Stage départemental « Mathématiques » Béatrice BIROU, IEN MIMIZAN Pays de Born Année scolaire 2009/2010

Stage départemental

« Mathématiques »

Béatrice BIROU, IEN MIMIZAN Pays de BornAnnée scolaire 2009/2010

B. BIROU, IEN MIMIZAN Pays de Born Mai 2010

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HISTORIQUE

Un rappel de l’esprit despremiers programmes

de l’école


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Comme le stipulent les programmes et comme le pensent la plupart des professeurs, les élèves doivent « découvrir les notions comme réponses à des problèmes » ;

ces derniers doivent être conçus comme des occasions de « donner du sens aux notions étudiées » car ils permettent de placer les élèves « en situation d’apprentissage actif ».

On ne saurait s’opposer facilement à de tels principes sans remettre en cause tout un ensemble de recherches qui, depuis plus de 30 ans, ont contribué à les fonder – à commencer par celles de Piaget.


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Trois grands modèles de l’enseignement des mathématiques

Un modèle magistral (qui apparaît dès 1887) principalement fondé sur l’ostension et la répétition. L’enseignement doit être « pratique, utilitaire et concret » et doit viser la transmission des rudiments du calcul nécessaires à la résolution de problèmes-types directement inspirés par vie sociale ou domestique.

Mais les difficultés engendrées par ce type d’enseignement conduisent les professeurs à n’enseigner que des solutions-types que l’élève doit mémoriser faute de pouvoir les conceptualiser


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Un modèle « activiste » apparaît à partir de 1938 en réaction au modèle magistral.

Il émergera avec force dans les années 1970 dans la mouvance de l’épistémologie génétique piagétienne et de la didactique des mathématiques : le problème devient le moyen privilégié de « donner du sens » aux connaissances enseignées


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Le modèle métacognitif

Le contexte d’émergence

Dans les années 80, le constructivisme piagétien laisse place à la psychologie cognitive ; les difficultés des élèves sont alors interprétées comme le produit d’une défaillance des procédures de sélection et de traitement des informations, et l’enseignement métacognitifs’impose comme un moyen de les corriger.

Il est quasiment officialisé dès 1981 et donnera lieu en 1990, avec la Nouvelle Politique pour l’École, à l’émergence de la notion de compétence transversale qui apparaîtra sous la rubrique « traitement de l’information »


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Le « traitement de l’information » prend alors le pas sur la « construction des connaissances ».

Ce mouvement se traduira par l’instauration d’un enseignement méthodologique et conduira, paradoxalement, à une sorte de « démathématisation » de l’enseignement : pour apprendre des mathématiques, il ne s’agit plus de faire résoudre des problèmes à l’élève mais de lui apprendre à les résoudre par l’enseignement de stratégies métacognitives afin que les élèves puissent mieux lire les énoncés (par exemple) ou, plus généralement, mieux traiter les informations.


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Le modèle magistral

Jusqu’en 1970, à l’école primaire, le calcul constituait l’essentiel de l’enseignement des mathématiques

Il est alors intéressant de relire les épreuves proposées aux élèves de onze ans, voire dix, pour entrer en sixième à la fin des années cinquante, ainsi que celles du certificat d’études qui donnait le cap du travail dans les classes.

I Opérations : 30,5 + 289 + 0,855 ; 464 - 92,64 ; 364,16 x 30,20 ; 431,16 : 0,585

II Problème : Une personne achète, au prix de 2800 F l’are, un champ rectangulaire dont le périmètre est 852 m et dont la longueur est le double de la largeur.

1.Calculez les dimensions du terrain.2.Donnez en ares la surface de ce champ.3.Elle paie immédiatement la moitié et elle paie l’autre moitié six mois

plus tard avec un intérêt annuel de 5 % ; calculez le montant de chaque versement.

Entrée en 6ème Nancy 1959


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Constats

- une très grande capacité de calcul, voire même une certaine virtuosité dans la partie dite des « opérations » -la connaissance par coeur des tables d’opération - une connaissance parfaite des techniques (par exemple réussir la division 431,16 : 0,585 suppose une connaissance parfaite des techniques) - les exercices d’opérations posées étaient la base première de l’entraînement au calcul mental dans sa dimension de connaissance des tables d’addition et de multiplication.

L’entraînement se devait d’être régulier.

La critique ultérieure a porté sur le côté mécanique de ce geste mais ce geste pouvait-il être ancré dans la mémoire s’il n’était pas lié à son sens réel ?

Il est clair que cette exigence se comprenait parfaitement dans une société oùil fallait savoir compter dans toutes les situations de la vie : pour faire les courses, pour réaliser des travaux divers…


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Le modèle « activiste »Il émergera avec force dans les années 1970 dans la mouvance de l’épistémologie génétique piagétienne et de la didactique des mathématiques : le problème devient le moyen privilégié de « donner du sens » aux connaissances enseignées

La rupture de 1970 : une priorité clairement donnée à la formation aux mathématiques et pas seulement au calcul

Sans disparaître tout à fait, le mot « calcul » n’apparaît plus que deux fois dans le texte du programme. Quant à l’esprit, il est donné par la circulaire du 2 janvier 1970 :

« L’enseignement mathématique à l’école élémentaire veut répondre désormais aux impératifs qui découlent d'une scolarité obligatoire prolongée et de l’évolution contemporaine de la pensée mathématique. Il s'agit, dès lors, de faire en sorte que cet enseignement contribue efficacement au meilleur développement intellectuel de tous les enfants de six à onze ans afinqu'ils entrent dans le second degré avec les meilleures chances de succès.

L’ambition d'un tel enseignement n'est donc plus essentiellement de préparer les élèves à la vie active et professionnelle en leur faisant acquérir des techniques de résolution de problèmes catalogués et suggérés par “la vie courante”, mais bien de leur assurer une approche correcte et une compréhension réelle des notions mathématiques liées à ces techniques. »


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Conséquences:

Les maîtres sont invités à remiser leurs pratiques traditionnelles jugées trop mécanistes pour y substituer des démarches permettant d’accéder à un sens plus profond avec l’objectif de mieux fixer l’essentiel ; ils sont invités à travailler la « compréhension » des notions en profondeur

Ainsi l’approche du nombre à la maternelle ne passe plus par une répétition de la comptine numérique mais par une construction reposant sur des situations qui permettent au nombre d’apparaître dans des classes d’équivalence constituéesdans des ensembles d’objets.

En matière de numération, l’écriture décimale n’apparaîtra qu’après un passage par d’autres bases

Ces modifications des programmes de mathématiques ont touché l’ensemble des programmes de la maternelle au lycée ;Si cette période fut très courte, puisque le programme de 1970 ne resta en application que moins de dix ans, elle a marqué profondément une génération d’enseignants, leurs formateurs et l’histoire de l’enseignement des mathématiques


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La didactique des mathématiques a donné un sens nouveau à la notion de problème

La notion de « contrat didactique » est devenue essentielle à la compréhension de ce qui s’opère durant un temps de classe.

Je m’en tiendrai à deux citations :En 1986, Guy Brousseau indique que « le seul " moyen " de faire des mathématiques, c’est de chercher et résoudre certains problèmes spécifiques et, à ce propos, de poser de nouvelles questions. Le maître doit donc effectuer non la communication d’une connaissance, mais la dévolution du bon problème… »

Il précise ce qu’il entend par contrat didactique : « Dans le jeu du maître avec le système élève-milieu, le contrat didactique est le moyen d’établir les règles et stratégies de base puis de les adapter aux changements de jeu del’élève ».

Les constats de l’Inspection générale en matière de conception de l’activité « Résolution de problèmes » dans ses liaisons avec la notion de calcul ont conduit à écrire le terme « brouillé ».


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La notion de problème est « brouillée » (rapport IGEN)

La place du problème dans les activités mathématiques est-elle:- centrale, c’est-à-dire, permanente- spécifique, c’est-à-dire, limitée à des temps d’apprentissage.

Les constats peuvent être résumés de la manièresuivante :

- Trop souvent, les objectifs de la situation sont perdus de vue, ce qui conduit à des temps de classe sans aucune conclusion.

- Les objectifs d’apprentissage se trouvent dilués, noyés dans un objectif vague: « on cherche ».

- Les situations d’apprentissage proposées sont appuyées sur des notions qui ne relèvent pas des programmes du niveau concerné.


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- Les procédures personnelles tendent à être stabilisées au détriment des procédures expertes qui, en conséquence, ne sont pas exercées.

- Les maîtres ne sont pas assez attentifs aux connaissances des élèves ( ils ne les laissent pas utiliser ce qu’ils savent, ce qui est acquis ; dans trop de cas, le maître s’enferme dans le schéma d’apprentissage qu’il a prévu sur sa « fiche de préparation ».)

- Les maîtres ne sont pas assez attentifs aux erreurs des élèves (pourtant, c’est en regardant travailler les élèves au plus près de leur crayon que l’on peut comprendre ce qui se passe dans la tête…et donc agir, rectifier, installer la bonne méthode, etc.)

- Les activités ne sont pas assez différenciées. (Il faut tenir compte des connaissances réelles des élèves.)

- Les travaux en groupes ne sont pas toujours maîtrisés (la réflexion personnelle est trop souvent négligée.)


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…vers

le socle commun

de connaissances

et

de compétences


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Une idée qui vient de loin…Une idée qui vient de loin…

Animation pédagogique Animation pédagogique départementaledépartementale 1616


17 Animation pédagogique Animation pédagogique

départementaledépartementale 1717

Des objectifs partagés au niveau Des objectifs partagés au niveau européen…européen…

Pas + de 10 % de sorties du système sans Pas + de 10 % de sorties du système sans qualificationqualification

Augmentation de 15 % au moins de diplômés en Augmentation de 15 % au moins de diplômés en mathématiques, sciences et technologiemathématiques, sciences et technologie

Au moins 85 % des jeunes de 22 ans possédant Au moins 85 % des jeunes de 22 ans possédant une qualification de l’enseignement secondaire une qualification de l’enseignement secondaire supérieur…supérieur…


18 Animation pédagogique Animation pédagogique

départementaledépartementale 1818


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« À propos du socle en mathématiques, le Haut conseil de l’éducation a proposé de :

« donner une place accrue à la résolution de problèmes à partir de situations ouvertes et proches de la réalité » tout en insistant sur « la nécessité de créer aussi tôt que possible des automatismes en calcul (calcul mental, apprentissage des quatre opérations) ».

Cet équilibre fait aujourd’hui défaut dans bien des classes : les exercices d’entraînement sont trop peu nombreux et les connaissances élémentaires ne peuvent dès lors être fixées .


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L’enseignement des mathématiques à travers les nouveaux programmes et le socle commun

Quelques points forts

- Une réelle continuité entre les programmes de l’école et les programmes du collège ;- Une conception comme des programmes du pôle des sciences et offrent une meilleure synergie avec les programmes des autres disciplines scientifiques : cela se voit par exemple au collège au travers des thèmes de convergence ;- La mise en évidence à chaque niveau, des connaissances et des capacités attendues dans le cadre du socle commun.

Ainsi, les mathématiques contribuent à entraîner les élèves à la pratique d’une démarche scientifique consistant en la résolution de problèmes et, tout particulièrement dans le cadre du socle commun, de problèmes liés à la vie courante.


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Les enjeux majeurs de l’enseignement des mathématiques

à l’école primaire et

leur traduction dans les programmes 2008


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Où en sont nos élèves

Enquêtes PISA et PIRLS

Le dispositif de l’évaluation sur échantillon de la DEPP 1987 1999 2007


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Inégalités sociales Professions et catégories sociales Calcul

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

1987 1999 2007


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L’enjeu est clairement d’inverser la tendance

Il n’y a pas de fatalité : les résultats des élèves d’autres pays de l’UE le prouvent

Postulat : L’action des maîtres dans les classes peut améliorer les résultats des élèves

2 questions :Quels mathématiques dans le socle?Pour quoi faire?


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La place et le rôle des mathématiques dans le socle

Les mathématiques constituent la partie A du pilier 3 : les principaux éléments demathématiques et la culture scientifique et technologique.

En introduction de la partie A, le décret précise les objectifs assignés à l’enseignement des principaux éléments de mathématiques : il est dit d’abord « Les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne »

Et ensuite un peu plus loin, que :« Les compétences acquises en mathématiques conditionnent l’acquisition d’une culture scientifique. »

Ces deux objectifs , rappelons le, nous posent deux questions :

- Quelles mathématiques dans le socle ?- Pour quoi faire ?


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Des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne :

On trouve en fait dans le socle deux types d’outils pour le futur citoyen :

- des outils techniques, qui lui seront nécessaires dans sa vie de tous les jours, et qu'il lui faudra pouvoir mobiliser sans difficulté : calculs des quatre opérations, notions de base sur la proportionnalité, calculs de statistiques élémentaires (moyenne, médiane), mais aussi connaissance des principales grandeurs et de leurs mesures, et des bases de géométrie. La responsabilité de l’École sur l’acquisition de la plupart de ces outils est particulièrement forte ;

- des outils logiques : il s’agit d’apprendre à raisonner, notamment pour résoudre des problèmes de la vie courante. Là encore, c’est à l’école que doit démarrer cet apprentissage, qui sera très largement continué au collège.


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Des bases pour l’acquisition d’une culture scientifique

Les fondamentaux décrits en première partie, les bases de calcul et de géométrie, la capacité à résoudre des problèmes, sont nécessaires, indispensables même, à une poursuite d’études scientifiques, que ce soit en sciences physiques, en sciences de la vie et de la Terre, en mécanique ou en électronique pour ceux qui choisiront un cursus technologique, ainsi évidemment qu’en mathématiques.

En fait ces deux objectifs, donner au futur citoyen des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne, et fournir les outils nécessaires à l’acquisition et au développement des compétences scientifiques des élèves, ne sont pas seulement visés par le socle, mais se retrouvent aussi dans les objectifs principaux de l’enseignement des mathématiques à l’école et au collège.

Ils sont peut-être simplement énoncés de manière un peu différente dans le socle, ce qui a eu quelques conséquences sur la réorganisation des programmes qui a suivi.


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Le socle, levier pour une évolution des pratiques des enseignantsL’apprentissage des mathématiques demande l’assimilation de connaissances et de techniques ainsi qu'un entraînement au raisonnement logique. Il y a lieu de les identifier clairement et de les travailler consciemment.

L’apprentissage de techniques, l’automatisation de certaines tâches, la mémorisation de résultats, sont indispensables. Pour des raisons intrinsèques (savoir effectuer très rapidement des calculs de la vie de tous les jours, par exemple, est une nécessité) mais aussi parce que cette automatisation libère l’esprit et lui donne la possibilité de s’attelerentièrement à d’autres tâches, plus abstraites, plus conceptuelles, plus difficiles, plus créatives.

Apprendre à raisonner, à devenir autonome dans la mise en oeuvre de stratégies, à résoudre des problèmes dont l’énoncé n’est pas simple, à élaborer des stratégies de calcul, s’exerce aussi.

L’accès à la complexité se travaille : c’est à l’enseignant de construire patiemment et progressivement, par des exercices bien choisis, l’autonomie de ses élèves devant des tâches de plus en plus complexes.

Les indications pour l’évaluation, proposées dans le livret de compétences, doivent engager les enseignants sur cette voie.


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A la fin de l’école primaire, tout élève doit savoir compter avec les nombres entiers être capable de résoudre des problèmes simples relevant des

quatre opérations donner du sens aux principales grandeurs

comprendre et savoir utiliser les nombres décimaux être capable d’analyser, à son niveau, des données en

vue de leur traitement s’être approprié les rudiments de géométrie plane

objectifs essentiels des apprentissages du cycle II

se renforcent au cycle III


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Ce qui suppose

Des connaissances : • suite des nombres ; • principe de la numération de position ; • qu’est-ce qu’un angle droit ?• .....

Des automatismes : • dans les connaissances : tables ; opérations ; utiliser l’équerre…• dans les raisonnements : sens des opérations ; calcul mental résolution de problèmes « simples »

Le goût de la recherche et du raisonnement• Résolution de problèmes « non simples »• Recherche d’information dans des situations complexes (Orsay)


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Que nous apprennent les observations de classes ?

Des emplois du temps et des progressions affichées « conformes », mais concrètement : trop souvent une reproduction de la progression de l’an dernier

une pratique généralisée du fichier en cycle II, qui tend à gagner du terrain aussi en cycle III

trop rarement un cahier dédié aux mathématiques

pas d’entraînement systématique au calcul, ou alors beaucoup de calcul et très peu de problèmes

peu de différenciation : certains élèves s’ennuient, d’autres ne « suivent » pas

des situations de recherche non reliées à un objectif d’apprentissage ;


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Les points de vigilance


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Le respect des programmes et des progressions

Le respect des horaires

Les outils des élèves : le fichier ne suffit pas : les élèves ont-ils un cahier?

pour faire quoi ? où (et quand) fait-on du calcul mental ? Où, quand et comment travaille-t-on le langage des

mathématiques ?

Les évaluations : contenus : progression, productions des élèves corrections : dans quel esprit ? en vue de quoi ?


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L’utilisation pleine du temps dédié à la discipline

pas d’activité sans objet identifiable, et annoncé pas d’activité sans visée d’acquisitions évaluables pas d’activité sans conclusion

pas d’élève « laissé pour compte » pas d’élève qui s’ennuie

Exploiter les différentes procédures et les confronter pour faire progresser les élèves.


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Il ne faut pas décourager la diversité. Au contraire, la favoriser, c'est favoriser

l'autonomie intellectuelle, ce qui est le véritable objectif de l'école.

Merci de votre attention

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