordre de grandeur de la résistance à travers laquelle s’est chargé le condensateur.

Exercice 9 : principe de fonctionnement d’une minuterie

L'objet de cet exercice est d'étudier le principe de fonctionnement d'une minuterie permettant d'éteindre une lampeautomatiquement au bout d'une durée t 0 réglable.

Le montage du circuit électrique est constitué :

d'un générateur idéal de tension, de force électromotrice E = 30 V.

d'un interrupteur K .

d'un conducteur ohmique de résistance R.

d'un condensateur de capacité C .

d'un bouton poussoir P qui joue le rôle d'un interrupteur: il est fermé seulement quand on appuie dessus.

d'un composant électronique M qui permet l'allumage de la lampe L tant que la tension aux bornes ducondensateur est inférieure à une tension limite, caractéristique du composant, notée U

(dans tout

l'exercice on fixera U

à une valeur constante égale à 20 V).

Le composant électronique M possède une alimentation électrique propre (non représentée sur le schéma) qui luifournit l'énergie nécessaire à l'allumage de la lampe.De ce fait, on admettra que le composant électronique M ne perturbe pas le fonctionnement du circuit RC, c'est-à-

dire que la tension aux bornes du condensateur est identique que M soit présent ou non dans le circuit.

I - Étude du circuit RCA l'instant initial (t = 0 s), le condensateur est déchargé. On ferme l'interrupteur K , le bouton poussoir P est relâché(voir schéma ci-dessus).

1. On souhaite visualiser les variations de la tension uC aux bornes du condensateur en fonction du temps à l'aided'un oscilloscope à mémoire. Indiquer les branchements à réaliser (voie 1 et masse) sur le schéma du montage.

2. Montrer que l'équation différentielle donnant les variations de la tension uC (t) aux bornes du condensateur enfonction du temps est de la forme :

uc(t) + RCdt

t duc )(= E

3.a. En vérifiant que la fonction du temps uc(t) = A (1 - e-t/

) est solution de l'équation différentielle précédentemontrer que A = E et que = R.C .

3.b. Quelle est la valeur de uC en régime permanent ?

3.c. Quel est le nom donné à la constante ? A l'a ide d'une analyse dimensionnelle, donner l'unité de la constante

.



4. La représentation graphique de la fonction uC (t) est donnée sur la figure ci-contre.

Faire apparaître sur ce graphe sans aucune justification :

- la tension E,

- la constante ,

- les régimes permanent et transitoire.

5. Calculer la valeur de la constante pour R =100 k et C = 200 µF.

6.a. Donner l'expression littérale de la date t 0 àlaquelle la tension aux bornes du condensateur

atteint la valeur limite U

en fonction de U

, E et . (t 0 est la durée d'allumage de la lampe).

6.b. Calculer la valeur de t 0 et vérifier la validité du résultat à l'aide du graphe uC (t) ci-avant.

6.c. On a fixé U

à 20 V pour obtenir une durée d'allumage t 0 voisine de . Pour quelle raison choisir t 0 très

supérieur à , n'aurait pas été judicieux pour un tel montage ?

7. Quel(s) paramètre(s) du montage peut-on modifier sans changer le générateur afin d'augmenter la duréed'allumage de la lampe ?En fixant C = 200 µF quelle valeur doit-on donner à la résistance R pour obtenir une

constante de temps d'une minute ?

8. On appuie sur le bouton-poussoir. Que vaut la tension aux bornes du condensateur ? La comparer à U. Que

se passe-t-il pour la lampe dans les cas suivants :

8.a. la lampe est déjà allumée ?

8.b. la lampe est éteinte ?

II - Méthode d'EulerOn se propose maintenant de résoudre numériquement l'équation différentielle établie à la question I-2, R et C

conservant les valeurs R = 100 k et C = 200 µF .

1. A partir de cette équation différentielle, donner la relation entre la dérivéet (t)cu

dd et la tension uC (t).

La méthode d'Euler permet de calculer successivement les valeurs de uC (t) et det

(t)cu

d

dà des intervalles de temps

réguliers notés t appelé le pas . En prenant un pas suffisamment petit on peut écrire la relation :

uC (t + t) = uC (t) +t

(t)cu

d

d. t

Pour cette étude, on prend un pas égal à t = 2 s.

2. Justifier la relation précédente en considérant que pour le pas choisi, on peut assimiler la dérivée de

uC (t) au point d’abscisse t , au taux de variation de la fonction uC (t) entre les dates t et t + t.

3. En utilisant l'expression littérale ci-dessus, compléter, dans le tableau ci-après, les colonnes correspondant auxdates t = 2 s et t = 4 s.

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 … 20

uC (t) 0 8,14 10,3 12,3 14,1 … 19,6

t

(t)cu

d

d 1,50 1,09 0,99 0,89 0,80 … 0,52



4. Le document ci-après représente un agrandissement de la courbe uC (t) de la courbe expérimentale uC (t).Tracer sur ce graphe la partie du graphe uC (t) correspondant à ce tableau. Que constatez-vous ?

5. On peut améliorer la précision de la méthode d'Euler en modifiant la valeur du pas t. Quelle modification

pourrait-on apporter à la valeur du pas t ? Quel serait l'inconvénient de cette modification ?

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