Sur l’emploi de la lettre xµ

Sur l’emploi de la lettre xen mathématiquesJacques Bair

Mots clés : notation, variable, inconnue, indéterminée, fonction identité, calcullittéral.

Résumé. La notation x est souvent perçue comme étant emblématique en mathématiques. Nous mon-trons comment elle est apparue historiquement dans notre discipline et recensons des situations au coursdesquelles un élève peut la rencontrer lors de son parcours scolaire. Ensuite, nous évoquons un travaildidactique du réputé mathématicien K. Menger (1902 - 1985) sur cette question, avant de conclure pardes réflexions personnelles sur le sujet, puis de donner en annexe une brève biographie de cet auteurautrichien.

Introduction

Dans leurs écrits mathématiques, les élèves, les en-seignants et les chercheurs font souvent appel àdes symboles particuliers, notamment à la lettre x.C’est pourquoi, nous nous sommes penchés sur cettenotation qui est quelquefois considérée comme em-blématique ; nous avons décidé d’y consacrer cettenote.

Nous allons fixer principalement notre attention surun article rédigé par le mathématicien autrichienKarl Menger, intitulé « Pourquoi Johnny détesteles maths », paru d’abord dans la revue The Mathe-matics Teacher en 1956, et repris environ vingt ansplus tard et sous une forme un peu modifiée, dansle livre Selected Papers in Logic and Foundations,Didactics, Economics [7]. Karl Menger, qui fut unéminent mathématicien (voir à ce sujet l’annexe enfin de l’article), s’est intéressé à des élèves tels queJohnny qui serait, d’après l’auteur, un étudiant or-dinaire découvrant l’algèbre et l’analyse et y éprou-vant des difficultés avec la notation mathématiquex. Les réflexions exposées dans cette note ainsi quedans d’autres publications du même auteur dansle domaine de la didactique nous ont semblé inté-ressantes à exposer, dans la mesure où ces travauxsont profonds, toujours d’actualité, écrits dans unlangage clair et simple (1) et, nous semble-t-il, assezpeu connus des enseignants car ils ont été publiéspour la plupart dans des revues consultées généra-

lement par des chercheurs et pas forcément par desprofesseurs du secondaire.

Nous montrerons pourquoi Menger pensait quel’utilisation de la lettre x peut être difficile pourJohnny (et ses camarades) et quelles solutions ilproposait pour aider les élèves à franchir certainsobstacles potentiels repérés ; nous donnerons éga-lement un avis personnel sur la question. Aupara-vant, nous souhaitons nous attarder sur des géné-ralités relatives aux origines du recours à la lettrex dans notre discipline, puis nous listerons des cir-constances dans lesquelles un élève peut rencontrercette notation.

1. Un peu d’histoire sur l’emploi dex en mathématiques

Les mathématiques constituent essentiellement uneconstruction humaine. Dès lors, il n’est pas surpre-nant que ses concepts et notations soient générale-ment le résultat d’une longue maturation à laquelleont participé plusieurs mathématiciens ayant ap-partenu à des époques différentes. Cette constata-tion générale est vérifiée en ce qui concerne l’usagede la lettre x.

Sur ce sujet, on peut remonter aux débuts connusdes mathématiques. En effet, le célèbre papyruségyptien Rhind (aux alentours de 1650 avant notreère) contient des problèmes mathématiques résolus

(1) Sans faire appel à un vocabulaire complexe ou technique, mais en anglais.

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faisant intervenir des quantités inconnues, nomméesaha, dont on connaît la somme de certaines de sesparties.

Près de deux millénaires plus tard, le mathéma-ticien grec Diophante (environ 150 - 350 aprèsJésus-Christ) rédigeait un livre intitulé Arithmé-tique, au sein duquel il faisait intervenir des arith-mos (ce qui signifie « nombres »), c’est-à-dire des in-connues dont seules les valeurs rationnelles étaientalors considérées ; aujourd’hui encore, on qualifie dediophantienne une équation à deux ou plusieurs in-connues dont on recherche uniquement les solutionsen nombres entiers.

Quelques siècles plus tard, le mathématicien persanAl-Kwarizmi (environ 780 - 850) faisait aussi in-tervenir des inconnues, qu’il appelait shay, ce motarabe signifiant « chose » ; ses écrits contribuèrentà faire connaître les mathématiques arabes en Eu-rope. Dans une conférence de son programme TEDEducation (2), T. Moore avance l’hypothèse selonlaquelle le mot arabe shay fut transcrit par les Es-pagnols xray pour des raisons de phonétique.

Par ailleurs, d’après certains historiens, la croixde St-André × fit sa première apparition commesigne de multiplication dans l’ouvrage Clavis Ma-thematica du mathématicien et théologien anglaisW. Oughtred (1574 - 1660).

Enfin, le géomètre dauphinois J. Butéon (1492 -1572) employa dès 1559 la lettre grecque ρ (qui selit Rho) pour désigner « la chose » (c’est-à-dire doncl’inconnue), tandis que F. Viète (1540 - 1603) in-troduisit d’une manière systématique les voyellespour noter des inconnues et des consonnes pour in-diquer des paramètres. Dans la foulée de ces deuxscientifiques, R. Descartes (1596 - 1650) utilisale symbole x pour désigner une inconnue en algèbreainsi que la première coordonnée d’un point en géo-métrie analytique qu’il avait créée ; certains histo-riens émettent l’hypothèse selon laquelle la lettre« x » a été choisie parce qu’elle figure en tête de latranslitération xray en espagnol.

Depuis lors, la lettre x intervient couramment enmathématiques, non seulement en algèbre pour dé-signer une inconnue, mais aussi en analyse, en géo-métrie, en trigonométrie, en statistique, en proba-bilités, en logique, . . . Ainsi, cette notation possèdede nos jours des usages extrêmement variés, comme

nous allons le montrer succinctement dans la sec-tion suivante.

2. Quelques situations mathéma-tiques où intervient la lettre x

Au cours de son apprentissage des mathématiques,un élève rencontre la lettre x dans de nombreusessituations différentes. En voici une liste qui necherche pas à être exhaustive et qui a été inspiréepar la lecture de [1] :• dans des formules, la lettre x peut être généra-

lement remplacée par n’importe quel nombre :par exemple, c’est le cas dans une formule tri-gonométrique comme sin 2x = 2 sinx cosx, oudans une identité algébrique telle que x2 − 1 =(x− 1)(x+ 1) ;

• on note fréquemment x une inconnue au seind’une équation ;

• une indéterminée d’un polynôme s’écrit souventx ;

• x est une variable (parfois qualifiée d’indépen-dante) dans l’écriture d’une fonction ;

• en analyse mathématique, on rencontre la lettre xaussi bien en calcul intégral, par exemple lorsquel’on écrit

∫π20 cosx dx = 1, qu’en calcul différentiel

ainsi qu’en attestent ces égalités d sinxdx = cosx et

∂ sin(xy)∂x = y cos(xy) : x est une variable muette

dans le premier cas, tandis qu’elle désigne la va-riable courante par rapport à laquelle on dérivedans les deux cas suivants ;

• très souvent, x désigne l’abscisse d’un point engéométrie analytique (plane ou dans l’espace) ;

• la partie réelle d’un nombre complexe se note fré-quemment x ;

• on utilise habituellement la lettre x pour dési-gner un élément générique d’un ensemble définien compréhension ;

• certains auteurs utilisent la lettre x, parfois engras, pour noter un point d’une courbe ou d’unespace numérique, un vecteur ou encore une ma-trice.

On peut encore ajouter que la lettre x, minus-cule ou majuscule, s’écrit dans certaines policessous la forme d’une croix : par exemple, x ou ×(pour la lettre minuscule) ou X (pour la majus-cule) ; par ailleurs, en grec, il s’agit de la lettrechi qui se lit « ki » et se note χ. Un étudiant peut

(2) On peut consulter ce programme sur le blog de l’auteur à l’adresse électronique suivante :https://www.ted.com/talks/terry_moore_why_is_x_the_unknown.

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rencontrer ces notations dans la vie courante etmême en mathématiques ainsi qu’en témoignentces exemples additionnels :

• le symbole × est souvent utilisé pour indiquerune multiplication, par exemple 2× 3 = 6 ;

• la lettre X représente le nombre dix en chiffresromains ;

• dans la vie de tous les jours, une croix X indiquegénéralement une interdiction (par exemple, defumer) et est parfois réclamée à une personne de-vant remplir un formulaire, aussi bien d’ailleurspour indiquer un bon choix (sélection d’un itemdans un questionnaire) qu’un mauvais choix (pos-sibilité à supprimer, par exemple) ;

• certains auteurs utilisent la lettre majuscule X aulieu de la minuscule x dans certains cas évoquésci-dessus, par exemple pour désigner une indé-terminée dans un polynôme, ou encore un pointd’un espace numérique, une matrice, une variablealéatoire, . . . ;

• la lettre grecque χ est utilisée abondamment enstatistique, par exemple lorsqu’on réalise un testdu « chi carré » ;

• pour l’anecdote, signalons également que X est lesurnom de l’École Polytechnique à Paris.

À la suite de Menger, attardons-nous quelque peusur les premiers items pour mettre en évidence desdifficultés que la notation x pourrait engendrer chezun élève, par exemple Johnny auquel s’intéressel’Autrichien, lors de son apprentissage des mathé-matiques.

3. Des difficultés rencontrées parJohnny selon Menger

Lorsque Johnny rencontre une formule algébriquetelle que

x3 − 1 = (x− 1)(x2 + x+ 1) (1)

il sait qu’il peut y remplacer x par n’importe quelnombre réel (et même complexe) ; par exemple, ilest certain que 33 − 1 = (3− 1)(32 + 3 + 1) et que(−2)3 − 1 = ((−2)− 1)((−2)2 + (−2) + 1).

Quand il est amené à étudier un polynôme en al-gèbre, par exemple

x2 + x+ 1 (2)

il peut encore remplacer le symbole x par n’importequel nombre.

Il peut dès lors être perturbé lorsqu’il rencontreraen analyse les fonctions définies par x3−1

x−1 et parx2 + x + 1 : une question qu’il pourrait légitime-ment se poser consiste à savoir si elles coïncident,vu qu’il sait que

x3 − 1

x− 1= x2 + x+ 1 (pour tout x 6= 1)

Par ailleurs, lorsque Johnny doit résoudre une équa-tion telle que

x+ 1 = 4 (3)

x désigne l’inconnue qui ne peut évidemment pasprendre n’importe quelle valeur, puisque la seulesolution de l’équation précédente est donnée parx = 3.

Et s’il rencontre en géométrie analytique planel’égalité

x = 3 (4)

il doit savoir qu’il s’agit de l’équation d’une droiteverticale, celle comprenant tous les points du plandont l’abscisse vaut 3. Dans l’espace, cette mêmeéquation est celle d’un plan vertical.

Au surplus, quand notre élève est amené à travailleravec la droite d d’équation

2x+ 3y = 4 (5)

il sait probablement qu’il considère tous les points(x, y) dont les deux coordonnées vérifient l’équationen question. Mais il devrait aussi savoir que d estaussi l’ensemble des couples (y, x) dont les deux élé-ments obéissent à l’équation

2y + 3x = 4 (6)

Et pourtant, il doit être conscient du fait que cesdeux dernières égalités (5) et (6), utilisées sans pré-caution particulière, déterminent deux droites dis-tinctes !

D’autre part, lorsque Johnny est en présence, enanalyse, de la dérivée du sinus écrite comme suit

d

dxsinx = cosx (7)

il est peut-être troublé par le fait qu’il peut rem-placer le symbole x intervenant dans le membre dedroite par n’importe quelle valeur réelle (telle queπ), mais qu’il ne peut pas agir de même avec chaquex du membre de gauche.

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Enfin, en calcul intégral, il peut notamment se de-mander pourquoi il est permis d’écrire

∫ b

asinx dx =

∫ b

asin y dy (8)

Bien entendu, un mathématicien chevronné n’estguère troublé par des situations telles que celles dé-crites par ces quelques exemples élémentaires. Maisun débutant comme Johnny peut éprouver des dif-ficultés pour s’y retrouver, car les problèmes ren-contrés se situent dans des contextes fort prochesles uns des autres et se présentent de façon assezsemblable au niveau de la forme. De plus, le vo-cabulaire est parfois identique dans des situationsdifférentes ; par exemple, le mot « équation » estutilisé quand il convient de trouver la valeur prisepar une inconnue vérifiant une (ou plusieurs) éga-lité(s) ou lorsqu’on se réfère à une droite du plan(ou un plan de l’espace) en géométrie analytique ;par ailleurs, on peut faire appel à un vocabulairedifférent pour désigner des objets mathématiquesjouant un même rôle, comme c’est le cas pour cer-taines variables (numériques) ou une indéterminée.

4. Suggestions de Menger pourréduire des difficultés avec les x

Dans ses travaux à vocation didactique, l’Autri-chien suggéra diverses propositions concrètes pouraider des élèves à utiliser adéquatement le symbolex. Nous en retenons ici de deux deux types.

4.1. Distinctions selon le sens

Selon le mathématicien autrichien, le rejet des ma-thématiques par Johnny pourrait s’expliquer decette manière (3) : « Alors que Johnny aborde ra-tionnellement des problèmes mathématiques ren-contrés dans la vie courante, comme des questionsde coût ou de ristourne, l’idée de traiter les pro-blèmes scolaires dans le contexte de l’algèbre ne luivient même pas à l’esprit. En effet, il considère lesmathématiques comme détachées du (mais non op-posées au) bon sens, au lieu de se rendre comptequ’elles sont le type même du bon sens. Ainsi, il

se trompe en imaginant que les exercices de ma-thématiques doivent être résolus comme un abra-cadabra et il s’efforce alors de deviner l’incantationappropriée au lieu d’approcher l’algèbre rationnel-lement. Dans ces circonstances, la présentation demathématiques doit être absolument et impecca-blement rationnelle. Même l’inconsistance la pluslégère dans des pratiques ou des termes est intolé-rable. N’importe quelle contradiction sert seulementà renforcer l’idée fausse de magie qu’a un débutant.La solution du problème grave créé par ce malen-tendu des mathématiques est l’élimination de toutce qui ressemble, même de loin, à des absurditéssuivie par un appel au bon sens de l’élève. » ([7],pp. 582 - 583).

En substance, Menger conseille aux professeursd’insister sur la nécessité d’initier les élèves à êtrecapables de reconnaître quand une lettre x est uti-lisée pour désigner :a) une variable (4) comme dans la formule (1) ;b) la fonction identité comme dans (2) ou encore

dans les situations décrites dans la sous-sectionprécédente ;

c) une inconnue comme dans (3) ;d) une coordonnée comme dans (4), (5) et (6).L’Autrichien va même plus loin en recommandantd’utiliser des symboles distincts pour désigner desconcepts différents.

4.2. Suppression des variables

Pour Menger, la façon la plus radicale de réduireles difficultés rencontrées avec l’emploi de la nota-tion x pourrait consister simplement à éviter d’yrecourir ! Bien entendu, il serait absurde de sup-primer l’emploi de lettres en mathématiques, et enparticulier de la lettre x, tant l’usage des notationslittérales s’avère efficace. Mais, faire disparaître lessymboles x (ainsi que les y et les autres lettres dela fin de l’alphabet, éventuellement indicées) estpossible, et peut-être même recommandé, dans cer-taines situations fréquemment rencontrées en cal-cul différentiel ou intégral, ce qui pourrait éliminerdes difficultés que Johnny avait rencontrées avec leségalités (7) et (8).

Occupons-nous tout d’abord de (7). Le symbole xdans le second membre de l’égalité ainsi que le se-

(3) La citation est donnée dans une traduction assez libre.(4) Il s’agit ici de variable numérique que l’auteur distingue de ce qu’il appelle variable quantité telle que l’on trouve notam-ment dans l’item d) ci-après.

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cond x du premier membre désignent la variabledont dépendent les fonctions considérées et peuventprendre n’importe quelle valeur réelle (puisque cesfonctions sont partout définies et dérivables). Parcontre, le premier x du membre de gauche ne pos-sède pas le même statut que les autres : il n’estprésent que pour indiquer la variable par rapportà laquelle on dérive. . . et, dans ce cas, on pour-rait évidemment difficilement imaginer une autrevariable de dérivation que x ! Bref, les lettres x decette formule paraissent assez inutiles et vont êtresupprimées en mettant en évidence ce qui est ici im-portant, à savoir le fait de transformer une fonction(soit le sinus) en une autre (c’est-à-dire le cosinus)par l’« opération » de dérivée. Faisons dès lors ap-pel à l’opérateur de dérivation, qui sera noté danscet article D : il associe à une fonction f (suppo-sée dérivable) sa dérivée Df . C’est ainsi que l’ondispose notamment de ces formules classiques (quisont vraies sur l’ensemble de tous les réels, sauf évi-demment la cinquième qui n’est pas valable là où lecosinus s’annule) :

D sin = cos , D cos = − sin

D sinh = cosh , D cosh = sinh

D tg =1

cos2, . . .

Une telle convention d’écriture convient donc bienpour les fonctions trigonométriques ou hyperbo-liques. Quant aux autres fonctions élémentaires,elles ne donnent pas lieu, en première analyse, àun traitement comparable, mais leur sort peut êtreréglé par l’adoption de notations adéquates.

Considérons tout d’abord la fonction exponentielle(en base e). Un problème se présente avec elle sion note ses valeurs sous la forme ex ; en effet, onne peut pas supprimer les lettres x dans l’égalitédonnant la dérivée de ex à l’aide de la notation d

dx ,puisque la dérivée de e est nulle. Le problème peuttoutefois être aisément réglé : il suffit de désigner lafonction exponentielle à l’aide de la notation exp :on peut alors écrire

D exp = exp .

Passons à présent au cas du logarithme (népérien)et aussi aux fonctions dont les valeurs de x sont lespuissances de la variable. La suppression des x pa-raît également impossible à première vue. Une telleconstatation fournit, d’après Menger, une raisonpour laquelle le symbole x est généralement utilisépour noter des dérivées (et aussi des intégrales défi-nies ou indéfinies, comme nous le verrons ultérieu-rement). Cet auteur a évoqué à ce sujet « une desgrandes curiosités dans l’histoire de l’analyse ma-thématique » qui peut être comparée à l’absencede symbole pour nommer le nombre « zéro » dansl’ancienne arithmétique ([7], p. xiii).

En effet, il a constaté que, traditionnellement, iln’existait pas de symbole pour désigner la fonctionidentité et il proposa de combler cette lacune en dé-signant cette fonction par le symbole j de sorte quela valeur de j en x (5) coïncide avec x (quel que soitx). De la sorte, il est possible d’écrire les formulesdonnant la dérivée de ln qui désigne le logarithmenépérien, celle des fonctions puissances, notées suc-cesivement j, j2, j3, . . . , ainsi que celle des autresfonctions élémentaires courantes. De fait, avec lesconventions d’écriture décrites ci-dessus, on a parexemple (éventuellement sous réserve d’existence) :

D ln =1

j, Dj = 1 ,Dj2 = 2j , Dj3 = 3j2

D arctan =1

1 + j2, . . .

Observons que les règles habituelles du calcul dif-férentiel peuvent être écrites sans faire intervenirde variables ; par exemple, pour dériver la sommede deux fonctions f et g, on peut écrire (f + g)′ =f ′ + g′. Menger, lui, fait appel à l’opérateur dedérivation D , ce qui l’amène à présenter les for-mules fondamentales relatives aux dérivées commesuit (6) :

D (f + g) = Df + Dg

D (f.g) = f.Dg + g.Df

D (fg) = (Df) g.Dg .

(5) L’Autrichien note la valeur d’une fonction f en x non pas f(x) comme la coutume le veut désormais, mais bien fx sansparenthèses, ce qui est d’ailleurs généralement le cas pour noter la valeur du sinus, par exemple ; cet auteur écrit donc expxau lieu de ex.(6) On notera que l’auteur indique le produit de deux fonctions par un point, tandis que la succession de deux notationsfonctionnelles se réfère au classique produit de composition, en accord avec la note précédente.

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Venons-en à présent à l’égalité (8). La lettre x estdans ce cas une variable muette, de sorte qu’ellepeut être remplacée par n’importe quelle autrelettre, et, pourquoi pas, carrément supprimée.

Par exemple, on pourra écrire indifféremment∫ π

0sin x dx =

∫ π

0sin t dt =

∫ π

0sin = [− cos]π0 = 2.

La suppression de la lettre x dans des intégrales in-définies est également possible. De fait, on notera∫

f une primitive (7) de f , c’est-à-dire n’importequelle fonction ayant f pour dérivée. En consé-quence, on a

D

(∫

f

)

= f.

Mais, comme une fonction primitivable admet plu-sieurs primitives, on est amené à introduire cettenotation nouvelle

f ∼ g si et seulement si Df = Dg.

Dès lors, on a∫

f ∼ g si et seulement si f = Dg et∫

(Df) ∼ f.

Moyennant l’introduction de ce symbole ∼ (qui dé-finit bien entendu une relation d’équivalence), ainsiqu’aux notations utilisées ci-dessus, on est capablede construire un formulaire relatif à la primitivationdes fonctions élémentaires ; par exemple,

∫

cos ∼ sin ,

∫

sinh ∼ cosh

∫

exp ∼ exp ,

∫

j2 ∼ j3

3, . . .

Grâce à ce qui précède, les formules usuelles rela-tives aux primitives peuvent être écrites sans va-riables, à savoir la primitivation d’une somme dedeux fonctions, celle par parties et enfin celle parsubstitution :

∫

(f + g) ∼∫

f +

∫

g∫

(f.Dg) ∼ f.g −∫

(g.Df)(∫

h

)

g ∼∫

[hg.Dg] .

Notons que la dernière formule est, d’après Men-ger, le « test crucial pour une notation sans va-riables d’une primitivation par substitution : tradi-tionnellement, cette méthode est traitée comme unchangement de variables » .

5. Quelques réflexions personnellesen guise de conclusion

Cette petite balade dans certains travaux du ré-puté mathématicien K. Menger nous a donné uneopportunité de nous remémorer cette lapalissade :nous, professeurs de mathématiques, manipulonsgénéralement sans effort et souvent avec une cer-taine délectation des symboles mathématiques, enparticulier des lettres x, mais nous ne devons pasperdre de vue les efforts que nous avons (vraisem-blablement) fournis lors de notre formation et (cer-tainement) durant les nombreuses heures de pra-tique ; cet entraînement nous permet désormais desurmonter des pièges qui peuvent perturber nosélèves, au point de les détourner parfois définiti-vement de notre discipline. Quant aux suggestionspratiques proposées par cet auteur, il nous a sem-blé intéressant de les présenter vu leur simplicité etaussi leur pouvoir de susciter chez l’enseignant desréflexions sur ses propres pratiques professionnelles.

Bien entendu, chaque lecteur en retiendra éventuel-lement ce qu’il jugera opportun pour ses proprescours, en l’adaptant à sa guise aux situations d’en-seignement spécifiques qu’il rencontrera.

Pour notre part, nous voudrions retenir avant toutla recommandation deMenger qui insiste sur l’im-portance pour un enseignant (et pour ses élèves) detoujours utiliser des notations adéquates et très pré-cises. À ce conseil, nous voudrions ajouter quelquesréflexions de didactique et avis personnels qui pour-raient, nous semble-t-il, intéresser des professeursde mathématiques.

En premier lieu, nous pensons que les travaux ana-lysés dans cette note ne concernent qu’un petit coindes mathématiques figurant dans les programmesscolaires et ils visent surtout des étudiants de lafin du secondaire ou du début du supérieur étantdonné que l’algèbre, l’analyse, la géométrie analy-tique et la trigonométrie figurent parmi les matièresconsidérées par Menger. Il est fort probable que lahaine qu’éprouve Johnny pour les mathématiques

(7) Parfois appelée antidérivée, notamment par Menger.

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s’est installée progressivement lors des études an-térieures. Une étape, importante et délicate, danscette évolution est assurément l’initiation au cal-cul littéral en début du secondaire, comme le sontd’ailleurs les différents statuts véhiculés par le signed’égalité et par les signes opératoires. Ces pointsmériteraient, selon nous, d’être développés ultérieu-rement dans un autre article.

Le travail de Menger, rédigé il y a plus d’undemi siècle, était en quelque sorte annonciateurde travaux réalisés ces dernières années par di-vers didacticiens. Certains de ceux-ci mettent l’ac-cent sur le fait que les mathématiciens travaillentavec des concepts, c’est-à-dire des objets auxquelss’appliquent des procédures (8). L’intérêt et l’effi-cacité des mathématiques, mais aussi parfois unecertaine difficulté lors de leur apprentissage, pro-viennent (au moins partiellement) de la « pluri-dimensionnalité conceptuelle et procédurale ». Cestermes un peu abscons peuvent être expliqués assezaisément. En effet, d’une part, il est souvent pos-sible de présenter un même concept sous plusieurs« facettes » différentes ; par exemple, une fonction(d’une variable réelle) est soit définie verbalement,ou bien par un tableau de nombres, ou en recou-rant à un graphique, soit encore analytiquement àl’aide d’une formule, ou bien de manière ensemblistesous la forme d’un ensemble de couples de nombres.D’autre part, il est facile de construire des cas oùplusieurs procédures (par exemple algébriques) ap-pliquées aux mêmes données conduisent à un mêmerésultat (9).

En plus de leur multiplicité potentielle, conceptset procédures sont « indissociables », en ce sensqu’un même concept peut être utilisé tantôt commeun « objet » tantôt comme un « outil » (10) ; parexemple, une fonction peut être vue comme étantun objet mathématique à étudier ou comme définis-sant une procédure permettant de calculer les va-leurs livrées par une loi transformant des nombresen d’autres nombres. Cette « dualité outil-objet »a conduit Gray et Tall [4] à introduire le termeprocept (11) pour désigner « l’entité constituée parun concept dans son double rôle d’outil et d’objet,

dès qu’un symbole a été choisi pour la désigner »([2], p. 41).

Comme exemple élémentaire de procept, considé-rons d’abord la notation x2 ; elle indique un pro-cessus, à savoir le calcul du carré d’un nombre x,mais ne fait référence en première approche à aucunconcept. Par contre, l’égalité f(x) = x2 concerne lemême processus consistant à calculer le carré d’unnombre x, mais elle définit aussi un concept, à savoirla loi f qui à un nombre arbitraire x associe x2. En-fin, l’écriture y = x2 suggère une autre procédure, àsavoir le tracé d’une parabole définie par l’équationen question, tandis qu’au plan conceptuel, la fonc-tion est ici donnée analytiquement à l’aide d’uneégalité faisant intervenir les deux variables x et y.Les différences entre ces trois procepts, pourtantsouvent jugés équivalents, sont résumées par le ta-bleau suivant :

Symbole Procédure Conceptx2 Calcul d’un carré -

f(x) = x2 Calcul d’un carré Fonction estune loi

y = x2 Dessin d’une Fonction définieparabole par une équation

Après ces considérations générales de didactique,venons-en aux suggestions pratiques formulées parMenger pour aider l’élève-type Johnny à mieuxmaîtriser l’usage des x.

Le premier conseil, recommandant d’utiliser des no-tations différentes pour noter les lettres x en fonc-tion du sens, nous semble difficile à mettre en pra-tique par les élèves dans leur cahier ou leurs devoirs,ainsi par le professeur lors de son exposé oral. Nousavouons d’ailleurs que nous n’avons pas suivi ce ju-dicieux conseil dans ce texte puisque nous avonsadopté les notations mathématiques proposées parle logiciel LATEX ! Néanmoins, il nous paraît fort per-tinent et son message principal pourrait être sim-plement appliqué en rappelant qu’il est toujours né-cessaire de bien comprendre le sens de ce que l’onfait en mathématiques, par exemple d’être conscient

(8) Une procédure est « une succession d’actions réalisées en vue d’obtenir une résultat (ou sortie) à partir de données (desentrées) » ([2], p. 40).(9) Certains auteurs utilisent le terme « processus » pour désigner un ensemble de procédures qui livrent un même résultatà partir de données déterminées.(10) Cette dialectique outil-objet a donné lieu à de nombreuses études par des didacticiens français travaillant dans le sillagede R. Douady [3].(11) C’est donc un néologisme formé à l’aide des deux mots « procédure » et « concept ».

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de travailler avec une procédure ou un concept, etmême d’être capable de travailler avec un procept ;par ailleurs, il importe également de savoir avec pré-cision dans quel contexte et avec quelles règles l’ontravaille.

Quant au second conseil, consistant à supprimerl’usage de certains x en analyse, il nous inspire cer-tains commentaires nuancés.

Prenons avant tout la précaution de signaler quel’idée émise par l’Autrichien d’éliminer certains x ety fait partie d’un enseignement universitaire d’ana-lyse, portant aussi bien sur les fonctions d’une seulevariable que de plusieurs variables ; notre présenta-tion, forcément partielle, ne prend pas en comptetous les avantages récoltés par l’auteur sur l’en-semble de son cours.

Selon nous, la notation des dérivées et intégralessans recours à la lettre x offre l’avantage de tra-vailler exclusivement dans le cadre fonctionnel etde mettre ainsi en évidence des règles générales por-tant essentiellement sur des fonctions ; de plus sontainsi bannies les confusions potentielles entre unefonction et les valeurs numériques que celle-ci peutprendre. La suggestion de Menger nous paraîtdonc pertinente pour certains étudiants entrant àl’Université (12). Par contre, elle nous semble moinsadaptée à des élèves du secondaire qui ont besoin deconcevoir des fonctions avant tout comme des ou-tils (qui donnent donc une image pour chaque réeloù elles sont définies) avant de penser à les consi-dérer comme des objets (c’est-à-dire des concepts) ;d’ailleurs, comme l’a dit en substance la didacti-cienne M. Artigue lors de la conférence inauguralequ’elle a donnée au récent Congrès de la SBPMef(Mons, 2015) : « une centration trop précoce surla dimension objet est dangereuse ». En d’autrestermes, on pourrait dire que l’apprentissage duprocept-fonction, comme celui de tout autre pro-cept d’ailleurs, doit être généralement réalisé pro-gressivement en partant du procédural avant d’enarriver au conceptuel : plus précisément, il se réaliseen « une succession, dans un parcours en spirale, dephases qui alternent l’acquisition de nouvelles pro-cédures et celles de nouveaux concepts » ([2], p. 39).

Par ailleurs, la notation fx pour désigner l’image,généralement notée f(x), de x par f n’est pas uti-lisée dans les applications des mathématiques (parexemple, en physique ou en économie) ; elle peutaussi être particulièrement perturbante quand sontconsidérées des fonctions composées. À ce propos, ilconvient de remarquer que Menger était conscientdu fait que sa notation inhabituelle pourrait trou-bler les élèves ; il invitait d’ailleurs ceux-ci à re-courir aussi bien aux écritures traditionnelles qu’àcelles qu’il préconisait. Au surplus remarquons quel’écriture

∫ ba f pour désigner une intégrale définie

est certes dépouillée et bien adaptée dans certainessituations, par exemple pour énoncer les règles gé-nérales sur les intégrales, mais qu’elle ne suggèreaucune interprétation géométrique de ce que repré-sente une intégrale définie, au contraire de la nota-tion classique

∫ ba f(x) dx où le facteur dx de l’in-

tégrand rappelle la présence de termes « infinimentpetits » dans la présentation riemanienne classiquede l’intégrale en question, ce qui est fort utile pourinterpréter graphiquement cette intégrale (13).

Enfin, l’introduction du symbole j pour désignerla fonction identité présente assurément des avan-tages, comme il est indiqué ci-dessus, mais ilconduit notamment son créateur à considérer cequ’il appelle les paraboles j2 et j

12 , qui sont bien

sûr reliées aux paraboles définies par les équationsrespectives y = x2 et x = y2. Toutefois, ces écrituresne sont pas tout à fait équivalentes, car elles ne dé-bouchent pas sur les mêmes portions de courbes.

En résumé, cette notation x n’est peut-être pasaussi simple que nous le croyions avant d’ente-prendre la rédaction de cette note. En tout cas, ellepeut soulever de multiples questions qui devraientfavoriser un travail réflexif des lecteurs qui auronteu le courage de lire l’article en entier.

Pour en savoir plus[1] Carlier F. - Dardenne A., KEXEXE-

TIXLA, Math-Jeunes, 7, 30, 1985-86, p. 40.

[2] Cazzaro J.P. - Noël G. - Pourbaix D.- Tilleuil P., Structurer l’enseignement desmathématiques par des problèmes, De Boeck,Bruxelles, 2001.

(12) C’est dans ce contexte que se place l’auteur.(13) Pour rappel, lorsque la fonction f n’est pas négative, cette intégrale donne (la mesure de) l’aire de la région com-prise entre le graphe de la fonction, l’axe horizontal du plan, ainsi que les deux verticales déterminées par les bornesd’intégration ; par ailleurs, depuis Riemann, on sait (sous réserve d’existence et avec des notations classiques) que :∫ b

af = limn→+∞ , ∆xi→0 Σ

ni=1 f (xi)∆xi.

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Sur l’emploi de la lettre x

[3] Douady R., Jeux de cadres et dialectiqueoutil-objet, Recherches en didactiques des ma-thématiques, 7, 1986, pp. 5 - 31.

[4] Gray E.M. - Tall D.O., Duality, ambiguityand flexibility : a “proceptual” view of simplearithmetic, Journal for Research in Mathema-tical Education, 25, 1994, pp. 116 - 140.

[5] Menger K., Calculus, A Modern Approach,Ginn and Company, Boston, 1955.

[6] Menger K., The basic concepts of mathe-matics : a companion to current textbookson algebra and analytic geometry, Volume 1,The Bookstore, Illinois Institute of Technology,1956.

[7] Menger K., Selected Papers in Logic andFoundations, Didactics, Economics, D. Rei-del Publishing Company, Dordrecht, Holland,1979.

[8] Sfard A., On the dual nature of mathematicalconceptions : reflections on process and objectsas different sides of the same coin, EducationalStudies in Mathematics, 22, 1991, pp. 1 - 36.

[9] Trompler S., Quand et où sont apparus lessignes mathématiques, Math-Jeunes, 10, 41,1988, pp. 14 - 20.

Annexe : Éléments biographiquessur Menger

Durant la fin du 19e et le 20e siècles vécurent enAutriche deux grands scientifiques portant le mêmenom, à savoir Menger, et deux prénoms proches,soit Carl et Karl.

Le premier, Carl (1840 - 1921), fonda l’École au-trichienne d’Économie et fut un des créateurs dela théorie du marginalisme qui attache une atten-tion particulière à la valeur économique provoquéepar l’apport d’une unité additionnelle consomméeou produite ; cette théorie est essentielle en microé-conomie et utilise abondamment le calcul différen-tiel.

Le second, Karl (1902 - 1985), le fils de Carl, futun mathématicien influent du siècle dernier. Il fitses études à l’Université de Vienne où il obtintle diplôme de docteur en sciences mathématiques(en 1924) ; puis, après un séjour post-doctoral à

l’Université d’Amsterdam (de 1925 à 1927), il y futprofesseur de géométrie (de 1927 à 1936) ; durantcette période, il intégra le fameux Cercle de Vienne(https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_de_Vienne) qui regroupait des savants d’horizons va-riés, puisqu’ils étaient des spécialistes en philoso-phie, en logique, en mathématiques, ainsi qu’ensciences naturelles ou sociales. Parallèlement, ilexerça diverses activités éditoriales de 1937 à 1946,et fonda notamment les Reports of a MathematicalColloquium, Second Series. Par après, il fut nomméprofesseur de mathématiques à l’Illinois Instituteof Technology de Chicago où il enseigna de 1946 à1971. Il fut également professeur-visiteur dans plu-sieurs autres universités (Harvard, Paris, Ankara,Arizona).

Durant sa carrière, longue de six décennies, KarlMenger publia plus de 230 articles. Ses travauxportèrent principalement sur la géométrie et la to-pologie ; il y aborda de multiples thèmes fondamen-taux en les traitant d’un « point de vue intrin-sèque » (Kass, p. 558) : étude des courbes, de ladimension, de la distance, des fondations de la géo-métrie de Bolyai-Lobachevsky ; son nom est encoreassocié à l’éponge éponyme qui est l’analogue dansl’espace de ce qu’est le tapis de Sierpinski dans leplan.

Il s’intéressa également à toutes sortes de pro-blèmes conceptuels variés (en logique, analyse, al-gèbre, éthique, économie, didactique) qui influen-cèrent fortement divers savants. Par exemple, unde ses articles en économie incita le célèbre J. VonNeumann à entreprendre la construction d’unethéorie formelle de l’utilité ; dans une autre note, ilintroduisit le concept de hasy set (14) dans lequel ilremplaça la relation d’appartenance d’un élément àun ensemble par la probabilité qu’a l’élément d’ap-partenir à cet ensemble : ceci préfigurait l’étude dece que l’on appela plus tard un fuzzy set (https://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_floue) (15) quifut introduit plus tard (en 1965) par L. Zadeh etqui admet de nos jours des applications technolo-giques importantes.

Il a notamment rédigé, en anglais, de nombreux ar-ticles relatifs à l’enseignement des mathématiques.En plus des livres cités dans la bibliographie, voiciles titres de ces travaux rangés chronologiquementen fonction de leur date de publication :

(14) Une traduction française de ces termes est « ensemble vague (ou brumeux) ».(15) En français, « ensemble (ou sous-ensemble) flou ».

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Sur l’emploi de la lettre x

– « What is Calculus of Variations and What AreIts Applications ? », The Scientific Monthly, 45(3), 1937, pp. 250 - 253 ;

– « What is Dimension ? », Amer. Math. Monthly,50 (1), 1943, pp. 2 - 7 ;

– « On the Teaching of Differential Equations »,Amer. Math. Monthly, 51 (7), 1944, pp. 392 - 395 ;

– « Methods of Presenting e and π », Amer. Math.Monthly, 52 (1), 1945, pp. 28 - 33 ;

– « Are Variables Necessary in Calculus ? », Amer.Math. Monthly, 56 (9), 1949, pp. 609 - 620 ;

– « Tossing a Coin », Amer. Math. Monthly, 61 (9),1954, pp. 634 - 636 ;

– « Why Johnny hates math », The MathematicsTeacher, 49 (8), 1956, pp. 578 - 584 ;

– «What are Variables and Constants ? », Science,New Series, 123 (3196), 1956, pp. 547 - 548 ;

– « What are x and y ? », Mathematical Gazette,40 (334), 1956, pp. 246 - 255 ;

– « New Approach to Teaching Intermediate Ma-thematics », Science, New Series, 127 (3310),1958, pp. 1320 - 1323 ;

– « Gulliver in the Land without One, Two,Three », Mathematical Gazette, 43 (346), 1959,pp. 241 - 250 ;

– « Gulliver’s Return to the Land Without One,Two, Three », Amer. Math. Monthly, 67 (7),1960, pp. 641 - 648 ;

– « The Geometry Relevant to Modern Educa-tion », Educational Studies in Mathematics, 4 (1),1971, pp. 1 - 17.

Pour en savoir plus sur le mathématicien au-trichien :

- Kass S., Karl Menger, Notices of the AMS, Vo-lume 43, Number 5, 1996, pp. 558 - 561.

- O’Connor J.J. - Robertson E.F., Menger Bio-graphy, JOC/EFR, MacTutor History of Mathe-matics archive, University of St Andrews, 2014,adresse électronique : http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies.Menger.html.

- Wikipedia, the free encyclopedia, Karl Menger,juin 2015, https://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Menger.

Jacques Bair est professeur émérite de l’Université de Liège. kj.bair@ulg.ac.be

L’ensemble de Mandelbrot - variations de couleurs en fonction de la vitesse d’échappement dudisque de rayon 2 © Jean-Marc Desbonnez

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