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SOPRA UN TEOREMA DEL SIG'. HILBERT.

Nota di F, 8 r i 0 s 0 h i, in Milano,

Adummzt dell'8 marzo t896.

t . II prof. H i 1 b e r t nel suo lavoro ~ Ueber die nothwtndlgen und hlnreichenden covarianten Bedingungen f~r die Darstellbarkdt elner blnSren Form als vollstdndiger Poten z ~ (M.~th. Atanalen, Bd. XXVH) ha dimostrato il seguente teorema.

Sieno f , q~ due forme binarie, la prima dell'ordine n, la seconda dell'ordine v; le condizioni necessarie e sufiicienti perch~ la forma f di ordine n - - F . v , sia la potenza ~. della % sia cio~:

f . _ $1L

si ponno esprimere per mezzo di covarianti forma f nel modo che segue.

Posto :

e di invarianti della

I I fo = y ( ~ ) , f , - - w f ' ( x ) , L - , , (n - 0 f ' ( x ) ' " ' "

si indichino con D, A, i due simboli di operazione :

�9 d " d

Rend. Ciro. Matera., t. X, parte za.--Stampato il 2~ mam;o I896. ~o

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e sia :

F . BRIOSCHI.

I

Cv ~'v- -L +z A,",%z ,,c'~" - - ' J o F a J o "

I1 prof. H i 1 b e r t dimostra : i ~ che D C~---o e quindi C~ 6 una funzione di invarianti e di

covarianti della forma f . 2 ~ le condizioni richieste per ciascun vatore di v sono l 'an-

nullarsi identicamente di C~, nell'essere cio~ identicamente :

C~=o.

I1 prof. H i l b e r t aggiunge nella sua memorla i valori di C, , C=, C 3 , C 4, ma qui l i ripetiamo compIetandoli col rispettivi coeffi- cienti numerici da lui non considerati perch~ indifferenti allo scopo

del suo teorema. In questi valori entrano i seguenti covarianti (invarianti) della

forma f :

z x i = ~ ( / f )~ , . K = v ( / / ) ~ , P = Y (fD~

r - -" 2 ( f H), U --" 2 (fig')

e si hanno :

C , = ( . - O H , C . = 2 ( . - - 0 ( . - - 2 ) : r ,

C4--- 4(n - - I) ... . ( n - - 4) [ u y " - - 4 3 n - - 4 I t T ]

F 2 n C s - - 5 (n - - x) . . . ( n - - S) l P f 4 - 3.~. n _ 4 H K f ~

2 n - - 5 T' (z n - 5)(4 n ' - - I7 n + 19) H 3] - - 4 . ~ . ( n _ 3 ) ( n _ _ 4 ) -{- 3.~. - ( n _ 2-~Zs -: j"

2. Pongasi :

$ O P R A U~q T E O R E M A D E L SIGr H I L B E R T .

~ o = ? ( x ) , ~ . - - - ; ~ (*), ~ , = , ( , . . .

e si indichino con d, 8, i due simboli di operazione:

�9 d ' a = .__.~-,.o._, ~ 8 = =.~-(~ _ .)~.+, a .... o ' o d ~ , '

dimostrasi facilmente essere :

d--D, 8--'A e quindi :

at,--o,

da cui :

si avr~ :

~ J o r ' - - J O

Q - - %(z+,)~-, 8~+, ~?o,

si deduce che :

�9 �9 �9 " J Yo Y}.+x )

che d~ C,- - - o. Considerando ora la formoia gik data dal sig. H i l b e r t :

X - X

DA~+.f~ - - (>, + 0(~ - - X)<'~/o ~

D Q = O , + O( , - -X) foC,_ .

ed analogamente per d C~. D'altra parte per la definizione stessa di C~ si otdene Ia :

~c~ = ~ lc~+, + [~(~ + 0 - ~]f.q} fo

ossia C, 6 una funzione di covariantl e di invarianti della forma ?, Per la seconda relazione, supponendo X ,~ ~ e ponendo:

t~6 i,. BRIO $CItI.

e da queste:

ADG--DACx=(2 - - n ) ( X + I ) G ,

la quale, come ~ noto, conduce alle due:

~ . d G ,S, WTL = (x + Oq,

ed anche alle :

, ~ , a , = ~ ( x + O q ,

• .aq_(x O q ,rJ,--E~f, - - +

~-~_,, r % d ?,

Se ora supponesi in queste ) , - - ,~ si hanno i due risultati : i ~ il covariante C~ della f o r m a f ~ del grado v + I e del-

l 'ordine (n--2)( ' J+I) , come ha gi~ dimostrato il sig. H i t b e r t ; 2* the il covariante C~ delia forma 9 ~ del grado ~ (v + I) e

dell'ordine (n - - 2)(~ + i). Queste varie condizioni sono soddisfatte dalle formole seguentl.

Pongasi :

h - - ' ~ = r ~ 0 = u . _ _ ~ ( * * ) , , . . .

t = 2 ( ? O , . - - 2 ( , ~ ) .

Le quantit~ indicate sopra con C, , C~, C ~ . . . si esprimono in funzione di questi covarianti come segue:

C, = (v - - 0 ~o *c~-') h, G = 2 0 - - 0 (* - - 2) ~o 'C~-o t

c, = 3 (, - o ( , - ~ , - 3~ : ~-') [ k r 3 ~',_~- 3 h']

ed analogamente per le altre. Questi valori d~nno per v - - I, C, "-- o; per v - - u , C2---o; etc. cio~ il teorema de1 sig. H i l b e r t ; ma hello stesso tempo determinano i valori di C, , C~, ... C~_, per C~---o.

~. notabile il risultato che dalla relazione :

f - - ?~

SOPRA UN TEOREMA DEL SIG r. HILBERT. I57

consegua una serie di funzioni invariantive e di relazioni della stessa natura, quali le :

( n - - x ) / - / = ( v - 0 p'r

(n - - 0 ( " - 2 ) I = (, - 0(" - 2 ) * ' ~ ~

e cost via.

Milano, 22 febbrajo 1896.

F. BRIOSCHI.