C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Sbrie II b, p. 851-857, 1998 MCcanique des fluides/Fluid mechanics

StabiIit6 des koulements de convection thermosolutale en cavit6 carr6e G6rald BARDAN, Abdelkader MO JTABI

Institut de mhcanique des fluides de Toulouse, UMK INPT-UPIS? UFR MIG, universiti: Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex, France

E-mail : mojtabi@lm2f.ups-tlse.fr

(ReGu le 24 ftkier 1998, accept6 aprks revision le 24 juin 1998)

R&urn& On ttudie analytiquement la stabilitk linkaire, faiblement non lin&aire et non linktire (mkthode de l’knergie) de la solution de double diffusion pure dans le cas oh les forces d’origine thermique et massique sont Cgales et oppodes. Les parois horizontales de la cellule carrke sont parfaitement isolCes et les parois verticales sont maintenues B une tempkrature et g une concentration uniformes. Nous ma:tons en Cvidence l’existence de deux types de solutions convectives stationnaires sons-critique et supercritique, et dkterminons les nombres de Rayleigh donnant naissance B ces deux rkgimes. 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier, Paris

stabilit6 linhaire / stabilite faiblement non linkaire / m&bode de I’hnergie / double diffusion

Theoretical stability study of double-difiusive convection in a

square cavity

Abstract. Bifurcation phenomena in a square enclosure, submitted to horizontal temperature and concentration gradients, is studied when the opposing b,uoyancy forces due to horizon- tal thermal and concentration gradients are equal. We pelform the linear; weakly non-linear andjnite amplitude stability analysis of the equilibrium solution. We ver@ that the onset of double d@usive convection corresponds to a transcritical bifurcation point. The subcritical solutions are strong attractors beyond a particular value of the thermal Rayleigh number which corresponds to the iocation of turning point. The structure of subcritical and transcritical steady solutions has been studied. 0 Acadt!mie des SciencesIElseviel; Paris

linear stability / weakly non-linear stability / energy methed / double-dzj&sive convection

Abridged English Version

Recently, double-diffusive convection in fluid enclosures has received much attention. The interest in this class of flows has been motivated by engineering problems such as crystal growth [l]. During the growth of a crystal, the influence of the transport process in the fluid phase on the quality of solid phase requires a good understanding of the buoyancy convective flows. We study the same problem

Note pr&entGe par Rem5 MOREAU.

1251.8069/98/0326085 1 0 Acadhie des SciencesElsevier, Paris 851

C. Bardan, A. Mojtabi

previously investigated numerically by Krishnan [2], Golbin and Bennacer [3] and Ghorayeb and Mojtabi [4]. Depending on the parameters involved, experimental observations and numerical investi- gations show the existence of one-cell or multicell regimes.

The problem of thermosolutal convection in a square enclosure depends on four nondimensional numbers (the thermal and solutal Grashof numbers, Grr and Gr,, the Prandtl number, Pr, and the Schmidt number, SC). The problem is formulated using the IBoussinesq approximation. The dimension- less equations for mass, momentum, energy and chemical species, where the Soret effect is neglected, are given by equations (2)-(5) and the corresponding boundary conditions by equations (6)-(g).

We consider the global stability analysis of the equilibrium solution when Gr, lGr, = - 1. In the first section, we formulate an energy stability theory for basic solution. These methods lead to a criterion which is sufficient for the global stability of the basic flow. In this context the energy functional is typically a linear combination of the kinetic and thermal energy [equation (15)]. To study the stability problem, we first fix the coupling constants in the linear combination and find a critical stability number for global stability. This critical value of energy theory is again defined by a variational calculus problem. Each choice of coupling constants gives a different ‘energy’ and leads to a different critical stability number. The coupling constants which lead to the largest stability number are called ‘optimal’.

To draw a fuller picture of the stability properties of fluid1 motions, one has to develop procedures to deduce exact criteria for instability and to describe the transition from one stable kind of flow to another. The second and third sections give a local analysis using disturbances of infinitely small amplitude. We give critical values of the Rayleigh number by analysing the linearized equations for the steady or time-periodic disturbance of the basic solution. The flow which is then judged stable by linear theory may be unstable to disturbance of finite size. In this sense, linear and energy theory complement each other with the former leading to sufficient conditions for instability and the latter sufficient conditions for stability.

1. Introduction

Les Ccoulements de convection thermosolutale en milieu fluide ont Cte largement CtudiCs ces dix dernieres annees, comme en temoigne l’abondance des resultats publies [l]. On s’interesse, dans cette etude, aux Ccoulements prenant naissance dans une cavite carree apres la perte de stabilite de la solution d’equilibre mecanique. Pour une cavite rectangulaire chauffee differentiellement et isolee au niveau des parois horizontales [2], la solution d’equilibre est obtenue uniquement lorsque les forces de gravite d’origine thermique sont Cgales et oppodes a celles d’origine solutale. Gobin et Bennacer [3] ont analyse la stabilite lineaire de cette solution d’equilibre en considerant le cas de la cellule verticale infinie avec des conditions aux limites correspondant a un fluide parfait. Ghorayeb et Mojtabi [4] ont CtudiC la stabilite lit-&ire de la solution d’equilibre en admettant le principe d’echange de stabilite et ont Cgalement analyse numeriquement l’ecoulement convectif obtenu. L’etude a permis de mettre en evidence une bifurcation supercritique stationnaire pour &!a, ( Le - 1 ) = 17 172, relation confirmee par Xin et al. [5]. L’ecoulement Ctabli est constitue d’une cellule principale a fonction de courant positive, et de deux cellules localisees dans les coins superieur droit et inferieur gauche. Les simulations numeriques ont confirm6 ces resultats et ont Ctabli la presence d’une branche subcriti- que pour laquelle l’ecoulement est monocellulaire et contrarotatif.

On se propose de developper une etude theorique globale (m&ode de l’bnergie), link-e (verifica- tion de l’echange de stabilite) et faiblement non lineaire de stabilite de la solution d’equilibre.

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Stabiliti des Ccoulements de convection thermosolutale

2. Formulation mathdmatique

11 s’agit de l’etude des Ccoulements bidimensionnels de convection thermosolutale dans une cavite carree remplie d’un fluide binaire. Les parois verticales de la cellule sont maintenues a des tempera- tures (Tr et T2) et des concentrations (C, et C,) constantes. Let; parois horizontales sont parfaitement isolees. Les equations regissant ces Ccoulements sont bakes sur l’hypothese de Boussinesq. Les equations adimensionnelles de conservation (masse, quantite de mouvement, Cnergie et espkes), en l’absence d’effet Soret, s’ecrivent :

v.u’=o (1) 8,; +(u’.V)u’=-Vp+Auj +(Gr,T+Gr,C); c-0

3,T -+- u’ . VT = ATIPr (3)

d,C -I- u’ . VC = ACISc (4)

Le probleme de la convection thermosolutale dans une cavite carree depend done de quatre parame- tres : Gr, = a3 /3r( Tl - T2 ) g/v2 et Gr, = a3 j?c( C, - C2 ) glv2, respectivement les nombres de Gra- shof thermique et solutal ainsi que de Pr = v/x, le nombre de Prandtl et de SC = v/D, le nombre de Schmidt. Les conditions aux limites sont donnees par :

ii lao=30M2d, ’ esigne la front&e du domaine, (5)

TI,=,-l=CI,=,-l=CI,=,=O, Y,z (6)

azTI,:,o=a,TI,=l=a,CI,=,=a,CI,=,=O, V’x (7)

Dans l’hypothese (N = Gr, lGrc = - l), ce probleme admet la solution de double diffusion pure

u’ = 6 et T = C = 1 - X. On se propose, dans un premier temps, de determiner la condition suffisante de stabilite globale de cette solution, puis d’analyser le nombre et l’allure de l’ensemble des solutions convectives en fonction du nombre de Rayleigh thermique. Dans toute la suite, les

grandeurs T, C et u’ designent les perturbations superposees in la solution de base.

3. Approche globale

11 s’agit de demontrer l’existence d’un nombre de Grashof critique separant les perturbations dont l’energie peut croitre initialement de celles dont l’tnergie decroit de faGon monotone. Pour cela, on effectue le changement de variable suivant, T + T/m, C + CIv’K et R = m dans le sysdme aux perturbations qui s’tcrit alors :

v.u’=o

d,; =-VP+A; +R(Tlk%C/$i);

d,T = -R fi u’ . V( 1 - x) + ATIPr

d,C=-R$; .V(l -x)+AC/Sc

avec les conditions aux limites :

(8)

(9)

(10)

(11)

u’ Iasl=b (12)

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C. Bardan, A. Mojtabi

Tlx= oetx=1=qn=oetx4=0, vz (13)

%T Iz = 0 etz=l=aZc(,=o,t,=,=o, vx (14)

il et p sont des parametres positifs utilises pour l’optimisation de la condition suffisante de stabilite ci-apres. Ce systeme permet en effet de definir une Cnergie des perturbations E par la fonctionnelle definie positive suivante :

E= JJ

();:)2+T2+C2)/2d?Z2 (15) D

Les variations temporelles de cette Cnergie sont alors donnees par l’equation d’evolution :

d$ = -A:( 1 - RA;!/A;)

avec :

(16)

AT= JJ ( (Vu’ I2 + (VT12/Pr+ IVC12/Sc) dQ (17) D

A, = JJ ( R (T/fi-Cl*) ;.u’-fiT;.V(l-n)-$k%.V(l-x))d.Q (18)

11 existe done un nombre de Grashof critique en de@ duquel la solution de double diffusion est unique. Ce nombre de Grashof critique Cnergetique est defini par :

l/R, = max ( A2 ) avec les contraintes A: = 1 et V . u’ = 0 sur 52.

Pour tout nombre de Grashof inferieur a Rz, l’energie E d.Ccroit monotoniquement vers z&o [6]. Les kluations d’Euler-Lagrange associCes s’krivent en variables perturbkes I,U (fonction de courant), T et C comme suit :

2AT-R,Pr(t~a,~-l/~~a,w)=O

2AC-R,Sc(~a,~+l/~/;a,w)=O

2A2ty-R,(ti~,T-ll&3xT+V’&C+l/%‘&xC)=0

La non-p&&ration et l’adhkrence aux parois se traduit par :

&I v la0 = v la0 =: 0

oti Z est le vecteur normal ?I la paroi.

(19)

(20)

(21)

(22)

On developpe les fonctions inconnues sur une famille de fonctions verifiant les conditions aux limites du probleme. On a choisi les developpements suivants :

~(x,z)=~~a,sin(Kx)sin(ihr)sin(rrZ)sin(jrrz) (23) i=l j=l

T(x,z)=$2b,sin(im)cos(jrcz); C(x,z)=~~cgsin(i~)cos(jnz) (24) i=I j=O i=l j=fJ

La methode de Galerkin a l’ordre n = m = 3 montre que le Grashof critique Cnergetique est maximal pour i = p= 0,938. En reduisant le systeme (19)-(21) a une unique equation portant sur une des perturbations d’amplitudes finies, on peut remarquer que rjeuls les nombres de Rayleigh thermique

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Stabilitk des koulements de convection thermosolutale

et de Lewis interviennent. Les diffkrentes valeurs du nombre (de Rayleigh critique correspondant au nceud-col sont don&es dans le tableau I. Lorsque le nombre de Lewis tend vers l’infini, le groupe- ment RuTcE k, oti RuTcE dksigne le nombre de Rayleigh critique CnergCtique, tend asymptotiquement vers une valeur constante egale B 6900. Les isovaleurs du veckur propre, et done la configuration de l’kcoulement ainsi obtenue dans un voisinage du point tournant, est conforme B celle reportCe numkriquement par [4].

Tableau I. Valeurs thtoriques des nombres de Rayleigh correspondant au point tournant et des nombres de Rayleigh critiques en fonction de diffkents nombres de Lewis.

Table I. Theoretical values of the turning point Rayleigh number and critical Rayleigh number for different values of the Lewis number

Lewis

a1 OS 18 1S 28 4,O 60 870

10,o 11,o 12,0

RaT Cl?

6384,4 4790,7 3610,2 2883,2 2395.4 1422.3 1009.7

782.3 638,4 584.7 539,2

RaTc

19 080.0 34 344.0

34 z4.0 17 172,0 5 724,0 3 434.4 2 453,l 1 908.0 1 717,2 1561,l

Lewis

16.0 20,o 28,0 35.0 45,o 60,O 80.0

100,o 150,o 200.0 300,o

R‘% CE

411,3 332,5 240,3 193,4 151,2 113,9

85,8 68,7 46,0 34,5 23,0

ROTC

1144,8 903,8 636,0 505,l 390,3 291,l 217,4 173,5 115.2 86,3 57,4

4. lhude de stabilitk 1inCaire

Pour cette Ctude, les perturbations de la fonction de courant, de la temperature et de la concentration sont d&eloppCes en doubles skies de Fourier, et contrairement aux Ctudes pr&Cdentes, nous prenons en compte la possibilitC de perturbations instationnaires sous la forme eiWz . Le syst&me aux perturba- tions infinitksimales s’kcrit alors sous la forme :

A(A-io) I,Y=GT~~,(C-T), (A-Prio)T=Pri3,yl, (A-Scicc,)C=Sca, y (25)

avec les conditions aux limites homog&nes dkfinies pr&Cdemment. Ce problbme diffkrentiel devient singulier pour plusieurs couples (0, GrT ). Quels que soient les nombres de Prandtl et de Schmidt choisis numkiquement, nous avons v&M que la valeur rninimale du nombre de Grashof est obtenue pour o = 0. La premibre bifurcation est done stationnaire et l’on retrouve aussi de nombreuses bifurcations instationnaires mais pour des nombres de Grashof supkieurs au nombre de Grashof critique.

En pratique, si dans le dkveloppement (23)-(24) i + j est pair (respectivement impair), alors la solution recherchke est centrosymktique (respectivement antisymkrique). Pour IZ = m = 3, la solu- tion dont la fonction de courant est centrosymkrique conduit a la plus petite valeur du groupement critique :

R+ILe- 11 = 19031 (26)

La valeur ainsi obtenue du groupement pr&Cdent differe de moins 10 % de celle reportke par [4] et [5].

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G. Bardan, A. Mojtabi

35000 30000 + T

’ 25000 Figure 1. Nombre de Rayleigh thermique critique, en fonction du nombre de Lewis, dktermint par la m&ode de l’tnergie et par la

stabilitt linkaire.

Figure 1. Criticut thermal Rayleigh number as a function of

the Lewis number obtained by energy method and by linear

stability.

Le

Pour resumer, nous representons sur lafigure 1, dans le plan (Ran Le ), l’ensemble des resultats de stabilite obtenus dans le tableau I. On peut distinguer trois, domaines. Le premier domaine, situ6 sous la courbe en pointilles, correspond a la stabilite de la solution de double diffusion pure quelle que soit l’amplitude de la perturbation. Le domaine entre les deux courbes correspond a la possibilitt d’exis- tence de solutions sous-critiques et enfin le domaine au-dessus de la courbe continue a l’instabilid de la solution de base par rapport a toutes les perturbations.

5. lhude faiblement non IinCaire

Nous developpons une etude faiblement non lineaire pour pr6ciser la nature de cette bifurcation localisee analytiquement. Cette analyse est basee sur la methode de Lyapounov-Schmidt [7]. On developpe les perturbations ainsi que le nombre de Grashof thermique sous forme de series entieres du parametre E > 0 :

v=Ew(1)+E2v/(2)+ . . . ; T=~T(I)+~~T(~)+ . ; c=,&I)+~~c(~)+ . . (27)

GT~=G~(‘)+EGT(‘)+E~G~(~)+ . . . ; r$=ea,u, (28) A l’ordre E, on retrouve le probleme de stabilite lineaire precedent. Le sous-espace propre associe est de dimension 1 :

(y/(‘),T(‘),C(‘))=A(f,(x,z),Prf,(x,z),Sc(x,z)) (29) ou A correspond a l’amplitude de la perturbation et fi (i = 1 ou 2) sont des fonctions des variables d’espace et seront evaluees par la methode de Galerkin. L’amplitude A est determinCe en utilisant l’altemative de Fredholm ou condition de solvabilite. 11 est alors necessaire de determiner le sous- espace propre du problbme adjoint pour lequel les conditions aux limites sont conservees.

(30)

Ce problbme est singulier pour la meme valeur du groupement critique du probleme direct. Le sous- espace propre est different mais reste de dimension 1. Un vecteur propre generateur est donne ci-apres :

(Jp ,P),C *cl) *“‘>=((~~-~sc)~(X,Z),Pr~(x,z),-Scf;(x,z)) (31) A l’ordre a2, la condition de solvabilite (second membre orthogonal au noyau de I’adjoint) conduit a l’equation d’amplitude :

(a+(Pr+Sc)b)a,c1)A=A(Gr(‘)lS~-PI( c+A(d+(Pr+Sc)e)) (32)

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Stabilitk des koulements de convection thermosolutale

avec :

a = PKJ& b = tidh c = (%hJi) (33)

d = W( G.f; + aL,.fi ) - add G.d + G,h )A>v e = G4.h a,h - a,h uif3 (34)

L’operateur (X, Y) est le produit scalaire (X, Y) = ss

XY dx dlz. Gr( ’ ) est un parametre de supercri-

ticitt, sa valeur depend de E. Les valeurs obtenues po$ une troncature II = m = 3 sont les suivantes :

a = 674,4, b = 2059, c = 2,3, d = -2587,7, e = 3 004402 (35)

L’equation d’amplitude montre que la solution de double diffusion est stable vis-a-vis des perturbations infinitesimales si et seulement si Gr’ ’ ) < 0, c’est-a-dire Grr < Gr(‘). Le regime convectif supercritique est stable si le nombre de Grashof est superieur au nombre de Grashof critique lineaire. La bifurcation est transcritique. L’equation de la branche supercritique s’ecrit dans un plan ( y - RaT) comme suit :

w = w (‘)=-(Ra,-Ra$‘) ) (Le- l)fi(~,z)~c/(d+Pr( 1 +Le)e) (36)

ce qui signifie que la fonction de courant est une fonction lineaire du nombre de Rayleigh et la pente de cette bifurcation transcritique depend du nombre de Prandtl Iquand le nombre de Lewis est fixt. De plus, au voisinage de cette transition, on montre analytiquement et l’on verifie numeriquement que le nombre de Sherwood et le nombre de Nusselt sont relies par :

(37)

6. Conclusion

Notre etude analytique (stabilite lineaire et faiblement non lineaire) nous a permis de preciser, d’une part, que la premiere bifurcation rencontree est stationnaire et, d’autre part, la nature transcritique de cette bifurcation et son caractere centrosymCtrique. L’ecoulement s’etablit sous forme d’une cellule centrale tournant dans le sens trigonomtkique si Le > 1 et dans le sens oppose si Le < 1, bordee par deux petites cellules de recirculation. L’Ctude Cnergetique nous a permis de prouver l’existence d’un regime sous- critique correspondant A une cellule unique tournant en sens inverse de la cellule principale de la bran- the transcritique. Les seuils d’apparitions de ces deux solutions convectives transcritiques et sous- critiques dependent uniquement de groupements differents der’ nombres de Rayleigh et de Lewis.

RCf&ences bibliographiques

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