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CEA-R-4776
I COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE F M C O 3u<*o
I
<
F.50
ELABORATION DES SEQUENCES DE TESTS ET ETABLISSEMENT DE DIAGNOSTICS
POUR LA DETECTION DE PANNES DANS LES CIRCUITS COMBINATOIRES
ET SEQUENTIELS ASYNCHRONES
par
Armand CHICHEPORTICHE
SERVICES D'ELECTRONIQUE DE SACLAY
Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay
Rapport CEA-R-4776
1976 La"
SERVICE DE DOCUMENTATION C.E.N • SACLAY B.P. n* 2, 91 190 • GIF-sur YVETTE - France
PLAN DE CLASSIFICATION DES RAPPORTS ET BIBLIOGRAPHIES CEA
(Classification du système international de documentation nucléaire SIDON/INIS)
A 11 Physique théorique A 12 Physique atomique et moléculaire A 13 Physique de l'état condensé A 14 Physique des plasmas et réactions thermonucléaires A 15 Astrophysique, cosmologie et rayonnements cosmiques A 16 Conversion directe d'énergie A 17 Physique des basses températures A 20 Physique des hautes énergies A 30 Physique neuIronique et physique nucléaire
B 11 Analyse chimique et isotopique B 12 Chimie minérale, chimie organique et physico-chimie B 13 Radiochimie et chimie nucléaire B 14 Chimie sous rayonnement B 15 Corrosion B 16 Traitement du combustible B 21 Métaux et alliages (production et fabrication) B 22 Métaux et alliages (structure et propriétés physiques) B 23 Céramiques et cermets B 24 Matières plastiques et autres matériaux B 25 Effets des rayonnements sur les propriétés physiques
des matériaux B 30 Sciences de la terre
C 10 Action de rirradiation externe en biologie C 20 Action des radioisotopes et leur cinétique
C 30 Utilisation des traceurs dans les sciences de la vie C 40 Sciences de la vie : autres études C 50 Radioprotection et environnement
Isotopes et sources de rayonnements Application ies isotopes et des rayonnements
Thermodynamique et mécanique des fluides Cryogénie Installations pil ies et laboratoires Explosions nucléaires Installations pour manipulation de matériaux radioactifs Accélérateurs Essais des matériau. Réacteurs nucléaire^(en général) Réacteurs nucléaire^ -types) Instrumentation Effluents et déchets tadioactifs
Economie Législation nucléaire Documentation nucléaire Sauvegarde et contrôle Méthodes mathématiques et codes de calcul Divers
D 10 D 20
E 11 E 12 E 13 E 14
E 15
E 16 E 17 E 20 E 30
E 40 E 50
F 10 F 20 F 30 F 40 F 50 F 60
Rapport CEA-R-4776
Cote-matière de ce rapport : F.50
DESCRIPTION-MATIERE (mots clefs extraits du thesaurus SIDON/INISI
en français en anglais
ANALYSE DE DEFAILLANCE DES SYSTEMES
ESSAIS DE FONCTIONNEMENT
CIRCUITS LOGIQUES
CIRCUITS FLIP-FLOP
CIRCUITS SEQUENTIELS
SYSTEM FAILURE ANALYSIS
PERFORMANCE TESTING
LOGIC CIRCUITS
FLIP-FLOP CIRCUITS
SEQUENTIAL SYSTEMS
ORSAY N° d'ordre
192 T H E S E
A L'UNIVERSITE DE PARIS-SUD
CENTRE D'ORSAY
POUR OBTENIR
LE TITRE DE DOCTEUR D'UNIVERSITE
Spécialité : ELECTRONIQUE (Automatisme)
par
Armand CHICHEPORTICHE
ELABORATION DES SEQUENCES DE TESTS ET ETABLISSEMENT DE DIAGNOSTICS POUR LA DETECTION
DES PANNES DANS LES CIRCUITS COMBINATOIRES ET SEQUENTIELS ASYNCHRONES
Soutenue le 2 juin 1976, devant la Commission d'Examen
MM. DONADIEU Président
DEBRAINE
POTTIER Examinateurs
VALLEE
GOUPIL
- Rapport CEA-R-4776 -
Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay Services d'Electronique de Saclay
ELABORATION DES SEQUENCES DE TESTS ET ETABLISSEMENT DE DIAGNOSTICS POUR LA DETECTION
DES PANNES DANS LES CIRCUITS COMBINATOIRES ET SEQUENTIELS ASYNCHRONES
par
Armand CHICHEPORTICHE
- O c t o b r e 1 9 7 6 -
Je prie Monsieur le Professeur DTNAHIEU, Tirecteur
de l'Institut Universitaire de Technologie d'0 o.SAY, de trouver
ici l'expression de ma respectueuse gratitude pour avoir bien
voulu présider le jury chargé de juger ce travail.
Je tiens à exprimer ma profonde reconnaissance à
Monsieur le Professeur P. QEBRAINE, Professeur à l'Université
d'ORSAY, de m'avoir accordé sa confiance en acceptant de
patronner cette thèse.
Je remercie vivement Monsieur WEILL, Chef des Services
d'Electronique de SACLAY, de m'avoir permis de rédiger ce
mémoire.
Monsieur VALLEE qui a été 1'animateur de l'équioe
d'analyse binaire, a su, a tout moment, me prodinuer ses
conseils et ses encouragements, (lu'il trnuve ici l'expression
de ma profonde reconnaissance.
Je remercie Monsieur PITTIE 1?, Adjoint Scientifique
au Chef des S.E.S, de bien vouloir accepte»- à ce titre de faire
partie du jury.
Je remercie aussi, Monsieur FABRE, Chef de 1 =i Section
d'Electronique Générale, de m'avoir confié la responsabilité du
contrat de collaboration avec la Société d'Electroniaue
Industrielle et Nucléaire, au cours duquel j'ai ou appliquer et
mettre au point les méthodes d'analvse qui font l'objet de cette
thèse.
Je remercie Monsieur fiOUPIL, lirecteur Technique de la
SEIN, de bien vouloir acceoter, en cette qualité, de faire
partie du jury.
Que Monsieur P. VERGEZ, avec lequel j'ai eu de nombreuses
et frjctJOJsas discussions, suit remercie cnaleureusemenc.
Il m'est agréable de remercier le Secrétariat et tous
ceux qui m'ont aidé dans cette tâche.
CEA-R-4776 - CHICHEPORTICHE Armand
ELABORATION DE SEQUENCES DE TESTS ET ETABLISSEMENT DE DIAGNOSTICS POUR LA DETECTION DES PANNES DE CIRCUITS COMBINATOIRES ET SEQUENTIELS ASYNCHRONES.
Sommaire.- L'avènement de la microélectronique pose, aux industriels, du sérieux problèmes concernant la mise au point et le dépannage des systèmes numériques. Les méthodes traditionnelles d'essais sont devenues tellement laborieuses et coûteuses qu'il a fallu rechercher des procédures plus élaborées dans le domaine du contrôle automatique. La méthode développée dans ce raëaoire, repose sur l'analyse structurale des circuits de l'électronique numérique. Elle fait appel aux propriétés mathéditiques de la "Structure Logique". Elle se propose d'élaborer de manière systeaatique, les sequences de tests des circuits combina-toires et séquentiels asynchrones. De plus, elle pernet de déterminer les diagnostics pour la détection des pannes.
1 9 ' « 166 p.
Conmissariat 3 l'Energie Atomique - France
CEA-R-4 776 - CHICHEPORTICHE Armand
THE DEVELOPMENT OF TEST SEQUENCES AND ESTABLISHMENT OF DIAGNOSES FOR THE DETECTION OF FAULTS IN ASYNCHRONOUS COMBINATORIAL \NU SEQUENTIAL CIRCUITS.
Summary.- The advent of microelectrcnics raises serious problems for industry concerning the development and servicing a. digital systems. Conventional test methods have become so laborious and costly r.s to give rise to the need for more highly sophisticated procedures in the area of automatic control. The method developed in this paper is based on the structural analysis of digital electronics circuits. It makes use of the mathematical properties of the "logical structure". It aims at the systematic elaboration of test sequences for asynchronous combinatorial and sequential circuits. Moreover, it enables the determination of diagnosis for fault detection.
is™ 166 p.
Commissariat â l'Energie Atomique - France
I N T R O D U C T I O N
Avec l'avènement des transistors, puis des circuits
intégrés, la technologie des systèmes numériques n'a cessé
d'évoluer dans le sens de la complexité. Les méthodes d'in
tégration (MSI, LSI) permettent d'obtenir une densité d'élé
ments logiques qui s'est accrue dans de grandes proportions
ces dix dernières années. Une carte imprimée, de format
21 x 11, peut contenir plus de cent boîtiers intégrés, ce
qui correspond en moyenne à 400 ou 500 opérateurs élémentai
res. Le dépannage de ces ensembles numériques complexes par
les méthodes traditionnelles est devenu tellement laborieux
qu'il a fallu rechercher des procédures de contrôle plus
élaborées. En effet, un technicien peut passer plusieurs
jours pour détecter une défaillance sur une carte de ce
type.
Le coût du dépannage est donc, en première approxi
mation, directement lié à la rapidité d'établissement du
diagnostic. Les tests automatiques, à l'aide d'un calcula
teur spéciilisé, permettent de réduire ce temps de mise en
état de marche dans un rapport supérieur à 100.
C'est pour cette raison que de nombreux travaux
concernant la détection automatique de défauts dans les
systèmes numériques ont été publiés depuis quelques années.
Par ailleurs, il existe sur le marché des appareils
de test dont le principe repose sur des conceptions très
différentes. En effet, trois grands courants d'idées s'op
posent actuellement, à savoir : la méthode de comparaison,
la méthode dite de la table de vérité et une procédure de
contrôle par simulation.
- 2 -
a) Méthode de comparaison :
Cette méthode consiste à mettre en parallèle les en
trées de deux cartes et à comparer les signaux de sortie.
L'une des deux cartes est bonne et sert de témoin, tandis
que l'autre est à contrôler.
Développée par "FLUKE TRENDAR" cette procédure per
met de détecter une panne à partir des sorties délivrant
des signaux non conformes sur deux broches homologues.
On localise l'élément défectueux en progressant de
proche en proche vers l'entrée. Cette auscultation est
effectuée au moyen d'une sonde qui permet ainsi de contrô
ler des fonctions identiques sur les deux cartes, le long
d'un chemin connu.
La méthode implique de disposer d'une carte en bon
état de fonctionnement et de signaux spécifiques. Cette
dernière condition est remplie par des générateurs déli
vrant des signaux en code Gray, des signaux pseudo-aléa
toires et huit horloges déphasables et programmables.
b ) Méthode dite de la table de vérité :
GENERAL RADIO utilise cette méthode basée sur le
développement de la 'itable de vérité dès fonctions logiques.
Tous les cas de figure sont ainsi supposés être ana
lysés de manière exnaustive. Tous les circuits contenus
dans la carte ainsi que leurs interconnexions doivent
être déclarés. Une bibliothèque contenant la table de véri
té des circuits utilisés est sollicitée par logiciel pour
engendrer les signaux utiles. Connaissant les niveaux
logiques que l'on doit obtenir en sortie, il est possible
en principe, à l'aide d'un sous-programme ce localiser le
sous-ensemble défaillant.
Cette procédure exige un logiciel assez lnurd et un
appareillage important et par conséquent onéreux.
c) Méthode de simulation :
C'est la procédure appliquée par la Société MEMBRAIN
Elle consiste à simuler le fonctionnement du système à
l'aide d'un programme.
La recherche et la localisation des éléments défec
tueux sont effectuées au moyen d'une sonde guidée par
un dictionnaire des causes possibles de pannes.
La préparation des programmes de simulation et du
dictionnaire de pannes peut être effectuée sur mini
calculateur chez l'utilisateur, en "service bureau" par
MEMBRAIN ou en "temps partagé". La méthode implique né
cessairement que les programmes de test soient élaborés
pendant la conception du système. Elle fait également
appel â un logiciel très lourd.
La présente étude relève d'une philosophie diffé
rente et se propose d'effectuer la recherche systémati
que de tests significatifs et d'établir un diagnostic
pour chaque panne possible.
La méthode développée dans le travail qui est pré
senté s'applique aux circuits comminatoires et séquen
tiels et s'appuie sur des exemples pratiques qui ont été
traités dans le cadre d'un contrat de collaboration avec
l'industrie privée. Une étude analytique originale de
la bascule TTL SN54SI 12 est donnée à la fin de ce texte.
Nous avons pu mettre au point et expérimenter la
méthode que nous proposons grâce au banc de tests déve
loppé et commercialisé par la Société d'Electronique
Industrielle et Nucléaire. Qu'elle trouve ici l'expression
de nos remerciements.
- 4 -
I - ANALYSE STRUCTURALE D'UN SYSTEME NUMERIQUE :
La méthode proposée repose sur l'analyse structurale
des s,itèmes numériques à contrôler. Au moyen des équa
tions logiques obtenues, il est possible d'élaborer sys
tématiquement les séquences de contrôle de chaque sous-
ensembles appartenant à un système donne et de concevoir
un organigramme de test. La détermination d'un test d'un
circuit numérique à partir de son équation se justifie,
pour chaque opération élémentaire, par l'existence d'un
élément neutre et d'un ëlérient absorbant qui appartien
nent â l'ensemble E„ , et qui résulte de l'application numé
rique de la "structure logique".
Cette dernière est munie de deux lois de composi
tions internes qui sont le "produit" et le "produel".
Un rappel des propriétés de la structure logique est
donné à la fin rin ce texte.
Dans ce qui suit, on traitera successivement les
circuits combinatoires et les circuits séquentiels dans
le cadre exclusif du contrôle dit "fonctionnel statique".
I.1. Fonction logique "ET"
Soit deux variables binaires a, beE
Considérons le produit
P = a.b avec PcE
0,1*
'0,1
qui a pour élément absorbant "0" et pour élément
neutre "1".
,. a = 0, b = 1 )
" a = 1, b = 0 \ ^ P * °
Si , a = 1, b = 1 P = 1
- 5 -
Le p r o d u i t e s t r é a l i s é par l a f o n c t i o n l o g i q u e " E T " .
7) P= a.b
FIG : 1 - Fonction logique "ET"
Parmi les quatre combinaisons des valeurs des variables (a, b;, trois seulement sont significatives (combinaisons 1, 2 et 3) et permettent de contrôler l'opérateur élémentaire "ET".
Une combinaison est significative pour l e contrôle de la fonction produit si et seulement si : a) Tous les facteurs du produit sont égaux à "1" (va
leur neutre), ce qui entraine P = 1 ; b) L'un quelconque des facteurs du produit est égal
à "0" (valeur absorbante), ce qui entraîne P = 0.
a b P Comb ina isons s i g n i f i c a t i v e s
0 0 1 1
0 1 0 1
0
0
0
1
non s i g n i f i c a t i v e col lage à "0" de la var iable "a" col lage f "0" de la var iable "b"
codage à " 1 " des variables "a ,b "
Il est aisé maintenant d'interpréter le tableau précédent en terr.e de "chemin de propagation".
- 6 -
a) La combinaison 1 pour laquelle ( a = 0, b = i ) =#• ( P - 0)
permet de contrôler que le niveau logique "0" est
bien acheminé de l'entrée 1 "ers la sortie 3 de
l'opérateur et donne au produit "P" la valeur "0" ;
dans le cas contraire, on peut supposer qu'il existe
un défaut le lono du chemin dessiné en double trait
fi gure 2 .
a = 0 (?)
o=1 (2>
FIG : 2
b) La combinaison 2, pour laquelle (a = 1, b = 0 ) = ^
(P = 0) permet de contrôler que le niveau "0" est
bien transmis de l'entrée 2 vers la sortie 3 de
l'opérateur et affecte au produit "P" la valeur
"0" ; dans le cas contraire, on peut supposer qu'il
existe un défaut le long du chemin dessiné en dou
ble trait fi gure 3 .
o = 1 Q-
b=0 (î>
FTG : 3
c) La combinaison 3, pour laquelle (a = 1, b = 1) =?>
(P = 1) permet de contrôler que le niveau "1" est
bien transmis des entrées 1 et 2 vers la sortie 3
de l'opérateur et confère au produit "P" la valeur
"1". Dans le cas contraire, on peut supposer qu'il
existe un défaut le long des chemins dessinés en
dessinés en double trait figure 4.
P = 0
) = © P = O
- 7 -
ar1
b=1
0= O FIG : 4
<Dp=i
d) La combinaison 0 pour laquelle (a = 0, b = 0) =̂ >
(P = 0) n'apporte pas de renseignements complémen
taires autres que ceux qui sont donnés ar les
trois combinaisons précédentes. C'est pour cette
raison que l'on admet comme non significative
une telle combinaison des vairables (a, b) dont
l'implication sur la valeur du produit P = 0 est
déjà vérifiée par les combinaisons 1 et 2.
1.2. Court-circuit entre les entrées 1 et 2 :
Les connexions conduisant aux entrées 1 et 2 du
circuit "ET" ci-dessus peuvent être adjacentes. Un
court-circuit entre ces deux lignes peut exister
(soudure défectueuse par exemple). Un tel défaut ne
peut être mis en évidence de la sortie de l'opérateur
compte tenu du caractère particulier du niveau logique
"0" à l'entrée. En effet, si l'une des entrées est à
"ù", l'autre sera forcée au même potentiel (technolo
gie TTL) et la valeur du produit reste inchangée. Cette
constatation nous amène à introduire la notion de
"transparence". Un sous-ensemble est transparent si,
à partir d'un point de test choisi judicieusement, il
est possible de détecter un défaut.
Le nombre de points de tests nécessaires pour effec
tuer le contrôle d'un système dépend donc de la trans
parence des sous-systèmes qui le constituent.
Pour détecter un court-circuit entre les deux entrées
d'une parte logique "ET", il faudrait prendre l'une
des deux connexions d'entrée physiquement adjacentes
comme point de test. La généralisation des points de
contrôle dans ce dernier cas rendrait leur nombre pro
hibitif sur un circuit imprimé comprenant une centaine
de boîtiers. Cependant, le contrôle d'un court-circuit
peut s'effectuer dans le cas où les entrées des opéra
teurs correspondent à des points du connecteur.
1.3. Fonction logique "OU" :
Soit deux variables a, b E E n ,
Considérons le produel :
= 1 - (1 - a)(l - b) avec n c E Q l
qui a pour é lémen t abso rban t " 1 " e t pour é lément n e u
t r e " 0 " .
a = 1 , b = 0 ) S i , ) = ^ T T = 1
a = 0 , b = 1 )
Si , a = 0 , b = 0 ii = 0 .
Le produel est réalisé par la fonction logique "OU"
figure S.
<5> £ > ©*-FIG : 5
- s -
Parmi les quatre combinaisons des valeurs des varia
bles (a, b ) , trois seulement sont significatives (com
binaisons 0, 1 et 2) et permettent de contrôler l'opé
rateur élémentaire "OU".
Une combinaison est significative pour la fonction
produel si et seulement si :
a) Tous les facteur^ duals sont égaux â "0" (valeur neutre
du produel), ce qui entraîne v = 0
b) L'un quelconque des facteurs duals est égal à "1"
(valeur absorbante du produel), ce qui entraîne
* = 1.
i a
i
b 1 Combina isons s i g n i f i c a t i v e s
0
û
I 1 j 1
0
1
Û
1
o 1
1
1
1
collage â "0" des v a r i abl e i ' a .b "
collage â " 1 " de la variable "b"
collage à " 1 " de la variable "a"
non s i g n i f i c a t i v e
La fonctions produel conduit â un raisonnement dual
de celui de la fonction produit.
a) La combinaison 1, pour laquelle (a = 0, b = 1 ) =̂ >
i1' - 1 ) , permet de contrôler que le niveau logique
"1" est bien acheminé de l'entrée 1 vers la sortie
3 de l'opérateur et donne au produel "n" la valeur
"1" ; dans le cas contraire, on peut supposer qu'il
existe un défaut le long du chemin dessiné en dou
ble trai t fi gure 6 .
a- Q
b=.1
0" 0= T> =© it=i
FIG : 6
- 10 -
b) La combinaison 2, pour laquelle (a = 1, b = G) =^>
(n = 1) permet de contrôler que le niveau logique
"1" est bien transmis de l'entrée 2 vers la sortie
3 de l'opérateur et confère au produel % " la valeur
"1" ; dans le cas contraire, on peut supposer qu'il
existe un défaut le long du chemin dessiné en double
trait figure 7.
b = 0 ©- O <D Tt=1
FIG 7
c) La combinaison 0, pour laquelle (a = 0, b = û)=$>
(n = 0) permet de contrôler que le niveau logique
"0" est bien transmis des entrées 1 et 2 vers la
sortie 3 de l'opérateur et impose au produel "i"
la valeur "0" ; dans le cas contraire, on peut sup
poser qu'il existe un défaut le long du chemin des
siné en double trait figure 8.
a =0
b =0
0= 0= o
FI?
<D* = 0
d) La combinaison 3, pour laauelle (a = 1, b = 1)=^
(n = 1 ) , n'apporte pas de renseignements complémen
taires autres que ceux qui sont fournis par les
trois combinaisons précédentes. Cette combinaison
des valeurs des variables (a, b) n'est donc pas si
gnificative d'autant plus que le résultat du pro
duel = 1 est déjà vérifié pour les combinaisons
1 et 2.
- 11 -
1.4. Court-circuit entre les entrées 1 et 2 :
Considérons un court-circuit entre les entrées 1
et 2. ttant donné le caractère particulier du niveau
logique "0", l'autre entrée se trouve forcée au niveau
"0", alors qu'elle doit être à "1". Ce défaut peut-
être détecté vu de la sortie sur un opérateur "OU" à
l'aide des combinaisons 1 ou 2.
I . b. Détermination des séquences de test d'un circuit
combi natoi re :
ler_exemp]e :
Considérons le circuit combinatoire suivant :
: !=E>-HI>^ 1 ") i
x7 x 8 x 9
On peut généraliser les règles qui viennent d'être
établies pour effectuer le contrôle de la fonction com-
binatoire ci-dessus dont la forme de l'équation est un
produel de produits. La place relative de chaque varia
ble dans l'équation permet alors de construire ce que.
l'on appelle un "organigramme de test". Grâce à ce der
nier, il est plus facile d'écrire un programme connais
sant les assignations des variables pour chaque contrô
le de la fonction dont la valeur est connue. Il suffit
- Yc -
alors de rempl acer les valeurs itt érales par des "0"
ou des " 1 " en utilisant pour chaque prcdui t ou produel
les propr iétés fondamental es de 1 'é 1ément absorbant et
de 1 ' élément neutre. Le produit correspondant à une
ligne est traité isolément, en annulant tous les autres,
pour le contrôle de la fonction mise à "1": Tous les
produits sont annulés simultanément pour contrôler la
fonction mise à "U".
Cependant, il y a lieu de distinguer deux procédures
suivant que l'on se place dans l'hypothèse de la panne
unique ou dans celle de la panne multiple. Suivant le
cas, on obtient des organigrammes différents.
1.6. Panne unique :
Dans l'hypothèse de la panne unique, on peut écrire
l'organigramme suivant dont les six tests sont suffi
sants pour contrôler le circuit combinatoire proposé :
011 111 ICI 1101 110
011 = 0 011 = 1 101 = 0 111 = 1 j110
011 011 101 1 101 ! 110
(1) (2) (3) (4) (M 110
110 = 1
111
(6)
= 0
I l y a l i e u d ' a j o u t e r deux t e s t s s u p p l é m e n t a i r e s
pour c o n t r ô l e r un c o u r t - c i r c u i t é v e n t u e l e n t r e l e s e n
t r é e s supposées phys iquement a d j a c e n t e s . Par c o n s é q u e n t ,
l es p o i n t s de t e s t c h o i s i s s o n t l e s e n t r é e s 2 , 4 , 6 ,
fa e t l a s o r t i e 10.
C h r o n o l o g i q u e m e n t , i l c o n v i e n t de c o n t r ô l e r en p r e
m ie r l i e u q u ' i l n 'y a i t pas de pannes dues à des c o u r t -
- 13 -
circuits entre les entrées. Pour cela, il suffit d'as
signer aux lignes immédiatement' voisines des valeurs
complémentaires, ce qui nécessite deux arrangements.
Le premier pair-impair et réciproquement, le second
impai r-pai r.
1°) Le test (1) permet de contrôler que le niveau lo
gique "Ci" est bien transmis des entrées 1, 4, 7
vers la sortie 10. Ayant admis l'unicité de la
panne comme hypothèse de travail, un seul facteur
est égal à zéro ( x, = x. = x , = 0} pour annuler
chacun des produits, lesquels annulent la fonction
V. Dans le cas contraire, on peut supposer qu'il
existe un défaut le long des chemins de propaga
tion dessinés en double trait, figure 11.
X, = 0
*4 =
Xc =
X 9:
S)y=0
M_g_ 10
2°) Le test (2) vérifie que le niveau logique "1" est
bien, transmis des entrées 1 , 2 , 3 vers la sortie
10 ce qui implique x, = x, = x, = 1 et entraîne
le passage à "1" de la fonction "Y". Dans le cas
contraire, on peut supposer qu'il existe un défaut
le long des chemins de propaoation dessinés en
double trait figure 11.
- 11 -
x i = i (T;
x,=1 » >TI H =0 &> x s = 1 Gj> x 6 =1 © X 7 = Q © x 8 =1 ® X» =1 ® o
=QS) y = i
r
De plus, s'il existe un court-circuit entre les
bornes d'entrée 4 et 3 où x, = 0 et x, = 1, le produit
X J . X J . X , sera nul et la fonction Y également.
Le test (3) vérifie que tous les produits sont
égaux à zéro en annulant le deuxième facteur de
chacun d'eux, c'est-à-dire x,; 0, ce "2 " x5 " xa qui entraîne Y = 0 (2e configuration qui annule Y ) .
Dans le cas contraire, on peut supposer qu'il exis
te un défaut dans les chemins de propagation dessi
né en double trait, figure 12.
V 1
*2= "3=
0 1
*4= 1 0
* 6 S 1
« T » 1 *e = 0
«9 = 1
- lb -
Ln procédant systématiquement comme il vient d'être
fait pour les "n" produits d'un p r o d u e l , on est assuré
de détecter la presque totalité des pannes possibles.
Pour la suite des opérations, on urait les trois diag
nostics suivants qui donnent les chemins de propagation
défaillants relatifs aux test ( 4 ) , (5) et (6)-, (voir
figures 13, 14, 1 5 ) .
Jp—®y=i
Fia :13
*l =
*2 = x 3 =
Xi =
"5 =
xs =
"7 = x 8 =
ffl)y=0
- 16 -
1"1 = 1
X2 = 1
*3 = 0
*C = 1
*s = 1 *i = 0
*7 =1 xg = 1 *9 =1
Dh
iSCr P~(!0)y=i
15 Fig
On peut constater que moyennant huit séquences de
test, établies suivant une procédure systématique, il
est possible de contrôler le bon fonctionnement du cir
cuit combinatoire proposé.
La méthode mise en oeuvre par l'analyse structurale
montre bien qu'il est inutile d'explorer les 512 combi
naisons de la table de vérité représentant toutes les
configurations résultant de l'association des valeurs
binaires des neuf variables.
Afin de rendre le contrôle moins statique, on peut \n-
tercaler successivement dans l'organigramme les "0" et
les "1" de la fonction quand cela est possible.
L'intérêt pratique de l'organigramme de test est de
faciliter la mise au point du programme et de repérer
rapidement les changements de valeurs des variables
d • un test à 1 ' autre.
- 17 -
1.7. Pannes multipi es :
Si le cas de la panne multiple est envisagé dans
l'hypothèse de travail, on peut imaginer un organigramme
de test different, comme celui do.irë ci-après :
011 m 101 110 110
000.. = '; 000 = 1 001 = 0 001 = 0 111
000 000 0011 001 001
(1) (2) (3) (4) (5)
110 ] 110 110 110 : no 101 = o Ion = 0 110 = 0 110 = 1 j 110
001 jooi o o i ; 111 ion (6) (7) (fc) (5) (10)
110 no 110
101 = 0 110
110 = 0
(H ) (12 )
= 0
Dans cette procédure, chacun des produits i.;t annulé,
en égalant â zéro tous les facteurs, sauf le premier
produit sur lequel on ppère. Ce dernier est alors annu-
lé par un seul de ses facteurs. Puis, on tra.te les pro
duits suivants de la même manière à chaque pas de test.
Ainsi, de proche en proche, on lève l'ambiguïté qui
peut exister en cas de pannes multiples. Cette procédu
re coûte plus cher en instructions, mais elle permet
d'affiner le diagnostic et par conséquent, de faciliter
la recherche d'un défaut.
Cependant, l'expérience et l'évaluation statistique
ont montré qu'il est rare de rencontrer plusieurs pan
nes dans un même sous-ensemble. Comme l'écriture d'un
programme est un exercice fastidieux, il est préférable
- lfc -
et plus économique de se placer dans l'hypothèse de la
panne unique quitte à rechercher les éléments défail
lants dans le cas peu fréquent de panne multiple.
I . b. uétermination des séquences de test d'un circuit com-
bi natoi re :
ïeexemple :
Soit a contôler le circuit combinûtoire suivant :
»1
x 7 (7
M - A 5
Pour établir les séquences de test d'un circuit numé
rique à partir de son équation logique, il faut et il
suffit que la forme de cette dernière soit représenta
tive de la topoloqie du circuit. Les formes différentes
- 19 -
d'une même équation représentent des structures non iden
tiques, bien qu'elles soient fonetionnel1ement équiva
lentes. Ainsi, l'équation précédente peut, en distribu
ant le produit x-.x, par rapport au produel
crire de la manière suivante : xl
Cette nouvelle fonction est la même que la précèdent!,
mais elle ne correspond pas au même schéma ni, par con
séquent, au même circuit. Son contrôle nécessiterait
donc des séquences de test différentes.
Toute transformation ou simplification mathématique
est interdite lors de l'établissement de l'équation
afin que cette dernière reflète exactement la structure
du réseau.
Partant des considérations ci-dess'js, on peut établir
l'organisation des sept séquences de test qui permettent
d'écrire le programme connaissant les assignations des
variables pour le contrôle de la fonction dont la valeur
est connue dans chaque cas. Il est bien entendu que tou
tes les ét'jdes qui suivent sont effectuées dans "l'hypo
thèse" de la panne unique.
1 0 0 0 û
0 1 0 1 1 1 1 0 1 û
01 1 = 1 01 1 = 0 01 1 = 1 10 1 = 0 11 1
[1 ! i 1 1 0
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )
u 0
1 0 1 01
11 0 = 0 n i o k 1
û i i [6) (?)
- ?(j -
La succession des séquences est établie en commençant
par le produit qui possède le plus petit nombre de fac
teurs (quand c'est possible), les autres étant égaux à
zéro. Le déroulement des opérations s'effeccue en trai
tant les produits dans l'ordre du nombre de facteurs
croi ssants .
A la lumière de ce qui vient d'être exposé, on peut
consulter que l'analyse stru'.Lurale „ ,. cii'Luit com
bina to i re, considérée par certains spécialistes des
tests comme une méthode difficile à mettre en oeuvre,
s'avère relativement ais»c a manier puisqu'elle relève
d'une procédure systfmatique susceptible d'être program
mée sur ordinateur. Le symbolisme Didimensionnel uti
lisé rend plus facile l'élaboration et la lecture de
ce qu'on a convenu d'appeler un "organigramme de test".
1.9. Contrôle fonctionnel de circuits redondants :
Si les collages à ''1" et à "0" des entrées d'un sys
tème numérique combinatoire permettent de détecter des
défaillances de composants, la génération de transi
tions (1 •*• 0) ou (0 -* 1) est utile pour tester certai
nes structures qui possèdent des éléments redondants mais
non moins nécessaires dans des applications parti
culières.
Citons par exemple, les deux types d'équations carrées
biformes ci-dessous :
Y =
A.x
x.B
A.B
|A|ï!i
ou Y =
(1) (2)
- 21 -
Les termes A.B et _ sont respectivement les consen
su: direct et dual. Leur présence permet d'éliminer
l'aléa de continuité dû aux retards de transfert inhé
rents aux opérateurs. En effet, supposons que la varia
ble "le" soit élaborée â partir de son complément "x"
à travers un inverseur ayant un temps de transit "T", or
devrait écrire, en toute rigueur ".^"x" qui veut dire
que "H" est en retard de "T ' par rapport â "x". On peut
alors préciser les deux schémas correspondant aux équa
tions (1) et (2).
A O-
x O-
B O-
•^JZ)!
A O »
x o
B O
- 22 -
Considérons un circuit "OU EXr.LLjlF" composé d'opé
rateurs ayant un temps de transit T > t (avec t =
temps de montée ou de descente) ; et supposons qu'il
n'existe pas de consensus figurant dans les expressions
associées ; on peut distinguer alors deux cas d'appari
tion de doubles transitions (1 * 0 •• 1) et (0 * 1 • 0 ) .
1.9.1. Génération_de_doubles_ transi tions [1 ;_0_ :>_1) :
Considérons l'équation carrée biforme (1) en l'ab
sence de consensus direct :
Y = A 2T A.A x T
x.B
Posons A = B = 1, l'équation (1) s'écrit
Y = A 2 T
A x T
Four la transition (1 -* 0) de la variable "x", on a
Y = A, T (x)
Comme l'indique le chronogramme ci-dessous :
A2Tx p j T_ _
y = A 2TÏTfi<)—i j_J—
- 2 n -
1 . 9 . 2 . Génëra t i gn_de_doub2§s_ t rans . i t i o n s ^ O _^_1 _^_0 ] :
Cons idérons l ' é q u a t i o n c a r r é e b i f o r m e (2 ) en l ' a b
sence du consensus dua l
Y = A 2 T
A T x ( 2 )
Posons A = 6 = 0 , l ' é q u a t i o n ( 2 ) s ' é c r i t :
Y = A.. ( x .A x) £ T T
Pour la transition (0 •* 1) de la variablt "x", on
Y . A Z T I T ( X )
Comme l ' i n d i q u e l e chronogramme c i - d e s s o u s .
A 2 T x
»3T
y = A 2 T X T (x)
21^
* t n _r
Ainsi, la présence de l'aléa de continuité permet
de contrôler si l'opérateur qui élabore le consensus
fonctionne ou non. La possibilité de mise en mémoire
d'une double transition (1 ->• 0 -* 1) ou (û •+ 1 •+ 0 ) ,
au moyen d'une instruction appropriée, permet de détec
ter et de localiser l'opérateur défaillant.
- 24 -
Les aléas de commutation sont des parasites que l'on
rencontre couramment dans les s y s t è m e s . Ils sont tolé
rés lorsqu'ils ne gênent pas le fonctionnement. Cepen
dant, dans certaines configurations, souvent ignorées,
l'existence de ces aléas perturbe le bon fonctionnement
des systèmes. Il est donc indispensable de pouvoir dé
tecter leur présence par des tests automatiques et
de procéder à un complément d'étude sur les problêmes
de commutation afin de pouvoir y remédier.
II - MACHINES SEQUENTIELLES :
Si la connaissance des équations logiques d'un sys
tème combinatoire est suffisante pour élaborer les séquen
ces de test nécessaire à son contrôle, il n'en est pas
de même pour un automate numérique en général. "Une machi
ne séquentielle est testable si, et seulement si, son gra
phe est fortement connexe" ; il ne doit pas exister de
sous-graphes disjoints. En d'autres termes, un automate
numérique doit être conçu pour exécuter séquentiellement
un processus bien déterminé.
Par conséquent, avant d'aborder une procédure de
contrôle, il est indispensable de savoir ce que l'automa
te est apte à faire et non comment il est utilisé. C'est en
passant par l'analyse exhaustive d'un système que l'on
peut construire son graphe cartésien séquentiel.
La représentation des états stables et des états de
commutation associée à l'expression sagittales des tran
sitions, décri* de manière claire l'évolution du système
en fonction des stimuli engendrés par les variations des
éléments de commande, dans tous les cas de figure possi
bles.
Le graphe cartésien correspondant devient donc indis
pensable pour crienter la procédure de test et optimiser
- 25 -
le nombre de vecteurs à tester, afin de couvrir tous les
cas. Puis, les vecteurs sont ordonnés pour former les dif
férentes séquences sur lesquelles est appliquée la contrain
te d'adjacence. Enfin, connaissant les assignations des
valeurs des variables à chaque pas de programme et le rôle
de ces dernières dans les équations du système, il est
possible d'établir un diagnostic sûr, chaque fois que la
mission prévue n'est pas accomplie.
La méthode de contrôle proposée tient à la fois
de l'analyse structurale et de la simulation fonctionnelle
couvrant toutes les possibilités de l'automate.
I I . 1 . Analyse et contrôle d'une fonction réflexe élémentaire
1) B§Çb§C£l!§-dË5„iî§î§_stables :
Soit à contrôler la fonction mémoire à "S" pri
oritaire dont le logigramme est donné ci-dessous :
t~*~ Y
-O R
Y R
S
F1 g : 18 - logigramme de la fonction mémoire "°-$"
L'expression symbolique générale d'une fonction
réflexe étant de la forme :
3<v y avec X n - ( x 1 % x z ... x, ... x j
Y p = ( y l f y 2 ... y j ... y p )
- 26 -
où la fonction intervient comme variable. Le carac
tère implicite de la fonction réflexe permet d'écri
re la table de vérité suivante dans le cas d'une
fonction mémoire à "S" prioritaire :
R S Y Y, v f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Dans les trois colonnes à gauche du double 3
trait, figurent les huit combinaisons (2 ) des
valeurs des variables R et S plus Y v considérée
comme variable particulière et sur laquelle on ne
peut avoir une quelconque action directe. Dans la
colonne de droite, la valeur calculée de la fonc
tion Yf. En comparant les deux colonnes des Y
(variable et fonction), on détermine les états sta
bles en vérifiant que l'hypothèse faite sur la valeur
de Y est confirmée par celle de Y f . D'où l'on peut
tirer le tableau de tous les états stables possibles
du circuit :
27
R S Y Numéro
de 1 ' é t a t
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
3
4
7
Tableau des états stables. (I)
De part et d'autre du double trait, les colon
nes de gauche et de droite représentent respective
ment les composantes du vecteur variable et celle
du vecteur fonction qui constituent les coordonnées
du graphe cartésien. Chaque état stable est repéré
par un nombre décimal correspondant à la valeur
binaire associée à (R, S, Y ) . Il suffit alors de
distribuer les états figurant au tableau (I) dans
le système d'axes en coordonnées cartésiennes de
la figure 19.
Y
1 © ®
® 0 0
© 1 0
©
J_ 1 R 1 S
Fig : 19 - Distribution des états stables
- 26 -
Lorsque l'on doit traiter un grand nombre de com
binaisons binaires, la recherche des états stables
à l'aide de la table de vérité est laborieuse- Cepen
dant, cette méthode a le mérite de pouvoir être pro
grammée sur ordinateur. Une première approche d'ana
lyse des fonctions réflexes élémentaires a été ef
fectuée en langage APL.que l'on trouvera à la fin de
ce texte. Une méthode d'analyse plus directe est uti
lisée dans l'exemple plus général qui suit cette
première étude.
L'étude des transitions peut se développer en
considérant qu'un état de commutation, bien qu'étant
fugitif n'en n'est pas moins effectivement un état
du système. La durée de cet état transitoire est
proportionnelle à la somme des temps de transit
des couches par lesquelles s'achemine l'informa
tion représentée par les variations de la grandeur
active qui doit agir sur la ou les fonctions. Le
but final est d'amener le système dans un état
différent de celui qu'il occupait avant la commu
tation, c'est-â-dire avant que le vecteur variable
n'ait changé de valeur.
Cependant, ce changement d'état peut avoir lieu
avec ou sans transition des éléments composant le
vecteur fonction. Ainsi, on peut déterminer à
l'aide d'un graphe cartésien séquentiel le compor
tement de la fonction mémoire, qui est le type même
de l'automate séquentiel réflexe élémentaire, et
passer en revue toutes les réponses de ce dernier
aux excitations des éléments de commande.
En raisonnant à partir de l'équation du circuit
,Y ïï| Y =
- 29 -
on considère successivement chaque état figurant
dans le tableau (I) comme l'état initial d'une com
mutation du circuit. Modifions la valeur du vecteur
variable en lui appliquant la condition d'adjacence.
De plus, atti""buons â " Y v " , qui intervient comme
variable dans l'équation, la valeur qui lui était
assignée dans "l'état initial". La valeur calculée
du vecteur fonction donne l'ordonnée de "l'état
final" correspondant, l'abscisse étant obtenue
par la valeur modifiée du vecteur variable. Puis,
ces deux états stables sont reliés par une flèche
qui indique le sens de la commutation.
Soit l'état stable(Ô)de coordonnées R, S, Y =
(000), faisons S = 1 dans l'équation de Y avec
Y = 0. On obtient la nouvelle valeur de la fonc
tion Y = 1. Les coordonnées ue l'état stable cor
respondant sont R, S, Y = ( 0 1 1 ) , c'est-à-dire l'état
(y .On convient de désigner parQÇy->-^y un changement
d'état du circuit avec commutation du vecteur fonc
tion, où(û)est "l'état initial" et(3)"l'êtat final".
Considérons l'ètat(7)des coordonnées R, S, Y =
(111). Faisons R = 0 dans l'équation de Y avec
Y = 1. On obtient la nouvelle valeur de la fonction
Y = 1. Les coordonnées de l'état stable correspon
dant sont R, S, Y = (011), c'est-à-dire l'état(3).
On convient de désigner p a r Q ) * ^ ) u n changement
d'état du circuit, sans commutation du vecteur fonc
tion, o ù © e s t "l'état initial" et(3)"l'état final".
En appliquant la procédure précédente â tous
les états stables, on peut déterminer toutes les
commutations possibles du circuit consignées dans
le tableau ci-après.
- 30 -
Vecteur état
i n i t i a l Y
Fonction état
final Y
Commutation Vecteur Variable
R S
0 (0 * 1
(0 - 1) 0
(0 - 1) 1
( 1 - 0 ) 1
(1 - 0
(0 - 1) 0
(0 - 1) 0
(1 * 0) 1
(0 - 1) 0
(1 * 0) 1
II Tableau des commutations.
On peut compléter la distribution des états stables de la figure 19 par la représentation Sagittale des commutations et construire le graphe séquentiel de la fonction mémoire à "S" prioritaire (Figure 20).
Y , \
1 - (D ;̂ -*Gf X ^p 0 X
1
^0 X
0 0
0 1
1 0
R S
Fig : 20 Graphe de la fonction mémoire â "S" prioritaire
31
II.2. Contrôle de la fonction mémoire â "S" prioritaire :
Un graphe cartésien séquentiel, fortement connexe
est un ensem ble fermé et ordonné . On peut donc tou
jours trouver, à partir d'un état d'initialisation, des
uites d'états bouclées permettant ainsi de tester de
manière exhaustive toutes les commutations du système
étudié.
Dans le cas de la fonction mémoire, on peut distin
guer deux groupes de séquences suivant que la mémoire
est dans l'état ini tial Q o u (4).
Si la fonction mémoire est initialisêe dans l'état
Ç|J on peut construire l'organigramme de test suivant :
- 32 -
Fig : 21 - Organigramme de test de la fonction mémoire
1)
2)
H - (1 - 0 - 1 )
0
©* ©
(0 - 1 - 0 )
<$•©-©
= (? - 0) I n i t i a l i sa t i on
= (0- 1) 3) ,1 (1-0-1) 0,
0-©-®
(i - 0)
4)
( 0 - 1)
©- © (0-1) 5)
• ) 0
(1 . 0 )
© *©
(1 -0)
Afin de mettre en évidence l'effet mémoire de la fonction à contrôler, il est intéressant d'assigner aux variables des valeurs correspondant à des doubles transitions telles que (0 - 1 - 0) ou (1 - 0 - 1).
Nous avons donc remplacé dans l'équation, les valeurs littérales par les variations des éléments de commande. De plus, la transition de la fonction qui agit en rétroaction, c'est-à-dire ''Y„", est écrite verticalement.
Le test 1 initialise la fonction et place celle-ci dans l'ëtat(o).Ce premier contrôle n'a qu'une signification relative puisque l'état initial n'est pas connu à la mise sous tension du circuit.
- 33 -
Le test 2 vérifie qu'il y a bien mémorisation du
niveau logique "1" et permet de contrôler la commuta
tion (Ô) -* @ .
Le test 3 vérifie qu'il y a bien mémorisation du
niveau logique "0" et permet de contrôler la commuta-
tionQ-0.
Enfin, les tests 4 et 5 assurent que la priorité de
la mise à "1" (entrée "S") est effective, en contrô
lant les commutations © ^ © e t 0 + ( D >
Il faut donc exécuter cinq opérations pour contrô
ler la fonction mPT.vjire de manière exhaustive.
II.3. Généralisation de l'analyse structurale aux machines
sèquenti elles :
Nous allons essayer de généraliser l'analyse struc
turale appliquée aux tests en nous appuyant sur un
exemple qui a retenu notre attention. L'automjfe dont
l'étude analytique va suivre faisait partie d'un sys
tème sur lequel nous devions élaborer un programme de
test dans le cadre d'un contrat de collaboration entre
le C.E.A. et la Société d'Electronique Industrielle et
Nuclêai re .
Ce sous-ensemble fabrique et commercialisé par une
Société américaine possédait la particularité de ne
pas fonctionner dans certaines conditions alors que
les caractéristiques oes composants intégrés étaient
conformes aux normes annoncées par le fabricant. L'ana
lyse qui va être développée a permis d'introduire "les
équations de transitions" à l'aide desquelles il est
maintenant possible je déterminer mathématiquement l'or
dre chrnologique des transitions multiples. Ces derniè-
- 34 -
res permettront de découvrir certaines anomalies de con
ception et les causes réelles du mauvais fonctionnement.
Enfin, cette étude inédite aura permis de démontrer ce
q u ' i 1 faut éviter pour obtenir un produit sûr, fiable et de
réalisation optimale en fonction de critères arrêtés au
préalable. Il sera proposé une nouvelle synthèse de
trois versions dont une seule sera retenue pour établir
les séquences de test.
11.4. Fonctionnement de l'automate d'asservissement :
Le logigramme du circuit proposé est donné par la
figure 22. "H" représente un oscillateur délivrant
des créneaux et attaquant l'entrée "A". Par ailleurs,
l'oscillateur "H" est asservi en "As" par un oscilla
teur de référence "Hr" délivrant également des créneaux
qui agissent sur l'entrée "B". Si la phase de l'oscil
lateur "H" est en avance sur celle de l'oscillateur
"H ", une impulsion négative dont la durée est propor
tionnelle au déphasage, doit être délivrée sur la sor
tie "ÏÏF"
Cette impulsion charge à travers la diode d, le con
densateur C qui polarise la base du transistor T„.
L'émetteur de ce dernier engendre alors un courant de
correction opérant sur l'entrée As de l'oscillateur
asservi "H" et le niveau de la sortie DOWN est, pendant
ce temps, en position haute.
35 -
Figure 22
Réciproquement, si la phase de l'oscillateur "H" est en retard sur celle de l'oscillateur "Hr", une impulsion négative dont la durée est proportionnelle au déphasage, apparaît sur la sortie "DOWN". Le condensateur "C" se décharge alors à travers "do" dans "r-,", ce qui polarise en sens inverse la base du transistor "To" et l'émetteur de ce dernier appelle un courant qui corrige, dans l'autre sens, l'oscillateur asservi.
L'état de la sortie "ffî" reste, pendant ce temps, en position haute.
- 36 -
fiq : 3L C h r o n o g r a m m e r h é o r i a u e du ronc t ionnemenr
De cette analyse résultent les implications essentielles qui , par la
suite, seront reprises et utilisées pour la synthèse :
[ A = (O-*I ), B = 0 ] =¥ [up =(!_» 0), DOWN = 1
[ A = 1 , B = (0—1)J =$> LOP =(0
[ A = ( l -»0), B = 1 ] = » [ûP =
[ A = 0 , B = (1_*0)] =$» [ÛT =
[ A = 0 , B = ( 0 _ 1 ) ] =-> [0P =
[ A = (0_»1), B = l ] =#» [ÛP =
[ A = 1 , B = ( 1 _ 0 ) ] = > [OF =
[ A = (i_^o), B = O ] ^ [UP =
.1), DOWN = l
DOWN=1 ]
, DOWN = 1 ]
, DOWN = (l-»0)]
, DOWN = (0^1)]
, DOWN = 1 ]
] , DOWN = 1
III - ETABLISSEMENT DES EQUATIONS LOGIQUES DU CIRCUIT
L'examen du logigramme montre qu'il existe au moins 4 fonctions
réflexes que nous appellerons UP , DOWN , M et T. Nous distinguerons la
seconde sortie de la fonction réflexe Y =<p (Y, R, S) par la notation Y
qui est la solution générale alors que Y n'est qu'une solution particulière.
- 37 -
Les équations du c i r c u i t s'établissent alors de la façon suivante :
1 ) Equat ion de la fonc t ion " UP "
UP
c ' es t - à -d i r e :
UP =
on ob t ien t alors :
C
M"
Ë
C"
M"
DT
avec E = M . C . D . T
avec C = A . U P et D =
B
D O W N
UP
UP . A
M"
T I "B D O W N
ÙP est une fonct ion mémoire à S pr ior i ta i re avec :
"M
R = A et S B
D O W N
2 ) Equat ion de la fonc t ion " D O W N "
soit :
D
DOWN =
i-
E
D
DOWN = -H
M.C
avec E = M . C . D . r
avec D = B . D O W N et C = A
UP
- 38 -
On obtient alors :
DOWN =
DOWN . B
T
M A UP
" DOWN " est un-:; fonclîon mémoire à " S " prioritaire avec
T
R = B et S = M UP
3) Equation de lo fonction " M "
(0 M M 1 avec C =A.UP
mais :
= ME , avec E =
M C
D T
et
ce qui donne
A. UP
M * = M B. DOWN
T
et D = B.DOWN,
Remplaçons dans l'égalité ( l ) C et M par leur valeur ; on
obtient alors :
M
M
B. DOWN
T
A. UP
- 39 -
" M " est une fonc t ion mémoire à " S " p r io r i ta i re avec
R = T B
D O W N et S = A . U P
4 ) Equation de la f o n c t i o n " T "
(2 ) T = D
T* avec D = B. D O W N ,
T * = T E , avec E et C = A . UP
ce qui donne :
T + = T
B. D O W N
A.TJP" TA
Remplaçons dans l 'éga l i té 2 D et T * par leur va leur ; on
obt ient Finalement
T = T A. W
M"
B. DOWN
T " est une Fonction mémoire a " S " prioritaire avec
R = M A
UP et S = B. D O W N
Ce c i r c u i t d'asservissement logique se compose donc de 4 Fonctions
mémoires.
- 40 -
11.6. Construction du graphe :
Afin de faire l'analyse complète et détaillée du fonc
tionnement du circuit d'asservissement logique proposé,
nous allons construire le graphe séquentiel à partir des
équations obtenues au paragraphe précédent.
Nous rechercherons successivement les états stables puis
les commutations du système. Enfin, nous déterminerons,
s'il y a lieu, l'ordre chronologique des transitions mul
tiples (courses critiques, cascades imposées) relatives
à chaque commutation.
II.6.1. Reçherçhe_des_états_stables :
A et B étant les variables, prenons comme paramètres
les fonctions M et T. Calculons pour chaque combinaison
des valeurs des variables, la valeur des fonctions de
sorties ÏÏP" et ÏÏOfflT.
Les valeurs associées des fonctions UT, DOWN, M, T
du vecteur fonction d'une part, et les valeurs associées
A, B du vecteur variable d'autre part, donnent les coor
données •'e chaque état stable du graphe séquentiel.
Chacun de ces derniers est repéré par un nombre décimal
correspondant à la valeur binaire liée à (A, B, Uïï,
mnm,M , T ) .
Nous voyons déjà que nous aurons à travailler sur un
graphe comportant 2 = 64 états possibles.
II.6.2. Pour_A_=_0_et_B_=_0 :
Nous ob tenons pour DT, DOWN, M, T, l e s é g a l i t é s s u i
van tes :
T = TR
M = HT
UP rrowî
- 41 -
11.6.3. Pgsgns_2.N_;.0_et_T_;_O i_il_vient :
TTP = i, ÏÏÏÏM = i, H = o, T = o
Les valeurs associées du vecteur variable et du vec
teur fonction A, B, ÏÏF, ÏÏÏÏM, M, T = (001100) -<• (T2) donnent les coordonnées du premier état stable du gra
phe ainsi que le repère décimal correspondant.
1 1 . 6 . 4 . P o s o n s _ 2 . t t _ ; . 0 _ e t _ T _ ; _ l J _ i l v i e n t :
ÏÏÏÏ = 1, ÏÏÏÏM = 0, M = 0, T = 1
on obtient ainsi le deuxième état stable qui est :
A, B, ÏÏF, ÏÏÏÏM, M, T = (001001) - ( ? )
1 1 . 6 . 5 . Pgsgns_i_M_ = _ l _ e t _ T _ = _ O a _ i l _ v i e n t :
IIP = 0 , ÏÏÏÏM = 1 , M = 1 , T = 0
on obtient le troisième état stable qui est :
A, B, ÏÏP, ÏÏÏÏM, M, T = (000110) + ©
11.6.6. Pgsçns_M_;_l_et_T_=_l J_ii.vient :
TTF = 1, ïïïïM = 1, M = 0?, T = 0?
M = 0 et T = û ainsi obtenus ne justifient pas l'hypo
thèse faite pour H et T, par conséquent M = 1 et T = 1
n'est pas solution des équations de ÏÏP", DOWN.
Nous pouvons faire une première observation : pour
la combinaison A, B = (00) du vecteur variable, il
existe trois états s t a b l e s © , ^ @ .
- 42 -
Ceci indique déjà que l'automate n'est pas initialise
puisqu'il peut occuper indistinctement au départ trois
états différents .
I I . 6 . 7 . Pgur_A_ = _0_et_B_ = _ l :
Nous ob tenons pour UT, DOWN, H, T, l es é g a l i t é s s u i
vantes :
M = M
T.H !
ÏÏÏÏMl
T
ÏÏOTTN
UT =
DOWN
T.DOWN
M
ÏÏW¥.
T
H
I I . 6 . 8 . Pçsons_^_M_ = _QJ1_T_ = _ 0 J _ i l _ y i e n t :
UT = 1 , ÏÏTJWTT = 1 , d 'où H = 0 , T = 1 ?
M = 0 e t T = 1 , obtenus ne j u s t i f i e n t pas l ' h y p o t h è s e
f a i t e su r M e t T. Donc, M = 0 e t T = 0 n ' e s t pas s o l u t i o n
de UT, UÏÏWN.
1 1 . 6 . 9 . P o s g n s _ ^ _ H _ = _ g j _ T _ ; _ l i _ i l v i e n t :
UT = i , mnm = Trow, M = o, T = 1
DOWN = DOWN signifie que DOWN peut prendre aussi bien
la valeur 0 que la valeur 1. Par ailleurs, H est nul
par définition, nous obtenons finalement :
UT = 1, ïïuTJN = 1 : H = 0, T = 1
UT = 1, U0¥N = 0, M = 0, T = 1
ce qui permet de déterminer les quatrième et cinquième
états stables qui sont :
- 43 -
A, B, ÏÏP, BURN, M, T = ( 0 1 1 Ï 0 1 ) - (2J
A, B, DT, ÏÏWN, » , T = ( 0 1 1 0 0 1 ) ->• (2j
1 1 . 6 . 1 0 . P o s g n s _ M _ = _ l i _ T _ = _ 0 J _ i l _ y i e n t :
ÏÏP = 0 , DTJWN = 1 , M = 1 , T - DTJTO = 1
T = 1 ne j u s t i f i e pas l ' h y p o t h è s e f a i t e sur T, par
conséquen t , M = 1 e t T = 0 n ' e s t pas s o l u t i o n des équa
t i o n s de ÏÏP, DOWN.
I I . 6 . 1 1 . Posons_M_ = _ l 2 _ T _ = _ l J _ i l _ y i e n t :
ÏÏP = DOWN = 0 , ÏÏUWTC = 1 , M = DTfWTJ = 1 , T = ETON = 1
v a l e u r s du v e c t e u r f o n c t i o n qu i p e r m e t t e n t d ' i d e n t i f i e r
l e s i x i ème é t a t qu i e s t :
A, B, ÏÏP, Dï ï tm, M, T = ( 0 1 0 1 1 1 ) » (£3)
Pour la combinaison A, B = (01) du vecteur variable,
il existe trois états stables du circuit(23) , @ , <Q •
II.6.12. Pour_A_ = _l_et_B_;_0 :
Nous ob tenons l es é g a l i t é s s u i v a n t e s
ÏÏP
T = T ÏÏP
ÏÏP
M.T
ÏÏP =
DTJWN =
M
T
T
M. UP
I I . 6 . 1 3 . Posons_M_ = _0 1 _T_ = _ O i _ i l _ y i e n t :
ÏÏP = 1 , DTJUÏÏ = 1 , M = ÏÏP, T = 0
- 44 -
M = TTF e n t r a t n e M = 1 , ce q u i ne j u s t i f i e pas l ' h y p o
thèse su r H e t T. Par c o n s é q u e n t , M = 0 e t T = 0 n ' e s t
pas s o l u t i o n de ÏÏP, DTTWTT.
1 1 . 6 . 1 4 . P o s o n s . H . î . Q j . î . î . l j . l l . v l e n t :
1 1 7 = 1 , ÏÏWR = 0, M = ÏÏP", T = 1
M = ÏÏP entraîne M = 1 ; ce qui ne justifie pas l'hypo
thèse faite sur H et T. Par conséquent, M = 0 et T = 1
n'est pas solution de UP", DOWN.
11.6.15. P o s g n s . M . ^ . l . e ^ T ^ O j i l . y i e n t :
ÏÏP = ÏÏP", TOTO = 1, M = 1, T = 0
ÏÏP" = HP" signifie que UP peut prendre indifféremment la
valeur 0 ou 1, ce qui donne les coordonnées des septième
et huitième états stables qui sont :
A, B, ÏÏP, ÏÏTON, M, T = ( 1 0 0 1 1 0 ) + @
A, B, W , TOWN, M, T = ( 1 0 1 1 1 0 ) - @
1 1 . 6 . 1 6 . P g s g n s _ H _ ; _ l j _ T _ = _ l j _ i 1 . v i e n t :
ÏÏP = 1 , TOWTC = U P = 0 , M = ÏÏP"=1, T = ÏÏP"=l
M = T = ÏÏP = 1 justifie l'hypothèse faite sur les paramè
tres M et T ce qui permet de déterminer les coordonnées
du neuvième état stable, c'est-à-dire :
A, B, ÏÏP", TOWN, M s T = (101011) -* @
Ainsi, pour la combinaison du vecteur variable A, B =
(10), il existe trois états stables que nous appelerons
© . © . et © .
- 45 -
II.6.17. Pgur_A_;_!_et_B_;_l :
Les égalités relatives aux fonctions ÏÏF, DOWN, M et
1 sont les suivantes :
ÏÏF
T.DOWN
TfïïTO
T
M ' H.UP BOTTÏ
I I . 6 . 1 8 . P o s g i . s _ ; _ H . ; _ 0 J _ T _ = 0 J _ i l _ v i e n t :
ÏÏF = 1 , ÏÏOTN = 1 , M = ÏÏF, T = UOTR
Les é g a l i t é s M = ÏÏF e t T = ÏÏOTN e n t r a i n e n t M = 1 e t
T = 1 , ce qu i ne j u s t i f i e pas l ' h y p o t h è s e f a i t e su r l e s
paramèt res M e t T ; par c o n s é q u e n t , M = 0 e t T = 0
n ' e s t pas s o l u t i o n des é q u a t i o n s des f o n c t i o n s ÏÏF e t
B U M .
I I . 6 . 1 9 . P o s o n ; _ ^ _ M _ ; _ 0 J _ T _ ; _ l 1 _ i l _ v i e n t :
ÏÏF = 1 , BOTR = BOTH, M = ÏÏF, T = 1
M = ÏÏF entraîne M = 1, ce qui ne justifie pas l'hypothè
se faite sur le paramètre M. Par conséquent, M = 0 et
T = 1 n'est pas solution des équations des fonctions ÏÏF
et BOTH.
I I . 6 . 2 0 . E 9 s g n s _ . l _ H _ ; _ l j _ I _ ï _ 0 J _ i l _ v i e n t :
ÏÏF = ÏÏF, ÏÏOTR" = 1 , M = 1 , T = BOTÏÏ
ÏÏOTN"
H
ÏÏF
ÏÏF
- 46 -
T = rjWfJ entraîne T = 1, ce qui ne justifie pas l'hypo
thèse faite sur le paramètre T. Par conséquent, M = 1
et T = (I n'est pas solution des équations des fonctions
UP et ÏÏUTO.
11.6.21. Posgns_^_H_;_l J_T_ = _l J_il_vient
UP |UP I
I DOWN uutra |ïïïïtmi
UP M = ÏÏF
MM T = UP ;
ÏÏÏÏÎ7TÏ
Seule la combinaison UP = 0, DOWN = 0 ne justifie pas
l'hypothèse faite sur les paramètres M et T. Nous obte
nons finalement pour la combinaison A, B = (il) du vecteur
variable les trois états stables suivants :
A, B, ÏÏP, ÏÏUM, M, T = (110111) - (|1)
A, B, U P , UÏÏWU, M, T = (111011) * (59)
A, B, U P , BTJWN, H, T = (111111) » (f§
Nous pouvons maintenant dresser un tableau dans lequel
nous consignerons tous les états stables du circuit étu
dié.
- 47 -
III - Tableau des états stables
A 6 TJT. DWR. M. T. N° de 1 ' é t a t s t a b l e
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ©
1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 ©
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
- 4b -
I I . 7 . Recherche des commutations :
Ce chapitre aurait pu s'intituler également "étude
de l'évolution d'un système en fonction des variables
de commande". En effet, nous allons pouvoir déterminer
le comportement de l'automate et passer en revue toutes
les réponses qu'il donnera aux excitations des varia
bles d'entrée .
Considérons les équations générales du circuit tel
les qu'elles sont formulées ci-après :
ffP
ùT.ft H
T DOWN
M B.ÏÏWN
T
A.ÏÏF
DOWN
MR.B
T
..Iff UP
T = A.ÏÏP"
M
O W N
Faisons A = û et B = 1 , nous obtenons :
DT I w ! | T . D O W N I 1)
T
ÏÏOTN
DOWN
ffWR
T
M
T = T . M
trop
La valeur initiale du vecteur variable étant A, B =
(00), à l'instant où nous faisons B = 1, par exemple,
le circuit se met dans un état instable où les fonctions
auxiliaires n'ont pas encore varié, alors que les varia-
. J9 -
blés de commande ont atteint un niveau logique stable.
Cet état instable est appelé "état de commutation".
Si l'on veut savoir ce que devient le sy= ~ .= après
avoir fait B = 1, il faut remplacer chaque -me des
égalités 1 ) , 2 ) , 3 ) , 4) par la valeur qu'ils avaient
avant que "B" n'ait pris la valeur 1.
Repc rtons-nous au tableau des états stables et étu
dions es commutations du circuit en fonction des va
riations du vecteur variable.
Considérons 1 ' é t a t @ d ' absci sse AB = (00) et d'or
donnée Jïï, ÏÏÏÏWTC, M, T = (0110). Faisons B = 1 dans
les équations générales, nous obtenons les égalités
1 ) , 2 ) , 3 ) , 4 ) . Remplaçons chaque terme de ces égalités
par les valeurs que les mêmes termes avaient dans
1 ' é t a t ^ ) , c ' es t-à-di re :
ÏÏF = 0, ÏÏÏÏWTÎ = 1 , M = 1 , T = 0.
•ious obtenons la nouvelle valeur de chaque fonction
après commutation, c'est-à-dire :
DT = 0, ÏÏUM = 1, M = 1, T = 1
Chercho i s dans l e t a b l e a u des é t a t s s t a b l e s , l ' é t a t
qu i e s t d é t e r m i n é par l e s coordonnées s u i v a n t e s :
A = 0 , B = 1 , uT = 0 , THJM = 1 , M = 1 , T = 1
Nous trouvons que 1 'état (2J) répond à ces conditions
et nous conviendrons de désigner par^H-i-(2j) une commuta
tion du circuit o ù @ e s t l'état initial et (^ l'état
final. Nous constatons que seule la fonction auxiliaire
T a changé de valeur et nous désignerons par T = ( 0 -• 1 )
la transition 'e 0 à 1 de la fonction "T".
- 50 -
Considérons 1 ' état ^3) d ' absci sse A , B = (01) et d'or
donnée HP, rJWN, M, T = ( O U I ) . Faisons A = 1 dans les
équations générales, nous obtenons les égalités 5 ) , 6 ) ,
7 ) , 8 ) .
ÏÏF = ïïïï
H
T . D O W N
5) OTTO 7)
OTTO
ÏÏÏÏÎÎN
T
H.UP
6) T =
OTTO 8)
Remplaçons dans ces égalités, chaque terme par la
valeur qui lui était assignée dans 1 'état © , c'est-à-
dire avant de faire A = 1. Nous en déduisons la valeur
des fonctions auxiliaires à l'issue de cette nouvelle
commutation ; ce qui donne :
UT = 0, OTTO = 1 , H = 1 , T = 1
Pour A = 1, B = 1, le circuit occupa un nouvel état
de même ordonnée que l'état (23). En effet, aucune fonc
tion auxiliaire n'a changé sous l'action des variables
de commande. Le tableau des états stables nous indique
que l'état ^J) se trouve sur le point du graphe d'abscis
se A, B = (11) et d'ordonnée : UT, OTTO, M; T = ( O U I ) .
Nous désignerons par (̂ ) •* (̂ 5) 1 a commutation du circuit
de 1 'état çj) à 1 'état ^5). Ce changement d'état se tra
duira sur le graphe par une flèche horizontale dont
l'état d'origine e s t Q e t l'état final (55).
Nous allons étudier une troisième et dernière commu
tation, caractéristique du système.
- 51 -
Considérons 1 ' êta t (55) d ' absci sse A, B = (11) et d'or
donnée ÏÏF, B W K , M, T = ( O U I ) . Faisons A = 1 et B = 0
que nous portons dans les équations générales, nous ob
tenons les égalités 9 ) , 10), 11), 12) suivantes :
UP = M = I M . T I
ÏÏF i m
ïïïïffl M.UP |
10) 12)
Remplaçons dans ces é g a l i t é s , chaque terme par l a
v a l e u r que chacun p o s s é d a i t dans l ' é t a t i n i t i a l (§J),
nous en dédu isons l ' o r d o n n é e de l ' é t a t r é s u l t a n t de
l a n o u v e l l e c o m m u t a t i o n , s o i t :
ÏÏF = i , umm = i , M = o, T = o.
Cherchons dans l e t a b l e a u des é t a t s s t a b l e s s ' i l
e x i s t e un é t a t d ' o r d o n n é e ÏÏF, ÏÏUITN, M, T = (1100) e t
i' a b s c i s s e A, B = ( 10 ) .
I l n 'en e x i s t e pas ! Cela veu t d i r e que l e p o i n t du
graphe que nous v o u l o n s i d e n t i f i e r c o r r e s p o n d à un
é t a t de c o m m u t a t i o n . Nous pouvons r e t r o u v e r f a c i l e m e n t
ce que r e p r é s e n t e l ' é t a t de commuta t i on qu i possède
l es coordonnées c i - d e s s u s . Pour c e l a , voyons s ' i l e x i s
te un é t a t s t a b l e d ' a b s c i s s e A, B = ( 0 0 ) e t d ' o rdonnée
ÏÏF, UÏÏÏÏf l, M, T = (1100) t e l q u ' e n f a i s a n t A = 1 , c e l a
mène â un é t a t f i n a l s t a b l e .
L ' é t a t ÇJ) répond à l a q u e s t i o n . Remplaçons dans l es
é g a l i t é s 9 ) , 1 0 ) , 1 1 ) , 12) c tncun des terr. ies par l a
v a l e u r q u ' i l a v a i t dans l ' é t a t i n i t i . i l y 2) c ' es t - à - d i re
- 52 -
ÏÏÏÏ, ÏÏUffff, M, T = ( 1 1 0 0 ) , nous t r o u v o n s :
UF = 1 , ÏÏOTR = 1 , H -- 1 , T = 0
L ' é t a t s t a b l e @ d 'o rdonnée UP, ÏÏOTN, M, T = (1110)
e t d ' a b s c i s s e A , B = (10) e s t b i e n l ' é t a t f i n a l des
commutat ions (Jl) - (£§) e t (JJJ) - © •
E t a t i n i t i a l
E t a t de commuta t i on
E t a t de commuta t i on
E t a t f i n a l
(
A B ÏÏF CTOTN H T
1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 0 0
1 0 1 1 1 0
Nous remarquons que la commuta t ion Qjj) •+ ÇJjp e n t r a î n e
l a t r a n s i t i o n de t r o i s f o n c t i o n s a u x i l i a i r e s , c ' e s t - â -
d i r e : UP = (0 * 1 ) , H = (1 + 3 •» 1 ) , T = ( 1 - 0 ) .
Dans quel o r d r e c h r o n o l o g i q u e s ' e f f e c t u e c e t t e s u i t e
de t r a n s i t i o n ? E s t - c e une cascade ou une course c r i
t i q u e ? Nous l e saurons l o r s de l ' é t u d e des t r a n s i t i o n s
m u l t i p l e s q u i f e r a l ' o b j e t du p r o c h a i n c h a p i t r e e t qu i
p e r m e t t r a de d é c o u v r i r d ' a u t r e s t r a n s i t i o n s qu i n ' o n t
pu ê t r e mises en é v i d e n c e .
En p r o c é d a n t de l a même man iè re pour tous les é t a t s ,
nous pouvons c a l c u l e r les commuta t ions p o s s i b l e s qu i
c o n d u i s e n t à l a c o n s t r u c t i o n du g raphe s é q u e n t i e l r e p r é
s e n t a n t l e f o n c t i o n n e m e n t du c i r c u i t d ' a s s e r v i s s e m e n t
l o g i q u e p r o p o s é .
g
1
.1 UP
.DO
WN
. M
. T
.— o •— — o ~- -- o o •— o .— .— .— -̂ — o — -— .— •— «— o o
o — .— o.— .— .— .— •— a—- •— o.— o o . — .— o - ~ o - — •— .—
r fo
nc
t H 1 f f f t f f t t 111 t f 1 t t t 1 t t >
1
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S z
O f — O O — O 1 - — — — — — O f — O O — O — — — — — *—
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1
ï
UP
.DO
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vari
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le
B — ^ — O O O _ £T " O O " ©
t f f o o o f f t - o o o f t t t t t o o o _ _ _ o o o * ~ r ~ " C
Vec
teur
A — — — — — — o o o o o o
o o o [ f f" o o o f | t f { f — — _ f ( | _ _ _ O O O O O O — — — ,_,__,_
c o
j5
C E o
u
© © © (g)© ® © 0 0 ® (5 © o © o ©©O© ®© ®@© Î 11 r Î 111 Î 11 M M 1111 r 11
@©©@©(S)©©(D©©©(§)© ©>©©©©©©©©©
- b4 -
III - CONSTRUCTION DU GRAPHE CARTESIEN SEQUENTIEL :
Toutes les commutations ont été envisagées dans la
première colonne du tableau IV. Dans les deux colonnes sui
vantes figurent les deux composantes du vecteur variable.
Dans la 4e colonne se trouve la combinaison du vec
teur fonction correspondant a l'état initial et dans la 5e
colonne la combinaison du vecteur fonction correspondant
à l'état final après commutation.
Nous pouvons, dès maintenant, construire en coor
données cartésiennes, le graphe séquentiel de fonctionnement
du circuit étudié. Nous porterons en ordonnée toutes les
combinaisons du vecteur fonction UP. DOWN, M, T et en abscis
se toutes les combinaisons du vecteur variable A, B. Les
états stables seront repérés par leur numéro cerclé. Les
états de commutations seront indiqués par une croix et les
états disponibles par un carré. Nous placerons suivant leurs
coordonnées tous les états consignés dans le tableau T. Puis
nous compléterons le graphe par une représentation sagittale
pour indiquer les commutations qui figurent dans le tableau IV.
L'examen de ce graphe nous donne une vue assez
précise du fonctionnement du circuit et nous permet de for
muler plusieurs remarques :
1°) La dimension du graphe est de 2 " = 64 états possibles
avec n = 2 variables et p = 4 fonctions auxiliaires.
Or, par son fonctionnement, tel qu'il est déduit des
équations, le système ne comprend que 12 états stables.
On est autorisé, a priori, à réduire le vecteur fonction
puisqu'il n'existe que trois états stables pour 16 com
binaisons. Deux fonctions auxiliaires sont donc suffi
santes pour assurer tous les cas de figure relatifs au
fonctionnement.
De plus, cette simplification per.net de réduire le
nombre d'états libres qui peuvent, dans certains c? J . se
presenter comme des états parasites de blocage du sys terne .
- 55
0100
- 56 -
0 ' 1 1 1 1 1 ' 1
DÔWNJ ! J i i | ! \m—j—! bd ®|©!®|@l®!®!@'l@!®!©!®j@i®
DOWN J ! j \&Ax J i — E 2 & ! — I — ! Ë ^ J ®|©|©|©|®;@|®j@|®!@|@|@i®
Fig : 25 - Chronogramme c o r r e s p o n d a n t à deux o s c i l l a t e u r s de nëne f réquence
- 57 -
A
B
Û"p
DOWN
UP
DOWN
UP
DOWN;
A
B
_ 1 UP o
DOWN J
_ 1 UP Q
DOWN!
a? : DOWN 1
0
©I®!®! © ! ' ! ! 1 '
! ' !
1 -̂I l
i
I
®!@,©! ©
©'©I©! ©
I !
+-h4 ®!©!®l ©
T///////A I i
© @J®j ©
1 1 -I I
V///////À
©!©:©! @
i i
®|@l®j ®
-V//////A
®!©|®! ©
©;©;©; ©
1—r
^(///////A ©!©!®i @
-V///////A
©!©!©! © !©
®!@|©i© i® i i i !
i i i
@!©i©! © i©
©!©!©! © !® i i i !
| Y///////À
©I©!®! © |@ i L
i V//////A i V//////A i I : : i : : i
©j@i®i © ;© i@i® @ •© F i g : 26 - C h r o n o g r a m m e c n r r e s p n n d a n t à d e u x o s c i l l a t e u r s a v a n t
rip»; f a r t p u r ç ri p r p n i m p riiffprpntc
- 58 -
) Les trois états stables qui ont pour abscisse A, B = (00)
nous indiquent que le circuit n'est pas initialise et
qu'il peut indistinctement occuper trois états différents
au départ.
) Nous remarquons que les commutations (£3) -* (T2), @ - (fj),
(5J) -* (46) et (5j) •* (2J) entraînent des transitions multiples
des fonctions auxiliaires. Afin de connaître l'ordre
chronologique des transitions qui assurent les commuta
tions considérées, nous exposerons une méthode inédite
et originale consacrée â l'étude des cascades dans le
chapitre réservé à ce problème particulièrement intéres
sant.
) La distribution des séquences de fonctionnement relevées
à l'aide du graphe séquentiel fig. 25 et 26 montre que
suivant 1'enchainement des combinaisons du vecteur varia
ble et l'état de départ, certaines séquences ne réalisent
pas la fonction attendue. En effet, dans le cas où A
est en avance sur B, les séquences ( ? ) * @ •+ (?|) •+ (£jj) - (£)
e t @ - @ - $2) - (S3) -(5)n' apportent pas la correction
escomptée. Il en est de même des séquences (ë)-* (23) -• (§jj) *
© - Q X © - © " O * © - © l o r s q u e B est en avance sur
A. On peut se demander comment le circuit fonctionne
alors dans ces conditions ? Pour les séquences précéden
tes, le réseau accentue probablement le déphasage exis
tant entre les deux oscillateurs au lieu de le corriger.
Il arrive un moment où ces derniers se retrouvent en
phase et le circuit se place alors sur une des séquences
correspondant à un fonctionnement correct avec cependant
une différence ; la correction du déphasage est contrô
lée par le front arrière.
- 59 -
IV ETUDE DES TRANSITIONS MULTIPLES :
Les v a l e u r s d ' une f o n c t i o n b i n a i r e ne peuvent ê t r e
c a l c u l é s numér iquement que l o r s q u ' e l l e s c o r r e s p o n d e n t à des
é t a t s s t a b l e s ; ce qu i s i g n i f i e que l e s n i v e a u x l o g i q u e s
s o n t b i en é t a b l i s . Pendant une p é r i o d e de t r a n s i t i o n , c e l a
n ' e s t p l us v r a i . En e f f e t , pour comp lemente r une v a r i a b l e
b i n a i r e " x " , i l f a u t u t i l i s e r un i n v e r s e u r . Le complément,
""x" a i n s i ob tenu d o i t en t o u t e r i g u e u r s ' é c r i r e "A T ' x " .
Ce symbol isme v e u t d i r e que l a v a r i a b l e " x " e s t conipl émentée
avec un r e t a r d "A .̂ " dépendant des c a r a c t é r i s t i q u e s de t r a n s
f e r t de l ' i n v e r s e u r . D'une manière g é n é r a l e , i l en e s t a i n s i
pour t o u t e cha îne d ' é l é m e n t s l o g i q u e t e l l e que c e l l e r e p r é
sen tée c i - d e s s o u s :
^ V
x _ ^ 7 j \T\— AnTx'
où "n" représente le nombre de couches et " T " le retard
unité '.upposé identique pour tous les opérateurs. En vertu
de ce qui vient d'être dit, il est possible d'écrire les
équations du circuit en tenant compte du retard introduit par
chaque couche. Il est bien entendu qu'il ne peut être effec
tué de simplifications intermédiaires et qu'il est nécessaire
de conserver tous les termes affectés de leur retard propre.
Ce qui conduit finalement aux équations suivantes :
T =
A 2 T B . A 2 T DOWN
A 2 T T . A 3 T M -
A 2 T T . A 4 T A . A 4 T OP
A 2 T T . A 4 T B .A 4 T DOWN
A 2 T A . A 2 T U P
A 2 T M . A 3 T TT
A 2 T M . A 4 T A . A 4 T up
Û 2 T M . A 4 T B.A A T DOWN
A 2 T M . A 3 T T
- 60 -
UP =
A.
IT
J 2 T " - ^ T DT
A 2 T H.A 3J UP
.A 3-c TTWN 2x
A , B. A , 2 T 2 T
A . T
A , M . A , 2 T 3 T
5 W Ï
A"
UP
Ï
. A T
2T
DOWN =
A , B. A , 2 T 2 T
A . T
A , M . A , 2 T 3 T
5 W Ï
A"
UP . A
3 T DOWN . A T
2T
IV.1. Fquation de trailj it i o n :
Pour étudier de manière systématique une commutation
à transitions multiples, il est indispensable de con
naître l'ordre chronologique de ces transitions. On ap
pelle par définition "premier commutant" celui pour le
quel la variable active intervient avec le retard le
plus faible (A^ avec "n" minimum).
Durant la première transition de la cascade, les
autres composantes du vecteur fonction restent inchan
gées puisqu'elles ne sont pas encore modifiées. En rem
plaçant par leur valeur chaque terme de l'équation géné
rale considérée, on obtient en fonction de la variable
active, la relation qui donne les variations dues au
premier commutant. Puis, on fait apparaître la valeur
modifiée de ce dernier, dans l'équation générale du
deuxième commutant pour trouver la relation donnant les
variations qui en découlent.
Ainsi, de proche en proche, on peut établir successi
vement des relations particulières dites "equations de
transition", définissant une application dans le sous-
ensemble considéré du graphe. La validité de ces équations
- 61 -
se limite â la commutation étudiée, bornes incluses.
Ces expressions nouvelles et simplificatrices sont
indispensables pc " l'étude des cascades.
A notre connaissance, la notion d'équation de tran
sition n'a jamais jusqu'ici été mise en évidence par
les auteurs spécialisés dans le domaine des techniques
numéri ques.
Applications:
IV.2. Etude de la commutation (Q)-Ȃg) :
1) Recherche_du_grem]er_comn;ut ant :
La commutation @ ^ (f?) a lieu pour A = 0 et S = (1 - 0) .
La variable active est donc "B". L'ordonnée de l'état
initial @ e s t UP, D7JÏÏÏÏ, M, T = ( O U I ) . Par ailleurs,
la "variable active" B intervient dans l'équation de
DOWN avec un retard "21" qui est le retard minimal.
Nous en déduisons donc que DOWN est le premier commu
tant de la série. Remplaçons dans l'équation générale
de DOWN chaque terne par sa valeur avant de faire
B = (1 - 0) c'est-à-dire : ÏÏÏÏWlT = 1 , UP = 0, M = 1 ,
T = 1, A - 0. Nous obtenons finalement "l'équation de
transition" suivante :
ÏÏÏÏWN A, A ïï *T I T ^ T
"T (B)
- 62 -
" 2 T B
A 3 T §
DOWN = A 2 T [ l T B ]
ÏÏJ_-
aOJ
Fig. 27 - Chroriogramme relatif à la transition de la
fonction DOWN.
Ceci veut di-e que UUWN engendre, pendant la commuta
tion Çj) - Ç5) une impulsion compl émen tée de durée "i"
avec un retard de "2T" sur la transition (1 - 0) de
la variable "B".
2) B?ÇÎ!ËCÇ!]?.^y_deuxi ême_cgmmutant :
La variable active "B" intervient dans l'équation de
FF avec un retard de "3T". Nous en déduirons que FF
est deuxième commutant. Remplaçons dans l'équation
générale de FF chaque terme par sa valeur, c'est-à-
dire : DOWN = A 2 T ( I . A T B ) , FF = 0, M = 1, T = 1, nous
obtenons finalement l'équation de transition suivan
te :
FF (B\A 7B) = ,',,,ïï
Cela veut dire que i P change sous l'action de B avec
un retard de 3T sur ' comme l'indique le chronogram
me suivant. :
A 3 T B
A 5 T B A 4 T B
ÏÏP = A 3 T B
:. ?T „
- - I 1 o o o o o o ([) o o o o i-e-
JLL.
F1G : 28 - Chronogramme relatif à ia transition dt
la fonction HT5
3) B§Çb§rÇb?_du_troisième_commutant :
Pour le commutant suivant, nous remarquons que la
variable active "B" intervient avec un retard de
"4T" dans les deux équations générales de M et de
T. Nous pouvons dire, a priori, que nous sommes en
présence d'une "cascaue critique" puisque théorique
ment M et T devraient commuter simultanément. En ré
alité, cela n'est vrai qu'en première approximation,
si la variable de commande commune à M et T agit en
empruntant les mêmes couches. Ce n'est pas le cas du
- 64 -
problême proposé et nous analyserons plus loin com
ment le circuit peut se bloquer dans certaines con
ditions .
Considérons les équations générales respectives de
M et T et remplaçons chacun des termes par sa va-
l e u r , c ' e s t - â - d i r e ÏÏF
B I
3T
mm = (-. 2x M = 1 , T = 1 . Nous obtenons a l o r s
les é q u a t i o n s de t r a n s i t i o n s u i v a n t e s :
T = A 4 T E
cela veut dire que M et T changent de valeur sous
l'action de la variable B avec un retard de "4t"
comme le montre le chronogramme suivant :
B
M = T T u L
4T
F i gure 29 - Chronogramme r e l a t i f à l a t r a n s i t i o n
des f o n c t i o n s H e t T.
- 65 -
Nous pouvons tracer le chronogramme complet de la
commutation (|J) •» Q_2) représenté par la figure 30
ci-après :
A
B
DOWN
TJp
M
SU"
~^n ZàT^L
& ©
Figure 30 - Chrononramme de la commutation \3) •* (JJ)
La durée de la co v;jtation (gj) -<• (£§/ es t de "4T". Elle
est obtenue par une cascade comprenant une doubic
transition (1 - 0 * 1'• de DOl-jTJ puis une transition
(0 • 1) de UT suivie e^rin des transitions (1 -<• 0)
théoriquement s i mul ta^i-ï'; des fonctions M et T. Com
me nous l'avons prévu, n-us sommes bien en présence
d'une course critique ;:> cernant les fonctions M et
- 66 -
T. Cette course dure " 4 T " et la variable de commande
emprunte dans chaque cas un chemin différent. Si la
dispersion des temps de transit de chaque voie est
telle que l'on ait 4 T - dx pour l'une et 4 T + di
pour l'autre, c'est-à-dire des valeurs de retard
se situant aux extrémités de la fourchette de tolé
rance garantie et dans le mauvais s e n s , les fonctions
auxiliaires M et T changent d'état l'une après l'au
tre. Si l'écart "2dx" est suffisant, le circuit peut
se placer dans un état qui n'appartient pas à la
sequence prévue et le système se b l o q u e . C'est un
'_as typique de course critique qu'il faut éviter
dans tout système séquentiel. Dans certains cas, il
est avantageux d'introduire des transitions simulta
nées pour des raisons de simplication , mais il est
impératif que la variable de commande soit affectée
d'un retard identique dans son action pour toutes les
fonctions qji sont supposées devoir commuter simul
tanément. Les temps de transit peuvent varier du sim
ple au double suivant les o p é r a t e u r s , il n'est donc
pas question de les négliger.
Nous verrons plus loin quels sont les états de blo
cage possibles, quand nous aurons complété le graphe
séquentiel en y faisant apparaître les transitions
multiples.
Par ailleurs, la double transition qui a lieu sur
ïïïïîffl pendant la durée de la commutation n'affecte
pas le fonctionnement normal du c i r c u i t . C'est un
aléa' ' de continuité entre la variable B et son com
plément retardé. Cet aléa peut provoquer des déclen
chements imprévus. Il faut donc l'éviter à tout prix.
Rapport C E A - R - 4 1 6 6 .
- 67 -
Nous voyons que l e t r a i t e m e n t des t r a n s i t i o n s m u l
t i p l e s d é c o u l e d ' une p rocédure d ' a n a l y s e s y s t é m a t i
que e t f a c i l e à m e t t r e ?n o e u v r e . En p rocédan t de
l a même m a n i è r e , nous pouvons é t u d i e r l e s commuta
t i o n s (O) * @ , @ - @ e t @ - @ .
Nous ne l es é t u d i e r o n s pas en d é t a i l , mais nous don
nerons l es r é s u l t a t s o b t e n u s .
IV .3 . Etude de la commuta t i on Q — @ :
La commuta t ion ( j j ) -• ( j j ) a l i e u pour A = (1 ->• 0) e t
B = 0. L ' o rdonnée de l ' é t a t i n i t i a l @ e s t UT7, UOTK, M
T = ( l û l l ) . Tous c a l c u l s f a i t s , nous ob tenons les r é s u l
t a t s s u i v a n t s :
ÏÏF 2T T T ( f f )
trO¥N = i 3 A"
M = A 4 T A
V A
A
ÛP
DOWN
M
T
—1
i 2xi r i 3T
! 1
. 4T
, ! * T
© ©
F i g u r e 31 - Chronogramme de l a c o m m u t a t i o n (43)
- 68 -
Nous obtenons une cascade semblable à celle de la cou
mutation (gj) •* (JJ) avec une double transition (1 - 0 - 1 )
de FF suivie d'une transition (0 • 1) de DOWN et d'une
course critique entre les fonctions M et T.
IV . 4 . Etude de la commutation © * (gj? :
La commutation (bjj) •* (Zj) se produit pour A = ( 1 ^ 0 )
et B = 1. L'ordonnée de l'état initial est (FF, DOWN, M
T = (1011). Les transitions des fonctions auxiliaires
obtenues par le calcul sont les suivantes :
ÏÏP - A 2 T|T T(ÏÏ) M V A
DOWN = A 3 TA" Û 4 T | T T ( * ) |
B 1 U 1
A 0
DF 1 u 1 n
DOWN
u 1 n 1
M 0 1
T 0
— ,
!,2i;l I !~3T.
I "' J 4T r l
- ' . 4 T .M -, @)i. sr „j (?j;
Figure 32 - Chronogramme de la commutâtion @ - @
- 69 -
La durée de l a commutat ion (5J) -* (2j) e s t de " 5 T " . E l l e
e s t obtenue par une cascade comprenant une doub le t r a n
s i t i o n (1 - 0 - 1) de ÏÏP s u i v i e d ' u n e t r a n s i t i o n (0 • 1)
de DOWN e t d ' u n e course c r i t i q u e e n t r e l e s f o n c t i o n s
H e t T avec une dr .uble t r a n s i t i o n ( 1 -• 0 - 1) de T.
I V . b . E t u d e de l a comr i iu ta t i on Q -> ©
La commuta t i on (5J) » ÇMpest ob tenue pour B = (1 -» 0)
e t A = 1 . L ' o r d o n n é e de l ' é t a t i n i t i a l e s t UP, DOWN, M,
T = ( 0 1 1 1 ) . Les t r a n s i t i o n s m u l t i p l " S s o n t données par
les é q u a t i o n s de t r a n s i t i o n s u i v a n t e s :
ÏÏF = A 3 T 5 M = A 4 T | T T < * >
rrorm : T | T T ( Ï Ï ) ï = A 4 T D
ï B o
DOWN
UP
55
m 3T
4T
4T 5 T »! C*6)
F i g u r e 33 - Chronogramme de la commuta t i on (Tb)
- 70 -
Cette série est semblable à la précédente.
La fonction DOWN est premier commutant avec une dou
ble transition ( 1 •* 0 •+ 1 ) suivie d'une transition
(0 » 1) de IIP accompagnée d'une course critique pour
les fonctions M et T puis ensuite d'une double transi
tion {1 -» 0 -i- 1 ) de M. On relève également, comme pour
la commutation §9) •* Çj) deux aléas de simultanéité qui
résultent d'une mauvaise conception du circuit. Par ail
leurs, la durée de la commutation ralentit sérieusement
le fonctionnement du système.
Nous sommes en mesure de compléter le graphe séquen
tiel figure 34 sur lequel ont été portées en traits
pointillés les transitions multiples.
- 7 1
Bli- *
00 Q 0
11 A,B
F i g : 34 - Graphe s é q u e n t i e l comp le t
IV . b. Recherche des états de blocage :
Connaissant l'évolution du circuit pendant les commu
tations à transitions multiples, nous possédons mainte
nant tous les éléments indispensables pour compléter
le graphe séquentiel qui décrit de manière exhaustive
le fonctionnement du circuit dans toutes les configura
tions d'états possibles y compris l'analyse (en traits
pointillés) des cascades de commutations. La connaissan
ce de ces dernières est très utile à la mise en évidence
des états de blocage éventuels. Reprenons, fin. 34, la
commutation (5J) - Qjp dans laquelle nous avons décelé une
course critique entre les fonctions H et T. Supposons
que les temps de transit de chacune des voies ne soient
pas égaux et que les conditions requises soient satisfai
tes pour que les fonctions M et T changent successivement
de valeur, il existe alors deux cascades différentes
suivant le cas :
a) T = (1 pre -'e M = (1 0)
Etat UP .DOWN. M . T .
(.23> 0 1 0 1 1 1 état stable
X 0 c 0 1 1 1 état de commutation
i X
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1 1
1 1
1 0
" i
X
0 0 0 1 1 0 état st ible
Si la transition de T précède celle de M, la commu
tation analysée se produit en suivant la séquence
c i - d e s s u s , t i l e a b o u t i t à l ' é t a t s t a b l e Çb) d ' o r donnée
IJP, ÏÏWTI, H, T - (0110) qu i n ' e s t pas un é t a t de
f o n c t i o n n e m e n t n o r m a l . Le système ne r e m p l i t donc
p lus sa f o n c t i o n de c o r r e c t i o n de phase b ien que
les c a r a c t é r i s t i q u e s des c i r c u i t s composants se
t r o u v e n t b i e n dans les l i m i t e s de t o l é r a n c e ga ran
t i es .
b) M - (1 • 0) p récède T (1 0)
Etat
(23
UP.DOWN. M . T
0 1
1 !
1 0
0 0
état stable
état de commutation
état stable
Dans ce dernier cas, la commutation (2j) • (j_^ aboutit
a l'état s tab l e ( y qui n'est pas l'état final prévu
dans le fonctionnement envisagé. Le système ne
fonctionne plus correctement et se bloque. Cet exem
ple montre clairement que les circuits comprenant des
cascades critiques sont d'un fonctionnement délicat
et que leur utilisation n'est pas sans inconvénients
majeurs si leurs particularités de commutation ne
sont pas connues .
- 74 -
Nous disposons maintenant du graphe qui doit permet
tre, en principe, d'établir les séquences de contrôle
du bon fonctionnement du système. Or, nous avons relevé
qu'il existe quatre séquences pour lesquelles la correc
tion de phase n'est pas réalisée. Cela veut dire que
le graphe cartésien séquentiel n'est pas fortement con
nexe, et que le circuit étudié n'est donc pas un auto
mate optimal dépourvu d'aléas.
En effet, le réseau peut être initialist suivant
trois possibilités, et se placer indistinc ement dans
les états©, © o u © . Les séqu ences qui a r surent 1 a
mise en phase, suivant le cas, commencen' par l'état
© e t répondent aux quatre suites, © * •<$ - © ~ © '
©et ©-* ©^©. ©^ ©ou © - © ©'©•© e t © ' © - ® ~ © - © respecti vemen- quand "A" est
en avance sur "B" ou l'inverse.
5i l'une de ces suites est engagé' , le système fonc
tionne normalement et un contrôle e : possible. Dans
l'hypothèse où le système se place iit â 1 ' iniita!isa-
tion dans les états ©ou(9), l'une des quatre suites
correspondantes se déroulerait en boucle fermée sans
possibilité d'en sortir. Il n'est donc pas possible de
programmer des séquences de test pour contrôler ce cir
cuit hors de l'ensemble auquel .1 est associé. Par con
séquent, seule la simulation < i fonctionnement réel
permet d'effectuer un contrôle par tout ou rien sans
possibilité a'établir un diagnostic et de dépanner éven
tuel lement.
Il ne fait aucun doute que le concepteur du circuit
qui vient d'être analysé ignorait totalement les dé
fauts de conception qui :nt été mis en évidence et sont
rappelés ci-après :
- 7S -
a) Existence de courses critiques nor étudiées et mal
introduites pouvant entraîner le blocage du système
dans certaines conditions,
b) Existence de plusieurs états d'initialisation pos
sibles correspondant chacun à des séquences diffé
rentes, d'où la possibilité de se placer sur une
boucle parasite.
c) Enfin, la dimension du graphe (64 états) est trop
importante en regard de la fonction d'asservissement
a réaliser. Il ne répond pas à la condition des
états d'un graphe optimal.
Cependant, le modèle choisi a permis d'introduire et
d'appliquer des "équations de transition" à l'étude
de? cascades. De plus, il a été possible de présenter-
un exemple d'analyse exhaustive nécessaire à l'établis
sement des séquences de test automatique d'un automate
numéri que .
flous nous proposons donc d'effectuer une synthèse
rationnelle d'un circuit d'asservissement et d'en éla
borer les séquences de test.
- SYNTHESE D'UN AUTOMATE D'ASSERVISSEMENT :
Reprenons les implications de la pane 36 à l'aide
desquelles nous allons effectuer une synthèse du circuit
d'asservissement proposé. Nous savons qu'il existe au plus
trois états stables a la verticale de chaque combinaison du
vecte' • variable. Deux fonctions auxiliaires sont donc
suffisant s pour assurer la couverture de ces trois états
(condition des é t a t s ) . Le graphe cartésien (figure 3S) de
dimension limitée à 16 états possibles permet d'étudier
trois versions intéressantes dont nous établirons, pour
l'une d'entre elles, les séquences de test.
L A (0-*l), B = 0 J = ^ L UP
[ A 1 , B = (0—1) J =̂ > [ UP
[ A = (1-,C), B 1 ] =» [uF
[ A -0 , B - (1_0)] =#• [ù7
[ A •-- 0 , B = (0—1)] => [OP
[ A= (0—1), B- 1 ] =^ [OP
[ A - i . B = (l—o)] —„ [OP
[ A = 0—o), B = O ] ^ [UP
(1 — 0), DOWN •- 1 J
C — 1 ) , DOWN ••= 1 J
DOWN -- 1 J
DOWN =• 1 ]
, DOWN =(1 —Oj]
, DOWN -- (0—1)]
DOWN = 1 ] DOWN = 1
Le problème ainsi pose par ses implications essentiel
les, le graphe en coordonnées cartésiennes peut être cons
truit sans difficulté. Portons en ordonnées toutes les com
binaisons des valeurs relatives aux fonctions auxiliaires
HT e t C H W N qui constituent maintenant le vecteur fonction
et en abscisse toutes les combinaisons des valeurs relatives
aux variables A et E . Puis, en complétant le graphe par
les transitions qui ne figurent pas dans la list.? des impli
cations essentielles, on obtient la configuration ci-dessous
correspondant au cas général de deux oscillateurs ayant
des fréquences et de rapports cycliques différents.
UP, DOWN ii
1 1
1 0
0 1
0 0
0 0
a
0 1
0
A B
Figm-e ji - Granhe séquentiel d'un automate d'asservissement
On peut constater qu'il existe encore trois états
i t. j ;i | e s a la verticale a e la combinaison A, B = (00) et
,-ue pour cette dernière, le circuit devrait toujours se
trouver dans 1 ' ètat(T) d'après l'èroncè du problème. Comment
initialiser convenablement le circuit quand ce dernier est
dans l'un des deux autres é t a t s ( y o u © a u repos ? Il suffit
alors d'explorer l'une des deux séquences ci-après pour que
le réseau se place dans l'état d'origine © correspondant
au début de !a séquence d'asservissement.
B = ' i ( j ) (o 11) (10 ) (00 ) A,
©•©-0 -0 -© © - © • © -@-®
( 0 0 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 0 1 ) ( 0 0 )
© - © - © - © - © © • © •© •©•©
Ce retour a 1 'origine est facilement realisable par-
programme dans le cas de tests automatiques. De plus, il
suffit d'introduire les coordonnées des quatre états dispo
nibles dans les commandes des deux fonctions auxiliaires i.F-
et U0Wfi pour que le système ne se bloque pas dans un de ces
états.
L. 1ère réalisation pratique :
La configuration du graphe séquentiel fin. ï^> permet
d'envisager une première solution utilisant deux fonc
tions n i bi n a i re s inverses dont les équations des fonc
tions auxiliaires ÏÏV et 0 0 H h sont :
ÎTP = B i ( ÏÏF, z , 5, K )
avec 7. = UÏÏ.S, S = DMR.ÏÏ, k 1
e t TTTJwN = Bi (DiTRT?, I 1 , $ ' , £ ' )
a v e c : ? ' = nCWfî .3 , 5 ' = UP. S , K' -- 1
Lu c h o i s i s s a n t un b o î t i e r SN/4 /6 ou SN7 4 H 7 J CJU
S ' i ' i S l l i : e t un d e m i - b o î t i e r S f. 7 4 0c , nn o b t i e n t le lu n i
pra^iiie de la f i n . 36 c o r r e s p o n d a n t a u x e q u a t i o n s t r r u j v i
A O
B O
Fi gure 36 - Logigramme correspondant à la 1ère solution
V.2. 2e réalisation pratique :
A l'aide du même graphe séquentiel de la fig. 35,
on peut envisager une deuxième solution au moyen de
deux bascules "D" du type SN7474 et dont les éléments
de commande ainsi que le logigramme sont données ci-
après (fin . 37).
Deuxième réalisation pratique —
TTP = B ( Ï Ï F , d ' , H' , V , FF' )
a v e c d ' - DOWN, H 1 - A, 5 ' = ïï, K ' = 1
e t ÏÏTOTJ = B(ÏÏÏÏÎTK, d , H, "5 , R)
avec d = UP, H = B, 5 = A", R" -- 1
Ce t te deuxième v e r s i o n neut ê t r e r é a l i s é e a l ' a i d e
d 'un b o î t i e r S N 7 4 7 4 e t d 'un d e m i - b o ï t i e r S U7 4 0 0.
A O
« ~ DOWN
Logigramms correspondant â la 2e solution
f i g u r e 37 - Logigramme c o r r e s p o n d a n t a la ie s o l u t i o n
1 1 1 i i s a H t d e i
;n ;ieut imaginer une autre con f i q u r a t i on dans laquel
le 1 ' e t a t(j) es t depiar. " au point de coordonnées A, E,
!TP~, D 0 W 'i -- (IJCJOO) comme l'indique le nraphe fin. 3 h .
X >*-DOWN'
Figure 38 - Graphe séquentiel (3e solution)
Moyennant un transcodage, on obtient les deux fonc
tions cherchées qui sont UP' et DOWN'. L'initialisation
a lieu suivant le même processus utilisé précédemment,
compte tenu qu'il existe toujours trois états à la verti
cale de la combinaison A, B = ( 0 0 ) .
Cependant, cette nouvelle distribution des états s t a
blés entraine une course critique entre UP et D^iv.. .'et
c o m m u t a t i o n t h é o r i q u e m e n t s i m u l t a n é e e s t c o n c e v a b l e pou
d e u x r a i s o n s :
a ) La r e m i s e à z é r o d e s d e u x f o n c t i o n s a u x i l i a i r e s c - -
r é a l i s é e à l ' a i d e d ' u n même é l é m e n t de commandc-
f< = UP", DOWK, A", B" é l a b o r é a p a r t i r d ' u n o p e r a t e ' . -
u n i q u e .
b j Dans l ' h y p o t h è s e ou i l e x i s t e r a i t une c a s c a d e due •
une d i s p e r s i o n d e s t e m p s de t r a n s i t e n t r e l e ; dc ••. •
c h e m i n s p o s s i b l e s ? E 3 - CJ B 6 o u S E 1 0 - 1 2 a 1 3 -,• ) î •• I o n ï -
gramme f i g u r e 4 2 ) , l e s deux, s e q u e n i e s s u i v a n t e s p y j
r a i e n t se p r o d u i r e :
ETAT n°
A a UP DÔïïÏÏ
(0 *
© te
0
0
9
0
1
0"
0
9
1
1
1
9
1
1
9
9
i* ©
*©
1
9
0
0
9
9
0
9
1
1
1
9
1
i
1
9
Etat stable
" de commutation
" b i forme
" stable
" stable
de cr.-inutati.in
" b i fn rm°
" stable
Pendant les transitions successives de la cascade,
les étapes intermédiaires sont représentées par les
états bifo m e s Q e t © d ont la solution est obtenue a
l'aide de deux fonctions impulsions qui seront mises
en évidence lors de l'étude di: la course critique. On
mettra aussi en evidence le déi. al age maximum adu. i s s i -
. c ! o entre ÏÏP et U 0 V, N pendant les continu ta t i cms (7) • (û)
et Qj) -(ji), assurant ainsi un fonctionnement :orrect.
On peut déduire des graphes d'émergence relatifs
aux fonctions UT et DUCT, les équations correspondantes
ainsi que celles des fonctions de transcodage UP' et
DOWN'.
DOWN,UP |
1 1
1 0 -
0 1 -
0 0 -
Figure 39 - Graphe d'émergence de la fonction ÏÏP
- .,4 -
L'équation relative à la f o n c t i o n mémoire Û~P* est
IF =
iUP
jTTT 'DOWN.
! i A j
! A j
a v e c S = A e t R = A". ïï. U T . rJDVTC
L ' é q u a t i o n r e l a t i v e a l a f o n c t i o n de t r a n s c o d a g e
UP' e s t :
UP ' = I UP j
DUCT
DOWN, UP, i
1 1 . * (& L - ^ * 7 '
1 0 - T® TDOWN'X ,
1 /
M ! s 5 !
0 1 (iff/ 1
! x i i i • j
0 0 (8T [ x
1
1 Y X
i i — 0 1
A B
F i g u r e <?U - G r a p h e d ' é m e r g e n c e de l a f o n c t i o n DTik
L ' é q u a t i o n r e l a t i v e a la f o n c t i o n mémoire rJOHTi e s t
UP
! UTTïmi DOWN i
a v e c S = B e t R = ff . E . FTP". ITOTN
L ' é q u a t i o n r e l a t i v e a la f o n c t i o n de t r a n s c o d a g e
DOWN' e s t :
D O W N ' DOWN
- 86
A _ l L i i
1 ~1 _ l L i i
i i B ! ' ! 1 1 ! L i
! 1 1 ! L
i
UP H U ! 1 i ! ~i H U ! i i i
DOWN : i i 1 ! i ! 1 ' !
i i i ' 1 ! i !
1 ' ! 1
UP' V//À 1 i i
1 ' 1 i l 1
i i
D O W N '
A
i i : ' ®i®;©!(
i i
! ^ ! \
©'® ®!®!©i®:®
B i i
i i i ! i i
! i i —! ! ' L • UP 1 i '
1 ' ! i j !" ^ ' i ^ 1 i '
1 ' ! i j !" i
DOWN
1 i ' 1 ' ! i j !" i i ! !
1 I I I
i
Y//fr//\ i i ! ! 1 I I I
i
UP- Y//fr//\ 1 ' 1 1 1 1 1
1 ..[ ' '
i i
DOWN' i \
©!©!©! ! V/////A ! i \
©!©!©! ©i® ® ®®! ©:® A i
i i I ~i i i i
i i I B
i
i i I i ' ! : i ' ' ; i i !
UP — ! ' 1 ' ' — ! ' 1 i i ! DOWN ! •" ' i
UP' V//À \ i i .
1 i 1 ! ' i
i i
DOWN'
F i g ; 41
! ! ! : VXA ©!©©:©!© ® i®©
- D i s t r i b u t i o n des- séquences de f n n c t i
i
©i®
-innenent
- o7 -
. 4 . E t u d e de la c o u r s e c r i t i q u e :
On peut é t u d i e r le d é r o u l e m e n t de la c o u r s e c r i t i q u e
e n t r e u T et D O W N et ses c o n s é q u e n c e s s u r les f o n c t i o n s
de t r a n s c o d a g e qui f o u r n i s s e n t U P ' et D O W N ' .
Les é q u a t i o n s c o m p l è t e s , é c r i t e s en t e n a n t c o m p t e
des r e t a r d s dûs à c h a q u e c o u c h e , p e r m e t t e n t de c o n s t r u i
re le c h r o n o g r a m m e des c o m m u t a t i o n s Q j ) » Ço)e t {jj - (6) .
W •., UP.,'., 2 T 3 T
UP |
D 0 W N | et UP'
t A
! " 2 T tfUFH
rjïïTïï '2t
ÏÏÏÏVTÎ. 3T
i U P i i D 0 W N :
B
et D O W N '
I---2
,D0KN| I
Etudions la commutation (jj) -Q-yqui a lieu pour
A = (1 - 0 ) avec B = 0 et DT = iïOUïï = 1. La variable
active étant "A", remplaçons dans les équations géné
rales chaque terme par sa valeur avant de faire
A = (1 + 0 ) , on obtient :
W a, A 3T = A 3 T A et D W R = ft3 A
Remplaçons maintenant, OT et DOWN par leur nouvelle
valeur, dans les équations générales et dans celles de
transcodage. On obtient alors les équations de transi-
t i o n our Id commuta t ion ( j j ) • (Cyqu i m e t t e n t en e v i d e n c e
1 ' e x i s t e n c e de f o n c t i o n s g é n é r a t r i c e s .
: ' - . A
;'. A
e t DWK = ' t TA . ./
•T, (A)
que l'on peut remplacer dans les équations de UP' et
DOWN', d'où :
UP' i 4:
"4T'T T (A) et DOWN' •4T
.'.. A . 1 T
•-4TTT(A)
! 1
•lais, comme nous ne considérons que la transition
- 0) de "A", on peut écrire que :
1 et DOWN' 1
Les fonctions de transcodage UP' et DOWN' sont donc
constantes et égales à "1" durant la conuiiu ta ti on (jj) • (ô),
résultat attendu. On peut donc affirmer qu'il n'y aura
pas d'aléas de non simultanéité qui résulteraient de la
commutation quasi simultanée de DT et DOWN, dans la me
sure où le retard de l'une par rapport à l'autre de
ces dernières n'excède pas la valeur " T " comme nous le
verrons plus loin.
La différence relative par rapport au temps de tran
sit correspondant aux deux opérateuis qui élaborent ÏÏP"
e t DOWN est de b 0 . C'est une marge de sécurité cpnfor
table compte tenu de la dispersion de fabrication des '. i r
cuits intégres. Par ailleurs, le facteur commun représen
te par P: - CTF . D 0 Vi N . A". 5 , qui constitue la mise a zero
commune ies deux fonctions m é m o i r e s , contribue a assu
rer' le ce roulement correct de la course critique en limi
tant le de, M s a r e entre les deu< fonctions au < i 1 i a i res .
Les chronogrammes suivants illustrent bien le retard
limite a d m i s s i b l e , tn effet, écrivons les equations
co ni piétés en supposant que IIP est en retard de la valeur
" - ,: p a r r a p D o r t à [iTFÇTR :
_TTP". : 'DOWN
ÎJV
UP
Wl'
A !
A TA
DHW
UP
D O W N . • ., ] DOWN
! A
! 3
Faisons A -- (1 - 0) avec DT = UTJTwTI = 1 et B ^ 0, on
obti ent :
UP" = ',, TA, ETjtfTT = ' _ A
d'où l'on tire les équations de transition suivantes :
CT lt K\ J 3 l(A)
DWN • . b T A . ' . 3 T T ; T ( Â )
- 90 -
A ? T A _ !
t T
A 1
A < T A J, _ _ J _
A 4 TI3T(A);
A 7 T A Î" i
"Op L 4T
7T
A 6 T A A 6 T A H
A-aT T vrfZl ' 1— 1
A 5 T A ^ S T : ~a A 5 T A ^ S T :
DOWN ! 3T L
F i g u r e 42 - Chronogramme r e l a t i f à l a commutat i on (Tj) -• (Ô)
pour un déphasage e n t r e ÏÏP" e t DOWN de " T "
Le chronogramme p r é c é d e n t m o n t r e b i e n q u ' i l e x i s t e
une zone a ' i n c e r t i t u d e à " 7 x " ce q u i j u s t i f i e l a l i m i t a
t i o n du r e l a r d e n t r e ÏÏP e t DOWN à l a v a l e u r maximum de
" T " , s o i t une couche .
Le sys tème é t a n t s y m é t r i q u e p a r r a p p o r t aux v a r i a b l e s
A e t B, l e même ra i sonnemen t a p p l i q u é â l a c o m m u t a t i o n
© - ^ © p e r m e t d ' a b o u t i r aux mêmes c o n c l u s i o n s .
La s y n t h è s e é t a n t e f f e c t u é e de man iè re r i g o u r e u s e ,
pu i s c o m p l é t é e par une r e c h e r c h e des a léas p o s s i b l e s ,
- 91 -
compte t e n u de l a t e c h n o l o g i e u t i l i s é e , on r e t i e n d r a
c e t t e t r o i s i è m e s o l u t i o n qu i s ' a p p a r e n t e au schéma o r i
g i n e l pour l ' é l a b o r a t i o n des séquences de t e s t .
L ' e x p é r i m e n t a t i o n du c i r c u i t r e t e n u , e f f e c t u é e dans
l e p i r e c a s , a c o n f i r m é l ' é t u d e t h ê i ique ; ce qu i p e r
met de t i r e r l a conséquence s u i v a n t e , à s a v o i r que l a
f i a b i l i t é d ' u n système ne dépend pas e x c l u s i v e m e n t de
l a c o n f i a n c e que l ' o n peu t a v o i r dans es c o m p o s a n t s ,
mais é g a l e m e n t de l a man iè re d o n t a é té conçu l ' e n s e m
b l e à c o n t r ô l e r . Une s y n t h è s e r a t i o n n e l l e peu t s e u l e
f o u r n i r ces r e n s e i g n e m e n t s .
DOWN'
F i g u r e 42 - Logigramme c o r r e s p o n d a n t à l a 3e s o l u t i o n .
- 92 -
5. Contrôle de l'automate d'asservissement :
Après avoir placé le système à l'origine, l'état©,
en explorant une première suite d'initialisation, on
peut mettre en évidence deux groupes de séquences de
test fig. 43 .
® © v 0 — 0 — ®
©—© — 0
Figure 43 - Diagramme sagittal des séquences de test.
L'organigramme de test sera établi à partir des équa
tions complètes ci-dessous :
ÏÏP =
A, ÙT.A, ^T 3l
UP
DOWN
A
DÏÏTO =
â A T-
A DOWN.A, 2T 31
UP
DOWN 1
A B
UP' =
DOWN'
A UP T A, BWN 2T
A DOWN T
A ? T W
- 93 -
Connaissant les caractéristiques logiques de l'auto
mate ainsi que le nombre de vecteurs à tester, il est
alors possible d'encager la procédure de contrôle en tou
te connaissance de cause. Nous pouvons établir l'organi
gramme de test à partir du diagramme sagittal de la fi
gure 43 .
ORGANIGRAMME DE TEST
ÛT = 0 UP'
mrm = DOWN'
Test l - I n i t i a l i s a t i o n ê ta t ( Ï Ï )
= 1
ÛT =
0
1
(0 - 1)
0
(0 * 1)
UP' = 0
DOWN = DOWN'
Test 2 - C o m m u t a t i o n © - ®
- 94 -
UF UP' = 1
ÏÏTJFW =
0 0
0
1
(0 - 1)
(0 - 1)
D O W N '
T e s t 3 - C o m m u t a t i o n ( D + @
= 1
OT =
0
0
(1 - 0)
1
( 1 -> 0)
UP'
ÛÏÏWN = 1 DOWN' = 1
T e s t 4 - C o m m u t a t i o n © •* (? )
- 95 -
V . 6 . Organigramme de t e s t ( s u i t e ) :
W = + l . A , ro . i ]
J 3 i
0
(1 - 0)
= 0 ,UP ' ( 0 - 1 ) | = !
A T d - 0)
TOM a. A 3 x 3 1 [0 - lj
0
(1 - 0)
= 0 DOWN' = (0 - 1)
A T ( 1 - 0)
(1 -* 0)
= 1
Tes t b - Commutat ion ÇJ) -+(o)
TJP" = UP' = 1
TTDTÎÏÏ 0 1
0
0
(0 - 1)
(0 * 1)
DOWN'
Tes t 6 - Commutat ion © * ©
S6
FF =
0
0
(0 - 1)
1
(0 - 1)
= 1 UP' = 1
urvffi = = l DOWN'
Test 7 - Lommutation ^)-+ (ÏJ)
UP = 1 UP' = 1
DOWN = 1
0
u 1
(1 - 0)
(1 - 0)
DOWN' = 1
Test 6 - Commutation (fjj) ->• (Q
- 97 -
w = : •
0 - 1 3 T [ O - 1
(1 - 0) 0
(1 - 0)
= 0 UP' (0 - 1) A T (1 - 0) = 1
M M = '1 HA 3 T 3 T
(1 - 0 0
0 - 1 0 - 1 - 0 DOWN' (0 - 1)
A T (1 - 0)
Test 9 - Commutation © -(eft
TJF =
0 1
( 0 - 1 * 0 ) 0
( 0 - 1 - 0 )
UP' = 0
M M = = 0 DOWN'
Test 10 - C o m m u t a t i o n © - © - ^
UP = A 3 T ( I -> o) |
(0 - 1)
98
= 1 UP'
ÏÏUM =
0
0
0
(0 -» 1]
( 0 •+ 1 )
Tes t 11 - C o m m u t a t i o n ( l ) - > - @
ÙT = 0
DOWN1 = 1
UP' = 1
DOTTR
(0 + 1 * 0 )
( 0 - 1 •+ 0)
DOWN' = 0
Tes t 12 - Commutat ion ( o ) - © - * - ©
UP = (0 - 1)
û
(0 - 1)
UP' I 0
- 99 -
ÏÏÏÏHfl A 3 T ( 1 - 0)
0
(0 - 1)
û
1 D O W N ' = 1
TEST 13 - C o m m u t a t i o n ^ } ^ (H)
- 100 -
V . 7 . Programme de t e s t :
Test n"
Assi gnati on des variables
Contrôle des
fonctions Di agnos ti cs
1
A = (Û • 1) B = (0 - 1) A = (1 -- 0) B = (1 -• 0)
RA;
UP' = 1 DOWN' = 1
1A = 1 2A = û 4A = 0 5A = 1
IB = 0 2B = 1
8B = 1 9B = 0
4B = 1 bB = 1
UB = 1 1ZB = 1
1C = 0
4C = 0
bC = 0 9C = 1
11C = 1 12C = Û
2 A = (Û - 1)
UP' = 0 DOWN' = 1
1A = 0 2A = 1 4A = 0 bA = 1
IB = 1 2B = 1
4B = 0 bB = 0
4C = 1
hC = 1 9C = 1
11C = 0 12C = 0
3 B = (Ù • 1)
UP' = 1 DOWN' = 1
1A = 0 2A = 1 4A = 1 5A = 0
11B = 0 1ZB = 0
1C = 1 8C = 1 9C = 0
11C = 0 12C = 1
4 A = (1 - 0)
UP' = 1 DOWN' = 1
1A = 1 2A = 1 4A = 1 5A = 0
4B = 1 5B = 0
b B = (1 - 0)
UP' = 1 DOWN' = 1
1A = 1 2A = 0 4A = 0 bA = 1
IB = 0 2B = 1
8B = 1 9B = 0
4B = 1 bB = 1
11B = 1 12B = 1
1C = 0
4C = 0
8C = 0 9C = 1
11C = 1 12C = 0
b B = (0 - 1)
UP" = 1 DOWN' = 1
1A = 1 2A = 0 4A = 1 5A = 0
8B = 1 9B = 1
11B = 0 12B = 0
bC = 0 9C = 0
11C = 1 12C = 1
7 A = ( 0 * 1)
UP' = 1 DOWN' = 0
4B = 0 bB = 0
8C = 1 9C = 0
iic = o 12C = 1
b B = (1 - Ù)
UP' = 1 DOWN' = 1
1A = 0 :„ = i 4A = 1 bA = 1
11B = 0 12B = 1
- 101 -
Test n°
Assignation des variables
Contrôle des
fonctions ûi agios tics
9 A = (1 - 0) UP' = 1 DOWN' = 1
4B = 1 5B = 1
10 A = (0-1-0)
UP' = 0 DOkN = 1
1A = 1 2A = 1 4A • 0 bl- 1
4B - 1 5B = 0
11 B = (0 - 1) UP' = 1 DOWN' = 1 6B = 1
9B = 1
12 B = (0-1-0)
UP' = 1 DOWN' = 0
1A = 1 2A = " 4A = x 5A = 1
11B = 0 12B = 1
13 A = (0 - 1) UP' •-= 1 DOWN' = 1
IB = 1 2B = 1
1
- 102 -
VI - £T^p_^_Di LA BASCULE TTL SN54S112 :
Ce circuit appelé couramment "J-K négative-edge-triggered
fip-flop" comme une pseudo-bascule J-K dont les commutations
ont lieu sur les transitions (1 -+ C) de l'horloge "H".
Les entrées "J" et "K" jouent le rôle de variables condition
nelles. Cette bascule n'est autre qu'une fonction mémoire
dans laquelle est introduite une fonciton génératrice dans
la commande de mise à "un" (porte P2) ainsi que dans la com
mande de mise à "zéro" (porte PI).
Pour mener à bien l'analyse d'un tel réseau, il est
indispensable d'écrire les équations en tenant compte des
différentes couches successives et en ,.yant soin de conserver
tous les termes, autrement dit, en s'abstenant de simplifier,
afin de faire apparaître les fonctions impulsions de la for
me :
1 ( H ) = "R.A(H) H
Ce sont ces dernières qui sont responsables des commu
tations de la bascule dont le logigramme est donné fig. 44.
Figure 44 - Logigramme de la bascule SN54S112.
- 103 -
VI.l. ETABLISSEMENT DES EQUATIONS LOGIQUES :
Le logigramme de la bascule SN54S112 qui est donné dans les
catalogues n'est pas rigoureusement représentatif du schéma ëlec-
Lrigue. Si, sur le plan du fonctionnement logique du circuit il
y a bien correspondance, l'évaluation des temps de transit est
moins facile. Cependant, c o mpte tenu de la structure du circuit élec
trique et de ses caractéristiquesfonctionnelles, on peut fixer approxi
mativement pour chaque opérateur, les retards suivants :
Opérateur PI P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
Temps de transit 3* 3tr « r S- r •r S
•g étant le retard unité, les équations du schéma logique
s'établissent ainsi :
Q = A2tf 2
_ S _
H.C I
Q = A 2 * _ R-H.D
Q* = Û2< Q.R
Mais
D = A 3 S D = à 3 i j Q.S.K.H , C = A 3< rQ*.R.J.Il|
D'autre part
Q = A 2«
H.A 3^[Q.S.K.H] • C* = A2tf
Ol
A3* o
Q.R K H
H
L
ET :
C = A 3* R.J.HA 2< H. û 3 ï(Q.S.K.H)|
- 104 -
F ina lement
Q = A 2 *
H.A Jtf
A 2 <
R . J . H . A
* la
Q.R A 3 < s K H H
L s .
2 *
Q R
H.A 3 ^(Q.S.K.H)
J l Posons R = S = 1 , on o b t i e n t :
Q = A 2 Ç
>2* ' 3 *
L - _
5-A3.JJ-H-A*! H.A3J(Q.K.H)|]
C ' e s t l ' é q u a t i o n d ' u n e f o n c t i o n mémoire de l a forme Q r f
cfcmt l e s é l é m e n t s "R" e t "S" s o n t :
QR S
R'= H* [H.A 3«-(Q.K.H)]
S •= A m H.A 3 t f [j.H.A2*| H.A 3^(Q.K.H)|1
2. DISCUSSION : Si Q = 1, posons K = 1, J = 0, on obtient :
R'= A^H.A^IH)] = A^I 3 t f(H)
La relation A^I^tB) est une fonction génératrice qui engendre une impulsion positive d'une durée de "3tf" en retard de "4*" sur la transition (1 •* 0) de "H" et entraine la com-
- 105 -
mutation (1^0) de la fonction "Q".
Si Q = 0, posons J - 1, K = 0, on obtient
3' = A 2 ï.^H.A 3 t r(H)j = A 2 ^ 3 * ( H )
A2_I,_(H) engendre une impulsion positive La fonction génératrice
d'une durée de "3tf" en retard de "24" sur la transition (1 •* 0)
de "H" et entraine la commutation (0 •» 1) de la fonction "Q".
On voit clairement que la variable active est l'horloge
"H" tandis que les variables "J" et "K" jouent le rôle d'élé
ment conditionnel permettant de faire commuter la bascule
soit dans un sens, Q = (0 -* 1) avec J = 1 et K = 0, soit dans
l'autre, Q = (1 •* 0) avec K = 1 et J = 0.
Par ailleurs, la durée "3<" de la fonction impulsion
I3^(H) est une caractéristique du circuit que le fabricant
appelle T.,,. C'est la durée nécessaire pendant laquelle la
bascule est mise en condition en maintenant "J" ou "K" à
"un" suivant le cas. La propriété principale de ce type de
bascule est d'avoir une période de sensibilisation réduite au
minimum "3C" et par conséquent d'être moins vulnérable aux
parasites qui pourraient être présents sur les lignes "J" et
"K". Cependant cet avantage n'est pas sans inconvénient ; en
effet, les fonctions génératrices responsables des commuta
tions sont engendrées par Jes transitions (1 •» 0) de "H", ce
qui impose à l'horloge d'avoir des fronts dont la durée soit
inférieure ou égale à "2tS".
Posons J = K = 1 et voyons comment le circuit peut
fonctionner en diviseur par deux. L'équation générale s'écrit
A4*
A 2 1 (H.A 5*H.A 7 t f
Q A3* Q
H 43* «
H.A3<(Q.H)
Supposons 0 = 0 , la mise à "un" a lieu suivant la chro
nologie ci-après : (voir figure 45).
- 106
> Mise ô 'un*
Q , A4* Q- A , * H
Fig. 4b - Chronogramme r e l a t i f à la t r a n s i t i o n (0 •* 1) de "0"
La fonction générat r ice A2^13^(H)entraine la t r a n s i t i o n (0 -» 1) de la fonction "Q" avec un r e t a r d de "2t". Puis e l l e e s t maintenue à "un" par la r e l a t i o n :
A 4 <
Supposons Q = 1, la mise à "zéro" a lieu suivant la
chronologie ci-après : (voir figure 46).
Q - û 3 * Q
H
. J
- 107 -
H
û 4 r H
Q
kt
^r Ul 4Ï 13 « » s.
««•
Q= û/ ,* Q û 3 * H
H = A 4* Q.I3*(H)
Fig. 46 - Chronogramme relatif à la transition (1 -• 0) de Q.
La fonction génératrice Û<wl3£ (H) introduite dans le terme
R entraine la transition (1 ->• 0) de la fonction "Q" avec un
retard de "4*". Cette dernière se maintient à "zéro" puisque
le terme s'= A20H. A 5^H.Û 7 <H. AiotfH est égal à "zéro". Puis
l'impulsion suivante de l'horloge "H" engendrera une fonction
génératrice dans le terme "S" qui entraînera la transition
(0 •* 1) de Q et ainsi de suite.
Ainsi pour J = Y. - 1, le sens de la confutation est con
ditionné par l'état dans lequel se trouve la bascule avant la
transition (1 •* 0) de "H". En effet, lorsque 0 = 1 , la mise
à "un" est inopérante et la mise â "zéro" est active. Récipro
quement, lorsque Q = 0, la mise à "zéro" est sans effet et
c'est la mise à "un" qui est active à son tour.
V I . 3. CONSTRUCTION DU GRAPHE SEQUENTIEL :
La connaissance de tous les états stables et de toutes
les commutations du circuit consignés dans les tableaux XII
et XIII a permis de. construire le graphe séquentiel de la
bascule SN54S112 (voir figure 47).
- 108 -
J K H Q N° de!
l ' é t a i l
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 2
0 0 1 1 3
0 1 0 0 4
0 1 c 1 5
oy 0
1 1
1 1
0 1
6 7
0 0 0 8
0 0 1 9
0 1 0 10
0 1 1 11
1 0 0 12
1 0 1 13
1 1 0 14
1 1 1 15
V - Tableau des états stables.
Commutation Vecteur v a r i a b l e Vecteu
Etat . in i t i a !
Q
r fonc t i o n Etat f ina l
0
Commutation J K H
Vecteu Etat . in i t i a !
Q
r fonc t i o n Etat f ina l
0
© . 0 0 0 (0 - 1) 0 => 0
0 - 0 0 (0 - 1) 0 0 => 0
0 - © (0 - 1) 0 0 0 =» 0
0 -• 0 0 0 (0 * 1) 1 => 1
© - m 0 (0 - 1) 0 1 =» 1
0 - © ( 0 •+ 1) 0 0 1 =» 1
0 - 0 0 0 (1 -. 0) 0 => 0
0 - 0 0 11 - 0) 1 0 => 0
© "* (T| (0 * 1) 0 1 0 =» 0
(3 - Ci) 0 0 (1 - 0) 1 =3 1
- 109
Commutation Vecteur v a r i a b l e Vec teur f o n c t i o n
Etat in i t ia i
0
Etat f inal
0 (0 -
0 0
(0 -0 0
(0 ~ 0 0
(0 -0 0
(0 -
(1
(0 - 1)
0
(1 -<• 0)
1)
1)
(1
(1
0)
0)
(1
(1
(1
(1
0)
0)
(1 - 0) 1
0
(0 - 1)
0
0
(0 -* 1)
0
0
(0 - 1)
0
0
(0 - 1)
on o 1
(1 - 0)
01| 1
1
(1 - 0)
1 1
0
(0 - 1)
0
(0 - 1)
0
0
(1 •* 0)
1
1
(1 ->• 0) 1
1
(0 - 1)
0
0
(0 •* 1
0
0
(1 -+ 0) 0
1 0
(1 •* 0) 1
1 1
1 1
(0 •* 1) 0
0 0
0 0
(0 ->• i ) 1
0 1
1
1
0 0 0 1
1
1
0 0 0 0 1
1
0 0 0 1
1
1
1
0
0
1
1
1
0 0 0 1
1
Q £
o l
tr H
Flg 47 Graphe séquentiel de la bascule J-K SN54SII2
I l l
Commutation-
V e c t e u r f o n c t i o n V e c t e u r v a r i a b l e Etat Etat i n i t i a . final
0 Q
Commutation- J K H
V e c t e u r v a r i a b l e Etat Etat i n i t i a . final
0 Q
Q * © (1 •* 0) ^ 0 1 => 1
Q - Q 1 1 (1 - 0) 0 => 1
@ - @ 1 (1 - 0) 1 0 =» 0
tih - (0 (1 - 0) 1 1 0 =» 0
(Ts) - @ 1 1 (1 - 0) 1 => 0
d - oy 1 (1 - 0) 1 1 ^ 1
( ! ) (1 - 0) 1 1 1 =* 1
VI - Tableau des commutations.
L'examen du graphe permet de voir qu'il existe deux grou
pes de séquence que l'on peut analyser aisément en décomposant
le graphe général en graphes partiels.
VI.3. PREMIERE SEQUENCE :
Cette séquence correspond à un fonctionnement en pseudo
bascule J - K. Les entrées "J" et "K" étant les variables de
mise en condition et l'horloge "H" la variable active.
Le graphe partiel de cette première sé-juence est donné Fig. 4b.
0 © ©
0 ®
Fig. 48 - Graphe partiel relatif à la première séquence.
- 112 -
Cette séquence peut se décomposer en plusieurs suites empruntant des chemins différents suivant que l'état d'ini tialisation se trouve dans l'état (o) ou Çl) .
Nous pouvons illustrer ces différentes suites en dessinant les quatre chronogrammes suivants :
0 24=fft ©!©i©j©i©i©|©j©
m ± R ©:©!©;©:©;©i©i©l©
c) I r m^\ ©:©©!©!© ©]©!0!0
- 113 -
d)
\
©!©!©:©©!©!©!©!©
Fig. 19 Chronogrammes relatifs à la 1ère séquence.
Les commutations relatives à ce mode opératoire sont
définies par les implications suivantes :
J = 1, K = 0, H = (1-0) =* Q = ( 0 - 1 )
J = 0, K = 1, H = (1 - 0) =!> Q = ( 1 - 0 )
DEUXIEME SEQUENCE :
C'est le mode de fonctionnement classique en diviseur
par deux. En maintenant les entrées "J" et "K" au niveau
logique "un", le circuit commute sous l'action des transitions
(1 -*• 0) de l'horloge "H" qui est la variable active. Seal
l'état dans lequel se trouve la bascule avant la transition
(1 + 0) de "H" conditionne le basculement suiv.-.nt.
Le graphe partiel et le chronogramme relatifs à cette
séquence sont donnés figure 50.
Les commutations qui déterminent ce mode opératoire
sont définies par les implications suivantes :
J = 1, K = 1, H = (1 - 0) =* Q n + 1 = Q
- IK -
Fig. 50 - Graphe partiel relatif à la 2ëme séqense.
VI .4.INFLUENCE DES VARIABLES R ET S : Le graphe suivant décrit l'action des entrées "R"
(mise à "0") et "S" (mise à "1"). Les entrées "J" et "K" sont maintenues au niveau loaiaue "J."
Fig. 51 - Graphe séquentiel de la bascule SN54S112 fonctionnant en R," S, H.
- lib -
On peut remarquer que pour R = S = 0, on obtient Q = 1.
Ceci correspond à une bjscule à "S" prioritaire par rap
port à "R". D'autre part, l'action des varaibles "R" et
"S" est indépendante de celle de l'horloge "H".
Lorsque R = S = 1, le circuit opère en simple bascule
dont le fonctionnement en diviseur par deux a lieu sur
les transitions (1 - 0) de l'horloge "H".
R e m a r n • • •-• •
C e t t e b a s c u l e F o n c t i o n n e s u r d e s t r a n s i t i o n s r a p i d e s
et r é s o u d l ' a l é a d e s i m u l t a n é i t é à l ' a i d e de f o n c t i o n s
g é n é r a t r i c e s d o n t la l a r g e u r de l ' i m p u l s i o n i m p o s e
c o r é l a t i v e m e n t u n e d u r é e tt s e n s i b i l i s a t i o n r é d u i t e .
T e l l e s s o n t les b a s c u l e r de ce t y p e q u i o n t é t é p r é c i s é
m e n t c o n ç u e s p o u r p a l l i e r les i n c o n v é n i e n t s d û s a u x
a l é a s de c o m m u t a t i o n qui a p p a r a i s s e n t s u r les e n t r é e s J
et K. La s o l u t i o n c h o i s i e p a r le c o n s t r u c t e u r r e l è v e
d a v a n t a g e d ' u n a r t i f i c e de c o n c e p t i o n p e r m e t t a n t de d i m i
n u e r les e f f e t s i n d é s i r a b l e s d e s a l é a s , p l u t ô t q u ' e l l e
n ' a p p o r t e un r e m è d e qui e n t r a î n e r a i t la s u p p r e s s i o n r é e l
le des d o u b l e s t r a n s i t i o n s p a r a s i t e s .
- 116 -
C O N C L U S I O N
L'analyse structurale des circuits combinatoires et
séquentiels qui vient d'être développée a été appliquée avec
succès aux tests automatiques dans le cadre d'un contrat
de collaboration entre les Services d'Electronique de Saclay
d'une part et la Société d'Electronique Industrielle et
Nucléaire d'autre part.
Nous avons montré que la connaissance des équations
logiques d'un système numérique combinatoire est suffisante
pour en établir les séquences de test. De plus, l'algorithme
utilisé peut être programmé sur ordinateur puisqu'il relève
d'une procédure systématique.
Pour ce qui concerne les systèmes numériques séquen
tiels dont l'analyse est plus delicate, il est indispensa
ble de posséder des renseignements complémentaires relatifs
aux graphes cartésiens que l'on peut reconstituer à partir
des équations logiques. Nous avons montré qu'un automate
dont le graphe n'est pas fortement connexe n'est pas testa
ble. Connaître l'état d'initialisation, le nombre de vec
teurs à tester ainsi que l'existence éventuelle de cascades
ou de courses critiques pouvant engendrer des aléas sur
des fonctions de transcodages, est nécessaire si l'on veut
mener à bien une procédure de contrôle.
En effet, les aléas de commutation sont des parasi
tes que l'on rencontre couramment et que l'on tolère parce
qu'ils ne gênent pas dans les configurations où sont utili
sés les circuits. Mais dès que l'on associe plusieurs systè
mes au moyen d'interfaces, l'expérience montre qu'il en est
souvent autrement ; d'où les nombreuses difficultés de mise
- 117 -
au point des ensembles complexes.
Il est donc utile de pouvoir détecter la présence de
ces aléas par des tests automatiques et d'y remédier par
un complément d'étude.
Par ailleurs, il est souhaitable d'élaborer le pro
gramme de test pendant l'étude du système. Cela permet de
gagner un temps appréciable par le fait même que l'ingénieur
concepteur se sent obligé de concevoir les circuits avec
plus de rigueur.
Si tout au long de ce travail, nous avons in
sisté sur l'an lyse, c'est que nous pensons qu'elle est le
préalable nécessaire et indispensable à l'établissement
des séquences de test.
Considérer un circuit intégré comme une boîte noire
est une façon de faire que nous déconseillons vivement.
Nous en avons pour preuve le circuit MC4344 dénommé "Phase
frequency detector" qui est précisément le circuit de
mise en phase analysé en détail dans le chapitre des ma
chines séquentielles et pour lequel un certain nombre d'erreurs
de conception ont été mises en évidence.
Ce circuit intégré commercialisé par une Société
industrielle bien connue, mériterait d'être revu et corrigé.
Enfin, il serait souhaitable que les fiabilistes
prennent en compte le fait que la fiabilité d'un système ne
dépend pas exclusivement de la confiance que l'on peut avoir
dans les composants, mais aussi de la manière dont le système
a été conçu. De plus, la méthode d'analyse structurale
développée dans ce travail, montre qu'il est maintenant
possible d'effectuer l'étude exhaustive d'un automate et de le
corriger si c'est nécessaire, car l'analyse binaire représente
également un outil de synthèse qui permet désormais de concevoir
des systèmes avec toute la rigueur souhaitée.
PROGRAMME D'ANAl YSE DE FONCTIONS REFLEXES ELEMENTAIRES
[ l ] [ 2 ] [ 3 ] CO [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 1 0 ] [ 1 1 ] [ 1 2 ] [ 1 3 ] [1"0 [ 1 5 ] [ 1 6 ] [ 1 7 ] [ 1 8 ] [ 1 9 ] [ 2 0 ] [ 2 1 ] [ 2 2 ] [ 2 3 ] [2U] [ 2 5 ]
1ETATSW11 ETATS TTtllllil-xEQUATIOH RR-2J.TT MH-(R!!iRR) = \oRR 11-1
Aîimrr] , '*-m/' .BEIIII - t SI llNiII+II+1 TT-MH/TT RR-MM/RR TT-TT.Zll RR
'LES ' . ( T p f l f l ) . ' ETATS DE L" AUTOMATE
H-SS-U l ( 3 « H - l ) p t i
C 2 + p S S ) p ' - '
0 0 1 ) , 0 0 0 0 1 ) \ E E ) , ' ETATS'
( ( ( 2 « » i 7 - l ) p 3 0 ) , 5 0 7 0)lTT-StTT ; t
NE-pRR NV-HB-1 STIH-TTl : l M - l ] F0HC-,TTS_ ;ffff] ETAT-TTl ; / / » + ! ] TT- 0 " 1 + 2 T
r l ] [21 [ 3 ] CO [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 1 0 ] [ 1 1 ] [ 1 2 ] [ 1 3 ] [ I t ] [ 1 5 ] [ 1 5 ] [ 17] [ 1 3 ] [ 1 9 ] [ 2 0 ] [ 2 1 ] [ 2 2 ] [ 2 3 ] [ 2 « ] f 2 5 ] [ 2 6 ] f 27] [ 2 8 ] [ 2 9 ] [ 3 0 ]
VTR.4HSITIONSW1V V TRA'JSITIOUS
TP.AXS-IEE.0)ç0 II-l
&-.TAB* 5 TAB-TAB TAB-TAB TAB-TAB TAB-TAB TAB-TAB TAB-TAB TAB-TAB TAB-TAB,
1{HE,II-1)*STIM 0 T U E , l ) p S 2 \ Z 7 / [ ; r i ]
1 0 VTTT illl-lEEilll, '—' , £ E [ I J ] « 0 villE, UlxliV)) tlO.IDiSTIM 5 0 v<.0,II-H)iSTIM
( ( 6 -II-HV) , 0 ) » U ' £ , 1 )oFOHC 6 0 T U ' E . D p J T C -.HlO-iEQUATIOK B O iWE.l'ipETAT
TAB-TAB,' TAB-TAB, 0 1 * T ( A ' £ , l ) p 2 j . 6 ! T r TP.ArS-TPA.1S, TAB i f E U n , ' « - - ' , . T S [ i r ] TT-STIU.FOnC iEEii::n, '-roue -L si ::V>II-II+I KL-llVxHE NC-(pTRAllS)l21i!lV
'LES TRAliSITIOllS BE L" AVTOHA1 i i
V-SS-CA Sx.V.'.'lo 0 0 n n i)\EE), i i
{ti-pSi")p ' - ' i i
TRASS-(NL , !W)t: TP.AÏIS ( ( «L tt'E ) p ( ,¥ '/c 1 ) , 0 ) \ TRA US
F£[ Hill , ' "F THAlrJITIOllS '
- 119 -
)PKS ANALYSE AUTOMATE ETATS SI TEST TRANSITIONS
VAUTOMATEtOlV V AUTOMATE
C l ] 10-010 [ 2 ] DIO-1 C3] A LP-'ABCDEFGNIJKLMNOl [ 4 ] t i
[ 5 ] t t
[ 6 ] E-flJ?-' EQUATION : • [ 7 ] EQUATIONi-TESTi pflfl ) +13 [ 8 ] i i
[ 9 ] P.R-B [ 1 0 ] <.pRR)p'~' [ 1 1 ] ANALYSE EQUATION [ 1 2 ] ETATS [ 1 3 ] TRANSITIONS [!<•] QIO-IO
V
vsilGlv 7 RR-EE SI CC
[ 1 ] RR-CC/EE V
VTESTCOlV 7 RR-TEST EE
[ I ] RR-EE [ 2 ] -0 SlA/EEeALP,'- ( ~ V A W - X ; ) ' [ 3 ] [ 4 ] Œ-RR-'EQUATION IMPOSSIBLE ; RECOMMENCEZ : [ 5 ] EE-(.pRR)iU [ 6 ] - 1
7
VAKALÏSEIDIV 7 ANALYSE XX
[ 1J EE-** [ 2 ] KM-EEtALP [ 3 ] EE-MM/EE C'O FF-l+EE [ 5 ] S£-«-l + ££ [ 6 ] RR*-ALP\EE [ 7 ] HM-(RRiRR)=\pRR [ 8 ] EE-MM/EE [ 9 ] NN-pEE [ 1 0 ] TT-(.NNp2)r l + i2*ff// [ I I ] RR-(EE=FF) \NN [ 1 2 ] EE-RR^EE [ 1 3 ] J2V1 f l * ] û : i F E [ I I ] , , * 1 , v r r [ I I ; ] [ 1 5 ] -i-A S I A7/îIJ<-JJ + l
7
- 120 -
AUTOMATE
EQUATION ; Y+lYx{~R)) + lS-(Sxïx(~R)))
MEMOIRE R-S
LES 5 ETATS DE L'AUTOMATE :
R S Y "TATS
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
LES TRANSITIONS DE L'AUTOMATE :
R S Ï'I X°F TRANSITIONS
fi+1 0 0 0+1
0+1 0 0 0+1
n+u 0+3
1+4 1+3
0+1 1 0 1+0
3+7 3+1
1+0 0 1 0+1
1+0 1 1 1+0
4+o 4+7
7+3 7+4
o H
I o 4 o
4 1
R S
121
AUTOMATE
EQUATION : / * ( 7 A ( ~R) ) vS
£ES 5 £T-4rS 0£ L'AUTOMATE
R S ï ETATS
0 0 0 0 0 0 1 1 O i l 3 1 0 0 4 1 1 1 7
££5 TRANSITIONS DE L'AUTOMATE :
R S ï'I 2°F TRANSITIONS
0+1 0
0 C+l
0 0
0 1
0+4 0+3
0+1 0
0 0+1
1 1
0 1
1+4 1+3
0 + 1 0
1 1+0
1 1
1 1
3+7 3+1
1+0 1
0 0+1
0 0
0 1
4+0 4+7
1+0 1
1 1+0
1 1
1 0
7+3 7+4
- 122 -
AUTOMATE
EQUATION : g->-<ÔA( ( ~H)v£) ) v(£Aff )
LATCH FLIP-FLOP
LES a ETATS DE L'AUTOMATE :
H L Q ETATS
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 14 1 1 1 7
LES TRANSITIONS DE L'AUTOMATE :
H L Q°I Q-F TRANSITIONS
- 123 -
ANNEXE
ANALYSE BINAIRE - RAPPELS
A.l. - Définition de base :
Un ensemble binaire algébrique est défini par ses élé
ments variables ou fonctions binaires ne pouvant prendre
que deux valeurs algébriques distinctes "a" ou "b" a j* b.
Appelons 0 , un élément de l'ensemble E , ^^ ab a,b
Si (0 a b ï a) =* (0 a b = b) avec 0 a b ÇEa,b
Si (0 a b j b) =» (0 a b = a)
On démontre mathématiquement, en utilisant les proprié
tés remarquables de certains polynômes algébriques, qu'il
existe une relation linéaire qui fait correspondre deux à
deux tous les éléments de l'ensemble E , . a,b
Cette relation s'écrit :
0ab + 0 a b " (a + b) = 0
En choisissant pour a et b les valeurs particulières
"0" et "1", la relation devient :
0O,1 + Vl " l 1 °
On dira que les deux variables ou fonctions 0_ . et
0*o . sont complémentaires. La complémentation correspond
dans la pratique à la fonction logique "NON".
A.2. - Première loi de composition - Le produit :
Soit n éléments binaires "fa." variables ou fonctions, tels
que b-EEg ,- Le produit "P" est défini sur l'ensemble des
complexes et l'on peut écrire :
- 124 -
(t>l = * » 2 . . . ^ i . . . = f n = l ) = » ( P = * >
et
(lPi = °' Vi = 1-2, . . .,n) =* (P = 0)
de cette loi, >_n déduit que l'élément neutre est "1" et
l'élément absorbant est "0".
Soit le produit :
p = f>i • p2 = h • pi
cette première loi de composition est commutative.
Soit le produxt :
P = <frl • fc» • f3 = Pi • {(Ï2 • f>3>
cette opération est également associative.
Soit le produit :
to, (p <p = b avec ptEQ 1
cette loi de composition a la propriété d'idempotence.
Soit le produit :
(.tp.y'1) E iO.D
Si p = 0, le produit n'est pas égal à l'élément neutre.
On en déduit la non inversibilité du produit sur E .
Sur le plan pratique, on associe le produit à la fonction
"ET". L'association de deux opérateurs ET et NON correspond
en pratique à la fonction ET-NON ou NAND.
- 12 5 -
A.3. - Deuxième loi de composition - Le produel :
La similitude des rôles joués par les deux valeurs d'une
variable ou d'une fonction binaire nous amène à chercher une
loi de composition interne à E duale du produit.
En effet, au produit "P" faisons correspondre la rela
tion polynominale :
- = 1 - (1 - lp1) (1 - <p2) ... (1 - pn) avec
<-• * . . . . ¥ > „ > t E o , i
que l ' o n peut é c r i r e en t e n a n t compte de l a r e j a t i o n de
d u a l i t é :
" = <0, • © - , CD. i i i i . . . . i H
S i ( Pl = ^2 = Pn = 0 ) ^ (" = 0)
s i (M. = 1 , Vi = 1 , 2 . . . n) =» (n = 1)
Ainsi met-on en évidence une loi de composition interne
à E. dans laquelle :
- l'élément neutre est "0"
- l'élément absorbant est "1".
Par rapport au produit, le caractère dual de cette deu
xième loi a conduit à l'appeler "Produel".
Pour mettre en évidence la dualité sur le plan de l'écri
ture, Monsieur BLANCHARD, ingénieur général des télécommuni
cations, a imaginé une écriture symbolique bidimensionnelle.
On écrira donc :
, = f 2
fn
- 126 -
On démontre que cette deuxième loi de composition est
commutative, associative, idempotente et non inversible sur
Eo,r
Sur le plan pratique, on associe le produel à la fonc
tion "OU". L'association de deux opérateurs "OU" et "NON"
correspond en pratique à la fonction "OU-NON" ou "NOR".
A-4. - Distributivité :
On démontre que ces deux lois de composition, produit
et produel, sont uistributives l'une par rapport à l'autre.
o i , r — fi •
on a aussi :
Pi . <p2
Pi . P3
Cette écriture est appelée un produel de produits.
Réciproquement si :
on a aussi :
F = fi
<?2
Cette écriture est appelée un produit de produels.
- 127 -
A. 5. - Théorème de De MORC^N :
Ce théorème est implicitement contenu dans les défini
tions précédentes. Le complément d'un produel est égal au
produit des compléments des facteurs qui le composent :
Pn
...fn
Le complément d'un produit est égal au produel des com
pléments des facteurs qui le composent.
fl . f2 .... f
fn
A.6. - Etablissement de la première forme canonique :
Pour établir la première forme canonique, on peut opérer
de la façon suivante :
On inscrit horizontalement les variables dans un ordre
quelconque, puis on porte successivement sous ces variables
dans le sens horizontal, les combinaisons de valeurs pour
lesquelles la fonction est égale à l'unité. Il suffit alors,
a'après ce qui vient d'être dit, de remplacer respectivement
dari.' le tableau obtenu, chaque valeur "1" par la variable
"x " de la même colonne et chaque valeur "0" par le complé
ment x. de la variable de la même colonne :
k
x l X 2 X 3 F
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
- 12B -
Le tableau ci-avant s'appelle une "table de vérité".
La première forme canonique s'établit immédiatement
à partir de la table de vérité comme nous l'avons indiqué
précédemment, et nous écrivons :
X - . X . 1 2 i
x l x 2 X 3 x-, 1 2 3
La première forme canonique est un produel de produits.
A. 7. - Etablissement de la deuxième forme canonique :
Pour établir la deuxième forme canonique relative aux
combinaisons de valeurs de "n" variables pour lesquelles la
fonction "F" est nulle, on inscrit verticalement les variables
x., Xj,,..,x dans un ordre quelconque et successivement dans
le même ordre vertical, les combinaisons de valeurs pour les
quelles F = 0. Il suffit alors de remplacer respectivement
dans ce tableau, chaque valeur "0" par la variable "x. " de la
même ligne et chaque valeur "1" par le complément "x " de la
variable de la même ligne.
La table de vérité s'écrit :
X . i
X 2 X 3 F
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
- 129 -
Comme nous l'avons indiqué précédemment, nous en
tirons le tableau suivant :
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
d'où la fonction cherchée :
x l *1 *. *1
x 2 x 2 x 2 x_,
X î x 3 X 3 *3
La deuxième forme canonique est un produit de produels.
A.8. - Table de vérité complète :
Une table de vérité est dite complète lorsqu'elle
fait apparaître la totalité des "2 " combinaisons de
valeurs possibles, relatives aux "n" variables dont dépend
la fonction.
Nous conviendrons d'écrire les valeurs "0" ou "1" que
prend la fonction à droite d'un double trait vertical de
séparation et sur la même ligne, la combinaison correspon
dante des valeurs des variables.
Ainsi la table de vérité complète d'une fonction de
trois variables F(a,b,c) s'écrit par exemple :
- 130 -
a b c F
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Une table de vérité complète autorise, en suivant les
règles énoncées précédemment, l'écriture immédiate de la
fonction sous ses deux formes canoniques :
a a a a
b b b h
c c c c
La première forme utilise les combinaisons pour lesquel
les F = 1, (0, 4, 6, 7) et la seconde forme les combinaisons
pour lesquelles F = 0, (1, 2, 3, 5).
A.9. - Table de vérité incomplète :
Une fonction binaire est entièrement définie si l'on
connaît seulement les combinaisons de valeurs des variables
pour lesquelles elle conserve la même valeur "0" ou "1".
Nous appelerons, par définition, table de vérité incom
plète, le tableau dans lequel sont inscrites ces combinaisons
- 131 -
Nous préciserons à droite de ce tableau, la valeur correspon
dante de la fonction. Pour chaque fonction il existe donc deux
tables de vérité incomplètes.
Les deux tables de vérité incomplètes qui correspon
dent à la fonction précédente F (a,b,c) peuvent s'écrire
suivant que l'on choisit pour "F" la valeur "0" ou la valeur
" 1 " .
Table de vérité (F = 1) Table de vérité (F = 0)
a b c F
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 Û 1 0
. b c ,
0 0 0 1
1 0 0 1
1 ] 0 1
1 1 1 1
Une table de vérité incomplète ne permet d'écrire que
l'une des deux formes canoniques. La propriété de dualité
la rend cependant suffisante pour définir complètement une
fonction binaire.
A.10. - Simplification des fonctions binaires :
Par simplification des fonctions binaires, il faut enten
dre la réduction du nombre des éléments littéraux ; c'est-à-
dire la simplification, en dehors de toute considération tech
nologique, des expressions symboliques écrites.
Le but poursuivi sera donc en général, la recherche et
l'élimination des termes redondants : en définissant comme tel
tout terme qui peut être supprimé dans une fonction binaire
sans lui apporter de modification numérique.
Parmi le-; méthodes essentielles, il faut distinguer en
particulier les simplifications par mise en facteur et develop-
- 132 -
penients, par implications, par adjacences, par transpositions
et par consensus qui sont des méthodes fondamentales et sim
ples .
A. 1 1. - Mise en facteur dans un produel
Considérons le produel :
a h\
on démontre que l'on peut écrire :
F = a
d'où l'identité
a <f>x
a f 2
Pi
r>2
La mise en facteur est le passage de la première expres
sion à la seconde le développement ou produit effectué, le
passage inverse.
C'est l'application de la propriété de distritmtivité
dans le produit.
A.12. - Mise en facteur dual dans un produel :
Considérons la fonction :
F =
MPi On démontre que l'on peut écrire également
- 133 -
d'où l'identité :
a a
P2 1
a
h -v>2 La mise on facteur dual et le passage de la première
expression à 1, seconde et produels effectués ou développement
dual le passagi inverse.
C'est l'application de la propriété de distributivité
dans le produel.
A.13. - Simplification par développement :
Si la mise en facteur fournit en général une forme sim
plifiée des fonctions binaires, l'opération inverse par déve
loppement peut, dans les deux cas envisagés ci-après, fournir
également des simplifications intéressantes.
1er cas :
f =
pf
A.Ift.Û)
2e cas :
ï P % r 1 P t P t
A.14. - Simplification par implications :
La cond: ion nécessaire et suffisante pour qu'un produit
binaire soit émal à l'unité, est que chacun des facteurs soit
égal à l'unité
[ P = Pi • P2 -• *>n " l] =» frl = r*2 = — - f°n = l]
Chaque facteur k) , (n-,..., to est appelé implicant direct
ou implicant d' la fonction "P".
- 134 -
Toute fonction partielle pouvant être mise en facteur
dans une fonction donnée, est donc un implicant de cette der
nière .
La condition nécessaire et suffisante pour qu'un produel
soit nul, est que chaque facteur dual soit égal à zéro.
<Pn
«* IPl = ¥ > 2 = K - °]
Toute fonction partielle pouvant être mise en facteur
dual dans une fonction donnée est, par définition, un implicant
dual de cette dernière.
Considérons le produit ayant pour facteur un produel et
l'un de ses impllcants duals.
F =fa M f I
"0" étant l'élément neutre du produel, on peut écrire :
r>
en mettant p en facteur dual on obtient
f I O.f
Le produit d'une fonction binaire et de l'un quelconque
de ses implicants duals est égal à cet implicant dual
f f
De même, le produel ayant pour facteurs duals un produit
et l'un de ses implicants, s'écrit :
- 135 -
F' = >-f
Théorème_2 :
Le produel d'une fonction binaire et de l'un quelconque
de ses implicants directs, est égal à cet implicant
A,15. - Simplification par adjacences :
Deux produits "P." et "P_" sont dits adjacents lorsque
l'on peut passer de l'un à l'autre en coraplémentanL l'un des
facteurs et ce facteur seulement.
On peut, par dualité, définir l'adjacence pour des pro
duels .
Deux produels "IT " et "n " sont dits adjacents lorsque
l'on peut passer de l'un à l'autre en complementant l'un des
facteurs duals et ce facteur seulement.
Thêorème_3 :
Le produel de deux produits adjacents est égal au facteur
commun aux deux produits.
• P , |p.f .f = f
Théorème_4 :
Le produit de deux produels adjacents est égal au facteur
dual commun aux deux produels.
- US -
? 1 • " 2 f
(p.p. f I
La fonction "p" est appelée " fonction adjacente" ou
"variable adjacente" lorsqu'il s'agit d'une simple variable.
La méthode des diagrammes de "KARNAUGH" est une généra
lisation de'la simplification par adjacences appliquée à des ex
pressions comprenant plusieurs variables. Ces diagrammes sont
assimilables aux tracés des tables de vérité particulières dans
lesquels les adjacences sont topologiquement groupées ou bien
se correspondent géométriquement par symétrie.
Le diagramme de KARNAUGH se présente sous la forme d'un
carré ou d'un rectangle selon la parité du nombre de variable..
L'ensemble des variables est généralement partagé en deux sous-
ensembles contenant, à une unité près, le même nombre de varia
bles .
Au nombre de combinaisons de valeurs de ces deux soua-
ensembles, on fait correspondre respectivement, le nombre de
cases de chacun des côtés du rectangle ou du carré. Il suffit
ensuite de ranger les combinaisons de valeurs des variables
dans un ordre respectant les adjacences (code GRAY, par exemple)
par groupements ou symétries comme le précisent les exemples
suivants :
Cas de deux variables : Cas de trois variables
s. i
?J a
DO 0 1 •11 1 0
0 0 4 3 s.
1 4 S T E
- 137 -
Cas de quatre variables :
AB^ flx« de symétrie. oo o* -H 40
D A 3 2
t, 5 J C
<£ « M «
e 9 •M •10
Cas de c inq v a r i a b l e s
^ * * de S y m e ^
AB ooo ool P41 P I O *^0 **^ ^Q^ *oo
Oo • 4 S 2. s f s 6
Cl 8 9 « m 44 « •13 4 2
41
U 25 2? ze 3o 3* » 28
i r « « •19 « « 23 21 2o
A» d. « symefi
Il est intéressant de repérer chaque case par l'équivalent
décimal du nombre binaire associé à la combinaison de valeurs
qui lui correspond.
Pour utiliser le diagramme de "KARNAUGH", on porte dans
chacune des cases, la valeur que prend la fonction binaire envi
sagée pour la combinaison de valeurs des variables qui corres
pond justement à cette case. Puis, on constitue une table de
vérité réduite, soit par rapport aux "0", soit par rapport aux
"1" de la fonction selon ce qui paraît le plus simple, en
tenant compte des adjacences possibles qui sont localisées avec
facilité grâce à la distribution topologique particulière du
diagramme. Il suffit ensuite d'établir la fonction à partir de
la table de vérité réduite. Avec un peu d'habitude, on peut
- 138 -
tirer la fonction directement du diagramme soit sous la premiè
re forme canonique (produel de produit), soit sous la deuxième
forme canonique (produit de produel).
La méthode du diagramme de "KARNAUGH" est intéressante
et permet des simplifications rapides, mais présente l'incon
vénient de n'utiliser que les adjacences comme mode de recher
che des implicants. Le choix des regroupements reste arbitraire
et la méthode de mise en facteur et celle des consensus la
complète utilement.
Exemple : Les variables étant rangées dans l'ordre A, B, C, D,
écrire à l'aide du diagramme de "KARNAUGH" la fonction binaire
simplifiée égale à zéro pour les combinaisons 3(0 0 1 1),
7(0 1 1 1), 8(1 0 0 0), 9(1 0 0 1), 14(1 1 1 0) et 15(1 1 1 1)
des valeurs des variables.
On trace le diagramme de "KARNAUGH" pour les quatre va
riables A, B, C, et D. On inscrit "0" dans les cases correspon
dant à 3, 7, 8, 9, 14 et 15 et "1" dans les autres cases.
\ ^ OO 04 "4 40
01
11
En g roupan t l e s c a s e s a d j a c e n t e s 3 - 7 , 8-9 e t 14 -15 , on
o b t i e n t la t a b l e de v é r i t é r é d u i t e s u i v a n t e :
1 4 A ! !»
1
4. i
A s
I 1 6
1 41
1 * — K
~'o) 9
4 44
1 4»
Combinaisons g roupées
3-7
3-9
14-15
A B C D F
0
1
1
0 0
1
1
0
1
1 0
b 0
- U9 -
ce qui permet d'écrire
A A A
C B B
D C C
Mais, on peut aussi bien grouper les cases adjacentes :
0-1-4-5: , 0-2-4-6 , 4-5-12-13 , 10-11
et l'on obtient la table de vérité réduite relative aux "1"
de la fonction binaire :
Combinaisons groupées
0-1-4-5
0-2-4-6
4-5-12-13
10-11
A B C D F
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
0 1 0 0 1
1 0 1 0 1
ce qui donne
A C
 D
B C
A B C
Le diagramme de "KARNAUGH" se révèle vraiment utile
dans le cas où les focntions binaires sont incomplètement
définies et présentent un certain nombre de combinaisons de
variables disponibles qui ne sont jamais réalisées et pour
lesquelles nous pouvons attribuer à la fonction aussi bien
la valeur "1" que la valeur "0" selon les simplifications
possibles.
- I4Q -
Propriétés des fonctions carrées biformes :
On appelle fonction carrée biforme, une fonction biforme
comprenant quatre termes groupés en carré suivant un produit
da deux produels de deux facteurs duals, ou suivant un produel
de deux produits de deux facteurs directs :
to . A
B . ûj V> B,
sont deux fonctions carrées biformes en "p".
Si une fonction carrée biforme se présente sous la
forme d'un produit de produels
on peut l'écrire sous la forme d'un produel de produits en ef
fectuant les produits élémentaires :
1° B
<p . B A P A . ^ —
AB f ! A . B AB f
to I B I AB
A i -
AB f
p • B A . fa
Théorème : Une fonction carrée biforme n'est pas modifiée par
la suppression ou le tracé d'un trait vertical médian, à cor.di
tion de disposer les facteurs complémentaires suivant un' dia
gonale du carré correspondant à son expression symbolique
V . 3
A . îp
| to I B
I A I <p
Ce théorème permet de passer ainsi facilement d'un pro
duel à un produit et vioe-versa, sans introduire de terme
redondant.
141 -
Simplification par la méthode des "consensus" :
Etant donné une fonction carrée biforme, on appelle
"consensus" de cette fonction, le produit des termes diagonaux
non complémentaires, et "consensus dual" le produel des termes
diagonaux non complémentaires.
La fonction carrée biforme :
dual" le produel
on peut écrire :
f2-SP s f
admet pour "consensus" le produit "f . f_" et pour "consensus
En procédant par produits effectués,
r - f l
Vf» =
f 2
f l f 2
= j p . f l
Vf f l " f 2
Théorèmes :
1) Si parmi les facteurs d'un produit, il existe une fonction
carrée biforme et un terme contenant en facteur dual le
consensus dual de cette fonction, ce dernier terme est redon
dant et peut être supprimé.
2) Si parmi les facteurs duals d'un produe], il existe une fonc
tion carrée bitorme et un terme contenart en facteur le
consensus de cette fonction, ce dernier terme est redondant
et peut être supprimé.
- Fonctions réflexes :
Une fonction réflexe s'écrit symboliquement :
Y p = l ( X n , Y p) ,1.1,
Le vecteur fonction "Y " admet pour composantes p fonctions binaires Y , Y ,,..., Y, , Y- et le vecteur variable de
p p-1 1 0 commande "X ", n variables binaires x , x ,, ..., x,, x_.
n n n-1 ' 1 0
- 142 -
Les valeurs que prennent les vecteurs Y et X sont en-^ p n tièreir.ent déterminées par les nombres binaires constitués de
chiffres associés aux composantes, si l'on s'en tient, pour
ces composantes, à un ordre de rangement choisi et fixé à
1'avance.
Par definition, seule la variation du vecteur de commande
peut entra'-_r une modification du vecteur fonction qui, de ce
fait , ne se trouve jamais directement accessible.
Cette distinction fondamentale entre variables et fonc-
tiD i, dont les relations réciproques ne sont pas reflexives,
est an concept qui revêt une extrême importance dans le cadre
gém rai de l'étude des systèmes séquentiels.
Une fonction réflexe possède ainsi la propriété spécifique
de pouvoir faire correspondre plusieurs valeurs du vecteur
fon tion "Y " à une seule et même valeur du vecteur variable P "X ' . — n
On peut représenter graphiquement une fonction réflexe dans
un Ïystème d'axes en coordonnées cartésiennes X 0 Y. Le graphe
séquentiel obtenu est discontinu. Il est fini et comprend, en
général, un certain nombre de points reliés entre eux par une
rep'ésentation sagittale dans un ordre de succession donné.
L'o ientation dépend de la fonction considérée et le graphe,
pratiquement, la caractérise.
y--h',i-) A
•M
40 .
01
00 .
Exemple de graphe séquentiel.
, X* (*.*,*«)
- 143 -
Toute variation de "X " peut modifier la fonction "Y " n c p
dont la valeur finale dépend également de celle qu'elle avait immédiatement avant la variation de "X ".
n
Il est cependant exclu que le vecteur fonction puisse
changer de valeur spontanément si le vecteur de commande n'a
subi aucune variation. Il n'existe, en conséquence, aucune pos
sibilité graphique de passage direct d'un point stable à un
autre, lorsque ces points sont situés tous les deux sur une
verticale correspondant à la même valeur de "X ". F n
Fonctions mémoires :
Parmi les fonctions réflexes les plus simples, considérons
celles dont le vecteur fonction ne comprend qu'une seule compo
sante binaire, et que l'on peut écrire sous la forme :
Y = t (Y, X), avec Y £ E 0 , 1 '1.2)
On démontre que toute fonction binaire (Y, X) peut
s'écrire sous la forme suivante :
Y = ! (Y, X) Y . A(X)
B(X) . Y avec A(X) , B(X)fE 0, (1.3)
Il n'est p_-s possible d'avoir simultanément A(X) - 0 et
B(X) = 1 car cela entraînerait :
Y = Y = 1 - Y c'est-à-dire Y = i^"E0,l
ce qui est contraire à l'hypothèse..
Il faut donc au moins que l'une des deux implications sui
vantes soit vérifiée :
[A(X) = OJ =» [B(X) = 0]
[B(X) = l] =» [A(X) = l]
(1.4)
(1.5)
1") Considérons la première implication
[A(X) = 0: sj>i B(X) = 0|
- 144 -
qui entraîne :
B(X) = A(X) . SIX)
Portons dans (1.3), il vient
y . A(X)
A!X) . S(X) . Y Y . S(X) A(X)
y S(X) A(X) (1.6)
P sons A(X) = R(X), on o b t i e n t
C ' e s t 1 ' é q u a t i o n d ' u n e f o n c t i o n mémoire à R p r i o r i t a i r e .
Le g r a p h e c o r r e s p o n d a n t ' s s t l e s u i v a n t :
3> , — / • ! *
kr —t « 1 1 — > •
Oo 01 40 <A R,S
Graphe d ' u n e f o n c t i o n mémoire à "R" p r i o r i t a i r e .
2°) C o n s i d é r o n s l a deuxième i m p l i c a t i o n :
[B(X! = i] =>[A(X) = l]
qu i e n t r a î n e :
B X) A ( X ) =
R ( X )
It6
Portons dans (1.3), il vient :
Y j B(X)
I R(X) Y .B(X)
Y . R(X)
B(X)1 Y
Y . R(X)
B(X)
vA
o|
Posons B(X) = S(X), on obtient
Y . R | (1-9)
C'est l'équation d'une fonction mémoire à S prioritaire.
Le graphe correspondant est le suivant :
3> k£
YR
00 04 40 44 R,S
Graphe d'une fonction mémoire â "S" prioritaire.
3°) En posant :
|S(X).| A(X) et B(X) = S(X) . R(X)
|R(X)|
les deux implications :
[A(X) = û] =» [B(X) = 0]
et j-B(X) = 1] => [-A(X) = 1]
sont vérifiées.
Portons dans (1.3) les expressions précédentes, il vient
s R
Y . S . R
enfin
146 -
Y Y S S YR S R Y R
R Y R Y SR YS S
Y Y
S . R
C'est l'équation d'une fonction mémoire symétrique- sans priorité.
Le graphe correspondant est le suivant :
y ii
-+- -+-oo 01 40 <1 R S Graphe d'une fonction mémoire symétrique.
A.20. - Fonction dibinaire : Lt_s fonctions mémoires sont des fonctions binaires dans
lesquelles le vecteur variable comprend deux composantes binaires R et S et l'on peut écrire :
Y = lt (Y, R, S) avec (Y, R, S) CE
Considérons maintenant les fonctions réflexes Q = f(Q,z) dont les vecteurs variables et fonctions n'ont, chacun, qu'une seule composante binaire, c'est-à-dire : (Q, z) 6E 0 v
- 147 -
Dans ce cas, le graphe associé comprend quatre points
0, A, B, C qui correspondent aux quatre états stables possi
bles :
-t> z
Remarquons que les parcours CA et 0B sont interdits, puis-te
qu'ils correspondent à z = C et que la fonction ne peut spontanément changer de valeur.
Sur ce quadrilatère étoile on peut définir deux sens de
parcours continu : (f A B C""0 et O C B À ^ O .
Le graphe représente par définition, une fonction "dibinai
re". Cette fonction est dite "dibinaire directe" dans le cas
du parcours 0 A B C 0, et l'on écrit : O» B(G?,Z)
QA
-t>z
Elle est dite "dibinaire inverse" dans le cas du parcours
0 C B A 0, et l'on écrit : Q = B± (Q,z)
- 148 -
Q
i ..
-+- H—e»- «
L'intérêt de la définition graphique de ces fonctions
réside dans le fait que l'écriture adoptée admet implicitement
que les problèmes pratiques de commutation interne sont réso
lus, alors que les expressions binaires développées ne peuvent
en tenir compte puisque ]'algèbre binaire ignore, dans ses dé
finitions, les variations physiquement continues, obtenues en
pratique, des variables et des fonctions binaires, lors des
transitions (0 * 1) et (1 - 0 ) .
A.21. - Propriétés des fonctions dibinaires :
Les fonctions dibinaires sont des diviseurs par deux,
c'est-à-dire que lorsque la variable "z" a effectué un nombre
total de transitions (0 * 1) ou (1 > 0) égale à 2k, la fonction
Q a effectué un nombre total de transitions égal à la moitié
de celui des transitions effectué par "z", soit k.
Les relations d'identité qui suivent se vérifient aisé
ment sur les graphes :
B (Q, z) = Bi (0, z)
Bi (Q, z) = B (Q, z)
B (Q, z) = B (Q, z)
Bi (Ô, z) = Bi (Q, z)
(1.10)
A.22. - Recherche des équations correspondant partiellement aux fonc
tions dibinaires :
De même qu'il est possible, en algèbre classique, d'écrire
les développements en série des fonctions triqonométrLques,
nous pouvons établir des équations binaires qui correspondent
JU:< fonctions dibinaires.
- 149 -
La table de vérité d'une fonction dibinaire telle qu'elle
vient d'être graphiquement établie, doit décrire les six
états du circuit : quatre états stables et deux états instables
de commutation. Or nous n'avons présentement, à notre disposi
tion qu'une seule variable et qu'une seule fonction binaire,
c'est-à-dire la possibilité de n'écrire que quatre combinaisons.
Reprenons l'équation (1.1) des fonctions réflexes
Y = i (X , Y ) P n p
soit N le nombre des états stables et des états de commutation
que l'on doit obtenir.
Le nombre des combinaisons des valeurs des variables et
des fonctions dont nous disposons pour décrire tous les états
(stables ou de commutation) est au maximui égal a 2 et cor
respond au nombre total des points existants sur le plan sur
lequel est tracé le graphe définissant la fonction.
Nous devons donc avoir :
N , 2 n +P (I.11)
Si cette relation n'est pas satisfaite, il faut, pour
résoudre le problème augmenter le nombre de variables ou celui
des fonctions. Une augmentation du nombre des variables n'est
pas licite car elle conduit à une modification des données du
problème. En augmentant le nombre des fonctions nous sommes
conduits à l'équation suivante :
Vk = *' ( Xn' Vk' , I- 1 2 )
Il est également possible d'écrire le système d'équations
Yp = !1 (Xn< V V
z. = :, (x , Y , z, ) k 2 n p k
(1.13)
qui sépare les fonctions Y provenant de l 'énoncé du problème des fonctions Z. a joutées .
- 150 -
Chaque fois que l'on ajoute une nouvelle fonction, on
introduit au moins deux états de commutation supplémentaires
correspondant aux deux transitions (0 - 1) et (1 * 0) de
cette nouvelle fonction.
L'inégalité (1.11) devient alors :
N + 2k * 2 n + P + k (1.14)
On peut toujours trouver une valeur de k pour laquelle
la relation est satisfaite.
Cependant la valeur optimale prise pour k sera la valeur
la plus faible permettant d'obtenir la solution du problème ;
celle pour laquelle l'inégalité précédente est limite, c'est-
à-dire telle que :
N + 2(k - 1) > 2"+P +k-l { I . 1 5 )
Dans le cas de la fonction mémoire, les tables de vérité
et les graphes nous montrent que N = 8 ; de plus, il a été
imposé p = 1. Le problème a une solution pour n = 2.
Dans le cas de la fonction dibinaire nous avons :
N = 6 , p = l , n = l .
La solution du problème exige k = 1.
La fonction dibinaire va donc être représentée partielle
ment par les deux fonctions binaires suivantes :
Q = f. (Q, Y, z) avec (Q,'Y, z)£E (1.16)
Y = f 2 (Q, Y, z)
La table de vérité pour la fonction B(Q,z) peut s'écrire
comme suit :
l b l
z Q Y Q Y
0 0 C 0 0
1 0 0 1 0
1 1 0 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 1 1
1 1 1 0 1
1 0 1 0 1
0 0 1 0 0
stable commutation de O stable commutation de Y stable commutation de Q stable commutation de Y
Elle permet de calculer les équations : 2 z z z Z z Q
ICI Q Q = Y Y Y Y Q Y
Y = z z z Y z Q Q Q = Y Y Y z Q
soit finalement
Q i Q = Y =
(1.17)
Ces équations sont connues . Mais il ne faut pas oublier que seule la fonction Q nous intéresse directement et que ces équations, qui sont binaires, ne rendent pas compte des variations physiquement continues obtenues en pratique, lors
André BLANCHARD - "Eléments de commutation générale" Chapitre II.4 - Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications éd. EYROLLES 1969 -
- Ib2 -
des transitions (0 • 1) ou (1 - 0) des éléments qui correspon
dent aux fonctions et variables binaires.
Le graphe correspondant à l'ensemble des deux équations
se présente de la façon suivante :
Q 1 T
ci ..
\0 ..
CH .
00..
I 1 1 •*».« o 1
Si l'on ne tient pas compte de Y, on retrouve le graphe
de définition donné précédemment.
Remarquons que dans ces équations, z et z doivent opérer
simultanément lors des transitions (0 > 1) ou (1 •* 0) . Des
problèmes techniques de commutation internes se posent. Pour cha
cune des deux équations (1.16), ceux-ci peuvent être résolus
pratiquement par l'emploi des consensus. Cependant ies aléas
de commutation qui existent entre les deux fonctions ne peuvent
être éliminés qu'en tenant compte de la condition des seuils.
Nous appellerons, par définition, seuil de commutation
ramené à l'entrée d'un circuit logique, le niveau de tension ou
de courant atteint par le signal d'entrée à partir duquel le
circuit se comporte, en sortie, comme s'il se trouvait dans
l'état complémentaire de celui dans lequel il était immédiate
ment avant que ce niveau fût atteint.
- 153 -
Les seuils de commutation ne sont pas nécessairement les
mêmes si l'on se réfère à des sorties différentes correspondant
à une même entrée. Ils ne sont généralement pas les mêmes pour
les transitions (0 -» 1) et (1 •+ 0) d'une même variable d'entrée.
Les quatre états d'équilibre stable successifs qui caracté
risent les fonctions dibinaires ont pour conséquence pratique,
l'existence de quatre seuils de commutation remenés à l'entrée
et liés à ces quatre états. Un raisonnement simple s'en déduit
et permet d'établir la condition que doivent vérifier ces seuils
pour obtenir avec certitude, le fonctionnement désiré.
Les quatre seuils intermédiaires de commutation ramenés
à l'entrée et séparant les quatre états stables doivent être dis
tribués de telle sorte que les deux seuils franchis par les ni
veaux croissants du signal d'entrée soient supérieurs aux deux
seuils franchis par les niveaux d'entrée décroissants .
éfcjf i
Cette condition a été précisée dans un brevet déposé le
2 mars 1964 par le CE.A. (Procédé de réglage d'un ensemble
électronique à quatre états d'équilibre stable et dispositif
en faisant application n° 1.435.092).
- 154 -
LES FONCTIONS GENERATRICES
Rappel des définitions et théorèmes.
Définitions des transitions :
Des éléments binaires, variables ou fonctions, ne peuvent
évoluer de "0" à "1" sans passer par toutes les valeurs inter
médiaires de l'intervalle ouvert "0,1".
Pour exprimer la transition, de "0" à "1" de la variable
":<", nous écrirons simplement : x = (0 •* 1) et nous lirons "x"
égale transition "0 -* 1". Ceci définit, en fait, un intervalle
de temps généralement très court, pendant lequel "x" passe de
la valeur "0" à la valeur "1". Mais dans ce cas "x" n'est plus
binaire, x£E .
Inversement, nous pouvons, pour exprimer la tiansitlon de
"1" à "0" de la variable "x", écrire x = (1 -* 0) et lire "x"
égale transition "1 -» 0".
De la même manière, nous pouvons définir des doubles tran
sitions x = (0 - 1,1 * 0) et x = (1 •> 0,0 •+ 1) lorsque les
niveaux extrêmes, représentés par 0 et par 1, sont effective
ment atteints (intervalle fermé).
Fonction "impulsion" :
On appelle fonction "impulsion" de la variable "x" ou
"impulsion de x", la fonction "I(x)" égale à "0" quelle que
soit la valeur binaire de "x" mais assurant la double transi
tion (0 -*- 1, 1 •* 0) pour x = (0 -+ 1) . Par définition, la pre
mière transition (0 •* 1) de I(x) coïncide avec la transition
(0 ->• 1) de "x", x = (0 - 1) = I(x).
A l'exception des transitions, et bien qu'elle ne soit
pas exprimable algébriquement, l'impulsion I(x) est une fonc
tion binaire, I(x)tE_ . On peut donc définir quatre types de
fonction "impulsion", I(x), ï(x), I(x) et ï(x) dont les pro
priétés sont rappelées dans la table de vérité suivante :
- 155 -
X Kx) I ( X J Kx) it7>
0 0 1 0 i
0 0 0 l
+ + 1 1 0 i
1 1 i
0 i
1 0 0 i
1 p 0 i + + + 0 0 1 0
0 0 1 4
0
0 0 0 1
0 0 0 1
On admettra également comme définition, que les largeurs
en temps des doubles transitions et des impulsions sont infé
rieures à celles des signaux binaires et de leurs intervalles
qui résultent de l'évolution
des fonctions intervenant dans
un même système, et que ces
largeurs sont suffisantes pour
englober, chacune, les temps
de réponse propres des circuits
mis en oeuvre, c'est-à-dire :
les temps de transitions et de
propagations cumulés.
Il est souvent nécessaire, en
pratique, de connaître la durée
d'une impulsion ; il suffit
alors dans l'expression de la
Fig.l - Diagramme des temps repré- fonction impulsion, d'indiquer
sentant la fonction "impulsion"IT (x) en indice la largeur "T" à
mi-hauteur par exemple, et d'écrire "I T(x)" qui symbolise alors.
=fr'"fr -t>^
- 156 -
sans ambiguïté la fonction représentée sur le diagramme des
temps de la figure*"t.
A.25. - Propriétés fondamentales des fonctions "impulsions"
x.I T (x) = I T(x) , x
I T(x) = x.
X
I-r U ) = I T(x) , x.I T(x) = x.
A.26. - Fonctions "délais" :
^n appelle, par définitions, fonction "délai" de la
variable "x" toute fonction prenant les mêmes valeurs binaires
nue "x", mais dont les transitions se produisent toujours avec
un même retard par rapport à celles de la variable. On repré
sente symboliquement par * (x), la fonction "délai" dont T n, T 1
les transitions (0 ->• 1) sont retardées de " T 0 " par rapport aux
transitions (0 •+ 1) de "x" et dont les transitions (1 -»• 0) sont
en retard de " T J " sur les marnes transitions de "x" Fig. 2.
Aft/SMA î- -fF-fvv I I i i!
-B>/-
Fig. 2 - Diagramme des temps représentant les transitions
relatives de la fonction A T (x) et de la variable
- 157 -
Lorsque T = 0, ce qui correspond au cas le plus courant,
on écrit simplement :
A T , (x) = A T (x) .
Une fonction peut, éventuellement, être une fonction
"autogénératrice", lorsqu'elle engendre des transitions ne
dépendant d'aucune variable binaire. C'est le cas des généra
teurs d'impulsions.
A.27. - Relations fondamentales entre les fonctions génératrices élé-
mentaires :
(x) = A T n ' x ) , A (x) = A T (x)
Dans le cas où T 0 = T t, on écrit simplement :
A T (x) = A!x) .(x) = A T(X).
IT(x) = x.AT(x) = x.AT(x)
A.28. - Fonction "délai conditionné" - x.A (x) et
Les fonctions "délais conditionnés" sont utilisées, géné
ralement, pour masquer les doubles transitions qui résultent
des aléas de continuité ou de simultanéité.
- 158 -
TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION
I - ANALYSE STRUCTURALE D'UN SYSTEME NUMERIQUE
1.1. Fonction logique "ET"
1.2. Court-circuit entre les entrées 1 et 2
1.3. Fonction logique "OU"
1.4. Court-circuit entre les entrées 1 et 2
I.b. Détermination des séquences de test d'un
circuit combinatoire (1er exemple)
I . b . Panne uni que
1.7. Pannes multiples
I.b. Détermination des séquences de test d'un
circuit combinatoire (2e exemple)
1.9. Contrôle fonctionnel de circuits redondants
I.i.l. Génération de double transitions (1 -+- 0 .•*• 1)
1.9.2. Génération de double transitions ( 0 -+- 1 -<• 0)
II - MAC-INES SEQUENTIELLES
11.1. Analyse et contrôle d'une fonction réflexe
êlémentai re
11.1.1. Recherche des états stables
11.1.2. Recherche des commutations
11.2. Contrô'e de la fonction mémoire à "S" prioritaire
11.3. Généralisation de l'analyse structurale aux ma
chines séquentielles
11.4. Fonctionnement de l'automate d'asservissement
II.b. Etablissement des "ouations logiques
II.b-1. Equation de la fonction DT
II.b.2. Equation de la fonction BDVlTI
II.b.3. Equation de la fonction H
il.b.i'i. Equation de la fonction T
- 159 -
11.6. Construction du graphe
II.G.I. Recherche des états stables
11.7. Recherche des commutations
PAGES
41
40
48
III CONSTRUCTION DU GRAPHE CARTESIEN SEQUENTIEL 54
IV ETUDE DES TRANSITIONS MULTIPLES
IV.1. Equations de transition
IV.2. Etude de la commutât i on (23) -> (f|)
IV.2.1. Recherche du premier commutant
IV.2.2. Recherche du deuxième commutant
IV.2.3. Recherche du troisième commutant
IV.3. Etude de la commutation @ - (f|)
IV.t. Etude de la commutation (59) -> £§)
IV.5. Etude de la commutât i on (^ •* Qb) IV.b. Recherche des états de blocage
61
61
61
62
63
67
68
69
72
V - SYNTHESE D'UN AUTOMATE D'ASSERVISSEMENT
V.l. 1ère réalisation pratique
V.2. 2e réalisation pratique
V.3. 3e solution utilisant deux fonctions mémoires
V.4. Etude de la course critique
V.5. Contrôle de l'automate d'asservissement
V.6. Organigramme de test
V.7. Programme de test
VI - ETUDE DE LA BASCULE TTL SN54S112
VI.1. Etablissement des équations logiques
VI.2. Discuss ion
VI.3. Construction du graphe séquentiel
VI.4. Première séquence de fonctionnement
VI.5. Deuxième séquence de fonctionnement
VI.b. Influence des variables "R" et "b"
Conclusion
Programme d'analyse de fonctions reflexes élémentaires 118
75
78
79
81
87
92
93
110
112
113
114
117
111
113
114
116
- 160 -
Annexe : Analyse binaire - Rappels. PAGES
A. 1. Définition de base 123
A. 2. Première loi de composition - Le produit 123
A. 3. Deuxième loi de composition - Le produel 125
A. 4. Distributivite 12C
A. 5. Theorems de De MORGAN 127
A. b. Etablissement de la première forme canonique 127
A. 7. Etablissement de la deuxième forme canonique 128
A. 8. Table de vérité complète 129
A. 9. Table de vérité incomplète 130
A.10. Simplification des fonctions binaires 131
A.11. Mise en facteur dans un produel 132
A.12. Mise en facteur dual dans un produel 132
A.13. Simplification par développement 1-3
A.14. Simplification par implication 133
A.1S. Simplification par adjacences -35
A.16. Propriétés des fonctions carrées biformes 14T
A.17. Simplification par la méthode des "consensus" 141
A.18. Fonctions réflexes 141
A.19. Fonctions mémoires 143
A.20. Fonctions dibinaires 146
A.21. Propriétés des fonctions dibinaires 148
A.22. Recherche des équations correspondant partiellement 143 aux fonctions dibinaires
A.23. Fonctions génératrices - Définitions des transitions 154
A.2t. Fonction "impulsion" 154
A.25. Propriétés fondamentales des fonctions "impulsions" 156
A.26. Fonctions "dël:;;" 156
A.27. Relations fondamentales entre les fonctions génératrices élémentaires 157 Bi b 1 iograph ie
B I B L I O G R A P H I E
BLANCHARD A.
Eléments de commutation générale
Ld. Eyroi les .
DEBRAINE P.
Machines de traitement de l'information
Tome I Ed. Masson.
VALLEE K L .
Analyse binaire.
Tome I et II Ed. Masson.
CHICHEPORTICHE A., VALLEE R.L., 'VERGEZ P.
Appareil d'échantillonnage d'impulsions aléatoires
Brevet CEA n° 6 922 984 du 7.7.1969.
VERGEZ P.
Analyse du fonctionnement logique de la bascule TTL 5472
Note CEA N-1237, 1970.
CHICHEPORTICHE A., VALLEE R.L.
Etude et utilisation de bascules logiques à seuils contrô
lés .
Note CEA N-S61, 1968.
CHICHEPORTICHE A.
Etude d'un circuit de détection de coïncidences aléatoires
a l'aide de la méthode des graphes séquentiels.
Rapport CEA R-4166.
VERGEZ P. , BONNEMAY A.
L'analyse binaire et les algêbres de Boole.
Automatisme Tome XVI - n° 10 - octobre 1971.
CHICHEPORTICHE A.
Analyse et synthèse d'un circuit logique d'asservissement
par les méthodes de l'analyse binaire.
Rapport CEA R-4568.
CHIChEPORTICHE A.
Analyse du fonctionnement logique des circuits TTL
SN5476 - SN54H76 - SN54S112 par les méthodes de l'analyse
bi nai re .
Rapport CEA R-4677.
Manuscrit reçu le 15 juin 1976
Achevé d'imprimer
par
le CEA, Service de Documentation, Saclay
Octobre 1976
DEPOT LEGAL
4ème trimestre 1976
La diffusion, à titre d'échange, des rapports et bibliographies du Commissariat à l'Energie Atomique est assurée par le Service de Documentation, CEN-Saciay. B.P. n° 2, 91 190 • Gif-sur-Yvette (France).
Ces rapports et bibliographies sont également en vente à l'unité auprès de la Documentation Française, 31, quai Voltaire, 75007 - PARIS.
Reports and bibliographies of the Commissariat à l'Energie Atomique are available, on an exchange basis, from the Service de Documentation, CEN-Saclay, B.P. n" 2, 91 190 • Gif-sur-Yvette (France).
Individual reports and bibliographies are sold by the Documentation Française, 31, quai Voltaire, 75007 -PARIS.
\
Edité par
te Service de Documentation
Centre d'Etudes Nucléaires de Sacfay
Botte Postale n° 2
91190 - Gif-OJr-YVETTE (France)
