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Chapitre 5: Mouvement à plusieurs degrés de liberté
MODULE: VIBRATIONS
Dr. Fouad BOUKLI HACENE E S S A - T L E M C E N
A N N É E 2 0 1 7 - 2 0 1 8
ECOLE SUPÉRIEURE EN SCIENCES APPLIQUÉES --T L E M C E N- FORMATION PRÉPARATOIRE NIVEAU : 2IEME ANNÉE
Objectifs:
1. Les équations différentielles d’un mouvement couplé 2. Les différentes solutions du problème 3. La notion des modes propres 4. Le phénomène du Battement 5. Le mouvement forcé à plusieurs degrés de liberté 6. Notions de « Résonance et Antirésonance » 7. Quelques Applications
Définitions:
On définit les systèmes à plusieurs degrés de liberté par les systèmes qui nécessitent plusieurs coordonnées indépendantes.
Détermine le nombre des équations différentielles
Les modes propres du mouvement.
Le nombre de degré de liberté
Il existe deux types de systèmes :
Systèmes à plusieurs sous systèmes découplés: comme le montre la figure 1.5:
Figure 1.5 : Mouvement oscillatoire non couplé à deux degrés de liberté
Il existe deux degrés de liberté : 21 x,x
Le Lagrangien du système s’écrit alors:
2
1i
2
ii
2
i
2
1i
i xk2
1xm
2
1L
Les deux sous systèmes sont indépendants et découplés: Le système différentiel s’exprime alors:
0
0
0
0
2222
1111
22
11
xkxm
xkxm
x
L
x
L
dt
d
x
L
x
L
dt
d
On considère des petites oscillations devant la longueur du ressort,
1
1202
1
1201
22022
12011
m
k,
m
kavec
0xx
0xx
On obtient un système différentiel découplé qui s’exprime comme suit:
Les deux solutions des sous-systèmes sont indépendantes de la forme:
)tcos(B)t(x
)tcos(A)t(x
2022
1011
Pour un système forcé, on a le modèle représenté dans la figure 2.5 comme suit:
Figure 2.5 : Mouvement Forcé non couplé à deux degrés de liberté
Les équations différentielles du système sont données comme suit:
)(
)(
2222
1111
tFkxxxm
tFkxxxm
Système complexe : C’est un système constitué par plusieurs sous-systèmes couplés comme le montre la figure 3.5:
Figure 3.5 : Mouvement oscillatoire d’un système couplé à deux degré de liberté
Le Lagrangien du système s’écrit comme suit:
2
1
22
21
22
1
21212
1)(
2
1
2
1),,,(
i
iii
i
i xkxxkxmxxxxL
Le système différentiel s’écrit:
0kxx)kk(xm
0kxx)kk(xm
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
12222
21111
22
11
Les pulsations propres : On considère les solutions du système de types sinusoïdales
)t(j
2
)t(j
1
p
p
Be)t(x
Ae)t(x
o En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant :
o Le système admet des solutions non nulles si seulement si:
D’où :
o L’équation paramétrique s’écrit
0kAB)kkm(
0kBA)kkm(
22p2
12p1
0det
0kkmk
kkkm
22p2
12p1
0)K1()( 222
21
2p
22
21
4p
o On définit les constantes suivantes comme suit:
))(( 21
22
2
22
2
1
12
1kkkk
kKet
m
k
m
k
Ou K est appelée le coefficient du couplage,
o Les deux pulsations propres sont :
2
2
2
1
222
2
2
1
2
2
2
12
2
2
2
2
1
222
2
2
1
2
2
2
12
1
4)(2
1
2
4)(2
1
2
K
K
p
p
o La solution générale su système s’écrit sous la forme d’une superposition des deux modes propres, comme suit :
o Il existe 6 constantes à déterminer:
)cos()cos()(
)cos()cos()(
2221112
2221111
tBtBtx
tAtAtx
pp
pp
212211 ,,,,, BBAA
o Afin de simplifier le nombre d’inconnu; On détermine les rapports d’amplitudes aux modes propres:
212
211
/,
/,
BB
AA
pp
pp
Il existe plusieurs types de couplage:
Figure 4.5 : Couplage équivalent, Résistance-Force de frottement
Figure 5.5 : Couplage équivalent, Capacité-Ressort
Battements : On étudie le couplage de deux systèmes mécaniques identiques représentés dans la figure 6,5 comme suit:
Figure 6.5 : Mouvement oscillatoire couplé de deux sous-systèmes identiques
Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit:
0kxkx2xm
0kxkx2xm
122
211
Les solutions du système sont de types sinusoïdaux :
)t(j
2
)t(j
1
p
p
Be)t(x
Ae)t(x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire symétrique suivant :
0)2(
0)2(2
2
kABkm
kBAkm
p
p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si: 0det
D’où: 0k2mk
kk2m2p
2p
Alors on obtient l’équation paramétrique suivante :
0k)k2m( 222p
Après calcul, on obtient les deux pulsations propres :
m
km
k
p
p
32
2
2
1
Les solutions générales sont de la forme suivante:
)cos()cos()(
)cos()cos()(
2221112
2221111
tBtBtx
tAtAtx
pp
pp
On étudie les rapports d’amplitude pour chaque mode propre ; On a ainsi:
m
kpp 1 Pour:
ABAkBAkm p 1111
2
1 0)2(
Figure 7.5 : Etat du système pour le premier mode. « En phase »
m
kpp 32 Pour:
BBAkBAkm p 2222
2
2 0)2(
Figure 8.5 : Etat du système pour le deuxième mode. « En opposition de phase »
Les solutions générales deviennent alors:
)cos()cos()(
)cos()cos()(
22112
22111
tBtAtx
tBtAtx
pp
pp
On peut réécrire les solutions générales sous la forme matricielle:
V
p
p
P
tB
tA
tx
tx
)cos(
)cos(
11
11
)(
)(
22
11
2
1
V
: représente le vecteur des modes propres
:représente la matrice de passage P
Avec:
En appliquant les conditions initiales suivantes :
0)(0)(
0)()(
22
11
txtx
txCtx
On obtient les quatre équations:
0sinsin0coscos
0sinsincoscos
221121
221121
pp
pp
BABA
BACBA
On somme et on soustrait les deux membres de chaque équation ; on aura :
0sin2cos2
0sin2cos2
222
111
p
p
BCB
ACA
22
cos20sin
cos20sin
21
2
2
1
1C
BAetC
B
CA
D’où :
Alors la solution générale s’écrit comme suit:
tt
tt
Ctx
tt
tt
Ctx
tBtC
tx
tBtC
tx
pppp
pppp
pp
pp
2sin
2sin)(
2cos
2cos)(
coscos2
)(
coscos2
)(
2121
2
2121
1
212
211
22
2121 pppp tet
t
On pose les constantes
suivantes:
Alors les amplitudes s’expriment comme suit:
ttCtx
ttCtx
sinsin)(
coscos)(
2
1
On constate que l’amplitude est modulée.
Ce phénomène est appelé les battements ;
Figure 9.5 : Phénomène les battements Où « Modulation d’amplitude »
On applique une force extérieure de forme sinusoïdale au premier sous système qui s’exprime comme suit:
tj
e eFRtF 0)(
Les équations différentielles du mouvement s’écrivent comme suit :
02
)(2
0)(
)()(
122
0211
22
11
kxkxxm
eFRtFkxkxxm
x
L
x
L
dt
d
tFx
L
x
L
dt
dtj
e
Mouvement oscillatoire forcé à deux degrés de liberté:
Les solutions particulières sont de la forme:
)(
22
)(
11
)()(
)()(
tj
p
tj
p
Betxtx
Aetxtx
On obtient un système linéaire forcé suivant :
jj eBBAeAAvec
AkBkm
FBkAkm
~~
0~~
)2(
~~)2(
2
0
2
les modules des amplitudes sont exprimés comme suit :
))((
2
2
0
2
))((
)(
2
2
20
2
2
22
1
2
2
0
2
2
0
2
2
2
22
1
2
20
2
2
2
0
pp
pp
m
kF
kmk
kkm
k
Fkm
B
m
k
m
F
kmk
kkm
km
kF
A
ppquandB
A21
m
kquand
teconsB
A
tan
0
La résonance
Anti résonance
On obtient deux phénomènes:
La figure 10.5 illustre bien les phénomènes de résonance et d’antirésonance
Figure 10.5 : Phénomène de résonance et d’anti-résonnance à deux degrés de liberté
Application: En appliquant la force de frottement au système à deux degrés de
liberté ; on éliminera les singularités au niveau des modes propres.
c’est l’une des applications les plus intéressantes en régime forcé. on peut citer comme exemple ;
l’amortisseur de FRAHM
Le modèle mécanique est donné comme suit
figure 11.5 : Modèle mécanique de l’amortisseur de FRAHM
Les nouvelles équations différentielles du mouvement:
0
)()(
0)(
)(
122
1211
22
11
KxKxxM
xtFKxxKkxm
x
L
x
L
dt
d
Fx
L
x
L
dt
d
i
ext
0
cos)(
122
02111
KxKxxM
tFKxxKkxxm
En régime permanent, En remplaçant la forme des solutions particulières:
)(
2
)(
1 )()( ti
p
ti
p BetxetAetx
En remplaçant dans le système différentiel, on obtient un système linéaire comme suit:
0ˆˆ
ˆ)(2
0
2
BKMAK
FKBAiKkm
p
p
Les modules d’amplitudes des solutions particulières s’écrivent alors comme suit:
)()(
ˆ
)()(
ˆ
224
0
224
2
0
M
K
mi
m
k
M
K
M
K
m
KkM
K
m
F
B
M
K
mi
m
k
M
K
M
K
m
KkM
K
m
FA
La masse m est immobile lorsque la pulsation de la force extérieure est égale à :
M
Ka
2
D’où l’amplitude A est nulle dans ce cas.
Dans ces conditions, un tel dispositif est appelé Un étouffeur dynamique de vibrations
La figure illustre les phénomènes de résonance et d’antirésonance
Figure 42.5 : Phénomène de résonnance et d’antirésonance
Figure 12.5. : Application technique de l’amortisseur de FRAHM où l’Etouffeur dynamique
Il est efficace pour une bande de fréquence très réduite.
En effet ; la masse m doit être plus faible que la masse M qui doit être amortie
On peut citer d’autres exemples d’applications : l’oscillation des véhicules
Pour 3 degrés de liberté: On a le système mécanique à trois degrés de liberté couplé comme suit:
Figure 11.5 : Mouvement oscillatoire à trois degrés de liberté
Pour l’énergie cinétique on a :
233
222
21i1c xm
2
1xm
2
1xm
2
1E
L’énergie potentielle est Calculée comme suit:
232
221p )xx(k
2
1)xx(k
2
1E
Le Lagrangien s’exprime alors:
2
32
2
21
23
1
321321
)(2
1)(
2
1
2
1),,,,,(
xxkxxk
xmxxxxxxL i
i
i
0kxkxxm
0kxkxkx2xm2
0kxkxxm
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
233
3122
211
33
22
11
A partir du modèle de Lagrange, le système différentiel s’écrit comme suit :
On obtient un système différentiel couplé à trois inconnus,
On considère les solutions du système de type sinusoïdales;
)t(j
3
)t(j
2
)t(j
1
p
p
p
Ce)t(x
Be)t(x
Ae)t(x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant :
0kBC)km(
0kCkAB)k2m2(
0kBA)km(
2p
2p
2p
On peut réécrire le système linéaire sous la forme matricielle:
0
0
0
0
)22
0
2
2
2
C
B
A
kmk
kkmk
kkm
p
p
p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si
0det
On obtient l’équation paramétrique suivante:
0]k)km)[(km( 222p
2p
Donc les pulsations propres sont déterminés comme suit:
m
k
m
k
p
p
p
2
0
2
3
2
2
2
1
)cos(
)cos(
)cos(
.
)(
)(
)(
3
2
1
tC
tB
tA
tx
tx
tx
P
Ainsi les solutions générales s’écrivent en fonction des modes propres comme suit
Où P est la matrice de passage qui relie les solutions générales en fonction des modes propres,
Les éléments de la matrice de passage sont les composantes des vecteurs propres associés à chaque mode propres,
Pour le premier vecteur propre associé à la valeur propre:
1V
0)(0
0)22(
00)(
11
2
11
111
2
1
111
2
1
kBCkmA
kCkABkm
CkBAkm
p
p
p
m
kp
2
1
Est:
0
0
1
11
1
B
CA
B
1
0
1
1V
Pour le deuxième vecteur propre associé à la valeur propre: 02
2 p
Est: 2V
0)(0
0)22(
00)(
22
2
22
222
2
2
222
2
2
kBCkmA
kCkABkm
CkBAkm
p
p
p
22
22
CB
BA
1
1
1
2V
Pour le troisième vecteur propre associé à la valeur propre: m
kp
22
3
Est: 3V
0)(0
0)22(
00)(
33
2
33
333
2
3
333
2
3
kBCkmA
kCkABkm
CkBAkm
p
p
p
33
33
CB
BA
1
1
1
2V
La matrice de passage s’écrit alors :
321
111
110
111
VVV
P
La solution générale s’écrit sous la forme d’une combinaison linéaire des modes propres comme suit :
)cos()cos())cos()(
)cos()cos()(
)cos()cos()(
3
2
1
tCtBtAtx
tCtBtx
tBtAtx
Soient deux circuits identiques de résistances négligeables, figure 14.5. Le couplage par inductance mutuelle M est caractérisé par le coefficient de couplage:
Couplage mutuel:
indL
Mk
Figure 48.5 : Couplage mutuel de deux circuits électriques L.C
Le système a deux degrés de liberté exprimés en q1 et q2,
Les deux équations différentielles du système s’écrivent:
0dt
diM
dt
diL
C
q2Circuit
0dt
diM
dt
diL
C
q1Circuit
12ind
ap
2
21ind
ap
1
En introduisant le couplage:
indL
Mk
0qkqq2Circuit
0qkqq1Circuit
12202
21201
On obtient un système différentiel couplé
apind
20
CL
1
En posant les nouvelles variables généralisées:
)t(q)t(q)t(D
)t(q)t(q)t(S
21
21
On obtient les nouvelles équations du mouvement représentées comme suit :
01
01
2
0
2
0
Dk
D
Sk
S
Il existe deux pulsations propres ’ et ’’ sont définies comme suit:
k1et
k1
00
Les lois d’évolution des charges q2(t) et q2(t):
2
kAvec
tsint2
ksinq)t(q
tcost2
kcosq)t(q
0
00
12
00
11
0
0
La nature du mouvement : les battements
Figure 50.5 : Phénomène : les battements où
« Modulation d’amplitude »
Les systèmes à plusieurs degrés de liberté nécessitent plusieurs coordonnées indépendantes
Ce qu’il faut retenir!
Le nombre de degré de liberté détermine le nombre des équations différentielles ainsi que les modes propres du mouvement.
Il existe deux types de systèmes:
Systèmes à plusieurs sous systèmes découplés
Les Solutions sont découplées
Systèmes couplés par plusieurs sous systèmes
Les Solutions sont une combinaison par plusieurs modes propres
Les Battements sont régis par deux mouvements oscillatoires harmoniques de même direction se superposent,
Le phénomène d’Antirésonance se manifeste lorsque la réponse d'un système est au minimum à excitation constante
Le phénomène de résonance se manifeste lorsque la réponse d'un système est au maximum à excitation constante
si les fréquences sont proches, la vibration résultante est un mouvement oscillatoire non harmonique, dont l'amplitude varie périodiquement dans le temps
