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Sommations et notation sigma. Montage préparé par :. André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon. Introduction. Dans le cadre du présent cours, nous aurons à manipuler, à diverses occasions, des sommes de termes. - PowerPoint PPT Presentation
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Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Sommations et notation sigma
Sommations et notation sigma
IntroductionDans le cadre du présent cours, nous aurons à
manipuler, à diverses occasions, des sommes de
termes.
Dans cette présentation, nous verrons cette
notation, ses propriétés et ses règles d’utilisation.
Pour alléger l’écriture de ces sommes, il est
d’usage d’utiliser une notation appelée « notation
sigma ».
SommationDÉFINITION
Sommation
On appelle sommation une expression de la forme :
= ar + ar+1 + ar+2 + …. + an–2 + an–1 + an
où le symbole (lettre grecque sigma) est appelé symbole de sommation.
La portée d’un symbole de sommation est l’expression algébrique qui est affectée par le symbole de sommation.
i = r
nai
i = r
nai
Le terme ai est le terme général de la sommation. L’indice i, appelé indice de sommation, prend toutes les valeurs entières de la borne inférieure r à la borne supérieure n. On a donc :
Portée d’une sommation
Considérons la sommation suivante :
En développant, on obtient :
i = 1
n xi
a
Lorsque le symbole de sommation est suivi d’une expression algébrique constituée du produit ou du quotient d’expressions algébriques plus simples, on convient que toute cette expression est dans la portée du symbole de sommation.
i = 1
n xi
a
Produits et quotients
x1
a=
x2
a+
x3
a+ + ...
xn
a+
S
De la même façon :
i = 1
5axi = ax1 + ax2 + ax3 + ax4 + ax5
REMARQUE :
L’indice prend toutes les valeurs entières entre 1 et n et chaque valeur correspond à un terme de la somme.
S
Portée d’une sommation
Ainsi :
Lorsque l’expression algébrique qui suit le symbole de sommation est constituée de sommes ou de différences d’expressions algébriques plus simples, il faut préciser la portée du symbole à l’aide de parenthèses lorsque la portée s’étend au-delà du premier terme de cette somme ou de cette différence.
Sommes et différences
S
Cependant :
i = 1
5axi + b = ax1 + ax2 + ax3 + ax4 + ax5 + b
S
i = 1
5(axi + b) = (ax1 + b)+ (ax2 + b) + (ax3 + b) + (ax4 + b) + (ax5 + b)
REMARQUE :
Les parenthèses sont utilisées pour indiquer la portée du symbole de sommation. Il ne faut pas les négliger.
S
ExercicesÉcrire le développement des expressions suivantes et évaluer :
a)
S
k = 3
7k2
a) k = 3
7k2 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 135
b) j = 2
6(2j – 1)
b) j = 2
6(2j – 1) = 3 + 5 + 7 + 9 + 11= 35
c) i = 1
53i – 10
c) i = 1
53i – 10
= 13 – 23 + 33 – 43 + 53 – 63 = –135
d) i = 0
5(–1)i (i + 1)3
d) i = 0
5(–1)i (i + 1)3
S
= 3 + 6 + 9 + 12 + 15 – 10 = 35
S
Propriétés Propriétés
du symbole de sommation
1.
2.
3.
4.
i = 1
na = na Cette somme représente l’addition
de n termes égaux à a.
i = 1
naxi
SSS
= a i = 1
nxi Mise en évidence d’une constante
qui multiplie chacun des termes.
i = 1
n(xi + yi) =
i = 1
nxi +
i = 1
nyi
Regroupement par commutativité et associativité de l’addition.
i = 1
nxi =
j = 1
nxj =
k = 1
nxk = ... Possibilité de renommer l’indice
d’une sommation.
Exercice
Démontrer que :
SSS
i = 1
naxi = a
i = 1
nxi
Développons la somme :
i = 1
naxi
= a i = 1
nxi
= ax1 + ax2 + ax3 + … + axn–1 + axn
= a(x1 + x2 + x3 + … + xn–1 + xn) , par mise en évidence;
,en utilisant la notation sigma.
REMARQUE :
On démontre les propriétés du symbole de sommation en développant les sommes et en utilisant les manipulations algébriques habituelles.
Exercice
Démontrer que :
SSS
Développons la somme :
= i = 1
nxi
= (x1 + y1) + (x2 + y2) + … + (xn + yn)
= (x1 + x2 + … + xn) + (y1 + y2 + … + yn)
,en utilisant la notation sigma.
i = 1
n(xi + yi) =
i = 1
nxi +
i = 1
nyi
i = 1
n(xi + yi)
+ i = 1
nyi
Somme des puissances des premiers entiers
Il est intéressant de pouvoir écrire une somme sous une forme compacte, mais il est encore plus intéressant de pouvoir l’effectuer sans avoir à la développer.
SSS
Dans la suite du cours, nous aurons à utiliser certaines sommes dans des situations diverses.
Ce sont :
• la somme des n premiers entiers;
• la somme des carrés des n premiers entiers;
• la somme des cubes des n premiers entiers.
Nous allons maintenant déterminer les expressions donnant ces sommes. L’étudiant devra, en plus de pouvoir effectuer ces démonstrations, devra en garder le résultat en mémoire.
ThéorèmeSomme des n premiers entiers positifs
La somme des n premiers entiers positifs est donnée par :
i = 1
ni
Somme des n premiers entiers
SSS
= 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n
= n (n + 1)
2
i = 1
ni
= n + (n – 1) + (n – 2) + ... + 3 + 2 + 1 i = 1
ni
i = 1
ni2 = (n + 1) + (n +1) + ... + (n +1) + (n +1)
= n (n + 1)
2
= n(n +1)
i = 1
niD’où l’on tire :
S
ThéorèmeSomme des carrés des n premiers entiers positifs
La somme des n premiers entiers positifs est donnée par :
i = 1
ni2
Somme des carrés des n premiers entiers
S
= n (n + 1)(2n + 1)
6
La démonstration de cette formule utilise le fait que :
(i + 1)3 = i3 + 3i2 + 3i + 1
D’où l’on tire : 3i2 + 3i + 1 = (i + 1)3 – i3
Nous allons considérer la somme pour i variant de 1 jusqu’à n des deux membres de cette égalité pour pouvoir isoler la somme des carrés. La somme des deux membres donne :
i = 1
n(3i 2 + 3i + 1) =
i = 1
n(i + 1)3 – i3
Somme des carrés des n premiers entiers
SS
En appliquant les propriétés au membre de gauche, on obtient :
i = 1
n(3i 2 + 3i + 1) =
i = 1
n(i + 1)3 – i3
i = 1
n(3i 2 + 3i + 1) =
i = 1
n(i + 1)3 – i3
i = 1
n3 i 2 + 3 i + 1
i = 1
n
i = 1
n
i = 1
n= 3 i 2 + 3 i + n
i = 1
n
En développant le membre de droite, on obtient :
= [23 – 13] + [33 – 23] + [43 – 33] + … + [(n + 1)3 – n3]
= 23 – 13 + 33 – 23 + 43 – 33 + … + (n + 1)3 – n3
= – 13 + (n + 1)3
i = 1
n 3 i 2 + 3 i + n
i = 1
n= – 13 + (n + 1)3
On obtient donc l’égalité suivante :
Somme des carrés des n premiers entiers
SS
D’où :
i = 1
n 3 i 2 + 3 i + n
i = 1
n= – 13 + (n + 1)3
On complète la preuve en effectuant les manipulations algébriques élémentaires et on obtient :
i = 1
n 3 i 2
i = 1
n= – 13 + (n + 1)3 – 3 i – n
= – 13 + (n + 1)3 – 3 – n n (n + 1)
2
i = 1
ni 2 =
n (n + 1)(2n + 1)6
L’étudiant est prié d’effectuer les manipulations algébriques permettant de compléter la preuve.
ThéorèmeSomme des cubes des n premiers entiers positifs
La somme des cubes des n premiers entiers positifs est donnée par :
i = 1
ni 3
Somme des cubes des n premiers entiers
S
La démonstration peut être faite de façon analogue à celle de la somme des carrés. On utilise le fait que :
= n (n + 1)
22
(i + 1)4 = i4 + 4i3 + 6i2 + 4i + 1
La démonstration est laissée en exercice.
Évaluer la somme suivante : k = 1
24k (k + 2)
Exercice
S
k = 1
24k (k + 2)
k = 1
24(k2 + 2k)=
k = 1
24k2 + 2 k=
k = 1
24
= 4900 + 600 = 5400
, par distributivité;
, propriété de la sommation;
, par la somme des premiers entiers et des carrés;
SS
= 24 (25) (49)
6 + 2 24 (25)
2
ConclusionEn utilisant la notation sigma, on peut représenter les sommes sous diverses formes.
i = 1
ni 2
n (n + 1)(2n + 1)
6
Pour les distinguer, nous allons utiliser les appellations suivantes :
12 + 22 + 32 + … + n2
, forme compacte ou avec la notation sigma;
, forme ouverte;
, forme fermée.
