SuitesNumérique et fonctions

8/8/2019 SuitesNumrique et fonctions

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Prsentation du chapitre 1 : Les rels

1. Ce que vous devez savoir avant d'aborder cechapitre

Indispensable

Formalisme de la logique ( ngation d'une proposition) voir les modulesde logique.

Manipulation des ingalits (additionner, multiplier). Utile

Structures algbriques : notion de corps commutatif (cela permet de rsumer defaon synthtique certaines proprits des rels)

2. Ce que vous allez apprendre, amliorer ou tester

dans ce chapitre Fondements thoriques Caractrisation de R Diffrentes formulations du fait que Rest archimdien Qet R\Qsont denses dans R(savoir l'exprimer et le dmontrer)

Outils

Manipulation d'galits prs : Dtermination de bornes suprieures et infrieures

3. Ce que vous devez savoir faire la fin de cechapitre

Comprendre le vocabulaire Majorant, minorant Borne suprieure Archimdien Approximation dcimale, partie entire


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Dterminer des bornes suprieures et infrieures

4. Ce qui vous est propos Cours sur les rels

Exercices d'entranement Tests d'autovaluation

5. Temps prvu (en plusieurs fois !) Environ 8 heures pour un apprentissage 'complet' Moins, selon ce que vous savez, pour une autovaluation ou un approfondissement

A l'origine les mathmatiques sont apparues partir de problmes concrets. Les nombres, enparticulier, ont servi d'abord compter(entiers naturels) puis mesurer: il s'agit alors dereprsenter une longueur gomtrique, une unit de longueur tant choisie. Les nombres

rationnels (quotients de deux entiers) ne suffisent pas. On s'en rend compte ds l'poque dePythagore (-560,-480) : la longueur de la diagonale d'un carr de cot 1 (qu'on reprsente par

le symbole ) n'est pas un rationnel (cliquer ici pour une dmonstration lmentaire).Ainsi on peut construire un segment dont la longueur n'est pas reprsente par un rationnel : leproblme de la droite relle est pos, on peut le formuler ainsi:

tant donn une droite avec une origine et une unit de longueur (ou deux points de ladroite affects respectivement des nombres 0 et 1), on cherche associer tout pointde la droite un nombre ou encore reprsenter la droite par un ensemble de

nombres. Cet ensemble de nombres est celui des rels .

D'autre part avec les entiers naturels, et avec les rationnels on calcule : on additionne (et, sicela est possible, on soustrait), on multiplie (et, si cela est possible, on divise). Les ensemblesde nombres ont des structures algbriques (on y dfinit des oprations qui ont certainesproprits). Sans donner la construction de ces ensembles rappelons en brivement le principede la mthode.L'ensemble de base est Nensemble desentiers naturels, il est muni de deux lois:

addition note +

multiplication note . ou .En symtrisantl'addition, ce qui revient rendre la soustraction toujours possible, on obtientl'ensemble Zdes entiers relatifs.De mme, en symtrisant surZ*=Z\{0} la multiplication, on obtient l'ensemble Qdes rationnels.On remarque que, dans les deux cas, il s'agit de le mme mthode: opration algbrique desymtrisation.L'ensembleQest un corps commutatif(rappel de la dfinition).


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D'autre part les entiers naturels servent ordonner (premier, second,..) ; la relation d'ordre sur

Nse prolonge surZpuis surQ. Cette relation d'ordre ( total) note est compatible avec lastructure de corps (rappel de la dfinition).La construction de Rest une opration plus difficile, il existe plusieurs mthodes suivant quel'on cherche combler l'une ou l'autre des "lacunes" de Q. On admet ici l'existence de R, on en

donne les proprits fondamentales : proprits algbriques, proprits de l'ordre total (cesproprits sont lies par la condition de compatibilit), proprits topologiques. Des propritsde la relation d'ordre se dgage le concept de borne suprieure , des proprits topologiquescelui de voisinage. Il s'agit de notions qui sont la base de l'tude des suites comme de l'tudelocale des fonctions. Notons l'importance, thorique et pratique, du fait que Q est dense dansR.L'ensemble Rn'en a pas moins des "lacunes", ainsi l'quationx2+1=0 n'a pas de racinesrelles; d'o la ncessit de construireC(construction algbrique exclusivement).L'ensemble (R, + , . ) est un corps commutatif, admettant Qcomme sous corps (cf cours

d'algbre ). SurRla relation est une relation d'ordre total, ce qui signifie que deux lments

quelconques de Rsont comparables ou encore que deux relsxet yvrifientx you y x.Cette relation d'ordre total prolonge celle de Q.

On note .

Dfinition.

La relation d'ordre est compatible avec la structure algbrique (corps) de R.ce qui signifie:

en particulier

On dsigne par A une partie non vide de R.

Dfinitions. On dit qu'un rel a est un majorantde A si tout lment de A est infrieur ou gal a .

a majorant de A quivaut : On dit que A estmajore si A admet un majorant (elle en admet alors une infinit). On dfinit de mme un minorant, unepartie minore.

A estborne si A est majore etminore.

Remarque: Une partie non vide de Rn'a pas toujours de majorant; lorsqu'elle en a un, elleadmet une infinit (Exemples).

Dfinition.On dit qu'un rel a estplus grand lment(oumaximum) de A si a appartient A et est un

majorant de A .


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a plus grand lment deA quivaut :

On dfinit de mme la notion deplus petit lment(ouminimum).

Remarque: une partie majore (resp. minore) n'a pas ncessairement de plus grand (resp.petit) lment (Exemples).

Proprit.Si A a un plus grand (resp. petit) lment celui-ci est unique.

Preuve:On aurait sinon a b et b a, d'o a=b.On note alors max A (resp. min A ) le plus grand (resp. petit) lment deA.Quand une partieA non vide de Rest majore, elle admet une infinit de majorants, et si a est

un majorant deA, tout rel suprieur a est majorant deA. Il est donc naturel de s'intresser l'existence ventuelle d'un plus petit majorant.C'est ce concept de plus petit majorant que l'on va formaliser en exprimant que tout rel qui luiest strictement infrieur n'est pas majorant.

Dfinition.Si l'ensemble des majorants (resp. minorants ) d'une partie A de Radmet un plus petit (resp.

grand) lment, celui ci est appel borne suprieure (resp. infrieure) de A et se note sup A(resp. infA).a=supA quivaut :

.On crit souvent (ii) sous la forme

Proprits.1. Si A a une borne suprieure (resp. infrieure), celle-ci est unique.

2. Si A a un plus grand (resp. petit) lment a, alors a=sup A (resp. inf A).

Preuve: La proprit 1. vient du fait que la borne suprieure est le plus petit des majorants et la2. dcoule de la dfinition.


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La rciproque de 2. est fausse comme le montre l'exemple :

on a supA=2 A et infA=1; 2 est plus grand

lment, 1 n'est pas plus petit lment.Remarque: Toute partie majore de Qn'admet pas ncessairement de borne suprieure(Exemple).C'est cette "lacune" deQqui est la base d'une construction de R(mthode dite descoupures).

Dfinition.Rest dfini comme devant satisfaire aux conditions suivantes :

(i) R est un corps totalement ordonn, (ii) R est une extension de Q, (iii) toute partie non vide majore de R admet une borne suprieure.

La proprit (iii) est diteproprit de la borne suprieure.La proprit (ii) exprime que Rest une extensionde Qc'est dire que Rest un corps quicontient le corps Q; en fait Rest le plus petit corps contenant Qet qui possde la proprit de laborne suprieure. On remarque qu'il ne peut tre question de borne suprieure dans Cpuisquece corps n'est pas muni d'une relation d'ordre (a fortiori d'une relation d'ordre total).On obtient, bien videmment, en considrant l'ensemble des opposs de la partie envisage, laproprit :Toute partie non vide minore deRadmet une borne infrieure.

Dfinition.On appelle valeur absolue d'un rel x, le rel, not |x| , dfini par :|x|=max(x, -x).

Proprits.

La preuve est lmentaire: il suffit d'tudier les diffrents cas suivant les signes dexet y.Parmi les rationnels les dcimauxont un rle pratique important, leur intrt est d'approcherles rels d'aussi prs que l'on veut, ce qui permet les calculs sur les rels.

Dfinition.


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Un rel d est un nombre dcimal s'il existe k Ntel que 10kd Z.

(Exemples)On note Dl'ensemble des dcimaux; on a l'inclusion:

D Q R,mais attention Dn'est pas un corps: 3 est un dcimal mais non 1/3.Le thorme suivant exprime l'quivalence entre quatre proprits, la premire, dite propritd'Archimde, exprime le fait que tout rel peut tre "dpass" par les multiples d'un rel positifquelconque.

Thorme.Rest un corps archimdien , c'est dire qu'il satisfait l'une des quatre proprits

quivalentes suivantes :

(i) tant donn deux rels y et x, x strictement positif, il existe un entier n N* tel que y nx;

(ii) tant donn un rel y il existe un entier n Ntel que y n;

(iii) tant donn un rel positif y il existe un entier n unique tel que n y


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La proprit de la borne suprieure (resp. infrieure) permet de classer les intervalles non videsde Ren 9 types distincts suivant l'existence ou non d'un majorant, d'un minorant, d'un plusgrand, d'un plus petit lment.On montre ainsi qu'un intervalle non vide deRest d'un des types suivants :

intervalle bornouvert : ]a,b[ = {x R, a


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R,x


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Thorme.Qest dense dans R.(entre deux nombres rels distincts a et b, il existe un rationnel)

Preuve : Ceci peut tre dmontr en utilisant une approximation dcimale de (Preuve).

Prsentation du chapitre 2 : Suites de nombres rels

1. Ce que vous devez savoir avant d'aborder cechapitre

Indispensable Proprits des nombres rels (ordre, ensembles majors, minors, bornes

suprieures et infrieures, ...) : voir le module sur les nombres rels

Formalisme de la logique ( ngation d'une proposition) voir les modulesde logique.

Trs utile Structures algbriques (cela permet de rsumer de faon synthtique certaines

proprits des suites) Proprits des suites et fonctions vues en terminale (pour avoir des exemples et

se sentir plus l'aise)

2. Ce que vous allez apprendre, amliorer ou testerdans ce chapitre

Fondements thoriques de l'tude des suites de nombres rels ou suites numriques,dj abordes sous un angle opratoire au lyce.

notamment : notion de convergence, de divergence, de limite. Outils pour l'tude des suites

Outils algbriques(oprations sur les suites : somme, produit, quotient,

composition avec une fonction) Thorme sur les suites (encadrement, suites monotones) Nombreux exemples

En complment : Critre de Cauchy pour tudier la convergence d'une suite indpendamment de

la limite Thorme de Bolzano Weierstrass


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3. Ce que vous devez savoir faire la fin de cechapitre

Connatre parfaitement le vocabulaire Dfinition de "suite", suite rcurrente Sous-suite ou suite extraite Suite constante ou stationnaire, priodique Suite majore, minore, borne Suite croissante, dcroissante, monotone Suite convergente, suite divergente Limite de suite Suite tendant vers l'infini

tudier une suite Dfinir et suivre une stratgie d'tude de suite

Manipuler une suite pour tudier sa nature

Montrer qu'une suite converge vers une limite donne Montrer qu'une suite converge et trouver sa limite Utiliser les suites extraites

Utiliser les thormes de convergence pour montrer qu'une suite converge pour montrer qu'une suite diverge

tudier la convergence de suites Suites rcurrentes lies une fonction croissante ou une fonction dcroissante Cas particulier des suites adjacentes

4. Ce qui vous est propos Cours sur les suites numriques Exercices d'entranement Tests d'autovaluation

( personnaliser, disponibles dans certains centres de ressources seulement) Didacticiel de diagnostic d'erreurs permettant de dpister un certain nombres d'ides

fausses sur les suites et de les mettre en chec. Feuille Maple permettant l'exploration et l'illustration de certaines proprits des suites

5. Temps prvu (en plusieurs fois !) Environ 16 heures pour un apprentissage 'complet' Moins, selon ce que vous savez, pour une autovaluation ou un approfondissement

Dfinition.Une suite de nombres rels (ou suite de rels ou suite relle) est une application de Ndans

R.


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.

Attention aux notationsEventuellement une suite peut tre dfinie seulement partir d'un certain rangn0 ainsi lessuites

.ExemplesUne suite peut tre dfinie de plusieurs manires, les plus frquentes sont les suivantes :a. Suite dfinie explicitement

est dfinie par une formule

.On calcule directement un en fonction de n.ExemplesParmi les suites de rfrence citons:

Suites arithmtiques : ce sont les suites .

Suites gomtriques : ce sont les suites

Suites puissances : ce sont les suites

Certaines suites sont dfinies par une formule o interviennent un nombre de termes dpendant

de n comme la suite dfinie par .Pour reprsenter une suite dfinie explicitement deux points de vue sont possibles :

en reprsentation "axiale" les reprsentations

en reprsentation graphique

b. Suite dfinie par une relation de rcurrence

est dfinie par une relation de rcurrence

et la donne de u0, dsigne une fonction relle de variable relle.Ces suites seront tudies plus particulirement dans la suite, mais nous considrerons le longde ce chapitre une suite "test " la suite, que nous noterons U, dfinie par :


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.

On ne calcule pas directement , on a sa disposition un algorithme.

Attention : si est dfinie sur un intervalle Ide R, distinct de R, il faut liminer les valeurs deu0 telles que, pour un entierp, up n'appartient pas I, en effet up+1 n'est alors pas dfini. Leproblme de la dfinition de la suite est bien videmment le premierqu'on doit se poser.(Exemples)Dans certains cas on passe facilement de la forme rcurrente la forme explicite etinversement, c'est le cas pour les suites arithmtiques et gomtriques.

Suites arithmtiques : Forme rcurrente : .

Suites gomtriques : Forme rcurrente : .Eventuellement, on considre des suites dfinies par une relation de rcurrence d'ordre 2

et la donne de u0 et u1, est alors une fonction relle dfinie sur une partie de R2.

C'est le cas des suites de Fibonacci, vues dans l'introduction, la fonction est alors lafonction:

.

c. Suite dfinie implicitement (par une proprit)(Exemples)Extraire une suite d'une suite donne c'est prendre, dans l'ordre, certains termes de la suite.

Dfinition.

Soit une suite relle ; on appelle suite extraite de une suite obtenue en

composant avec une application strictement croissante de Ndans N.

On obtient ainsi la suite o .

Exemples

Soit une suite relle ;

- soit : N N, n 2n la suite extraite obtenue est la suite des termes d'indice pair ;


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- soit : N N, n 2n+1 la suite extraite obtenue est la suite des termes d'indice impair.

Ainsi si l'on considre la suite , la suite des termes d'indice pair est la

suite , la suite des termes d'indice impair est .

De mme la suite ( ) est extraite de la suite (2n), l'application tant l'application n n!.Les suites relles tant des applications de N dans R, on dfinit des oprations sur l'ensembleRN des suites relles partir des oprations surR (cf. cours d'algbre). De mme pour larelation d'ordre partir de la relation d'ordre surR.Ainsi RN muni des deux lois :

addition les lois

multiplication par un rel

est un espace vectoriel sur R.L'lment neutre de l'addition est la suite nulle:

.(Exemples)

On peut galement dfinir surRN la multiplication pour et RN par

= .RN devient un anneau commutatif unitaire dont l'lment unit est la suite

.(Remarque)Relation d'ordre sur RN

Dfinition.

Soient et deux suites relles ; on dit que majore ou minore

si l'on a :

On note .On vrifie immdiatement qu'il s'agit d'une relation d'ordre et que cet ordre n'est pas total.


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Deux suites quelconques ne sont pas en gnral comparables.

(Exemples)On dfinit dans ce paragraphe des proprits globales des suites relles c'est dire desproprits vrifies surN ou plus gnralement " partir d'un certain rang" c'est dire sur

.

Suites majores, minores, bornes, dfinition.

Une suite relle est

majore s'il existe un rel m1 tel que, pour tout entier n on ait

minore s'il existe un rel m2 tel que, pour tout entier n on ait

borne s'il existe un rel M tel que, pour tout entier n, on ait .

On traduit cette dernire proprit en langage formalis :

.Une suite non borne se caractrise en crivant la ngation de la proposition prcdente :

.

Suites stationnaires, dfinition.

Une suite relle est stationnaire s'il existe un rel a et un entier n0 tels que, pour tout

entier n n0 , on ait un = a.

Soit encore :

.

Suites priodiques, dfinition.

Une suite relle est priodique s'il existe un entier k 1 tel que, pour tout entier n, onait un+k = un .Soit encore :

.


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(Exemples)Les suites tant des applications de N, ensemble totalement ordonn, dans R,ensemble totalement ordonn, les dfinitions suivantes sont un cas particulier des dfinitionsgnrales des applications monotones.

Dfinitions.

Soit une suite relle ; on dit que

- est croissante si, pour tout n entier, ,

- est dcroissante si, pour tout n entier, ,

- est monotone si est croissante ou si est dcroissante.

Lorsque les ingalits sont strictes la suite est strictement croissante (resp. dcroissante,monotone).

(Exemples)Pour les suites qui sont des applications de N vers R, ce sont les valeurs prises pour les

grandesvaleurs de n qui importent (comportement de un quand n tend vers + ), on peutdonner cela deux raisons :

une raison de caractre pratique : dans le cas des suites qui interviennent dans lesproblmes d'approximations, l'approximation est d'autant meilleure que n est grand;

une raison de caractre thorique lie au fait que N est un sous-ensemble discret deR :

pour tout entiern il existe un voisinage de n dans R qui ne contient aucun autre entier (par

exemple l'intervalle dfini par ). Un voisinage de + en revanche contient uneinfinit d'entiers.L'objectif de ce paragraphe est de dfinir les concepts de suite convergente, de limite et desuite divergente. Parmi les suites divergentes on distinguera les suites qui tendent vers

.Une tape prliminaire va consister dfinir la notion de "suite qui converge vers un rel".

Intuitivement la suite converge vers un rel si un - est petit quand n est grand, cequi veut dire "aussi petit que l'on veut" mais pas "de plus en plus petit".

Dfinition.

Soit une suite relle et soit un rel ; on dit que converge vers quand n tend

vers + si l'une des proprits (a) (b) (c) quivalentes suivantes est vrifie.

(a) Pour tout voisinage V de , il existe un rang N, tel que un appartienne V pour tout entier

n suprieur ou gal N.


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si alors pour ,

si alors pour = 1 et n = Nou N+ 1 on a .La nature d'une suite (convergence ou divergence) ne dpend que de son comportement

quand ; on dit encore partir d'un certain rang. On peut en particulier modifierles termes d'une suite pour un nombre fini d'indices sans en changer la nature.Proposition.

Toute suite convergente est borne.Preuve : Une valeur dtermine de donne unencadrement de |un| pourn>N. On en dduit une majoration de |un| pour tout n (Preuve).Le concept de limite se dgage de la proposition suivante :

Proposition.

Si est une suite relle convergente il existe un rel unique tel que converge

vers quand n tend vers + .

Preuve : Il s'agit d'une dmonstration par l'absurde (Preuve).

Dfinition.

Si est une suite convergente l'unique rel , tel que converge vers , s'appelle

la limite de la suite et se note .

On notera dsormais et on dira que la suite est convergente et a pour

limite , plutt que la suite converge vers .

Attention: on utilisera le symbole , seulement quand la convergence de la suite a ttablie.Remarques sur la densit de Q dans R et sur la vitesse de convergence (Remarques).

Parmi les suites divergentes, les suites qui tendent vers jouent un rle

particulier.Leur comportement, dans certains cas, s'apparente celui des suites convergentes.

Intuitivement la suite tend vers + si un est grand positif pourn grand.

Dfinition.

Soit une suite relle ; on dit que tend vers + quand n tend vers + si


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quelque soit le rel A il existe un entier N tel que n N entrane un > A.

Formellement on crit :

Notations

On dfinit de faon analogue les suites qui tendent vers - .On remarque que, dans la dfinition, l'ingalit un > A s'interprte comme l'appartenance de un

un voisinage de + .La dfinition peut tre exprime:

en reprsentation axiale les reprsentations

en reprsentation graphique

Parmi les suites divergentes, le comportement des suites qui tendent vers + ou - est trs

diffrent de celui des suites comme ou (suites "sautantes") que l'ondfinit plus prcisment de la faon suivante :

Dfinition.

On dit qu'une suite est une suite sautante s'il existe des rels a et b (a


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Proposition.

Si une suite est convergente et a pour limite , toute suite extraite de est

convergente et a pour limite .

La preuve est immdiate.Exemple:

La suite qui est extraite de la suite a pour limite 0.Remarque:La rciproque est fausse : il est bien vident que la convergence d'une suite extraite d'une suite

n'entrane pas la convergence de . Ainsi la suite extraite de la suite

est convergente tandis que la suite est divergente.

Une suite est convergente si et seulement si les suites et sontconvergentes et ont mme limite.Preuve: Appliquer la dfinition de la convergence en remarquant que tout entier est pair ouimpair (Preuve).Proposition.

Toute suite extraite d'une suite qui tend vers + (resp. - ) tend vers + (resp. - ).

La preuve est immdiate.

La rciproque est fausse comme le montre l'exemple de la suite dont la suite

extraite tend vers + . (On remarque que sur ce point il y a

analogie dans le comportement entre suites qui tendent vers + et suites convergentes : cela

conduit introduire la droite acheve soit , concept qui n'est pas auprogramme de ce cours).

Thorme.

Soit et deux suites convergentes de limite respective ; les suites


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+ , et, si , dfinie alors partir d'un certain rang, sont

convergentes et ont pour limites respectives

Preuve: On donne la preuve seulement pour le produit, les deux autres tant analogues. La

dmonstration repose sur une majoration de utilisant les majorations de

et (Preuve).Dans le langage de l'algbre linaire ce thorme dmontre, en particulier, que l'ensemble

des suites convergentes est un sous espace vectoriel de (il suffit de

considrer la suite comme produit de la suite constante dont tous les termes sont gaux

, par la suite et que l'application

est une forme linaire (cf cours d'algbre).Sur le plan pratique il permet d'tudier certaines suites en les dcomposant.

La somme de deux suites divergentes est divergente.Vrai ou faux?

Vrai Faux

On dduit immdiatement du thorme prcdent que l'ensemble des suites

convergentes dont la limite est nulle est un sous-espace vectoriel de . Par ailleurs

pour les suites de on a le thorme suivant.ant.

Thorme.

Soit et deux suites relles; on suppose que est convergente et a pour

limite 0 et que est borne, alors la suite est convergente et a pour limite 0.


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Preuve: La suite |un| est proche de 0 partir d'un certain rang N1. La suite (vn) est borne partir d'un certain rang N2. On considre N=max(N1,N2) (Preuve).

Le thorme prcdent s'tend dans certains cas o interviennent des suites tendant vers

.Par contre il est d'autres cas o l'on ne peut pas conclure de faon gnrale. Cela justifie, a

posteriori, la rserve vis vis de la notation .

Encore une fois les suites qui tendent vers ne sont pas des suitesconvergentes, mme si leur comportement, parmi les suites divergentes est particulier.Toutes les propositions nonces dans ce paragraphe se dmontrent immdiatement. Leurpreuve peut constituer un exercice facile.

Proposition.

Soient et deux suites relles ; on suppose que tend vers + . Alors si

est borne ou tend vers + , + tend vers + .

Preuve: Utilliser les dfinitions.

En revanche si tend vers - , on ne peut conclure de faon gnrale comme le montrentles exemples suivants.

ExemplesOn considre la suite = (n2) et on prend successivement pour les suites(n), (-n2 +1) et (-n3).

La suite + tend vers + dans le premier cas, a pour limite 1 dans le second, tend

vers - dans le troisime.

Proposition.

Soient et deux suites relles ; on suppose que tend vers + (resp. - ).

Alors si tend vers + (resp. - ) ou est minoreen valeur absolue par un rel

strictement positif, la suite tend vers + ou - , (le signe tant donn par la

rgle habituelle).



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En revanche si on ne peut pas conclure de manire gnrale comme le montrentles exemples suivants.Exemples

On considre la suite = (n) et on prend successivement pour les suites

La suite a pour limite 0 dans le premier cas, 1 dans le second et tend vers +dans le troisime.

Proposition.

Soit une suite relle.

Si tend vers alors est dfinie partir d'un certain rang, elle

converge et a pour limite 0.

Si a pour limite 0 alors, si elle est dfinie, tend vers + .


Attention : c'est seulement dans le cas o un a un signe constant partir d'un certain rang que

entrane tend vers + (ou - ).Pour tudier une suite il est frquent de la comparer une suite dont on connat la nature.Avant de dmontrer les thormes de comparaison, on va donner un certain nombred'exemples de suites de rfrence.Suites gomtriquesLes suites gomtriques sont celles qui sont le plus frquemment utilises. (On parle deconvergence gomtrique) On rappelle les rsultats suivants ( cf terminale).

Soit une suite gomtrique.

Pourk> 1 la suite ,illustration par un exemple

pourk= 1 la suite est constante et convergevers 1,


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pour < 1 la suite (kn) a pour limite 0,

illustration par un exemple

pourk -1 la suite (kn) n'a pas de limite. illustration par un exemple

Suites puissances

On considre une suite .

Pour > 0 la suite tend vers + ,illustration par un exemple

pour = 0 la suite est constante et a pourlimite 1,

pour < 0 est convergente et a pourlimite 0.


Sries gomtriques

Les sries gomtriques sont des suites (sn) dfinies par .

On a si k 1 , n+1 si k = 1.

(sn) converge si et seulement si < 1, on a alors

.Illustrations pour:



Le thorme suivant montre la proprit dite de prolongement des ingalits : il exprime eneffet que si deux suites convergentes sont comparables leurs limites vrifient la mme ingalit.


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Thorme.

Soient et deux suites relles vrifiant

on a alors .

Preuve: Par l'absurde (Preuve).Remarquesa. Il suffit que les ingalits (i) soient vrifies partir d'un certain rang.b. Si, dans la condition (i) on remplace l'ingalit large par une ingalit stricte la conclusion

reste la mme (ingalit large).

Par exemple les suites vrifient or on a

.

c. Dans le cas de suites tendant vers , si la condition (i) est vrifie on ne peutconclure que dans les cas suivants :

(ii)' si la suite tend vers + alors la suite tend vers +

(ii)"si la suite tend vers - alors la suite tend vers - .Il est inutile d'insister sur l'intrt du thorme suivant tant son usage est frquent ! Sesdnominations (thorme sandwich ou thorme des gendarmes) rsument bien la situation.

Thorme.

Soient et trois suites relles vrifiant :

(i)

(ii) ;

alors la suite converge et a pour limite .

Preuve: L'criture de la convergence des suites un et wn fait apparatre des rangs N1 et N2.On considre N=max(N1,N2) (Preuve).


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Thorme.

Soit une suite croissante de rels,

(a) si est majore, elle est convergente et ,

(b) si n'est pas majore, elle tend vers + .

Preuve: On a, pour les suites monotones, un thorme spcifique qui permet de les tudier defaon simple. Sa dmonstration repose sur l'existence de la borne suprieure pour une partienon vide majore de R (Preuve).Remarques

a. Le thorme est vrai si est croissante partir d'un certain rang c'est--dire :

b. On a un nonc analogue pour les suites dcroissantes.c. On remarque donc la situation particulire des suites monotones : il n'y a qu'une catgorie de

suites divergentes : suites tendant vers + pour les suites croissantes, suites tendant vers -

pour les suites dcroissantes. Le phnomne de suite sautante comme (cos n) (illustration

graphique), ((-1)n) (illustration graphique) ou (illustration graphique) ne peut serencontrer dans ce cas.d. Le thorme des suites monotones est un outil important dans l'tude des suites rcurrentes.Toutefois il ne faut pas exagrer son importance : beaucoup de suites ne sont pas monotones,

comme les trois suites que nous venons de citer : (cosn), ((-1)n) ou et il nedonne aucune ide de la rapidit de la convergence ventuelle de la suite.

Dfinition.

Deux suites et sont dites adjacentes si les conditions suivantes sont vrifies :

(i) est croissante, dcroissante,

(ii) un = vn ,

(iii) .


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Thorme.Deux suites adjacentes sont convergentes et ont mme limite.

Preuve: C'est une application du thorme sur les suites monotones (Preuve).Remarque.

Le fait que la suite est majore est donn par l'ingalit : un v0 (v0est un

rel fixe) et nonun vn, de mme pour la minoration de parun .Exemple a. : Exemple o la convergence est rapide (Exemples).Exemple b. : Exemple o la convergence est lente (Exemples).Exemple c. : Approximation dcimale d'un rel (Exemples).

On considre une suite dfinie par la donne de son premier terme u0 et une relation de

rcurrence de la forme

o est une fonction de variable relle.

Dans un premier temps on tudie certaines des proprits de la suite lies des

proprits de la fonction comme la monotonie ou la continuit. On est parfois amen utiliser des thormes concernant la continuit des fonctions ou des proprits de leur drivequi seront vus dans la suite du cours. Enfin on se rfre frquemment au graphe (C) de la

fonction en particulier dans les exemples o l'tude graphique constitue une approche del'tude thorique.Les exemples tudis illustrent les situations les plus frquentes (dans les problmes!) et nonun catalogue de toutes les situations possibles qui peuvent tre trs complexes.

Pour que la suite soit dfinie il faut et il suffit que, pour tout entiern, un appartienne

l'ensemble de dfinition de . D'o l'intrt, pour l'tude de , de l'existence d'intervalles

stables par c'est dire contenus dans l'ensemble de dfinition et tels qu'on ait. En effet une rcurrence immdiate montre alors que si u0 appartient I, un appartient Ipour

tout entiern. Ainsi, dans le cas de la suite Udfinie au dbut. l'intervalle [1,2] est stable par la

fonction .

Dans tout ce paragraphe nous considrerons une fonction et un intervalle Istable par .

Thorme.
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.uel.education.fr%2Fconsultation%2Freference%2Fmathematiques%2Fanalyse1%2Fapprendre%2Flessuites%2F1_1.htm%23suiteU&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNFpATuKEeXlskR5vGoPC9h070v0Qwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.uel.education.fr%2Fconsultation%2Freference%2Fmathematiques%2Fanalyse1%2Fapprendre%2Flessuites%2F1_1.htm%23suiteU&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNFpATuKEeXlskR5vGoPC9h070v0Qw


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Si est une suite convergente d'lments d'un intervalle I de Rdont la limite

appartient I et si la fonction est continueen , la suite est convergente et a

pour limite ( ).

Preuve: Voir le chapitre Fonctions continues.

On dduit de ce thorme que si une suite vrifiant la relation de rcurrence

est convergente et a pour limite et si est continue en , on a alors :

.

.

Dfinition.

Un tel point est dit point fixe de .

Si la fonction continue n'a pas de point fixe alors une suite, qui vrifie la relation

, ne peut avoir de limite ; en revanche si a un point fixe cela n'entrane pas

que la suite admette ce point comme limite (si a plusieurs points fixes, ne peutavoir comme limite que l'un d'eux).

En ce qui concerne le graphe de la fonction , un point fixe, de coordonnes , est pointd'intersection du graphe et de la premire bissectrice.

On suppose que est une application monotone de Idans I.

Proposition.

Si la fonction est croissante sur I, alors la suite est monotone.

Preuve: Effectuer la diffrence de deux termes conscutifs (Preuve).De telles suites s'tudient facilement par application du thorme des suites monotones.

Proposition.

Si la fonction est dcroissante sur I, alors la suite n'est pas monotone, les suites

(u2n) et(u2n+1) sont monotones et de sens de variation contraires.

Preuve: Considrer la fonction (Preuve).L'hypothse se traduit par le fait que (C) sesitue "au-dessus" (resp "au-dessous") de la premire bissectrice (Exemples illustrs).


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Proposition.

Si alors la suite est donccroissante (resp dcroissante).

Preuve:

Pour tout n N on a :

,

la suite est donc croissante (resp dcroissante).

Proposition.

Si et si la fonction a un point fixe alors la suite

est convergente et a pour limite .

Remarque:Outre la preuve de la convergence de la suite on value la rapiditde cette convergence qu'onpeut comparer celle d'une suite gomtrique de raison k.Preuve: C'est une application de l'ingalit des accroissements finis (Preuve).Pour chacune des suites tudies on commence par une tude graphique qui ne constitue enrien une dmonstration mais permet de visualiser le comportement de un lorsque n varie et

aussi de prvoir le rsultat : convergence ou divergence.a.

La fonction est la fonction ; pour que la suite soit dfinie il faut ( et il suffit)

que l'on ait .Etude graphiqueEtude graphique


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Le graphe et la premire bissectrice se coupent au point d'abscisse .

Pour on constate un phnomne d'"escalier montant" : la suite

est croissante, elle est convergente et a pour limite .

Pour la suite est stationnaire : .


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Pour on constate un phnomne d'"escalier descendant" : est

dcroissante, elle est convergente et a pour limite .

Etude thoriqueEtude thorique

L'intervalle I= [-1, + [ est stable par et est continue et croissante surI. Si la

suite est monotone et si elle est convergente sa limite ne peut tre que l'unique point fixe

de la fonction , soit .

Par ailleurs les intervalles et sont stables par , la condition

entrane donc, par une rcurrence immdiate, pour tout entiern, ; de mme la

condition implique, pour tout entiern, .

En crivant , on remarque que l'on a :

Donc si la suite est croissante, comme elle est majore par elle est

convergente, sa limite est .

Si la suite est dcroissante, comme elle est minore par elle est

convergente, sa limite est .


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Autre mthode : la fonction vrifie

.

En appliquant la mthode du 7.4. on a

.D'o la conclusion.On remarque, que cette mthode ne met pas en vidence la monotonie de la suite, mais enrevanche montre la rapidit de la convergence . La suite converge au moins aussi vite qu'unesuite gomtrique de raison 1/2.Le trs grand intret ducritre de Cauchy provient du fait qu'il caractrise dans R lessuitesconvergentes, sans que la limite apparaisse. D'o son utilisation dans l'tude des sries par

exemple, ou encore pour montrer qu'une suite n'est pas convergente.Le concept de suite de Cauchycorrespond la proprit que la distance entre deux termes dela suite devient arbitrairement petite (et non de plus en plus petite) quand ces termes sont derang assez grand.Dfinition.

Soit une suite relle; on dit que est une suite de Cauchy ou vrifie le critre de

Cauchy si :

quel que soit >0, il existe un entier N tel que les ingalits p N et n N entranent

.

Soit encore

.

On doit insister, dans cette dfinition, sur le fait que la condition doit treralise, pourtout couple (n,p) o n etp sont suprieurs N; en particulier la condition

n'entraine pas que la suite est une suite de Cauchy, comme on

le verra dans l'exemple b plus loin.Une suite qui n'est pas de Cauchy est caractrise par :

.emples)


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On conoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une consquence de

l'ingalit triangulaire : si sont petits il en est de mme pour. En revanche, si l'on considre la suite Udfinie par :

,

il s'agit d'une suite de rationnels qui converge dans R, donc est de Cauchy, orsa limiten'appartient pas Q : la convergence d'une suite de Cauchy est lie une proprit spcifiquede R.

Thorme. (Critre de Cauchy).

Une suite de rels est convergente dans Rsi, et seulement si, c'est une suite de Cauchy.

Preuve: La preuve de la condition suffisante repose sur la proprit de la borne suprieuredans R et la construction de 2 suites adjacentes (Preuve).RemarqueOn traduit ce thorme en disant que R est un corps completce qui signifie que toute suite deCauchy d'lments de R est convergente dans R; R est le complt de Qc'est dire le pluspetit corps complet contenant Q. Signalons aussi que, tandis qu'une mthode de constructionde R vise donner tout ensemble major une borne suprieure, une autre a pour but derendre toute suite de Cauchy convergente. C'est une mthode trs gnrale dite de

compltion.

Le critre de Cauchy est utilis pour montrer qu'une suite est convergente (respdivergente) dans les cas o l'on peut obtenir facilement une majoration (resp minoration) de

pourn etp assez grands. C'est le cas en particulier pour certaines sries.a. Etude de la srie harmonique (Exemple).

b. Soit la suite dfinie par :

On remarque que l'on est l devant une relation qui lie un+1, un et n (Exemple).Une suite convergente est borne, la rciproque est fausse mais le thorme de Bolzano-Weirstrass exprime qu'une suite borne admet une suite extraite convergente.Le thorme de Bolzano- Weierstrass est un "grand" thorme non seulement parce que son

rle est fondamental dans l'tude globale des fonctions mais parce que, pour une suite


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relle, la proprit est borne tant quivalente prend ses valeurs dans unintervalle ferm born de R, le thorme de Bolzano- Weierstrass caractrise une proprit desintervalles ferms borns de R la compacit.

Thorme.De toute suite relle borne on peut extraire une sous-suite convergente .

Preuve: On construit la suite extraite par dichotomie c'est dire en coupant successivement en2, les intervalles contenant une infinit de termesde la suite (Preuve).

Remarque: Autre preuve se basant sur les suites adjacentes (Remarque).

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SuitesNumérique et fonctions