J.-C. ROBINETS. TACHERIFET

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Simulation numériquedu creusement d'une galeriedans un massif argileuxgonflant

L'article présente une modélisation du comportementmécanique des argiles gonflantes saturées. Cettemodélisation est associée à un modèle de comportementqui tient compte du gonflement élastoplastique del'argile, en utilisant deux surfaces de charges, et sanscouplage avec le fluide interstitiel. Le modèle permet dedécrire les chemins contrainte-déformation du matériauà l'état normalement consolidé et surconsolidé. Le calculest effectué à long terme par la prise en compte descaractéristiques drainées du matériau. Ainsi les cheminsde décharge dans le massif, provoqués par l'excavation,sont décrits en contrainte totale.La modélisation est validée dans un premier temps pardes essais de laboratoire, odométrique et triaxial réaliséssur la bentonite et sur l'argile de Boom. La comparaisondes résultats mesurés et des résultats calculés montreque l'ensemble des phénomènes sont décrits.La modélisation est appliquée ensuite à la simulation ducreusement d'une galerie circulaire réalisée dans uneargile gonflante peu perméable. On montre que ladécompression du massif suite à l'excavation se traduitpar une plastification du massif proche de la paroi et parune chute des contraintes dans la zone plastique. Cettediminution de contraintes entraîne une forte convergencede la galerie qui atteint quelques centimètres en paroi.Les résultats numériques sont comparés avec lessolutions analytiques proposées par Rousset (1988), etmontrent que le modèle développé interprète de façonsatisfaisante le comportement de la galerie après ladécharge.

Numerical simulation of excavationof gallery in expansive clay

Ü The paper presents a modelling of mechanical behaviour of~ saturated expansive clays. This modelling is based on behaviour~ model including elastoplastic swelling of clay by using two.B plastic mechanisms. The study was carried out without« association of interstitial fluid. The calculation was performed in

drained conditions. The unloading paths in rock mass inducedby the excavation was expressed in term of total stress.The modelling is fitted first on laboratory tests performed onbentonite and Boom clay, the comparison between plotted andmeasured results shows that aIl the phenomena are described.Then the modelling was applied to simulate the excavation ofgallery realised in expansive, impermeable clayey mass (Boomclay). We show that the decompression after excavation inducesa plastification around the underground and a decrease ofstresses in plastic zone. This decrease of stresses provoke thehigh convergence of gallery. The numerical results werecompared with analytical solution proposed by Rousset (1988)and show that the n10delling interpret correctly the mechanicalbehaviour of tunnel.

57REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

N° 752p trimestre 1996

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58REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 752e trimestre 1996

exposant du module élastiquerayon de la surface de charge Frayon initial de la surface de charge F

pente élastoplastique de la décharge œdo­métriquepente élastique de la décharge œdon1é­triquepression de consolidation initialepression de consolidation de référencepression de consolidation de déchargepression de consolidation correspondant àl'état actuel des contraintesparamètre de la relation non linéaire entredq et dppente d'état critiquemodule d'Youngcoefficient de Poissonmodule volumique élastiquemodule de cisaillementmodule de compressibilité plastique à l'étatnormalement consolidémodule de compressibilité plastique à l'étatsurconsolidémodule de compressibilité plastique endéchargemodule de compressibilité plastique enrechargecontraintes initiales en déchargecoordonnées du centre de la surface Fpression moyenne effectivedéviateur de contrainteincrément de déformation volumique plas­tiqueincrément de déformation déviatoire plas­tiqueincrément de déformation totalesurface de charge de gonflementsurface de charge de Cam-Claytolérance sur la surface limitetolérance sur le résidu des forces méca­niquespoids volumique de l'eaupoids volumique humidecontrainte horizontalecontrainte verticalecontrainte tangentiellecontrainte axialecoefficient de poussée des terres au repospression interstitielle initialecontrainte normalecontrainte normale effectivecomposante horizontale de la contraintenormalecomposante verticale de la contraintenormale

~ angle d'inclinaison de la facette par rapportà l'horizontale

Ux déplacement horizontaluy déplacement verticalDi convergencefi vecteur forces volumiquesT. vecteur forces de surface

1

crij tenseur des contraintesEU tenseur des déformationsu i vecteur des déplacementsCijk1 matrice d'élasticitéLicrOij tenseur de correction des contraintes

K matrice de rigidité globaleLiu vecteur des déplacements nodauxLiF vecteur des forces extérieures

1

IntroductionLa décharge mécanique d'un sol argileux gonflant

saturé, lors de la réalisation des fondations de bâti­ments, des tunnels ou des fouilles est à l'origine denombreux désordres dans les structures de Génie civildus à un gonflement important. Ce gonflement du solengendre des soulèvements de bâtiments (David et al.,1980) et donne naissance à des efforts parasites, quiprovoquent des frottements négatifs dans les pieux(Mohan et Chandra, 1961; Prakash et al., 1987; Soro­chan; 1989), des cisaillements aux points de liaison desradiers et des semelles filantes, et un accroissement despoussées sur le soutènement des galeries.

Ainsi depuis plusieurs années, les constructeurs ontmis en œuvre des techniques de construction pourlimiter les causes de gonflement (Chen, 1988; Mourouxet al., 1988).

Les études entreprises dans ce domaine se limitentbien souvent à l'étude du phénomène en laboratoire, àtravers des essais de gonflement odométrique Didieret Soyez (1987). Par ailleurs, les calculs analytiques élas­tiques de gonflement par l'utilisation des paramètresdéterminés au laboratoire sous-estiment les déplace­ments réels de l'ouvrage. L'absence de modèles rhéo­logiques prenant en compte le gonflement ne permetpas de quantifier correctement ces déplacements dansles argiles gonflantes.

La réalisation d'essais de laboratoire sur le compor­tement des argiles gonflantes, par exemple l'argile deBoom et la smectite montre que ces argiles présententdes caractéristiques spécifiques, en particulier uneaugmentation de la pente de décharge avec la pressionde consolidation, et des déformations volumiques plas­tiques sous un cycle de décharge-recharge (Baldi et al.,1990).

Habituellement dans les argiles, les déformationsplastiques provoquées par la consolidation sontdécrites par la plasticité. En revanche, les déformationsde gonflement liées aux contraintes de répulsion lors

de la décharge mécanique sont souvent traduites parl'élasticité et ne tient pas compte des déformationsplastiques de gonflement. La seule connaissance de lapression de gonflement n'est pas suffisante, et cesdéformations plastiques nécessitent le développementd'un modèle de comportement approprié.

Ainsi un modèle élastoplastique a été développépour décrire le comportement des argiles gonflantes(Robinet et Pakzad, 1994), que nous avons introduitdans un code de calcul par éléments finis. Ce modèleélastoplastique comporte deux mécanismes plastiques:- le premier mécanisme, associé à un écrouissage iso­trope est représenté par le modèle Cam-Clay pourdécrire le comportement normalement consolidé(phase de chargement) ;- le deuxième mécanisme à plasticité non associative,à écrouissage combiné isotrope et cinématique, permetde décrire le gonflement élastoplastique en décharge(état surconsolidé).

La modélisation numérique de l'excavation d'unegalerie creusée à une grande profondeur dans un n1as­sif argileux gonflant a été effectuée avec ce modèle,dans le cadre d'une thèse de doctorat (Tacherifet, 1995).

Après une analyse physique du gonflement dans lesargiles saturées, une brève description du modèle élas­toplastique prenant en compte le gonflement endécharge dans les argiles sera présentée. Le calage dumodèle a été réalisé sur des essais homogènes (essaistriaxiaux sur l'argile de Boom (Baldi et al., 1990), essaicyclique odométrique sur une bentonite MX-80 (Bbor­gesson et al., 1993)). La validation de la modélisation(problème aux limites) a été étudiée à travers des essaisde laboratoire. Le premier calcul concerne un essaiodométrique en décharge. Le deuxième calcul traite dela simulation d'un essai cyclique triaxial. Enfin la modé­lisation est appliquée à la simulation de l'excavationd'une galerie profonde construite dans l'argile deBoom. Les résultats sont comparés d'une part aux solu­tions analytiques proposées par Rousset (1988) et,d'autre part, aux résultats de calcul obtenus avec lemodèle Cam-Clay.

'1Analyse du gonflementdans les argiles

Le phénomène de gonflement qui apparaît lors dela décharge mécanique d'un échantillon d'argile satu­rée est la superposition:- d'un gonflement cristallin qui concerne les interac­tions à courte distance, ce mécanisme est commun àtoutes les argiles. Il désigne les phénomènes mis en jeulors de l'hydratation du minéral sec. Il est dû à la fixa­tion des molécules d'eau dans les espaces interlamel­laires qui se structurent en couches successives;- d'un gonflement osmotique qui concerne des inter­actions électrostatiques entre les doubles couchesayant lieu pour des dimensions d'espaces poreux plusgrandes. Ce deuxième mécanisme est lié à la présencede cations chargés qui se fixent sur les feuillets. Lessubstitutions ioniques confèrent au feuillet argileux unecharge négative, qui est compensée par des cationssitués en surface. En présence d'eau, ces cations onttendance à diffuser vers la solution sous l'effet d'ungradient de concentration en cations, entre les surfaces

des feuillets argileux et le reste de la solution en géné­rant une pression osmotique. Israelachvili (1985), VanDamme et al. (1987). Ainsi Lambe (1958) proposed'expliquer le gonflement par l'intermédiaire de lathéorie de la double couche diffuse.

De manière générale le gonflement des sols argileuxest observé dans deux cas:i) par décompression d'un sol saturé et ü) par sorptiond'un sol à l'état sec alimenté en eau. Nous nous limi­tons ici à l'étude des phénomènes de gonflementlorsque le sol gonflant saturé est soumis à unedécharge mécanique. En résumé, pour que le phéno­mène de gonflement dans une argile saturée se pro­duise, les deux conditions suivantes sont nécessaires:- présence de minéraux argileux gonflants tels que lasmectite et la montmorillonite ;- décharge mécanique (état surconsolidé).

Pour décrire le comportement contrainte-déforma­tion dans les argiles gonflantes, Mitchell (1976) et Srid­haran (1990) ont étendu le concept des contrainteseffectives, en écrivant que la contrainte totale appliquéeest la contribution: des contraintes de contact, despressions interstitielles, et des contraintes d'attractionet de répulsion. Ils proposent la relation suivante:

cr = cre + U w + crR - A

Nous avons étudié, à partir des essais cycliques odo­métriques, le gonflement de quatre types d'argiles(argile du Bassin parisien, kaolinite, argile de Boom etsmectite). Nous avons réalisé une série d'essais odomé­triques pour déterminer les caractéristiques méca­niques de ces argiles (Fig. 1). L'analyse des résultats deces essais montre que:- les pentes de consolidation à l'état normalementconsolidé sont identiques pour les différents maté­riaux;- les pentes de décharge sont plus fortes pour lesargiles de type Boom et smectite;- les boucles d'hystérésis après une décharge à 5 MPasont plus aplaties pour la kaolinite et l'argile du Bassinparisien.

Par conséquent, les argiles de type kaolinite et duBassin parisien peuvent être classées comme desargiles non gonflantes, par contre la smectite et l'argilede Boom seront classées comme des argiles gonflantes.

Pour les argiles non gonflantes la décharge méca­nique de l'échantillon saturé entraîne la diminution descontraintes de contact et une faible augmentation devolume. En revanche, pour les argiles gonflantes, ladiminution de la contrainte mécanique entraîne uneaugmentation de la distance moyenne entre les feuillets(du fait de la pression osmotique). En effet, les chargesélectriques à la surface des feuillets donnent naissanceà des forces de répulsion non équilibrées par la forceextérieure, qui sont à l'origine de déformations macro­scopiques du matériau. Les déformations continuent àse développer jusqu'à ce qu'un nouvel état d'équilibresoit atteint.

:1

Formulation du modèleLe modèle élastoplastique pour les argiles gon­

flantes (Robinet et al., 1994; Pakzad, 1995) peut êtredécrit de façon simple, il est composé de : 59

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2e trimestre 1996

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0,30,1 1 10

Contrainte ~erticale

(MPa)

Contrainte ~erticale (MPa)

a (b)

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<V0,5U

-rot~c: 0,4t-t

Contrainte ~erticale

(Mpa)

Contrainte ~erticale

(Mpa)

c (d)

Essais odométriques cycliques sur des argiles remaniées saturées (Tacherifet, 1995).(( Comparaison du comportement entre argiles gonflantes et non gonflantes )).(a) Argile du Bassin parisien. (b) Kaolinite. (c) Argile de Boom. (d) Argile foca.Cyclic oedometer tests on remoulded saturated clays (Tacherifet, 1995). cc Comparison of behaviourbetween swelling and unswelling clays.(a) Bassin parisien clay (b) Kaolinite. (c) Boom clay. (d) Foca clay.

- deux surfaces de charge, l'une de Cam-Clay et l'autrede gonflement; elles sont définies en fonction des para­mètres d'état critique et d'état limite (M, ~1' ~2' Pco' up'

uq' ao' (pc)ref) ;

- la surface de charge de gonflement associé à un écou­lement plastique (loi non associée).

La formulation complète du modèle est décrite dansl'annexe I.

• Simulation des essais homogènesLa simulation numérique de l'essai odométrique

cyclique, réalisé par Bbrgesson et al. (1993) sur la ben-

tonite MX-80, est réalisée en utilisant les paramètresrhéologiques suivants:(P)ref == 10 MPa; n == 1; ao == 0,35 MPa; Pco == 14,6 MPa~1 == 10; M == 1; Eo == 100MPa; v == 0,35

Les figures 2a et 2b représentent les contraintes cal­culées et celles mesurées dans le plan (e - loga). Lacomparaison des résultats montre que le processus dedécharge recharge est assez bien simulé par le modèlede gonflement. Par ailleurs le calcul montre une faiblehystérésis pour la contrainte horizontale (e - loga ) etune hystérésis assez large pour la contrainte vertièale(e -loga).

1 - expérimental1

- '-.........:::;..""-.: .... '

~-.-- Calcul modèle......

~~ ~ de gonflement1

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~~ ~ -.-- Calcul modèle

~"~de gonflement

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1.5fi) 1.4~ 1.3'> 1.2fi) 1.1~ 1Q) 0.9.~ 0.8] 0.7H 0.6

0.50.1 10 100

1.5fi) 1.4~ 1.3

'> 1.2fi) 1.1~ 1Q) 0.9.~ 0.8~ 0.7H 0.6

0.50.1 10 100

contrainte verticale (MPa) Contrainte horizontale (MPa)

60Simulation de l'essai œdométrique cyclique sur la bentonite MX-BD. (a) Contrainte verticale cr ;(b) Contrainte horizontale cr . y

Simulation of cyclic oedometer\est on bentoni'te MX-SO. (a) Vertical stress cr . (b) Horizontal stress cr .y x

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L'essai oedométrique, réalisé sur un échantillon debentonite MX-SO (Borgesson, 1993) de 5 cm de dia­mètre et 2 cm de hauteur, est modélisé par un maillageconstitué de 9 éléments en utilisant les conditions auxlimites suivantes: déplacements à la base de l'échan­tillon et sur les côtés latéraux sont nuls (Fig. 3). Lemodule d'Young est considéré variable, compte tenu dela variation de la pression moyenne lors de la décharge.La matrice de rigidité de la structure est recalculée àchaque incrément de déchargement. Le calcul est effec­tué en utilisant les paramètres mécaniques suivants:• contraintes initiales

ax = 7 MPa; a y = 14 MPa; Ko = 0,5• indice des vides initial

eo =0,67• paramètres rhéologiques

(PJref = 10 MPa; n = 1 ; ao = 0,35 MPa; PeO = S,23 MPa~1 = 10; M = 1; Eo= 100MPa; v = 0,35

z

y

)-xux=o2c

Validation de la modélisation

Le modèle de comportement présenté précédem­ment est introduit dans un code de calcul par élémentsfinis, afin de simuler le comportement des ouvrages,lors de la décharge mécanique (tel que les fondations,les barrières ouvragées et les galeries souterraines). Laformulation variationnelle du problème, puis sa discré­tisation conduisent à un système non linéaire aveccomme inconnues les déplacements aux nœuds(Annexe II).• Résolution numérique du problème

L'algorithme numérique utilisé pour résoudre ceproblème d'élastoplasticité est basé sur la méthode desforces résiduelles (méthode de la rigidité initiale). Cettedernière consiste à n'effectuer le calcul de la matrice derigidité qu'à la première itération du premier incrémentde chargement. La solution est obtenue par une succes­sion de résolution de système linéaire, en vérifiant lesconditions de plasticité pour chaque incrément de char­gement, et en évaluant pour chaque itération de calculun résidu mécanique. La solution est supposée atteinte,dès que ce résidu est inférieur à une tolérance fixée.

Intégration du modèledans le code éléments finis

Compte tenu des difficultés numériques rencon­trées pour introduire le modèle rhéologique, nousavons procédé à la validation de la modélisation en plu­sieurs étapes.

Dans une première étape nous avons essayé dereproduire des chemins de décharge et de rechargehomogènes: odométrique et triaxiaux. Ceci nous a per­mis de mieux contrôler le bon déroulement des diffé­rentes opérations effectuées dans le programme, àsavoir: la résolution du système, le calcul des déforma­tions et des contraintes par retour sur la surface limite,et la compensation des résidus. La deuxième étape dela validation concerne la simulation du creusement desgaleries dans un massif argileux gonflant. Cette étapea permis de vérifier, d'une part, le bon déroulement descalculs élastoplastiques pour chaque point qui présenteun chemin de décharge particulier et, d'autre part, lefonctionnement du schéma numérique de résolution.

Simulation d'un essaide gonflement oedométrique

Dans le cas de la simulation du creusement d'unegalerie souterraine, de nombreux éléments se trouventdans la configuration d'une décharge œdométrique. Cedernier chemin présente donc un intérêt particulierdans une démarche de validation. L'utilisation desmodèles classiques ne donne pas une bonne représen­tation du comportement. En effet, la simulation de ladécharge œdométrique avec le modèle Cam-Clay parexemple, conduit à un chemin élastique linéaire avecune pente faible, qui se situe loin du chemin expéri­mental et les déformations sont sous-estimées.

Maillage et conditionsaux limites utilisées pourla simulation d'un essaide décharge oedométrique.Mesh and boundary conditions usedfor simulation of unloadingoedometer test.

La décharge s'effectue dans le sens vertical parapplication de 2Sincréments (da = 0,5 MPa). La figure 4montre schématiquement l'évolution de la surface decharge de gonflement pendant la décharge dans unessai odométrique. La figure 5 présente les résultats dela simulation dans le plan (e - loga). La comparaisondes résultats calculés et des résultats mesurés montreque le processus de décharge est globalement biensimulé pour des contraintes fortes (a > 1 MPa).

y

En revanche, le calcul surestime légèrement lesdéformations totales dans le domaine des faiblescontraintes (a > 0,6 MPa). Le gonflement de l'échan­tillon à la fin de la décharge atteint 0,7 cm (pour unehauteur initiale de l'échantillon de 2 cm) sous unecontrainte finale de 0,3 MPa.

Simulation d'un essai triaxialOn simule dans ce deuxième exemple un essai

triaxial cyclique légèrement surconsolidé réalisé surl'argile de Boom (Baldi et al", 1990). 61

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2e trimestre 1996

10010

1. 5 "--r-~T1'"ïiïii----r--r---r~~!:l::::=~=:1:=~~~

fi) 1.4 +--+---+--+--+--++-1--++----+----+---+-1~ expérimental

~ ~:~ ~~rt-~...3Ioio~~-"-":::+++------j---+--+---I~ Calculfi) 1.1 1 --y..,.;~ ~ éléments~ 1 ~~ ~ finisv ~ .......~al O. 9 .I.--~~W--W--I-W-~~~~~~----t-~k++pU======+===!=+=4=l=++~

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0.1

Contrainte verticale (MPa)

Domaine élastique

q=M.Pq

---t-.......~--~I11'----------+----------.p

chemin1de déchar~dans un essai oedomé ue

Schématisation de l'évolution de la surfacede charge du modèle de gonflementen décharge œdométrique.Schematic evolution of yield surface cc F))of swelling model during unloading inoedometer test.

FIG.S Simulation numérique d'un essaide décharge oedométrique réalisésur la bentonite MX-80, calcul avec le codeGéoméca.Numerical simulation of unloading oedometertest on bentonite MX-80 calculation withGéoméca code.

Etant donné la symétrie du problème, uniquementle quart de l'échantillon a été étudié. Un maillage de9 éléments et de 16 nœuds est utilisé pour modéliser unéchantillon de 6,5 cm de diamètre et 6,5 cm de hauteur(Fig. 6).• Contraintes initiales

cr == cr == cr == 4 MPax y z

• Paramètres rhéologiquesPco == 6 MPa; ao == O,6MPa; Eo == 500MPa

P1 == 18; (Pc)ref == 10 MPa ; v == 0,35M == 0,83; n == 1

La figure 7 présente les résultats de la simulation.La comparaison entre les résultats expérimentaux et lesrésultats prédits par le calcul montre que l'ensembledes phénomènes sont décrits, en particulier les défor­mations volumiques de dilatance en décharge, et lesdéformations volumiques de contractance en rechargeà l'état surconsolidé. La boucle d'hystérésis est assezbien modélisée. Celle-ci devient plus large lorsque lacontrainte de décharge augmente.

Simulation du creusementd'une galerie circulairedans un massif argileux

La galerie circulaire d'un diamètre de 6 m est creu­sée à 250 m de profondeur dans l'argile de Boom. Lamodélisation numérique traite en déformations planesune section verticale du massif. Le domaine modélisépossède un axe de symétrie oy, de ce fait la moitié de lagalerie est étudiée. Les conditions aux limites de lastructure sont: déplacements horizontaux nuls auniveau de l'axe de la galerie en raison de la symétrie,déplacements horizontaux et verticaux nuls aux limitesdu maillage (points qui se trouvent suffisamment loinde l'excavation). La structure est constituée de 72 élé­ments isoparamétriques à quatre nœuds Q4. Lemaillage avec les conditions aux limites est représentésur la figure 8. L'excavation est modélisée par unedécharge incrémentale jusqu'à l'obtention d'unecontrainte normale nulle sur les parois.

1412108642

Oe-........~to"--oQ__t---- ......-"'---+---+----.-+--.......__t

o

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~ ~ élémentso finiso

y

J-xuy=o

3.25cm

3.25cm x=

62

Maillage de l'échantillonet conditions aux limites.Mesh and boundary conditionsof sample.

déformation axiale (%)

Simulation numérique de l'essai triaxialcyclique drainé « argile de Boomnormalement consolidée )).OCR = 1,5, contrainte de confinement = 4MPa; calcul avec le code Géoméca.Numerical simulation of cyclic drained triaxialtest cc Bloom clay, normally consolidated ))OCR = 1.5; confinement pressure = 4 MPa,calculation with Géoméca code.

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEW752e trimestre 1996

avec:

U o = Yw.z = 2,S MPa

Le contour circulaire est modélisé par un ensemblede facettes inclinées chacune d'un angle ~ par rapport àl'horizontale.

Le vecteur contrainte normale qui s'exerce sur unefacette inclinée d'un angle ~ est donnée par:

(Jn = (J'n + U oflim = 0,01O,OS.

• Contraintes initialesU o = 2,SMPa

(J/

cry = 4,98 MPa ; O"x = 4,48 MPa ; Ko = cr,x = 0,8y

Paramètres rhéologiques

(pJref = 10MPa; ao = 0,3MPa; Pco = SMPa; ~1 = 18;M = 0,86; Eo = SOOMPa; v = 0,3S.

• Tolérances- sur la surface limite- sur le résidu:

Caractéristiques mécaniques du calcul

Les composantes horizontales et verticales descontraintes totales à appliquer sur le contour corres­pondant aux différentes facettes sont résumées dans letableau II (Jnx = (Jn·sin(~); (Jny = (Jn.cos(~)).

Le problème ainsi posé concerne le calcul descontraintes et des déplacements au sein du massifayant un comportement élastoplastique, suite à l'appli­cation de ces contraintes de déconfinement sur lesfacettes. Les modélisations numériques ont étéconduites avec le modèle de Cam-Clay et le modèle degonflement. Les résultats sont comparés à des solu­tions analytiques dans le cas d'un massif élastique etélastoplastique (critère de Mohr-Coulomb).

ddl bloquésnoeud 43

noeud 1

point deGauss 121

point deGauss 1

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• IFljiG~~18i Maillage et conditions aux limitesd'une galerie circulaire.Mesh and boundary conditions of circulargallery.

(J/

cry =4,98MPa ;crx =4,48MPa ;Ko = cr,x =0,8y

où:(J'v est la contrainte effective verticale;Ko est le coefficient de poussée des terres au repos;~ est l'angle d'inclinaison de la facette.

Les valeurs des contraintes horizontale et verticalein situ, qui s'exercent à 2S0 m de profondeur pour deuxpoids volumiques, sont données dans le tableau 1.

Analyse des résultats de la simulation numérique

a) Contraintes dans le massifL'excavation de la galerie engendre une chute des

contraintes radiales et des contraintes axiales dans lazone plastique qui se développe autour de l'excavation.Une augmentation des contraintes orthoradiales, tantque le massif reste élastique, permet de supporter la

Valeurs des contraintes in situ pour deux densités différentes.

z = 250 m 2,48 1,98 4,98 4,48Y

h= 19,91 kN/m3

Ka = 0,8

250m 2,54 1,78 5,04 4,28Y

h= 20,17 kN/m3

Ka = 0,7

Composantes horizontales et verticales des contraintes de traction à appliquer sur les paroisde la galerie.

()n (MPa) 4,97 4,90 4,79 4,66 4,55 4,49

()nx (MPa) 0,65 1,88 2,92 3,70 4,20 4,45

()ny (MPa) 4,93 4,53 3,80 2,84 1,74 0,58

63REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

W752e trimestre 1996

Contraintes finales en parois de la galerie, en clef de voûte (élément 1) et en piedroit (élément 31).

Cam-Clay 3,21 1,04 2,66 0,82 3,09

Modèle degonflement

3,25 1,09 2,26 0,86 3,16 2,17

décompression des contraintes radiales agissant loindu massif (cc effet de voûte))), qui diminuent lorsque lemassif commence à se plastifier.

Les deux modèles (Cam-Clay et le modèle de gonfle­ment) font apparaître une chute des contraintes dans lazone plastique à proximité de la paroi; ces contraintesaugmentent au fur et à mesure que l'on s'éloigne decelle-ci (zones moins perturbées par l'excavation).L'allure des courbes d'évolution des contraintes enfonction des incréments de décharge est pratiquementla même pour les deux modélisations. On présente uni­quement les résultats du calcul avec le modèle de gon­flement (Fig. 9a et 9b). Les contraintes finales obtenuesavec les deux modélisations en clef de voûte et en pié­droit sont données dans le tableau III.

Les chemins de contraintes locaux Q-P, obtenus parles deux modélisations, sont quasiment identiques pourle point de Gauss 121 (Fig. 8). En revanche, ils présen­tent une légère différence pour le point 1 avec desvaleurs de déviateurs plus faibles pour le modèle degonflement (Fig. 10a et 1üb). La rupture du matériau estobtenue après une diminution de la pression moyenneet une augmentation du déviateur de contrainte.

Dans la modélisation du creusement d'une galeriecirculaire, les résultats obtenus montrent que la diffé-

rence entre les contraintes finales calculées avec lesdeux modèles (Cam-Clay et le modèle de gonflement)n'est pas très significative. Par conséquent, l'utilisationd'un modèle simple suffit pour évaluer les contraintesdues au creusement d'une galerie. En revanche, lorsd'une décharge unidirectionnelle (cas des fouilles etdes fondations), le calcul effectué avec les deuxmodèles montre un écart de 3 cm au niveau des dépla­cements en paroi, et un écart de 0,4 MPa entre lescontraintes. Pour de telles configurations, l'utilisationd'un modèle intégrant le phénomène de gonflementdevient nécessaire pour dimensionner ce typed'ouvrages.

b) Déplacements dans le massifOn compare sur les figures 11a et 11b la conver­

gence des nœuds 1 et 43 (nœuds représentés sur lafigure 8). On remarque que la convergence prédite parle modèle de gonflement est supérieure à celle dumodèle Cam-Clay. Les déplacements et les conver­gences finals de ces nœuds sont donnés dans le tableauIV.

La figure 12 donne l'évolution des déplacementsobtenus suivant l'axe vertical avec les méthodes analy­tiques et numériques. Le calcul élastique sous-estimeles déplacements: en effet le déplacement maximal

..-...... 1

~K r--................~'"

~

~~~~ :---..'-. - :-.-...

I~~ ...........~ ...........

..........

~

Incrément

~sigxy

----sigx

---r-- sigy

--)-- siqz

Incrément

6

; 5~

--+-sigx :t-4

---r-- sigy(/)

~ 3c

--J-- siqxy ·ri

~ 2--)-- sigz

~

C0U

0

0 2 4 6 7 9 109 106 742

6

oo

Évolution des chemins de contraintes dans le massif pendant la décharge (a) Point 1. (b) Point 121.Evolution of stress paths in rock mass during unloading. (a) Point 1. (b) Point 121.

Déplacements et convergences finals obtenus avec les deux modèles.

Cam-Clay 8,01 2,67 7,81 2,60

Modèle de 9,50 3,17 8,28 2,76

64gonflement

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 752e trimestre 1996

-~~~~

3.5 .......()ooo-Modèle de 3.5 --0-- Modèle de0>

gonflement 0> gonflement+J +JC C•roi ·roieu ----{r-- Cam-Clay eu ----{r-- Cam-Clay~ 2.5 5-f 2.5+J +JC --Q = M.P C --Q = M.P0 00- 2 0- 2

eu eu0> ~ O>~

'O! 1.5 'O! 1.5~ 5-f

=='::3

0> 0>+J +Jeu eu

·roi •roi

:> 0.5 > 0.5'0> '0>Cl Cl

0 0

0 2 4 0 2 4

Pression moyenne (MPa) Pression moyenne ( MPa)

Évolution des chemins de contraintes locales pendant la décharge- comparaison des deux modélisations. (a) Point 1. (h) Point 121.

Evolution of local stress paths during unloading - comparison between modelling.(a) Point 1. (b) Point 121.

Incrément

10987642

Incrément

0.09 .--~-T-'"--r----r--,...---,.....---,r------r---,----,

§ 0.08 +---+--+--+---+---+---t-----I~--i----t--,R~

Al 0.07 _ IJo ---0-- Cam-Clay 1 / /

:j 0.06 - lfL-5-f --0--Modèle de #~ 0.05 - gonflement ~f'

~ 0.04 1-----L,.----r----.---~--+--+--~-t-~~~--t---1

~ 0.03 +---+----+---+--__+_--+---+-y~__+_-_+_-_+__----t

~ 0.02 +---t----+--+--__+_~..L./~-+--__+_-_+_-_+_----t~ ~~,~ 0.01 +--+--+~~=-::J~-+--+---+---+---+---+----I

Cl ----.~0~1:iiiiiiI-+--+--+-- ......- ......- .....- .....--+--.....- ...

o10987642

0.1 '--~-~-~-~--r---~-~-~-~~- j)5. O. 09 +------4---+--+-----4---+---+--~-_+_-~__+i/

~ 0.08 +---+--4--+---+---+----+--+--+----+-/--.,.-/-i',.

~ 0.07 Y- Cam-Clay Ii-I-+--+----+---t--/~~/_+__tZ 0.06 R 1 ~l/ ./; --0-- Modèle de / 1 ./

+J 0.05 gonflement 1-

1

--+---+--~-+V--'7/----+"'.."...---I-----t

C O. 04 oI------=..=~="'f"==--t'=--__+_-~---+-~~~~....,c.--I---+----I

~ 0.03 +----+--+--+----+-~--+-~~~-~-+---+---1~ 0.02 +---t----+-~--+~-~r~-+--+---t-----t---+--i

,~ 0.01 +-------.-+-~-~r~-+---+---+---i----+---+--~---f

Cl Oo----+--+--+--+--.....-+--.....-+--....---t

o

Évolution des déplacements au coursde la décharge - comparaison des deux modélisations.(a) Nœud 1. (h) Nœud 43.Evolution of displacements during unloading - comparison between modelling.(a) Node 1. (b) Node 43.

332823

~Mohr-Coulomb

-::>-- Cam-Clay

18138

~----+-------1I------+---i ----ù'-- Elastique~r-l 0.08rotl

•.-1+J~ 0.06Q):>

0.1 ------~~-- ........--~---,.---- ...

~Q) 0.04 O----'l--~~--~----+-~---O---Modèle degonflement

ffi~ 0.02 +--~~~-~~-----+----+---t------I

r-l0.

'Q)o

flante a été illustrée à travers un modèle élastoplastiquecouvrant seulement les aspects contraintes et déforma­tions sans couplage avec le fluide interstitiel. Le modèleélastoplastique utilisé est à deux mécanismes plas­tiques, dont l'un est associé aux contraintes de contact

obtenu en paroi est de 4 cm. Les résultats du critère deMohr-Coulomb montrent que des déplacementsimportants ont lieu au niveau de la zone plastiqueproche de la paroi, pour ensuite diminuer brusquementdans la zone élastique, le déplacement maximal est de6,7 cm. L'utilisation des modèles numériques avecécrouissage conduit à une convergence plus forte(Tableau IV) et plus régulière, ce qui est plus représen­tatif du comportement réel du massif pendant ladécharge.

La convergence de la galerie ainsi que les zonesentrées en plasticité obtenues avec les deux modélisa­tions numériques sont représentées sur les (Fig. 13a et13b) et montrent que la déformée de la galerie reste cir­culaire. La convergence et l'étendue de la zone plas­tique sont plus importants dans le cas du modèle degonflement (car le nombre de points de Gauss entrésen plasticité est plus élevé).

fiConclusion

La modélisation du comportement à long termed'un ouvrage souterrain installé dans une argile gon-

Coordonnée radiale(m)

Déplacements suivant l'axe vertical préditpar les différentes approches analytiqueset numériques.Displacements along the vertical axe predictedby several approaches~ analytical andnumerical.

65REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

W752e trimestre 1996

25

63

56

70

rn Zone plastique

J5 0 Zone élastique

40 i 4014 21 18

35 II ~ Zone plastique 35 12 18

2-4 35 0 Zone élastique 24

30 30

30 30! 25-42 25

> 36 l 36Q) 20 49 > 20

'Q)c ,~ liSC

-42 C015 C 15 42

"01.0 56

00 "0

1.00 48 0 1048

U 10 0U

63S-454

72 66 6072 66 60

7084 77 91 77

10 15 20 25 10 15 20

Déformée de la galerie et étendue deszones plastiques obtenues au dixièmeincrément.(a) Calcul avec le modèle Cam-Clay. (b)Calcul avec le modèle de gonflement.Deformation of gallery and plastic zoneextension obtained after the tenth increment.(a) Calculation with Cam-Clay model.(b) Calculation with swelling model.

par la surface de charge ccf)); le second mécanisme tra­duit les contraintes de répulsion par la surface decharge cc F )). Ce modèle permet de tenir compte dugonflement élastoplastique observé en décharge surdes argiles saturées gonflantes. Le modèle comportehuit paramètres et a été introduit dans un code de cal­cul par éléments finis. La validation du code a été réali­sée sur des essais homogènes de laboratoire (essaisodométriques et triaxiaux), et montre que le comporte­ment est correctement traduit par cette modélisation.

L'application du modèle à la simulation du creuse­ment d'une galerie circulaire installée dans l'argile deBoom (gonflante) a permis de retenir les constatationssuivantes:-les résultats du calcul montrent une faible ovalisationde la section de la galerie (le déplacement en clef devoûte est légèrement supérieur à celui en piédroit) ;-la convergence maximale de la galerie obtenue par lecalcul est observée en clef de voûte, et elle est de l'ordre

de 2,67 % pour le modèle Cam-Clay et de 3,17 % pour lemodèle de gonflement. Ces convergences sont compa­rables à celles obtenues par un calcul similaire avec unmodèle élasto-visco-plastique effectué par Rousset(1988), qui donne une convergence à la paroi de la gale­rie avant la pose du soutènement de 3,49 % ;-les valeurs de contraintes finales sont bien plus faiblesque celles attendues dans une situation géostatique. Lavaleur de la contrainte verticale est comprise entre 2,6et 3,2 MPa, et la valeur de la contrainte horizontale estcomprise entre 4,1 et 4,5 MPa à une profondeur de 12 à15 m. Les mesures de contraintes, effectuées sur le sitede Mol en Belgique avec l'appareil autoforeur dans unegalerie cintrée, proposent des valeurs de contraintesverticales comprises principalement entre 3,5 et 4 MPaà une distance de 12 à 15 m de la galerie (Bonne et al.,1993). Les contraintes calculées sont proches descontraintes mesurées et le calcul montre que le com­portement de la galerie en décharge est correctementdécrit.

66

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Annexe 1Formulation du modèle

Le modèle con1porte deux parties.

• Pour les états de contraintes normalement consolidés,le modèle de calcul est celui de Cam-Clay modifié.

La surface de charge est donnée par

avec:

avec pour notations:M : paramètre d'état critique correspondant à un état

de contrainte pour lequel les déformations volu­miques plastiques sont nulles;

PcO : pression de préconsolidation;Pcf: pression de consolidation qui désigne le paramètre

d'écrouissage;E~: déformation volumique plastique;~1 : module de compressibilité plastique;À1et K : pentes élastoplastique et élastique du matériau,

déterminées à partir d'essais isotropes ou odo­métriques;

eo : indice des vides initial du matériau déterminé aulaboratoire.Les déformations plastiques sont données par:

df df dfdE~ ==À-;dEP ==À-;dEP ==À-

D daij v dp q dq

À est le multiplicateur plastique donné par la conditionde consistance (df == 0) :

avec:[CJ, matrice d'élasticité;

da, vecteur incrément de contraintes effectives;

dEt0t, vecteur incrément de déformations totales.

• Pour les états de contraintes surconsolidés, ladeuxième surface, dite de gonflement est introduite;

elle est en contact avec celle de Cam-Clay au point dedéchargement. Cette dernière permet de calculer lesdéformations plastiques engendrées par le gonflementpendant la décharge.

L'expression de cette surface est donnée par:F == (q - a )2 + M2.(p - a + a.) (p - a - a.) == 0

q P 1 P 1

a et a sont les coordonnées du centre de l'ellipse,définie~ par les équations ci-dessous. Elles sont calcu­lées en fonction des contraintes initiales de décharge(P1' q1)' et de l'état actuel des contraintes (p,q), soit:

a == P + P1 . a == q + q1p 2' q 2

ai est le paramètre d'écrouissage isotrope (grand rayonde la surface de gonflement).

L'évolution du paramètre d'écrouissage ai est don­née par:

da j == B1·dE~ + B2·dE~

avec:

B - A dF / dp . B _ M2 A dF / dq1 - PtJ2 -2dF / da.' 2 - PtJ2 -2dF / da.

1 1

P2

représente le module de compressibilité plastique àl'état surconsolidé, il est donné par:

(A == 1+ eo )tJ2 À - K

2

, . _ _ [ (Pc )ref ] Pc- en decharge. P2 - Pd - ~1 1+ () -

Pc dech p

- en recharge: p == p == P[1 JPc)ref ] 2Pcf P2 r 1 3(P ) PPc c cdech

Notons que:

(pc)ref est une pression de consolidation de référence àpartir de laquelle on effectue une décharge dans unessai oedométrique. A partir de cette pression il estpossible de déterminer le module de compressibilité ~2

pour n'importe quelle pression de décharge;

(Pc)dech est une pression de consolidation à partir delaquelle on effectue la décharge; 67

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 75

2e trimestre 1996

Pc est une pression de consolidation fictive correspon­dant à l'état de contrainte actuel.

Les déformations volumiques et déviatoires plas­tiques sont données par:

dEP==ÀdF dEP==À(dF -udF]v dp q dq dp

avec:

L'équation (4) peut s'écrire sous la forme:

5 EtcrdQ- 5 fvtdQ- 5 Tvtdr = 0Q Q r(J

5 utBcrdQ- 5 f(Nu)tdQ- 5 T(Nu)tdr = 0

Q Q r(J

soit :

(7)

(8)

u est un paramètre introduit pour exprimer une rela­tion non linéaire entre dq et dp. Le multiplicateur plas­tique est donné par la condition de consistance(dF == 0):

Annexe IIFormulation variationnelle

du problème mécanique

1. Équations du problème mécanique à résoudreÉquation d'équilibre

(jjj,j + fi == 0 (1)

Le modèle de comportement

~(jij == Cijkl'~Ekl - ~(j0ij (2)

u t [5BtcrdQ- 5 NtfdQ- 5 NtTdr1 == 0 (9)

Q Q r(J

[5 BtcrdQ - 5 NtfdQ - 5 NtTdr] == 0 (10)

Q Q r(J

Pour l'incrément k, les sollicitations appliquées à n peu­vent s'écrire:f{k) == f{k -1) + ~f{k) dans n

U(k) == U(k -1) + ~U(k) sur r ku

T(k) == T(k - 1) + ~T(k) sur r k(J

en outre les déplacements, les contraintes et les défor­mations à la fin du ke incrément s'écrivent:

U(k) == U(k -1) + ~U(kl, (j(k) == (j(k -1) + ~(j(k)

E(k) == E(k - 1) + ~E(k)

Ainsi l'équation (10) s'écrit:

5Bt,~~crkdQ-5NtMkdQ- 5NtL1TKdr+FR=O (11)

Q Q r(J

avec:

FR =5 BTcrk-1dQ_ 5 NTfk-1dQ_ 5 NtT k-1dr (12)

Q Q ~

2. Conditions aux limitesLe domaine n de frontière r est soumis aux sollicitationssuivantes:- forces volumiques fi dans n ;

- forces de surfaces Ti == Ti == (j.n sur r (J' ;

- déplacement imposé u j == ui sur ru.

avec: (3) FR : représente les forces non équilibrées des incré­ments précédents.En tenant compte de la loi de comportement nonlinéaire du matériau:

~(jk == C.~Ek == C.B.~uk

d'après (11)

3. Formulation variationnelle du problèmeOn considère l'espace V des champs de déplacementscinématiquement admissibles.

V == {v/v régulier sur n et v == 0 sur ru}Le principe des travaux virtuels s'écrit:

- 5 Ejj(v)crjj(u)dQ+ 5 fjvjdQ+ ffjvjdr = 0 (4)

Q Q ~

4. Discrétisation de l'espacea) Approximation du champ de déplacement

ve == Ne.ue (5)

ue : déplacement aux nœuds de l'élément de référence;Ne : matrice des fonctions d'interpolations.

b) Approximation du champ de déformation

E == L.U == L.N.ue == B.ue (6)

68REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUEN° 752e trimestre 1996

avec:

K définit la matrice de rigidité globale de la structure;~U est un vecteur représentant l'accroissement desdéplacements nodaux;

~F représente l'accroissement des forces extérieures.

5. Résumé du problème discrétisé poséLe problème ainsi posé se résume dans les deux sys­tèmes suivants:- un système global

K.~U == ~F

- des systèmes locaux

~(j == C.~E