Acta Physica Hungarica 70 (I-$), pp. 57-61 (1991)

S U R LA D I L A T A T I O N T H E R M I Q U E D E S S O L I D E S A U - D E S S U S D E L E U R T E M P E R A T U R E D E D E B Y E

Y. THOMAS

lns~itut de Recherchea Scientifiques et Techniques �91 Angers Cedex, France

(Requ 17 juillet 1990)

Grs �91 un param~tre anharmonique F, une explication des › exp› ~ la loi de Grª lors de la dilatation thermique des sol ides est avanc› pour les temp› T entre O et 20 (O › ]a temp› de Debye). Pour T > 20, une d› du r› intervient en plus par une contribution ›233 qui est ›233

Les r› exp› sur la dilatation thermique des solides ne sont pas en accord avec les lois classiques �91 haute temp› m~me pour un r› parfait [1]. On ne peut donc attribuer les › uniquement ~ la concentration des d› comme le sugg› certains [2]. II faut aussi rechercher la cause de ces › dans les imperfections simplificatrices des diverses th› propos›

La th› de Grª en particulier, bas› sur des vibrations quasi harmoniques dans un champ de force asym› ne rend compte que partiellement de la croissance du coefficientde dilatation cubique/3 en fonction de la temp› T [3]. En effet, les forces itrteratomiques rendent les fr› d› du volume et introduisent des termes ›233 d'interaction dont il est n› de tenir compte. La loi de Grª est: /3 - 7 X T C v / V 011 le volume V et la com- pressibilit› isotherme XT varient lentement avec la temp› C. est la chaleur sp› ~ volume constant et 7 = dLnO/dLnV est la constante de Grª qui doivent ~tre consid›233 comme variables ainsi que la temp› de Debye O du solide [4].

Si on adopte l'expression de l'› libre de Helmholtz en seconde approxi- mation �91 haute temp›

F = 3RT[Ln(v/KT) - AKT],

o5 v est la moyenne g›233 des fr› normales de faible amplitude et A un coefficient, d› des forces interatomiques mais ind› de T, qui rend compte des › �91 la loi de Hooke responsables de la dilatation:

C ~ = T ~ ~ = - T ~ = 3 R ( I + 2 A K T ) ,

OS (1-2AKTdLnA~d-L¡ (1 2AKT B ) -3Rd-2g-y.y = 3R-f +

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en posant 'y = - d L n u / d L n V et B = dLnA/dLnV,

7C~ croit donc ~ = r fois plus vite que Cv. Calculons ce param6tre anharmonique r caract› les vibrations ther-

miques pour le comparer aux mesures exp› Si, selon la th› de SchrSdinger [5], on suppose que tous les coefficients

des termes de couplage des 26, 36, et 46 ordre de l'› potentielle d› du volume de la m6me fa~on:

dLnA 2dLnv dLnA = - - s o i t F = - ~ = 2 .

dLnV dLnV dLnv

La croissance de/3 est › au double de celle pr› par la th› de Grª Debye en accord avec des approches pr›233 [3,4].

Une › plus pr› du caract6re anharmonique des oscillateurs peut 6tre falte �91 l'aide de la th6orie des perturbations au second ordre en accord avec l'expression de l'› libre pr›233 [6]. Elle conduit �91 l'expression du coefficient de dilata- tion cubique/3 ~ haute temp›

(15b 2 6 C ) KT] =/30[1 + a3 - ~

oŸ q est relatif au solide harmonique (K est la constante de Boltzmann) et �91 celle de la chaleur sp› d'un oscillateur:

( 15b2 ) 6C C~ = K(I + 2AKT) = K[I + aa ~ KŸ

permettant de retrouver le coef¡ A = tsbs 3c qui › alors reli› au coeflicient -fgr-- ~-v moyen de temp› des fr› phoniques et aux param6tres du potentiel anharmonique a, b et C pour rep› les r› exp› jusque vers 20 [1].

Ici, sachant que la fr› phonique des atomes de masse m est: v = 1/2~r(a/m) 1/2 et que r est la distance interatomique, le potentiel v = a/2 �9 z 2 + bz s + Cz 4 donne ~ nouveau da/dr = 6b, db/dr = 4C et dC/dr = 5d d'ofs:

r - 6(~6 _ 3..~.~_ .~_4Ca 12-2"�91 y]Sdaa't 15 3Ca 16 4--D"

Ce param6tre F peut 6tre calcul› pour les potentiels habituellement utilis› dont nous donnons deux exemples: 1. Potentiel de Morse v = D[exp ( -2az ) -2 exp(-az)] of~ D e t a sont des constantes. On obtient par identification F = 3, 10.

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SUR LA DILATATION THERMIQUE DES SOLIDES 59

b' b t 2. Potentiel de Mie v = - ~ + ~ ofl a I et sont des constantes et n I > m ~. On a de m~me pour les valeurs courantes:

n I 5 6 8 9 9 m I 1 3 1 4 6

F 2,50 2,85 2,55 2,59 3,10

F varie, quelque soit m ~ et n' , dans des limites relativement › En posant XT = 1 / K T , L n ~ = L n ( 7 C v / V K T )

1 O7C~ 10j3 1 OKT + 17, 7-'~~ " " c 9 ~ - ~ cgT + K-"~ OT

d'ofl 1 . ~ ao_p_+.l. . O K r +

"fl OT l~r aT F -~ "rC,, OT fiL.. OC~ 1..L. . OC~ Cu ,gT C, aT

Les coefficients de temp› des r› exp› adopt› [7] permettent de calculer le param~tre F h diverses temp›

r T K 0 0 20 30 Cu 325 1,9 2,1 15 Ag 210 2,5 3,4 20 Au 180 2 3,9 12 Pb 90 2,3 3,7 17

NaCl 290 2,1 3,8 20 KC1 235 3,1 4 18

Les r› aussi bien pour les m› que pour les compos› ioniques, se r› issent sur une courbe unique F = f ( T / O ) (courbe 1). La pente Cette derni~re refl~te la variation du coefficient ~ avec la temp› T.

Pour T > O, le param~tre F varie entre 2 et 3 conform› h la th› pr›233 qui explicite les › observ› II pr› ensuite une faible croissance quasi lin› avant de cro{tre brusquement d'une faqon asymptotique vers T = 30.

La croissance de F, en d› avec la th› pr›233 est attribu› �91 la d› progressive du r› par suite du nombre croissant des vacances thermiques lors du chauffage du solide [2].

Si D est une constante caract› de la substance et W l'› n› la formation des vacances, la croissance du volume par les vacances est:

(~_) -~ ~~~~~~,, d = D exp ~ --

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6 0 Y . T H O M A S

oh d7 est la diff› entre les valeurs exp› et celles obtenues par une extrapolation lin› des valeurs en accord avec la th› pr›233 valables pour T . ~ e (7 › calcul› selon la loi de Grª La pente de la courbe Lnd(gl~- ) = L n D - -~T en fonction de 1 / T permet de d› W.

r"

20

1G

12

8

/,

O I | I I

2 3 T I O

C o u r b e 1. V a r i a t i o n d u p a r a m ~ t r e a n h a x m o n i q u e [" avec T p o u r 6 aolides dont l ' o r ( . )

I i 1 I i i i

1 2 3 ~ 5 G 7 T / e

C o u r b e 2. V a x i a t i o n a v e c T de "r p o u r l ' o r - - : "y e x p › - - - : "v extrapoM se lon notre t h ›

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SUR LA DILATATION THERMIQUE DES SOLIDES 6]

-6

-7

.~1 > -8

-9 C

-10

-11

I / T 07 0.9 1.1 1.3 1.5

i i

Courbe 3. Variatiort da volume de l 'or par formation de d› thermiques en fonction de T

A p p l i c a t i o n s l ' o r [4,7]: V a r i a t i o n de 7 avec la t e m p › T ( c o u r b e 2)

D › de W ~ 54, 34 K J - m o l -1 ( c o u r b e 3)

R e f e r e n c e s

1. Y. Thomas, Physics Letters, 66A2, 131, 1978. 2. S. A. Gertsriken, Doklady Akad. Nauk, 98, (2), 211, 1954. 3. G. C. Fletcher, Phil. Mag., 2 ,639, 1957. 4. Y. Thomas, Phys. Stat . Sol., (b) 87, KI3, 1978. 5. E. Schr6dinger, Z. Phys., 11, 170, 1922. 6. Y. Thornas, Acta Phys. Hung., 48,397, 1980. 7. F. C. Nix and D. MacNair, Phys. Rey., 60,597, 1941; 61,74, 1942.

W. C. Owerton and J. Gaffney, Phys. Rey., 98,969, 1955. J. R. Neighbours and G. A. Alers, Phys. Rev., 111,707, 1958. Y. Pautamo, Ann. Acad. Sci. Fenn., AVI Finland, 43, 129, 1963. E. Laredo, J. Phys. Chem. Solids, 1040, 30, 1969.

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