Sujets des dossiers d’analyse, probabilité

Université Paris–Sud MathématiquesCentre d’Orsay Préparation au CAPES

Sujets des dossiers d’analyse, probabilité ...Archives 2005-2009

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Table des matières33 Techniques de dénombrement 8

PG05-33-4 : Dénombrement de couples de sous-parties complémentaires d’un en-semble fini (05.1, 05.2, 06.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8FIR06-33-6 : Tirages de p jetons parmi n (06.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9JURY06-33-0507 : Dénombrement de chemins à pas nord-est (07.1, 07.2, 09.1) . . . 11JURY07-33-0607 : Probabilité d’atteindre un point en n déplacements à pas nord-est(08.1, 08.2) - 2 pages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

34 équiprobabilité 13PG05-34-5 : Un sondage (05.1, 05.2, 07.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13PG08-34-5-1 : Un sondage (modifié)( 08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14PG05-34-6 : Un barycentre aléatoire (05.1, 06.2, 07.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 15FIR06-34-8 : La fermière et ses oeufs (06.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16JURY07-34-0207 : Tirages de boules de 2 couleurs (08.1) - 2 pages . . . . . . . . . 17JURY08-34-1407 : Un QCM (09.1) - 2 pages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

35 Probabilités conditionnelles (2) 20JURY05-35-0001 : Une randonnée en montagne (05.1, 05.2) . . . . . . . . . . . . . 20PG05-35-7 : Un test pour maladie rare (05.1, 05.2, 06.s, 08.1) . . . . . . . . . . . . . 22PG05-35-8 : Durée de vie d’ampoules (05.o, 06.1, 07.s) . . . . . . . . . . . . . . . . 24PG08-35-8-1 : Durée de vie d’ampoules (modifié) ( 08.2) . . . . . . . . . . . . . . . 26JURY05-35-1907 : Un test de qualité (06.2, 07.1, 07.2, 09.1) . . . . . . . . . . . . . 27JURY05-35-0507 : Un problème d’urne (06.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28JURY06-35-1307 : Promenade aléatoire sur les arêtes d’une pyramide (07.1, 07.2, 08.2) 29

36 Variables aléatoires 30JURY05-36-0507 : Un problème d’urne (06.1, 07.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30PG05-36-10 : Nombre moyen de séries (05.1, 05.2, 07.1) . . . . . . . . . . . . . . . 31PG07-36-22 : Rangement de n objets dans n boîtes (07.o, 08.s) . . . . . . . . . . . . 32JURY07-36-1407 : Somme des numéros inscrits sur des jetons tirés dans une urne(08.1,08.2, 09.1) - 2 pages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33MM09-36-06 : Une histoire de cubes ( 09.o) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

37 Loi binômiale 36PG05-37-12 : Calcul de l’espérance de la loi binomiale (05.2, 06.s, 08.2) . . . . . . . 36PG08-37-12-1 : Calcul de l’espérance de la loi binomiale (modifié) (08.2) . . . . . . 38FIR05-37-14 : Schéma de Bernoulli(05.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

MG06-37-11 : Contrôles dans une compagnie de transports (06.1,08.1,08.2) . . . . . 40MG07-37-1 : Enquête téléphonique (07.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41M09-37-05 : Le semeur de grains (09.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

38 Lois continues 44PG05-38-13 : Un problème de rencontres aléatoires (05.1, 05.2, 06.1, 06.2, 07.2) . . 44PG05-38-13bis : Un problème de rencontres aléatoires (autre version) (07.1) . . . . . 45PG08-38-13-3 : Un problème de rencontres aléatoires (autre version) (08.2) . . . . . 46PG05-38-8 : Durée de vie d’ampoules (05.o, 06.1, 07.s) . . . . . . . . . . . . . . . . 47MG06-38-12 : Durée de vie d’un composant électronique (06.1, 08.1) . . . . . . . . 49JURY08-38-0207 : Duréee de vie d’un téléviseur avant la première panne ( 09.1) - 2pages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

39 Calcul matriciel et probabilités 51PG05-39-14 : L’allumeur de réverbère (05.1, 05.2, 06.2, 07.2, 08.2) . . . . . . . . . 51FIR06-39-7 : Un jeu avec 2 pièces de monnaie trucquées (06.1,08.1, 09.1) . . . . . . 52

40 Séries statistiques à une variable (2) 55FIR05-40-15 : Notes de Math dans un lycée (05.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55FIR05-40-16 : Les gelinottes huppées (05.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57MG06-40-13 : Salaires hommes/femmes (06.1, 06.2, 08.1, 08.2) . . . . . . . . . . . 58JURY06-40-3006 : Visites d’un site WEB (4 pages) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59MG07-40-2 : Visites d’un site WEB (modifié) (07.1, 07.2, 09.1) . . . . . . . . . . . 61MG07-40-3 : Lancés d’un dé cubique (07.1, 07.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62MG07-40-4 : Retraits d’argent dans une banque (07.1, 07.2) . . . . . . . . . . . . . 63MM08-40-1 : Répartition des naissances (08.1, 09.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 64MM08-40-2 : Lancés d’un dé cubique (2ème version) (08.2) . . . . . . . . . . . . . 65

41 Séries statistiques à deux variables 66FIR05-41-17 : Evolution du chiffre d’affaires (05.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66MG07-41-5 : Dépenses et recettes liées au tourisme (07.1, 07.2, 09.1) . . . . . . . . 67JURY05-41-1007 : Production annuelle d’une usine (2 pages) . . . . . . . . . . . . 68MG07-41-7 : Production annuelle d’une usine (autre version de JURY05-1007) () . . 69MG07-41-6 : Nombres de postes au CAPES () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70JURY07-41-1907 :Evolution des dépenses publicitaires (08.1,08.2) - 2 pages . . . . 71

42 Modélisation et simulation d’expériences aléatoires 73FIR05-42-18 : Différentes variétés de grains dans la farine (05.1) . . . . . . . . . . . 73MG07-42-8 : Un jeu avec deux dés à 4 faces () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75MG07-42-9 : Contrôle des naissances () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76MM08-42-3 : Simulation d’un jeu de tirages de boules (08.1,08.2) . . . . . . . . . . 77MM08-42-4 : Simulation de courses entre le lièvre et la tortue (08.o, 09.1) . . . . . . 78

43 Fluctuation d’échantillonnage 79FIR05-43-19 : Le lièvre et la tortue (05.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79MG07-43-10 : Fluctuation des résultats d’un sondage (09.1) . . . . . . . . . . . . . 80MG06-43-14 : Un modèle de sondage (06.1,06.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

44 Suites récurrentes un+1 = f (un) (2) 83JURY05-44-47-0207 : Calcul de racine de 7 par ajustement linéaire (06.1, 06.2) . . . 83DP05-44-12 : Suite homographique (05.0, 06.s, 07.s) . . . . . . . . . . . . . . . . . 84DP05-44-13 : Point fixe du cosinus (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2) . . . . . . . . 85

2

DP05-44-14 : Convergence lente (06.0, 07.1, 07.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86PG05-44-15 : Une suite homographique (05.s, 07.s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87DP08-44-48 : Calcul du nombre d’or (08.1) (08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88DP08-44-52 : Suite logistique, version 2008 (08.1) (08.2) . . . . . . . . . . . . . . 89PG08-44-24 : Une autre suite homographique (08.o) . . . . . . . . . . . . . . . . . 90JURY08-44-3006 : Suites récurrentes (09.1, 09.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

45 Problèmes conduisant à des suites arithmétiques ou géométriques 93CG07-45-17 : Emprunt et tableur en STG (07.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93DP05-45-15 : Citadins et ruraux (05.1, 05.2,09.1, 09.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 95JURY05-45-1107 : Suite arithmético-géométrique (06.1, 06.2) - 2 pages . . . . . . . 96JURY06-45-0107 : Suite arithmético-géométrique (07.1, 07.2) - 2 pages . . . . . . . 97JURY07-45-1507 : Suite récurrente (08.1)(08.2) - 2 pages . . . . . . . . . . . . . . . 98

46 Approximation d’un réel par des suites (dont e, π, ln(a)) (4) 99DP05-46-16 : Méthode de Héron (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2) . . . . . . . . . . 99DP08-46-16-1 : Méthode de Héron (modifié) (08.s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100DP05-46-17 : Approximation de e (Euler) (05.1, 07.1) . . . . . . . . . . . . . . . . 101DP05-46-18 : Calcul de logarithmes via Kepler (05.1, 05.2, 07.1, 07.2) . . . . . . . . 102DP06-46-19 : Calcul de logarithmes via Gregory (06.1, 06.2, 09.o) . . . . . . . . . . 103DP05-46-22 : Constante d’Euler (05.1, 05.2, 06.1, 06.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 104DP06-46-40 : Calcul de π par isopérimètres (06.1, 06.2,08.1, 08.2) . . . . . . . . . . 105JURY05-46-1307 : Calcul de e par Taylor reste intégrale (06.1, 06.2, 07.2, 08.2) . . . 106

PG06-46-17 : Calcul de π par la formule π = 4Z 1

0

dt1+ t2 (06.s) . . . . . . . . . . . . 107

DP08-46-51 : Moyenne arithmético-géométrique (08.1) . . . . . . . . . . . . . . . . 108JURY05-46-0207 : Calcul de racine de 7 (08.1) (08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 109JURY07-46-1807 : Développement décimal et tableur (08.1) (08.2) - 3 pages . . . . 110DP09-46-59 : Développement décimal et tableur (09.1, 09.2) . . . . . . . . . . . . . 111DP09-46-60 : Calcul de π par la méthode d’Archimède (09.1, 09.2) . . . . . . . . . 112

47 Utilisation de suites pour la recherche de solutions approchées d’une équation numé-rique (2) 114

DP05-47-23 : lnx = cosx par dichotomie (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2) . . . . . 114DP07-47-24 : Newton historique (07.1, 07.2,09.1, 09.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 115DP07-47-39 : Echelles (05.0, 06.1, 06.2,081, 08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

48 Sens de variation 119PG05-48-16 : Tangentes communes aux courbes de l’exponentielle et du logarithme(05.1 ,05.2, 06.2, 07.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119FIR06-48-9 : Concavité du logarithme (06.1, 08.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121FIR07-48-2 : Variations d’une aire (07.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122FIR09-48-3-1 : Une courbe catastrophique (avec ln) 09.1) . . . . . . . . . . . . . . . 123

49 Comportement asymptotique 125PG05-49-11 : Asymptotes d’une courbe (05.1,05.2, 07.1, 07.2, 08.2) . . . . . . . . . 125JURY05-49-3006 : Etude et représentation graphique d’une fonction (06.1, 06.2, 08.1) 127DP08-47-49 : Résolution de ln(x) = ex−3 (08.1, 08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 131FIR09-49-22 : Asymptotes obliques d’une courbe( 09.1) . . . . . . . . . . . . . . . 132

3

50 Représentations graphiques 134JURY05-50-3006 : Etude et représentation graphique d’une fonction (07.2) . . . . . 134PG05-50-9 : Une courbe catastrophique (avec exp)(05.1, 05.2, 06.2) . . . . . . . . . 138FIR06-50-3 : Une courbe catastrophique (avec ln)(06.1, 07.1) . . . . . . . . . . . . . 139JURY07-50-1107 : Un quart de cercle et deux demi-droites (08.1, 08.2) - 2 pages . . 140JURY08-50-0407 : Nombre de solutions de l’équation ln(x) = kx2 (09.1) - 2 pages . 141

51 Recherche d’extremums, optimisation 143DP05-51-25 : Triangle d’aire maximale dans un disque (05.0, 06.1, 06.2, 08.1, 08.2) 143DP05-51-26 : Cylindre dans une boule (05.1, 05.2,09.1, 09.2) . . . . . . . . . . . . 144DP06-51-47 : Statue de la liberté (06.1, 06.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145JURY06-51-0407 : Aire d’un trapèze (07.1, 07.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146PG07-51-21 : Le gardien de phare (07.o, 08.s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147PG08-51-26 : Transformation d’un essai en rugby ( 08.o) . . . . . . . . . . . . . . . 148

52 Comportement local d’une fonction 151PG05-52-18 : Comportement local d’une courbe, tangente verticale et point d’in-flexion (05.2, 06.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151FIR05-52-20 : Dérivabilité en 0 d’une fonction (05.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 152JURY06-52-1707 : Nombre de tangentes à une courbe qui passent par un point (07.1,07.2, 08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153FIR06-52-10 : Obtention d’un équivalent pour l’étirement longitudinal d’un élastique(bis)(06.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156FIR06-52-21 : Dérivabilité en 0 de sin(x)

x (JURY07-54-2906 modifié) (08.1, 09.1) . . 157

53 Position relative de deux courbes 158DP05-53-27 : Tangentes et sécantes (00) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158PG05-53-19 : Position de la courbe d’une fonction convexe par rapport à ses tangenteset ses cordes (05.1, 05.2, 06.1,06.2, 07.2, 08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159FIR07-53-4 : Deux courbes tangentes en un point (07.1, 08.1, 09.1) . . . . . . . . . 160

54 Encadrement d’une fonction par des fonctions plus simples 161PG05-54-1 : Un calcul de limite (05.1, 05.2, 07.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161PG05-54-2 : Obtention d’un équivalent pour l’étirement longitudinal d’un élastique(05.o, 06.2, 07.2, 08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162PG06-54-3 : Un truc de banquier pour le calcul d’un capital placé à intérêts composés(06.s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163FIR06-54-13 : Une preuve de e = lim(1+1/n)n (06.1, 08.1) . . . . . . . . . . . . . 164PG07-54-20 : Encadrement de e−x et application au calcul approché d’une intégrale(07.s, 09.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165JURY07-54-2906 : Encadrement de sin(x)−x

x2 () - 2 pages . . . . . . . . . . . . . . . . 166

55 Fonctions de référence et fonctions associées (cf. f +λ, λ f , etc.) 168DP05-55-42 : Tableau de variation (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2) . . . . . . . . 168DP06-55-41 : Deux hyperboles (06.1, 06.2, 08.1, 08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 169

56 Situations issues de la géométrie, de la physique, de l’économie, décrites au moyen defonctions 171

DP05-56-28 : Coût de fabrication (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2) . . . . . . . . . 171DP06-56-43 : Radiothérapie (06.1, 06.2, 08.1, 08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4

57 Calcul d’intégrales par des méthodes variées (primitives) 174DP05-57-29 : Primitive de ex sin(2x) (05.1, 05.2, 08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 174JURY05-57-2606 : Calcul d’une intégrale par un changement de variables déguisé(06.1, 06.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175JURY06-57-1807 : Calcul de primitives (07.1, 07.2, 08.1) . . . . . . . . . . . . . . . 178JURY08-57-1207 : Intégrale et fonction Argsh(x) ( 09.1) . . . . . . . . . . . . . . . 181

58 Calcul approché d’intégrales 182DP05-58-44 : Calcul approché de ln2 (05.1, 05.2, 06.1, 06.2, 07.1, 07.2, 08.2) . . . 182FIR06-58-5 : Calcul approché de

R 10 e−x2

dx (06.1, 07.1, 08.1, 09.1) . . . . . . . . . . 184

59 Encadrement d’intégrales à l’aide d’un encadrement de la fonction à intégrer 185

JURY05-59-0002 : Développement de1

1− tet encadrement d’une intégrale (05.1, 07.s)185

PG05-59-23 : Calcul de ln2 par la méthode de Grégory (05.o,08.s) . . . . . . . . . . 187FIR06-59-11 : Calcul de

R +∞

0 ln(x2 +1)dx/x (06.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189FIR06-59-12 : Encadrement des intégrales

R 10 dx/(1+ xn) et

R 10 nxndx/(1+ xn) (06.o) 190

DP07-59-30 : Encadrement d’intégrales (R 1

0 dx/(1+ xn)) (07.1, 07.2,09.1, 09.2) . . . 191

DP08-59-50 : Encadrement de l’intégrale de e(−t)(1−t) (variante) (08.1) (08.2) . . . . . . 192

60 Utilisation du calcul intégral pour l’étude de suites 193DP07-60-21 : π/4 par la série de l’Arctangente (07.1, 07.2) . . . . . . . . . . . . . . 193DP05-60-22 : Constante d’Euler (05.1, 05.2, 06.1, 06.2, 08.1, 08.2) . . . . . . . . . . 194JURY08-60-1607 : Utilisation du calcul intégral pour l’étude de suites (09.1, 09.2) . 195

61 Calcul d’aires à l’aide du calcul intégral 197DP05-61-31 : Aire du disque (changement de variables) (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1,09.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197DP08-61-53 : Calcul d’aires inspiré de Paris6 (08.1) (08.2) . . . . . . . . . . . . . . 198

62 Calcul de volumes de solides usuels à l’aide du calcul intégral 199DP05-62-32 : Volume du cône (05.1, 05.2, 07.1, 07.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 199DP05-62-33 : Volume du cône, version courte (00) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200DP05-62-45 : Volume d’une section de cube (06.1, 06.2,09.1, 09.2) . . . . . . . . . 201DP08-62-55 : Volume de la boule (08.1) (08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

63 Utilisation du calcul intégral en mécanique, physique, biologie, économie, probabilités 204DP05-63-34 : Moment d’inertie d’un disque (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2) . . . . 204DP05-63-46 : Energie potentielle d’une pile de briques (06.1, 06.2, 08.1, 08.2) . . . 205

64 Problèmes issus de la géométrie, de la physique, de la biologie, de l’économie, des proba-bilités conduisant à une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficientsconstants (2) 207

DP05-64-35 : Alcoolémie (05.1, 05.2, 07.1, 07.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207DP05-64-36 : Equation logistique (05.1, 05.2, 06.1, 06.2, 07.1, 07.2, 09.1, 09.2) . . . 208DP08-64-56 : Equation logistique (population USA) (08.1) (08.2) . . . . . . . . . . 210JURY05-64-1707 : Loi de refroidissement de Newton (08.1) (08.2) . . . . . . . . . 212PG08-64-25 : Concentration en CNPF (08.o, 09.1, 09.2) . . . . . . . . . . . . . . . 213DP09-64-61 : Circuit RLC (09.1, 09.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5

65 Problèmes issus de la géométrie, de la physique, ... conduisant à une équation différen-tielle linéaire du second ordre à coefficients constants 215

DP08-65-57 : Pendule de torsion (08.1) (08.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

66 MODE d’EMPLOI 217

6

7

33 Techniques de dénombrement

PG05-33-4 : Dénombrement de couples de sous-parties complémentaires d’unensemble fini (05.1, 05.2, 06.2)

Preparation a l’epreuve oraled’Analyse d’Orsay

THEME 33Techniques de denombrement

1 Exercice propose

Soit E un ensemble a n elements (n ≥ 1). On dresse la liste de toutes les parties de E etchaque partie est recopiee sur un carton.1) Combien de cartons obtient-on?Lorsqu’on tire deux cartons du paquet successivement et sans remise, on dit que ces deuxcartons forment un couple complementaire si la reunion des deux parties inscrites surces cartons est egale a E. On veut calculer le nombre un de couples complementairespossibles.2) Calculer u1 et u2 a l’aide d’un arbre.3) Soit A une partie de E a k elements (0 ≤ k ≤ n). Demontrer que le nombre de partiesB distinctes de A telles que A ∪B = E est:

• 2n − 1 si k = n (c’est-a-dire si A = E);

• 2k si 0 ≤ k < n.

4) En deduire que un = 3n − 1.

2 Travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sa solution de l’exercice sur la fiche.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury.

Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :

• Q.1) Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature des methodes et les differents out-ils utilises ainsi que le (ou les) niveau(x) au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et lesdifficultes qu’il peut presenter pour des eleves.

• Q.2) Quelle indication peut-on donner aux eleves pour resoudre la premiere ques-tion?

• Q.3) Completer cet exercice de maniere a le transformer en un exercice sur lesprobabilites.

Sur sa fiche le candidat redigera et presentera :

• sa reponse aux questions Q.2) et Q.3);

• un exercice qui propose de denombrer en utilisant (de maniere non-exclusive) untableau ou un diagramme ou un arbre ou un schema.

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FIR06-33-6 : Tirages de p jetons parmi n (06.1)Preparation au CAPES

THEME 33.

Techniques de denombrement.

1. Exercice propose.

Soit n et p deux entiers tels que 2 ≤ n et 0 < p < n.Une urne contient n jetons numerotes de 1 a n.

1) On tire simultanement p jetons de l’urne.a) Combien y-a-t-il de tirages possibles ?

b) Soit q un entier tel que 1 ≤ q ≤ n.Quel est le nombre de tirages ou le jeton numerote q n’apparait pas ?Quel est le nombre de tirages ou le jeton numerote q apparait ?

c) En deduire que(np

)=

(n−1p−1

)+

(n−1

p

).

d) Soit k un entier tel que p ≤ k ≤ n. Combien y-a-t-il de tirages dont le plus grandnumero tire est k ?

En deduire une expression de

n∑k=p

(k−1p−1

)en fonction d’un seul coefficient binomial.

2) On tire successivement et sans remise p jetons de l’urne.a) Combien y-a-t-il de tirages possibles ? On note Ap

n ce nombre.

b) Soit q un entier tel que 1 ≤ q ≤ n. Quel est le nombre de tirages ou le jeton numeroteq n’apparait pas ?Quel est le nombre de tirages ou le jeton numerote q est le premier tire ?

c) En deduire que Apn = p Ap−1

n−1 + Apn−1.

2. Travail demande au candidat.

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalitelors de l’entretien avec le jury.

Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes:1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Rediger la solution de la question 1.d). Proposer une autre preuve de la relation en-tre coefficients binomiaux etablie dans cette question en utilisant la relation etablie a laquestion 1.c).3. Expliquer comment les relations etablies en 1 c) permettent de calculer de proche enproche les coefficients

(np

). Calculer

(5p

)avec 1 ≤ p ≤ 5.

4. Expliquer comment les relations etablies en 2 c) permettent de calculer de proche enproche les coefficients Ap

n . Calculer Ap5 avec 1 ≤ p ≤ 5.

SUITE ...

9

Preparation au CAPES

Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :

- sa reponse a la question 2 du jury.- un enonce d’exercice se rapportant au theme : Techniques de denombrement et Proba-bilites.

Extraits de programmes a consulter :Premiere S :Probabilite d’un evenement, de la reunion, de l’intersection d’evenements, equiprobabilite.Terminale S :Probabilites : exemples de lois discretes : introduction des combinaisons ... “pour lesdenombrements intervenant dans les problemes on en restera a des situations elementairesresolubles a l’aide d’ arbres, de diagrammes ou de combinaisons”.

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JURY06-33-0507 : Dénombrement de chemins à pas nord-est (07.1, 07.2, 09.1)

CAPES Externe de Mathématiques 2006 Épreuve sur dossier

Thème : Techniques de dénombrement

1. L’exercice proposé au candidat

Un homme travaille à Manhattan, dans un quartier où les avenues sont orientées nord-sud et les rues est-ouest. Il travaille à sept pâtés de maison à l’est et huit pâtés de maisonau nord de son domicile. Pour aller à son travail chaque jour il parcourt donc la longueur dequinze pâtés de maison (il ne se dirige ni au sud ni à l’ouest).

On suppose qu’il existe une voie le long de chaque pâté de maisons et qu’il peut prendren’importe lesquelles dans ce schéma rectangulaire. Le dessin ci-dessous illustre la situation ;un trajet a été représenté en pointillé.

N

1) Proposer un « codage » permettant de décrire le trajet représenté.2) Combien de trajets différents l’homme peut-il emprunter ?3) L’homme prétend que le nombre de trajets est aussi le nombre de suites de huit entiers

naturels dont la somme est 8. A-t-il raison ?

2. Le travail demandé au candidatEn aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del’entretien avec le jury

Pendant sa préparation, le candidat traitera la question suivante :

Q.1) À quel niveau pensez-vous pouvoir proposer cet exercice ? Quelles indications souhaiteriez-vous ajouter (questions intermédiaires, suggestion de représentations,. . .) ?

Q.2) La question 3) de l’exercice

Sur ses fiches, le candidat rédigera et présentera :

– Deux exercices sur le thème :« Techniques de dénombrement »

Ce document comporte 2 pages 1/ 2

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JURY07-33-0607 : Probabilité d’atteindre un point en n déplacements à pasnord-est (08.1, 08.2) - 2 pages


Thème : Techniques de dénombrement


On se donne un entier n strictement positif.Dans le plan rapporté à un repère d’origine O, on considère l’ensemble des points M(x, y)

avec x, y dans N.Un pion est initialement placé en O. On effectue de façon aléatoire n déplacements de ce

pion selon deux directions possibles, qui sont équiprobables :– vers le haut, en passant du point de coordonnées (x, y) à celui de coordonnées (x, y +1) ;– vers la droite, en passant du point de coordonnées (x, y) à celui de coordonnées (x+1, y).

1) Quel est le nombre de trajectoires possibles ? Décrire l’ensemble An des points que peutatteindre le pion à l’issue des n déplacements.

2) Soit k un entier tel que 0 6 k 6 n et soit M le point de An d’abscisse k.a) Montrer que la probabilité pour que le pion arrive en M au bout de n déplacements

est

(nk

)2n

où(

nk

)est le k-ième coefficient binomial d’ordre n.

b) Sachant qu’à l’issue des n déplacements, le pion est en M , quelle est la probabilitéque le premier déplacement du pion ait été vers la droite ?

2. Le travail demandé au candidatEn aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del’entretien avec le Jury

Pendant sa préparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.Q.2) Rédiger la correction de la question 2)a) de l’exercice, telle que vous la proposeriez à

des élèves.

Sur ses fiches, le candidat rédigera et présentera :– Sa réponse à la question Q.2).– Deux exercices sur thème « Techniques de dénombrement ».


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34 équiprobabilité

PG05-34-5 : Un sondage (05.1, 05.2, 07.1)


THEME 34Equiprobabilite

1 Exercice propose

Dans une population, on a constate que 25 pour 100 des gens possedent un ordinateur.On realise un sondage dans cette population en tirant 3 individus au hasard (une memepersonne peut etre choisie plusieurs fois).

1) Determiner la probabilite pour que les 3 personnes sondees possedent un ordinateur.2) Determiner la probabilite pour que, parmi les 3 personnes sondees, 2 exactement

possedent un ordinateur.




• Q.1) Completer le texte de l’exercice pour qu’un eleve de Premiere S modelise cetteexperience aleatoire en choisissant une population formee de 4N individus distincts.Il doit preciser l’univers et la probabilite choisie. Les resultats obtenus dependent-ilsde N?

• Q.2) Indiquer l’objectif de l’exercice ainsi modifie, la nature de la methode et lesdifferents outils utilises ainsi que le (ou les) niveau(x) au(x)quel(s) s’adresse cetenonce et les difficultes qu’il peut presenter pour des eleves.

• Q.3) Le texte precise que lors d’un sondage une meme personne peut etre choisieplusieurs fois. Resoudre l’exercice en supprimant cette hypothese c’est-a-dire ensupposant qu’une meme personne ne peut pas etre choisie plusieurs fois. Comparerles probabilites obtenues avec celles obtenues precedemment.


• sa reponse a la question Q.1) et Q.3);

• deux exercices sur le theme : Equiprobabilite.

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PG08-34-5-1 : Un sondage (modifié)( 08.2)

Preparation d’Orsay a l’epreuveorale du Capes de Maths

THEME 34Probabilites

1 Exercice propose

Dans une population, on a constate que 25 pour 100 des gens possedent un ordinateur.On realise un sondage dans cette population en tirant 3 individus au hasard (une memepersonne peut etre choisie plusieurs fois).

1) Determiner la probabilite pour que les 3 personnes sondees possedent un ordinateur.2) Determiner la probabilite pour que, parmi les 3 personnes sondees, 2 exactement

possedent un ordinateur.




• Q.1) Indiquer l’objectif de l’exercice, la (ou les) methode(s) et les differents out-ils utilises ainsi que le (ou les) niveau(x) au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et lesdifficultes qu’il peut presenter pour des eleves.

• Q.2) Completer le texte de l’exercice pour qu’un eleve de Premiere S modelise cetteexperience aleatoire en choisissant une population formee de 4N individus distincts.Il doit preciser l’univers et la probabilite choisie. Les resultats obtenus dependent-ilsde N?

• Q.3) Le texte precise que lors d’un sondage une meme personne peut etre choisieplusieurs fois. Resoudre l’exercice en supprimant cette hypothese c’est-a-dire ensupposant qu’une meme personne ne peut pas etre choisie plusieurs fois. Comparerles probabilites obtenues avec celles obtenues precedemment.



• deux exercices sur le theme : Probabilites.

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PG05-34-6 : Un barycentre aléatoire (05.1, 06.2, 07.2)


THEME 34Equiprobabilite

1 Exercice propose

Dans un repere orthonormal (O; i; j), les points A(1; 0), B(0; 1) et C(−1; 0) sont respec-tivement affectes des coefficients 1, b et c.

1) A quelle condition le barycentre de (A, 1), (B, b) et (C, c) existe-t-il? Calculez alorsses coordonnees en fonction de b et c.

2) Le couple (b, c) est obtenu de la maniere suivante : b est le resultat du premier jetd’un de equilibre dont les faces portent les numeros -3, -2, -1, 1, 2, 3; c est le resultat dusecond jet du meme de. Chaque couple a la meme probabilite d’apparition.Quelle est est la probabilite pour que le systeme de points ponderes admette un barycentreG :

a) dont l’ordonnee est egale a 1?

b) d’abscisse nulle?

c) qui appartient a l’une ou l’autre des bissectrice du repere?




• Q.1) Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents out-ils utilises ainsi que le (ou les) niveau(x) au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et lesdifficultes qu’il peut presenter pour des eleves.

• Q.2) Pourquoi, d’apres vous, les auteurs de l’exercice supposent-ils le de equilibre?

• Q.3) On veut adapter cet exercice au niveau de la Terminale S. Par quelle hypothesesur les jets de de peut-on remplacer l’affirmation ”chaque couple a la meme proba-bilite d’apparition”?

• Q.4)

a) Montrer que les questions 2)a), 2)b) et 2)c) sont des cas particuliers de larecherche de la probabilite pour que le systeme de points ponderes admetteun barycentre G appartenant a A, ou A est un sous-ensemble quelconque duplan.

b) Peut-on parler de la loi de G? Justifier votre reponse.


• sa reponse aux questions Q.2), Q.3) et Q.4);

• deux exercices sur le theme : Equiprobabilite.

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FIR06-34-8 : La fermière et ses oeufs (06.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 34.

Equiprobabilite.


Une fermiere qui dispose de n, (n ≥ 1), oeufs veut les repartir de facon aleatoire dans 3corbeilles C1, C2, C3 de la maniere suivante. Elle dispose d’une roulette qui lui fournit unchiffre au hasard entre 1 et 3. Pour chaque oeuf elle actionne la roulette ; le numero obtenudesigne la corbeille dans laquelle elle dispose l’oeuf.On note Vk l’evenement : “ a la fin de la repartition, la corbeille Ck est vide “.

1) Prouvez que P (V1) = P (V2) = P (V3) =2n

3n.

2) a) Calculez P (V1 ∩ V2).b) Precisez P (V1 ∩ V3) et P (V2 ∩ V3).

3) Calculez P (V1 ∩ V2 ∩ V3).4) On admet la formule suivante : si A, B et C sont trois evenements on a :

P (A∪B ∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B ∩C)+P (A∩B ∩C).Calculez P (V1 ∪ V2 ∪ V3) a l’aide de cette formule.

5) On note M l’evenement : “a la fin de la repartition, chaque corbeille contient au moinsun oeuf”.

a) Montrez que P (M) = 1− 3× 2n − 13n

.

b) quelle est la limite de cette probabilite lorque n tend vers l’infini ? Donnez une in-terpretation de cette limite.c) De combien d’oeufs doit disposer la fermiere , afin que la probabilite que chaque corbeillecontienne au moins un oeuf, depasse 0, 99 ?



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes:1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Demontrer la formule admise a la question 4 au niveau d’une classe de premiere S.3. Quelles indications faut-il rajouter dans ce texte pour qu’un eleve de premiere S puissefaire cet exercice ? En particulier comment peut-il repondre a la question 5.c ?4. On note X1, X2, X3 les variables aleatoires qui donnent le nombre d’oeufs dans lescorbeilles respectivement C1, C2, C3.Prolonger cet exercice pour des eleves de Terminale S : etude des variables aleatoiresX1, X2, X3 (lois, independance).Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse aux questions Q2, Q3 et Q4 du jury.- un enonce d’exercices se rapportant au theme: Equiprobabilite .

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JURY07-34-0207 : Tirages de boules de 2 couleurs (08.1) - 2 pages


Thème : Probabilités


Une urne contient trois boules blanches et deux boules noires.On tire successivement et au hasard trois boules dans cette urne, en respectant le protocolesuivant : on remet la boule dans l’urne si elle est noire, on ne la remet pas si elle est blanche.

1. Quelle est la probabilité de n’obtenir aucune boule blanche ?2. Quelle est la probabilité d’obtenir trois boules blanches ?3. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une boule blanche ?

2. Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del’entretien avec le Jury


Q.1) Construire un arbre de probabilité permettant de répondre aux questions de l’exercice.Q.2) Utiliser un tel arbre pour répondre à la question 3 de l’exercice.


i) Sa réponse à la question Q.1).ii) L’énoncé d’un ou plusieurs exercice(s) se rapportant au thème : « Probabilités ».


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JURY08-34-1407 : Un QCM (09.1) - 2 pages




Cet exercice est un QCM. Pour chaque affirmation une seule des réponses A, B ou C estexacte et il s’agit de la trouver.

1) Dans une classe de 31 élèves, 12 élèves jouent au tennis, 8 élèves jouent au football et 5élèves jouent à la fois au tennis et au football.On interroge au hasard un élève de cette classe. La probabilité que cet élève ne joue ni autennis ni au football est :

A631

B1631

C1131

2) Une urne contient trois boules blanches et deux boules noires. On tire successivement etau hasard deux boules en respectant le protocole suivant : si la première boule tirée estnoire alors on la remet dans l’urne avant de tirer la seconde boule. Si la première boule estblanche alors on ne la remet pas dans l’urne avant de tirer la seconde boule.La probabilité d’obtenir exactement une boule blanche à l’issue des deux tirages est :

A35

B2750

C1222

3) On dispose d’une urne U1 contenant quatre jetons numérotées 1, 1, 2, 3 et d’une urne U2

contenant trois jetons numérotées 2, 3, 3. On tire au hasard un jeton dans chaque urneet on appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux jetons, associe la valeurabsolue de la différence des numéros portés par les deux jetons. L’espérance mathématiquede X est :

A 1 B1312

C56


En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretienavec le jury.


Q.1) Indiquer pour chacun des items de ce QCM les savoirs mis en jeu pour trouver la réponseexacte.

Q.2) Justifier la réponse à la question 2).


Sa réponse à la question Q.2).

L’énoncé d’un ou plusieurs exercices se rapportant au thème : « Probabilités ».


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35 Probabilités conditionnelles (2)

JURY05-35-0001 : Une randonnée en montagne (05.1, 05.2)

C A P E S E X T E R N E D E M A T H ¶E M A T IQ U E S 2 0 0 5¶E p re u v e su r d o ssie r

E x e m p le

T h µe m e : P ro b a b ilit¶e s, p ro b a b ilit¶e s c o n d itio n n e lle s

V o ic i le te x te d 'u n e x e rc ice re le v ¶e d a n s u n liv re d e stin ¶e µa d e s ¶e lµe v e s d e T e rm in a le S .

Pour rej oindre le sommet S d'une montagne des Alp es µa partir d'un point de d¶epart D , les randonneursont la possibilit¶e d'emprunter plusieurs parcours. La course n'¶etant pas faisable en une j ourn¶ee, ils doiventpasser une nuit dans un des deux refuges se trouvant µa la meme altitude de 1 400 mµetres sur les parcoursexistants ; les deux refuges ne sont pas situ¶es au meme endroit. On les app elle R 1 et R 2 .

Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve µa 2500 mµetres d'altitude, ils ont deuxpossibilit¶es : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R 3 , ou atteindre le sommetdirectement.

La probabilit¶e que les randonneurs choississent de passer par R 1 est ¶egale µa1

3. La probabilit¶e de monter

directement au sommet en partant de R 1 est ¶egale µa3

4. La probabilit¶e de monter directement au sommet en

partant de R 2 est ¶egale µa2

3.

1 ) Tracer un arbre pond¶er¶e repr¶esentant tous les traj ets possibles du d¶epart D j usqu'au sommet S .

2) D¶eterminer la probabilit¶e de chacun des ¶ev¶enements suivants :

E 1 : " Les randonneurs ont fait halte au refuge R 3 sachant qu'ils ont pass¶e la nuit au refuge R 1 "

E 2 : " Les randonneurs ont fait une halte au refuge R 3 "

E 3 : " Les randonneurs ont pass¶e la nuit au refuge R 1 sachant qu'ils ont fait halte au refuge R 3 "

E 4 : " Les randonneurs ont pass¶e la nuit au refuge R 2 sachant que, le deuxiµeme j our, ils sont mont¶esdirectement au sommet S "

3) On note M N la distance, en kilomµetres, µa parcourir p our se rendre du point M au point N . On donne :

D R 1 = 5 D R 2 = 4 R 1 R 3 = 4 R 2 R 3 = 4; 5 R 3 S = 2 R 1 S = 5 ; 5 R 2 S = 6

Suj et Z¶ero 6 1 7/6/2004

SUITE...

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C A P E S E X T E R N E D E M A T H ¶E M A T IQ U E S 2 0 0 5¶E p re u v e su r d o ssie r

E x e m p le

Soit X la variable al¶eatoire qui repr¶esente la distance parcourue par les randonneurs p our aller du d¶epartD au sommet S .

a) D¶eterminer la loi de probabilit¶e de X

b) Calculer l' esp¶erance math¶ematique de X .

T ra v a il d e m a n d ¶e a u c a n d id a t :

En aucun cas, le candidat ne doit r¶ediger sur sa ¯che sa solution de l'exercice.

Celle-ci pourra n¶eanmoins lui etre demand¶ee, partiellement ou en totalit¶e, lors de l'entretien avec le j ury.

Aprµes avoir r¶esolu et analys¶e l'exercice la candidat r¶edigera les r¶eponses aux questions suivantes :

1 ) Quelles sont les m¶ethodes et les connaissances mises en j eu ?

2) Quelle critique vous suggµere l'¶enonc¶e de la question 2. ? Reformulez cette question.

3) Proposer deux exercices mettant en valeurs d'autres comp¶etences exigibles d'¶elµeves de Terminale S ouES en calcul de probabilit¶es.

Suj et Z¶ero 6 1 7/6/2004

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PG05-35-7 : Un test pour maladie rare (05.1, 05.2, 06.s, 08.1)


THEME 35Probabilites conditionnelles

1 Exercice propose

On dispose d’un test de depistage d’une maladie rare et on veut etudier sa fiabilite. Cetest presente les caracteristiques techniques suivantes:

• la probabilite qu’un individu atteint de cette maladie ait un test positif est de 0,99;

• la probabilite qu’un individu non atteint de cette maladie ait un test negatif estaussi de 0,99.

On choisit un individu au hasard dans la population consideree et on note:

• M l’evenement ”l’individu choisi presente la maladie etudiee”;

• T l’evenement ”le test effectue sur l’individu est positif”.

1) On veut faire un depistage systematique dans une population donnee et on sait que laproportion d’individus atteints de la maladie dans la population est 0,001.a) Realiser un arbre pondere decrivant cette situation.b) Calculer la probabilite p(T ).c) Calculer la probabilite pT (M) qu’un individu presentant un test positif soit atteint dela maladie. Ce nombre pT (M) represente la valeur predictive du test.2) On s’interesse aux variations de cette valeur predictive f(x) selon la proportion xd’individus atteints de cette maladie dans la population consideree.a) Exprimer f(x) en fonction de x. Tracer la courbe representative de f sur l’intervalle[0, 1].b) On considere que le test est fiable lorsque la probabilite qu’un individu ayant un testpositif soit malade est superieure a 0,95. Le test est-il fiable si la proportion x d’individusatteints de la maladie est de 0,05? A partir de quelle proportion x le test est-il fiable?





• Q.2) Cet exercice utilise implicitement une formule qui n’est pas au programme dulycee. Quelle est cette formule?

SUITE...

22

• Q.3) Cet exercice cherche a faire passer un message concernant la fiabilite des testspour des maladies rares. Exprimer ce message clairement et simplement.

• Q.4) Lorsque x < 0, 1, quelle est la probabilite qu’un individu dont le test est negatifne soit pas atteint de la maladie etudiee? Commentaires?



• un exercice illustrant le theme : Probabilites conditionnelles et impliquant unesuite arithmetico-geometrique.

23

PG05-35-8 : Durée de vie d’ampoules (05.o, 06.1, 07.s)



1 Exercice propose

Un quincailler achete des ampoules a trois fournisseurs dans les proportions suivantes :20% au premier fournisseur, 50% au deuxieme fournisseur et 30% au troisieme fournisseur.Le premier fournisseur fabrique 97% d’ampoules sans defaut, le deuxieme fournisseurfabrique 98% d’ampoules sans defaut, le troisieme fournisseur fabrique 95% d’ampoulessans defaut.

1) On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note D l’evenement “l’ampoule estdefectueuse”, F1 l’evenement “l’ampoule provient du premier fournisseur”, F2 l’evenement“l’ampoule provient du deuxieme fournisseur”, F3 l’evenement “l’ampoule provient dutroisieme fournisseur”.a) Calculer la probabilite de l’evenement D.b) Sachant que l’ampoule choisie est defectueuse, quelle est la probabilite qu’elle pro-vienne du premier fournisseur ?

2) On suppose que la probabilite qu’une ampoule soit sans defaut est de 0, 969.On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilite qu’une ampoule au plus soitdefectueuse. On en donnera une valeur approchee a 10−3 pres.

3) La duree de vie en heures d’une ampoule, notee T , suit une loi de duree de vie sans

vieillissement (ou loi exponentielle) de parametre λ :=1

50000= 2.10−5.

Selon cette loi, pour tout x ∈ [0,+∞[, P (T ≤ x) :=∫ x

0λ exp(−λt) dt.

a) Quelle est la probabilite P1 qu’une ampoule dure plus de 25000 heures ? Donner lavaleur exacte de P1.b) Quelle est la probabilite P2 qu’une ampoule dure plus de 50000 heures ? Donner lavaleur exacte de P2.c) Quelle est la probabilite P3 qu’une ampoule dure plus de 50000 heures sachant qu’ellea dure 25000 heures ? Donner la valeur exacte de P3.





SUITE...

24

• Q.2) Cet exercice utilise implicitement dans la question 1 une formule qui n’est pasau programme du lycee. Quelle est cette formule ?

• Q.3) Dans la question 2, quelle hypothese fait-on implicitement sur le stock ?

• Q.4) Expliquer l’expression de la question 3 : “une loi de duree de vie sans vieil-lissement (ou loi exponentielle) ”.

• Q.5) Peut-on faire calculer la duree de vie moyenne d’une ampoule a des eleves enTerminale S ?


• sa reponse aux questions Q.2), Q.3), Q.4) et Q.5);


25

PG08-35-8-1 : Durée de vie d’ampoules (modifié) ( 08.2)



1 Exercice propose







• Q.1) Indiquer l’objectif de l’exercice, la (ou les) methode(s) et les differents out-ils utilises ainsi que le (ou les) niveau(x) au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et lesdifficultes qu’il peut presenter pour des eleves.

• Q.2) Realiser un arbre de probabilites pouvant servir de support a la resolution de laquestion 1 . On etablit dans la question 1b une formule qui n’est pas au programmedu lycee. Quelle est cette formule ?




• un ou deux exercices illustrant le theme : Probabilites conditionnelles. L’un desdeux impliquera une suite arithmetico-geometrique.

26

JURY05-35-1907 : Un test de qualité (06.2, 07.1, 07.2, 09.1)


Thème : Dénombrement, Probabilités et StatistiquesProbabilités conditionnelles.


Une usine produit des objets dont un pour cent est défectueux. On teste ces objets enbout de chaîne.

– Si un objet est défectueux, la probabilité que le test le décèle est égale à 0,9.– Si un objet n’est pas défectueux, la probabilité que le test le trouve défectueux est

égale à 0,05.On teste un objet pris au hasard.

1) Le test donne cet objet comme défectueux, quelle est la probabilité qu’il le soit réelle-ment ?

2) Les évènements « l’objet pris au hasard est défectueux » et « l’objet pris au hasard estdonné défectueux par le test » sont-ils indépendants ?


En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del’entretien avec le jury.

Après avoir résolu et analysé l’exercice le candidat rédigera sur sa fiche les

réponses aux questions suivantes :

Q.1) Indiquer les classes de lycée dans lesquelles on peut proposer cet exercice ainsi que lesnotions et outils mis en œuvre dans sa résolution.

Q.2) Rédiger les questions intermédiaires à proposer pour rendre cet exercice accessible à unélève de lycée.

Q.3) Réaliser un schéma sous forme d’arbre de probabilités pouvant servir de support à larésolution.

Q.4) Proposer un ou plusieurs exercices sur le même thème


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JURY05-35-0507 : Un problème d’urne (06.2)



1. L’exercice proposé au candidat :

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles puis on en calculera unevaleur approchée à 10−2 près.

1) Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 jetons noirs. On tire successivement les 7 jetonssans remise. Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur k lorsque le premier jetonblanc apparaît au k-ième tirage.Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.

2) Une urne U ′ contient 17 jetons blancs et 18 jetons noirs. On jette un dé cubique dontchaque face a la même probabilité d’apparaître. Si le 6 apparaît on tire un jeton del’urne U , sinon on tire un jeton de l’urne U ′.– Démontrer que la probabilité de tirer un jeton blanc est 1

2.

– On a tiré un jeton blanc, calculer la probabilité pour qu’il provienne de l’urne U .


En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del’entretien avec le jury

Après avoir résolu et analysé l’exercice le candidat rédigera sur sa fiche lesréponses aux questions suivantes :

Q.1) Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l’exercice.Q.2) Réaliser un arbre de probabilités pouvant servir de support à la résolution de la question

2).Q.3) Proposer un ou plusieurs autres exercices sur le thème des probabilités et mettant en

jeu l’étude d’une variable aléatoire.


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JURY06-35-1307 : Promenade aléatoire sur les arêtes d’une pyramide (07.1,07.2, 08.2)


Thème : Probabilités conditionnelles


On considère un carré ABCD et son centre de gravité Ω. On note E = A, B, C,D, Ω.Une puce se déplace aléatoirement en sautant d’un point de E à un autre. La seule

contrainte est que si un saut relie deux sommets du carré, ceux-ci doivent être adjacents.À chaque saut, tous les déplacements possibles sont équiprobables. La puce ne reste pas deuxfois de suite au même endroit.

Au départ (c’est-à-dire avant son premier saut) elle se trouve au point Ω.Pour tout n de N, on note Ωn l’événement « la puce se trouve au point Ω à l’issue de son

n-ième saut ».On définit de même les événements An, Bn, Cn, Dn. On notera pn = p(Ωn) (donc p0 = 1).

1) Calculer p1 et p2.

2) Pour tout n de N, justifier les égalités p(An) = p(Bn) = p(Cn) = p(Dn) =1

4(1− pn).

3) Montrer que pn+1 =1

3(1 − pn) pour tout n de N (utiliser la formule des probabilités

totales).

4) En déduire que pour tout n on a pn =1

4+

3

4

(−1

3

)n

puis limn→+∞

pn =1

4.




Q.1) Dégagez les méthodes et outils nécessaires à la résolution de cet exercice.

Q.2) Comment se généralise le problème si l’on remplace le carré ABCD par un polygone àk sommets ?


– Sa réponse à la question Q.2).– Un ou deux exercices se rapportant au thème « Probabilités conditionnelles ».


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36 Variables aléatoires

JURY05-36-0507 : Un problème d’urne (06.1, 07.2)




On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles puis on en calculera unevaleur approchée à 10−2 près.

1) Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 jetons noirs. On tire successivement les 7 jetonssans remise. Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur k lorsque le premier jetonblanc apparaît au k-ième tirage.Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.

2) Une urne U ′ contient 17 jetons blancs et 18 jetons noirs. On jette un dé cubique dontchaque face a la même probabilité d’apparaître. Si le 6 apparaît on tire un jeton del’urne U , sinon on tire un jeton de l’urne U ′.– Démontrer que la probabilité de tirer un jeton blanc est 1

2.

– On a tiré un jeton blanc, calculer la probabilité pour qu’il provienne de l’urne U .




Q.1) Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l’exercice.Q.2) Réaliser un arbre de probabilités pouvant servir de support à la résolution de la question

2).Q.3) Proposer un ou plusieurs autres exercices sur le thème des probabilités et mettant en

jeu l’étude d’une variable aléatoire.


30

PG05-36-10 : Nombre moyen de séries (05.1, 05.2, 07.1)


THEME 36Variables aleatoires

1 Exercice propose

On lance n fois (n ≥ 2) une piece equilibree. L’objet de cet exercice est de calculer lenombre moyen de series, c’est-a-dire de suites ininterrompues de “piles” ou de “faces”.Par exemple, dans la suite suivante ou n = 10, il y a 6 series: PP FFF PP F P F.Soit N la variable aleatoire: “nombre de series”.1) Calculer la loi de N.2) En deduire l’esperance E(N) de N. Conclure.On introduit maintenant les variables aleatoires “compteurs”Xk, ou 2 ≤ k ≤ n, definiespar

Xk =

1 si l’issue au kieme lancer differe de la precedente,0 sinon.

3) Montrer que N = 1 +X2 + ...+Xn.4) Calculer E(Xk) pour 2 ≤ k ≤ n et en deduire E(N).





• Q.2) Definir l’univers de l’experience aleatoire consideree.

• Q.3) Quelles critiques ou commentaires vous inspire la question 2) de l’exercice?Quelle(s) indication(s) proposeriez-vous a des eleves de Terminale S pour qu’ilspuissent repondre a cette question 2)?

• Q.4) Quelle methode proposer a un eleve de Terminale S pour calculer la variancede la variable aleatoire N?

• Q.5) On suppose que la piece n’est plus equilibree mais a une probabilite p 6= 12

depresenter “pile” lorsqu’on la jette.a) Quelles nouvelles difficultes apparaissent?b) Quel est l’avantage d’introduire les variables “compteurs”?



• un exercice illustrant le theme : Variables aleatoires.

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PG07-36-22 : Rangement de n objets dans n boîtes (07.o, 08.s)


THEME 36Variables aleatoires

1 Exercice propose

Rangement de n objets dans n boıtesOn dispose de n objets, et chacun est place au hasard dans l’une quelconque des n boıtesB1, B2,...,Bn.1)a) Determiner la probabilite que B1 contienne : aucun des objets ; les n objets.b) Determiner le nombre moyen d’objets que contient B1.2) On pose, pour 1 ≤ i ≤ n, Xi = 1 si la boıte Bi est vide, et Xi = 0 sinon.a) Que represente X = X1 +X2 + ...+Xn?b) Determiner la loi de Xi et son esperance mathematique.c) En deduire le nombre moyen un de boıtes vides, a l’issue du rangement.

Quelle est la limite deunn

?





• Q.2) Expliciter la variable aleatoire qui est implicitement consideree dans 1) etdonner sa loi. Quelle(s) indication(s) proposeriez-vous a des eleves de Terminale Spour qu’ils puissent repondre a la question 1)b)?

• Q.3) Quel est l’avantage d’introduire les variables “compteurs” Xi?

• Q.4) Les variables aleatoires X1, X2, ..., Xn sont-elles deux a deux independantes?



• un ou deux exercices se rapportant au theme : Variables aleatoires.

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JURY07-36-1407 : Somme des numéros inscrits sur des jetons tirés dans uneurne (08.1,08.2, 09.1) - 2 pages


Thème : Probabilités, Variables aléatoires


Une urne U1 contient deux jetons numérotés 1 et 2. Une urne U2 contient quatre jetons numérotés1, 2, 3 et 4.

1) On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne (les choix sont supposés équipro-bables).a) Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1 ?b) On a tiré un jeton portant le numéro 1. Quelle est la probabilité qu’il provienne de l’urne

U1 ?2) On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc les six jetons précédents.

On tire simultanément et au hasard deux jetons de cette urne. Les tirages sont équiprobables.a) Calculer la probabilité de tirer deux jetons portant des numéros identiques.b) Soit S la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la somme des numéros des deux

jetons tirés. Prouver que la probabilité de l’événement (S = 4) est1

5.

c) Déterminer la loi de probabilité de S, et calculer l’espérance de S.

2. Le travail demandé au candidatEn aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del’entretien avec le jury.


Q.1) Réaliser un arbre de probabilités pouvant servir de support à la résolution de la question 1).Donner des explications, accessibles à des élèves, sur cette construction.

Q.2) Préciser les diverses notions utilisées dans l’exercice.Q.3) Indiquer comment on pourrait réaliser, à l’aide d’un tableur, une simulation du tirage décrit

dans la question 1) de l’exercice.


i) Sa réponse à la question Q.1).ii) Deux exercices sur le thème : « Probabilités, Variables aléatoires ».


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MM09-36-06 : Une histoire de cubes ( 09.o)

Preparation au CAPES 2009 Universite Paris SudOral Blanc

Theme : Probabilites, Variables aleatoires

Exercice propose par le jury :

Une boıte contient 8 cubes :– 1 gros rouge et 3 petits rouges– 2 gros verts et 1 petit vert– 1 petit jauneUn enfant choisit au hasard et simultanement 3 cubes de la boıte (on admettra que

la probabilite de tirer un cube donne est independante de sa taille et de sa couleur). Lesresultats seront donnes sous forme de fraction irreductible.

1. On note A l’evenement “obtenir des cubes de couleurs differentes” et B l’evenement :“obtenir au plus un petit cube”.(a) Calculer la probabilite de A.

(b) Verifier que la probabilite de B est egale a 27 .

2. Soit X la variable aleatoire donnant le nombre de petits cubes rouges tires par l’en-fant.(a) Donner la loi de probabilite de X.

(b) Calculer l’esperance mathematique de X.

3. L’enfant repete n fois l’epreuve “tirer simultanement trois cubes de la boıte”, enremettant dans la boıte les cubes tires avant de proceder au tirage suivant. Les tiragessont independants. On note Pn la probabilite que l’evenement B soit realise au moinsune fois.(a) Determiner Pn en fonction de n.

(b) Determiner le plus petit entier n tel que Pn ≥ 0, 99.

Travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-cipourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors de l’entretien avec lejury.

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1 Quelle(s) loi(s) usuelle(s) rencontre-t-on dans l’exercice ?Q.2 Quelle(s) extension(s) ou modification(s) de l’exercice pourriez-vous proposer pour

faire intervenir au moins une autre loi que vous connaissez ?Q.3 Rediger une reponse a la question 3) de l’exercice du jury.Q.4 Proposer une simulation a la calculatrice permettant d’illustrer l’une des questions

de l’exercice du jury.

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :– Sa reponse a la question Q.3.– L’enonce d’un ou plusieurs exercices se rapportant au theme : “ Probabilites ”.

34

35

37 Loi binômiale

PG05-37-12 : Calcul de l’espérance de la loi binomiale (05.2, 06.s, 08.2)


THEME 37Loi binomiale

1 Exercice propose

La loi de BernoulliSoit X une variable aleatoire a valeurs dans 0, 1 avec pour loi de probabilite:

P (X = 1) = p et P (X = 0) = q (q = 1− p).Montrer que E(X) = p et V (X) = pq.

Esperance de la loi binomialeLa variable aleatoire X suit la loi binomiale de parametres n et p (0 < p < 1) et on poseq = 1− p. Il s’agit de calculer l’esperance mathematique E(X) de X.

1) Montrer que E(x) =n∑k=0

k

(n

k

)pkqn−k.

2) Developper suivant la formule du binome f(x) = (px+ q)n, pour x reel.3) En deduire deux expressions de f ′(x), puis que E(X) = np.

Remarque: si l’on gagne 1 euro par “succes” (probabilite p) a chaque epreuve, nous tenonsde l’exercice sur la loi de Bernoulli qu’a chaque epreuve l’on gagne en moyenne p euro.La repetition de n epreuves identiques et independantes nous fait esperer un gain moyende np euros: on pouvait s’en douter.





• Q.2) Reformuler la partie de l’exercice qui concerne la loi de Bernoulli en comblantle manque de precision et en supprimant ce qui semble redondant.

• Q.3) Dans la partie de l’exercice qui concerne le calcul de l’esperance de la loibinomiale, rediger une quatrieme question qui, en utilisant la methode developpeedans cette partie, permette de calculer la variance V (X) de la loi binomiale.

• Q.4) Rediger un autre exercice, toujours accessible a un eleve de Terminale S, quipropose un calcul de l’esperance de la loi binomiale par une methode alternative.


SUITE...

36


• un exercice illustrant le theme : Loi binomiale.

37

PG08-37-12-1 : Calcul de l’espérance de la loi binomiale (modifié) (08.2)


THEME 37Loi binomiale

1 Exercice propose

La loi de BernoulliSoit X une variable aleatoire a valeurs dans 0, 1 avec pour loi de probabilite:

P (X = 1) = p et P (X = 0) = q (q = 1− p).

Montrer que E(X) = p et V (X) = pq.

Esperance de la loi binomialeLa variable aleatoire X suit la loi binomiale de parametres n et p (0 < p < 1) et on poseq = 1− p. Il s’agit de calculer l’esperance mathematique E(X) de X.

1) Montrer que E(x) =n∑

k=0

k

(n

k

)pkqn−k.

2) Developper suivant la formule du binome f(x) = (px + q)n, pour x reel.3) En deduire deux expressions de f ′(x), puis que E(X) = np.

Remarque: si l’on gagne 1 euro par “succes” (probabilite p) a chaque epreuve, nous tenonsde l’exercice sur la loi de Bernoulli qu’a chaque epreuve l’on gagne en moyenne p euro.La repetition de n epreuves identiques et independantes nous fait esperer un gain moyende np euros : on pouvait s’en douter.





• Q.2) Dans la partie de l’exercice qui concerne le calcul de l’esperance de la loibinomiale, rediger une quatrieme question qui, en utilisant la methode developpeedans cette partie, permette de calculer la variance V (X) de la loi binomiale.

• Q.3) Rediger un autre exercice, toujours accessible a un eleve de Terminale S, quipropose un calcul de l’esperance de la loi binomiale par une methode alternativeutilisant la linearite de l’esperance.



• un exercice illustrant le theme : Loi binomiale.

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FIR05-37-14 : Schéma de Bernoulli(05.1)Preparation au CAPES

THEME 37.

Loi binomiale.


1) On lance 5 fois de suite un de non pipe. On note X la variable aleatoire qui indiquele nombre de fois ou le 6 sort.

Decrire l’evenement X = 1 et calculer sa probabilite.Calculer P (X = 2).

2) On considere une epreuve de Bernoulli de parametre p. On repete n fois, de faconindependante, cette epreuve. On parle alors de schema de Bernoulli. On note X la variablealeatoire qui indique le nombre de succes. On pose q = 1− p.

a) Preciser l’ensemble des valeurs prises par X et justifier que sa loi de probabilite est

P (X = k) =

(n

k

)pk qn−k.

Verifier que

k=n∑k=0

P (X = k) = 1.

On dit que X suit une loi binomiale de parametres n et p.b) Pour tout k, 1 ≤ k ≤ n, on considere la variable aleatoire Xk qui vaut 1 si le resultat

du k−eme lance est un succes, 0 sinon.Quelle est la loi de Xk ? Que vaut X1 + ... + Xn ? En deduire E(X).


En aucun cas, le candidat ne doit rediger sa solution de l’exercice sur la fiche.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalitelors de l’entretien avec le jury.

Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :1. Indiquez l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils

utilises ainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’ilpeut presenter pour des eleves.

2. Quelles sont les issues de l’ experience aleatoire decrite a la question 1 ?3. Remplacez la question 2.b) par une autre question, que vous redigerez, au niveau

Terminale S, pour calculer E(X) en utilisant la fonction f(x) = (px+q)n. Connaissez-vousd’autres methodes pour calculer E(X) ?

Peut-on calculer aussi la variance V (X) de X? Par quelle(s) methode(s) ?Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse a la question 3 du jury.- un enonce d’exercice de probabilite presentant une situation concrete qui peut etre

modelisee par une variable aleatoire qui suit une loi binomiale.- un enonce d’un autre exercice de probabilite dont la resolution peut faire intervenir

des variables aleatoires compteurs ( comme les Xk dans 2.b).

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MG06-37-11 : Contrôles dans une compagnie de transports (06.1,08.1,08.2)Preparation a l’epreuve orale du CAPES 2006 Universite Paris Sud

Theme 37 : Loi binomiale.

1. L’exercice propose au candidat :Une compagnie de transport desire optimiser les controles afin de limiter l’impact des fraudes et

les pertes occasionnees par cette pratique.Cette compagnie effectue une etude basee sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrablesd’un mois soit au total quarante trajets. On admet que les controles sont independants les uns des autreset que la probabilite pour tout voyageur d’etre controle est egale a p.Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l’amende est de cent euros.Claude fraude systematiquement lors des quarante trajets soumis a cette etude.Soit Xi la variable aleatoire qui prend la valeur 1 si Claude est controle au i-eme trajet et la valeur 0sinon. Soit X la variable aleatoire definie par X = X1 + X2 + X3 + · · · + X40.

1. Determiner la loi de probabilite de X .

2. Dans cette partie on suppose que p =120

.

(a) Calculer l’esperance mathematique de X .

(b) Calculer les probabilites P (X = 0), P (X = 1) et P (X = 2).

(c) Calculer a 10−4 pres la probabilite pour que Claude soit controle au plus deux fois.

3. Soit Z la variable aleatoire qui prend pour valeur le gain algebrique realise par le fraudeur.

Exprimer Z a l’aide de X puis calculer son esperance pour p =15.

4. Determiner les valeurs de p pour lesquelles la probabilite que Claude subisse au moins troiscontroles est superieure a 99 %.

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sur sa fiche, le can-didat redigera et presentera les reponses aux questions Q.4, Q.5 et Q.6.Programmes de reference : Probabilites de 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ES et Term L (option).

Q.1 : Indiquer le ou les niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degager les savoirs mis en jeupour la resolution de l’exercice. Quelles difficultes cet exercice est-il susceptible de soulever pour leseleves ?

Q.2 : Resoudre precisement la question 1. Qu’illustre la question 2 ?

Q.3 : Representer a l’aide de la calculatrice la loi de X pour differentes valeurs de p. Comment varieP (X ≥ k) en fonction de p ? Demontrer cette propriete.

Q.4 : Resoudre la question 4. Est-il necessaire de guider les eleves dans cette question ? Si oui precisercomment. Expliquer pour quelle raison on n’a pas choisit plutot de determiner p pour que le gain soitnegatif (on precisera d’abord les interpretations possibles de cette expression).

Q.5 : On suppose maintenant que Claude prend un ticket de temps en temps : c’est a dire qu’avantchaque trajet il decide avec une probabilite q de prendre un billet. En suivant le modele de l’exercice,calculer l’esperance du gain en fonction de p et q. Commenter le resultat obtenu. Proposer une redactionde cette question adaptee a un exercice de lycee.

Q.6 : Proposer un exercice sur le theme de la loi binomiale puis un second exercice faisant apparaitreles variables compteur (Xk) dans un autre cadre.

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MG07-37-1 : Enquête téléphonique (07.1)

Preparation a l’epreuve orale du CAPES 2007 Universite Paris Sud

Theme 37 : Loi binomiale.

1. L’exercice propose au candidat : Une personne appelle successivement 3correspondants. On suppose que les appels sont tous independants, et que chaque cor-respondant repond avec une probabilite p. On note q = 1− p.

1. X est la variable aleatoire donnant le nombre de correspondants obtenus au coursde ces 3 appels. Determiner la loi de probabilite de X.

2. Apres ces 3 appels, la personne procede dans les memes conditions a un secondappel des correspondants qu’elle n’a pas pu joindre la premiere fois. On appelle Yle nombre des nouveaux correspondants obtenus. Determiner la loi de Y .

3. On note Z = X + Y . Que represente cette variable aleatoire ?

(a) Montrer que Z suit une loi binomiale dont on precisera les parametres.

(b) On suppose que p = 1/3. Calculer E(X), E(Y ), E(Z).

(c) Determiner l’ensemble des valeurs de p pour lesquelles on a P (Z ≥ 2) > 0.95.

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sursa fiche, le candidat redigera et presentera les reponses aux questions Q.4 et Q.5.Programmes de reference : Probabilites de 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ES et TermL (option).

Q.1 : Indiquer le ou les niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degager lessavoirs mis en jeu pour la resolution de l’exercice. Quelles difficultes cet exercice est-ilsusceptible de soulever pour les eleves ? Expliquer une facon d’y remedier.

Q.2 : Les variables X et Y sont-elles independantes ? Justifier. Resoudre precisementla question 2.

Q.3 : On suppose dans ce qui suit que X suit une loi binomiale de parametres (20, p).Representer a l’aide de la calculatrice la loi de X pour differentes valeurs de p.

Q.4 : Soit k un entier donne. Comment varie P (X ≥ k) en fonction de p ? Demontrercette propriete.

Q.5 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme de la loi binomiale.

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M09-37-05 : Le semeur de grains (09.1)

Preparation au CAPES 2009 Universite Paris Sud

Theme 37 : Loi binomiale

Exercice propose par le jury :

Un jardinier decide de semer des graines. Le pouvoir germinatif de chaque graine est0,8.

1. Il seme huit graines. Quelle est la probabilite que :

(a) sept graines exactement germent ?

(b) au moins sept graines germent ?

2. Quand une graine a germe, la probabilite que les limaces detruisent le jeuneplant est 0,5.

(a) Calculer la probabilite qu’une graine semee donne un plant bon a repiquer,c’est-a-dire que la graine germe et que les limaces ne mangent pas le jeuneplant.

(b) Combien faut-il semer de graines pour que la probabilite d’avoir au moinsun plant bon a repiquer soit superieur a 0,99 ?

Travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors de l’entretienavec le jury.


Q.1 Ou dans l’exercice fait-on appel a la loi binomiale ?Q.2 Rediger une reponse a la question 2.b) de l’exercice.Q.3 Proposer une simulation a la calculatrice permettant d’illustrer les resultats

de la premiere question de l’exercice du jury.

Sur ses fiches, le candidat redigera et presentera :– Sa reponse a la question Q.2.– L’enonce d’un ou plusieurs exercices se rapportant au theme : “ Probabilites ”.

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38 Lois continues

PG05-38-13 : Un problème de rencontres aléatoires (05.1, 05.2, 06.1, 06.2,07.2)


THEME 38Lois continues

1 Exercice propose

1) A partir de 7h du matin, les bus de la ligne 13 arrivent toutes les 15 minutes a la gareroutiere. Un usager se presente a la gare entre 7h et 8h. On fait l’hypothese que sonheure d’arrivee a la gare suit une loi uniforme.a) Calculer la probabilite pour que l’usager attende moins de 5 minutes le prochain busde la ligne 13.b) Calculer la probabilite pour qu’il attende plus de 10 minutes le prochain bus de la ligne13.2) Les jours de greve, un seul bus de la ligne 13 est prevu entre 7h et 8h. Son heured’arrivee a la gare routiere est aleatoire, on fait l’hypothese qu’elle suit une loi uniforme.Cependant le bus attend 15 minutes en gare avant de repartir. L’usager a aussi decided’attendre 15 minutes sauf s’il arrive entre 7h45 et 8h auquel cas il repart a 8h.Calculer la probabilite pour que l’usager puisse prendre ce bus.





• Q.2) Preciser les variables aleatoires que l’on peut faire apparaıtre dans cet exerciceet donner leurs lois.

• Q.3) Comment pourrait-on faire simuler ces experiences aleatoires a des eleves deTerminale S? Proposer un programme permettant de simuler l’experience aleatoiredecrite dans la question 2).

• Q.4) Dans la question 2), quelle(s) generalisation(s) peut-on envisager? Quellesnouvelles difficultes apparaissent alors?



• un exercice de probabilites concernant une ou des lois continues differentes des loisqui apparaissent dans l’exercice propose ci-dessus.

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PG05-38-13bis : Un problème de rencontres aléatoires (autre version) (07.1)

Preparation a l’epreuve orale du CAPES 2007 Universite Paris SudGroupe 1.

Theme 38 : Lois continues.

1. L’exercice propose au candidat :

1. A partir de 7h du matin, les bus de la ligne 13 arrivent toutes les quinze minutes a lagare routiere. Un usager se presente a la gare entre 7h et 8h. On fait l’hypothese que sonheure d’arrivee a la gare suit une loi uniforme.

(a) Calculer la probabilite pour que l’usager attende moins de cinq minutes le prochainbus de la ligne 13.

(b) Calculer la probabilite pour qu’il attende plus de dix minutes le prochain bus de laligne 13.

2. Les jours de greve, un seul bus de la ligne 13 est prevu entre 7h et 8h. Son heure d’arriveea la gare routiere est aleatoire, on fait l’hypothese qu’elle suit une loi uniforme. Cependantle bus attend 15 minutes en gare avant de repartir. L’usager a aussi decide d’attendre 15minutes sauf si il arrive entre 7h45 et 8h auquel cas il repart a 8h..Calculer la probabilite pour que l’usager puisse prendre un bus de la ligne 13 ce jour-la.

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sur sa fiche,le candidat redigera et presentera les reponses aux questions Q2 Q.4 et Q.5.

En aucun cas le candidat ne doit rediger sa solution de l’exercice sur la fiche.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite

lors de son entretien avec le Jury.

Programmes de reference : Probabilite de 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ES et Term L(option).

Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils uti-lises ainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.

Q2. Preciser les variables aleatoires que l’on peut faire apparaıtre dans cet exercice etindiquer leur loi. Exprimer la probabilite demandee dans la question 2 a l’aide de ces variablesaleatoires.

Q3. Comment pourriez-vous faire simuler ces experiences aleatoires a des eleves de Ter-minale S ? Quel en serait l’interet ? Presenter a l’aide de la calculatrice une simulation del’experience aleatoire decrite dans la question 2 (on pourra utiliser des representations gra-phiques).

Q4. Dans la question 2, on suppose que la duree d’attente du bus et de l’usager est t.Exprimer dans ce cas le resultat de la question 2 a l’aide de t. Que represente cette fonctionpour les variables de la question Q2 ? Comment faire le lien avec les resultats de simulationsde la question Q3 ?

Q5. Proposer un ou deux exercices de probabilites avec des lois continues differentes deslois qui apparaissent dans l’exercice propose.

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PG08-38-13-3 : Un problème de rencontres aléatoires (autre version) (08.2)


THEME 38Lois continues

1 Exercice propose

1) A partir de 7h du matin, les bus de la ligne 13 arrivent toutes les 15 minutes a la gareroutiere. Un usager se presente a la gare entre 7h et 8h. On fait l’hypothese que sonheure d’arrivee a la gare suit une loi uniforme.a) Calculer la probabilite pour que l’usager attende moins de 5 minutes le prochain busde la ligne 13.b) Calculer la probabilite pour qu’il attende plus de 10 minutes le prochain bus de la ligne13.2) Deux personnes A et B ont rendez-vous a cette gare entre 20h et 21h. Chacune decidealeatoirement de son instant d’arrivee, attend un quart d’heure avant de repartir, sauf sielle est arrivee entre 20h45 et 21h, auquel cas elle quitte les lieux a 21h.A l’aide d’une representation geometrique et d’un calcul d’aire, calculer la probabilite queles deux personnes se rencontrent.




• Q.1) Indiquer l’objectif de l’exercice, les methodes et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveau(x) au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultesqu’il peut presenter pour des eleves.

• Q.2) Preciser les variables aleatoires que l’on peut faire apparaitre dans cet exerciceet donner leurs lois.

• Q.3) A l’aide d’un tableur, proposer une simulation de l’experience aleatoire decritedans la question 2).

• Q.4) Dans la question 2), traiter le probleme en remplacant la duree d’attente ”unquart d’heure” par t (exprime en heure) ou 0 < t < 1. Le choix de privilegierl’aspect geometrique vous parait-il pertinent? Est-il raisonnable d’envisager unegeneralisation a trois personnes, voire plus?


• sa reponse aux questions Q.2) et Q.4) ;

• un exercice de probabilites concernant une ou des lois continues differentes des loisqui apparaissent dans l’exercice propose ci-dessus.

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PG05-38-8 : Durée de vie d’ampoules (05.o, 06.1, 07.s)



1 Exercice propose




3) La duree de vie en heures d’une ampoule, notee T , suit une loi de duree de vie sans

vieillissement (ou loi exponentielle) de parametre λ :=1

50000= 2.10−5.

Selon cette loi, pour tout x ∈ [0,+∞[, P (T ≤ x) :=∫ x

0λ exp(−λt) dt.

a) Quelle est la probabilite P1 qu’une ampoule dure plus de 25000 heures ? Donner lavaleur exacte de P1.b) Quelle est la probabilite P2 qu’une ampoule dure plus de 50000 heures ? Donner lavaleur exacte de P2.c) Quelle est la probabilite P3 qu’une ampoule dure plus de 50000 heures sachant qu’ellea dure 25000 heures ? Donner la valeur exacte de P3.





SUITE...

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• Q.2) Cet exercice utilise implicitement dans la question 1 une formule qui n’est pasau programme du lycee. Quelle est cette formule ?


• Q.4) Expliquer l’expression de la question 3 : “une loi de duree de vie sans vieil-lissement (ou loi exponentielle) ”.

• Q.5) Peut-on faire calculer la duree de vie moyenne d’une ampoule a des eleves enTerminale S ?


• sa reponse aux questions Q.2), Q.3), Q.4) et Q.5);


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MG06-38-12 : Durée de vie d’un composant électronique (06.1, 08.1)Preparation a l’epreuve orale du CAPES Universite Paris Sud

Theme 38 : Lois continues.

1. L’exercice propose au candidat :On s’interesse a la duree de vie, exprimee en semaines d’un composant electronique. On modelise

cette situation par une loi de probabilite P de duree de vie sans vieillissement definie sur l’intervalle[0, +∞[ : La probabilite que le composant ne soit plus en etat de marche au bout de t semaines est

P ([0, t[) =∫ t

0

λe−λxdx.

Une etude statistique, montrant qu’environ 50% d’un lot important de ces composants sont encore enetat de marche au bout de 200 semaines.

1. Montrer qu’on a λ = ln 2200 .

2. Quelle est la probabilite qu’un de ce composants pris au hasard ait une duree de vie superieure a400 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchee decimale au centieme pres.

3. Quelle est la probabilite pour qu’un composant fonctionnant encore au bout de 200 semaines soittoujours en etat de marche 200 semaines plus tard ?

4. On admet que la duree de vie moyenne dm de ces composants est la limite quand A tend versl’infini de

∫ A

0λxe−λxdx.

(a) Montrer que∫ A

0λxe−λxdx = λAe−λA−e−λA+1

λ .

(b) En deduire dm. On donnera la valeur exacte et une valeur approchee decimale a la semainepres.

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sur sa fiche, le can-didat redigera et presentera les reponses aux questions Q.4, Q.5 et Q.6.Programmes de reference : Probabilites de 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ES et Term L (option).

Q.1 : Indiquer le ou les niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degager les savoirs mis en jeupour la resolution de l’exercice.

Q.2 : Comment repond-on a la question 1 ? Quelle justification theorique peut-on utiliser ? Cettequestion parait-elle faisable telle quelle par les eleves ?

Q 3 : Quelle propriete fait apparaitre la question 3 ? Quel interet presente-t-elle a cet endroit precis ?

Q 4 : Expliquer la modelisation proposee. Vous semble-t-elle raisonnable ? Quelle modelisationproposeriez-vous si on exprimait la duree de vie en nombre entier de semaines ? Justifier et preciserles valeurs des parametres. Comparer alors ces deux lois a l’aide de la calculatrice. Commenter.

Q.5 : Comment faire apparaitre naturellement la quantite de la question 4. Quelle est sa significationtheorique ?

Q.6 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme des lois continues differentes de celle du themepropose.

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JURY08-38-0207 : Duréee de vie d’un téléviseur avant la première panne (09.1) - 2 pages




On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en année, d’un téléviseur avant la premièrepanne. On peut modéliser cette situation par une variable aléatoire qui suit une loi deprobabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0,+∞[. Ainsi laprobabilité d’un intervalle [0, t[, notée p([0, t[), est la probabilité que le téléviseur tombeen panne avant t année. Cette loi est la loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réelstrictement positif.

1) Déterminer, en fonction de λ, la valeur de t pour laquelle on a p([0, t[) = p([t,+∞[).2) D’après l’étude statistique effectuée par le constructeur, la probabilité que le télévi-

seur tombe en panne avant la fin de la première année est 0,18. Calculer la valeurexacte de λ.Dans la suite de l’exercice, on prendra λ = 0,2.

3) Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le téléviseur n’ait pas eu depanne au cours des trois premières années, arrondie à 10−4 près, est : 0,5488.

4) Sachant que ce téléviseur n’a connu aucune panne au cours des 10 premières annéesaprès sa mise en service, quelle est la probabilité qu’il ne connaisse aucune panneau cours des 13 premières années ?

5) Dix téléviseurs neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désignepar X la variable aléatoire égale au nombre de téléviseurs qui n’ont pas eu de panneau cours des trois premières années. Calculer une valeur approchée de la probabilitéde l’événement « X = 4 » arrondie à 10−4 près.




Q.1) Rédiger une réponse pour chacune des questions 3) et 4) de l’exercice.Q.2) Commenter l’expression « loi de durée de vie sans vieillissement ».


Sa réponse à la question Q.1). L’énoncé d’un ou plusieurs exercices se rapportant au thème : « Probabilités ».


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39 Calcul matriciel et probabilités

PG05-39-14 : L’allumeur de réverbère (05.1, 05.2, 06.2, 07.2, 08.2)


THEME 39Calcul matriciel et probabilites

1 Exercice propose

Chaque matin, l’allumeur de reverbere du Petit Prince change l’etat du reverbere de saplanete avec une probabilite p = 0, 75. Au jour 0, le reverbere est eteint.

1) Faire un arbre permettant de trouver l’etat probabiliste du reverbere au 2ieme jour.2) Decrire la situation a l’aide d’un graphe probabiliste. Donner la matriceM de transitionassociee a ce graphe.3) Verifier que M peut s’ecrire M = N − 1

2R ou

N =

(1/2 1/21/2 1/2

)et R =

(1/2 −1/2−1/2 1/2

).

Calculer N2, R2, NR et RN . En deduire Mn pour tout entier naturel n non nul.

4) Calculer la probabilite pn que le reverbere soit allume au nieme matin et determinerla limite de pn quand n→ +∞.5) Que se passe-t’il si au jour 0 le reverbere est allume? Commenter.





• Q.2) Comment l’exercice serait-il modifie si on considerait une valeur de p dans]0, 1[differente de 0,75?

• Q.3) Proposer une nouvelle redaction de cet l’enonce utilisant les suites arithmetico-geometriques.



• un autre exercice illustrant le theme : Calcul matriciel et probabilites et impli-quant l’utilisation de matrice(s) d’ordre 3.

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FIR06-39-7 : Un jeu avec 2 pièces de monnaie trucquées (06.1,08.1, 09.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 39.

Calcul matriciel et probabilites .


Deux pieces de monnaie A et B, indiscernables au toucher et a la vue, sont truquees detelle sorte que “face” sort avec la probabilite a (piece A) ou b (piece B).On suppose qu’un joueur choisit une piece au hasard et la lance; s’il obtient “face” il gagneet relance la meme piece; s’il obtient “pile”, il perd et change de piece; ainsi de suite.Pour n ≥ 1 on note :

An l’evenement “la piece A est lancee au n-ieme coup”,

Bn l’evenement “la piece B est lancee au n-ieme coup”,

Sn l’evenement “le joueur gagne au n-ieme coup”;

et on pose αn = P (An), βn = P (Bn) et pn = P (Sn).1) a) Que vaut α1 ? Que vaut β1 ?b) Exprimer αn+1 en fonction de αn a l’aide d’un arbre de probabilites.

c) On pose, pour n ≥ 1, un = αn − 1− b

2− (a + b). Verifier que la suite (un) est geometrique

puis exprimer un en fonction de a et b.d) En deduire une expression de αn en fonction de n, a et b.e) Preciser les limites des suites (αn) et (βn).2) a) A l’aide d’un arbre, exprimer pn en fonction de αn.b) En deduire que, pour tout n ≥ 1, on a :

pn =a + b− 2ab

2− (a + b)− (a− b)2

2(2− (a + b))(a + b− 1)n−1.

c) Determiner la limite de la suite (pn).3) a) on suppose que a = b, verifier que la suite (pn) est constante. Interpreter ce resultat.b) on suppose que a+b = 1, verifier que la suite (pn) est constante et montrer que pn ≥ 1/2.Interpreter ce resultat.



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes:1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. On choisit a = 0.3 et b = 0.5. Comment peut-on simuler cette experience (avec Nlancers) a l’aide d’une calculatrice ?3. On choisit a = 0.3 et b = 0.5. Ecrire l’enonce d’un exercice a poser en classe de TerminaleES specialite Mathematique qui permet de calculer le vecteur en =

(αn

βn

), n ≥ 1 en utilisant

un graphe probabiliste et le calcul matriciel. Dans l’exercice on calculera aussi les limitesdes suites (αn), (βn) et (pn).Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :

SUITE ...

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Preparation au CAPES, ORSAY

- sa reponse a la question 3 du jury.- un enonce d’exercice se rapportant au theme: Calcul matriciel et probabilites .

Extraits de programmes a consulter : Terminale S, Terminale ES et Terminale ESspecialite Mathematique.

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40 Séries statistiques à une variable (2)

FIR05-40-15 : Notes de Math dans un lycée (05.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 40.

Series statistiques a une variable.


Dans plusieurs lycees, on a collecte, a la fin de l’annee scolaire, toutes les notes demathematiques obtenues au baccalaureat par les lyceens. Ces notes ont ete collectees paretablissement. On souhaite faire une etude statistique de chaque lycee sonde et comparerles resultats selon les lycees.

1) Pour chacune des series statistiques ci-dessous, calculer la moyenne et l’ecart-type.

Lycee 1

Note xi [0, 4[ [4, 8[ [8, 12[ [12, 16[ [16, 20]

Effectif ni 22 42 37 25 15

Lycee 2 : 300 eleves ont passe le bac.

Note xi [0, 4[ [4, 8[ [8, 12[ [12, 16[ [16, 20]

Frequence en % 6 13 35 31 15

Lycee 3 :

Note xi [0, 4[ [4, 8[ [8, 12[ [12, 16[ [16, 20]

Effectif cumule Ni 13 30 55 75 91

Lycee 4 : 1000 eleves ont passe le bac.

Note xi [0, 4[ [4, 7[ [7, 12[ [12, 16[ [16, 20]

Frequence cumulee 0.12 0.28 0.51 0.74 1

2) Pour chaque lycee, choisissez une representation graphique de la serie correspon-dante, adaptee aux donnees.

3) A votre avis quel est le meilleur lycee ?

4) A votre avis quel est le lycee ou l’on a le plus de chance d’avoir au moins la moyenneen mathematique au Bac.




SUITE ...55


1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter.2. Indiquer les parametres de position et de dispersion utilises dans la question 3. Definirces parametres.3. Proposer une representation graphique adaptee a la resolution de la question 4.4. A propos de la question 4, expliquer le lien entre les statistiques et les probabilites.Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :

- sa reponse a la question 2 du jury.- un ou deux enonces d’exercice mettant en valeur l’utilisation et la signification de lamoyenne et de l’ecart-type.

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FIR05-40-16 : Les gelinottes huppées (05.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 40.

Series statistiques a une variable.


Afin d’etudier la structure de la population des gelinottes huppees abattues par leschasseurs, R. Ouellet, du service de la faune du Quebec a entrepris une recherche sur ledimorphisme sexuel de cette espece. Il a en particulier mesure la longueur de la plumecentrale de la queue (en mm) sur 50 males jeunes et a obtenu les donnees suivantes :

153 165 160 150 159 151 163 160 158 149

154 153 163 140 158 150 158 155 163 159

157 162 160 152 164 158 153 162 166 162

165 157 174 158 171 162 155 156 159 162

152 158 164 164 162 158 153 171 164 158

1) Chercher l’etendue de cette serie statistique. Calculer la mediane et les quartiles.Traduire ces parametres par un diagramme adapte.

2) Calculer la moyenne x et l’ecart-type σ de cette serie.

3) Regrouper par classe de 5mm la serie precedente et representer les donnees avecun diagramme en batons. Quelle est l’allure du diagramme obtenu ?

4) Dans cette population, combien d’oiseaux ont la plume centrale de la queue delongueur comprise entre x − 2σ et x + 2σ ? Y-en -a-t-il environ 95% de la populationetudiee ?



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter.2. Indiquer quels sont les parametres de position et de dispersion utilises dans cet exercice.Definir ces parametres.3. Comment appelle-t-on l’intervalle ]x − 2σ, x + 2σ[. Quelle hypothse portant sur larepartition du caractere etudie est sous-jacente la question 4 ? Expliquer cette hypothesepar des resultats de la theorie des probabilites.Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse aux questions 2 et 3 du jury.- un ou deux enonces d’exercice sur le theme et relevant du programme des classes dessections L, ES ou S.

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MG06-40-13 : Salaires hommes/femmes (06.1, 06.2, 08.1, 08.2)Preparation a l’epreuve orale du CAPES 2006 Universite Paris Sud

Theme 40 : Series statistiques a une variable.

1. L’exercice propose au candidat :Le but de cet exercice consiste en l’etude comparative des salaires Hommes/Femmes. Voici la distri-

bution des salaires nets annuels pour les salaries a temps complet du prive et du semi-public en 2004publies par l’INSEE (Insee Premiere no 1067, Fevrier 2006).

Deciles Femmes Hommes EnsembleD1 11 430 12 511 12 055D2 12 680 14 018 13 466D3 13 745 15 409 14 753D4 14 893 16 892 16 166Mediane (D5) 16 310 18 622 17 802D6 18 073 20 805 19 813D7 20 299 23 850 22 498D8 23 425 28 769 26 788D9 29 436 38 832 35 513D9/D1 2.6 3.1 2.9Salaire moyen 19 182 23 778 22 193

1. On fait l’hypothese de la repartition uniforme pour la saisie des donnees : c’est a dire qu’on supposeque 10% des salaries ont un salaire egal a D1/2, 10% ont un salaire egal a (D1 + D2)/2... avecune indetermination pour le dernier decile. Calculer a l’aide du salaire moyen la valeur qu’on doitattribuer au salaire du dernier decile par cette methode.

2. Representer par un diagramme adequat les donnees du tableau concernant les hommes et lesfemmes. Quels premiers commentaires pouvez-vous faire ?

3. Calculer pour chacune de ces series, la moyenne et la dispersion puis la mediane, l’intervalle inter-quartile et l’etendue. On pourra representer ces donnees par des boites de dispersion. Commenterles valeurs obtenues.

4. Representer graphiquement le rapport des deciles Di(H)/Di(F ) en fonction de l’indice du decile,i. Quels commentaires nouveaux pouvez-vous ajouter ? Interpreter le coefficient D9/D1 fourni parle document.

5. Construire a l’aide des donnees initiales l’histogramme des salaires pour les femmes et pour leshommes. Quelles informations apporte la lecture de ces graphiques ?

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sur sa fiche, le can-didat redigera et presentera les reponses aux questions Q.3 et Q.4.Programmes de reference : Statistiques de Seconde, 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ES et Term L enoption.

Q.1 : Indiquer le ou les niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degager les savoirs mis en jeupour la resolution de l’exercice. Sous quelle forme proposeriez-vous cet exercice aux eleves ?

Q.2 : Presenter a l’aide de la calculatrice les constructions des boites de dispersion puis des histo-grammes.

Q.3 : Quelle est la signification theorique des histogrammes de la question 5 ? Comment sont-ilslies ? Quelle est la proportion de femmes concernees par l’etude ? Comment a l’aide de cette donneesupplementaire peut-on retrouver approximativement les valeurs de la 3e colonne ? Commentez.

Q.4 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme des series statistiques a une variable s’adressanta des niveaux differents de ceux de l’exercice presente.

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JURY06-40-3006 : Visites d’un site WEB (4 pages)


Thème : Séries statistiques à unevariable

1. L’exercice proposé au candidatLe tableau ci-contre indique, pour chaque mois de l’année 2004, trois données concernant

le site web du CAPES (la « bande passante » représente le volume d’information qui a étéchargé).

Mois Visiteurs différents Visites Bande passanteJanvier 2004 353 425 62 MoFévrier 2004 577 744 144 MoMars 2004 834 1 151 169 MoAvril 2004 650 803 132 MoMai 2004 2 498 3 404 1 021 MoJuin 2004 2 324 3 254 907 MoJuillet 2004 2 636 3 482 589 MoAoût 2004 1 410 1 916 274 MoSeptembre 2004 2 525 3 553 681 MoOctobre 2004 2 897 4 135 2 600 MoNovembre 2004 3 861 5 232 4 372 MoDécembre 2004 2 452 3 157 2 499 Mo

1) Donner pour ces trois séries de données le tableau des effectifs cumulés croissants.À quels types de questions ces tableaux permettent-ils de répondre ?

2) Calculer la moyenne du nombre des visiteurs et la moyenne du nombre des visites. Ons’intéresse au nombre moyen de visites par visiteurs : un élève propose de le calculerchaque mois et de faire la moyenne des résultats obtenus. Un autre propose de fairele quotient moyenne des visites moyenne des visiteurs. Obtient-on le même résultat ?Pourquoi ? En moyenne quelle est la bande passante utilisée par un visiteur ?

3) Proposer une ou deux représentations graphiques permettant de visualiser les donnéesdu tableau.


SUITE...

59





Q.1. Préciser à quel niveau d’enseignement une telle activité peut trouver sa place. Indiquercomment vous la mettriez en œuvre dans une classe.

Q.2. Quelles représentations graphiques peut-on obtenir en réponse à la question 3) ? Montrersur un écran de calculatrice une de ces représentations.

Q.3. Donner au moins un autre exemple permettant d’illustrer l’intérêt et les limites de lanotion de moyenne, vous pourrez (sans que ce soit une obligation) utiliser le graphiqueci-contre. Énoncer les théorèmes mis en jeu dans l’exercice.

NOMBRE DE GRIPPES PAR SEMAINE EN 1999

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

500000

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52

Moyenne


– sa réponse à la question Q.3.– un ou plusieurs exercices sur le thème : « Séries statistiques à une variable. »


60

MG07-40-2 : Visites d’un site WEB (modifié) (07.1, 07.2, 09.1)



1. L’exercice propose au candidat :Le tableau ci-contre indique, pour chaque mois de l’annee 2004, trois donnees concernant le site Web

du CAPES (la “bande passante” represente le volume d’information qui a ete charge).

Mois Visiteurs differents Visites Bande passanteJanvier 2004 353 425 62 MoFevrier 2004 577 744 144 MoMars 2004 834 1 151 169 MoAvril 2004 650 803 132 MoMai 2004 2 498 3 404 1 021 MoJuin 2004 2 324 3 254 907 MoJuillet 2004 2 636 3 482 589 MoAout 2004 1 410 1 916 274 MoSeptembre 2004 2 525 3 553 681 MoOctobre 2004 2 897 4 135 2 600 MoNovembre 2004 3 861 5 232 4 372 MoDecembre 2004 2 452 3 157 2 499 Mo

1. Donner pour ces 3 series de donnees le tableau des effectifs cumules croissants. A quel type dequestions ces tableaux permettent-ils de repondre ?

2. Calculer la moyenne du nombre de visiteurs et la moyenne du nombre de visites. On s’interesse aunombre moyen de visites par visiteur : un eleve propose de le calculer chaque mois et de faire lamoyenne des resultats obtenus. un autre propose de faire le quotient moyenne de visites moyennede visiteurs. Obtient-on le meme resultat ? Pourquoi ? En moyenne quelle est la bande passanteutilisee par un visiteur ?

3. Proposer une ou deux representations graphiques permettant de visualiser les donnees du tableau.

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sur sa fiche, le can-didat redigera et presentera les reponses aux questions Q.3 et Q.4.Programmes de reference : Statistiques de Seconde, 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ES et Term L enoption.

Q.1 : Preciser a quel niveau d’enseignement une telle activite peut trouver sa place. Indiquer com-ment vous la mettriez en oeuvre dans une classe.

Q.2 : Quelles representations graphiques peut-on obtenir a la question 3 ? Montrer sur un ecran decalculatrice une de ces representations.

Q.3 : Donner au moins un autre exemple permettant d’illustrer l’interet et les limites de la notionde moyenne, vous pourrez (sans que ce soit une obligation) utiliser le graphique ci-contre. Enoncer lestheoremes mis en jeu dans l’exercice.

Q.4 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme des series statistiques a une variable s’adressanta des niveaux differents de ceux de l’exercice presente.

61

MG07-40-3 : Lancés d’un dé cubique (07.1, 07.2)

Preparation a l’epreuve orale du CAPES 2007 Universite Paris SudGroupe 1


1. L’exercice propose au candidat

1. Un de cubique a ete lance 150 fois et les resultats obtenus sont les suivants :Face 1 2 3 4 5 6Effectif 19 27 23 32 18 31

On repete 100 fois une simulation de 150 experiences modelisables par la loi equirepartie surl’ensemble 1, 2, .., 6 et on obtient une serie de 100 valeurs de 150d2 representee par son graphiqueen tige et feuilles.0 011111111222233333344444444440 55555555555566666677777777788888888899999991 000011122222333344441 5682 1342 5334 0

Peut-on considerer que le de est bien equilibre, c’est a dire que les resultats sont compatibles avecune loi equirepartie ?

2. On lance maintenant 300 fois le de et les resultats obtenus sont les suivants :Face 1 2 3 4 5 6Effectif 38 54 46 64 36 62

On repete 100 fois une simulation de 300 experiences modelisables par la loi equirepartie surl’ensemble 1, 2, .., 6 et on obtient une serie de 100 valeurs de 300d2 representee par son graphiqueen tige et feuilles.0 0110 22222223333330 44444444444555555555550 66666666677777777770 88899991 00000011111111 2222233331 4444551 667771 8222 4

Peut-on considerer que le de est bien equilibre ?3. Quelle conclusion peut-on tirer des deux questions precedentes ?

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sur sa fiche, le can-didat redigera et presentera les reponses aux questions Q.3 et Q.4.Programmes de reference : Statistiques de Seconde, 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ES et Term L(option).


Q.2 : Apres avoir precise la definition de d2, presenter a l’aide de la calculatrice une construction dela serie associee au graphe de la question 1. Y-a-t-il d’autres representations usuelles d’une telle serie ?Expliquer les avantages et les inconvenients de celles-ci.

Q.3 : Resoudre la question 2 en expliquant la demarche suivie. Quelles critiques pourrait-on fairesur l’exercice ?

Q.4 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme des series statistiques.

62

MG07-40-4 : Retraits d’argent dans une banque (07.1, 07.2)



1. L’exercice propose au candidat :Les guichets d’une agence bancaire d’une petite ville sont ouverts au public cinq jours par semaine :

les mardi, mercredi, jeudi, vendredi et samedi.Le tableau ci-dessous donne la repartition journaliere des 250 retraits d’argent liquide effectues auxguichets une certaine semaine.

Jour de la semaine mardi mercredi jeudi vendredi samediRang i du jour 1 2 3 4 5Nombre de retraits 37 55 45 53 60

On veut tester l’hypothese “le nombre de retraits est independant du jour de la semaine”. On suppose

donc que le nombre des retraits journaliers est egal a1

5du nombre des retraits de la semaine.

On pose d2

obs=

5∑

i=1

(

fi −

1

5

)2

ou fi est la frequence des retraits du i-eme jour.

1. Calculer les frequences des retraits pour chacun des cinq jours de la semaine.

2. Calculer alors la valeur de 1 000d2

obs(la multiplication par 1 000 permet d’obtenir un resultat plus

lisible).

3. En supposant qu’il y a equiprobabilite des retraits journaliers, on a simule 2 000 series de 250retraits hebdomadaires.

Pour chaque serie, on a calcule la valeur du 1 000d2

obscorrespondant. On a obtenu ainsi 2 000

valeurs de 1 000d2

obs.

Ces valeurs ont permis de construire le diagramme en boite ci-dessous ou les extremites des “pattes”correspondent respectivement au premier decile et au neuvieme decile.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Lire sur le diagramme une valeur approchee du neuvieme decile.

4. En argumentant soigneusement la reponse, dire si pour la serie observee au debut, on peut affirmer,avec un risque d’erreur inferieur a 10%, que le nombre de retraits est independant du jour de lasemaine ?



Q.2 : Presenter a l’aide de la calculatrice une construction du diagramme de la question 3.

Q.3 : Le diagramme obtenu a la question Q.2 est-il rigoureusement identique a celui de l’enonce ?Pourquoi ? Quelle est sa signification theorique ?

Q.4 : Resoudre la question 4 en expliquant la demarche suivie.

Q.5 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme des series statistiques s’adressant a des niveauxdifferents de ceux de l’exercice presente.

63

MM08-40-1 : Répartition des naissances (08.1, 09.1)




Une maternite veut savoir si les naissances sont equitablement reparties dans la semaine. L’etablissementdispose de l’observation de la repartition des naissances sur un mois :

Jour de la semaine L Ma Me J V S DNombre de naissances 58 64 62 62 63 47 44

Par ailleurs, on effectue 10000 fois une simulation de 400 tirages selon une loi uniforme sur 1, . . . , 7.On obtient une serie de 10000 valeurs de 2800d2 representee par le tableau suivant

j 8 9 10 11 12 13 14 15 16Nombre de simulations tq 2800d2 > j 2975 1798 1257 897 796 437 306 253 179

1. Quel est le neuvieme decile de la serie donnee par le deuxieme tableau ?

2. Peut-on affirmer, avec un risque d’erreur de moins de 10% que les naissances sont equitablementreparties dans la semaine ?


Q.1 : Indiquer le ou les niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degager les savoirs mis en jeu pourla resolution de l’exercice. On n’oubliera pas en particulier de donner la definition de d2 et d’expliqueren grand detail la demarche permettant de resoudre l’exercice.

Q.2 : Proposer un traitement de la serie donnee par le deuxieme tableau. Quelle representation gra-phique serait pertinente ?

Q.3 : Pourquoi a-t-on choisi de faire 10000 simulations ? 100 auraient-elles suffi ? Meme question avecle nombre d’observations. Est-il necessaire d’en effectuer 400 ?

Q.4 : L’exercice vous paraıt-il faisable en l’etat par les eleves ? En proposer une reformulation plusaccessible.

Q.5 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme des series statistiques, illustrant d’autres notionsdu programme que le test d’adequation.

64

MM08-40-2 : Lancés d’un dé cubique (2ème version) (08.2)




Un de cubique a ete lance 150 fois et les resultats obtenus sont les suivants :

Face 1 2 3 4 5 6Effectif 19 27 23 32 18 31

On repete 100 fois une simulation de 150 experiences modelisables par la loi equirepartie sur l’ensemble1, 2, .., 6 et on obtient une serie de 100 valeurs de 150d2 representee par son graphique en tiges etfeuilles.

0 011111111222233333344444444440 55555555555566666677777777788888888899999991 000011122222333344441 5682 1342 5334 0

Peut-on considerer que le de est bien equilibre, c’est a dire que les resultats sont compatibles avec uneloi equirepartie ?


Q.1 : Indiquer le ou les niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degager les savoirs mis en jeu pourla resolution de l’exercice. On n’oubliera pas en particulier de donner la definition de d2 et d’expliqueren grand detail la demarche permettant de resoudre l’exercice.

Q.2 : Proposer un traitement de la serie donnee par le diagramme tiges et feuilles qui la rende plusexploitable. En donner a la calculatrice plusieurs representations, dont on comparera les avantages etles inconvenients.

Q.3 : L’exercice vous paraıt-il faisable en l’etat par les eleves ? En proposer une reformulation plusaccessible.

Q.4 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme des series statistiques.

65

41 Séries statistiques à deux variables

FIR05-41-17 : Evolution du chiffre d’affaires (05.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 41.

Series statistiques a deux variables.


Le tableau ci-dessous presente l’evolution du chiffre d’affaires (en milliards de dollars)du trafic aerien mondial sur 10 ans (entre 1986 et 1995).

Anne xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Chiffre yi 125 147 166 178 200 206 218 226 245 269

1) Representer graphiquement le nuage de points Mi(xi, yi). On prendra un repereorthonormal du plan avec pour origine le point Ω = (0, 100) et pour unites : 1cm parannee sur l’axe des abscisses, 1cm pour 10 milliards de dollars sur l’axe des ordonnees.

Calculer les coordonnees du point moyen G du nuage. Le representer.

2) Determiner l’equation reduite de la droite ∆ qui passe par les points M1(1, 125) etM10(10, 269). Tracer cette droite ? Passe-t-elle par le point moyen ?

3) On note G1 le point moyen du nuage correspondant aux chiffres d’affaires des 5premieres annees, et G2 le point moyen du nuage correspondant aux chiffres d’affaires des5 dernieres annees.

a) Calculer les coordonnees des points G1 et G2. Placer ces points sur la figure.b) Determiner l’equation reduite de la droite D qui passe par les points G1 et G2.

Tracer cette droite ? Passe-t-elle par le point moyen ?

4) A l’aide de la calculatrice donner l’equation reduite de la droite R de regression dey en x. On donnera des valeurs approchees des coefficients 10−2 prs par defaut. Tracercette droite ? Passe-t-elle par le point moyen ?

5) En utilisant les equations des droites ∆, D et R, estimer le chiffre d’affaires pourl’annee 2000. Commentez les resultats obtenus.



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.

2. En quel sens peut-on dire que la droite R realise un meilleur ajustement affine ?Completer le texte de l’exercice pour permettre aux eleves de le constater numeriquement.Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse a la question 2 du jury.- un enonce d’exercice sur le traitement d’une serie statistique a deux variables ou l’onpropose de faire un ajustement par une fonction qui n’est pas affine.

66

MG07-41-5 : Dépenses et recettes liées au tourisme (07.1, 07.2, 09.1)


Theme 41 : Series statistiques a deux variables.

1. L’exercice propose au candidat :Le tableau ci-dessous donne les recettes et les depenses liees au tourisme en France en millionsde francs, en fonction de l’annee (source OCDE) :

Annee 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981Recettes 12785 14878 17391 21541 26663 29065 34593 39140Depenses 11423 13140 16413 19274 19284 22096 25325 312321982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 199046016 55075 66401 71356 67350 71348 82097 103646 10990433895 32631 37324 40942 45107 51048 57852 64075 673981991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

120443 132626 133417 137010 137389 145076 163488 17656268464 73659 72675 76468 81495 90789 96756 104947

1. Tracer le nuage de points dans un repere orthogonal et placer le point moyen. Quel typed’ajustement suggere le nuage ?

2. (a) Determiner le coefficient directeur de la droite de regression par les moindres carres dey en fonction de x. En deduire l’equation de cette droite sous la forme : y = a(x−x)+y.

(b) Si la recette augmente de 10 milliards de francs, quelle sera l’augmentation de ladepense suivant l’ajustement affine ?Quelle part de l’augmentation de recette represente-t-elle ?

(c) Si les donnees etaient en Euros, pourrait-on toujours faire un ajustement affine ?Determiner alors l’equation de la nouvelle droite de regression.

3. On suppose qu’il y a un effet retard des depenses sur les recettes ; ainsi on cherche unerelation entre les depenses d’une annee et les recettes de l’annee precedente.Pour chaqueannee a partir de 1975 on note ri la recette de l’annee precedente et on garde yi les depensesde l’annee. On utilisera au mieux les listes de la calculatrice ou le tableur. Determiner ladroite de regression de y en r. Comparer les coefficients directeurs. Est-ce significatif ?

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sur sa fiche,le candidat redigera et presentera les reponses aux questions Q.3 et Q.4.Programmes de reference : Statistiques de Seconde, 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ES et TermL (option).

Q.1 : Indiquer les classes de lycee dans lesquelles on peut proposer cet exercice et les notionset outils mis en oeuvre dans sa resolution.

Q.2 : Presenter sur une calculatrice les deux nuages de points.

Q.3 : Quels problemes suggere la question 4 a propos de l’ajustement ? Par quel procedegraphique pourrait-on “deviner” le type d’ajustement le plus judicieux ?

Q.4 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme des series statistiques a 2 variables.

67

JURY05-41-1007 : Production annuelle d’une usine (2 pages)


Thème : Séries statistiques à deuxvariables

1. L'exercice proposé au candidatLe tableau ci-dessous donne la production annuelle d'une usine de pâte à papier (en tonnes)

en fonction de l'année :

Année 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003Production 325 351 382 432 478 538 708 930

1) Tracer le nuage de points correspondant.2) Pour l'année i, on note pi la production de pâte à papier et li = ln(pi). Tracer le nouveau

nuage de points (i, li).3) En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement par les moindres

carrés de li en i.4) En déduire une fonction d'ajustement de la production en fonction de l'année.5) Quelle production peut-on prévoir en 2005 ?

2. Le travail demandé au candidatEn aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa che sa solution de l'exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del'entretien avec le Jury

Après avoir résolu et analysé l'exercice le candidat rédigera sur sa che lesréponses aux questions suivantes :Q.1) Indiquer les classes de Lycée dans lesquelles on peut proposer cet exercice et les notions

et outils mis en ÷uvre dans sa résolution.Q.2) Présenter sur une calculatrice les deux nuages de points.Q.3) Comment utiliseriez vous cet exercice pour présenter à une classe de Terminale ES la

méthode d'ajustement par les moindres carrés ?Q.4) Quelles indications ajouteriez-vous à la question 4. pour amener un élève de Terminale

à la résoudre ?Q.5) Proposer un ou plusieurs exercices sur le même thème.


68

MG07-41-7 : Production annuelle d’une usine (autre version de JURY05-1007) ()



1. L’exercice propose au candidat :Le tableau ci-dessous donne la production annuelle d’une usine de pate a papier(en tonnes) en fonction de l’annee :

Annee 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003Production 325 351 382 432 478 538 708 930

1. Tracer le nuage de points correspondant.

2. Pour l’annee i, on note pi la production de pate a papier et li = ln(pi).Tracer le nouveau nuage de points (i, li).

3. En utilisant la calculatrice, donner une equation de la droite d’ajustementpar les moindres carres de li en fonction de i.

4. En deduire une fonction d’ajustement de la production en fonction del’annee.

5. Quelle production peut-on prevoir en 2005 ?

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions sui-vantes. Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera les reponses aux ques-tions Q.4 et Q.5.Programmes de reference : Statistiques de Seconde, 1ere S, 1ere ES, Term. S,Term ES et Term L (option).

Q.1 : Indiquer les classes de lycee dans lesquelles on peut proposer cet exer-cice et les notions et outils mis en oeuvre dans sa resolution.

Q.2 : Presenter sur une calculatrice les deux nuages de points.

Q.3 : Comment utiliseriez-vous cet exercice pour presenter a une classe deTerminale ES la methode d’ajustement par les moindres carres ?

Q.4 : Quelles indications ajouteriez-vous a la question 4 pour amener uneleve de Terminale a la resoudre ?

Q.5 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme des series statistiquesa 2 variables.

69

MG07-41-6 : Nombres de postes au CAPES ()



1. L’exercice propose au candidat :Le tableau ci-dessous donne le nombre de postes ouverts au CAPES externe de Maths et lenombre de candidats presents, en fonction de l’annee (source DEP) :

Annee 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983Postes 1400 1260 1000 780 574 270 170 205 420 550Presents 3087 3271 3386 3367 3382 3159 2767 2351 2458 19351984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995661 850 840 935 1100 1599 1917 1543 2351 2375 2385 23851538 1481 1602 1219 1687 2097 1928 2172 2282 3294 5125 65811996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 20062000 1154 1050 945 890 990 1125 1195 1003 1310 9527328 8204 7920 7523 6720 5773 4948 4616 4347 4487 4129

1. Tracer le nuage de points dans un repere orthogonal et placer le point moyen. Que suggerele nuage en terme d’ajustement ?

2. Tracer le polygone des candidats par annee puis celui des postes multiplies par 3 par anneesur un meme graphique. Que pouvez-vous constater entre les 2 courbes ?

3. Deduire de ce qui precede le type d’ajustement qui semble raisonnable entre le nombre deposte de l’annee i − 4, qu’on notera pi et le nombre de candidats presents au concours del’annee i, yi. On pourra pour verifier cette hypothese tracer le nuage de points correspon-dants, apres avoir precise le nombre de points du nuage.

4. Determiner la droite de regression par les moindres carres de y en p. Que pourriez-vous“predire ” sur le nombre de candidats presents pour l’annee 2007 ?

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sur sa fiche,le candidat redigera et presentera les reponses aux questions Q.3 et Q.4.Programmes de reference : Statistiques de Seconde, 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ES et TermL (option).

Q.1 : Indiquer les classes de lycee dans lesquelles on peut proposer cet exercice et les notionset outils mis en oeuvre dans sa resolution.

Q.2 : Quels problemes suggere la question 1 a propos de l’ajustement ? Presenter sur unecalculatrice les differents graphes intervenant au cours de l’exercice, et expliquer leur interet dansl’exercice.

Q.3 : Comment le coefficient “3” a-t-il ete determine dans la question 2 ? Quel en est l’interet ?Ce coefficient a-t-il un effet sur le type d’ajustement choisi ? Si oui expliquer lequel.

Q.4 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme des series statistiques a 2 variables.

70

JURY07-41-1907 :Evolution des dépenses publicitaires (08.1,08.2) - 2 pages


Thème : Séries statistiques à deux variables.


Cet exercice provient d’un ouvrage scolaire de terminale.Le tableau suivant donne, pour douze mois consécutifs, l’évolution des dépenses publicitaires (en

milliers d’euros) d’une société commerciale.

Numéro du mois :xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Montant des dé-penses : yi

3 000 4 500 3 750 5 250 5 250 6 000 7 500 7 500 8 250 9 750 9 750 10 500

1) Représenter dans un repère orthogonal le nuage des points Mi de coordonnées (xi; yi) corres-pondant à cette série statistique.

2) Tracer la droite passant par les points A(1; 3 000) et B(9; 8 250). Déterminer l’équation réduitede cette droite.

3) On utilise cette droite pour réaliser un ajustement affine du nuage des points Mi.

a) Estimer le montant des dépenses durant le quatorzième mois.

b) Estimer le rang du mois au cours duquel le montant dépassera pour la première fois13 000 euros.


En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretienavec le jury.


Q.1) En utilisant l’ajustement affine donné par la méthode des moindres carrés et la calculatrice,répondre aux questions 3)a) et 3)b).


– Un ou plusieurs exercices sur le thème : « Séries statistiques à deux variables ».


71

72

42 Modélisation et simulation d’expériences aléatoires

FIR05-42-18 : Différentes variétés de grains dans la farine (05.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 42.

Modelisation et simulation d’experiences aleatoires.


Un meunier a besoin, pour sa farine, d’un melange de quatre varietes differentes de farine,notees 1, 2, 3, 4. il veut savoir si, dans son silo, les differentes varietes sont bien melangees.Pour cela, il preleve, a la sortie du silo, un echantillon de grains comprenant 100 grainsrendus radioactifs par des marqueurs differents selon les varietes. Il obtient les resultatssuivants

Variete 1 2 3 4

Nombre de grains radioactifs 19 27 33 21

On appelle fi la frequence dans l’echantillon de la variete i.Le meunier veut savoir si ces donnees sont vraisemblables lorsqu’on fait l’hypothese d’unmelange homogene des quatre varietes, ce qui correspond a un quart des marqueurs pourchaque variete.On pose d2 = 400

∑4i=1(fi − 1

4 )2.

1) Calculer la valeur de d2.

2) On suppose l’equiprobabilite de la presence d’un grain de ble de chaque variete. Onsimule 10000 series de 100 tirages de grains de ble.Pour chaque tirage on calcule d2. Le tableau suivant donne le nombre de tirages N(j) pourlequel d2 est strictement superieura une valeur j.

j 3 4 5 6 7 8 9 10

N(j) 3915 2618 1715 1114 728 467 306 180

Donner la valeur approchee du 9 eme decile arrondie a l’entier le plus proche, puis celle du95 eme centile.

3) Si l’hypothese d’equiprobabilite est vraie,a) Peut-on affirmer avec un risque d’erreur de 10% que le melange etudie a la question 1est homogene ?b) Meme question avec un risque d’erreur de 5%.c) Que peut-on dire si quelqu’un demande avec un risque de 0% ?



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Expliquer l’importance des nombres 100 et 10000 dans l’enonce. Pourquoi 10000 simu-lations ? 100 ne suffiraient-elles pas ?

SUITE ...73


3. Quelle est la valeur moyenne de d2 ?4. Cet exercice introduit le test du χ2 dans le cadre d’une eventuelle adequation a une loid’equiprobabilite. Donner la formule de d2 si il y avait 5 varietes de grains.Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :

- sa reponse aux questions 3 et 4 du jury.- un ou deux enonces d’exercice de probabilite ou l’on modelise et simule une loi d’unevariable aleatoire.

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MG07-42-8 : Un jeu avec deux dés à 4 faces ()


Theme 42 : Modelisation et simulation de variables aleatoires.

1. L’exercice propose au candidat :Un jeu consiste a lancer 2 des a 4 faces, et a faire la somme des numeros

obtenus.

1. A l’aide d’une calculatrice simuler 50 lancers et afficher les resultats obte-nus dans une liste triee.

2. Preciser la moyenne et l’ecart-type de la serie obtenue puis donner a l’aided’un graphe la repartition des sommes obtenues.

3. Calculer la loi theorique de la somme des 2 des.

4. Representer graphiquement la loi obtenue, et comparer avec le grapheprecedent. Commenter.

5. Calculer pour la loi obtenue la moyenne theorique. Comparer ce resultatavec la moyenne de la serie.

6. Calculer la variance theorique de cette loi. A quelle quantite experimentalepeut-on la comparer ?

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions sui-vantes. Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera les reponses aux ques-tions Q.2 et Q.4.Programmes de reference : Probabilites de 2de, 1ere S, 1ere ES, Term. S, TermES et Term L (option).

Q.1 : Indiquer le ou les niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degagerles objectifs de l’exercice. Sous quelle forme proposeriez vous cet exercice auxeleves ?

Q.2 : Resoudre la question 3. A quels supports graphiques peut-on faire ap-pel pour presenter cette resolution a des eleves ? Que feriez-vous s’il s’agissaitde la somme de 3 des ?

Q 3 : Presenter a l’aide de la calculatrice un graphe obtenu par un eleve ala question 2. Comment pourrait-on obtenir ce genre de graphe directement al’aide de la loi theorique ?

Q.4 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme de la modelisation etde la simulation des variables aleatoires.

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MG07-42-9 : Contrôle des naissances ()


Theme 42 : Modelisation et simulation de variables aleatoires.

1. L’exercice propose au candidat :Dans un pays imaginaire, une loi decide que chaque famille s’arrete de

procreer des qu’elle a un garcon, et qu’elle continue sinon, en s’arretant detoute facon au 4ieme enfant. On note X le nombre d’enfants par famille.

1. On considere la modelisation suivante : la loi de X est equirepartie sur1, 2, 3, 4. Calculer alors E(X).

2. Avec une piece de monnaie, simuler les naissances pour 50 familles et calcu-ler le nombre moyen d’enfants par famille. Ces resultats sont-ils coherentsavec les resultats de la question 1 ?

3. Proposer une autre loi pour la loi de X.

4. Calculer alors son esperance et confronter ce resultat a de nouvelles simu-lations.

5. On voudrait maintenant savoir si cette politique permet d’augmenter laproportion de garcons. Calculer la proportion de garcons obtenue lors desexperiences de lancers de piece. Que pouvez-vous constater ?

6. Comparer ce resultat avec des nouvelles simulations sur la calculatrice.Comment peut-on expliquer cette observation ?

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions sui-vantes. Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera les reponses aux ques-tions Q.3, Q.5 et Q.6.Programmes de reference : Probabilites de 2de, 1ere S, 1ere ES, Term. S, TermES et Term L (option).

Q.1 : Indiquer le ou les niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degagerles objectifs de l’exercice. Sous quelle forme proposeriez vous cet exercice auxeleves ?

Q.2 : Expliquer la question 2. Quelle justification theorique peut-on utiliser ?Cette question parait-elle faisable telle quelle par les eleves ?

Q 3 : Resoudre la question 3. Quelle demonstration peut-on attendre deseleves pour repondre a cette question ?

Q 4 : Expliquer a l’aide de la calculatrice comment simuler l’experience de-vant des eleves de Lycee.

Q.5 : Quelles seront les observations faites par les eleves lors des questions5 et 6 ? Demontrer ce resultat.

Q.6 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme de la modelisation etde la simulation des variables aleatoires.

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MM08-42-3 : Simulation d’un jeu de tirages de boules (08.1,08.2)Preparation a l’epreuve orale du CAPES 2008 Universite Paris Sud

Theme 42 : Modelisation et simulation d’experiences aleatoires.

1. L’exercice propose au candidat :On dispose d’une urne contenant 4 boules noires et une boule blanche dans laquelle on effectue 5

tirages successifs.On se propose dans cet exercice de comparer a l’aide de simulations les experiences consistant a effectuerces tirages avec ou sans remise.

1. On s’interesse d’abord a l’experience consistant a effectuer les 5 tirages avec remise.

(a) Simuler 100 fois cette experience et tracer l’histogramme du nombre de boules blanchesobtenues.

(b) Modeliser l’experience et donner la loi du nombre de boules blanches obtenues.

(c) Comparer l’histogramme et la loi theorique. Commenter.

(d) Combien obtient-on de boules blanches en moyenne ? Cela est-il corrobore par les simulations ?

(e) Sur les 100 simulations obtenues, combien de fois observe-t-on que la deuxieme boule tireeest blanche ? Pouvait-on prevoir ce resultat ?

2. On s’interesse maintenant a l’experience consistant a effectuer les 5 tirages sans remise.

(a) Combien obtient-on de boules blanches en moyenne ? Commenter.

(b) Effectuer 100 simulations de cette experience et observer combien de fois la deuxieme bouletiree est blanche. Commenter.

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sur sa fiche, le can-didat redigera et presentera les reponses aux questions Q.3, Q.4 et Q.5.Programmes de reference : Probabilites de 2de, 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ES et Term L (option).

Q.1 : Indiquer le ou les niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degager les objectifs de l’exer-cice. Sous quelle forme proposeriez vous cet exercice aux eleves ?

Q.2 : Presenter a la calculatrice une illustration de la question 1(c), comme si vous le faisiez devantdes eleves de lycee.

Q.3 : Quelle justification theorique peut-on utiliser dans les questions 1(c), 1(e), 2(b) ? Commentpresenter cette explication aux eleves ?

Q 4 : Que donnerait la comparaison entre les 5 tirages avec remise et les 5 tirages sans remisedans une urne contenant au depart 4000 boules noires et 1000 boules blanches ? Donner une explicationintuitive puis si possible une justification theorique.

Q.5 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme de la modelisation et de la simulationd’experiences aleatoires.

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MM08-42-4 : Simulation de courses entre le lièvre et la tortue (08.o, 09.1)

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43 Fluctuation d’échantillonnage

FIR05-43-19 : Le lièvre et la tortue (05.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 43.

Fluctuation d’echantillonnage.


L’experience aleatoire :Une partie du jeu du lievre et de la tortue de deroule ainsi :On lance un de non pipe :• si le de tombe sur 1, 2, 3, 4 ou 5, la tortue avance d’une case. Elle a 5 cases a franchiravant d’atteindre l’arrivee. Lorsqu’elle arrive a la case arrivee, la partie est terminee et latortue a gagne.• si le de tombe sur 6, le lievre atteint directement l’arrivee. La partie est alors termineeet le lievre a gagne.La partie continue jusqu’a ce qu’il y ait un gagnant.

Le travail demande :Construire une seance de Travaux Pratiques (Activite) au cours de laquelle les elevesdoivent :– Jouer au jeu du lievre et de la tortue et faire un certain nombre de parties,– Simuler a l’aide de leur calculette ou avec un tableur (sur ordinateur) un grand nombrede parties,– Organiser les donnees recueillies et les presenter dans des graphiques,– Prendre conscience de la fluctuation d’echantillonnage et aussi de la stabilisation desfrequences (lorsque la taille de l’echantillon considere devient grande).



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :1. Rediger le texte de l’activite demande. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de lamethode et les differents outils utilises ainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adressecet enonce et les difficultes qu’il peut presenter pour des eleves.2. Dfinir les termes : simulation d’une experience aleatoire, echantillon, fluctuation d’echan-tillonnage, stabilisation des frequences.3. Quels sont les resultats de la theorie des probabilites qui permettent de mieux com-prendre les phenomees de fluctuation d’echantillonnage et de stabilisation des frequences(lorsque la taille des echantillons devient grande) ?Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- le texte de l’activite demande a la question 1 du jury.- sa reponse aux questions 2 et 3 du jury.- une activite proposant une autre experience aleatoire que des eleves peuvent simuler desection S.

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MG07-43-10 : Fluctuation des résultats d’un sondage (09.1)


Theme 43 : Fluctuation d’echantillonnage.

1. Exercice propose au candidat :

Le but de l’exercice est d’observer la fluctuation des resultats d’un sondage enfonction du nombre des personnes sondees (taille de l’echantillon). Pour realiserou simuler les sondages dans l’exercice, on supposera dans toute la suite quechaque personne repond par Oui ou par Non avec une probabilite 1/2. Le resultatdu sondage sera represente par le pourcentage de Oui obtenus.

1. (a) Realiser un sondage sur 25 peronnes a l’aide d’un piece de monnaieou d’un de.

(b) Regrouper les resultats obtenus par chacun des eleves de la classedans une liste sur la calculatrice. Donner les parametres de positionet de dispersion associes. Commenter.

(c) Representer ces donnees a l’aide d’un ou plusieurs graphiques. Quelleest la taille de l’intervalle inter-quartile ? Qu’est-ce que cela signifieen ce qui concerne le resultat d’un sondage donne ?

(d) Donner la taille de l’intervalle [D1, D9] : quelle est sa signification ?Comparer avec l’intervalle inter-quartile. Comment pourrait-on definirune fourchette de sondage ? De quel parametre depend-elle ?

2. (a) Simuler maintenant sur la calculatrice un sondage sur 100 personnes.

(b) Regrouper les valeurs obtenues par les eleves de la classe dans unenouvelle liste, et reprendre les questions precedentes.

(c) Comparer les 2 series de resultats et commenter vos observations.

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions sui-vantes. Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera les reponses aux ques-tions Q.3 et Q.4.Programmes de reference : Statistiques de Seconde, 1ere S, 1ere ES, Term. S,Term ES et Term L (option).

Q.1 : Indiquer le ou les niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degagerles objectifs et les savoir-faire mis en jeu au cours de cet exercice. Sous quelleforme pourrait-il etre mis en oeuvre devant un classe ?

Q.2 : Presenter a l’aide de la calculatrice la question 2.

Q.3 : Peut-on lors de cet exercice donner une idee de la mesure des fluctua-tions des resultats d’un sondage en fonction de sa taille ? Expliquer. Proposer unprolongement de cet exercice permettant de repondre (au moins experimentalement)a cette question. On pourra en donner une illustration a l’aide de la calculatrice.

Q.4 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme de la fluctuationd’echantillonnage.

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MG06-43-14 : Un modèle de sondage (06.1,06.2)


Theme 43 : Fluctuation d’echantillonnage.

1. Exercice propose au candidat :

Le candidat construira une activite au cours de laquelle il introduira un modelesimplifie d’un sondage sur n personnes pour lequel on note p la proportion globale depersonnes qui repondent oui. On demandera aux eleves de realiser les points suivants.

1. Simuler plusieurs sondages pour quelques valeurs de n a l’aide d’une calculette oud’un ordinateur.

2. Presenter les donnees a l’aide de tableaux ou graphes adaptes. On notera x lamoyenne et s l’ecart type de chacune des series obtenues.

3. Observer et commenter la fluctuation des resultats obtenus pour les differentesvaleurs de n. Etudier ces fluctuations lorsqu’on fait varier le parametre p.

4. Calculer la proportion des sondages dont le resultat est compris dans l’intervalle[x− s, x + s], [x− 2s, x + 2s] puis [x− 3s, x + 3s].

5. Conclure une facon de mesurer le parametre p lorsque celui-ci est inconnu, a partird’un sondage, en tenant compte des fluctuations et proposer une majoration del’erreur en fonction de n.

2. Travail demande au candidat :Apres avoir resolu et analyse l’exercice le candidat traitera les questions suivantes. Sursa fiche, le candidat redigera et presentera les reponses aux questions Q.3 et Q.4.Programmes de reference : Statistiques de Seconde, 1ere S, 1ere ES, Term. S, Term ESet Term L (option).

Q.1 : Rediger un texte adapte aux eleves du travail presente. Indiquer le ou les ni-veaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et degager les objectifs et les savoir-faire mis enjeu au cours de cette activite.

Q.2 : Presenter a l’aide de la calculatrice les resultats de la question 2.

Q.3 : Traduire les resultats a l’aide des variables aleatoires. Comment interpretertheoriquement les fluctuations observees ? D’ou proviennent les resultats numeriques dela question 4 ?

Q.4 : Proposer un ou plusieurs exercices sur le theme de la fluctuation d’echantillonnage.

81

82

44 Suites récurrentes un+1 = f (un) (2)

JURY05-44-47-0207 : Calcul de racine de 7 par ajustement linéaire (06.1,06.2)

voir aussi JURY05-46-0207.


Thème : SuitesApproximation d’un nombre réel à l’aide de suites


Une vérification simple montre que 2 ≤ √7 ≤ 3. On pose I = [2, 3]

1) un+1 = un − 1

4(u2

n − 7)

u0 ∈ [2, 3]

Conjecturer à l’aide d’une calculatrice le comportement asymptotique de la suite (un).2) Etudier la convergence de la suite (un).

On pourra notamment introduire la fonction f définie par : f(x) = x − 1

4(x2 − 7),

montrer que l’intervalle I est stable par f , (c’est à dire que pour tout élément x de I,f(x) est encore un élément de I), puis que :

Si 2 ≤ x ≤ 3 et 2 ≤ y ≤ 3 alors |f(x)− f(y)| ≤ 1

2|x− y|

et utiliser ce résultat pour obtenir une majoration de |un −√

7|.3) Montrer que

√7 est toujours compris entre deux termes consécutifs de la suite.

4) On se fixe une précision ε, (10−6 < ε < 1). A l’aide de la calculatrice, déterminer deuxtermes consécutifs de la suite (un) permettant d’avoir une valeur approchée de

√7 à la

précision ε.



Q.1) Présenter le travail réalisé sur la calculatrice.Q.2) Rédiger un énoncé de niveau terminale permettant d’étudier la convergence de la suite

(un) et de déterminer une valeur approchée de√

7 à 10−2 près.Q.3) Proposer un ou plusieurs exercices permettant de déterminer des valeurs approchées

d’un nombre réel à l’aide d’une suite à une précision donnée.


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DP05-44-12 : Suite homographique (05.0, 06.s, 07.s)

Preparation au CAPES, ORSAY, 2006-2007

THEME 44.

Suites recurrentes.


On considere la fonction f definie, pour tout x != −6, par f(x) =8x + 3x + 6

.

1) Montrer que l’equation f(x) = x admet deux solutions.

On definit une suite (un) en se donnant u0 ∈ [0, 5] et en posant, pour n ≥ 0, un+1 =f(un).

2) En utilisant la calculatrice (numeriquement, graphiquement, ou les deux a la fois),donner une conjecture sur la monotonie et la limite de la suite (un).

3) Dans toute la suite on suppose u0 ∈ [0, 3[.a) Montrer que, pour tout n ≥ 0, un appartient a [0, 3[.b) Montrer que la suite (un) est croissante. En deduire que (un) converge. Que peut-on

dire de sa limite ?



Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils


Q2. Indiquer plusieurs autres methodes permettant l’etude de la suite donnee. Discuterles interets respectifs de ces methodes. Indiquer comment on pourrait modifier la redactionde l’exercice dans chaque cas.

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse a la question Q2.– Un autre exercice sur le theme : Suites recurrentes. (On proposera l’etude d’une suite

recurrente dont le comportement soit different de celui de la suite proposee, notammentdu point de vue de la monotonie.)

15

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DP05-44-13 : Point fixe du cosinus (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2)


THEME 44.

Suites recurrentes un+1 = f(un).


On considere la fonction f definie sur R par f(x) = cos x.

1) Montrer que l’equation f(x) = x a une unique solution α que l’on encadrera entredeux mesures d’angles remarquables.

On definit une suite un en se donnant u0 ∈ [0,π/2] et en posant, pour n ≥ 0, un+1 =f(un).

2) En utilisant la calculatrice (numeriquement, graphiquement, ou les deux a la fois),donner une conjecture sur la limite de (un), le lien de cette limite avec α et la monotoniede la suite.

3) On suppose u0 < α. Montrer que la suite (u2n) (resp. (u2n+1)) est croissante (resp.decroissante) et qu’on a, pour tout n ≥ 0, u2n ≤ α ≤ u2n+1. Montrer que ces deux suitesconvergent vers une meme limite. Que peut-on dire de cette limite ?

4) Donner une valeur approchee de α a 10−8 pres.





Q2. Rediger une indication qui detaille le calcul de la limite dans la question 3.Q3. Indiquer une methode de solution de cet exercice qui utilise d’autres outils que

les suites monotones.Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Suites recurrentes un+1 = f(un).

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DP05-44-14 : Convergence lente (06.0, 07.1, 07.2)


THEME 44.

Suites recurrentes.


On considere la suite (un)n∈N de nombre reels definie par une valeur initiale u0 ∈ Ret par la relation de recurrence un+1 = un − u2

n.

1) Montrer que la suite (un) est toujours decroissante. Est-elle toujours strictementdecroissante ?

2) On suppose u0 < 0. Montrer que (un) tend vers −∞. On prend u0 = −2. Montrerpar recurrence sur n qu’on a un ≤ −22n

. A partir de quel entier n a-t-on un < −10100 ?

3) On suppose u0 > 1. Etudier le comportement de la suite (un) (on pourra regarderu1 et utiliser 2)).

4) On suppose 0 < u0 < 1. Etudier le comportement de la suite (un).





Q2. Indiquer comment on pourrait aborder cet exercice en classe en utilisant uneexperimentation a l’aide de la calculatrice.

Q3. On considere la suite (un) definie par u0 =12. Proposer une question complementaire

permettant de prouver que l’on a1

2n + 2≤ un ≤ 1

npour n ≥ 1.

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse a la question Q3.– Un autre exercice sur le theme : Suites recurrentes.

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PG05-44-15 : Une suite homographique (05.s, 07.s)


Theme 44Suites Recurrentes un+1 = f(un)

1 Exercice propose

On considere la fonction f definie, pour tout x 6= −6, par f(x) =8x+ 3

x+ 6.

1. Montrer que l’equation f(x) = x admet deux solutions.On definit une suite (un) en se donnant u0 ∈ [0, 5] et en posant, pour n ≥ 0,un+1 = f(un).

2. En utilisant la calculatrice (numeriquement, graphiquement, ou les deux a la fois),donner une conjecture sur la monotonie et la limite de la suite (un).

3. Dans toute la suite on suppose u0 ∈ [0, 3[.

a) Montrer que, pour tout n ≥ 0, un appartient a [0, 3[.

b) Montrer que la suite (un) est croissante. En deduire que (un) converge. Quepeut-on dire de sa limite?




• Q.1) Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents ou-tils utilises ainsi que le (ou les) niveau(x) au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et lesdifficultes qu’il peut presenter pour des eleves.

• Q.2) Indiquer plusieurs autres methodes permettant l’etude de la suite donnee.Discuter les interets respectifs de ces methodes. Indiquer comment on pourraitmodifier la redaction de l’exercice dans chaque cas.


• sa reponse a la question Q.2).

• un exercice sur l’etude d’une suite recurrente dont le comportement soit differentde celui de la suite proposee, notamment du point de vue de la monotonie.

87

DP08-44-48 : Calcul du nombre d’or (08.1) (08.2)


THEME 44.

Suites recurrentes.


1) Resoudre l’equation x2−x−1 = 0. On note τ la solution positive de cette equation etle but de l’exercice est de construire des suites permettant de donner des valeurs approcheesde τ .

2) Montrer les egalites : τ = 1+1τ

=√

1 + τ = τ2−1 =τ2 + 12τ − 1

. On pose f(x) = 1+1x

et g(x) =√

1 + x.

3) On considere la suite (an) definie par recurrence par a0 = 2 et an+1 = f(an).a) Montrer qu’on a, pour tout n, 3

2 ≤ an ≤ 2.

b) Montrer, pour tout n ≥ 0, l’inegalite |an+1 − τ | ≤ 49|an − τ | (utiliser 2)).

c) Montrer par recurrence qu’on a, pour n ≥ 0, |an − τ | ≤ (49)n

et en deduire que la

suite (an) converge vers τ .d) Donner une valeur approchee de τ a 10−6 pres.

4) On considere la suite (bn) definie par recurrence par b0 = 2 et bn+1 = g(bn).a) Montrer que la fonction g est croissante.b) Montrer que la suite (bn) est decroissante et minoree par τ .c) Montrer que (bn) converge et que sa limite est egale a τ .



Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, degager les methodes, les differents outils utilises

et les savoirs mis en jeu. Preciser le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce etles difficultes qu’il peut presenter pour des eleves.

Q2. Comparer les methodes utilisees pour traiter les questions 3) et 4). Serait-il pos-sible d’intervertir ces methodes ?

Q3. L’exercice n’utilise que les deux premieres fonctions apparaissant dans les formulesetablies en 2). Est-il possible de calculer τ par une methode analogue en utilisant les autresformules et quel en serait l’interet ?

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Suites recurrentes.

88

DP08-44-52 : Suite logistique, version 2008 (08.1) (08.2)


THEME 44.

Suites recurrentes.


On considere une suite definie par une valeur initiale u0 ∈ [0, 1] et par la relation derecurrence un+1 = 4un(1− un). On pose f(x) = 4x(1− x).

1) A l’aide de la calculatrice, observer le comportement de quelques suites (un). Quellesremarques peut-on faire sur le comportement des suites obtenues ?

2) a) On suppose que la suite (un) converge. Quelles peuvent etre ses limites possibles ?

b) Montrer que tout x ∈ [0, 1] s’ecrit de maniere unique sous la forme sin2 θ avecθ ∈ [0, π/2] et qu’on a la relation : sin2(2θ) = f(sin2 θ).

c) On suppose qu’on a u0 = sin2 θ0, avec θ0 ∈ [0, π/2]. Calculer un.

d) Soient x, y ∈ R. Montrer que l’on a : sin2 x = sin2 y ⇐⇒ y = ±x + kπ avec k ∈ Z.

3) Donner des exemples de valeurs de u0 pour lesquelles la suite (un) est constante etegale a 0 ou a 3/4 a partir du rang 0, 1, 2, 3, ...

4) Determiner les valeurs de u0 qui sont telles que la suite soit periodique de periode2, c’est-a-dire telles que l’on ait u2n = u0 et u2n+1 = u1 pour tout n, et u1 6= u0.




Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, degager les methodes, les differents outils utiliseset les savoirs mis en jeu. Preciser le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce etles difficultes qu’il peut presenter pour des eleves.

Q2. Proposer un complement a l’exercice permettant de determiner toutes les valeursde u0 qui sont telles que la suite (un) soit constante a partir d’un certain rang.

Q3. Proposer un complement a l’exercice permettant de determiner les valeurs de u0

telles que la suite soit periodique de periode n. Donner des exemples de suites de periode3, 4, 5, . . . et les etudier a l’aide de la calculatrice.

Sur ses fiches le candidat presentera :

– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Suites recurrentes.

89

PG08-44-24 : Une autre suite homographique (08.o)


THEME 44

Suites recurrentes

1 Exercice propose

On considere la suite de nombres reels definie par u0 = 3 et un+1 =2

1 + un.

1) Montrer que tous les termes de la suite sont positifs.

2) Montrer que, si la suite (un) converge, c’est vers l’une des racines de l’equation x2+x−2 =0. Peut-on preciser laquelle ?

3) On considere la suite de terme general vn =un − 1

un + 2. Montrer que (vn) est une suite

geometrique et determiner sa limite.

4) En deduire que la suite (un) est convergente et preciser sa limite.





Q2. Comment pourrait-on utiliser la calculatrice pour aborder ou prolonger cet exercice enclasse ? On s’interessera en particulier a ce qui se passe lorsqu’on change de valeur initiale.

Q3. Quelle(s) autre(s) methode(s) pourrait-on utiliser pour montrer la convergence de (un) ?Rediger un exercice en ce sens.

Q4. Comment peut-on expliquer l’introduction de la suite (vn) ?

Sur ses fiches le candidat presentera sa reponse a la question Q3 du jury ainsiqu’un autre exercice sur le theme : Suites.

1

90

JURY08-44-3006 : Suites récurrentes (09.1, 09.2)


Thème : SuitesÉtude du comportement de suites définies par une

relation de récurrence du type : un+1 = f(un)


1) On considère la fonction f définie sur [0, 1] par f(x) =

√1 + x

2.

a) Résoudre l’équation f(x) = x.b) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a f(x) > x.

2) On considère la suite (un) définie par la donnée de son premier terme u0 ∈ [0, 1] et parla relation un+1 = f(un) pour tout entier naturel n. Montrer que la suite (un) convergeet déterminer sa limite.




Q.1) Énoncer les théorèmes et les outils mis en jeu dans l’exercice.Q.2) Rédiger un énoncé détaillé de la question 2) pour des élèves de Terminale scientifique.


Sa réponse à la question Q.2). Un ou plusieurs exercices se rapportant au thème « Suites : Étude du comportementde suites définies par une relation de récurrence du type : un+1 = f(un) ».


91

92

45 Problèmes conduisant à des suites arithmétiques ou géomé-triques

CG07-45-17 : Emprunt et tableur en STG (07.2)

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SUITE 93

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94

DP05-45-15 : Citadins et ruraux (05.1, 05.2,09.1, 09.2)


THEME 45.

Suites arithmetiques ou geometriques.


On suppose que dans une periode donnee, la population d’un pays est constante etegale a 60 millions d’habitants, dont 40 millions vivent en zone rurale et 20 millions enville. On constate que les mouvements de population sont decrits par la regle suivante :chaque annee 20% des ruraux emigrent a la ville et 10% des citadins emigrent en zonerurale. On note respectivement vn et rn les effectifs (en millions) des citadins et des rurauxau bout de n annees.

Premiere methode1) Montrer que, pour tout n ≥ 0, on a :

vn+1 = 0, 9vn + 0, 2rn et rn+1 = 0, 1vn + 0, 8rn.

2) Que vaut vn + rn ? En deduire les relations :

vn+1 = 0, 7vn + 12 et rn+1 = 0, 7rn + 6.

3) Exprimer rn et vn en fonction de n et etudier les limites de (rn) et (vn).Deuxieme methode1) On considere la suite (pn) definie par pn =

vn

rn

. Montrer qu’elle verifie les relations

p0 = 0, 5 et pn+1 =9pn + 2pn + 8

.

2) On pose qn =pn − 2pn + 1

. Montrer que la suite (qn) est geometrique et exprimer qn et

pn en fonction de n.

3) Calculer la limite de la suite (pn) puis celles des suites (vn) et (rn).





Q2. Indiquer comment un eleve pourrait trouver la limite de (pn) sans introduire lasuite (qn).

19

95

JURY05-45-1107 : Suite arithmético-géométrique (06.1, 06.2) - 2 pages


Thème : SuitesProblèmes conduisant à des suites arithmétiques,

géométriques ou arithmético-géométriques

1. L'exercice proposé au candidatPour un journal, on considère que le nombre de nouveaux abonnés chaque année est de

3000 et que le taux de réabonnement d'une année sur l'autre est de 85%.On note an le nombre d'abonnés de l'année n et on suppose que a1 = 60000.1) Déterminer une relation entre an+1 et an.2) Tracer dans un repère orthogonal la représentation graphique de la fonctionf dénie sur

[0, +∞[ par f(x) = 0, 85x + 3000.3) Utiliser ce tracé pour représenter graphiquement les premiers termes de la suite(an)n>1.4) Peut-on prévoir l'évolution de cette suite ?5) On pose, pour tout entier n > 1, bn = an − 20000. Étudier la suite (bn)n>1 et en déduire

le comportement asymptotique de la suite (an)n>1.2. Le travail demandé au candidatEn aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa che sa solution de l'exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del'entretien avec le Jury

Après avoir résolu et analysé l'exercice le candidat rédigera sur sa che lesréponses aux questions suivantes :Q.1) Indiquer les classes de Lycée dans lesquelles on peut proposer cet exercice et les notions

et outils mis en ÷uvre dans sa résolution.Q.2) Illustrer les questions 2. et 3. à l'aide d'une calculatrice.Q.3) Donner l'énoncé de quelques questions supplémentaires qui mettront en évidence le rôle

des paramètres (nombre annuel de nouveaux abonnés, taux de réabonnement) sur lecomportement asymptotique de la suite (an)n>1.

Q.4) Proposer un ou plusieurs exercices sur le même thème.


96

JURY06-45-0107 : Suite arithmético-géométrique (07.1, 07.2) - 2 pages


Thème : Les suites


Soit α ∈ R\ 2. On considère la suite (un)n∈N définie par :u0 = 0

u1 = a ∈ Rpour tout n ∈ N , un+2 = αun+1 − (α− 1) un

1) On pose pour tout n ∈ N, vn = un+1− un. Montrer que (vn)n∈N est une suite géométrique.En déduire vn en fonction de α, n, et a.

2) On pose pour tout n ∈ N, wn = un+1 − (α− 1) un. Montrer que (wn)n∈N est une suiteconstante.

3) Calculer un en fonction de vn et wn puis un en fonction de α, n et a.

2. Le travail demandé au candidatEn aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del’entretien avec le Jury


Q.1) Proposer une utilisation de la calculatrice pour le calcul des premiers termes des troissuites rencontrées.

Q.2) Comment choisiriez-vous les suites auxiliaires (vn)n∈N et (wn)n∈N dans le cas d’une suite(un)n∈N définie avec une relation de récurrence de la forme : un+2 = 2un+1 + 3un ?

Q.3) Le paramètre α prend des valeurs dans R privé de 2, pourquoi ?Sur ses fiches, le candidat rédigera et présentera :

(i) sa réponse à la question Q.2)(ii) Deux exercices sur le thème des suites, mettant en jeu d’autres notions sur les suites.


97

JURY07-45-1507 : Suite récurrente (08.1)(08.2) - 2 pages


Thème : Suites


Soit (xn) la suite définie par

xn+1 =1

2xn +

1

2n

x0 = 1

1) Déterminer x1, x2, x3 et x4, en laissant les résultats sous forme fractionnaire.2) Montrer que la suite (xn) est décroissante à partir du rang n = 1.3) Montrer que la suite (xn) est convergente et déterminer sa limite.4) Conjecturer l’expression générale de xn en fonction de n et démontrer cette égalité.




Q.1) Quels sont les théorèmes mis en œuvre dans votre résolution de l’exercice.Q.2) Proposer une étude de la suite (xn) en introduisant la suite auxiliaire (un) définie pour

tout entier n par un = 2n · xn.


– L’énoncé d’un exercice établissant les propriétés de la suite (xn) à l’aide de la méthodede la question Q.2).

– Les énoncés de deux exercices sur le thème « Suites ».


98

46 Approximation d’un réel par des suites (dont e, π, ln(a)) (4)

DP05-46-16 : Méthode de Héron (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2)


THEME 46.

Approximation d’un reel par des suites.


Soit f la fonction definie sur R par f(x) = x2 − 2 et G(f) le graphe de f .

1) Soit Ma = (a, f(a)) un point de G(f). Determiner l’equation de la tangente Ta enMa a G(f). On suppose a "= 0. Determiner le point d’intersection de Ta et de l’axe des x.

On considere la fonction g definie pour x "= 0 par g(x) =12(x +

2x

) et on definit une

suite (un)n∈N par la donnee de sa valeur initiale u0 = 2 et par la formule un+1 = g(un)pour n ≥ 0.

2) Montrer que la suite (un) est decroissante et minoree par√

2. Conclusion ?

3) Montrer, pour n ≥ 0, l’inegalite : un+1−√

2 ≤ 12(un−

√2). En deduire l’inegalite :

un −√

2 ≤ (12)n(u0 −

√2).

4) Pour quel entier n0 est-on sur d’avoir un −√

2 ≤ 10−8 pour n ≥ n0 ? Donner unetelle valeur approchee en utilisant la calculatrice.





Q2. Quelles indications pourrait-on donner a des eleves :a) Pour rendre plus concrete l’etude de la suite (un) et leur permettre de formuler des

conjectures concernant sa monotonie et sa convergence ?b) Pour faciliter la resolution de la question 2) ?Q3. Discuter la majoration de l’erreur obtenue en 3) et proposer eventuellement une

modification du texte de l’exercice visant a l’ameliorer.Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Approximation d’un reel par des suites.

18

99

DP08-46-16-1 : Méthode de Héron (modifié) (08.s)


Soutien Oral : SuitesTheme 46 : Approximation d’un reel par des suites

1 Exercice propose au candidat

Soit f la fonction definie sur IR par f(x) = x2 − 2 et Cf sa courbe representative.

1. Soit Mx = (x, f(x)) un point de Cf . Determiner l’equation de la tangente Tx en Mx

a Cf . On suppose que x 6= 0. Montrer que le point d’intersection de Tx et de l’axedes x a pour abscisse 1

2(x + 2

x).

On considere la fonction g definie sur ]0, +∞[ par g(x) = 12(x + 2

x) et on definit une

suite (un) par la donnee de sa valeur initiale u0 = 2 et par la formule un+1 = g(un)pour n ≥ 0.

2. Montrer que la suite (un) est decroissante et minoree (on pourra calculer un+1−√

2en fonction de un −

√2). Conclure sur la limite de la suite (un).

3. Montrer, pour tout n ≥ 0, l’inegalite : un+1 −√

2 ≤ 1

2(un −

√2). En deduire

l’inegalite (1) : un −√

2 ≤(

1

2

)n

(u0 −√

2).

4. Pour quel entier n0 est-on sur d’avoir un −√

2 ≤ 10−8 pour n ≥ n0? Programmerou tabuler la suite (un) sur une calculatrice. Que constate-t’on?


En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors del’entretien avec le jury.



• Q.2) Discuter la majoration de l’erreur obtenue en 3. et proposer eventuellementune modification du texte de l’exercice visant a l’ameliorer.

• Q.3) Indiquer quelle(s) question(s) on pourrait poser a des eleves pour rendre plusconcrete l’etude de la suite (un) et leur permettre de formuler des conjecture con-cernant sa monotonie et sa convergence.


• sa reponse aux questions Q.2) et Q.3) ;

• un exercice utilisant une autre methode pour calculer√

2 ou une autre racine carree.

100

DP05-46-17 : Approximation de e (Euler) (05.1, 07.1)


THEME 46.

Approximation de e.


On se propose d’etudier la suite (un)n∈N∗ definie par un =(1 +

1n

)n.

1) Montrer, pour x ≥ 0, les inegalites :

x− x2

2≤ ln(1 + x) ≤ x.

2) On pose wn = lnun. Montrer qu’on a 1− 12n≤ wn ≤ 1. En deduire la limite de la

suite (wn) puis celle de (un).3) a) Montrer, pour x ≥ 0, les inegalites :

1− x ≤ e−x ≤ 1.

b) En deduire un encadrement de e− un.





Q2. Indiquer comment on peut montrer directement la limite de la suite avec les outilsdu niveau DEUG. Comment adapter cette methode au niveau terminale ? Quel est l’interetde la voie choisie ici ?

La convergence de la suite (un) est assez lente. Comment peut-on accelerer la conver-gence de (un) ?

Q3. Proposer une autre methode pour encadrer la suite (wn) en utilisant la formule

ln(n + 1)− lnn =∫ n+1

n

dx

x. Comparer les deux methodes.

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Approximation de e.

21

101

DP05-46-18 : Calcul de logarithmes via Kepler (05.1, 05.2, 07.1, 07.2)


THEME 46.

Calcul approche de logarithmes.


1) a) Montrer l’inegalite, pour t ≥ 0 : t− t2

2≤ ln(1 + t) ≤ t.

b) Calculer une valeur approchee a 10−8 pres de ln(1, 000132).2) Soit a un reel > 1. On considere la suite (un) definie par recurrence par u0 = a et

un+1 =√

un .

a) Montrer que la suite (un) tend vers 1 (on pourra considerer la suite ln(un)).

b) On pose vn = un − 1. Montrer qu’on a vn+1 ≤ 12vn. En deduire l’inegalite :

vn = un − 1 ≤ 12n

(a− 1).

c) Montrer que 2nvn est une valeur approchee par exces de ln(a) et que l’erreur est

≤ (a− 1)2

2n+1.

d) On dispose d’une calculatrice qui comporte exclusivement les quatre operationsarithmetiques usuelles et la touche racine carree. On prend a = 29. Verifier que l’on av16 < 10−4. Calculer ln(a) a 5× 10−4 pres.

e) Calculer ln(2) et ln(0, 37) a 10−4 pres par une methode analogue.





Q2. Indiquer pour quels reels x la methode de la question 1) permet de calculer lesvaleurs du logarithme de x. Comment peut-on ameliorer la precision obtenue ? Commentpourrait-on rediger un texte pour des eleves de lycee permettant de calculer ln(1, 013) a10−6 pres ?

Q3. Preciser comment un eleve de lycee peut resoudre la question 2 a) s’il n’a pasl’indication d’utiliser ln(un).

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Calcul approche de logarithmes.

22

102

DP06-46-19 : Calcul de logarithmes via Gregory (06.1, 06.2, 09.o)

Voir aussi PG05-59-23


THEME 46.



Dans ce qui suit, x est un reel verifiant 0 ≤ x < 1.

1) Verifier qu’on a, pour tout t "= ±1, l’egalite :

11− t2

= 1 + t2 +t4

1− t2.

2) Trouver deux reels a et b tels que l’on ait, pour t "= ±1 :

11− t2

=a

1− t+

b

1 + t.

En deduire l’egalite :

∫ x

0

dt

1− t2=

12

ln(

1 + x

1− x

).

3) Calculer∫ x0 (1 + t2)dt.

4) Montrer l’encadrement :x5

5≤

∫ x

0

t4

1− t2dt ≤ 1

1− x2

x5

5.

En deduire un encadrement de ln(

1 + x

1− x

).

5) En choisissant convenablement x, donner un encadrement de ln 2 a 10−3 pres pardes rationnels.





Q2. En utilisant la meme methode, construire un exercice donnant un encadrement

plus precis de ln 2, la question 3) etant remplacee par : Calculer l’integrale∫ x

0(1+t2+t4)dt.

Q3. Decrire le cadre general de la methode precedente et donner une majoration del’erreur commise. Peut-on approcher ainsi le logarithme de tout nombre reel positif ? Quel

est l’interet d’utiliser l’integrale de la question 2) plutot que∫ x

0

dt

1 + t?

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Approximation d’un reel par des suites.

23

103

DP05-46-22 : Constante d’Euler (05.1, 05.2, 06.1, 06.2)


THEMES 46, 60.

La constante d’Euler.


On peut demontrer que la suite (Sn) definie pour tout entier n ≥ 1 par :

Sn = 1 +12

+ · · · +1n

n’est pas majoree et tend vers +∞. Partant de ce resultat, on considere la suite (un)definie, pour tout entier n ≥ 1, par la formule un = Sn − lnn.

1) Calculer u1, u2, u3, u4 et u5.

2) Demontrer que, pour tout reel x > −1, on a x ≥ ln(1 + x).

3) Demontrer que, pour tout entier n ≥ 1, on a un+1 − un =1

n + 1+ ln

(1− 1

n + 1).

En deduire le sens de variation de la suite (un).

4) On pose a present, pour tout n ≥ 1, vn = un− 1n

. Demontrer que, pour tout entier

n ≥ 1, on a vn+1 − vn =1n− ln

(1 +

1n

). Quel est le sens de variation de (vn) ?

5) a) Observer a l’aide de la calculatrice le comportement des deux suites (un) et (vn).Quelles conjectures peut-on formuler ?

b) Demontrer que les deux suites convergent et ont meme limite. Cette limite est laconstante d’Euler et on la note γ.

6) Determiner un encadrement de γ d’amplitude 10−1.





Q2. Indiquer comment on pourrait rendre plus concrete l’etude des suites (un) et (vn) ;discuter le resultat de divergence admis au depart, la redaction des questions 3) et 4), laplace de la question 5a, l’encadrement demande en 6.

Q3. Proposer une autre redaction de l’exercice qui utilise une approche graphique etexploite plus intensement la calculatrice.


27

104

DP06-46-40 : Calcul de π par isopérimètres (06.1, 06.2,08.1, 08.2)

THEME 46(4)

Calcul approche de π

1 Exercice propose

Dans cet exercice, on construit parrecurrence, pour n ≥ 2, une suite depolygones reguliers Pn a 2n cotes, de memecentre O et de meme perimetre. On note Γn

(resp. Cn) le cercle circonscrit a Pn (resp.inscrit dans Pn). Le polygone P2 est un carrede cote unite. On passe de Pn a Pn+1 commesuit.Soit [AnBn] un cote de Pn. La bissectrice de

AnOBn coupe Γn en En. Les points An+1 etBn+1 sont les milieux de [EnAn] et de [EnBn](voir figure ci-contre).

Γn

Rn

Rn+1

OAn

Bn

En

An+1

Bn+1

HnHn+1

1) Montrer que l’angle An+1OBn+1 est egal a 2π2n+1 et qu’on a OAn+1 = OBn+1. En deduire

que [An+1Bn+1] est le cote d’un polygone regulier Pn+1 a 2n+1 cotes, de centre O.

2) Montrer que les polygones Pn ont tous le meme perimetre L que l’on calculera. ComparerL et les perimetres des cercles Γn et Cn.

3) Soit Hn le projete orthogonal de O sur [AnBn]. On pose rn = OHn, Rn = OAn. Ceslongueurs sont donc les rayons des cercles Cn et Γn respectivement. Calculer r2 et R2.

a) Montrer les formules : rn+1 = 12(rn + Rn) et Rn+1 =

√Rnrn+1.

b) Montrer qu’on a rn < Rn, que la suite (rn) (resp. (Rn)) est croissante (resp. decroissante).c) Montrer l’inegalite Rn+1 − rn+1 ≤ 1

4(Rn − rn) et en deduire que les suites (Rn) et (rn)

sont adjacentes.

d) Montrer qu’on a rn <L

2π< Rn. Quelle est la limite des suites (rn) et (Rn) ?

4) En utilisant la calculatrice, calculer une valeur approchee de 1/π a 10−10 pres, puis unevaleur approchee de π.



Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils uti-

lises ainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.

Q2. Quelles justifications peut-on proposer pour la question 2 (comparaison des perimetresde Pn, Γn et Cn) ? Lesquelles peut-on attendre des eleves ?

Sur ses fiches, le candidat presentera sa reponse a la question Q2 ainsi qu’un autre exercicese rapportant au theme : Calcul d’une valeur approchee de π.

1

105

JURY05-46-1307 : Calcul de e par Taylor reste intégrale (06.1, 06.2, 07.2,08.2)


Thème : SuitesApproximation d’un réel à l’aide de suite


1) On considère les réels In =

∫ 1

0

tn

n!e1−tdt pour tout n entier non nul et I0 =

∫ 1

0

e1−tdt

a) Calculer I0 et I1.

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel nonnul, on a :

In − In−1 = − 1

n!.

c) En déduire que pour tout entier naturel n on a : In = e−p=n∑p=0

1

p!.

2) Montrer que pour tout entier naturel non nul , 0 ≤ In ≤ 1

n!.

En déduire la limite de la suite (In) et un encadrement de e.




Q.1) Dégager les méthodes utilisées dans cet exercice.

Q.2) Proposer un ou plusieurs exercices permettant l’approximation d’un nombre réel parune suite.


106

PG06-46-17 : Calcul de π par la formule π = 4Z 1

0

dt1+ t2 (06.s)


THEME 46Approximation de reels par des suites

1 Exercice propose

On considere la suite (un) definie pour tout n ≥ 0 par

un = 1− 1

3+

1

5− 1

7+ ...+

(−1)n

2n+ 1.

1) Montrer que, pour tout reel t, on a :

(1− t2 + t4 + ...+ (−1)nt2n)− 1

1 + t2= (−1)n

t2n+2

1 + t2.

2) En deduire que un −∫ 1

0

dt

1 + t2= (−1)n

∫ 1

0

t2n+2

1 + t2dt.

3) Montrer que, pour tout reel t, on a

t2n+2

1 + t2≤ t2n+2.

En deduire que

∣∣∣∣∣un −∫ 1

0

dt

1 + t2

∣∣∣∣∣ ≤ 1

2n+ 3.

4) On admet que∫ 1

0

dt

1 + t2=π

4. Determiner la limite de la suite (un).

5) Determiner un entier n0 tel que 4un0 soit une valeur approchee de π a 10−2 pres, puis(a l’aide d’une calculatrice) calculer 4un0 .




• Q.1) Indiquez l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents out-ils utilises ainsi que le (ou les) niveau(x) au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et lesdifficultes qu’il peut presenter pour des eleves.

• Q.2) Quelle autre methode aurait-on pu utiliser pour prouver que la suite (un)converge?

• Q.3) En vous inspirant de la methode exposee dans cet exercice, redigez un exercicepermettant le calcul approche de ln 2.



• un exercice illustrant le theme : Approximation de reels par des suites.

107

DP08-46-51 : Moyenne arithmético-géométrique (08.1)


THEME 46.



On considere deux nombres reels verifiant 0 < a < b et on definit par recurrence deux

suites (an) et (bn) en posant a0 = a, b0 = b, an+1 =√

anbn et bn+1 =an + bn

2.

1) Montrer la formule : bn+1 − an+1 =(√

bn −√an)2

2.

2) Montrer les inegalites 0 < an < an+1 < bn+1 < bn.

3) Montrer l’inegalite bn+1−an+1 ≤ 12 (bn−an). En deduire qu’on a bn−an ≤ b− a

2n.

4) Montrer que les suites (an) et (bn) ont une limite commune m. On suppose a = 1et b = 2. Donner une valeur approchee a 10−6 pres de m.





Q2. Presenter les suites a l’aide de la calculatrice dans le cas a = 1, b = 2.Q3. On suppose encore a = 1 et b = 2. La majoration de bn − an vous semble-t-elle

satisfaisante ? Comment pourrait-on ameliorer cette majoration ?


– Sa reponse a la question Q3.– Un autre exercice sur le theme : Approximation d’un reel par des suites.

1

108

JURY05-46-0207 : Calcul de racine de 7 (08.1) (08.2)


Thème : SuitesApproximation d’un nombre réel à l’aide de suites


Une vérification simple montre que 2 ≤ √7 ≤ 3. On pose I = [2, 3]

1) un+1 = un − 1

4(u2

n − 7)

u0 ∈ [2, 3]

Conjecturer à l’aide d’une calculatrice le comportement asymptotique de la suite (un).2) Etudier la convergence de la suite (un).

On pourra notamment introduire la fonction f définie par : f(x) = x − 1

4(x2 − 7),

montrer que l’intervalle I est stable par f , (c’est à dire que pour tout élément x de I,f(x) est encore un élément de I), puis que :

Si 2 ≤ x ≤ 3 et 2 ≤ y ≤ 3 alors |f(x)− f(y)| ≤ 1

2|x− y|

et utiliser ce résultat pour obtenir une majoration de |un −√

7|.3) Montrer que

√7 est toujours compris entre deux termes consécutifs de la suite.

4) On se fixe une précision ε, (10−6 < ε < 1). A l’aide de la calculatrice, déterminer deuxtermes consécutifs de la suite (un) permettant d’avoir une valeur approchée de

√7 à la

précision ε.



Q.1) Présenter le travail réalisé sur la calculatrice.Q.2) Rédiger un énoncé de niveau terminale permettant d’étudier la convergence de la suite

(un) et de déterminer une valeur approchée de√

7 à 10−2 près.Q.3) Proposer un ou plusieurs exercices permettant de déterminer des valeurs approchées

d’un nombre réel à l’aide d’une suite à une précision donnée.


109

JURY07-46-1807 : Développement décimal et tableur (08.1) (08.2) - 3 pages


Thème : Approximation d’un nombre réel à l’aide de suites.


On se propose de donner un sens à l’écriture du nombre A = 38,63636363 . . ., puis, à l’aided’un tableur, de retrouver le développement décimal d’un rationnel.

On considère, pour n > 1, la suite numérique de terme général un = 38,63 63 . . . 63 (avecn périodes dans la partie décimale) et on pose u0 = 38.

1. En écrivant un sous la forme un = 38 + 63 · 10−2 + 63 · 10−4 + · · ·+ 63 · 10−2n, démontrerque cette suite est convergente, déterminer sa limite et l’écrire sous forme de fractionirréductible.Quel sens peut-on donner à l’écriture du nombre A = 38,63636363 . . . ?

2. Présenter un algorithme simple permettant de retrouver, à l’aide d’un tableur, l’écrituredécimale illimitée du nombre rationnel précédent.



Q.1) Préciser les propriétés utilisées dans la résolution de la première question de cet exercice.Q.2) Écrire l’algorithme demandé à la question 2).Q.3) Montrer que toute écriture décimale illimitée périodique à partir d’un certain rang repré-

sente un nombre rationnel.


i) Sa réponse à la question Q.2).ii) Des exercices sur le thème « Approximation d’un nombre réel à l’aide de suites ».


110

DP09-46-59 : Développement décimal et tableur (09.1, 09.2)


THEME 46

Approximation d’un nombre reel a l’aide de suites

1 Exercice propose

On se propose de donner un sens a l’ecriture 18, 076923 076923 076923 . . ..1) On pose u0 = 18 et, pour n ≥ 1, un = 18, 076923 076923 . . . 076923. avec n fois la suite

de chiffres 076923 dans la partie decimale.En ecrivant un sous la forme :

un = 18 +76923

106+

76923

1012+ · · ·+ 76923

106n,

montrer que la suite un converge, calculer sa limite et l’ecrire sous forme d’une fraction irreductible.Quel sens peut-on donner a l’ecriture decimale illimitee 18, 076923 076923 076923 . . . ?

2) Proposer un algorithme simple permettant de retrouver, a l’aide d’un tableur, l’ecrituredecimale illimitee du rationnel precedent.





Q2. Ecrire l’algorithme demande a la question 2).

Q3. Montrer que toute ecriture decimale illimitee periodique a partir d’un certain rangrepresente un nombre rationnel.

Q4. Preciser les nombres rationnels dont le developpement decimal illimite admet uneperiode de longueur 6.

Sur ses fiches le candidat presentera sa reponse a la question Q2 du jury ainsiqu’un ou plusieurs exercices sur le theme : Approximation d’un nombre reel a l’aidede suites.

1

111

DP09-46-60 : Calcul de π par la méthode d’Archimède (09.1, 09.2)


THEME 46(4)

Calcul approche de π

1 Exercice propose

Soit C un cercle de rayon 1. On construit, pour n ≥ 1, deux polygones reguliers Pn et Qn

ayant 3× 2n cotes, Pn etant inscrit dans C et Qn circonscrit a C. On admettra que le perimetredu cercle (egal a 2π) est encadre par ceux des polygones. Dans la suite, on note pn et qn lesdemi-perimetres respectifs de Pn et Qn.

1) Montrer qu’on a p1 = 3 et q1 = 2√

3.

2) a) Evaluer, en fonction de n, l’angle au centre qui intercepte l’un des cotes de Pn ou deQn.

b) En deduire les relations :

pn = 3× 2n sin

(π

3× 2n

)et qn = 3× 2n tan

(π

3× 2n

).

3) On pose α =π

3× 2n+1.

Exprimer pn et qn en fonction de n et α. Montrer qu’on a, pour n ≥ 1 :

1

qn+1

=1

2

(1

pn+

1

qn

)et pn+1 =

√pn qn+1.

4) a) Soient a et b deux reels verifiant 0 ≤ a < b. Montrer qu’on a :

a <√ab < b et a <

2ab

a+ b<a+ b

2< b.

b) Montrer par recurrence qu’on a pn < qn.c) En deduire que la suite (pn) (resp. (qn)) est croissante (resp. decroissante).d) Montrer qu’on a, pour tout n ≥ 1, qn+1 − pn+1 ≤ 1

2(qn − pn). Conclure sur les limites de

(pn) et (qn).

5) A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de π d’amplitude 10−10.





Q2. Expliquer comment les polygones Pn et Qn sont obtenus. Presenter la figure sur la cal-culatrice, au moins dans le cas n = 1, a l’aide d’un logiciel de geometrie. Justifier l’encadrementpn < π < qn.

Q3. Discuter l’optimalite de l’encadrement obtenu a la question 4) d).


– Sa reponse a la question Q3.– Un autre exercice sur le theme : Approximation du nombre π par des suites.

1

112

113

47 Utilisation de suites pour la recherche de solutions approchéesd’une équation numérique (2)

DP05-47-23 : lnx = cosx par dichotomie (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2)


THEME 47.

Resolution d’une equation.


Le dossier a pour objectif de resoudre de maniere approchee l’equation (E) :

lnx = cos x.

Les points suivants doivent imperativement etre abordes :

1) Determination du nombre de racines, encadrement de ces racines a 10−1 pres parune methode de balayage (en utilisant la calculatrice).

2) Calcul d’un encadrement d’amplitude donnee (par exemple 10−6) de chacune desracines de (E) par une methode de dichotomie. Explicitation de l’algorithme et program-mation de celui-ci sur une calculatrice.



Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q1. Rediger un exercice pour des eleves de terminale S mettant en evidence les points

indiques ci-dessus. La methode de dichotomie doit a la fois etre traitee mathematiquementet faire l’objet d’un programme sur la calculatrice.

Q2. Indiquer une ou plusieurs autres methodes pour resoudre l’equation (E).Q3. Comment l’exercice serait-il modifie si l’on etudiait l’equation : lnx = −2 cos x ?Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q1 et Q2.– Un autre exercice sur le theme : Resolution d’une equation.Document fourni : programme de terminale S, paragraphes Langage de la continuite

et tableau de variations et Suites et recurrence.

28

114

DP07-47-24 : Newton historique (07.1, 07.2,09.1, 09.2)


THEME 47.



1) Montrer que l’equation f(x) = 0, avec f(x) = x3−2x−5, admet une unique racinereelle α et l’encadrer a 10−1 pres.

On pose g(x) = x− f(x)f ′(x)

.

2) Ecrire l’equation de la tangente T au graphe de f au point (x0, f(x0)). Montrerque T coupe l’axe des x au point d’abscisse g(x0).

On considere la suite definie par recurrence par u0 = 2, 1 et un+1 = g(un).3) a) Interpreter graphiquement cette suite.

b) Calculer les premieres valeurs de la suite a l’aide de la calculatrice. Quelles conjec-tures peut-on faire sur la monotonie de la suite (un) et sur sa limite ?

c) Montrer que, sur I = [α, +∞[, la fonction g est croissante et verifie g(x) ≥ α.

d) Montrer que l’on a un > α pour tout n, puis que (un) est decroissante.

e) Montrer que (un) a une limite que l’on precisera.



Apres avoir resolu l’exercice :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, degager les methodes, les differents outils utilises


Q2. Indiquer comment completer la redaction de l’exercice pour obtenir un encadrementde α a 10−10 pres.

Q3. La convergence de la suite (un) semble tres rapide. Comment peut-on justifiercela avec les outils du lycee ? On pourra par exemple essayer de preciser en combien decoups on obtient la limite de (un) a 10−100 pres.

Q4. L’exercice est inspire d’un texte d’Isaac Newton datant de 1670 Proponatur æqua-tio y3 − 2y − 5 = 0 resolventa ... dont voici une traduction approximative :

Soit l’equation y3 − 2y − 5 = 0 a reduire en suite infinie. Supposons trouve, d’unemaniere ou d’une autre, un nombre comme 2, qui ne differe pas d’une de ses dixiemesparties de la vraie valeur de la racine. Faites 2 + p = y, substituez 2 + p pour y dansl’equation donnee, et vous aurez p3 +6p2 +10p−1 = 0 dont il faut chercher la racine pour

29

SUITE...

115


l’ajouter au quotient1. Rejettez p3 + 6p2 a cause de sa petitesse, il restera 10p− 1 = 0, oup = 0, 1, ce qui est tres pres de la vraie valeur de p. C’est pourquoi je fais 0,1 + q = p, etsubstituant comme auparavant, j’ai q3 + 6,3q2 + 11,23q + 0,061 = 0. Negligeant les deuxpremiers termes, il reste 11,23q + 0,061 = 0, ou q = −0,0054 a peu pres [...]. J’ecris donc−0,0054 dans le quotient, mais au-dessous parce que ce terme est negatif ; et supposant−0,0054 + r = q, je substitue comme auparavant, et je continue ainsi l’operation aussilongtemps qu’il convient.

Commenter ce texte a la lumiere de l’exercice propose.

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Resolution d’une equation.

1 Il faut prendre ce mot au sens : valeur approchee.

30

116

DP07-47-39 : Echelles (05.0, 06.1, 06.2,081, 08.2)

THEME 47(2)Resolution d’equations

1 Exercice propose

Deux echelles AC et BD de 2 m et 3 m sontposees dans un couloir comme sur la figureci-contre. Le point d’intersection M est situea 1 m du sol. On cherche a determiner lalargeur a du couloir.1) Montrer que a est racine de l’equationf(x) = 0 avec

f(x) =1√

4− x2+

1√9− x2

− 1.

(On calculera les rapportsMH

ADet

MH

BC).

A B

D

C

M

H

2) On pose X = x2, F (X) =1√

4−X+

1√9−X

− 1. Etudier la fonction F et montrer que

a2 est compris entre 1 et 2.3) On pose G(X) = X − F (X). Montrer que la suite definie par recurrence par u0 = 1 et

un+1 = G(un) converge vers a2. Calculer a2 puis a a 10−3 pres.





Q2. Proposer d’autres methodes permettant de resoudre l’equation f(x) = 0 avec uneprecision de 10−6.

Q3. Au lieu de la fonction G de l’enonce on utilise la fonction H(X) = X − 203 F (X).

Expliquer les resultats obtenus.Sur ses fiches, le candidat presentera :– Ses reponses aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice se rapportant au theme : Resolution d’equations.

Documentation fournie : Programme de terminale S, paragraphe suites et recurrence.

1

117

118

48 Sens de variation

PG05-48-16 : Tangentes communes aux courbes de l’exponentielle et du loga-rithme (05.1 ,05.2, 06.2, 07.2)


THEME 48Sens de variations

1 Exercice propose

1) Soit f la fonction definie sur ]0,+∞[ par: f(x) = (1− x) ln x+ x+ 1.

a) Calculer la fonction derivee f ′ de f . Etablir qu’il existe un et un seul reel α > 0 telque f ′(α) = 0. Justifier que α ∈]1, 2[ et f(α) > 0.

b) Dresser le tableau de variations de la fonction f .

c) Montrer que l’equation f(x) = 0 admet exactement deux solutions β1 et β2 dans]0,+∞[. Justifier que β1 < 1 < β2 < 5.

2) Le plan etant rapporte a un repere orthonormal, on note C1 la courbe representativede la fonction g1 definie par : g1(x) = ex et C2 la courbe representative de la fonction g2

definie par : g2(x) = lnx.

a) Soit x1 ∈ IR. On suppose que la droite d’equation y = m1x + p1 est la tangente ala courbe C1 au point d’abscisse x1. Justifier que m1 > 0. Exprimer m1 et p1 enfonction de x1.

b) Soit x2 > 0. On suppose que la droite d’equation y = m2x + p2 est la tangente ala courbe C2 au point d’abscisse x2. Justifier que m2 > 0. Exprimer m2 et p2 enfonction de x2.

c) Soit D la droite d’equation y = mx + p avec m > 0. La droite D est une tangentecommune aux courbes C1 et C2 si il existe x1 ∈ IR et x2 > 0 tels que D soit tangentea C1 au point d’abscisse x1 et a C2 au point d’abscisse x2.Montrer que si D est une tangente commune aux courbes C1 et C2 alors D esttangente a C2 au point d’abscisse x2 avec x2 > 0 et f(x2) = 0.En deduire le nombre de tangentes communes aux courbes C1 et C2.





• Q.2) Si la droite D est une tangente commune aux courbes C1 et C2, comment feriez-vous preciser a un eleve de Terminale la position de D par rapport aux courbes C1

et C2?

SUITE... 119

• Q.3) Expliquer, par des arguments geometriques, pourquoi le nombre de tangentescommunes aux courbes C1 et C2 est pair.



• un ou plusieurs autres exercices illustrant le theme : Sens de variations.

120

FIR06-48-9 : Concavité du logarithme (06.1, 08.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 48.

Sens de variation.


1) Montrer que, pour tout x > 0, x 6= 1 on a : ln(x) < x− 1

2) Soient a et b deux nombres reels strictement positifs tels que a < b. On considere lafonction definie sur [0, 1] par

f(x) = ln(xa + (1− x)b)− x ln(a)− (1− x) ln(b).a) Montrer que la derivee f ′ de f est decroissante et qu’elle s’annule une et une seule foissur ]0, 1[ en un point note c.(On ne demande pas de donner la valeur de c).

b) En deduire le sens de variation de f .

c) En deduire que, pour tout x de ]0, 1[, on a :

x ln(a) + (1− x) ln(b) < ln(xa + (1− x)b).



Apres avoir resolu l’exercice :1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Donner une interpretation geometrique du resultat obtenu la question 2)c). Commentpeut-on poser cette question a des eleves de Terminale S ? De quelle propriete de la fonctionlogarithme s’agit-il ?A quelle autre partie des programmes du lycee se rattache la methode qui est proposeeaux eleves pour etablir ce resultat ?Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse a la question 2 du jury.- un enonce d’exercice utilisant le sens de variation d’une fonction dans le meme but quedans l’exercice du jury.- un enonce d’exercice utilisant le sens de variation d’une fonction dans un autre but.

Extraits de programmes a consulter : Programme de Terminale S :Langage de lacontinuite et tableaux de variations, derivation, etude des fonctions logarithmes et expo-nentielles.

121

FIR07-48-2 : Variations d’une aire (07.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 48.

Sens de variation.


Le plan est rapporte a un repere orthogonal.Soit f une fonction positive, strictement croissante et derivable sur [0, 1]. On note C sacourbe representative et, pour tout x ∈ [0, 1], on note Mx le point de C d’abscisse x et Hx

le point de coordonnees (x, 0).Soit I le point de coordonnees (1, 0) (I= H1). Pour tout x ∈ [0, 1], on introduit les portionsdu plan suivantes :Sx delimitee par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnees, la courbe C et la droite (Hx Mx);Tx delimitee par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnees, la courbe C et la droite (IMx).1) Faire une figure et representer les domaines Sx et Tx.Pour tout x ∈ [0, 1], on designe par F (x) l’aire de Sx et par g(x) l’aire de Tx en united’aire.

2) Exprimer, pour tout x ∈ [0, 1], g(x) en fonction de x, f(x) et F (x).

3) La fonction F est-elle derivable sur [0,1] ? Quelle est la derivee de F ?

4) Etudier les variations de la fonction g : x 7→ g(x) sur [0, 1].

5) (a) Montrer que : g(0) ≤ 12F (1).

(b) Montrer qu’il existe un unique reel α ∈]0, 1[ tel que g(α) soit egal a la moitie del’aire de S1.

(c) Enoncer la propriete geometrique demontree.



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :1. Indiquez l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Degagez le but de l’exercice.3. La question 3 de l’exercice est une question de cours pour un eleve de terminale S. Voussouhaitez que l’eleve demontre le resultat. Completez le texte de l’exercice pour que cettequestion soit une question de “restitution organisee de connaisances”.4. On pose f(x) = ex−1 pour tout x ∈ [0, 1]. On choisit un repere orhogonal (O, I, J) telque OI = 4cm et OJ = 2cm. Determinez une valeur approchee de α a 10−3 pres et precisezune valeur approchee en cm2 de g(α). Quelle methode proposeriez vous a des eleves determinale S pour determiner une valeur approchee de α a 10−3 pres.

Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse aux questions 3 et 4 du jury.- un enonce d’exercice se rapportant au theme : sens de variation.

122

FIR09-48-3-1 : Une courbe catastrophique (avec ln) 09.1)Preparation au CAPES 2008-09, ORSAY

THEME 48.

Sens de Variation.


Soit f la fonction definie sur ]− 1; +∞[ par :

f(x) = x2 − 2,2 x + 2,2 ln(x + 1).On precise que le plan est rapporte a un repere orthonormal.

1) Faire apparaıtre sur l’ecran de la calculatrice graphique la courbe representative decette fonction dans la fenetre −2 ≤ x ≤ 4,−5 ≤ y ≤ 5.

2) D’apres cette representation graphique, que pourrait-on conjecturer :(a) sur les variations de la fonction f ?(b) sur le nombre de solutions de l’equation f(x) = 0 ?

3) On se propose maintenant d’etudier la fonction f .(a) Etudier le sens de variation de la fonction f .(b) Etudier les limites de la fonction f en −1 et en +∞, puis dresser le tableau de

variations de f .(c) Deduire de cette etude, en precisant le raisonnement, le nombre de solutions de

l’equation f(x) = 0 .(d) Les resultats aux questions 3.a et 3.c confirment-ils les conjectures emises a la

question 2 ?

4) On veut representer, sur l’ecran d’une calculatrice graphique, la courbe representativede la fonction f sur l’intervalle [−0,1 ; 0,2] de facon a visualiser les resultats de la question3. Quelles valeurs extremes de l’ordonnee y proposez-vous pour mettre en evidence lesresultats de la question 3.c dans la fenetre de votre calculatrice ?



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Preciser comment a partir de la courbe obtenue a la question 1, vous guideriez vos elevespour qu’ils repondent a la question 2 et surtout pensent a etudier la fonction f .3. Expliquer le choix des valeurs extremes de l’ordonnee y dans la question 4.4. Comment determiner a l’aide de la calculatrice une valeur approchee par defaut a 10−2

pres de la plus grande solution α de l’equation f(x) = 0.Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse a la question 4 du jury.- un ou deux enonces d’exercices illustrant le theme sens de variation

123

124

49 Comportement asymptotique

PG05-49-11 : Asymptotes d’une courbe (05.1,05.2, 07.1, 07.2, 08.2)


THEME 49Comportement asymptotique

1 Exercice propose

On veut etudier la fonction f definie sur une partie de IR par :

f(x) = x+ex

2(ex − 2).

On designe par C sa courbe representative dans le plan muni d’un repere orthonorme(O; i; j) (unite graphique : 2cm).

1) Quel est son domaine de definition? Montrer que la courbe C presente une asymptoteverticale dont on donnera une equation.

2) Determiner la limite de f en −∞. Montrer que la droite d’equation y = x estasymptote a C en −∞. Preciser la position de la courbe C par rapport a cette asymptote.

3) Determiner a, b et c reels tels que, pour tout x distinct de ln 2, on ait

f(x) = ax+ b+c

ex − 2.

4) En deduire la limite de f en +∞ et le fait que la courbe C presente une asymptoteoblique D en +∞ dont on donnera une equation. Preciser la position de la courbe C parrapport a cette asymptote.

5) Etudier les variations de f et representer la courbe C et les asymptotes a cettecourbe.

6) Donner une valeur approchee de f(15) a 10−6 pres. Cette valeur approchee est-ellepar defaut ou par exces?





• Q.2) Quelle(s) methode(s) attendez-vous des eleves pour resoudre la question 3?Quelle indication pourriez-vous donner?

• Q.3) Modifier legerement la fonction f pour que la methode utilisee dans la question6 donne une valeur approchee de f(15) dans l’autre sens (par defaut si elle l’etaitpar exces, par exces si elle l’etait par defaut). La precision obtenue est-elle la meme?

SUITE...

125



• deux exercices portant sur des etudes de fonctions et mettant en evidence des pro-prietes de leurs representations graphiques.

126

JURY05-49-3006 : Etude et représentation graphique d’une fonction (06.1,06.2, 08.1)


Thème : Fonctions


Soit f la fonction x 7→ √x2 + x + 1.

1) Etudier les variations de f .

2) Montrer que la droite d’équation x = −1

2est axe de symétrie pour la courbe représen-

tative C de la fonction f .3) Déterminer lim

x→+∞(f(x)− x). En déduire que la courbe C admet en +∞ une asymptote

d’équation y = x + 12.

4) Représenter la courbe C .




Q.1) La question 1) de l’exercice précédent peut-elle être abordée en Seconde ? Rédiger uncorrigé de la question 1) au niveau d’une classe de 1ere S.

Q.2) Exposer une méthode permettant d’établir que la courbe représentative d’une fonctionadmet un axe de symétrie ou un centre de symétrie.

Q.3) Proposer une version alternative de l’énoncé permettant d’étudier le comportementasymptotique de la courbe en −∞ sans utiliser l’axe de symétrie de la courbe représen-tative de f .

Q.4) Proposer d’autres exercices portant sur des études de fonctions, mettant en évidence despropriétés de leurs représentations graphiques (non nécessairement parmi les propriétésétudiées ici).


SUITE...

127


3. Quelques références aux programmesProgramme de SecondeAnalyse

CONTENUS

MODALITES DE MISE EN

ŒUVRE

COMMENTAIRES

Etude qualitative de fonctions.Fonction croissante, fonction dé-croissante : maximum, minimumd’une fonction sur un intervalle.

Décrire avec un vocabulaireadapté ou un tableau de va-riations le comportement d’unefonction définie par une courbe.Dessiner une représentation gra-phique compatible avec un ta-bleau de variation.

S’il s’agit des courbes, on distingueracelles pour lesquelles, par convention,l’information sur les variations estexhaustive, de celles obtenues sur unécran graphique.La perception sur un graphique desymétries ou de périodicité pourraconduire à une formulation analytiquede ces propriétés.On soulignera le fait qu’une fonctioncroissante conserve l’ordre, tandisqu’une fonction décroissante renversel’ordre ; une définition formelle est iciattendue.Les positions relatives des différentescourbes ainsi découvertes seront obser-vées et admises.

Premières fonctions de référence. Etablir le sens de variation etreprésenter graphiquement lesfonctions x 7→ x2, x 7→ 1

x .

D’autres fonctions telles que x 7→ √x,

x 7→ x3, x 7→ |x| pourront être décou-vertes à l’occasion de problèmes.Les résultats les concernant pourrontêtre admis.


SUITE...

128


Programme de 1ereSAnalyse

CONTENUS


ŒUVRE

COMMENTAIRES

Généralités sur les fonc-tionsSens de variations et représenta-tion graphique d’une fonction dela forme u + λ, λu, la fonction u

étant connue. Sens de variationsde uv, u et v étant des fonctionsmonotones.

Résolution de l’équation du se-cond degré.Etude du signe d’un trinôme.

On travaillera à l’aide degrapheurs, sur des familles decourbes représentatives de fonc-tions associées à deux fonctionsdonnées u et v :u + λ, λu, |u|, x 7→ u(λx) etx 7→ u(x + λ).

On aboutira ici aux formulesusuelles donnant les racines etla forme factorisée d’un trinômedu second degré.

On remarquera à l’aide de contre-exemples qu’on ne peut pas énoncer derègles donnant dans tous les cas le sensde variations de u + v ou de uv.On justifiera les symétries observées surles représentations graphiques

On fera le lien entre les résultats etl’observation des représentations gra-phiques obtenues à l’aide d’un gra-pheur.

DérivationDérivées des fonctions usuelles :x 7→ xn,x 7→ √

x, x 7→ cos x etx 7→ sinx.Dérivée d’une somme d’unproduit, d’un quotient et dex 7→ f(ax + b).

Lien entre signe de la déri-vée et variations.

On justifiera le résultat donnantla dérivée de u et 1

v .

On étudiera, sur quelquesexemples, le sens de variationsde fonctions polynômes dedegré 2 ou 3, de fontions ho-mographiques ou de fonctionsrationnelles très simples. Onintroduira les notions et levocabulaire usuels (extremum,majorant, minorant) et, del’étude du sens de variations, ondéduira des encadrements d’unefonction sur un intervalle.

On justifiera que la dérivée d’une fonc-tion monotone sur un intervalle est designe constant : on admettra la réci-proque. L’étude de fonctions ne sera pasprésentée comme une fin en soi, mais in-terviendra lors de la résolution de pro-blèmes.


SUITE...

129


Comportement asymp-totique de certainesfonctionsAsymptotes verticales, horizon-tales ou obliques

On étudiera sur des exemplestrès simples (fonctions po-lynômes de degré 2 ou 3,fonctions rationnelles du typex 7→ ax+b+h(x) avec h tendantvers 0 en +∞ ou −∞), leslimites aux bornes de l’intervallede définition et les asymptoteséventuelles.

On s’appuiera sur l’intuition ; les résul-tats usuels sur les sommes et produitsde limites apparaîtront à travers desexemples et seront ensuite énoncés clai-rement.

Programme de Terminale SAnalyse

Une bonne maîtrise des fonctions classiques (dérivées, extrema, comportements asympto-tiques, courbes représentatives) est nécessaire ; elle doit permettre une certaine aisance dansles problèmes qui les mettent en jeu.

CONTENUS MODALITES DE MISE EN ŒUVRE COMMENTAIRES

Limites de suites et defonctionsNotions de limite finie ou infinied’une fonction en un réel a.

On reverra à cette occasion lanotion d’asymptote oblique, ense limitant aux fonctions se met-tant sous la forme ax + b + h(x),où h tend vers 0 à l’infini.On montrera sur des exemplesque l’étude sur calculatrice ouau tableur d’une suite ou d’unefonction permet de conjecturerdes limites qui devront ensuiteêtre justifiées.


130

DP08-47-49 : Résolution de ln(x) = ex−3 (08.1, 08.2)


THEME 47.



On se propose de resoudre l’equation (E) : lnx = ex − 3 sur ]0,+∞[.1) Etudier les variations de la fonction u(x) = ex − lnx− 3 et montrer que l’equation

lnx = ex− 3 admet deux solutions α et β (avec α < β). Encadrer ces solutions a 0, 1 pres.2) On pose f(x) = ln(3 + lnx). Preciser le domaine de definition de f . Montrer que

l’equation (E) est equivalente a l’equation f(x) = x.

2) On considere la suite (un) definie par recurrence par u0 = 1 et un+1 = f(un).a) Montrer que la fonction f est croissante.b) Montrer que la suite (un) est croissante et majoree par β.c) Montrer que (un) converge et que sa limite est egale a β. Donner une valeur ap-

prochee de β a 10−6 pres.





Q2. Est-il possible de modifier la valeur initiale u0 de facon que la suite (un) convergevers la racine α de (E) ? Peut-on trouver une suite (vn) analogue qui converge vers α ?

Q3. Quelles autres methodes de resolution pourrait-on mettre en œuvre pour trouverdes valeurs approchees de α et β ?


– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Resolution d’une equation.

1

131

FIR09-49-22 : Asymptotes obliques d’une courbe( 09.1)Prparation au CAPES

THEME 49.

Comportement asymptotique.


Soit f la fonction definie par

f(x) =

√x3

x− 1.

On note C sa courbe representative dans un plan muni d’un repere orthonormal.

1) Preciser le domaine de definition Df de f et etudier les limites de la fonction.

2) Pour tout x ∈ Df , on pose g(x) =x3

x− 1. Preciser le signe de g′(x) pour x ∈ Df .

3) Etudier la derivabilite de f sur ] −∞, 0 [∪ ] 1, +∞[. En deduire le sens de variation dela fonction f .

4) Etudier la derivabilite de f en 0. Que peut-on en deduire pour la courbe C ?

5) Montrer que les droites ∆ et ∆′ d’equations respectives : y = x + 1/2 et y = x − 1/2sont asymptotes a C.6) Tracer la courbe C.



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. On souhaite preciser la position de la courbe C par rapport aux droites ∆ et ∆′. Redigezles questions a poser pour cela a un eleve de Terminale S.3. Quelle(s) question(s) proposeriez-vous en plus pour affiner l’etude de la fonction ?Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse a la question 2 du jury.- un ou deux enonces d’exercice portant sur des etudes de fonctions, mettant en evidencedes proprietes de leurs representations graphiques.

Extraits de programmes a consulter :Premiere S : Generalites sur les fonctions : comportement asymptotiqueTerminale S : Etude des fonctions logarithmes et exponentielles, Limites de fonctions

SUITE ...

132

133

50 Représentations graphiques

JURY05-50-3006 : Etude et représentation graphique d’une fonction (07.2)


Thème : Fonctions


Soit f la fonction x 7→ √x2 + x + 1.

1) Etudier les variations de f .

2) Montrer que la droite d’équation x = −1

2est axe de symétrie pour la courbe représen-

tative C de la fonction f .3) Déterminer lim

x→+∞(f(x)− x). En déduire que la courbe C admet en +∞ une asymptote

d’équation y = x + 12.

4) Représenter la courbe C .




Q.1) La question 1) de l’exercice précédent peut-elle être abordée en Seconde ? Rédiger uncorrigé de la question 1) au niveau d’une classe de 1ere S.

Q.2) Exposer une méthode permettant d’établir que la courbe représentative d’une fonctionadmet un axe de symétrie ou un centre de symétrie.

Q.3) Proposer une version alternative de l’énoncé permettant d’étudier le comportementasymptotique de la courbe en −∞ sans utiliser l’axe de symétrie de la courbe représen-tative de f .

Q.4) Proposer d’autres exercices portant sur des études de fonctions, mettant en évidence despropriétés de leurs représentations graphiques (non nécessairement parmi les propriétésétudiées ici).


SUITE...

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3. Quelques références aux programmesProgramme de SecondeAnalyse

CONTENUS


ŒUVRE

COMMENTAIRES

Etude qualitative de fonctions.Fonction croissante, fonction dé-croissante : maximum, minimumd’une fonction sur un intervalle.

Décrire avec un vocabulaireadapté ou un tableau de va-riations le comportement d’unefonction définie par une courbe.Dessiner une représentation gra-phique compatible avec un ta-bleau de variation.

S’il s’agit des courbes, on distingueracelles pour lesquelles, par convention,l’information sur les variations estexhaustive, de celles obtenues sur unécran graphique.La perception sur un graphique desymétries ou de périodicité pourraconduire à une formulation analytiquede ces propriétés.On soulignera le fait qu’une fonctioncroissante conserve l’ordre, tandisqu’une fonction décroissante renversel’ordre ; une définition formelle est iciattendue.Les positions relatives des différentescourbes ainsi découvertes seront obser-vées et admises.

Premières fonctions de référence. Etablir le sens de variation etreprésenter graphiquement lesfonctions x 7→ x2, x 7→ 1

x .

D’autres fonctions telles que x 7→ √x,

x 7→ x3, x 7→ |x| pourront être décou-vertes à l’occasion de problèmes.Les résultats les concernant pourrontêtre admis.


SUITE...

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Programme de 1ereSAnalyse

CONTENUS


ŒUVRE

COMMENTAIRES

Généralités sur les fonc-tionsSens de variations et représenta-tion graphique d’une fonction dela forme u + λ, λu, la fonction u

étant connue. Sens de variationsde uv, u et v étant des fonctionsmonotones.

Résolution de l’équation du se-cond degré.Etude du signe d’un trinôme.

On travaillera à l’aide degrapheurs, sur des familles decourbes représentatives de fonc-tions associées à deux fonctionsdonnées u et v :u + λ, λu, |u|, x 7→ u(λx) etx 7→ u(x + λ).

On aboutira ici aux formulesusuelles donnant les racines etla forme factorisée d’un trinômedu second degré.

On remarquera à l’aide de contre-exemples qu’on ne peut pas énoncer derègles donnant dans tous les cas le sensde variations de u + v ou de uv.On justifiera les symétries observées surles représentations graphiques

On fera le lien entre les résultats etl’observation des représentations gra-phiques obtenues à l’aide d’un gra-pheur.

DérivationDérivées des fonctions usuelles :x 7→ xn,x 7→ √

x, x 7→ cos x etx 7→ sinx.Dérivée d’une somme d’unproduit, d’un quotient et dex 7→ f(ax + b).

Lien entre signe de la déri-vée et variations.

On justifiera le résultat donnantla dérivée de u et 1

v .

On étudiera, sur quelquesexemples, le sens de variationsde fonctions polynômes dedegré 2 ou 3, de fontions ho-mographiques ou de fonctionsrationnelles très simples. Onintroduira les notions et levocabulaire usuels (extremum,majorant, minorant) et, del’étude du sens de variations, ondéduira des encadrements d’unefonction sur un intervalle.

On justifiera que la dérivée d’une fonc-tion monotone sur un intervalle est designe constant : on admettra la réci-proque. L’étude de fonctions ne sera pasprésentée comme une fin en soi, mais in-terviendra lors de la résolution de pro-blèmes.


SUITE...

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Comportement asymp-totique de certainesfonctionsAsymptotes verticales, horizon-tales ou obliques

On étudiera sur des exemplestrès simples (fonctions po-lynômes de degré 2 ou 3,fonctions rationnelles du typex 7→ ax+b+h(x) avec h tendantvers 0 en +∞ ou −∞), leslimites aux bornes de l’intervallede définition et les asymptoteséventuelles.

On s’appuiera sur l’intuition ; les résul-tats usuels sur les sommes et produitsde limites apparaîtront à travers desexemples et seront ensuite énoncés clai-rement.

Programme de Terminale SAnalyse

Une bonne maîtrise des fonctions classiques (dérivées, extrema, comportements asympto-tiques, courbes représentatives) est nécessaire ; elle doit permettre une certaine aisance dansles problèmes qui les mettent en jeu.

CONTENUS MODALITES DE MISE EN ŒUVRE COMMENTAIRES

Limites de suites et defonctionsNotions de limite finie ou infinied’une fonction en un réel a.

On reverra à cette occasion lanotion d’asymptote oblique, ense limitant aux fonctions se met-tant sous la forme ax + b + h(x),où h tend vers 0 à l’infini.On montrera sur des exemplesque l’étude sur calculatrice ouau tableur d’une suite ou d’unefonction permet de conjecturerdes limites qui devront ensuiteêtre justifiées.


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PG05-50-9 : Une courbe catastrophique (avec exp)(05.1, 05.2, 06.2)


THEME 50Representations graphiques

1 Exercice propose

Soit f la fonction definie sur IR par:

f(x) =1

2e2x − 2, 1ex + 1, 1x+ 1, 6.

On precise que le plan est rapporte a un plan orthonormal.1) Faire apparaıtre sur l’ecran de la calculatrice graphique la courbe representative de

cette fonction dans la fenetre −5 ≤ x ≤ 4, −4 ≤ y ≤ 4.2) D’apres cette representation graphique, que pourrait-on conjecturer :

a) sur les variations de la fonction f?

b) sur le nombre de solutions de l’equation f(x) = 0?

3) On se propose maintenant d’etudier la fonction f .

a) Resoudre dans IR l’inequation : e2x − 2, 1ex + 1, 1 ≥ 0.

b) Etudier les variations de la fonction f .

c) Deduire de cette etude le nombre de solutions de l’equation f(x) = 0.

4) On veut representer sur l’ecran d’une calculatrice graphique la courbe representativede la fonction f sur l’intervalle [−0, 05; 0, 15] de maniere a visualiser les resultats de laquestion 3. Quelles valeurs extremes de l’ordonnee y peut-on choisir pour la fenetre de lacalculatrice?





• Q.2) Preciser comment, a partir de la courbe obtenue a la question 1), vous guideriezvos eleves pour qu’ils repondent a la question 2) et surtout pensent a etudier lafonction f .

• Q.3) Expliquer le choix de l’intervalle dans la question 4).

• Q.4) Comment determiner a l’aide de la calculatrice une valeur approchee par defauta 10−3 pres de la plus grande solution de l’equation f(x) = 0?


• un ou deux exercices illustrant le theme : Fonctions, representations graphiques.

138

FIR06-50-3 : Une courbe catastrophique (avec ln)(06.1, 07.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 50.

Representations graphiques.


Soit f la fonction definie sur ]− 1; +∞[ par :

f(x) = x2 − 2,2 x + 2,2 ln(x + 1).On precise que le plan est rapporte a un repere orthonormal.

1) Faire apparaıtre sur l’ecran de la calculatrice graphique la courbe representative decette fonction dans la fenetre −2 ≤ x ≤ 4,−5 ≤ y ≤ 5.

2) D’apres cette representation graphique, que pourrait-on conjecturer :(a) sur les variations de la fonction f ?(b) sur le nombre de solutions de l’equation f(x) = 0 ?

3) On se propose maintenant d’etudier la fonction f .(a) Etudier le sens de variation de la fonction f .(b) Etudier les limites de la fonction f en −1 et en +∞, puis dresser le tableau de

variations de f .(c) Deduire de cette etude, en precisant le raisonnement, le nombre de solutions de

l’equation f(x) = 0 .(d) Les resultats aux questions 3.a et 3.c confirment-ils les conjectures emises a la

question 2 ?

4) On veut representer, sur l’ecran d’une calculatrice graphique, la courbe representativede la fonction f sur l’intervalle [−0,1 ; 0,2] de facon a visualiser les resultats de la question3. Quelles valeurs extremes de l’ordonnee y proposez-vous pour mettre en evidence lesresultats de la question 3.c dans la fenetre de votre calculatrice ?



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Preciser comment a partir de la courbe obtenue a la question 1, vous guideriez vos elevespour qu’ils repondent a la question 2 et surtout pensent a etudier la fonction f .3. Expliquer le choix des valeurs extremes de l’ordonnee y dans la question 4.4. Comment determiner a l’aide de la calculatrice une valeur approchee par defaut a 10−2

pres de la plus grande solution α de l’equation f(x) = 0.Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse a la question 4 du jury.- un ou deux enonces d’exercices portant sur des etudes de fonctions et plus particu-lierement sur leurs representations graphiques.

139

JURY07-50-1107 : Un quart de cercle et deux demi-droites (08.1, 08.2) - 2pages


Thème : Fonctions


On considère la fonction f définie par :

f(x) =

√4 +√

16x2 − 8x3 + x4

On note (Cf ) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,~ı,~ ).1) Justifier que f est définie sur R.2) Montrer que les restrictions de f à chacun des intervalles ]−∞; 0] et [4; +∞[ sont des

fonctions affines.3) Montrer que sur [0; 4] la représentation graphique de f est un arc de cercle qu’on caracté-

risera.4) Tracer (Cf ).

5) Calculer∫ 6

−2

f(x) dx.

2. Le travail demandé au candidatEn aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del’entretien avec le Jury.


Q.1) Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l’exercice.Q.2) Montrer que la courbe (Cf ) possède un axe de symétrie.


(i) Sa réponse à la question Q.2).(ii) Un ou plusieurs exercices se rapportant au thème « Fonctions ».


140

JURY08-50-0407 : Nombre de solutions de l’équation ln(x) = kx2 (09.1) - 2pages


Thème : Analyse : Fonctions et équations


Soit k un réel. On considère la fonction F définie sur R par :

F (x) =

∫ x

0

ekt2 dt

On note C la courbe représentative de F et l’on s’intéresse au nombre de points M0

d’abscisse x0 appartenant à C et en lesquels la tangente à C a un coefficient directeurégal à x0.

1) Montrer qu’un tel point M0 existe si et seulement si x0 > 0 et vérifie l’équation

(E) : ln x = kx2.

2) a) En utilisant une calculatrice graphique et en faisant varier les valeurs de k, conjecturerle nombre de solutions de l’équation (E) dans ]0, +∞[.b) Si k > 0, trouver graphiquement une valeur approchée de k pour laquelle l’équation(E) a une unique solution dans ]0, +∞[.

3) Démontrer que pour k < 0, l’équation (E) a une unique solution dans ]0, +∞[.




Q.1) Présenter, à l’aide de la calculatrice, la ou les représentations permettant de faire lesconjectures demandées à la question 2).

Q.2) Proposer une solution de la question 3) de l’exercice telle que le candidat la présenteraità des élèves de terminale.


Sa réponse à la question Q.2). L’énoncé d’un ou plusieurs exercices se rapportant au thème « Fonctions et équa-tions ».


141

142

51 Recherche d’extremums, optimisation

DP05-51-25 : Triangle d’aire maximale dans un disque (05.0, 06.1, 06.2, 08.1,08.2)


THEME 51.

Optimisation 1.


Dans tout l’exercice on travaille dans un plan affine euclidien E .

1) Soit C un cercle de centre O et soient A,B deux points de C. Montrer, par unraisonnement geometrique, que parmi les triangles ABP inscrits dans C, celui qui a la plusgrande aire est isocele en P , avec P situe du meme cote de (AB) que O.

2) On munit le plan d’un repere orthonorme O,!i,!j, on considere le cercle C d’equationx2 + y2 = 1 et le point I de coordonnees (1, 0). Soient M et N deux points de C tels que(MN) soit perpendiculaire a (OI) en H. On pose OH = x.

a) Determiner l’aire du triangle MNI en fonction de x.

b) En deduire pour quelle valeur de x l’aire de MNI est maximum et quelle est lavaleur de cette aire.

3) Quel resultat general sur les aires des triangles inscrits dans un cercle les questions1) et 2) permettent-elles de prouver ?





Q2. On dispose d’un logiciel de geometrie dynamique (disons Cabri). Expliquer com-ment mener une seance de TP pour amener les eleves a conjecturer la propriete cherchee.

Q3. La reponse a la question 1) de l’exercice est a peu pres evidente sur la figure, maisnon evidente a rediger pour des eleves de college ou de lycee. Preciser quelle(s) indication(s)on peut donner pour obtenir une redaction satisfaisante.

Q4. Le raisonnement suivant est-il correct ?C’est le triangle equilateral qui a la plus grande aire parmi tous ceux qui sont inscrits

dans un cercle. En effet, si un triangle ABC inscrit n’est pas equilateral, il est, par exemple,non isocele en C, mais alors, par 1), son aire n’est pas maximale.

Quel est alors l’interet de la question 2) de l’exercice ?Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q3 et Q4.– Un autre exercice sur le theme : Optimisation (aires, perimetres, etc.).

31

143

DP05-51-26 : Cylindre dans une boule (05.1, 05.2,09.1, 09.2)


THEME 51.

Optimisation 2.


Le but de l’exercice est de rechercher le volume maximal d’un cylindre inscrit dansune demi-sphere de centre O. L’unite de longueur est le metre. On considere un cylindrede hauteur h inscrit dans une demi-sphere de rayon R. Le cylindre et la sphere se coupentselon un cercle C de rayon r. Ils ont meme plan de base P et meme axe de symetrie (Oz).

Soit M ∈ C et H la projection orthogonale de M sur P . Soit α la mesure en radiansde l’angle HOM , avec 0 < α < π/2.

1) Exprimer la hauteur h et le rayon r du cylindre en fonction de α et de R.

2) Demontrer que le volume v du cylindre s’exprime a l’aide de α via la fonctionf : ]0,π/2[→ R+ donnee par f(α) = sin α− sin3 α.

3) a) Calculer la derivee de f .b) Montrer qu’il existe une valeur α0 de α pour laquelle f admet un maximum et

qu’on a sinα0 =√

33

.

4) En deduire les dimensions h et r du cylindre et conclure. Quel est le rapport devolume entre le cylindre et la demi-sphere ?





Q2. On considere le probleme de trouver le maximum du volume d’un cylindre inscritdans la demi-sphere (dans la meme position que ci-dessus). Rediger un exercice de niveaupremiere S permettant de resoudre le probleme en utilisant un choix de parametre autreque celui de l’enonce. Discuter.

Q3. Dans l’enonce, on a suppose que le cylindre et la demi-sphere ont meme axe.Indiquer ce qui se passe si l’on ne fait plus cette hypothese.

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse a la question Q2.– Un autre exercice sur le theme : Optimisation (volumes).

32

144

DP06-51-47 : Statue de la liberté (06.1, 06.2)

Theme 51 : Recherche d’extremums, optimisation

1 Exercice propose

La statue de la Liberte AB est haute de 45 m repose sur un socle AH0 de 45 m de haut (voirfigure). Un photographe veut prendre un cliche de la statue. Il se deplace sur la demi-droite[H0x). On note P0 (resp. P ) le point qui correspond a la position de ses pieds (resp. de sonœil). Il constate que s’il est a la base du piedestal il ne voit pas la statue et que s’il s’en ecartetrop, l’angle θ = APB sous lequel il voit la statue devient de plus en plus petit. Il cherche donca prendre sa photo avec l’angle le plus grand possible. On pose x = P0H0 et on suppose que lephotographe tient son appareil a 1, 5 m du sol.

1) Calculer tan θ en fonction de x. (Si H est le point de la verticale de H0 situe a hauteurde l’œil du photographe, on pourra mener les calculs en utilisant les parametres a = AH etb = BH.)

2) Determiner la distance x pour que θ soit maximum.

A

B

H0

P

P0x

!H





Q2. Quelles indications supplementaires pourrait-on donner pour faciliter la resolution del’exercice ?

Q3. L’enonce etudie la variation de l’angle θ en utilisant sa tangente. Discuter ce choix.

Q4. Montrer que le calcul aboutit a minimiser une quantite de la forme x +l

xavec l > 0.

Comment peut-on interpreter geometriquement le resultat du calcul ?


– Sa reponse aux questions Q3 et Q4.– Un autre exercice sur le theme : Recherche d’extremums, optimisation .

Documentation fournie : Extraits des programmes de seconde et de premiere S.

1

145

JURY06-51-0407 : Aire d’un trapèze (07.1, 07.2)


Thème : FonctionsEtude de recherche d’extremum et d’optimisation


1) Pour tout réel α de ]0, 2[, on considère la fonction x 7→ gα(x) =√

1− x2+

√1− (x + α)2.

a) Déterminer l’ensemble de définition Dα de gα.Montrer que la courbe représentative de gα possède un axe de symétrie vertical.

b) Montrer que pour tout x de Dα, on a g′′α(x) < 0.

En déduire que gα admet un unique maximum en x0 = −α

2.

2) En utilisant gα, montrer que l’aire maximale d’un trapèze de hauteur α (avec 0 < α < 2)inscrit dans un cercle de rayon 1 est égale à α

√4− α2 (en unités d’aire).



Pendant sa préparation, le candidat traitera la question suivante :

Q.1) Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

Q.2) Utiliser la calculatrice pour vérifier les résultats des questions 1 et 2 (sans que cela sesubstitue aux calculs « à la main »).

Q.3) Quelle suite pourriez-vous donner à la question 2) ?


– Sa réponse à la question Q.3).– Deux exercices sur thème « problèmes d’optimisation ».


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PG07-51-21 : Le gardien de phare (07.o, 08.s)


THEME 51Optimisation

1 Exercice propose

Le gardien de phareUn phare (point A) se situe en mer a une distance de a = 9km du rivage suppose rec-tiligne. Une maison cotiere (point B du rivage) est distante de b = 15km du pied H de laperpendiculaire abaissee de A sur le rivage. Pour des raisons obscures, le gardien de cephare doit rejoindre le plus rapidement possible la maison cotiere. Il se deplace en canota la vitesse de 4km.h−1 et a pied a la vitesse de 5km.h−1.Ou doit-il accoster entre les points H et B pour que le temps de parcours soit minimal?Quel sera ce temps minimal?





• Q.2) Laisseriez-vous les eleves choisir la variable? Pourquoi? Laquelle proposeriez-vous? Pourquoi?

• Q.3) En utilisant la calculatrice, peut-on conjecturer la solution au vu de la seulerepresentation graphique? Sinon, comment proceder?

• Q.4) Une erreur classique consiste a chercher les points en lesquels une fonctionderivable f admet un extremum uniquement parmi les zeros de sa derivee f ′.Modifier les valeurs de a et b de telle maniere que l’exercice illustre cette erreur.


• sa reponse a la question Q.4);

• un ou deux exercices se rapportant au theme : optimisation.

147

PG08-51-26 : Transformation d’un essai en rugby ( 08.o)


THEME 51

Optimisation

1 Exercice propose

Au rugby, quand une equipe marque unessai en un point E de la ligne de but[C,D], la regle est qu’elle doit tenter latransformation en un point T quelconque dela perpendiculaire a la ligne de but, passantpar le point E. Le but de l’exercice est dedeterminer, pour un point E de la ligne debut, le point T le plus favorable, c’est-a-direcelui d’ou l’on voit les poteaux A et B sousun angle maximal.Dans un repere (O,~ı,~), on note (−a, 0)et (a, 0) les coordonnees des poteaux A etB ou a est un reel strictement positif. Onsuppose qu’un essai a ete marque au pointE du segment [B,D]. Les coordonnees dupoint E s’ecrivent (x, 0) avec x ≥ a et (x, d)sont celles du point T avec d ≥ 0. On noteθ = ATB l’angle sous lequel le rugbymanvoit les deux poteaux depuis le point T .

θ

O BA E

T

1) Calculer tan θ en fonction de a, x et d.

2) On suppose que x est fixe. Determiner la valeur de d pour que l’angle θ soit maximal.On note d(x) cette valeur de d.

3) Etudier les variations de la fonction x 7→ d(x) pour x ≥ a. Montrer que la droited’equation y = x est asymptote a la courbe representative de cette fonction.

4) Un terrain de rugby a pour cotes 100m et 68m. La distance entre deux poteaux est5,65 m. Representer ce terrain au millieme, ainsi que les quatre arcs de courbes representantl’ensemble des points d’ou l’on voit les poteaux sous un angle maximal.




– Q.1) Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveau(x) au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.

– Q.2) Quelles indications supplementaires peut-on donner pour faciliter la resolution del’exercice ?

1

SUITE...

148

– Q.3) L’enonce etudie la variation de l’angle θ en utilisant sa tangente. Discuter ce choix.

– Q.4) Montrer que le calcul conduit a minimiser une quantite de la forme d + ld

avecl > 0. Comment, dans un autre contexte, peut-on interpreter geometriquement cetteminimisation ?

Sur sa fiche le candidat redigera et presentera :– sa reponse aux questions Q.2) et Q.4) ;– un exercice illustrant le theme : Recherche d’extremums, optimisation.

2

149

150

52 Comportement local d’une fonction

PG05-52-18 : Comportement local d’une courbe, tangente verticale et pointd’inflexion (05.2, 06.2)


THEME 52Comportement local d’une fonction

1 Exercice propose

On considere la fonction numerique f definie sur [0,+∞[ par

f(x) =x2

8+√x− 2.

1) Visualiser la courbe representative Cf de f sur l’ecran de la calculatrice.2) Etudier la derivabilite de f en 0; interpreter graphiquement.3) Etudier la position de Cf par rapport a sa tangente au point d’abscisse 1.




• Q.1) Indiquer l’objectif de l’exercice, les methodes et les differents outils utilises ainsique le (ou les) niveau(x) au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves. En particulier, proposer deux methodes auxquelles leseleves pourraient penser pour repondre a la question 3 de l’exercice.

• Q.2) Proposer un prolongement pour cet exercice.



• un ou deux enonces d’exercices se rapportant au theme : Fonctions.

151

FIR05-52-20 : Dérivabilité en 0 d’une fonction (05.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 52.

Comportement local d’une fonction.


On considere la fonction

f(x) = 3 + 2 x + |x|√

(sin x)2 + x4.

Cette fonction est-elle derivable en 0 ?



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes :Imaginer que cet exercice est pose en travaux diriges (module) en classe de terminale

S. Proposer differentes methodes auxquelles vos eleves pourraient penser pour resoudrecet exercice. Pour chacune d’entre elles, preciser la nature et les differents outils utilises.Indiquer les difficultes que peut presenter un tel enonce pour des eleves.


- au moins deux methodes pour resoudre cet exercice.- deux enonces d’exercice se rapportant au theme : comportement local d’une fonction.

152

JURY06-52-1707 : Nombre de tangentes à une courbe qui passent par unpoint (07.1, 07.2, 08.2)


Thème : FonctionsEtude du comportement local


On considère la fonction f définie sur [0, π] par f(x) = e− cos x.On note Cf sa courbe représentative dans un repère (O,−→ı ,−→ ) du plan.Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de tangentes à Cf passant par l’origine O

du repère.

1) a) Déterminer l’équation de la tangente Ta à Cf au point d’abscisse a de [0, π].

b) Montrer que Ta passe par O si et seulement si a sin a = 1.

2) Soit la fonction ψ définie sur ]0, π] par ψ(x) = sin x − 1

x.

a) Étudier les variations de ψ′ sur ]0, π].

b) En déduire que la fonction ψ admet un maximum absolu M qu’elle atteint en ununique x0 de l’intervalle ]0, π].

c) Calculer ψ′

(π

2

)

et en déduire la position deπ

2par rapport à x0.

d) Calculer ψ(π

2

)

et en déduire le signe de M .

3) À l’aide des questions précédentes, déterminer le nombre de tangentes à Cf qui passentpar O.


En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del’entretien avec le Jury


Q.1) Dégager les outils et les méthodes nécessaires à la résolution de cet exercice.

Q.2) A l’aide de votre calculatrice, donner une valeur approchée des coordonnées des pointsoù la tangente à la courbe Cf passe par O. Tracer Cf et les tangentes en question.


– Sa réponse à la question Q.1).

– Un ou deux énoncés d’exercices se rapportant au thème « Fonctions ».


SUITE...

153


3. Quelques références aux programmes

Classe de Première SContenus Modalités de mise en oeuvre Commentaires

Dérivation

Approche cinématique ougraphique du concept denombre dérivé d’unefonction en un point.

Plusieurs démarches sont possibles :passage de la vitesse moyenne à lavitesse instantanée pour desmouvements rectilignes suivant deslois horaires élémentaires (trinômedu second degré dans un premiertemps) ; zooms successifs sur unereprésentation graphique obtenue àl’écran de la calculatrice.

On ne donnera pas dedéfinition formelle de lanotion de limite. Levocabulaire et la notationrelatifs aux limites serontintroduits sur des exemplespuis utilisés de façonintuitive.

Nombre dérivé d’unefonction en un point :définition comme limite def(a + h) − f(a)

hquand h

tend vers 0.Fonction dérivée.

Dans les cas usuels, la

limite def(a + h) − f(a)

hs’obtient,aprèstransformation d’écriture,en invoquant des argumentstrès proches de l’intuition.On ne soulèvera aucunedifficulté à leur propos eton admettra tous lesrésultats utiles.

Tangente à la courbereprésentative d’unefonction f dérivable ;approximation affineassociée de la fonction.

On construira point par point un oudeux exemples d’approximation decourbe intégrale définie par :y′ = f(t) et y(t0) = y0 en utilisantl’approximation ∆f ≈ f ′(a)∆t.

Dérivée des fonctionsusuelles : 7→ xn,x 7→

√x,x 7→ cos x et

x 7→ sinx. Dérivée d’unesomme, d’un produit, d’unquotient et dex 7→ f(ax + b).

On justifiera le résultat donnant ladérivée de uv et 1/u.

On pourra admettre lesdérivées des fonctions sinuset cosinus.

Lien entre signe de ladérivée et variations.

On étudiera, sur quelques exemples,le sens de variation de fonctionspolynômes de degré 2 ou 3, defonctions homographiques ou defonctions rationnelles très simples.On introduira les notions et levocabulaire usuels (extremum,majorant, minorant) et, de l’étudedu sens de variations, on déduira desencadrements d’une fonction sur unintervalle.

On justifiera que la dérivéed’une fonction monotonesur un intervalle est designe constant ; onadmettra la réciproque.L’étude de fonctions ne serapas présentée comme unefin en soi, mais interviendralors de la résolution deproblèmes.


SUITE...

154


Classe de Terminale S

Les élèves à qui ce programme est destiné ont grandi dans un environnement technologique, qui

façonne leur comportement et leurs valeurs et crée des centres d’intérêt profondément nouveaux.

La puissance d’investigation des outils informatiques et l’existence de calculatrices performantes

dont la plupart des élèves disposent sont des progrès bienvenus, et leur impact sur la pédagogie des

mathématiques est considérable. Il faut accompagner cette évolution, notamment en utilisant ces

outils dans les phases de découverte et d’observation par les élèves.


155

FIR06-52-10 : Obtention d’un équivalent pour l’étirement longitudinal d’unélastique (bis)(06.1)

Prparation au CAPES, ORSAY

THEME 52.



Une corde elastique est tendue entre deux points A et B. Si on tire cette corde en un pointM (formant un triangle AMB), elle s’allonge d’une longueur egale a

y = MA + MB − AB.

On pose a = HA, b = HB et x = MH, ou H est le projete orthogonal de M sur (AB).

1) Exprimer y en fonction de x, a et b.

2) Etablir l’encadrement, pour tout z positif,

1 +z

2− z2

8≤ √1 + z ≤ 1 +

z

2.

3) En sciences physiques, lorsque x est petit, on utilise l’approximation

y ≈ x2

2

(1a

+1b

).

Justifier cette approximation pour x voisin de 0. Donner une majoration de l’erreur com-mise dans cette approximation.



Apres avoir resolu l’exercice :1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Quelles indications pourrait-on donner a des eleves de seconde pour prouver l’encadrementde la question 2 de l’exercice ? En precisant ces indications, rediger un corrige de la ques-tion 2 pour des eleves de seconde. Rediger aussi un corrige de la question 2 pour des elevesde premiere S.3. L’encadrement prouve a la question 2 est-il vrai si −1 < z < 0?Quelle propriete locale de la fonction z → √

1 + z est mise en evidence dans cet exercice ?4. Donner au moins deux autres applications de l’encadrement etabli a la question 2.

Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse aux questions 2 et 4 du jury.- un enonce d’un autre exercice utilisant des encadrements de fonctions par des fonctionsplus simples.Extraits de programmes a consulter :Programme de seconde : Fonctions et formules algebriques.Programme de Premiere S : Generalites sur les fonctions, derivation ...Programme de Terminale S : Derivation.

156

FIR06-52-21 : Dérivabilité en 0 de sin(x)x (JURY07-54-2906 modifié) (08.1,

09.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 52.


1. Exercice propose (cf JURY07-54-2906).

On considere la fonction numerique f de la variable reelle x definie sur [0; +∞[ par : f(x) =sin(x)

xsi x > 0

f(0) = 11) Etudier les variations des fonctions g et h definies sur l’ensemble des reels respectivementpar :

g(x) = x− sin(x) et h(x) = x− x3

6− sin(x)

2) Determiner le signe de ces deux fonctions sur [0;∞[.

3) Prouver que pour tout x reel positif on a : 0 ≤ x− sin(x) ≤ x3

64) Demontrer que pour reelx strictement positif on a :

− x

6≤ f(x)− f(0)

x≤ 0.

Que peut-on en deduire pour f ?



Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q.1. Indiquer l’objectif de l’exercice et analyser la nature de la methode utilisee dans cetexercice.Q.2. proposer une nouvelle formulation de la premiere question pour faciliter sa resolutionpar des eleves de lycee.Q.3. Proposer une autre application de l’encadrement de la fonction x → sin(x) obtenu ala question 3 de l’exerciceSur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse aux questions Q.2 et Q.3 du jury.- un ou deux exercices sur le theme: Comportement local d’une fonction.

Extraits de programmes a consulter :- Premiere S : nombre derive, tangente, approximation affine- Terminale S : limites, Theoreme des gendarmes

157

53 Position relative de deux courbes

DP05-53-27 : Tangentes et sécantes (00)


THEME 53.

Position relative de deux courbes : tangentes et secantes.


Soit f : [a, b]→ R une fonction deux fois derivable. On suppose que la derivee secondef ′′ est ≥ 0 sur [a, b] et on se propose d’etudier la position de la courbe representative Cf

de f par rapport a ses tangentes et a ses secantes.

0) Etudier le cas d’une fonction affine f(x) = αx + β. Que vaut la derivee secondedans ce cas ? Dans toute la suite on supposera que f n’est pas une fonction affine.

1) Soit c ∈]a, b[.a) Ecrire l’equation y = t(x) de la tangente a Cf au point (c, f(c)).b) En etudiant la fonction δ(x) = f(x)− t(x), montrer que la courbe est au-dessus de

sa tangente (on pourra deriver deux fois δ).

2) On considere les points A = (a, f(a)) et B = (b, f(b)) de Cf .

a) Ecrire l’equation de la droite (AB) sous la forme y = s(x).b) On considere la fonction difference ∆(x) = s(x) − f(x). Etudier les variations de

∆ et de ses derivees (on montrera par l’absurde qu’on a ∆′(a) > 0 et ∆′(b) < 0 et que lafonction ∆′ s’annule en un point m ∈]a, b[).

c) Conclure.





Q2. Expliquer pourquoi la question 2.b est facile avec les connaissances de DEUG etdiscuter l’indication fournie par l’enonce.

Q3. Proposer une autre maniere de prouver le resultat de la question 2) en considerantf(λa + (1− λ)b) pour λ ∈ [0, 1].

Sur ses fiches le candidat presentera :– Ses reponses aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Positions relatives de deux courbes.

33

158

PG05-53-19 : Position de la courbe d’une fonction convexe par rapport à sestangentes et ses cordes (05.1, 05.2, 06.1,06.2, 07.2, 08.2)


Theme 53Position relative de deux courbes


Soit f : [a, b] → IR une fonction deux fois derivable. On suppose que la derivee secondef ′′ est ≥ 0 sur [a, b] et on se propose d’etudier la position de la courbe representative Cfde f par rapport a ses tangentes et a ses secantes.0) Etudier le cas d’une fonction affine f(x) = αx + β. Que vaut la derivee seconde dansce cas? Dans toute la suite on supposera que f n’est pas une fonction affine.1)Soit c ∈]a, b[.a) Ecrire l’equation y = t(x) de la tangente a Cf au point (c, f(c)).b) En etudiant la fonction δ(x) = f(x)− t(x), montrer que la courbe est au-dessus de satangente (on pourra deriver deux fois δ).2) On considere les points A = (a, f(a)) et B = (b, f(b)) de Cf .a) Ecrire l’equation de la droite (AB) sous la forme y = s(x).b) On considere la fonction difference ∆(x) = s(x) − f(x). Etudier les variations de ∆et de ses derivees (on montrera par l’absurde qu’on a ∆′(a) > 0 et ∆′(b) < 0 et que lafonction ∆′ s’annule en un point m ∈]a, b[).c) Conclure.





• Q.2) Expliquer1 pourquoi la question 2.b est facile avec les connaissances de DEUGet discuter l’indication fournie par l’enonce.

• Q.3) Proposer une autre maniere de prouver le resultat de la question 2. On pourraconsiderer la fonction definie sur [a, b] par g(x) = f((1− t)a+ tx) ou t est fixe dans[0, 1] .



• deux enonces d’exercices se rapportant au theme : Position relative de deuxcourbes.

1Remarque: Lors de l’epreuve du CAPES la question 2 ne pourrait etre posee que lors de l’entretienet, encore, qu’avec de tres grandes precautions. Mais il nous semble important que le candidat se posecette question.

159

FIR07-53-4 : Deux courbes tangentes en un point (07.1, 08.1, 09.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 53.

Position relative de deux courbes.


On considere les fonctions definies sur R par : f(x) =√

x2 − x + 1 et g(x) = −14x2 +x+ 1

4 .Le dossier a pour but d’etudier la position relative des courbes representatives Cf et Cg

des fonctions f et g.En utilisant une calculatrice graphique, representer les courbes representatives des fonc-tions f et g sur l’intervalle [0, 2]. On constate que ces courbes ont un point commun etsemblent “tangentes” en ce point.Etudier la position relative des courbes representatives Cf et Cg. Les points suivants doiventimperativement etre abordes :

• determination des points d’intersection de Cf et Cg,

• etude du sens de variation des fonctions f et g,

• trace des tangentes aux courbes Cf et Cg aux points d’intersection des deux courbes,

• position des courbes Cf et Cg par rapport a ces tangentes.




1. Rediger un exercice ou le texte d’une activite pour des eleves de terminale S mettant enevidence les points indiques ci-dessus.2. Degager les outils et les methodes necessaires a la resolution de l’exercice propose en 1.3. A l’aide d’une calculatrice graphique, representer les courbes representatives des fon-ctions f et g sur l’intervalle [0, 2] et les tangentes a ces deux courbes aux points d’intersection.Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :

- sa reponse a la question 1 du jury.- deux enonces d’exercice se rapportant au theme : Position relative de deux courbes.

Extraits de programmes a consulter :

- Premiere S : Derivation (nombre derive, tangente a une courbe, lien entre signe de laderivee et sens de variation),- Terminale S ou ES : Derivation, Utilisation de la calculatrice.

160

54 Encadrement d’une fonction par des fonctions plus simples

PG05-54-1 : Un calcul de limite (05.1, 05.2, 07.1)


THEME 54Encadrement de fonctions par des fonctions plus simples

1 Exercice propose

Soit f la fonction definie sur ]− π, 0[∪]0, π[ par :

f(x) =1

(sinx)2− 1

x2.

On se propose de chercher la limite quand x→ 0 de f(x).1) En faisant apparaitre le terme g(x) = sinx

x, montrer que f(x) peut s’ecrire sous la forme

f(x) =x− sin x

x3

1 + g(x)

g(x)2.

Determiner la limite de 1+g(x)g(x)2

quand x→ 0.

2) Etablir que, pour tout x ≥ 0, on a

x− x3

3!≤ sin x ≤ x− x3

3!+x5

5!.

3) En deduire la limite cherchee.





• Q.2) Quelles indications proposeriez-vous a des eleves pour prouver l’encadrementde la question 2) de l’exercice? Selon le niveau des eleves (Premiere S ou TerminaleS), proposer deux methodes.

• Q.3) Donner (au moins) une autre application de l’encadrement etabli a la question2).



• deux exercices illustrant d’autres methodes d’encadrement de fonctions par des fonc-tions plus simples.

161

PG05-54-2 : Obtention d’un équivalent pour l’étirement longitudinal d’unélastique (05.o, 06.2, 07.2, 08.2)



1 Exercice propose

Une corde elastique est tendue entre deux points A et B. Si on tire cette corde en un pointM (formant un triangle AMB), elle s’allonge d’une longueur egale a y = MA+MB−AB.On pose a = HA, b = HB et x = MH, ou H est le projete orthogonal de M sur (AB).1) Exprimer y en fonction de x, a et b.2) Etablir l’encadrement, pour tout z positif,

1 +z

2− z2

8≤ √1 + z ≤ 1 +

z

2.

3) En sciences physiques, lorsque x est petit, on utilise l’approximation

y ≈ x2

2

(1

a+

1

b

).

Justifier cette approximation pour x voisin de 0. Donner une majoration de l’erreurcommise dans cette approximation.





• Q.2) Quelles indications pourrait-on donner a des eleves pour prouver l’encadrementde la question 2) de l’exercice? Selon le niveau des eleves, proposer plusieursmethodes.

• Q.3) Donner au moins une autre application de l’encadrement etabli a la question2) (calculs approches, etude de suite,...)




Extraits de programmes a consulter :Programme de seconde : Fonctions et formules algebriques.Programme de Premiere S : Generalites sur les fonctions, derivation ...Programme de Terminale S : Derivation.

162

PG06-54-3 : Un truc de banquier pour le calcul d’un capital placé à intérêtscomposés (06.s)




Les banquiers calculent mentalement le temps approximatif de doublement d’un capital,place a interets composes, de la facon suivante : “Si t est le taux d’interet (en %), lecapital double au bout de 70

tannees.”

on rapelle qu’au bout de n annees de placement au taux t, la valeur d’un capital estmultiplie par (1 + t

100)n.

1. Etablir, pour x ≥ 0, l’encadrement :

x− x2

2≤ ln(1 + x) ≤ x.

2. En deduire un majorant de l’erreur dans l’approximation ln(1 + x) ≈ x.

3. Justifier le “truc” du banquier, pour les petites valeurs de t (t ≤ 14).

4. Enoncer des regles analogues pour determiner mentalement le temps au bout duquelun capital triple, quintuple, decuple.





• Q.2) On souhaite ameliorer l’encadrement de ln(1 + x) pour x ≥ 0. Quelles indica-tions donneriez-vous a des eleves pour prouver l’encadrement valable pour x ≥ 0

x− x2

2≤ ln(1 + x) ≤ x− x2

2+x3

3.

Proposer deux methodes.

• Q.3) Donner (au moins) une autre application de l’encadrement etabli a laquestion 2 (calculs de limite, etude de suite,...)




163

FIR06-54-13 : Une preuve de e = lim(1+1/n)n (06.1, 08.1)Prparation au CAPES, ORSAY, 2005-2006

THEME 54.

Encadrement d’une fonction par des fonctions plus simples.


1) Etablir que pour tout x ≥ 0 on a : 1− x ≤ 11 + x

≤ 1.

2) En deduire que pour tout x ≥ 0 on a : x− x2

2≤ ln(1 + x) ≤ x.

3) Soient (un)n et (wn)n deux suites reelles definies pour tout n ∈ N∗ par

un =(

1 +1n

)n

, wn = ln(un).

a) Montrer que pour tout n ≥ 1 on a : 1− 12n≤ wn ≤ 1.

b) En deduire la convergence des suites (un)n et (wn)n et preciser leur limite.

4) Etablir que pour tout x ≥ 0 on a : 1− x ≤ e−x ≤ 1.

En deduire que pour tout n ≥ 1 on a : 0 ≤ e− un ≤ e

2n.



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes:1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Les inegalites etablies en 1) et 2) sont-elles encore vraies si −1 < x < 0 ? Que peut-onecrire dans ce cas ?

3. Donner au moins une autre application de l’inegalite : x − x2

2≤ ln(1 + x) ≤ x pour

tout x ≥ 0. Rediger un enonce d’exercice dont les deux premieres questions seraient lesquestions 1) et 2) et dont la question 3 serait l’application que vous avez choisie.4. Peut-on modifier l’exercice propose et construire une suite (un)n qui converge vers ea

avec a > 0 ? et avec a < 0 ?Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse a la question 3 du jury.- un enonce d’exercice se rapportant au theme : Encadrement d’une fonction par desfonctions plus simples

Extraits de programmes a consulter :Programme de Terminale S : Introduction de la fonction exponentielle, Etude des fonctionslogarithmes et exponentielles.

164

PG07-54-20 : Encadrement de e−x et application au calcul approché d’uneintégrale (07.s, 09.1)



1 Exercice propose

1) Montrer que, pour tout x ≥ 0, e−x ≤ 1.2) A l’aide d’integrations successives, montrer que, pour tout x ≥ 0 :

1− x ≤ e−x, puis e−x ≤ 1− x+x2

2.

3) Deduire de la question precedente que, pour tout t > 0 :

1− 1

t≤ e−

1t ≤ 1− 1

t+

1

2t2.

4) On pose I =∫ 1000

100e−

1t dt.

Montrer que I ≈ 900− ln 10 a 5× 10−3 pres.





• Q.2) Indiquer une autre methode permettant d’obtenir l’encadrement de la question2. Modifier la redaction de l’exercice en consequence.

• Q.3) Pourquoi est-il souvent utile d’encadrer une fonction par des fonctions plussimples?




165

JURY07-54-2906 : Encadrement de sin(x)−xx2 () - 2 pages


Thème : FonctionsEtude d’encadrement d’une fonction par des fonctions plus simples


On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur [0;+∞[ par : f(x) =sin(x)

xsi x > 0

f(0) = 1

1. Etudier les variations des fonctions g et h définies sur l’ensemble des réels respectivement par :

g(x) = x− sin(x) et h(x) = x− x3

6− sin(x)

2. Déterminer le signe de ces deux fonctions sur [0;+∞[ .

3. Prouver que pour tout x réel positif on a : 0 6 x− sin(x) 6 x3

6

4. Démontrer que pour tout réel x strictement positif on a : −x

66 f(x)− f(0)

x6 0.

Que peut-on en déduire pour f ?


En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretienavec le jury


Q.1) Analyser la méthode utilisée dans cet exercice.

Q.2) Proposer une nouvelle formulation de la première question pour faciliter sa résolution par desélèves de lycée.


– Sa réponse à la question Q.2)– Un ou plusieurs exercices sur le thème « Fonctions : Etude d’encadrement d’une fonction

par des fonctions plus simples ».


166

167

55 Fonctions de référence et fonctions associées (cf. f + λ, λ f ,etc.)

DP05-55-42 : Tableau de variation (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2)

THEME 55 : Graphes et fonctions

1 Exercice propose

On considere une fonction f dont le tableau de variation est le suivant :

!" "#$!%!&$ "#$'! %"()

#$*"#$!&+&!$*+#$*"#$ #*"&

),-!*"*%!#%#& * $"

!

!

!

.! "/ $& * $"

" #$ !%&

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01) ',' !0$ %

0,1

$,11

,, #$ 0 ' - ! 0 %

&''2$ /

-! " %!#'! 2 *#$"&!! , '' 3 %

et les fonctions definies par f1(x) = 2f(x) − 1, f2(x) = −f(x), f3(x) =|f(x)|, f4(x) = |f(2x− 3)|, f5(x) = f(−x

2).

1) Proposer un graphe possible pour f .

2) Preciser le tableau de variation des fonctions fi et les graphes de cesfonctions deduits du graphe propose pour f .




Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differentsoutils utilises ainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonceet les difficultes qu’il peut presenter pour des eleves.

Q2. Donner une expression analytique d’une fonction f admettant le ta-bleau de variation propose. Peut-on trouver une telle fonction qui soit C∞ ?

Q3. Preciser les transformations qui permettent de passer du graphe def a ceux des fonctions fi.


– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Plusieurs autres exercices faisant le lien entre les representations gra-

phiques des fonctions f + λ, λf , f(x+ λ), f(λx), |f | et celle de f .

1

168

DP06-55-41 : Deux hyperboles (06.1, 06.2, 08.1, 08.2)


THEME 55 : Fonctions de reference et fonctions associees : f + λ, λf , etc.


1) Tracer dans un repere orthonorme les courbes representatives C1 et C2 des fonctions

f1(x) =1x

et f2(x) =−1x

.

2) Comparer la courbe C1 et la courbe representative de f3(x) =x + 3x + 2

. Meme ques-

tion pour C2 et la courbe representative de f4(x) =x− 3x + 2

. Montrer que toutes ces courbes

ont un centre de symetrie et deux asymptotes.

3) On considere les fonctions f5(x) =x + 1x− 1

et f6(x) =3x + b

2x− 4ou b est un parametre

reel. Discuter le nombre de points d’intersection des courbes representatives C5 et C6. Quese passe-t-il lorsque les courbes n’ont qu’un point d’intersection ?



Apres avoir resolu l’exercice :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils


Q2. Comment pourrait-on preciser la redaction de la deuxieme partie de la question3 ? Quelles indications supplementaires pourrait-on donner aux eleves ?

Q3. Quel peut-etre l’interet de l’usage de la calculatrice pour la resolution de cetexercice ?

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse a la question Q2.– Un autre exercice sur le theme : fonctions de reference et fonctions associees : f +λ,

λf , etc. .Documentation proposeeProgramme de premiere S sur les fonctions (generalites, derivation).

35

169

170

56 Situations issues de la géométrie, de la physique, de l’écono-mie, décrites au moyen de fonctions

DP05-56-28 : Coût de fabrication (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2)

Universite Paris–Sud MathematiqueCentre d’Orsay Preparation au CAPES

Theme 56 : Situations issues de la geometrie, des sciences physiques ou biologiquesou de la vie economique et sociale, decrites au moyen de fonctions

I. Exercice propose

Une entreprise qui fabrique des objets estime que le cout total, en milliers d’euros, de productionde x tonnes d’objets s’exprime en fonction de x par CT (x) = x3 − 12x2 + 60x.

1. Etudier les variations de la fonction CT sur [0, +∞[ et tracer sa representation graphique (F )(1cm pour une tonne, 1cm pour 20000 euros).

2. Le cout moyen de fabrication d’un objet est donne par CM(x) = CT (x)x

.a. Soit O l’origine du repere et A le point de (F ) d’abscisse x. Expliquer pourquoi CM(x) est egal

au coefficient directeur de la droite (OA).b. Exprimer CM(x) en fonction de x, etudier ses variations et tracer sa representation graphique

(G) (1cm pour une tonne, 1cm pour 10000 euros).

3. On appelle cout marginal de x le cout de fabrication de la x + 1-eme tonne. On le note Cm(x) eton admet qu’on a Cm(x) = C ′

T (x).

a. Etudier les variations de la fonction Cm et tracer le graphe (H) de cette fonction dans le memerepere que (G).

b. Determiner l’abscisse α du point d’intersection des courbes (G) et (H). Que peut-on dire deCM(α) ?

4. L’entreprise vend sa production 60000 euros la tonne. On note B(x) le benefice realise pour lavente de x tonnes.

a. Calculer B(x) et etudier les variations de cette fonction.b. Pour quelle valeur de x le benefice est-il maximum ? Verifier que, pour cette valeur, le cout

marginal est egal au prix de vente unitaire.

II. Travail demande au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sa solution de l’exercice surla fiche. Celle-ci pourra neanmoins lui etre demandee partiellementou en totalite lors de l’entretien avec le jury.

Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilises ainsi

que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peut presenter pourdes eleves.

Q2. Discuter le modele propose dans l’exercice, en particulier le comportement des diverses fonc-tions envisagees lorsque x devient grand.

Q3. Discuter la formulation de la question 3 (Cm(x) = C ′T (x)) et en proposer eventuellement une

autre.

Sur ses fiches le candidat presentera :c. Sa reponse aux questions Q2 et Q3.d. Un autre exercice sur le theme : Situations issues de la geometrie, des sciences physiques ou

biologiques ou de la vie economique et sociale, decrites au moyen de fonctions.

171

DP06-56-43 : Radiothérapie (06.1, 06.2, 08.1, 08.2)


THEME 56 : Situations decrites au moyen de fonctions.


Dans le traitement de certains cancers par radiotherapie (par rayons X ou par neu-trons), on mesure la proportion de cellules cancereuses survivant a la dose x d’irradiation1.Plusieurs modeles donnent une expression de cette proportion (appelee f(x), g(x) ou h(x)selon les cas) : le modele lineaire ou elle est donnee par f(x) = e−αx, le modele quadratique

ou l’on pose g(x) = e−βx2et enfin le modele lineaire-quadratique, ou balistique, ou l’on

a h(x) = e−αx−βx2. Les coefficients α, β sont > 0 et dependent des caracteristiques des

cellules2.

1) Etudier les fonctions f, g, h sur [0,+∞[. Determiner, en particulier, les valeurs quicorrespondent au minimum de la derivee de f, g, h, s’il en existe. Dans toute la suite, onpose α = β = 0, 1. Tracer les graphes de f, g, h sur une meme figure.

2) En medecine, on appelle SF2 la proportion de cellules survivant a une irradiationde 2 Gy3. Determiner la valeur de SF2 dans les trois modeles envisages, pour les valeursdes constantes donnees ci-dessus.

3) Determiner la quantite d’irradiation necessaire pour detruire la moitie des cellulescancereuses dans les trois modeles envisages.

4) Une dose de radiation τ est consideree comme optimale si c’est au voisinage deτ qu’une petite variation de la radiation produit la plus grande variation de la quantitede cellules detruites. Quelle est la signification mathematique de τ ? Pourquoi le modelebalistique conduit-il a utiliser de plus faibles doses de rayons ?



Apres avoir resolu l’exercice :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils


Q2. Quelle question complementaire peut-on envisager de poser apres la questionconcernant le minimum de la derivee ?

1 La dose est exprimee en Gray, abreviation Gy, qui correspond a une irradiation d’un joule par

kilogramme. Cette unite a remplace le rad avec la formule 1 Gy = 100 rad.2 Par exemple les cellules de la leucemie sont deux fois plus sensibles aux rayons que celles des

melanomes.3 Cette irradiation est couramment utilisee.

42

SUITE...

172


Q3. On note N(x) le nombre4 des cellules cancereuses survivant a la radiation x, desorte que les fonctions f, g, h modelisent la proportion N(x)/N(0). On interprete la quan-

titeN(x)−N(x + dx)

N(x)comme la probabilite, pour une cellule, de succomber au “petit”

accroissement de radiation dx et on suppose en tous cas que cette quantite est proportion-nelle a dx. Proposer une explication de chacun des trois modeles ci-dessus a partir d’un

passage a la limite conduisant a introduire la quantite−N ′(x)N(x)

. On tentera en particulier

de justifier les assertions des specialistes qui disent :• le modele lineaire ne prend en compte que les irradiations directement letales (c’est-

a-dire mortelles),• le modele quadratique ne prend en compte que l’accumulation d’evenements sub-

letaux (c’est-a-dire le cas des cellules endommagees par une premiere irradiation et detruitespar la repetition de telles irradiations),

• le modele balistique prend en compte les deux aspects precedents.

Sur ses fiches le candidat presentera sa reponse a la question Q3 du juryainsi qu’un autre exercice sur le theme : situations decrites au moyen de fonc-tions (issues de la geometrie ou des sciences physiques ou biologiques, ou de lavie economique et sociale).

Documents joints : extraits des programmes de terminale S et ES concernant lesfonctions.

4 Mais on pense N(x) comme un nombre reel.

43

173

57 Calcul d’intégrales par des méthodes variées (primitives)

DP05-57-29 : Primitive de ex sin(2x) (05.1, 05.2, 08.2)


THEME 57.

Recherche de primitives.


Il s’agit de trouver une primitive de la fonction definie sur R par f(x) = ex sin 2x.

Premiere methode

1) a) Justifier que la fonction F (x) =∫ x

0f(t)dt est la primitive de f s’annulant en 0.

b) Verifier qu’une premiere integration par parties conduit a l’expression :

F (x) = ex sin 2x− 2∫ x

0et cos 2t dt.

c) Calculer

∫ x

0et cos 2t dt, puis F (x).

Deuxieme methode2) a) Calculer f ′(x) et f ′′(x) et exprimer f(x) comme combinaison de f ′(x) et f ′′(x)

sous la forme :f(x) = af ′(x) + bf ′′(x).

b) Determiner une primitive de f sur R.





Q2. Expliquer ce qui peut se passer si on remplace les questions 1) b) et c) par :Calculer F au moyen de deux integrations par parties.

Q3. Proposer une redaction d’exercice utilisant d’autres approches du calcul de lameme primitive (par identification, en utilisant les nombres complexes, etc.)

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse a la question Q2.– Plusieurs autres exercice sur le theme : Recherche de primitives.

37

174

JURY05-57-2606 : Calcul d’une intégrale par un changement de variablesdéguisé (06.1, 06.2)


Thème : Intégration

1. L'exercice proposé au candidatOn se propose de calculer, avec les moyens à la disposition d'un élève de Terminale S, la

valeur exacte de :I =

∫ 1

0

1

1 + t2dt

On pose pour tout réel x ∈ [0, 1] :

I(x) =

∫ x

0

1

1 + t2dt

1) Montrer que la fonction x 7→ I(x) est dérivable sur [0, 1] et calculer sa fonction dérivée I ′.2) Pour tout x ∈

[0,

π

4

], on pose :

F (x) = I(tan(x))

a) Montrer que F est dérivable sur[0,

π

4

]et calculer F ′(x).

b) Montrer que, pour tout x ∈[0,

π

4

],on a : F (x) = x.

3) En déduire la valeur de I.

2. Le travail demandé au candidatEn aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa che sa solution de l'exercice.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors del'entretien avec le Jury

Après avoir résolu et analysé l'exercice le candidat rédigera sur sa che lesréponses aux questions suivantes :Q.1) a) Comment relier la question 1) de l'exercice à la dénition de l'intégrale donnée en

Terminale S ?b) Expliciter les théorèmes principaux utilisés dans l'exercice.

Q.2) Proposer un ou plusieurs exercices sur le thème de l'intégration.


SUITE...

175


3. Quelques références aux programmesProgramme de Terminale SIntégrationContenus Compétences exigibles Commentaires

Pour une fonction f conti-nue, positive sur [a, b], in-troduction de la notation∫ b

af(x)dx comme aire sous

la courbe

Valeur moyenne d'une tellefonction.

Extension à l'intégraleet à la valeur moyenned'une fonction de signequelconque.

On indiquera que l'airesous la courbe peut êtreapprochée en l'encadrantpar deux suites adjacentesconstruites en quadrillant leplan de plus en plus ne-ment.Exemple où la fonction inté-grée est en escalier. Exemplede la parabole : on fera ap-paraître l'intégrale commelimite de sommes et on ad-mettra que cette situationest généralisable.On indiquera la conventionde signe sur un intervalle oùf est négative et on déduirale cas général ; on pourraaussi ajouter une constanteà f pour la rendre positive.

Les élèves ont une notionintuitive d'aire (avec lapropriété d'additivité) etsavent calculer certainesaires élémentaires ; l'objec-tif est de leur donner unaperçu de la dénition et ducalcul de l'aire de domainesplans liés aux fonctions ;tout développement théo-rique est exclu.

Cette extension doit êtrefaite brièvement. Cetteconvention prendra toutson sens lors de l'étude deb∫

a

f(x)dx


SUITE...

176


Intégration et dérivationContenus Compétences exigibles Commentaires

Notion de primitive.Théorème : " si f est conti-nue sur un intervalle I etsi a est un point de I, lafonction F telle que F (x) =∫ x

af(t)dt est l'unique primi-

tive de f sur I s'annulant ena."

Calcul de∫ b

af(x)dx à l'aide

d'une primitive de f .

Intégration par parties

On démontrera que F estune primitive de f dans lecas où f est continue etcroissante et on admettra lecas général

Tableau primitives-dérivéesdes fonctions usuellesApplication de la dérivationdes fonctions composées àla primitivisation de u′/u,u′eu, u′un

L'intégration permet d'éta-blir l'existence de primitivesdes fonctions continues etd'en donner des méthodesnumériques de calcul ; in-versement la connaissanced'une primitive d'une fonc-tion continue donne uneformule explicite pour lecalcul des intégrales : lesélèves devront percevoirl'intérêt de cette doubledémarche.L'existence d'une solutionde l'équation y′ = f(t),admise en Première estainsi justiée ; de même,est justiée l'existencedu logarithme : celle desa fonction réciproque endécoule alors. La volontéd'introduire rapidementla fonction exponentiellepour la Physique auraconduit à admettre unthéorème d'existence en dé-but d'année, qui se trouveici justié.

On se limitera à des cassimples où l'élève aura àtrouver lui même le recoursà la technique d'intégrationpar parties.


177

JURY06-57-1807 : Calcul de primitives (07.1, 07.2, 08.1)


Thème : IntégrationCalcul d’intégrales par des méthodes variées


1) Vérifier que pour tout x réel :

ex

1 + ex= 1 −

1

1 + ex

2) En déduire

∫1

0

dx

1 + ex.

3) Déterminer

∫1

0

e2x

(1 + ex)dx et

∫1

0

e2x

(1 + ex)2dx.




Q.1) Enoncer les résultats fondamentaux pour le calcul des intégrales mis en jeu dans l’exer-cice précédent.

Q.2) Quelle réponse feriez-vous à un élève qui vous demanderait comment calculer

∫1

0

dx

(1 + ex)4?

Sur ses fiches, le candidat rédigera et présentera :– sa réponse à la question Q.2)– d’autres exercices sur le thème « Calculs d’intégrales par des méthodes va-

riées »


SUITE...

178



Programme de Terminale S

Contenus Modalités de mise en œuvre Commentaires

Intégration et dérivation

Pour une fonction f conti-nue positive sur [a, b],introduction de la notation∫

b


la courbe. Valeur moyenned’une telle fonction.

Extension à l’intégraleet à la valeur moyenned’une fonction de signequelconque.

[. . .]

On indiquera la conventionde signe sur un intervalleoù f est négative et onen déduira le cas général ;on pourra aussi ajouter uneconstante à f pour la rendre

positive.

[. . .]

Cette extension doit êtrefaite brièvement.Cette convention de signeprendra tout son sens lors

de l’étude de

∫b

a

f(x)dx .


SUITE...

179



Programme de Terminale S

Contenus Modalités de mise en œuvre Commentaires

Intégration et dérivation

Pour une fonction f conti-nue positive sur [a, b],introduction de la notation∫

b


la courbe. Valeur moyenned’une telle fonction.

Extension à l’intégraleet à la valeur moyenned’une fonction de signequelconque.

[. . .]

On indiquera la conventionde signe sur un intervalleoù f est négative et onen déduira le cas général ;on pourra aussi ajouter uneconstante à f pour la rendre

positive.

[. . .]

Cette extension doit êtrefaite brièvement.Cette convention de signeprendra tout son sens lors

de l’étude de

∫b

a

f(x)dx .


180

JURY08-57-1207 : Intégrale et fonction Argsh(x) ( 09.1)


Thème : Intégration. Calcul d’intégrales par desméthodes variées


On considère la fonction F définie sur [0, +∞[ par F (x) =

∫ x

0

1√1 + t2

dt.

1) Montrer que F est continue et strictement croissante sur [0, +∞[.

On considère la fonction u définie sur [0, +∞[ par u(x) =ex − e−x

2.

2) a) Calculer la dérivée de la fonction F u.b) En déduire que, pour tout réel x ∈ [0, +∞[, on a F u (x) = x.c) Calculer F (2).




Q.1) Préciser les théorèmes utilisés dans cet exercice.Q.2) Proposer une solution de la question 2) telle que le candidat la présenterait à une classe.


Sa réponse à la question Q.2). L’énoncé d’un ou plusieurs exercices sur le thème « Calcul d’intégrales par desméthodes variées ».


181

58 Calcul approché d’intégrales

DP05-58-44 : Calcul approché de ln2 (05.1, 05.2, 06.1, 06.2, 07.1, 07.2, 08.2)

THEME 58 : Calcul approche d’integrales

1 Exercice propose

On se propose de calculer une valeur approchee de l’integrale I =

∫ 1

0

dx

1 + x.

0) Calculer la valeur exacte de I.Soit n un entier ≥ 1 (la figure est realisee ici avec n = 4). On pose, pour x ∈ [0, 1],

f(x) =1

1 + xet on note C sa courbe representative.

On partage le segment [0, 1] en n segments de longueur 1/n et on designe par sn (resp. Sn)la somme des aires des n rectangles de largeur 1/n et de longueur f(k+1

n ) (resp. f( kn)) pour

k = 0, 1, · · · , n− 1, cf. figure ci-dessous.

0 1

1

1) Calculer sn et Sn et montrer l’encadrement sn ≤ I ≤ Sn.

2) Calculer Sn − sn et montrer que la suite de terme general1

n + 1+

1

n + 2+ · · · +

1

2na

pour limite ln(2). Retrouver ce fait en considerant l’integrale

∫ 2n

n

dx

x.

3) A quel rang N faut-il calculer sn a priori pour avoir une valeur approchee de ln(2) a 10−3

pres par defaut ? Faites ce calcul avec une calculatrice en utilisant une fonction de type∑

ouun programme. Le rang N est-il vraiment necessaire ? Explication ?

1

SUITE ...

182





Q2. Indiquer quelle propriete de la fonction f permet d’obtenir l’encadrement de la question1. Que peut-on dire des suites (sn) et (Sn) ?

Q3. Expliquer pourquoi l’une des suites (sn) et (Sn) donne une meilleure approximation quel’autre et donner un encadrement plus precis de I. (On privilegiera une approche graphique.)

Q4. Proposer un autre exercice menant au calcul de valeurs approchees de la meme integralepar les methodes des trapezes et du point median. On appellera respectivement (Tn) et (Mn)les suites correspondantes. L’exercice devra comparer ces suites a I et aux suites (sn) et (Sn)et devra aboutir au calcul d’un encadrement de I a 10−6 pres.


– Sa reponse aux questions Q3 et Q4.– Un autre exercice sur le theme : Calcul approche d’integrales.

Documentation fournie : Programme de terminale S, paragraphe integration.

2

183

FIR06-58-5 : Calcul approché deR 1

0 e−x2dx (06.1, 07.1, 08.1, 09.1)


THEME 58.

Calcul approche d’integrales.


On se propose de calculer une valeur approchee de l’integrale I =∫ 1

0

e−x2dx.

On pose, pour x ∈ [0, 1], f(x) = e−x2et on note C la courbe representative de f .

Soit n un entier ≥ 1. On partage le segment [0, 1] en n segments de longueur 1/n et ondesigne par sn (resp Sn) la somme des aires des n rectangles de largeur 1/n et de longueurf(k+1

n ) (resp f( kn )) pour k = 0, 1, · · · , n− 1.

1) Representer sur une meme figure C et les rectangles qui permettent de calculer s5

et S5.

2) Exprimer sn et Sn a l’aide de la fonction f et montrer l’encadrement sn ≤ I ≤ Sn.

3) Calculer Sn − sn et montrer que les suites (sn) et (Sn) convergent vers I.

4) A quel rang N faut-il calculer sn a priori pour avoir une valeur approchee de I a10−3 pres par defaut ? Faites ce calcul avec une calculatrice. Le rang N est-il vraimentnecessaire ? Proposer une explication ?



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes:1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils


2. Indiquer quelle propriete de la fonction f permet d’obtenir l’encadrement de laquestion 1. Que peut-on dire des suites (sn) et (Sn) ?

3. Proposer une suite a cet exercice utilisant une autre methode pour calculer unevaleur approchee de I. Cette methode devra permettre d’obtenir une valeur approchee deI a 10−6 pres en un nombre d’iterations inferieur a l’entier N calcule dans la question 4.

Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse aux questions 2 et 3 du jury.- un enonce d’exercice se rapportant au theme permettant de calculer une valeur

approchee de ln(2).Extraits de programmes a consulter :Terminale S : Etude des fonctions logarithmes et exponentielles, Integration.

184

59 Encadrement d’intégrales à l’aide d’un encadrement de lafonction à intégrer

JURY05-59-0002 : Développement de1

1− tet encadrement d’une intégrale

(05.1, 07.s)CAPES Externe de Mathematiques

Epreuve sur dossier 2005 Sujet zero 2

Exemple d’encadrement d’une integralea l’aide d’encadrement de la fonction integree

1 L’exercice propose au candidat

L’objet de cet exercice est de donner des valeurs approchees de l’integrale I :

I =

∫ 12

0

e−t

1− tdt

1. Verifier que pour tout t 6= 1 on a l’egalite :

1

1− t= 1 + t +

t2

1− t

2. Calculer l’integrale J =

∫ 12

0

e−t(1 + t)dt.

3. Montrer que pour tout reel t de l’intervalle [0,1

2] :

t2 ≤ t2e−t

1− t≤ 2t2√

e

et en deduire un encadrement de I.

2 Travail demande au candidat :

En aucun cas, le candidat ne doit rediger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-cipourra neanmoins lui etre demandee partiellement ou en totalite lors de l’entretienavec le jury

1. Apres avoir resolu l’exercice :

(a) Degager l’idee clef sur laquelle repose la methode utilisee dans cet exercice.

(b) On souhaite construire, suivant la meme methode, un nouvel exercice donnantun encadrement plus precis pour I. Dans ce but, on remplace la question 2) de

l’exercice par la question : calculer l’integrale K =

∫ 12

0

e−t(1 + t + t2)dt.

Proposer alors une modification des questions 1) et 3) afin d’obtenir un en-cadrement de I plus fin que celui obtenu dans l’exercice initial.

(c) Decrire le cadre general de la methode precedente et donner une majoration del’erreur de cette methode.

CAPES Externe de Mathematiques 2005 Epreuve sur dossier ExempleSUITE ...

185

(d) Suivant les bases de la methode precedente, construire l’enonce d’un nouvel

exercice qui conduise au calcul des valeurs approchees de ln(2) ou deπ

4, au

choix.

2. Proposer un autre exercice d’encadrement d’integrale par une methode de votre choix.

CAPES Externe de Mathematiques 2005 Epreuve sur dossier Exemple

186

PG05-59-23 : Calcul de ln2 par la méthode de Grégory (05.o,08.s)Voir aussi DP06-46-19


THEME 59Encadrement d’integrales a l’aide d’un encadrement de la

fonction a integrer.

1 Exercice propose

Dans ce qui suit x est un reel appartenant a l’intervalle [0, 1[.1) Verifier que pour tout t 6= 1 et t 6= −1 on a l’egalite:

1

1− t2 = 1 + t2 +t4

1− t2 .

2) Trouver deux reels a et b tels que, pour tout t 6= 1 et t 6= −1,

1

1− t2 =a

1− t +b

1 + t.

En deduire que ∫ x

0

dt

1− t2 =1

2ln

(1 + x

1− x).

3) Calculer∫ x

0 (1 + t2) dt.4)Montrer que

x5

5≤

∫ x

0

t4

1− t2 dt ≤1

1− x2

x5

5.

En deduire un encadrement de ln(

1+x1−x

).

5) En choisissant convenablement x, donner a 10−3 pres un encadrement de ln 2 par desrationnels.





• Q.2) a) On souhaite construire, suivant la meme methode, un nouvel exercice don-nant un encadrement plus precis de ln 2. Dans ce but, on remplace la question 3 parla question : calculer l’integrale

∫ x0 (1 + t2 + t4) dt. Proposer alors une modification

des autres questions afin d’obtenir un encadrement de ln 2 plus fin que celui obtenudans l’exercice initial.b) Decrire le cadre general de la methode precedente et donner une majoration del’erreur de la methode.

SUITE ...

187

c) Peut-on approcher ainsi le logarithme de tout nombre reel strictement positif?

d) Pour approcher ln 2, on peut partir plus simplement de l’egalite ln 2 =∫ 1

0

dt

1 + t.

Quel est donc l’interet de la methode utilisee dans l’exercice?


• sa reponse a la question Q.2);

• un autre exercice d’encadrement d’integrale par une methode de son choix.

188

FIR06-59-11 : Calcul deR +∞

0 ln(x2 +1)dx/x (06.1)Preparation au CAPES, ORSAY

THEME 59.

Encadrement d’integrales a l’aide d’un encadrement des fonctions a integrer.


On considere la fonction definie sur R par :

f(x) =ln(x2 + 1)

xsi x 6= 0 et f(0) = 0.

I. 1) Montrer que 0 ≤ ln(1 + u) ≤ u pour tout u ≥ 0.

2) En deduire que 0 ≤ f(x) ≤ x pour tout x ≥ 0 et que x ≤ f(x) ≤ 0 pour tout x ≤ 0.

3) Justifier que la fonction f est continue en 0 puis montrer que f est derivable en 0.

II. On pose F (x) =∫ x

0

f(t) dt pour tout x ∈ R.

1) En utilisant les inegalites obtenues en I, montrer que 0 ≤ F (1) ≤ 1/2.

2) Montrer que pour tout t ≥ 1 on a

ln(t2)t

≤ ln(t2 + 1)t

≤ ln(2t2)t

.

3) Calculer

∫ x

1

ln(t)t

dt pour x ≥ 1.

4) Deduire des questions precedentes les limites de F (x) et de F (x)/x quand x tendvers +∞.



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes:1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Indiquer les proprietes de la fonction ln utilisees dans cet exercice. En particulier redigerla solution des questions II.2, II.3 et II.4 en indiquant les proprietes de la fonction lnutilisees.3. Rediger les questions que vous poseriez dans une partie III a un eleve de terminale S pourqu’il etudie les variations de la fonction F et trace une allure de sa courbe representative.

Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse aux questions 2 et 3 du jury.- au moins un enonce d’exercice se rapportant au theme: Encadrement d’integrales a l’aided’un encadrement des fonctions a integrer.Extraits de programmes a consulter :Programme de terminale S : Etude des fonctions logarithmes et exponentielles, Integration,Integration et derivation.

189

FIR06-59-12 : Encadrement des intégralesR 1

0 dx/(1+ xn) etR 1

0 nxndx/(1+ xn)(06.o)


THEME: Integration.


Pour n ≥ 1, on pose un =∫ 1

0

11 + xn

dx.

1) a) Montrer que, pour tout t ≥ 0, 1− t ≤ 11 + t

≤ 1.

b) En deduire que 1− 1n + 1

≤ un ≤ 1 pour tout n ≥ 1.

c) Determiner limn→+∞ un.

2) Pour n ≥ 1, on pose vn =∫ 1

0

nxn

1 + xndx.

a) En ecrivantn xn

1 + xnsous la forme

n xn−1

1 + xnx, montrer que vn = ln(2)−

∫ 1

0

ln(1 + xn) dx.

b) Montrer que, pour tout t ≥ 0, 0 ≤ ln(1 + t) ≤ t.

c) En deduire que: 0 ≤∫ 1

0

ln(1 + xn) dx ≤ 1n + 1

pour tout n ≥ 1.

d) Determiner limn→+∞ vn.

3) Exprimer 1− un en fonction de vn et n puis en deduire que

limn→+∞n(1− un) = ln(2).



Pendant sa preparation le candidat traitera les questions suivantes:1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilisesainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.2. Quel encadrement de un a-t-on obtenu a la fin de l’exercice ? Quels renseignements surle comportement de la suite (un) quand n→ +∞ peut-on en deduire ?3. On remplace les questions 2) et 3) de l’exercice par les questions suivantes :

2’) Pour tout n ≥ 1, on pose wn = un − 1 +1

n + 1.

a) Montrer que, pour tout t ≥ 0, 1− t ≤ 11 + t

≤ 1− t + t2.

b) En deduire limn→+∞wn.

Quel encadrement de un obtient-on par cette methode? Comparer les deux methodes.Sur sa fiche, le candidat redigera et presentera :- sa reponse aux questions 2 et 3 du jury.- un enonce d’exercice permettant de donner une valeur approchee de u2.

Extraits de programmes a consulter :Premiere S: suites numeriques, convergence d’une suiteTerminale S: Limites de suites et de fonctions, Integration.

190

DP07-59-30 : Encadrement d’intégrales (R 1

0 dx/(1+xn)) (07.1, 07.2,09.1, 09.2)


THEME 59 : Encadrement d’integrales a l’aide d’un

encadrement de la fonction a integrer.


Dans cet exercice, on considere les suites (un) et (wn) definies, pour n ∈ N, par les

formules un =∫ 1

0

dx

1 + xnet wn =

∫ 2

1

dx

1 + xn.

1) En utilisant la calculatrice (en tracant les fonctions et/ou en calculant les integrales)conjecturer les limites des suites (un) et (wn).

2) On pose vn = 1−un. Montrer qu’on a vn =∫ 1

0

xn

1 + xndx. Montrer l’encadrement :

12(n + 1)

≤ vn ≤ 1n + 1

. Conclure sur les limites de (vn) et de (un).

3) Montrer qu’on a, pour n ≥ 2, wn ≤ 1n− 1

et conclure.





Q2. Quelle strategie peut-on proposer aux eleves pour aborder les questions 2) et 3) ?Q3. Dans la question 2), comment peut-on savoir si vn est plutot voisin de 1

n+1, de

12(n+1) ou d’une valeur comprise entre les deux ? Proposer un complement a l’exercice, pourdes eleves de terminale S, permettant de donner une reponse a cette question en termesde la suite (nvn). Meme question pour la suite (wn).

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse a la question Q3.– Un autre exercice sur le theme : Encadrement d’integrales a l’aide d’un encadrement

de la fonction a integrer.

40

191

DP08-59-50 : Encadrement de l’intégrale de e(−t)(1−t) (variante) (08.1) (08.2)


THEME 59.

Encadrement d’integrales a l’aide d’un encadrement de la fonction a integrer.


On se propose de calculer une valeur approchee de l’integrale I =∫ 1

2

0

e−t

1− tdt.

1) Verifier, pour x 6= 1, l’egalite :

11− x

= 1 + x +x2

1− x.

2) Calculer l’integrale J =∫ 1

2

0

e−t (1 + t) dt.

3) Montrer, pour t ∈ [0,12], l’inegalite

1 ≤ e−t

1− t≤ 2√

e

et en deduire un encadrement de I.



Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, degager les methodes, les differents outils utilises


Q2. Modifier le texte de l’exercice ci-dessus de facon a obtenir, par la meme methode,un encadrement plus precis de I, la question 2) etant remplacee par : Calculer l’integrale

K =∫ 1

2

0

e−t (1 + t + t2) dt.

Q3. Proposer une autre methode pour encadrer I en encadrant f d’une autre maniere.On proposera une redaction d’exercice au niveau du lycee.

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Encadrement d’integrales a l’aide d’un encadrement

de la fonction a integrer.

192

60 Utilisation du calcul intégral pour l’étude de suites

DP07-60-21 : π/4 par la série de l’Arctangente (07.1, 07.2)


THEME 60.

Utilisation du calcul integral pour l’etude de suites.


L’objectif de l’exercice est d’etudier la suite donnee par la formule :

un = 1− 13

+15− 1

7+ · · · +

(−1)n

2n + 1.

1) Soit x un nombre reel. Etablir la formule :

1− x2 + x4 + · · · + (−1)nx2n =1 + (−1)n x2n+2

1 + x2.

2) En deduire qu’on a un =∫ 1

0

dx

1 + x2+

∫ 1

0

(−1)n x2n+2

1 + x2dx.

3) On pose rn =∫ 1

0

(−1)n x2n+2

1 + x2dx. Montrer qu’on a :

12(2n + 3)

≤ |rn| ≤ 12n + 3

.

4) On rappelle qu’on a∫ 1

0

dx

1 + x2=

π

4. Quelle est la limite de la suite (un) ? Utiliser

cette suite pour donner une valeur approchee de π a 10−2 pres.





Q2. Au niveau d’une classe terminale de lycee, est-il possible de justifier la formule∫ 1

0

dx

1 + x2=

π

4?

Q3. Dans l’encadrement de |rn|, comment peut-on savoir de quel cote il se situe ?Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q2 et Q3.– Un autre exercice sur le theme : Utilisation du calcul integral pour l’etude de suites.

26

193

DP05-60-22 : Constante d’Euler (05.1, 05.2, 06.1, 06.2, 08.1, 08.2)


THEMES 46, 60.

La constante d’Euler.


On peut demontrer que la suite (Sn) definie pour tout entier n ≥ 1 par :

Sn = 1 +12

+ · · · +1n

n’est pas majoree et tend vers +∞. Partant de ce resultat, on considere la suite (un)definie, pour tout entier n ≥ 1, par la formule un = Sn − lnn.

1) Calculer u1, u2, u3, u4 et u5.

2) Demontrer que, pour tout reel x > −1, on a x ≥ ln(1 + x).

3) Demontrer que, pour tout entier n ≥ 1, on a un+1 − un =1

n + 1+ ln

(1− 1

n + 1).

En deduire le sens de variation de la suite (un).

4) On pose a present, pour tout n ≥ 1, vn = un− 1n

. Demontrer que, pour tout entier

n ≥ 1, on a vn+1 − vn =1n− ln

(1 +

1n

). Quel est le sens de variation de (vn) ?

5) a) Observer a l’aide de la calculatrice le comportement des deux suites (un) et (vn).Quelles conjectures peut-on formuler ?

b) Demontrer que les deux suites convergent et ont meme limite. Cette limite est laconstante d’Euler et on la note γ.

6) Determiner un encadrement de γ d’amplitude 10−1.





Q2. Indiquer comment on pourrait rendre plus concrete l’etude des suites (un) et (vn) ;discuter le resultat de divergence admis au depart, la redaction des questions 3) et 4), laplace de la question 5a, l’encadrement demande en 6.

Q3. Proposer une autre redaction de l’exercice qui utilise une approche graphique etexploite plus intensement la calculatrice.


27

194

JURY08-60-1607 : Utilisation du calcul intégral pour l’étude de suites (09.1,09.2)


Thème : Intégration


L’exercice a pour objet d’étudier la suite (In)n∈N∗ définie pour tout entier n > 1 par :

In =

∫ e

1

x2 (ln x)n dx.

1) Calculer I1 et montrer que pour tout entier n > 1, on a :

In+1 =e3

3− n + 1

3In.

2) a) À l’aide d’une calculatrice, donner une conjecture sur le sens de variation et laconvergence de la suite (In)n∈N∗ .

b) Démontrer les propriétés conjecturées à la question 2) a).


Pendant sa préparation le candidat traitera les questions suivantes :

Q.1) Indiquer, pour chaque question de l’exercice, les savoirs mis en jeu.Q.2) Présenter une solution de la question 2).

Sur ses fiches le candidat rédigera et présentera :

a) Sa réponse à la question Q.2).b) Un ou plusieurs exercices se rapportant au thème « Intégration ».


195

196

61 Calcul d’aires à l’aide du calcul intégral

DP05-61-31 : Aire du disque (changement de variables) (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1,09.2)


THEME 61.

Calcul d’aires a l’aide du calcul integral.


A) Soit R un nombre > 0. On considere la fonction definie sur [−R,R] par

F (x) =∫ x

0

√R2 − t2dt.

1) Interpreter geometriquement F (R).2) On pose, pour x ∈ [0,π/2], G(x) = F (R sinx).a) Calculer G′(x).b) En deduire la valeur de G(x).c) Calculer l’aire d’un disque de rayon R.

B) L’ensemble des points du plan defini par l’equationx2

a2+

y2

b2= 1 est une ellipse E.

1) Montrer qu’on peut ecrire E comme la reunion des graphes de deux fonctionsy = f(x) et y = −f(x) et tracer E.

2) Calculer l’aire de la partie du plan limitee par l’ellipse et situee dans le premierquadrant (x ≥ 0, y ≥ 0), puis l’aire interieure a l’ellipse entiere.

3) Comment expliquer le resultat sans utiliser l’integrale ?





Q2. Expliquer comment le calcul de la partie A) pourrait etre mene au niveau L1(premiere annee d’universite) et pourquoi il est redige ainsi dans l’exercice.

Q3. Preciser quelle transformation permet de passer du cercle a l’ellipse et quellepropriete generale pourrait etre utilisee (a un autre niveau) pour calculer l’aire de l’interieurde l’ellipse.

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse a la question Q2.– Un autre exercice sur le theme : Calcul d’aires a l’aide du calcul integral.

41

197

DP08-61-53 : Calcul d’aires inspiré de Paris6 (08.1) (08.2)


THEME 61

Calcul d’aires a l’aide du calcul integral

1 Exercice propose

Soit f la fonction definie sur R par la formule f(x) = (x2 + 1)e2−x. On note Γ la courberepresentative de f dans un repere orthogonal et ∆ la droite d’equation y = 5

2x. On note A

l’aire (exprimee en unites d’aire) du domaine limite par la courbe Γ, la droite ∆ et la droited’equation x = 0. On note O,P,Q,R les points de coordonnees respectives (0, 0), (0, 5), (2, 5),(0, e2).

1) a) Montrer par le calcul que le point Q est le point d’intersection de la droite ∆ et de lacourbe Γ et que la courbe Γ coupe l’axe des ordonnees au point R.

b) Calculer, en unites d’aire, les aires des triangles OPQ et OQR. En deduire un encadre-ment de A.

2) a) Exprimer A sous forme d’une integrale.

b) Soit G la fonction definie sur R par la formule G(x) = −(x2 + 2x + 3)e2−x. Calculer laderivee G′ de G. En deduire une primitive de la fonction f .

c) Determiner la valeur exacte de A. En donner une valeur approchee a 10−6 pres.





Q2. Presenter la figure sur la calculatrice en mettant en evidence l’aire a calculer.

Q3. Critiquer la redaction de la question 1.b et proposer eventuellement une autre redaction.

Q4. Comment peut-on trouver directement une primitive de la fonction f ? Quel est l’interetde la methode proposee dans l’enonce ?

Sur ses fiches, le candidat presentera sa reponse aux questions Q3 et Q4 ainsi qu’un autreexercice se rapportant au theme : Calcul d’aires a l’aide du calcul integral.

1

198

62 Calcul de volumes de solides usuels à l’aide du calcul intégral

DP05-62-32 : Volume du cône (05.1, 05.2, 07.1, 07.2)


Theme 62 : Calcul de volumes a l’aide du calcul integral

I. Exercice propose

Soit C un cone de base B et de sommet O. On suppose que B est un disque de centre A et derayon R et que O est situe sur la perpendiculaire au plan de B passant par A. On note h = OA lahauteur du cone. On se propose de calculer le volume V (C). On choisira un repere orthonorme del’espace d’origine O et tel que le plan de B soit le plan Z = h.

0. Soit Cz l’intersection de C avec le plan Z = z. Calculer l’aire S(z) de Cz.

1. La methode du physicien.a. Soit dV (z) le volume du tronc de cone situe entre les hauteurs z et z + dz (dz est suppose

petit, voire “infinitesimal”). Calculer dV (z) en considerant que le tronc de cone est assimilable a uncylindre de base Cz et de hauteur dz.

b. Le volume du cone est la “somme” des volumes des troncs de cone infinitesimaux, ce que lephysicien ecrit

V (C) =

∫ h

0

dV (z).

Calculer V (C).

2. La justification mathematique. On considere la partie C≤z de C situee au-dessous du planZ = z. Soit V (z) son volume.

a. Soient z0 et z deux reels de [0, h] et supposons, pour fixer les idees, z0 < z. Montrer que lapartie C≤z\C≤z0 est comprise entre deux cylindres que l’on precisera. En deduire un encadrementde V (z)− V (z0).

b. Montrer que la derivee V ′(z0) existe et est egale a S(z0). Comparer au resultat de 1.a.c. Calculer V (C).



1. Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilises ainsi

que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peut presenter pourdes eleves.

Q2. Preciser quelles sont les similitudes et les differences entre la methode du physicien et celle dumathematicien et quel est exactement l’effet des approximations effectuees par le physicien.

Q3. Indiquer quelles proprietes des volumes il est necessaire de connaıtre avant de resoudre l’exerciceet quelle en est la justification mathematique.

2. Sur ses fiches le candidat presentera :a. Sa reponse a la question Q2.b. Un autre exercice sur le theme : Calcul de volumes a l’aide du calcul integral.

199

DP05-62-33 : Volume du cône, version courte (00)


THEME 62.

Calcul de volumes a l’aide du calcul integral.

1. Theme propose.

Soit C un cone de base B et de sommet O. On suppose que B est un disque de centreA et de rayon R et que O est situe sur la perpendiculaire au plan de B passant par A. Onnote h = OA la hauteur du cone. On se propose de calculer le volume V (C). On choisitun repere orthonorme de l’espace d’origine O et tel que le plan de B soit le plan Z = h.On note Cz l’intersection de C avec le plan Z = z.

La methode couramment utilisee par les physiciens pour faire ce type de calculs estla suivante.

On appelle dV (z) le volume du tronc de cone situe entre les hauteurs z et z + dz (dzest suppose petit, voire “infinitesimal”). En considerant que le tronc de cone est assimilablea un cylindre de base Cz et de hauteur dz, on trouve dV (z) = S(z)dz.

Le volume du cone est alors la “somme” des volumes des troncs de cone infinitesimaux,

ce que le physicien ecrit V (C) =∫ h

0dV (z) et qui permet de calculer V (C).

Pour justifier la methode du physicien, le mathematicien considere la partie C≤z de Csituee au-dessous du plan Z = z, il note V (z) son volume et prouve que la fonction V (z)

est derivable et a pour derivee S(z) (autrement dit qu’on a V ′(z) =dV (z)

dz= S(z) et donc

V (C) =∫ h

0S(z)dz).



Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q1. Apres avoir effectue les calculs a la maniere du physicien, rediger un exercice pour

des eleves de terminale S qui permette de calculer le volume du cone avec la methode dumathematicien, en etablissant rigoureusement la formule V ′(z) = S(z).

Q2. Preciser quelles sont les similitudes et les differences entre la methode du physicienet celle du mathematicien et quel est exactement l’effet des approximations effectuees parle physicien.

Q3. Indiquer quelles proprietes des volumes il est necessaire de connaıtre avant deresoudre l’exercice et quelle en est la justification mathematique.

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse a la question Q1.– Un autre exercice sur le theme : Calcul de volumes a l’aide du calcul integral.

44

200

DP05-62-45 : Volume d’une section de cube (06.1, 06.2,09.1, 09.2)

THEME 62

Calcul de volumes

1 Exercice propose

On considere un cube K de sommetsA, B, C,D,A′, B′, C ′, D′. On note a la lon-gueur des aretes de K. On considere troispoints M, N, P situes sur les aretes de K :M sur [B′C ′], au quart, du cote de B′, N sur[BC], au quart, du cote de C et P au milieude [AA′] (voir figure ci-contre) .

1) Reproduire la figure ci-contre et tracer lasection du cube par le plan (MNP ) (on justi-fiera brievement la construction et on laisseraapparents les traits de construction).

2) Calculer les volumes des deux parties ducube limitees par le plan (MNP ).

A' B'

A B

D' C'

D C

M

P

N





Q2. Sur quels parametres peut-on agir pour faire varier la nature de la section obtenue dansla question 1 de l’exercice ? On proposera plusieurs autres exemples. Discuter la difficulte deresolution de cette question selon les choix possibles.


– Sa reponse a la question Q2.– Un autre exercice sur le theme : Calcul de volumes .

Documentation fournie : Extraits des programmes de seconde et de premiere S.

1

201

DP08-62-55 : Volume de la boule (08.1) (08.2)


THEME 62

Calcul de volumes

1 Exercice propose

Soit B une boule de centre O et de rayon R. On se propose de calculer le volume V (B). Onchoisit un repere orthonorme de l’espace d’origine O.

0) Soit Bz l’intersection de B avec le plan Z = z. Calculer l’aire S(z) de Bz en fonction deR et z.

1) La methode du physicien.a) Soit dV (z) le volume de la tranche de boule situee entre les hauteurs z et z + dz (dz est

suppose petit, voire “infinitesimal”). Calculer dV (z) en considerant que la tranche est assimi-lable a un cylindre de base Bz et de hauteur dz.

b) Le volume de la boule est la “somme” des volumes des tranches infinitesimales, ce que

le physicien ecrit V (B) =

∫ R

−R

dV (z). Calculer V (B).

2) La justification mathematique.On considere la partie B≤z de B situee entre les plans de cote Z = 0 et Z = z. Soit V (z)

son volume.a) Soient z0 et z deux reels de [0, R] et supposons, pour fixer les idees, z0 < z. Montrer

que la partie B≤z\B≤z0 est comprise entre deux cylindres que l’on precisera. En deduire unencadrement de V (z)− V (z0).

b) Montrer que la derivee V ′(z0) existe et est egale a S(z0). Comparer au resultat de 1.a.c) Calculer V (B).





Q2. Preciser quelles sont les similitudes et les differences entre la methode du physicienet celle du mathematicien et quel est exactement l’effet des approximations effectuees par lephysicien.

Q3. Indiquer quelles proprietes des volumes il est necessaire de connaıtre avant de resoudrel’exercice et quelle en est la justification mathematique.

Sur ses fiches le candidat presentera sa reponse a la question Q2 du jury ainsiqu’un autre exercice sur le theme : Calcul de volumes.

1

202

203

63 Utilisation du calcul intégral en mécanique, physique, biolo-gie, économie, probabilités

DP05-63-34 : Moment d’inertie d’un disque (05.1, 05.2, 07.1, 07.2,09.1, 09.2)


Theme 63Utilisation du calcul integral en mecanique, physique, biologie, economie,

probabilites

I. Exercice propose

Le but de l’exercice est de calculer le moment d’inertie I d’un disque homogene de rayon Ret de masse m (et d’epaisseur negligeable) par rapport a son axe (i.e. un axe perpendiculairea son plan et passant par son centre).

On rappelle que si les points d’un solide de masse m sont situes a une distance d’un axe quivarie entre r et R, le moment d’inertie du solide par rapport a cet axe est compris entre mr2

et mR2.On notera µ la masse surfacique du disque et on calculera µ en fonction de m et de R

1. La methode du physicien.a. Soit dI(r) le moment d’inertie de la couronne situee entre les rayons r et r + dr (dr est

suppose petit, voire “infinitesimal”). Calculer dI(r) en faisant les approximations suivantes :

• on considerera que la couronne est assimilable a un rectangle de longueur 2πr et delargeur dr,

• on considerera que tous les points de la couronne sont a la distance r de l’axe.

b. Le moment d’inertie du disque est la “somme” des moments des couronnes infinitesimales,

ce que le physicien ecrit I =∫ R

0dI(r). Calculer I.

2. La traduction mathematique. On appelle I(r) le moment du disque de rayon r.a. Soit h un nombre > 0. Encadrer la quantite I(r + h) − I(r) en fonction de µ, r, h (sans

faire d’approximation).b. En deduire la derivee I ′(r) et verifier, avec le dI(r) calcule en 1), la formule dI(r) = I ′(r)dr.c. Calculer I.



1. Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilises

ainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.

Q2. Preciser quelles sont les similitudes et les differences entre la methode du physicienet celle du mathematicien et quel est exactement l’effet des approximations effectuees par lephysicien.

Q3. Indiquer quelles proprietes du moment d’inertie (rappelees ou non dans l’enonce) il estnecessaire de preciser avant de resoudre l’exercice et quelle est la justification mathematique deces proprietes.

2. Sur ses fiches le candidat presentera :a. Sa reponse a la question Q2.b. Un autre exercice sur le theme : Utilisation du calcul integral en mecanique, physique,

biologie, economie, probabilites.

204

DP05-63-46 : Energie potentielle d’une pile de briques (06.1, 06.2, 08.1, 08.2)


THEME 63.

Utilisation du calcul integral en mecanique, physique, biologie,

economie, probabilites.


Le but de l’exercice est de calculer l’energie potentielle E d’une pile P de briqueshomogenes, de hauteur a et de masse totale m. On rappelle que si un solide de masse mest situe a une hauteur comprise entre r et R, son energie potentielle est comprise entreles valeurs mgr et mgR ou g est l’acceleration de la pesanteur (g ! 9, 81m/s2).

1) La methode du physicien.a) Soit dE(z) l’energie potentielle de la partie dP (z) pile situee entre les hauteurs z

et z + dz (dz est suppose petit, voire “infinitesimal”). Calculer dE(z) en considerant quetous les points de dP (z) sont a la hauteur z.

b) L’energie potentielle de la pile est la “somme” des energies potentielles des parties

infinitesimales dP (z), ce que le physicien ecrit E =∫ a

0dE(z). Calculer E.

2) La traduction mathematique.On appelle E(z) l’energie potentielle de la partie de la pile situee en-dessous du plan

de cote z.a) Soit h un nombre > 0. Encadrer la quantite E(z+h)−E(z) en fonction de m,a, z, h

(sans faire d’approximation).b) En deduire la derivee E′(z) et verifier, avec le dE(z) calcule en 1), la formule

dE(z) = E′(z)dz.c) Calculer E.





Q2. Preciser quelles sont les similitudes et les differences entre la methode du physicienet celle du mathematicien et quel est exactement l’effet des approximations effectuees parle physicien.

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse a la question Q2 du jury.– Un autre exercice sur le theme : Utilisation du calcul integral en mecanique, physique,

biologie, economie, probabilites.

54

205

206

64 Problèmes issus de la géométrie, de la physique, de la biologie,de l’économie, des probabilités conduisant à une équation dif-férentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants(2)

DP05-64-35 : Alcoolémie (05.1, 05.2, 07.1, 07.2)


Theme 64Problemes issus de la geometrie, de la physique, de la biologie, de l’economie, desprobabilites conduisant a une equation differentielle lineaire du premier ordre a

coefficients constants.

I. Exercice propose

Lorsqu’une personne absorbe a jeun une certaine quantite d’alcool, on note f(t) le tauxd’alcoolemie (en grammes par litre de sang) a l’instant t (en heures) de son organisme. Onconsidere que f est definie par l’equation differentielle : f ′(t) = ae−t − f(t) dans laquelle a estune constante positive dependant de la personne elle-meme et de la quantite absorbee, avec lacondition initiale f(0) = 0.

1. On pose g(t) = etf(t). Calculer g′(t) et en deduire que g est une fonction affine.

2. Exprimer f(t) en fonction de a et t.

3. On pose a = 5.a. Etudier les variations de la fonction f et la representer graphiquement sur [0, +∞[.b. Determiner le taux d’alcoolemie maximal et le temps au bout duquel ce taux est atteint.c. Trouver graphiquement au bout de combien de temps la personne peut prendre le volant

sans enfreindre la legislation (le taux maximum autorise est de 0, 5 gramme par litre).



1. Pendant sa preparation, le candidat traitera les questions suivantes :Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outils utilises

ainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’il peutpresenter pour des eleves.

Q2. Preciser l’equation differentielle qui prendrait seulement en compte la phase d’eliminationde l’alcool. Indiquer comment on peut justifier (au moins partiellement) l’equation differentiellede l’enonce.

Q3. Un conducteur arrete par la marechaussee au maximum de son ebriete pretend n’avoirbu qu’un peu de vin a 12 degres. Proposer une question supplementaire a l’exercice (avecles memes donnees numeriques) permettant de determiner quelle quantite il a bu. On pourrautiliser la formule suivante :

taux maximum d’alcoolemie =masse d’alcool pur absorbee (en g)

poids de la personne (en kg)×K

ou le coefficient d’absorption K vaut 0, 7 pour un homme et 0, 6 pour une femme (on pourraconsulter le site http://www.contralco.fr/fr/alcool/alcoolemie.php).

2. Sur ses fiches le candidat presentera :a. Sa reponse a la question Q3.b. Un autre exercice sur le theme : Problemes issus de la geometrie, de la physique, de

la biologie, de l’economie, des probabilites conduisant a une equation differentielle lineaire dupremier ordre a coefficients constants.

207

DP05-64-36 : Equation logistique (05.1, 05.2, 06.1, 06.2, 07.1, 07.2, 09.1, 09.2)


THEME 64.

Problemes issus de la geometrie, de la physique, de la biologie, etc.

conduisant a une equation differentielle lineaire

du premier ordre a coefficients constants.


Une population de lapins est introduite dans une petite ıle. On appelle p(t) la popula-tion de lapins au temps t (l’unite de temps est l’annee). On suppose que les lapins n’ont pasde predateurs, mais, qu’en raison de la limitation de la quantite de nourriture disponible,il y a une quantite maximum m de lapins qui peut survivre sur l’ıle.

Le modele propose pour etudier l’evolution de cette population consiste a dire quel’accroissement de la population pendant un petit intervalle de temps est “proportionnel”a la fois a l’intervalle de temps, a la quantite de lapins presente p(t) (plus il y a de lapins,plus ils peuvent faire de petits), mais aussi a l’ecart entre population theorique maximumet population actuelle m − p(t) (quand on approche du maximum de la population, lanourriture disponible devient rare et la mortalite augmente). Ce modele conduit donc al’equation differentielle (1) : p′ = a p (m− p) ou a est une constante positive.

On suppose que p(t) et m− p(t) sont des nombres reels (et pas seulement des entiers)> 0.

1) On pose g(t) =1

p(t). Montrer que g verifie une equation differentielle (2) de la

forme g′ = αg + β ou α et β sont deux reels que l’on precisera.

2) Resoudre l’equation (2) et en deduire que les solutions de l’equation (1) sont de la

forme : p(t) =m

1 + λe−amtou λ est un reel > 0.

3) Etudier les variations de la fonction p : signe de la derivee p′, variation de p′ (ons’interessera en particulier aux points ou p′′ s’annule), limite de p quand t tend vers l’infini(on pourra utiliser l’equation (1)). Donner l’allure du graphe de p.

4) Voici le tableau des valeurs de p aux alentours de la troisieme annee :

t 2, 5 2, 6 2, 7 2, 8 2, 9 3 3, 1 3, 2 3, 3

p(t) 347 377 408 440 473 507 539 570 600

Comment ce tableau permet-il, en supposant que le modele est pertinent, d’avoir uneidee approximative de la valeur maximum m ?

5) On suppose qu’on a m = 1000, p(0) = 20 et p(1) = 70. Calculer a et λ. Au bout decombien de temps aura-t’on atteint la moitie de la population limite ? la population limitea une unite pres ?


49

SUITE ...

208




Q1. Indiquer l’objectif de l’exercice, la nature de la methode et les differents outilsutilises ainsi que le (ou les) niveaux au(x)quel(s) s’adresse cet enonce et les difficultes qu’ilpeut presenter pour des eleves.

Q2. Indiquer a quoi conduirait un modele de la situation qui ne prendrait pas encompte la population limite et comment expliquer l’obtention de l’equation differentielle ades eleves de lycee.

Q3. Proposer une autre redaction du debut de l’exercice en mettant l’equation (1)sous la forme

p′

p+

p′

m− p= am.

Q4. Commenter les resultats etablis dans les questions 3) et 4). A quels autres typesde situations le modele peut-il s’adapter ? Formuler en termes journalistiques le resultatutilise pour traiter la question 4).

Sur ses fiches le candidat presentera :– Sa reponse aux questions Q3 et Q4.– Un autre exercice sur le theme : Problemes issus de la geometrie, de la physique, de

la biologie, de l’economie, des probabilites conduisant a une equation differentielle lineairedu premier ordre a coefficients constants.

50

209

DP08-64-56 : Equation logistique (population USA) (08.1) (08.2)


THEME 64

Problemes issus de la geometrie, de la physique, de la biologie, del’economie, des probabilites, conduisant a une equation differentielle

lineaire du premier ordre a coefficients constants

1 Exercice propose

Le modele de Verhulst pour decrire l’evolution d’une population (animale ou humaine) estle suivant. On appelle p(t) la population au temps t (l’unite de temps est l’annee, l’unite depopulation le millier d’individus). Pour des raisons de place disponible, de nourriture, etc.on postule que cette population admet une valeur maximum m et que l’accroissement de lapopulation pendant un petit intervalle de temps est “proportionnel” a la fois a l’intervalle detemps, a la population p(t) (plus il y a d’individus, plus il y a de naissances), mais aussi a l’ecartentre population theorique maximum et population actuelle m − p(t) (quand on approche dumaximum de la population, la nourriture disponible devient rare et la mortalite augmente). Cemodele conduit donc a l’equation differentielle (1) : p′ = a p (m − p) ou a est une constantepositive.

On suppose que p(t) et m− p(t) sont des nombres reels (et pas seulement des entiers) > 0.

1) On pose g(t) =1

p(t). Montrer que g verifie une equation differentielle (2) de la forme

g′ = αg + β ou α et β sont deux reels que l’on precisera.

2) Resoudre l’equation (2) et en deduire que les solutions de l’equation (1) sont de la forme :

p(t) =m

1 + λe−amtou λ est un reel > 0.

3) Etudier les variations de la fonction p : signe de la derivee p′, variation de p′ (ons’interessera en particulier aux points ou p′′ s’annule), limite de p quand t tend vers l’infini(on pourra utiliser l’equation (1)). Donner l’allure du graphe de p.

4) La population p(t) des Etats-Unis de 1790 a 1910 a ete etudiee par Pearl et Reed en1920 au moyen de cette methode, les valeurs des parametres etant donnees par m = 197273,λ = 49, 2 et a = 158 × 10−9. Calculer avec la formule la population pour toutes les anneesmultiples de 10 entre 1790 et 1910. Quand la population maximale sera-t-elle atteinte a unmillion pres si l’on en croit ce modele ?




1 SUITE

210


Q2. La population reelle des Etats-Unis pour la periode 1790−1910 (en milliers d’habitants)est donnee par le tableau ci-dessous. Commenter la difference entre les resultats calcules et lesresultats reels. Comment ont ete trouves les parametres1 m, λ et a ?

1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910

3929 5308 7240 9638 12866 17069 23192 31443 38558 50156 62948 75995 91972

La population precise aux alentours de l’annee 1914 est donnee par le tableau ci-dessous. Enadmettant que le modele est bien adapte a la situation, comment peut-on prevoir la populationmaximale en examinant seulement ce tableau ?

1910 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918

91972 93512 95055 96599 98144 99690 101235 102779 104320

Q3. La population americaine reelle pour les annees 1920-2000 (en milliers d’habitants) estdonnee par le tableau ci-dessous. La fonction p(t) proposee a la question 4) de l’exercice est-elleencore plausible aujourd’hui ? En utilisant la fonction regression logistique de la calculatrice,donner une fonction qui prenne en compte l’evolution recente de la population. Quelle popula-tion peut-on attendre en 2060 ? Avec ce nouveau modele, quand atteindra-t-on en principe lapopulation maximale a 1 million d’habitants pres ?

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

106022 123203 132165 151326 179323 203302 226342 248710 281422

Sur ses fiches le candidat presentera sa reponse a la question Q2 du jury ainsiqu’un autre exercice sur le theme : Problemes issus de la geometrie, de la phy-sique, de la biologie, de l’economie, des probabilites, conduisant a une equationdifferentielle lineaire du premier ordre a coefficients constants.

1Les parametres donnes ci-dessus ont ete arrondis. Voici les valeurs des parametres trouvees par Pearl etReed : m = 197273, 583363, λ = 49, 2096165342 et a = 158, 86333780255× 10−9.

2

211

JURY05-64-1707 : Loi de refroidissement de Newton (08.1) (08.2)


Thème : Equations différentiellesProblèmes issus de la géométrie, de la physique, de la biologie, de l’économie, desprobabilités. . ., conduisant à la résolution d’une équation différentielle linéaire du

premier ordre à coefficients constants.


Une loi de Newton stipule que la vitesse de refroidissement d’un corps reste proportionnelleà la différence entre la température de ce corps à l’instant t et la température constante del’air ambiant (le coefficient de proportionnalité dépend essentiellement de la surface de contactentre le corps et son milieu, et on considérera ici que ce coefficient est constant).

1) Préciser et résoudre l’équation différentielle vérifiée par la température θ(t) à l’instantt > t0, d’un corps porté initialement (c’est-à-dire à l’instant t0) à la température θ0, etqui est plongé dans un environnement dont la température constante est égale à θc.

2) La température de votre cuisine (et de votre appartement) est constante, égale à 20c.Quand vous le sortez du four à 20h, la température du gâteau que vous avez préparépour vos invités est 180c. Vous observez qu’à 20h30 elle est encore de 100c.A quelle heure pourrez-vous le servir à la température idéale, soit 25c ?

3) Comme vous voulez absolument servir votre gâteau à 22h précises, vous commencez parle placer dès 20h sur le rebord de votre fenêtre, où l’air ambiant est à une températurede 0c.Combien de temps devrez-vous le laisser sur ce rebord avant de le rentrer à l’intérieurpour que vos invités puissent le déguster à 22h à la température idéale ?




Q.1) Préciser l’équation différentielle utilisée dans la première question de l’exercice et sa so-lution générale. Comment traiteriez-vous cette résolution dans une classe de terminale ?

Q.2) Indiquer la façon dont vous pourriez mettre en place un tel exercice dans une classede terminale S (notions traitées au préalable, rôle joué par les outils de calculs numé-riques et/ou formel, synthèse de la résolution, éventuellement proposition de questionsintermédiaires. . .)

Q.3) Proposer un ou deux exercices issus de la géométrie, de la physique, de la biologie,de l’économie ou des probabilités, etc. et conduisant à la résolution d’une équationdifférentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.


212

PG08-64-25 : Concentration en CNPF (08.o, 09.1, 09.2)


THEME 64

Equations differentielles du premier ordre

1 Exercice propose

A l’usine petrochimique Pollux de Saint-Tricotin-sur-Pelote (Marne-et-Garonne), 10 kg dechloro-nitrate de protobenzoıde de fluoropotassium (en abrege CNPF) ont ete deverses parerreur dans le bassin a poissons du president-directeur-general. Ce bassin, qui a une contenancede 10000 l est renouvele en eau potable a raison de 500 l par heure. On note y(t) la concentrationen CNPF de l’eau du bassin au temps t (en kg.l−1).

1) Que vaut y(0) ?

2) Expliquer pourquoi la masse de CNPF (en kg) presente dans le bassin est :• a l’instant t : 10000y(t),• a l’instant t+ h : 10000y(t)− 500hy(t), si h > 0 est suffisamment petit.

3) En deduire que y est derivable sur [0,+∞[ et verifie l’equation differentielle y′ = −0, 05y.

4) Determiner y(t) et representer graphiquement cette fonction.

5) On sait que les poissons ne peuvent survivre plus de 12 heures a un taux de 0, 0005 kg.l−1

de CNPF, donc de 5 kg pour 10000 l. Cependant, l’ingenieur en chef de la station (qui a apprisla regle de trois a l’ecole primaire) se veut rassurant : Il y a 10 kg de CNPF en tout dans les

10000 l. Chaque heure, dans les 500 l qui s’evacuent, il part donc 10× 500

10000c’est-a-dire 500 g de

CNPF. Il n’y a pas de probleme, les 5 kg seront largement evacues en 12h. Qu’en pensez-vous ?





Q2. Quelle hypothese implicite fait-on dans la question numero 2. Proposer eventuellementune redaction qui se passe cette hypothese.

Q3. Comment expliqueriez-vous la question 5 a des eleves ?

Sur ses fiches le candidat presentera sa reponse a la question Q2 du jury ainsiqu’un autre exercice sur le theme : Equations differentielles du premier ordre.

1

213

DP09-64-61 : Circuit RLC (09.1, 09.2)


THEME 65

Problemes issus de la geometrie, de la physique,... conduisant a uneequation differentielle lineaire du second ordre a coefficients

constants

1 Exercice propose

Un circuit electrique ferme comprend un condensateur de capacite C (en farads), une bobined’inductance L (en henrys) et un interrupteur. Le temps t est exprime en secondes. A l’instantt = 0, on ferme l’interrupteur et le condensateur se decharge dans le circuit. On appelle q(t) lavaleur (en coulombs) de la charge du condensateur a l’instant t et on suppose que cette fonctionest definie et deux fois derivable sur [0,+∞[.

1) Montrer que la fonction q est solution de l’equation differentielle (E) : y′′ +1

LCy = 0.

2) Resoudre l’equation differentielle (E).

3) On suppose qu’on a C = 1, 25.10−3, L = 0, 5.10−2 et que les conditions initiales sontq(0) = 6.10−3 et q′(0) = 0. Determiner la fonction q et tracer son graphe.

4) Calculer l’intensite i du courant qui parcourt le circuit a l’instant t.

5) L’energie stockee dans la bobine est donnee par WL =1

2Li2, celle stockee dans le conden-

sateur est WC =1

2

q2

C. Calculer l’energie totale WT = WL +WC au temps t. Interpretation du

resultat ?





Q2. Indiquer quels resultats de physique sont utilises dans cet exercice, d’ou ils proviennentet discuter la validite de la situation proposee.

Q3. Indiquer comment la propriete physique de la question 5) peut permettre de resoudremathematiquement l’equation differentielle y′′ + ω2y = 0.

Sur ses fiches le candidat presentera sa reponse a la question Q3 du jury ainsiqu’un autre exercice sur le theme : Problemes issus de la geometrie, de la phy-sique,... conduisant a une equation differentielle lineaire du second ordre a coeffi-cients constants.

Documentation proposeeProgramme de terminale STI, chapitre equations differentielles.

1

214

65 Problèmes issus de la géométrie, de la physique, ... conduisantà une équation différentielle linéaire du second ordre à coeffi-cients constants

DP08-65-57 : Pendule de torsion (08.1) (08.2)


THEME 65

Problemes issus de la geometrie, de la physique,... conduisant a uneequation differentielle lineaire du second ordre a coefficients

constants

1 Exercice propose

Un pendule rotatif constitue d’un disque enacier de masse m et de rayon R est suspendupar un fil d’acier OA, de masse negligeable,de longueur l et de diametre d, encastre enA dans un support, cf. figure ci-contre.A partir de la position d’equilibre de l’en-semble on fait tourner le disque d’un angleα0 de faible amplitude autour de l’axe Oz(le point C se deplace en C0) et on le lacheau temps t = 0 sans vitesse initiale. Il estalors anime d’un mouvement de rotation al-ternatif autour de cet axe et sa position estreperee par l’angle α qui est une fonctiondu temps. L’application du theoreme du mo-ment cinetique a cet ensemble et l’etude deresistance des materiaux conduit a l’equation

differentielle JOzα′′ = −GI0

lα dans laquelle :

z

Fil

Support

Disque

A

O

x y

C

C0

• α′′ est l’acceleration angulaire, en rad.s−2, du pendule.• JOz est le moment d’inertie du disque par rapport a l’axe Oz, exprime en kg.m−2, avec

JOz =mR2

2.

• G represente le module de Coulomb, exprime en pascals (Pa), qui caracterise le materiau.• I0 est le moment quadratique polaire de la section du fil, exprime en m4, qui a pour

expression I0 =πd4

32.

1) Determiner la solution generale de l’equation differentielle.

2) En tenant compte des conditions initiales, montrer que la loi du mouvement est :

α(t) = α0 cos

(√GI0

JOzlt

).

3) Donner l’expression de la periode T du pendule en fonction de JOz, l, G et I0.

4) Calculer T a partir des donnees numeriques suivantes : m = 1 kg ; R = 20 cm ; l = 1 m ;d = 2, 5 mm ; G = 8.1010 Pa.

1

SUITE

215





Q2. Indiquer quels resultats de physique sont utilises dans cet exercice et d’ou ils pro-viennent.

Q3. Quelles precautions conseilleriez-vous aux eleves de prendre avant aborder la partienumerique de l’exercice ?

Sur ses fiches le candidat presentera sa reponse a la question Q3 du jury ainsiqu’un autre exercice sur le theme : Utilisation du calcul integral en mecanique,physique, biologie, economie, probabilites.

Documentation proposeeProgramme de terminale STI, chapitre equations differentielles.

2

216

66 MODE d’EMPLOILes archives (qui pourraient éventuellement être déposées sur un serveur, éventuellement acces-

sible au public ?) comporteraient deux éléments :– un dossier (dit dossier des archives) qui contiendrait tous les fichiers pdf (pdf exclusivement, pas

de word ni de TEX, merci) comportant le texte complet de toutes les EOD que nous souhaitonsarchiver,

– un document pdf global ou deux (un pour l’analyse, et un pour la géométrie), contenant toutesles EOD, avec en plus une table des matières interactive où les EOD seraient classés par thème(avec notre numérotation actuelle, qu’il faudrait éviter de changer dans les années qui viennent).

Mise en forme1. Pour chaque EOD que vous souhaitez archiver, vous réalisez un fichier pdf que vous désignez

comme suit :– des lettres majuscules correspondant au prénom et nom de l’auteur,– un numéro (de 1 à n, n étant le nombre total de vos EOD), que vous attribuez arbitrairement

(mais bijectivement). Je l’appelle numéro d’ordre dans ce qui suit.Par exemple : DP75.pdf, MCD2.pdf, FIR27.pdf, etc.

2. Vous attribuez des références à votre EOD pour son archivage. Prenons l’exemple du fichierMCD2.pdf que vous trouverez dans le fichier joint (Tabledossiers.pdf). Il s’agit d’un exercicesur une rotation envoyant un cercle sur un autre, qui peut servir à la fois dans le thème 18 etle thème 31. Vous lui donnez deux références (une pour chaque thème où cette EOD peut êtreutile), formées ainsi :– les initiales du nom de l’auteur, ici MCD,– la date de création du fichier, ici 05 (on prend comme référence l’année du CAPES qui est

préparé, par exemple 07 pour toutes les EOD de 2006-2007),– le thème, ici 18 pour l’un et 31 pour l’autre,– le numéro d’ordre (celui de votre numérotation personnelle).Voilà ce que ça donne ici : MCD05-18-2 et MCD05-31-2.

TransmissionVous transmettez tous les fichiers EOD renommés à Marie-Claude ([email protected]

psud.fr) et vous y joignez dans un fichier, soit TEX (sans en-tête), soit simple texte, soit un messagemail (mais pas de Word) les lignes suivantes.Pour une EOD donnée, on envoie deux lignes pour CHACUN des thèmes concernés, par exemple :

\subsectionMCD05-18-2 : Rotation envoyant un cercle sur un autre (05.s)\noindent \includegraphics[height=240mm]MCD2.pdf

\subsectionMCD05-31-2 : Rotation envoyant un cercle sur un autre (05.s)\noindent \includegraphics[height=240mm]MCD2.pdf

Lorsque le fichier comporte plus qu’une page, ce serait bien de le signaler ainsi : /Attention, cetteEOD comporte n pages./

L’intérêt de mettre un petit titre (en plus du thème) est évident, cela permet de s’y retrouver parmitous les sujets donnés sur le thème.

Mémoire de l’utilisationLe nombre entre parenthèses à la fin, (05.s) signifie que ce sujet a été donné en 2004-2005, en

soutien. Si le sujet a été donné en 2004-2005 dans le groupe 1 on indique (05.1), évidemment (05.2)pour le groupe 2 et (05.0) pour les oraux blancs. Si vous l’avez donné plusieurs fois, vous mettez, parexemple, (05.1, 06.2). Si vous ne l’avez encore jamais donné vous mettez une date bidon (09.8) ou(10.x) comme vous voulez.

217

Là encore c’est vachement bien pour refaire un planning l’année suivante, ou pour prévoir lesoraux blancs. Evidemment, ce serait bien de mettre à jour cette table régulièrement ... Rassurez-vous(si cela vous semble compliqué) si vous oubliez des informations ce n’est pas une catastrophe. Sivous avez donné une EOD créée par quelqu’un d’autre, nous essaierons de la repérer pour éviter lesdoublons.

Vous ne vous inquiétez pas des commandes cabalistiques (\subsection, etc.), cela permettra àMarie-Claude de gagner du temps, pour vous, il vous suffira juste de les recopier d’une ligne à l’autre.

Les EOD du juryPour les EOD provenant du jury, que vous avez utilisées et que vous souhaitez archiver, par

exemple, le sujet donné le 13 juillet 2005 (13/07/05), qui concernait le thème 46 :– on désigne le fichier pdf : JURY05-1307.pdf (cela fera un classement chronologique pour ces

EOD là), et on l’envoie à Marie-Claude,– on donne comme référence pour la table :

\subsectionJURY05-46-1307 : Calcul de e par Taylor reste intégrale (06.1)(06.2)\noindent \includegraphics[height=240mm]JURY05-1307.pdf

CorrigésSi vous avez écrit, pour certaines EOD (disons par exemple la fameuse MCD2), un corrigé, ou un

commmentaire et que vous souhaitiez qu’il soit archivé, vous faites un fichier intitulé MCD2C.pdf (Ccomme corrigé ou commentaire) et pour la référence dans la table :

\subsectionMCD05-18-2C : Rotation envoyant un cercle sur un autre, corrigé (05)\noindent \includegraphics[height=240mm]MCD2C.pdf

UtilisationLe mieux pour comprendre tout ça et vous en faire saliver d’envie, est de se reporter au fichier Ta-

bledossiers.pdf joint, vous verrez qu’en cliquant sur la table vous allez directement au thème concernéet à l’EOD prévue, c’est génial. Avec la table vous aurez le numéro de fichier de l’EOD qui vous inté-resse et vous le trouverez dans le dossier des archives. Si vous souhaitez avoir la source (par exemplepour la modifier), il vous suffira de la demander à l’auteur. Pour actualiser vos EOD il suffit d’envoyerla nouvelle version à Marie-Claude qui compilera.

Le nom du fichier pdf associé à un dossier est obtenu en collant les lettres (initiales de l’auteur) etle nombre final.

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