SIAM J . CONTROL AND OPTIMIZATION

© 1979 Society for Industrial and Applied Mathematic sVol. 17, No . 2, March 1979

0363-0129/79/1702-0013 $01 .00/ 0

STRUCTURE MÉTRIQUE DES ORBITES DE FAMILLES SYMÉTRIQUE SDE CHAMPS DE VECTEURS ET THÉORIE DU TEMPS MINIMUM*

ANDREA BACCIOTTI t

Sommaire . L'étude des propriétés et de la structure des ensembles des états atteignables ou orbite sd'une famille de champs de vecteurs sur une variété différentiable a appelé récemment l'attention deplusieurs auteurs : il s'agit en effet d'une approche théorique très importante à la théorie des systèmes decontrôle non linéaires . Il est connu que une orbite S d'une famille symétrique peut être munie d'unestructure de variété différentiable : dans cet article on montre que sous des conditions très raisonnables Speut être munie d'une structure d ' espace métrique, qui induit sur S la même topologie de la structur edifférentiable . La fonction de distance qu'on va définir sur S est semblable à la fonction du temps minimum .En utilisant cette distance on peut alors poser les bases pour une théorie du problème du temps minimum .

Introduction. L'approche géométrique à la théorie du contrôle, devéloppée àpartir des travaux de Hermann et Lobry [11], permet une étude très générale de spropriétés de l'ensemble des états atteignables . Un des résultats les plus importantsjusqu'ici connus est le théorème de Sussmann et Stefan (voir la proposition 1 .2) qu imontre comment l'ensemble des états atteignables par une famille symétrique d echamps de vecteurs possède une structure naturelle de variété différentiable . Dans cetravail on introduisit sur l'ensemble des états atteignables une structure d'espac emétrique : l'idée est de mesurer les distances au moyen du temps qu'on employe à lesparcourir, le long des trajectoires de la famille donnée . Si nous n'avons pas à dis -position des vitesses infinies, et si nous sommes en conditions convenables de autoac -cessibilité (voir dans la suite) la topologie induite sur l'ensemble des états atteignable spar sa structure métrique est équivalente à la topologie donnée sur l'espace des états .

La métrique introduite est strictement liée à la fonction du temps minimum : enutilisant cette métrique on peut alors déduire d'un façon très naturelle les résultats qu isont à la base de la théorie du temps minimum, tels que la continuité de l'ensemble de sétats atteignables par rapport au temps, la continuité de la fonction du temps minimum e tune condition d'extrémalité pour les trajectoires optimales . Malheureusement, nous nesommes pas en état d'achever notre exposition avec un théorème d'existence pour le scontrôles optimaux, car en général, l'ensemble des points atteignables à un certain instantT > 0 n'est pas fermé; et cela en tant que dans la théorie géométrique du contrôle ontravaille structurellement avec des contrôles bang-bang continus par morceaux . Lorsqu el'ensemble des points atteignables résulte fermé à tout instant T 0 (il est ainsi pa rexemple pour certains systèmes linéaires ou bilinéaires, voir [5]), la théorie du temp sminimum peut être tout à fait développée de notre point de vue .

Voilà le plan du travail : la § 1 contient le liste des notations et les rappel snécessaires ; la § 2 est consacré à la définition et à l'étude de la structure métrique su rles orbites d'une famille symétrique de champs de vecteurs ; dans la § 3 on pose leproblème du temps minimum et l'on montre la continuité de la fonction du tempsminimum; enfin, dans la § 4 on achève l'étude de l'ensemble des états atteignables e ndémontrant, en particulier, qu'il dépend continûment du temps .

1 . Notations, définition et rappels . Dans ce travail nous utiliserons les notationssuivantes :

k, h, n, µ sont des entiers positivs .

* Received by the editors August 20, 1977, and in final revised form March 13, 1978 .t Istituto di Matematica Applicata, Facoltà di Ingegneria, Firenze (Italia) Questo lavoro é stato svolto

nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C .N .R .

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ANDREA BACCIOTTI

Rn dénote l'espace des n-pies de nombres réels, x = (x i , • • • , xn ) et R n, dénotel'ensemble {x = (xi , • • • , xn ) E Rn

: x i 0, i = 1, • • • , O . Si x = (x 1 , • • • , xn ) E lin , on note

iiii= ;'= 1 (xi I .I est un ensemble de indices at 1' est l'ensemble des k-arrangements ave c

répétition d'éléments de I.L'adhérence et l'interieur d'un ensemble A dans un espace topologique E son t

dénotés respectivement par adh E A et intE A ou, s'il n'y a pas de possibilité d econfusion, plus simplement par adh A et int A ; la frontière de A est notée 0A .

M est une variété différentiable paracompacte de dimension n et de classe C'+ 1

(1 p. ; cd) ; les points de M sont dénotés par m, p, q, • • • et l'espace tangent à M enchaque point m est dénoté par TMm . On suppose M munie d'une structure Rie-manienne définie par un champ de tenseurs G (de classe Cµ) deux fois covariants(voir par exemple [3]): cela détermine, pour chaque m E M, la donnée d'une formebilinéaire G,n (• , • ) sur TMm x TMm symétrique, non dégénerée et définie positive .

D = (X'( . ))i E I est une famille de champs de vecteurs de classe Cµ sur M. Pourchaque i E I on note (t, m) -'X(m)le groupe à un paramètre engendré par X' ( . ) . Onsuppose que tous les champs de vecteurs de D soient complets : cela signifie que, pourchaque i E I, le groupe X(m) est défini quel que soit (t, m) E 111 x M. Si m E M et

= (i i , • • • , ik ) E 1', on note pe,m (•) l'applicatio n

( 1 )

(t1,. . . tk) - X tk

o . . . o X t~ (m ) : 1k -M

différentiable de classe C ' . L'ensemble de toutes les applications pe,m définies par (1 )est noté par W.

Voilà maintenant quelques définitions et résultats classiques, que nous utiliseron sdans la suite .

DÉFINITION . On dit qu'une famille D de champs de vecteurs est symétrique s ipour tout X(• ) E D, -X(• ) E D .

DÉFINITION . Soient m, m ' E M. On dit que m ' est atteignable de m si existentk, E l k et t = (t1, . . . , tk ) E

tels que pcm (t) = m ' .PROPOSITION 1 .1 . Si la famille D est symétrique, la relation d'atteignabilité est un e

relation d'équivalence .Démonstration . La démonstration est triviale . qDÉFINITION . Les classes d'équivalence de la relation d'atteignabilité en M sont

appelées orbites de la famille D, ou bien ensembles des points ateignables .PROPOSITION 1 .2 (Sussmann-Stefan). Soit S une orbite de la famille symétrique D

de champs de vecteurs . Il existe sur S une structure différentiable telle que :(i) Pour chaque m E S, p ,m (• ) définie par la (1) est une application continue de

R k en (S, oW), quels que soient k et E lk .(ii) (S, o-) est une sous-variété immerse en M.Démonstration . Pour la démonstration voir [12], [13] . q

DÉFINITION . Soit T 0 et mo E M. L'ensembl e

(2 )

R (T, mo) = {m E M : 2k, e E lk et t E i t .q . m = p ,mo( t) et II01= T }

est appelé ensemble des points atteignables de mo à l'instant T 0 .PROPOSITION 1 .3 . Soit D une famille symétrique de champs de vecteurs sur M e t

soit S une orbite . On a(i) Si mo E S alors R (T, mo) c S à tout instant T ? 0 et S = U tao R (t, mo).(ii) Si T2 > Ti > 0 alors R(T1 , mo) c R (T2, mo) pour chaque mo E M, et

R (T, mo) = Uo~r=TR (t, mo) .(iii) Si m E R (T, m' ) alors m ' E R (T, m) quels que soient m, m ' E S et T > 0 .Démonstration . Pour la démonstration voir [1] . q

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DÉFINITION . On dit qu'un point mo E M est autoaccessible à l'instant T > 0 pa rrapport à la famille D si mo E intM R (T, mo) .

Des conditions d'autoaccessibilité sont données en [1] . Des conditions afin qu eint R (T, mo) 0 0 sont données en [14] dans le cas analitique .

2 . Structure métrique des orbites. Soit S une orbite de la famille symétrique D .Soient m, m ' E S et soit

d (m, m ' ) = inf IT >0 : m' E R (T, m)} .

La (3) définit une fonction de S X S en ll+ .THÉORÈME 2 .1 . Quelle que soit la famille symétrique D de champs de vecteurs

complets sur M et quelle que soit l'orbite S, la fonction (3) satisfait les propriétéssuivantes :

(i) m = m ' d (m, m ' ) = 0 ;(ii) d(m, m ') = d(m', m) ;(iii) d(m, m ')+d(m', m ")?d(m, m " ) .

Selon la définition de [2, p . 1] la fonction (3) est donc un écart sur S .Démonstration . La verification de (i) et (ii) est triviale ; (iii) est une conséquenc e

simple de (1), (2), (3) . qDÉFINITION . On dit qu'une famille D de champs de vecteurs est localemen t

bornée quand, quel que soit m E M, il existe un voisinage U de m et un nombre réelL > 0 tels que

(4)

Gq (X i (q),X l (q))< L

quels que soient q E U et i E I.Soit (V, cp) une carte locale en m, et soient f; (q) les composantes du champ Xie )

en cette carte . En écrivant (4) dans le repère (V, cp) on voit que D est localementbornée si et seulement si il existe un voisinage V' de m contenu en V et un nombreréel L ' > 0 tels que

n

1/ 2

If(g )l 2

<L ' ,j= 1

quels que soient q E V ' et i E I. La définition de famille localement bornée ne dépen dpas donc de la structure Riemanienne de M.

THÉORÈME 2 .2 . Soit D une famille symétrique de champs de vecteurs complets su rM, et soit S une orbite de D en M. Si D est localement bornée, la fonction (m, m ' ) H

d(m, m ' ) définie par la (3) est une distance sur S.Démonstration . D'après le Théorème 2.1, il suffit de vérifier qu e

(6)

d(m, m ') = 0 m = m ' ,

m, m' E S.

Soit m ~ m ' . Puisque (S, a-) est un espace de Hausdorff, il existe un voisinage U de moù (4) vaut, tel que m ' U.

Soit g(' , . ) da distance géodésique induite sur M par la structure Riemanienne G(voir [3]), et soit e > 0 tel que {p E M : g (p, m) < s l = V c U. Soient = (i 1 , . . . , ik ) E lket t = (t 1 , . • • , tk ) E Œl tels que m ' = pcm(t) et posons

mo = m,

mh = Xrh ( mh-1),h

ro – 0,

Th =

ti,j= 1

(3 )

( 5 )

pour h = 1, • . . , k . On a Tk = Iltll l et m k = m ' . Soit encore 15. H y( 19-) : [0, Tk] ~ M la

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courbe définie par

(7) Y(0) = mo,

Telle courbe est continue, et ses extrêmes sont l'un en dedans, l'autre en dehors de V .Donc il existe 1 T tel que si i < i , y (i) E V et y ('O) E a V ; on peut supposer i = Th,pour un certain indice h < k . Soit Ili la longueur de l'arc décrit par la courbe i H y(~)lorsque Th _ 1

Th ; il suit par la (4 )

Th

lh —

[G(,,)(X"(y(iJ)), X`h(y@)))]l'2

hL1J2 .Th - 1

La longeur de l'arc déçrit par la courbe 1---> y(i) lorsque 0

Th est E;`_ 1 l; ? E . Par(8) il suit alors e (E 1 t1 ) TkL, c'est-à-dire 11th1 E/L, pour tous k, e E Ik et t E IR +tels que m ' = pE, m (t). En prenant la borne inférieure la (6) est démonstrée . q

Si la famille D n'est pas localement bornée, la (3) ne donne pas en géneral unedistance sur S : cela est montré par le simple exemple qui suit .

Exemple 2.1 . Soit M = l avec l'structure usuelle euclidienne . La famille D =(aX (• ))a E R, où m HX(m) =1, est symétrique, mais non localement bornée ; en étant(aX) t(0) = at, on voit aisément que d(0, 1) = O .

Dans les hypothèse du Théorème 2 .2 la distance (3) définit sur S une topologiemétrique que nous notons S. Le but de la partie finale de cette section est de compare rla topologie S et la topologie naturelle de M. On commencera aussi à étudier le sboules ouvertes ou fermées de 8 par rapport aux ensembles des points atteignables .

PROPOSITION 2 .1 . Soit mo e S. Dans les hypothèse du Théorème 2 .2 si Us est unvoisinage quelconque de mo en (S, o) alors il existe T > 0 tel que R (T, mo) c Us .

Démonstration . Soit Ds la famille des réstrictions des champs de D à la variété(S, o-) : il est clair que Ds est encore localement bornée . Répétons la construction de l adémonstration du Théorème 2.2 par rapport à un voisinage Us de mo en (S, o') et àtous N, m E

et t E 11;R k avec Iltlli < E/L ; on a nécessairement y(i) E Us pour tout1

11th1 . Donc R (e/L, mo) c Us. qPROPOSITION 2 .2 . Soit mo E S et soit {m,,} une suite en S telle que lim d(m,,, mo) =

0. Alors {m„} converge à mo dans la topologie de cr.

Démonstration . Il est évident que, dans ces hypothèses, quel que soit T > 0 i lexiste v pour lequel m„ E R (T, mo) . L'énoncé suit alors par la Proposition 2 .1 q

PROPOSITION 2 .3 . Soit T > 0 et soit mo E S ; dans les hypothèses du Théorème 2 . 2on a :

(i) {m E S: d(m, mo)< T}= Uost<TR(t, mo) ;(ii) R (T, mo) c {m E S : d(m, mo) TI c adh (s, ,r) R (T, mo).

Démonstration . La (i) et la première inclusion de (ii) sont des conséquence simmédiates des définitions . Pour démontrer la deuxiéme inclusion de (ii), soit m E{m S : d(m, mo)T}. Si d(m, mo) < T, il est clair que m E adh R (T, mo) ; soit doncd(m, mo) = T et soit {T„}, T„ > 0, une suite de nombres réels qui converge à zéro . Parla définition même de la fonction d(• , • ) ils existent, pour chaque v, k„ E Ni, ev E 1 k- e tt„ E R kv tels que m = p e,,.mo(t u ) et T Ilty Il i T + T,,. Répétons la construction de ladémonstration du Théorème 2 .2, pour obtenir, de l'application pe,,, ma , une courbe

►-* y,,@), définie par P. E [0, llt„I I 1 ] . Quel que soit v, on a m„ = y,,(T) E R (T, mo) etd (m,,, m) (Itylll — T T,, . La démonstration est complète par la Proposition 2 .2 . q

Dans la Proposition 2 .3 paraissent les boules ouvertes et fermées de la topologi eS : puisque les orbites sont des sous-variétés immerses en M, on peut affirmer à cepoint que la topologie ô est plus fine que la topologie naturelle de M.

y(~) —

(mh--1) Si Th —1 <

Th .

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THÉORÈME 2.3 . Soit D une famille symétrique et localement bornée . Si chaquepoint de M est autoaccessible à tout instant T > 0, alors les orbites de D en Mcoinciden tavec les composantes connexes de M et, sur chaque orbite, la topologie S est équivalente àla topologie de M.

Démonstration . L'hypothèse de autoaccessibilité à tout instant T> 0 entraîneque l'orbite que passe chaque point m E M a dimension n (voir [1] ; la premièreaffirmation du théorème est alors un corollaire de la Proposition 1 .2 (voir [131) . Onpeut supposer maintenant pour semplicité que M soit formée par une composant econnexe toute seule : par les Propositions 2 .1 et 2 .3, il suit alors que tout ouvert de Mcontient un ouvert de S . Par contre, par la définition de autoaccessibilité, il est clai rque, quel que soit T> 0, il un ouvert de M contenu en {m E M : d (m, mo) < T} =U O < t< T R (t, mo). Le Théorème est donc montré . q

Si l'hypothèse de autoaccessibilité à tout instant T > 0 n'est pas vérifiée en tou tpoint de M, la topologie ô peut être effectivement plus fine que la topologie de M,même si M est formée par une orbite toute seule : cela est montré par l'exemple qu isuit .

Exemple 2 .2 . Considérons en M =l 2 les champ s

X l x = 1

X 2 x =(,Y)

0 ,

(,Y)

xf( )

où f (x) est x 2 si x 0 et est zéro si x < 0 . Soit D = (±X 1 , ±X 2 ) . Cet exemple es tdéveloppé en [1] . La boule ouverte de rayon 1 et de centre (—1, 0) dans la topologie Sest donnée par le segment -2 < x < 0, y = 0 .

Les exemples suivants sont en relation avec la Proposition 2.3 . On doit dire qu el'eexample 2 .4 n'est pas beaucoup approprié dans ce contexte, car on y utilise u nchamp non complet ; il me semble de toute façon interessant, parce que l'hypothèse d etravailler avec des champs complets n'est pas considerée essentielle par presque tou sles auteurs .

Exemple 2 .3 . Considérons en M = {(x, y) E R 2 : y > 0} les champ s

X I x — 1/Y

X2 x = 1/ Y( ,Y)

1/Y,

( ~Y)

- 1/Y '

et soit D = (±X 1 , ±X2 ) . Soit encore b > 0, et soit n un entier positif . Du point (0, b)on peut atteindre le point (1, b) en suivant la courbe intégrale du champ X 1 jusqu'aupoint (1/(2n), b + 1/(2n)), puis la courbe intégrale du champ X 2 jusqu'au poin t(2/(2n), b) et ainsi de suite . Le temps employé à la fin du chemin est égal à b + 1/(4n) .On a donc d ((O, b), (1, b)) = b mais (1, b) R (b, (0, b)) .

Exemple 2 .4 . Soit M = R2 -101 et considérons les champ s

XI ( x , y) — (0) ,1

X2(x, y) =f(x )

,

où(x + 2) 2 six < -2 ,

f(x)= 0

si -2x 2 ,

(x—2) 2 six>2.

Soit D =(±X 1 , ±X2 ) . En tout voisinage de (—1, 0) il y a des points qu 'on peutatteindre de (1, 0) à un instant T < 5, mais le point (—1, 0) n'est pas atteignable d e(1, 0) quel que soit T < 5 . Il s'avère donc que l'inclusion {(x, y) : d ((x, y), (1, 0))-5—. 5} cadh R(5, (1, 0)) est propre .

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3. La fonction du temps minimum . Soit D = (X i (• ))i E I une famille symétrique d echamps de vecteurs complets Cµ sur M, et soit S une orbite de D en M. Il convient depenser M comme l'ensemble des états phisiques d'un système guidable, dont le schamps de D représentent les possibles évolutions . Nous dénotons par mo un pointfixé en S, qu'on assume comme "état désiré" par le système, c'est-à-dire l'état qu'o ndésire d'atteindre . Le problème du temps minimum consiste à déterminer (s'ils exis-tent) pour chaque m E S donné, k E E I k , t E Rk qui minimisent la valeur de ({t{{1 ,sous la condition que pcm (t) = mo . Soit T > 0 ; en étant D symétrique, l'ensemble despoints desquels mo est atteignable à l'instant T coïncide avec R (T, mo) défini par (2) .Le problème du temps minimum a donc solution pour un point m donné en S, si e tseulement si il existe T> 0 tel que

(9)

m E R(T, mo) et m R (t, mo), quel que soit t < T.

Il y a une vaste littérature sur le problème du temps minimum . Ici nous rappelerons[4], [9], [10], où les résultats sont essentiellement fondés sur des théorèmes d ecompacité et de continuité des ensembles des points atteignables. On doit à Filippov[7] le théorème d'existence de solutions du problème du temps minimum dans le ca s

=f(t,y,u),

t0, yE Rn, uESl,c R h ,

où f (t, y, u) est continue et différentiable par-rapport à y, Q est compact, t i-4 u(t) estmesurable et l'ensemble V (t, y) = f (t, y, f.Z) est convexe . Un exemple en [6] (voir aussi .[11]) montre qu'on ne peut pas se passer de cette dernière hypothèse .

La fonction

(11)

m H To(m) = d (m, mo) : S -* R +

où (m, mo)H d (m, mo) est donnée par la (3), s'appelle la fonction du temps minimum .Les proprietés de la fonction du temps minimum sont étudiées en [8] par rapport à unsystème linéaire de la form e

J' = Ay+Bu,

y E R n , u E SZOE Rh,

oû A et B sont matrices constantes, t ►—* u (t) est mesurables e t

(13)

Q={u=(u1, . . . ,uh)E R h : IuI

1, j = 1, . . . , h},

et par rapport à l'état désiré mo = 0 E Rn. Le résultat plus important que nous démon-trerons à propos de la fonction (11) est le théorème suivant .

THÉORÈME 3 .1 . Soit D une famille symétrique de champs de vecteurs complets,Cµ sur M. Si D est localement bornée et si chaque point de M est autoaccessible à toutinstant T > 0 par rapport à D, alors S est une composante connexe de M, et la fonctio ndu temps minimum (11) est continue dans la topologie de M sur S .

Démonstration . On déduit la première affirmation comme dans le Théorème 2 .3 .Soit alors m i E S, soit E > 0 et considérons l'ensemble R (e, m i ) . Par l'hypothèse d eautoaccessibilité il existe un voisinage U de m i en M contenu en R (E, mi) ; donc lafonction m H d (m, m i ) de S en l +, est continue dans le point mi, quel que soit mi E S .La continuité de la fonction (11) est alors une conséquence de l'inégalit é

I

To(m 1)I = Id (m, mo) — d (m1, mo)I d (m, m i ) . q

Dans le cas (12), (13) la continuité de la fonction du temps minimum est montrée en [8 ]en utilisant le fait que, dans le cas (12), (0) l'ensemble R (T, mo) est fermé.

COROLLAIRE 3 .2 . Suppose de nous trouver dans les hypothèses du Théorème 3 .1 .Supposons en plus que M soit connexe et que chaque sous-ensemble propre de M borné

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dans la métrique ô soit contenu dans un sous-ensemble compact de M (telle hypothès eest verifiée par exemple lorsque M est compacte, ou lorsque M = Rn ) . Quel que soitT1 > 0 tel que R (T1 , mo) soit un sous-ensemble propre de M, il existe m E R (T1 , mo) telque To(m) = T 1 .

Démonstration . On sait que, dans nos hypothèses, S = M. Soit T1 > 0 tel queR (T1 , mo), et donc la boule 1m : d(m, mo) < T1 }, sont des sous-ensembles propres deM. Démontrons d'abord que, quel que soit T > T1 , la boule 1m : d(m, mo) < T1 } es taussi un sous-ensemble propre de la boule {m : d(m, mo) < T} . A cette fin, allon sobserver que, en étant M connexe, la boule ouverte 1m : d(m, mo) < TI est un sous -ensemble propre de son adhérence ; donc l'ensemble

a{m : d (m, mo) < T1 } c {m : d (m, mo) = T1 }

est non vide. Chaque point p tel que d (p, mo) = T1 est atteignable de m à tout instan tT > T1 . En conclusion, p E {m : d(m, mo) < T} si T > T1 , mais p {m : d(m, mo) < T1 } .Puisque la boule ouverte {m : d(m, mo) < T1} est bornée en (M, ô), il existe un compactK qui la contient, et l'ensemble K\{m : d(m, mo) < T1 } est encore un compact de M:puisque la fonction du temps minimum est continue, elle admet un minimum sur c edernier ensemble (voir par exemple [6, p . 64]) . Soit T* la valeur de ce minimum ; il es tclair que T* T1 , et l'on voit par l'absurde que T* = T1 . En effect dans le cascontraire on aurait, à tout instant T tel que T1 < T < T* ,

{m : d (m, mo) < T1 } = {m : d (m, mo) < T}.

D

Le Corollaire 3 .2 peut s'énoncer dans la manière suivante : dans les conditions poséessur D, M et T1, il existe m E M tel que le problème du temps minimum avec le sdonnés m et mo a solution égale à T1 . On observe que l'hypothèse que M soit connexen'est pas essentielle : il suffit de nous rapporter aux composantes connexes de M.

4. Quelques propriétés de l'ensemble des points atteignables . Le résultat le plu simportant de cette section concerne la continuité de la fonction multivoque 1. 1—>

R(t, mo) . On dit qu'une fonction multivoque t HF(t) de variable réelle qui prend se svaleurs dans un espace métrique E est continue au sens de Hausdorff si, quel que soit

> 0 il existe T > 0 tel que H(F(t), F(to)) < e toutes les fois que lt — toi < T. La "dis -tance" H( . , •) que nous employons ici est définie comme en [6, p . 61] : on doitobserver que H(• , •) est une distance au sense propre seulement sur la classe dessous-ensembles fermés de E .

THÉORÈME 4.1 . Soit D une famille symétrique et localement bornée sur la variétéM et supposons que chaque point de M soit autoaccessible à tout instant T > 0 pa rrapport à D . Quel que soit mo E M, la fonction multivoque t H R (t, mo) est continue a usens de Hausdorff dans l'espace (M, ô) à tout instant t > O .

Démonstration . Supposons d'abord t > to > 0, de façon que R (to, mo) c R (t, mo )et H(R(t, mo), R (to, mo)) = sup {d(m, R (to, mo)) : m R(t, mo))} . Soit m i E R (t, mo) e tsoient k, El k et t E Rk tels que m 1 = pe, ,,(t), avec ItII1 = t > to . Construisons la courb e

y('û) pour i E [0, t] comme dans la démonstration du Théorème 2 .2, (7) . Le pointm 2 = y(to) appartient à R (to, mo) et on a

d (m 1, m 2 ) -5—t — to .

Donc H(R (t, mo), R (to, mo)) t — to . On complète la démonstration en changeant le srôles de to et t . 0

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ANDREA BACCIOTTI

La continuité de la fonction t H R (t, mo) est montrée en [4] dans le cas linéair e(12), (13) et en [9] dans les cas général (10), avec des hypothèses restrictives su r

f( t, y , u) .Reprenons maintenant l'étude des ensembles des points atteignables par rappor t

aux boules ouvertes ou fermées de la topologie 8 .PROPOSITION 4.1 . Soit D une famille symétrique et localement bornée, avec l a

propriété que chaque point de M est autoaccessible à tout instant T > 0 . On a alors, que lque soit T > 0 et quel que soit mo M,

adhMR (T, mo) = {m : d(m, mo) T} = {m : To(m) T}.

Démonstration . Par la Proposition 2 .3 (ii), nous avons déjà l'inclusionadhM R (T, m0) D{m T}. Il suffit donc de montrer que si d(m, mo) > T alorsm adhM R (T, mo). En étant m autoaccessible à tout instant, quel que soit e <d(m, mo) — T il existe un ouvert U de M tel que me U c R (e, m) . S'il y avait en U unpoint m ' de R (T, mo) on pourrait atteindre m de mo à travers m ' en temps T + e <d(m, mo) : le résultat est donc obtenu par l'absurde . q

PROPOSITION 4.2 . Dans les hypothèses de la Proposition 4 .1, quels que soien tT > 0 et mo E M, on a

aR(T, m 0 ) c {m : d(m, mo) = T} = {m : To(m) = T I .

Démonstration. Il est clair par la Proposition 4 .1 que aR (T, mo) c1m : To(m) T} . Soit m E aR (T, mo), et supposons To(m) < T. Quel que soit e positif ,par l'hypothèse d'autoaccessiblité il existe un ouvert U tel que m E U c R (e, m) : s il'on choisit e < T -- To(m), on a U c R (T, mo), c'est-à-dire m aR (T, mo). Enconclusion To(m) = T. q

Supposons encore de nous trouver dans les conditions de la Proposition 4 .1 :l'inclusion

(14) {m : d(m, mo) < T} = lm : To(m) < T} c intM R (T, mo )est triviale . Dans l'exemple suivant la (14) est une inclusion au sens propre : mêmedans cet exemple on utilise un champ non complet .

Exemple 4 .1 . Soit M la surface comprise entre deux sections planes orthogonale sd'un cylindre de l : nous dénotons les points de M avec des couples de nombre s(x, y), -1<x 1 et -1 <y < 1 . Considérons les champs sur M

1

1

X 1x = 0

X2x — 1 y

X3x

1+ y(,Y)

1 ,

(,y)

0

,

(,y)

0

et soit D = (±X ' , ±X2 , ±X3 ). L'ensemble R(1, (0, 0)) est M tout entière, don cint R(1, (0, 0)) = M, mais les points de la forme (1, y) ne sont pas atteignables à T < 1 .On note que dans cet exemple, aR (1, (0, 0)) = 0 tandis que {m : To(m) = 1} ={(x,y)EM:x=1} .

La proposition qui va suivre est une conséquence presque immédiate de sdéfinitions .

PROPOSITION 4 .3 . Dans les hypothèses de la Proposition 4 .1, on a

(15) in.t MR(T, mo)={m : To(m)< T}

si et seulement si aR (T, mo) _ {m : To(m) = T} .

Les propositions 2 .3, 4.1, 4.2 et 4 .3 donnent une généralisation du Corollaire 3 d e[8] . En particulier, la Proposition 4 .3 donne une condition d'extrêmalité pour les

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FAMILLES SYMÉTRIQUES DE CHAMPS DE VECTEURS

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trajectoires optimales (voir [4], [9], [10] pour l'idée d'extrêmalité) . Supposons eneffect que mo soit atteignable de m i en temps minimum T: si (15) est verifiée, on a qu em 1 E R (T, mo) (10R (T, mo) = R (T, mo)\{m : To(m) < TI. Dans le cas linéaire (12), (13 )la (15) est toujours vérifiée (voir [8]) : il suit alors le théorème classique d'extrêmalité .

On remarque enfin que, dans l'hypothèse (15) une trajectoire extrêmale à u ncertain instant T > 0, est extrêmale même à tout instant t < T.

Remerciement. Je remercie Prof . C. Lobry pour son attention envers mo ntravail . Je remercie aussi Prof. H. Hermes, doct . Mme G. Stefani et doct . J . B . Costa lpour leurs suggestions utiles .

BIBLIOGRAPHIE

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[2] N . BOURBAKI, Eléments de mathématique, livre III, chap . 9, tome 8, Hermann, Paris, 1958 .[3] Y . CHOQUET-BRUHAT, Géométrié différentielle et systèmes exterieurs, Dunod, Paris, 1968 .[4] R . CONTI, Problemi di controllo e di controllo ottimale, UTET, Torino, 1974 .[5] Sul principio del bang-bang per i processi di controllo bilineari, Matematiche, 30 (1975), pp .

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New York, 1969 .[10] E . B . LEE AND L . MARKUS, Foundations of Optimal Control Theory, John Wiley, New York, 1967 .[ 11 ] C . LOBRY, Contrôlabilité des systèmes non linéaires, this Journal, 9 (1971), pp . 573-605 .[12] P . STEFAN, Accessible sets, orbits, and foliations with singularities, Proc. London Math . Soc . Ser . A, 2 9

(1974), pp . 699/713 .[13] H . J . SUSSMANN, Orbits of families of vectors fields and integrability of distributions, Trans . Amer.

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