Sommes et series

1 Synthese sommes finies

Definitions∑b

k=a uk est defini pour a ≤ b ;∑b

k=a uk = ua + ua+1 +· · ·+ ub pour les petites sommes.∑n+1

k=0 uk =∑n

k=0 uk + un+1 et∑0

k=0 uk = u0 pour les recurrences.

1.1 Operations

Chasles (decoupage horizontal) Valable uniquement si toutes lesbornes sont en ordre croissant !

Linearite (decoupage vertical) Somme de sommes.

Factorisation des constantes par rapport a l’indice de sommation.

Reindexation Change les deux bornes et le contenu. Mais ce n’est pasle meilleur moyen pour rectifier les bornes.Pour x 6= 1, calculer (1− x)

∑nk=0 kxk et en deduire

∑nk=0 kxk.

Derivation Pour les sommes finie ! x → x0 se derive en x → 0.Calculer

∑nk=1 k · xk−1

Simplification diagonale Il faut avoir exactement∑n

k=0 uk+1 − uk =un+1 − u0

Inegalites Montrer que pour tout k ≥ 2 : 1k2 ≤ 1

k−1− 1

ken deduire un

majorant de∑n

k=11k2

1.2 Sommes usuelles∑bk=a 1 = b− a + 1 si b ≤ a∑nk=0 k = n(n+1)

2:∑n

k=0 k2 = n(n+1)(2n+1)6∑n

k=0 k3 = n2(n+1)2

4

pour a ≤ b :∑b

k=a qk =

{b− a + 1 si q = 1

qa 1−qb−a+1

1−qsi q 6= 1∑n

k=0

(nk

)akbn−k = (a + b)n

1.3 Methodes

Constantes si elles sont en facteur !∑n

k=0 2k + 1

Borne superieure∑n+2

k=0 k2

Borne inferieure∑n

k=3 k2

Puissance manquante∑n

k=0

(nk

)Puissance en puissance k

∑nk=0 q2k

Puissance en produit par une constante∑n

k=0 qk+1

Produit en puissance∑n

k=0 2k · 3k

Produit en somme∑n

k=0 (k + 1) (k + 2)

Binome Ou doit on retrouver l’indice de sommation ? Ou retrouve-t-onla puissance ? Calculer

∑nk=0

(n−1k+1

)Ecriture factorielle de

(nk

)uniquement si 0 ≤ k ≤ n.

(n + 1)! = (n + 1) · n! uniquement si n ≥ 0Transformation du coefficient : symetrie

(nk

)=

(n

n−k

), Pascal

(nk

)+(

nk+1

)=

(n+1k+1

), par factorielle k ·

(nk

)= n ·

(n−1k−1

)Formule changeante Jusqu’a un indice (apparaıt souvent en proba-

bilites)∑3n

k=0 |n− k| .Suivant la parite

∑nk=0

k pairk2 :

∑2nk=0 k (−1)k

1.4 Sommes doubles

Basiques Distinguer variables et constantes.∑n

i=0

∑ij=0 i · j

Permutation de sommes∑n

i=1

∑nj=i somme pour tous les couples

d’entiers (i, j) tels que :1 ≤ i ≤ n et i ≤ j ≤ n ; que l’on regarde comme 1 ≤ i ≤ j ≤ n ;puis mettre j en premier 1 ≤ j ≤ n et 1 ≤ i ≤ j ; pour trouver∑n

j=1

∑ji=1

Calculer∑n

i=1

∑nj=i

ij

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2 Cours series

2.1 Definition

Serie notee∑

k≥1 uk : serie de terme general (uk)k≥1 et de premierindice 1.

Serie convergente signification ?

Somme de la serie notee∑+∞

k=1 uk est ?

Aboslue convergente Si elle est absolument convergente alors elle estconvergente.Contre exemple ?Interet : criteres de convergence.

2.2 Usuelles

Geometriques et derivees Convergent si |q| < 1 et divergent sinon.∑++∞k=0 qk = 1

1−q:∑++∞

k=1 kqk−1 = 1(1−q)2

:∑++∞k=2 k (k − 1) qk−2 = 2

(1−q)3

:∑++∞

k=0 kqk = q

(1−q)2:∑++∞

k=0 k2qk = q(q+1)

(1−q)3

Exercice Demontrer les deux premieres.

Exponentielles convergent∑+∞

k=0xk

k!= ex

Classique∑+∞

n=0

(nk

)2k

n!ressemble a une somme binomiale mais ...

Riemann∑

k≥11

kα converge si α > 1 et diverge si α ≤ 1.

2.3 Operations

Mefiance Chercher l’erreur :∑+∞k=0 2k = 20 +

∑+∞k=1 2k = 1 + 2

∑+∞k=1 2k−1 = 1 + 2

∑+∞k=0 2k

Donc (1− 2)∑+∞

k=0 2k = 1et

∑+∞k=0 2k = −1 somme de termes positifs !

Conclusion ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Prudence : on repart de la somme partielle.

2.4 Criteres de convergence pour les series atermes positifs.

Rappel Une suite croissante et ............ est convergente,une suite croissante et non .........tend vers +∞.

Lemme Une serie a termes positifs est croissante. (Signification ? Ledemontrer).Que peut-on en deduire suivant qu’elle est majoree ou non.

Theoreme Si pour tout k ≥ 0 : 0 ≤ uk ≤ vk alorssi

∑k≥0 vk converge alors

∑k≥0 uk converge (par majoration de

termes positifs)si

∑k≥0 uk diverge alors

∑k≥0 vk diverge (par minoration de termes

positifs)

Preuve Les sommes partielles verifient les memes inegalites.Puis on a convergence ou divergence par minoration ou majoration.

Theoreme Si vn ≥ 0 et un ≥ 0 et que un = o (vn) alorssi

∑k≥0 vk converge alors

∑k≥0 uk converge (par majoration de

termes positifs)si

∑k≥0 uk diverge alors

∑k≥0 vk diverge (par minoration de termes

positifs)

Preuve Que signifie un = o (vn) ? et il existe un rang n0 a partir duquel0 ≤ un/vn ≤ 1 et un ≤ vn .On est alors ramene au theoreme precedent.

Theoreme Si un ∼ vn et que vn ≥ 0 alors∑

k≥0 uk converge si etseulement si

∑k≥0 vk converge. (par equivalence de termes positifs)

Preuve Que signifie un ∼ vn ? et il existe un rang n0 a partir duquel12≤ un

vn≤ 3

2d’ou 1

2vn ≤ un ≤ 3

2vn et la convergence ou la divergence

par application du premier theoreme.

Methode Un equivalent est une serie de reference.Sinon, on fait apparaıtre un terme qui tend vers 0 fois une serie dereference.

Exercice Montrer que la serie de terme general((−1)k ln (k) · e−k

)k≥1

converge.

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