SÉQUENCE 8 - Overblogdata.over-blog-kiwi.com/0/56/36/40/201304/ob_e4b707_al4...— 48 Cned, mathématiques 6e c c Séquence 8 SÉQUENCE 8 Séance 1 Ce que tu devais faire Les commentaires

— © Cned, mathématiques 6e48

cc Séquence 8 SÉQUENCE 8Séance 1

Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Je révise les acquis de l’école1)

¨ 15

˛ 2

12

˛ 16

¨ 34

2)¨ 25 min˛ un quart d’heure ¨ 30 min˛ 15 min

3)¨ 3 élèves¨ 7 élèves¨ 1 élève˛ 8 élèves

4)˛ un quart¨ un tiers

˛ 14

¨ on ne peut pas savoir

1)

Le disque est partagé en douze parties superposables. Deux de ces portions sont coloriées en vert. La fraction du disque

coloriée en vert est donc 212

.

La partie coloriée représente également 16

.

2)

La grande aiguille indique les minutes. Elle effectue un tour complet en 1 h soit 60 min.

4 x 15 min = 60 min.

15 min représentent donc un quart d’heure.

3)

Pour connaître le tiers de 24, on divise 24 par 3. On obtient 8.

4)

On voit sur la figure ci-dessous que la fraction

qui reste à parcourir est 14

.

© Cned – Académie en ligne

© Cned, mathématiques 6e — 49

ccSéquence 8Exercice 10,7 x 10 = 7

0,726 x 100 = 72,6

8 x 5 = 40

4 x 3 = 12

Cet exercice est un exercice de multiplications à trous. Tu en as déjà fait (par exemple l’exercice 28 de la séquence 4).

• Le nombre qui, multiplié par 10, donne 7 est 0,7. C’est le quotient de 7 par 10. Il se

note 710

.

• 0,726 est le quotient de 72,6 par 100. Il se

note 72,6100

.

• 8 est le quotient de 40 par 5. Il se

note 405

.

• 4 est le quotient de 12 par 3. Il se

note 123

.

Exercice 21) 4,5 x 2 = 9 donc :

92

= 4,5.

2) 2,5 x 4 = 10 donc : 104

= 2,5.

3) 3,5 x 2 = 7 donc : 7 2√ = 3,5.

4) 0,4 x 5 = 2 donc : 25

= 0,4.5) ........ x 0 = 3 C’est impossible : tout nombre multiplié par 0 donne 0, donc on ne peut pas obtenir 3. Il n’y a pas de solution.

Cet exercice est encore un exercice de multiplications à trous.

5) On voit dans cette question que le quotient d’un nombre par 0 n’existe pas.

Exercice 31)

7

3

4

1

Maxence donne à chacun 1 € et il lui reste 3 €.

2)

7 0

3

2

0

0 4

1 7 5

,

,0

0

Je divise d’abord 7 unités par 4.En 7, combien de fois 4 ? → 1 fois, il reste 3 unités.3 unités, c’est 30 dixièmes.En 30, combien de fois 4 ? → 7 fois, il reste 2 dixièmes.2 dixièmes, c’est 20 centièmes.En 20, combien de fois 4 ? → 5 fois, il ne reste rien.

D’après son grand frère, Maxence devra donner 1,75 € à chacun de ses quatre amis.3)

1,

,

7 5x 4

007

Pour partager équitablement 7 € en 4 personnes, Maxence doit donner 1,75 € à chacune de ces quatre personnes.

La division est simple, on aurait pu ne pas la poser !Maxence ne parvient pas à partager tout son argent : il lui reste encore 3 €.

Cette méthode est appelée « technique de la division décimale ».

3) La multiplication permet de vérifier que, lorsqu’on partage 7 € en quatre sommes égales, on obtient bien 1,75 €.



cc Séquence 8Exercice 41) 2) 3)

33 5

58 0

3

,

,00

03

5

1 7 0 6

22

11

9 000

,

,

1

6 0 8

5

181 0 0

00

2,

,

2 4

0 7 5

853 : 5 = 170,6 Par conséquent : 91215

= 60,8 Le quotient de 18 par 24 est 0,75.Les commentaires du professeur :La troisième division est un peu plus délicate que les autres. Voici ce que l’on se dit pour cette division :

« En 18, combien de fois 24 ? Réponse 0. J’écris un 0 puis une virgule au quotient » 81 0,

,

2 4

0J’écris à droite du dividende 18 une virgule puis un 0.

En 180, combien de fois 24 ? Réponse 7. 181 0

2,

,

2 4

0 77 x 24 =168180 – 168 = 12.J’écris 12 en dessous de 180.

J’écris un 0 à droite de 12. En 120, combien de fois 24 ? Réponse 5. 181 0 0

00

2,

,

2 4

0 7 55 x 24 = 120120 – 120 = 0La division est terminée. Le quotient est 0,75.

Exercice 5Maxence s’est trompé car il n’a pas terminé sa division.

5

3

3 0

0

6

4

0

0,

,

0

0

0

8

4 3 57

Dans chaque pot, il y aura 4,375 L de peinture.

On pouvait rapidement voir que Maxence s’était trompé car : 4,37 x 8 = 34,96Comme on ne trouve pas 35, on sait que Maxence s’est trompé.Il faut penser à terminer ses divisions.

Exercice 6

prob

lèm

e

Quatre plumes pèsent 173 grammes. Combien pèse une plume ?

Deux groupes de 98 et 55 touristes se rejoignent à un embarcadère. Des bateaux vont leur permettre de traverser un fleuve : chaque bateau peut contenir 36 touristes. Combien de touristes y aura-t-il dans le dernier bateau ?

Six randonneurs ont emporté 231 litres d’eau pour leur périple dans le désert. Sachant qu’ils ont réparti équitablement les charges entre eux, quel volume d’eau chacun doit-il transporter ?

opér

atio

ns 331

71 0

1

,

,

0

00

02

4

4 3 2 5

98 + 55 = 153

39

51 3

4

6115

32 0

3

,

,00

6

3 8 5

conc

lusi

on Une plume pèse 43,25 grammes.

Le dernier bateau contiendra 9 touristes.

Chaque randonneur va transporter 38,5 litres d’eau.



ccSéquence 8Séance 2Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Exercice 7

3139 0 0

00

00

48

02

,

,

1 6

5 58 1 2

0 0

Un DVD de ce lot coûte exactement 5,812 5 €.Ce type de prix n’existe pas en réalité, car il n’existe pas de pièce qui vale moins de 1 centime d’euro.

On trouve un quotient qui a 4 chiffres après la virgule. Un tel prix n’existe pas en réalité.

C’est pourtant bien le prix que coûte un DVD de ce lot.

Un vendeur ne pourrait pas vendre un DVD à ce prix (5,812 5 €). Par contre, il pourrait prendre comme prix de vente un DVD l’arrondi au centième d’euros de 5 812 5 €, soit à 5,81 €.

Revoir au besoin les séances 5 et 6 de la séquence 2.

Exercice 8Idir a raison. Par pliage, on peut partager équitablement le ruban en 3.Calculons la longueur en cm de chacun des morceaux :

116 ,

,

001 0

1 01 0

0 0 0 3

5 3 3 3 3

Cette division ne s’arrête jamais ! La longueur en cm de chaque morceau de ruban ne s’écrit pas simplement.

La division ne s’arrête jamais puisque « le reste se répète » :

En 10, combien de fois 3 ? 3 fois il reste 1

En 10, combien de fois 3 ? 3 fois il reste 1

...

...

...

5,3 ; 5,33 ; 5,333 ; 5,3333 sont des valeurs approchées de la longueur d’un morceau de ruban en cm.

Sa longueur exacte se note 163

cm.

Exercice 9a)

9 22 2

,

,

0

1 03 0

0 7

1 3 1 4

2

L’arrondi au dixième de 927

est 13,1.b)

3 53

6

,

,

00

8

4 3

La troncature au dixième de 358

est 4,3.c)

9 13 1

,

,

0

1 04 0

4 04

0 0 6

1 5 1 6 6

L’arrondi au centième de 916

est 15,17.

a)

On cherche l’arrondi au dixième du quotient de 92 par 7. On effectue donc la division jusqu’au « deuxième chiffre après la virgule ».

b)

On cherche la troncature au dixième du quotient de 35 par 8. On effectue donc la division jusqu’au « premier chiffre après la virgule ».

c)

On cherche l’arrondi au centième du quotient de 91 par 6. On effectue donc la division jusqu’au « troisième chiffre après la virgule ».



cc Séquence 8Exercice 10La réponse de Maxence est fausse !J’effectue la division de 25 par 6 :

51

2 00

4 0

4

4

,

,

0 0 0

0

4 0

6

4 1 6 6 6

La division ne s’arrête jamais, on « retombe toujours sur le même reste 4 ».Le quotient n’est donc pas un décimal.

La division ne s’arrête jamais, le quotient n’est pas décimal. On peut toutefois en donner des valeurs approchées :à 2 chiffres après la virgule : 4,17 à 3 chiffres après la virgule : 4,167 à 4 chiffres après la virgule : 4,166 7 à 5 chiffres après la virgule : 4,166 67 à 6 chiffres après la virgule : 4,166 667 à 7 chiffres après la virgule : 4,166 666 7 à 8 chiffres après la virgule : 4,166 666 67à 9 chiffres après la virgule : 4,166 666 667...La réponse que donne la calculatrice est en fait dans ce cas l’arrondi à 8 chiffres après la virgule.Autre méthode :Si la réponse de Maxence était correcte 4 166 666 667 serait le nombre dont le produit par 6 serait égal à 25. On aurait donc : 4,166 666 667 x 6 = 25Comme 7 x 6 = 42,4,166 666 667 x 6 est un décimal ayant 9 chiffres après la virgule, le dernier étant un 2.Le produit 4,166 666 667 x 6 n’est donc pas égal à 25.4,166 666 667 n’est pas le quotient de 25 par 6.

Exercice 11Le volume de jus de pêche est 2 x 25 soit 50 cL.Le volume de jus de fraises est 4 x 12,5 soit 50 cL.Le volume total de jus dans le saladier est 50 + 50 + 57 soit 157 cL.

1 5 32

,

,

771 0 0

9

0 0 1

1 2 0 7

Il y aura environ 12,1 cL de cocktail dans chaque verre.

On demande pour la réponse l’arrondi au dixième de cL. On effectue donc la division jusqu’au « deuxième chiffre après la virgule ».

On n’oublie pas, dans ce type de problème, de rédiger correctement la réponse en détaillant les calculs que l’on fait.




Exercice 12Je divise d’abord 18 unités par 5.En 18, combien de fois 5 ? → 3 fois, il reste 3 unités.3 unités et 4 dixièmes, c’est 34 dixièmes.En 34, combien de fois 5 ? → 6 fois, il reste 4 dixièmes.4 dixièmes et 5 centièmes, c’est 45 centièmes.En 45, combien de fois 5 ? → 9 fois, il ne reste rien.Maxence et ses quatre amis vont payer chacun 3,69 € pour offrir le CD à Armand.

On voit dans cet exercice la méthode qui permet de diviser un nombre décimal par un entier. Il faut que tu apprennes cette méthode et que tu la maîtrises « sur le bout des doigts ».

Exercice 131)

663

72 5

0 51

,

,

6

60

4

6 9 1 4

2)

112

62 3

3 33

,

,

0

00

6

4 3 5 5

3)

4411

59 9

6 99

,

,0

00

6

1 2

7 9 5 57

276 56

4

,= 69,14

261 3

6

,= 43,55

= 7,957 595,49 ÷ 12

Les commentaires du professeur :

On applique la technique de la division décimale.

Exercice 141)

554

21 6

5 60

,

,

8

1 5 7

Un pot de peinture coûte 15,70 €.2)8 x 3 = 248 pots de 3 L contiennent au total 24 L de peinture.

55

21 6 0

068

0808

,

,

2 4

5 2 3 3

1 L de peinture coûte environ 5,23 €.

1)

8 pots coûtent 125,6 € donc pour obtenir le prix d’un pot, on effectue : 125,6 ÷ 8 .

2)

On commence par calculer le nombre total litres de peinture contenus dans les 8 pots.

On trouve 24 L.

On divise ensuite le nombre de litres de peinture par le prix.

On effectue : 125,6 ÷ 24

On veut l’arrondi au centième d’euro donc on arrête la division « au bout du 3e chiffre après la virgule ».

Remarque : On aurait pu obtenir le prix d’un litre de peinture en divisant le prix d’un pot de 3 L par 3.

Cependant, cette méthode a un inconvénient : si le calcule, à la première question, est faux, tout l’exercice est faux.



cc Séquence 8Exercice 151)

54

2 11

6 06

,

,

2 0

2

7

3 5 8 8

4

La troncature au millième de 25 127

, est 3,588.

2)

2 35 0

,

,

0

2

6

0 3 8

L’arrondi au dixième de 2,3 ÷ 6 est 0,4.

1)

On cherche la troncature au millième de 25,127

On arrête la division « au bout du 3e chiffre après la virgule ».

2)On cherche l’arrondi au dixième de 2,3 ÷ 6 . On arrête la division « au bout du 2e chiffre après la virgule ».

Exercice 161)a) b) c)

66

1 888

,

,

2

22 0

0

1 0

1 6 8 2

55

4 00

,

,

000

1 0 0

0 0 4 5

11

9 66

006

,

,

00

0 0

00

0

1 0 0 0

0 0 9 1 6

2)a) Diviser 168,2 par 10 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 1 rang, c’est-à-dire à multiplier par 0,1.b) Diviser 4,5 par 100 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 2 rangs, c’est-à-dire à multiplier par 0,01.c) Diviser 91,6 par 1 000 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 3 rangs, c’est-à-dire à multiplier par 0,001.

Exercice 177 110,

= 0,71 888 46

100,

= 8,884 6 0 151000

, = 0,000 15

4

100 = 0,04

4 99910,

= 0,499 9 90 11000

, = 0,090 1

On applique la règle de la division par 10, 100 et 1 000 vue précédemment.

Exercice 18Une peluche achetée chez le vendeur A, coûte en € :45 60

10

, soit 4,560 €, c’est-à-dire 4,56 €.

Une peluche achetée chez le vendeur B, coûte en € : 13 703

,

J’effectue la division :31

1 77

2 02

,

,

0 0

0

3

4 5 6 6

2

La valeur arrondie au centime d’euro est 4,57 €.

Le vendeur le moins cher est donc le vendeur A.

Pour calculer le prix d’une peluche achetée chez le vendeur A, on utilise la règle de la division par 10. On décale donc la virgule de 45,60 d’un rang vers la gauche.Pour calculer le prix d’une peluche achetée chez le vendeur B, on applique la technique de la division décimale.On demande l’arrondi au centime d’euro, donc on arrête la division « au bout du 3e chiffre après la virgule ».On conclut en comparant 4,56 et 4,57.




Exercice 191) Quel est le dénominateur de l’écriture fractionnaire qui a 5 pour numérateur ? 7,62) Quel est le numérateur de l’écriture fractionnaire qui a 7,2 pour dénominateur ? 0,143) Quelle écriture fractionnaire a le plus grand dénominateur ? 7,215

On doit savoir par cœur que le nombre situé au dessus de la barre de fraction est le numérateur, et que le nombre situé au dessous est le dénominateur.

Exercice 20

36

12

ou

47

34

Dans le premier cas, on constate que le disque est découpé en 6 parts superposables. 3 parts sont coloriées en rouge : on trouve donc la

fraction 36

. C’est aussi 12

car la moitié du

disque est en rouge.

Dans le deuxième cas, on constate que le rectangle est découpé en 7 parts superposables.

4 parts sont coloriées en rouge : on trouve donc

la fraction 47

.

Dans le troisième cas, on constate que le carré est découpé en 4 parts superposables. 3 parts sont coloriées en rouge : on trouve donc la

fraction 34

.

Exercice 21Trois quarts

34

Quinze tiers 153

Sept demis 72

Neuf douzièmes 912

Exercice 222

3 Deux tiers

7

4 Sept quarts

33

7 Trente-trois septièmes

17

11 Dix-sept onzièmes



cc Séquence 8Exercice 2335

7 = 5

9

9 = 1

13

1 = 13

48

6 = 8

56

7 = 8

4

4 = 1

72

1 = 72

77

11 = 7

37

37 = 1

On divise mentalement 35 par 7 ; 9 par 9 ; 13 par 1 ....On obtient 5 ; 1 ; 13 ...Autre méthode :On revient à la définition du quotient :357

est le nombre qui multiplié par 7 donne

35. Il est donc tel que : 357

x 7 = 35.

5 x 7 = 35 donc 357

= 5.On fait de même pour les autres cas.On remarque deux cas particuliers :

• 99

; 44

; 3737

sont des fractions égales à 1 car : 9 x 1 = 9 ; 4 x 1 = 4 ; 37 x 1 = 37.

• 131

; 721

sont des fractions respectivement égales à 13 et 72.

Exercice 241)

I

Les commentaires du professeur :On partage un segment unité en 4 segments superposables. Chaque petit segment mesure un quart de l’unité soit un quart.Ensuite, on trouve naturellement deux quarts, trois quarts et quatre quarts.Pour ce qui est des écritures décimales, on trouve facilement la moitié de 1 soit 0,5. La moitié de 0,5 est 0,25.On écrit donc 0,25 puis 0,5 puis 0,5 + 0,25 soit 0,75. On voit donc ici le lien avec le quotient puisque :

02

1 000

,

,

4

0 2 5

On a bien : 14

0,25=

La notion de fraction comme « partage » coïncide donc parfaitement avec la notion de fraction définie comme un quotient.

2)

Les commentaires du professeur :On partage un segment unité en 5, donc chaque petit segment mesure un cinquième de l’unité soit un cinquième.Ensuite, on trouve naturellement deux cinquièmes, trois cinquièmes, quatre cinquièmes, cinq cinquièmes, puis six cinquièmes et sept cinquièmes. On a trouvé :

15

0,2= en effectuant la division :

010

,

,

5

0 2



ccSéquence 8Exercice 251)

nombres plus petits que 1 nombres égaux à 1 nombres plus grands que 1

5

7 ;

13

14 ;

2

3

8

8 ;

47

47

9

7 ;

14

13 ;

3

2

2)Une fraction est inférieure à 1 lorsque son numérateur est plus petit que son dénominateur.Une fraction est supérieure à 1 lorsque son numérateur est plus grand que son dénominateur.

Les commentaires du professeur :1)

On étudie la fraction 97

. On imagine la division décimale de 9 par 7. En 9, combien de fois 7 ? Réponse 1. On n’a pas besoin d’imaginer la suite de la division : on sait que le quotient est plus grand que 1.

On étudie la fraction 57

. On imagine la division décimale de 5 par 7. En 5, combien de fois 7 ? Réponse 0. Le quotient est donc plus petit que 1.Etc.On se rend alors compte que (par exemple) :

• 17

; 27

; 37

; 47

; 57

; 67

sont plus petits que 1.

• 77

est égal à 1.

• 87

; 97

; 107

; 117

; 127

; 137

; 147

; 157

... sont plus grands que 1.

On comprend alors que, dès que le numérateur d’une fraction est plus petit que son dénominateur, la fraction est inférieure à 1.Au contraire, si le numérateur d’une fraction est plus grand que son dénominateur, la fraction est supérieure à 1.On a vu dans l’exercice 23 que lorsque le numérateur et le dénominateur sont égaux, la fraction est égale à 1.



cc Séquence 8Exercice 26a) 0

037 0

020

,

,

4

1 7 5

74

est un nombre décimal qui s’écrit 1,75.

b)02

2 002

,

,

3

0 6 6

La division ne « s’arrête jamais ».23

n’est pas un nombre décimal.

Sa troncature au centième est 0,66.c) 0

13

00

,

,

2

1 5

32


d)11 0

2,

,

0 0

008

8

1 2

0 9 1 6

La division ne « s’arrête jamais ».1112

n’est pas un nombre décimal.

Sa troncature au centième est 0,91.e) 0

17

00

,

,

2

3 5

72


a) On effectue la division décimale de 7 par 4.On trouve 1,75.

b) On effectue la division décimale de 2 par 3.Cette division ne s’arrête jamais, « on retombe toujours sur le reste 2 ». Le quotient n’est donc pas décimal.« On arrête la division au bout de 2 chiffres après la virgule » pour obtenir la troncature de 23

au centième.

c) On effectue la division décimale de 3 par 2.On trouve 1,5.

d) On effectue la division décimale de 11 par 12.Cette division ne s’arrête jamais, « on retombe toujours sur le reste 8 ». Le quotient n’est donc pas décimal.« On arrête la division au bout de 2 chiffres après la virgule » pour obtenir la troncature de 1112

au centième.

e) On effectue la division décimale de 7 par 2.On trouve 3,5.




Exercice 27a)

27

5 = 5,4 b)

41

66 833≈ ,

c) 31

8 = 3,875 d)

22

7≈ 3,142 85

On effectue les divisions décimales.

Pour les cas a) et c), les divisions « s’arrêtent ». Les quotients sont 5,4 et 3,875.

Pour les cas b) et d), les divisions « ne s’arrêtent jamais », mais :

la troncature de 416

au millième est 6,833.

la troncature de 227

à 5 chiffres après la virgule

est 3,142 85.

Dans ces deux cas, on utilise donc le symbole « est environ égal à ».

Exercice 281)

1 20

A B C

16

56

116

2)

1 2 30

A B C

25

125

95

Exercice 29

0 1 2 3 4 5

A B DC

23

73

93

143

ou


On cherche à placer des tiers, on peut donc commencer par regarder où se place 13

:

Trois petits segments de même longueur mis bout à bout ont pour longueur totale 1. Un tel segment mesure donc deux carreaux de

longueur. Une fois que l’on a placé 13

, on place A d’abscisse 23

, ...

0

1 2

4 5

A B DC

13

23

33

43

73

93

143

...

3



cc Séquence 8Exercice 30

2 3 4

2 + 13

4 23

4 + 23

Les commentaires du professeur :On commence par regarder à quelle longueur correspond

13

:Trois petits segments de même longueur mis bout à bout ont pour longueur totale 1. Un tel segment mesure donc deux carreaux de longueur.

Le point d’abscisse 2 +13

se place ensuite facilement : C’est le point qui se trouve à la longueur 13

, (c’est-à-dire 2 carreaux) « à droite du point d’abscisse 2 ».

21

3 4

13

13

13

On procède de la même façon pour les autres nombres.

Exercice 31

6

5

5

5

1

5= + = 1

15

+ 0 1

15

65

5

4

4

4

1

4= + = 1 1

4++

0 1 2

14

54

11

6

6

6

5

6= + = 1

56

+

0 1 2

56

116

10

7

7

7

3

7= + = 1

37

+

0 1

37

710

« Six cinquièmes, c’est cinq cinquièmes plus un cinquième ».

Pour placer rapidement 65

sur la droite

graduée, au lieu de compter 15

, 25

, 35

, ...

jusqu’à 65

. On cherche 1, « on compte 15

à

partir de 1 », et on place 65

à cet endroit de la demi-droite graduée.On fait de même pour les autres fractions.

Exercice 3218

5

15

5

3

5= + = 3

35

+

35

4

32

4

3

4= + = 8 3

4++

31

14

28

14

3

14= + = 2

314

+



ccSéquence 8Exercice 33

0 1 2 3 4

B

34

A

32

E

114

D

298

C

58


Commençons par placer 32

. On cherche ce que représente 12

. Le segment unité est composé de huit petits carreaux superposables,

12

correspond donc à la longueur de 4 petits carreaux. Comme 32

112

= + , on peut alors placer facilement 32

.

0 1 2 3 4

A

32

12

Plaçons maintenant 34

et 114


. Le segment unité est composé de huit petits carreaux

superposables, 14

correspond donc à la longueur de 2 petits carreaux. On peut donc placer 14

, 24

, 34

. Comme 114

234

= + , on

peut alors placer 114

.

0 1 2 3 4

B

34

14

24

E

114

...

Plaçons maintenant 58

et 298


: c’est 1 petit carreau. On peut donc placer 18

, 28

,..., 58

.

Comme 298

358

= + , on peut alors placer 298

.

0 1 2 3 4

C

58

18

28

D

298

...



cc Séquence 8 Séance 6Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Exercice 341)



ccSéquence 82)a)

12 3 4 5 10

= = = = =2 3 4 5 10

22 3 4 5 10

= = = = =4 6 8 10 20

32 3 4 5 10

= = = = =6 9 12 15 30

b) 32 4=

6 3

2 10=

15 65 10=

12

c) « Si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le même nombre, on obtient une fraction qui lui est égale ».

2) a)On voit sur les différentes demi-droites graduées que les fractions

22

, 33

, ... sont toutes placées sur la même ligne verticale, et sont donc égales à 1.On fait de même pour les fractions

42

, 63

, ... Puis pour les fractions

62

, 93

, ... .

c)

x

x

Cette conjecture est en fait tout le temps vraie quand le même nombre n’est pas égal à 0 (on l’admet).

Exercice 35

a) 16

5 10=

32 b)

3

4=

15

20 c)

47=

12

21 d)

2 8

164=

e) 5

3 33=

55 f)

4 24

61= g)

8

7=

16

14 h)

32=

39

26Les commentaires du professeur :On applique le « je retiens » vu précédemment.

x

x

x

x

x

x

x

x



cc Séquence 8Exercice 36a) 7

5 15

14

20

42= = = =

2110

2830

b) 30

9 3 6

60

12= = = =

10 2018

40

c) 20

12

40

6 30

25= = = =

2410 50

15

a) 75

2115

= s’obtient en multipliant le numérateur

et le dénominateur de 75

par 3.75

1410



par 2.2820

pouvait s’obtenir de deux façons :

• soit en multipliant le numérateur et

le dénominateur de 75

par 4.• soit en multipliant le numérateur et le

dénominateur de 1410

par 2.4230

pouvait s’obtenir de deux façons :• soit en multipliant le numérateur et


par 6.

• soit en multipliant le numérateur et


par 3.

On fait de même pour le b) et le c).

Exercice 37

a) 7

2=

3510

b) 9

4=

225100

c) 7

8=

8751 000

d) Il n’existe pas de fraction égale à 11

3 dont le dénominateur

est 10.

a) 72

3510



par 5.b)94

225100



par 25.c)78

8751 000



par 125.d)On cherche un entier qui multiplié par 3 donne 10. Il n’y en a pas car 3 x 3 = 9 et 3 x 4 = 12.La fraction cherchée n’existe pas.

Exercice 38

a) 6

4

3

2

2

2= ×

×= 3

2

b) 102

87

34

29

3

3= ×

×= 34

29

c) 15

40

3

8

5

5= ×

×= 3

8

d) 8

12

2

3

4

4= ×

×= 2

3

e) 108

45

12

5

9

9= ×

×= 12

5

Pour simplifier une fraction, on pense à utiliser les critères de divisibilité.a) On cherche un entier qui soit à la fois un diviseur de 6 et un diviseur de 4. Les deux nombres sont pairs, donc divisibles par 2.b) On cherche un entier qui soit à la fois un diviseur de 102 et un diviseur de 87. 2 n’est pas un diviseur de 87.3 est un diviseur de 102 et 87 car la somme de leurs chiffres est divisible par 3.c) On cherche un entier qui soit à la fois un diviseur de 15 et un diviseur de 40. 5 est un diviseur de 15 et 40 car ils se terminent pas un 0 ou un 5.d) 8 et 12 sont pairs. La fraction

812

est donc

simplifiable par 2. Chaque fois qu’une fraction est simplifiée par 2, on regarde toutefois si elle n’est pas simplifiable par 4. C’est le cas, puisque 8 et 12 sont dans la table de multiplication par 4.e) On utilise le critère de divisibilité par 9.




a) 42

66

14

22

14

22

7

11

3

3

2

2= ×

×= = ×

×= 7

11 b)

30

165

6

33

6

33

2

11

5

5

3

3= ×

×= = ×

×= 2

11

c) 315

90

35

10

35

10

7

2

9

9

5

5= ×

×= = ×

×= 7

2 d)

210

36

70

12

70

12

35

6

3

3

2

2= ×

×= = ×

×= 35

6




Exercice 40

a) 0 44

1025

22

, = = ××

= 25

b) 0 2424

100625

44

, = = ××

= 625

c) 1 3, =1310

d) 0 4242

1002150

22

, = = ××

= 2150

On pense à utiliser la règle de la division d’un décimal par 10, 100 et 1 000. Cette règle permet d’écrire rapidement un nombre décimal en une fraction dont le dénominateur est 10, 100 ou 1 000.

On essaie ensuite de simplifier les fractions au maximum.

Exercice 41

a) 2745

35

99

= ××

= 35

b) 0 66

1035

22

, = = ××

= 35

d) 1220

35

44

= ××

= 35

e) 3633

1211

33

= ××

= 1211

f) 610

35

22

= ××

= 35

3633

est le seul nombre qui ne soit pas égal aux autres.

Pour pouvoir comparer chacun de ces nombres, on pense à tous les écrire sous la forme d’une fraction qui a le même dénominateur. On regarde alors si les numérateurs sont les mêmes.

Ici, on a choisi d’écrire les fractions ayant pour dénominateur 5, mais on aurait pu choisir 10 ou 40 : l’important est qu’elles soient toutes écrites avec le même dénominateur.

Exercice 42

a) 3 21 7 17,,

=32 b)

263 85 385,

=2 600

c) 0 051 006 1 006

,,

=50

d) 6 074 1

60 7,,

,=

41 e) 3

0 06300

,=

6 f) 0 001

0 27 27,,

=0,1


On sait que si on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire par le même nombre (non nul), on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale. On applique cette règle dans les cas ci-dessous avec 10, 100 et 1000 afin d’obtenir une écriture fractionnaire égale à celle donnée au départ, mais avec un dénominateur entier.

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



ccSéquence 8Exercice 43Parmi les écritures fractionnaires données,

23 6

2036

59

44,

= = ××

= 59

; 2 12

2212200

106100

106100

5350

22

22

, = = ××

= = ××

= 5350

; 4 13

4130

1710

33

, = = ××

= 1710

; 0 0612

61200

1200

66

, = = ××

= 1200

ne sont pas des fractions.

a) 2

3 62036

59

44,

= = ××

= 59

b) 2 12

2212200

106100

106100

5350

22

22

, = = ××

= = ××

= 5350

c) 34

est une fraction

d) 4 13

4130

1710

33

, = = ××

= 1710

e) 0 0612

61200

1200

66

, = = ××

= 1200

On commence par se rappeler qu’une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont entiers.Parmi les écritures fractionnaires proposées, seule

34

est une fraction.Nous cherchons donc à écrire une fraction égale à chaque autre écriture fractionnaire.Pour cela, on multiplie par 10, 100 ou 1 000 le dénominateur et le numérateur de la façon suivante :• on multiplie par 10 le numérateur et le dénominateur de

23,6

. Ainsi, les numérateurs et dénominateurs obtenus sont entiers. On n’a pas besoin de multiplier par 100 ou 1 000, sinon on obtient une fraction avec des nombres plus grands, donc plus dure à simplifier.• on multiplie par 100 le numérateur et le dénominateur de

2,122

. Ainsi, les numérateurs et le dénominateur obtenus sont entiers. Multiplier par 10 ne suffit pas : on trouve2,12

221,220

= et 21,220

n’est pas une fraction.

Ensuite, on cherche à simplifier au maximum les fractions obtenues.

Exercice 44

a) 1 5

10 515105

321

321

17

55

33

,,

= = ××

= = ××

= 17

b) 1 350 27

13527

153

153

51

99

33

,,

= = ××

= = ××

=51

= 5

c) 4 59 9

4599

511

99

,,

= = ××

= 511

d) 8 44 8

8448

2112

2112

74

44

33

,,

= = ××

= = ××

= 74

e) 5 20 4

524

131

131

44

,,

= = ××

= = 13

f) 04 4

11440

140

140

1111

,,

= = ××

=11

On utilise la méthode vue précédemment.a) Attention ! il ne faut pas confondre

17

et 71

.La fraction

17

ne peut pas s’écrire plus simplement.b) Une fois que l’on obtient

153

, on doit écrire que cette fraction est égale à 5. Pourtant, on demande un résultat sous forme de fraction. En fait, quand la fraction est égale à un entier, on la note comme un entier.Par exemple, ici, on écrit 5 et non

51

.C’est la même chose pour le e).f) Des deux nombres 0,11 et 4,4 c’est 0,11 qui a le plus de chiffres après la virgule.Comme 0,11 s’écrit avec 2 chiffres après la virgule, on multiplie le numérateur et le

dénominateur de la fraction 0,114,4

par 100.




Exercice 451)a)

8004

= 200 donc une part de gâteau pèse 200 g.

Trois parts de gâteau pèsent donc 3 x 200 soit 600 g.Il a donc effectué : 3 x (800 ÷ 4) b)Il a en fait effectué : (3 ÷ 4) x 800c)Il a en fait effectué : (3 x 800) ÷ 4

2) On cherche à calculer 25

600× .

Méthode de Maxence : 2 x (600 ÷ 5) = 2 x 120 = 240. On trouve 240 g.Méthode de Léo : (2 ÷ 5) x 600 = 0,4 x 600 = 240. On trouve 240 g.Méthode d’Amaury : (2 x 600) ÷ 5 = 1 200 ÷ 5 = 240. On trouve 240 g.

Exercice 46Trois quarts de 733 s’écrit :

34

733×

Onze tiers de 408 s’écrit : 113

408× 1

10950× s’écrit en toutes lettres : Un dixième de neuf cent

cinquante.1312

27× s’écrit en toutes lettres : Treize douzièmes de vingt-sept.

On applique le « Je retiens » vu précédemment.

Exercice 47a) 5

424 5 24 4 5 6× = × √ = × =( ) 30

b) 610

50 6 50 10 300 10× = × √ = √ =( ) 30

c) 25

30 2 30 5 2 6× = × √ = × =( ) 12

d) 284

5 28 4 5 7 5× = √ × = × =( ) 35

a) On aurait pu utiliser les deux autres méthodes :54

24 5 4 24 = 1,25 24 = 30× = ÷ × ×( )

54

24 5 4 4 = 120 4 = 30× = × ÷ ÷( )2

On voit que la méthode proposée dans la colonne de gauche était la plus rapide (on pouvait pu faire le calcul de tête).

Exercice 48

a) 2 62

10 2 6 10 2 26 2,

( , )× = × √ = √ = 13

b) 13

12 1 12 3 12 3× = × √ = √ =( ) 4

c) 37

35 3 35 7 3 5× = × √ = × =( ) 15

a) On aurait également pu utiliser les deux autres méthodes.b) Une méthode pose problème :13

12 1 3 12× = ÷ ×( )

Le calcul de 1÷ 3 pose problème : la division de 1 par 3 « ne s’arrête pas ». Il ne fallait pas utiliser cette méthode.c) Une méthode pose problème :37

35 3 7× = ÷ ×( ) 35

(pour une raison semblable à celle du cas précédent).Quand une méthode conduit à un résultat exact, on n’en utilise pas une autre qui ne donne qu’une valeur approchée.




a) 37

14 3 14 7 3 2× = × √ = × =( ) 6

b) 85

15 8 15 5 8 3× = × √ = × =( ) 24

c) 6112

6 2 11 3 11× = √ × = × =( ) 33

d) 0 091003

0 09 100 3 9 3, ( , )× = × √ = √ = 3

Quand on utilise la meilleure méthode, les calculs peuvent parfois devenir très simples.

Exercice 50

a) 23

18 2 18 3 2 6× = × √ = × =( ) 12

b) 287

3 5 28 7 3 5 4 3 5× = √ × = × =, ( ) , , 14

c) 8 0000 001

28 000 0 001 2× = × ÷ = 8 ÷ 2 =, ( , ) 4

d) 117

28 11 28 7 11 4× = × √ = × =( ) 44

Avant de commencer chaque calcul, on essaie de regarder quelle est la méthode la plus simple.

Exercice 51

a) 233

212 21

332 7

111411

33

× = × = × ××

=3 1411

≈ 1,27

b) 521

285 28

215 4

3203

77

× = × = × ××

=7 203

≈ 6,67

c) 3 6107

3 6 107

367

,,

× =×

= 367≈ 5,14

a) Les divisions de 2 par 33 (méthode 1) et de 21 par 33 (méthode 3) ne s’arrêtent pas. On écrit alors les calculs sous forme de fractions à l’aide de la méthode 2.b) c)Même type de raisonnement que précédemment.




Exercice 52La distance en km parcourue par le cycliste est :

27

280× .27

280 2 280 7 2 40 80× = × √ = × =( )

Le cycliste a donc parcouru 80 km.

Il lui reste à parcourir 280 – 80 soit 200 km.

On commence par calculer la distance que le cycliste a parcourue. Il ne fallait pas utiliser la méthode 1 car la fraction

27

ne s’arrête pas.Ensuite, on soustrait la distance parcourue à la distance totale.

Autre méthode : il lui reste à parcourir 57

du trajet.

57

280 5 280 7 5 40 200× = × ÷ = × =( )

Exercice 53La superficie de la Corse est :

15 51 000

552 000,

×

15 51 000

552 000 15 5 552 000 1 000 15 5 552,

, ( ) ,× = × √ = ×

J’effectue 552 15 5× , sur ma calculatrice. Je trouve 8 556.

La superficie de la Corse est 8 556 km2.

15,5 millièmes de la superficie de la France, c’est :

15,51 000

552 000×

Comme on ne peut effectuer qu’une seule multiplication avec la calculatrice, il vaut mieux choir la 3e méthode. En effet, 552 000 ÷ 1 000 est simple à calculer.

Exercice 541)

a) Romain a dépensé en € : 23

42×23

42 2 42 3 2 14 28× = × √ = × =( )

Romain a dépensé 28 €.

b) Il reste à Romain 42 – 28 soit 14 €.

2)

a) Romain a dépensé en € : 37

14×37

14 3 14 7 3 2 6× = × √ = × =( )

Lors de son deuxième achat, Romain a dépensé 6 €.

b) Après ses deux premiers achats, il reste à Romain 14 – 6 soit 8 €.

1)a)b) On soustrait l’argent qu’a dépensé Romain à la somme qu’il avait au départ.2) a)On doit faire attention :Romain dépense trois septièmes du reste soit trois septièmes de 14.



ccSéquence 8Je m’évalue

1) Le quotient de 42 par 7 est :˝ 6® 8® 7® 42

2) Le quotient 342 ÷ 50 est égal à :® 6,83® 6® 8,64˝ 6,84

3) La fraction 589

:® est un nombre décimal ?˝ n’est pas un nombre décimal ?

4) L’écriture fractionnaire 8 25, est égale à :

® 1,5® 1,61˝ 1,64® 1,642

5) La fraction 1712

s’écrit également :

® 125

12+

® 51

12+

˝ 1512

++

® 171

12+

1)On applique la définition du quotient.

2)On pose la division.Si tu n’as pas compris, reporte-toi au « Je comprends la méthode » qui suit l’exercice 3.

3)On pose la division. Elle ne s’arrête pas.Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 26.

4)On pose la division. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 13.

5)1712

1212

512

1512

= =+ +

Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 31.



cc Séquence 86) La fraction

687


˝ 957

++

® 947

+

® 937

+

® 967

+

7) La fraction 43


˝ 86

® 83

˝ 129

˝ 2015

8) L’écriture fractionnaire 2 64 2,,


˝ 1321

® 8452

˝ 5284

˝ 2642

9) L’expression 7 42

10,

× est égale à ® 30® 27® 28˝ 37

10) L’arrondi au centième de six septièmes de 26 est˝ 22,29® 22,28® 22,3® 22

6)687

637

57

957

= =+ +

Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 32.

7)On utilise la propriété suivante :« Lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction qui lui est égale ».Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux exercices 35 et 36.

8)On utilise la propriété suivante :« Lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire par un même nombre non nul, on obtient une fraction qui lui est égale ».Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux exercices 35 et 36.

9)On calcule la fraction d’un nombre.Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux exercices 49 et 50.

10)On calcule la fraction d’un nombre.Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 51.


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ccSéquence 9SÉQUENCE 9Séance 1

Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Je révise les acquis de l’école1)

® 25 mL de jus d’ananas® 150 mL de jus d’ananas® 175 mL de jus d’ananas˛ 75 mL de jus d’ananas2)® 400 km® 330 km® 310 km˛ 440 km3)˛ 10 fois moins® 3 g® 15 g˛ 4,5 g4)˛ 6 €® 30 €® 60 €® 5 €

1)

Il doit y avoir deux fois moins (c’est-à-dire la moitié) de jus d’ananas que de jus d’orange.

On a versé 150 mL de jus d’orange. La moitié de 150 est 75. On trouve donc 75 mL.

2) En 4 h, la voiture parcourra 4 fois 110 km soit 440 km.

3)

Un avion pèse 10 fois moins que 45 g, c’est-à-dire 45 ÷ 10 soit 4,5 g.

4)

30 % de 10 € représente 3 €.

30 % de 20 € représente donc 2 x 3 soit 6 €.

Exercice 1• Une semaine est constituée de 7 jours donc

. dans 4 semaines, il y a 28 jours,

. dans 11 semaines, il y a 77 jours,

. dans 52 semaines, il y a 364 jours.• Un octogone est un polygone qui possède 8 côtés donc

. 2 octogones possèdent au total 16 côtés,

. 3 octogones possèdent au total 24 côtés,

. 50 octogones possèdent au total 400 côtés.• Une glace coûte 1,5 € donc

. 2 glaces coûtent 3 €,

. 4 glaces coûtent 6 €.

• Une semaine est constituée de 7 jours, donc :dans 4 semaines, il y a 4 x 7 soit 28 joursdans 11 semaines, il y a 11 x 7 soit 77 jours dans 52 semaines, il y a 52 x 7 soit 364 jours.

• Un octogone est un polygone qui possède 8 côtés, donc2 octogones possèdent au total 2 x 8 soit 16 côtés 3 octogones possèdent au total 3 x 8 soit 24 côtés50 octogones possèdent au total 50 x 8 soit 400 côtés.

• Une glace coûte 1,5 € donc2 glaces coûtent 2 x 1,5 soit 3 €, 4 glaces coûtent 4 x 1,5 soit 6 €.

Ainsi, dans les exemples précédents :. le nombre de jours s’obtient en multipliant le nombre de semaines par 7. le nombre de côtés s’obtient en multipliant le nombre d’octogones par 8. le nombre de glaces s’obtient en multipliant le prix d’une glace par 1,5.


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cc Séquence 9Exercice 21 litre de peinture pèse 2,4 kg1) • 5 L pèsent : 5 x 2,4 = 12 soit 12 kg. 5 L de peinture pèsent 12 kg.• 12 L pèsent : 12 x 2,4 = 28,8 soit 28,8 kg. 12 L de peinture pèsent 28,8 kg.2) On remarque que : 2,4 x 10 = 24. Le bac contient 10 L de peinture.

Exercice 3Un litre de carburant coûte 1,25 €. 1) 30 L de carburant coûtent, en € : 30 x 1,25 = 37,5. Le client va payer 37,5 €.2) 46,6 L de carburant coûtent, en € : 46,6 x 1,25 = 58,25. Le client va payer 58,25 €.

Exercice 4Si cette situation était une situation de proportionnalité, Monsieur Grandbonhomme mesurerait à 5 ans. 5 x 80 soit 400 cm (4 mètres !). Or à 5 ans, Monsieur Grandbonhomme ne mesure que 100 cm. La situation n’est donc pas une situation de proportionnalité.

80 = 1 x 80

On peut dire également que la taille de ce monsieur n’est pas proportionnelle à son âge.

Exercice 5On a : 2 x 3 = 6 4 x 3 = 12 5,1 x 3 = 15,3Lorsqu’on multiplie par le même nombre 3 le côté d’un triangle équilatéral, on obtient son périmètre.Le côté d’un triangle équilatéral et son périmètre sont donc deux grandeurs proportionnelles.

On applique la définition de « grandeurs proportionnelles ».




Exercice 61)La situation décrite est une situation de proportionnalité. 3 m coûtent 10,5 €.• Comme 6 = 2 x 3 , 6 m coûtent deux fois plus cher que 3 m soit 2 x 10,5 € donc 21 €.• Comme 12 = 4 x 3 , 12 m coûtent quatre fois plus cher que 3 m soit 4 x 10,5 € donc 42 €.• Comme 15 = 5 x 3 , 15 m coûtent cinq fois plus cher que 3 m soit 5 x 10,5 € donc 52,5 €.2)3 m coûtent 10,5 €.• 1 m coûte trois fois moins cher, soit 10,5 ÷ 3 donc 3,5 €.• 1,5 m coûte deux fois moins cher, soit 10,5 ÷ 2 c’est-à-dire 5,25 €.• Comme : 0,3 = 3 ÷ 10, 0,3 m coûtent 10 fois moins cher que 3 m, soit 10,5 ÷ 10 donc 1,05 €.Les remarques du professeur :1) Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :

€

Remarques : • Pour calculer le prix de 12 m de ruban, on aurait pu procéder ainsi :Comme : 12 = 2 x 6, le prix de 12 m de ruban est le double de celui de 3 m, soit 10,5 x 2 c’est-à-dire 21 €.• Pour calculer le prix de 15 mètres de ruban, on aurait pu procéder différemment :15 = 3 + 123 mètres de ruban coûtent 10,5 euros,12 mètres de ruban coûtent 42 euros,donc 15 mètres de ruban coûtent 10,5 + 42 euros soit 52,5 euros.2)Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :

€



cc Séquence 9Exercice 76 kg de charbon de bois coûtent 4 €.1)• 18 kg, c’est-à-dire 3 fois plus, coûtent donc 3 fois plus, soit 3 x 4 €, c’est-à-dire 12 €.• 24 kg, c’est-à-dire 4 fois plus que 6 kg, coûtent donc 4 fois plus, soit 4 x 4 €, c’est-à-dire 16 €.• 3 kg, c’est-à-dire la moitié de 6 kg, coûtent donc deux fois moins, soit 4 ÷ 2 €, c’est-à-dire 2 €.2)• 20 = 5 x 4 donc 20 € représentent 5 fois le prix de 6 kg de charbon, soit le prix de 30 kg de charbon.• 22 €, c’est 20 € plus 2 €. 20 € est le prix de 30 kg de charbon,2 € est le prix de 3 kg, 22 € est donc le prix de 30 + 3 soit 33 kg de charbon.Les remarques du professeur1) Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :

€

Exercice 820 roses coûtent 13,6 €.• prix de 5 roses :Comme 5 = 20 : 4, 5 roses coûtent 4 fois moins cher que 20 roses soit 13,6 ÷ 4 donc 3,4 €.• prix de 25 roses :25 roses représentent 5 fois plus que 5 roses, elles coûtent donc 5 fois plus cher, soit 5 x 3,4 c’est-à-dire 17 €.• prix de 45 roses :45 roses représentent 9 fois plus que 5 roses, elles coûtent donc 9 fois plus cher, soit 9 x 3,4 c’est-à-dire 30,6 €.Les remarques du professeur :• Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :

€

• Pour calculer le prix de 25 roses, on pouvait également procéder de la façon suivante :25 roses, c’est « 20 roses à 13,6 euros plus 5 roses à 3,4 euros ». 25 roses coûtent donc 13,6 + 3,4 soit 17 euros.• Pour calculer le prix de 45 roses, on pouvait également procéder de la façon suivante :45 roses, c’est « 20 roses à 13,6 euros plus 25 roses à 17 euros ». 45 roses coûtent donc 13,6 + 17 soit 30,6 euros.



ccSéquence 9Exercice 9Il coule 5 litres du robinet toutes les 3 minutes. • nombre de litres en une heure :Une heure correspond à 60 minutes, donc à 20 fois 3 minutes. Il coule donc en une heure 20 fois plus d’eau qu’en 3 minutes, soit 20 x 5 litres, c’est-à-dire 100 litres.• nombre de litres en une demi-heure :Une demi-heure, c’est la moitié d’une heure, il coule donc en une demi-heure la moitié de 100 litres soit 50 litres.• nombre de litres en une heure et 3 minutes :Une heure et 3 minutes c’est une heure plus 3 minutes. En 1 heure, il coule 100 L,en 3 minutes, il coule 5 L,donc en une heure et 3 minutes, il coule donc 100 + 5 soit 105 L.

Les remarques du professeur :• Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :

+

+

• Pour déterminer combien de litres coulent en une demi-heure, on pouvait également procéder de la façon suivante :Une demi-heure, c’est 30 minutes soit 10 fois 3 minutes. Il coule donc en une demi-heure dix fois plus de litres qu’en trois minutes soit 10 x 5 donc 50 litres.



cc Séquence 9Exercice 10Le motard roule à 120 km par heure. 1)• En une demi-heure, le motard a parcouru la moitié de 120 km soit 60 km.• En un quart d’heure, le motard aura parcouru le quart de ce qu’il parcourt en une heure, soit 120 : 4 donc 30 km.• En trois quarts d’heure, il a parcouru trois fois ce qu’il parcourt en un quart d’heure, soit trois fois 30 km donc 90 km.2)• 150 = 120 + 30120 km sont parcourus en 1 h,

30 km sont parcourus en 14

h,

donc 150 km sont parcourus en une heure et quart.• 15 km, c’est 10 fois moins que 150 km. Le motard mettra donc dix fois moins de temps que pour parcourir 150 km soit 75 ÷ 10 minutes c’est-à-dire 7,5 minutes. Une demi-minute, c’est trente secondes. Le motard mettra donc 7 minutes et trente secondes pour parcourir 15 km.

Les remarques du professeur :1)Il y avait une autre solution pour calculer la distance parcourue par le motard en un quart d’heure, en utilisant le fait qu’un quart d’heure est la moitié d’une demi-heure.Il y avait également une autre solution pour calculer la distance parcourue par le motard en trois quarts d’heure, en utilisant la

relation : 34

12

14

h h h= + .

Voici un tableau qui représente l’ensemble de la situation du 1).

2)Il y avait une autre solution pour calculer le temps mis pour parcourir 150 km, en utilisant le fait que 150 km représentent 5 fois 30 km.Il y avait également une autre solution pour calculer le temps mis pour parcourir 15 km, en utilisant l’égalité : 15 = 30 ÷ 2.Voici un tableau qui représente l’ensemble de la situation du 2).

+

+




Exercice 111) 7 litres de soda coûtent 8,05 € donc 1 L coûte 7 fois moins soit 8,05 ÷ 7 donc 1,15 €. Le prix d’un litre de soda est donc 1,15 €.2) Maintenant que nous connaissons le prix d’un litre, il est très facile de calculer le prix de 13 L, de 27 L, ou de n’importe quel volume de soda :13 L de soda coûtent 13 x 1,15 euros soit 14,95 €.27 L de soda coûtent 27 x 1,15 euros soit 31,05 €.

Exercice 121) Un pack d’eau contient 6 x 15 soit 9 L d’eau. Dans un litre, il y a donc 9 fois moins de calcium que dans 9 L, soit 4,32 ÷ 9 c’est-à-dire 0,48 g.2) Dans 15 L, il y a 15 x 0,48 g de calcium soit 7,2 g de calcium.Dans 25 L, il y en a 25 x 0,48 soit 12 g de calcium.3) On cherche le nombre qui multiplié par 0,48 donne 4,992. On effectue donc 4,992 ÷ 0,48. On obtient 10,4. Il y a 4,992 grammes de calcium dans 10,4 L de cette eau minérale.Les remarques du professeur :1) On peut dresser le tableau suivant :

2) On peut dresser le tableau suivant :

Dans ce tableau, on passe d’un nombre de la première ligne au nombre correspondant de la seconde ligne en multipliant toujours par un même nombre (ici : 0,48). Il en est ainsi car on est dans une situation de proportionnalité. 0,48 est le coefficient de proportionnalité de cette situation. C’est le nombre qui se trouve au-dessous de 1 dans le tableau.3) On peut dresser le tableau suivant :

Trouver le volume d’eau dans lequel se trouvent 4,992 g de calcium revient à trouver le nombre qui, multiplié par 0,48 donne 4,992.On effectue donc 4,992 ÷ 0,48.

Exercice 13Pour pouvoir comparer le prix des deux lessives, on peut comparer leurs prix au kilo.• Marque « kips » :4 kg coûtent 2,5 € donc 1 kg coûte 4 fois moins, soit 2,5 ÷ 4 € c’est-à-dire 0,625 €.• Marque « erial » :4,5 kg coûtent 2,79 € donc 1 kg coûte 2,79 ÷ 4,5 € c’est-à-dire 0,62 €.Comme 0,62 < 0,625 , la marque la moins chère est la marque « erial ».



cc Séquence 9Exercice 14En 25 minutes, la machine produit 44 kg de crème glacée. 1) En 1 min, elle en produit 25 fois moins, soit 44 ÷ 25 kg c’est-à-dire 1,76 kg.2) • En 32 min, elle produit 32 x 1,76 kg de crème glacée soit 56,32 kg.• 3 heures et 27 min représentent (3 x 60) + 27 min soit 207 min.En 207 min, la machine produit 207 x 1,76 kg de crème glacée, soit 364,32 kg.3)• 172,48 ÷ 1,76 = 98. Il faut donc 98 min, c’est-à-dire 1 h 38 min pour produire 172,48 kg de crème glacée.• De la même façon, pour produire 227,04 kg de crème glacée, il faut 227,04 ÷ 1,76 soit129 min, c’est-à-dire 2 h 9 min.

Les remarques du professeur :1) 2) On peut dresser le tableau suivant :

3) Comment trouver le temps qu’il faut pour produire 172,48 kg de crème glacée ? On cherche le nombre qui, multiplié par 1,76 donne 172,48. Ce nombre est : 172,48 ÷ 1,76 = 98. Pour cela, on peut dresser le tableau suivant :

On fait de même pour 227,04 kg.

Exercice 151) Appliquons la technique du « passage à l’unité » :5 timbres coûtent 1,8 € donc 1 timbre coûte 1,8 ÷ 5 € soit 0,36 €.11 timbres coûtent 11 x 0,36 euros soit 3,96 €.17 timbres coûtent 17 x 0,36 euros soit 6,12 €.33 timbres coûtent 33 x 0,36 euros soit 11,88 €.2) Avec 2,52 €, on peut acheter 2,52 ÷ 0,36 timbres soit 7 timbres. Les remarques du professeur :1) On peut dresser le tableau suivant :

€

0,36 est le coefficient de proportionnalité.2) On cherche le nombre qui, multiplié par 0,36 donne 2,52.On peut dresser le tableau suivant :

€




Exercice 163,6 = 2 x 1,8 donc le prix de 24 photographies est bien le double de celui de 12.Le prix de 36 photographies est 4,6 €.Comme 3 x 1,8 = 5,4, le prix de 36 photographies n’est pas le triple de celui de 12.La situation n’est donc pas une situation de proportionnalité.

Il existe une autre technique permettant de montrer que cette situation n’est pas une situation de proportionnalité :

Si la situation était une situation de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité serait :

1,8 ÷ 12 = 0,15

Le prix en € de 24 photographies serait :

24 x 0,15 = 3,6

C’est bien cela.

Le prix en € de 36 photographies serait :

36 x 0,15 = 5,4

Ce n’est pas le cas puisque le prix du développement de 36 photos est 4,6 euros.

La situation n’est donc pas une situation de proportionnalité.

Exercice 17La différence d’âge entre Julie et Budan est 30 – 4 soit 26 ans.L’âge de Budan, quand Julie aura 60 ans, sera 60 – 26 soit 34 ans.

Attention ! Si l’âge de Julie est multiplié par 2, l’âge de Budan n’est pas multiplié par 2. Ces deux grandeurs ne sont pas proportionnelles.

Exercice 18Un pied vaut 30,48 cm et il est constitué de 12 pouces.1) Commençons par exprimer un pouce en cm. 30,48 ÷ 12 = 2,54. Un pouce correspond à 2,54 cm.17 pouces correspondent à 17 x 2,54 cm soit 43,18 cm.19 pouces correspondent à 19 x 2,54 cm soit 48,26 cm.21 pouces correspondent à 21 x 2,54 cm soit 53,34 cm.2) 36 pouces sont égaux à « 17 pouces plus 19 pouces ». Ils correspondent donc à : 43,18 + 48,26 cm soit 91,44 cm.40 pouces correspondent à « 19 pouces plus 21 pouces ». Ils correspondent donc à : 48,26 + 53,34 cm soit 101,6 cm.3) 69,85 ÷ 2,54 = 27,5.27,5 pouces correspondent à 69,85 cm.Les remarques du professeur :

1) On peut dresser le tableau suivant :

3) On cherche le nombre qui « multiplié par 2,54 donne 69,85 ».Ce nombre est 69,85 ÷ 2,54 soit 27,5. On peut dresser le tableau suivant :



cc Séquence 9Exercice 191 mois de communications coûte à Arnaud 115 ÷ 7 soit

1157

€.

• 13 mois de communications coûtent 131157

× €. 131157

13 1157

1 4957

× = × =

13 mois de communications coûtent donc 1 495

7 € soit environ 213,6 € (arrondi au dixième d’euro).

• 9 mois de communications coûtent 91157

× €. 91157

9 1157

1 0357

× = × =

9 mois de communications coûtent donc 1 035

7 € soit environ 147,9 € (arrondi au dixième d’euro).

Les remarques du professeur :On applique la méthode du « retour à l’unité » :• Calcul du prix d’un mois de communications Si l’on effectue la division de 115 par 7, on constate qu’elle ne se termine pas : on trouve 16,428 571 42...La somme exacte que dépense Arnaud pour 1 mois de communications n’est donc pas un nombre décimal.

Elle est égale à 1157

€. 16,4 en est l’arrondi au dixième d’euro.• Calcul du prix de 9 et 13 mois de communications On doit effectuer le produit d’une fraction et d’un nombre. Cette notion a été vue dans la séance 8 de la séquence 8.Récapitulons les données dans le tableau suivant :

€

Remarque importante : Très souvent, pour être précis(e), tu devras utiliser des calculs avec des fractions (même si cela te paraît plus difficile), plutôt que d’utiliser des valeurs approchées. Si, pour déterminer le coût de 13 mois d’abonnement, on avait utilisé 16,4 au lieu de

1157

, on aurait calculé 13 x 16,4. On aurait obtenu 213,2. Or l’arrondi au dixième d’euro du résultat correct est 213,6. On aurait donc commis une erreur !



ccSéquence 9Exercice 201) Une noix de coco permet d’obtenir 5 ÷ 21 L de lait de coco soit

521

L.

Avec 13 noix de coco, on obtient 13521

× L de lait de coco. 13521

13 521

6521

× =×

=

Avec 13 noix de coco, on obtient 6521

L de lait de coco soit environ 3,1 L .

2) 5 L de lait s’obtiennent avec 21 noix de coco.1 litre de lait de coco s’obtient avec 21 ÷ 5 noix de coco soit

215

noix de coco.

Pour obtenir 16 litres de noix de coco, on utilise donc 16215

× noix de coco. 16215

16 215

3365

× =×

=

3365

67 2= ,

Pour obtenir 16 litres de lait de coco, il faut 67,2 noix de coco. Il faut donc utiliser 68 noix de coco, et il y aura un peu de lait en plus.

Les remarques du professeur :1) On applique la méthode du « retour à l’unité ». La division 5 : 21 « ne se termine jamais ». On utilise donc une fraction.On récapitule les données dans le tableau suivant :

On pouvait également utiliser une autre méthode :Le nombre de noix de coco et la quantité de lait obtenue sont deux grandeurs proportionnelles. Par conséquent, lorsque le nombre

de noix de coco est multiplié par 1321

, le nombre de litres de lait est également multiplié par 1321

.

Le volume de lait en L obtenu avec 13 noix de coco est donc : 51321

× soit 6521

, c’est-à-dire environ 3,1 L.

Remarque : Chaque fois, dans les exercices précédents, que nous avons procédé par « retour à l’unité », nous aurions pu utiliser une méthode analogue à celle-là. Voici cette deuxième méthode illustrée avec un tableau :

2) On récapitule les données dans le tableau suivant :




Exercice 211)

distance réelle en cm

distance sur plan en cm

2) 545 50545

545√ = = ×50

150

Diviser un nombre par 50 revient à le multiplier par 150

.3) a) On obtient les distances en cm sur le plan de Steeven en multipliant les distances réelles en cm par le même nombre :

150

.

Les distances en cm sur le plan sont donc proportionnelles aux distances réelles en cm. Le coefficient de proportionnalité est

150

.

b) Les distances en cm sur le plan sont 50 fois plus petites que les distances réelles correspondantes en cm.1 cm représente donc une longueur réelle 50 fois plus grande, soit 50 cm.4) 6,35 m

5,45 m

3,25 m

3,55 m

5)Les distances (en cm) dans la réalité sont 50 fois plus grandes que les distances correspondantes (en cm) sur le plan.Le rayon réel de la table (en cm) est donc :1,2 x 50 = 60Le diamètre réel de la table est donc 2 x 60 cm, soit 120 cm, c’est-à-dire 1,2 m.

1)

Diviser un nombre par 50 revient à le diviser par 100 et à multiplier le résultat obtenu par 2. On peut donc compléter le tableau donné sans utiliser la calculatrice.

Par exemple :

545 ÷ 50 = (545 ÷ 100) x 2 = 5,45 x 2

545 ÷ 50 = 10,9

2) On utilise :

545150

545 150

54550

× = × =

3)

a)

On applique un propriété vue dans la séance 1 :Si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant les valeurs d’une autre grandeur par un même nombre, alors les deux grandeurs sont proportionnelles.

Rappel : Pour multiplier mentalement un nombre par 50, on le multiplie par 100 et on divise le résultat obtenu par 2



ccSéquence 9Exercice 22a) Dire que la carte est à l’échelle

140 000

signifie que 1 cm sur le plan représente 40 000 cm dans la réalité.b) La distance réelle qui sépare Belvu et Pentu est 7 x 40 000 cm soit 280 000 cm, c’est-à-dire 2,8 km.c) 5,2 km = 520 000 cmLa distance sur le plan qui sépare Toitu et Lunavrac est : 520 000 ÷ 40 000 soit 13 cm.

Exercice 231) • Sur le plan, la distance entre la gare et le collège est égale à 3,8 cm.La distance réelle entre la gare et le collège est donc 3,8 x 8 000 cm soit 30 400 cm, c’est-à-dire 304 m.• Sur le plan, la distance entre la gare et le lycée est égale à 6,6 cm.La distance réelle entre la gare et le lycée est 6,6 x 8 000 cm soit 52 800 cm, c’est-à-dire 528 m.2)a)200 m = 20 000 cmSur le plan, la distance de la piscine au collège est 20 000 ÷ 8 000 cm soit 2,5 cm.552 m = 55 200 cmSur le plan, la distance de la piscine au lycée est 55 200 ÷ 8 000 cm soit 6,9 cm.b)

C

GL

G : gare C : collège L : lycée

P

1)On rappelle que :

100 cm = 1 mPour convertir une longueur exprimée en cm en une longueur exprimée en m , il suffit de diviser par 100 :Comme 30 400 ÷ 100 = 304, on a :

30 400 cm = 304 mComme 52 800 ÷ 100 = 528, on a :

52 800 cm = 528 m2) a)Pour convertir une longueur exprimée en m à une longueur exprimée en cm , il suffit de multiplier par 100 :Comme 552 x 100 = 55 200, on a :

552 m = 55 200 cmb)Je trace le cercle de centre C et de rayon 2,5 cm puis le cercle de centre L et de rayon 6,9 cm. Le point P se trouve à l’intersection des deux cercles.Je déduis l’emplacement de P sachant que la piscine est plus près de la gare que le collège.



cc Séquence 9Exercice 24a) 4 cm sur la carte représentent 32 km. 1 cm représente donc 32 ÷ 4 km soit 8 km.b) 8 km = 800 000 cm1 cm sur la carte représente donc 800 000 cmPar suite la carte est à l’échelle

1800 000

.c)• 1 cm sur la carte représente 8 km donc 6 cm sur la carte représentent 6 x 8 km soit 48 km.• 1 cm sur la carte représente 8 km donc deux localités distantes de 3,7 cm sur la carte sont éloignées en réalité de 3,7 x 8 km, soit de 29,6 km.d) Une longueur réelle de 8 km est représenté par 1 cm sur le plan.40 ÷ 8 = 5 Une longueur de 40 km est donc représentée sur le plan par 5 cm.Deux villes séparées de 40 km dans la réalité sont donc distantes de 5 cm sur le plan.La distance sur la carte séparant deux villes distantes dans la réalité de 74 km est 74 ÷ 8 soit 9,25 cm.

a)

b) C’est la définition de la notion d’échelle.

c)On sait que 1 cm sur la carte représente 8 km en réalité.Pour obtenir une distance réelle exprimée en km à partir d’une distance en cm de la carte, il suffit de multiplier par 8.d)Pour obtenir une distance réelle exprimée en km à partir d’une distance en cm de la carte, il suffit de multiplier par 8.Pour faire l’inverse, c’est-à-dire obtenir une distance en cm sur la carte à partir d’ une distance réelle exprimée en km, il suffit de diviser par 8

Exercice 25Sur une carte au

120 000

, 1 cm représente 20 000 cm soit 200 m.

Sur une carte au 1

30 000 , 1 cm représente 30 000 cm soit 300 m.

Des deux cartes, la plus détaillée est donc celle au 1

20 000 .

Exercice 26

La figure ci-dessous s’obtient en doublant toutes les dimensions de la figure donnée.




Exercice 27Sur la photo, la paramécie mesure environ 4,1 cm.

L’échelle de la photo est 210 .

La longueur réelle de la paramécie est environ 4 1210

, cm soit

environ 0, 019 cm.

On mesure la paramécie :

On trouve 4,1 cm. (ou encore : 41 mm)

Si on utilise comme unité le millimètre, on trouve que la longueur réelle de la paramécie est environ 0,19 mm.

Exercice 28

Les remarques du professeur :

On obtient la figure ci-dessus en multipliant par 3 toutes les dimensions de la figure donnée.



cc Séquence 9Exercice 29a) b)

A‘

B‘

C‘

D‘E‘4,5 cm

55° 55°

xy

A‘ D‘B‘ C‘1,8 cm 1,8 cm3 cm 3 cmO‘

Les remarques du professeur :• Figure a)On commence par tracer un carré A’C’D’E’ de côté 3 x 1,5 soit 4,5 cm. On utilise ensuite le rapporteur :

on trace deux demi-droites [A’x) et [C’y) telles que : xA C' '∑ = °55 et yC A' '∑ = °55 . Ces deux demi-droites se coupent en B’.• Figure b)On trace un demi-cercle de centre O’ qui a pour diamètre 2 x 1,5 soit 3 cm. On trace ensuite deux segments [A’B’] et [C’D’] qui mesurent 1,2 x 1,5 cm (soit 1,8 cm) tels que A’, B’, O’, C’, D’ soient alignés dans cet ordre. On trace ensuite le demi-cercle de centre O’ , qui a pour rayon O’A’, et qui se trouve « du bon côté ».



ccSéquence 9Exercice 301)

• Calculons combien 1 mm représente en réalité

35 mm représentent 40 km.

1 mm représente 40 ÷ 35 km. La division ne s’arrête pas donc j’utilise une fraction :

1 mm représente 4035

km. Je simplifie la fraction : 4035

87

87

55

=××

= 1 mm représente 87

km.

• Sur la carte, la largeur de l’île est environ 50 mm et sa longueur est environ 57 mm.

La largeur de l’île en km est : 5087

50 87

× =×

=4007

soit environ 57 (arrondi à l’unité).

La longueur de l’île en km est : 5787

57 87

× =×

=4567


2)

• Calculons combien 1 mm représente en réalité

D’autre part, 33 mm représentent 150 km.

1 mm représente 150 ÷ 33 km soit 15033

km. 15033

5011

5011

33

=××

= 1 mm représente 5011

km.

• Sur la carte, la longueur de l’île est environ 40 mm et sa largeur est environ 18 mm.

La longueur en km de l’île est : 405011

× c’est-à-dire 2 000

11 soit environ 182 (arrondi à l’unité).

La largeur en km de l’île est : 185011

× c’est-à-dire 90011


3) La Corse est plus grande que la Réunion.

Les remarques du professeur :On utilise une méthode que l’on a déjà vue dans les exercices 19 et 20.

Exercice 31




Exercice 32a) • Dans 100 g de compote, il y a 45 g de pomme.• Dans 1 g de compote, il y a 0,45 g de pomme.• Dans 20 g de compote, il y a 9 g de pomme.• Dans 40 g de compote, il y a 18 g de pomme.

b)

c) Pour obtenir la masse de compote en g, on multiplie par 0,45 la masse de pommes en g.

0 45, =45100

a)

• L’indication « contient 45 % de pomme » signifie : dans 100 g de compote, il y a 45 g de pomme et que la masse de pomme est proportionnelle à la masse de compote.• Dans 1 g de compote, il y a 100 fois moins de pomme que dans 100 g.

45 ÷ 100 = 0,45• Dans 20 g de compote, il y a 20 fois plus de pomme que dans 1 g.

0,45 x 20 = 9• Dans 40 g de compote, il y a 2 fois plus de pomme que dans 20 g.

9 x 2 = 18b) On rassemble les données dans un tableau.

c) On remarque que :100 x 0,45 = 451 x 0,45 = 0,4520 x 0,45 = 940 x 0,45 = 18

On a : 0,4545100

=

On retrouve le sens du mot 45 pour cent :

Exercice 33a) Dans 100 g d’eau de mer, il y a 3 g de sel.b) La masse de sel (en g) contenue dans 17 g d’eau de mer est :

3100

x 17 = 0,03 x 17 = 0,51 g.

a) C’est la « définition » de 3 %.

Exercice 34

a) 16100

70 0 16 70 11 2× = × =, ,

16 % de 70 L représentent 11,2 L.

b) 84

100350 0 84 350 294× = × =,

84 % de 350 g représentent 294 g.

c) 160100

20 1 6 20 32× = × =,

160 % de 20 € représentent 32 €.

a) On peut également écrire :16100

7016 70100

16 7 1010 10

11210

11,2× =×

=× ××

= =

Ou encore :16100

7070100

16 16 0,7 11,2=× = =× ×

À chaque fois que l’on calcule un pourcentage d’un nombre, on peut appliquer les trois méthodes.



ccSéquence 9Exercice 35a)

110

110

1010

= ××

= 10100

1

10 c’est 10 %.

b) 3

103

101010

= ××

= 30100

310

c’est 30 %.

c) 15

15

2020

= ××

= 20100

15

c’est 20 %.

d) 14

14

2525

= ××

= 25100

14

c’est 25 %.

On pense à utiliser la règle suivante :« Lorsqu’on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction qui lui est égale ».Remarque :Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’un pourcentage.

Exercice 36a)

720

720

55

= ××

= 35100

donc 720

c’est 35 %. b) 3150

3150

22

= ××

= 62100

donc 3150

c’est 62 %.

c) 11 44

100251125

44

= ××

= donc 1125

c’est 44 %. d) 7

1 0007

1 0000 1

0 1= ×

×=,

,0,7100

donc 7

1 000 c’est 0,7 %.

Exercice 37a) 0 2

210

210

1010

, = = ××

= 20100

donc 0,2 c’est 20 %. b) 0 5656

100, = donc 0,56 c’est 56 %.

c) 0 077

100, = donc 0,07 c’est 7 %. d) 9

900100

= donc 9 c’est 900 %.

Exercice 38

a) 50

10012

12

5050

= ××

=

Pour prendre 50 % d’un nombre, on divise ce nombre par 2.

b) 25

10014

14

2525

= ××

=


c) 10100

110

110

1010

= ××

=


a) Multiplier par 12

, c’est diviser par 2.Par exemple :

712

7 12

72

× ×= =

Multiplier 7 par 12

revient à diviser 7 par 2.

b) Multiplier par 14

, c’est diviser par 4.Par exemple :

714

7 14

74

× ×= =

Multiplier 7 par 14

revient à diviser 7 par 4.

c) Multiplier par 1

10 , c’est diviser par10.




Exercice 39a) b)L’angle de la portion mesure 25 % de 360°. L’angle de la portion mesure 20 % de 360°.

Sa mesure est donc 360 ÷ 4 soit 90°. 20

100360 0 2 360 72× = × =, .

Sa mesure est donc 72°.

c) L’angle de la portion mesure 30 % de 360°.

30

100360 0 3 360 108× = × =,

Sa mesure est donc 108°.

Les remarques du professeur :

Dans chacun des trois cas, on cherche à calculer l’angle de la portion à colorier. On est alors amené à calculer un certain pourcentage de 360°.



ccSéquence 9Exercice 40a) 25 % de 400 : 100

b) 50 % de 70 : 35

c) 50 % de 0,62 : 0,31

d) 25 % de 42 : 10,5

e) 10 % de 20 : 2

f) 50 % de 3,2 : 1,6

g) 75 % de 160 : 120

h) 75 % de 32 : 24

a) Prendre 25 % de 400, c’est diviser 400 par 4.

b) Prendre 50 % de 70, c’est diviser 70 par 2.

c) Prendre 50 % de 0,62, c’est diviser 0,62 par 2.

d) Prendre 25 % de 42, c’est diviser 42 par 4.

e) Prendre 10 % de 20, c’est diviser 20 par 10.

f) Prendre 50 % de 3,2, c’est diviser 3,2 par 2.

g) Prendre 75 % de 3,2, c’est prendre ses trois quarts. Un quart de 160, c’est 40 (on divise par 4). On multiplie ensuite par 3.

h) Prendre 75 % de 3,2, c’est prendre ses trois quarts. Un quart de 32, c’est 8 (on divise par 4). On multiplie ensuite par 3.

Exercice 41a) 125 % de 20 25

b) 150 % de 26 39

c) 110 % de 84 92,4

d) 200 % de 0,74 1,48

a) Prendre 125 % de 20, c’est prendre 100 % de 20 plus 25 % de 20.100 % de 20, c’est 20.25 % de 20, c’est 5 (on divise par 4)125 % de 20, c’est donc 25.b) Prendre 150 % de 26, c’est prendre 100 % de 26 plus 50 % de 26 soit calculer 26 + (26 ÷ 2).c) Prendre 110 % de 84, c’est prendre 100 % de 84 plus 10 % de 84 soit calculer 84 + (84 ÷ 10).

d) 200100

= 2Par conséquent, prendre 200 % de 84, c’est multiplier 84 par 2.

Exercice 42Première méthode :

Je calcule 66 % de 200 Go : 66

100200 66

200100

66 2 132× = × = × =

200 – 132 = 68 donc il y a 68 Go de libres sur le disque d’Arthur.

Deuxième méthode :

Je calcule le pourcentage de mémoire libre. Ce pourcentage est 100 % – 66 % soit 34 %.34

100200 34

200100

34 2 68× = × = × = donc il y a 68 Go de libres sur le disque d’Arthur.

Exercice 43• Je calcule la réduction sur la chemise soit 20 % de 17,50 € :20

10017 5 0 2 17 5 3 5× = × =, , , , soit 3,50 €

Le prix d’une chemise, en tenant compte de la réduction, est 17,50 – 3,5 soit 14 €.

• Je calcule la réduction sur un pull soit 30 % de 21 € :30

10021 0 3 21 6 3× = × =, , soit 6,30 €

Le prix d’un pull, en tenant compte de la réduction, est 21 – 6,3 soit 14,7 €.

• Tom achète une chemise et 2 pulls. Il va réellement payer :

14 + (2 x 14,70) = 14 + 29,4 = 43,4 soit 43,40 €.



cc Séquence 9Exercice 44• Je calcule la masse de protides soit 26 % de 140 g :26

100140 0 26 140 36 4× = × =, , soit 36,4 g.

• Je calcule la masse de lipides soit 25,8 % de 140 g :25 8100

140 0 258 140 36 12,

, ,× = × = soit 36,12 g.

• Je calcule la masse de glucides soit 43,8 % de 140 g :43 8100

140 0 438 140 61 32,

, ,× = × = soit 61,32 g.




Exercice 451)46200

46200

23100

22

= ÷÷

=

65200

65200

32 5100

22

= ÷÷

= ,

28200

28200

14100

22

= ÷÷

=

44200

44200

22100

22

= ÷÷

=

17200

17200

8 5100

22

= ÷÷

= ,

2)Il y a 23 % d’Italiens dans le bateau.Il y a 32,5 % de Japonais dans le bateau.Il y a 14 % d’Anglais dans le bateau.Il y a 22 % d’Allemands dans le bateau.Il y a 8,5 % de Français dans le bateau.

On applique la méthode vue dans l’exercice précédent. On est amené dans les cinq cas à trouver une écriture fractionnaire, dont le dénominateur est 100, égale à une fraction dont le dénominateur est 200.Pour cela, on divise numérateur et dénominateur de la fraction par 2.

Exercice 461) 1025

4 104 25

40100

= ××

= Il y a 40 % de filles dans ce centre aéré.

2) Le pourcentage de garçons dans le centre aéré est 100 % – 40 % soit 60 %.

Exercice 47

• Prix actuel de la voiture A :Je calcule 10 % de 12 000 €. Je divise donc 1 200 par 10.J’obtiens donc 1 200 €.Le prix actuel de la voiture A est : 12 000 + 1 200 soit 13 200 €.

• Prix actuel de la voiture B :Je calcule 5 % de 12 500 € :5 x (12 500 : 100) = 5 c 125 = 625Le prix actuel de la voiture B est : 12 500 + 625 soit 13 125 €.

La voiture la moins chère actuellement est la voiture B.

On calcule le prix actuel de la voiture A puis le prix actuel de la voiture B.Pour la voiture A, on calcule 10 % de 12 000 € (soit l’augmentation de prix), puis on l’ajoute à l’ancien prix pour trouver le prix actuel.Pour la voiture B, on calcule 5 % de 12 500 € (soit l’augmentation de prix), puis on l’ajoute à l’ancien prix pour trouver le prix actuel.Pour trouver quelle voiture est la moins chère, on compare les prix actuels des deux voitures.

On pouvait calculer 10 % de 12 000 € ainsi :10

100 x 12 000 = 0,1 x 12 000 = 1 200mais il était plus rapide de se souvenir d’en prendre 10 % d’un nombre revient à le diviser par 10.

On pouvait calculer 5 % de 12 500 € ainsi :5

100 x 12 000 = 0,05 x 12 000 = 625mais vu qu’on sait facilement multiplier mentalement un nombre par 5, la méthode ci-contre est meilleure.(Rappel : Multiplier un nombre par 5 revient à le muliplier par 10 et à diviser le résultat par 2)



cc Séquence 9Exercice 48• Prix de l’ordinateur après la baisse de 5 % :

Je calcule 5 % de 800 € : 5 x (800 ÷ 100) = 5 x 8 soit 40 €.

Le prix de l’ordinateur après la baisse de 5 % est 800 – 40 soit 760 €.

• Prix de l’ordinateur après la hausse de 5 % :

Je calcule 5 % de 760 € : 5 x (760 ÷ 100) = 5 x 7,6 soit 38 €.

Le prix de l’ordinateur aujourd’hui est 760 + 36 soit 796 €.

On aurait pu écrire :5

100 x 800 = 0,05 x 800 = 40

mais la méthode ci-contre est meilleure. Elle est plus facile à utiliser mentalement.

On aurait pu écrire :5

100 x 760 = 0,05 x 760 = 38

mais vu qu’on sait facilement multiplier mentalement un nombre par 5, la méthode ci-contre est meilleure.

Cet exercice est un piège car, même si le prix de l’ordinateur baisse puis augmente du même pourcentage, le prix final n’est pas égal au prix du début.

Cela provient du fait que la baisse de 5 % porte sur un prix de 800 €, alors que les 5 % de hausse, eux, ne portent que sur 760 €.



ccSéquence 9Je m’évalue1) Un litre et demi de soda coûte 0,60 €. Combien coûtent 6 litres ?® 2 €® 3,6 €® 2,6 €˝ 2,4 €

2) Une longueur de 6 cm de fil d’or pèse 3,45 g. Combien pèse 2 cm de ce fil d’or ?® 6,9 g® 3,45 g˝ 1,15 g® 12 g

3) Un lot de 8 ballons de volley-ball pèse 1,4 kg. Trois ballons pèsent donc :® 0,5 kg˝ 0,525 kg® 0,8 kg® 5,7 kg

4) 5 kg de poires coûtent 11 € . 7 kg de poires coûtent :

˝ 775

€

® 577

€

˝ 15,4 €® 7,5 €

5) La situation décrite par le tableau est-elle une situation de proportionnalité ?

temps (en s) 3 5 10

distance (en m) 16,5 27,25 55

® oui˝ non

1) 6 L représentent 4 fois 1,5 L.Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 7.

2) 2 = 6 : 3Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 7.

3) On peut commencer par trouver la masse d’un ballon en effectuant 1,4 ÷ 8.On multiplie ensuite cette masse par 3.Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux exercices 12, 13 et 14.

4) On peut commencer par trouver le prix

d’un kg de poires. On trouve 115

. On multiplie ensuite ce nombre par 7.Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux exercices 19 et 20.

5) On ne peut pas « passer de la ligne du haut à celle du bas » en multipliant par un même nombre car 3 x 5,5 = 16,55 x 5,5 = 27,5.Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 16.



cc Séquence 96) La situation décrite par le tableau est-elle une situation de proportionnalité ?

nombre 2 8 0,5

prix (en €) 10 40 2,5˝ oui® non

7) Une carte est à l’échelle 1

25 000 .

Sur cette carte, deux maisons sont à 7,5 cm l’une de l’autre. À quelle distance sont-elles dans la réalité ?® 25 000 cm® 75 000 cm˝ 1 875 m˝ 187 500 cm

8) Une très grande carte est à l’échelle 1

20 000 .

Deux villes sont en réalité à une distance de 10 km l’une

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