Sommaire - e-monsite

Introduction L’équipe des formateurs T³ a conçu ce document dans le but de vous aider à utiliser et manipuler les calculatrices graphiques numériques de Texas Instruments sur les grands thèmes des programmes de BEP et Bac Pro. Les programmes et référentiels des formations en lycée professionnel insistent particulièrement sur le développement des lectures et recherches graphiques pour explorer de nombreux concepts scientifiques, tant dans l’environnement industriel que tertiaire. Le développement des nouvelles technologies ne peut ignorer l’importance d’outils qui donnent aux élèves la possibilité de chercher, d’expérimenter, de découvrir et donc de construire leurs connaissances autrement que dans l’imitation des actions de leur professeur. Ce sont quelques uns de ces aspects qui nous ont conduit à élaborer ce cahier, en souhaitant rester suffisamment généraliste pour répondre au maximum à la diversité des formations de LP. Ainsi l’ensemble des activités proposées doit permettre aux élèves et professeurs d’utiliser les calculatrices graphiques comme un outil privilégié d’investigations et de découvertes scientifiques ou encore de traitement de données expérimentales en sciences physiques.

Sommaire 1. Premières approches…………………………………………………………….… p 2

p 4 p 6 p 8 p 10 p 15 p 18 p 22 p 26 p 34

2. Les calculs de base……………………………………………………………...... 3. Exploration graphique…………………………………………………………….. 4. Gestion de listes………………………………………………………………....... 5. Résolution d’équations et systèmes d’équations………………………………….. 6. Etude d’une fonction………………………………………………………............ 7. Les suites…………………………………………………………………………. 8. Etude d’une série de données……………………………………………………... 9. Spécialités de l’Industrie et de l’Agriculture……………………………………… 10. Spécialités des Services……………………………………………………………

© 2005 Texas Instruments / T3 Photocopie autorisée

1

1. PREMIÈRES APPROCHES La Découverte de la TI-82 STATS.FR

Les Essentiels

La TI-82 Stats.fr reprend toutes les fonctions de la TI-83. Autant au niveau Statistique qu’au niveau graphique. Elle possède également un module de calculs financiers.

Sa capacité mémoire est de 32 Ko (dont 27 Ko de disponibles pour l’utilisateur). Son écran, très contrasté et très lisible, possède 8 lignes de 16 caractères.

Soit 96 × 64 pixels. Elle possède une prise permettant une liaison « Calculatrice – Calculatrice » (le câble

est fourni) pour des échanges de données. Il est également possible de la relier à un Mac ou à un PC via un câble « TI-Graph-Link » et les logiciels « TI-Graph-Link » ou « TI-Connect ».

La liaison avec des interfaces de type CBL/CBL2 ou CBR est possible en installant les programmes « ChimBio » ou « Physique » en software. Zone 1 Touches réservées à la partie graphique de la machine. Zone 2 Touches permettant d’utiliser les fonctions « seconde » ou « alphabétique » des touches. Zone 3 Touches numériques qui permettent d’entrer des nombres. Attention : on remarquera que le séparateur décimal est un point « . » et qu’il existe un signe négatif pour les nombres « (–) » à ne pas confondre avec le « – » de soustraction.

Zone 4 Touches de déplacement utiles dans les menus pour un déplacement vertical. Elles sont également utiles dans la partie graphique pour un déplacement dans la fenêtre ou pour passer d’une courbe à l’autre. Zone 5 Touches d’opérations. Attention : le signe « – » placé ici ne s’utilise que pour la soustraction. Zone restante Cette zone correspond aux différentes fonctions de la machine. C’est la partie scientifique.

© 2007 Texas Instruments / T3 Photocopie autorisée 2

Touche mz Zone 6 Touches permettant d’obtenir des menus déroulant. Aussi bien en fonction 1

Touche permettant de paramétrer la

calculatrice (pour sa fonction première) et de sortir d’une boîte de dialogue ou d’un menu pour revenir à l’écran de calcul grâce à sa fonction y 5.

re que 2nd.

Zone 7 Dans cette zone nous

regarderons les fonctions 2

nd de notre partie

numérique. Nous trouvons les six listes par défaut de la machine, les variables pour les suites numériques ainsi que le catalogue de toutes les fonctions de la machine (c’est très utile lorsqu’on ne sait pas où trouver une fonction peu usitée).

Touche … Touche permettant d’aller dans les fonctions statistiques Stats

ou dans les listes de données en fonction 2nde [listes].

Touche [mém] Cette touche permet de vérifier la place restante dans la machine, de gérer la mémoire (effacer des programmes, des listes, des données, …) ou d’effectuer un « Efface ».

Touche v Touche [entrer] Cette touche permet de

stocker des données (dans des listes, des variables ou des chaînes de caractères).

Cette touche permet de récupérer la ligne de calcul précédente. Ceci évite de devoir retaper une longue séquence de touches. Cette touche donne aussi accès au « resol » de la machine.

Sa fonction 2nde

[rappel] permet de récupérer une « Variable », « Liste », « Image », « Chaine » ou tout autre donnée sauvegardée (ou stockée).


2. LES CALCULS DE BASE

Les Essentiels : Calculs numériques

1) Étudions l’affichage des nombres Calculons le quotient de 2 par 3. L’affichage peut se faire avec un nombre fixe de décimales, ici 2. Les décimales non affichées ne sont pas perdues. Le retour au mode Float permet de les retrouver. 2) Calculons avec des fractions a) Transformons 9,235 en une fraction. La fraction affichée est irréductible. b) Simplifions la fraction :

90306

.

c) Donnons l’écriture

décimale de : 5

17.

d) Calculs mixtes Donnons sous forme fractionnaire le résultat de :

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−×

871

52

31

173

.

z

y 5 Pour revenir à l’écran de calcul.

Á¥ Â Í

z

y 5 Í

® Ë Á Â · Í Í

Â Ê ¸ ¥ ® Ê

Í Í

À ¬ ¥ ·

† Í Í

Â ¥ À ¬ ¯ £

À ¥ Â ¹ Á ¥

· Ã À ¥ £ ¬

¥ − ¤ ¤

Í Í

Nombre de chiffres affichés : z Fractions :

Puissances : y D ¢ › Notation scientifique, ingénieur : z


3) Calculons avec des puissances : 35

2– 3

On peut obtenir l’écriture fractionnaire du dernier résultat. Travaillons avec des puissances de 10. Calculons : 5 × 1012 5 × 106 5 × 10– 3 × 8 × 109 Tant que la calculatrice peut afficher le résultat du calcul elle abandonne l’écriture utilisant les puissances de 10. 4) Calculons en mode scientifique : 4 587,695 0,01392 Tous les résultats, même de calculs très simples, seront donnés sous forme scientifique : 2 × 3 457,78 × 10-5

5) Calculons en mode ingénieur : 345678,2 5,47 × 1011 × 32 × 10– 5

Les exposants seront toujours multiples de 3. On peut revenir à l’écriture scientifique ou à la notation normale en changeant le mode.

Â › · Í

Á › Ì Â Í

Í Í

· y D À Á

Í

· y D ¸

Í

· y D k Â

¯ − y D ®

z

¶ · − ¬ ¢ ¸

® · Í

Ê Ë Ê À Â ®

Á Í

Á ¯ Â Í

¶ · ¬ Ë ¬ −

y D k ·

Í

Â ¶ · ¸ ¬ −

Ë Á Í

· Ë ¶ ¬ y D

À ¯ Â Á y

D k ·


3. EXPLORATION GRAPHIQUE

Les Essentiels

Savoir représenter une fonction : choisir la fenêtre : p Utiliser les zooms : q Savoir faire des résolutions graphiques sur un intervalle : équations, inéquations, recherche d’extremums.

Voici un exemple traité à partir d’une partie du sujet de Baccalauréat Professionnel Maintenance des matériels (A, B et C), Session 2004. Partie B : Modélisation mathématique Soit f la fonction définie pour tout x de l’intervalle [2 ; 8] par :

f(x) = 4 x3 − 120 x2 + 900 x.

1 ) Tracer dans le plan rapporté à un repère (Ox, Oy) :

a) la courbe Cf représentative de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 8] ;

b) la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x = 2.

2 ) Résoudre l’équation : f(x) = 0 pour x appartenant à l’intervalle [2 ; 8].

3 ) Déterminer les coordonnées de l’extremum de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 8].

1) Entrons la fonction. On règle la fenêtre pour les abscisses. Pour les ordonnées, il faut regarder dans la table de valeurs le maximum et le minimum de la fonction sur l’intervalle [2 ; 8]. Mais il est plus rapide d’utiliser le ZMinMax pour ajuster automatiquement les ordonnées.

o

p

q } Í


Pour obtenir les axes du repères, on change la fenêtre. 2) Traçons la tangente à la courbe au point d’abscisse 2 Il faut utiliser le menu [dessin]. La TI-82 STATS.fr donne en plus l’équation de la tangente. 3) Résolution de l’équation f(x) = 0 Le graphique montre clairement que l’équation f(x) = 0 n’a pas de solution sur l’intervalle [2 ; 8]. On vérifie avec la TI-82 STATS.fr. On utilise le menu [calculs]. On choisit l’intervalle borne inférieure et borne supérieure. TI-82 STATS.fr confirme l’absence de solution sur l’intervalle [2 ; 8]. Par la même méthode on détermine le maximum de la fonction sur l’intervalle [2 ; 8].

p

y

· Tangente £ Á Ligne £ Í

y r Á zéro Í

− Í

Í

y r

¶ Í

�


4. GESTION DE LISTES

1) Qu’est-ce qu’une liste ? C’est un tableau numérique à une colonne. Il existe dans la calculatrice 6 listes nommées L1, L2,…,L6. On peut créer ses propres listes en les nommant avec un nom d’au plus 5 caractères alphanumériques.

Les Essentiels

Éditer une liste : … 1 :Edite Effacer le contenu d’une liste : … 4 : EffListe

Pour entrer dans le menu liste : …

1 :Edite

2) Comment remplir une liste ? On place le curseur sur le premier élément. On écrit la valeur. On valide. La valeur s’inscrit dans la colonne. Le curseur descend d’un cran. On écrit la deuxième valeur. On valide. Pour insérer un élément, (par exemple le nombre 17 entre les nombres 15 et 19 placer le curseur sur l’élément suivant.

À Á Í

À Â Í


Taper : y 6 Un 0 s’inscrit dans la colonne. On écrit la valeur à insérer. En validant elle s’inscrit dans la colonne. Pour effacer une valeur on utilise la touche : {

y6 y6

3) Comment créer une liste à partir d’autres listes ? On place le curseur sur le nom de la liste à créer. En validant, le curseur descend en bas à gauche. On écrit la relation de la liste avec les autres listes. En validant cette expression les valeurs calculées s’affichent automatiquement. Si on écrit la relation entre guillemets la nouvelle liste dépendra des autres listes. La calculatrice affiche un cadenas à côté du nom de la liste.

y d Ã y e Í

t ã y d Ã y e t ã Í


En modifiant un des éléments des listes apparaissant dans la relation, l’élément résultant de la liste est automatiquement modifié. 4) Comment effacer le contenu d’une liste ? Exemple : EffListe L1, L2.

…

4 : EffListe


5. RESOLUTIONS D’EQUATIONS &

SYSTÈMES D’EQUATIONS 5.1 Résolutions d’équations : Méthode numérique

Soit à résoudre l’équation suivante : x + 27

4x =

1) Utilisons la fonction « résol » La calculatrice étant allumée avec l’écran de calcul affiché, aller chercher la fonction résol dans le catalogue des fonctions de la machine. 2) Complétons les arguments de la fonction résol La fonction résol demande trois arguments au minimum : – l’expression, qui doit être égale à zéro (on transforme l’équation en l’expression :

x + 27

4x = ) ;

– la lettre de l’inconnue (ici x) ; – une valeur numérique1 (ici 0).

y [catalog]

r † ...†

£ ¯ Ã ¯ ¥ ¶ ¹

¬ ¥ Á Ë − ¯ Ë Ê ¤ Í

Les Essentiels : Résolution numérique d’une équation à une inconnue

Utilisation de la fonction résol : y [catalog] r † ...†

1 La valeur numérique attendue est une estimation de la solution cherchée. Cela peut dans certains cas accélérer la vitesse de calcul. Si on n’a aucun ordre d’idée concernant cette solution, on peut indiquer une valeur numérique quelconque.


Rechercher les zéros de la fonction définie sur R+ par y = 4ln(x) – x

3) Fonction « résol » avec un intervalle de recherche L’étude des variations a permis de montrer que 4 ln(x) – x s’annule pour x1 compris entre 0 et 4 et pour x2 compris entre 4 et 10. On calcule successivement une valeur approchée de x1 et de x2.

Noter la syntaxe : L’intervalle de recherche est écrit entre accolades {0,4}.

\



SYSTÈMES D’EQUATIONS 5.2 Résolutions d’équations : Méthode graphique

Résoudre l’équation : x2 – x – 1 = 0

1) Définir une fonction Définir une des fonctions ο par x2 – x – 1 (si vous avez défini des fonctions précédemment, il peut être nécessaire de les supprimer). 2) Obtenir le tracé Basculer dans l’écran graphique, régler éventuellement le cadrage (6 donne le cadrage standard). 3) Chercher la solution négative L’équation proposée a 2 solutions. Pour chercher la solution voulue, on utilise la commande zéro du menu / On entrera successivement les bornes de l’intervalle de travail (borneinf, bornesup) puis une valeur numérique estimée (Valeur Init : on peut se contenter de valider par Í). 4) Chercher la solution positive On utilise la même méthode en choisissant comme intervalle de recherche [1 ; 3] par exemple.

o „ ¡ ¹ „ ¹ À Í

s q ¸

y / zéro

| .. | Í

~ .. ~ Í

Í

Les Essentiels : Résolution graphique d’une équation à une inconnue

Représenter la fonction correspondant à l’expression : o puis s Utiliser les fonctions de calcul de l’écran graphique : y / zéro



SYSTÈMES D’ÉQUATIONS 5.3 Systèmes d’équations : Méthode numérique

Résoudre le système : ⎩⎨⎧

=+−=−

14432

yxyx

1) Entrer les coefficients du système dans 2 matrices [A] et [B]

Éditer la matrice [A] à 2 lignes et 2 colonnes et lui affecter les

coefficients du

système.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−4132

Faire de même pour la matrice [B] à 2 lignes et une colonne qui

sera définie par : . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡14

2) Effectuer le produit [A]-1 × [B] Se replacer dans l’écran de calcul. Effectuer le produit de matrices suivant : [A]-1 × [B]. 3) Obtenir un résultat rationnel Si les coefficients sont rationnels, le résultat l’est également. On peut donc demander son affichage sous forme d’une fraction :

56et5

19 == yx .

~ ~ À

~ ~ Á … y 5

À — ¯ Á Í

À Í

Les Essentiels : Résolution numérique d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues

Utilisation de la fonction matrice :



SYSTÈMES D’ÉQUATIONS 5.4 Systèmes d’équations : Méthode graphique

Les Essentiels : Résolution graphique d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, recherche de l’intersection de deux courbes

Utilisation de l’écran graphique : s et menu /

Trouver les coordonnées du point d’intersection des droites D1 et D2 ⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

−=

5:

132:

2

1

xyD

xyD

1) Entrons les équations des droites dans l’éditeur Si vous avez défini des fonctions précédemment, il peut être nécessaire de les supprimer. 2) Affichons l’écran graphique Régler éventuellement le cadrage de la fenêtre (q ¸ pour un cadrage standard). 3) Utilisation du menu [CALC] pour rechercher l’intersection Ouvrir le menu /. et choisir 5 : intersect. On désigne successivement les deux courbes et une valeur numérique estimée (valeur estimée, particulièrement utile pour des courbes ayant plusieurs points d’intersection). Il suffit ici de valider 3 fois pour accepter les valeurs par défaut. Remarque : Cette méthode peut être utilisée pour rechercher l’intersection de deux courbes quelconques, ici un logarithme et une parabole.

o Á ¥ Â „ j À Í

Ì „ Ã Â Í s

y / ·

Í Í Í


6. ÉTUDE D’UNE FONCTION

Étude de la fonction définie par f(x) = x3 – x² – 2x + 2 ; résolution graphique de l'équation f(x) = 0

1) Configurons la calculatrice Il s’agit de régler la calculatrice en mode Fonction (Fct) et points reliés (Relié) conformément à l’écran ci-contre. 2) Entrons la fonction Il faut saisir l'expression de f(x). 3) Procédons au calcul de quelques valeurs de f(x) Définissons les paramètres de la table. Utilisons pour lire quelques valeurs : nous observons en particulier que f(1) = 0, que f(0) = 2. À l’aide de la table de valeurs, résolvons le problème : « trouver un encadrement de largeur 0,1 de la solution négative à l'équation f(x) = 0 ». (L'écran précédent montre qu'il existe une solution entre – 1,5 et – 1).

z Valider chaque

choix par Í

o „ › Â

j „ ¡ j Á „ Ã Á

y -

y 0

y -

Les Essentiels : Fonction numérique à variable réelle définie par y= f(x).

Calcul des valeurs de f(x) pour x donné : o y - y 0 y /

Représentation graphique : p s r q


La lecture de ce tableau permet d'affirmer qu'il existe une solution dans l’intervalle] – 1,5 ; –1,4[. Calcul direct de f(x) pour une valeur quelconque de x, par exemple : f(– 1,45), f(– 1,4), f(– 1,41) pour trouver un encadrement plus précis de la solution au problème précédent. Remarque : le premier calcul fait, il suffit d'utiliser y Í pour rappeler l'expression et changer la valeur de x. 4) Représentons graphiquement la fonction Définissons une fenêtre d’affichage adéquate pour la fonction f, pour x allant de – 3 à 3. Visualisons la représentation graphique de la fonction f. Remarque : r et s donnent la même figure ; r présente l'avantage d'afficher la fonction et les coordonnées du point courant. L’étude graphique précédente permet d’envisager une étude intéressante aux alentours de x = 1 ; il est possible, en particulier, de se demander s'il existe des valeurs positives de x rendant f(x) négatif. Nous pouvons donc conclure que f(x) prend des valeurs négatives, même lorsque x est positif. 5) Résolvons l'équation f(x) = 0 L’observation du graphique précédent permet de conjecturer que l’équation f(x) = 0 admet deux solutions positives dont les valeurs approchées peuvent être obtenues en utilisant l’option zéro du menu /.

puis y 0

y 5 pour revenir à l’écran

initial, puis :

~ À Í

£ Ì À Ë ¶ · ¤ Í

p

r

~ jusque vers x = 1 (une quinzaine de

fois) puis

q Á Í r

y / Á puis ~…….~


Conclusion : f(x) = 0 admet deux solutions positives dont les valeurs approchées sont 1 et 1,414. Remarque : il est facile de vérifier qu’effectivement 1 est solution. La deuxième solution semble être √ 2; il

est possible de le vérifier :y / 1

y C ¤ y y C Á ¤ affiche 0. Nous venons donc de trouver deux solutions à l’équation f(x) = 0. Le premier graphique nous avait montré qu’il existait une autre solution, négative. Pour l’obtenir avec la même méthode il nous faut revenir à une fenêtre d’affichage plus grande que la dernière ; nous allons pour cela utiliser l’option 3 (Zoom -) du menu q Il ne reste plus alors qu’à déterminer la troisième solution : y / Á avec un intervalle correct donne une valeur approchée qui permet de penser à – √ 2 ce qu’il est facile de vérifier par y / À En conclusion, l’équation f(x) = 0 a trois solutions : 1, √ 2 et – √ 2 ; ce qu’il reste à vérifier en développant (x – 1)(x² – 2).

y / Á puis ~…….~

q Â Í et r

suivi de | (autant de fois que

nécessaire).

y / Á


7. LES SUITES 7.1 Suites arithmétiques

Les Essentiels : Suite définie par son premier terme et sa raison

Calcul du terme de rang n : o „ y - y 0 Représentation graphique des termes : p s r Calcul de la somme des n premiers termes : y 9

Étude de la suite définie par u1 = – 15 et un = un –1 + 4

1) Configurons la calculatrice Il s’agit de régler la calculatrice en mode Suite conformément à l’écran ci-contre. 2) Entrons la suite Il faut saisir la formule de récurrence et le premier terme définissant la suite dans l’éditeur de fonction. u s’écrit avec la touche : n s’écrit avec la touche : 3) Procédons au calcul des valeurs de u0, u1,..., unDéfinissons les paramètres de la table. À l’aide de la table de valeurs, résolvons le problème : « déterminer le plus petit rang n tel que un > 25 ». On lit n = 12. Lecture directe de un pour une valeur quelconque de n, par exemple u100, u457.

z Valider chaque choix

Par Í

o

y õ „

y -

y 0

y 5 pour revenir à l’écran

initial

y ’ £ À Ê Ê ¤

y ’ £ ¶ · ¬ ¤


4) Représentons graphiquement la suite Définissons une fenêtre d’affichage adéquate pour la suite (un) pour n allant de 1 à 10. Visualisons la représentation graphique de la suite : un = un – 1 + 4. Visualisons les valeurs successives des termes de cette suite. 5) Calculons la somme des termes de la suite Soit à calculer : S10 = u1 + u2 + …+ u10. On crée dans L1 la liste des entiers naturels de 1 à 10.

Dans L2 on crée u(L1) pour calculer les 10 premiers termes de la suite. On calcule dans L3 à chaque fois la somme cumulée des termes de la liste L2. On vérifie que pour n = 10 la somme demandée est S10 = 30.

p Les paramètres à

intégrer : (1, 10, 1, 1, 0, 10, 1, – 15, 21, 4).

s

r

Utiliser les flèches droite – gauche du pavé

directionnel.

… À Se positionner sur L1

Í

y 9 ~ ·

y ’ £ y ¤ d

Í

y 9 ~ ¸ y e ¤

| | t † t †


7. LES SUITES 7.2 Suites géométriques

Les Essentiels : Suite définie par son premier terme et sa raison

Calcul du terme de rang n : o „ y - y 0 Représentation graphique des termes : p s r Suite définie par le terme général : y 9 Calcul de la somme des n premiers termes : y 9

Étude de la suite définie par u1 = 3 et un = 2 un – 1

1) Configurons la calculatrice et entrons la suite Le réglage de la calculatrice et la saisie de la formule de récurrence se font comme pour les suites arithmétiques. 2) Établissons la table Le calcul des valeurs successives de u1, u2, …un se fait comme pour les suites arithmétiques. À l’aide de la table de valeurs, résolvons le problème : « déterminer le plus petit rang n tel que un > 100 ». On lit n = 7.

3) Représentons graphiquement la suite Définissons une fenêtre d’affichage adéquate pour la suite (un) pour n allant de 1 à 10.

z Valider chaque choix par

Í o y ’ „

y -

y 0

y 5 pour revenir à l’écran initial.

p Les paramètres à

intégrer sont donnés par les écrans.


Visualisons la représentation graphique de la suite un = 2 un - 1 Visualisons les valeurs successives des termes de cette suite. À l’aide d’un écran partagé verticalement, on visualise simultanément la table de valeurs et la représentation graphique. Le mode TRACE permet de déplacer le curseur sur la représentation et sur la table. À l’aide d’un écran partagé horizontalement, on visualise la représentation graphique et on a la possibilité de calculer une valeur particulière dans la partie « écran de calcul ». 4) Calculons la somme des termes de la suite Soit à calculer : S10 = u1 + u2 + …+u10 On crée dans L1 la liste des entiers naturels de 1 à 10 puis on procède comme expliqué dans la fiche « Suites arithmétiques ». 5) Utilisons la formule générale : u1 qn – 1. Dans L2 on crée u1qL1–1 pour calculer les 10 premiers termes de la suite. On calcule dans L3 à chaque fois la somme cumulée des termes de la liste L2. On vérifie que la somme S10 demandée est 3069.

s r

Utiliser les flèches droite – gauche du pavé

directionnel.

z s r

z s r

… À Se positionner sur L1

Í y N µ et descendre pour

obtenir suite(

Â ¯ Á › £ y d ¹ À ¤ Í

y 9 ~ ¸ Í

y e Í


8. ÉTUDE D’UNE SÉRIE DE DONNÉES 8.1 Série statistique à une variable

Les Essentiels : Calculs des paramètres d’une série statistique et représentations graphiques

Saisie des données : … Représentation graphique de la série : y , p q s

Calculs des paramètres : … y 9

Les résultats d’une enquête concernant l’âge des salariés d’une entreprise a fourni les résultats suivants.

Âge Effectif [ 20 ; 25[ [ 25 ; 30[ [ 30 ; 35[ [ 35 ; 40[ [ 40 ; 45[ [ 45 ; 50[ [ 50 ; 55[

12 18 28 22 33 25 22

1°) On veut représenter cette série à l’aide d’un histogramme. 2°) On demande de calculer l’âge moyen, l’âge médian des salariés. 3°) On veut enfin l’écart type des âges des salariés de l’entreprise.

Préliminaire

Si on a déjà utilisé le tableau statistique il peut être nécessaire de « nettoyer » les listes. Soit toutes les listes, soit certaines listes seulement. 1) Entrer dans le tableau statistiques

y L ¶ Ou

… ¶ suivi des noms des listes

à nettoyer.

y d ¢ y e

… À ou

… Í


2) Entrer les données Il faut entrer les centres des intervalles des âges dans la liste L1 et les effectifs dans la liste L2. 3) Histogramme Pour représenter la série Avec un histogramme il faut tout d’abord : Configurer le graphique statistiques. Régler la fenêtre. Afficher le graphique (écran de gauche). On peut ensuite parcourir l’histogramme (écran de droite). 3) Calcul des paramètres Pour afficher la moyenne, la médiane, et l’écart type de cette série. est la moyenne σx est l’écart type Med est la médiane.

Á Á Ë · Í jusqu’à · Á Ë · Í puis ~ À Á jusqu’à Á Á

y - Í Valider les choix de l’écran de droite ci-contre.

p Remarque : Xscl représente l’amplitude des classes.

s r

et

~

… ~ Pour avoir le menu

[CALC]

Í ou À

Puis

y d ¢ y e

L1 contenant les valeurs et L2 les effectifs.


8. ÉTUDE D’UNE SÉRIE DE DONNÉES 8.2 Série statistique à deux variables – Ajustement affine

Les Essentiels : Représentation d’un nuage de points et ajustement affine d’une série statistique double

Saisie des données : … Représentation graphique de la série :y , p q s

Ajustement affine : o s

On a relevé dans un snack l’évolution du nombre de clients suivant le montant de l’addition (en euros). L’enquête a fourni les résultats suivants. Prix en € 2,5 5 5,5 6 6,5 8,5 9 10 Nombre de clients 24 22 20 19 18 16 14 13 1°) On veut représenter cette série à l’aide d’un nuage de points. 2°) On veut calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. 3°) On veut calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 (des quatre premiers points et des quatre derniers points). 4°) On veut déterminer une équation de la droite (G1 G2).

1) Entrer dans le tableau statistiques

Nettoyer si nécessaire les listes auparavant (voir au chapitre 4). 2) Entrer les données Les montants des additions dans la liste L1 et le nombre de clients dans la liste L2. 3) Nuage de pointsPour représenter la série avec un nuage de points il faut tout d’abord : – configurer le graphique statistiques ;

… À ou

… Í

Á Ë · Í

puis ~ Á ¶ Í

y , Í

Valider les choix de l’écran de droite

ci-contre.


– régler la fenêtre ; – afficher le nuage de points. 4) Calcul des coordonnées de G Les coordonnées de G sont : (6,625 ; 18,25). 5) Calcul des coordonnées de G1 et G2On recopie dans L3 et L4 les 4 premiers termes de L1 et L2 et on répète l’étape 4. On obtient : G1 : x 1 = 4,75 ; y1 = 21,25. Puis on recopie dans L5 et L6 les 4 derniers termes de L1 et L2 et on répète l’étape 4. On obtient : G2 : x 2 = 8,5 ; y2 = 15,25. 6) Droite de Mayer (ajustement affine) Cette équation a pour coefficient directeur :

a = y 2 – y 1 x 2 – x 1

= – 2417 et

pour équation : y = a ( x – x 1 ) + y 1

p Valider les choix ci-

contre ou utiliser.

q ®

s

… ~ pour avoir le menu

CALC puis Á ou † Í

Puis

y d ¢ y e L1 contenant les montants et L2 le nombre de clients.

… ~ Á f ¢ g Í … ~ Á h ¢ i Í

o Entrer l’équation puis s


9. SPÉCIALITÉS INDUSTRIE/AGRICULTURE 9.1 Le théorème de Thalès

Les Essentiels : Pratiquer la propriété de Thalès Utiliser la TI-82 STATS.FR pour réaliser les calculs en utilisant les mémoires de la calculatrice.

Tourniquette sur un triangle Soit ABC un triangle et M1 un point de [AB] On effectue la construction suivante : – M2 point de [AC] tel que (M1M2) // (BC) – M3 point de [BC] tel que (M2M3) // (AB) – M4 point de [AB] tel que (M3M4) // (AC) – M5 sur [AC] ... – M6 sur [BC] ...

A

B C

M1 M2

M3

M4

On entre les longueurs des trois côtés du triangle et AM1.BC = a, AC = b, AB = c. On choisi ici AM1 = 2. En route pour un premier tour Calcul de AM2 On utilise la propriété de Thalès pour le triangle ABC avec la droite ( ) parallèle à BC.

1 2M M

2AM AM=AC AB

1 donc AM2 = AM1 cb .

Calcul de BM3 On utilise la propriété de Thalès pour le triangle ABC avec la droite ( ) parallèle à AB.

2 3M M

3

2

BM BC=AM AC

donc BM3 = AM2 ba .

¸ ¿ t A − ¿ t B Á Ê ¿ t C

Á Í

¯ t B ¥ t C

¯ t A ¥ t B


Calcul de AM4 On utilise la propriété de Thalès pour le triangle ABC avec la droite ( ) parallèle à AC

3 4M M

4

3

AM AB=CM BC

donc 4 3cAM =(a-BM )a

En route pour un second tour On réitère le procédé. La ligne se ferme au second tour. Recommençons avec un autre point M1 par exemple avec AM1 = 3,5. La ligne se ferme encore au second tour. Pour aller encore plus vite, taper les trois formules séparées par « : ». La frappe Í relance le dernier calcul. La ligne se ferme encore au second tour. Essayer en changeant de triangle. Que concluez-vous ? Reprendre le même exercice avec un quadrilatère, avec un pentagone, etc.

£ t A ¹ y Z ¤ ¯ t C ¥ t A

On rappelle les frappes

précédentes avec y Í

Il est possible de faire la ligne complète en séparant les opérations successives

par :ƒ :

Í


9. SPÉCIALITÉS INDUSTRIE/AGRICULTURE

9.2 Le théorème de Pythagore

Les Essentiels : Pratique à l’aide de la TI-82 STATS.FR du théorème de Pythagore et de sa réciproque Si le triangle ABC est rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2. Si le triangle ABC vérifie BC2 = AB2 + AC2 alors le triangle est rectangle en A.

Reconnaître un triangle rectangle

AB AC BC ABC est rectangle ? 3 4 5 7 12 8

1.25 2.25 4 108 40 62 1.5 2 2.5

On utilise les listes de la calculatrice pour automatiser les calculs. On entre dans la liste L1 la longueur du plus grand côté. On entre dans L2 et L3 les longueurs des deux autres côtés. On entre dans L4 la relation de Pythagore : L12 – (L22 + L32). Le triangle est rectangle sur les lignes où la cellule de la liste L4 vaut zéro.

… Í

�


Une autre solution consiste à utiliser la possibilité de rentrer plusieurs instructions à la suite en les séparant par « : ». On entre les longueurs des côtés, puis la relation de Pythagore. Le triangle est rectangle. On rappelle la ligne et l’on recommence en modifiant les données. Le triangle n’est pas rectangle.

�

Une troisième solution consiste à réaliser un programme : PYTHA. On entre en premier la longueur du plus grand côté. Taper le programme suivant : EffEcr Prompt A,B,C If A^2=B^2+C^2 Then Disp "RECTANGLE" Else Disp "NON RECTANGLE"

~ ~ Í

choisir PYTHA

et valider par Í

Í relance le programme.

�


9. SPÉCIALITÉS INDUSTRIE/AGRICULTURE 9.3 Les relations métriques dans un triangle

Les Essentiels : Les relations métriques dans un triangle ABC Notations (a = BC, b = AC, c = AB, S est la surface du triangle et R le rayon du cercle circonscrit). La formule d’Al Kashi : 2 2 2 2 cos(a b c bcc A= + − )

La loi des aires ou formule de Carnot : 1 sin( )2

S bc A=

La loi des sinus : 2sin( ) sin( ) sin( )

a b c RA B C

= = =

A

BC

cb

a

R

Dans un triangle il y a six données : trois côtés et trois angles. Compléter si possible le tableau suivant en utilisant la TI-82 STATS.FR. Il faut trouver la formule à appliquer puis la rentrer dans le Solveur et lancer le calcul.

Données a b c A B C TI-82 STATS.FR A B C D E F Exercice 1 4 5 45° Exercice 2 2 3 25° Exercice 3 6 8 10 Exercice 4 7 20° 25° Exercice 5 50 70


On règle l’unité angulaire. z�

Exercice 1 : calcul de A On utilise Al Kashi pour trouver a. On ouvre le Solveur et on entre la formule. On entre les données. On lance le calcul de a.

} Í

ƒ Í �

Exercice 2 : calcul de B On utilise Al Kashi pour trouver la mesure de l’angle B, (E sur la TI-82 STATS.FR). On ouvre le Solveur et on modifie la formule. Les données sont encore dans la machine ! On lance le calcul de E. Placer le curseur sur la ligne E. Exercice 3 : calcul de C Le calcul de la mesure de l’angle en C est immédiat 180 – (D + E).

} Í

ƒ Í

y z pour revenir sur l’écran principal

�

À vous de jouer ! Solution des exercices

Formule utilisée a b c A B C Exercice 1 Al kashi 3.5 4 5 45° 52.5 82.5 Exercice 2 Al kashi 2 3 2.3 21.2 133.9 25° Exercice 3 Al kashi 6 8 10 36.9 53.1 90 Exercice 4 Loi des sinus 5.7 7 7 20° 25° 145 Exercice 5 Somme des angles ? ? ? 60 50 70 Il n’est pas possible de déterminer un triangle par la seule donnée des trois angles.


9. SPÉCIALITÉS INDUSTRIE/AGRICULTURE 9.4 Surfaces et volumes

Les Essentiels : Manipuler les formules de calculs de surfaces et de volume

Aire d’un trapèze : 21 (B + b)h.

Aire d’un disque : πR2.

Volume d’un cylindre de révolution ou d’un prisme droit d'aire de base B et de hauteur h : Bh. Aire d’une sphère de rayon R : ; volume de la sphère : 24πR 3

4 πR3

Volume d’un cône de révolution ou pyramide de base B et de hauteur h : 31 Bh.

Mettre en œuvre les calculs sur la TI-82 STATS.FR.

1) Utilisation en mode direct Calculer le volume d’un cône de révolution de hauteur 5 de rayon 4. On utilise la formule :

V = 31 πR2 h.

· ¿ ƒ H¶ ¿ ƒ R À ¥ Â ¯ y B ƒ R › Á¯ ƒ H

�

2) Calcul interactif en utilisant le Solveur Une pyramide à base carrée a pour hauteur 5 m et pour volume 5 m3. Quelle est la longueur a du côté ? On utilise la formule :

V = 31 a2 h.

On entre les données. On lance le calcul de a.

} Í

Í t Í �


Calcul automatisé à l’aide d’un programme Réalisation d’un formulaire interactif sur les volumes il suffit d’utiliser le programme suivant : Lbl M Menu("CALCUL DE VOLUMES","CUBE",1,"PAVE",2,"SPHERE", 3,"CONE",4,"FIN",5 Lbl 1 EffEcr Disp "COTE:" Prompt A Disp "VOLUME DU CUBE:",A›Â Pause Goto M Lbl 2 EffEcr Disp "LONGUEUR:" Prompt L Disp "LARGUEUR:" Prompt T Disp "HAUTEUR:" Prompt H Disp "VOLUME:",L*T*H Pause Goto M Lbl 3 EffEcr Disp "RAYON: Prompt R Disp "VOLUME:",¶¥Â¯P¯R›Â Pause Goto M Lbl 4 EffEcr Disp "RAYON: Prompt R Disp "HAUTEUR: Prompt H Disp "VOLUME:",À¥Â¯P¯R›Á¯H Pause Goto M Lbl 5 ClrHome Stop

Í


10. SPÉCIALITÉ DES SERVICES 10.1 Série chronologique

Les Essentiels : Étude d’une série chronologique – Tendance générale – Coefficient de variations saisonnières – Donnée corrigée, donnée brute

Saisie des données et calculs : … Représentation graphique de la série : y - p q s Calculs des indices : … y 9

Une entreprise de jouets étudie les ventes de poupées sur les douze derniers trimestres. Le directeur commercial dispose du tableau suivant (représentant le nombre de poupées vendues chaque trimestre des trois dernières années).

2002 2003 2004 1er trimestre 170 195 225 2e trimestre 160 185 195 3e trimestre 185 215 235 4e trimestre 200 230 250

On vous demande de : 1°) représenter graphiquement cette série en reliant les points ; 2°) déterminer l’équation de la droite de Mayer en fractionnant la série en deux et tracer cette droite ; 3°) calculer les Coefficients de Variations Saisonnières (C.V.S.) pour chacun des quatre trimestres ; 4°) le nombre de poupées que l’on peut prévoir de vendre au 3e trimestre 2005 (donnée corrigée des variations saisonnières) et la donnée brute de ce nombre.

1) Saisie des données Procéder comme au chapitre 4. On inscrit le numéro du trimestre (de 1 à 12) dans L1 et la production dans L2. 2) Représentation graphique Configurer le graphique avec des points reliés.

… À Ou

… Í

y , Í

Valider les choix de l’écran ci-contre.


Régler la fenêtre. Afficher le graphique. 3) Droite de Mayer On coupe la série en deux, on obtient : G1 (3,5 ; 182,5) ; G2 (9,5 ; 225) ; a ≈ 7 et l’équation y = 7x + 157,7. 4) Coefficients de variations saisonnières Il faut calculer la moyenne des ventes d’un trimestre et diviser par la moyenne globale des ventes. Donc : C.V.S.1 ≈ 0.965 C.V.S.2 ≈ 0.883 C.V.S.3 ≈ 1.039 C.V.S.4 ≈ 1.112 5) Donnée corrigée, donnée brute La donnée corrigée du 3e trimestre 2005 correspond à la valeur obtenue pour y dans l’équation de la droite de Mayer lorsque : x = 15 (15 e trimestre). donnée brute = donnée corrigée × C.V.S.

p

En validant les choix de l’écran de gauche ou en

utilisant :

q ®

o

Y1 = ¬ „ Ã À · ¬ Ë ¬

s

Pour calculer la moyenne globale :

y 9 ~ ~ Â y e ¤ Í

Puis pour calculer les

coefficients trimestriels :

£ À ¬ Ê Ã À ® · Ã Á Á · ¤ ¥ Â Í

y Í ¥ Á Ê Â Ë ¬ ·

~ À À ou

~ Í Í Si l’équation du 3) est dans

Y1 puis faire

£ À · ¤ Í ensuite y Í

ou directement ¯ À Ë Ê Â ® Í


10. SPÉCIALITÉ DES SERVICES 10.2 Intérêts simples

Les Essentiels : Intérêts simples et valeur acquise

Calculs de valeurs acquises : o „ y - y 0

Un capital de 6 000 € est placé à intérêts simples au taux mensuel de 0,25 % pendant 10 mois. Calculer la valeur de ce capital chaque mois, ainsi que les intérêts acquis chaque mois.

Les calculs avec des intérêts simples sont des calculs de suite arithmétique. Il convient donc de configurer la machine comme expliqué dans le chapitre 7.1. Les intérêts sont chaque mois : I = 6000 × 0,25 ÷ 100 = 15 €. La valeur acquise est chaque mois : V = 6000 + I.

On saisit donc les deux suites : (après avoir choisi le bon mode)

Dans o se placer devant :u(n)= À · ¯ „ représentant les

intérêts et devant v(n)=

¸ Ê Ê Ê Ã À · „

représentant la valeur acquise.

y - On valide le réglage de la table comme indiqué sur

l’écran de gauche.

On affiche la table

y 0

10.3 Intérêts composés

Les Essentiels : Intérêts composés et valeur acquises

Calculs de valeurs acquises :o „ y - y 0

Un capital de 3 000 € est placé à intérêts composés au taux semestriel de 2,1 % pendant 12 semestres. La capitalisation est semestrielle. Calculer la valeur de ce capital chaque semestre, ainsi que les intérêts acquis chaque semestre.


Les calculs avec des intérêts composés sont des calculs de suite géométrique. Il convient donc de configurer la machine comme expliqué dans le chapitre 7.2. Chaque semestre le capital acquis est :

C n = 3000 x (1 + 2,1100 ) n.

et les intérêts acquis sont : I n = Cn – C0.

On saisit donc les deux suites :

Indiquées dans l’Ecran de droite

avec u(n) représentant le

capital acquis et v(n)

représentant les intérêts acquis.

y - On valide le réglage de la table comme indiqué sur l’écran de gauche.

On affiche la table

y 0

10.4 Annuités

Les Essentiels : Capital acquis après des versements réguliers ou remboursement d’emprunts

Calculs : Ã ¹ ¯ ¥ £ ¤ « ›

1 ) On verse 1 000 € chaque année pendant 8 ans. Calculer la valeur acquise au moment du huitième versement. Capitalisation annuelle au taux de 5 %. 2 ) Combien de versements semestriels de 1 060,79 € une personne doit-elle effectuer pour rembourser un emprunt de 5 000 € à capitalisation semestriel au taux semestriel de 2 % ?

Si a est le montant du versement périodique, t le taux périodique et n le nombre de versement, la valeur acquise Vn est :

Vn = a (1 + t )n – 1 t

et la valeur actuelle est :

V0 = a 1 – ( 1 + t ) – n t

1)À Ê Ê Ê ¯ £ £ À Ë Ê · › − ¤ ¹ À ¤ ¥ Ê Ë Ê ·

2) Ì « Ê Ë ® Ê · ¬ Â ¥ « À Ë Ê Á ¤


10. SPÉCIALITÉ DES SERVICES 10.5 Indices simples et composés

Les Essentiels : Connaître et calculer les indices simples – Connaître et calculer les indices composés

Calcul des indices : … Représentation graphique de la série d’indices : y,

p q s

Le gérant d’une grande surface a mené une enquête sur l’évolution du nombre de clients dans son magasin (en milliers de personnes) au cours des six dernières années.

Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Nombre de clients 454 572 603 684 703 778

On vous demande de :

1°) calculer les indices de fréquentation de cette grande surface en prenant comme base 100 l’année 1999 ; 2°) représenter par un diagramme cartésien les indices obtenus.

1) Saisie des données On inscrit le numéro de l’année (de 1 à 6) dans L1 et la fréquentation dans L2. 2) Calcul des indices Rappel :

L’indice I1/0 = V1V0

× 100.

On crée dans L3 la liste des indices. Ainsi par exemple : I 00/99 = 125,99. 3) Graphique On obtient : G1 (3,5 ; 182,5) G2 (9,5 ; 225) a ≈ 7 et l’équation y = 7x + 157,7.

… À ou

… Í

Monter avec } sur le bandeau f et

inscrire e ¯ À Ê Ê ¥ e £ À ¤ Í

y, En validant les choix de l’écran de gauche et en

faisant

q ® on obtient


On donne le tableau suivant.

Année 2001 Année 2004 Produits Quantité Q0 Prix unitaire P0 Quantité Q 1 Prix Unitaire P 1

A B C

7 2 10

5 € 3,5 € 2,7 €

5 4 13

9,8 € 4,2 € 2,3 €

Calculer à 0,1 près, l’indice composé des prix I 04/01.1°) Par la méthode de Lapeyres. 2°) Par la méthode de Paasche.

1) Méthode de Lapeyres

I04/01 = Σ Q0 x P1 Σ Q0 x P0

× 100

On saisit le tableau dans les listes L1, L2, L3 et L4. On calcule les produits dans L5 et L6. On calcule les sommes de L5 et L6. Ainsi I04/01 ≈ 144,9, avec la méthode de Lapeyres. 2) Méthode de Paasche

I 04/01 =Σ Q1 x P1 Σ Q1 x P0

× 100

On procède de la même façon avec des listes L5 et L6 modifiées. Ainsi I 04/01 ≈ 129,1, avec la méthode de Paasche.

… À ou

… Í Monter avec } sur les

bandeaux h et i et inscrire

L5 = y d ¯ y g

L6 = y d ¯ y e

y 5 y 9 ~ ~ · et continuer comme sur l’écran de

droite

L5 = y f ¯ y g

L6 = y f ¯ y e


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