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StatistiqueDescriptive: mesures dans le cas dynamique
Contexte
On considère le contexte suivant:● La population P des titres cotés sur le TSX● L’échantillon E est un sous-ensemble de P● On a un ensemble de v.a. { x1, x2, …, xn } qu’on peut
évaluer en fonction du temps sur les objets de l’échantillon et prenant des valeurs dans les ensembles K1, K2, …, Kn
Nous allons introduire les éléments essentiels de la statistique descriptive afin d’étudier la distribution des valeurs des v.a. au sein de l’échantillon
Cas d’étude: valeur en bourse
Population: P = {les titres cotés sur le TSX}Échantillon: E = {NA} = {“Banque Nationale”}
Les v.a. de base pour l’étude:● x: la cote en $CAN● v: le volume de transaction
Ensemble des valeurs des v.a. sur l’échantillon:● x: en tout temps, c’est un nombre réel: x∈ℝ● v: en tout temps, c’est un entier: v∈ℕ
Données des v.a. sur l’échantillon
Valeurs journalières entre le 01 jan et le 15 oct 2015
Référence: http://stockcharts.com
Mesure
Nous allons condidérer des extensions des mesures statiques au cas dynamique
L’idée de base est de calculer les mesures sur un groupe de taille fixe de données consécutives
Puisque la position du groupe est variable, c’est une “fenêtre” d’observation des données et on parle alors de mesure “mobile”
La taille de la fenêtre influe sur la perspective (mesure)
Tendance centrale
On veut représenter toutes les valeurs d’une v.a. qui sont dans la fenêtre d’observation par une seule valeur
Il y a plusieurs façons de le faire, mais elles provoquent toujours une perte d’information
Dans tous les cas, on peut bouger la fenêtre d’une donnée à la fois, ce qui génère une nouvelle série temporelle
Tendance centrale - moyenne simple
La moyenne simple, on moyenne mobile, est la mesure la plus courante (on la note MA pour “moving average”)
C’est la moyenne des données qui apparaissent dans la fenêtre d’observation
Des fenêtres de taille différente donnent des informations différentes et complémentaire sur la tendance de la série temporelle
C’est très utilisé en analyse technique (finance)
Données avec MA 13, 50, 200 jours
Taille de la fenêtre
Fenêtre plus large ⇒ données plus régulièresinterprétation: réaction plus lente au changement
On combine plusieurs moyennes mobiles pour détecter des changements de tendance
Sur l’exemple, à la fin juin la MA 13 a plongée au travers des autres montrant une tendance baissière. Elle a été confirmée en juillet lorsque le MA 50 à traversée la MA 200
Tendance centrale - moyenne exp.
La moyenne exponentielle, on moyenne mobile exponentielle, est une autre mesure de tendance centrale (on la note EMA pour “exponential moving average”)
La fenêtre est remplacé par des poids qui décroissent exponentiellement. On la calcule récursivement:
m0 = x0mi = a*xi + (1-a)*mi-1 , pour i>0
A priori, a est n’importe quel nombre dans entre 0 et 1. Mais on pose souvent, a=1/n, où n est un nombre de jours
Données avec EMA 13, 50, 200 jours
EMA versus MA
Contrairement à MA, EMA se “rappelle” de toute les données précédentes
Les différentes mesures donnent donc des informations complémentaires
Si on compare les graphes, on observe qu’avec les choix 13, 50 et 200 pour les 2 types de moyennes, EMA donne des signaux plus tardif. C’est l’impact de “trainer” tout l’historique
Dispersion
On veut représenter la dispersion des valeurs d’une v.a. sur E, par une seule valeur
Comme pour la tendance centrale, il y a plusieurs façons de le faire, mais elles provoquent toujours une perte d’information
Mesures de dispersion
Les 2 plus courantes sont basées sur le concept de “fenêtre mobile” de taille fixe, comme pour la MA
L’étendue mobile (R) et l’écart-type mobile (s) se calculent comme dans le cas statique, mais sur les données dans la fenêtre
Ces mesures de dispersion sont très utilisées● en finance : bandes de Bollinger● en industrie : contrôle statistique des procédés
Bandes
En finance comme dans l’industrie, on construit des bandes pour mieux capter des changements anormaux
La structure de la bande est de la forme:b = M ± k*D , k>0
où:● M est une mesure de tendance centrale● D est une mesure de dispersion
Les mesures M et D peuvent être statique ou dynamique
Bandes de Bollinger
En finance, on pose souvent M=MA, D=s
On parle alors des “bandes de Bollinger”
Par exemple, avec une fenêtre de 13 jours et k=2: b = MA ± 2*s
où Ma et s sont calculés dynamiquement sur la fenêtre de 13 données consécutives
Bollinger avec MA et s sur 13 jours
Interprétation des Bollinger
Le retour à la moyenne est un phénomène souvent observé en finance: plus un événement s’écarte de la moyenne, plus grande est la probabilité que le prochain événement soit plus proche
Il est appuyé sur l’observation et renforcé par le comportement des traders (feedback)
Ainsi, lorsqu’on approche des bandes de Bollinger, c’est souvent un signal d’un renversement et d’un retour vers la moyenne
Bandes de contrôle statistique
Dans l’industrie, on pose souvent M=moy, D=R, tous deux calculé sur un échantillon statique
On parle alors des “bandes de contrôle”
Par exemple, avec k=3: b = moy ± 3*R
où moy et R sont calculés sur un échantillon statique correspondant à un système “en contrôle”
Contrôle statistique d’un procédé
Interprétation
La ligne centrale (moyenne) est une cible à respecter et les bandes indiques une zone de variation acceptable
Typiquement, on contrôle un indice de qualité : ● une déviation systématique de la cible indique un
désajustement ● la déviation nécessite une intervention lorsqu’elle
traverse une bande● si la dispersion s’accroît jusqu’a accrocher les 2
bandes, c’est souvent une forme d’usure ou de manque de rigueur
