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Statistique et probabilitéSérie n° 1

Mr : OUIA AZIZ 2008/2009

22

Exercice 1 : Calculer : C25 C3

5 C45

En déduire : C46

En déduire : (a + b)5

C25 = 5!/(2!*3!)=10 = 5!/(2!*3!)=10

C35 = 5!/(3!*2!)=10 = 5!/(3!*2!)=10

C45 = 5  = 5 

C46 = = C3

5 + + C45 = 10+5 = 15 = 10+5 = 15

(a+b)(a+b)55=C=C5555aa55+C+C44

55aa44b+Cb+C3355aa33b²+C²b²+C²55a²ba²b33+C+C11

55abab44+C+C0055bb55

= a= a55+5a+5a44b+10ab+10a33b²+10a²bb²+10a²b33+5ab+5ab44+b+b55

33

Exercice 2Exercice 2 : Soit une classe de 20 : Soit une classe de 20 étudiants. Combien d’équipes étudiants. Combien d’équipes de 4 étudiants peut-on former à de 4 étudiants peut-on former à partir de cette classe.partir de cette classe.

AA442020 =20*19*17*16=116280 =20*19*17*16=116280

44

Exercice 3Exercice 3 : On dispose d’une urne qui : On dispose d’une urne qui contient 10 boules dont 6 sont rouges contient 10 boules dont 6 sont rouges et 4 sont blanches.et 4 sont blanches.

1.1. Combien peut-on former de groupes Combien peut-on former de groupes différents de 4 boules ?différents de 4 boules ?

2.2. Combien parmi ces groupes, Combien parmi ces groupes, contiennent 4 boules blanches ?contiennent 4 boules blanches ?

3.3. Combien parmi ces groupes, Combien parmi ces groupes, contiennent au moins 1 boule contiennent au moins 1 boule blanches ?blanches ?

55

1. C1. C441010 = 210 = 210

2. C2. C4444 = 1 = 1

3. C3. C1144*C*C33

66+ C²+ C²44*C²*C²66+ C+ C3344CC11

66+C+C4444 =19 =19

Il y a CIl y a C4466=15 échantillons qui =15 échantillons qui

contiennent des boules rouges contiennent des boules rouges donc, le nombre d’échantillons est donc, le nombre d’échantillons est égal à Cégal à C44

1010- C- C4466 =210-15=195 =210-15=195

66

ExerciceExercice : On dispose d’une urne qui : On dispose d’une urne qui contient 10 boules dont 6 sont contient 10 boules dont 6 sont blanches et 4 sont rouges.blanches et 4 sont rouges.

1.1. Combien peut-on former de groupes Combien peut-on former de groupes différents de 4 boules ?différents de 4 boules ?

2.2. Combien parmi ces groupes, Combien parmi ces groupes, contiennent 4 boules rouges ?contiennent 4 boules rouges ?

3.3. Combien parmi ces groupes, Combien parmi ces groupes, contiennent au moins 1 boule contiennent au moins 1 boule blanches ?blanches ?

77

1. C1. C441010 = 210 = 210

2. C2. C4444 = 1 = 1

3. C3. C1166*C*C33

44+ C²+ C²66*C²*C²44+ C+ C3366CC11

44+C+C4466 =209. =209.

Il y a CIl y a C4444 =1 échantillon qui =1 échantillon qui

contient des boules rouges donc, contient des boules rouges donc, le nombre d’échantillons est égal le nombre d’échantillons est égal à Cà C44

1010-C-C4444 =210-1=209 =210-1=209

88

Exercice 4Exercice 4 : combien de signaux différents : combien de signaux différents peut-on former, chaque signal étant peut-on former, chaque signal étant constitué de 10 fanions alignés constitué de 10 fanions alignés verticalement, dont 5 sont rouges, 3 sont verticalement, dont 5 sont rouges, 3 sont jaunes et deux sont vertes ?jaunes et deux sont vertes ?

99

Exercice 5 : dans une étude d’évaluation Exercice 5 : dans une étude d’évaluation d’acquis par les étudiants, il est requis par d’acquis par les étudiants, il est requis par l’étudiant de répondre à un examen de 8 l’étudiant de répondre à un examen de 8 questions. Les étudiants doivent répondre questions. Les étudiants doivent répondre par « Vrai » ou « Faux ». Toutes les par « Vrai » ou « Faux ». Toutes les réponses d’un étudiant quelconque sont réponses d’un étudiant quelconque sont considérées comme une possibilité. considérées comme une possibilité. Combien de possibilités différentes sont Combien de possibilités différentes sont possibles ?possibles ?

1010

Exercice 6 : dans une banque, on veut former Exercice 6 : dans une banque, on veut former une équipe de 2 cadres supérieurs et 4 une équipe de 2 cadres supérieurs et 4 cadres moyens pour s’occuper d’une cadres moyens pour s’occuper d’une nouvelle agence bancaire. L’équipe sera nouvelle agence bancaire. L’équipe sera constituée à partir d’un effectif de constituée à partir d’un effectif de banquiers de 10 cadres supérieur et 14 banquiers de 10 cadres supérieur et 14 cadres moyens. De combien de façons cadres moyens. De combien de façons différentes peut-on constituer cette différentes peut-on constituer cette équipe ?équipe ?

1111

Exercice 7 : Dans une boite il y a 12 Exercice 7 : Dans une boite il y a 12 pièces qui sont bonnes et 8 qui sont pièces qui sont bonnes et 8 qui sont défectueuses. De combien de manières défectueuses. De combien de manières peut-on former un échantillon peut-on former un échantillon comprenant 4 pièces bonnes et 3 comprenant 4 pièces bonnes et 3 pièces défectueuses ?pièces défectueuses ?

CC441212*C*C33

88=27720=27720

1212

Exercice 8 : 9 élèves sont nouvellement Exercice 8 : 9 élèves sont nouvellement inscrits dans un collège. Comment peut-on inscrits dans un collège. Comment peut-on les répartir dans les cas suivants :les répartir dans les cas suivants :

S’ils doivent être placés chacun dans une S’ils doivent être placés chacun dans une classe différente?classe différente?

S’ils sont classés 3 à 3 dans 3 classes S’ils sont classés 3 à 3 dans 3 classes différentes?différentes?

S’il y a 4 classes, deux recevant 3 élèves, 1 S’il y a 4 classes, deux recevant 3 élèves, 1 recevant 2 élèves et une classe recevant 1 recevant 2 élèves et une classe recevant 1 seul élève?seul élève?

1) 9!=3628801) 9!=3628802) 9!/(3!*3!*3!) =16802) 9!/(3!*3!*3!) =16803) 9!/(3!*3!*2!*1!)=50403) 9!/(3!*3!*2!*1!)=5040

1313

Exercice 9 : Dans une entreprise, une Exercice 9 : Dans une entreprise, une machine non réglée produit 14 pièces machine non réglée produit 14 pièces par jour dont 8 sont bonnes et 6 sont par jour dont 8 sont bonnes et 6 sont défectueuses. A partir d’une défectueuses. A partir d’une production journalière de cette production journalière de cette machine, on choisit au hasard des machine, on choisit au hasard des échantillons de 4 pièces.échantillons de 4 pièces.

Combien d’échantillons différents peut-Combien d’échantillons différents peut-on former ?on former ?

Combien d’échantillons constitués de 3 Combien d’échantillons constitués de 3 pièces bonnes et 3 pièces bonnes pièces bonnes et 3 pièces bonnes seulement peut-on former ?seulement peut-on former ?

1414

1) C1) C441414=1001=1001

2) Les échantillons doivent 2) Les échantillons doivent être constitués de 3 pièces être constitués de 3 pièces bonnes et 1 pièce bonnes et 1 pièce défectueuse.défectueuse.

CC3388*C*C11

66=56*6=336 =56*6=336

1515

Exercice 10 : On dispose de 6 photocopies Exercice 10 : On dispose de 6 photocopies d’un même baccalauréats et 8 chemises d’un même baccalauréats et 8 chemises d’une même couleur où elles peuvent être d’une même couleur où elles peuvent être placées. Calculer :placées. Calculer :

Le nombre de manières de placer les 6 Le nombre de manières de placer les 6 photocopies dans les 8 chemises.photocopies dans les 8 chemises.

Le nombre de manières de placer les 6 Le nombre de manières de placer les 6 photocopies dans les 8 chemises sans photocopies dans les 8 chemises sans qu’il y en ait 2 dans la même chemise.qu’il y en ait 2 dans la même chemise.

1616

1)On peut remplacer les chemises par des 1)On peut remplacer les chemises par des papiers cartonnées simples. Il y aura 7 papiers cartonnées simples. Il y aura 7 papiers cartonnés simples. Les deux papiers cartonnés simples. Les deux derniers papiers cartonnés ne sont pas derniers papiers cartonnés ne sont pas comptés. Le nombre de permutations comptés. Le nombre de permutations possible des 6 et des 7 papiers cartonnés possible des 6 et des 7 papiers cartonnés est une permutation avec répétition 13!/(6!est une permutation avec répétition 13!/(6!*7!)=1716*7!)=1716

2) La première photo à 8 places possibles et 2) La première photo à 8 places possibles et la deuxième on a 7 possibilités et les la deuxième on a 7 possibilités et les photocopies sont les mêmes donc il n y photocopies sont les mêmes donc il n y aura pas d’ordre ( l’ordre est indifférent).aura pas d’ordre ( l’ordre est indifférent).

on va avoir Aon va avoir A6688/6!=C/6!=C66

88=28=28

1717

Exercice 11 : Exercice 11 : Dans une course de voiture, Dans une course de voiture, 20 marques de voitures se disputent 20 marques de voitures se disputent les 3 premières places. Combien y a-t-les 3 premières places. Combien y a-t-il de possibilités :il de possibilités :

Au total ?Au total ?

Dans lesquelles les 3 voitures soient Dans lesquelles les 3 voitures soient dans l’ordre ?dans l’ordre ?

Dans lesquelles, elles sont soit dans Dans lesquelles, elles sont soit dans l’ordre soit dans le désordre ?l’ordre soit dans le désordre ?

Dans lesquelles, elles sont dans le Dans lesquelles, elles sont dans le désordre ?désordre ?

1818

1) Il y a l’ordre car une voiture 1) Il y a l’ordre car une voiture gagnante ne peut pas être en gagnante ne peut pas être en même temps dans les 3 même temps dans les 3 classements.classements.

AA332020=20*19*18=6840=20*19*18=6840

2) On va avoir l’ordre et donc un seul 2) On va avoir l’ordre et donc un seul classement =1 classement =1

3) On va avoir l’ordre et le désordre 3) On va avoir l’ordre et le désordre donc : 3!=3*2*1=6donc : 3!=3*2*1=6

On va avoir uniquement le désordre On va avoir uniquement le désordre donc : 6-1=5donc : 6-1=5

1919

Exercice 12 : Exercice 12 : Soient les chiffres Soient les chiffres suivants : suivants :

{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}.{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}.

Combien peut-on former de Combien peut-on former de nombres de deux chiffres.nombres de deux chiffres.

AA2299= 9*8=72= 9*8=72

2020

Exercice 13 : Sur 26 personnes interrogées, Exercice 13 : Sur 26 personnes interrogées, 12 personnes ont une petite voiture, 10 12 personnes ont une petite voiture, 10 personnes ont une grande voiture et 4 personnes ont une grande voiture et 4 personnes ont les deux tailles de voitures. personnes ont les deux tailles de voitures. De combien de façons peu-on choisir 6 De combien de façons peu-on choisir 6 personnes parmi les 26 si :personnes parmi les 26 si :

Chacune des 6 personnes a au moins une Chacune des 6 personnes a au moins une voiture ?voiture ?

4 d’entre elles ont une petite voiture et les 4 d’entre elles ont une petite voiture et les deux autres ont une grande voiture. deux autres ont une grande voiture. Chacune d’entre elle n’a qu’une seule Chacune d’entre elle n’a qu’une seule voiture ?voiture ?

4 d’entre elles ont au moins une petite 4 d’entre elles ont au moins une petite voiture ?voiture ?

2121

1- (4 personnes ont deux voitures) donc, il reste 1- (4 personnes ont deux voitures) donc, il reste (12+10-4)=18 personnes qui ont au moins une (12+10-4)=18 personnes qui ont au moins une voiture donc : Cvoiture donc : C66

1818=18!/6!*12!= 18564=18!/6!*12!= 18564

2- Les 4 premières personnes sont prises à partir 2- Les 4 premières personnes sont prises à partir de 8 personnes qui n’ont qu’une petite voiture. de 8 personnes qui n’ont qu’une petite voiture. Le reste (2 personnes) sont prises à partir des Le reste (2 personnes) sont prises à partir des 6 personnes qui n’ont qu’une grande voiture. 6 personnes qui n’ont qu’une grande voiture. Donc on aura CDonc on aura C44

88*C²*C²66=70*15 =1050 =70*15 =1050

2222

3- 3- On peut avoir : 4 personnes qui On peut avoir : 4 personnes qui ont une petite voiture ou 5 ont une petite voiture ou 5 personnes qui ont une petite personnes qui ont une petite voiture ou 6 personnes qui ont voiture ou 6 personnes qui ont une petite voiture donc on une petite voiture donc on aura : aura :

CC441212*C²*C²1414+C+C55

1212*C*C111414+C+C66

1212=991485=991485

2323

Exercice 14 : Dans une entreprise Exercice 14 : Dans une entreprise travaille 30 personnes dont 20 travaille 30 personnes dont 20 hommes et 10 femmes. Le directeur hommes et 10 femmes. Le directeur technique veut former des équipes de technique veut former des équipes de 6 personnes avec au moins deux 6 personnes avec au moins deux hommes et deux femmes. Déterminer hommes et deux femmes. Déterminer le nombre de groupes que l’on peut le nombre de groupes que l’on peut choisir dans les cas suivants :choisir dans les cas suivants :

Chaque personne peut être membre de Chaque personne peut être membre de cette équipe.cette équipe.

4 hommes et deux femmes n’acceptent 4 hommes et deux femmes n’acceptent pas d’être membre de cette équipe.pas d’être membre de cette équipe.

2424

1- Nous pouvons avoir les scénarios 1- Nous pouvons avoir les scénarios suivants :suivants :

{(2H et 4F) ; (3H et 3F) ; (4H et 2 F)}{(2H et 4F) ; (3H et 3F) ; (4H et 2 F)}

C²C²2020*C*C441010+C+C33

2020*C*C331010+C+C44

2020C²C²1010==

= 39900+136800+ 218025 = 39900+136800+ 218025 =394725 =394725 2- Il ne reste que (20-4)=16 hommes 2- Il ne reste que (20-4)=16 hommes

et (10-2)= 8 femmeset (10-2)= 8 femmes

C²C²1616*C*C4488+C+C33

1616*C*C3388+C+C44

1616C²C²88

=8400+ 31360+50960 =90720.=8400+ 31360+50960 =90720.

2525

Exercice 15 : Soient A et B deux événements Exercice 15 : Soient A et B deux événements associés à une certaine expérience associés à une certaine expérience aléatoire tel que P(A)=0,3, P(Aaléatoire tel que P(A)=0,3, P(AB)=0,7 et B)=0,7 et P(B)=p.P(B)=p.

1.1. Déterminer p si A et B sont incompatibles.Déterminer p si A et B sont incompatibles.

2.2. Déterminer p si A et B sont indépendants.Déterminer p si A et B sont indépendants.

3.3. Déterminer p si A et B ne sont pas Déterminer p si A et B ne sont pas incompatible, ni indépendants. De plus incompatible, ni indépendants. De plus p(Ap(AB’)=0,2.B’)=0,2.