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Spectromktres Electrostatiques. Partie I
YVES DELAGE ET J.-D. CARETTE Laboratoire de Physique Atomiqlre et MolPculaire, DPpartement de Pllysique, et Centre de recherches sur les atomes et les
molPcules, Facult6 des Sciences, Uniuersiti Laual, Q~rPbec 10, Quibec
R e ~ u le 25 janvier 1971
Une solution du second ordre est presentee pour decrire le mouvement d'une particule chargee dans un champ Clectrique en Ilr. On propose d'autre part une mtthode qui permet de calculer le profil de la distribution en energie des electrons transmis par un spectromktre electrostatique. Cette mCthode est ensuite utiliste pour evaluer le spectre de transmission de deux spectrometres cylindriques couramment employes dans de nombreux laboratoires. Les autres proprietes du faisceau, comme la distribution angu- laire des electrons a la sortie de I'appareil, sont aussi Ctudiees a partir de cette mkthode de calcul. Enfin le mecanisme de calcul permet de simuler les methodes employees par les exptrimentateurs pour mesurer la distribution d'energie a la sortie du spectrometre dans le but d'evaluer la precision de ces mesures.
We present a second-order approximation equation for the trajectory of a charged particle in a Ilr electrostatic field. Then a method to evaluate the curve of the energy distribution of the electrons trans- mitted by an electrostatic spectrometer is proposed. This method is used to evaluate the energy spectrum of two particular cylindrical spectrometers, whose utilization is widely spread in many laboratories. The properties of the electron beam, such as the electron distribution as a function of the exit angle, are studied with the aid of the proposed method of calculation. Also westudy themethod of analyzing or mea- suring the electron energy spectrum, as done by experimenters, in order to evaluate the precision of these measurements.
Canadian Journal of Physics. 49, 2118 (1971)
Dans ce travail, divisC en trois parties, selon de mesures expkrimentales o t ~ s'applique cette les contributions respectives des auteurs, nous exigence sont dCcrits dans l'introduction de la prCsentons en premiere partie une mCthode de troisikme partie de ce travail. Actuellement les calcul du spectre d'Cnergie des Clectrons transmis sources d'electrons monocinetiques les plus par un spectromktre Clectrostatique. Cette der- utilisies sont les condensateurs Clectrostatiques. nikre est ensuite utilisee pour &valuer la courbe de distribution en Cnergie de deux spectromktres cylindriques dont l'utilisation est tres ripandue dans de nombreux laboratoires, comme le montrent Kerwin et al. (1969). Egalement on y ttudie diverses propriCtCs du faisceau d'Clec- trons transmis par un tel spectromktre et la mCthode expkrimentale d'analyse utilisCe pour effectuer la mesure de la courbe de distribution en tnergie des Clectrons.
Dans la seconde partie on expose les vCrifica- tions expCrimentales relatives aux propriCtCs des spectromktres Clectrostatiques calculCes prCcO demment. Enfin, dans la derni2re partie, la mCthode de calcul proposCe est utilisCe pour Ctudier le rendement des principaux spectro- metres tlectrostatiques connus et utilisCs, soit les spectromktres du type toroidal et ceux du type miroir.
Les expkrimentateurs qui utilisent des sources d'klectrons monocinCtiques ont souvent besoin de connaitre de f a ~ o n trks prtcise le spectre dlCnergie des Clectrons transmis par leur appareil pour interpriter leurs rCsultats. Deux exemples
On iniecte un faisceau d'tlectrons bien cofiirnt entre les Clectrodes d'un condensateur Clectrosta- tique. Le champ Clectrique appliquC entre les Clectrodes de ce dernier agit comme milieu dispersif relative~nent i 1'Cnergie des Clectrons du faisceau. Un filtre forme d'une plaque mCtallique munie d'une ouverture permet la stlection et la transmission d'une mince tranche du faisceau dispersC. L'Cnergie des Clectrons transmis est alors dCfinie dans une bande trks Ctroite du spectre d'Cnergie. On dit alors qu'on est en prCsence d'un faisceau d'Clectrons mono- cinCtiques.
Le plus connu des spectromktres Clectrostati- ques est le spectromktre i Clectrodes cylindri- ques. Une Ctude thCorique de ses propriCtCs de focalisation et de son pouvoir de rCsolution fut effectuCe par Hughes et Rojansky (1929). Par la suite plusieurs expCrimentateurs proposerent des prototypes d'un tel appareil, soit Clarke (1954), Harrower (1956) et enfin Marmet et Kerwin (1960). Le prototype proposC par Marmet et Kerwin fut utilisC par la suite dans un trks grand nombre de laboratoires, voir i ce
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sujet Kerwin et al. (1969). Jusqu'B maintenant de force central F(r) en coordonnCes polaires est les diverses ttudes thCoriques effectutes sur le (Goldstein 1964) spectrometre cylindrique, sauf pour 1'Ctude de Ballu (1968) et celle de Theodoridis et Paolini [I]
7 d2u + u = --r -F(l /u) (19681. ne s'attachaient au'a 1'Cvaluation de la d+ mh u , ,
largeur de la distribution en Cnergie sa base ou encore A demi-intensit6 et aux propriCtCs de focalisation de ces appareils. Afin de connaPtre de f a ~ o n tres prCcise la courbe de distribution en Cnergie des Clectrons transmis par ce dernier appareil, nous proposons une mCthode de calcul qui permet d'obtenir facilement cette courbe.
A cette fin, nous rappellerons brikvement 1'Ctude de premikre approximation prtsentte par Hughes et Rojansky (1929), puis nous dCmon- trerons une eqi~ation de deuxieme approximation qui dtcrit la trajectoire d'un Clectron dans un champ radial en l/r. Au moyen de cette derniere, le calcul de la distribution en energie sera effectuC, selon la mCthode proposCe, dans le cas de deux spectrometres de gkomttrie bien prCcise. Egalement nous prksenterons une analyse des propriCtCs du faisceau relativement a l'angle de sortie. Et enfin, nous Cti~dierons au lnoyen de cette mCthode de calcul le rendement des mkthodes d'analyse utilisee par les expkrimenta- teurs pour mesurer le spectre d'Cnergie des Clectrons transmis par leur appareil.
oh + est l'angle polaire, u = Ilr, r est le rayon vecteur, u la vitesse de la particule et 17 = lu x v l , le moment angulaire par unit6 de masse.
Considtrons un Clectron de masse m et de charge e soun~is au champ tlectrostatique pro- duit par deux electrodes cylindriques concentri- ques. Dans ce cas F(r) = -Ae/r et l'tq. [l ] prend la forme
qui s'Ccrit plus simplement
17 = r0vO cos r ~ . par conservation du mo~nen t angulaire pour I'Clectron de coordonnCe initiale
I. Solutions approximatives de l'kquation de la yo et de vitesse v,.
trajectoire d'un 6lectron soumis a une force Si nous introduisons v, la vitesse de la tra-
centrale en Blr, focalisation et r6solution jectoire circulaire, la relation d'kquilibre dyna- mique se rCduit B m u 2 / ~ , = Ae/Ro et l'expression
(a) Approximation du premier orclre pour c devient c = vyo/(v, cos a). L'tquation differentielle gCnCrale du mouve- L'Cquation [3] doit satisfaire les conditions
ment d'une particule de masse m dans un champ initiales suivantes:
[4 1 h + = O , y = y o = l e t y ' = - y o t g a
Multipliant [3] par y', on obtient 1'Cquation
c2y' y'y" + y'y - - = 0 Y
Chacun des trois termes de cette dernikre Cquation peut facilement s'exprimer sous la forme d'une dCrivCe totale:
c2 ln (y)] = 0
L'Cquation obtenue par inttgration directe de [6] est du meme type que l'tquation d'knergie, soit
+,/2 + [ iy2 - c2 In (y)] = E
Cnergie cinttique + Cnergie potentielle = Cnergie totale
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La fonction tnergie potentielle posskde un minimum au point y = c ; en effet
Afin de dtplacer l'origine en ce point, nous effectuons le changement de variable suivant: y = c + n,. L'tquation [3] devient
L8l c2
n l f f + c + n , - - = 0 c + n ,
Remarquons que pour des angles a assez petits, y - 1 et c - 1, ce qui nous permet de dtvelopper le dernier terme de l'tq. [ 8 ] en strie de puissance de n , / c en ntgligeant les terms d'ordre suptrieur B l'unitt. D'oG
n," + c + n , - c(l - n,/c + ....) = 0
n," + 2n1 = 0
C'est l'tquation difftrentielle bien connue du mouvement harmonique qui a comme solutions les fonctions circulaires:
n , = A cos (2'l2$) + B sin (2' l2+) [lo1
y = c + A cos (2lI2$) + B sin (2'124)
La valeur des constantes A et B sont dttermintes B l'aide de la position et de l'angle d'incidence 2i 4 = 0. On obtient ainsi (Hughes et Rojansky 1929)
[ 1 1 1 y = c + (yo - c ) cos (2lI2+) - (y0 /2112) tg a sin (2lI2+)
A partir de l'tq. [I 11, il est facile de deriver le rtsultat fondamental, l'angle de focalisation (CJ). Considtrons deux trajectoires jumelles issues d'un meme point a + = 0, l'une avec un angle d'incidence de +a, l'autre de -a, on obtient alors
y , = c + (yo - c ) cos 2lI2+ - (yo /2112) tg a sin 2lI24 [I21
y, = c + (yo - c) cos 2'l2+ + (y0 /2112) tg a sin 2'12+
Les deux orbites se croisent, i.e. y , = y,, B 4 = CJ = 7 ~ / 2 ~ / ' . L'angle a apparait aussi dans c, mais dans un cosinus, qui est invariant par rapport au signe de son argument. Pour des angles a difftrents, l'angle de focalisation est ltgirement different de C J ; cet effet 'de second ordre est ttudit plus loin sous un autre aspect.
(b) Approximation du deuxi2me ordre L'tquation [lo] est celle proposte par Hughes et Rojansky (1929); elle constitue une solution
de premiire approximation de l'tquation de la trajectoire d'un tlectron dans un champ radial en Ilr. Afin d'obtenir plus de prtcision sur le calcul des trajectoires, surtout pour les grandes valeurs de l'angle d'entrte a, il est ntcessaire d'obtenir une solution de deuxikme approximation.
A cette fin ajoutons un terme correctif n2 B l'expression que nous avions pour y , celui-ci devient
On rttcrit l'tq. [3] avec cette nouvelle variable, et on dtveloppe en strie le dernier terme:
On soustrait ensuite l'tq. [ 9 ] , n," + 2n, = 0, il reste
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La solution complCte de cette tquation est la somme de la solution gtntrale de l'tquation homo- gene et d'une solution particuliCre avec le second membre. La solution gtnCrale est la meme que I'tq. [lo] avec des constantes diffkrentes.
Rempla~ant n, par sa valeur donnte en [lo], il faut trouver une solution a [15], soit
C161 + B2
nZf ' + 2n2 = c [ ( ) + A B sin (8 lP4) + (A2 ; B2) cos (81124)]
Posons
[I71 n2, = L cos (8lI24) + M sin (8lI24 + N )
D'oh n,," = -8L cos (8'l2+) - 8M sin (8lI24)
Reprenant [15], on obtient
-6Lcos (8lI24) - 6M sin (8lI24) + 2N = A B
B 2 ] cos + - c sin (811'+) + 2c + B2
La valeur de n2, proposte en [17] sera solution a condition que les constantes L , M , N aient les valeurs suivantes :
La solution complete pour y sera donc
Y = c + n, + n2, + n2,
n2, = F cos (2'124) + G sin (2lI2+)
[19] y = c + N + ( A + F ) cos 2lI2+ + ( B + G) sin 2'l2+ + L cos 8'l24 + M sin 8'124
On dttermine la valeur des constantes a I'aide des deux conditions initiales usuelles, soit celles tnonctes en [4] :
y ( 0 ) = y o = c + A + F + L
yl(0) = -yo tg a = 2'I2(B + G + 2 M ) Et on trouve
L'tquation [19] constitue la solution de deuxi6me approximation; elle sera utiliste dans la deuxi6me section pour les calculs numtriques. On peut Cgalement trouver au moyen de cette relation quel est l'ttalement des Clectrons dans le plan de focalisation. I1 suffit de poser 4 = n/2'l2 dans la relation [19]. On obtient alors
C2ll 2B2 A2
y(n/21/2) = c - A + - + - 3c 3c
On pose yo = 1 et vo = v, ce qui donne A = 1 - c, et c = sec a ; par ailleurs B = -(1/2'l2) tg a, d'oh
8 5 y(n/21/2) = - seca - - 3 3
Pour des angles a assez petits ( a < 15"), on peut faire I'approximation suivante: sec a = 1 + a2/2.
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FIG. 1. SchCma illustrant la dispersion angulaire dans un plan qui dCcoupe un angle de deflexion + = qui est aussi I'angle defocalisation. La dispersion,reprCsentC par le symbole S. dans le texte, est determinee par la lon- gueur du segment AB sur la figure, soit S, = AB. Elle montre comment sont distributs, dans le plan de focalisation, des Clectrons qui ont la meme Cnergie, mais qui sont injectts selon des angles diffkrents.
L'expression de y devient y(n/2'l" = 1 + + a 2
L'Ccart S, (voir Fig. 1 ) est simplement R, - r(n/2112). Ce qui permet d'tcrire
Comme la difftrence R, - r est petite devant la valeur de R,, on fait une tr&s ltgkre erreur en rempla~ant r par R, dans l'tq. [22]; l'expression obtenue est beaucoup plus pratique. C'est la relation que nous nous proposions de trouver, soit
Ce rtsultat est trks inttressant. I1 indique un Ctalement dans le plan d,e focalisation des tlectrons monocinttiques, ttalement qui se produit d'un seul c6tt de la ligne mtdiane du dlecteur, ceci quelque soit le signe de I'angle a au depart. Ce phtnomkne est la principale cause de dissymttrie dans les courbes de distribution en Cnergie, comme nous le verrons en dCtail par la suite.
11. MCthode de calcul des courbes de distribution en Cnergie: application ii deux spectromhtres couramment utilisCs
L'objet de cette section consiste B obtenir la courbe de distribution en tnergie de deux sklecteurs d'tlectrons ayant des caracttristiques bien dtfinies (Fig. 2). Le calcul s'effectue en attribuant au dtpart une position, une vitesse et un angle d'incidence difftrents B quelque 50 000 tlectrons, puis en compilant B la sortie la distribution en vitesse (ou en tnergie) des electrons stlectionnts au nombre approximatif de 3000.
Pour bien dtfinir le probltme, nous prtsentons d'abord un expost des mkcanismes mathkmatiques de selection. Vient ensuite la prksentation des hypothkses contenues implicitement dans le calcul. Enfin, les rtsultats sont prtsentCs sous forme de graphiques.
(a ) Mkcanismes de se'lection Sans fente de sortie, le stlecteur n'est qu'un prisme Clectrostatique. La largeur de la fente est
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4 I+- Af,
S ~ L E C T E U R n t
I
' rnax 2.75 crn 1.50 cm
Ro 2.50 crn 1.25 cm
rnln 2 25 crn 100 crn
Of, 0.05 crn 0.05 crn
A fs 0.03 cm 0.03 crn
FIG. 2. Les caractkristiques geomktriques des deux spectrom6tres pour lesquels les rksultats des calculs sont prksentks. Ro reprksente le rayon de la trajectoire circulaire, dite trajectoire principale, r,,, et r,,, reprksentent les rayons des Clectrodes du condensateur cylindrique, Af. et Af, les largeurs respectives des fentes d'entrke et de sortie.
le facteur determinant du pouvolr de resolution. Cette selection s'opere en calculant y(n/2112) B l'aide de l'eq. [19] pour chaque Clectron et en imposant que cette valeur soit comprise entre deux valeurs limites correspondant aux dimensions relatives de la fente par rapport au rayon de la trajectoire centrale.
Le faisceau est limit6 aussi par la condition que l'on impose aux trajectoires d'Etre contenues B l'intkrieur de deux rayons limites. Ces rayons correspondent physiquement a la position des Clectrodes de focalisation. MEme si l'tq. [19] permet d'obtenir un trace complet de la trajectoire, il suffit de calculer la valeur de y au point oG I'ecart avec la trajectoire centrale est maximum. Ce point est celui oii y' s'annule. Cette valeur peut Etre dkterminte en utilisant l a relation [6] qu'on Ccrira sous la forme
- i y t 2 = c2 In ( y ) - +Y' + k(cte)
et en determinant la valeur de la constante 2 I'aide des conditions initiales [4];
Posons y' = 0, on obtient alors
[25 1 2k - y2 + c2 In ( y ) = 0
Effectuons le changement de variable suivant, y = 1 - x. Le fait que x soit beaucoup plus petit que 1 nous permet d'utiliser l'approximation du second ordre pour In ( 1 - x). On tire donc de [25 ] :
x2(1 + c2) - 2 ~ ( 1 - c2) + 1 - 2k = 0 dont les racines sont
X* = 1 - c2 f [(l - c2)' + (1 + c2)(2k - 1)]112
1 + c2
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Un examen rapide de I'tq. [26] rtvele que x + est positif et que x - est ntgatif. De plus, ces deux valeurs sont invariantes par rapport au signe de E. Ces deux considCrations nous justifient d'associer x + a un angle d'incidence positif et x - a un angle d'incidence nCgatif. Dans le premier cas, la trajectoire posdde un rayon maximum; dans le second cas, elle posside un rayon minimum.
Calculons maintenant les valeurs limites de x correspondant aux dimensions des stlecteurs, soit
C'est la une des conditions de transmission Clectrodes de focalisation; on doit alors poser imposte aux Clectrons. pour cette constante
( b ) Hypothtses Le calcul de la distribution en Cnergie du
stlecteur Clectrostatique tel qu'exposC prick- demment fait appel de faqon implicite a un certain nombre d'hypotheses simplificatrices; ce sont les suivantes.
1. Problbme plan ou bidimensionnel. 2. Symttrie cylindrique complete dans la dis-
tribution du champ tlectrique. Pas de charges d'espace.
3. L'Cquation des trajectoires dCcrites par 1'Cq. 1191 possede une prCcision suffisante.
4. Distribution initiale uniforme des positions, des vitesses et des angles d'incidence. On divise le faisceau en faisceaux secondaires, de meme intensitt et distribuks symetriquement dans la largeur de la fente d'entree. Chacun de ces faisceaux secondaires est composC de tranches angulaires dirigts suivant des angles moyens differents, contenant chacun un nombre donnt d'Clectrons d'tnergie diffirente. Cette distribu- tion n'est pas limitative; les valeurs d'angles et de vitesses sont choisies de faqon a couvrir le spectre propre a chaque dlecteur.
5. La vitesse d'un Clectron a la sortie du sClecteur Cgale en module sa vitesse initiale. En effet, les Clectrons entrent dans le spectrometre par un plan Cquipotentiel, la face d'entrCe du diedre, et en sortent aussi par un plan Cqui- potentiel, la face de sortie. Cependant comme la fente d'entrCe possede une largeur finie, les tlectrons seraient inject& dans le prisme Clec- trostatique sur des Cquipotentielles differentes, selon leur coordonnCe initiale yo. C'est la constante c definie prCcCdemment qui permet de tenir compte du fait qu'un Clectron peut Stre
Remarquons ici qu'on neglige l'influence des effets de bouts sur la configuration des Cqui- potentielles.
6. On suppose que les Clectrons sClectionnCs sont ceux dont la valeur du rayon de la tra- jectoire r(+) est comprise entre les valeurs d u rayon minimum et du rayon maximum d u silecteur tout au long de la trajectoire, et entre les valeurs correspondant aux extrtmitCs de la fente de sortie du sClecteur.
( c ) Rbultats Les rCsultats du calcul de la distribution en
Cnergie sont present& sous forme de graphique la Fig. 3. En ordonnbe, nous avons le nombre dYClec-
trons a la sortie du stlecteur; en abscisse, le carrC de la vitesse initiale v,. Les risultats de ce calcul sont essentiellement relatifs. Les unites d'intensitk de courant dependent de l7intensitC de la source utiliste. Les valeurs d'Cnergie sont relatives a la valeur d'Cnergie de I'tlectron sui- vant la trajectoire principale, normalisCe arbi- trairement 1 eV pour les commodit6s du calcul. Ainsi par exemple on multipliers par 5 eV 1'Cchelle d'inergie si l'on s'intbresse a des Clectrons dont 1'Cnergie principale est de 5 eV.
On notera que cette valeur principale de 1'Cnergie correspondant a la trajectoire centrale est infkrieure d'environ 1 2% a la valeur de 1'Cnergie correspondant au maximum d'intensiti. Cet Ctalement vers les plus grandes Cnergies est une caracttristique du sklecteur, tel que permet de le prCvoir 1'Cq. [23] de la premiere section.
accClCre ou ralenti au moment de son passage (d ) Discussion des hypothtses du plan unipotentiel de I'entrCe a 1'Cquipoten- Si nous voulons utiliser les rCsultats obtenus tielle cylindrique du champ tlectrique, entre les par notre mCthode de calcul, il est important de
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DELAGE ET CARETIE: SPECTROMETRES ELECTROSTATIQUES. PARTIE I
t ~ELECTEUR I f ~ELECTEUR n
FIG. 3. Les courbes designkes par (1) reprksentent la distribution en tnergie des condensateurs I et I1 pour les- quels les calculs ont 6te effectuts, tandis que les courbes dksignees par (2) reprksentent les courbes de distribution pour des longueurs de fentes de 1 cm.
3 -
2
s'interroger sur la validitt du modele mathtma- tique employt. C'est dans ce but que nous prtsentons ici un bref commentaire sur chacune des hypotheses du calcul.
1. Le stlecteur est construit de f a ~ o n a pro- duire un champ radial; nous n'avons pas 2 considtrer. de force dans la direction de l'axe de symttrie si les fentes d'entrte et de sortie du spectrometre sont tres courtes. Cependant les tlectrons ont une composante de vitesse dans cette direction et les trajectoires considtrtes sont les projections dans le plan de symttrie des trajectoires rtelles. I1 faudrait donc, lorsque la longueur des fentes n'est pas ntgligeable, ajouter a l'tnergie calculte des tlectrons l'tnergie cint- tique de cette composante additionnelle. Ce calcul a t t t fait et nous trouvons effectivement un Clargissement de la courbe de distribution en tnergie. Cet tlargissement se fait sentir sur- tout du cat6 des hautes tnergies et est propor- tionnel au rapport de la longueur des fentes sur la longueur des trajectoires. Pour le stlecteur I, cet tlargissement est de I'ordre de 40% et pour le stlecteur 11, de 20%. Egalement a la Fig. 3, nous prtsentons une courbe de distribution en tnergie pour laquelle on a tenu compte dans les calculs de la longueur des fentes (Roy et al. 1971).
0 Q I = l c m
W
-; 1
2. L'hypothkse du champ en I/r sans pertur- bations ntglige certaines conditions physiques. Les fentes d'entrte et de sortie forment des tquipotentielles perpendiculaires a celles existant entre les tlectrodes de focalisation, ce qui produit des perturbations du champ aux deux extrtmitks du stlecteur. De plus, comme ces electrodes sont faites de treillis mttallique, on ne peut supposer l'uniformitt du champ pres de
k m I n a
IW k V) Z W
I - g
C 1.000 1.040
ces grilles. 3. L'approximation mathtmatique du deux-
ikme ordre introduit une erreur systtmatique d'au plus 1%. Cette erreur est sensible surtout pour le stlecteur I 051 les angles atteignent 20". Le calcul conduisant a cette valeur de l'erreur est prtsentt en appendice.
4. I1 faut discuter stpartment les hypothkses sur la distribution initiale des positions, des vitesses et des angles. On peut raisonnablement supposer un courant uniforme d'tlectrons dans toute la largeur de la fente; remplacer le faisceau par une strie de sous-faisceaux est justifit par les faibles dimensions de la fente. La distribu- tion des vitesses n'est certainement pas uniforme ; cependant, la portion de cette distribution que le stlecteur choisira constitue un intervalle de vitesse suffisamment ttroit pour que, dans cet
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intervalle, la distribution puisse etre considtrte uniforme. C'est la distribution angulaire qui est la plus arbitraire. I1 est pratiquement impossible de mesurer ou de calculer la distribution angu- laire du courant d'tlectrons a l'entrte du stlecteur a cause du nuage tlectronique qui se forme pres du filament. Si l'on supposait un faisceau plus concentrt autour de la trajectoire centrale, la courbe de distribution en tnergie a la sortie serait plus symttrique car la dissydtrie est causte par la dispersion angulaire.
5. Cette hypothese devient une condition rigoureusement respectte, pourvu que les elec- trons qui sortent du stlecteur se trouvent dans une rtgion unipotentielle. I1 est tres facile de satisfaire a cette condition en laboratoire.
6. Quand on impose aux rayons des trajec- toires d'etre compris a I'inttrieur de deux rayons limites, on suppose que les trajectoires ne sont pas influenctes par la proximitt des tlectrodes de focalisation. Or nous ne connaissons pas avec exactitude le champ tlectrique au voisinage de ces tlectrodes, comme l'ont montrt Petit-Clerc et Carette (1968). Cette incertitude affecte davan- tage les tlectrons les plus tnergttiques.
111. Calcuis auxiliaires (a ) Etude de la me'thode expe'rimentale d'analyse
La rntthode la plus couramment utiliste pour dtterminer expirimentalement la distribution d'tnergie des tlectrons transmis par un spectro- metre consiste a utiliser un deuxieme spectro- metre, semblable au premier, et a y injecter le faisceau d'tlectrons transmis. On distingue gtnt- ralement les deux appareils selon leur fonction, en les dtsignant par les termes stlecteur d'tlec- trons et analyseur d'tlectrons. Deux principales mtthodes d'analyse sont utilistes. Dans la premiere on applique une difference de potentiel entre les faces de sortie du stlecteur et d'tntree de l'analyseur, de faqon a balayer le spectre d'tnergie de part et d'autre de l'tnergie nominale du faisceau d'tlectrons. Comme on applique aux deux spectromktres la meme difftrence de potentiel AV entre les tlectrodes de focalisation, de faqon a ce que l'tnergie de la trajectoire principale soit la meme pour chacun, selon la relation
le fait de balayer le potentiel entre l'analyseur et le stlecteur tquivaut a additionner ou a
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soustraire une certaine quantitt d'tnergie aux tlectrons de la distribution a la sortie du stlecteur. Selon la valeur du potentiel de balayage une tranche difftrente des tlectrons de la distribution sera transmise par l'analyseur. Le courant mesurt la sortie de ce dernier en fonction de la tension de balayage tpouse le contour d'une courbe en forme de pic; la largeur de ce dernier doit etre, selon les divers exptri- mentateurs, e.g. Marmet et Kerwin (1960) et Schulz (1962), plus grande que celle de la distri- bution initiale; aussi pour obtenir les largeurs a la base et a demi-intensitt de la distribution rielle tous les exptrimentateurs ont eu l'habitude de diviser par un facteur de correction l'tchelle de la tension du balayage.
La deuxieme mtthode utiliste aussi par de nombreux exptrimentateurs, e.g. Ballu (1968) et Simpson (1964), consiste a balayer la difft- rence de potentiel AV de I'analyseur seulement, de sorte que les tlectrons qui dtcrivent une trajectoire circulaire (donc qui sont transmis par l'analyseur) possedent une tnergie donnte par la relation [27]. En balayant cette tnergie, au moyen de AV, de part et d'autre de l'tnergie nominale des tlectrons incidents, on permet A I'analyseur de transmettre tour a tour chaque tranche de la distribution incidente. Le courant mesurt a la sortie de l'analyseur en fonction de la tension balayte (AV) doit encore ici reprt- senter la forme de la distribution a un facteur de correction prb . Les exptrimentateurs ont I'habitude encore ici de diviser les largeurs mesurtes la base et a demi-intensitt par ce facteur, qui est plus grand que l'unitt.
Au moyen de la mtthode de calcul exposte prtctdemment nous avons tvalut quels sont, dans le plan de la fente de sortie du stlecteur, la position, l'angle et la vitesse de chaque tlectron transmis. Ensuite en supposant que la fente d'entrte de I'analyseur coincide avec celle de sortie du stlecteur, cette derniere distribution a t t t injectte dans l'analyseur et nous avons simult le processus d'analyse pour chacune des mtthodes d'analyse dtcrites prtctdemment. A la sortie, on a tvalut le courant total d'tlectrons en fonction de la tension de balayage selecteur- analyseur pour le premier cas et de la difference de potentiel entre les tlectrodes de focalisation pour le second cas. Les deux mtthodes donnent essentiellement le meme rtsultat qui est prtsentk A la Fig. 4. On y voit tout de suite que, contraire- ment a I'opinion entretenue par les expirimen-
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I PRocEssus D'ANALYSE , cALcuL : I
FIG. 4. La courbe de gauche represente la distribution d'knergie des Clectrons transmis par le selecteur I, tandis que la courbe de droite correspond a la rkponse obtenue au moyen de la methode d'analyse courarnment utilisee. On y observe I'intensite du courant mesure en fonction de la tension de balayage.
tateurs jusqu'8 maintenant, la courbe de distri- bution mesurCe selon les deux techniques gCnC- ralement utilisCe, est beaucoup plus Ctroite que la courbe de distribution rtelle et qu'au lieu de diviser les largeurs mesurCes par un facteur plus grand que I'unite on doit les multiplier par un facteur plus grand que 17unitC. Par exemple pour la largeur B demi-intensite de la courbe de la Fig. 4, cette constante sera le rapport
De plus nos calculs ont montrC que ce facteur n'est pas constant, mais change avec la gComttrie de chaque spectrometre. Donc pour des spec- trometres de gComCtrie donnCe, utilists comme sClecteur et analyseur, il faut dCterminer au moyen de notre mCthode quelle est la valeur de la constante multiplicative. Les calculs prCsentCs a la Fig. 4 ont CtC obtenus pour le stlecteur et l'analyseur montCs de f a ~ o n symktrique (Marmet et Kerwin 1960), c'est-a-dire que leurs rayons de courbure sont dirigCs du mSme c6tC; ce montage Cpouse la forme d'un C. Pour un montage dans lequel les rayons de courbure sont de sens opposC, montage dit en S, nous avons vCrifiC qu'il existe aussi une diffkrence entre la distribution rCelle et la distribution mesurte; cette difference est toutefois moindre que dans le montage en C.
L'explication des rtsultats obtenus, la suite des calculs ayant trait aux mCthodes d'analyse, peut facilement Stre interprCtCs si on Ctudie les caracttristiques du faisceau a la sortie du sClecteur; ce que nous prCsentons dans la section suivante.
(bj Anafyse des caracte'ristiques du faisceau transmis par un se'fecteur
Nous avons d'abord dtterminC quel Ctait le nombre d'klectrons transmis en fonction de l'angle de sortie des Clectrons pour un sClecteur donni. Ces rCsultats sont prCsentCs, pour le sClecteur I, a la Fig. 3 de la seconde partie de ce travail (Allard et Carette 1971). Les valeurs thtoriques y sont accompagnCes des valeurs expirimentales dCterminCes par ces auteurs. On y observe que le nombre d'Clectrons en fonction de l'angle de sortie est a peu pres constant pour toute I'ouverture angulaire du faisceau.
En deuxieme lieu nous avons CvaluC, au moyen de la mCthode de calcul proposCe, quelle est la distribution en Cnergie des Clectrons contenus dans une tranche angulaire de largeur Aci situCe a un angle moyen ci par rapport la normale au plan de la face de sortie du sClecteur d'klectrons. Ces rCsultats sont prCsentCs a la Fig. 5. Egalement la valeur de 1'Cnergie correspondant au maximum de chacune des distributions partielles en fonction de l'angle de
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LE DE SORTIE
FIG. 5. Evaluation des courbes de distribution en fonction d'un angle moyen a, mesurd par rapport a la perpen- diculaire au plan desortie, en n'acceptant qu'une tranche Aa = 2.9".
sortie est prtsentte A la Fig. 4 de la deuxiime partie du travail; elles y sont accompagntes des valeurs expirimentales dttermintes par Allard et Carette (1971).
Ces derniers resultats et les prtctdents mon- trent que les tlectrons les plus Cnergetiques du faisceau transmis sont situts du cat6 des grands angles de sortie du dlecteur. C'est justement pour de t r is grands angles de sortie que les tlectrons seront le plus affectes par la proximitt
distribution rtelle de l'tnergie des tlectrons transmis par un stlecteur. Des calculs ont t t t effectuts dans le but de virifier le fait que, lorsque la tranche angulaire acceptte par l'analyseur est petite, la distribution mesurte reprtsente bien l'ttat de la distribution rtelle des tlectrons de cette tranche. Un exemple en est prtsentt A la Fig. 6.
IV. Conclusion des tlectrodes de focalisation de l'analyseur, car Nous avons prtsentt au cours de ce travail le rayon de ces derniires constitue une des con- une mtthode tris simple qui permet d'obtenir ditions de transmission des tlectrons qui y sont le profil de la distribution en energie des tlec- inject&. Ceci est d'ailleurs bien confirm6 par les trans transmis par un spectromitre 61ectrosta- rtsultats de la Fig. 4, oh l'on peut observer que tique. Cette methode a CtC utilisb pour etudier ce Sent bien les electrons de la partie la plus les proprittts du spec t rom~re cylindrique. L~~ tnergttique du spectre qui sont Climints au auteurs de la deuxiime partie du travail prt- cours du processus d'analyse. senteront des vtrifications exptrimentales de nos
( c ) Me'thode d'analyse propose'e Puisque le nombre d'klectrons transmis en
fonction de l'angle de sortie ct est ii peu pris constant et que les tlectrons qui sont transmis possident une tnergie qui augmente ii peu pris quadratiquement avec l'angle de sortie (voir Fig. 4 de la partie 11), on peut supposer que si l'analyse de la distribution d'tnergie des Clec- trons transmis est fidcle pour de petites tranches Act du faisceau, la somme de ces distributions partielles reprisentera de faqon plus exacte la
conclusions et ceux de la troisiime partie utili- seront cette mCthode pour les principaux types de spectromitres electrostatiques.
Appendice: prCcision des calculs effectuCs au moyen de 1'Cquation du deuxicme ordre
On a mentionnt prtctde~nment qu'en plus des hypothises simplificatrices dont dtpend la mtthode de calcul, une source d'imprtcision pouvait Ctre introduite par l'utilisation d'ap- proximations du second ordre dans la solution
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MECANISME D'ANALYSE , CALCUL CAS ou L'ANGLE ACCEPT€ A a = 3 O
FIG. 6. La courbe de gauche est la distribution en Cnergie dans une tranche de largeur Au = 3" B la sortie du sClecteur; la courbe de droite est le courant mesurC a la sortie de I'analyseur, en fonction de la tension de balayage.
I 0
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des Cquations du mouvement. On verra main- tenant dans quelle mesure les rCsultats prCsentCs prCcCdemment pour le spectromitre cylindrique peuvent ttre affect& par ce fait.
Un moyen d'Cvaluer l'importance de cette erreur est de rCsoudre numkriquement et avec une grande prCcision IyCquation diffkrentielle exacte du mouvement, selon une mCthode analogue 5 celle utilisCe par Ballu (1968), et de comparer les valeurs obtenues avec celles don- nCes par les solutions du second ordre.
L'Cquation diffkrentielle, qui dCcrit le mouve- ment d'un Clectron dans un prisme cylindrique, peut s'Ccrire de la f a ~ o n suivante:
SORTIE DU SEL~CTEUR ANALYSEUR CALCUL DE,LA DISTRIBUTION
3 w DISTRIBUTION CALCULEE SELON LA METHODE DE MESURE
-; t LZ
-", W - k Z -3
a - T,
4 - 5 0 - z
-
I . 1 . I 1 , 1 1 1 ,
.98 1.00 1.02 .98 1.00 1.02
oh u = r/Ro et c2 est le facteur, dCfini prick- demment, qui tient compte des conditions initiales de 1'Clectron.
A partir des conditions initiales suivantes
[A.2] r(0) = ro et r'(0) = r', = ro t g a
il est possible au moyen d'un calcul effect% par itkrations de connaitre la trajectoire de chaque Clectron, point par point. Cette mCthode est bade sur la formule d'Euler modifiCe et sur les dCveloppements en sCrie de Taylor (Bolduc 1970).
L'Cquation [A.1] fournit d'abord la valeur de
la dCrivCe seconde r"(0) = ro" B I'entrCe du prisme, a partir des conditions initiales [A.2] . On peut alors dCduire une premiire valeur de la coordonnCe r, de 1'Clectron et de sa dCrivCe premiire r l f , apris une diflexion A+ donnCe, gr%ce aux relations suivantes:
L'Cquation [A. 1 ] permet ensuite de dCterminer une premiire valeur de r,". Cependant, comme ces valeurs r, et r,' sont elles-mtmes entachkes d'une certaine erreur A cause de la valeur finie de l'intervalle A+, elles vont ttre calculCes B nouveau d'une maniire plus prCcise, B partir de ces valeurs approximatives et des valeurs plus exactes du point prCcCdent. Ces nouvelles valeurs sont donnCes par
rl = ro + A+(rlP + rO1)/2
v . 4 1 - A+2(rl" - rOr')/4
r, ' = rof + A+(rlU + rOu)/2
Puis, r," est aussi CvaluC de f a ~ o n plus prCcise au moyen de 1'Cq. [ A . l ] . Par ittrations, la trajectoire de 1'Clectron peut ainsi etre reconsti- tuCe avec une grande prCcision si I'on choisit une valeur suffisamment petite pour I'intervalle A+.
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Un grand nombre de trajectoires ont CtC calculCes de cette facon pour diverses conditions initiales de 1'Clectron (avec A+ -- 0.5"), et en- suite comparCes aux valeurs correspondantes donnCes par 1'Cq. [19] pour la coordonnCe r(+) de lYClectron, et par 1'Cq. [26] pour 1'apogCe ou le pCrigCe de sa trajectoire. On a ensuite CvaluC 1'Ccart relatif entre ces valeurs afin d'ttablir un graphique qui montre la pricision du calcul approximatif en fonction des principaux para- metres (Fig. 7).
On dCfinit ainsi cet Ccart relatif pour chacune des deux conditions de transmission:
oh r, dCsigne la coordonnCe finale de 1'Clectron (a 127") et r + 1'apogCe de sa trajectoire. Les indices e et a dCsignent respectivement les valeurs considCrCes comme exactes et approxi- mative~.
I E N FoNcTloN oE L'ANGLE
I EN FONCTION OE L'FNERGIE /
FIG. 7. Precision des 6quations du second ordre uti- lisees dans les calculs de trajectoires; le graphique supe- rieur donne l'ecart relatif en fonction de l'angle, et le graphique inferieur en fonction de l'energie.
L'examen de la Fig. 7 rtvtle que si l'on ne consid6re que l'influence de l'angle a, 1'Ccart relatif est nkgligeable, a la fois pour r, et pour r + , puisque toujours infkrieur 1% meme si a atteint une valeur de 20". Cependant, comme un electron dont I'angle d'incidence est assez important ne peut etre transmis que si son Cnergie est plus grande que l'energie nominale, il peut Etre rCvClateur d'Ctudier l'influence com- binCe de ces deux facteurs. Pour a = 15", on trouve ainsi que 1'Ccart relatif de r, en fonction de 1'Cnergie demeure nCgligeable (<0.5%). Ce- pendant l'erreur sur r + augmente rapidement et devient assez importante pour de grandes valeurs d'Cnergie, soit un Ccart d'environ 3% pour des Cnergies supkrieures de 35% 1'Cnergie nominale.
Ainsi, ces rCsultats montrent bien que la solution de deuxitme approximation de 1'Cqua- tion diffirentielle que nous proposons est tr ts valable et que sa prkcision est largement suffi- sante pour les besoins des calculs prCsentCs dans ce travail. Toutefois, certaines rCserves doivent Stre faites a cause de la plus grande imprCcision de la relation [26] qui donne les Ccarts maxima par rapport a la trajectoire principale. Comme 1'Climination des Clectrons qui ont une grande Cnergie et de grands angles d'incidence dCpend principalement de cette relation, cette erreur affecte donc la partie la plus CnergCtique de la distribution produite par un spectromttre de grande ouverture angulaire.
Cependant la majeure partie des calculs prC- sentCs prCcCdemment se situent bien a 1'intCrieur des limites mentionnies et ne peuvent Etre affect& que de facon nCgligeable par cette approximation. D'autre part, comme la largeur des fentes utilisCes dans les spectromttres ne reprCsentent jamais plus de 5% du rayon Ro, l'influence de ro est toujours nkgligeable devant celle de a et vo. Enfin, il faut prCciser qu'on dvalue ici l'erreur introduite pour une seule trajectoire alors que la distribution d'tnergie est obtenue B partir de milliers de trajectoires; l'impricision introduite par les trajectoires ex- tremes devient donc encore plus nCgligeable devant le grand nombre de trajectoires.
Remerciements Nous tenons a remercier les docteurs P.
Marmet, M. Baril et M. de Celles pour les suggestions et conseils qu'ils nous ont prodiguCs
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au cours de ce travail. Egalement nous voulons remercier monsieur A. Laverditre, dessinateur, et madame Claudette Michaud qui a dactylo- graphiC notre manuscrit. Nous avons tgalement r e y la collaboration de monsieur D. Roy qui a mis au point le programme de calcul present6 en appendice et pour ses remarques sur le travail. Les calculs ont etC effectuCs au Centre de traitement de I'information de 1'UniversitC Laval gr%ce a une subvention du Conseil National de Recherches du Canada.
ALLARD, P. et CARETTE, J.-D. 1971. Can. J. Phys. Cette edition.
BALLU, Y. 1968. Rev. Phys. Appl. 3, 46. BOLDUC, L. 1970. Rapport interne No. 504-70-2, CRAM,
Universite Laval, Quebec, Quebec.
CLARKE, E. M. 1954. Can. J. Phys. 32, 764. GOLDSTEIN, H. 1964. Mecanique classique (Presses
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MARMET, P. et KERWIN, L. 1960. Can. J. Phys. 38, 787. PETIT-CLERC, Y. et CARETTE, J.-D. 1968. Vacuum, 18, 7. ROY, D., DE CELLES, M. et CARETTE, J.-D. 1971. Rev. Phys.
Appl. 6, 51. SCHULZ, G. J. 1962. Phys. Rev. 125, 229. SIMPSON, J. A. 1964. Rev. Sci. Instrum. 35, 1698. THEODORIDIS, G. C. et PAOLINI, F. R. 1968. Rev. Sci.
Instrum. 39, 326.
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