Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 60.EPFL-DGC

Structure à plusieurs degrés de liberté:

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 61.EPFL-DGC

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 62.EPFL-DGC

Méthode des Forces Méthode des Déplacements

Nombre d’

Systèmefondamental

plus libre

isostatique (souple) hyperstatique (rigide)

Inconnues dans les méthodes de résolution respectives:

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 63.EPFL-DGC

inconnues

fixé

Choix desinconnues

libre restreint

ou bienou bien

ou bien

ou bien ou bien

Motivations pour ajouter des inconnues:

– programmation de la méthode des déplacements– détermination directe des déformations

P

L/2 L/2192 EI

P L3� x1 =

P–b10 =

b11 = 12 EIL /832

Importance des rotules dans les structures: illustrations

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 64.EPFL-DGC

– Halle en béton préfabriqué:

– Pont en arc:

Prise en compte d’une rotule: méthode des déplacements

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 65.EPFL-DGC

P

L/2 L L LL/2

x1

P

x2x3

Conditions d'équilibre : 3 PL16

6 EIL

3 EIL2

x1 x2–+– = 0

3 EIL2

x2 x3–+– = 03 EIL2

x16 EI

L3

6 EIL

x2 x3– = 03 EIL2

x1=1 x3=1x2=1Causes

Effets

Momentsselon x1

Forcesselon x2

Momentsselon x3

3 PL16

3 EIL2

3 EIL

3 EIL

3 EIL2

3 EIL

3 EIL

3 EIL3

3 EIL3

3 EIL2

3 EIL2

P

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 66.EPFL-DGC

détermination des inconnues:

x1 = 64 EI3 PL2

x3 = 64 EI

PL2x2 =

32 EIPL3

réactions d’appui: R = R0 + R1·x1 + R2·x2 + R3·x3

L/2 L L LL/2

64

36

3829 64P[ ]

P

L/2 L L LL/2

RA RB RC RD

RA = 5 P16

x1 = 64

29 P+

3 EIL2

RB = 11 P16

x2 = 64

38 P– 3 EIL3

RC = x2 = 646 P– 3 EI

L3 –

RD = x3 = 643 P3 EI

L2

Prise en compte d’une rotule: méthode des forces

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 67.EPFL-DGC

P

L/2 L L LL/2

Condition de compatibilité cinématique:

3 EIL3

x1+ = 0

Causes

Effets

déplacementsselon x1

a10P

x1=1

a11

32 EIPL31

4 EIL2

PL4 L =a10 =3 EI

L313 EI

L2 L =a11 = L

24

32 EIPL3

3 P32

x1 –= = RC

x1

P

Poutre continue:

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 68.EPFL-DGC

Conditions d'équilibre :

2 EIL

x2 x3–+– = 02 EIL

x18 EI

L

L L L L

p

8 EIL

x2 x3+ = 02 EIL

–

7 EIL

2 EIL2

x1 x2–+– = 024pL2

détermination des inconnues:

x1 = 776 EI5 PL3

x2 = 154 x1 x3 =

41 x2

x1=1 x3=1x2=1Causes

Effets

Momentsselon x1

Momentsselon x2

Momentsselon x3

2 EIL

3 EIL

4 EIL

4 EIL

4 EIL

p

8pL2

12pL2

12pL2

12pL2

12pL2

12pL2

4 EIL

4 EIL

2 EIL

2 EIL

2 EIL

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 69.EPFL-DGC

réactions d’appui: R = R0 + R1·x1 + R2·x2 + R3·x3

L L L L

0.4981.0101.1340.394 PL[ ]

RD= 1RE= 1/2RA= 3

8

L L L L

p

p

RC= 1 PL[ ]RB= 98

R0:

RD= 0 RE= 0RA= 15 RC= 30RB= 15 776PL[ ]

R1·x1:

RD= 8 RE= 0RA= 0 RC= 0RB= 8 776PL[ ]

R2·x2:

RD= 0 RE= 2RA= 0 RC= 2RB= 0 776PL[ ]

R3·x3:

pR:

0.964

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 70.EPFL-DGC

Moments: M = M0 + M1·x1 + M2·x2 + M3·x3

L L L L

L L L L

p

9128

M0:

15

M1·x1:

-8/3

16/38/3M2·x2:

4/3 2/3-2/3M3·x3:

p

M:

124

124

124

[ ]PL2

-20

10

-16/3

-4/3

776PL[ ]

2

776PL[ ]

2

776PL[ ]

2

0.0777

- 0.1057

[ ]PL2

0.0339

- 0.0773 - 0.0851 - 0.0825

0.0438 0.0412

18

-112

- 112

- 112

-112

-

Application: longueur des travées des ponts

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 71.EPFL-DGC