Sur les Fonctions Uniformes qui se reproduisent par des Substitutions Lin5aires.

(Extrait d'une lettre adress~e ~ Mr. F. Klein.)

Par

H. POXSCAR~ k Paris.

. . . Vous avez eu derni~rement la bont6 de faire insdrer aux Mathematische Annalen*) mort travail sur les fonctions uniformes qui se reproduisent par des substitutions lingaires et vous l 'avez fair suivre d'une note off vous exposez les raisons qui vous font trouver pen convenables les noms que j 'ai donngs h c e s transcendantes. Per- met tez-moi de vous adresser quelques lignes pour ddfendre mes rig- nominat ions, que je n'ai pas choisies au hasard**).

Si j ' a i cru devoir donner aux fonetions nouvelles le nom de M. Fuchs, ce n 'est pas que je mdconnaisse ]a valeur des travaux de lYl. Schwarz et des v5tres; je suis le l~remier, au contraire, ~ en appr6cier la haute importance. Mais il ne m'gtai t pas possible d'oublier les dgcouvertes si remarquables que le savant professeur de Heidelberg a publiges darts le Journal de Crelle. Elles sont le fondement de la thgorie des dquations lindaires et , sans elles, je n'aurais pu aborder l'~tude de rues transcendantes qui se lient si directement ~ cette thgorie. Dans ses premiers t ravaux, M. Fuchs se place, il est vrai,

un point de rue un peu diffdrent du mien et ne se prdoccupe ni de la discont inui~ des groupes, ni de l 'uniformitg des fonctions. Mais M. Schwarz, dans ses mdmoires des tomes 70 et 74 du Journal de

*) t. XIX, p. 553--564. **) Herrn Poincard's Darlegungen habe ieh nur hinzuzuftigen, dass ieh ftir

mein Theil allerdings nach wie vor an der Auffassung festhalte, der ich auf p. 564 des XIX. Annalenbandes Ausdruck gegeben babe. Dabei will ich nieht unterlassen, ausdrticklieh auf die ~Note aufmerksam zu machen, mit welcher Herr Fuchs yon sich aus dem auf ihn bez/iglichen Passus meiner Auseinander- setzung entgegengetreten ist (cf. GSttinger 1Nachriehten yore 4. M~rz 1882).

D/isseldorf , den 2. April 1882. F. Klein.

Sur une classe de fonctions. 53

Cre]le, ne s'en prdoccupe pas non plus; il en dit quelques roots dans un cas tr~s particulier, dans le mgmoire du tome 75 que j 'ai citd dans ma note. C'est l~ seulement qu'il se trouve: , a u f dem Gebiete der fonctions fuchsiennes." Dans vos belles recherches sur les fonctions modulaires, votre fa~on d'envisager les choses diffgrait peu de la mienne, mais vous aviez plutSt en rue alors l'6tude des fonctions elliptiques, que celle des 6quations lingaires. Quant ~ M. Fuchs, dans ses mdmoires des tomes 83 et "89 du Journal de Crelle, il s'est 61evg �9 ~ un point de rue nouveau e t a mis en lumi~re le lien 6troit qui unit la thgorie des 6quations diffgrentielles ~ celle de certaines fonctions uniformes. Ce fur la lecture de ces mgmoires qui devint le point de dgpart de mes recherches.

En ce qui concerne les fonctions Kleingennes, j 'aurais due com- mettre une injustice, si je leur avais donn6 un autre nora que le votre. C'est M. Schottky qui a d6couvert la figure qui faisait l'objet

d e votre lettre, mais c'est vous qui avez: ,~ihre principielle Wichtig- keit betont", comme vous dites ~" la fin de votre savant travail: ,,Ueber eindeutige Functionen mit linearen Transformationen in sich".

Quant h c e que vous dites de Riemann, je ne puis qu'y souscrire pleinement. C'6tait un de ces ggnies qui renouveIlent si bien la face de la science qu'ils impriment leur cachet, non seulement sur les oeuvres de leurs gloves immddiats, mais sur celles de tous leurs sue- cesseurs pendant une longue suite d'anndes, l~iemann a cr66 une thdorie nouvelle des fonctions, et il sera toujours possible d'y retrouver le germe de tout ce qui s'est fair et se fera apr~s lui en analyse mathdmatique . . . .

P a r i s , le 30. Mars ]882.