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Support de cours - perso.univ-lyon2.fr · PDF fileL2-S4 : 2018-2019 Support de cours Statistique & Probabilités Chapitre 4 : Lois de probabilité usuelles R. Abdesselam UFR de Sciences

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  • L2-S4 : 2018-2019

    Support de cours Statistique & Probabilités

    Chapitre 4 : Lois de probabilité usuelles

    R. Abdesselam UFR de Sciences Economiques et de Gestion

    Université Lumière Lyon 2, Campus Berges du Rhône

    [email protected]

    http://perso.univ-lyon2.fr/~rabdesse/Documents/

    1

    mailto:[email protected]

  • Chapitre 4 : Lois de probabilité usuelles

    Introduction

    La notion de variable aléatoire réelle (discrète finie ou infinie dénombrable et

    continue) est liée aux expériences aléatoires.

    Ces différentes variables aléatoires réelles fournissent des modèles probabilistes utilisés dans de nombreux domaines divers et variés (économie, sociologie, industrie, biologie, médecine, physique, etc...).

    Cela permet d’améliorer la compréhension et l’analyse de phénomènes complexes sans cependant être trop éloigné de la réalité.

    Ces lois dites usuelles ou courantes distinguent encore entre lois discrètes à distribution de probabilité et lois continues admettant une densité de probabilité.

    4.1 Lois discrètes finies

    4.1.1 Loi de bernoulli

    Définition :

    Une expérience aléatoire est dite ’’ Expérience de Bernoulli ’’ si elle ne comporte que 2 résultats possibles :

    Par exemple, Succès / Echec ; Oui / Non ; Favorable / Défavorable ; Bonne / Mauvaise ; etc.

    2

  • Lois de probabilité usuelles – Discrètes finies

    Exemple : Schéma d'urne

    Une urne contient des boules Rouges en proportion p et des boules non- Rouges

    en proportion q = 1 - p.

    On réalise 1 fois l’expérience : prélever une boule au hasard dans l'urne.

    _ Probabilités : P(R) = p et P(R) = q = 1 - p

    3

    On associe à la v.a.r. X : ’’la réalisation ou l'apparition d’une boule Rouge lors de ce tirage’’

    X = 1 si la boule est Rouge ’’succès ’’ Les valeurs possibles de X : 

    X = 0 si la boule n’est pas Rouge ’’échec’’

    d’ou la distribution de probabilité et la fonction de répartition F de la v.a.r. X

    On dit alors que la v.a.r. X suit une loi de Bernouilli de paramètre p, notée B (p)

    Notation X  B(p)

    k Pk= P(X = k ) F(x) = P(X  x)

    Echec 0 1 – p = q q

    Succès 1 p q + p = 1

  • Lois de probabilité usuelles – Discrètes finies

    Exemple : Schéma d'urne

    Loi de la v.a.r. X :

    ( x = {0, 1} , Ƥ() )  P  [0 , 1] 0 P(X = 0) = q 1 P(X = 1) = p

    4

    Valeurs caractéristiques :

    E(X) = et V(X) =

    xk Pk= P(X = xk ) F(xk ) = P(X  xk)

    0 1 – p = q q

    1 p = P(R) q + p = 1

    p pq

    1

    E(X) =  pk xk = q X 0 + p X 1 = p k = 0

    1

    V(X) =  pk [ (xk – E(X) ] 2 = E(X²) – E(X)²

    k = 0

    1

    E(X²) =  pk xk ² = p

    k = 0

    V(X) = p – p² = p(1 – p) = pq

  • Lois de probabilité usuelles – Discrètes finies

    4.1.2 Loi Binomiale X  B (n , p)

    Exemple : Schéma d'urne

    On réalise n fois l’expérience : prélever une boule au hasard dans l'urne. n tirages indépendants (avec remise) _

    Probabilités : P(R) = p et P(R) = q = 1 - p C’est-à-dire qu’on répète n fois la même expérience de Bernoulli.

    On note par X : ’’Le nombre de boules Rouges tirées au cours des n tirages’’

    Les valeurs possibles de X sont :

    La loi de probabilité de la v.a.r. X est définie par :

    P(X = k ) = pour k = 0,1,....,n

    5

    Cn k pk (1-p)n-k

    On dit alors que la v.a.r. X suit une loi Binomiale de paramètres n et p.

    0, 1, 2, …, k, …, n

    n

    C’est bien une distribution de probabilité : k = 0 à n, 0  P(X = k)  1 et  P(X = k) = 1.

    n k=0

    Binôme de Newton : (p + q)n =  Cn k p k qn-k = 1 avec p  [0 , 1] et q = 1 – p.

    k=0

  • Lois de probabilité usuelles – Discrètes finies

    6

    Remarques :

    1) La v.a.r. X qui suit une loi B(n, p) est une somme de n v.a.r. Xi de bernoulli B(p) indépendantes et de même paramètre p.

    2) B(p) = B(1, p) n = 1.

    3) B(k : n, p) = B( n-k : n , q).

    4) La somme de 2 lois binomiales indépendantes suit une loi binomiale.

    Xi  B(p) n Xi =1,n indépendantes   Xi  B(n, p) .

    i=1

    Cn k = Cn

    n-k Si succès : X  B(n, p) Alors échec : Y  B(n, q = 1 - p).

    X1  B( n1 , p) X2  B( n2 , p) X = X1 + X2  B(n1 + n2 , p) . X1 et X2 indépendantes

    Valeurs caractéristiques :

    E(X) = et V(X) = np npq

    Xi  B(p) ; E(Xi) = p et V(Xi) = pq

    n n n

    E(X) = E( Xi) =  E(Xi) =  p = np i =1 i=1 i=1

    n n n

    V(X) = V( Xi) =  V(Xi) =  pq = npq i =1 i=1 i=1

    car les Xi sont indépendantes

  • Lois de probabilité usuelles – Discrètes finies

    7

    Exemple d’application :

    D’après un représentant de la compagnie aérienne Lyon’Air, 15% des clients

    réservent un siège en première classe. Parmi les 10 prochaines réservations,

    - Quelle est la loi de probabilité suivie par la v.a.r. X associée au ’’nombre de clients qui réservent en 1ère classe parmi les 10 prochaines réservations’’.

    - Quelle est la probabilité qu'aucune personne ne réserve en première classe ?

    - Quelle la probabilité d'avoir exactement une réservation en première classe ?

    - Quelle est la probabilité d'avoir au plus une réservation en première classe ?

    - Quelle est la probabilité d'avoir plus une réservation en première classe ?

    P(X = 0) = C10 0 0.150 0.8510 = 0.8510 = 19.69%

    P(X = 1) = C10 1 0.151 0.859 = 34.74%

    P(X  1) = F(1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 54.43%

    P(X > 1) = 1 - P(X  1) = 1 - F(1) = 45.57%

    X  B (n = 10 , p = 0.15) ; P(X = k) = C10 k pk (1-p)10-k k = 0,1,…,10

  • Lois de probabilité usuelles – Discrètes finies

    8

    Exemple d’application :

    D’après un représentant de la compagnie aérienne Lyon’Air, 15% des clients

    réservent un siège en première classe. Parmi les 10 prochaines réservations,

    - Quelle est la probabilité d'avoir un nombre de réservations en première classe compris entre la moyenne plus ou moins un écart-type ?

    - Parmi ces 10 prochaines réservations, quel est le nombre le plus probable de réservations en première classe ?

    E(X) = np = 1.5 ; V(X) = npq = 1.275 et X = 1.13

    P( E(X) - X  X  E(X) + X ] = P( 0.37  X  2.63 ) = P(X = 1) + P(X = 2) = 62.33%

    Mode = 1 : c’est le nombre de réservations en 1ère classe le plus probable parmi les 10 prochaines réservations : P(X = 1) = 34.74%

    xi pi F(x) 0 0,1968744 0,1968744

    1 0,34742542 0,54429982

    2 0,27589666 0,82019648

    3 0,12983372 0,9500302

    4 0,04009571 0,99012591

    5 0,00849086 0,99861676

    6 0,00124866 0,99986542

    7 0,00012591 0,99999133

    8 8,3326E-06 0,99999967

    9 3,2677E-07 0,99999999

    10 5,7665E-09 1

    Médiane = 1 : F(1) = 54.43%

  • Lois de probabilité usuelles – Discrètes finies

    9

    20%

    35%

    28%

    13%

    4% 1% 0% 0% 0% 0% 0%

    0%

    10%

    20%

    30%

    40%

    50%

    60%

    70%

    80%

    90%

    100%

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    p i =

    P (X

    = x

    i)

    xi : nombre de clients qui réservent en 1 ère classe

    Diagramme en bâtons - Distribution de probabilité "Nombre de clients qui réservent en 1ère classe parmi les 10 prochaines réservations

    0%

    25%

    50%

    75%

    100%

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

    F (x

    ) =

    P (X

    < =

    x )

    xi : nombre de clients qui réservent en 1ère classe

    Courbe en escalier - Fonction de répartition

  • Lois de probabilité usuelles – Discrètes finies

    4.1.3 Loi Hypergéométrique X  H (N , n , p)

    Exemple : Schéma d'urne

    Une urne contient a boules Rouges et b boules non Rouges. On prélève un échantillon de taille n d’une population de taille N = a + b (n  N).

    On réalise n fois l’expérience : n tirages exhaustifs (dépendants ou sans remise) _

    Probabilités : P(R) = p = a/N et P(R) = q = 1 - p = b/N

    On note par X : ’’Le nombre de boules Rouges tirées au cours des n tirages’’

    Les valeurs possibles de X sont :

    La loi de probabilité de la v.a.r. X est définie par :

    P(X = k ) = pour k =

    10

    Ca k Cb

    n-k / CN n

    On dit alors