CHAPITRE 6 : Séries de Fourier

A. Zeriahi

Novembre 2011

Le problème de la représésentation d’une fonction par une série trigonométriqueest apparu historiquement vers la fin du 18ème siècle, notamment dans lestravaux de D. Bernoulli sur les cordes vibrantes et ceux de J. Fourier sur lathéorie de la chaleur. Mais beaucoup de mathématiciens ont contribué audéveloppement de cette théorie, citons notamment d’Alembert, Euler, Féjer,Dirichlet, Jordan etc...

Nous nous proposons ici d’étudier les séries de Fourier dans le cadrepréhilbertien et d’établir quelques résultats élémentaires de cette théorie.Ensuite nous donnerons deux exemples d’applications.

1 Le système trigonométrique

1.1 Séries de Fourier

Soit C = C2π l’espace des fonctions continues sur R, 2π−périodiques à valeurscomplexes. Pour étudier ces fonctions, il suffit de se restreindre à un inter-valle de longueur 2π. On choisira le plus souvent l’intervalle symétriqueI := [−π,+π].

Cet espace est muni d’une structure d’espace préhilbertien de produitscalaire hermitien défini pour f, g ∈ C par la formule

(1.1) (f |g) := 12π

∫ +π−π

f(t)g(t)dt,

où l’intégrale est bien définie au sens de Riemann. Observons qu’une fonctionf ∈ C s’écrit de façon unique f(t) = F (eit) pour t ∈ I où F est une fonctioncontinue sur le cercle unité T := {z ∈ C; |z| = 1}.

Posons pour n ∈ Z,

en(t) := eint, t ∈ R.

Obervons que en est la restriction à T du monôme de Laurent zn, n ∈ Z.Nous allons vérifier que (en)n∈Z est un système orthonormé de l’espace

préhilbertien complexe C.

1

En effet pour m,n ∈ Z on a de façon évidente

(en|em) =1

2π

∫ +π−π

ei(n−m)tdt = δn,m.

Le système orthonormé (en)n∈Z de C est appelé le le système trigonométriquecomplexe.

Pour f ∈ C, on pose

(1.2) cn = cn(f) = (f |en) =1

2π

∫ +π−π

f(t)e−intdt, n ∈ Z,

et on les appelle les coefficients de Fourier de f suivant le système trigonométriquecomplexe; tandis que la série

∑n∈Z cn(f)en est appelée série de Fourier de

f .Nous montrerons plus loin que ce système orthonormé est total dans

C. Pour le moment, on peut seulement affirmer que si f ∈ C, la famille(|cn(f)|2)n∈Z est sommable puisque d’après l’inégalité de Bessel, on a

|c0|2 ++∞∑k=1

(|ck|2 + |c−k|2) ≤1

2π

∫ +π−π

|f(t)|2dt.

On a donc une application naturelle

F : C −→ `2(Z)

qui à une fonction f ∈ C associe la suite de ses coefficients de Fourier. C’estune application linéaire continue d’après l’inégalité de Bessel. On l’appellela transformée de Fourier discrète.

Il sera plus commode dans la suite de considérer le système trigonométrique.En effet, pour f ∈ C, posons

a0(f) := 2c0(f), ak(f) := ck(f)+c−k(f), bk(f) := i(ck(f)−c−k(f)), k ∈ N∗,

de sorte que les nombres complexes obtenus vérifient les relations suivantes

ck(f) =ak(f)− ibk(f)

2, c−k =

ak(f) + ibk(f)

2, ∀k ∈ N∗.

Il en résulte que pour n ∈ N, la somme partielle symétrique d’ordre n de lasérie de Fourier de f s’écrit

Sfn(t) = Sn(t) :=+n∑

k=−nck(f)e

ikt =1

2a0(f) +

n∑k=1

(ak(f) cos kt+ bk(f) sin kt).

Une telle expression est appelé un polynôme trigonométrique complexe dedegré au plus n.

2

Observons qu’à partir des formules (1.2) on obtient facilement les for-mules suivantes pour les coefficients ak(f) et bk(f), appelées formules d’Euler:

akf) =1

π

∫ +π−π

f(t) cos(kt)dx, k ∈ N,

bk(f) =1

π

∫ +π−π

f(t) sin(kt)dt, k ∈ N∗.

L’avantage de ces coefficients est qu’ils sont réels si f est à valeurs réelles.En fait le système des polynômes trigonométriques réels suivants:

(1.3) 1/√2, cosx, sinx, . . . , cos kx, sin kx, . . .

forme un système orthogonal de C dont tous les vecteurs sont de norme1/

√2, que l’on appelera le système trigonométrique réel. C’est un système

orthonormé dans C pour le nouveau produit scalaire suivant

(f |g)′ := 1π

∫ +π−π

f(t)g(t)dt.

Les nombres complexes a0(f)/√2, a1(f), b1(f), . . . ak(f), bk(f), . . . sont alors

les coefficients de Fourier de f suivant ce système orthonormé pour ce nou-veau produit saclaire.

En effet, pour vérifier que ce système est un système orthogonal dansdans C, posons ϕ0(x) = 1, ϕk(x) = cos(kx), ψk(x) := sin(kx) pour k ∈ N∗et x ∈ R. Alors ϕk = (1/2)(ek + e−k) pour k ∈ N et ψk = (1/2i)(ek − e−k)pour k ∈ N∗. Par suite, puisque en ⊥ e−m pour tout n ∈ N et m ∈ N∗ on a

(ϕk|ψl) =1

4i(ek + e−k|el − e−l) =

1

4i((ek|ek)− (el|el)) = 0

pour tout k ∈ N et l ∈ N∗.D’autre part puisque en ⊥ em si n 6= m on a pour k ∈ N et l ∈ N

tels que k 6= l (ϕk|ϕl) = 14(ek + e−k|el + e−l) = 0 de même que (ψk|ψl) =14i(ek − e−k|el − e−l) = 0.

Enfin on a (ϕk|ϕk) = (1/4)‖ek + e−k|2 = 1/2. Il en résulte que

1

π

∫ +π−π

1

2dx =

1

π

∫ +π−π

cos2(kx)dx = 1,1

π

∫ +π−π

sin2(kx)dx = 1, ∀k ∈ N∗.

Les sommes partielles symétriques de la série de Fourier de f sont précisémmentles sommes partielles ordinaires de f suivant le système trigonométrique réelpuisque

+n∑k=−n

cn(f)eint =

a02

+

n∑k=1

(ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx).

3

Cette écriture a plusieurs avantages:- c’est une série ordinaire (unilatérale),- si f est à valeurs réelles, les coefficients ak(f) et bk(f) sont des nombresréels puisque dans ce cas ck(f) = c−k(f) et donc ak(f) = 2 0 est as-sez petit, alors pour n assez grand on a

∫ ππ/2+ε |f(t)|

2dt ≤ ‖f(t)−fn(t)|2 → 0,ce qui prouve par continuité de f que f ≡ 0 sur [π/2+ ε, π]. Par conséquentf ≡ 2 sur [0, π/2] et f ≡ 0 sur ]π/2, π], ce qui contredit la continuité de f .

On observe que dans ce cas, la ”limite naturelle” de cette suite est unefonction continue par morceaux ayant au point π/2 une discontinuité depremière espèce.

Il est possible de compléter l’espace C en y ajoutant toutes les ”limites”des suites de Cauchy de (C, ‖.‖2). L’espace de Hilbert obtenu peut êtredécrit grâce à l’intégrale de Lebesgue sur R. Il contient l’espace des fonctionsf : R −→ C 2π−périodique telles que |f |2 soit intégrable au sens de Riemannsur [−π,+π] (e.g. f continue par morceaux).

C’est pourquoi il est naturel d’étudier les séries de Fourier associées àdes fonctions qui ne sont pas nécéssairement continues.

Si f : [−π,+π] −→ C est une fonction continue par morceaux sur[−π,+π], il est naturel de prolonger f en chacun de ses points de discon-tiniutés t0 ∈ [−π,+π] par son demi-saut en ce point. D’une façon plusprécise, on pose

f̃(x) :=1

2(f(x+) + f(x−)), six ∈]− π,+π[

4

f̃(±π) := 12(f(−π+) + f(π−)).

Il est alors clair que f̃ se prolonge en une fonction 2π−périodique sur R,continue par morceaux telle que f̃(x) = f(x) en tout point x ∈]− π,+π[ enlequel f est continue.

En modifiant ainsi la fonction f en tous ses point de discontinuité (ennombre fini), on obtient une fonction g := f̃ continue par morceaux quia la même série de Fourier que f et qui vérfie en tout point de x ∈ Rg(x) = (g(x+)+g(x−))/2. Cet espace, noté D s’appelle l’espace de Dirichletdes fonctions continues par morceaux et 2π−périodiques. L’espace D estmuni d’une structure d’espace préhilbertien pour le produit scalaire définipour f, g ∈ D par

(f |g) := 12π

∫ +π−π

f(t)g(t)dt,

où l’intégrale est bien définie, puisque la fonction à intégrer est continue parmorceaux sur [−π,+π].

Le système trigonométrique complexe est alors un système orthonormédans D.

A chaque fonction f ∈ D on peut donc associer sa série de Fourier

(1.4) f ∼ a0(f)/2 +∑k∈N∗

(ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx),

où ak(f) et bk(f) sont donnés par les formules d’Euler (??).D’une manière plus générale, pour toute fonction f : [−π,+π] −→ C

intégrable au sens de Riemann sur [−π,+π], les formules d’Euler définissentdes nombres complexes ak(f), bk(f), appelés coefficients de Fourier de f eton peut alors associer à f sa série de Fourier (formelle) selon le schéma (1.4).

Le problème général qui nous intéresse ici est le lien exact qui existeentre une fonction f ∈ D et sa série de Fourier.

D’une façon plus précise, nous voulons répondre aux questions naturellessuivantes:1) pour une fonction f ∈ C ou f ∈ D, la série de Fourier de f converge-t-elleet en quel sens?2) Dans le cas où il y a convergence de la série de Fourier, quelle est salimite? Peut-on reconstituer f à partir de sa série de Fourier et comment?3) Etant donnée une série trigonométrique a0/2+

∑k≥1(ak cos kt+bk sin kt),

à quelles conditions sur les coefficients ak, bk cette série représente-t-elle lasérie de Fourier d’une fonction continue 2π−périodique sur R?

Les réponses à ces question sont assez complexes et se feront en plusieursétapes. Nous démontrerons tout d’abord qu’il existe beaucoup de fonctionscontinues 2π−périodiques dont la série de Fourier ne converge pas au sensordinaire en un point fixé de R. Ensuite nous démontrerons que la série deFourier d’une fonction continue 2π−périodique converge uniformément au

5

sens des moyennes arithmétiques de Césaro. Ce qui prouvera en particulierque le système trigonométrique est total.

Dans le cas d’une fonction continue par morceaux, nous donnerons desconditions suffisantes qui assurent que la série de Fourier converge en unpoint ou uniformément sur un segment donné et déterminerons sa somme.Ces conditions obéissent à un principe assez simple: le comportement de f auvoisinage d’un point a une infulence sur le comportement de ses coefficientsde Fourier et donc sur sa série de Fourier.

Enfin nous donnerons des exemples d’applications des séries de Fourier...

1.2 Série trigonométriques

On appelle série trigonométrique, toute série de fonctions de la forme

a0/2 +∑k≥1

(ak cos kt+ bk sin kt)

où (ak)k∈N et (bk)k∈N∗ sont des suites de nombres réels ou complexes appeléscoefficients de la série. Observons qu’en posant c0 := a0/2 et

ck :=ak − ibk

2, c−k =

ak + ibk2

, ∀k ∈ N∗,

les sommes partielles d’ordre n de cette série s’écrivent

sn(t) := a0/2 +

n∑k=1

(ak cos kt+ bk sin kt) =

n∑p=−n

cpeipt, t ∈ R.

Il est clair que sn est un polynôme trigonométrique de degré n, donc 2π−périodique.Par conséquent si une telle série converge uniformément sur [−π,+π], sasomme

f(t) := limn→+∞

sn(t) = a0/2 +

+∞∑k=1

(ak cos kt+ bk sin kt), t ∈ R

est une fonction continue 2π−périodique sur R. De plus grâce à l’orthogonalitédu système trigonométrique, les coefficients de Fourier de f sont alors donnéspar les formules attendues cn(f) = cn pour tout n ∈ Z et donc a0(f) =a0, ak(f) = ak et bk(f) = bk pour tout k ∈ N∗.

On dira qu’une fonction f continue 2π−périodique sur R est développableen série de Fourier sur R s’il existe une série trigonométrique a0/2+

∑k≥1(ak cos kt+

bk sin kt) qui converge uniformément sur R vers f . D’après la remarque quiprécède, une telle série est unique, c’est nécéssairement la série de Fourierde la fonction f .

6

Proposition 1.1 Soit a0/2+∑

k≥1(ak cos kt+bk sin kt) une série trigonométriquedonnée.1) Si cette série trigonométrique converge uniformément sur [−π,+π], elleconverge uniformément sur R vers une fonction continue et 2π−périodiquef dont la série de Fourier est précisément la série trigonométrique donnée.2) Si la série numérique

∑+∞k=1(|ak|+‘|bk|) converge, alors la série trigonométrique

converge uniformément sur R vers une fonction continue 2π−périodique fdont la série de Fourier est précisément la série trigonométrique donnée.

Si cette condition n’est pas satisfaite, on applique le résultat suivant qui estune conséquence du critère d’Abel.

Proposition 1.2 Soit (an)n≥0 et (bn)n∈N deux suites décroissantes de nom-bres réels positifs tendant vers 0. Alors la série trigonométrique

∑+∞k=0 ak cos kx+∑+∞

k=0 bk) sin kx converge converge uniformément sur tour intervale ferméborné contenu dans [−δ] ∪ [δ, π].

2 Développement en série de Fourier des fonctionsrégulières

Nous allons étudier l’influence de la régularité d’une fonction continue surle comportement des coefficients de Fourier et par voie de conséquence surla convergence de sa série de Fourier.

2.1 Série de Fourier d’une fonction de classe C1 par morceaux

Le comportement des coefficients de Fourier d’une fonction f ∈ L1([−π,+π])est intimement lié à sa régularité comme le montre le résultat suivant.

Proposition 2.1 1) Si f : R −→ C est une fonction continue 2π−périodiquede classe C1 par morçeaux, alors

cn(f) =1

incn(f

′),∀n ∈ Z∗

ou encore

ak(f) = −1

nbk(f

′) et bk(f) = −1

nak(f

′)∀n ∈ N∗.

En particulier cn(f) = o(1/|n|) lorsque |n| → +∞.Si f est de classe Cm−1 et sa dérivée d’ordre m est continue par morceaux,alors cn(f) = o(|n|m) lorsque |n| → +∞.2) Si f : R −→ C est une fonction 2π−périodique continue par morçeaux,alors la fonction F définie par la formule

F (x) :=

∫ x0f(t)dt− a0(f)

2x, x ∈ R,

7

est continue, 2π−périodique et de classe C1 par morçeaux sur R et sescoéfficients de Fourier sont donnés par la formule

cn(F ) =1

incn(f),∀n ∈ Z∗,

avec a0(F ) = 0.

Démonstration: En effet pour tout n ∈ N∗ on a en intégrant par parties

cn(f) =1

2π(

∫ +π−π

f(t)eintdt

Corollary 2.2 Si f : R −→ C est une fonction continue 2π−périodique declasse C1 par morçeaux sur R, alors sa série de Fourier

a0(f)

2+

+∞∑k=1

(ak(f) cos kt+ bk(f) sin kt)

converge uniformément sur R vers f .

En effet d’après les formules ci-dessus, on a

|ak(f)|+ |bk(f)| =1

k(|ak(f ′)|+ |bk(f ′)|),∀k ∈ N∗.

Utilisant l’inégalité triviale 2αβ ≤ (α2+β2) pour tout α, β ≥ 0, on en déduitque pour tout t ∈ R,∑k≥1

maxt∈R

|ak(f) cos kt+ bk(f) sin kt| ≤∑k≥1

1

2k2+

1

2(|ak(f ′)|2 + |bk(f)|2),

≤∑k≥1

1

2k2+ ‖f ′‖2

Il en résulte que b2p = 0 et b2p+1 = 4/(2p+ 1)π.D’après l’identité de Parseval, on en déduit que

+∞∑p=0

1

(2p+ 1)2=π2

8.

Observons que+∞∑n=1

1

n2=

+∞∑p=0

1

(2p)2+

+∞∑p=0

1

(2p+ 1)2,

d’où il résulte immédiatement que

3

4

+∞∑n=1

1

n2=

+∞∑p=0

1

(2p+ 1)2,

et donc+∞∑n=1

1

n2=π2

6.

Exemple : Soit f la fonction 2π−périodique sur R définie par |x| pour|x| ≤ π. Comme cette fonction est continue et paire sur [−π,+π], de classeC1 par morceaux. Il en résulte que bn(f) = 0 pour tout n ∈ N∗ et

an(f) =2

π

∫ π0t cos(nt)dt,∀n ∈ N.

Il est clair que a0(f) = π et que si n ∈ N∗, une simple intégration par partiesmontre que

an(f) =2

π

(−1)n − 1n2

.

Comme la fonction est de classe C1 par morceaux, il résulte du théorèmeprécédent que

|x| = π2− 4π

+∞∑k=0

cos(2k + 1)x

(2k + 1)

2

,∀x ∈ [−π,+π],

la convergence étant uniforme sur l’intervalle [−π,+π].En posant x = 0, on en déduit que

+∞∑k=0

1

(2k + 1)2=π2

8,

ce qui avait déja été obtenu dans l’exemple 1.Exemple 3:

9

3 Comportement de la série de Fourier d’une fonc-tion continue

3.1 Le contre-exemple de Féjer

Nous allons présenter dans ce paragraphe l’exemple de Féjer d’une fonc-tion continue 2π−périodique sur R dont la série de Fourier ne convergepas en 0. Compte tenu des résultats du paragraphe 4, un tel exemple estnécéssairement quelque peu compliqué.

3.2 Les formules de Dirichlet

Pour étudier la série de Fourier d’une fonction intégrable sur [−π,+π], nousallons exprimer ses sommes de Fourier à l’aide de moyennes pondérées de fpar un noyau explicite.

Proposition 3.1 Soit f : [−π,+π] −→ C une fonction intégrable au sensde Riemann. Alors ses sommes partielles de Fourier sont données par lesformules intégrales suivantes:

(3.1) Sfn(t) =

∫ +π−π

f(θ)Dn(t− θ)dθ =∫ +π−π

f(t+ s)Dn(s)ds, ∀n ∈ N,

où pour chaque n ∈ N,

(3.2) Dn(t) :=1

π<(12+

n∑k=1

eikt)=

1

2π

sin(n+ 1/2), t

sin(t/2), t ∈ R,

est un polynome trigonométrique pair de degré n vérifiant l’identité∫ +π−π

Dn(t)dt = 1.

Démonstration: En effet par définition, pour n ∈ N∗ et t ∈ R, on a

Sfn(t) =

n∑k=−n

ck(f)eikt

= =

n∑k=−n

1

2π

∫ +π−π

f(θ)eik(t−θ)dθ

=1

2π

∫ +π−π

(1 +

n∑k=1

(eik(t−θ) + e−ik(t−θ))f(θ)dθ.

En posant

Dn(τ) :=1

π<(12+

n∑k=1

eikτ)

10

, on a obtient la formule suivante:

Sfn(t) =

∫ +π−π

f(θ)Dn(t− θ)dθ,

ce qui prouve la première égalité dans (??).Pour obtenir la deuxième égalité, il suffit d’observer que si g : R −→ C

est une fonction intégrable et 2π−périodique, alors∫ +π−π

g(s+ a)ds =

∫ +π+a−π+a

g(t)dt =

∫ +π−π

g(t)dt,∀a ∈ R.

En effet, la première identité s’obtient en posant s := t + a. Pour obtenirla deuxième identité, on fait le changement de variable t = s + 2π pourvoir que

∫ −π−π+a g(t)dt =

∫ +ππ+a g(s)ds = −

∫ +π+aπ g(s)dts et en déduire que∫ +π+a

−π+a g(s)ds =∫ −π−π+a g(s)ds+

∫ +π−π g(s)ds+

∫ π+a+π g(s)ds =

∫ +π−π g(s)ds.

On en déduit alors que pour tout n ∈ N∗, on a

Sfn(t) =

∫ +π−π

f(t+ s)Dn(s)ds.

D’autre part, on a

Dn(t) =1

π<

(12+

n∑k=1

eikt), ∀t ∈ R.

De plus pour t ∈ R \ 2πZ, on a

<(12+

n∑k=1

eikt)

= <(12+ eit

eint − 1eit − 1

)= <

(12+ei(n+1/2)t − eit/2

eit/2 − e−it/2)

=sin(n+ 1/2)t

2 sin(t/2),(3.3)

d’où il résulte que

(3.4) Dn(t) =sin(n+ 1/2)t

2π sin(t/2), ∀n ∈ N,∀t ∈ R.

Notons que le second membre de la formule (3.4) est bien défini en 0 modulo2π, sa valeur étant obtenue par prolongement par continiuité de la fonctionconsidérée de sorte que 2πDn(0) = 2n + 1pour tout n ∈ N. Cette formulemontre que Dn est un polynôme trigonométrique de degré n ayant exacte-ment n+1 dans l’intervalle [0, π] et change de signe au voisinage de chacunde ses zéros.

11

On a alors

Sfn(t) =1

2π

∫ +π−π

f(θ + t)sin(n+ 1/2)θ

sin(θ/2)dθ, ∀n ≥ 0.

Observons que si f ≡ 1, on a a0(f) = 2 et ak(f) = bk(f) = 0 pour toutk ∈ N∗ et donc Sfn(t) = 1 pour tout t ∈ R et n ∈ N, de sorte que le noyaude Dirichlet a la propriété suivante:∫ +π

−πDn(t)dt = 1,∀n ∈ N.

ILa fonction Dn est un polynôme trigonométrique pair de degré n appellé lenoyau de Dirichlet d’ordre n ∈ N.

3.3 Application de Théorème de Baire

Nous allons voir grâce au théorème de Baire qu’il existe beaucoup de fonc-tions (au sens topologique de Baire) 2π−périodiques sur R dont la série deFourier ne converge pas en un point donné.

Nous allons utiliser les formules de Dirichlet pour démontrer le résultatsuivant.

Theorem 3.2 Pour chaque point t0 ∈ [−π,+π], il existe au moins unefonction continue 2π−périodique sur R dont la série de Fourier au point t0ne converge pas. D’une façon plus précise, l’ensemble des fonctions contin-ues 2π−périodiques sur R dont la série de Fourier au point t0 ne convergepas est dense dans l’espace C.

Démonstration: Il est clair que l’espace C muni de la norme ‖.‖∞ de laconvergence uniforme est un espace de Banach.

Supposons pour simplifier que t0 = 0 et désignons par U l’ensemble desfonctions f ∈ C telle que la suite des nombres complexes (Sfn(0))n∈N soientnon bornée. Nous allons montrer que U est partout dense ou encore que soncomplémentaire est d’intérieur vide.

Observons d’abord que les sommes de Fourier f 7−→ Sfn(t0) au point t0définissent des fonctionnelles Λn : C −→ R linéaires continues sur l’espace deBanach (C, ‖.‖∞). En effet posons pour n ∈ N et f ∈ ([−π,+π],R),Λn(f) :=Sfn(0) =

∫ +π−π f(t)Dn(t)|dt. Alors il est clair que pour chaque n ∈ N, Λn est

une forme linéaire sur C et que

|Λn(f)| ≤ ‖f‖∞∫ +π−π

|Dn(t)|dt,∀n ∈ N.

Il en résulte en particulier que les normes d’opérateurs vérifient

‖|Λn|‖ ≤∫ +π−π

|Dn(t)|dt, ∀n ∈ N.

12

Nous allons démontrer le lemme suivant

Lemma 3.3 1) Pour tout n ∈ N, la norme d’opérateurs de la fonctionnelleΛn est donnée par la formule suivante

‖|Λn|‖ =∫ +π−π

|Dn(t)|dt.

2) Les noyaux de Dirichlet ont la propriété fondamentale suivante:

(3.5) supn∈N

∫ +π−π

|Dn(t)|dt = +∞.

Démonstration: 1) En effet fixons n ∈ N et observons que la fonction signede Dn définie par δn : R 3 t 7−→ sgn(Dn(t)), qui n’est pas continue auxzéros de Dn, a une norme sup égale à 1 et que formellement au moins, lavaleur de la fonctionelle Λn sur la fonction δn est précisément égale la valeurde l’intégrale du second membre de l’identité (??), ce qui tendrait à jusfifiercette identité. pour la démontrer vraiement procédons par approximationcontinue de la fonction δn. En effet considérons pour n ∈ N,la fonctioncontinue affine par morceaux et impaire telle que χp(x) = 1 pour 1/p ≤ x ≤π et posons ϕp(t) := χp(Dn(t) pour t ∈ R. Alors il est clair que ϕn ∈ C et‖ϕn‖∞ = 1 pour tout n ∈ N. Observer au passage que la suite (ϕp) convergeponctuellement vers δn en chaqu’un de ses points de continuité. Par ailleurs,n ∈ N étant fixé, on a pour tout p ∈ N∗

Λn(ϕp) =

∫ +π−π

ϕp(Dn(t))Dn(t)dt

≥∫1/p|Dn(t)|≤π

|Dn(t)‖dt

=

∫ +π−π

|Dn(t)‖ −∫|Dn(t)|≤1/p

|Dn(t)‖

≥∫ +π−π

|Dn(t)‖ − 2π/p.

En faisant tendre p vers +∞ on obtient la formule (??).2) En observant que pour 0 ≤ t ≤ π on a 0 ≤ sin(t/2) ≤ t/2, on obtient∫ +π

−π|Dn(t)|dt ≥

1

π

∫ π0

| sin(n+ 1/2)t|t

dt.

En faisant le changement de variable s = (n+ 1/2)t, on en déduit que∫ +π−π

|Dn(t)|dt ≥1

π

∫ (n+1/2)π0

| sin t|t

dt,

13

ce qui prouve le résultat puisque l’on sait que l’intégrale généralisée∫ +∞0

| sin t|t dt

diverge. IPour achever la preuve du théorème, considérons pour chaque entier p ∈ N,l’ensemble suivant:

Fp := {f ∈ C; supn∈N

|Λn(f)| ≤ p}.

Alors Fp est un sous-ensemble fermé de l’espace de Banach C muni de lanorme de la convergence uniforme et on a clairement Posons F := C \U =

⋃p≥1Fp. Appliquons le théorème de Baire pour en déduire que F est

d’intérieur vide. En effet, sinon l’un au moins des fermés Fp serait d’intérieurnon vide et donc la suite (Λn) serait uniformément bornée sur une boule del’espace de Banach C, ce qui contredirait la propriété (3.5).

Par conséquent F est d’intérieur vide dans C et donc son complémentaireest donc partout dense dans C. I

4 Convergence au sens de Césaro des séries deFourier

Nous savons que la série de Fourier d’une fonction continue f ∈ C convergeen moyenne quadratique mais ne converge pas uniformément sur [−π,+π].

Le but de ce papragraphe est de démontrer que la série de Fourier d’uenfonction continue f ∈ C converge uniformément au sens de Césaro vers f .

Rappelons que si une suite numérique (un)n. Pour étudier la convergencede la série

∑n≥1 un, on considère la suite de ses sommes partielles

sn :=

n∑k=1

uk, n ≥ 1.

La série∑

n≥1 un converge vers un nombre réel ou complexe s ssi la suite(sn)n≥1 converge vers s. Il arrive souvent qu’une telle suite diverge. Il existealors plusieurs procédés pour faire converger cette série. Le procédé le plussimple est celui de Césaro. Au lieu de la suite (sn)n∈N, on considère la suitede ses moyennes arithmétiques

σn :=s1 + . . .+ sn

n, n ≥ 1.

Il est bien connu que si la suite (sn)n≥1 converge vers s alors la suite (σn)n≥0converge vers `.

Par contre la réciproque est fausse puisque la suite n −→ (−1)n estdivergente alors que la suite de ses moyennes arithmétiques converge vers 0.

14

Ce procédé En fait lorsque la suite des moyennes arithmétiques d’unesuite (sn)n≥ converge vers un nombre réel `, on dira que la suite (sn)n≥ ouque la série

∑n un converge au sens de Césaro vers `.

Nous allons montrer que pour une fonction continue f ∈ C La sérife deFourier converge au sens de Césaro dans l’espace de Banach (C, ‖.‖∞. Onnote comme précédemment

Sn(x) = Sfn(x) :=

a0(f)

2+

n∑k=1

(ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx), n ≥ 1,

les sommes partielles de la série de Fourier de f et on note

σfn(x) = σn(x) =1

n

n∑k=0

Sk(x), n ∈ N

la suite de Césaro associée.

Theorem 4.1 (Théorème de Féjer). Soit f : [−π,+π] −→ R une fonctionintégrable ayant en un point t0 des discontinuités de première espèce. Alorsla suite n −→ σn(t0; f) converge vers 12(f(t

+0 ) + f(t

−0 ). Si de plus f est con-

tinue sur un intervalle compact J := [a, b] ⊂ [−π,+π] la suite des fonctionsn −→ σn(.; f) converge uniformément vers f sur J.

Démonstration: D’après les calculs faits dans la section préc’edente, on a

Sn(x) =

∫ +π−π

f(x+ t)Dn(t)dt, n ∈ N.

Il en résulte que

σn(x) =1

n+ 1

∫ +π−π

f(x+ t)n∑

p=0

Dp(t)dt, n ∈ N.

Considérons le noyau de Féjer défini comme suit:

Kn(t) :=1

2π(n+ 1)

n∑p=0

Dp(t), t ∈ R

de sorte que

σn(x) =

∫ +π−π

f(x+ t)Kn(t), n ∈ N.

Observons que Kn est unpolynôme trigonométrique pair de degré n de sorteque

σn(x) =

∫ π0(f(x+ t) + f(x− t))Kn(t)dt, ∀n ∈ N.

15

Calculons explicitement le noyau de Féjer en utilisant l’expression explicitedu noyau de Dirichlet:

Kn(t) =1

2π(n+ 1)

n∑k=0

sin(k + 1/2)t

sin(t/2)

=1

2π(n+ 1)

n∑k=0

sin(t/2) sin(k + 1/2)t

sin2(t/2),(4.1)

Grâce à la formule du produit des sinus, on a

sin(t/2) sin(k + 1/2)t =1

2(cos(kt)− cos(k + 1)t),

et donc

Kn(t) =1

2π(n+ 1)

1− cos(n+ 1)tsin2(t/2)

=1

π(n+ 1)

sin2(n+ 1)(t/2)

sin2(t/2), n ∈ N.

Contrairement au noyau de Dirichlet, le noyau de Féjer est positif. En-suite si on fait f ≡ 1 dans la formule (?), on a sn ≡ 1 et donc∫ +π

−πKn(t)dt = 2

∫ π0Kn(t)dt = 1,∀n ∈ N.

Il en résulte que pour tout nombre complexe σ, on a

σn(x0)−σ

2=

∫ +π0

(f(x0 + t) + f(x0 − t)− σ

)Kn(t)dt, n ∈ N.

On a alors en posant σ := f(x+0 ) + f(x−0 ), on obtient

σn(x0)−f(x+0 ) + f(x

−0

2=

∫ +π0

(f(x0+t)−f(x+0 )+f(x0−t)−f(x

−0

)Kn(t)dt, n ∈ N.

Par définition, étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que |f(x0+t)−f(x+0 )|+|f(x0 − t)− f(x−0 )| ≤ ε pour 0 ≤ t ≤ δ.

D’autre part, on a pour 0 < δ < π, on a

sup|h|≥δ

Kn(t) ≤1

2π≤ 1

2π(n+ 1) sin2(δ/2),

ce qui implique que

(4.2) limn→0

supt≥δ

Kn(t)dt = 0.

De là il résulte immédiatement que (Sn(x0)) converge vers12(f(x

+0 )+f(x

−0 )).

16

Supposons maintenant que f est continue sur l’intervalle [a, b] ⊂ [−π,+π].Alors pour tout ε > 0, par continuité uniforme, il existe δ > 0 tel que pourx ∈ [a, b] et t ∈ [−δ,+δ] on a |f(x+ t)− f(x)| ≤ ε. Alors d’après (?) on a

σn(x)− f(x) =∫ +π−π

(f(x+ t)− f(x))Kn(t)dt, ∀n ∈ N.

Par suite, on obtient

supa≤x≤b

|σn(x)− f(x)| ≤ ε+ supδ≤|t|≤+π

Kn(t)

∫δ≤|t|≤+π

|f(x+ t)− f(x)|dt.

Ce qui prouve le résultat compte tenu de la propriété (4.2). ICe résultat admet plusieurs conséquences intéressantes que nous allons don-ner. Commençons par une conséquence immédiate mais interessante quimontre ce que peut être la limite de la Série de Fourier de f lorsqu’elleexiste.

Corollary 4.2 Soit f : [−π,+π] −→ C une fonction intégrable au sens deRiemann ayant en un point t0 ∈] − π,+π[ des discontinuités de premièresespèce. Alors si la série de Fourier de f converge au point t0 sa limite estégale à f̃(t0) := (f(t

−0 ) + f(t

+0 ))/2.

Voici une conséquence intéressante du point de vue de la théorie des espacede Banach.

Corollary 4.3 L’espace T des polynômes trigonométriques est dense dansl’espace de Banach (C, ‖.‖∞).

Voici un résultat essentiel du point de vue de la théorie des espaces préhilbertiens.

Corollary 4.4 1) Soit f ∈ D. Alors pour chaque n ∈ N, Sfn est le polynômetrigonométrique de degré n qui réalise la meilleure approximation quadra-tique de f par des polynômes trigonométriques de degré au plus n. 2) Lesystème trigonométrique est total dans l’espace préhilbertien D de sorte quepour tout f ∈ C on a

limk→+∞

∫ +π−π

|f − Sn(t)|2dt = 0

où

Sn(t) :=a0(f)

2+

n∑k=1

(ak(f) cos kt+ bk(f) sin kt.

3) Pour toute fonction f : [−π,+π] −→ C continue par maorceaux, on al’identité de Parseval suivante:

|a0|2/2 ++∞∑p=1

(|ap|2 + |bp|2) =1

π

∫ +π−π

|f(t)|2dt.

17

Démonstration: Cela résulte du théorème de Féjer et de la théorie généraledes espaces préhilbertiens.IVoici une autre conséquence interessante qui montre qu’une fonction con-tinue est entièrement déterminée par sa série de Fourier.

Corollary 4.5 Le système trigonométrique est complet dans C. En partic-ulier on a les deux propriétés suivantes:1) si deux fonctions f, g ∈ C ont les mêmes coefficients de Fourier i.e.cn(f) = cn(g) pour tout n ∈ Z alors f ≡ g,2) si une série trigonométrique converge uniformément, elle représente lasérie de Fourier de sa somme et par suite si la série de Fourier d’une fonc-tion f continue 2π−périodique converge uniformément, sa somme est égaleà f .

A partir du théorème précédent, on peut déduire un autre théorème d’approximationdû à Weierstrass.

Theorem 4.6 Pour toute fonction continue F : [a, b] −→ R sur un seg-ment [a, b] ⊂ R, il existe une suite de polynômes algégriques (Pn)n≥0 (avecdeg(Pn) ≤ n, ∀n ∈ N) telle que

limn→+∞

supx∈[a,b]

|F (x)− Pn(x)| = 0.

Démonstration: Par translation et homothétie dans R, on se ramème au casoù F est une fonction continue sur l’intervalle unité [a, b] = [−1,+1]. Posonsf(θ) = F (cosθ) pour θ ∈ [0, π] et prolongeons f en une fonction continueet paire sur [−π + π], puis en une fonction continue 2π−périodique sur R,encore notée f . Comme f est paire, on a bn(f) = 0 pour tout n ∈ N. Alors

sn(θ) =1

2a0 +

n∑k=1

ak cos kθ, n ∈ N, θ ∈ [−π + π].

En posant x = cos θ pour θ ∈ [0, π], on a sin θ =√1− x2 et donc cos kθ =

5 Convergence des séries de Fourier

5.1 Comportement des coefficients de Fourier d’une fonctionintégrable

D’après ce qui précède,si f ∈ C, l’inégalité de Bessel s’écrit

2∑n∈Z

|cn(f)|2 = |a0(f)|2/2 ++∞∑k=1

(|ak(f)|2 + |bk|2))≤ 1π

∫ +π−π

|f(t)|2dt.

Ce qui prouve que la suite des coefficients de Fourier de f est de carréabsoluement sommable. En particulier

limk→+∞

ak(f) = limk→+∞

bk(f) = 0.

D’une façon plus générale, si f : [−π,+π] −→ C une fonction intégrableau sens de Riemann (e.g. continue par maorceaux), on peut lui associer defaçon naturelle sa série de Fourier suivante:

f ∼∑n∈Z

cn(f)einx =

1

2a0 +

∑k ≥ 1(ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx)

où

cn(f) =1

2π

∫ +π−π

f(t)eintdt, n ∈ N.

Nous aurons besoin du lemme suivant qui décrit le comportement des coéfficientsde Fourier d’une fonction intégrable en général.

Lemma 5.1 (Lemme de Riemann-Lebesgue). Soit g :]a, b] ⊂ R −→ C unefonction localement intégrable au sens de Riemann telle que l’intégrale im-propre

∫ ba+ g(t)dt existe dans R. Alors on a

lim|τ |→+∞

∫ ba+g(s)eiτsds = 0.

Démonstration: Observons tout d’abord que si g est de classe C1 sur [a, b]alors par intégration par parties, on en déduit que pour τ 6= 0∫ b

ag(s)eiτsds =

[g′(s)eiτsiτ

]τ=bτ=a

−∫ bag′(s)eiτs

ds

iτ.

Le résultat en découle par passage à la limite.Si g est de classe C1 par morçeaux sur [a, b], en décomposant l’intervalle

en une réunion finie d’intervalles fremés sur lesquels g se prolonge en unefonction de classe C1 et en appliquant le résultat précédent à chaque inter-valle, on en déduit le résultat dans ce cas.

19

Supposons maintenant que g soit une fonction bornée intégrable au sensde Riemann sur [a, b]. Alors il existe une suite (gn)n≥0 de fonction en escaliersur [a, b] qui converge uniformément sur [a, b] vers f .

Alors pour tout n ∈ Z et p ∈ N on a∫ bag(s)eiτsds =

∫ ba(g − gp)(s)eiτsds+

∫ bagp(s)e

iτsds =: Ip(τ) + Jp(τ).

Comme pour tout p ∈ N et τ ∈ R, on a

|Ip(τ)| := |∫ ba(g − gp)(s)eiτsds| ≤ sup

a≤s≤b|g(t)− gp(t)|

, il en résulte que Ip(τ) → 0 uniformément en τ ∈ Z lorsque p→ +∞. Pourε > 0 on peut donc trouver un ranp p0 ≥ 1 indépendant de τ ∈ R tel que|Ip(τ)| ≤ ε pour tout p ≥ p0 et tout τ ∈ R.

On sit d’après la première partie que limτ |→+∞ Jp0(τ) = 0. Il existedonc un réel A > 0 tel que pour |τ | ≥ A on ait |Jp0(τ)| ≤ ε. On en déduitfinalement que pour |τ | ≥ A on a |

∫ ba g(s)e

iτsds| ≤ 2ε.IPour énoncer le résultat essentiel de ce chapitre, on aura besoin d’unedéfinition.

Definition 5.2 Soit f : R −→ C une fonction intégrable 2π−périodique surR ayant en un point a ∈ [−π,+π] une discontinuité de première espèce. Ondit que f vérifie la condition de Dini au point a si la fonction

t −→ φa :=f(a+ t) + f(a− t)− f(a+)− f(a−)

t

est intégrable sur un intervalle [0, δ] au sens généralisé de Riemann, où δ >est un nombre réel assez petit.

Observons que si f est continue par morçeaux et si elle admet une dérivéeà droite et une dérivée à gauche au point a alors elle vérifie la condition deDini au point a.

Nous sommes en mesure de démontrer le résultat essentiel suivant.

Theorem 5.3 Soit f : R −→ C une fonction intégrable 2π−périodiqueayant en un point a ∈ [−π,+π] une discontinuité de première espèce etvérifiant la conditions de Dini au point a. Alors on a

limn→+∞

Sfn(a) =f(a+) + f(a−)

2.

Démonstration: Posons Sn = Sfn pour n ∈ N.

20

Alors d’apès les formules de Dirichlet, on a pour n ∈ N

Sn(a)−f(a+) + f(a−)

2=

∫ +π0

(f(a+t)+f(a−t)−f(a+)−f(a−))sin(n+ 1/2)tsin(t/2)

dt.

Il est clair que la fonction

t −→ φa(t) :=f(a+ t) + f(a− t)− f(a+)− f(a−)

t

est intégrable sur [0, π] ssi il en est de même de la fonction

t −→ ψa(t) =f(a+ t) + f(a− t)− f(a+)− f(a−)

sin(t/2)= φa(t)

t

sin(t/2).

On a alors pour tout n ∈ N,

Sn(a)−f(a+) + f(a−)

2=

∫ +π0

ψa(t) sin((n+ 1/2)t)dt.

Comme la fonction ψa est intégrable au sens généralisé de Riemann sur [0, π],le résultat est alors une conséquence du lemme de Riemann-Lebesgue. IPour énoncer le théorème essentiel de ce paragraphe, nous avons besoin de ladéfinition suivante. Soit f : R −→ C une fonction ayant aux point a ∈ R desdiscontinuités de première espèce. On dira que f admet est dérivable à droiteau point a ssi le prolongement par continuité de la restriction f |]a, a + δ[(où δ > 0 est assez petit) est dérivable à droite au point a. Autrement ditla limite suivante

f ′d(a) := limt→0+

f(a+ t)− f(a+)t

existe dans C. On définit de façon analogue la notion de dérivabilité à gaucheau point a.

Corollary 5.4 (Théorème de Jordan-Dirichlet). Soit f : R −→ C unefonction continue par morçeaux, 2π−périodique et dérivable à droite et àgauche en un point a ∈ [−π,+π]. Alors la série de Fourier de f au pointa ∈ R converge vers f̃(a) := (f(a+) + f(a−))/2.

Démonstration: En effet, sous les conditions du corrolaire, la fonction ϕa estcontinue et bornée sur un intervalle assez petit ]0, δ] et donc intégrable ausens de Riemann, ce qui prouve que f vérifie la condition de Dini au pointa. Le résultat est donc une conséquence du théorème. IDonnons un cas où la convergence de la série de Fourier est uniforme.

Theorem 5.5 Soit f : R −→ C une fonction satisfaisant à la condition deHölder d’order α ∈]0, 1] suivante:

|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α,∀x, y ∈ R,

où C > 0 est une constante.Alors la série de Fourier de f converge uniformément sur R vers f .

21

Démonstration: Rappelons la formule de Dirichlet dans ce cas. Pour toutx ∈ [−π,+π] et n ∈ N on a

Sn(x)− f(x) =∫ +π0

ψx(t) sin((n+ 1/2)t)dt.

Compte tenu de l’hypothèse, on a

|φx(t)| ≤ 2Ctα−1,∀t > 0,∀x ∈ R.

Il en résulte que pour tout n ∈ N, on a

max|x|≤π

|Sn(x)− f(x)| ≤ 2C∫ +π0

tα−1 sin((n+ 1/2)t)dt.

Comme la fonction t −→ tα−1 est intégrable sur [0, π] au sens généralisé deRiemann, on conclut comme précédemment grâce au lemme de Lebesgue. I

Exemple 1: Soit la fonction impaire sur [−π,+π] telle que f(t) = π/4 pour0 < t < π. On peut alors prolonger f en une fonction en escalier, impaireet 2π−périodique sur R. Les coefficients de Fourier de f sont alors donnéspar les formules suivantes: ak(f) = 0 pour tout k ∈ N et

bk(f) =2

π

∫ π0

π

4sin ktdt =

1− (−1)k

2k, ∀k ∈ N∗.

Comme la fonction f est continue par morceaux et derivable sur ]0, π[ d’aprèsle théorème de Jordan-Dirichlet, on a

+∞∑k=1

sin(2k + 1)t

2k + 1=π

4,∀t ∈]0, π[.

En particulier pour t = π/2 on obtient

+∞∑k=1

(−1)k

2k + 1=π

4

et pour t = π/4 on pbtient

1 +

+∞∑`=1

(−1)`+1

4`+ 1=π

4.

Enfin en appliquant l’identité de Parseval, on obtient

+∞∑p=0

1

(2p+ 1)2= π2/8.

22

Comme+∞∑n=1

1

n

2

=1

4

+∞∑p=1

1

p2+

+∞∑k=0

1

(2k + 1)2,

on en déduit que+∞∑n=1

1

n2=π2

6.

Exemple 2: Soit f la fonction impaire et 2π−périodique définie sur ]0, π]par la formule f(t) := (π − t)/2 pour t ∈]0, π]. Alors f est continue parmorçeaux et les coefficients de Fourier de f sont donnés par ak(f) = 0 pourtout k ∈ N et

bk(f) =2

π

∫ +π−π

(π − t) sin ktdt.

Un simple calcul par intégration par parties montre que bk(f) = 1/k pourtout k ∈ N∗. La série de Fourier de f donnée par∑

n≥1

sinnt

n

converge uniformément sur tout compact de l’intervalle [−π,+π] ne con-tenant pas l’origine. Mais la convergence n’est pas uniforme au voisinagede 0 puisque f n’est pas continue en 0. Observons qu’en 0 la série convergevers 0 qui est bien la moyenne arithmétique des limites à droite et à gauchede f en 0 conformément au résultat du théorème.

6 Applications

Nous allons donner deux applications des séries de Fourier dans deux doaminedistincts de l’Analyse réelle. Le premier concerne la démonstration del’inégalité isopérimétrique et la seconde est relative à la résolution de l’équationdes cordes vibrantes.

23