Sur la Stabilite de l'Equilibre des Figures Pyriformes Affectees par une Masse Fluide en Rotation

Sur la Stabilite de l'Equilibre des Figures Pyriformes Affectees par une Masse Fluide enRotationAuthor(s): H. PoincareSource: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papersof a Mathematical or Physical Character, Vol. 198 (1902), pp. 333-373Published by: The Royal SocietyStable URL: http://www.jstor.org/stable/90824 .

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[ 383 ]

VIT. S%r la Stahiit( de d'lEqdilibre des Figures Pyrifrmens affectees par 'lne llMsse .Fluide en, R?otation.

By H. PO:INCAREl, lForeqign il 3rmber R.S.

Received October 29,---Read November 21, 1901.

inttrocduction.

J'ai publie autrefois dans le Tome 7 des 'Acta Mathematica' un memnoire sur

l'equilibre d'une masse fluide en. rotation. C'est a ce memoire que je renverrai

souvent dan s la suite en 6crivant simplement 'Acta.' Dans ce me'moire je dccris en

particulier unre figulrred'6quilibre particuliere qui est pyriforme, et que pour cette

raison on. peut appeler la poire (pear-shaped figure). Cette figure, est-elle stable i La question ne peut pas etre regar-dee conmmne entiere-

mnernt :esolue. Enl effet, comnfie l'a fiait remlarquer M. SCHWARZSCHILD, le principe de l'echange des stabilites nIre peut pas etre appliqu6e a ce cas sans modification.

La condition de stabilite peut etre presentee sous deux fbrmes differentes. Soit U

1'6nergie potentielle de la masse fluide (ou plutot ce que M. DARWIN appelle l'energie

perdue), o. la vitesse (de rotationr, J le moment d'inertie. La quantite

U + 3 oJ

doit 6tre minimum, wo etant regacrde commnce donne. La condition est necessaire et suffisante pour la stabilite seculaire, si on suppose

que la masse est entralnee par frottement par un axe de rotation qui la traverse de

part en part commne dans les experiences de PLATEAU. Elle est suffisante, mais elle

ln'est plus necessaire, si oin suppose que la imasse est isolee danls i'espace (cf. ' Acta,'

pp. 293, 295, 367, 369). Voici la seconde forme. Soit /x =- oJ, le moment de rotation de la masse fluide,

la quantite

2J

devra 6tre minimum, j ed tant regardc comme donne. La condition aussi enoncee est necessaire et suffisante, si on suppose la masse isolee

dans l'espace. Cela pose, considerons la serie des ellipsoides de JACOBI, et d'autre part la serie des

(A 306.) 5.4.1902.



P8)F4PIO'FESStEUlT H. POINCAIVE, ST,J LA S[TAILIfTI) DE

figures pyriformes. Nous aurons uine fig.ure de bifirca,tion qui appartiendra a la fois aux deux series, et que nolus appellerons e Je a,cobien crit ique.

Les figures pyriforme!s in'admettent pas 'e Iplan ies :xy pour plan de sym6trioe; on

dolt dolnlor regarder comme distinctes deux dt e ces fig:ures, synmietriques l'ruie de I'autre

par rapport a ce plant. 1)e sorte que les fig'ures de a Trie priforme sont symetriques (deux 'a deux, a l'exceptionn bien e:tendu du Jacobien critiqu le, qul adlmet e plan dies xy

pour plan de symnetrie. II est clair que p)our ieux figurees symetriques les valeurs de o, de J, et de U sont les mnmes.

L'ensemble des deux series peut etre represernte sche;mactiquement par une droite

representant les ellipsoides de JACOBI, et par une courbe ayanCt cette droite pour axe de

sym trie, et representant les figures pyriformes. Le point d'intersection de la droite et de la courbe represente alois le Jacobien critique, et deux points sym6triques de la courbe re prentsenten deux figures sym6triques.

Cela pos6, si inous suivons la serie des Jacobiens en allant du moins allong6 au plus allonge, nous savons que Ot va en decroissant, ta-ndis que wtJ J= va en croissant.

Si nous suivons la serie pyriforme, il est evident quoe quand nous atteindrons le Jacobien critique, co atteindra, soit un-t minim tlim, soit un maximulm, et il en est de m6me de coJ.

Si nous adoptons le preilier criitere de la stab'ilite fonde sur les minima de la fonction U + lcolJ le principe de l'dchange des stabilites entendu comme il doit l'etre, nous enseigne ceei.

La condition necessaire et suffisante pour la stabilite seculaire, si l'on supposait la masse entrainee par la rotation d'un axe fixe comme dans les experiences de PLATEAU, serait que to soit maximum, c'est-a-dire plus grand pour le Jacobien critique que pour les autres figures pyriformes.

Si o est maximum, on aurait pour unoe valeur donnee de (o superieure au maximumn une seule figure d'equilibre, un Jacobien stable; pour une valeur donnee de co

inferieure au imaximumn on0 en aura trois, unt Jacobieon instable et deux figures

pyriformes stables.

Si au contraire o est miniimum, on-l aurait pour urie valeur dounnee de co superieure au minimum trois figures d'equilibre, dleux pyriformes et instables, et une ellipsoidale et stable; pour une valeur infdrieure au minimum on n'aurait plus qu'une figure

d'equilibre ellipsoYdale et instable.

Si maintenant nous supposons la masse isolee dans l'espace, la condition reste

suffisante, mais elle n'est plus necessaire. Pour avoir uie condition necessaire et

suffisanite, il faut avoir recours au seconid critere fonde sur les minima de U -

Le prinlcipe de I'6change des stabilites nous appren( altors que la condition necessaire

et suffisante de la stabilit6 se6ulaire, c'est que to J soit minimnvum, c'est-=-dire, plus petit pour le Jacobien critique que pour les autres figures pyriformes.

Si o J est miniimum on aura pour uine valeur dolnnee de o) J

33'4



L'RQUILIBRE DES FIGURES PYRIFORMES.

inferieure au minimum : 1 Jacobien stable,

superieure au minimum': 1 Jacobien instable, 2 figures pyriflrmes, stables et

symetriques l'une de l'autre.

Si o J, est maximum on aura pour une valeur donnede de ) J

inferieure au mnaximum : -1 Jacobien stable et 2 figuries pyriformes, instables et

symetriques l'une de i'autre,

superieure au maxinmum: Jacobien instable.

La question 'a resoudre est donc de savoir si 0 J est imaxinLmumn ou minimnum ; mais

elle ne peut 8tre resolue que par un calcul complique. Supposons qu'une masse fluide

hlomnogene en rotation se refroidisse lentement, elle prendra successivement (dans la

premiere hypothese a J minimuml) la forme d'unl ellipsoide de revolution de plus en

plus aplati, puis celle d'un ellipsoide de Jacobi, puis celle d'une poire. Si au contraire on venait a reconnaitre que .o J est maxilimum et non rniiimului,

on devrait conclure que cette masse apres avoir pris la forme de divers ellipsoydes de

revolution, puis de divers ellipsoides de JACOBI, et avoir atteint finalement celle du

Jacobien critique, subira tout h coup une deforimation enorime et une s6rie dloscilla-

tions, par une sorte de catastrophe subite. Diverses raisons contribuent a rendre la preiniere hypothlse bea-rcoup vraisem-

blable; neanmoins jusqu'ici la preuve n'est pas fait;e et je declare tout de suite que

je ne l'apporte pas encore dans le present travail. Mais quelle que soit 'Phypothe'se qui doive triomlpher un1 jourl, je tiens 1 moettre

tout de suite en garde contre les consequences cosmogoniques qu'on pourrait en tirer. Les masses de la nature le sont pas homogenes, et si on reconnaissait que les figures pyriformes sont instables, il pourrait nieanmoins arriver qu'une masse

heterogene fut susceptible de prendre une forme d'equilibre analogue aux figures pyriformes, et qui serait stable. Le contraire pou:rrait d'ailleurs arriver egalement.

A la suite d'une correspondance que j'ai eue avec M. DA:RWIN, nous nous sommes mis l'un et l'autre a etudier la question, et pendant qu'il ecrivait deux memoires sur ce sujet, et que dans l'un de ces memoires il determinait les axes du Jacobien critique.,

j'obtenais des resultats qui sont l'objet du present travail. J'ai forme l'inegalite qui doit etre satisfaite pour qu'il y ait stabilit(, mais je nle l'ai pas traduite en

chiffres, parce que jo me e defie de mon habilete arithlmetique, et queje ne suis pas un

calculateur assez sur. Les notations dont je fais usage different, malheureusement, beaucoup de celles de

M. DARWIN; elles se rapprochent de celles de mon memoire des 'Acta' sans 6tre tout a fait identiques, parce que je rapporte ici, pour plus de symetrie, les coordonnees

elliptiques a l'ellipsoide:

p2 _ 2 -2 = C2

335



PROFESSEUR H. POINCARli SURt LA DSTABILITt DE

et nonl plus a 'ellipsoide

b 0,

comme Ie faisaient LIOUVI:L:LE et LAnMP, et comrlne je l'ai fait moi-rmneme danis le

idnmoire des ' Acta.' (Je suppose de plus cv2 > Vb > a,o au lieu de supposer bs < cO.) Les indices, que j'attribue aux fonctions de JAMME, nte sont pas non plus les ml6mes

que dans les Acta.' Les fbnctions que j'appelle ici i

RE, R,) -) J'4, 5)

s'appelaient dans les Acta':

.R0, rV -t , R /',0, 2,.'/3,o.

C'est la folnction 1R'o, - B5, qui est la plus ilnportante, parce que c'est elle q(ui selt '

d6finir la figure pyriforme; on ]a d csigne q ue]quefois sous le nirom de ' third zonal

harmonic."

Les foiletions 1R sont toiites egales, soit a un: polynlolme elntier el p2, soit a un pareil

polyn6tne multiplie par Funi des trois radicaux

,(p2 -- ), (p- b2), \(p - -c)

soit t unl pareil polylnonie multiplie pal deuix de ces radicaux, soit un pateil polynOlne

m1ulltiplie par ces trois radicaux.

Celles de ces fbnctions qui sont egales 'a uln polynlome eln p` soeront ce que Ilous

appellerons plus loin deso bnctions de LAM: pcires et tuniJbores.

C(alculs Prelimin ires.

Soit

Po a, - C~" Po + (

1'equatio de le'llipsoiide de JACOBI (e bifuircation que j'appelle EO; soient p, ), v les

coor(dolnees elliptiques deduites (le cet ellipsoide ; de sorte que p = po est 'nequation de Ef en coordonntees elliptiques.

L[ In the paper in the 'Acta' there is a slight inconsistency in the notation adopted, for in one part of the paper the first of the double suffixes to the R's denotes the degree of the harmonic, nwhile in another

part it is the second which has that meaning. Thus, for example, R'2,0 is sometimes written t'o,2. Further I do not find that Ro is used explicitly in that paper.

It may be convenient to point out the identities of the R's used here with my notatioin, as used in

"Ellipsoidal Harmonics" and " The pear-shaped Figure of Equilibrium." They are as follows :

R, - = o (v), a constant; R2 = P1" (v); 3 = 2 (r); It4 3 (v); RIt = 3 3 (v)

The identities of the S functions which occur below are:--

81 = O (v)) S) - 3QI),' 3 - 5?2 (v) = 2 - 5j (),v) S, =- 7 (v).--G. H. DARWIN.]

336



L'EQUILIBRE DES FIGURES PYRIJORMES.

On aura: x (pC _ a) (2 -_ a) ( - a2)

(,a2 - _12) (a2 - c2) de m6me pour y- et z.

On en deduit:

idx P (p - 2) (a - -b) (a2 - 2) d'oh'

d'A o_i :d<\2 +4.

td /c,y \2 p - p2) (V - p2) A F p 1 \ip/ V i/ " (p - aC) (p2 - b2) (p - c) '

d'oi pour le carr6 d'un element d'arc quelconque:

ds' -1 A A q,- ?+ -B`1 +- C2dv%,

on B et C sont fo-rms avec / et v cornme .A avec p. II vient alors pour A V l'expression suivante :

l, ( C AdV\ , I AB d V\ AIK. B V = -;-

- - + -7- --w-y-" + -T 'ABUV 1p

B A dpp j d p B (d) (I?V C (dv

Nous designeroins les :fonctions de oLAME par des indl(ces. sR se reduit ulne constante; RL a x/ (p2 - a2); R: et R., sont les deux polynomes

du premiere degre6 en p; Rn est la troisiemne "zonal harmonic." II faut remnarqier

qzue les indices choisis i'e sont pas les mlmes q,ue da)s le mernmoire ldes 'Acta.'

Les fonctions correspondantes S, l, N porteront les monmes indices. R et SP seront les valeurs de Ri et Si pour p = p. Nous introduirons les variables elliptiques 0, 0, . 2 par les equations

dO p ___

(p2 - aI)- (p - b2) (p2 - c"2)

01 et 0, etant forrles avec 1 et v conmme 0 avec p.

II vient alors:

ls- = d iOP + i ,- + d0 ~

oi' l,~ -- 1 1

G- (. _- p2)(~_ p2' _) - ( 2- ,2)' (p-v2) (, -v2)

Formules relatives au Potentiel d'une Sivwle Coiche.

Le potentiel a 1'exterieur aura pout expression

V -iHR?SMN,

les H etant des coefficients quelconques, et a l'interieur

V = IHRS?MN. VOL, CXCVIII. -A 2 X

337



338 PROFESSEUR H. POINCARPE SUR IA STABILIT; IBE

Si nous eonside'ons maintenant les derivees CiVF/dn estimnees suivant la normal.e si nous convenons de representer par des lettres accent1uees les derivees prises par

rapport a 0, il viendra, puisque I d0cIOl/d :-- A l'exterieur

f1 V

e-t a 1'interieur

ILa diflfrene

fi(CRS' - SRiy) IMJN

represente 47r8, 8 etanit la denisl;it de lt la suiple coiulhe, et com)lln

SP - t'S' - 2: + on aulra

47r8 -= 1 (2n 1 ) 1AIM,,N.

Si d(lote de, s,itc a pl , Iell )slsi

2"BMIJ, N

le potentiel t, l sur'face aura pour texpression

aB 2 + -1- - N.

T'orm1-umes rlatives.tC au, tPotcntiel (111e Double cotIch,e.

Le potentiel a I'exterieiur auran pour expression

et 'a I'interieur

VF S IRMN

les coefficients etant differents. ('onaorme lIa dei-nirVc dVT/cIn devra etre continue on aura :

,tISoWN ?.....I: .MN,

Posons H z KFR'0, H-I KSo ; Ia diffrenee entre les deux valeurs de V pour P - Po sera

-: KMN(P 'SQ - SoE'R) - + tKMN(2n + 1).

Ce sera - 4rr8, 8 ctant la densite de la double couche.



ITj'QUJTILIBPIRE DES FT(ITR1ESU PYRTFORMES.

Eneric/ee lde la Siimple Couche.

Cette 6nergie est

dca 6tant l' lement de sulrface.

4-/r Si 8 = B1MN, V =:3 . RS

2.,?. RSI ,

cela fera

27r - .B2 ?S lJ 2N RS[clM ?. 2n 4- 1: J

''

C7ne?gyqie de la Double Couche.

Je ne calculera i ici qu'une portioni de cette t nlerig;e, a savoir l'iltegrale

1j(7rIf/( . ) + ( +i,

etendue a tous les 6elmenits dr de l'espace saut' ceeux qgui sont comrpri)s entre les deux

surjfaces irfi'nimeneit v'isines qg,i constituent la doluble couche. Cette portion est e,gale a

p ,: dV cr.

Si 8 ' _ -BMN 7-. = - B 2 1 . S' M :1NI, 8-0c1d M2 -4- N+1

d) o

2 - 1B2 J R-i S' f Wl'Vo. 2n + I

DfiJnition dc la Poir Ie.

Par les diff6rents points de LO, je mene dies ligneis normales aux ellipsoides homo- focaux a E0; c'est-a-dire des lignes / =- const., v = const., et je les prolonge jjusqu' la rencontre avec la siurface d(e la poire. Soit d((, un. element de surface (le EP et dv Ie

vol0ume engendre par les liglles ainsi menlees pair les lifferents poinfts de do-0, le rapport

ldv/dcro

sera une fonction de g et de v que je pourrai d6velopper en serie (de LAME SOUs la formne:

*dv/do-o = e iliNi. . 2 x 2

339



PROFESSEUR H. POINCARE SUR LA STABILITE DE

Ce sont les coefficients i qui definisse,nt laforme de la poire. Parmi ces coefficients, je remarque:-

1. 7, qui est nul, parce que le volume de la poire est 6gal a celui de E0, ce qui s'ecrit Jdv = 0.

2. 5, qui est du premier ordre.

3. 3 et ,, qui sont du second ordre.

4. Les autres e, qui sont du second ordre, si la fonction Mi est paire, uniforme, et

d'ordre superieur; et n6gligeables dans le cas contraire.

Assez frequemment, et quand il n'oen pourra r6sulter aucune confusion, je sup- primerai l'indice 0 et j'ecrilrai sitmplement do- et dv/da au lietu (ce do-0 et dv/dcr0.

Definition de la Simple Couche C.

Je considere la couche attirante forme6e par tous les petits volumes dv, et sitiuee

par consequent entre la surface de la poire et celle de E0,. Je suppose que l'on concentre toute la masse attirante situee dans cette couche sur la surface de E ; nous aurons ainsi une simple couche attirante, la densite de la matiere sur l'element da-

etant pr6cisement dr/dor. L'attraction de cette simple couche, que j'appelle S, est t tres peu pres egale a celle

de la couche C. Je puis considerer l'attraction due ' la couche C mooins 'Fattraction due ' la

couche S; elle peut etre consideree comnme due ' une matiere attirante en partie positive et en partie negative; c'est ce que j'appellerai la matiere !, comprenant la couche C prise positivement et la couche S changee de signe.

Cclcutl dc Potentiel.

Le potentiel V pourra etre de6composee en trois parties:

v- oi V1 + pVo.+ ,

V1 potentiel de o ; VF de ; VC de Xt. Voici quelle est l'expression analytique de V, et de V2.

Pour V, :-

t l'exterieur de Eo V - A1,S1MIN, + A3S,M,N + A1S4JiM11,

a l'interieur de EL'

V == A1R,MAi + A'3R,3,N + A',J4M4 + A'. +

340



L'IQUIILIBRE DES FIGURES PYRIFORMES.

les A et les A' etant des coefficients constants et II le premier memlbre de

1'equation de Eo.

Rappelons que Vt est continue ainsi que ses derivees du premier ordre; d'ot l'on

peut conclure d'abord

AlS1f) A 1A' , A ,S'a.? =A : AR,, , --0 All R.

Je puis poser de inOlme:

y, + z= BI11 MiNt + BI-^ , + I sB 3 + ?N -R14N4M + 3o01

et j'aurai entre les coefficients 13 et A' les relations suivantes:

A3' + wO,21P3 11= A + i 2B = 0

BoAJ = 4; Ao'AI -- A = -4,r; A0'+ -rBo 0.

Quant a V nous aurons:

a 1'exterieur (de E V 2n + 1 iR?SiMiNiV

47r \ l'interieur de E0 V 2- = + : RiSi MiNi

Calcul de 1'Energie.

L'energie totale comprend:- 1. L'energie due a l attraction de Eo sur lIti-mnme.

2. L'energie due au moment d'inertie de E). Ces deux parties ensemble forment Wo. 3. L'energie de Eo par rapport a Z (plus l'energie de rotation). Cette somme

est inulle, car elle est du premier ordre par rapport aux $i, et les terlmes du premier ordre doivent disparaitre puisque E( est une figure d'equilibre.

4. L'energie de pcar rapport a luti-m6llme, qui est, d'apres le memoire des ' Acta,'

p. 318:

2r X -'i f- .

?S?i, n,- Ml2Ndo-. 2?t L I _J

5. LUnergie de Eo par -rapport a4 t, plus l'energie de rotation de f i; on en connalt

les termes du premier ordre, qui sont nuls; ceux du second ordre, qui d'apres le

memoire des ' Acta,' p. 317, sont

- 27r-sR2 so doS2

mais il faut pousser le calcul plus loin; soit done

J [l + Iwo' (yO + 7')] dr,

341



PROFESSEUR H. POINCARI,f SUEi A STA BILITE D

ette 6nergie, oi dcr repr6sente 'ele6ment t de volume de j:, de sorte que

dt = dO d01 dl 2/ - (k- p2 ) (p - ) (V- 2)

Soit drO0 un 61lment de la surface de o d lme oespoda de l, d- 1 n corespon t d surface d'un ellipsoide E homofocal a E0 (je considere deux (1eements colnime correspondants

quand ils ont nm6rmes coordoniees elliptiques /- et ,). Soit dX tn e1lement d ae la courbe . e- const., v -- const., cornpris entre deux

ellipsoides E et E' infininent voisins et homlofocaux t EI 0; nous aurons

dTr cXdar . .-.l

D'autre part Ida- lo dcr0, oh

(p - l,2)2 (p - y2)2 ' (Po (p)

Si nous posons L[ + 2-o (y + )i j a

(10 du X = j (Poc 0 i ."i (p3 -2 ) (p2 -A y) 10

et que nous considerions un instant 1) conmmne fonetionl de u ; nlouis I TemaIrquerons d'abord

que dr -= d(u dcro.

Developpons P par la fornmule (de MAoLA-i IN :

: : dp- l i o ( -

,-' (. P = I O X'i'tt + . .:

II va sans dire que la variable auxiliaire u a eie tl dfinie de f:acoln t "s'annuler pour

p = po, et que dans P et ses derivees on a fait p p,. .Notre variable u variera done de 0 a dcv/do- quand on passera de la surface de .0 ia celle de la poire.

Alors nous avons pour la portion de 1nelergie envisagee:

rj,d d 7 l 1Z y+> L"v 1 I Cv- /' * \ 7 i i I"' 1 \ 1 ; ^3 / CP \d 4,

V\cPuda-o - P6- (v ? 1P cia-0 + of?2 <I da,- + <j- (7- )d--, <d-) d Cia cTo +ci'J lo-,' 0 , Co0 , . 0, Or}

Le premier terme est nu] (puisque fdcv = 0), le second lnoUfi dolnnterait Ie termll dui

second ordre -- 27TrtÊ ^~j'Pu2i2"SY,

dont j'ai d6ja donne l'expression d'apres le m6emoire (les ' Acta.'

Le troisiemne va nous donrner des termes en 2,, e,t le (.uatriemle un terme en /. Je coimmuence par rechercher les derivees de 1) par rapport a u, en fonction des

d6rivees dp/dO, cd2p/dO".

342



TIEQUILIBRE DES FIGURES PYRIFORPIES.

Oi ''-l (1P (I.P (ri (,P, ( 0 ,On a (P,- , (1car ,- pour p Pd,

-IlP +P d0 d1 /-d (10 J dpe' ' (Id,1, (.t/,

(1p _P (dp d,400 J-11 (p (VIO d,^p- 31\

(I (ii ( U! JO d0 id J (d

Tout ce que je, veux r etenir pour Ie J-omomieint c'est que d0/d.u, d'O/dvla, d13/dall3 sonlt des fonctions de 1/c et de v: symetriques, paires et 'lu,iform'nes (je veux dire par ce

dernier mot qu'elles ne changent pas quand p ou v2 tournent autour des valeurs

singulieres ac , ot, c2). Leur developpement en series de LAMTI: ne contiendra lone

que des foncetions de LAMEI paires et uniformes. II eol sera de marne pour dp/cltd,

cp/diz2, cdip/cdz3 qui entrent dans les formules:

(I1P d dp d (1 d-(p ? &c"/p . . . (is). = d d ; d ; (1? dp (P + d1 I 51 ( ?G! i ( " b, {

Nous supposoins bien entendu daus les f'ormules (1) et (I 6is) qu'on remiplace partout

p par p ct la fin du calcul. Une autre difficulte provient de ce quoe P n-'a pa.s la mmone expressioln analytnique a

'interieur on a i'exterieur de E0. Si la couche etait tout entiere a l'iiterlieur de E, (ce qui nIe pourrait avoir lieu que

si on renon9ait a l'hypothebse clv = 0) inous pourrions reduioe P t 1I, a un facteur

constant pres, nous aurions en effeot:

.P = (A., + ooB,1,) RZ,, N111 + (A,O' + -to02Bo)

Ie prlemnier termel se r6duit 't une conlstante qui nt'a p as (e derivees.

11 est aise de voir que ( il dI/dcp se redulit a un terine en p ; de sorte que

(tp (-1 p (. O. dp^P d Up2' 43T

Nos integrales se rdluiraient done, a un facteur constant pre1s, a

fd2I/dv\;31 F p (p2] +W j 12U f /d\4 F dUp dp dfp 6 J Q7p2 p2i )l Po :.. + J c:: i + -k-j

' 3Uip:- \lTr 2 po ,-V + Ph3 UT,. m.Ul] ^ w dI p\^+ J, d?y /pr3"

J'ecris cdc au lieu de do0, en supprimantt lFindice 0, devenu inutile.

Reonarquons que les quantites entre crochets sont les derivees preliere et seconde

de p dp/dit

Remarquons en outre q-ue

l P d 4 7r Po dep (6 dd a '

que dp/du est proportionnel a 1, et par consequent dP/dp et dlH/dp2 \

1/a.

343



PROFESSEUR H. POINCARE SUR LA STABILITE DE

Les termes qui nous interessent sont: 1. Dans (dv/dcr)3 les ternmes 3S,4S : Mi52N5 MNli 3V qui donnent

Scp- J dp? - . (P I,1Nl

II suffira de prendre les fonctions M;I,N qui solt paires et uniformnes, puisque les

developpeiments de M52NAIT, 13diP/dpI n'en contiennent pas d'autres. Si on se borne aux formules precedentes, oil P est regarde comime proportiolnnel 'a IT, nous pourrons poser

0d1 :1

M0 edtant une constante; si nons ddeveloppons alors

Oj (d i P d'"I) MAY Tifl,

en serie de LAME, on aura, pour les termes en question

Malheureusemient toute la masse it n'est p)as l.'interieur dce -, c'est (lone:

/ -2j)t1;! 1

qu'il faudrait developper; et cette expressioln n'est egale t M/, t (I p - iiN,A qiue

pour les points interieurs 'a E(. 2. Dans (dvr/dr)4 le termn 4i e114AM NS ce qui donne

1. 4f (1Pp

14 -.- /?V \ d

f 4 A 4,7^

Nous reviendrons sur tous ces points plus en detail. 6. .L'leergie de E par rapport a f. C'est

6tendu a lf, c'est-a-dire etendu a C en supprimant ensuite les terInes du second degre ; cela fait, puisque

fe7a fi, Vi s- dCr [i^'o d isrm \s d seod2e 3' J JVdr do- do- =+ {}jJ c +- J du" dcr

cela fiait, (lis-je, puisqu'on doit suppriimier les termes du second degre :

jd-- (:j-:,) dcr + * - (1 7'12 ) . * 6 " J dua\<J ul\

344



I.ElQUILIPiE D1S FIGURES PY1ITFORMES.

Les derivees d V2/dCu, etc., se calculeraient comme cdP/ld, etc., et on y ferait a la fin du calcul p = P0.

Le rns ter es qu i nou intessent sont:

lans (dv/dro)2 S12$iVMf,N5,MiNi et IL23fM1jN52 ;

dans (dv/dal)3 l3 53M/53N53

Quant a V2 nous devons distilnguer le cas oi ft est interieur 'a Ao, et celui oil a est exterieur a Eo.

Dans le premier cas les termes interessants sont:

lJ 4

dO'

+ ?S 52 N52lSN.i'RSK d0a C - F d0 d 7

+ , 4 - 657 [dS, l5- + RL'S, ( )0

do-.

Dans le second cas ils deviennent:

t | - f52M52N52AMWNiJS' 2 du

12 X f 1 1- ZI`l M 2-A2MA'lji i t /o 7 m+1 dO

+-6 ft 4 5 4jn 7 c/M + R5 5 (c )] c]o.

Si j1 est en partie exterieure et en partie interieure a F0 il faudra employer une formule mixte.

7. L'energie de 1i par rapport a id. Pour l'obtenir il faut calculer le potentiel de Sd et d'abord revenir sur l'6etude cdu

potentie] d'une double couche.: Consonsideros une double couche trs mince, mais non infiniment mince. Elle se

compose de deux surfaces attirantes, S et Z', tres pen differentes l'une de l'autre. Je considere une serie de courbes que j'appelle C, de fagon que par chaque point de

l'espace passe une courbe C et une seule. Ordinairement on prend pour les courbes C les normales t S. Dans les applications qui vont suivre, je prendrai les courbes L = const., v = const.

Deux points de Z et de 2', se trouvant sur une meme courbe C, sont dits corre-

* Je prie le lecteur de bien remarquer que pendant quelques pages, et jusqu'a nouvel aveortissement, beaucoup de lettres i'ollt plus la mnme signification que dans ce qui precede et dans ce qui suit.

VOL. CXCVIII.-A. 2 Y

345



PRIOFESSEURt H. POINCAIRE SUtI LA STABIILITE DE

sp/ondaints. I'hypothese qui sert de definition la1 double couche, c'est que les nmasses attirantes qui se trouvent sur un element de S et sur 1'616elent correspondant de S' sont 6gales et de signe contraire.

Cela pose soit M un point de M, ' le point corresponddant de /', soient V et V' le

potentiel de la double couche en M et en M'. I1 s'agit d'evaluer la difference V- V'.

1. Dans le cas oi la double couche est infiniment mnince, on a par un thior"eme bien

connu: V - V' = 47r . MM'. cos y

8 etant la densit6 de la matiere au point M, VMMi' la distance des deux points

correspondants M et M', y l'angle de la courbe C avec la normale a >.

Je rappelle d'ailleurs que si la courbe C est normale aux deux surfaces, c'est-t-dire

si y = 0, la derivee normale d V/dn est continue, merme quand on franchit la double

couche; et que par consequent cette derivee a m6mee valeur a des infiniment petits

pres en deg a des deux surfaces, et au dela des deux surfaces.

2. Supposons maintenant que la double couche soit tres mince, miais non infini-

ment mince. Nous la decomposerons en une infinit6 de doubles couches infiniment

minces. Pour cela entre Z et 2' nous felons passer une infinite de surfaces

S, ,, . . . ,, t (n trts grand). Soit E uni elment de X, et E, E, .. . , , E'les 1eements correspondants de S,, s, ? . ? , . S Nous avons sur E une masse / et

sur E' une masse - /. Plagons sur E, une masse - - et une masse /x qui se

detruiront; faisons de menme pour E., E3, E,,. Associons la masse - 3 de EA

avec la masse p de E, faisons de m6me pour tous les autres elements de E, ious

obtiendronls une double couche formee par les deux surfaces S et :S; je l'appelle K1. De meme en combinlant la masse - tt de E, avec la imasse H de E,, j'aurai une seconde

double couche que j'appelle IK, et ainsi de suite jusqu'i la double couche K, due aux

masses - p de E,, et p de A,,_,, et a la double couche K,1,, due aux masses - pk de 2E'

et p. de E,,. La double couche proposee est done remplacee par n + 1 doubles couches ele-

men taires. Soit alors v et v' les potentiels aux points M. et M' d'une double couche elemen-

taire K; soient P et P' les points ou la courbe C qui joint M 'a M' perce les deux

surfaces de cette double couche elementaire K . Soient w et w' les potentiels de K

aux points P et P'. Soit ll un element de la ligne C, et dv/dl la derivee du

potentiel de K le long de cette ligne, nous aurons:

w - w = 47Tr . PP' cos 7y,

81 etant la densite au point P et yl l'angle de C avec la lnormale

v - w = -- Ic7 dl, w - v = - - dlcj7 J 7 pi di

346(



IJ'IQUILIBRE DES FIGURES PYRIFORMES.

Je puis done ecrire :

v -q v = 47I81PP' cos y -j dl dZ M dl

parce que l'arc PP' est tres petit par rapport 'a MIM', a la corndition d'attribuer sur cet arc a dv/dl la m6me valeur qu'au point P en dehors de la double couche. On peut observer que si d-r est un ele6nent de la surface 6, d-(r 1' element correspondant de la surface k laquelle appartient P, on aura:

8dr- = dcr.o

Nous pouvons done ecrire

V = v, v' = v

ci'ooid

V - V' = 47rr8PP'cos y c - J' dl.

Le premier terme est de l'ordre de ZPP' = Mi. Le second est de l'ordre de

(MM7i'); car dr/dl est de l'ordre de PP' et dv

de l'ordre de XPP' = MM'. Nous

pousserons l'approximation jusqu'a (MM')2. Si comme nous le supposons la courbe C est normnale a S, l'angle y, sera de l'ordre de MM'; nous pourrons done remplacer cos y par 1, l'erreur commise sur V- V' sera de l'ordre de (AMM)3. Maintenant

cl sera sensiblement constant et egal a d V/dn, c'est-a-dire k la derivee de V estim6e

suivant la normale au point MW et du c6te exterieur a la double couiche comprise entre les deux surfaces S et 2'.

Appliquons cela h l'revaluation du potentiel de fR, et pour cela revenons encore a notre double couche ZS'; soit M" un point de C compris entre M et M'; soit v" le potentiel de la double couche elementaire K au point M", V" =" 'v" le potentiel de la double couche totale.

Supposons d'abord que M" soit entre P' et M', nous aurons:

f dv -' V - W=- ---dl; w' - V" =- - d-l dl Jp/ dl

M~~~dl?Ildv d' oil :

v - = 4 P7rSlP/ cos y7 --~ c .

Si M" est entre M et P, nous aurons simplement :

[M" cidv v - Vt/ - - f .

Nous aurons done encore

V - V" = 4,r5ZPP'cosy, - -J dl, 2 Y 2

347



PPROFESSETTR, IT. PO1NCGARt SUR LA STABIPILIT'V` DE

mais avec cette condition que dlans le premier terl-e dui second muembre la sommation ne doit otre etendue qu'aux doubles couches el6mentaires comprises entre Ml et M". On aura comlne plus haut:

dv - dV Z,i = ';,a' cosyi .

D'autre part: da- AML F d IT

c('oi.u nous tirerons

-r1"~ F- A^J Vd 7 dV v - V " 4w, . -1M + 2b77,... L-- - - L-7 - -1 M?M .

Nous poserons d'ailleurs

doa- c(cr'

de fagon que k soit fini, et que d1V

V- V" = 4r8 . M " + 2,ff8(llv"1)2 -

'17 lM"

Si ]e point .VP' est an del'a de M', on aura

V - V"- = 4 Mr1M' + 27rk,8(1/;S 1 /) - Z 7/MT

et s'il est en de9.a de :

dV' .- v -

(ela pose, partageols la couche 7, qui est comprise entre la surface de E0 et celle de

la poire, en couches infiniment minces par une seri-e de surfaces tr'es rapprochees, que

j'appelle A0, A1, A , ., A,,; A0 coincidera avec E0 et Ai, avec la surface de la

poire. J'appelle Cp 1a couche comprise entre Ap et Af,. Je suppose que l'on concentre

ta nmasse de Op sur EO en suivant les lignes A, v = const., qui jouent ici le role (ue

jouaient tout a I'heure les courbes C. J'appelle l, la simple couche ainsi obtenue.

Alors S est la somme de toutes les simples couches 2,. L'attraction de C,, mloins celle de S, est l'attraction d'une double couche D),, et il est clair que ifl est 6quivalent i l'ensemble de ces doubles couches.

Soit v le pote:ntiel due a i'lune des doubles couches D,p soit ,p Ia densit6 de 2

en un point iI de ; soit JP unl point de Ap et -ll" un point quelconque de fl, M1

un point de la surface (le la poire. Les quatre poinfts M, )P, i' et M'" sont suppose situes sur une mneme courbe p., v = const. Si alors v et v" sont les valeurs de v en

A/l et en em1'", nous aurons:

v- v" 4v8rIluM" + 2Trk, ',.M) d' A ir

)48 0 4 86



TIjfEQTILTIBRE DES FIGURES PYRIFORMEI,S. 349

si M" est entre 2I et P; et -v

v - ''/ = 4vr,1MP + 2ru7A(MP)2 - 2 MM"

si P est entre MA et M'" Soit V = Xv et V" = :'v" les valeurs du potentiel de fi en Mll et en M", nous

aurons: iTv

V - V" = 4 T[X'8,MM/" + Z"p MP] + 27T/k r[.'((MM")2 + "8(M)-P)2- -- MV."

Nous remarquerons dans les parentheses du second membre deux signes de sommation differents X' et l"; le premier X' s'etendra a toutes les doubles couches

situees entre M" et la poire, Ie second 5" 'a toutes les doubles couches situees entre M" et 1'ellipsoide E0. Nous conserverons le signe X pour les sommations etendues 4

toutes les doubles couches. Posons alors MP = 1, de sorte que -- 8,dr qui represente la masse de la partie de la

couche Cp qui correspond 1' le'ment do- sera do-pdl, d-,p etant 1'el6ment de Ap qui correspond a dcr; or

cdai do- 1

_-L =

1c 1 d Oil , - , = 1 +

7 / - k1 ld o1, d'o- + ki V

d'oh enfin a= ( --(1-k) dl.

Z'S3 . MM = MM" .[(r7-(MM)' - AM') - (I(MMJ) ) /M )]

MIP = ^(n(M")3 - 2A 3

8"(MP) = k(M f ")'- I(MM1"):

et si nous posons un instant pour abreger

IMM' = E, 1MMI" il viendra:

V - " 4 ( - V 4 - ? + 4 + 4w7 (E E 13 - 14 ) + 42 k 2 ( - E)

- .1c_3 - dV,

ou

v - v" = 4r (i - E) + 24 (4 -3 _ - + 4E) - 4 7.

L'energie de Jtf sur 4ft, sera representee par l'integrale:

( V" - V) dr,

6tendue a tous les elenents dr de C.



PROFESSEUR H. POINCARPI SUIR LA STAPILITT DE

Or si par M'" je fais passer l'une de ces surfaces tres peu diffrentes de :, et qui me servaient tout a l'heure a definir mes doubles couches, si j'appelle dsT" i'element de cette surface correspondant a da-, nous aurons:

dr -= d"dJdIM"l = f dard et

do" =- do-(l - ).

L'integrale a chercher est done:

I [ Y2~ , 1Y (" ~I fdo-d [2v (E - ) + rr (4E - 2 - 3) (- 2 (E - ( ) +

2 T1.

et elle doit etre prise par rapport a, entre 0 et ;e on trouve ainsi

VTICE- + 1 ce

Poitr rendre la formule comparable t celles qui precldent ii faut exprimer E e t k en fonctions de dv/dcr et de do-/du, d0/du, etc.

Nous avons d'abord

dv f = dr- d (1 - k ) d - -- 2,

d'ou\: dv j,dv> 3d'v \t

+ 'k ) 3k E d oT d ' 2d +

j

et pour lintegrale de l'energie:

f - /^ (j\3 ? i /( (/4 V((1 )2! dcr- tr C, + 3 4t --

t

Observons que le calcul a ete fait dans l'hypothbse oiu la surface de la poire est exterieure a celle de E0. Dans i'hypothese contraire, il faudrait changer le signe des deux premiers termes et ecrire

'dv; _ 3 1 /d\4 71/d\

I1J3 Y

3 L cl- 3 r est/ . a u n l4a drJo

II1 reste a calculer k. Reprenons la lettre I dcans son sens primitif, de sorte que

1 _ .

(p2 )(p2 2) -) (o

_

- )(po ) ( - 2

dO 1P d _ l e du) l

I350



L'lEQUILIBRE DES FIGURES PYRIFORMES.

Nous savons que k est defini par la relation

si nous reprenons les notations employees plus haut, nous devrons ecrire ut au lieu de L dcr au lieu de de r" et dro- au lieu de do-, et notre relation deviendra

- -= - ku ; or -, d%a,, da, I

onl a done : // -- (J," ^20 _ W1d lP d+ d(i, 21 du

et enfin, puisque sur E on a 1 = 10 ], ci20>/

k: ] =+

Cela pose, dans notre integrale les termles qui nous interess1ent seont:- 1. Dans (dv/dro-)3 les termes 3 s 2 tei Mi_N i. 2N MliN 1o, qui donnent:

:27r M52 N MM552M17N. 13dMO

(j'ecris do- en supprimanmt 'indice 0 devenu inutile). 2. Dans (dv/dco-)4 le tetrme 5 ,i Mi4l NiV qui dorne :

+ ]A 7T54 (dV IM34 N54do.

3. Enfin dans (dv/ldo-) dVT7/d le ternie interessant se calculera en supposant tous les f nuls sauf :5.

C'est la portion de 1'6e lrgie de la double coucle cue nous avons calculee au debut de ce travail; nous 1'av-ois done qu' a appliquer la formule etablie a-u debut.

D'apres cette formule, si 8 = S B JIN est la densite de la double couche, cette

portion de l'energie sera:

_ 27r-' 2: ';~ l + 1J Ic

Mais ici

s= 2 (- _ 0lf) 21 li535 J5

Si done 12M5N- = fi8MN

alors la portion cherchee de l'erlergie sera:

1 . ,r/3i'S' (, >M2N2d- . r2 5 ~" 2ni + lJ

* Je puis done ici reprendre toutes les notations du debut (le ce travail, et que j'avais abandonnees

momentairement, ainsi qu'il est explique dans la note de la page 345. On observera que k est une constante genlralement negative.

351



PROFESSEUR H. POINCARt, SUR LA STABILITE DE

Unification des Fo-rmules.

Une difficulte provient de ce que quelques-unes des formules precedentes out une folrme analytique differente suivant que 1'ele6ment do- de la surface de Eo est au-dessous ou au-dessus de la poire. II est permis toutefois de prevoir qu'il doit y avoir cor- pensation, et que darns la formule finale nous retomberons toujours sur la mleme forime analytique. II reste a voir comment se fait cette compensation.

Les ternmes d'oiu provient la difficulte sont (outre ceux dus at l'actionr de df sur

) :- 1. L'energie de Eo sur 1 t dont l'expression est:

dv d,H / dv 2 1f /dfvdj , I dl /dv o- do

t c d 6 J d I2,/2 do- +\2 J c o-

,

2. L'energie de : sur tJ dont l'expression est:

lt ( V ) +1 i 72 (7 ) 7 V . - J clu \da-l b J /du \da-

J'olserve que V1, d VI/du, V2 sonlt continlus quand onl franchit la surfiace de JF0o et

qu'il n est de meme de P - V, = o (Y + z)

et de toutes ses derivees. Si donc j'appelle

D , D V, DJ, D ^ du2^ ' T2dn ' clf ' ccW17N

les sauts brusques subis par d2 Vl/du2 quand on] franchit cette surface, du dedans au

dehors, la difference entre les deux formules qu'il s'agit de comparer se-ra:

1 I/(v \4 dV d I V f cv\D 7 -1 ' 6

|

([- ]) D 1 2l 1-- da (C7V ?s -Iv -\ da J\dal d- l2. o

J \cd (lo-

pour l'action de Eo sur et, et

id- - D - dcr + I- D c7 o - riC

pour l'action de ; sur jtt.

Calcul de D J

Nous nous servirons pour ce calcul de '6equation suivante :-

D^V1 = 4=,

puisque A V1 = 0 a l'exterieur, et - 47r a l'interieur,

352



L'1TQUILIBRE DES FIGURES PYRIFORMES. 353

Or si nous nous rappeions l'expression de A VF et que le D de cl V/djl, cd21 /d22, d Vj/dv, d2 Vlj/dv est nul ; ainsi que celui de c V,/dcp, il vient:

AB A. DV- D ,p D, dp 2

' dp -A- C0P A- PI d'o-h

D - 1_ A DA V,1 - 4 rA. d/ps

Done Dr _-P D--- -- D-

--

4:rAV (J VI 4r- ct! dt2 dp v, (Ip' (d i2( c/n2 dp \dT/Id dp \du

ds V Calcul de D -

d3p V17~dW

Calculons d'abord D -t ; pour cela nous nous servirons de: dp3

D) -^- 0. dp

Si nous observons que:

cl 2, )d V/ 1 2 P 0(/ =DD --D, = J --

cd/Y dp dL/p dIpY.ldp

et de ineme pour les derivees correspondantes par rapport a v, je puis ecrire:

dA V D r 1 d (BC,dVl d) dp - /p lABOC (p \ A dp j

Mais dailleurs on a I

Adp (-- d

du - 1 1'0 ? I

BC-=H-

H etant indepenldant de p; nous pouvons done ecrire:

BCd - D _d II d V 1 d (d I, d ., d l) _ . -

d V 0 A dp A C O ' ABCdp\ A cdp H cue 1/2 c/,, c0 t/", \/2/d4

d"I 7

=- 0 -

O D i 02Dj . D 3 /c/ 27 dC~ -- c1,2, ~dw2 ,/ ' 1.~ d, L'It -jt2-

d'oh enfin:

) --

7- 4r = + l167rk dqt3 Mv/,

VOL. CXCVIII.-A. 2 z



354 PROFESSEIUR H. POINCARf SITR LA STABILITE DE

Calcul de D . du1b

D'apres la propriete fondamentale des surfaces attirantes, on a:

D 4v -_7 q dt

4 -- dV 4r du d

Calcul de D d2 V

Pour ce calcul nous nous servirons de

O-D^ Dr - [ 1 d (IBCdC ' 2D d dV2 0 DA VY, =L D A - D - (d/)

I dav2 sa 2d/ _ o 12 du2 /3du dcu

d'oti enfin, d2 -V dv 2dl dv

D - - 24r - -_- _T' 8 dut2 dc- Id da-

En resume la difference entre les deux fornmules qu'il s'agit d'identifielr sera :-

1. Pour I'action de E sur

if /Â3 \3 7t? V . d 1 f/(lv \St-t3 7 <> f I4qP \t) 2 fyM \4d -LYdv- \oDd3J 1 id ?z(-d do- + -

- [ ; ro" + j-k V o.

dc-I d3 c/- c/v3 2 4 3 3

2. Pour ]'actionl de Z sur tfi

2-(-) 1D - a c + -

J(r-) D -]2 do- 2r - - )

d -r (k c ) do-.

3. Pour l'action de fI siur

Fcr "I -2 77/@\'' 1 - /4\+ dvlr [d lr -/ d

l K21 \F - K dV/(d ' \

f do L, ,k (L) + d\d J 6c-r \-do/ din l I]j

-A'rr f()d - + r j k (dv-.d

soit au total zero.

Nous pourrons done employer indiff6remment l'une ou l'autre formule sans nous

inqui6ter de savoir si la poire est au dessus ou au dessous de l'ellipsoide, pourvu que l'on se serve des formules correspondantes pour le calcul de tous les termes.

Nous choisirons desormais l'hypothese interieure.



L'EQUILIBRE DES FIGURES PYRIFORMES.

Groupement des Foirmules.

Nous allons maintenant grouper ensemble les termes de meme forme, afin d'addi- tionner leurs coefficients.

Nous avons d'abord a envisager les termes en li e; le premier que nous trouvons est:--

d pP d ( clp\f 37 [LN,lIdo- - '5 6 J dp, r(IvP dulv, -cf5 ill3d(r.

Nous avons pose cl2P o_ Cdp2~ 2 '

H0 etant une constante. Nous avons d'autre part :-

/p cdp d _ (p" - 0")(p - b"2)(p?2 - c)- (po2 _- - ) (po - _ () l cdn dO dc/ p ( p2 2) (p2 ,

-2) p lo

en designant par f (p) unle fonction de p et par 10 ce que devient I pour p = p. Nous deduisons de la :--

d / dp\ dp G 2/1 dl/cdt f' lf Id l/dcu zd - 'P I ) d: l: , + (P) o

= .4- 2f (p)

et pour p- pO: d ( Lp ff'

dl

Qu'est-ce maintenant que (li/dtu pour p = Po ? On trouve

dl _ dl p _ f(p) dl 12 f(p) dl du'i dp d/t p d(p 1o p /dp

Calculons encore la derivee seconde:

\d' /pI \,2 P du)'

Nous venons de trouver: adl

d dp\ ff'14 2f2 dp du \Pd) p o2 p 12

On trouve de meme : dl l dl'2 Adl

d2(5 ? - d 'ff' fl6> , f 23 1 / 63 d (-dpd 2/3I d c/u,2 10 ciu P(2 P 1)3 1 P2 3i P? 2 i

2z2

355



356 PROFESSEUIR Hi, OINCAREI SULt LA. 8tABILITEr DE

cd / %

.\ PO

/ fdp\ Q 9f\ (I 2f3 r/ cd,l 1

OS OpIIp 7 ' ( + ~(t) l + - j + L K1) + j Po sonp c1 jp P

I)osonls

n i-/ ,; I,- :// -B. p t

^ et 33 seront (1es constantes ldpendanlt seulement de p et faciles a calculer. On aura, pour p = po

noi (p ) + Bll .31

Or nous avoIns pos6 pls haut:

0II ( p il

et nlous avons) tIrotuve que le cozfficielt CtHer'chI' etai-t5a1l % ]t , nous avons pose

11un peu plus loi:--

2X5U-i0'oi =

TJ2tV,. ~l,h~:.

En rapprocha,lnt toutes ces fonrmlules, ous triouvols ---

-qi = ,d3i + ' (Ip

N'ous avons troluv ensuite coirnme termnie eni ; :

4~r v .' M. iSO 2 dO 7 f .M. R5 '5d + 2.. / t 1 .S,: j da .

Si nous observons queo dd/cz se reduit a I pour p = pO, nous trouverons pour le coifficient en question :

Enfin dans 1'energie de fi sur' 1 1 nous a1vonS ecllC(1' un term'e en : (:, (qui a pour

coEfficient:

- 227IrTiN ihN52d =- d - 203..2.

Je preLnds le sigine - parc que j'ai adopte l'hypothese d'apres laquelle !d est interieur 'a Fo.

En re6unissant tous ces termes, je trouve que le coelfficient d6finitif de ^ fj est

/3? jAl + 77 R'585 + T-- 7 R' + 2) + I -p \ 7 2 ît- n J up



I,'EQUILIBRE )ES FIGURES P11YRIFORMES.

Remarquons encore (que nous avons trouve :-

(d- c7p p ldp 4

dp du iP du 1- - 1

Nous pouvons en deduire:

4 fl-- 4 * = 3 At;28p p

Je rappelle que - 7rf n'est autre chose que le volumie de EL. Passons maintenant aux termies en :; le peremier que nous rencontrons a pour

coefficient l'integrale :

f d2P ^ (/1- o d2 c

i/ \l\j jAT

jdp ' d /t an 5cc 24 j( dvd x5 a

Supposons que l'on veuille developper en serie de LAMiE la fonction

p1j1J51 3

et soit k1L31<,3N tr-.lMliJi

les Fi 6tant certains cofficients, qui naturellement d6pendront de p, nous en d6duirons :

II est clair alors que nous aurons pour le seul coefficient qui nous interesse, qui est

-^ , f1M cOX 5M; - A

Ie et qu e njsae dsigneai siplement pa sr :-

P4 l1 14N' ,i -

dp d'p ~dp2 ~L, ap dp d0-.

Cela nous monltre, en rapprochaant de l'expression de j7 lp' , qcue si ous posoins pour abreger:

Il f d 7.t' lIo (41 f3'

(t, = -?8 ? - ; t-48. 24 p dp 48 p p3 /' 48 p2

le co6fficient du terme eonvisage ern C: sera:

dp + cp2

357



PROFESSEUR H. POINCAIREU SUI, LA s,.rABILITE DE

Vient ensuite commele termle en t

I77A 0-E SI34A' (/20 5KS 77 ? j 1j

Pour le calcul deo ce coeifficient, i nous t ulit ci20/idzt , quant a (dOcIt)Y c'est I2. Or nous avons:

dO __ / 2 d2O l 21d p ( dl f d/u I c? (/2f - dC/p u?!" (dp p p

cc qui nous donnfe en d6finitive pour le coefficient cherch6

27 r dr F 2,r 1?" o-,42 ~- _ ? p ,/,' d .... ,Qt, 21 21- prp

EnndanUs ]'en4ergie de If, sur M, nous avons deu li tIes en ' le [premnier a pour coefficient

77 f -F

(je prends le signre -- cause de l'hypothese in.teriertre) et le secondc

1 .- / O-i-" "io

En reunissant tous e'es termnes, nous tL8 ,rou'vons finalement pour le coficient de e' :-

Bi"'" -] [f- ' 1 p i ! i ' 1 /i JQ2J J

+ C '' 2 1

Observons que R"5S - est egal a au ifaeteLur coustant pres AR"5/, qui est egal d'apres 1'equation de LAMrE a un polyn6me conuyti: du second ordre en p2. D'ailleurs

R/S5 est egal au facteur -q pres au IJiS,, qui figure damns l'expression de H0, et cela

parce que le coefficient de stabilite corresponlda-n-dt t RF5 doit s'annuler pour I'ellipsoide 1Eo.

tlcdcul du Moment d'lnertie.

Le calcul de J est plus facile; nous avons en:. effet

J- f(y2 + Z2) Cdr

358



L'I;QUILIBRE DES FIGURES PYRIFORMES.

1'integrale etant dtendue a tous les 6lements (cr de la poire; le moment d'inertie de

l'ellipsoide Eo sera

JO = (Yf + Z2) Cd

1'integrale etant etendue 'a tous les elements dr de lellipsoide, et la diff6rence J - JO sera la m6me integrale 6tendue a tous les 616ments de la couche comprise entre

l'ellipsoide et la poire. Posons

Q y + zQ = 0 + . +

Nous aurons

J ̂ -f J, - (r (QO + < ) cidr - J QO 1 dc- + J {? (dv dcr.

11 nous faut done calculer Qo et dQ/dli, nous avons pos6 plus haut

Q - BR?M[N, + -B3R3M3AN3 + B41,R,4M4,N + 1o nIT.

Pour p = po, II est nul; de sorte que:

QO -1,101,111ON, + B3 ,R,-30MNA, l- B4,R?M,N7,i.

Comme les fonctionis R ne sonlt definies qu'8a un facteur constant pres, nous pouvons

supposer que R - = 1, et que le coefficient de p2 dans R1 et dans R, est egal a 1. On trouve d'autre part:

dQ2 _ C, 9 ^ 2p A )/ - (b) C2 ( ^ 2 - ))l

dp P

(b2 - (b - ) (c _ 2t) (c-b 3 )J

d'ot : dQ -

r b2f (-2 2)( b) (k_ -- C))(v - 2) C t- L(-) (_b c2) (c a 2) (C2 - c 2)) -)aj

Cette expression pent ifcilement se mettre sous la forme:

de-- = CIMLN, + C313N3 + C4iM4,,

oh les C sont des coefficients numeriques faciles a dceterminer. Nous trouvons d'abord:

fQO d do- ==ldo- ( IBli?M1N. +. B3 R3?MA3N + BJR,LO?lM4N4) :fiMiNi

(IV do- 1B 110 l t + 31J3&3 + 4,'', . W3B3 L3 + - 4B4R4 , Qojj = ~,B,1?10nj + ~~-B , 11!30f'3 QOdu'o-h:R0

(car nous savons que C est nul).

359



3(60 PROFESSEURP H. POINCATR]h STUR LA STABILITT1 DE

Passons an calcul de

_dQ dv,

Nous pouvons reduire (dv!/dcr)2 ai termne unique'

Le terme cherche se reduit done a':

2 fi \SiMNii? ( CIM,N + (,,lN, 3 C4M, N) de

c'est-h-dire a:

52 (Cftlll + 73-333 + C0 404)

de sorte que finalemenrt:

J Jo + 3B3R3OS3 + 4tB4'R4Q01 F+ jV5 (QW Jll + C3/333 + 040,44).

Le calcul des coefficients B3R40f3 et B4i,IS?DZ est aise. Si en effet a, bl, cl, sont les trois axes d'lun ellilpsoide, on sait que son moment

d'inertie est: 4vr'

J a= c- bc, (b,2 + e12)

d'ou :

(i 47 2 di, 4\r. / d 4 4T d 1 , ci1= i b c (I 2 + -cj), '1 = 4c ,- ( 1 b- 1 (12 +- 30i )

Si nous ajoutons l'e]llipsoYde une couche infiniment milnce d'epaisseur,

la figure reste ellipsoidalae, mais les trois axes subissent es s accroissements

ot i), Ml 11) N ) (iA = 1,= 2, 3) sont les fbnctions 1, M-:, M, o0i on a1 fait respective- ment:-

Pour i 1 /I -b v p =

P-- Po i

= 2 I

= a z p -

po i = 3 v == 5 p == Po

On voit alors que

B .R i?aa - l'AJ-;A7' IJl2 3 f

J(AM (3)A T3() sEa s o _ (7) w + ^V)^ ^2 (, + _A,tNT,



L'QTTTTULIBI'E DES FTGUIRES PYRIFORITMES.

Dans les derivees dJ/cdal, etc., on a fait .)ien entendu

ai = ,(p( -- aC), b = (po- b2) C = /(Po2 - c2)

On trouverait de mn6me l'expression de ]3B,R4,O.

Conditions de la Stabilite.

Soit U l'energie dTe gravitation de la masse envisagee, J le moiment d'inertie, C3 la vitesse angulaire; l'energie totale sera:-

U + o62J

Soit Co la vitesse angulaire de l'ellipsoide critique E Eet posons:

W= U+? , o2.J

=2 =_ o2 + 2E

notre energie totale sera

W + eJ.

Nous avons trouve plus haut le d6veloppement de W et celui de J jusqu'a l'approximation qui nous convient; nous avons d'abord:

W= W0, ?O + HGO5f + H :f + ?Q4.

Nous avons appris a calculer les coefficients Gi, Ho, et Qi; nous remarquerons: (1) que les G; ne sont autre chose que les co6fficients de stabilite; (2) que &G est nul, et qu'il en est de me'ime de Q5 ainsi que de tous les coefficients Qi qui ne se rapportent

pas a une f'onction de LAME paire et uniforne. Comme HI se compose de deux

parties qui joueront un role assez diff6rent, j'ecrirai:

Ho If + IT',

H = [e + -2217 R15S5] ro + rMl + Ws-. /2 ] dp 5+ E] d 5

2 2n+ 1 ET/ - - 1 !, (1&-1t*'i1; Q v

Nous avons d'autre part:

J = JO + yo + Y3s3 + Yl4g

et nous avons appris plus haut a calculer les coefficients y. On obtiendra les equations qui definissent la poire, en ecrivant que les derivees de

l'energie sont nulles; on trouve ainsi: VOL, CXCVIII.-A, 3 A

3( 1



-PROFESSEUR H. POINCAR1, SUR LA STABILITV, DLE

1. Par la derivee par rapport a 5:

2Io2 + ey,+) Q -i 0

2. Par la dlerive par rapport a o::

2G3," + Q3,2 + EY3= -0

3. Par la derivee par rapport ' a :

2(4, + Q.) + Ey4, = 0

4. Par la derivee par rapport aux autres :ei

2C4) + Q$, - 0

Le rapprochement de ces diverses equations donne:

52 L2HO - t i2 Or E (YO - 2_ _ 0.

La quantite dont il faut determiner le signe, c'est:

WJ c- OJo = O) (J - Jo) + J$0. coo

Or r J j 5

^;Q: __? Q4&4, E4Y4 -1i. + J ) J 5? 2C79 GI' ) ( 2G ) YO 2G 2 2U3 /

Posons alors ,ss _ (2 74=

) - 22G,' 2C

d'ohi Qi2

j; (2? - 2tt' 2Ci

On voit que la quantite dont il faut determiner le signe sera:

(A\J ~~

o T' 1 2 \

2o-, T , 7 o 2,. <

2G ( 2Gi )

II est ais6 de verifier que cette formule (A) est homogene; voici ce que j'entends par lB. Les fonctions de LAMBE -Mi ne sont defilnies qu'" un facteur constant pres, et nos

formules, pour avoir un sens, doivent etre homogenes par rapport a chacun de ces

facteurs constants arbitraires. L'int6grale

est evideinment proportionnelle a la quatrieme npuissance de ce facteur, puisque ce facteur entre egalement dans MI et dans N;.

362



L'fQUILIBRE DES FIGURES PYRIFORMES.

Nous devons done verifier que la formule (A) est liomogSene par rapport 'a ti, et ell particulier par rapport a f25. Pour ecrire, par exemple, qu'une quantit6 (B) est

proportionnelle 'a la a puissance de 0f et ta lNa e puissance de QO, j'ecrirai:

B oc 2i xQ. Je trouve ainsi:

Anf = f3M5N52Mi NT do a

De mAme:

r;; = fl53N s3My 12icrocn^-i

d'oih rid/ 3n2,3

et dFr (Pd~l'

-r - P 3 oc - -p 2 oc .. z ( dp dp(

Oln trouve ensuite :

ii c rn m ccfl ; IT oc, 'Bfi t f a' ; G;i w n,

et enfin

Gi -2H-- 2Hf' l r .

Lies coeflicients appeles plus haut Bi et Ci dains le calul de J senlt proporitionels 'a

~-,1" ce qui donne: yo oc ;PifOi / yi/D oc 1o ;

Y3 W -8423 3 ; y, oc B4,f2qc-Q4 \/f

7i D,i A\

J~d If

i oc f . On etrofiu

1 cc cs 2 D'autre part:

Jo o~i" VIi I F ocJ f cJi ( Oc

et Jo _ 'S_ ' x 1 Jo20? 2G ' 2cG

de sorte que finalement le second membre de d notre firmule (A) est homogene et de

degre 1 par rapport ta : et ne contient pas les autres li. 3 A 2



PIROFESSEUIK H. POINCAIRE SUR LA STABILITI T DE

Determination des Inteqrcales.

Dalls les coefficients et les fornimules qui precedent entrent liverses integrales, et nous devons chercher a les calculer.

1. Les axes de l'ellipsoide Eo 6ttat supposes Cones111, on formera aiseinent les diverses fonctions RP, ce n'est qun'une afftaire de calceul ailgebrique; on a at resoudre

tliverses 6quations algebriques, et ces 6equations soint dIu seco::d (degre pour toutes les

foinctions de LAMEiv d'ordre 0, 1, 2, 3, et pour quelques unes de celles d'ordre 4 et 5. Les foinctions R, etanlt formees, on aura iimin diateinent les valeurIs J?i, qui corr

spondent 'a p = po et aiussi celles des d6riv6es successives Ri, Ri"i, etc.

2. Dans nos 6quations figurent les integrales S ; or le calcul de ces integrales se ramene a celui des int6grales definies:

Po dp _- ? ?

Quelle est la forme de la fonction -, qui figure sous le signe ? Nousallons

l'exprinier en fonctioni de l'argument elliptique 0, et nous elmpioierons la nlotation f et 6 de WEIERSTEASS. Soit

iRi = (iIi'e

Fii etant le produit de 0, 1, 2, ou 3 des facteurs v(p2 a2), /(p -b2), //(p C2) et

I un produit de facteurs de la forme p2- Xk2. Nous poserons :

p a2 = (0) - e(; - 2 6= () - ; p2 - 2 = P (0) - e;

eC + 2 e+ -3 -= 0;

d'ou 2 - (0) a= a - e =b - e = c2 - e3 (a2 + b2 +2).

Nous avons d'ailleurs coimmie on salt:

(o1) = el, (WC) e= 2, ( e) - 6

La valeur zero de 1'argument 0 correspond 'a p = oo, et nous appellerons 00 et Ek, les valeurs qui correspondent a p == p ou a p= X.

Considerons alors la fonction 1/Ri2 comnme une fonction doublement periodique, et

decomposons-la en 61ements simples. Les 6e1ments simples seront:- 1. Un terme constant. 2. Des termes en

S (0 - 01), (0- ), (0- )

provenant des facteurs /(p - a2c), v/(p2 - b2), v/(p2 - C2), qui peuvent exister

dans R:.

364



L'EQUILIBRIE DES FIGURES PYRIFORMES.

3. Des termes en

4(o + C.) - ( ( - E), (0 -K) + (0 + K)

provenant des facteurs p -- Xzj.

Les coefficients de ces divers ternles, sauf le term-le co.nstantt, peuvent se deterniiner

p])a un calcul )lurelment alg6brique. Quant au terme constant, c'est unle foinction line6aire non honiogeine des 4 (Ek), fonction

lin6aire dont les coefficients peuvent se calculer algebriquemient. L'i itegrale irndefiiie contiendra donc des termes en

0, 04(E), 4(0 - )), 4 (0 - 2) 4(0-, ( el) 6(0- eK)

4(0o- e)+ (0 + )

ce qui donnera dans l'integrale definie des termes en

o,; 0o() ; (0o ) - + ) (Wi) = Z (0 - i) + i;

}log ,- -: L -) 5 (4(- EK) - 4(0 + +EK).

Le calcul de Si se ramnene done au calcul de ces diverses quarntit6s. Connaissant Si, on aura immediatement S'i et S"i par les fornul]es

'S - RiS'iS S = 2n + ; RSi - RS"S =- 0.

4. Nous avons ensuite les integrales (loubles:

9Qrz ill Z 2 cI r.

Mj; est un polynome entier connu en P(01) ; Ni2 est le mnleie polyno6me en d(02); nous avons d'ailleurs

Ido: __ d0de2v0 - 1. (-3 - 2) _

0Ld02d'/ - [ (02) - d (01) .

Quant aux limites d'integration, elles sont donn6ees par les equations

C62 > /, > b,2 > v2 > c ,

d'oiu el> (01)> 2> p (02):> 3

ce qui montre qlu'il faut faire varier 01 depuis w, - c3 jusqu'a co + w3 et 02 depuis o-- Co1 jusqu'a 0)3 + a1) le long des cotes convenables du rectangle des periodes.

Les limites etant constantes I'integrale double se ramene a une combinaison

d'integrales simples:

, = y- 1 . [fMdi2o Nj2P (02) d02 - I N cl M f I (01) do1].

365



PROFESSEUR H. POINCARt SUR LA STABILITT DE

Ces integrales simples se calculent d'une faVon tres simple. On peut par un calcul

algebrique decomposer M1Jj2 et eIi2M(0-) en elemtents sinmples, c'est-a-dire, en polynome dont les termes sont des multiples de P(0g) et de ses derivees. Parmi ces termes nous retiendrons seulement le terme constant et le terme eln P(01). Le premier donnera comme integrales cw et )w, le second , et r3 f un facteur numlrique pres.

Le calcul de fi est ainsi ramene a celui des periodes a et r. 5. Nous avons ensuite les integrales

n,if, =? f i M N5M,Nido = - /- 1 . J l21l iN5NifN [P (02) - J (01)]d01d02,.

Ici encore M)~ Mi est un polynome entier en P(0O) et N52 NV est le mInee polynome en P(0_). On a d'ailleurs:

12 ___1__

(po2 2- ) (po2 - v2) F (01) - (0()] [a (02)- (0?)]

Notre integrale double se ramene encore a une comlbinaison d'integrales simples.

= v-

r __At 2N1f1d NOi_A- (0A) (d0_ fa oNI3N,"i0 rf i2Mj(01) (lO1 (Os ld0) Sd ( - -^) (0) -d ( 0,) I 00 ( d (01)) J )- Sd (0)]_

Le calcul se fait de la m6me maniree. Chacune des fonctions sous le signe f doit 6tre decompos6e en elements simples, ces elements sott une constante; p(0O) ou ses

derivees, et enfin:

4(0 + 00) (- ( - 0) - 2 (0o) = (- ) () s~ (01) - PA)

Les coefl-icients de cette decomposition pouvant se calculer algebriquement, l'ilintetgration introduira, outre les periodes w et ,l deux ltranscendaltes nouvelles,

qui seront

44(fi . + log 6 (o1 coi - 03-) 6 )^() + 3 + Oo) 4t0 - 4or(

6 (W3

-- o 00) o +WI01 + 00) -4\ (0o) co, + log . (, '- 0 - 4o) a (: - +3 *, 0));

d(o,3 + WI -o0) (o, - o,, + 0o) o - o -)

qui se ramenent d'ailleurs toutes deux a 00 et 'a (00). 6. Nous avons ensuite l'integrale

pQi

qui est la derivee de la precedente par rapport a p. (Ici p est, bien entendu, pris egal a Po.)

Elle depend des derivees par rapport a p des quatre integrales simples qui figurent dans l'expression ci-dessus de n3i3.

366



TL'IQUILIBRE DES FIGIURES PYRIFORMES.

La derivee de chacune de ces int6grales simples se calcule d'ailleurs aisement. Chacune (le ces int6grales est une somme de produits ou l'un des facteurs est

t, 1 , o)/, )i, O 7;0o~:- i (0o)

et oti l'autre facteur est un coefficient calculable algebriquemett. La derivee de ce coefficient par rapport a po sera ainsi calculable alge6briquemene t,

et quant a la d6rivee du premier facteur elle sera:

o ou c (0o) _ Po i - oi (00)]

, u, u, ou q - Po Po po -\ /{(po 2- ) (po2 - b) (po2 - c2)}'

II ne s'introduit done aucune transcendante nouvelle. 7. Considerons maintenant l'int6grale:

gsr =- liMN15Nv,'dr.

Nous aurons:

14 _ _ ____ : ____

[ P (0) - (0) 12" [ ( O.)- ) (00) ]2 d'o :

I 4cl0 4 rV,4 (02) 02 _ Y14;d00 fJh4 P (0,) dO1 5b v= "J ' [! W - ^ W ())- (0) W ) J f (o )- ( [0) J 0 - P (00)2 J

On opererait toujours de la m6me inaniere en decomposant chaque fonction sous le signe J en elements simples. Les eelments simples seront ici, outre une constante f (01) et ses derivees:

+ ) (0+ - ) - 2 o (0).

L'integration introduira done les memes transcendantes que dans Ie cas de 2Qi,i et en outre (par l'integration du dernier element simple que je viens de citer)

47; - 4(o,P (0,),

ce qui n'est pas une transcendante nouvelle. 7. I1 ne nous reste plus que les int6grales

iP (121 cip ' (cp'

qui sont les derivees de la pr6cedente. En raisonnant commre dans le cas de cl1/3dp, on verrait que ces integrales n'intro-

duisent pas de transcendante nouvelle. Le calcul de ces transcendantes ne peut presenter de difficulte si l'on emploie les

formules de WEIERSTIRASS reunies et mises sous une forme si commode par les soins de

3 67



PROFESSEU.R H. POTNCAlT SUE T STR LA STABPITTIT DE

M. SCHWARZ. On n'a qu'at employer des series trbs convergentes procedant suivant les puissances de la quantite que JACOBI appelle q et WEIERSTRASS /h. D'ailleurs dans le cas de l'ellipsoide Eo, la valeur de q est si petite que l'on pourrait s'arreter au

premier terme. Ainsi dans le calcull de di, de T, de leurs derivees et de Qi, on ne

rencontrera aucun obstacle; car il ne s'introduit qu'unt petit nombre de trans- cendan-tes

CDi? /?3n 7]5 7^ 40()7 9f!

Le calcul ne serait pas tout 'a fait aussi facile pour LS, de sorte que dans ce cas, on

pourrait recourir avec avantage aux delveloppernmets donnes par M. DARWIN a la

fin de son nmemoire " Ellipsoidal Harmonic Asnalysis," et qui procedent suivant la

quantite qu'il appelle /3. Si les axes de l'ellipsoide jacobienx critique so-nt colmm1e 1'a calcule M. DARWIN dans

son second memoire

0'65066; 0'81498; 1'88583

on trouve, sauf erreur de calcul de mna part:

h--= e~ I -=-3^-0.

o0 -= 0'53790; R:3 t X 0'90528;

=- 1-1956; 3 - -- i X 0:9080;

0() 0-27501;

( _) 0-71?640.

No,tuvelle Expression des C onfl,,zitios de Stability(

La determiination de chacmune des integrales -e presente done aucune difficulte, et

le calcul serait en somme facile si ces integrales n'etaient el nombre infini.

.Lappelons le resultat obtenu plus haut. La poire sera stable ou instable, seivant

que l'expression

T+ 2( ie - . - - 2 H T+ w 20391 -02G M4 2 (21

sera positive ou negative. Or1 nous poul\TOns tout de suite remarcluer que parmi les (uantites qui figurent dans

cette expression Y: Jo, Wo2 : Y, 73 y4, G(3G,, H

ne d6ependent que d'ull n lombre fi-li d(l 'intcegrales, tand is que

2Qii et II - iI r

8 368



f,'EQITILTBILE DES FIi(-UIEES IPY'IIIFOI rMES.

dependent d'une infinite d'integrales. Toute la difficulte provient done du calcul de la quantite

z = $-2- 21'. 2 Gi

Heureusement il ne s'agit pas de calculer la valeur exa'cte de cette quantite, mais de reconnaitre si elle satisfait h une certaine inegalite. Pour etudier cette inegalite, il faut que nous mettions en evidence le signe de plusieurs de nos quantites.

Commen?ons par les coefficients de stabilite G;. Si nous suivons la serie des ellipsoides de MACLATTIN, tous ces coefficients sont d'abord negatifs. Le coefficient G, changera de signe, tous les autres restant negatifs, quand nous arriverons a l'ellipsoide de ilfurcation,7 qui est en malne temps uni ellipsoide de MAOiLATT et un

ellipsoide d(e JACOB:I. Mais a plartir de cet ellipsoi'de de bifnr cation, on abanldon-Ino la setrie des ellipsoides de MACILA.U-IN pour suivre celle des Jacobiens.

Pour cette serie le coefficient GQ est egalement negatif, en vertu du principe de

ee'change des stabilites convenablement interprete. Pour les premiers Jacobiens

jusqu'au Jacobien critique, tous les coefficients Gi seront done n6gatifs sauf GQ. Pour le Jacobien critique, tous les G( sont negatifs sauf -,, (1ui est lul, et ^3, (qu est positif.

D)termlinons ensuite le siglne de

y_ So _ yy _ ry_ P)o 2G, 2( C

Je renverrai a mon mermoire du Tome 7 les 'Acta,' et au paragraphe intitul6 Stabilite des Ellipsoides. J'ai explique dlans ce paragraphe que tous les Jacobiens sont stables si l'on assujettit (a' titre de liaison) at figurlo de la masse fluide ' rlester

ellipsoidale, c'est-a-dire si l'on assujettit touls les , a' 6tres nluls saulf t et e. J'ai expose en m6ml e temps la condition de la stabilite, qui avec notre notation

actuelle s'crit

wV- W - - (J- Jo), < 0,

ou commne il s'agit de petites deformnations

wT - W, (J -J0) < 0. " 0

En suplposant tolls les e iuls sauf e3 et 4, et remiplaicant TV- To0 et J - Jl par leurs valeurs, nous troulvons

+o :(/'- + ( -71 - (Y O( Ys } ) G - (Y, ?, + Y,,e)' < 0, oe qui entralne l'inegalite

G(c ... < ) -(' 2Jo; Y14 )> CiJ2 Y

VOL. CXVTIIT.-A, 3 B

3(;9



P' I. 'O)FESSEUt I ' POINNCAU S SUN. I. A STA I-81 r L[T;l DE

CoIImme ctoo , JO, et G3 sont positifs et G,, negatif, li'negalite change de selns quand

on la divise par o G3 G4, ce qui donne

(co q diV o < nneW

on

JO 7/0 0 sr4'

.

. _ ._

,,, ._ .

Ov 2 \. / 2. 2

Oil

:2<,- on enrfin

Y < 0.

Passons t la determiniation de sig'ne d(e T'. Pour cela noius allons envisager le

coifficient G( pour un ellipsoide de JAcoB1 tr~es pen different du Jacobien critique. Soit Ti0 cet ellipsoide, et low +- E la valeur de -o correspondante. Nons pourrons

consider E commed d6finissant l'ellipsoide E'; nous supposons c tres petit. Soit ensnite S une surface pen diff6rente de E0 et de E0'. Soit dar' un 6eeinent de la

surface de o'0, et ' la quantit6 qui joue par rapport a E',) e-t a d(cr' le mneMe r6le que I

par rapport a .E( et 'a (dc. Par les (dffterel-ts points (e do-e ' je Iblle (les courbes

normlales aux ellipsoides bhomofocaux 'a I'o, et je les prolonge jusquc'a leur rencontLre

avec S. Soit dv' le petit volume ainsi form6. Je supposerai que la surfa,ce S ait,

t6e definie de telle sorte que I'on ait

cdv'/ /do- = ,l' f5 1: .

rj etant un coifficient constant tres petit, 1/5i- et `-? les fonctions qui jouent par

rapport a E'o le meme role que M5 et N5 par rapport a AIo. Soit mnaintenant lo- un element de E0, par do- menons des courbes U = const.

v = const. prolongees jusqu'a S, et soit do- le petit volume aimsi engenldre. Nous

poserons dv/da - 2seiMiNi

de sorte que les coefficients e pourront servir a definir la forme de S. II est clair que les ; son-it des fonctions de e et de, , developpables suivant les puissances de e et

de r7. IPour e = 0, l'ellipsoide E'1 se re6duit a JE1, et tons les S'annlullent a 1i'except;on d(le

e5, qui se reduit C r,. Pour 0, l a surface S se reduit a El,' ; alors s3 et , sort des quantit&s (d

premier ordre, e etant regarde conm.e de preimielr ordre, tatndis que les autres $ seront- du deuxieme ordre.

Si (lont e et c7 sont regarldees collane (les cluantiitos (du prenlieri ord-re, d (enl exeluant les valeurs i = 3, 4, 5) sera idu deuxieme ordre, parce qpie tons ses termes conltien-

ldront en facteur soit e&, soit e) ; E 3 et } se re,diroint a ' ' et a , e des qutiantites (lE def

' 7 0



1- 'EQtJ(UILIBIE1E DES FIGU .IES P'Y lFOI .AJES.

pres ldu deuxilme ordre; Mi se reduira a r a des quantites pries du deuxieme ordre.

Nous devons calculer W + eJ. Dans ce qui va suivre, nous negligerons les qiuantites diiu uatrienie odire et enI plus

e3 et E2D. Dans ces conditions nous pouvons nlegliger d'abord tous les monomes du

quatrierne ordre par rapport aux (, et arreter le de6veloppemonellt de W suivant les puissances des s au troisieme ordre inclusivelment. Nous pouvons egalernent negliger les molnmes du troisieme ordre multipli6s par e, et par consequent arr6ter le developpemeint de eJ suivant les puissances (les 5 au deuxieine ordre inclu- sivement.

Nous negligeroIns en: outie: les le (i # 3, 4, 5) qui sont duii quatrielme orldre; les

nionolies du troisieme ordlre eln 3 et e, qui soilt au quatrieme ordre pri's egaux a unI

multiple de c3; les termes en e k j. (i = 3, 4, 5; , j 3, 4, 5), 4 qui sont dui

quatrienme ordre; les termes en ei (i -=5 3, 4, 5), qui pouriraient -figurer dans eJ, parce (qulils contielnenllt E2 en facteur et par colnsequent sonlt, au (quatrieno ordre prls,

oga ux a ui mnultiple de e3 plus uin multiple de e3%.

Dans ces conditions nous devems c-onus server les termles suivLants t

Idancs VW: IV W= To + Gi3,,j + C 2Y + Q()` 3 + Q$5,

dans eJ e- = J y + Ey, e + Ey/3 4- EY4,t,

d'ou :

W + EJ = (VW, + EJO) + G 373' + G + Q3' + Q1.W4 + Eyoe' +Ey? 3 + eY,/,.

Pour r - 0, cette expression se r6eduit a

wu' - (V0O + EJO) + .G:,f,+ cE + EY3 + EYyc +

et ses de6i-ve6s doivenlt s'anlluler, puisque le Jacobienl est unle figure d'equilibre. 01n aura done :

2 (a 3 + EY, = 2 G ,f, + EY7 - 0

d'oth, a des qualtitcs prts de l'ordre d(te c, ou de er ,

= _ , v3 e 7-, - = -- e

Corine o se reduit a it , pIuir e = 0, 0on aura

:'' + 7. j + ',' 4

IV+ EJ= (I, + CeJo) + , + (

[V,,/ = (wV, +W ) - + 3 + (o. 2 3 B 2

:371



3 7 2 O ESSIJR 'S. P01 ONCA1. ; SUE LA ST1A.1B IITIr i, AE

l)autre part, counIte i- joue palr rapporlt ti 1 le nIO 1le 0 (ile par1- rapport ( 1,,

onl aura avec la xnell)c approxnation

IV + cJ- W,+= (/-2

(.;' etant Ie coefficient de stabilite rel atif 1 'ellipso'ide .I, ( et lan tillird zo1 al

lar'monic." O() a1 ura done :

Si nous supposollS que IE'o est plus allonrge que Eo, sera negatif, puisque les vitesses

de rotation vont en dimiiumanlt dans la serie (les Jacobielns. D'ailleurs (G' sera ]ositif,

puisque le coeffieent de stabilite a passe du innegatif a-u positif qualtd oin a francl-i

l'ellipsoide critique. )one T' < 0.

tevelnons a(,ux colnditions (le stabilit6 de la pilre. P'OS(11S

X. = 2H11 + 2' -1 - ,

y () -_ : ; d 7Y,,Y

(O , 2 .,

iNous avojls trouv6

.Z + eT O,

se rapp)ortatt a la poire et non plus t' .E'().

wJ - o0J- -JY (LT)% .zv 1-K < , < O. ], X'Y' ) '-<?' <o.

Pour la stabilit6, il suflit (jue soit inaxi,rnu , c'est-a-ditle( que sit sno. titf; il

,tait et .1 suffit que J soit nli.mtliniu c'est-a-dire' (1ue(:

oJj - o(,/u > 0

Or) < 0, equiva,ut, puisque T est ne6gati.f, a

X<0,

(.'est dlone la une condition stffisnctze de la stalblit6.

Su]pposons rmaintenant X > 0 ; alors 7' serl n6gatif X Y /T positif, et wJ- -(),.J

i(egatif; il y aura done in.stabilite. En resume Ila condition, necessaie et sutlisanite pour l. stabi]ite, c'est qtue

X < o,



L'EQUII.TIBRE DI)ES FIr(}GITPES PYRTFORMES. 373

O!i -2u f-i 2:( J1t + 2 H" -- I- 2-'? < o,

01.~ 3- 1 0 ou

9TJ - i _ . 7r _ , t ?L Tj_ tiZ.- < n. 2 - 5 ~ 2 2, +- - '. Z < 0.

Si 11ous observonls (jue It'i est positift; 'S'i egatifL; es Gi negatifs sauf G, nous

venrolls que tous les ternmes du p)remier membre sont- positif's sauf

21[ et - Q3i/23.

Si done ii y a instabilite, c'est-at-dire si. 'ilegalit6 pg)iec6delte iia? pas lieiu, il suffimla

pour' le constater de calculer Un nomIbre fini de te::nes dtu plrenm ier j:menTbre. Si au

con:-traire ii y a stabilite, on ine pourra s'en (assurer q u'en calcnuliit la som:nm:e des

tellres ])ositifs du1 premier timelmbre qui sollt en t:onibre infini, ou e:n valuant une

linlite superieure de cette somme.



Documents

Sur la Stabilite de l'Equilibre des Figures Pyriformes Affectees par une Masse Fluide en Rotation