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SIMPLIFICATION DU CALCUL TH]~ORIQUE DE L'AFFAIBLISSEMENT DU A LA PLUIE

P i e r r e M I S M E

Ing6nieur en chef de la M6t6orologie *

p a r

et Geo rges B E N O I T - G U Y O T

Licenci6 ~s sciences math6matiques *

R~:SUM~. - - Les auleurs commencent par rappeler les difficullds de calculer les affaiblissements produits par la pluie et l 'impossibilild d'dcrire une loi analytique pour reprdsenler ees affaiblissements donl ils donnent les valeurs sous forme graphique. E n rue des calculs propres aux tdIdcommunications, ils reeherchent des lois analytiques aussi simples que possible, donnant l 'affaiblissement en fonclion de la frdquence et de l'intensild de prdeipitalion. Dans chaque cas, est calculd l'erreur exislant entre ces lois approchdes et les lois thdoriques ddduites de la thdorie de Mie. Le domaine d'application de ces approximations est sensiblement compris

entre 6 et 30 GHz el 20 ~i 140 mm/h.

PLAN. - - �9 Introduction. 1 : Principe du calcul. 2 : Formulation proposde. Conclusion. Bibliographie (3 r6f.).

I N T R O D U C T I O N

O n sa i t q u e les p r o b l ~ m e s de d i f fus ion e t d ' a b s o r p -

t i o n p a r les g o u t t e s de p lu ie s p h 6 r i q u e s o n t 6t~ t ra i tds

p a r Mie. C e p e n d a n t , p o u r o b t e n i r des v a l e u r s n u m d -

r i ques , les p o i n t s s u i v a n t s d o i v e n t 8 t re p r6c i sds ;

- - t e m p 6 r a t u r e de l ' e a u ( s u p p o s 6 e pure ) ,

- - v i t e s s e de c h u t e des g o u t t e s ,

- - lo i de r d p a r t i t i o n du d i a m ~ t r e de ces g o u t t e s

e t v a l e u r s e x t r e m e s de ces d i a m ~ t r e s .

T o u t le p r i n c i p e du ca l cu l e t les d i f f6 ren tes diffi-

cu l t6s q u i y s o n t r a t t a c h d e s o n t f a i t l ' o b j e t de plu- s ieurs p u b l i c a t i o n s d o n t u n e des p lus r6cen te s e t

des p l u s c o m p l e t e s es t d u e h P . W a l d t e u f e l [1].

M a l h e u r e u s e m e n t , m ~ m e l o r s q u e les p a r a m ~ t r e s

n6cessa i r e s s o n t donnds , la loi de l ' a f f a i b l i s s e m e n t en f o n c t i o n de l ' i n t e n s i t 6 de p r d c i p i t a t i o n e t de la

f r 6 q u e n c e ne p e u t p a s s e m e t t r e sons f o r m e ana-

l y t i q u e . L ' o b j e t de ce t a r t i c l e es t de r e c h e r c h e r des lois a n a l y t i q u e s pas c o m p l i q u d e s , q u i p u i s s e n t ~tre

u t i l i s6es h l ' a i d e de m o y e n s s imp le s , te l s q u e des

o r d i n a t e u r s de b u r e a u e t des r~gles h ca lcu l , ou d o n n e r n a i s s a n c e h des n o m o g r a m m e s .

P o u r les m ~ m e s ra i sons de c o m m o d i t d , n o u s avons

cho is i u n e t e m p 6 r a t u r e de 18 o C e t les v i tesses de c h u t e mesu r6es p a r G u n e t K i n z e r , mises sous

f o r m e a n a l y t i q u e p a r D. A t l a s e t a u t r e s [2]. B ien

q u e les v i t e s ses de c h u t e s s o i e n t t r~s v a r i a b l e s e t l ' i u f l u e n c e de ces v a r i a t i o n s i m p o r t a n t e s [3], nous ne t r a i t e r o n s pas c e t t e q u e s t i o n ici.

P a r m i r o u t e s les lois de r 6 p a r t i t i o n du d i a m ~ t r e

des g o u t t e s q u i o n t 6t6 p r o p o s 6 e s , d e u x p a r a i s s e n t

a v o i r u n e l a rge a u d i e n c e , e t r i en ne p e r m e t de sup -

p o s e r q u e l ' u n e es t p lus r e p r 6 s e n t a t i v e q u e l ' a u t r e :

il s ' a g i t des lois d i t es de L a w s et P a r s o n s e t de Mar sha l l e t P a l m e r [1]. N o u s 6 t u d i e r o n s d o n c les

r e p r 6 s e n t a t i o n s a n a l y t i q u e s q u i en ddcou l en t .

1 . P R I N C I P E D U C A L C U L

L ' 6 t u d e f a i t e p a r P . W a l d t e u f e l p e r m e t de t r a c e r

des r 6 s e a u x de c o u r b e s r e p r d s e n t a n t les t ro i s v a r i a b l e s :

y = a b s o r p t i o n en d B / k m ,

f = f r d q u e n c e en G H z ,

R = i n t e n s i t 6 de p r 6 c i p i t a t i o n en m m / h .

S u r la f igure 1 on a r e p r d s e n t 6 3" en f o n c t i o n de la f r 6 q u e n c e p o u r d i f f6 ren tes i n t e n s i t 6 s de

p r 6 c i p i t a t i o n .

S u r la f igure 2 7 es t f o n c t i o n de l ' i n t e n s i t 6 de p r 6 c i p i t a t i o n p o u r d i f f6 ren tes f r6quences . On cons-

t a t e q u e ces c o u r b e s p e u v e n t g t re r ep r6 sen t6e s a v e c

u n e b o n n e a p p r o x i m a t i o n p a r u n e 6 q u a t i o n de

la f o r m e y = K R ~, off K e t cr s o n t f o n c t i o n s de la

f r 6 q u e n c e p o u r u n e t e m p 6 r a t u r e fix6e. C e p e n d a n t , r o u t e loi a p p r o c h 6 e ne do i t ~t re i n d i q u 6 e q u ' e n

e x p l i c i t a n t sa p r6c i s ion e t son d o m a i n e de va l id i t6 .

Ces d e u x n o t i o n s s o n t d ' a i l l e u r s i n s6pa rab l e s . Darts le cas q u i nous in t6resse , on v o i t su r la

f igure 2 la loi, 7 = KR~, a u r a u n e p rdc i s ion v a r i a b l e

s u i v a n t les v a l e u r s de R. D a n s un i n t e r v a l l e tr~s 6 t ro i t , il es t t o u j o u r s poss ib le de c o n f o n d r e une

c o u r b e e t sa t a n g e n t e , m a i s on es t c o n d u i t & a d m e t t r e u n e e r r e u r d~s q u e le d o m a i n e d e v i e n t 6 t e n d u .

* Au CNET, groupement E T U D E S SP2xTIALES ET TRANSMISSION, d6partement ANTENNES ET PROPAG2~TION }tERTZIENNE.

1 / 7 A. T~LEC., 29, n ~ 3-4, 1974 pp. 132-138

P. M I S M E . -- S I M P L I F I C A T I O N D U C A L C U L T H I ~ O R I Q U E D E L ' A F F A I B L I S S E M E N T DO A L A P L U I E 133

50

20

10

5

0,2

0,10

0,02 / /

0,01

7 en dB par kilom~tre Intensitd de precipitation en mm/h 140

_... -------- 100

/ / ~ f / / / 20

// / / / / /-

/ / / / / / ~ , / I I i

i / ' / i / f ~ / I / I / / I I ~" / / / / / I / . . . ,, ,r i i 1

/ / I / X / / , / , / / ,~ / o., - /

, , / / / / / / I / / I / I / , , , , / / f

/ / i / / J , / ,I , / / , , , / / " I / / / , i / / / / I / I /

/ , / I I I I I

/ , i / , , ! , , 5 10 20 50 100

Fr(~cluences en Gl-:lz

FiG. 1. - - Affaiblissement dfi ~ la pluie (Laws et Parsons).

[1 y a donc a v a n t a g e ~ ne pas t rop l ' e tendre . Ce doma ine doi t ~tre defini en in tens i te de pre-

c ip i ta t ion e't en f requence . On le conna t t ra mieux en

prec isant que le t r a v a i l presente ici est effectu6 en r u e d ' u n e app l i ca t ion aux t e l ecommunica t ions

pour lesquelles il f a u t t en i r compte des fortes a t t e -

nuat ions, c ' es t -~-d i re celles qui cor respondent aux fortes in tens i tes . On f ixera donc la borne supe-

r ieure des in tens i tes ~ 100 mm/h . Pour ne pas t rop

ndgliger les faibles intensi tes , la borne infer ieure

sera fixee ~ 30 m m / h . Cet in te rva l le de mesure ne signifie pas qu '~ l ' e x t e r i e u r la precision sera inac-

ceptable, mais s i m p l e m e n t qu 'on accepte a pr ior i

qu 'e l le y sera moins bonne.

I1 f au t ega l emen t f ixer le doma ine de f requences .

Toujours en r u e de l ' app l i ca t ion , ce domaine a et6 l imite h l ' i n t e rva l l c 6 - - 30 GHz.

Toutes ces l imites 6 tan t ainsi precisees, il res te

definir ce que l ' on pour ra appe ler l ' c r reur accep- table. P o u r approche r le probl~me, on r e m a r q ~ e

que ~ est voisin de l ' un i tQ c 'es t -h-di re que y est

en p remiere a p p r o x i m a t i o n p ropor t ionne l h R. Dans

la p ra t ique , et pour la bande de fr~quence 6tudiee,

on peu t a d m e t t r e que les 6qu ipements rea l isables

p e u v c n t accepter des evanou i s semen t s de l ' o r d r e

de 35 dB, ce t te v a l c u r n ' e t a n t pas definie h m i e u x

A. T~L~C., 29, n o8 3-4, I 974 2/7

134 P. M I S M E . -- S I M P L I F I C A T I O N D U C A L C U L T H I ~ O R I Q U E D E L ' A F F A I B L I S S E M E N T Dr] A L A P L U I E

7 en dB/km 3 0

10-

3-

1.

0,3

0,1

/

/ 30 GHz

/ /

1 3 10 30 100 3 0 0 R mm/h

FIG. 2. - - Comparaison des lois th4oriques et approch4es. - - - exemples des lois K . R = , - - valeurs exactes calcul4es par P. Waldteufel pour la loi dite de Marshall

et Palmer. NOTA. - - La courbure de la courbe cot4e l0 GHz a 4t4 faiblement amplifi4e entre 40 et 300 mm/h afin de montrer que l'allure de cette courbe est diff4rente de celle cot4e 30 GHz.

que =5 1 d B , c ' e s t - h - d i r e q u e la m a r g e d ' e r r e u r es t

vo i s i ne de • 3 %. I1 suf t i t d o n c , p o u r le ca lcu l a n a -

l y t i q u e q u e n o u s p r o p o s o n s ici q u e les e r r e u r s su r

la d 4 t e r m i n a t i o n de y so i t i n f4 r i eu re ~ • 3 %.

A y a n t a in s i d6f in i les l i m i t e s en i n t e n s i t 6 de p r e -

c i p i t a t i o n , f r 4 q u e n c e e t p r4c i s ion , il r e s t e & cho i s i r

des r e l a t i o n s a n a l y t i q u e s de K e t ~ en f o n c t i o n de

la f r 4 q u e n c e f ( e x p r i m 4 e en GHz) .

2 . FORMULATION PROPOSI~E

Si l ' o n v e u t o b t e n i r des e x p r e s s i o n s s i m p l e s p o u r

~(f) e t K ( f ) , c ' e s t - h - d i r e ne d 4 p e n d a n t q u e de 2 ou

3 p a r a m 6 t r e s e x p r i m 4 s p a r u n m a x i m u m de 4 ch i f f res

s ign i f i ca t i f s le c h o i x des f o n c t i o n s es t assez r4du i t .

A v e c c e t t e c o n t r a i n t e , n o u s n ' a v o n s pas t r o u v 6 de

f o n c t i o n u n i q u e p o u v a n t r e p r d s e n t e r ~r darts t o u t

I t d o m a i n e de v a r i a t i o n . N o u s a~cons doric c h e r c h 6

d e u x f o n c t i o n s a y a n t u n e z o n e de r e c o u v r e m e n t

e n t r e 9,5 e t 10 G H z .

D e u x t y p e s de f o n c t i o n s r 6 p o n d e n t a u x c o n t r a i n t e s

f ixdes e n t r e 9,5 e t 30 G H z . P o u r c h a q u e t y p e on a

c h e r c h 4 & o p t i m a l i s e r les p a r a m ~ t r e s en c o m p a r a n t

les v a l e u r s a p p r o c h 6 e s e t les v a l e u r s t h ~ o r i q u e s , ce

qui a c o n d u i t & a j u s t e r ces p a r a m 6 t r e s . P o u r ce

fa i re , n o u s a v o n s u t i l i s4 u n a l g o r i t h m e d ' o p t i m a l i -

s a t i o n qu i m i n i m a l i s e les 4 c a r t s au sens des m o i n d r e s

carr6s .

3/7 A. TI~L~C., 29, n ~ 3-4, 1974

P. MISME. -- SIMPLIFICATION DU CALCUL THI~OBIQUE DE L 'AFFAIBLISSEMENT Dt] A LA PLUIE 135

TABLEAUX ][ e t II. - - DLff6rences e n t r e les v a l e u r s a n a l y t i q u e s e t les v a l e u r s t h 6 o r i q u e s (va leur a n a l y t i q u e - - v a l e u r th6or ique ) e x p r i m 6 e s en pou rcen t age des v a l e u r s a n a l y t i q u e s

Loi de Laws e t P a r s o n s

A p p r o x i m a t i o n A l, 0r = 1.69 - - 0,053 [ q- 1,1 10 -3 ]+2 A p p r o x i m a t i o n 1 feB I

K 8,03 10 -3 - - 3,13 10 -a [ q- 3,26 10 -4 /2 ( so lu t ion) C F ( G H z ) i ! i

A 6 6 , 5 7 7 ,5 ' 8 8 ,5 9 9 , 5 10 r~ [ m m / h ] ~ B 9 ,5 10 11 12 13

B

30 A

B

60 A B

80 A B

1 0 0 A B

I 10 A - - 9,2 4,1 + 0 ,4 -[- 3,5 + 5,2 -~- 5,8 5,6 + 4,9

B + 28 i t 15 + 10 + 6,7

20 A --2,5 - - 1 , 5 --0,0 + 1,4 + 2,0 § 1,9 + 0,4 + 15 + 4,8 + 1 , 6 + O, i

O,l 0 , 8 B + 9,3 + 1 ,7 - - 0 , 6 - - 1 , 8

40 A + 0 , 0 - - 0 , 1 -I-0,8 + 1 , I + 1,2 ~-0,8 O,2 0,3 + 7,0 + 0 ,9 - - 0 , 7 - - t , 5

_ _ _ _ _ _ _ _ + 0,1 + 3,5 - - 0 ,6 - - t , 1 - - 1 , 1

+ 1 ,4 + 2 ,0 - - 0 , 7 - - 0 , 4 ~ - 0 , 2

+ 1,3 0 ,2 - - 1,3 --0,5 -~ 0,5

1 2 0 A B

140 A B

1 6 0 A B

- - t , 7 - - t ,2 - - 0,3 + 0,6 -~ 0,8 - - 0,4

+ 1 , 0 - - 0 , 1 + 0,2 + 0,3 § 0,4,-t- 0,2

+ 2,6 + 0,8 + 0,8 + 1,2 ~- 1,2!+ t , 4

+ i , 4 1 - - 0 ,7 - - t , 2 - - 0 ,7 - - 0 ,3

+ 3,1 + 0 ,3 - - 0 , 1 + 0 , 2 + t , t ~ - ~ , ~ + 3,3 § 0 ,1

+ 4,5 ~- 1,2 + 0,6 + 0,6 + 1,21~- 2,2 ~- 3,3 ~- 0,14'6

+ 4,4 + 0 , 9 - - 0 , 3 - - 0 , 2 - - 0 , 9 + 2 ,3 + 3,7 + 5,3 0 ,7

= 1,47 - - 0,09 ~/f-

K : - - 1 10 -3 + 5,1 10 -5/3,45

! r 15 20 3 0 4 0

4,7 + 23 q- 3 , 3 + 3,0 + 5,4 + 10

- - 0 , 5 + 11 - - t , t - - 0 , 6 + 0 , 5 + 6,9

- - 1,4 ~- 6,0 --2,0 --1,1 --0,6 + 6,5

- - 0,9 + 3,9 - - 1 , 8 - - ! , 0 - - t , 0 + 6,0

+ 0,1 + 1 , 4 - - 0 , 5 - - 0 , 8 - - 0 , 6 ~- 7,6

+ 2 , 0 + 0 ,9 + 1 , 0 + 0 , 0 - - 0 , 2 + 8,7

+ 2,1 - - 0 , 9 1,3 0,5 0,5 + 1,8 - - 0 , 2 + 0,5 + 11

+ 4,0 - - 0 , 5 - - 0 , 2 + 1 ,0 + 2 , t + 3,3 + 0 , 4 § 0 , 9 + 11

+ 5,5 - - 0 , 4 + 0 , 6 + 2,2 -~- 3,5 + 4,5 + t , 0 + t , 9 + 12

+ 6,7 . . . . . . . 0 , 5 + 1 , 3 + 3,2 -~- 4,7 -~- 5,7 -~- 1 ,6 -[- 2 , 6 + 13

A p p r o x i m a t i o n A

Loi de Laws et P a r s o n s

t ~ = 1,69 - - 0,053 f + 1,1 10 -3 [3 A p p r o x i m a t i o n B 2 e

K = 8,06 10 -3 - - 3,13 10 -3 f -}- 3,23 10 -4 ),3 ( so lu t ion)

= 1,51 - - 0,112 ]0,459a

K : - - 1,572 10 -3 -[- 5,355 10 -5/2,aa9

• F ( G H z )

R [ m m / h ] ~

10 A B

2 0 A B

3O A B

4 0 A B

6 0 A B

80 A B

1 0 0 A B

120 A B

1 4 0 A B

1 6 0 A B

A 6 6 , 5 7 7 ,5 8 8 ,5 9 9 ,5 10 B 9 ,5 10

- - 9 , 2 - - 4 , 1 ] + 0 ,4 + 3,5 + 5,2 + 5,8 + 5 , 6 ] + 4,9 + 4,7 + 26 + 22

- - 2 , 5 - - 1 , 5 - - 0 , 0 + 1,4 + 2,0 + 1,9 + t ,2 + 0 , 4 - - 0 , 5 + 13,1 + 9,5

- - t , 7 - - t , 2 - - 0 , 3 + 0,6 + 0,8 + 0 , 4 - - 0 , t - - 0 , 8 - - 1 , 4 + 7,7 + 4 ,9

+ 0 , 0 - - 0 , 1 + 0 ,8 + 1 ,1 + t , 2 + 0 ,8 ~ 0 , 2 ~ - - 0 , 3 - - 0 , 9 + 5,6 + 2,9

+ 1 , 0 - - 0 , 1 + 0,2 + 0,3 + 0 , 4 ~- 0 , 2 ~ + 0 , 4 + 0,1 + 0 , 1 + 2,1 + 0 , 5

i ~- 2,6 + 0,8 + 0,8 + t ,2 + 1,2 + 1,4 ~- 1,3 + 1,4 + 2,01

-~- 0,8 + 0 , t

+ t , 4 - - 0 , 7 - - 1 , 2 - - 0 , 7 , - - 0 , 3 ~ 0,6 -t- 0,8 ~- 1,3 + 2,1! 1 ,3 - - t , 7

+ 3,1 + 0 , 3 - - 0 , 1 + 0,2 ~- 1,1 ~- 1,5 ~- 2,4, + 3,3 + 4,0 t ,0 - - 1,3

+ 4,5 + 1,2 + 0,6 ~- 0,6 + 1,2 + 2,2 + 3,3 -I- 4,6 + 5,5 1,2 - - 1,1

+ 4,4 + 0 , 9 - - 0 , 3 + 0,2 + 0,9 + 2,3 + 3,7 + 5,3 + 6,7 t , 7 - - 1,1

11 12 13 15 2 0 3 0 4 0

+ 14,6 + 9,8 + 6,9 + 3,8 + 3,7 + 5,9 + 10,8

+ 4,4 + 1 , 5 + 0 , t i - - 0 , 6 - - 0 , 1 + 0 ,9 + 7,3

+ 1 , 3 1 0 , 6 - - 1 , 6 - - 1 , 6 - - 0 , 7 - - 0 , 3 ~- 6,8

+ 0 , 5 - - 0 , 7 - - 1 , 3 - - 1 , 3 - - 0 , 6 - - 0 , 8 + 6,3

- - 0,9 - - 1 , t - - 0 , 9 - - 0 , 1 - - 0 , 4 - - 0 , 4 + 7,9

0 ,9 - - 0 , 4 + 0 , 4 + 1 , 4 + 0 , 3 - - 0 , 1 + 8,9

1 , 6 - - 0 , 4 + 0 ,8 + 2 , 2 + 0 ,1 + 0 , 5 + 10,8

0 , 4 + 1 , 1 + 2 , 4 + 3 ,7 -b 0 , 7 -}- 0 , 9 -k 11,1

+ 0 , 4 + 2 , 3 + 3,8 + 4 ,9 + 1 ,3 + 1,9 + 1 2

+ 1 , t + 3,3 + 5 -}- 6 , 1 ! + 1 ,9 -}- 2 ,6 + 13,2

Les chiffres g ras co r r e sponden t h : e r r eu r I ~< 3 % Les chiffres ma ig re s co r r e sponden t ~ : e r r eu r > 3 %

A. T~'L]~C., 29, n ~ 3-4, 1974 4 / 7

136 P. MISME. -- SIMPLIFICATION DU CALCUL THI~ORIQUE DE L'AFFAIBLISSEMENT DO A LA PLUIE

TABLEAUX III et IV. -- Diff6rences entre les valeurs analytiques et les valeurs th6oriques (valeur analytique - - valeur th6orique) exprim6es en pourcentage des valeurs analytiques

Loi de Marshall et Palmer l ~ = 2 , 0 6 - 0,131 [ + 4,8 10 ~a 12 Approximat ion B (

Approximat ion A 1 re K = 1,02 10 -3 - - 3,86 10 -a [ + 3,84 10 -4 [2 (solution)

F (GHz) ' A 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10

R [ m m / h ] ~ l B 9,5 10 11 12 13 15 20 30 40 I

10 A --Ii --5,0 + 0,8 + 4,5 + 6,5 + 7,2 + 7,2 + 6,7 + 6,8 B + 16 14

20 A - - 2 , t - - 0 , 1 + 2,.4 + 3,5 + 4,0 + 3,4 + 2 , 6 ' + 2,0 + 1,9 B + 7,8 + 5,9

30 A + 0,4 + 0,7 + 1,8 + 2,1 + 2,t + 1,4 + 0,6 + 0,2 - - 0 , 2 B + 3,9 2,3

I

40 A + 1 , 5 + 0 , 5 + 1,0 + t , 2 + t , 0 ! + 0 , 3 - - 0 , 2 0 , 8 - - 0 , 9 B + 1,5 0,5

60 A + 2,5 + 0 , 3 + 0,4 + 0,5 + 0 , 2 - - 0 , 6 - - 0 , 9 - - 0 , 8 - - 1 , 4 B 0,3 - - 1,3

80 A + 3,1 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0 , 2 - - 0 , 3 - - 0 , 4 - - 0 ,6--0,4 B - - 1,5 - - 1,3

100 A + 3,6 + 0 , 6 + 0,8 -~ 0,9 + 0,9 + 0,6 + 0,2 + 0,1 + 0 , 1 B - - t ,8 - - 1,6

120 A + 4,3 + 1,5 + 1,0 + 1,4 + 1,7 + 1,6 + 1,3 + 1,0 + 1,4 B - - 1,8 - - 1 , 0

140 A + 4,8 + 1,8 + 2,3, + 2,4: + 2,~ + 2,4 + 2,2 + 2,0 + 2,2 B - - 1 , 5 - - 0 , 7

160 A + 5 , 9 + 2 , 5 + 2 , 7 - - 0 , 4 + 3 , 6 4 3 , 4 ! + 3 , 3 + 3 , 1 + 3 , 2 B . - - 1,1 - - 0 , 2

I

: 1,48 - o,o9 47 -

K : - - 0,002 + 4,8 10 -5 12,~

+ 8,6 + 5,6 + 3,8 + 1,8 + 2,2 + 3,7 + 7,7

+ 2,7 + 1,1 - - 4 , 9 --0,6 + 0,2 + 0,3 + 4,3

+ 0,4 - - 0 , 2 - - 1 , 0 - - 1 , 2 - - 0 , 4 - - 1 , 0 + 3,3

- - 0 , 9 - - 1 , 1 - - 0 , 9 - - 0 , 8 - - 0 , 8 - - 1 , 4 + 3,3

- - 1 , 4 - - t , 0 - - 0 , 7 - - 0 , 3 - - 0 , 7 - - 1 , 4 + 3,3

- - 1 , 0 - - 0 , 6 + 0,1 - - 0 , 5 + 0 ,4 - - 1 , 1 + 3,6

- - 0 , 6 + 0,1 + 0 ,7 + 1,4 - - 0 , 2 - - 0 , 4 + 4,1

+ 0 ,2 + 1,0 + 1,6 + 2,2 + 0,9 --0,1 + 4,5

+ 0 ,8 + 1 ,7 + 2,5 + 2,8 + t , 2 + 0 ,2 + 5,0

+ 1,~ + 2 ,6 + 3,3 + 3,5 + 1 ,5 + 0,7 + 5,4

Approximat ion A

Loi de Marshall et Painter

( ~ [ = 2,06 - - 0,131 ] + 4,8 10 -3 [2 Approximat ion B �9 2e t K = 1,02 10 -z - - 3,86 10 -3 ] + 3,84 10 -+ ]z (solution)

I a = 1,491 - - 0,1 /o,4~8

K = -- 0,002 + 5,028 10 -5 12,4a6

~ F(GHz) A / 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 l:t [ m m / h ] ~ B 9,5 10 11 12

10 A B

20 A B

30 A B

40 A B

60 A B

80 A B

100 A B

120 A B

140 A B

160 A B

13 15 20 30 40

- - 1 1 - - 5 , 0 - - 0 , 8 + 4,5 + 6,5!+ 7,2 + 7,21+ 6,7 + 18

- - 2 , 1 - - 0 , 1 + 2 ,4 + 3,5 + 4,0 + 3,4 + 2,6 + 2 ,0 + 1,9 + 8,8 + 6,7

+ 0,4 -~-0,7 + 1,8 + 2,1 + 2,1 + t ,4 + 0,6 + 0 , 2 - - 0 , 2 + 4,7 + 3,0

+ 1,5 + 0 , 5 + 1,0 + 1 , 2 + t , 0 + 0 , 3 - - 0 , 2 - - 0 , 8 - - 0 , 9 + 2,2 + 1,1

+ 2,5 + 0 , 3 + 0 ,4 + 0 ,5 + 0,2 - - 0 , 6 - - 0 , 9 - - 0 , 8 i - - 1 , 4 + 0 , 2 ] - - 0 , 9

+ 3,1 ~ 0 , 3 + 0 ,4 + 0,5 + 0,2 - - 0 , 3 - - 0 , 4 - - 0 ,6 - - 0 , 4 - - 1 , 0 - - 0 , 9

I - -

+ 3,6 + 0 , 6 ' + 0,8 + 0,9 + 0,9 + 0,6 + 0,2 + 0,1 I + 0 , 1 - - 1,4 - - 1,2

+ 6,8 I + 15 + 9,5 + 6,4 + 4,4

+ 3,4 + 1,6 --4,5

+ 0,9 + 0 ,2 - - 0 , 6

- - 0 ,5 - - 0 ,7 - - 0,6

- - 1 , 1 - - 0 , 7 - - 0 , 5

- - 0 , 7 I - 0 , 4 + 0,2

+ 2,3 + 2,6 + 4,2 + 8,5

- - 0 , 2 + 0,5 + 0,9 + 5,5

- - 1 , 0 --0,1 --0,3 + 4,4

- - 0 , 5 - - 0 , 5 - - 0 , 6 + 4,9 - - I "

- - 0 , 2 : - - 0 , 5 --0,5 + 5,2 J !

+ 0 , 6 , - - 0 , 2 --0,I + 5,6 - - I

- - 0 , 4 + 0 ,2 + 0,8 + 1,4 - - 0 , 0 + 0 ,5 + 6,3

+ 4,3 + 1 , 5 + 1,0 + 1,4 + 1,7 + 1,6 + 1,3 + 1,0 + 1 , 4 - - 1,4 - - 0,7

+ 4,8 + 1,8 + 2,3 + 2,4 + 2,4 + 2,41+ 2,2' i+ 2,0 + 2,2 I-- 1'21--0'5

3,3 + 3,1 + 3,2 + 5,9 + 2 , 5 + 2 , 7 - - 0 , 4 + 3,6 + 3 '4 i+ - - 0 , 8 - - 0 , 0

0,3 + 1,1 ~ 1,6 + 2,1 + 1,0 + 1,0 + 6,8

+ 0,9 + t , 8 + 2,5 + 2,8 + 1,3 + 1,3 + 7,3

- - 3,4 i + 1,5! + 2,6 + 3,3 + + 1,7 + 1,8 + 7,8

Les chiffres gras correspondent h : lerreur ~ 3 % Les chiffres maigres correspondent h : erreur] ~ 3 %

5/7 A. T~L~C., 29, n os 3-4, 2974

P. MISl ikE. -- S I M P L I F I C A T I O N D U C A L C U L T H t ~ O R I Q U E D E L ' A F F A I B L I S S E M E N T DO A L A P L U I E 137

F i n a l e m e n t , n o u s a v o n s o b t e n u l e s r & u l t a t s

s u i v a n t s :

l ' a b s o r p t i o n e s t r e p r d s e n t d e p a r u n e loi d e l a f o r m e

y : K R ~ a v e c :

1) d a r t s le c a s d e l a lo i d e L a w s e t P a r s o n s :

d e 6 h 10 G H z ( T a b l e a u I e t I I ) :

cr = 1 , 6 9 - - 0 , 0 5 3 f § 1,1 10 -3 f2,

K = 8 , 0 3 1 0 - 3 - - 3 , 1 3 1 0 - a f § 3 , 2 6 10 - 4 f2,

d e 9 ,5 ~ 3 0 G H z :

I re s o l u t i o n ( T a b l e a u I) :

oc = 1 , 4 7 - - 0 , 0 9 ~ / T '

K = - - 1 1 0 - 3 + 5 , 1 1 0 - 5 /2 ,45 ,

2 e s o l u t i o n ( T a b l e a u I I ) :

~. = 1 ,51 -- 0 , 1 1 2 f0,4593

K = - - 1 , 5 7 2 10 -3 § 5 , 3 5 5 10 - 5 f2,439

2) e t p o u r l a loi d e M a r s h a l l e t P a l m e r ( T a b l e a u x

I I I e t I V ) :

d e 6 h 10 G H z :

- - 2 , 0 6 - - 0 , 1 3 1 f § 4 , 8 10 - a f2,

K = 1 , 0 2 10 - 2 - - 3 , 8 6 10 - a f + 3 , 8 4 10 - 4 f2,

d e 9 ,5 h 3 0 G H z :

1 re s o l u t i o n ( t a b l e a u I I I ) :

oc = 1 , 4 8 - - 0 , 0 9 ~ / T '

K = - - 2 10 - 3 ~ 4 , 8 10 - 5 f~,454,

TABLEAUX V e t VI. - - Diff6rences en t r e les va l eu r s a n a l y t i q u e s e t les va l eu r s t h~or iques (va l eu r a n a l y t i q u e - - va l eu r t h 6 o r i q u e ) expr im6es en p o u r c e n t a g e des va l eu r s a n a l y t i q u e s

~ F (GHz)

R [ m m / h ]

10

20

30

40

60

80

100

120

140

160

Loi de L a w s e t P a r s o n s : 1,324 - - 0,0137 f

K : 0,0254 + 0,0039 [

9 ,5 10 1 0 , 5

+ 2,0 + 2 0 i t 18

+ 7,7 + 7,8 + 6,6

+ 2 , 5 + 3 , 3 + 2 , 8

+ 0 , 4 + 1 , 3 + t , 4

- - 2 , 9 - - 1 , 1 - - 0 , 4 ~

4,2 3 , 3 - - 0 , 7 - - - - 1 , 6

- - 6 , 2 -- , - - 1 , 8

- - 6 , 0 - - 2 , 9 1 - - t , 1

- - 6 , 1 - - 2 , 8 ' - - 9 , 5

- - 6 , 7 - - 2 , 8 - - 0 , 0

11

+ 15

+ 4,8

+ 1 ,7

+ 1 ,0

- - 0 , 5

- - 0 , 6

- - t , 2

- - 0 , t

+ 0 , 8

+ 1 ,5

1 1 , 5

+ 12

+ 2 , 8

- - 0,1

- - 0 , 6

- - 1 , t5

- - 0,8

- - 1 , t

+ 0 , 2

+ 1,3

+ 2 , 2

12 1 2 , 5

+ 8,7 + 5,4

+ 0 , 4 - - 1 , 8

- - 1 , 7 - - 3 , 4

- - 1 , 7 - - 3 , 7

- - 2 , 2 - - 3 , 8

- - 1 , 5 - - 2 , 8

+ 1 , 5 - - 2 , 4

- - O , l - - 0 , 9

+ 1,1 + 0 , 4

+ 2 , t + 1 , 4

13

+ 2 , 4

- - 4 , 2

- - 5 , 9

- - 5 , 6

- - 5,3

- - 4,1

- - 3,7

- - 2 , 2

- - 0 , 9

-4- 0 , 2

Loi de Marsha l l et P a l m e r : 1,328 - - 0,0133 /

K : - - 0,027 + 3 , 8 5 1 0 - a [

~ F (GHz)

R [ m m / h ] ~

10

20

30

40

60

80

100

120

1 4 0

160

9 ,5 10 1 0 , 5

+ 12 +4- 13 + 13

+ 3,7 +4- 5,5 + 5,6

- - 0 , t + t ,9 + 2,6

- - 2,4 + 0 , t + 1,5

11 1 1 , 5 12 1 2 , 5 13

+ o,7 + 11 + 8,6 + 6,0 + 3,2

+ 4,6 + 3,1 + 1 , 4 - - 0 ,7 - - 7,7

+ t , 2

+ 0,6

+ 2 , 2

+ 0,9

+ 0 ,1

- - 0 , 7

- - 1,9 - - 3,9

- - 2 , 3 - - 3,9

- - 4 , 2 - - 1 , 7 + 0 , t + 0 , 4 + 0 , 1 i - - 0 , 6 - - 2 , 1 - - 3 , 7

- - 5 , 4 - - 1 , 7 + 0 , t + 0,8 + 0 , 5 [ - - 0 , 2 - - 1 , 3 - - 3 , 0

-- 0 , 7 - - 2 , 3 + 1,3

+ 2 , 0

+ 1,3

+ 2

+ 2 , 6

+0,5

+ 1 , ~

+ 2,1

+ 3,0 + 3,3

- - 5 , 7 - - 2 , 0 + 0 , 2

- - 5 , 7 - - t , 4 + 0 ,7

- - 5 , 4 - - t , 2 + 1,%

+ 0 , 2

+ 1,0

+ 1 ,9 - - 5 , 0 - - 0 , 6 + 2,1

+ 2 , 8

+ 3,5

- - 1 , 5

- - 0 , 6

- - 0 , 2

Les chiffres g ras c o r r e s p o n d e n t h : lerreur ~ 3 % Les chiffres ma i g r e s c o r r e s p o n d e n t ~ : e r reur > 3 %

A. TEL~C., 29, n os 3-4, 1974 6 / 7

138 p . M I S M E . -- S I M P L I F I C A T I O N D U C A L C U L T H t ~ O R I Q U E D E L ~ A F F A I B L I S S E M E N T DI~I A L A P L U I E

2 e s o l u t i o n ( T a b l e a u IV) :

= 1 ,491 - - 0,1 f0,472s

K = - - 0 ,002 + 5 ,028 10 -5 /%436.

Les e r r e u r s de ces lois a p p r o c h d e s p a r r a p p o r t a u x

lois t h d o r i q u e s s o n t d o n n 6 e s dams les t a b l e a u x I

h IV.

De p l u s , dams u n d o m a i n e p lu s r e s t r e i n t les r e l a -

t i o n s d o n n a n t ~ e t K p e u v e n t fitre s impl i f ides . C ' e s t

ce qu i a d t6 f a i r p o u r u n e b a n d e de f r 6 q u e n c e s t r 6 s

u t i l i sdes p o u r les f a i s c e a u x h e r t z i e n s , la b a n d e d e

10,7 h 11,7 G H z , p o u r l a q u e l l e o n t 6 t6 a d o p t d e s les

lois s u i v a n t e s :

la loi M a r s h a l l - P a l m e r a v e c :

l zt = 1 ,328 - - 0 ,0133 f,

K = - - 0 ,027 + 3 ,85 10 -a f,

l a loi L a w s e t P a r s o n s a v e c :

( ~ ~ 1 ,324 - - 0 ,0137 f,

i K ~ - - 0 , 0 2 5 4 § 0 ,0039 f.

D a n s les t a b l e a u x V e t V I o n a d o n n 6 les e r r e u r s

c o r r e s p o n d a n t e s . L ' e n s e m b l e des t a b l e a u x I h V I

e s t d o n c u n e r 6 c a p i t u l a t i o n des e r r e u r s clues a u x

a p p r o x i m a t i o n s .

Si o n c h e r c h e des v a l e u r s e x a c t e s , il e s t t o u j o u r s

p o s s i b l e d ' u t i l i s e r l a m d t h o d e a n a ] y t i q u e p r o p o s d e

ici e t de la c o r r i g e r g r a c e a u x t a b l e a u x .

R e m a r q u o n s c e p e n d a n t q u e les h y p o t h & e s q u i

s o n t ~ la b a s e des c a l c u l s t h 6 o r i q u e s i n t r o d u i s e n t

en rda l i t 6 de s e r r e u r s , q u i s o n t s a n s c o m m u n e m e s u r e

a v e c cel les q u e l ' o n a a c c e p t d e s ici.

G O N G L U S I O N

N o u s a v o n s e s s a y 6 de f o u r n i r p l u s i e u r s s o l u t i o n s

a u p r o b l 6 m e i r r i t a n t d u c a l c u l de l ' a b s o r p t i o n p a r

la p lu ie . O n p e u t c o n s t a t e r q u e p l u s i e u r s s o l u t i o n s

o n t 6 td p r o p o s d e s e t il e s t c e r t a i n q u ' i l en e x i s t e

d ' a u t r e s . I1 y a u r a c e p e u d a n t t o u j o u r s u n c o m p r o -

m i s ~ t r o u v e r e n t r e la p r d c i s i o n dds i rde e t la s i m p l i -

c i t6 de la f o r m u l a t i o n . M a l h e u r e u s e m e n t a c t u e l l e -

m e n t , c h a q u e g r o u p e d ' 6 t u d e s u t i t i s e u n e f o r m u l e

q u i lu i es t p r o p r e , e t ces f o r m u l e s n e s o n t p a s p u b l i f e s ,

ce qu i l a i s se u n d o u t e s u r l a p o s s i b i l i t 6 de c o m p a r e r

c e r t a i n s r d s u l t a t s . Ce s e r a i t p r o b a b l e m e n t le r61e

de c e r t a i n s o r g a n i s m e s i n t e r n a t i o n a u x de p r o p o s e r

des lois a p p r o c h 6 e s , ce q u i r e n d r a i t p lu s h o m o g 6 n e s

b i e n des ca lcu l s .

3/1anuscrit recu le 24 ]anvier 1974.

B I B L I O G R A P H I E

[J] WALDTEUFEL (P.). A t t d n u a t i o n des ondes h y p e r - f rdquences pa r la pluie : une raise au point . Ann. Tdldcommunic., Fr., ( m a i - j u i n 1973), 28 , n ~ 5-6, pp. 255-272.

[2] ATLAS (D.), STRlVASTOVA (R.), SEKHON (R.). Dopp le r r a d a r ea rac te r i s t i e s of p r ec ip i t a t i ons a t ve r t i ca l incidence. L a b o r a t o r y of a t m o s p h e r i c probing . Lechie- cal repor t , n ~ 22 (mai 197 t ) , University o] Chicago, Illinois, U. S. A.

[ 3 ] M I S M E ( P . ) . T e l e c o m m u n i c a t i o n s a t p rec ip i t a t ions . Compte r e n d u de Colloque IUCBM-Nice 1973. (A para~tre.)

7/7 A. 'T'~Lf~C., 29, n os 3-4, 1974