Sphère d'Ewald 1

Sphère d'EwaldLa sphère d'Ewald est une construction géométrique utilisée dans la description théorique de la diffraction par unsolide. Dans une géométrie de diffraction donnée, elle permet de déterminer graphiquement les points du réseauréciproque, c'est-à-dire les familles de plans cristallins, donnant lieu à la diffraction.La sphère Ewald est nommée d'après Paul Ewald (1888-1985), physicien allemand qui fut pionnier dans l'étude de ladiffraction des rayons X.

Construction générale de la sphère d'Ewald

Construction générale de la sphère d'Ewald.

Dans la géométrie la plus simple, on considère un faisceau incidentmonochromatique sur un cristal fixe. Le faisceau est décrit par sonvecteur d'onde, généralement noté , de direction et de longueurfixées par l'expérience. Le cristal est décrit par son réseau réciproque,dont l'orientation est également fixée par les conditions de l'expérience.Le rayonnement diffusé par le cristal peut avoir a priori n'importequelle direction ; on impose simplement que son énergie soit identiqueà celle du faisceau incident (hypothèse de la diffusion élastique).Graphiquement, le vecteur d'onde correspondant au faisceau diffusésera donc de même longueur que le vecteur du faisceau incident.

On s'intéresse au vecteur de diffusion défini par . Lasphère d'Ewald est la sphère définie par le lieu des extrémitéspossibles du vecteur pour toutes les directions possibles dufaisceau diffusé. Cette sphère contient l'origine du réseau réciproque eta pour rayon .La théorie de la diffraction montre qu'il y a diffraction, c'est-à-dire interférences constructives des faisceaux diffusés,à la condition que l'extrémité de corresponde à un point du réseau réciproque : c'est la condition de Laue.Graphiquement, les familles de plans atomiques qui diffractent dans les conditions de l'expérience correspondentdonc aux points du réseau réciproque qui se trouvent sur la sphère d'Ewald.Dans la limite des grandes longueurs d'onde, le rayon de la sphère d'Ewald devient trop petit : plus aucun point duréseau réciproque ne peut être intercepté. Ceci illustre le fait qu'il est nécessaire de travailler avec des longueursd'onde de l'ordre de la distance interatomique pour obtenir une figure de diffraction.

Expériences particulièresLa construction générale présentée ci-dessus ne s'applique pas directement à une expérience de diffraction tellequ'elles sont habituellement pratiquées. Les schémas du paragraphe précédent permettent de comprendre pourquoi :il y a dans le cas général très peu de points du réseau réciproque situés sur la sphère d'Ewald. Une expérience menéede la sorte, avec un cristal fixe et une longueur d'onde fixée, ne peut donner que très peu de signal de diffraction etdonc très peu d'information sur le réseau cristallin.Dans la pratique il est donc nécessaire de faire varier, si possible de façon continue, un des paramètres del'expérience. On peut ainsi faire varier la longueur d'onde ou l'orientation du cristal. La construction d'Ewald doitalors être modifiée en conséquence.

Sphère d'Ewald 2

Diffraction par la méthode du cristal tournantComme son nom l'indique, une expérience de cristal tournant consiste à faire tourner le cristal autour d'un de sesaxes. Le réseau réciproque devient une famille de cercles situés dans des plans perpendiculaires à l'axe de rotation.La sphère d'Ewald en revanche reste fixe, mais elle intercepte plusieurs cercles.

Diffraction sur poudre dans une chambre de Debye-ScherrerDans une chambre de Debye-Scherrer, on réalise de la diffraction d'un faisceau monochromatique par une poudre.Les grains de la poudre sont autant de petits cristaux disposés avec des orientations aléatoires. Dans le cas idéal,toutes les orientations possibles sont présentes et statistiquement équivalentes.Le schéma précédent doit donc être modifié : le réseau réciproque devient une famille de sphères engendrée par larotation du réseau d'un grain cristallin dans toutes les directions. La sphère d'Ewald en revanche reste fixe.

Diffraction sur cristal par la méthode de LaueDans la méthode de Laue, on observe la diffraction d'un faisceau polychromatique par un monocristal fixe.On garde donc cette fois le réseau réciproque tel qu'il a été présenté dans la construction générale. En revanche, lasphère d'Ewald devient une famille de sphères qu'on obtient en faisant varier continument la longueur d'onde (doncla longueur de ) entre les valeurs des longueurs d'onde minimale et maximale comprises dans le faisceau.

Diffraction des électrons dans un MET

Cliché de diffraction d'un oxyde de tantaleobtenue dans un MET. Dans cette configuration,

la sphère d'Ewald est tellement grande qu'elleintercepte une large portion d'un plan du réseau

réciproque.

Dans la limite des courtes longueurs d'onde, le rayon de la sphèred'Ewald devient très grand ; elle devient assimilable à un plan et peutintercepter simultanément toute une série de points alignés dans leréseau réciproque. C'est une situation fréquemment rencontrée dans lecas de la diffraction des électrons par un cristal dans un microscopeélectronique en transmission. L'image obtenue est alors une image trèspeu déformée du réseau réciproque.

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