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This article was downloaded by: [University of North Texas]On: 09 October 2014, At: 20:26Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registeredoffice: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK
Communications in AlgebraPublication details, including instructions for authors andsubscription information:http://www.tandfonline.com/loi/lagb20
Sur L'anneau De Grothendieck De LaCatégorie Des Modules InstablesLionel Schwartz aa Université Paris-Nord , Villetaneuse, FrancePublished online: 01 Feb 2007.
To cite this article: Lionel Schwartz (2006) Sur L'anneau De Grothendieck De La Catégorie DesModules Instables, Communications in Algebra, 34:5, 1825-1845, DOI: 10.1080/00927870500542804
To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/00927870500542804
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Communications in Algebra®, 34: 1825–1845, 2006Copyright © Taylor & Francis Group, LLCISSN: 0092-7872 print/1532-4125 onlineDOI: 10.1080/00927870500542804
SUR L’ANNEAU DE GROTHENDIECK DE LA CATÉGORIEDES MODULES INSTABLES
Lionel SchwartzUniversité Paris-Nord, Villetaneuse, France
Dans cet article on calcule l’anneau de Grothendieck G0����� de la catégorie ��� desmodules instables sur l’algèbre de Steenrod. On calcule aussi l’anneau G0����/��� il� dela catégorie ������ il , qui est le quotient de ��� par la sous-catégorie des modules instablesnilpotents. Les résultats principaux montrent que la série de Poincaré, ou un substitutadéquat dans le cas de la catégorie quotient, déterminent ces anneaux.
Plus précisement la série de Poincaré détermine un homorphisme canonique de l’anneaude Grothendieck de la catégorie des modules instables de type fini vers l’anneau desséries formelles en une variable. On montre que cet homomorphisme est injectif et oncaractérise les séries formelles représentant un élément de l’image. Pour ce qui est dela catégorie quotient on remplace la série formelle par une fonction de N dans Z qui enest une version stabilisée: à la classe d’un module instable M dans ���/��� il on associela fonction de N dans N qui sur un entier n est égale à la dimension de M2qn pourun entier q assez grand. Si le module est réduit, ce que l’on peut supposer, et de typefini cette quantité est bien définie. Cette fonction se comporte comme un caractère.
Le problème de la catégorie quotient, a déjà été abordé par N. Kuhn dans Kuhn (1994)du point de vue de la “théorie des représentations génériques” des groupes linéaires.Il y donne une description de l’anneau de Grothendieck G0���� � de la catégorie desfoncteurs de la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur le corps F2 dansla la catégorie des espaces vectoriels sur F2. Son résultat vaut en fait pour tout corpsfini. Il décrit cet anneau comme un certain �-anneau universel. Kuhn n’aborde pas lepremier problème. Pour relier son résultat à celui de cet article, il faut utiliser unthéorème de H. W. Henn, J. Lannes et l’auteur (Henn et al., 1993) qui montre qu’ily a une équivalence entre la catégorie des foncteurs analytiques ���� et la catégoriequotient évoquée plus haut.
Dans cet article on s’est placé dans un cadre un peu différent, à savoir dans leprolongement des travaux de V. Franjou et de l’auteur (Franjou et Schwartz, 1990)reliant la théorie des représentations des groupes symétriques et celle des modulesinstables. Cette méthode permet de faire l’économie du théorème de Henn, Lannes etl’auteur, ce qui n’est pas en soi une vertu. Cependant le théorème de Henn et al. (1993)ne restitue pas à partir du résultat de Kuhn, sauf travail supplémentaire, le résultatconcernant les séries de Poincaré. Le travail qui reste à faire est alors essentiellementcelui qui est fait dans cet article. C’est d’abord pour cette raison, qu’au prix de quelquespages supplémentaires, on a préféré suivre Franjou et Schwartz (1990). De plus, il estplus naturel quand on veut travailler directement sur les modules instables d’exploiterles relations avec la théorie des représentations des groupes symétriques; alors que si
Received December 12, 2004; Revised March 8, 2005. Communicated by M. Vigue.Address correspondence to Lionel Schwartz, Université Paris-Nord, Institut Galilée, LAGA,
UMR 7539 du CNRS, Av. J.-B. Clément, Villetaneuse 93430, France; Fax: +33-149-40-3568;E-mail: [email protected]
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on travaille dans la catégorie des foncteurs il est plus naturel d’exploiter celles avecla théorie des représentations des groupes linéaires. L’objet de l’article est doncd’identifier, à partir d’un module instable, les données purement combinatoire permettantde déterminer sa classe dans l’anneau de Grothendieck. Ces données restent masquéesdans la description en terme de �-anneau évoquée plus haut, qui de ce fait reste un peuformelle.
Si les résultats sont établis ici sur le corps F2, ils s’étendent sans difficultés particulières(sauf au prix de notations un tout petit peu plus lourdes) à tout corps fini. Cet exerciceamusant est laissé au lecteur.
Key Words: Grothendieck ring; Symmetric groups; Unstable module.
Mathematics Subject Classification: Primary 55S10; Secondary 19A99, 20B30.
1. INTRODUCTION
Soit � la catégorie des modules instables sur l’algèbre de Steenrod �2.Rappelons qu’un �2-module M est dit instable si pour tout x ∈ M on a Sqi�x� = 0dès que i > �x�, où �x� désigne le degré de l’élément x. Dans toute la suite �2-moduleinstable sera abrégé module instable. Soit G0��� l’anneau de Grothendieck de lacatégorie �. Cet anneau est défini, comme groupe, comme suit:
(a) ���� est le groupe abélien libre engendré par les classes d’isomorphisme de�2-modules de type fini, c’est à dire ayant un nombre fini de générateurs en tantque �2-module. Etant donné un module M de type fini on note �M� sa classedans ����;
(b) � est le sous-groupe engendré par les éléments de la forme �M�− �M ′�− �M ′′�pour toute suite exacte 0 → M ′ → M → M ′′ → 0;
(c) G0��� est alors le groupe quotient ����/�.
La formule de Cartan permet de définir sur le produit tensoriel de deux�2-modules une structure de �2-module. En particulier le produit tensoriel de deuxmodules instables est naturellement un module instable. Le groupe G0��� est doncmuni d’une structure d’anneau.
L’application qui à un module M associe sa série de Poincaré PM�q� est unhomomorphisme d’anneaux de G0��� dans Z��q��. Le premier résultat principal decet article est:
Théorème 1.1. L’homomorphisme G0��� → Z��q�� est injectif.
Ce résultat avait été énoncé dans Schwartz (1994).Soit � il la sous-catégorie pleine de � constituée par les modules instables
nilpotents, c’est-à-dire les modules qui sont limites directes de modules instablesayant une filtration finie dont les quotients sont des suspensions. On considère aussil’anneau de Grothendieck de la catégorie quotient �/� il, soit G0��/� il�. Il estdéfini de manière analogue à ce qui est fait ci-dessus; mais les suites exactes sontprises au sens de la catégorie �/� il, étant entendu que par définition un objet M
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de type fini dans �/� il est l’image par le foncteur oubli d’un module de type finidans �. Ceci est équivalent à dire que M a une série de Jordan-Hölder finie dans�/� il (ce résultat est une conséquence facile de Schwartz, 1994, Chapter 5).
On va identifier cet anneau à un anneau de fonctions. A cette fin introduisonsdes notations. Pour un entier n soit ��n� le nombre de puissances de 2 dansla décomposition 2-adique de n. Etant donnée une famille -supposée croissante-d’entiers impairs k = �k1� � � � � kt�, ou la famille constituée par l’entier 0 on noteraVk pour l’ensemble des entiers de la forme
∑i ki2
ui , la famille des entiers ui étantquelconque. L’entier t sera appelé la longueur de k et noté ��k�, l’entier
∑i ��ki�
sera appelé la longueur 2-adique de k et noté ��k�.Soit �Z le sous-groupe des fonctions de N dans Z satisfaisant aux propriétés
suivantes:
1. �2i� = �i� pour tout i;2. �i� = 0 dès que ��i� est assez grand;3. pour tout k la fonction est constante sur Vk, sauf éventuellement sur
l’intersection de Vk avec une réunion finie de Vl, où soit ��l� < ��k�, soit ��l� =��k� et ��l� < ��k�.
Le sous-groupe � des fonctions de N dans Z satisfaisant aux deux premièrespropriétés peut être muni, grâce aux deux premières conditions, d’une structured’algèbre via le produit de convolution défini pour �� ∈ � par
∗ ��i� = ∑l+k=2hi
�l���k�
pour h assez grand. A cause de la première condtion cette somme est finie, à causede la seconde elle ne dépend pas de h (h assez grand).
Soit k un entier impair et soit �k ∈ � la fonction qui vaut 1 sur les entiers de laforme 2h�2k+ 1�, 0 ailleurs. Soit la sous-algèbre de � engendrée par les �k. Voicile second résultat principal de l’article.
Théorème 1.2. L’anneau de Grothendieck G0��/� il� est isomorphe à la sous-algèbre �Z de �.
Par ailleurs cette sous-algèbre s’identifie à celle constituée par les éléments ∈ �pour lesquels il existe un entier k tel que ∈ .
Voici une version “rationnelle” du résultat.
Proposition 1.3. L’anneau G0��/� il�⊗Q � �Z ⊗Q est isomorphe à une algèbrepolynômiale Q��1� �3� � � � �k� � � � �.
Des versions préliminaires de ces résultats avait été annoncé entre autres auMSRI en 1989.
Comme il a été dit plus haut ce problème a été étudié dans un contextequelque peu différent par Kuhn (1994), celui de ce qu’il appelle “les représentationsgénériques” (Kuhn, 1993). Son résultat identifie l’anneau de Grothendieck G0�� �au -anneau universel en un générateur quotienté par la relation �2 = Id, relationque l’on verra apparaitre dans l’article. En fait le résultat de Kuhn vaut pour tout
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les corps finis. L’équivalence des points de vue entre “représentations génériques”et modules instables modulo les modules nilpotents avait été démontré dans Hennet al. (1993). Ceci étant les théorèmes ci-dessus, sauf la Proposition 1.3, ne dériventpas directement de cette équivalence et du résultat de Kuhn. Ils nécessitent latechnologie de Schwartz (1994) et Franjou et Schwartz (1990). De plus les invariantsintroduits sont spécifiques aux modules instables, leur interprétation en termes dereprésentations (génériques ou non) demeure mystérieuse.
Le plan de l’article suit.Dans la seconde section on rappelle les prérequis sur les modules instables:
modules libres, réduits et nilpotents et le fait (Massey–Peterson) que la catégorie estlocalement noethérienne, on renvoie à Steenrod et Epstein (1962) et Schwartz (1994)pour les détails et les références.
Dans la troisième on commence par une remarque sur le noyau G0��� →G0��/� il� et la structure de l’anneau gradué associé à la filtration de G0��� parles puissances de cet idéal. Puis on montre comment associer à la classe dans �/� ild’un module instable M une fonction sur les entiers qui joue le rôle d’un caractère.Cette fonction associe à un entier k la dimension comme espace vectoriel de lacolimite Mk suivante:
· · · −→ M2qk Sq2qk
−−−−→ M2q+1k −→ · · · �Ces fonctions ont deux propriétés remarquables: elles prennent la même valeur
en k et 2k pour tout entier k, de plus elles sont nulles sur les entiers d dès que��d� est assez grand. Elles se comportent bien pour la somme et le produit deconvolution évoqué plus haut. On énonce alors (Théorème 3.9) le fait qu’ellesdéterminent la classe de l’objet dans l’anneau de Grothendieck. Plus précisementl’homomorphisme d’anneau qui à un élément de G0��/� il� associe la fonctiondéfinie plus haut (dans l’espace des fonctions de N dans Z) est injectif.
La démonstration du Théorème 3.9 est donné dans les Sous-sections 3.2 et3.3. Elle repose dans une large mesure sur la construction d’objets particuliers dansG0��/� il�, construction inspirée par la construction de M. Atiyah des opérationsd’Adams. Les fonctions correspondant à ces éléments sont les �2k+1 décrites plushaut, ces fonctions engendrent une sous-algèbre polynômiale.
Dans la Section 4 on rappelle quelques résultats de base sur les -anneaux quel’on appliquera au contexte en particulier en Section 5 pour la construction d’objetsspécifiques. Puis on démontre aussi le Théorème 1.1 qui est alors conséquence duThéorème 3.9 et de l’existence et des propriétés de la filtration nilpotente sur lesmodules instables. Dans la cinquième on étudie la structure de G0��/� il� à l’aidede l’algèbre décrite ci-dessus.
2. RAPPELS SUR LES MODULES INSTABLES
2.1. Modules Instables Libres (Schwartz, 1994;Steenrod et Epstein, 1962)
Soit M un module instable, suivant l’usage on note � � � → � le foncteursuspension: étant donné un module instable M le module instable �M est donnépar ��M�n = Mn−1 et, avec une notation évidente, ���x� = ���x�. Pour tout n ≥ 0le module instable �nF2 est simple.
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Proposition 2.1. Tout objet simple de � est isomorphe à �nF2 pour un entier n biendéterminé.
Démonstration. Soit M un module instable, soit M∗≥n le sous-espace des élémentsde degré supérieur ou égal à n. C’est un sous-module. Ceci détermine une filtrationdécroissante par des modules instables M . On en conclut aisément qu’un moduleinstable simple ne peut être non nul qu’en un seul degré.
Mais l’anneau G0��� n’est pas engendré par les classes ��nF2�, en effet laclasse d’équivalence d’un module monogène infini n’est pas combinaison linéaire decelles ci.
Le “module instable libre en un générateur �n de degré n”, noté F�n�, estuniquement déterminé à isomorphisme près par le fait que la transformation
Hom��F�n��M� → Mn� f → f��n�
est une équivalence naturelle de foncteurs. Le module F�n� est le quotient du module�n�2 par le sous-module engendré par les éléments de la forme �nSqI où SqI estune opération dont l’excès e�I� est strictement plus grand que n. Il admet pour basecomme F2-espace vectoriel gradué les éléments �nSqI , que l’on notera aussi SqI �n,avec e�I� ≤ n. Puisque le foncteur qui à un module instable M associe Mn est exactà gauche les modules F�n� sont projectifs.
Proposition 2.2. Tout module instable de type fini (ayant un nombre fini degénérateurs comme �2-module) est quotient d’une somme directe finie
⊕� F�n��.
Rappelons aussi le théorème suivant.
Théorème 2.3 (Massey and Peterson, 1967). Tout sous-module d’un moduleinstable de type fini est de type fini.
Dans le contexte il sera commode de décrire les modules F�n� comme suit. Lacohomologie modulo 2 du classifiant BZ/2 est isomorphe à l’algèbre de polynômesF2�u� en un générateur u de degré 1. Le module F�1� s’identifie au sous-moduleengendré par cette classe. Il a pour base en tant que F2-espace vectoriel graduéle système �u� u2� � � � � u2n � � � � �. La formule de Cartan itérée munit F�1�⊗n d’unestructure de module instable. L’action du groupe symétrique n qui agit parpermutation des facteurs est �2-linéaire. Par définition de F�n� la classe u⊗ · · · ⊗ u︸ ︷︷ ︸
n foisdétermine une application n de F�n� dans F�1�⊗n:
Proposition 2.4. L’application n est un isomorphisme de F�n� vers le sous-moduledes invariants du groupe symétrique �F�1�⊗n�n .
Voici un corollaire immédiat des énoncés précédents.
Proposition 2.5. Soit M un module instable de type fini. Si ��d� est supérieur à uneconstante ne dépendant que de M alors Md = �0�.
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En effet le résultat est vrai pour les modules F�n�. Dans ce cas F�n�d = �0� dèsque ��d� > n à cause des Propositions 2.4 et 2.2.
2.2. Modules Réduits et Modules Nilpotents, la Catégorie ���/��� il
Soit M un module instable, l’application
Sq0x → Sq�x��x�� M → M
est notée Sq0.
Définition 2.6. Un module instable est réduit si l’application Sq0 est injective,autrement dit si il ne contient pas de suspension non-triviale.
Par exemple, les modules F�n� sont réduits; le module �nF2 est réduit si etseulement si n = 0.
Définition 2.7. Un module instable M est nilpotent si il est limite directe demodules instables ayant des filtrations finies dont les quotients sont des suspensions.
Lemme 2.8. Un module instable est nilpotent si et seulement si l’application Sq0 estnilpotente sur tout élément x.
La sous-catégorie pleine � ili de � est la plus petite sous-catégorie abélienneépaisse, stable par limite directe, contenant toutes les i-ième suspensions (Schwartz,1994, Chapter 6). Un module instable M possède une filtration nilpotente
M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · ⊃ Mi ⊃ · · ·
où Mi est le plus grand sous-objet de M qui est dans � ili.
Proposition 2.9 (Schwartz, 1994, Lemme 6.1.4). Le module quotient Mi/Mi+1 est lai-ième suspension d’un module réduit que l’on notera Ri�M�.
Si le module M est de type fini la filtration nilpotente de M est finie: Mh+i = �0�pour tout i > 0, pour un entier h assez grand. Si Mh �= �0� l’entier h sera appelé laprofondeur de M .
On notera dans la suite � il pour la catégorie � il1. La sous-catégorie � il estépaisse dans �, on peut donc définir la catégorie quotient �/� il (Henn et al., 1993;Schwartz, 1994, Chapter 5). Cette catégorie est abélienne. Ses objets sont ceux dela catégorie �; ses morphismes sont obtenus à partir de ceux dans � en inversantformellement ceux dont le noyau et le conoyau sont des modules nilpotents. Enparticulier un module nilpotent est isomorphe à l’objet trivial dans la catégoriequotient. Le produit tensoriel dans � induit un produit tensoriel dans �/� il.Le foncteur oubli � � � → �/� il est exact et tout foncteur exact de � vers unecatégorie abélienne qui est trivial sur � il factorise de manière unique au travers dece foncteur.
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Les objets simples de �/� il sont décrits dans Franjou et Schwartz (1990). Ilssont indexés par les classes d’isomorphisme de F2-représentations irréductibles desgroupes symétriques n. La théorie des représentations en caractéristique 2 (voirSerre, 1991, Partie 3, par exemple) montre que le nombre de classes d’isomorphismede représentations irréductibles de n est égal au nombre de classes de conjugaisond’ordre premier à 2 dans n. Ce dernier nombre est égal à celui des partitions del’entier n en entiers impairs.
3. THÉORIE DES CARACTÈRES POUR LA CATÉGORIE ���/��� il
3.1. Relation Entre G0����� et G0����/��� il�
Dans cette sous-section on précise les liens de G0��� et G0��/� il�. Lefoncteur oubli � → �/� il induit un homomorphisme d’anneaux
G0��� → G0��/� il��
Soit � la classe de �F2 dans G0��� on a la proposition suivante.
Proposition 3.1. Le noyau de l’oubli G0��� → G0��/� il� est l’idéal engendré parla classe �. De plus le gradué de G0��� associé à la filtration induite par l’idéalengendré par la classe � est isomorphe à l’anneau de polynômes G0������.
Démonstration. Soit un module instable M de type fini, et sa filtration nilpotente
�0� = Mh+1 ⊂ Mh ⊂ Mh−1 ⊂ · · · ⊂ M0 = M�
Mi/Mi+1 est de la forme �iRi, avec Ri réduit (Proposition 2.9). Comme �iR � �iF2 ⊗R on a �M� = ∑
i=0�����h �i�Ri� ∈ G0���. Le résultat suit. En effet, par construction
de la catégorie �/� il un module réduit non trivial a une classe non nulle dansG0��/� il� alors que � a une image nulle. En fait le noyau est par les résultatsclassiques de K-théorie l’image de G0�� il� dans G0���.
3.2. Caractères Pour les Objets de ���/��� il
On introduit maintenant une fonction qui tient lieu de caractère pour les objetsde �/� il. Soit M un module instable de type fini, et soit i un entier, considérons lesystème direct suivant indexé par q:
· · · −→ M2q i Sq2q i
−−→ M2q+1i −→ · · ·
soit Mi sa colimite. C’est un espace vectoriel de dimension finie. En effet, parexactitude de la limite directe, il suffit de le vérifier pour les modules instables F�n�et donc pour les modules F�1�⊗n. Pour ce dernier cas c’est un problème facile decombinatoire. On a donc le lemme suivant.
Lemme 3.2 (Franjou et Schwartz, 1990). Soit M un module instable réduit de typefini, alors la limite ci-dessus est de dimension finie et l’application Sq2q i est unisomorphisme pour q assez grand.
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Etant donné un module instable M on définit la fonction M � N → N par
M�i� = dimF2�Mi��
Proposition 3.3. La fonction M ne dépend que de la classe de M dans �/� il.
Démonstration. Par construction de �/� il il suffit de montrer que si on a unhomomorphisme � M → N dont le noyau et le conoyau sont objets de la catégorie� il, alors M = N . Le résultat résulte alors du lemme suivant, lui même conséquencedirecte de la définition d’un module nilpotent.
Lemme 3.4. Si K ∈ � il alors la fonction K est nulle.
En effet l’espace vectoriel Ki est trivial pour tout i. La Proposition 3.3 suitcar si on a une suite exacte �0� → M ′ → M → M ′′ → �0�, alors M = M ′ + M ′′ . Parconstruction la proposition suivante.
Proposition 3.5. On a M�2i� = M�i� pour tout i.
Proposition 3.6. La fonction M est nulle sur les valeurs i telles que ��i� est assezgrand.
Démonstration. Ceci résulte de la Proposition 2.5.
Soit � le sous-groupe des fonctions de N dans Z satisfaisant aux propriétésdes Propositions 3.5 et 3.6. Le groupe � peut être muni d’une structure d’algèbrevia le produit de convolution défini par le lemme suivant.
Lemme 3.7. Soient �� ∈ �, la valeur
∗ ��i� = ∑l+k=2hi
�l���k��
ne dépend pas de h, dès que celui ci est choisi assez grand. Cette formule détermine unestructure d’algèbre sur �.
On doit vérifier d’abord que la somme ci-dessus est finie. Ceci est conséquencede l’hypothèse de la Proposition 3.6. Puis on doit vérifier que la valeur obtenue nedépend pas de h dès que celui ci est assez grand. Cela résulte de l’hypothèse de laProposition 3.5. Un calcul direct montre le lemme suivant.
Lemme 3.8. Soient M et N deux modules instables, la fonction M⊗N est égale àM ∗ N .
Comme il a été dit plus haut si on a une suite exacte 0 → M ′ → M → M ′′ → 0on a M = M ′ + M ′′ on en conclut que l’on a un homomorphisme d’anneaux
G0��/� il� → ��
Voici le résultat fondamental de cette section.
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SUR L’ANNEAU DE GROTHENDIECK 1833
Théorème 3.9. L’homomorphisme �M� → M , G0��/� il� → �, est injectif.
3.3. Démonstration du Théorème 3.9
La démonstration dépend de la filtration “polynômiale” de la catégorie �/� ilque l’on commence par rappeler. Soit �n la sous-catégorie pleine de �/� il définiecomme suit. Un objet M de �/� il est dans �n si et seulement si la fonction M estnulle sur tout d tel que ��d� > n. D’après le Lemme 2.5 la classe dans �/� il detout module instable M de type fini est dans une sous-catégorie �n pour un certainentier n. Le module instable F�n� est dans �n, mais n’est pas dans �n−1. Cela résultede la Proposition 2.4.
Comme les modules F�n� sont des générateurs pour � et donc �/� il lafiltration de �/� il par les sous-catégories pleines �n est convergente.
Proposition 3.10. La plus petite sous-catégorie de �/� il contenant tous les �n etstable par limite directe est �/� il elle même.
L’entier n, tel que M ∈ �n et M �∈ �n−1, est appelé le poids de M . On a latheoreme suivante.
Théorème 3.11. La catégorie quotient �n/�n−1 est équivalente à la catégorie desmodules sur F2�n�.
On renvoie à Franjou et Schwartz (1990) et Schwartz (1994, Chapter 5,Section 5) pour ces énoncés.
Corollaire 3.12. On a des isomorphismes de groupes
G0��n� �⊕
0≤i≤n
G0� odF2�i��
et
G0��/� il� � ⊕n≥0
G0� odF2�n���
La démonstration du corollaire est de la routine et ne pose pas de difficultés.Elle est essentiellement dans Schwartz (1994, Chapter 5, Section 5), et expliquée endétails dans Piriou (1995), et est conséquence en tout état de cause des énoncésde Gabriel (1962). Le rang de G0��n� est donc la somme des rangs des groupesG0� odF2�i�
� pour 0 ≤ i ≤ n. Or le rang de G0� odF2�i�� est égal au nombre
de classes de conjugaison d’ordre premier à 2, donc au nombre de partitions del’entier i en entiers impairs. Le rang de G0��n� est donc égal à la somme sur icompris entre zero et n du nombre de partitions de l’entier i en entiers impairs.
Soit la Q-sous-algèbre � ⊂ � ⊗Q engendrée (comme Q-algèbre) par lesfonctions �k, pour k entier impair, définies par:
(a) �k�n� = 1 si n = 2hk,(b) �k�n� = 0 sinon.
Proposition 3.13. La sous-algèbre � est polynômiale en les �k.
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Il en résulte ainsi que du Théorème 3.9 que:
Corollaire 3.14. L’image de G0��/� il� dans � est, après tensorisation par Q, égaleà Q��1� � � � � �k� � � � �.
La démonstration de la Proposition 3.13 sera donnée dans la Sous-section 3.4,celle du Théorème 3.9 et du Corollaire 3.14 sont données maintenant. L’ingrédientessentiel est le suivant:
Théorème 3.15. Pour tout entier impair k il existe un élément
Xk ∈ G0��k� ⊂ G0��/� il�
tel que Xk= �k.
Supposant ce théorème démontré on commence par les démonstrationssuivants.
Démonstration du Théorème 3.9 et du Corollaire 3.14. Pour démontrerle résultat on tensorise l’application par Q. Puis on filtre � comme suit, �n est lesous-espace vectoriel engendré par les monômes �a11 � � � �
akk tels que a1 + 3a3 + · · · +
kak ≤ n. Le produit envoie �n ⊗ �m vers �n+m. Le rang de �n est égal à la sommesur i, compris entre zero et n, du nombre de partitions de l’entier i en entiers impairs.Cette quantité est aussi, ainsi qu’on l’a vu plus haut, le rang de G0��n�.
On vérifie comme suit que G0��n� est envoyé dans �n. D’abord l’ensemble des
éléments Xa11 � � � X
akk de G0��/� il� forme un système libre. En effet leurs images, par
l’application , est l’ensemble des monômes �a11 � � � �
akk qui forme un système libre
d’après la Proposition 3.13.Ensuite, comme Xk ∈ G0��k� tout monôme Xa1
1 � � � Xakk tel que a1 + 3a3 + · · · +
kak ≤ n est dans G0��n�. Comme le rang de G0��n� est égal au nombre de partitionsen entiers impairs des entiers inférieurs ou égaux à n, soit le nombre d’éléments dela famille des monômes considérée, et que cette famille est libre dans G0��n�, onen déduit qu’elle forme une base de G0��n�⊗Q. L’affirmation suit ainsi que lesénoncés 3.9 et 3.14.
On revient maintenant sur la démonstration du Théorème 3.15, c’est-à-direla construction des éléments Xk. On suit l’approche de Atiyah (1996) pour laconstruction des opérations d’Adams. Soit k un entier impair et soit Sk l’ensembledes classes d’équivalence de représentations simples du groupe symétrique k sur lecorps F2. On notera c� le caractère de Brauer (ou modulaire) de la représentationsimple �, et P� son recouvrement projectif (Serre, 1991, Partie 3). Enfin �k désignerala classe de conjugaison des k-cycles dans k.
Lemme 3.16 (James et Kerber, 1981). Les caractères modulaires des représenta-tions des groupes symétriques prennent des valeurs entières.
Ce résultat dépend de la construction des modules de Specht. Cetteconstruction est universelle en l’anneau. Donc le module de Specht sur le corps F2
est obtenu par réduction modulo 2 du module de Specht défini sur Z. Ceci n’a pas
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SUR L’ANNEAU DE GROTHENDIECK 1835
lieu pour les représentations irréductibles. Or les caractères modulaires des modulesde Specht forment une base du groupe abélien libre engendré par tous les caractèresmodulaires c�. Le résultat suit.
On définit alors un élément Xk du groupe de Grothendieck par la formulesuivante:
Xk =∑�∈Sk
c���k��Homk�P�� F�1�
⊗k���
La notation Homk�P�� F�1�
⊗k� désigne le module instable qui est isomorpheen degré n à Homk
�P�� �F�1�⊗k�n�, avec l’action évidente de l’algèbre de Steenrod.
On notera que Xk n’est pas la classe d’un module instable sauf pour k = 1, c’est unmodule “virtuel”. Par construction il appartient à G0��k�.
Calculons maintenant la fonction Xk, l’entier Xk
�n� est égal à la somme
∑�∈Sk
c���k�dimF2Homk
�P�� �F�1�⊗k�2
hn�
h assez grand.La dimension de Homk
�P��M� est égale à n��M�dimF2Endk
���, où n��M� estle nombre d’occurence de � dans la série de composition, en tant que F2�k�-module,de M . Comme F2 est un corps de scindement pour k on a dimF2
Endk���= 1.
L’entier Xk�n� est donc la valeur en �k du caractère modulaire de �F�1�⊗k�2
hn
considéré comme représentation de k. Mais cette représentation est somme directede représentations de permutations de la forme: F2�k/��, � étant un sous-groupede la forme �1
× · · · ×�t, �F�1�⊗k�n, où ��1� � � � � �t� est une partition de k. Ces
représentations sont engendrées comme F2�k�-modules par les tenseurs
u2a1 ⊗ · · · ⊗ u2a1︸ ︷︷ ︸�1 fois
⊗ · · · ⊗ u2at ⊗ · · · ⊗ u2at︸ ︷︷ ︸�t fois
tels que∑
i �i2ai = 2hn.
La représentation triviale apparaît parmi ces représentations de permutationpour la partition triviale �k�. Elle apparaît donc seulement dans les degrés n tels quen = 2uk, et alors avec la multiplicité 1. Le caractère modulaire de F2�k/�� évaluéen �k est égal au caractère ordinaire du relèvement canonique Z�k/�� évalué surle même cycle. Il est nul si k �= � et vaut 1 si k = �. Le calcul de Xk
en résulte.On trouve par exemple X1 = �F�1��.Il est facile de montrer que le module instable F�1�⊗3 est somme directe
de deux copies du noyau S�2�1�F�1�, de la multiplication �2�F�1��⊗�1�F�1�� →�3�F�1��, et d’un module P�1��F�1�� qui est le recouvrement projectif de �3�F�1��dans �3.
Alors
X3 = �P�1��F�1���− �S�2�1��F�1����
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1836 SCHWARTZ
En général, la classe Xk est la somme virtuelle de classes d’isomorphisme d’objetsprojectifs (et en fait également injectifs) dans �k:
Xk =∑�∈Sk
c���k�P��F�1��
où P��F�1�� est défini par la formule suivante. Soit un idempotent �� ∈ F2�k� telque ��F2�k� � P�, alors
P��F�1�� � ��F�1�⊗k � Homk
�P�� F�1�⊗k��
3.4. Démonstration de la Proposition 3.13
Proposition 3.17. Il existe une structure d’algèbre de Hopf sur � pour laquelle leséléments primitifs sont les �k.
La Proposition 3.13 se déduit alors des théorèmes généraux sur les algèbres deHopf Milnor et Moore (1965) et du fait que les �k sont primitifs pour cette structureet linéairement indépendants.
La proposition suivante permet de définir le coproduit.
Proposition 3.18. Etant données, ∈ � et deux entiers u et v, la valeur �u+ 2hv�ne dépend pas de l’entier h dès que celui ci est assez grand.
Cette proposition est vraie pour les générateurs multiplicatifs �k de � . Pourdémontrer la proposition il suffit donc vérifier qu’elle est préservée par produit. Cecirésulte le lemme suivant.
Lemme 3.19. Si les fonctions et � vérifient les conditions des Propositions 3.5 et3.6, ainsi que la conclusion de la Proposition 3.18 alors il en est de même de ∗ �.
Pour démontrer cette proposition, on doit calculer la quantité � ∗ ���2k�u+2hv�� pour k grand—on sait qu’elle est constante pour k est grand. Il faut alorsmontrer que cette valeur est constante pour tout h assez grand. La formule suivantea lieu pour tout h assez grand:
� ∗ ���2k�u+ 2hv�� = ∑�a1�a2�b1�b2�
�a1 + a2���b1 + b2��
où la somme de droite est prise sur toutes les familles �a1� a2� b1� b2� satisfaisant àa1 + b1 = 2ku, a2 + b2 = 2h+kv, k assez grand. Cette somme est à priori infinie maison va voir que comme plus haut seuls un nombre fini de termes sont non nuls.
Précisons l’inégalité contenue implicitement dans les hypothèses. Soit � =max��log2�u��+ 1� �log2�v���+ 1�, et soit d tel que ��n� = 0 , et �n� = 0 si ��n�≥d.La formule a alors lieu dès que h− � > 2d.
Voici les étapes essentielles de la démonstration de la formule. L’assertion cléest la suivante. On écrit 2k�u+ 2hv� = a+ b, h grand, et on suppose que �a� �= 0et ��b� �= 0.
On n’a à considérer que des couples �a� b� tels que les développements2-adiques de a et b ne fassent pas apparaître de puissance de 2 ayant un
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SUR L’ANNEAU DE GROTHENDIECK 1837
exposant appartenant à l’intervalle �k+ �� k+ h− 2d�, intervalle qui est non vide sih− � ≥ 2d. En effet, si une puissance de 2 du développement de a ou b avait unexposant dans l’intervalle �k+ �� k+ h− 2d� le développement 2-adique de a oucelui de b serait de longueur supérieure ou égale à d et donc annulerait ou �. Pourmontrer l’assertion concernant la longueur des développements 2-adique on utiliseles relations 2k�u+ 2hv� = a+ b et h− � > 2d.
On définit alors a1 (respectively b1) comme la somme des puissances 2t de ladécomposition 2-adique de a (respectively b) telles que t < k+ �. De même pour a2
et b2 avec t > k+ �. Il suit que a = a1 + a2, b = b1 + b2 et a1 + b1 = 2ku, a2 + b2 =2h+kv. On en déduit que l’ensemble des solutions �a1� a2� b1� b2� est bien défini (h, kassez grands) à une puissance de 2 près. Le résultat suit.
La définition de la Proposition 3.18 permet donc d’associer à une fonction∈� une fonction ��� � N ×N → Z. Soit �2 l’ensemble des fonctions de N ×Ndans Z. L’algèbre � ⊗ � est contenue dans �2 ⊗Q, il n’est pas immédiat que si∈� alors ���∈� ⊗� . Par contre, il est clair que ���k�= �k ⊗ 1+ 1⊗ �k ∈� ⊗� .Mais, une vérification analogue à la précédente montre que si et � satisfont auxpropriétés analogues à celle des Propositions 3.5 et 3.6 on a
�� ∗ �� = ��� ∗ ����
en interprétant le membre de droite de manière évidente. Comme les �k engendrentmultiplicativement � cette formule implique alors que si ∈ � alors ��� ∈ � ⊗ � .On a donc défini une diagonale � ∈ � → � ⊗ � qui commute à la multiplication.Donc on a une structure d’algèbre de Hopf d’où la Proposition 3.17.
4. STRUCTURE DE �-ANNEAU, DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 1.1
On a obtenu la description de la structure de G0��/� il� après tensorisationpar le corps des rationnels; on va maintenant obtenir un énoncé sans cetterestriction, et faire le lien avec l’approche de Kuhn. On commence par fairedes rappels sur les -anneaux Knutson (1973). Puis on en donnera quelquesconséquences, entre autres une interprétation de la construction des éléments Xk.
Un -anneau R est un anneau muni d’opérations i telles que:
1. 0 = 1,2. 1 = Id,3. n�x + y� = ∑
0≤i≤n i�x� n−i�y�.
En sus de ces propriétés on en demande deux autres.
(a) la première exprime i�xy� comme un polynôme universel en les k�x� et les l�y�;
(b) la seconde exprime i� j�x�� comme un polynôme universel en les k�x�.
Si R est de caractéristique 0 la manière la plus simple d’exprimer ces dernièresconditions est d’introduire les opérations d’Adams �k. Considérons la série formelle
t�x� =∑i≥0
i�x�ti ∈ R��t���
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1838 SCHWARTZ
Les opérations d’Adams �k, à valeurs dans R⊗Q sont définies par
d
dtlog� t�x�� =
∑n≥0
�−1�n�n+1�x�tn�
Ces opérations sont additives dès que les deux premières conditions sontsatisfaites. Si les deux suivantes ont lieu on a:
(a) �k�xy� = �k�x��k�y� pour tous x, y, k;(b) �k�l = �kl, pour tous k et l.
La réciproque est vraie : si les opérations d’Adams satisfont à ces relationsalors R est un -anneau (évidemment si on travaille sur un anneau de caractéristiquezero).
La structure de -anneau suivante sur l’algèbre de série formelle Z��q�� estla traduction en terme de série de Poincaré de l’action des foncteurs puissancesextérieures sur les espaces vectoriels gradués.
Théorème 4.1 (Knutson, 1973). Il existe sur l’anneau Z��q�� une unique structurede -anneau telle que:
(a) k�iqn� = (ik
)qnk pour tous les entiers n, k, et i ≥ 0;
(b) les applications k sont continues pour la topologie q-adique;(c) les opérations d’Adams sont données par �n�f�q�� = f�qn�.
Considérons maintenant le sous-anneau de Z��q�� constitué par les sériesformelles
∑n≥0 anq
n telles que:
(a) an = 0 dès que ��n� est supérieur à une constante;(b) an = a2n dès que n est divisible par une puissance de 2 assez grande, puissance
ne dépendant que de la série considérée.
Le plus petit entier d tel que ��n� > d implique que an = 0 sera appelé le degréde la série. C’est un sous- -anneau de Z��q��, on le notera �Z. La série de Poincaréd’un module instable réduit de type fini est dans �Z, la première propriété résultede la Proposition 3.6. Pour ce qui est de la seconde seule l’existence d’une puissancede 2, soit 2h, telle que si 2h � n alors an = a2n mérite des précisions. D’abord lerésultat est vrai pour les modules réduits � il-fermés “simple”, au sens de Piriouet Schwartz (2002), c’est-à-dire les modules réduits dont tout quotient non-trivialest nilpotent. Ensuite si M est un module instable réduit de type fini il admet unefiltration finie dont les quotients sont de tels modules. Ces résultats se déduisent deSchwartz (1994, Chapitre 6) et de Franjou et Schwartz (1990), les détails sont laissésau lecteur.
L’application
� � �Z → �
qui à une série formelle f = ∑anq
n associe la fonction ��f� ∈ � définie par��f��i� = ai2h , où h est assez grand, est un homomorphisme d’anneau.
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SUR L’ANNEAU DE GROTHENDIECK 1839
On définit une structure de -anneau sur � ⊗Q, par les formules suivantes:
1. �2 = Id;2. si k est impair �k���i� = � i
k� si i
k∈ N;
3. �k���i� = 0 si ik�∈ N.
Proposition 4.2. L’application � est un morphisme de -anneau.
Il suit que l’image de � est un -anneau. L’image de G0��/� il� parl’homomorphisme dans � ⊗Q est contenue dans l’image de � .
Corollaire 4.3. L’anneau G0��/� il� a une structure de -anneau.
Il suffit d’observer que l’image de G0��/� il� est stable sous les opérations i.Or, pour tout module instable M on a la relation suivante:
�i�M� = i�M��
En effet si pM désigne la série de Poincaré du module instable M on a l’identitésuivante de séries formelles
p�i�M� = i�pM��
Si on y applique � on obtient la formule annoncée.Ceci justifie la définition des Xk. La proposition suivante suit du Théorème 3.9,
et de la définition des opérations d’Adams donnée ci-dessus.
Proposition 4.4. On a la formule suivante:
Xk = �k��F�1����
Rappelons que �X1� = F�1�.Ceci permet aussi de faire le lien avec le point de vue de Kuhn. Son résultat, si
on étend les scalaires au corps des rationnels, s’exprime en disant d’abord que l’ona la relation �2 = Id dans G0�� � et que cet anneau est le quotient du -universelpar cette relation.
Donc,
G0�� �⊗Q � Q��1� � � � � �2k+1� � � � �
On va maintenant considérer le cas de G0��� et commencer la démonstrationdu Théorème 1.1. On commence par introduire une terminologie liée à la fitrationnilpotente d’un module instable M de type fini. Puisque M est de type fini, et commela catégorie � est localement noethérienne, chacun des sous-quotients, désuspendus,Ri�M�, 0 ≤ i ≤ k, définis par la filtration nilpotente est de type fini.
Définition 4.5. L’entier d = maxi=0�����kdi, où Ri�M� ∈ �diet Ri�M� �∈ �di−1, est
appelé le poids de M .
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1840 SCHWARTZ
Soit le sous-anneau �Z de Z��q�� engendré par �Z et les polynômes. Il estconstitué par les séries formelles f = ∑
n≥0 anqn de la forme
∑0≤i≤k
qifi�q�
où fi�q� est une série dans �Z.Ces séries vérifient en particulier les propriétés suivantes. Une série f étant
donnée il existe des entiers k et � tels que:
(a) dès que ��n� > � et i > k le coefficient an+i, est nul;(b) dès que n est divisible par une puissance de 2 assez grande, puissance ne
dépendant que de f , on a an+i = a2n+i (i quelconque);
Définition 4.6. Une série qui s’écrit sous la forme∑
0≤i≤k qifi�q�, fi�q� ∈ �Z estdite de profondeur inférieure ou égale à k.
Notons que l’écriture peut ne pas être unique.Soit f ∈ �Z qui s’écrit
∑0≤i≤k qifi�q�
Définition 4.7. Soit i un entier donné et soit di le degré de la série fi défini sousle Théorème 4.1. La série f sera dite de degré total inférieur ou égal à d si d ≤maxi=0�����kdi.
Soit M un module instable de type fini, de filtration nilpotente
�0� = Mh+1 ⊂ Mh ⊂ Mh−1 ⊂ · · · ⊂ M0 = M
avec Mi/Mi+1 � �iRi, Ri réduit. On a
pM�q� =∑
i=0�����k
qipRi�q��
Cette série est dans �Z. Le sous-anneau �Z de Z��q�� est stable par lesopérations i.
Théorème 4.8. L’application qui à un module instable de type fini M associe sa sériede Poincaré pM détermine un isomorphisme d’anneaux de G0��� sur �Z. Si M est unmodule instable de type fini de profondeur k et de degré � la série associée est deprofondeur inférieure ou égale à k et de degré total inférieur ou égal à �.
On commence par montrer que l’application est injective. Une classe X dansG0��� s’écrit-ainsi qu’il a été dit dans les Sections 2 et 3-sous la forme
∑i=0�����k
�i��Ri�− �R′i��
oú Ri et R′i sont des modules instables réduits. Si la série de Poincaré pX de X
est nulle il en est de même de X = ��pX�, or X = R0− R′
0. Si cette dernière
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SUR L’ANNEAU DE GROTHENDIECK 1841
quantité est nulle cela implique, d’après le Théorème 3.9, que �R0�− �R′0� est nul
dans G0��/� il�. Autrement dit Y = �R0�− �R′0� appartient à l’idéal ��� ⊂ G0���.
La classe Y s’écrit donc sous la forme∑
1≤i≤t �iHi, Hi = �Si�− �S′
i �, il se peut quet > k. On ne peut donc aboutir à la conclusion par une récurrence descendante surl’entier k. Pour obtenir le résultat on en fait une sur le poids des modules Ri et R
′i;
l’ingrédient technique est donné par le lemme suivant.
Lemme 4.9. Soient R et R′ des modules instables réduits de type fini tels que �R� =�R′� ∈ G0��/� il�. Alors la classe �R�− �R′� ∈ G0��� peut s’écrire
∑1≤i≤t �
iHi, avecHi = �Si�− �S′
i � et où les �Si� et �S′i � sont les classes de modules instables réduits de type
fini de poids strictement inférieur à celui de �R� et �R′�.
L’égalité �R� = �R′� ∈ G0��/� il� implique que R et R′ ont même poids. Il fautdonc démontrer que l’on peut supposer le degré des �Si� et �S
′i � strictement inférieur
à celui de �R�.Supposons R � R′ dans �/� il, R et R′ réduits de type fini. Les modules R et
R′ contiennent tous les deux un sous-module isomorphe à un module T -que l’onnotera aussi T par abus dans les deux cas-tel que R � R′ � T dans �/� il. Ceci sedémontre en plongeant R et R′ dans leur � il-localisation commune (Schwartz, 1994)L puis en observant que Sqk
0L est contenu dans R et R′ pour k assez grand (voirSchwartz, 1994, Chapitre 6 et Schwartz, 2001). Cet argument permet de se ramenerau cas d’un module réduit de type fini R et d’un sous-module T tels que le quotientR/T soit nilpotent. Il suffit en effet d’écrire que �R�− �R′� = �R�− �T�+ �T�− �R′�.
Dans G0��� la classe de R/T s’écrit sous la forme
∑i=1����
�i�Ti�
où les Ti sont des modules instables réduits. On observe alors que la série dePoincaré des modules Ti est nulle dans les degrés n tels que ��n� ≥ d. En effet si cen’était pas le cas la série de Poincaré f de R/T serait non nulle dans de tels degréscar on a f = ∑
i qipTi
�q� et les coefficients de toutes les séries sont positifs ou nuls.Précisons un peu, supposons que l’une des séries pTi
est de degré supérieur ouégal à d. Alors il existe un entier n, ��n� ≥ d, tel que tous les coefficients a2hn de pTi
sont non nuls, dès que h est assez grand. Mais alors le coefficient c2hn+i de qipTi, et
donc celui de f , est non nul pour tout h assez grand. Ce qui est impossible car pourh assez grand ��2hn+ i� > d si i > 0.
Il résulte alors de la définition des catégories �n que les modules instablesTi sont de poids strictement inférieur à d, ce qui permet d’effectuer la récurrencedescendante. Ceci démontre l’injectivité.
Pour ce qui est de la surjectivité, clairement il suffit de montrer que toute sériedans �Z est dans l’image. Mais si f = ∑
i aiqi est une telle série, il résulte de la
prochaine section que l’on peut trouver une série f = ∑i aiq
i où ai = ai pour touti divisible par une puissance de 2 assez grande ne dépendant que de f telle que fsoit la série de Poincaré d’un élément �R�− �S� dans G0���, R et S réduits. La sérief − f (qui est dans �Z) sera de plus de degré strictement inférieur à celui de f et onpeut procéder par récurrence descendante.
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5. LA STRUCTURE D’ALGÈBRE DE G0����/��� il�
5.1. L’Algèbre ���Z
Dans cette section on va décrire G0��/� il�, sans faire de tensorisation par Q.En particulier on obtiendra le résultat qui permettra d’achever la démonstration,du Théorème 1.1, commencée dans la section précédente.
Soit la sous-algèbre ⊂ � engendrée par les éléments �k. On introduit ladéfinition suivante.
Définition 5.1. La sous-algèbre �Z ⊂ � est constituée par les éléments pourlesquels il existe un entier n tel que n ∈ .
On a
⊂ �Z ⊂ � �
Rappelons les notations de l’introduction. Soit k = �k1� � � � � kt� une familled’entiers impairs, rangée en ordre croissant, ou la famille constituée par zero.Rappelons que l’entier t est appelé la longueur de k et est noté ��k�.L’entier
∑i ��ki� est appelé la longueur 2-adique de k et est noté ��k�, et que
l’on note Vk l’ensemble des entiers de la forme∑
i ki2ui , les ui étant des entiers
quelconques.
Proposition 5.2. Soit l’ensemble des fonctions de N dans Z telles que:
1. �2i� = �i� pour tout i;2. �i� = 0 dès que ��i� est assez grand;3. pour tout k la fonction est constante sur Vk, sauf éventuellement sur l’intersection
avec Vk d’une réunion finie de Vl, où soit ��l� < ��k�, soit ��l� = ��k� et ��l� <��k�.
Cet ensemble est stable par le produit de convolution, et est égal à �Z.
L’intersection de la troisième condition ci-dessus sera appelée le sous-ensemblecritique de Vk pour la fonction . La condition équivaut à dire que la valeur dela fonction sur l’entier
∑i ki2
ui ne dépend pas des ui dès que mini �=j�ui − uj� estassez grand. On notera cette valeur �k1� � � � � kt�. On l’appellera aussi la valeur dela fonction sur Vk. On dira que la fonction ne prend pas la valeur nulle sur Vk sicette valeur est non nulle.
La démonstration de la Proposition 5.2 est menée en deux étapes. D’abord onvérifie l’assertion sur le produit de convolution. Puis on achèvera la démonstrationdans la Sous-section 5.2 en montrant que G0��/� il� a pour image isomorphe lasous-algèbre définie par la Proposition 5.2. En utilisant le fait que cette image estcontenue dans , et isomorphe après tensorisation par Q on conclut.
Pour démonstrer que l’ensemble de fonctions satisfaisant aux conditions de laProposition 5.2 est stable par convolution il faut démontrer le lemme suivant.
Lemme 5.3. Si et � satisfont aux conditions de la Proposition 5.2 il en est de mêmede ∗ �.
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SUR L’ANNEAU DE GROTHENDIECK 1843
Pour démontrer ce lemme on doit calculer pour une famille d’entiers impairs kla quantité � ∗ ���∑i ki2
ui � et montrer que la valeur obtenue ne dépend pas des ui àpartir du moment où la quantité mini �=j�ui − uj� est assez grande. Par des argumentsanalogues à ceux de la Section 3, en utilisant le fait que les fonctions et � sontnulles sur les entiers n dès que ��n� est assez grand, on obtient l’énoncé suivant.
Lemme 5.4. Si la quantité mini �=j�ui − uj� est assez grande on a la formule
� ∗ ��(∑
i
ki2ui � = ∑
�a1�����at�b1�����bt�
(∑
i
ai
)�(∑
i
bi
)�
La somme de droite est prise sur toutes les familles �a1� � � � � at� b1� � � � � bt� satisfaisantà ai + bi = 2h�ki2
ui �, où h est assez grand.
Les équations qui déterminent les ai et les bi n’ont qu’un nombre fini desolutions pour lesquelles �
∑i ai� et ��
∑i bi� sont non nulles car et � s’annulent
sur les entiers n dès que ��n� ≥ d. Précisons l’inégalité contenue implicitement danscette proposition. On pose c = mini �=j�ui − uj�, � = max�log2�ki��. Enfin on supposeque ��n� = 0 , et �n� = 0 si ��n� ≥ d. La proposition a alors lieu dès que c − � >2d + 1.
La valeur de ∗ � ne dépend pas du choix des entiers ui.La démonstration de ce lemme est analogue pour l’essentiel à celle de la
Proposition 3.18 et du Lemme 3.19 et est laissée au lecteur. Sous les hypothèses duLemme 5.3 si on écrit ai = 2vi�i, �i impair ou nul, et bi = 2wi�i, �i impair ou nul, on a
� ∗ ��(∑
i
ki2ui
)= ∑
��1������t��1������t�
��1� � � � � �t����1� � � � � �t��
Le lemme suivant n’est pas nécessaire à la suite, il est néanmoins utile de lementionner.
Lemme 5.5. Soient k et h deux familles d’entiers impairs. Alors l’intersection Vk ∩Vh est réunion finie d’ensembles Vu avec u de longueur 2-adique inférieure ou égale àinf���k�� ��h��.
Par “est réunion finie d’ensembles Vu” dans ce contexte on entend que pourun entier � assez grand et une famille finie d’ensembles Vui
on a
2�( ⋃
i=1�����k
Vui
)⊂ Vk ∩ Vh ⊂
⋃i=1�����k
Vui�
Voici l’idée de la démonstration. Supposons par exemple que ��k� ≥ ��h�, sion a une égalité
∑i ki2
ui = ∑j hj2
vj et si mini �=j�ui − uj� est assez grand, les familles ket h coïncident. Si on exclut ce cas pour que l’égalité ait lieu il faut par conséquentque l’une, au moins, des quantités �ui − uj� soit inférieure à une constante donnée.Autrement dit on est ramené à étudier l’intersection de Vh avec une famille finie deVki
avec ��ki� = ��k�− 1.On conclut par une récurrence descendante.L’exemple de V�1�1� ∩ V�1�3� et V�1� et V�5� montre qu’il peut ne pas y avoir
égalité.
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1844 SCHWARTZ
5.2. La Structure d’algèbre de G0����/��� il�.
On va maintenant démontrer la théorème suivante.
Théorème 5.6. L’algèbre G0��/� il� est isomorphe à l’algèbre �Z.
La démonstration est pour l’essentiel une collecte de résultats démontrés plushaut.
L’application canonique:
� G0��/� il� → �
prend valeurs dans �Z. En effet les fonctions �k appartiennent à �Z, l’algèbrequ’elles engendrent est contenue dans �Z. Or les fonctions X , X ∈ �/� il prennentdes valeurs entières, et quitte à les multiplier par une constante ce sont descombinaisons linéaires à coefficients entiers de monômes en les �k d’après leCorollaire 3.14. La première partie du résultat suit.
L’application est injective, cela a été démontré dans la Section 3.Il reste à montrer qu’elle est surjective. Il y a là encore un travail à faire, et
c’est ce pourquoi on utilise la structure de -anneau. Soit une fonction � ∈ �Z, onveut montrer qu’elle est dans l’image de . On introduit une filtration double sur �Z
en associant à � deux entiers.D’abord à � on associe le plus grand entier h tel qu’il existe un ensemble Vk
avec ��k� = h et sur lequel � est non nulle. On rappelle que cela veut dire que lavaleur de la fonction est non nulle sur Vk en dehors d’un sous-ensemble critique C.
Pour définir le second entier on considère la famille (finie) des ensembles Vu
ayant la propriété ci-dessus relativement à �: la valeur de � est non nulle sur Vu et��u� = h. Le second indice de filtration est alors défini comme étant la longueurmaximale l�u�, pour Vu décrivant la famille ci-dessus. On a 1 ≤ t ≤ h. Si la famillecontient V�h
, où �h désigne �1� � � � � 1� le second indice est h. On notera ce couple�h� t�, t ≤ h.
On achève la démonstration du Théorème 5.6.Soit � d’indices de filtration �h� t�. On va construire un objet dans
X ∈ G0��/� il� tel que �− X soit d’indice de filtration au plus �h� t − 1� si t > 1,et �h− 1� h− 1� si t = 1. Une telle construction démontre le Théorème 5.6 parrécurrence descendante.
La fonction est non nulle sur une famille (que l’on peut supposer finie parhypothèse de définition sur �) d’ensembles Vk, considérons seulement la sous-familledes indices ki pour lesquels d’abord ��ki� = h et ��ki� est maximum parmi ceux ci.Soit donc k un tel indice, supposons qu’il soit constitué de u1 fois a1,.., um fois am,où les ai sont des entiers impairs strictement croissants. Soit alors la fonction
c u1��a1� � � � um��am��
où c est la valeur de � sur Vk et les k désignent les opérations dans le -anneau desfonctions.
Soit alors l’objet virtuel
Xk = �u1�Xa1� · · ·�um�Xam
��
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SUR L’ANNEAU DE GROTHENDIECK 1845
on a
Xk= u1��a1� � � �
um��am��
On introduit des objets virtuels Xkiet des constantes ci pour chaque Vki
.L’énoncé suivant est alors conséquence directe de la construction ci-dessus.
Lemme 5.7. Soit �h� t� le couple associé à la fonction �. Le couple �h′� t′� associé àla fonction �−∑
i ciXkivérifie h′ < h ou h = h′ et t′ < t.
Ce lemme permet de terminer la démonstration du Théorème 5.6 de conclurepar une démonstration par récurrence. Le théorème complète et permet d’acheverla démonstration du Théorème 4.8 en assurant l’existence de la série f .
REFERENCES
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