This article was downloaded by: [Northeastern University]On: 22 November 2014, At: 10:17Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House,37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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SUR LES INVARIANTS DE Bλ SOUS L'ACTION DE SOUS-GROUPES FINIS D'AUTOMORPHISMES: CONJECTURE DEGELFAND-KIRILLOV ET HOMOLOGIE DE HOCHSCHILDOdile Fleury-Barka aa Département de Mathématiques , Université de Reims , UPRESA 6056, Moulin de la Housse.B.P. 1039, REIMS, Cedex 2, 51687, FrancePublished online: 20 Aug 2006.

To cite this article: Odile Fleury-Barka (2001) SUR LES INVARIANTS DE Bλ SOUS L'ACTION DE SOUS-GROUPES FINISD'AUTOMORPHISMES: CONJECTURE DE GELFAND-KIRILLOV ET HOMOLOGIE DE HOCHSCHILD, Communications in Algebra, 29:8,3535-3557, DOI: 10.1081/AGB-100105037

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SUR LES INVARIANTS DE Bl SOUS

L’ACTION DE SOUS-GROUPES FINIS

D’AUTOMORPHISMES: CONJECTURE DE

GELFAND-KIRILLOV ET HOMOLOGIE

DE HOCHSCHILD

Odile Fleury-Barka

Universite de Reims, Departement de Mathematiques,UPRESA 6056, Moulin de la Housse. B.P. 1039,

51687 REIMS Cedex 2, France

ABSTRACT

Let Bl be a minimal primitive quotient of Uðsl2Þ and G afinite subgroup of automorphisms of Bl. We prove that thealgebras of invariants BG

l satisfy the Gelfand-Kirillov con-jecture, that is Frac ðBG

l Þ ’ D1ðCÞ (where D1ðCÞ denotes the1st Weyl field). Then we compute the 0th Hochschildhomology group of these algebras.

RESUME

Soient Bl un quotient primitif minimal de Uðsl2Þ et G unsous-groupe fini d’automorphismes de Bl. Nous montrons

3535

Copyright # 2001 by Marcel Dekker, Inc. www.dekker.com

COMMUNICATIONS IN ALGEBRA, 29(8), 3535–3557 (2001)

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d’abord que les algebres d’invariants BGl satisfont la con-

jecture de Gelfand-Kirillov, i:e: Frac ðBGl Þ ’ D1ðCÞ (ou

D1ðCÞ designe le corps de Weyl d’indice 1 sur C). On etudieensuite l’homologie de Hochschild en degree 0 de cesalgebres BG

l dont on calcule explicitement les dimensions ense ramenant par Morita-equivalence aux produits croisesBl � G.

1. INTRODUCTION

Dans [GK], Gel’fand et Kirillov ont enonce la conjecture suivante: Si gest une algebre de Lie algebrique de dimension finie sur un corps commu-tative k de caracteristique nulle, alors le corps des fractions de UðgÞ est uncorps de Weyl sur kðX1; . . . ;XsÞ (avec s convenablement choisi). Cette con-jecture est demontree pour les cas ou g est nilpotente ([GK]), resoluble ([Jo],[McC]) et de type An ([GK]). Dans [AOV2], elle est aussi demontree en toutedimension inferieure ou egale a 8, les memes auteurs ayant auparavantexplicite un contre-exemple a la conjecture, en dimension 9 ([AOV1]).

Si G est un groupe fini et V une representation de dimension finie n surC de G, le probleme de Noether consiste a examiner les cas ou le corps desinvariants CðVÞG

est une extension transcendante pure de C. On sait quec’est le cas lorsque n ¼ 2 et 3 ([Mi]). Dans [AD], un analogue de ce problemeest resolu dans le contexte non commutatif de Gel’fand-Kirillov, pour n ¼ 2.En etablissant un analogue non commutatif du lemme de Miyata ([Mi]), J.Alev et F. Dumas montrent que si R designe une extension de Ore iteree noncommutative de C en deux variables et si G est un sous-groupe fini de Aut R,alors:

� ou bien FracR ’ D1ðCÞ et Frac ðRGÞ ’ D1ðCÞ;

� ou bien FracR ’ Dq1ðCÞ et Frac ðRGÞ ’ D

qjGj

1 ðCÞ:

On demontre ici par une methode similaire que les algebres Bl, quotientsprimitifs minimaux de Uðsl2Þ (dont on peut prouver qu’elles ne sont pasMorita-equivalentes a des extensions de Ore) verifient le theoreme:

Theoreme. Pour tout sous-groupe fini G de Aut Bl; on a

FracBl ’ D1ðCÞ et Frac BGl� �

’ D1ðCÞ:

En vue de separer les algebres d’invariants BGl , on s’attache ensuite a

etudier l’homologie de Hochschild en degre 0 (lorsque Bl est simple et G

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admissible), soit encore, par Morita-equivalence, celle du produit croiseBl � G ¼ �g2G Blg. On utilise pour cela de facuon fondamentale un lemmede M. Lorenz ([Lo]) qui ramene le probleme a une etude approfondie descentralisateurs des elements g de G et de leur action sur le 0e groupe d’ho-mologie de Hochschild de Bl a valeurs dans le bimodule Blg. On demontreainsi le theoreme:

Theoreme. Soit �G l’un des cinq types de sous-groupes finis ða conjugaisonpresÞ de SLð2;CÞ; i.e. A2n;Dn;E6;E7 ou E8. Soient G son image dansPSLð2;CÞ ðidentifie a Autðsl2ÞÞ et sð�GÞ le nombre de classes de conjugaison de�G. Alors pour tout l 6¼ nðn þ 2Þ ðn 2 NÞ; on a

dimHH0 BGl

� �¼ sð �GÞ � 1:

Ce resultat separe en particulier certaines des algebres BGl mais la separation

n’est pas complete puisque le resultat ne ‘‘voit’’ par exemple pas l. L’iso-morphisme B�3

4’ A1ðCÞ�id

implique que l’on a BG�3

4

’ A1ðCÞ�G, ce qui montreque les resultats de ce travail generalisent certains resultats de [AL].

Une derniere propriete interessante de ces algebres d’invariants BGl , elle

aussi commune avec les algebres A1ðCÞ�G, est que ce sont des deformationsdes surfaces de Klein, i.e. on a l’isomorphisme grFG Blð ÞG’ C X ; Y½ ��G.En outre, les deux structures de Poisson de C X ; Y½ ��G, l’une heritee de lastructure symplectique du plan et l’autre induite par le crochet de Poisson degrF Blð Þ, coıncident.

2. RAPPELS ET NOTATIONS

On rappelle que sl2 est l’algebre de Lie de dimension 3 suivante:

sl2 ¼ CE� CH� CF;

avec

H;E½ � ¼ 2E; H;F½ � ¼ �2F et E;F½ � ¼ H:

Soit Uðsl2Þ l’algebre enveloppante de sl2 et soit O ¼ 4FE þ H2 þ 2H ; onsait alors que le centre de Uðsl2Þ est C O½ �. Selon les notations de [Di], pourtout l 2 C, posons

Il ¼ Uðsl2ÞðO � lÞ et Bl ¼ Uðsl2Þ=Il:

Alors les ideaux Il sont exactement les ideaux primitifs de Uðsl2Þ de codi-mension infinie. Lorsque l n’est pas de la forme nðn þ 2Þ (n 2 N), alors Il estun ideal bilatere maximal de Uðsl2Þ et donc Bl est simple. Lorsquel ¼ nðn þ 2Þ (n 2 N), alors Bl possede un ideal non nul unique, qui est de

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codimension ðn þ 1Þ2. Dixmier a montre ([Di] 6.4) que les algebres Bl sont

deux a deux non isomorphes. Bl est une algebre noetherienne a gauche et adroite, de centre C.

La filtration canonique de Uðsl2Þ passe au quotient dans Bl. Alors ona l’isomorphisme

grðBlÞ ’ C X;Y;Z½ �ð4XZþ Y2Þ

et par consequent Bl est integre et ses seuls elements inversibles sont lesscalaires non nuls.

Nous noterons e; f ; h les images canoniques de E;F;H dans Bl. On ales relations suivantes

h; e½ � ¼ 2e; h; f½ � ¼ �2f; e; f½ � ¼ h; l ¼ 4feþ h2 þ 2h ¼ 4efþ h2 � 2h;

ð2:0:1Þ

de sorte que sl2 est isomorphe au sous-espace vectoriel Ce þ Ch þ Cf de Bl.

Proposition 2.1. ð½Di� 1:6Þ: Les elements f mhn et hner ðm; n 2 N; r 2 N?Þ

forment une base de l’espace vectoriel Bl.

Remarque 2.2 ([Di] 1.10). On a Bl ¼ C � Bl;Bl½ �:

Rappelons maintenant quelques resultats concernant les automorphismesdes algebres Bl:

Remarque 2.3 ([Di] 4.3). Tout automorphisme de sl2 se prolonge de maniereunique en un automorphisme de Uðsl2Þ qui laisse stable l’ideal Il. On definitainsi un homomorphisme injectif de Autðsl2Þ dans Aut Bl. Dans toute lasuite on identifiera Autðsl2Þ a son image dans Aut Bl.

Theoreme 2.4 ð½Fl� 1:3:2Þ: Tout sous-groupe fini de Aut Bl est conjugue dansAut Bl a un sous-groupe de Autðsl2Þ.

Notations 2.5. On rappelle la description de Aut(sl2) ([Ja]): On a

Autðsl2Þ ¼ LA : X 7!A�1XA ; A 2 SLð2;CÞ� �

:

De facon plus explicite, si A ¼�

a b

c d

�2 SLð2;CÞ, alors on a:

LA : f 7! � b2 e� ab hþ a2 f

h 7! 2bd eþ ðadþ bcÞ h� 2ac f

e 7! d2 eþ cd h� c2 f:

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L’application SL(2,C)! Autðsl2Þ, A 7!LAt est clairement un homo-morphisme de noyau �If g et on a donc PSLð2;CÞ ’ Autðsl2Þ; de sortequ’on obtient le schema:

SLð2;CÞ !! PSLð2;CÞ ’ Autðsl2Þ i,! AutBl:

Rappelons que les sous-groupes finis de SLð2; C) sont classifies a con-jugaison pres ([Sp]). Plus precisement, notons on ¼ expð2ip=nÞ pour n 2 N?

et considerons les elements suivants de SLð2; C):

yn ¼on 0

0 o�1n

� �; m ¼

0 i

i 0

� �; Z8 ¼ 1ffiffiffi

2p o7

8 o78

o58 o8

!;

f5 ¼ �o35 0

0 �o25

!; n ¼

0 1

�1 0

� �;

c5 ¼ 1

o25 � o�2

5

o5 þ o�15 1

1 �ðo5 þ o�15 Þ

!:

Alors tout sous-groupe fini de SL(2,C) est conjugue a l’un des cinq typesnon isomorphes suivants:

le groupe cyclique Cn, engendre par yn;le groupe diedral binaire Dn, d’ordre 4n, engendre par y2n et m;le groupe tetraedral binaire T d’ordre 24, engendre par y4, m et Z8;le groupe octaedral binaire O d’ordre 48, engendre par y8, m et Z8;le groupe icosaedral binaire I d’ordre 120, engendre par f5, n et c5.

Ces 5 types sont encore appeles An;Dn;E6;E7 et E8. On en deduit alors, parpassage au quotient, a conjugaison pres les 5 types de sous-groupes finis dePSLð2; CÞ et donc de Autðsl2Þ, que l’on notera respectivementA2n;Dn; E6; E7 et E8.

Un sous-groupe de AutBl sera dit ‘‘admissible’’ s’il est l’image parl’injection canonique i de l’un des 5 sous-groupes A2n;Dn; E6; E7 ou E8.

3. PROPRIETE DE GEL’FAND-KIRILLOV POUR Frac ðBGk Þ

Lemme 3.1. On a l’isomorphisme:

FracBl ’ D1ðCÞ;

ou D1ðCÞ designe le corps des fractions de l’algebre de Weyl A1ðCÞ d’indice 1sur C.Demonstration: Elle repose sur les plongements de Conze (cf. [Di]):

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Soit m tel que m2 þ 2m ¼ l. Alors l’application

F : Bl ! A1ðCÞe 7! � mq� pq2

f 7! p

h 7! m þ 2pq

definit un morphisme d’algebre, qui induit un isomorphisme de Bl sur unesous-algebre ~A1ðCÞ de A1ðCÞ.

Par consequent, on a

FracBl ’ Frac ~A1ðCÞ � FracA1ðCÞ:

Or pq 2 ~A1ðCÞ et p 2 ~A1ðCÞ � Frac ~A1ðCÞ, donc p�1 et p�1:pq ¼ q aussi. Ona alors p et q 2 Frac ~A1ðCÞ, i.e. D1ðCÞ ¼ Frac A1ðCÞ � Frac ~A1ðCÞ, d’ou

FracBl ’ Frac ~A1ðCÞ ¼ D1ðCÞ:

Remarque 3.2. Soient l 2 C quelconque et G un sous-groupe fini de Aut Bl.L’action de G sur Bl se prolonge naturellement en une action sur Frac Bl.Puis d’apres le theoreme 5.3 de [Mo], il vient

FracðBGl Þ ¼ ðFracBlÞG:

D’apres le theoreme 2.4, si G un sous-groupe fini de AutBl, on sait que G estconjugue dans AutBl a un sous-groupe G0 de Aut(sl2). On a alors

ðFracBlÞG ’ ðFracBlÞ

G0 :

Par consequent, il suffit d’etudier les invariants de Frac Bl sous l’action d’unsous-groupe fini de Autðsl2Þ.

Dans la suite, fixons a 2 C tel que aða þ 2Þ ¼ l et definissons les ele-ments w ¼ � 1

2e et v ¼ e�1ðh þ aÞ de Frac Bl.

Proposition 3.3. Soit g dans Autðsl2Þ. Alors g stabilise le sous-corpsK ¼ CðvÞ et la sous-algebre S ¼ CðvÞ w; @v½ � de FracBl.

Demonstration: Soit g ¼ LC 2 Aut(sl2) avec C ¼�

a b

c d

�2 SL(2,C) (voir

les rappels).Alors on a:

gðvÞ ¼ gðe�1ðhþ aÞÞ¼ ðd2 eþ cd h� c2 f Þ�1 2bd eþ ðadþ bcÞ h� 2ac fþ að Þ:

Posons A ¼ d2 e þ cd h � c2 f et B ¼ 2bd e þ ðad þ bcÞ h � 2ac f þ a, desorte que gðvÞ ¼ A�1B et etudions A et B.

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On a

A ¼ eðd2 þ cd e�1h� c2 e�1f Þ ð3:3:1Þ¼ eðd2 þ cd e�1ðhþ aÞ � cda e�1 � c2 e�1f Þ ð3:3:2Þ¼ eðd2 þ cd v � cda e�1 � c2 e�1f Þ: ð3:3:3Þ

Or on a

v2 ¼ ðe�1ðhþ aÞÞ2 ¼ e�1ðhþ aÞe�1ðhþ aÞ¼ e�1e�1ðhþ a þ 2Þðhþ aÞ¼ e�2ððh2 þ 2ða � 1Þ hþ aða � 2ÞÞ¼ e�2ðh2 � 2 h� lÞ þ e�2ð2a hþ aða � 2Þ þ lÞ¼ �4 e�1fþ 2ae�1 � e�1ðhþ aÞ¼ �4 e�1fþ 2ae�1v;

d’ou l’on tire

e�1f ¼ � 1

4v2 þ a

2e�1v: ð3:3:4Þ

En reportant dans (3.3.3), on a par consequent

A ¼ e d2 þ cd v � cda e�1 þ c2

4v2 � c2

2a e�1v

� �;

puis en factorisant:

A ¼ e dþ c

2v � ac e�1

� �dþ c

2v

� �ð3:3:5Þ

D’autre part, on a

B ¼ 2e bdþ adþ bc2

� �e�1h� ac e�1fþ a

2e�1

�

¼ 2e bdþ adþ bc2

� �v � aðadþ bcÞ

2e�1 � ac e�1fþ a

2e�1

� ;

soit encore, en utilisant (3.3.4):

B ¼ 2ehbdþ adþ bc

2

� �v � aðadþ bcÞ

2e�1

þ ac4

v2 � aac2

e�1v þ a2e�1i

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c’est-a-dire:

B ¼ 2e bdþ adþ bc

2

� �v þ ac

4v2 � a

2e�1 ðadþ bc� 1Þ þ ac v½ �

� :

Or on note d’une part que

bdþ adþ bc

2

� �v þ ac

4v2 ¼ dþ c

2v

� �bþ a

2v

� �et d’autre part, puisque ad ¼ 1 þ bc, on a

� a2e�1 ðadþ bc� 1Þ þ ac vð Þ ¼ � a

2e�1 2bcþ ac vð Þ

¼ �ac e�1 bþ 1

2a v

� �:

On obtient donc

B ¼ 2e dþ c

2v

� �bþ a

2v

� �� ac e�1 bþ a

2v

� �h i;

d’ou finalement, apres factorisation, on a

B ¼ 2e dþ c

2v � ac e�1

� �bþ a

2v

� �: ð3:3:6Þ

Puisque g vð Þ ¼ A�1B, on deduit de (3.3.5) et de (3.3.6) que

g vð Þ ¼ 2 dþ c

2v

� ��1bþ a

2v

� �;

et donc g stabilise CðvÞ.Montrons maintenant que g stabilise S, autrement dit que

gðeÞ 2 CðvÞ w; @v½ �: On a

gðeÞ ¼ d2 eþ cd h� c2 f ð3:3:7Þ¼ ðd2 þ cd he�1 � c2 fe�1Þe ð3:3:8Þ¼ ðd2 þ cd e�1ðh� 2Þ � c2 fe�1Þe ð3:3:9Þ¼ ðd2 þ cd v � cdð2þ aÞ e�1 � c2 fe�1Þe ð3:3:10Þ;

Or on a aussi

v2 ¼ ðe�1ðhþ aÞÞ2 ¼ e�1ðhþ aÞe�1ðhþ aÞ¼ ðhþ a þ 2Þðhþ a þ 4Þe�2

¼ ½h2 þ ð2a þ 6Þhþ ða þ 2Þða þ 4Þ�e�2

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¼ �4 fe�1 þ 2ða þ 2Þðhþ a þ 2Þe�2

¼ �4 fe�1 þ 2ða þ 2Þ e�1ðhþ aÞe�1

¼ �4 fe�1 þ 2ða þ 2Þ ve�1

d’ou l’on tire

fe�1 ¼ � 1

4v2 þ a þ 2

2ve�1: ð3:3:11Þ

Alors, en reportant dans (3.3.10), on a

gðeÞ ¼ d2 þ cd v � cdð2þ aÞ e�1 þ c2

4v2 � c2ða þ 2Þ

2ve�1

� e:

On remarque que

d2 þ cd v þ c2

4v2 ¼ dþ c

2v

� �2et que

�cdð2þ aÞ e�1 � c2ða þ 2Þ2

ve�1 ¼ �cða þ 2Þ dþ c

2v

� �e�1;

de sorte que l’on a

gðeÞ ¼ dþ c

2v

� �2�cða þ 2Þ dþ c

2v

� �e�1

� e;

d’ou enfin

gðeÞ ¼ dþ c

2v

h i2e� cða þ 2Þ dþ c

2v

h i2 CðvÞ w; @v½ �:

Remarque 3.4. On a Bl � S � FracBl et par consequent FracBl ¼ Frac S.

Theoreme 3.5. Soit G un sous-groupe fini de Autðsl2Þ � Aut Bl. D’apres laproposition precedente; G opere sur S. ‘On a

FracBGl ¼ ðFracBlÞG ¼ ðFracSÞG ¼ FracSG ’ D1ðCÞ:

Demonstration: D’apres la remarque precedente, il suffit de montrer queFrac SG ’ D1ðCÞ: Comme S est integre noetherienne, le Theoreme 5.3 de[Mo] implique d’abord ðFrac SÞG ¼ Frac SG. Si SG � K, le Theoreme 1.5 de[AD] implique alors que l’on a

SG ¼ FracSG ¼ KG:

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Or le Lemme 2.18 de [Mo] entraıne

FracS : KG� �

¼ FracS : FracSG� �

�j G j< 1;

d’ou Frac S : K½ � < 1; i:e: Kðw; @vÞ : K½ � < 1; ce qui est evidemmentimpossible. Par consequent, on a SG 6� K et donc il existe x 2 SG tel quedegw x � 1.Choisissons un tel x, de degre minimum. Alors le Theoreme 1.5de [AD] implique

SG ¼ KG x; s0; d0� �et FracSG ¼ KG x; s0; d0� �

;

ou s0 2 AutKG et d0 2 Ders0 ðKGÞ.KG est un sous-corps de K qui est commutatif et SG ¼ �i2N KGxi est un

sous-anneau de S ¼ K w; @v½ �. Alors le Lemme 1.3.iii de [AD] entraınes0 ¼ id; d’ou l’on a

SG ¼ KG x; d0� �et FracSG ¼ KGðx; d0Þ:

KG est un sous-corps de K et puisque K ¼ CðvÞ est une extension trans-cendante pure de C de degre de transcendance 1, le theoreme de Luroths’applique: KG est aussi une extension transcendante pure de C, i.e.KG ¼ CðyÞ.

Si d0ðyÞ ¼ 0, alors on a Frac SG ¼ KGðxÞ ¼ CðyÞðxÞ, ce qui n’est paspossible car Frac SG est un sous-corps de Frac S ’ D1ðCÞ et d’apres le Cor-ollaire 6.6.18 de [McCR], D1ðCÞ ne contient pas de sous-corps de degre detranscendance > 1 sur C. Par consequent, on a d0ðyÞ 6¼ 0. Si l’on pose alorsz ¼ d0ðyÞ�1

x, on a

zy ¼ d0ðyÞ�1xy ¼ d0ðyÞ�1 yxþ d0ðyÞ� �

¼ d0ðyÞ�1yxþ 1 ¼ yd0ðyÞ�1xþ 1 ¼ yzþ 1:

D’ou l’on a

SG ¼ KG x; d0� �¼ CðyÞ x; d0� �

¼ CðyÞ z; @y� �

:

On en deduit immediatement

FracSG ¼ CðyÞðz; @yÞ ’ D1ðCÞ:

4. HOMOLOGIE DE HOCHSCHILD EN DEGRE 0 DE BGk

On veut determiner la dimension de HH0ðBGl Þ, dans le cas ou Bl est

simple et lorsque G est un sous-groupe admissible de Aut(sl2). D’apres lesTheoreme 2.5 et Corollaire 2.6 de [Mo], lorsque Bl est simple, l’algebre BG

lest Morita-equivalente au produit croise

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Bl � G ¼Mg2G

Blg;

muni du produit ðagÞða0g0Þ ¼ ag�1ða0Þgg0, et par consequent, on a

dimHH0ðBGl Þ ¼ dimHH0ðBl � GÞ:

C’est cette seconde dimension que l’on determine dans la suite, a l’aide dulemme suivant:

Lemme 4.1 ð½Lo�Þ. On a l’isomorphisme

HH0ðBl � GÞ ’Mg2cðGÞ

H0ðGg;VgÞ:

Cet enonce necessite evidemment quelques precisions concernant les nota-tions et les elements entrant en jeu:

Soit A une C-algebre et G un sous-groupe fini de AutðAÞ. Pour g 2 G,on note CGðgÞ son centralisateur dans G, hgi le sous-groupe de G engendrepar g et Gg ¼ CGðgÞ

hgi . g½ � designe la classe de conjugaison de g dans G et CðGÞun systeme de representants des classes de conjugaison de G.

Pour a; b 2 A, on introduit a; b½ �g¼ ab � bg�1ðaÞ puis

A;Ag½ � ¼ Vectð a; b½ �g:g j a; b 2 AÞ;

Vg ¼ Ag

½A;Ag� ¼ HH0ðA;AgÞ;

autrement dit l’homologie de Hochschild de degre 0 de A a valeurs dans Ag,puis

A;A½ �g¼ Vectð a; b½ �g j a; b 2 AÞ;

de sorte que A;Ag½ � ¼ A;A½ �gg:Alors Vg est un Gg-module via l’action de CGðgÞ sur Vg suivante:

x � ðagþ A;Ag½ �Þ ¼ x�1 � ag � xþ A;Ag½ �¼ xðaÞ � x�1gxþ A;Ag½ �¼ xðaÞgþ A;Ag½ �:

Notons que hgi agit trivialement sur Vg. En effet, on a

g � ðagþ A;Ag½ �Þ ¼ gðaÞgþ A;Ag½ � ¼ agþ gðaÞ; 1½ �ggþ A;Ag½ �¼ agþ A;Ag½ �:

Enfin, H0ðGg;VgÞ designe le 0e groupe d’homologie de Gg a valeurs dans Vg,c’est-a-dire

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H0ðGg;VgÞ ¼Vg

hv � �xv j v 2 Vg; �x 2 Ggi:

Ces preliminaires etant etablis, pour determiner la dimension deHH0ðBl � GÞ, nous avons donc besoin de connaıtre la structure de Vg puis ladimension de H0ðGg;VgÞ, pour chaque g 2 CðGÞ.

Soit donc G un sous-groupe admissible de Autðsl2Þ et g 6¼ 1 dans G.D’apres les rappels 2.4 et 2.5, on sait qu’il existe s dans Aut(sl2Þ et

n > 2 (n pair) tels que

hgi ¼ sAns�1 ¼ shLynis

�1;

ou Lynest l’automorphisme de Aut(sl2) defini par:

Lyn : e 7!o�2n e; h 7! h; f 7!o2

n f;

avec on ¼ e2ipn :

Par consequent, il existe aussi un entier p premier avec n tel queg ¼ sLp

yns�1: Dans la suite de cette section, g etant fixe, on notera r ¼ Lp

yn,

de sorte qu’on aura

g ¼ srs�1 et rðeÞ ¼ o�2pn e; rðhÞ ¼ h; rð fÞ ¼ o2p

n f:

Proposition 4.2. On a

Blr ¼ Bl;Bl½ �rr � Chr � Cr

et donc

Vr ¼ Chr � Cr:

Demonstration: Conformement aux notations de [Di], en posant

Bal ¼ b 2 Bl j h; b½ � ¼ abf g ða 2 CÞ;

on a alors la graduation suivante:

Bl ¼ �a22Z

Bal; ð4:2:1Þ

avec de facon plus precise, pour a ¼ 2k > 0:

Bal ¼ C h½ �ek et B�a

l ¼ f kC h½ � et B0l ¼ C h½ �:

Soit k 2 N?. Alors, pour n � 0, on a

h; hnek� �

r¼ h � hnek � hnek � r�1ðhÞ ¼ h � hnek � hnek � h;

c’est-a-dire

3546 FLEURY-BARKA

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h; hnek� �

r¼ h; hnek� �

¼ 2k hnek:

On en deduitMa22N

?

Bal � Bl;Bl½ �r: ð4:2:2Þ

De meme, on montre que h; f khn� �

r¼ �2k f khn; et par consequentMa2�2N

?

Bal � Bl;Bl½ �r: ð4:2:3Þ

Etudions maintenant

A ¼ Vectð½PðhÞek; fkQðhÞ�r j P;Q 2 C½h�; k 2 N?Þ;

ðA � Bl;Bl½ �rÞ dans le but de montrer que A est de codimension 2 dans B0l.

On demontre aisement la relation

½a; bc�r ¼ ½rðcÞa; b�r � ½rðcÞ; ab�r: ð4:2:4Þ

Ainsi on a

½hmek; f khn�r ¼ ½hnþmek; fk�r � ½hn; hmekfk�r:

D’apres [Di]1.9, on a ekf k 2 C h½ � et le second terme est donc nul; pour lepremier terme, on utilise de nouveau la relation (4.2.4) et on obtient:

½hmek; f khn�r ¼ o2pn ½ fhnþmek; f k�1�r � o2p

n ½ f; hnþmekf k�1�r:

De nouveau [Di]1.9 implique ekf k�1 ¼ PðhÞe, ou PðhÞ 2 C h½ � et donc

½hmek; f khn�r ¼ o2pn ½ðhþ 2Þnþmfek; f k�1�r � o2p

n ½ f; hnþmPðhÞe �r;

d’ou

½hmek; f khn�r ¼ o2pn ðhþ 2Þnþm l � h2 � 2h

4

� �ek�1; f k�1

� r�o2p

n ½ f;QðhÞe�r;

ce qui s’ecrit finalement

½hmek; f khn�r ¼ o2pn RðhÞek�1; f k�1�r � o2p

n ½ f;QðhÞe�r:h

Observons que

½ f;QðhÞe�r ¼ fQðhÞe�QðhÞer�1ð fÞ ¼ fQðhÞe� o�2pn QðhÞef

¼ �o�2pn ð�fQðhÞðo2p

n eÞ þQðhÞef Þ ¼ �o�2pn ½QðhÞe; f �r;

GELFAND-KIRILLOV CONJECTURE 3547

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d’ou l’on tire

½hmek; f khn�r ¼ o2pn ½RðhÞek�1; f k�1�r þ ½QðhÞe; f �r:

Par recurrence sur k 2 N?, on obtient ainsi

A ¼ Vectð½hne; f �r j n 2 NÞ:

Etudions maintenant ces generateurs:

½hne; f �r ¼ hne � f� f � r�1ðhnÞr�1ðeÞ ¼ hnef� o2pn fh

ne;

soit encore

hne; f½ �r ¼ hnl � h2 þ 2h

4

� �� o2p

n ðhþ 2Þn l � h2 � 2h

4

� �

¼ 1

4ðo2p

n � 1Þhnþ2 þ � � �

et donc, pour tout n 2 N, hne; f½ �r est un polynome en h de degre n þ 2. Parconsequent, on a

A� Ch� C ¼ B0l:

Finalement, en utilisant (4.2.1), (4.2.2) et (4.2.3), on peut ecrire

Bl ¼ Bl;Bl½ �r� Ch� C

et donc

Blr ¼ Bl;Bl½ �rr � Chr � Cr:

Corollaire 4.3. La restriction de s a Bl;Bl½ �r definit un isomorphisme deBl;Bl½ �r sur Bl;Bl½ �g; et donc; on a

Blg ¼ Bl;Bl½ �gg� CsðhÞg� Cg

puis

Vg ¼ CsðhÞg� Cg:

Demonstration: Pour a; b dans A, on a

sð a; b½ �s�1gsÞ ¼ sðab� bðs�1g�1sÞðaÞÞ¼ sðaÞsðbÞ � sðbÞðg�1sÞðaÞ ¼ sðaÞ; sðbÞ½ �g:

Ainsi, puisque s est un automorphisme de Bl et en particulier s est C-lineaire, s definit un morphisme injectif de Bl;Bl½ �s�1gs¼ Bl;Bl½ �r dansBl;Bl½ �g. On montre en outre aisement que cette restriction est surjective.

3548 FLEURY-BARKA

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D’autre part, d’apres la proposition precedente, on sait que

Bl ¼ Bl;Bl½ �r� Ch� C;

et puisque s est un automorphisme de Bl, on en deduit:

Bl ¼ ½Bl;Bl�g � CsðhÞ � C:

Maintenant que, pour tout g 6¼ 1 dans G, Vr et Vg sont decrits, il reste adeterminer les dimensions des H0ðGg;VgÞ, pour tout g 2 CðGÞ, avant d’ap-pliquer le lemme de Lorenz. Pour cela, quelques resultats preliminaires sontnecessaires. Faisons d’abord une remarque, qui justifie les problematiquesabordees dans les resultats qui la suivent.

Remarque 4.4 (fondamentale). Le Corollaire 4.3 implique evidemment quel’on a dimH0ðGg;VgÞ � 2 et, puisque tout automorphisme fixe C, que l’on adimH0ðGg;VgÞ � 1. Le probleme est de savoir quelle est l’action de Gg sursðhÞ. Cela suppose avant tout une bonne connaissance de la structure deCGðgÞ.

Remarque 4.5. Soient A;B 2 SLð2;CÞ. Alors on a clairement

LA 2 CAutðsl2ÞðLBÞ()A�1BA ¼ �B:

Lemme 4.6. Rappelons que l’on a note r ¼ Lp

ynðn > 2; p ^ n ¼ 1Þ. Si

ð p; nÞ ¼ ð3; 4Þ ou ð1; 4Þ; alors

CAutðsl2ÞðrÞ ¼ LA ; A ¼a 0

0 a�1

� �; a 2 C

�� �

t

LB ; B ¼0 b

�b�1 0

� �; b 2 C

�� �

:

Sinon, on a

CAutðsl2ÞðrÞ ¼ LA ; A ¼ a 00 a�1

� �; a 2 C

�� �

:

Demonstration: Soit A ¼�

a b

c d

�2 SL(2,C).

La remarque precedente implique alors

A 2 CAutðsl2ÞðrÞ()A�1y pn A ¼ �y pn ;

soit encore

adopn � bco�pn bdðopn � o�p

n Þ�acðopn � o�p

n Þ �bcopn þ ado�pn

� �¼ � opn 0

0 o�pn

� �:

GELFAND-KIRILLOV CONJECTURE 3549

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Il faut donc bdðo pn � o�p

n Þ ¼ 0 ¼ acðo pn � o�p

n Þ, d’ou l’on deduit o pn 6¼ o�p

n ,puisque l’on a n > 2 et p ^ n ¼ 1. On a par consequent bd ¼ 0 ¼ ac. Commead � bc ¼ 1, on en tire finalement ða; dÞ ¼ ð0; 0Þ (resp. ðb; cÞ ¼ ð0; 0Þ) etbc ¼ �1 (resp. ad ¼ 1).

Reciproquement, il est clair que tout automorphisme du type LA avec

A ¼�

a 0

0 a�1

�est dans CAutðsl2ÞðrÞ.

D’autre part, si B ¼�

0 b

�b�1 0

�, on a B�1yp

nB ¼ y�pn et donc LB est dans

CAutðsl2ÞðrÞ si et seulement si opn ¼ �o�p

n , i:e: n divise 4p, soit encore n divise4. On conclut avec n > 2 et p ^ n ¼ 1.

Remarque 4.7. Si B ¼�

0 b

�b�1 0

�, on a B2 ¼ �1 et donc LB

2 ¼ 1 dansAutðsl2Þ.

Remarque 4.8. Rappelons que l’on a g ¼ srs�1 et donc CGðgÞ ¼sCs�1GsðrÞs�1:

On deduit du Lemme 4.6 et des Remarques 4.7 et 4.8 deux criteres tresutiles, relativement au but fixe dans la Remarque 4.4:

Lemme 4.9. Si CGðgÞ est d’ordre impair; alors dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2.

Demonstration: Si CGðgÞ est d’ordre impair, alors la remarque precedenteentraıne que Cs�1GsðrÞ aussi et donc, avec la Remarque 4.7, on en deduit queCs�1GsðrÞ (qui est inclus dans CAutðsl2ÞðrÞ) ne contient que des elements dutype LA, ou A ¼

�a 0

0 a�1

�.

Soit x quelconque dans CGðgÞ. La remarque precedente permet d’ecrirex ¼ sLAs

�1, avec A diagonale dans SL(2,C). Alors on a

xsðhÞ ¼ sLAs�1sðhÞ ¼ sLAðhÞ ¼ sðhÞ:

Ainsi, pour tout x 2 CGðgÞ, on a xsðhÞ ¼ sðhÞ dans Vg. Cela conclut lapreuve.

Lemme 4.10. Si CGðgÞ est d’ordre 4 et non cyclique; alors dimH0ðGg;VgÞ ¼ 1.

Demonstration: Si CGðgÞ est d’ordre 4 et non cyclique, alors Cs�1GsðrÞ aussi etdoncCs�1GsðrÞ contient aumoins un automorphismeLB avecB ¼

�0 b

�b�1 0

�.

Par consequent, puisque CGðgÞ ¼ sCs�1GsðrÞs�1, considerons x ¼ sLBs�1,

avec B ¼�

0 b

�b�1 0

�dans CGðgÞ. Alors on a

xsðhÞ ¼ sLBs�1sðhÞ ¼ sLBðhÞ ¼ sð�hÞ ¼ �sðhÞ;

et donc xsðhÞ � sðhÞ ¼ �2sðhÞ =2 ½Bl;Bl�g, puisque Bl ¼ ½Bl;Bl�g � CsðhÞ� C (Corollaire 4.3). Ainsi, on a xsðhÞ 6¼ sðhÞ dans Vg et donc

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dimH0ðGg;VgÞ ¼ 1:

Remarque 4.11. Pour conclure ces preliminaires a la determination dedimHH0ðBl � GÞ, notons que quel que soit le groupe admissible G considere,on a dimH0ðG1;V1Þ ¼ 1.

Demonstration: On a CGð1Þ ¼ G et h1i ¼ 1 donc G1 ¼ G. En outre, on aBl ¼ ½Bl;Bl� � C, et donc V1 ¼ C1. On conclut alors car G fixe C.

4.1. Cas Ou G ¼A2n

Proposition 4.12. Soit G le sous-groupe admissible cyclique d’ordre n deAutðsl2Þ; i.e. G ¼ A2n. Alors on a dimHH0ðBl � GÞ ¼ 2n � 1.

Demonstration: Notons que, pour tout k, on a yk2n ¼ �ykþn

2n , et doncLyk

2n¼ Lykþn

2n. Par consequent, comme �G ¼ A2n est abelien, on a

Cð�GÞ ¼ fyk2n; 1 ; k 2 ½1; 2n � 1�g et donc CðGÞ ¼ fLyk

2n; 1 ; k 2 ½1; n � 1�g.

D’autre part, pour tout g 2 CðGÞ et pour tout x 2 CGðgÞ ¼ G, on axðhÞ ¼ h, puisque tous les elements G sont de la forme LA avec A diagonale.On en deduit que pour tout g 2 CðGÞ � f1g, on a dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2 et donc

dimHH0ðBl � A2nÞ ¼ 2ðn� 1Þ þ 1 ¼ 2n� 1:

4.2. Cas Ou G ¼Dn

Proposition 4.13. On a dimHH0ðBl � DnÞ ¼ n þ 2.

Demonstration: On a Cð�GÞ ¼ fyk2n; m; y

k2nm;�1; k ¼ 1; . . . ; n�1

2g. deux cas se

presentent suivant la parite de n:

1. Si n est impairDans ce cas, CðGÞ ¼ fLyk

2n;Lm; 1; k ¼ 1; . . . ; n�1

2g. Examinons pour g ¼

Lyk2net g ¼ Lm s’il existe dans CGðgÞ un element qui ne fixe pas sðhÞ dans Vg.& Si g ¼ Lyk

2n(k ¼ 1; . . . ; n�1

2), alors CGðgÞ ¼ f1;Lyj

2n; j ¼ 1; . . . ;

n � 1g. Ainsi CGðgÞ est impair d’ordre n et donc le Lemme 4.9entraıne que l’on a dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2.

& Si g ¼ Lm, alors CGðgÞ ¼ f1;Lmg. Or on a LmsðhÞ ¼ srðhÞ ¼ sðhÞet donc dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2.

Finalement, si n est impair, on a

dimHH0ðBl � DnÞ ¼ 2� n� 1

2

�þ 2þ 1 ¼ nþ 2:

2. Si n est pair

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Dans ce cas, on a CðGÞ ¼ fLyk2n;Lm;Ly2nm; 1; k ¼ 1; . . . ; n

2g.

& Si g ¼ Lyk2n

(k ¼ 1; . . . ; n2� 1), alors CGðgÞ ¼ f1;Lyj

2n; j ¼ 1; . . . ;

n � 1g. Notons qu’ici on a g ¼ r et donc s ¼ 1. Pour j ¼ 1; . . . ;n � 1, on a clairement Lyj

2nðhÞ ¼ h puisque Ly2n

ðhÞ ¼ h. Ainsi, dansVg, tout element de CGðgÞ fixe sðhÞ et donc dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2.

& Si g ¼ Ly

n22n

, alors CGðgÞ ¼ G. Ici aussi, on a g ¼ r et donc s ¼ 1.

On a y2nm ¼�

0 ieipn

ie�ipn 0

�et donc Ly2nmðhÞ ¼ �h. Par consequent,

Ly2nmðhÞ � h ¼ �2h =2 ½Bl;Bl�r puisque Bl ¼ ½Bl;Bl�r � Ch � C: Ona ainsi trouve un element dans CGðgÞ qui ne fixe pas sðhÞ dans Vg etdonc dimH0ðGg;VgÞ ¼ 1:

& Si g ¼ Lm, alors on a CGðgÞ ¼ f1;Lm;Lyn22n

;Ly

n22nmg qui est d’ordre 4

et n’est evidemment pas cyclique. Par consequent, le Lemme 4.10implique dimH0ðGg;VgÞ ¼ 1.

& Si g ¼ Ly2nm, la aussi on montre que, quel que soit n pair, CGðgÞ estd’ordre 4 non cyclique et donc dimH0ðGg;VgÞ ¼ 1.

Finalement, on obtient:

dimHH0ðBl � DnÞ ¼ 2n

2� 1

� �þ 1þ 1þ 1þ 1 ¼ nþ 2:

4.3. Cas Ou G ¼E6

Proposition 4.14. On a dimHH0ðBl � E6Þ ¼ 6.

Demonstration: Dans ce cas, on a Cð�GÞ ¼ fy4;�Z8;�Z28;�1g et donc

CðGÞ ¼ fLy4;LZ8

;LZ28; 1g. Pour chacun de ces 3 premiers representants g, il

faut maintenant examiner s’il existe dans CGðgÞ un element qui ne fixe passðhÞ dans Vg.

& Si g ¼ Ly4, on a CGðgÞ ¼ f1;Ly4

;Lm;Ly4mg et donc est d’ordre 4non cyclique, et par consequent le Lemme 4.10 s’applique: on adimH0ðGg;VgÞ ¼ 1.

& Si g ¼ LZ8ou g ¼ LZ2

8, alors on a CGðgÞ ¼ f1;LZ8

;LZ28g; et donc

CGðgÞ est d’ordre 3 et le Lemme 4.9 entraıne dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2.

On en deduit dimHH0ðBl � E6Þ ¼ 1 þ 2 þ 2 þ 1 ¼ 6.

4.4. Cas Ou G ¼E7

Proposition 4.15. On a dimHH0 Bl � E7ð Þ ¼ 7.

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Demonstration: Dans ce cas, on a Cð�GÞ ¼ f�y8; y28;�Z8; y8m;�1g et donc

CðGÞ ¼ fLy8;Ly2

8;LZ8

;Ly8m; 1g.

& Si g ¼ Ly8, on a g ¼ r et s ¼ 1. Par consequent, le probleme est de

voir s’il existe, dans CGðly8Þ, un element qui ne fixe pas h. Or on a

CGðLy8Þ ¼ f1;Ly8

;Ly28;Ly3

8g; et comme Ly8

ðhÞ ¼ L� o8 0

0 �o38

�ðhÞ ¼ h, on en deduit que pour tout k ¼ 1; 2; 3, on a Lyk

8ðhÞ ¼ h et

donc tout element du centralisateur fixe h dans Vg. Et par con-sequent, on a dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2.

& Si g ¼ Ly28, on a aussi g ¼ r et donc s ¼ 1. On montre que Lm est

dans CGðLy28Þ mais puisque m ¼

�0 i

i 0

�, alors on a LmðhÞ ¼ �h et

donc LmðhÞ � h ¼ �2h. Or �2h =2 ½Bl;Bl�g d’apres la proposition4.2, et donc LbðhÞ 6¼ h dans Vg et par consequentdimH0ðGg;VgÞ ¼ 1:

& Si g ¼ LZ8, alors on a CGðLZ8

Þ ¼ f1;LZ8;LZ2

8g et donc

dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2:& Si g ¼ Ly8m, alors CGðLy8mÞ ¼ f1;Ly8

;Ly28;Ly3

8mg est d’ordre 4 non

cyclique et donc dimH0ðGg;VgÞ ¼ 1:

Finalement, on obtient

dimHH0ðBl � E7Þ ¼ 2þ 1þ 2þ 1þ 1 ¼ 7:

4.5. Cas Ou G ¼E8

Proposition 4.16. On a dimHH0ðBl � E8Þ ¼ 8.

Demonstration: Dans ce cas, on a Cð�GÞ ¼ f�f5; n;�f5c5;�f25c5;�1g et

donc CðGÞ ¼ fLf5;Ln;Lf5c5

;Lf25c5

; 1g.

& Si g ¼ Lf5, dans ce cas, on a CGðgÞ ¼ f1;Lfk

5; k ¼ 1; 2; 3; 4g qui est

d’ordre 5 et par consequent on a dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2:& Si g ¼ Ln, on a CGðLnÞ ¼ f1;Ln;Lc5

;Lnc5g qui est d’ordre 4 non

cyclique et donc dimH0ðGg;VgÞ ¼ 1:& Si g ¼ Lf5c5

, CGðLf5c5Þ ¼ f1;Lf5c5

;Lc5f45;Lf2

5c5nf5;Lf4

5c5nf35g et

donc dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2:& Si g ¼ Lf2

5c5, alors on a CGðLf2

5c5Þ ¼ f1;Lf2

5c5;Lc5f

35g donc

dimH0ðGg;VgÞ ¼ 2:

On a finalement

dimHH0ðBl � E8Þ ¼ 2þ 1þ 2þ 2þ 1 ¼ 8:

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Corollaire 4.17. Soient G un sous-groupe admissible de Autðsl2Þ; �G le sous-groupe de SLð2;CÞ dont il est l’image et sð�GÞ le nombre de classes de con-jugaison dans �G. Alors; pour tout l 6¼ nðn þ 2Þ ðn 2 NÞ; on a

dimHH0 BGl

� �¼ sð �GÞ � 1:

Remarque 4.18. Soient l et l0 2 C qui ne sont pas de la forme nðn þ 2Þðn 2 NÞ. Le resultat du Corollaire 4.17 ne permet pas de separer les algebresBGl et BG

l0 lorsque l 6¼ l0. En revanche, si G et G0 sont deux sous-groupesadmissibles distincts de Autðsl2Þ, alors le Corollaire 4.17 suffit pour separerles algebres BG

l et BG0

l0 ðl et l0 etant eventuellement egaux), a l’exception descas ðG;G0Þ ¼ ðA8; E7Þ; ðD3; E6Þ; ðD4; E7Þ; ðD5; E8Þ et ðA2n;D2n�4Þ ðn � 3Þ.

Remarque 4.19. On montre que l’application F : B�34! A1ðCÞf�1g

(ouA1ðCÞ designe l’algebre de Weyl d’indice 1 sur C) definie pare 7! p2

2; f 7! � q2

2; h 7! � pq þ 1

2est un isomorphisme de B�3

4sur A1ðCÞf�1g

,qui est G-equivariant. Par consequent, on a l’isomorphisme

BG�34’ A1ðCÞ �G

puis

dimHH0ðBG�34Þ ¼ dimHH0ðA1ðCÞ �GÞ:

A l’exception du cas ou �G est du type A2nþ1, on retrouve donc ici, sous uneforme generalisee, le resultat de [AHV], acheve dans [AL].

5. LES INVARIANTS COMME DEFORMATIONS DES

SURFACES DE KLEIN

Dans toute la suite, �G designera l’un des sous-groupes finis A2n, Dn, E6,E7, E8 de SL(2,C), G sera son image dans Aut(sl2) et l sera un nombrecomplexe n’etant pas de la forme nðn þ 2Þ (n 2 N).

On vient de justifier pourquoi il peut exister des analogies entre lesresultats concernant les invariants d’algebres de Weyl et de quotients pri-mitifs de U(sl2). On sait que les algebres A1ðCÞ�G (�G sous-groupe fini deSL(2,C)) sont des deformations des surfaces de Klein C½X ; Y ��G ([AL]) et ilest donc raisonnable de chercher si cela reste vrai pour les algebres BG

l .Rappelons d’abord que la filtration canonique F ¼ ðF nÞn2N de U(sl2)

induit par passage au quotient une filtration F ¼ ðF nÞn2N sur Bl, avecF n ¼ Vectðx1 . . . xs ; s � n; xi 2 sl2Þ, de sorte que le gradue associe grF Bl

est isomorphe a C½X ;Y ;Z�ð4XYþZ2Þ.

3554 FLEURY-BARKA

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Comme G agit lineairement sur F , l’algebre BGl herite naturellement de

la filtration FG(avec FG

n ¼ F n \ BGl ) et puisque G est fini, un argument de

semisimplicite implique qu’on a l’isomorphisme

grFGðBGl Þ ’ ðgrFBlÞG:

Proposition 5.1. BGl deforme la surface de Klein C½X ; Y ��G; i.e. on a l’iso-

morphisme

grFG BGl� �

’ C½X;Y� �G:

Demonstration: Notons d’abord qu’on a C½X ; Y ��G ¼ ðC½X ; Y �f�1gÞG ¼ ðC½X 2; Y 2;XY �ÞG

.On considere l’homomorphisme defini par

F : grF ðBlÞ ! C½X2;Y2;XY�; grðeÞ 7! Y2

2; grðhÞ 7!XY; grðfÞ 7! � X2

2:

On montre aisement que c’est un isomorphisme G-equivariant et on endeduit, avec ce qui precede, l’isomorphisme cherche.

Remarque 5.2. grF ðBlÞ est muni du crochet de Poisson defini par: Si an 2 F n

et am 2 Fm, alors fgrðanÞ; grðamÞg ¼ grð½an; am�Þ ¼ ½an; am� þF nþm�2: Cettestructure de Poisson est alors heritee par grFGðBG

l Þ, puis par C½X ; Y �f�1get

C½X ; Y ��G, via l’isomorphisme ci-dessus. Or la structure symplectique du planinduit aussi sur C½X ; Y � un crochet de Poisson (defini par fX ; Yg ¼ 1), qui setransmet a C½X ; Y �f�1g

et C½X ; Y ��G.

Proposition 5.3. Les deux structures de Poisson de la surface de KleinC½X ; Y ��G; decrites ci-dessus; coıncident.Demonstration: Il s’agit de verifier que l’isomorphisme F conserve lescrochets:

& On a d’une partF fgrðeÞ; grð fÞgð Þ ¼ F gr ½e; f �ð Þð Þ ¼ FðgrðhÞÞ ¼ XY

et d’autre part

fFðgrðeÞÞ;Fðgrð f ÞÞg ¼ Y2

2;�X

2

2

� �¼ @

@X

Y2

2

� �@

@Y�X

2

2

� �

� @

@Y

Y2

2

� �@

@X�X

2

2

� �¼ XY

& De meme on a

FðfgrðhÞ; grðeÞgÞ ¼ Y2 ¼ fFðgrðhÞÞ;FðgrðeÞÞg

et

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FðfgrðhÞ; grð f ÞgÞ ¼ X2 ¼ fFðgrðhÞÞ;Fðgrð f ÞÞg;

d’ou le resultat.

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