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Suites et series de fonctions ∗
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17 janvier 2013
Table des matieres
1 Convergence simple et convergence uniforme 21.1 La convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 La convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Convergence uniforme sur tout compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Conseils pratiques, exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Proprietes des limites uniformes 72.1 Continuite de la limite, interversion des limites ; . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Integration sur un segment, interversion des limites et de l’integration ; . . . 92.3 Lien avec les notions de convergence en moyenne et de convergence en
moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Derivation de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Series de fonctions 163.1 Convergence simple, convergence uniforme des series de fonctions . . . . . . 163.2 Convergence uniforme et convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Continuite de la limite, interversion des limites ; . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Integration sur un segment, interversion des limites et de l’integration ; . . . 223.5 Derivation terme a terme d’une serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Questions breves 30
5 Quelques corriges 32
∗Document disponible sur univenligne.fr ou sur mpcezanne.fr sous le nomSuitesFonctionsPrem.pdf
1
Commencons par definir la notion de limite d’une suite de fonctions selon divers modesde convergence.
1 Convergence simple et convergence uniforme
1.1 La convergence simple
Dans ce qui suit, (E,N) designe un espace norme de dimension finie. A est une partie nonvide de cet espace. Comme d’habitude K = R ou C.
Definition 1 convergence simple• On dit que la suite des fonctions (fn)n definies sur A, a valeurs dans K converge
simplement vers f si, pour tout x ∈ A, on a
limn→∞
fn(x) = f(x).
• On dit que la serie de fonctions de terme general fn definies sur A, converge simplementvers S si la suite des sommes partielles
Sn =n∑k=1
fn
converge simplement vers S, c’est a dire si pour tout x ∈ A, on a
limn→∞
n∑k=0
fk(x) = S(x).
Exercice 1 premiers exemplesEtudier la convergence simple des suites de fonctions :
1. fn : x→ xn, sur l’intervalle [0, 1];
2. fn : x→ xn, sur l’intervalle [0, 2];
3. Sn : x→∑n
k=0 xk, sur l’intervalle [0, 1[;
4. Sn : x→∑n
k=0 xk, sur l’intervalle [0, 1];
5. Sn : x→∑n
k=0
(−1)kx2k+1
(2k + 1)!, sur l’intervalle [0, 1];
1.2 La convergence uniforme
Soit A un ensemble quelconque, on notera dans ce chapitre (et dans les suivants) F(A,K)l’espace vectoriel des fonctions a valeurs dans K et BK(A) l’espace vectoriel des fonctionsa valeurs dans K, bornees sur A.Rappelons que, l’on definit une norme sur BK(A), en posant
||f ||∞A
= supx∈A|f(x)|.
On note aussi||f ||∞
A= N∞
A(f).
On prendra garde, dans la definition qui suit, que ||f − g||∞A
peut etre definie sans que ni
f ni g, mais seulement leur difference, ne soient bornees sur A.
2
Definition 2Soit (fn)n une suite de fonctions de F(A,K).• On dit que (fn)n converge uniformement sur A vers une fonction f ssiles fonctions fn − f sont bornees a partir d’un certain rang et
limn→∞
||fn − f ||∞A
= 0.
Ce qui signifie quesupx∈A|fn(x)− f(x)| = εn
est une suite de reels positifs de limite zero.• On dit que la serie de fonctions de terme general fn converge uniformement sur Avers une fonction S si
limn→∞
||n∑k=0
fk − S||∞A
= 0;
Cela signifie que
supx∈A|n∑k=0
fk(x)− S(x)|
est une suite de reels positifs de limite zero.
Remarque : On dit que la norme || ||∞, sur BK(A) est la norme de la convergenceuniforme... mais attention, ce n’est pas une norme sur F(A,K)!
Theoreme 1 de la convergence uniforme a la convergence simpleSoit (fn)n, une suite de fonctions bornees sur A. Si la suite (fn)n, converge uniformementvers f, alors elle converge simplement vers f.
Demonstration : elle frise l’evidence.
Remarque : pour etudier la convergence uniforme d’une suite de fonctions, on commen-cera par rechercher sa limite simple si elle existe. On pourra parfois etudier les variationsde la fonction difference pour determiner ses extrema.
Exercice 2 les deux modes de convergence
1. Etudier les deux modes de convergence pour la suite (x → xn)n sur les intervalles[0, a] avec 0 < a < 1, [0, 1[, et [0, 1].
2. Etudier de la meme facon les deux modes de convergence pour la serie de fonctionsde terme general x→ xn sur l’intervalle [0, a]. Que peut on dire sur [0, 1[, et [0, 1]?
Exercice 3 phenomene de la bosse flottanteEtudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite des fonctions definies
par φn(x) =nx
1 + (nx)2sur l’intervalle [0, 1], sur un intervalle [a, 1] avec a > 0.
3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1x
Figure 1 – le phenomene de la bosse flottante
Exercice 4 au kilometreEtudier les differents modes de convergence des suites (fn)n sur tout ou partie de l’inter-valle I.
1. fn(x) = ln(1 +x
n), x ≥ 0.
2. fn(x) =xn − 1
xn + 1, x ≥ 0.
3. fn(x) =1− xn
x2n + 1, x ∈ [0, 1].
4. fn(x) =1
1 + (x+ n)2, x ∈ R.
5. g etant une fonction definie sur R, et
fn(x) =g(x)2√g(x)2 + 1
n
Exercice 5 fonctions borneesSoit (fn)n une suite de fonctions bornees sur A.
1. On suppose que (fn)n converge uniformement vers une fonction f. Montrer que fest bornee, qu’il existe M telle que pour tout n, ||fn||∞ ≤M.
2. On suppose que (fn)n converge simplement vers une fonction f. A-t-on les memesconclusions ?
3. On suppose que (fn)n converge simplement vers une fonction f et que, de plus,il existe M telle que pour tout n, ||fn||∞ ≤M. f est elle bornee ?
Theoreme 2 Soit (fn)nune suite des fonctions definies sur A qui converge uniformementvers une fonction f. Si chacune des fonctions fn est bornee, alors f est bornee et il existeM telle que pour tout n, ||fn||∞ ≤M.
4
Demonstration vous l’aurez faite avec l’exercice precedent.
Theoreme 3 critere de Cauchy pour la convergence uniforme (pas au programme ?)Soit (fn)n une suite de fonctions de B(A), qui verifie le critere de Cauchy pour la normede la convergence uniforme. Il existe alors une fonction φ ∈ B(A) telle que (fn)n convergeuniformement vers φ, soit :
limn→∞
||fn − φ||∞ = 0.
Cela signifie en particulier que (B(A), || ||∞) est un espace complet (ou un espace deBanach).
DemonstrationEn deux etapes :– pour chaque x ∈ A, la suite (fn(x))n est une suite de Cauchy dans K. On note φ(x) sa
limite.– Soit ε > 0, il existe N tel que si n ≥ N et n0 ≥ N, ||fn− fn0 ||∞ ≤ ε. On remarque alors
que pour tous n0 et n superieurs a N, et pour tout x ∈ I,
|φ(x)− fn0(x)| ≤ |φ(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn0(x)| ≤ |φ(x)− fn(x)|+ ||fn − fn0 ||∞.
On en deduit que |φ(x)− fn0(x)| ≤ |φ(x)− fn(x)|+ ε et, par passage a la limite lorsquen tend vers l’infini, on prouve quepour tout ε > 0, il existe N tel que si n0 ≥ N, sup|φ(x)− fn0(x)| ≤ ε. Cela prouve queφ est bornee sur I car |φ(x)| ≤ ||fn0 ||+ ε, et que (fn)n converge uniformement vers φ.
1.3 Convergence uniforme sur tout compact
Definition 3 Soit (fn)n une suite de fonctions definies sur une partie A de E, a va-leurs dans K. On dit que (fn)n converge uniformement sur tout compact de A,lorsque pour tout compact C de A, la suite des restrictions des fonctions fn a C, fn|C estuniformement convergente.
Exercice 6
1. Montrer que si (fn)n converge uniformement sur tout compact de I, elle convergesimplement sur I;
2. Donner un exemple de suite qui converge uniformement sur tout compact de I, maisqui ne converge pas uniformement sur I;
1.4 Conseils pratiques, exercices
• convergence simple :c’est par la que l’on commence ; pour x fixe dans l’ensemble de depart, on etudie la limitede (fn(x))n.• convergence uniforme d’une suite de fonctions :si lim fn(x) = f(x) (limite simple), etudier les variations de fn−f pour estimer ||fn−f ||∞;
5
si on n’y parvient pas sur I on peut essayer sur des sous-intervalles (en particulier sur descompacts) ;
Exercice 7Etudier convergences simples et uniformes pour les suites :
1. fn(x) = x2 exp(− sin(x/n));
2. fn(x) =sin(nx))
n√x
.
Exercice 8Soit f une fonction de classe de classe C2 sur R, dont la derivee seconde est bornee.Etudier la convergence de la suite de fonctions (φn)n, ou
φn(x) = n
(f
(x+
1
n
)− f(x)
).
Exercice 9 lemme de Dini
1. Soit (fn)n une suite de fonctions continues sur un compact K, a valeurs dans R. Onsuppose que– (fn)n converge simplement vers une fonction f sur K ;– la suite est monotone, ie : pour tout x ∈ K, (fn(x)n est monotone.Montrer que la convergence est uniforme.
2. Exemple : etudier la suite (fn)n de fonctions definies sur ]0,+∞[ par
f0(x) =1
et − 1, fn+1(t) =
3
4t+t3
4f4n(t).
Corrige en section 5.
6
2 Proprietes des limites uniformes
2.1 Continuite de la limite, interversion des limites ;
Theoreme 4 Soit (fn)n une suite de fonctions de B(A), on suppose que cette suiteconverge uniformement vers une fonction f ∈ B(A), alors :– si, a partir d’un certain rang, les fonctions fn sont continues en a ∈ A, la fonction f est
continue en a.– si, a partir d’un certain rang, les fonctions fn sont continues sur A, la fonction f est
continue sur A.
DemonstrationSoit ε′ > 0, il existe n0 tel que ||fn0 − f ||∞ ≤ ε′/3;Comme fn0 est continue en a, il existe α > 0 tel que
|x− a| ≤ α⇒ |fn0(x)− fn0(a)| ≤ ε′/3.
Alors
|f(x)− f(a)| ≤ |f(x)− fn0(x)|+ |fn0(x)− fn0(a)|+ |fn0(a)− f(a)| ≤ ε′.
Consequence importante en pratique, a connaıtre et reconnaıtre :
Si une suite (fn)n, de fonctions continues converge uniformement vers f sur toutintervalle compact [a, b− α] ⊂ [a, b], alors f est continue sur [a, b[.Penser que cela n’entraıne ni la convergence uniforme, ni la continuite sur [a, b], ni memela convergence uniforme sur [a, b[, comme le montre l’exemple fn(x) = xn sur [0, 1[.
Exercice 10 a propos de completude*
1. Deduire du theoreme qui precede que l’espace vectoriel des fonctions continues sur[a, b] segment de R, a valeurs complexes est complet pour la norme uniforme.
2. Montrer que la suite de fonctions definies sur [−1, 1] par fn(x) =
√x2 +
1
nest
uniformement convergente sur I, et que sa limite n’est pas une fonction de classeC1 . (C1([a, b],C), || ||∞) est il complet ?
On generalise le theoreme precedent de la facon suivante
Theoreme 5 interversion des limitesSoient (fn)n une suite de fonctions definies sur A ⊂ E, evn, et a un point adherent a A, a
valeur dans un evn F complet (par exemple A =]a, b] ⊂ R, avec a reel ou −∞, ou encoreA = [b, a[ avec a reel ou +∞...) On suppose que :– (fn)n converge uniformement sur A vers une fonction f,– pour chaque n, fn admet une limite en a :
limx→a
fn(x) = `n ∈ K
7
alors :– la suite (`n)n converge,– la fonction f admet une limite en a,– cette limite est la limite des `n :
limx→a
f(x) = limn→∞
`n
– ce qui s’exprime encore
limx→a
limn→∞
fn(x) = limn→∞
limx→a
fn(x) (2.1)
C’est pourquoi on parle d’interversion des limites.
Remarques :
- On observe que si a ∈ R, l’existence des limites `n revient a affirmer que les fonctions `nadmettent des ppc en a. On se retrouve alors dans les hypotheses du theoreme precedenta cela pres que la convergence de (`n)n et l’existence de f(a) ne sont plus assurees par leshypotheses.- La demonstration qui suit suppose que l’espace d’arrivee est un evn complet. Letheoreme devient faux si on remplace F par un evn non complet.
Demonstration :• On commence par montrer que la suite (`n)n est une suite de Cauchy dans F.On se donne ε > 0 et un rang Nε a partir duquel ||fn − f ||∞
A≤ ε.
Donnons nous p ≥ Nε et q ≥ Nε; on a alors pour tout x ∈ A,
|`p − `q| ≤ |`p − fp(x)|+ |fp(x)− fq(x)|+ |fq(x)− `q|.
Comme limx→a fp(x) = `p et limx→a fq(x) = `q, il existe un voisinage de a tel que pourx ∈ V ∩A, on a a la fois |`p − fp(x)| ≤ ε et |fq(x)− `q| ≤ ε.Ainsi avons nous montre que pour tout ε > 0, il existe Nε tel que
p > Nε et q > Nε ⇒ |`p − `q| ≤ 3ε.
• La suite (`n)n est donc convergente dans K (ou F evn complet). Pour montrer que salimite ` verifie limx→a f(x) = `, on reprend quasiment a l’identique la demonstration dutheoreme precedent :soit ε′ > 0, il existe n0 tel que ||fn0 − f ||∞ ≤ ε′/3.Comme fn0 est continue en a, il existe un voisinage V de a tel que
x ∈ V ∩A⇒ |fn0(x)− fn0(a)| ≤ ε′/3.
Alors
x ∈ V ∩A⇒ |f(x)− `| ≤ |f(x)− fn0(x)|+ |fn0(x)− fn0(a)|+ |fn0(a)− `| ≤ ε′.
` est bien limite de f en a./fin
8
Exercice 11Donner un contre exemple a la formule (2.1) dans le cas d’une suite de fonctions conver-geant simplement.
Exercice 12
On considere ici la fonction ζ(x) =∑∞
n=1
1
nx.
1. Ensemble de definition ?
2. Continuite ?
3. Limite en +∞?
Exercice 13
On considere ici la fonction µ(x) =∑∞
n=1
(−1)n−1
nx.
1. Ensemble de definition ?
2. Continuite ?
3. Limite en +∞?
Exercice 14 composees
1. On suppose que (fn)n, suite de fonctions continues, converge uniformement vers fsur R. Que dire de la suite de terme general fn ◦ fn? Converge-t-elle simplement,uniformement ?
2. Meme question en cas de convergence simple.
2.2 Integration sur un segment, interversion des limites et de l’integration ;
Theoreme 6 integration d’une limite uniformeSoit (fn)n une suite de fonctions definies sur I = [a, b]. Si les fonctions fn sont continues
et si (fn)n converge uniformement vers une fonction f sur I, alors– f est continue– la suite des integrales
∫ ba fn(t) dt converge
– et de plus, ∫ b
af(t) dt = lim
n→∞
∫ b
afn(t) dt
Demonstration facile puisque, lorsque a ≤ b,
|∫ b
afn(t)− f(t) dt| ≤
∫ b
a|fn(t)− f(t)| dt ≤ ||fn − f(t)||∞|b− a|.
Remarque si les fonctions fn sont seulement supposees continues par morceaux, on n’apas la garantie que la limite uniforme soit continue par morceaux et les conclusions peuventne pas avoir de sens. Par contre si on suppose a la fois que– les fonctions fn sont continues par morceaux,– la suite (fn)n converge uniformement vers f, continue par morceaux ,
9
alors, la meme demonstration tient la route.Remarque nous reviendrons sur les suites d’integrales sur des intervalles quelconquessur lesquels la convergence uniforme ne permet pas de conclure (theoremes de convergencedominee)
Exercice 15Etudier les suites de fonctions (fn)n et leurs integrales sur l’intervalle [0, 1] lorsquefn(x) = nαxn(1− x) pour α = 1/2, α = 1 puis α = 2.correction en 5
Exercice 16
1. Donner un contre exemple au theoreme d’interversion limite et integrale sur un inter-valle compact (en remplacant l’hypothese de convergence uniforme par l’hypothesede convergence simple) ;
2. Donner un contre-exemple en considerant un intervalle quelconque mais en conser-vant l’hypothese de convergence uniforme ;
10
2.3 Lien avec les notions de convergence en moyenne et de convergenceen moyenne quadratique
Rappelons que l’on definit des normes sur C([a, b],K), espace des fonctions continues sur[a, b], a valeurs dans K, en posant
||f ||1 =
∫ b
a|f(t)| dt,
||f ||2 =
(∫ b
a|f(t)|2 dt
)1/2
,
et que la norme || ‖|2 est associee au produit scalaire defini sur C([a, b],K) par :
(f |g) =
∫ b
af(t)g(t) dt.
Definition 4 modes de convergencesSoit (fn)n une suite d’elements de C([a, b],K), espace des fonctions continues sur [a, b], avaleurs dans K.– On dit que la suite (fn)n converge en moyenne vers f ∈ C([a, b],K) si
limn→∞
∫ n
a|fn(t)− f(t)| dt = 0
ce qui revient a dire que ||fn − f ||1 tend vers 0.– On dit que la suite (fn)n converge en moyenne quadratique vers f ∈ C([a, b],K) si
limn→∞
(∫ n
a|fn(t)− f(t)|2 dt
)1/2
= 0
ce qui revient a dire que ||fn − f ||2 tend vers 0.
Remarque on peut aussi considerer des fonctions continues par morceaux , mais onevitera alors de parler de norme puisque ||f ||i = 0 n’implique plus dans ce cas que f = 0.
Theoreme 7
On a, pour toute fonction f ∈ C([a, b],K), les relations suivantes entre ||f ||1, ||f ||2 et||f ||∞ : ∣∣∣∣∣
∫[a,b]
f
∣∣∣∣∣ ≤ ||f ||1 ≤ (b− a)||f ||∞
||f ||2 ≤√
(b− a)||f ||∞||f ||1 ≤
√(b− a)||f ||2
11
Theoreme 8 Soit (fn)n une suite de fonctions continues sur [a, b].La convergence uniforme de (fn)n entraıne la convergence en moyenne quadratique ;La convergence en moyenne quadratique entraıne la convergence en moyenne.
Convergences en moyenne, en moyenne quadratique sur un intervalle quel-conque : nous reviendrons sur ces notions de convergence en moyenne, en moyenne qua-dratique, pour des fonctions integrables et continue par morceaux sur des intervallesquelconques...
2.4 Derivation de la limite
Exercice 17 La limite de la suite (fn)n ou fn est definie sur [−1, 1] par fn(x) =√x2 + 1/n est elle derivable ? Cette suite est elle uniformement convergente ?
Theoreme 9 derivationSoit (fn)n une suite de fonctions telle que– chaque fn est une fonction de classe C1 ,– il existe a ∈ I tel que (fn(a))n converge (on note α sa limite),– (Dfn)n converge uniformement sur tout segment de I vers une fonction g.Alors, (fn)n converge uniformement sur tout segment de I vers la primitive de g definiepar
f(x) = α+
∫ x
ag(t) dt
En d’autres termes :limn→∞
Dfn = g = D( limn→∞
fn)
la convergence etant uniforme sur tout intervalle compact contenu dans I.
Demonstration sans une bonne comprehension de cette demonstration on aurait du mala retenir le theoreme, donc...
• Comme (Dfn)n converge uniformement sur tout compact sa limite g est bien continuesur tout compact de I donc en tout point de l’intervalle I. La notation de l’enonce f(x) =α+
∫ xa g(t) dt a bien un sens.
• Le theoreme fondamental de l’analyse nous apprend que chaque fonction fn verifie
fn(x) = fn(a) +
∫ x
afn(t) dt
•On considere un segment [α, β] ⊂ I, on observe que le segment J ′ = [α′, β′] = [min(α, a),max(β, a)]est lui aussi contenu dans I. Pour x ∈ J ′, nous pouvons majorer
|f(x)− fn(x)| =∣∣∣∣α− fn(a) +
∫ x
a(g(t)− f ′n(t)) dt
∣∣∣∣|f(x)− fn(x)| ≤ |α− fn(a)|+
∣∣∣∣∫ x
a|g(t)− f ′n(t)| dt
∣∣∣∣12
Nous obtenons alors une majoration independante de x ∈ [α′, β′]
|f(x)− fn(x)| ≤ |α− fn(a)|+ ||g − f ′n|| ∞[α′,β′]
dont nous deduisons que la norme uniforme sur le segment [α, β] verifie
||fn − f || ∞[α,β]≤ ||fn − f || ∞
[α′,β′]≤ |α− fn(a)|+ ||g − f ′n|| ∞
[α′,β′]
• Ainsi, (fn)n converge uniformement vers f sur tout compact de I. Sa limite f (primitivede g continue) est de classe C1 et f ′ = g ce qui s’exprime
D(lim fn) = limDfn.
�
Exercice 18 mise en œuvre simple
1. Pourquoi s’embarrasse-t-on de l’intervalle [α′, β′] dans la demonstration ? En quoiest-ce utile ?
2. Existence, continuite et derivabilite de∑ an
ncos(nx) lorsque
∑an est absolument
convergente.
13
2.5 Exercices
Exercice 19 de breves et pertinentes questionsVrai ou faux ? Justifier ou contre-exempler :
1. une limite simple de fonctions paires (ou impaires, ou periodiques, ou croissantes,ou continues) est une fonction paire (ou impaire, ou periodique, ou croissante, oucontinue) ?
2. une limite uniforme de fonctions continues (ou de classe C1 ) est une fonctioncontinue (ou de classe C1 ) ?
3. lorsque les deux membres ont un sens, la formule suivante est vraie :
limn→+∞
limx→a
fn(x) = limx→a
limn→+∞
fn(x)...
4. lorsque les deux membres ont un sens, la formule suivante est vraie :
limn→+∞
(∫ 1
0fn(x)dx
)=
∫ 1
0
(lim
n→+∞fn(x)
)dx...
Exercice 20 convergence uniforme et polynomes
1. Expliquer pourquoi, dans un espace norme, un sev de dimension finie est ferme.
2. Soit (Pn)n une suite de polynomes de degres doP ≤ d, qui converge uniformementsur I = [a, b] vers une fonction f ∈ B(I). Montrer que– la limite f est la restriction d’une fonction polynome– (Pn)n converge uniformement sur tout compact de R.
Exercice 21 convergence uniforme et polynomesSoit f : I = [a, b]→ K, et (Pn)n, une suite de polynomes qui converge simplement versf sur I. On suppose que a < b et que la suite des degres des polynomes Pn est majoree,ie :
∃d ∈ N, doPn ≤ d.
1. Prouver que la convergence est uniforme et que la limite est un polynome f de degre≤ d.
2. Prouver que (Pn)n, converge uniformement vers f sur tout intervalle compact.
3. Qu’en est-il de ces questions lorsqu’on remplace l’intervalle I par un compact de C? 1
indication : introduire une norme N(P ) = max|P (ai)| pour une famille de points (ai)ibien choisie.
Exercice 22 les polynomes d’interpolation convergent ils ?Soit f une fonction de classe C3 sur un intervalle [a, b] de R. On se propose de majorerl’ecart entre f et son polynome d’interpolation en x1, x2, x3 en fonction de M3(f) =supx∈[a,b]|f (3)(x)|.
1. Soit g une fonction de classe C3 sur [a, b]. On suppose que g est nulle en 4 pointsdistincts de [a, b]. Montrer qu’il existe t ∈]a, b[ tel que g(3)(t) = 0.
1. etes vous surs des petits details ?
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2. Soit Pf le polynome de R2[X] tel que Pf (xi) = f(xi), i = 1, 2, 3. On pose :
(1) K(x) =f(x)− Pf (x)
(x− x1)(x− x2)(x− x3)
(2) Wx(t) = f(t)− Pf (t)− (t− x1)(t− x2)(t− x3)K(x)
(a) On choisit x distinct des xi. Montrer que Wx(t) est definie sur [a, b] et qu’elleadmet 4 zeros dans cet intervalle.
(b) Montrer qu’il existe un point c de ]a, b[ en lequel W(4)x (c) = 0.
(c) En deduire une majoration de l’ecart |f(x)− Pf (x)| sur [a, b].
3. Generaliser a n+ 1 points
4. Y a-t-il toujours convergence de la suite des polynomes d’interpolation ?
Exercice 23 un exemple simple d’unite approcheeOn considere la suite hn des fonctions definies sur R par :
hn(x) = 0, si x ≤ −1/nhn(x) = n2(x+ 1/n), si − 1/n ≤ x ≤ 0hn(x) = n2(−x+ 1/n), si 0 ≤ x ≤ 1/nhn(x) = 0, six ≥ 1/n.
On pose alors
f ∗ hn(x) =
∫ 1
−1hn(t)f(x− t) dt.
1. Ecrire f ∗ hn(x)− f(x) comme une integrale.
2. On suppose quef est lipschitzienne sur R, majorer |f ∗hn(x)−f(x)|. En deduire que(f ∗ hn)n converge uniformement vers f sur R.
3. On suppose que f est continue sur R, montrer que (f ∗ hn)n converge simplementvers f sur R.
4. On suppose que f est uniformement continue sur R, montrer que (f ∗ hn)n convergeuniformement vers f sur R.
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3 Series de fonctions
L’etude des series de fonctions est un cas particulier de l’etude des suites mais, commepour les series numeriques, elle permet de mettre en œuvre des moyens specifiques. Lesseries de fonctions interviennent dans l’etudes de nombreux problemes et des fonctionsremarquables sont definies par des series : fonctions periodiques comme sommes de seriesde Fourier, series entieres, solutions d’equations differentielles...
Adaptons donc les resultats qui precedent aux cas des series.
3.1 Convergence simple, convergence uniforme des series de fonctions
Definition 5 convergence simpleOn dit que la serie de fonctions de terme general fn definies sur A ⊂ E, converge
simplement vers S si la suite des sommes partielles
Sn =n∑k=1
fn
converge simplement vers S, c’est a dire si pour tout x ∈ A, on a
limn→∞
n∑k=0
fk(x) = S(x).
On dit que la serie de fonctions∑fn est absolument convergente ssi la serie des fonc-
tions∑n
k=0 |fn| est simplement convergente ; dans ce cas la serie∑fn est aussi simplement
convergente.Lorsque la serie de fonctions
∑fn converge simplement sur I, les restes sont les fonctions
definies par
Rn(x) =∞∑
k=n+1
fn(x);
Definition 6Soit (fn)n une suite de fonctions de F(A,K).
On dit que la serie de fonctions de terme general fn converge uniformement sur Avers une fonction S si
limn→∞
||n∑k=0
fk − S||∞A
= 0;
16
Theoreme 10 restes, convergence simple et convergence uniforme– Lorsque la serie de fonctions
∑fn converge simplement sur A, la suite des restes est
une suite de fonctions qui converge simplement vers 0.– la serie de fonctions
∑fn est uniformement convergente sur A ssi
– elle converge simplement sur A,– la suite des restes converge uniformement vers 0
ie : ||Rn(x)||∞ = supx∈A|n∑k=0
fk(x)− S(x)|
Remarque : comme pour etudier la convergence uniforme d’une suite, on commencerapar rechercher la limite simple d’une serie si elle existe. On etudie ensuite le type deconvergence de la suite des restes (dont la cv simple est assuree).
Exercice 24 Etudier la convergence simple et la convergence uniforme des series defonctions :
1. Sn : x→∑n
k=0 xk;
2. Tn : x→∑n
k=0
xk
k!;
3. Un : x→∑n
k=0
(−1)kxk
k, sur l’intervalle [0, 1];
Exercice 25 la convergence uniforme et le critere des series alternees...
1. Etudier la convergence de la serie de fonctions
∞∑n=2
(−1)n
x+ n,
sur un domaine que l’on precisera.
2. Etudier de la meme facon la serie∑ (−1)n
nx.
3.2 Convergence uniforme et convergence normale
Definition 7 convergence normaleOn dit qu’une serie de fonctions
∑fn converge normalement sur A, si
– chacune des fonctions est bornee sur A,– la serie numerique
∑||fn||∞ converge
Theoreme 11 Soit∑fn une serie de fonctions definies sur A, a valeurs dans K, qui
converge normalement sur A.
17
– la serie de fonction∑fn est uniformement convergente sur A;
– la serie de fonction∑|fn| est uniformement convergente sur A;
– N∞(∑
n≥n0fn) ≤
∑n≥n0
N∞(fn).
Demonstration elle fait comprendre cette notion ; notons pour fixer les idees :αk = ||fk||∞, terme general d’une serie numerique convergente,ρn =
∑∞k=n+1 αk, reste d’une serie numerique convergente.
– une serie normalement convergente a des sommes partielles bornees :
|n∑k=0
fk(x)| ≤n∑k=0
|fk(x)| ≤∞∑k=0
||fk||∞ = M
– la serie∑
n |fk(x)|converge simplement, serie a termes positifs majoree (par une constante).–∑
n fk(x) est absolument convergente, donc convergente (puisque l’espace d’arriveeest complet) ;
– on peut donc parler de la serie des restes et montrer qu’elle converge uniformement vers0 ; en effet,
|Rn(x)| = |∞∑
k=n+1
fk(x)| ≤∞∑
k=n+1
αk = ρk
qui a pour limite 0 lorsque n→∞, puisque c’est le reste d’une serie numerique conver-gente.�
Remarque : on peut aussi remarquer qu’une serie normalement convergente satisfait aucritere de Cauchy uniforme dans BK(A). En effet, ||
∑n+pk=n fk(x)||∞ ≤
∑∞k=n αk, et comme
(BK(A), || ||∞) est complet, la serie converge pour la norme || ||∞.
Theoreme 12 relations entre les differents modes de convergenceLe schema suivant resume les relations entre les differents mode de convergence :
↗∑fn conv. absolt. ↘∑
fn conv. normlt.∑fn conv. simplt.
↘∑fn conv. unift. ↗
Demonstration
Exercice 26 On etudiera les differents modes de convergence pour les series de fonctionssuivantes :
1.∑fn avec fn(x) =
sinnx
n!; calculer sa somme.
2.∑fn avec fn(x) = nx2e−n
√x;
3.∑fn avec fn(x) =
1
n+ n3x2
4.∑fn avec fn(x) = (−1)n ln
(1 +
1
n(1 + x)
)18
5.∑fn avec fn(x) =
(−1)n
x+ n
Conseils pratiques pour l’etude d’une serie de fonctions
• convergence normale :
Le plus facile, lorsque c’est possible, est d’etablir la convergence normale, on majore ||un||∞sur I ou sur des sous-intervalles de I pour prouver que
∑||un||∞ converge ;
• convergence simple et convergence uniforme :
– Si l’on ne peut etablir la convergence normale, on commencera par etablir la conver-gence simple. Une fois cela etabli, on peut definir sur l’ensemble de convergence simple
S(x) =∞∑k=0
uk(x)
– la convergence simple etablit l’existence du reste, que l’on cherchera ensuite a majorersur I ou des sous-intervalles de I pour etablir une majoration de sa norme uniforme||Rn||∞; on sait que
∑un converge uniformement sur I ssi (Rn)n converge uni-
formement vers 0 sur I.
– cas particulier des series alternees : lorsque la serie∑un(x) est alternee et satisfait
au critere special, on dispose de la majoration : |Rn(x)| ≤ |un+1(x)|... elle permet souventd’etablir la convergence uniforme ;
3.3 Continuite de la limite, interversion des limites ;
Theoreme 13 Soit∑fn une serie de fonctions qui converge uniformement vers une
fonction S definie sur A; alors :– si toutes les fonctions fn sont continues en a ∈ A, la fonction S est continue en a.– si toutes les fonctions fn sont continues sur A, la fonction S est continue sur A.
Theoreme 14 interversion des limites, cas des seriesSoit (fn)n une suite de fonctions definies sur I = [a, b[. On suppose que
– la serie∑fk converge uniformement vers une fonction S,
19
– pour chaque n, fn admet une limite en b :
limx→b
fn(x) = bn ∈ K
alors :– la fonction S admet une limite en b,– cette limite est la somme
∑bk :
limx→b
S(x) = limn→∞
n∑k=0
bk
– ce qui s’exprime encore
limx→b
∞∑k=0
fn(x) =∞∑k=0
limx→b
fn(x) (3.1)
Demonstration c’est le theoreme 5, la suite des sommes partielles remplacant les (fn)n
Exercice 27 la fonction ζ de Riemann
On considere la fonction ζ de Riemann, definie sur ζ(x) =∑∞
n=1
1
nx.
1. Quel est son ensemble de definition dans R?
2. Montrer que la serie converge uniformement sur [a,+∞[ pour tout a > 1.
3. Montrer que ζ est continue.
4. Determiner sa limite en +∞.5. Justifier que ζ decroıt sur ]1,+∞[.
6. Quelle est sa limite en 1 ?
Exercice 28 Soit a un reel tel que 0 < a < 1, et
S(x) =∞∑n=1
an
1− xn.
1. Justifier la convergence de la serie sur [0, 1[.
2. Montrer que S est continue sur [0, 1[.
3. Donner un equivalent de S(x) au voisinage de 1 (factoriser et penser au theoremed’interversion des limites).
Exercice 29On se propose dans cet exercice de determiner la limite de
Un =
n∑k=1
(k
n
)n.
On introduit pour cela les fonctions fp definies par{fp(x) =
(1− p
x
)xsix ≥ p
fp(x) = 0 si 0 ≤ x ≤ p.
20
1. Montrer que la serie de fonctions∑fp converge normalement sur R+.
2. Montrer que
Un =
∞∑p=1
fp(n).
En deduire la limite de (Un)n.
correction en 5
21
3.4 Integration sur un segment, interversion des limites et de l’integration ;
Theoreme 15 Soit (fn)n une suite de fonctions continues sur I = [a, b]. Si la serie defonctions
∑fn converge uniformement sur I vers une fonction S, alors
– S est continue– la serie des integrales
∑∫ ba fn(t) dt converge
– et de plus, ∫ b
aS(t) dt =
∫ b
a
( ∞∑k=0
fk(t)
)dt =
∞∑k=0
∫ b
afk(t) dt
Remarque nous reviendrons sur les integrales de suites et de series sur des intervallesquelconques pour lesquels la convergence uniforme n’est pas une hypothese suffisante(theoremes de convergence monotone, d’integration terme a terme...)
Exercice 30
1. Montrer que ∫ 1
0
1
1 +ta
2
dt =∑n≥0
(−1)n
2n(na+ 1).
2. On veut maintenant exprimer ∫ 1
0
1
1 + tadt.
(a) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1[,∫ x
0
1
1 + tadt =
∑n≥0
(−1)nxna+1
na+ 1.
(b) Montrer que la serie de fonctions∑
n Vn ou Vn(x) =(−1)nxna+1
na+ 1converge
uniformement sur [0, 1] et que sa somme est continue.
(c) En deduire une expression de ∫ 1
0
1
1 + tadt.
3.5 Derivation terme a terme d’une serie
Theoreme 16 Soit (fn)n une suite de fonctions definies sur I, telle que– chaque fn est une fonction de classe C1,
– il existe a ∈ I tel que∑fn(a) converge ;
– la serie de terme general Dfn converge uniformement sur tout segment de I vers unefonction s;
22
Alors,–∑fn converge uniformement sur tout segment de I,
– sa somme est de classe C1,
– s =∑∞
k=0Dfn = D (∑∞
k=0 fn) = DS
Corollaire 17 le meme pour la classe CpSoit (fn)n une suite de fonctions telle que– chaque fn est une fonction de classe Cp,
– les series de fonctions∑fk,∑f ′k, ...,
∑f
(n−1)k , convergent en un meme point a,
– la serie de terme general D(n)fk = f(n)k converge uniformement sur tout segment de I
vers une fonction sn,Alors,–∑fn converge uniformement sur tout segment de I, sa somme, S, est de classe Cp,
– pour i = 1, ..., n,∑f
(i)n converge uniformement sur tout segment de I, vers la derivee
iime de S :
D(i)S =
∞∑k=0
D(i)fn = si.
Exercice 31Existence, continuite et derivabilite de
∑ ann
cos(nx) lorsque∑an est absolument conver-
gente.
Exercice 32 Soit f definie sur R par
f(x) =
∞∑n=1
1
ncosn x sinnx.
1. Justifier la convergence de la serie ;
2. Montrer que f est de classe C1 sur R prive de πZ et calculer f ′;
3. Donner une expression de f.
Exercice 33
1. Resoudre l’equation differentielle
y”(t) + y(t) = cos(nt);
2. Soit∑an, une serie absolument convergente.
(a) Pour N ∈ N, on considere l’equation differentielle
y”(t) + y(t) =
N∑n=0
an cos(nt).
Donner une solution particuliere de cette equation, en deduire les autres.
23
(b) Montrer toutes les solutions de l’equation differentielle
y”(t) + y(t) =
∞∑n=0
an cos(nt)
sont des fonctions de classe C2 . Exprimer ces solutions.
Exercice 34 equation de la chaleurOn suppose que la serie de terme general (an)n est absolument convergente. Justifier quela somme de la serie
∞∑n=0
an sin(nπLx)e−n2π2
L2t,
est solution de l’equation aux derivees partielles
∂
∂tu(x, t)− ∂2
∂x2u(x, t) = 0.
C’est dans le cours sur les series de Fourier que nous aborderons plus en details cetteequation...
24
3.6 Exercices
Exercice 35 a propos de ln(1+x)...
1. Etudier la convergence de la serie de fonctions∑
(−1)nxn;
2. En deduire que, sur ]− 1, 1[,
ln(1 + x) =∞∑n=1
(−1)n−1xn
n.
3. Montrer que cette serie converge uniformement sur tout compact de ] − 1, 1]. Endeduire que
ln(2) =
∞∑n=1
(−1)n−1
n.
Exercice 36 On se propose d’etudier la serie de fonctions∑ xn
n2.
1. Etudier la convergence simple de cette serie ; on notera Li(x) sa somme, la ou elleest definie ;
2. Montrer que Li est continue sur son ensemble de definition ;
3. On rappelle que la serie de fonctions∑n≥1
(−1)n−1xn
n
converge uniformement vers ln(1 + x) sur tout intervalle compact de ] − 1, 1] (voirl’exercice 35).
(a) En deduire que
Li(x) = −∫ x
0
ln(1− t)t
dt
sur l’intervalle ]− 1, 1[.on pourra considerer qu’il s’agit de l’integrale du ppc par exemple
(b) Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1[,
Li(x) + Li(1− x) = Li(1)− ln(1− x) lnx
(c) Montrer que∞∑n=1
1
2nn2=π2
12− 1
2ln2 2;
Voir corrige en 5
25
Exercice 37 Soit
S(x) =
∞∑n=1
xn
1− xn.
1. Justifier la convergence de la serie
2. Montrer que S est continue sur ]− 1, 1[; etudier sa derivabilite.
Exercice 38 Montrer que ∫ 1
0xx dx =
∞∑n=1
(−1)n+1
nn.
Exercice 39 series alterneesOn se propose d’etudier sur [0, +∞[ la somme de la serie de fonctions∑
(−1)n ln(
1 +x
n
)1. Preciser les ensembles de convergence, la continuite de la limite ;
2. La somme de cette serie est elle derivable ?
Exercice 40 Soit S(x) la somme de la serie∑ (−1)n
n+ x
1. Etudier la convergence de la serie sur ]0,∞[ et la continuite de S;
2. Trouver des equivalents de S(x)– au voisinage de 0,– au voisinage de +∞;
3. Montrer que
S(x) =
∫ 1
0
tx−1
1 + tdt.
Exercice 41 fonctions ζ et µ de Riemann
Pour x reel, on considere les series de fonctions∑ 1
nxet∑ (−1)n+1
nx.
1. Etudier les differents modes de convergence de ces deux series.
2. On posera
ζ(x) =
∞∑n=1
1
nxet µ(x) =
∞∑n=1
(−1)n+1
nx.
Preciser les ensembles de definition, la continuite de ces deux fonctions.
3. Etudier leur derivabilite.
4. Limites :
(a) Calculer la limite en 0 de µ(x)
(b) Calculer les limites en +∞ de ζ(x) et de µ(x)
(c) Donner un equivalent de ζ(x) lorsque x→ 1+.
26
5. Montrer queµ(x) = (1− 21−x)ζ(x).
Exercice 42 On se propose d’etudier la serie de fonctions∑un(x) =
∑ 1
cosh(nx).
1. Etudier la convergence simple de cette serie sur ]0,+∞[, puis sur R∗; on notera F (x)sa somme lorsqu’elle converge.
2. Etudier la convergence normale de la serie de fonctions∑un(x) sur [a,+∞[, lorsque
a > 0. En deduire que F est continue.
3. Etudier la convergence normale de la serie des derivees∑u′n(x) sur un intervalle
[a, b] avec 0 < a < b. Montrer que F est de classe C1 sur R∗.4. On souhaite determiner un equivalent de F (x) au voisinage de +∞. On ecrit pour
cela
F (x) =1
cosh(x)+∞∑n=2
1
cosh(nx).
Donner une majoration de la somme R1(x), et conclure.
Exercice 43 equivalent d’une somme (premier terme)
1. Donner un equivalent en +∞ de
∞∑n=1
1
shnx.
2. Donner un equivalent en +∞ de
∞∑n=1
1
n(lnn)x.
On pourra aussi s’interesser aux proprietes des fonctions.
Exercice 44On se propose d’etudier la serie de fonctions de terme general fn(x) = e−x
√n.
1. Montrer que, pour tout a > 0 et tout α ≥ 0,
e−a√n =n→+∞
o
(1
nα
).
2. (a) Etudier la convergence simple de cette serie de fonctions ;
(b) Montrer que la serie∑fn converge normalement sur tout intervalle [a,+∞[
lorsque a > 0;
3. On note dorenavant S(x) =∑
n≥0 fn(x) pour x > 0.
(a) Montrer que S est une fonction de classe C1 et exprimer sa derivee.
(b) Demontrer que S est une fonction de classe C∞ (on procedera par recurrencesur k pour etablir que S est une fonction de classe Ck ) et exprimer ses deriveessuccessives.
27
4. (a) Calculer la limite de S(x) en +∞.(b) Pour un entier naturel fixe N, donner un equivalent de la fonction RN (x) lorsque
x tend vers +∞.indication : majorer le reste RN+1 en comparant fn(x) a une integrale de lafonction g(t) = e−xt sur un intervalle bien choisi...
5. Montrer que S(x) a pour limite +∞ en 0.
Exercice 45 Soit
S : x→∞∑k=0
nxe−nx2.
1. Quel est le domaine de definition de la fonction S?
2. On pose un(x) = nxe−nx2.
(a) Determiner ||un||∞,R.(b) La serie de fonctions
∑un est elle normalement convergente sur R? Est-elle
uniformement convergente ?
(c) Montrer que cette serie de fonctions converge uniformement sur un intervalle[a,+∞[ lorsque a > 0. S est elle continue sur R∗?
(d) Etudier egalement sa derivabilite.
3. En considerant la serie∑vn ou vn(x) est une primitive bien choisie de un, donner
une expression de S a l’aide de fonctions usuelles. Donner un equivalent de S en 0 ;S est elle continue sur R ? continue par morceaux ?
corrige en 5
Exercice 46
On considere la suite des fonctions fn(x) =(−1)n
n+ 1e−nx.
1. Etudier les differents modes de convergence de la serie de fonctions∑fn;
2. On note S la somme de cette serie, est-elle continue sur son intervalle de definition ?Calculer S(0), si tant est que cela soit defini.
3. Etudier la derivabilite de S et calculer sa derivee la ou elle est definie ;indication : penser EDO
Exercice 47
1. Calculer, pour x reel :∞∑n=0
1
n!
∫ x
0tne−t dt.
2. Calculer, pour a > 0 et b > 0, ∫ 1
0
xa−1
1 + xbdx.
Exercice 48 transformation d’AbelOn considere une suite decroissante de fonctions positives (fn)n et une serie
∑gn de
fonctions a valeurs dans C toutes definies sur I ⊂ R.
28
1. On suppose que∑gn est uniformement convergente et qu’il existe M > 0 tel que,
pour tout n ∈ N, ||fn||∞,I ≤M. Montrer que∑fngn est uniformement convergente
sur I.
2. On suppose que les sommes partielles de la serie∑gn sont bornees par une meme
constante et que (fn)n converge uniformement vers 0. Montrer que∑fngn est uni-
formement convergente sur I.
3. Exemples :∑ αnx
n
1 + xn,∑ αnx
n
1 + x2n, avec
∑αn convergente,
∑ einx
n...
29
4 Questions breves
1. Quels sont les enonces vrais, faux. Pour ces derniers rechercher des contre-exemples ;faites votre marche avec les suites (x→ xn)n, (x→
√x2 + 1/n)n...
(a) si une suite de fonctions paires (fn)n, converge simplement sur I vers f, alors fest paire sur I ;
(b) si une suite de fonctions croissantes (fn)n, converge simplement sur I vers f,alors f est croissante sur I ;
(c) si une suite de fonctions strictement croissantes (fn)n, converge simplement surI vers f, alors f est strictement croissante sur I ;
(d) si une suite de fonctions strictement periodiques (fn)n, converge simplementsur I vers f, alors f est periodique sur I ;
(e) si une suite de fonctions continues (fn)n, converge simplement sur I vers f, alorsf est continue sur I ;
(f) si une suite de fonctions continues (fn)n, converge uniformement vers f sur I,alors f est continue sur I ;
(g) si une suite de fonctions de classe C1 (fn)n, converge uniformement vers f surI, alors f est de classe C1 ;
2. Enoncer un theoreme permettant d’ecrire une relation de la forme :
limn→+∞
limx→b
fn(x) = limx→b
limn→+∞
fn(x);
3. Donner un exemple de suite de fonctions pour laquelle cette egalite est fausse ou n’apas de sens.
4. Enoncer un theoreme permettant d’ecrire :∫ b
a
(lim
n→+∞fn(x)
)dx = lim
n→+∞
(∫ b
afn(x) dx
);
5. Peut on affirmer que si (fn) converge simplement vers f sur I = [a, b] toutes lesfonctions etant cpm, alors
lim
∫ b
afn(t) dt =
∫ b
alim fn(t) dt =
∫ b
af(t) dt?
Penser a des fonctions en escaliers et au phenomene de la bosse flottante...
6. Enoncer un theoreme permettant d’ecrire :
limn→+∞
Dfn(x) = D
(lim
n→+∞fn
)(x);
7. Donner un exemple de suite de fonctions pour laquelle cette egalite est fausse ou n’apas de sens.
30
Index
Abeltransformation, 27
borneuniforme, 4
bosseflottante, 3
convergencenormale, 16simple, 2, 15uniforme, 3, 15
sur tout compact, 5, 7critere de Cauchy
(convergence uniforme), 5
espacecomplet, 5des fonctions bornees, 3, 15norme, 3, 15
fonctionsζ et µ de Riemann, 25
limite uniformede fonctions continues, 7
phenomenede la bosse flottante, 3
suitede Cauchy (norme uniforme), 5
theoremecontinuite
d’une limite uniforme, 7derivation terme a terme
(serie uniformement convergente), 21,22
interversionlimite uniforme et integration, 9
interversion des limites, 7(cas des series), 18
31
5 Quelques corriges
Corrige de l’exercice 9
1. On supposera que (fn)n converge simplement vers 0 et que pour chaque x ∈ K,(fn(x))n decroıt.
On raisonne par l’absurde : on suppose que ||fn||∞)n ne converge pas vers 0. Il existedonc a > 0 et une suite extraite telle que
||fnp ||∞ > a.
Comme chaque fonction est continue sur le compact K, cela revient a dire qu’ilexiste une suite (xp) d’elements de K telle que |fnp(xp)| > a. Cette suite admet ellememe une sous-suite convergente que l’on notera (xpq)q = (yq). On note aussi parcommodite gq = fnpq
... Ainsi :
– (gq)q converge simplement vers 0 ;– (gq(x))q decroıt pour tout x ∈ K ;– (yq)q converge vers y ∈ K;– gq(yq) > a pour tout q ∈ N.Considerons alors r < q, on a
gr(xq) ≥ gq(xq) > a.
Lorsque q tend vers +∞, on retient : gr(y) ≥ a, cela contredit le fait que gr(y)converge vers 0.
2. La suite (fn)n de fonctions definies sur ]0,+∞[ par
f0(x) =1
et − 1, fn+1(t) =
3
4t+t3
4f4n(t).
Corrige de l’exercice 15.
Pour les deux premieres questions, on peut etudier la fonction fn(x) = nαxn(1− x). Son
maximum est atteint pour x =n
n+ 1et vaut :
fn
(n
n+ 1
)=
nn+α
(n+ 1)n+1.
La convergence simple de (fn)n vers 0 est assuree. On regarde separement x = 0 et x ∈]0, 1].Lorsque α = 1, 2 la convergence n’est pas uniforme (le maximum calcule ci-dessus ne tendpas vers 0).
1. Le calcul de l’integrale montre que, toutefois que, si α = 1,
lim
∫ 1
0fn = 0,
2. ...et que si α = 2,
lim
∫ 1
0fn = 1.
32
Correction de l’exercice 29
1. On ecrira, sur ]p,+∞[, fp(x) = ex ln(1−p/x) = eϕp(x). Sur cet intervalle, les variationsde fp et ϕp sont les memes. Or
ϕ′(t) = ln(
1− p
x
)+ px−1
(1− p
x
)−1, ϕp”(t) = −p2x−3
(1− p
x
)−2< 0.
ϕ′p est donc decroissante, positive (sa limite en +∞ est 0), et ϕp croit. Commelim∞ ϕp = e−p, on a ||ϕp|| = e−p et la serie converge normalement sur R+.
2.
Un =n∑k=1
(k
n
)n=
n−1∑p=0
(n− pn
)n=
n−1∑p=0
(1− p
n
)n=∞∑p=0
fp(n).
Rassemblons nos hypotheses :– la serie
∑fp converge normalement sur ]0,∞[;
– chaque fonction fp admet une limite en +∞ : e−p
Alors,∑fp(x) admet une limite en +∞ :
∑e−p =
e
e− 1.
33
Correction de l’exercice 36
On se propose d’etudier la serie de fonctions∑ xn
n2.
1. Convergence simple :
– si |x| ≤ 1,∑ xn
n2est absolument convergente car
∣∣∣∣xnn2
∣∣∣∣ ≤ 1
n2t.g. d’une serie
convergente.
– si |x| > 1,∑ xn
n2est grossierement divergente car lim
∣∣∣∣xnn2
∣∣∣∣ = +∞.
la serie de fonctions∑un (ou un(x) =
xn
n2) converge simplement sur [−1, 1]. Sa
somme est definie sur [−1, 1]. On note
Li(x) =∞∑n=1
xn
n2.
2. Pour montrer que Li est continue sur son ensemble de definition, il suffit de montrerque
∑un converge uniformement sur [−1, 1].
Or, la serie∑un verifie ||un|| ∞
[−1,1]≤ 1
n2. Elle est donc normalement convergente
sur [−1, 1] donc uniformement convergente. Comme les fonctions un sont continues,la somme de la serie est continue (une limite uniforme de fonctions continues estcontinue).
3. On admet que la serie de fonctions∑n≥1
(−1)n−1xn
nln(1 + x)
sur ]−1, 1] et que la convergence est uniforme sur tout intervalle compact de ]−1, 1].
(a) • premiere facon de voir, integration terme a terme.
Exprimons l’integrale comme somme d’une serie : notons provisoirement
f(x) = −∫ x
0
ln(1− t)t
dt.
Comme la fonction t→ − ln(1− t)t
admet un ppc a [−1, 1[, f est une fonction
de classe C1 et f ′(x) =− ln(1− x)
xsur [−1, 1[.
Observons que l’on peut ecrire f ′ comme somme d’une serie :
f ′(t) =− ln(1− t)
t=−1
t
∞∑n=1
(−1)n−1 (−t)n
n=∞∑n=1
tn−1
n.
Cette serie converge simplement sur [−1, 1[ et coıncide avec f ′ sur cet intervalle.
Retrouvons nous f en l’integrant terme a terme ?
Pour cela notons vn(t) =tn−1
n.
34
La serie de fonctions∑vn converge normalement sur tout segment [−a, a] tel
que −1 < −a < a < 1 puisque, ||vn|| ∞[−a,a]
≤ an−1
n.
IL NE S’AGIT PAS DE LA SERIE ENVISAGEE EN 1 ! ! L’etude n’a rien desuperflu.
Si |x| < 1, la serie∑vn converge normalement sur [−|x|, |x|] et l’on a :∫ x
0
∞∑n=1
vn(t) dt =∞∑n=1
∫ x
0vn(t) dt,
ce qui donne :
f(x)− f(0) =
∫ x
0f ′(t) dt =
∫ x
0
∞∑n=1
vn(t) dt =
∞∑n=1
∫ x
0
tn−1
ndt =
∞∑n=1
xn
n2.
Soit f(x) = Li(x) sur ]− 1, 1[.
• Autre facon de voir : derivation d’une limite
Li =∑un est elle derivable sur [−1, 1[? Si oui, sa derivee en x est elle f ′(x)?
– Les fonctions un sont de classe C1 sur R;–∑un converge simplement sur [−1, 1];
– Pour tout n ∈ N∗, u′n(x) =xn−1
n. La serie
∑u′n converge normalement sur
tout segment [−a, a], a ∈]0, 1[.D’apres le theoreme de derivation d’une limite Li est de classe C1 sur ]− 1, 1[
et Li′(x) =∑∞
n=1
xn−1
n.
On reconnaıt la la fonction1
x
∑∞n=1
xn
n=
ln(1− x)
xqui est continue sur ]−1, 1[.
On a alors
Li(x) = Li(0) +
∫ x
0
ln(1− t)t
dt
sur l’intervalle ]− 1, 1[.
• Prolongements de l’egalite a [−1, 1] :Nous avons donc prouve que f(x) = Li(x) sur ] − 1, 1[. Comme d’apres laquestion precedente Li est continue sur [−1, 1] et comme f est de classe C1 sur[−1, 1[, on a
Li(−1) = limx→−1
Li(x) = limx→−1
f(x) = f(−1).
Mais au point 1, comme la fonction t→ ln(1− t)t
est integrable on a encore
Li(1) = limx→1
Li(x) = limx→1−∫ x
0
ln(1− t)t
dt = −∫ 1
0
ln(1− t)t
dt.
35
(b) Pour montrer que, pour tout x ∈ [0, 1[,
Li(x) + Li(1− x) = Li(1)− ln(1− x) lnx,
on pourra deriver les deux membres en considerant l’expression integrale de Li.Les derivees sont les memes donc
Li(x) + Li(1− x) = Cste− ln(1− x) lnx.
On determine la constante par passage a la limite.
(c) La relation∞∑n=1
1
2nn2=π2
12− 1
2ln2 2
n’est autre que l’egalite precedente en x = 1/2 sachant que
Li(1) =
∞∑n=1
1
n2=π2
6.
Correction de l’exercice 45Soit S : x→
∑∞k=0 nxe
−nx2 .
1. (Le domaine de definition de S est le domaine de convergence simple de la serie.Notons un(x) = nxe−nx
2).
- Lorsque x = 0 la serie converge ;
- Si x 6= 0, limn2 un(x) = limn3 xe−nx2
= 0 donc |un(x)| = o
(1
n2
)et la serie est
absolument convergente ;Consequence : Df = R.
2. (a) Pour determiner ||un||∞,R, etudions les variations de notre fonction :
-u′n(x) = n(1− 2nx2)e−nx2;
-une etude rapide et on voit que le maximum est |un(±1/√
2n)| donc que
||un||R,∞ =
√n
2e.
(b) • Il n’y a donc pas de cv normale sur R. car la serie des normes divergegrossierement).
• Elle n’est pas bon plus uniformement convergente sur R car ||un||∞ ne tendpas vers 0, ce qui est une condition necessaire.
En effet, si (Sn) converge pour la norme uniforme, ||Sn − Sn−1|| = ||un|| → 0).
(c) •Montrons qu’il y a pourtant convergence normale sur [a,+∞[ pour tout a > 0.
Lorsque1√2n
< a, la fonction un ↘ sur [a,+∞[ et
||un||I,∞ = nae−na2.
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C’est la le terme general d’une serie convergente (on l’a vu en etudiant la conver-gence simple) donc la serie des normes converge et
∑un converge normalement
sur [a,+∞[. Elle converge aussi uniformement et sa somme est continue sur[a,+∞[ pour tout a > 0, donc sur ]0,+∞[ puis sur R∗ (fonction impaire).
(d) Pour etudier la derivabilite, pensons au theoreme bien connu 2de derivationd’une limite :
- si les fonctions (un)n sont de classe C1 sur I ;- si la serie
∑un(a) converge en un point a ∈ I au moins ;
- si la serie des derivees converge uniformement sur tout compact de I,Alors
∑un converge uniformement sur tout compact elle aussi, sa somme est
de classe C1 sur I elle aussi, de plus
( ∞∑k=1
un(x)
)′=∞∑k=1
u′n(x)...
Comme 2 des 3 hypotheses sont claires, verifions la troisieme. On a u′n(x) =n(1−2nx2)e−nx
2Dans l’espoir de prouver une convergence normale sur [0,+∞(
etudions les variations de u′n.
u′n(x) = n(1− 2nx2)e−nx2
= n(1− 2z)e−z = φ(z)
et u” change de signe en ±√
3
2n. L’etude ressemble alors a la precedente... Il y
a cv normale de la serie des derivee sur tout [a,+∞[ (a > 0) et S est de classeC1 sur R∗...
3. Expression de S a l’aide de fonctions usuelles
On observe que un(x) = nxe−nx2) =
(−1
2e−nx
2+Kn
)′. Fixons x0 > 0 et posons
Un(x) =
∫ x
x0
un(t) dt.
Comme∑un converge uniformement sur [x0, x] pour tout x > 0 on a (lire de droite
a gauche pour justifier) :
∞∑k=1
Un(x) =∞∑k=1
∫ x
x0
un(t) dt =
∫ x
x0
∞∑k=1
un(t) dt =
∫ x
x0
S(t) dt.
Comme∑Un est geometrique, vous savez finir et S est la derivee de
−e−x2
2(1− e−x2)sur R∗ (toujours par imparite).
2. n’est-ce pas ?
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