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SUJET DE L’ÉPREUVE

OLYMPIADES MATHÉMATIQUES LYCÉE, PREMIÈRE

freemaths.fr Olympiades Mathématiques • 2021

ACADÉMIE DE LILLE 2021

21e LYMPIADES DE MATHÉMATI UES

Sujet et Corrigé vous sont présentés par freemaths.fr . . .

Olympiades nationales de

mathématiques

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Académies d’Amiens et de Lille

Le mardi 23 mars 2021 de 13h à 17h10 Pause de 15h à 15h10

Les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité de mathématiques

Énoncés de la première partie de 13h00 à 15h00 L’épreuve se déroule en deux parties indépendantes de deux heures chacune. Les énoncés des deux parties sont donc séparés et distribués séparément à des moments différents.

La première partie est constituée des exercices nationaux. À son issue, les copies sont ramassées et une pause de dix minutes est prévue, avant la seconde partie, constituée des exercices académiques.

Des consignes de confinement peuvent être données selon la zone géographique de passation de l’épreuve.

Les calculatrices sont autorisées selon la législation en vigueur. Il est conseillé aux candidats qui ne pourraient formuler une réponse complète à une question d’exposer le bilan des initiatives qu’ils ont pu prendre.

Les énoncés doivent être rendus au moment de quitter définitivement la salle de composition.

Première épreuve

De 13 heures à 15 heures

Pause de 15 heures à 15 heures 10

Exercice1(àtraiterpartouslescandidats)

Nombredediviseurs,sommedesdiviseursd’unentier

Onrappellequ’unnombreentier𝑚estunmultipled’unnombreentier𝑑s’ilexisteunnombreentier𝑞telque𝑚 = 𝑑𝑞.Danscecas,onditaussique𝑑estundiviseurde 𝑚.Cevocabulairenes’utilisequepourlesnombresentiers.Danslasuite,onneconsidéreraquelesdiviseurspositifsd’unentier𝑛.1.Quelssont lesdiviseursde6?Quelssont lesdiviseursde101?Quelssont lesdiviseursde361?Quelssontlesdiviseursde2021?2.Quelleest lasommedesdiviseursde6?Quelleest lasommedesdiviseursde101?Quelleest lasommedesdiviseursde361?Quelleestlasommedesdiviseursde2021?Àtoutnombreentiernaturelnonnul𝑛,onassocielenombre𝑁 (𝑛)lenombredesdiviseursde 𝑛etlasomme𝑆(𝑛)desesdiviseurs.3.Pourchacundesnombres6,101,361,2021vérifierl’inégalité :

2𝑆(𝑛) ≤ (𝑛 + 1)𝑁(𝑛)

4.Àtoutdiviseur𝑑d’unentier𝑛nonnulonassociel’entier𝑞telque𝑛 = 𝑑𝑞.Silesdiviseursde𝑛sont𝑑!,𝑑!,𝑑!,…,𝑑! ! !!,𝑛, on note respectivement 𝑞!,𝑞!,𝑞!,…,𝑞! ! !!,1 les nombres qui leur sontassociésausensdéfinici-dessus.a.Évaluerlasomme𝑇! = 𝑑! + 𝑑! + 𝑑! +⋯+ 𝑑! ! !! + 𝑛 + 𝑞! + 𝑞! + 𝑞! +⋯+ 𝑞! ! !! + 1.b.Si𝑎et𝑏sontdesnombressupérieursouégauxà1,montrerque :

𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎𝑏 + 1

c.Endéduire,pourdesnombres𝑑et𝑞telsque𝑑𝑞 = 𝑛,l’inégalité:𝑑 + 𝑞 ≤ 𝑛 + 1

d.Endéduirefinalementquel’inégalité:

2𝑆(𝑛) ≤ (𝑛 + 1)𝑁(𝑛) estréaliséepourtoutentiernaturel𝑛nonnul.5.a.Aveclesnotationsemployéesci-dessus,montrerquel’égalité

2𝑆𝑛 = (𝑛 + 1)𝑁(𝑛) (*)n’estréaliséequesi,pourchacundesdiviseurs𝑑de𝑛,l’égalité

𝑑 + 𝑞 = 𝑛 + 1estréalisée.b.Endéduirequeseuls1etlesnombrespremierspeuventsatisfairel’égalité(*)c.Laréciproqueest-ellevraie ?

Exercice2(àtraiterparlescandidatssuivantl’enseignementdespécialitédelavoiegénérale)Entiers𝑵−décomposables

Ondonneunentier𝑁supérieurouégalà1.Onditqu’unentiernaturel𝑘est𝑁−décomposables’ilexistedesentiersnaturels𝑞et𝑟telsque :

(𝑆)𝑘 = 𝑞 + 𝑟𝑘! = 𝑞𝑁 + 𝑟

Par exemple, le nombre 5 est 21−décomposable, puisque 5 = 1+ 4

5! = 1×21+ 4, le nombre 28est

64−décomposable,puisque 28 = 12+ 1628! = 12×64+ 16.

A.Quelquesexemples1.a.Lenombre7est-il22−décomposable ?Est-il10−décomposable ?b.Lenombre45est-il100−décomposable ?2.a.Justifierqu’ilyaexactementdeuxnombres1−décomposables.b.Justifierqu’ilyaexactementtroisnombres2−décomposables.3.Soit𝑁unentiersupérieurouégalà1.a.Lenombre𝑁est-il𝑁−décomposable ?b.Prouverque𝑁 − 1est𝑁−décomposable.c.Prouverquesi𝑁 ≥ 4,alors2n’estpas𝑁−décomposable.B.Uneétudedesnombres𝑁−décomposablesSoit𝑁unentiersupérieurouégalà1.1.a.Prouverquesi𝑘est𝑁−décomposable,alors0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁.b.Quelssontlesentiers3−décomposables ?Quelssontlesentiers4−décomposables ?2.Prouverque si𝑁 ≥ 2 et si𝑘 est𝑁−décomposable, alors il existe ununique couple𝑞,𝑟 d’entiersvérifiantlesystème(𝑆).3.a.Soit𝑘unnombre𝑁−décomposable.Justifierqu’ilexisteunentier𝑞comprisentre1et𝑘telque𝑘soitsolutiondel’équation𝑥! − 𝑥 − 𝑞 (𝑁 − 1) = 0.b.Prouverque,réciproquement,si𝑘estunentiernatureletqu’ilexisteunentier𝑞comprisentre1et𝑘telque𝑘soitsolutiondel’équation𝑥! − 𝑥 − 𝑞 (𝑁 − 1) = 0,alors𝑘est𝑁−décomposable.c.Soit𝑝unentiersupérieurouégalà1.Prouverquelenombre2!!!(2! − 1)est2!!−décomposable.4.Prouverquesi𝑘est𝑁−décomposable,alors𝑁 − 𝑘est𝑁−décomposable.5. Dans cette question, on suppose que 𝑁 est pair et que 𝑁 ≥ 4. Prouver que !

!n’est pas

𝑁−décomposable.6.Justifierque,pourtout𝑁 ≥ 3,ilyaunnombrepaird’entiers𝑁−décomposables.7. Dans cette question, on supposeque𝑁 − 1 est unnombrepremier.Déterminer tous les entiers𝑁−décomposables.8.Ondonneunentier𝑘supérieurouégalà2.Prouverqu’iln’existequ’unnombrefinid’entiers𝑁telsque𝑘soit𝑁−décomposable.

Deuxième épreuve

De 15 heures10 à 17 heures 10

Exercice1(àtraiterpartouslescandidats)Philuménistie

Plaque 0 Plaque 1 Plaque 2

Les mêmes plaques vues de dessus :

Pourtoutentier𝑛 ≥ 0,onnote𝑇!lenombretotald’allumettesutiliséespourréaliserlaplaque𝑛.𝑇!estappelé«𝒏èmenombretriangulairecentré».Enparticulier,onaleségalités:𝑇! = 1 ; 𝑇! = 4 ; 𝑇! = 10.

Plaque0 Plaque1

Plaque2 Plaque3

Etc…

Leprojetdepyramide

François Pignon, grand philuméniste (collectionneurd’allumettes) et maquettiste en allumettes décide de créer desconstructionsplanesqu’ilempilerapourconstruireunepyramide.

Pourlaréalisationdesesconstructions,ilsouhaiteconnaîtreàl’avancelenombrenécessaired’allumettes.

PartieA–Constructionsplanestriangulaires

Surdesplaquesdeplexiglastransparentdemêmeépaisseur,ilcolle des allumettes pour construire une série de figures planes, quiserontlesélémentsdebasedesaconstructionen3D.

Sur laplaque0, ilperceuntrouvertical afind’yenfonceruneallumetteentièredontlatêteaffleure.

Puis sur laplaque1, il reproduit lamêmeopérationetcolle3allumettes de façon à former un triangle équilatéral centré surl’allumetteenfoncéedanslaplaque,commelemontrelafigure.

Pourchaquenouvelleplaque,ilreproduitlaplaqueprécédenteetycolleuntriangleéquilatéralsupplémentaire,demêmecentre,auxcôtésparallèlesàceuxdutriangleprécédent,enutilisantàchaquefoisuneallumettedeplussurchacundescôtéscommesuit:

1) Deplaqueenplaque…

a) Déterminerlavaleurde𝑇!.

b) CompléterlafiguredonnéeenAnnexepermettantdereprésenterlaconstructiondelaplaque4

etdétermineralorslavaleurde𝑇!.

c) Pourtoutentier𝑛 ≥ 1,exprimer𝑇!enfonctionde𝑇!!!.

2) Onconsidèrel’algorithmesuivantenlangagenatureletsaprogrammationenPython

a) Interpréterlesinstructionsdeslignes6à9del’algorithme.

b) Querenvoie l’algorithmesion l’exécuteenprenantpourargumentde la fonctionNTC l’entier

𝑘 = 5?

c) CompléterletableaudonnéenAnnexe:ons’arrêteraàlapluspetitevaleurde𝑇!permettantde

répondreauxdeuxquestionssuivantes.

(i) Déterminer la plus petite valeur de 𝑛 pour laquelle 𝑇! se termine par 3 chiffres

identiques.

(ii) 2021est-illasommededeuxnombrestriangulairescentrés?

3) Onadmetque,pourtoutentiernaturel𝑛nonnul:

𝑆! = 1+ 2+ 3+⋯+ 𝑛 =!(!!!)

!

a) Pourtoutentiernaturel𝑛nonnul,exprimer𝑇!enfonctiondeS!.

b) Endéduireque,pourtoutentiernaturel𝑛,𝑇! =!!!!!!!!

!.

c) CombienFrançoisPignondoit-ilprévoird’allumettespourréaliserlaplaque100?

Algorithme en langage naturel

Programme en Python

PartieB–Constructionpyramidaleen3D

1) EtudedelaconjecturedeLeblanc.a) Les calculs effectués par Leblanc jusqu’au rang𝑛 = 3 sont-ils conformes avec sa conjecture?

Détaillerlaréponse.b) Concernantlavaliditédesaconjecture,FrançoisPignonpeut-ildire:

«C’estjuste,Leblanc.»?

2) EtudedelaconjecturedeMarlène.Onadmetque,pourtoutentiernaturel𝑛nonnul:

𝐶! = 1²+ 2²+ 3²+⋯+ 𝑛² =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

a) Les calculs effectués parMarlène jusqu’au rang𝑛 = 3 sont-ils conformes avec sa conjecture?Détaillerlaréponse.

b) Pourtoutentiernaturel𝑛nonnul,exprimer𝑃!enfonctionde𝑆!et𝐶!.c) Enutilisantlesrésultatsdesquestionsprécédentes,démontrerque,pourtoutentiernaturel𝑛,

onal’égalité:𝑃! =(!!!)(!!!!!!!)

!

d) Concernantlavaliditédesaconjecture,FrançoisPignonpeut-ildire:«MarlèneHatorréaraison.»?

3) CombienFrançoisPignondoit-ilprévoird’allumettespourunepyramideconstituéedesplaques0à100?

Afinderéaliserunepyramidedeplexiglasincrustéed’allumettes,FrançoisPignondécoupechacunedesesplaques,commelemontrelesdessinsenperspectiveci-dessous.Puisilempilesesplaques,delaplusgrandeenbasauxpluspetites(lesPlaque2,Plaque1etPlaque0)enhaut,pourobtenirlapyramideprésentéeenpremièrepage.

Soit𝑛unentiernaturel,pourunepyramideconstituéedesplaques0à𝑛,onnote𝑃!lenombretotald’allumettesutilisées.

Onappelle𝑃!le«𝒏èmenombrepyramidal».Onaalors:𝑃! = 𝑇! + 𝑇! +⋯+ 𝑇!

Les plaques 0, 1 et 2 retaillées

Pour l’aider à prévoir le stock d’allumettesnécessaires, deux amis, Juste Leblanc et sa sœurMarlèneHatorré,seproposentdel’aideràtrouveruneméthodepermettantdecalculer𝑃!enfonctionde𝑛.

• Leblanc commence par calculer à la main lesvaleursde𝑃!,𝑃!,𝑃!et𝑃!etconjectureque

si𝒏estimpairalors𝑷𝒏 =𝟐𝟗𝒏!𝟏𝟗

𝟐

etsi𝒏estpairalors𝑷𝒏 = 𝟕𝒏 + 𝟏.

• Marlèneconjecture,desoncôté,quepourtout𝑛entiernaturel:

𝑷𝒏 =𝒏(𝒏!𝟏)(𝒏!𝟐)

𝟐+𝒏 + 𝟏.

ANNEXE

PartieA1)b)

PartieA2)c) Compléter le tableau suivant : On s’arrêtera à la première valeur de 𝑇! suffisante pour répondre aux questions 2)c) (i) et 2)c) (ii)

𝑻𝟏 𝑻𝟐 𝑻𝟑 𝑻𝟒 𝑻𝟓 𝑻𝟔 𝑻𝟕 𝑻𝟖 𝑻𝟗 𝑻𝟏𝟎 4 10 19

𝑻𝟏𝟏 𝑻𝟏𝟐 𝑻𝟏𝟑 𝑻𝟏𝟒 𝑻𝟏𝟓 𝑻𝟏𝟔 𝑻𝟏𝟕 𝑻𝟏𝟖 𝑻𝟏𝟗 𝑻𝟐𝟎

𝑻𝟐𝟏 𝑻𝟐𝟐 𝑻𝟐𝟑 𝑻𝟐𝟒 𝑻𝟐𝟓 𝑻𝟐𝟔 𝑻𝟐𝟕 𝑻𝟐𝟖 𝑻𝟐𝟗 𝑻𝟑𝟎

𝑻𝟑𝟏 𝑻𝟑𝟐 𝑻𝟑𝟑 𝑻𝟑𝟒 𝑻𝟑𝟓 𝑻𝟑𝟔 𝑻𝟑𝟕 𝑻𝟑𝟖 𝑻𝟑𝟗 𝑻𝟒𝟎

𝑻𝟒𝟏 𝑻𝟒𝟐 𝑻𝟒𝟑 𝑻𝟒𝟒 𝑻𝟒𝟓 𝑻𝟒𝟔 𝑻𝟒𝟕 𝑻𝟒𝟖 𝑻𝟒𝟗 𝑻𝟓𝟎

𝑻𝟓𝟏 𝑻𝟓𝟐 𝑻𝟓𝟑 𝑻𝟓𝟒 𝑻𝟓𝟓 𝑻𝟓𝟔 𝑻𝟓𝟕 𝑻𝟓𝟖 𝑻𝟓𝟗 𝑻𝟔𝟎

Plaque3

Plaque4àcompléter

Phil-harmonie Pour 𝑛 entier naturel non nul, on note :

𝐷(𝑛) l’ensemble des diviseurs de 𝑛 ; 𝑁𝐷(𝑛) le nombre des diviseurs de 𝑛 ;

𝑆𝐷(𝑛) la somme des diviseurs de 𝑛 ; 𝑆𝐼𝐷(𝑛) la somme des inverses des diviseurs de 𝑛.

Par exemple : 𝐷 6 = 1 ; 2 ; 3 ; 6 𝑁𝐷 6 = 4

𝑆𝐷 6 = 1+ 2+ 3+ 6 = 12 𝑆𝐼𝐷 6 = !

!+ !

!+ !

!+ !

!= 2.

Partie A : Moyenne harmonique et division harmonique

1) Définition 1 : Soient 𝑎!,𝑎!,… ,𝑎! des entiers naturels non nuls, la moyenne harmonique de ces nombres, notée 𝑀𝐻 𝑎!;𝑎!; … ; 𝑎! est l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses des nombres : 𝑀𝐻 𝑎!; 𝑎!; … ; 𝑎! = !

!!!

! !!!

!⋯! !!!

!

= !!!!! !!!!⋯! !

!!

Définition 2 : Soit 𝑛 un entier naturel non nul. On dit que 𝑛 est en division harmonique lorsque la moyenne harmonique de ses diviseurs est un entier naturel.

a. Déterminer la moyenne harmonique des nombres 1 , 2 , 3 et 6. b. 6 est-il en division harmonique ? c. Justifier que 𝑛 est en division harmonique lorsque !"(!)

!"#(!) est entier.

2) Soit 𝑛 un entier naturel non nul. a. Pour 𝑛 = 25 et 𝑛 = 35, justifier que 𝑛×𝑆𝐼𝐷 𝑛 = 𝑆𝐷(𝑛). b. Pour 𝑛 entier naturel non nul, justifier que 𝑛×𝑆𝐼𝐷 𝑛 = 𝑆𝐷 (𝑛). c. En déduire que 𝑛 est en division harmonique lorsque !×!"(!)

!"(!) est entier

d. 28 et 32 sont-ils en division harmonique ?

Partie B : D’autres exemples

Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, on pose : 𝑝! = 2!!! − 1 et 𝑞! = 2!×𝑝!

1) Déterminer, pour 𝑛 allant de 1 à 5, si 𝑝! est un nombre premier. 2) Déterminer, pour 𝑛 allant de 1 à 5, si 𝑞! est en division harmonique. 3) Emettre une conjecture en comparant les réponses aux deux dernières questions.

Partie C : Une preuve

Supposons que, pour l’entier naturel 𝑛 non nul, 𝑝! = 2!!! − 1 est premier. 1) Déterminer 𝐷(𝑝!) puis 𝐷(𝑞!). 2) Justifier que, pour 𝑛 entier naturel non nul : 1+ 2! + 2! +⋯+ 2! = 2!!! − 1. 3) Justifier que, si 𝑝! est premier, alors 𝑞! est en division harmonique.