Mémoire de fin d’étude ISAE

Simulation Numérique Haute Fidélité d’uneAube de Compresseur Haute Pression

Adrien Gomar,Étudiant en 3ème année à l’Institut Supérieur de l’Aéronautique et de l’Espace, formation ENSICA

Nicolas Gourdain,Tuteur CERFACS

Guillaume Dufour,Tuteur CERFACS

Nicolas Binder,Tuteur ISAE/ENSICA

Réf. WN-CFD-10-81

2

Remerciements

Je tiens à remercier le CERFACS, pour m’avoir permis de travailler sur un projet passionnant.Merci à Jean-François Boussuge et à Thierry Poinsot pour m’avoir accueilli au sein de l’équipeCFD du CERFACS.

Merci à Nicolas et Guillaume, mes deux tuteurs CERFACS pour l’aide que vous m’avezapportée, le soutien et les remarques constructives qui m’ont permis d’avancer. Merci à toiNicolas, mon tuteur ISAE, pour l’aide que tu m’a apportée sur la convergence instationnaire, etsurtout pour ton sens physique qui m’a permis de remettre ce projet dans son contexte.

Je tiens à remercier aussi toute l’équipe AAM pour les bons moments passés avec vous tous.Je m’y plait tellement que je vais m’accrocher ;)

3

4

Table des matières

1 Introduction 71.1 Présentation du stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 État de l’art des calculs LES en turbomachines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Enjeux industriels et scientifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Organisation du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Le compresseur axial NASA Rotor 37 112.1 Caractéristiques du NASA Rotor 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Données expérimentales sur le Rotor 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Topologie de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Généralités théoriques 153.1 Filtrage des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Répercutions sur les équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Maillage 194.1 Topologie du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 État de l’art pour les maillages "LES" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Résultats sur la qualité de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Modèles numériques 215.1 Présentation d’elsA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Choix du schéma spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3 Modèle de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4 Discrétisation dans le cadre de simulations instationnaires . . . . . . . . . . . . . 22

6 Traitement de la convergence instationnaire 236.1 État de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 Méthode de suivi de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3 Résultats et conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7 Résultats 297.1 Temps de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Champ compresseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.3 Plan aube à aube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.4 Profils radiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.5 Dépendance au maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5

TABLE DES MATIÈRES 6

Chapitre 1

Introduction

1.1 Présentation du stage

Poussé par la volonté de diminuer le coût d’exploitation, les constructeurs aéronautiquescherchent constamment à optimiser chaque système présents dans l’avion. Que l’on parle deprofil d’aile ou encore de moteur, chaque élément est dessiné et optimisé afin de réduire les coûtsd’exploitation ou de maintenance et d’améliorer la plage d’opérabilité. Malheureusement, l’op-timisation ne peut se faire que par la conception et le prototypage du système. Cette approcheest de surcroît très onéreuse et trop empirique, limitant les ruptures technologiques nécessaires àla démarche d’optimisation. Pour pallier ces problèmes, la simulation numérique permet aujour-d’hui de réduire le nombre de prototypes d’un projet tout en assurant le respect des spécificationsdu système. Partant de la discrétisation du domaine d’étude (maillage de la géométrie), de ladiscrétisation des équations de Navier-Stokes et de leur résolution itérative, la mécanique desfluides numérique (CFD en anglais pour Computational Fluid Dynamics) est aujourd’hui unoutils indispensable pour l’ingénieur.

L’écoulement qui se développe dans une turbomachine est très complexe. La turbulence, lecaractère instationnaire de l’écoulement (partie mobile et fixe), la géométrie 3D des pales et leseffets technologiques (tourbillon de jeu, injection . . .) sont autant de difficultés que rencontrentles codes de calcul numérique. Même si les paramètres globaux de l’écoulement (rendement, tauxde compression) sont plutôt bien restitués par une approche stationnaire type RANS (ReynoldsAveraged Navier-Stokes), classiquement utilisée dans l’industrie, cette méthodologie souffre d’unedescription encore imparfaite de l’écoulement. Le recourt à des simulations avancées est doncnécessaire afin de comprendre l’origine de ces phénomènes physiques et ainsi pouvoir améliorerle dessin d’une roue compresseur.

L’objectif du stage est de comparer des calculs RANS et LES (Large-Eddy Simulation) surle NASA Rotor 37, un compresseur axial isolé. Ce dernier est bien décrit expérimentalement etnumériquement dans la littérature, ce qui permet de vérifier la qualité des solutions numériques.Une approche méthodologique des calculs LES devra être décrite :

– la qualité de maille nécessaire pour un calcul LES,– les schémas numériques à employer,– le suivi de la convergence.

Cette description servira de support pour l’écriture d’une publication soumise pour l’EuropeanTurbomachinery Conference. Les résultats seront analysés sur :

– les résultats globaux (champ compresseur),– les relevés locaux de température totale, de pression totale, d’angle de déviation de l’écou-

lement et enfin de nombre de mach relatif,– les nombres de mach dans le plan aubes à aubes.

7

1.2 État de l’art des calculs LES en turbomachines 8

1.2 État de l’art des calculs LES en turbomachines

La LES est d’application très récente même si son fondement mathématique est arrivé àmaturité bien avant la modélisation RANS. La seule contrainte que la LES pose est le coût d’untel calcul. En effet, le coût d’un calcul LES est très important à haut nombre de Reynolds (casdes applications industrielles), limitant son intégration dans l’industrie. Malgré cela, des calculsLES ont déjà été réalisés sur des cas académiques ou des configurations turbomachines comme :

1. simulation à faible de nombre de Reynolds ( voir Réf. [4], [11] and [13])2. configurations où une hypothèse d’incompressibilité de l’écoulement a été faite (voir Réf.

[14] and [13])3. configurations industrielles avec un maillage grossier (voir Réf. [16], [2], [17] and [15])

comparé à la qualité de maillage recommandée pour réaliser un "bon" calcul LES [22].Ces simulations simplifiées démontrent que la LES permet prédire plus fidèlement, comparé auRANS, les écoulements décrits ci-dessus mais l’étude sur des configurations industrielles resteaujourd’hui nécessaire.

1.3 Enjeux industriels et scientifiques

Étant donné que les calculs LES sont par nature instationnaires et décrivent plus d’échellesturbulentes, cette méthode numérique pourrait bien être la relève de la simulation RANS. Eneffet, les phénomènes instationnaires (flottement, tourbillon de jeu, interaction choc/couche li-mite. . .) limitent aujourd’hui la prédiction des performances et donc l’optimisation des sys-tèmes complexes que sont les turbomachines. Même si l’approche URANS (Unsteady Reynolds-Averaged Navier-Stokes pour approche RANS instationnaire) permet de voir les effets déter-ministes d’un écoulement instationnaire, seuls les effets déterministes sont pris en compte. Lacompréhension de tels phénomènes passe donc par une simulation plus fine de la turbulence, ceque la LES offre.

La simulation RANS est aujourd’hui largement intégrée dans l’industrie, son coût, sa miseen œuvre ou encore ses limites sont bien connues. La mise en place de la LES doit donc passerpar plusieurs étapes :

1. validation théorique de la méthode sur des écoulements simplifiés (Turbulence HomogèneIsotrope, canal plan, écoulement de Couette. . .)

2. validation des résultats numériques sur des cas test bien documentés.3. intégration par et pour l’industrieAujourd’hui, nous sommes entre la deuxième et la troisième étape, il devient important de

connaitre le surcout d’un calcul LES par rapport à un calcul RANS comparé au gain qu’elleapporte. Le but de ce stage est d’évaluer les moyens nécessaires et les outils à mettre en placepour réaliser une LES sur une configuration industrielle.

1.4 Organisation du mémoire

Le mémoire est articulé autour de la méthodologie mise en place pour la réalisation des cal-culs LES. Le cas test NASA Rotor 37 est présenté dans le premier chapitre, quelques généralitésthéoriques, permettant de comprendre les différences fondamentales qu’il y a entre la modélisa-tion RANS et l’approche LES sont présentées en deuxième chapitre. Le chapitre suivant détaillela discrétisation spatiale de la géométrie, i.e. le maillage, le quatrième chapitre présente le choixdes différents modèles numériques. Dans le chapitre cinq, un état de l’art et une application

1.4 Organisation du mémoire 9

d’un critère de convergence instationnaire, sur notre cas, est étudiée. Enfin, les résultats sontprésentés dans le chapitre six qui clôture ce mémoire.

1.4 Organisation du mémoire 10

Chapitre 2

Le compresseur axial NASA Rotor 37

2.1 Caractéristiques du NASA Rotor 37

Conçu et expérimenté dans les années 70 au NASA Lewis Research Center, le compresseuraxial NASA Rotor 37 est un compresseur représentatif de l’état de l’art des compresseurs axiauxtranssoniques constitutifs des moteurs d’avions militaires. Ce compresseur a servi de cas testou "blind test", dans la fin des années 90 [10]. Il est depuis régulièrement utilisé comme casde validation des solveurs Navier-Stokes pour les turbomachines. Il a la particularité d’êtretranssonique et d’être très fortement chargé, ce qui en fait un cas complexe du point de vue dela mécanique des fluides. Les caractéristiques du rotor étudié sont détaillées dans le tableau 2.1.

Nombre de pales du rotor 36Hauteur de jeu 0.356 mmVitesse de rotation 17188.7 tr/minVitesse en tête 454 m/sTaux de compression 2.106Débit corrigé nominal 20.19 kg/sDébit de blocage 20.93 kg/s

Table 2.1 – Caractéristiques du NASA Rotor 37 au point nominal

2.2 Données expérimentales sur le Rotor 37

Deux moyens de mesures complémentaires ont été mis en place dans le dispositif expérimentaldu NASA Rotor 37 :

– la mesure des performances aérodynamiques grâce à des sondes de température et depression radiale,

– la mesure par anémométrie laser pour l’obtention de plan aubes à aubes et de distributionsazimutales.

Les performances aérodynamiques sont mesurées au moyen de sondes intrusives. Une sondeCobra permet de relever la température totale, la pression totale et enfin l’angle de l’écoulementà la station 1 et 4 situées en amont et en aval du rotor (voir Fig. 2.2). Une sonde 1 trouredondante avec la sonde Cobra permet, quant à elle, de relever l’angle de l’écoulement et la

11

2.2 Données expérimentales sur le Rotor 37 12

pression statique. La figure 2.1 montre une photographie de ces deux sondes.

27

..............._,_......................•.........::_..............iiiiiiiiiiiiiiiiiii iii

_iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii_iiiiiiiiiiiiiili_i_i_iiiiiii:ii

• • !!!iii!:!iiiiiiiiiiiiii!iiiiiiiiiiii::=:: =::::i:i:•...........i::::s::i:+:::i::i:i:i:i=i::::i::::i::::i:::i:::::i:::i:i:i:i_:ii!i

0.476 cm

18 ° _- 1.143 cm_l_ _

0.034 cm diameterholes on each side

l%[

a) Wedge Probe

ii i ! b) Cobra Probe

0-75-2727

0.013 cm diametertherrnocouple wire

0.051 cm x 0.0064 cm wall tubes (3)

_ 1.016 cm-I_ t

0.216 cm0 762 cm

Figure 5 Aerodynamic Probe Geometry.

0.476 cm

(a) Sonde type Cobra

27

..............._,_......................•.........::_..............iiiiiiiiiiiiiiiiiii iii

_iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii_iiiiiiiiiiiiiili_i_i_iiiiiii:ii

• • !!!iii!:!iiiiiiiiiiiiii!iiiiiiiiiiii::=:: =::::i:i:•...........i::::s::i:+:::i::i:i:i:i=i::::i::::i::::i:::i:::::i:::i:i:i:i_:ii!i

0.476 cm

18 ° _- 1.143 cm_l_ _

0.034 cm diameterholes on each side

l%[

a) Wedge Probe

ii i ! b) Cobra Probe

0-75-2727

0.013 cm diametertherrnocouple wire

0.051 cm x 0.0064 cm wall tubes (3)

_ 1.016 cm-I_ t

0.216 cm0 762 cm

Figure 5 Aerodynamic Probe Geometry.

0.476 cm

(b) Sonde 1 trou

Figure 2.1 – Photographie des moyens de mesure aérodynamique utilisés

Les erreurs expérimentales induites par les instruments de mesures sont rappelées dans letableau 2.2.

Grandeur Erreur associéedébit ±0.3kg.s−1

angle de l’écoulement ±1pression totale ±100Pa

température totale ±0.6K

Table 2.2 – Détails sur les erreurs expérimentales

Figure 2.2 – Plan de mesures expérimentales

Ces sondes permettent, en plus de l’obtention de distributions radiales, de calculer les per-formances du compresseur en réalisant une moyenne pondérée masse pour la température totaleet une moyenne pondérée par l’énergie pour la pression totale (en la convertissant sous sonéquivalent enthalpique). Les moyennes sont définies par (voir Réf : [24]) :

T =

[∑npri=0 Tiρi(Vz∆S)i∑npri=0 ρi(Vz∆S)i

]

P

Pref=

∑npr

i=0( PiPref

)γ−1γ ρi(Vz∆S)i∑npr

i=0 ρi(Vz∆S)i

γγ−1

Où, npr désigne le nombre de positions radiales (au nombre de 18 dans l’expérience) et ∆S lasurface annulaire considérée. L’obtention du rendement se fait alors classiquement au moyen du

2.3 Topologie de l’écoulement 13

taux de compression et du rapport de température totale, soit par définition :

ηad =(P4

P1)γ−1γ − 1

T4

T1− 1

Où l’indice 4 désigne la station 4 et l’indice 1 la station 1.La littérature préconise d’utiliser les moyennes décrites ci-dessus (voir Réf. [9]), sans quoi

une erreur de ±0.17 points de taux de compression et de ±3% de rendement pouvait être liéeau post-traitement.

L’anémométrie laser permet quant à elle, d’obtenir des plan aubes à aubes et des distributionsazimutales de nombre de mach relatif. Les détails de la configuration utilisée et de sa validationsont rappelés dans [24]. Rappelons que ce système permet d’acquérir simultanément et unique-ment les composantes axiales et tangentielles de la vitesse. Les erreurs associées à ce moyen demesure sont : 1% pour la vitesse et 0.5 pour l’angle de l’écoulement.

2.3 Topologie de l’écoulement

L’écoulement qui se développe dans ce rotor est très complexe :– un choc de bord d’attaque se développe à la vitesse de rotation nominale,– au point de rendement maximum, un double choc se produit : un choc de bord d’attaque

qui par le biais d’une intéraction choc/couche limite fait décoller la couche limite qui depar son épaississement réduit la section de passage du fluide, provoquant ainsi un deuxièmechoc,

– une intéraction choc/tourbillon de jeu qui peut provoquer une explosion du tourbillon dejeu (voir réf. [?]),

– en instationnaire, une allée de Von Karman se développe au bord de fuite.

2.3 Topologie de l’écoulement 14

Chapitre 3

Généralités théoriques

Dans ce chapitre, nous allons aborder brièvement les fondements théoriques de la LES.Mise en place à l’origine pour simuler des écoulements ou des situations qui ne pouvaient êtrereproduites par une expérience, la CFD s’impose aujourd’hui comme un outil indispensable àl’ingénieur de part sa rapidité d’exécution. En effet, les moyens de calculs allant croissant, letemps qui était nécessaire hier pour simuler un calcul complet d’une machine tournante estaujourd’hui abordable dans l’étape de conception. Aidé par des mathématiciens qui ont permisde donner un fondement théorique solide à la discrétisation des équations de Navier-Stokes,la CFD se décline suivant de nombreux niveaux de modélisation, la modélisation ReynoldsAveraged Navier-Stokes (RANS), la simulation numérique directe (ou DNS en anglais pourDirect Numerical Simulation), la LES (Large Eddy Simulation), la detached eddy simulation,la implicit large eddy simulation etc . . . Nous allons décrire les deux simulations qui ont étéutilisées lors du stage : la simulation RANS et la LES.

3.1 Filtrage des équations de Navier-Stokes

Afin de rendre possible le calcul d’écoulements fluides par les ordinateurs, plusieurs étapessont nécessaires. En effet, les équations de Navier-Stokes ne sont pas linéaires et une solutionanalytique ne peut être obtenue que pour des écoulements extrêmement simples. Pour pouvoirrésoudre numériquement les équations de la mécanique des fluides, nous devons appliquer unfiltre aux équations de Navier-Stokes.

Modèle RANS Pour l’approche RANS, le filtre appliqué est un filtre statistique (voir Réf.[7]). Pour une variable F , son équivalent filtré F est défini comme [7] :

F (x, y, z, t) = limn

1

n

n∑

i=1

F (i)(x, y, z, t) (3.1)

avec i ∈ [1, n], indice représentant le nombre de réalisations de l’expérience

F = F + f avec f la fluctuation de la variable F (3.2)

Pour faire simple, toute la turbulence est modélisée. Ces modèles sont développés pour desphénomènes physiques simplifiés (décollement, canal plan, jet . . .) et validés sur de nombreux caspratiques. Une extension de la méthode permet de considérer les instationnarités déterministes(vortex shedding, interaction rotor/stator), c’est la simulation URANS.

15

3.2 Répercutions sur les équations de Navier-Stokes 16

Modèle LES En 1941, Kolmogorov [18] énonce ses hypothèses de similitude qui sont à la basede la théorie de la LES : les petites structures sont universelles alors que les grandes échellesportent l’énergie et gouvernent l’écoulement moyen, et sont donc par nature cas-dépendantes.Ainsi, la résolution de ces dernières devient suffisante pour simuler la physique inhérente au pro-blème. Cependant, les petites échelles doivent dissiper l’énergie fournie par les grandes échelles(théorie de la cascade énergétique établie par Kolmogorov), fonction qui sera assurée numéri-quement par le modèle de sous maille (ou SGS en anglais pour Sub-Grid Scale model). Pourl’approche LES, ce n’est plus un filtre statistique qui est appliqué mais un filtre spatial. Il vient,en considérant uniquement l’axe x [21] :

F (x, t) ≡ G(∆) ? F (x, t) =

∫

Ω

G(∆, x, ξ)F (ξ, t)dξ (3.3)

F = F + f avec f la contribution sous-maille de la variable F (3.4)

Où G est le noyau du filtre et ∆ la distance caractéristique du filtre correspondant à la fréquencede coupure de ce passe-bas.

Le modèle LES est dès lors beaucoup plus "physique". En effet, seulement une partie de laturbulence est modélisée. L’asymptote de la LES est la DNS.

3.2 Répercutions sur les équations de Navier-Stokes

Considérons les équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible [7] :

∂Uj

∂xj= 0 (3.5)

∂Ui

∂t+ Uj

∂Ui

∂xj= −1

ρ

∂P

∂xi+

∂

∂xj

[ν(∂Ui

∂xj+∂Uj

∂xi)

]pour i = 1, 2, 3 (3.6)

Modèle RANS Si l’on applique le filtre statistique défini précédemment (Eq. 3.1), les équa-tions de Navier-Stokes deviennent :

∂Uj

∂xj= 0 (3.7)

∂Ui

∂t+ Uj

∂Ui

∂xj= −1

ρ

∂P

∂xi+

∂

∂xj

[ν(∂Ui

∂xj+∂Uj

∂xi)− uiuj

]pour i = 1, 2, 3 (3.8)

Ces équations ne sont pas fermées (les tensions de Reynolds uiuj en sont l’origine), c’est pourquoides modèles de turbulence servant à fermer le problème (i.e. modéliser le tenseur de Reynolds)doivent être utilisés pour compléter ces équations.

3.2 Répercutions sur les équations de Navier-Stokes 17

Modèle LES De manière analogue, si on applique le filtrage LES, les équations de Navier-Stokes deviennent :

∂Uj

∂xj= 0 (3.9)

∂Ui

∂t+∂UiUj

∂xj= −1

ρ

∂P

∂xi+ ν

∂2Ui

∂xjxjpour i = 1, 2, 3 (3.10)

La décomposition du terme UiUj devient 1 :

UiUj = UiUj +

[˜UiUj − UiUj

]

︸ ︷︷ ︸Lij

+˜Uiuj + uiUj︸ ︷︷ ︸

Cij

+ uiuj︸︷︷︸Rij

(3.11)

En posant τij = Lij + Cij +Rij , l’équation 3.10 devient (Réf. [7]) :

∂Ui

∂t+∂UiUj

∂xj= −1

ρ

∂P

∂xi+ ν

∂2Ui

∂xjxj− ∂τij∂xj

(3.12)

Tout comme pour les équations de Navier-Stokes applicables à l’approche RANS, l’équation(Eq. 3.12) introduit un nouveau terme τij qui fait que le système d’équation devient ouvert etnécessite donc une modélisation. La modélisation de ce terme est faite par le biais d’un modèlede sous-maille.

Différences physiques Le spectre turbulent étant continu et borné [7], le choix est fait derésoudre uniquement une partie des échelles turbulentes et de modéliser les autres. Étant donnéela nature du filtre appliqué aux équations de Navier-Stokes, l’approche RANS ne représente quela moyenne statistique de l’écoulement turbulent (toutes les échelles turbulentes sont modélisées)là où la LES effectue une sorte de passe-bas de fréquence de coupure correspondant à la taillede maille la plus petite. Ainsi, de par cette différence, la modélisation LES va résoudre plusd’échelles turbulentes et donc en modéliser moins. La figure 3.1 synthétise ces différences.

Figure 3.1 – Comparaison du filtre LES et du filtre RANS sur le spectre turbulent

Cette différence majeure fait que la modélisation LES captera plus de phénomènes physiques,notamment ceux liés à la turbulence.

1. Cette partie n’était pas complexe dans le cas RANS puisque ui = 0 ce qui n’est pas le cas avec le filtre LEScar ui 6= 0

3.2 Répercutions sur les équations de Navier-Stokes 18

Chapitre 4

Maillage

Une étape essentielle du calcul numérique est le maillage de la géométrie, autrement dit ladiscrétisation spatiale pour le calcul. Cette dernière peut se faire suivant plusieurs techniques(dépendant de la compatibilité avec le code de calcul) dont deux principales que sont le maillagestructuré et le maillage non structuré. Le mailleur utilisé lors du stage est Autogrid V5 deNumeca International. Ce logiciel a la particularité d’être orienté métier turbomachine et doncfacilite le maillage d’une telle géométrie en ne laissant que peu de paramètres à modifier pourl’utilisateur. Le temps passé sur cette étape essentielle du calcul numérique est donc raccourci.Ce chapitre présente la topologie employée pour le maillage ainsi que des résultats sur la qualitéde ce dernier.

4.1 Topologie du maillage

La topologie utilisée pour le maillage du compresseur NASA Rotor 37 est une topologie detype O4H. Cette topologie est classique dans les turbomachines car elle permet de densifier lenombre de maille dans les zones d’intérêt que sont les couches limites et le sillage. La figure 4.1présente la topologie de type O4H du NASA Rotor 37, ainsi qu’une vue de la discrétisation dubord de fuite et du jeu de tête de pale.

(a) Topologie O4H avec un blocdétaché en entrée

(b) Discrétisation du bord de fuiteen pied de l’aube

(c) Discrétisation du jeu

Figure 4.1 – Maillage RANS 2 million de points de la géométrie NASA Rotor 37, représentation un pointsur deux

4.2 État de l’art pour les maillages "LES"

La qualité du maillage est un critère nécessaire à la réalisation d’un bon calcul. Pour cela,certains critères doivent être respectés. En particuliers en LES, les critères établis (voir Réf. [12]

19

4.3 Résultats sur la qualité de maillage 20

et [22]) font référence aux grandeurs adimensionnées en échelle interne, et s’écrivent :

50 6 ∆x+ 6 150

∆y+ < 1

15 6 ∆z+ 6 40

Les maillage ont été réalisés en fixant la distance à la paroi de la première maille (∆y = 3µm)assurant un ∆y+ de l’ordre de 1. Dès lors, les différents maillages ont été réalisés en se limitantà un nombre de points fixé en fonction des ressources de calcul disponibles, et en essayant derespecter les critères ci-dessus. En effet, le critère de qualité de maillage [12] induit une certaineanisotropie, la taille de maille dans la direction x étant 150 fois plus élevée que celle suivant yet 40 fois plus élevée dans la direction z que dans la direction y. Ainsi, pour créer des maillagesdégradés, nous avons pris le parti de respecter cette anisotropie suivant les directions x et z touten conservant un ∆y+ de l’ordre de 1. Ainsi, pour obtenir le maillage 25 million à partir dumaillage 100 million, nous avons divisé le nombre de points dans les trois direction par environ√

2. Cette méthodologie nous a permis d’avoir des maillages dégradés pour la LES mais quiconservent une des propriété du critère de qualité de maillage [12].

4.3 Résultats sur la qualité de maillage

Le tableau qui suit résume les différentes valeurs pour les caractéristique des maillages LES,RANS et URANS.

2MRANS 10MLES,URANS 25MLES 100MLES

∆x+ 490 302 169∆y+ 1,8 1.2 1.37 1.43∆z+ 55 62 37

points dans la direction axiale 209 229 289 485points dans la direction radiale 105 457 649 1161

points dans la direction azimutale 57 89 105 109points dans le jeu 29 57 81 117

Table 4.1 – Détails sur la qualité du maillage

Nous pouvons remarquer que malgré les 100 millions de points disponibles, ce maillage sesitue tout juste au niveau de la limite supérieure. Ceci explique en partie la non intégrationde l’approche LES dans l’industrie. En effet, une telle taille de maillage est actuellement horsde portée de l’industrie pour une utilisation turbomachine. De plus, si l’on considère qu’il estnécessaire de mettre trois fois plus de points dans la direction de l’écoulement x, et d’en mettretrois fois plus dans la direction radiale z, pour obtenir un maillage respectant le critère de [12]en partant de notre maillage 100 millions de points, cela donne un maillage à 900 million depoints alors qu’un maillage type dépasse rarement 2 millions de points aujourd’hui.

Chapitre 5

Modèles numériques

Comme le maillage, le choix des schémas numériques à utiliser pour un calcul est une étapecruciale. En effet, ces derniers doivent être choisis en fonction de la physique que l’on s’attend àcapturer. Malgré tout, ce chapitre va s’attacher à détailler les choix effectués et leurs fondements.

5.1 Présentation d’elsA

elsA est un code CFD développé par l’ONERA et le CERFACS (voir Réf. [3]). elsA résoutles équations de Navier-Stokes 3D compressible (moyenne de Favre) avec une approche volumefini au centre des cellules sur des maillages structurés multi-blocs. L’intégration des équationsdiscrétisées est réalisée avec un schéma d’Euler décentré et une approche implicite avec factori-sation LU et correction SSOR. Ce solveur a été validé pour des applications turbomachine dansRéf. [6].

5.2 Choix du schéma spatial

Le choix du schéma numérique pour la discrétisation des termes convectifs se fait avec unepalette composée principalement du schéma 2e ordre de Jameson et du schéma de Roe. Dansnotre cas, les calculs n’étaient pas stables avec un schéma de Jameson. En effet, que ce soit enRANS ou en LES, l’utilisation du schéma de Jameson avec des viscosités artificielles raisonnables(κ2 = 1.0 car le rotor est transsonique et κ4 = 0.02 pour un calcul RANS, κ4 = 0.008 pour uncalcul LES 1) donnait un calcul instable qui explosait rapidement. Nous avons donc utilisé unschéma de Roe pour tout les calculs. Nous avons de plus utilisé un limiteur de Van Albada pourles calculs RANS et URANS (le schéma de Roe est dès lors à un schéma du second ordre) etsans limiteur pour les calculs LES (afin de dissiper le moins possible), ce qui permet d’atteindrel’ordre 3.

5.3 Modèle de fermeture

Le choix du modèle de fermeture des équations RANS s’est fait en se basant sur une étudeinterne du CERFACS sur le NASA Rotor 37. Cette étude nous a amené à choisir le modèlede turbulence k − ω Menter pour l’approche RANS et URANS. Pour ce qui est du modèle de

1. Dans le cadre d’un calcul LES, les schémas numériques ne doivent pas trop dissiper. En effet, la dissipationdes petites échelles est assurée par le modèle de sous-maille et si l’on dissipe trop, on ne capturera pas de structuresfines.

21

5.4 Discrétisation dans le cadre de simulations instationnaires 22

sous-maille en LES, nous avons choisi le modèle WALE [20] en se basant aussi sur des étudesinternes [?].

5.4 Discrétisation dans le cadre de simulations instationnaires

Pour les simulations instationnaires (URANS et LES), une approche de type pas de tempsdual (avec sous itérations de Newton) a été utilisée.

Chapitre 6

Traitement de la convergenceinstationnaire

Une des difficultés majeures d’un calcul instationnaire est d’en estimer la convergence afin depouvoir réaliser des statistiques sur les résultats obtenus. L’état de l’art dans la littérature, pourles calculs LES, est de considérer la période convective du calcul (temps que met une particulepour traverser tout le domaine numérique) et d’attendre 10 temps convectifs pour évacuer letransitoire puis de réaliser des statistiques sur les 10 temps convectifs suivants. Cette approche,bien qu’éprouvée, ne se base sur aucun critère particulier et est difficilement intégrable dans uncontexte industriel. En effet, cette méthodologie pourrait être cas-dépendante.

De nouveaux critères, efficaces et robustes, doivent donc être établis afin de rendre robuste etefficace le traitement de la convergence pour les calculs instationnaires. Ce chapitre traite doncde la convergence instationnaire, en essayant d’étayer le débat avec de nouvelles approches.

6.1 État de l’art

La simulation RANS étant bien intégrée dans l’industrie, un critère de convergence bienétabli est celui de Casey & Wintergerste (voir Réf. [5]) qui dit qu’une simulation stationnaireest convergée si et seulement si, il y a :

– diminution des résidus d’au moins 3 ordres de grandeur, et stabilisation ;– écart entre le débit d’entrée et de sortie stabilisé, et inférieur à 0.1 % ;– stabilisation des principales quantitées globales d’intérêt (débit, taux de compression et

rendement).Pour une simulation instationnaire, ce critère ne peut pas être satisfait de part la nature tempo-relle du calcul. Une façon de contourner en URANS ce problème est de considérer la périodicitédes quantités globales d’intérêt, des débits et des résidus. Dès que toutes ces grandeurs de-viennent périodiques, on peut considérer que le calcul instationnaire a passé son transitoire.Notons toutefois qu’un état périodique pour un calcul URANS peut être difficile à obtenir àcause d’instabilités inhérentes au cas étudié (pompage, tourbillon de jeu).

Cette approche ne peut pas être appliquée sur un calcul LES. En effet, contrairement àl’approche RANS et URANS, la nature même de la LES implique un domaine de fréquencestrès large et par voie de conséquence, des signaux qui paraissent chaotiques. En effet, pours’en convaincre, quatre signaux de débit (grandeur conservative moyennée en espace sur le pland’entrée ou de sortie) sont donnés en figure 6.1, deux sont issus de calculs LES et deux de calculsURANS périodiques sur une plage de temps comparable (∼ 0.01 s). On peut retenir plusieurspoints importants :

23

6.1 État de l’art 24

– les signaux du débit entrée sont beaucoup plus lissés que ceux du débit de sortie,– pour le calcul LES, les amplitudes relatives des deux débits sont très différentes, les am-

plitudes du débit entrée étant de l’ordre de 0.05 kg.s-1 alors que celle du débit de sortiesont de l’ordre de 0.5 kg.s-1,

– le contenu fréquentiel du signal de débit de sortie semble très riche pour le calcul LES,– le calcul URANS est périodique 1 là où les résultats sur la LES sont non périodiques, ce qui

est logique puisque la LES simule les grandes échelles de la turbulence qui n’ont aucuneraison de représenter des phénomènes périodiques.

(a) Signal temporel du débit entrée, calculLES

(b) Signal temporel du débit sortie, calculLES

(c) Signal temporel du débit entrée, calculURANS

(d) Signal temporel du débit sortie, calculURANS

Figure 6.1 – Comparaison du contenu fréquentiel de signaux de débit LES et URANS

Dans la littérature, deux critères de convergence instationnaire (démontrés sur des simu-lations instationnaires URANS) utilisant la transformée de Fourier ont été éprouvés sur nossignaux LES. Le premier critère est celui de Ahmed & Barber (voir Réf. [1]). Ce critère postulequ’une simulation est convergée, au sens statistique, si des fréquences "physiques" émergent lorsde l’avance en temps du calcul et si ces mêmes fréquences sont prédominantes dans la transfor-mée de Fourier du signal. Ce critère se base sur un signal temporel de n’importe quelle grandeurd’une sonde placée n’importe où dans le domaine de calcul (il a été montré dans Réf. [1] quela position dans le domaine et les grandeurs exportées n’ont pas d’importance 2). Un deuxièmecritère est celui de Clark & Grover (voir Réf. [8]), ce critère part de l’analyse faite par Ahmed& Barbier, mais en créant un "fuzzy set" 3 comprenant plusieurs critères de convergence :

1. la convergence en moyenne du signal,

2. la convergence des amplitudes des fréquences "physiques",

3. la convergence de la phase du signal,

1. Notons que les oscillations vues en URANS sont dues aux allées de Van Karman.2. Cette propriété a été établie dans le cadre de calculs URANS. En effet, il semble que l’émergence de

fréquences physiques ne dépendent pas des grandeurs observées ni de la position sondée. Néanmoins, rappelonsqu’un calcul LES est beaucoup plus riche du point de vue fréquentiel et ne vérifie peut-être pas cette propriété.

3. Un fuzzy set est une composition de critères.

6.2 Méthode de suivi de la convergence 25

4. la corrélation de deux signaux consécutifs,

5. la convergence du ratio entre la valeur de la densité spectrale de puissance à la fréquenced’intérêt (les fameuses fréquences "physiques") et l’intégrale de la densité spectrale depuissance.

Ce nouveau critère est plus précis que celui de Ahmed & Barbier mais postule qu’une fréquenceparticulière est recherchée. Or dans notre cas, aucune fréquence ne peut être connue a priori, cequi limite l’intérêt de ce critère.

6.2 Méthode de suivi de la convergence

Pour suivre la convergence du calcul, il devient donc nécessaire d’instrumenter notre do-maine de calcul avec des sondes. Nous avons donc placé 15 sondes (en extrayant les grandeursconservatives et la pression statique) dans tout le domaine (dans le repère relatif tournant avecla pale) :

– 1 sondes en entrée et en sortie du domaine de calcul à mi-veine,– 5 sondes à la station 1, 5 sondes à la station 4, en face du rotor (voir Réf. 2.2 pour la

position de ces stations), à la hauteur radiale : 30%, 50%, 70%, 90% et enfin 95%,– 3 sondes dans le jeu radial, réparties le long de la corde de la pale.

Ces sondes sont placées a priori et ne sont pas là pour analyser la fréquence de phénomènesphysiques particuliers (nous pensons là aux allées de Van Karman ou encore au tourbillon dejeu). La figure 6.2 montre la position des sondes décrites ci-dessus dans le domaine de calcul.D’autres grandeurs ont été évaluées par identification au critère de Casey &Wintergerste, commepar exemple le débit.

Figure 6.2 – Position des sondes dans le domaine de calcul

Pour faire l’analyse de Fourier de ces signaux, un programme Python utilisant les librairiesscientifiques Scipy et Numpy a été écrit. Ce programme prend en entrée un signal temporelet trace la Discrete Fourier Transform (DFT) ou transformée de Fourier discrète (basé surscipy.fftpack). La transformée de Fourier rapide (ou Fast Fourier Transform pour FFT en anglais)est une méthode mathématique rapide pour calculer la transformée de Fourier discrète (DFT).Si x(t = n∆T/N) un signal discret avec n ∈ [0;N ], le kieme coefficient de Fourier Xk est défini

6.3 Résultats et conclusions 26

par :

Xk =

N−1∑

n=0

x(n)e−i2πknN

La résolution spectrale, ou fréquence de coupure, de la transformée de Fourier discrète correspondà la limite des fréquences non observables du signal de part la discrétisation temporelle. Elle estdéfinie par :

fc =1

Nds∆t

où Nds correspond au nombre d’échantillons du signal discrétisé et ∆t le pas de temps. Cettefréquence est importante car la transformée de Fourier discrète n’a pas de sens pour f < fc.

L’outils python décrit précédemment a été validé sur des signaux générés à partir de cosinuset de sinus de fréquence connue et par comparaison au même traitement fait sous Matlab.Les deux algorithmes étant différents, les FFT ne sont pas rigoureusement les mêmes, mais lesfréquences et les amplitudes sont bien retrouvées.

6.3 Résultats et conclusions

Nous avons choisi, pour éprouver le critère de Ahmed & Barber un calcul LES qui avaitcomme solution initiale un calcul RANS au débit proche pompage et comme condition de sortie,un vannage au point de blocage (Qcorrig = 1). Le calcul a donc subi un fort transitoire, per-mettant d’évaluer le critère défini précédemment. La figure 6.3 montre l’évolution temporelle dudébit entrée et sortie. Le transitoire semble être entre 0 s et 0.005 s, après les deux signaux sontplus ou moins stabilisés autour d’une valeur moyenne, laissant penser que le signal a passé sontransitoire. La figure 6.3 montre, de plus, que la condition de sortie suit plutôt bien les variationsde la condition d’entrée, le temps de latence entre les deux étant très faible.

(a) Signal temporel du débit entrée, calculLES

(b) Signal temporel du débit sortie, calculLES

Figure 6.3 – Débit entrée et sortie du calcul LES partant du pompage pour aller au blocage

Considérons maintenant la transformée de Fourier des signaux sur toute la plage de tempsdisponible. La figure 6.4 montre cette dernière avec un zoom sur les basses fréquences. De cesfigures, nous pouvons dire qu’un pic se dégage, il est situé à 360Hz pour le débit d’entrée età 270Hz pour le débit de sortie. Si l’on resserre l’échelle sur les parties basse fréquences, onremarque qu’un deuxième pic est caché pour les deux signaux, il est aux alentours de 90Hz,avec une amplitude de 0.75 pour le débit d’entrée et de 0.9 pour le débit de sortie. Or 90Hzcorrespond à la résolution spectrale, en conséquent ce pic à 90Hz n’est pas physique (voir Réf.[1]). L’écart entre l’amplitude des deux pics étant trop faible (les fréquences physiques ne sontpas prédominantes), le critère de Ahmed & Barber stipule que le calcul n’est pas convergé.

6.3 Résultats et conclusions 27

(a) Transformée de Fourier du signal dedébit d’entrée

(b) Zoom sur la partie basse fréquence

(c) Transformée de Fourier du signal dedébit de sortie

(d) Zoom sur la partie basse fréquence

Figure 6.4 – Transformée de Fourier des signaux de débit, cas LES 10 million, pompage vers blocage

Nous allons maintenant couper le signal en trois parties égales (∼ 0.003 s) que nous allonsanalyser de nouveau en appliquant notre critère (voir Fig. 6.5 et 6.6). Si l’on se base sur cesfigures, le calcul est en train de converger, il faudrait pour qu’il soit convergé que l’amplitude dela fréquence proche de la résolution spectrale soit de l’ordre de 5% de la plus haute amplitude desfréquences physiques. L’application de ce critère avec les sondes présentées ci-dessus ne donnepas de bons résultats, les fréquences physiques ont du mal à émerger et ne sont pas du toutstables, empêchant l’application du critère de Ahmed & Barber. Un nouveau critère pourraitêtre la combinaison du critère de Casey & Wintergerste et de Ahmed & Barber : l’applicationdu critère de Ahmed & Barber sur les grandeurs que sont les résidus et les principales quantitésglobales d’intérêt (débit, taux de compression et rendement). Malheureusement, lors de l’avanceen temps du calcul, les fréquences physiques émergent mais leurs amplitudes ne sont pas dutout stables. Le critère ne semble donc pas totalement adapté à la physique d’un calcul LES(rappelons que le critère a été établi sur des calculs RANS). Or la simple prépondérance desfréquences "physiques" par rapport aux fréquences "non physiques" pourrait être suffisante pourstatuer sur la convergence de nos calculs. Afin de corroborer nos hypothèses, des statistiques ontété réalisés sur les résultats. La variance des résultats est de l’ordre de σ ∼ 1.0E-5. Concrètement,cela signifie que le calcul est convergé en moyenne.

Or ce que nous recherchons, avant tout, est que les calculs LES soient convergés en moyenne.Le critère de Ahmed & Barber est donc trop contraignant pour la physique de la LES. Néan-moins, il semblerait qu’il y ait une corrélation entre la convergence de la variance des résultatset l’augmentation de l’amplitude des fréquences physiques par rapport aux fréquences non phy-siques. Ainsi, un nouveau critère pour la convergence d’un calcul LES pourrait être la restrictiondu critère de Ahmed & Barber à la prépondérance des fréquences physiques.

6.3 Résultats et conclusions 28

(a) 0.00s 6 t 6 0.003s (b) 0.003s 6 t 6 0.006s (c) 0.006s 6 t 6 0.009s

Figure 6.5 – Transformée de Fourier des signaux de débit entrée, zoom sur la partie basse fréquence,résolution spectrale = 350Hz

(a) 0.00s 6 t 6 0.003s (b) 0.003s 6 t 6 0.006s (c) 0.006s 6 t 6 0.009s

Figure 6.6 – Transformée de Fourier des signaux de débit de sortie, zoom sur la partie basse fréquence,résolution spectrale = 350Hz

Chapitre 7

Résultats

7.1 Temps de calcul

Un des points important pour l’industriel est de savoir quel est le rapport qualité de la solu-tion sur le temps de calcul. Si le calcul RANS est aujourd’hui aussi bien intégré dans l’industrie,c’est grâce à la qualité des solutions obtenue pour un temps de calcul relativement faible. Mal-heureusement, on arrive aujourd’hui à une asymptote, les calculs RANS ne sont plus suffisantspour la compréhension de la physique se développant dans les systèmes tant les phénomènesinstationnaires sont importants. Inévitablement l’amélioration des systèmes pousse l’industrielà se tourner vers la simulation instationnaire comme par exemple la simulation URANS et LES.La question est donc de connaitre le surcoût imposé par de telles simulations. Le tableau 7.1résume le temps nécessaire pour réaliser un calcul LES comparé à une simulation RANS.

Type de Nombre Nombre Temps CPU Ratio parprocesseur de processeurs d’itérations (Heure) rapport à RANS

RANS2M Intel Nehalem 2.66GHz 1 4,000 12 1URANS10M Intel Nehalem 2.66GHz 32 15,000 2304 6

LES10M Intel Nehalem 2.66GHz 32 80,000 6144 16LES100M PowerPC440 700Mhz

&Intel Harpertown 3GHz 512 80,000 ∼ 400,000 8604

Table 7.1 – Ressources nécessaires à la réalisation de calculs LES.

Nous pouvons remarquer qu’un calcul LES "bien résolu" 1 est 8604 plus cher qu’un calculRANS. L’intégration dans l’industrie de la LES est donc clairement lié au coût d’un tel calcul.

7.2 Champ compresseur

La figure 7.1 montre le champ compresseur du NASA Rotor 37. Nous pouvons remarquer queles calculs RANS et URANS prédisent bien le taux de compression (même s’ils le sous-estiment)mais les calculs LES prédisent mieux le rendement. Le nombre de points de fonctionnement dis-ponibles pour les calculs LES ne nous permettent pas de discriminer l’approche LES. Néanmoins,la physique des calculs LES est clairement différente de celle des calculs RANS.

Nous pouvons aussi remarquer que les solutions des différents calculs LES semblent confirmerqu’aucune convergence en maillage n’est obtenue avec la LES. En effet, les points de fonction-nement calculés en LES ne semblent pas converger vers une solution extrapolée.

1. Nous entendons par "bien résolu" que le maillage est adapté au problème et respecte donc le critère dequalité de maillage [12]

29

7.3 Plan aube à aube 30

1.9

2

2.1

0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02

Tot

alpr

essu

rera

tio,

P4/P

ref

Corrected mass flow

Experimental dataRANS

URANS10MLES10MLES25M

LES100M

(a) Champ compresseur, taux de compression

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02

Adi

abat

iceffi

cien

cy

Corrected mass flow

(b) Champ compresseur, rendement

Figure 7.1 – Champ compresseur du NASA Rotor 37, comparaison essais/calculs

7.3 Plan aube à aube

7.3.1 Mi-Veine

La figure 7.2 montre des visualisations aubes à aubes de l’écoulement moyenné. Les calculsLES semblent relater la même physique de l’écoulement, c’est à dire un choc oblique de bordd’attaque avec un choc proche du "col" dû à l’épaississement de la couche limite. Comparés auxcalculs RANS, les calculs LES montre un angle de choc plus faible, un décollement de la couchelimite plus épais. Ces différences confirment que la physique d’un calcul LES est différente decelle d’un calcul RANS.

7.3.2 Dans le jeu

L’analyse de l’écoulement qui se développe dans le jeu permet d’en apprendre plus sur lesdifférents calculs.La figure 7.3 montre la comparaison de plan aubes à aubes à 95% de la directionradiale pour les calculs RANS et LES. Nous pouvons d’ores et déjà remarquer que la physiqueest très différente suivant les calculs. En effet, le plan est situé dans le jeu compris entre la paleet le carter. Dans cet espace, un tourbillon de jeu se créé dû au différentiel de pression qui existeentre l’intrados et l’extrados de la pale. La trace du tourbillon est indiquée par des flèches enpointillés.

La physique de ce tourbillon est différente, dû à l’interaction choc/tourbillon de jeu. Eneffet, pour le calcul RANS, l’angle du tourbillon ne semble pas avoir de réel changement eninteragissant avec le choc 2. On peut de plus observer que plus on raffine le maillage, plus lephénomène capté va vers un redressement du tourbillon. En effet, alors que pour le calcul LES10 million, le tourbillon ne semble pas être dévié par le choc, pour le cas 25 et 100 million depoints, l’interaction avec le choc induit une déviation qui pour le cas LES 100 million induit untourbillon de jeu qui ne va pas impacter la pale suivante. Cette différence est très importantecar de telles informations peuvent motiver le changement de dessin d’une roue compresseur.

7.4 Profils radiaux

Les profils radiaux de pression, de température, de rendement et d’angle de l’écoulement, sontprésentés dans la figure 7.4. Nous remarquons encore une fois que la physique est complètementdifférente. Nous allons pas nous étendre sur les différences observées mais plutôt sur la physique

2. Le propos ici n’est pas de faire une analyse fine du phénomène d’interaction choc/tourbillon mais plutôtd’observer les différences de physique induites par les différentes simulations

7.4 Profils radiaux 31

(a) simulation RANS, maillage 2 million de points (b) simulation LES, maillage 10 million de points

(c) simulation LES, maillage 25 million de points (d) simulation LES, maillage 100 million de points

Figure 7.2 – Résultats plan aube à aube, 50% hauteur radiale, débit de blocage, moyenné sur 1 through-flow

qui se développe dans le NASA Rotor 37. En effet, un débat encore ouvert est celui du déficit enpression totale au niveau du moyeu. Le blind test conduit dans les années 90 autour du NASARotor 37 [9] montre que le déficit en pression observé expérimentalement au niveau du moyeu estmal calculé par les solveurs Navier-Stokes. Ce déficit est attribué soit à une injection/recirculationsous plateforme soit à un décollement de coin (pour plus de détails sur cette discussion, voir Réf.[9]).

La figure 7.4(a) montre les distributions radiales de pression totale. Aucune des simulationsne prédit le déficit en pression. Ceci est en contradiction avec une étude menée par Hah [15], ilrelève en effet un décollement de coin qu’il explique comme origine du déficit de pression totale.La figure 7.5 montre des lignes de frottement sur le cas LES à 10 million de points. Cette figurenous indique qu’aucun décollement de coin n’est observé. Il semblerait donc, si l’on se base surnos résultats, que la géométrie de l’aube rotor du NASA Rotor 37 n’est pas à l’origine du déficiten pression vu au moyeu. En effet, ce déficit pourrait être attribué à des injections/recirculationssous plateforme comme l’indique Shabbir & al. [23].

7.5 Dépendance au maillage 32

(a) simulation RANS, maillage 2 million de points (b) simulation LES, maillage 10 million de points

(c) simulation LES, maillage 25 million de points (d) simulation LES, maillage 100 million de points

Figure 7.3 – Résultats plan aube à aube, 50% hauteur radiale, débit de blocage, moyenné sur 1 through-flow

7.5 Dépendance au maillage

La figure 7.6 montre un instantané de gradient de densité au point de blocage pour deux denos calculs : le calcul LES 10 et 100 million de points. Nous pouvons remarquer que la physiquequi se développe est différente. En effet, l’interaction choc/couche limite avec l’intrados de lapale supérieure n’est vue que par le calcul LES 100 million (voir numéro (4) sur la figure 7.6(b)).Nous pouvons aussi remarquer que les structures calculées sont bien plus fines avec le calcul LES100 million de points.

7.5 Dépendance au maillage 33

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25

%sp

anfrom

Hub

Total pressure ratio, P4/Pref

Experimental dataRANS

URANSLES10MLES25M

LES100M

(a)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

%sp

anfrom

Hub

Adiabatic efficiency

(b)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.3 1.31 1.32

%sp

anfrom

Hub

Total temperature ratio, T4/Tref

(c)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

%sp

anfrom

Hub

Absolut angle

(d)

Figure 7.4 – Distributions radiales en avales du NASA Rotor 37 (station 4).

Figure 7.5 – Lignes de frottement, cas LES 10 million de points.

7.5 Dépendance au maillage 34

(a) maillage 10 million de points (b) maillage 100 million de points

Figure 7.6 – Instantané de gradient de densité au point de blocage. Plan aube à aube à 50% de la hauteurradiale.

Conclusion et perspective d’étude

Les résultats obtenus au cours de cette étude mettent en avant la phénoménologie différentede l’écoulement vu par deux approches numériques. A priori, la LES permet d’obtenir unephysique plus proche de la réalité. Cependant, il est difficile de conclure sur la base d’un uniquepoint de fonctionnement. La comparaison avec les résultats expérimentaux, en particulier surles distributions radiales, montre que les performances estimées par la LES sont différentes decelles obtenues lors des essais. En particulier, le débat sur le déficit en pression va dans le sensd’une injection/recirculation sous plateforme. Afin d’évaluer la prépondérance de ce phénomène,il serait intéressant d’avoir des données expérimentales sur le débit parasite venant du jeu inter-roues.

La méthodologie mise en place lors du stage, pour les calculs LES, nécessite encore d’êtreaffinée. En effet, la mise en place d’un critère de convergence pour des calculs LES n’est paschose aisée. De plus, le choix du pas de temps et le respect des critères de qualité de maillagedoivent encore être étudiés afin de rendre possible l’intégration de la LES dans l’industrie.

Le stage m’a permis d’acquérir énormément de connaissances que seule la pratique peutoffrir :

1. mailler une géométrie complexe pour un calcul LES très fin,

2. réaliser des calculs LES, RANS et URANS,

3. choisir les schémas numériques adaptés,

4. calculer sur des machines avec un très grand nombre de processeurs,

5. post-traiter un cas turbomachine,

6. établir la convergence de calculs instationnaire,

7. coder en Python et réaliser des programmes de traitement du signal,

8. communiquer les résultats en soumettant un article (1e auteur) au prochain ETC à Istan-bul.

Ces étapes me permettent, aujourd’hui, de lancer une simulation numérique LES en ayant unpoint de vue globale sur les éléments clés d’une telle simulation.

Il serait intéressant d’essayer d’appliquer cette méthodologie aux futurs calculs LES afin depouvoir la perfectionner. Quant à elle, l’étude de résultats de LES sur le NASA Rotor 37 maisavec des débits d’injection/recirculation permettrait de se positionner sur le débat sur le déficiten pression totale au moyeu.

35

7.5 Dépendance au maillage 36

Bibliographie

[1] M. H. Ahmed and T. J. Barber. Fast Fourier Transform Convergence Criterion for Nume-rical Simulations of Periodic Fluid Flows. AIAA Journal, 43(5) :1042, May 2005.

[2] D. Black, K. Meredith, and C. Smith. LES Simulations Predicting Heat Transfer and WallTemperatures on Turbine Inlet Guide Vanes at High Fuel-Air Ratios. ISABE, 2005.

[3] L. Cambier and J-P. Veuillot. Status of the elsA CFD Software for Flow Simulation andMultidisciplinary Applications. AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 2008.

[4] T. Carolus, M. Schneider, and H. Reese. Axial Flow Fan Broad-Band Noise and Prediction.Journal of Sound and Vibration, 300 :50–70, July 2006.

[5] M. Casey and T. Wintergerste. Best Practice Guidelines. ERCOFTAC Special InterestGroup on "Quality and Trust in industrial CFD", 2000.

[6] L. Castillon, G. Billonnet, and S. Plot. New Abilities of the Multiapplication elsA Softwarein the Field of Turbomachinery Flow Computation. Proceedings of ASME FEDSM’02, July2002.

[7] J-B. Cazalbou. PHYSIQUE ET MODÉLISATION DE LA TURBULENCE - Théories dela Turbulence Homogène. Course dispensed at ISAE/ENSICA, 2009.

[8] J. P. Clark and E. A. Grover. Assessing Convergence in Predictions of Periodic-UnsteadyFlowfields. ASME, 129 :740, October 2007.

[9] J.D. Denton. Lessons from Rotor 37. 3rd International Symposium on Aerothermodynamicsof Internal Flows, 1996.

[10] J. Dunham. CFD Validation for Propulsion System Components. AGARD Advisory Report,(355), 1998.

[11] S. Eastwood, P. Tucker, H. Xia, and C. Klostermeier. Developing Large Eddy Simu-lation for Turbomachinery Applications. Physical Transactions of the Royal Society A,367(1899) :2999–3013, July 2009.

[12] N. J. Georgiadis, D. P. Rizzeta, and C. Fureby. Large Eddy Simulation : Current Capabili-ties, Recommended Practices, and Future Research. Aerospace Sciences Meeting, Orlando,Florida, U.S.A., January 2009. NASA.

[13] K.M. Guleren, I. Afgan, and A. Turan. Predictions of Turbulent Flow for the Impeller of aNASA Low-Speed Centrifugal Compressor. Journal of Turbomachinery, 132, April 2010.

[14] K.M. Guleren, A. Turan, and A. Pinarbasi. Large-Eddy Simulation of the Flow in a Low-Speed Centrifugal Compressor. International Journal for Numerical Methods in Fluids,56 :1271–1280, 2008.

[15] C. Hah. Large Eddy Simulation Of Transonic Flow Field in NASA Rotor 37. Technicalmemorandum, NASA, 2009.

[16] C. Hah, J. Bergner, and H-P. Schiffer. Tip Clearance Vortex Oscillation, Vortex Sheddingand Rotating Instabilities in an Axial Transonic Compressor Rotor. ASME, June 2008.

37

BIBLIOGRAPHIE 38

[17] C. Hah, M. Voges, M. Mueller, and H-P. Schiffer. Investigation of Unsteady Flow Behaviorin Transonic Compressor Rotors with LES and PIV Measurements. ISABE, Februar 2009.

[18] A. N. Kolmogorov. The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid forvery large Reynolds numbers. volume 434. The Royal Society, July 1991.

[19] T. Leonard, F. Duchaine, N. Gourdain, and L.Y.M. Gicquel. Steady/Unsteady ReynoldsAveraged Navier-Stokes and Large Eddy Simulations of a Turbine Blade at High SubsonicOutlet Mach Number. ASME, June 2010.

[20] F. Nicoud and F. Ducros. Subgrid-Scale Stress Modelling Based on the Square of theVelocity Gradient Tensor. Flow, Turbulence and Combustion, April 1999.

[21] P. Sagaut. LES Modelling. Paris 6, France, July 2009.

[22] P. Sagaut and S. Deck. Large Eddy Simulation for Aerodynamics : Status and Perspectives.Philosophical Transactions of the Royal Society, 2009.

[23] A. Shabbir, M. L. Celestina, J. J. Adamczyck, and A. J. Strazisar. The Effect of HubLeakage Flow on Two High Speed Axial Flow Compressor Rotors. ASME, 1997.

[24] K. L. Suder. Experimental Investigation of the Flow Field in a Transonic, Axial Flow Com-pressor with Respect to the Development of Blockage and Loss. Technical Memorandum107310, NASA, Cleveland, Ohio, U.S.A., October 1996.

Annexe A : Présentation du CERFACS

Le CERFACS (Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée en Calcul Scienti-fique) est un organisme de recherche dont l’ambition est de développer de nouvelles méthodeset algorithmes numériques, cela pour un large spectre d’applications, aussi bien à l’attention dumilieu académique qu’industriel. Le CERFACS, en tant qu’organisme de recherche privé, a septactionnaires : le CNES, EADS, EDF, Météo-France, l’ONERA, SAFRAN ainsi que le groupeTOTAL. Géographiquement basé sur le site de la météopole à Toulouse, le CERFACS compteau total 110 employés, dont des physiciens, numériciens, mathématiciens appliqués ou encoredéveloppeurs.

Les différents départements Le CERFACS compte cinq groupes de recherche se focalisantsur différentes thématiques qui se révèlent souvent connexes :

– le groupe “Algorithmes Parallèles” se focalise sur le développement et l’optimisation d’al-gorithmes pour des applications massivement parallèles.

– le groupe “Aviation and Environment” travaille à la réduction de l’impact environnementaldes avions sur l’atmosphère.

– le groupe “Climate Modelling and Global Change” travaille sur des modèles numériquesdestinés à la modélisation du climat et en particulier à l’étude du réchauffement climatique.

– le groupe “Electromagnetism and Control” développe des outils et des méthodes numé-riques afin de modéliser la propagation et la diffraction d’ondes électromagnétiques etacoustiques.

– Le groupe “Computational Fluid Dynamics” développe des codes de calculs ainsi que denouvelles méthodes numériques dans trois domaines majeurs de la mécanique des fluidesnumérique : la combustion, l’aérodynamique externe et les turbomachines. C’est dans cetteéquipe que se passe le stage.

Les moyens disponibles La mécanique des fluides numérique a toujours été très coûteuseen ressources informatiques. En effet, beaucoup d’applications industrielles ont de gros besoinsen puissance de calculs ainsi qu’en capacité de stockage. Ainsi, le CERFACS possède plusieursclusters de calcul afin de répondre aux besoins grandissant en puissance de calcul. Par ordre depuissance de calculs, le CERFACS possède

– IBM Massively Parallel Computer : IBM BlueGene - 11.4 Tflops 3 en crête.– IBM iDataPlex - 7 Tflops en crête.– IBM PowerPC cluster : IBM BladeCenter - 2.2Tflops en crête.

En outre, le CERFACS a la possibilité d’emprunter ou de louer du temps de calcul à des or-ganismes de recherche ou à des groupes industriels partenaires. En particulier, le cluster SGIAltix Jade du CINES, utilisable par les chercheurs du CERFACS, figure à la vingtième 4 placedu TOP500 des supercalculateurs.

3. 1 Flop = 1 opération en virgule flottante par seconde4. place en juin 2009

39

BIBLIOGRAPHIE 40

Annexe B : Soumission à l’ETC 2011Istanbul, version non définitive

41

HIGH-FIDELITY SIMULATION OF THE TURBULENT FLOW INA TRANSONIC AXIAL COMPRESSOR

A. Gomar - N. Gourdain - G. Dufour

CFD Team, 42 avenue Gaspard Coriolis, CERFACS, Toulouse, France, gourdain@cerfacs.fr

ABSTRACTThe present work proposes to use LES in a 3D transonic configuration, the NASA Rotor 37.Three meshes are investigated: a 10 million, a 25 million and a 100 million grid points mesh.The convergence criteria, the choice of the numerical schemes and the determination of thetime-step are investigated to propose a methodology for LES calculations. The time needed tocompute such simulations and comparison with the experimental results are given. Finally, ananalyze of the mesh dependency for LES is assessed.

NOMENCLATURELES, Large Eddy SimulationRANS, Reynolds-Averaged Navier-StokesURANS, Unsteady Reynolds-Averaged Navier-StokesCFD, Computational Fluid DynamicsSGS, Sub-Grid ScaleCPU, Central Processing UnitCFL number, Courant-Friedrich-Levy numberDFT, Discrete Fourier TransformRe, Reynolds number∆x+, ∆y+, ∆z+, mesh spacings in wall unitsfc, Cut-off frequencyNds, Number of data samples

INTRODUCTIONNumerical simulation is now a central tool for engineers, as it is well integrated in the design

process of aerodynamic components. In fact, Reynolds-Averaged Navier-Stokes simulations giveaccurate information on the global performance (pressure ratio and efficiency for a turbomachine,lift coefficient for a wing . . . ), but fail to predict phenomena where turbulence plays a salient role.Indeed, turbulence models associated with RANS simulations are validated on particular test case,and are therefore not universal.

LES resolves turbulent structures by only applying a space filter (Sagaut, 2009) to the Navier-Stokes equations, as opposed to RANS and URANS simulations, where a statistical or time filter isapplied. In fact, LES is based on the idea of resolving the large eddies whilst modeling the small ones.The former characterize most of the energetics structures, that is to say the large-eddies dominate thestructure of the flow, whereas the latter is dissipative and universal (see Pope (2000)). Therefore, LEScan be viewed as a high resolution simulation, which could help understand the physical phenomenaconducted by turbulence.

Since CFD codes need to be validated, blind tests are frequently performed on open test cases, asfor example the NASA Rotor 37 (see Dunham (1998), Suder and Celestina (1994) and Suder (1996)).However discrepancies, concerning the physical reason of the pressure deficit downstream of therotor below 40% span, remains between the RANS results and the experiments. Two explanations

1

have been pointed out: on the one-hand, some believe that the pressure ratio deficit observed nearthe hub in the wake region is due to injection and recirculation while on the other-hand, Hah and co-workers expect that this deficit is due to a corner flow separation (Denton, 1996). In this respect, theflow effects that occur in the Rotor 37, such as vortex shedding, tip-leakage vortex interaction with theshock and boundary layer-shock interaction, limit the predictability of RANS simulations and couldaccount for these discrepancies.LES has been performed on the NASA Rotor 37 configuration by Hah(2009) showing that the results were closer to the experimental data than the RANS ones.

LES calculations have been performed on academic or limited turbomachine configurations suchas: 1. small Reynolds numbers (see Carolus et al. (2006), Eastwood et al. (2009) and Guleren et al.(2010)) 2. configurations where an incompressible assumption was made (see Guleren et al. (2008)and Guleren et al. (2010)) 3. real-life configuration with relatively coarse mesh (see Hah et al. (2008),Black et al. (2005), Hah et al. (2009) and Hah (2009)) as compared to standard LES mesh require-ment (Sagaut and Deck, 2009). These academic simulations demonstrate the ability of LES to betterpredict turbulent flows (see Ref Dufour et al. (2009)), but it appears that the assessment on industrialconfigurations needs to be pursued.

The aim of this study is to develop a methodology for LES computations on industrial turboma-chinery cases regarding the mesh size, the numerical parameters and the convergence criteria. Thecomparison with experimental results will help to assess the benefit of LES calculations on such anindustrial system. The open test case investigated is presented in Sect. 1, the methodology and thenumerical procedure are then presented in Sect. 2. Finally, results on 100 million, 25 million and 10million-grid-point meshes are analyzed to assess the benefit of LES computation.

THE NASA ROTOR 37 TEST CASEThe open test case under investigation is the well-known high-pressure-ratio axial compressor

NASA Rotor 37. Overall characteristics of the nominal operating point is summarized in Fig. 1.

Number of Rotor Blades 36Tip radius at leading edge 252 mmAspect ratio 1.19Hub-tip radius ratio 0.70Tip solidity 1.288Tip clearance height 0.356 mmRotation speed 17188.7 r/minTip speed 454 m/sTotal pressure ratio 2.106Mass flow (corrected) 20.19 kg/sChoked mass flow 20.93 kg/s

Figure 1: Design parameters and cross section of the NASA Rotor 37 (Suder, 1996).

This test case is frequently used as a validation case for CFD codes as it is well described experi-mentally (see Fig. 1):

1. radial distributions of the total pressure ratio, temperature ratio, of the absolute angle and theisentropic efficiency are available at two stations upstream and downstream of the rotor: station1 (z=-4.19 cm) and station 4 (z=10.67cm),

2. pitchwise distributions of the relative mach number are available at three stations: station 2(20% x/c), station 3 (z=4.57cm) and station 4 (z=10.19cm), at 30%, 50%, 70%, 90%, 95% of

2

the spanwise direction, allowing to compare the position of the calculated shock to the experi-mental one,

3. performance parameters are computed using the radial distributions, the pressure ratio beingenergy averaged and the temperature ratio being mass averaged across the annulus, allowing tocompute the adiabatic efficiency.

Despite its use as a validation case, RANS simulations often fail to predict the global and localparameters of the NASA Rotor 37, probably because of the high Reynolds number (Re ∼ 5.106

based on the chord length and the absolute inlet velocity) and the physical phenomena that developin this compressor (shock, shock/tip leakage vortex interaction). In fact, a noteworthy discrepancy isthe total pressure ratio deficit near the hub at design mass flow. This pressure deficit is believed to bedue to injection/recirculation or to a corner flow separation (see Denton (1996)) but no agreement hasbeen found yet. Since corner flow separation stems from an unsteady behavior of the flow field, thisconfiguration seems relevant for assessing the benefit of LES on a complex geometry. Furthermore,this compressor is isolated, i.e. the computational domain is small enough to allow a high density ofmesh cells for given CPU resources.

TOOLS AND NUMERICAL PROCEDUREelsA CFD code PresentationThe results presented in this study are performed with the elsA CFD code developed by ONERA

and CERFACS (see Cambier and Veuillot (2008)). elsA solves the Favre-averaged compressibleNavier-Stokes 3D equations with a cell-centered finite-volume formulation on multi-block structuredmeshes. A backward Euler integration with implicit LU schemes and SSOR correction is used for theintegration of the discrete equations. Temporal discretization uses a standard second order accuratedual time-stepping algorithm with Newton’s sub-iterations. More information about this flow solvercan be found in Ref. (Cambier and Veuillot, 2008) and validation for turbomachinery applications isassessed by Castillon et al. (2002).

Numerical ModelsThe numerical model used in the present study is outlined in the following. For the RANS and the

URANS simulations, a second-order Roe scheme is used for the discretization of the convective fluxes(using a Van Albada limiter) and a k − ω Menter (see Menter (1993)) was employed to estimate theeddy viscosity. For LES, the convective fluxes are discretized using a third order Roe scheme sincedecentered scheme are better for predicting discontinuities like shocks. The SGS model is the Wall-Adapting Local Eddy-Viscosity (WALE) model, which is build to have the right behavior near wallsas opposed to Smagorinsky SGS. All details of this SGS model and its validation can be found inNicoud and Ducros (1999).

Computational GridA 3D computational domain corresponding to a single blade channel is chosen. The geometry

is meshed using Autogrid V5 from Numeca International. Four meshes are generated based on an04H topology: a 2 million-grid-point mesh for RANS computation, a 10 million-grid-point mesh forLES and URANS computation, a 25 and a 100 million-grid-point meshes for computing LES. For allcases, the size of the first mesh cell is set to 3µm to ensure ∆y+ ∼ 1. All quality details of thesemeshes are summarized in Table 1.

In Georgiadis et al. (2009), the recommended quality details for meshing an LES configurationare:

50 < ∆x+ < 150

3

2MRANS 10MLES,URANS 25MLES 100MLES

mean ∆x+ 490 302 169mean ∆y+ 1,8 1.2 1.37 1.43mean ∆z+ 55 62 37

points in the axial direction 209 229 289 485points in the radial direction 105 457 649 1161

points in the azimuthal direction 57 89 105 109spanwise points in tip 29 57 81 117

Table 1: Mesh quality details.

∆y+ < 1

15 < ∆z+ < 40

One can notice that the results for the 100 million-grid-point mesh are in the upper limit of therecommended quality details. This explain roughly why LES is not integrated in industries now andwhy assessments are still needed.

Simulation ProcedureChoice of the Time-StepThe methodology used in this study is to consider a CFL number close to one with a characteristic

length of the size of the boundary layer thickness, and a characteristic velocity assumed to the speedof sound. The idea is that we want the smallest structures, computed with the LES approach, to be ofthe size of the boundary layer (i.e. the time-step does not act as a low pass filter, this function beingdone by the mesh). One definition of the CFL number is:

CFL = (u + a)∆T

∆X⇒ ∆T = CFL

∆X

(u + a)

where u denotes the axial velocity, a the local speed of sound, ∆T the time-step and ∆X a character-istic length of the cell. As mentioned before, we consider the characteristic length to be of the size ofthe boundary layer and the speed of sound for the axial velocity:

∆X ∼ δ ∼ 2.10−4 m, and (u + a) ∼ 2.a ∼ 680 m.s−1.

Finally,∆T ∼ 3.10−7 s

Statistics on the Flow-FieldThe period considered to perform the statistics is the through-flow time (let us recall that the

through-flow time is the convective time that a particle needs to travel all the numerical domain). Onethrough-flow time is computed in 4000 iterations and 100 samples are used to average the flow-field.

Convergence AssessmentOne of the main issue when conducting unsteady flow calculations is to determine when the

computation is statistically converged, so that statistics on the flow field are relevant. For a steadysimulation, the iterative convergence criteria (see Casey and Wintergerste (2000) for instance) is awell-established criteria to stop the computation but is hard to extend to unsteady flow computations.In fact, the difficulty with this type of simulation is that data can be periodic or fully unsteady, yielding

4

to the impossibility to apply the former criteria. A way to solve the problem is to consider the time-average of the data. Although this approach works well with URANS simulations, this is not true withLES computations, since the spectrum of turbulent scales is large. Therefore, the frequency contentof a LES signal might be of prior interest.

The Fast Fourier Transform is an efficient mathematical method to compute the Discrete FourierTransform (DFT). If x(t = n∆T/N) is a discrete signal where n ∈ [0; N ], the kth Fourier coefficientXk is defined as:

Xk =N−1

n=0

x(n)e−i 2πknN

The convergence criterion of Ahmed and Barber (2005) relies on the DFT to evaluate the con-vergence of the ”physical amplitudes”. In fact, when computing the Fourier transform of a sig-nal, a cutoff-frequency corresponding to the spectral resolution fits in with the error contained inthe signal (since the signal is discrete, Fourier transform cannot be resolved for scales smaller thanfc = 1/Nds∆T , where Nds denotes the number of data samples). The criterion of Ahmed and Barber(2005) states that a computation is converged if the amplitude of the physical frequencies of the prob-lem (frequencies that appear during the simulation and that are higher than fc) is very large comparedto the dominant frequency in the cutoff region and if these amplitudes are stable between consecutivetime intervals. When this criteria is satisfied, one can perform statistics on the flow-field. To assessthis convergence criterion, 15 probes were placed in the computational domain at locations of inter-est. The spatial mean of the mass flow rate at outlet has also been extracted to assess this criterionon a conservative and spatially averaged variable. It should be noted that the probes are placed in therelative frame.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−2000 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000

Norm

alize

dam

plitu

de

ofm

ass

flow

outlet

Frequency in Hz

Through-flow 1Through-flow 2Through-flow 3

(a) Zoom near the cutoff-frequency, fc ∼ 120 Hz, of threeconsecutive through-flows. Transitory part.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−10000 −5000 0 5000 10000

Norm

alize

dam

plitu

de

ofm

ass

flow

outlet

Frequency in Hz

Through-flow 35Through-flow 36

(b) Comparison of two consecutive through-flows after140,000 iterations.

Figure 2: Assessment of the convergence criterion.

The results presented in Fig. 2 are Fourier transform of the outlet mass flow signal. In fact, thecriterion has also been assessed on probes signal but these have a relatively chaotic frequency content,preventing the assessment of the criterion on such signals.

Application of the convergence criterion for this industrial configuration raised several issues.As can be seen in Fig. 2(a), in the cutoff region (fc ∼ 120 Hz), the low (unphysical) frequenciesdamp and the larger (physical) ones become predominant between consecutive through-flows. Thisbehavior is seen in all the present LES calculations and occurs in the early time of the calculation:only three through-flows are needed to have the maximum amplitude in the cutoff region at 20%.However, after 35 through-flows iterations, no convergence on the amplitude is found between twoconsecutive through-flow times (see Fig. 2(b)), despite the fact that the maximum amplitude of the

5

frequencies cutoff region are smaller than 5%. This behavior is due to the frequency content of LES.In fact, turbulence is a random process, explaining why no stabilization on the amplitude is seen.

Statistics, on the overall and local parameters, have been performed after 40,000 iterations onthe present LES calculations. The variance computed is: if σ denotes the variance of the statistics,σ ∼ 1,0E-5 implying that the computation is clearly converged in mean.

The criterion of Ahmed and Barber (2005) seems to be unadapted to the physics of a LES calcu-lation. In fact, LES computations contain a large range of frequencies, unlike URANS calculations,preventing any convergence in amplitude of the Fourier transform, whereas the convergence in meanis reached. Indeed, LES Fourier transform can not see their amplitude stabilize since no determinis-tic period is a natural phenomenon. Therefore, for LES simulations, a restriction of the criterion ofAhmed and Barber (2005) might be that the physical amplitudes dominate the spectrum.

RESULTSComparison of the Resources Needed

Processor Number of Iteration CPU Ratio to RANStype processors time (Hour)

RANS2M Intel Nehalem 2.66GHz 1 4,000 12 1URANS10M Intel Nehalem 2.66GHz 32 15,000 2,304 6

LES10M Intel Nehalem 2.66GHz 32 80,000 6,144 16LES100M PowerPC440 700Mhz

&Intel Harpertown 3GHz 512 80,000 ∼ 400,000 33,340

Table 2: Resources needed for the computations

Table 2 summarizes the time needed to simulate an industrial configuration with a LES approach.The time needed to compute the 100 million grid point mesh is really expensive compared to RANSsimulations. As can be seen in table 2, the ratio between a RANS and an accurate LES simulation is33,340.

ValidationThe performance maps (pressure ratio and efficiency) obtained by the LES, URANS and RANS

calculations are given in Fig. 3. One can see that the RANS and URANS calculations are betterpredicting the pressure ratio whilst LES simulations are in good agreement with adiabatic efficiencyexperimental data. Overall, the results are not as good as the one obtained by Hah (2009). Let usrecall that his calculations were made on a 14 million-grid-point mesh and that the design and thestall calculations fit perfectly the experimental data, whilst his blockage calculation fit the RANSdata. The choke mass flow rate of Hah (2009) is 20, 91 kg.s-1, our choke mass flow rate is (sincethis is the only operating point computed with the LES approach) to be 20, 95 kg.s-1 for the 10 and100 million grid-point mesh and 20, 96 kg.s-1 for the 25 million grid-point mesh (let us recall that theexperimental choke mass flow rate is 20, 93 kg.s-1). Moreover, the maximum of efficiency is betterwith the LES approach compared to the RANS approach.

Local flow characteristicsFig. 4 presents computational results at blockage (which is the operating point computed with the

LES approach). Unfortunately, local experimental results are not available for this operating point.However, following the comparison performed by Hah (2009), the nominal experimental data areplotted on the graph to assess the present results. Concerning the radial distribution of the pressure

6

1.9

2

2.1

0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02

Tota

lpre

ssure

ratio,P

4/P

ref

Corrected mass flow

Experimental data

RANS

URANS10M

LES10M

LES25M

LES100M

(a) Total pressure ratio comparison.

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02

Adia

batic

effici

ency

Corrected mass flow

(b) Adiabatic efficiency comparison.

Figure 3: Performance map of the NASA Rotor 37.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25

%sp

an

from

Hub

Total pressure ratio, P4/Pref

Experimental dataRANS

URANSLES10MLES25M

LES100M

(a)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

%sp

an

from

Hub

Adiabatic efficiency

(b)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.3 1.31 1.32

%sp

an

from

Hub

Total temperature ratio, T4/Tref

(c)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

%sp

an

from

Hub

Absolute angle

(d)

Figure 4: Radial distributions downstream of the NASA Rotor 37.

ratio, the shape of the LES curve is significantly influenced by mesh density. Furthermore, the pres-sure deficit, which is of paramount interest, is not found in any of the LES calculations. Only theRANS simulation reveals a small pressure deficit. Hah (2009) shows that a corner stall develops inhis LES calculations at design and blockage mass flow rate. In Figure 5, friction lines for the 10million-grid-point mesh LES is shown, revealing no corner stall but a separation at ∼ 30% x/c. Evenif the results of the present study are at blockage mass flow rate, they are in contradiction with theones given by Hah (2009). Furthermore, Shabbir et al. (1997) studied the effect of a hub leakage flowon the local distribution of the pressure ratio for the NASA Rotor 37 and the NASA Rotor 35, andtheir results indicated that the pressure deficit near the hub is due to a leakage flow. Moreover, their

7

results highlight the fact that the ratio of hub leakage mass flow over the total mass flow can be set tofit the experimental data quite perfectly. In fact, this parameter seems to be a major one and shouldbe set properly, without trying to match the experimental data.

Figure 5: Friction line on the blade of the NASA Rotor 37 at blockage, LES 10 million-grid mesh-point.

The radial distributions of efficiency of the LES calculations are in good agreement with theexperimental data, even though the pressure and the temperature ratios are badly predicted. Thistendency is visible for all the LES calculations. Since the computations are all at blockage mass flowrate, it seems obvious that the absolute angle is not in agreement with experimental data. One of themajor observation that can be done on the radial distributions is that the phenomenology observedin the three LES calculations is completely different than the RANS and URANS calculations and itseems to have a grid density dependency for these parameters.

Mesh dependencyThe comparison shown in Fig. 6 highlights the mesh dependency that is inherent to a LES simu-

lation. The results presented are at blockage mass flow. Indeed, one can see that in the NASA Rotor37, there is an oblique shock (1), near the leading edge of the rotor, which interacts with the boundarylayer inducing a separation (2). This separation provokes a secondary shock by reducing the passagesection. The flow field near the trailing edge develops Von Karman alleys. The vortices are betterresolved with the 100 million grid point mesh. Therefore, the structures captured with a finner meshare smaller and gives accurate information on the flow field phenomenology.

One can notice that the shocks are thinner with the 100 million grid point mesh than with the 10million grid point mesh. In fact, this results is emphasized when regarding the secondary shock. Amajor discrepancy is the interaction of the secondary shock with the pressure side, which triggersa turbulent transition for the 100 million grid point mesh (see (4) in Fig. 6(b)) but not with the 10million grid point mesh (see Fig. 6(a)).

CONCLUSIONSThe methodology presented in this study helps choosing the time-step, assessing the quality of the

different mesh and stopping the calculation at the adequate time. The convergence assessment showsthat the criterion of Ahmed and Barber (2005) should be restricted to the evacuation of unphysical

8

(a) 10 million grid-points mesh (b) 100 million grid-points mesh

Figure 6: LES computations comparison. Contour of density gradient at blockage conditions on ablade to blade plane at 50 % of the span.

frequencies.LES helps investigating complex flow fields. For the particular test case NASA Rotor 37, the

results seem to indicate that no corner stall is represented. Moreover, LES computations are inherentlymesh dependent, and the flow phenomena are better investigated with the finner mesh.

ACKNOWLEDGMENTThe authors want to thank the Centre Informatique National de l’Enseignement Superieur (CINES,

Montpellier, FRANCE, project name fac6074) for the computational resources made available andCSG for the intern resources made availabe at CERFACS.

ReferencesM. H. Ahmed and T. J. Barber. Fast Fourier Transform Convergence Criterion for Numerical Simu-

lations of Periodic Fluid Flows. AIAA Journal, 43(5):1042, May 2005.

D. Black, K. Meredith, and C. Smith. LES Simulations Predicting Heat Transfer and Wall Tempera-tures on Turbine Inlet Guide Vanes at High Fuel-Air Ratios. ISABE, 2005.

L. Cambier and J-P. Veuillot. Status of the elsA CFD Software for Flow Simulation and Multidisci-plinary Applications. AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 2008.

T. Carolus, M. Schneider, and H. Reese. Axial Flow Fan Broad-Band Noise and Prediction. Journalof Sound and Vibration, 300:50–70, July 2006.

M. Casey and T. Wintergerste. Best Practice Guidelines. ERCOFTAC Special Interest Group on”Quality and Trust in industrial CFD”, 2000.

L. Castillon, G. Billonnet, and S. Plot. New Abilities of the Multiapplication elsA Software in theField of Turbomachinery Flow Computation. Proceedings of ASME FEDSM’02, July 2002.

J.D. Denton. Lessons from Rotor 37. 3rd International Symposium on Aerothermodynamics ofInternal Flows, 1996.

9

G. Dufour, N. Gourdain, F. Duchaine, O. Vermorel, L. Gicquel, J.-F. Boussuge, and T. Poinsot. Nu-merical Investigations in Turbomachinery: A State of the Art. Large Eddy Simulation Applications.In VKI Lecture Series on Numerical Investigations in Turbomachinery: The state-of-the-art, Brus-sels, Belgium, September 2009. VKI.

J. Dunham. CFD Validation for Propulsion System Components. AGARD Advisory Report, (355),1998.

S. Eastwood, P. Tucker, H. Xia, and C. Klostermeier. Developing Large Eddy Simulation for Tur-bomachinery Applications. Physical Transactions of the Royal Society A, 367(1899):2999–3013,July 2009.

N. J. Georgiadis, D. P. Rizzeta, and C. Fureby. Large Eddy Simulation: Current Capabilities, Recom-mended Practices, and Future Research. Aerospace Sciences Meeting, Orlando, Florida, U.S.A.,January 2009. NASA.

K.M. Guleren, A. Turan, and A. Pinarbasi. Large-Eddy Simulation of the Flow in a Low-SpeedCentrifugal Compressor. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 56:1271–1280,2008.

K.M. Guleren, I. Afgan, and A. Turan. Predictions of Turbulent Flow for the Impeller of a NASALow-Speed Centrifugal Compressor. Journal of Turbomachinery, 132, April 2010.

C. Hah. Large Eddy Simulation Of Transonic Flow Field in NASA Rotor 37. Technical memorandum,NASA, 2009.

C. Hah, J. Bergner, and H-P. Schiffer. Tip Clearance Vortex Oscillation, Vortex Shedding and RotatingInstabilities in an Axial Transonic Compressor Rotor. ASME, June 2008.

C. Hah, M. Voges, M. Mueller, and H-P. Schiffer. Investigation of Unsteady Flow Behavior in Tran-sonic Compressor Rotors with LES and PIV Measurements. ISABE, Februar 2009.

F. R. Menter. Zonal Two Equation (k − ω) Turbulence Models for Aerodynamics Flows. AIAA, 24thFluid Dynamics Conference, 1993.

F. Nicoud and F. Ducros. Subgrid-Scale Stress Modelling Based on the Square of the Velocity Gradi-ent Tensor. Flow, Turbulence and Combustion, April 1999.

S.B. Pope. Turbulent Flows. Cambridge, 2000.

P. Sagaut. LES Modelling. Paris 6, France, July 2009.

P. Sagaut and S. Deck. Large Eddy Simulation for Aerodynamics: Status and Perspectives. Philo-sophical Transactions of the Royal Society, 2009.

A. Shabbir, M. L. Celestina, J. J. Adamczyck, and A. J. Strazisar. The Effect of Hub Leakage Flowon Two High Speed Axial Flow Compressor Rotors. ASME, 1997.

K. L. Suder. Experimental Investigation of the Flow Field in a Transonic, Axial Flow Compressorwith Respect to the Development of Blockage and Loss. Technical Memorandum 107310, NASA,Cleveland, Ohio, U.S.A., October 1996.

K. L. Suder and M. L. Celestina. Experimental and Computational Investigation of the Tip ClearanceFlow in a Transonic Axial Compressor Rotor. June 1994.

10

BIBLIOGRAPHIE 52