Sujet de Physique I PC 2010 - concours-centrale-supelec.fr · xylophone, le marimba ou le glockenspiel. Ils sont formés de lames parallélépi-pédiques de bois ou de métal. Chacune

PHYSIQUE I

Concours Centrale-Supélec 2010 1/16

PHYSIQUE I Filière PC

Calculatrices autorisées.

Vibrations musicales

Ce problème aborde les vibrations mécaniques sources de l’émission sonore decertains instruments de musique. La première partie concerne essentiellementles claviers à percussion alors que la seconde, largement indépendante de la pré-cédente, présente une étude du fonctionnement des instruments à anche libre.Dans tout le problème, on néglige l’influence des forces de pesanteur.

Les vecteurs sont notés en caractères gras.

Valeurs numériques et notations

Masse volumique de l’air

Vitesse du son dans l’air

Viscosité dynamique de l’air

Masse volumique de l’eau

Viscosité dynamique de l’eau

Masse volumique de l’acier

Module d’Young de l’acier

Masse volumique du bronze

Module d’Young du bronze

Masse volumique du bois de palissandre

Module d’Young du bois de palissandre

ρa 1 29 kg m3–

⋅,=

c 345 m s1–

⋅=

η 1 85 105– Pa s⋅⋅,=

ρe 1 00 103

⋅ kg m3–

⋅,=

ηe 1 0 103– Pa s⋅⋅,=

ρ 7 80 103 kg m

3–⋅⋅,=

E 19 5 1010

Pa⋅,=

ρ 8 7 103 kg m

3–⋅⋅,=

E 1 1 1011

Pa⋅,=

ρ 740 kg m3–

⋅=

E 1 2 1010

Pa⋅,=


Filière PC


Partie I - Claviers à percussion

Nous étudions dans cette partie certains instruments à percussion tels que lexylophone, le marimba ou le glockenspiel. Ils sont formés de lames parallélépi-pédiques de bois ou de métal. Chacune d’elles produit, lorsqu’on la frappe avecune baguette, un son de hauteur déterminée.

I.A - Vibrations longitudinales d’une lame parallélépipédique

On envisage pour l’instantles vibrations longitudinalesd’une lame de longueur (figure 1). La matière situéeau repos dans le plan d’abs-cisse se met en mouve-ment suite à une excitation.Elle occupe à l’instant leplan d’abscisse etest soumise, de la part de lamatière située à sa droite, à une force . On note la masse volu-mique et le module d’Young du matériau dont on rappelle la définition : pourporter de à la longueur d’une tige de section , il faut exercer sur sesextrémités une force égale à .I.A.1)a) Exprimer en fonction d’une dérivée partielle de .b) Montrer que obéit à l’équation de d’Alembert et exprimer la célérité des ondes longitudinales.I.A.2) Rechercher des solutions sinusoïdales de la forme enexplicitant les fonctions et . On introduira une pulsation temporelle et unepulsation spatiale .I.A.3) Les deux extrémités de la lame n’étant soumises à aucune force, mon-trer que seules certaines valeurs particulières, indexées par un entier , sontaccessibles à . Exprimer les fréquences propres de la lame.I.A.4) Une lame de glockenspiel en acier de longueur émet unson de fréquence égale à .

Figure 1 -

L

h b

xz

y

x x dx+

Vibrations longitudinales d’une lameparallélépipédique

L

x

tx ξ x t,( )+

F F x t,( )ux= ρEl0 l0 δl+ S

ESδl l0⁄

F x t,( ) ξ x t,( )

ξ x t,( ) cl

ξ x t,( ) f x( ) g t( )=f g ω

k

nk f n

L 24 3 cm,=785 Hz



Montrer qu’il ne peut pas résulter de l’excitation d’une onde longitudinale.

I.B - Vibrations transversales

Dans les questions qui suivent on analyse les petits mouvements transversauxde la lame (partie gauche de la figure 2). Les points situés au repos dans le planmédian de la lame, à l’abscisse et à l’ordonnée , se trouvent à l’instant du mouvement à l’ordonnée . Dans le plan , ils sont alors représen-tés par une courbe formant avec l’horizontale un angle local

et de courbure . On rappelle que ,

désignant le rayon de courbure et la longueur infinitésimale d’un élémentde courbe.

Pour établir l’équation du mouvement, on adopte une double décomposition enéléments infinitésimaux (partie droite de la figure 2). D’une part, on analyse lemouvement et les déformations d’une portion de lame occupant les abscisses

et dont les faces forment entre elles l’angle . D’autre part, cet élé-ment peut être considéré comme un assemblage de couches d’ordonnées

et d’épaisseur , avec .I.B.1) En flexion, certaines couches se trouvent étirées et d’autres compri-mées. On admet que la couche repérée par conserve au cours du mouve-ment une longueur inchangée alors que les autres voient leur longueurpasser de au repos à . Exprimer

en fonction de et .

I.B.2)a) Quelle est l’aire de la section transversale de la couche d’épaisseur ?En déduire la force que cette couche étirée subit puis celle qu’elle exerceréciproquement sur la matière située à sa gauche.

x y 0= ty x t,( ) Oxy( )

α x t,( ) ∂y∂x------ 1«≅ C x t,( )

∂2 y

∂x2---------≅ C 1

R----

dαdL--------= =

R dL

Figure 2 - Mouvements transversaux d’une lame

du

dα

dL′

dL dx=

uT x( )

dF

A

xx dx+

y x t,( )

x

Erreur PostScript (rangecheck, r

Figure 2 - Mouvements transversaux d’une lame

′

x x dx+,[ ] dα

y x t,( ) u+ du u b 2 b 2⁄,⁄–[ ]∈

u 0=dx

dx dL′ dx≠

dL′ dx–dx

---------------------- u C

dS dudF dF′



b) Vérifier la nullité de la résultante de ces forces sur la section entière de lalame.c) Calculer le moment par rapport à l’axe des forces exercées parle tronçon de longueur sur la matière située à sa gauche. désigne le pointd’abscisse tel que .I.B.3) Au travers d’une section de la lame s’exercent aussi des effortstransversaux : la partie de lame occupant les abscisses supérieures à exercesur celle se trouvant à sa gauche des efforts de résultante . Enadmettant la relation

,

en déduire l’équation des mouvements transversaux sous la forme :

.

I.B.4) On envisage maintenant des solutions telles que. Préciser l’équation différentielle dont est solution.

I.B.5) La fonction s’exprime à l’aide de quatre constantes , , et sous la forme . Donner, en la jus-tifiant, la relation entre et .I.B.6) Dans cette question, les deux extrémités de la barre, d’abscisses et , sont liées à des supports fixes par des charnières assurant des liaisonsde type pivot parfait d’axes parallèles à . En déduire en fonction d’un entier

les valeurs permises pour puis les fréquences propres .I.B.7) Pour vibrer correctement, les lames des instruments de percussionreposent sans fixation rigide sur un support. Leurs extrémités ne sont donc sou-mises à aucune contrainte assujettissant leur position. Exprimer ces conditionsen faisant intervenir deux des quatre grandeurs , , et introduites plushaut. En déduire quatre équations portant sur , , et . Leur résolution,non demandée, conduit aux fréquences propres

avec .

I.B.8) Expérimentalement on a mesuré , , pour une lame de glockenspiel. Commenter ces valeurs. Calculer

numériquement pour une lame d’épaisseur et de longueur correspondant à la note la plus grave de l’instrument.

I.B.9) Les lames d’un marimba basse sont constituées de bois palissandred’épaisseur . Quelle valeur faut-il donner à pour atteindre

?

M x( ) A uz,( )dx A

x u 0=

xT T x t,( )uy≅

∂M∂x--------- T– x t,( )≅

∂2 y

∂t2---------

cl2b2

12-----------

∂4 y

∂x4---------+ 0=

y x t,( ) f x( ) ωt ϕ+( )cos= f x( )

f A B C Df x( ) A kx( )cos B kx( )sin C ch kx( ) D sh kx( )+ + +=

ω k

x 0=x L=

uzn kn k f n

T M y αA B C D

f nπb

16 3L2--------------------clun

2= u1 3 01 u2, 5 00 un 2n 1+≅,= =

f 2 f 1⁄ 2 71,= f 3 f 1⁄ 5 15,=f 4 f 1⁄ 8 43,=

f 1 b 9 15 mm,=L 24 3 cm,=

b 2 31 cm,= Lf 1 65 Hz=



I.B.10) Pour accorder un marimba, on entaille la partie inférieure de la lamede manière à lui donner la forme d’une voûte (figure 3). Qualitativement, cela a-t-il pour effet d’augmenter ou de diminuer la valeur de nécessaire pour obte-nir une fréquence donnée ? Le facteur de l’instrument ajuste aussi cette voûtede manière à obtenir , ce qui produit un son plus harmonieux. Pourquoice second point est-il inutile sur un glockenspiel ?

I.C - Accord des résonateursPour améliorer le rayonnement du son par lemarimba, on place sous chaque lame un tuberésonateur (figure 3). Ce cylindrique creux dediamètre , d’axe , présente une extrémitéouverte au voisinage de la lame (en ) alorsque l’autre, en , est rigidement fermée.On note en représentation complexe

la pression de l’onde acousti-que produite en par la vibration de lalame.I.C.1) On recherche la pression acoustiquedans le tuyau sous la forme

. a) Rappeler sans démonstration la relation dedispersion des ondes acoustiques dans l’air.b) Écrire, dans le cadre de l’approximationacoustique, l’équation d’Euler reliant le champdes vitesses au gradient de pression.c) En déduire l’expression de la vitesse acousti-que en fonction des données de l’énoncé.I.C.2) Exprimer les constantes et enfonction des données du problème.I.C.3) Quelle est la plus petite valeur de correspondant à une résonancedu tuyau pour une fréquence donnée ? Faire l’application numérique pour

. Y-a-t-il résonance de l’harmonique de rang accordée sur ?

I.C.4) Sur les marimbas de concert, la valeur de peut être modifiée endéplaçant un bouchon rigide à l’intérieur du tube résonateur. Quel est l’intérêtd’un tel dispositif ?

L

f 2 f 1⁄ 4≅

L

H

y 0=

tube

rés

onat

eur

y H–=

y

D

Figure 3 - Lame de marimba présentant une voûte etmunie d’un tube résonateur

D Oy( )y 0=

y H–=

p y 0 t,=( ) p0e jωt=

y 0=

p y t,( ) Ae j ωt ky–( ) B j ωt ky+( )+=

v y t,( )

A B

Hf

f f 1 65 Hz= = 2f 2 4 f 1≅

H



I.D - Vibration d’une cymbaleLes cymbales sont des plateaux circulaires en métal que l’on frappe pour obtenirun son. Contrairement aux lames de clavier étudiées dans les questions précé-dentes, elles ne produisent pas un son de hauteur bien définie. Bien qu’une cym-bale possède une forme incurvée, nous les assimilerons à de fines plaques planescirculaires de rayon et d’épaisseur contenues au repos dans le plan .Dans ce cadre, les vibrations transversales consécutives à l’excitation de la sur-face par un choc obéissent à une équation voisine de celle de la question I.B.3

avec .

I.D.1) On envisage la propagation d’une onde plane progressive du type.

R b Oxz( )

∂2 y

∂t2---------

cl2b2

12 1 σ2

–( )--------------------------

∂4 y

∂x4---------

∂4 y

∂z4--------- 2

∂4 y

∂x2∂z2

------------------+ +⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ 0= σ 0 34,=

y x z t, ,( ) y0 i ωt k– xux zuz+( )⋅[ ]{ }exp=

(cm)2 6 8 12 16 18 20141040

6

0

2

4

8

10

12

14

(cm

)

λ1

2 6 8 12 16 18 2014104(cm)

0

6

0

2

4

8

10

12

14

(cm

)

λ2

02

68

1216

1820

1410

4(c

m)

6 0248101214 (cm)

Figure 4a

Figure 4b

Fig

ure

4c

t 30μs t, 60μs t, 120μs= = =

Figure 4a - 4b - 4c - État vibratoire d’une cymbale à trois instants suivant une excitation ponctuelle :



Établir la relation entre et . En déduire l’expression de la fréquence en fonction de la longueur d’onde . I.D.2) Exprimer la vitesse de phase en fonction de la longueur d’onde .La propagation est-elle dispersive ?I.D.3) La figure 4 représente l’état vibratoire d’une cymbale de bronze àdivers instants suivant une excitation ponctuelle. L’observation confirme-t-ellela réponse de la question précédente ? Expliquer.I.D.4) On a signalé sur la figure 4 des déformations de longueurs d’onde res-pectives et . En exploitant les images, déterminer et . Comparer quantitativement ces deux valeurs et confronter le résultatà la prédiction théorique de la question I.D.2. Sachant que la cymbale est enbronze, déterminer son épaisseur .

Partie II - Vibration d’une anche libre

Dans cette partie on aborde le principe de fonctionnement de certains instru-ments à vent mettant en jeu la vibration d’une fine languette solide appeléeanche. On se limite aux instruments à anche libre dans lesquels cette lamelleest rivetée sur un châssis plan par l’une de ses extrémités (figure 5). Une ouver-ture ou rigole est pratiquée en regard de l’anche dans le châssis, ce qui permetle passage d’un flux d’air dans le sens indiqué par les flèches sur la figure. Aurepos, l’anche est courbée vers l’amont mais l’écoulement de l’air la déplace versl’aval, ce qui tend à obturer l’ouverture et modifie en retour l’écoulement. De cecouplage naît une oscillation à l’origine du son. Pour que l’anche puisse vibrer transversalement sans heurter le châssis, on luidonne une largeur légèrement inférieure à celle de la rigole, égale à .L’obturation n’est ainsi jamais totale : deux interstices de largeur variable per-mettent à tout instant le passage de l’air autour de la languette. Ce principe,récemment modélisé par une équipe de chercheurs de l’IRCAM, est notammentmis en œuvre dans les harmoniums, harmonicas et accordéons. Nous nous limi-tons dans la suite à ce dernier instrument. L’air emmagasiné dans le soufflet,loin en amont de l’écoulement, est maintenu à une pression supérieure d’envi-ron à celle du milieu ambiant vers lequel il s’écoule au travers de la rigole.On observe qu’en contrôlant la vitesse d’écoulement de l’air autour de l’anche,on modifie l’intensité du son émis mais pas sa fréquence.

II.A - Ordres de grandeur et analyse qualitativeII.A.1) Une anche d’acier d’épaisseur , de longueur et de largeur produit dans l’instrument un son de fréquence

. Pour interpréter en ordre de grandeur cette valeur, on reprend l’étude

ω k k= fλ

vϕ λ

λ1 6 mm= λ2 12 mm= vϕ λ1( )vϕ λ2( )

b

h h 2a+

100 Pa

b 0 26 mm,= L 31 63 mm,=h 3 40 mm,=

304 Hz



des vibrations transverses menée dans la Partie I. Contrairement à la lame deglockenspiel, l’anche d’accordéon n’est libre de ses mouvements qu’à une extré-mité. De l’autre côté, le rivet la maintient fixée tangentiellement au châssis.

Dans ces conditions, on obtient les fréquences propres

avec

, , pour .

Calculer numériquement et pour l’anche considérée. Sur quel mode l’anche semble-t-elle vibrer ?II.A.2) L’air, comprimé et presque immobile dans le soufflet, retrouve la pres-sion atmosphérique au voisinage de la rigole. En adoptant le modèle du fluideparfait incompressible et en supposant l’écoulement stationnaire, en déduirel’ordre de grandeur de sa vitesse lorsqu’il passe près de l’anche.II.A.3) Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement autour de l’anchede largeur . Sa valeur laisse-t-elle présager un régime laminaire ou turbulenten aval de la rigole ?II.A.4) L’écoulement d’un fluide autour d’un obstacle fait apparaître un sillagedont la forme dépend du nombre de Reynolds. Sous certaines conditions, onobserve un sillage instationnaire avec émission périodique de tourbillons quipeuvent entrer en résonance avec les modes de vibrations du solide. Ce phéno-mène est notamment à l’origine du sifflement des fils téléphoniques dans levent.

uz

uy

ux

h

h+2a

rivet de fixation

interstices

anche

châssis

air en provenance du so

ufflet

vers le milie

u ambiant

rigole

Figure 5 - Dispositif de l’anche libre

ux

uy

uz

f 'n

πb

16 3L2--------------------

Eρ----u′n

2=

u′1 1 194,= u′2 2 989,= u′n 2n 1+( )≅ n 3≥

f ′1 f ′2

Reh



On propose d’étudier l’influence de ce sillage sur l’oscillation de l’anche d’accor-déon.a) Rappeler l’équation d’Euler pour la dynamique des écoulements parfaits.Identifier un terme convectif et un autre , de même dimension que ,traduisant le caractère instationnaire de l’écoulement.b) On note un ordre de grandeur de la vitesse du fluide, une échelle de lon-gueur typique de ses variations spatiales et la fréquence de ses variationspériodiques. On définit le nombre de Strouhal par

.

Exprimer en fonction de , et .c) Depuis les travaux de T. Von Karman, on sait que l’émission périodique detourbillons s’effectue sur toute une plage de valeurs de , le nombre de Strou-hal gardant une valeur numérique inchangée . Expliquer pourquoi ce phé-nomène ne peut pas être à l’origine du mécanisme d’excitation de la lame.II.A.5) Pour une étude expérimentale, l’écoulement d’air est remplacé par unécoulement d’eau plus facile à visualiser. Quelle doit-être en ordre de grandeurla vitesse d’écoulement dans la rigole pour obtenir le même régime, laminaireou turbulent, que dans l’air ?II.A.6) Proposer et décrire sommairement une technique expérimentale devisualisation de l’écoulement d’eau. L’expérience confirme les déductions des questions II.A.1 et II.A.4 sur le moded’oscillation de l’anche et le rôle des tourbillons périodiques. Elle met de plus enévidence le caractère bidimensionnel de l’écoulement, les particules fluides sedéplaçant dans des plans perpendiculaires à la grande longueur del’anche. En amont du châssis, l’eau s’écoule de manière laminaire vers les deuxinterstices. Dans la rigole, on observe deux jets rectilignes issus de ces fentes,longeant les parois verticales et séparés par une zone d’eau morte. À l’arrière,l’eau revient au repos au travers de turbulences.

II.B - Écoulement stationnaireGuidé par l’étude expérimentale dans l’eau, on développe un modèle cinémati-que pour l’écoulement de l’air autour de l’anche (figure 6). Pour simplifier, onconsidère uniquement l’un des deux interstices qui la séparent du châssis. On lesuppose inclus dans le plan d’équation et on note sa largeur. La vitessedans le jet, supposée uniforme, vaut et dépend de la différence de pression

entre l’air fourni loin en amont par le soufflet et la pressionambiante . On place l’origine des coordonnées sur le bord gauche del’interstice. Grâce au caractère bidimensionnel de l’écoulement, on fait abstrac-

T1 T2 T1

U df

Srordre de grandeur de T2

ordre de grandeur T1-----------------------------------------------------------=

Sr U f d

ReSr0

x Cste=

y 0= eVuy–

ΔP P0 Pa–=Pa O



tion de l’abscisse et on repère tout point de l’espace par ses coordonnées.

II.B.1) Questionpréliminaire : poten-tiel des vitesses d’unécoulement simple.Dans cette question,on s’écarte momen-tanément de l’écou-lement dans la rigoleet l’on considère unréservoir de fluideinvariant par trans-lation orthogonale-ment au plan de lafigure 7, ayant poursection un demi-cer-cle de diamètre . Autravers de sa surfacecourbée, supposéeperméable, il émetvers un demi-espace un fluide incompressible qui s’écoule avec un champ devitesse du type en coordonnées cylindriques. On note le débitvolumique émis par une longueur de cette source mesurée perpendiculaire-ment au plan de la figure. Préciser l’expression de et en déduire en fonctionde un potentiel de vitesse , tel que décrivant l’écoule-ment. On fixera l’origine des potentiels pour une valeur unitaire de .II.B.2) Chaque élément infinitésimal del’interstice de la figure 6, de coordonnées etde largeur , se comporte du côté comme lasource de la question précédente à deux nuancesprès : d’une part il absorbe un débit linéique infi-nitésimal , d’autre part son diamètre estréputé nul. En déduire le potentiel en unpoint du demi-espace amont .II.B.3) Le liquide entrant dans l’élément de lar-geur de l’interstice est évacué dans le jet vers les . En déduire l’expres-sion de .II.B.4) Exprimer le potentiel pour sous la forme d’une intégralesur . Le calculer explicitement pour et .

x My z,( )

anche

Pa

e

P1

du

y

z

M (y, z)

jet devitesse −V uy

O

châssis

Figure 6 - Modèle cinématique de l’écoulement d’air

P0

ε

v v r( )ur= l D×l

v r( )D φ1 r( ) v grad φ1( )=

r

εFigure 7 - Source de fluideinvariante par translation

0 u,( )du y 0>

dD εdφ y z,( )

M y z,( ) y 0>( )

du y 0<dD

φ y z,( ) y 0>u y 0+= z e>



II.B.5) Calculer la vitesse aux points , situés au contact de l’anche( ).II.B.6) Pour et , la pression vaut . À l’aide d’une relation deBernoulli, exprimer le champ de pression sur la face supérieure de l’anche, en

.II.B.7) La pression dans la zone de fluide mort au-dessous de l’anche vaut .Soit la force exercée par l’air sur la lame. Écrire cette force sous laforme :

où est une grandeur sans dimension dépendant de et de dont on donneral’expression intégrale.De quelle façon varie quand augmente ?II.B.8) Déterminer à l’ordre le plus bas l’expression du potentiel , pour

II.C - Écoulement en régime variableOn note dans la suite le débit et le débit linéique traversant larigole. On envisage, en vue de l’étude du mouvement de l’anche libre, des situa-tions où l’ouverture dépend du temps. Il en résulte des variations temporellesde , et . L’expression du potentiel des vitessestrouvé dans la partie II.A s’applique encore.On admet le résultat suivant :

.

II.C.1) On traite l’air comme un fluide parfait incompressible et on négligel’influence de la pesanteur. Montrer que :

est une grandeur uniforme dans l’écoulement.

II.C.2) Soit le point de coordonnées situé au milieu de l’interstice.On admet que . En déduire l’expression de .II.C.3) Soit la pression en un point situé loin en amont, tel que

. Que peut-on dire de la vitesse en ? On pourra utiliser lerésultat de la question II.B.8.En déduire l’équation différentielle gouvernant l’évolution du débit dansl’interstice :

M 0+ z,( )z e>

y 0= 0 z e< < PaP

y 0+=

PaFa Fauy=

Fa12---ρaLhV 2 1 A1–( )–=

A1 e h

Fa eφ r( )

r y2 z2+ e»=

Q VeL= q Ve=

eV V t( )= q q t( )= φ φ y z t, ,( )=

∂φ 0 z t, ,( )∂t

-------------------------q′ t( )

π------------

Ve′ t( )π

---------------- 1 z e–ln+[ ]–V′π------ z e–( ) z e– z zln–ln[ ]+=

C t( ) ∂φ∂t------

v2

2-----

Pρ----+ +=

A 0 e 2⁄,( )P A( ) Pa= C t( )

P0 Br0 x2 y2

+ e»= B

q

q′ t( )1

K0 t( )--------------

P0 Pa–

ρa-------------------

12---V

2t( )– V t( )e′ t( )

π------------------------+=



où dépend de et . Dans la suite et sont supposés fixés etnumériquement connus.II.C.4) On admet l’expression de la force exercée par l’air enrégime instationnaire :

où , , sont des grandeurs sans dimension dépendant de et de .Expliquer en quelques lignes l’origine des deux nouveaux termes par rapport àl’expression de la question II.B.7.

II.D - Paramètres du modèle à un degré de libertéL’anche, de longueur , de largeur et d’épaisseur , oscille selon un modetransversal de vibration défini par ; ses différents points pré-sentent des amplitudes de vibration distinctes. Pour étudier simplement le mou-vement, on néglige cet aspect au travers d’un modèle simplifié à un seul degréde liberté (figure 8).

Les hypothèses en sont les suivantes :• Le mouvement de l’anche réelle est modélisé par la translation selon

d’une anche effective plane de mêmes longueur et largeur . Son déplace-ment s’identifie à celui de l’extrémité de l’anche réelle ; son ordonnée estdonc définie par . On note sa masse effective, dif-férente de celle de l’anche réelle.

• L’élasticité de l’anche réelle équivaut à une force de rappel exercée par unressort vertical de raideur agissant sur l’anche effective.

• Les phénomènes dissipatifs se traduisent par une force de frottement vis-queux .

• Au repos, l’anche effective se trouve à l’ordonnée traduisant la cour-bure vers l’amont de l’anche réelle en l’absence d’écoulement.

K0 t( ) r0 e t( ) r0 P0

Fa Fauy=

Fa t( )12---ρaLhV 2 1 A1– t( )( )– ρaLh2 A2 t( )V′ t( ) ρaLh A3 t( )q′ t( )–+=

A1 A2 A3 e t( ) h

L h by x t,( ) f x( ) g t( )=

uy

uxy L t,( ) Y t( )

L

c K

anche effective

Figure 8 - Anche réelle (partie gauche) et modèle à un seul degré de liberté (partie droite)

uyL h

Y t( )Y t( ) y L t,( ) f L( ) g t( )= = M

K

Fd cY′ t( )uy–=

Y0 0>



Le but de cette partie est d’obtenir les valeurs numériques des grandeurs , et intervenant dans le modèle.II.D.1) Exprimer sous forme intégrale, en faisant intervenir le champ devitesse , l’énergie cinétique de la lame réelle en vibration.

II.D.2) Pour simplifier les calculs littéraux, on évalue l’amplitude , dontl’expression exacte a été abordée dans les questions I.B.5 et II.A.1 par le poly-nôme

.

En déduire l’expression de en fonction de , et de la masse del’anche réelle. On donne :

.

II.D.3) La masse de l’anche effective est définie par . Endéduire l’expression de et la calculer numériquement pour une anche d’acierde dimension , , .

M Kc

∂y x t,( ) ∂t⁄ Ec

Fig

ure

9 -

Dép

lace

men

t m

esu

ré p

our

l’ext

rém

ité

de

l’an

che

Fig

ure

9 -

Dép

lace

men

t m

esu

ré p

our

l’ext

rém

ité

de

l’an

che

f x( )

f x( )13--- f L( ) 6x2

L2---------

4x3

L3---------

x4

L4------+–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

≅

Ec f L( ) g′ t( ) m

6u24u3

– u4+( )

2ud

0

1

∫ 104 45⁄=

M Ec12--- MY′ t( )

2=

ML 31 63 mm,= h 3 40 mm,= b 0 26 mm,=



II.D.4) Dans l’air au repos, on ne considère pas les forces de pression. Écrirel’équation du mouvement de l’anche effective en .II.D.5) L’anche réelle est écartée de sa position d’équilibre puis abandonnéesans vitesse initiale. Un capteur permet de suivre l’évolution de . Lerésultat est représenté sur la figure 9 avec deux échelles de temps distinctes. Endéduire les valeurs numériques de et .

II.E - Mouvement de l’anche effective dans l’écoulementLe mouvement de l’anche effective sous l’effet de l’écoulement est étudié avec leshypothèses suivantes (figure 10).• Son déplacement demeure suffisamment faible pour appliquer les résul-

tats des parties II.B et II.C.• On assimile à cha-

que instant la lar-geur variable intervenant dansII.B à la plus petitedistance de la lameau châssis.

• On note la valeur minimalede correspondantà l’excès de largeurde la rigole par rap-port à l’anche.

II.E.1) Exprimer en distinguant deux situations selon le signe de .II.E.2) Écrire l’équation du mouvement de l’anche.II.E.3) Dans cette question, il s’agit de prouver que le modèle permet effecti-vement de déterminer l’évolution du système couplé de l’anche et du fluide.On le réduit aux trois inconnues , et . Leurs valeurs numériques

, et à un instant particulier du mouvement sontsupposées connues. Montrer précisément qu’on peut obtenir les valeurs de leursdérivées premières au même instant, i.e , et .II.E.4) D’après la question précédente, la résolution du problème se ramène àcelle d’un système différentiel du type où est un vecteur àtrois composantes. Expliquer en quelques lignes quel type d’approche vous uti-liseriez pour le résoudre avec un logiciel mathématique.

Y t( )

y L t,( )

K c

Y t( )

ck

zaO

y

Y t( )

Mouvement de l’anche effective

Châssis

Figure 10 -

e t( )

a 0 2 mm,=

e

e t( ) Y

Y t( ) Y′ t( ) Q t( )Y t0( ) Y′ t0( ) Q t0( )

Y′ t0( ) Y′′ t0( ) Q′ t0( )

HHHH ′′′′ t( ) F HHHH( )= HHHH



II.F - Commentaire des résultatsLe modèle théorique développé ici montre que l’anche, initialement au repos, semet progressivement en mouvement sous l’effet de l’écoulement d’air. En régimepermanent, toutes les variables présentent un comportement périodique. Lafigure 11 permet de confronter les prédictions du modèle théorique (courbes degauche) et des résultats expérimentaux (courbes de droite) pour une anche pro-duisant dans l’instrument des sons de fréquence égale à , caractérisée par

, , , et. Les grandeurs représentées sont :

• le déplacement de l’anche ;• la pression aérodynamique dans l’écoulement au voisinage de l’anche,

déduite de ;• le débit dans l’orifice ;• la pression acoustique correspondant au son produit à quelques déci-

mètres. Sa détermination ne sera pas abordée ici.Par translation suivant l’axe des abscisses, on a supprimé le décalage de associé au temps de propagation de l’onde acoustique.II.F.1) Commenter la valeur de la fréquence des signaux.II.F.2) Mettre en relation les variations du débit, de la pression aérodynami-que et de la pression acoustique avec la « fermeture » et « l’ouverture » de larigole par l’anche.II.F.3) Comparer les résultats expérimentaux à ceux du modèle. En proposerdes améliorations.

795 HzM 1 13 10

5– kg ⋅,= K 285 2 N m 1–⋅,= Y0 0 2 mm,= L 22 9 mm,=

a 0 14 mm,=

Y t( )

PaéroP 0 z,( )

Q t( )

pac t( )

pac



••• FIN •••

0 0,001 0,002 0,003

t(s)

Y(

unité

arb

itrai

re)

0,8 0,801 0,802 0,803

t(s)-2,0×10

-3

-1,0×10-3

0,0

1,0×10-3

2,0×10-3

Y(m)

0 0,001 0,002 0,003

t(s)-50,0

0,0

50,0

P aero

(Pa

)

0,8 0,801 0,802 0,803

t(s)

-10,0

0,0

10,0

20,0

P ac (

Pa)

0 0,001 0,002 0,003

t(s)

Pac

(un

ité a

rbitr

aire

)

0,8 0,801 0,802 0,803

t(s)-50,0

0,0

50,0

100,0

P aero

(Pa

)

Pression aérodynamique près de l’anche Pression aérodynamique mesurée près de l’anche

Pression acoustique Pression acoustique mesurée

Figure 11

Pression aérodynamique près de l’anchePression aérodynamique près de l’anche

Position de l’anche Y (trait plein) et variations du débit Q (pointillés, unités arbitraires)

Documents

Sujet de Physique I PC 2010 - concours-centrale-supelec.fr · xylophone, le marimba ou le glockenspiel. Ils sont formés de lames parallélépi-pédiques de bois ou de métal. Chacune