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ISRAEL JOURNAL OF MATHEMATICS, Vol. 22, Nos. 3--4, 1975
SUR LES OPERATEURS LINEAIRES QUI TRANSFORMENT LA BOULE UNITE D'UN
ESPACE DE BANACH EN UNE PARTIE LATTICIELLEMENT BORNEE D'UN
ESPACE DE BANACH RETICULE
PAR
DIDIER R O B E R T
ABSTRACT
L'object de cette note est de r6pondre h u n probl~me pos6 par N. J. Nielsen, Dissertationes Math. 109 (1973). Cette rgponse est la suivante: X grant un espace de Banach r6ticul6 minimal, E un espace de Banach tel que I ' image de la boule unit6 par tout op6rateur lingaire continu de E dans X soit latticiellement bornge. Alors E est n6cessairement de dimension finie.
1. Notations et rappels
Tous les espaces vectoriels consid6r6s sont rgels. Soit (X, <= ) un espace
vectoriel r6ticul6. On pose x v y = Sup(x ,y) et x A y = In f (x ,y ) pour x et
y E X . O n n o t e : x + - - x v 0 ; x - = - ( x a 0 ) ; I x l = x + + x - - O n d i r a q u e d e u x
616ments x et y de X sont 6trangers si et seulement si on a Ix [ ̂ I Y I = 0.
S i x - < y on pose: [x,y]={z:x<-z<-y}.
1.1. DEFINITIONS.
a) Un espace de Banach r6ticul6 est un espace de Banach (X, II" IIx) off X est
un espace vectoriel r6ticul6 v6rifiant: Ix I -<- I Y I entraine: II x ttx -<-II r IIx. b) Un espace de Banach r6ticul6 X est dit minimal si pour toute famiUe
(xL~A d'616ments de X filtrante inf6rieurement et d6croissante on a: Inf,~A X -----
0 entraine que lim~A II x~ II -- 0. c) Un espace de Banach r6ticul6 X est dit it-minimal si l 'on a la propri6t6 b)
pour toute suite d'616ments de X.
Received June 11, 1975
354
Vol. 22, 1975 OPERATEURS LINEAIRES 355
1.2. REMARQUES.
a) Minimal entra/ne complet (pour l'ordre).
b) Pour d'autres formulations 6quivalentes de la minimalit6 voir [3].
c) tr-minimal n'entra/ne pas cr-complet.
d) Tout espace de Banach r6ticul6 faiblement complet
s6quentiellement faiblement complet) est minimal (resp. tr-minimal).
(resp.
1.3. NOTATIONS. l" 6tant un ensemble, on d6signe par Co(F) l 'espace de
Banach des fonctions r6elles f sur F v6rifiant: pour tout e > 0 ,
{y E F: I [ (y) I > e } est fini. Co(F) est muni de la norme: II[ IIc~r~ = Supper If(Y)I.
On pose Co = Co(N*). Co(F) est un espace de Banach r6ticul6 minimal pour
l 'ordre naturel.
Dans toute la suite de cet article X d6signe un espace de Banach r6ticul6,
(r-complet et o--minimal, de dimension infinie.
Si {Xk}k~ est une suite de X on pose ¢,{xk}= llY.~-,x~ }Ix.
1.4. THEOREME ([7], prop. 7), I! existe un ensemble F tel que X soit
isomorphe (comme espace norm~ et comme treillis) ?l Co(F) si et seulement si
pour toute suite {xk }~ ~ d'dl~ments non nuls, deux d deux ~trangers, de X on a :
Sup rn < + oo. n~,-i
E et F 6tant deux espaces de Banach, on d6signe par BE la boule unit6 de E
et par B ( E , F ) l 'espace de Banach des applications lin6aires born6es de E
dans F.
Les notations qui suivent sont does h N. J. Nielsen [4]. Nous les rappelons
pour la commodit6 du lecteur.
1.5. DEFINITIONS.
a) On dit que T E B ( E , X ) est X-born6 s'il existe x ~ X , x>=O tel que
T(BE) C [ - x, x]. L'espace des op6rateurs X-born6s est not6 ~×(E, X) . C'est
un espace de Banach pour la norme: bx(T)=In f { l [x l [ ; x>=O, T ( B s ) C
[ - x , x ] } .
b) On dit que T E B(E , F) est X-normable si: S o T E ~x (E . X ) pour tout
S ~ B(F, X).
L'espace des op6rateurs X-normables de E dans F est not6 Sex(E, F). C'est
un espace de Banach pour la norme:
s~(T) -- S u p { b x ( S o T): S ~ n ( f , X ) , II s II ~ 1).
356 D. ROBERT IsraelJ. Math.,
~x est un id6al d 'op6rateurs, norm6 et complet au sens de Pietsch.
c) Soit {Xk}k~-, une suite basique inconditionnelle de X.
(c,) On dit que T E B(E , F) est {xk}-sommant s'il existe K > 0 telle que:
(1) k = l y E R E, k ~ l
pour toute suite {yk}~r de E v6rifiant:
y E B E ' k~ l X
L'espace not6 I I ~ ( E , F) des op6rateurs {xk}-sommants de E dans F est un
espace de Banach pour la norme:
]'-I (T) = Inf{K > 0, K v6rifie (1)}. {xk}
(c2) Soient E ' et F ' les duals topologiques de E et F. Un op6rateur
T E B ( F ' , E ' ) est dit W*-{xk}-sommant s'ii existe K > 0 telle que:
y ~ B F
pour route suite {Y~,}k>l de F ' v6rifiant:
• < y ,y~>xk x
k = l
<oo.
N w * [ F , t On obt ient ainsi un espace de Banach , , ~ , E ' ) muni de la norme naturel le
Soit {x~}k~, une suite basique inconditionnelle de X. On note par [xk] le
sous-espace de X engendr6 par {xk: k _-> 1}.
1.6. THEOREME ([4], th6or6mes (4.2) et (4.4)).
a) Si T E B (E, F) alors Tes t normable par [xk ] si et seulement si le transposd
T' de T e s t W*-{xk}-sommant.
On a de plus: W *
stud(T) = ]-I (T ' ) • {xk}
b) Si T E ~ x ( E , F ) et si {Xk}k~l est une suite de X d'~ldments deux ~ deux
dtrangers on a alors :
TE,5"~,,,a(E,F) et s t~(T)<=sx(T) .
Vol. 22, 1975 OPERATEURS LINEAIRES 357
2. R6sultat principal et cons6quence
2.1. THEOREME. Soi t {Xk}k~ une suite bas ique incondit ionnel le de X et soit
E un espace de B a n a c h de d imens ion infinie. Si l~ E lIt~,j(E, E ) alors
Sup ~', < + ~ .
Pour d~montrer ce th6or~me on utilise le r~sultat 61~mentaire:
2.2. LEMME. Soient {x,, . . ., x , } n-~l~ments de X l in$airement
ind~pendants , X , = [x~ ], X " le dual de Xn et {x * , . . . , x*} la base duale de X, . On
a alors: quel que soit ( y ~ , - . . , y ~ ) ~ E ~
DEMONSTRATION. Soit f E BE,, posons: z = 5 '~(yk, f)xk.
Ii existe u' E X ' , II u ' II,,~ = 1 e t Jl z IIx = <z, u'> d'o~,
k = l k ~ l E "
Or:
u ' = ~ (xk, u ' )x* d'o~ l'in6galit~: k = l
Sup (y~, f) xk _-< Sup a~yk : OtkX I <= 1 . I E la~, k ~ l it--! X,~
Inversement soit (a , , . •., a . ) E R" tel que II ~ - , a~x ~ I1~:--< 1,
Posons
On a:
k - I k ~ l
I~,_, o~ ~,~ ,> I ~ ,~u, o,>, o,, u,, ~ II k_,~ <,~,>x, lr ce qui d6montre le lemme.
358 D. ROBERT Israel J. Math.,
DEMONS~Aa'IOr~ DE 2.1. Par hypoth~se , il exis te K > 0 telle que:
pour tout (y , , . • . , y , ) E E " et pour tout n _-> 1.
p o s o n s zk = x~/llx~ II, On a:
k = l X f E B E, k ~ l X
(4)
d'ofl (5)
of 1
X ' = [zk: l - < k - < n ] .
D ' ap r6s le l e m m e de D v o r e t s k y - R o g e r s [1] il exis te une suite {Yk}k=-, de E
teile que II yk II-- 1 et
/3ky~ =< 2 kffil
pour tout (/3, - . ., /3.) E R" et pour tout n => 1. D'oO
(6) 1[~= Akzkl <=2K Sup{(~=,(Akotk)2) "2: l~. akz, l ~ l }.
L a suite {z~} 6tant born6e , il exis te une cons t an te C > 0 ind6pendan te de n
telle que:
su l l c} l ~ k ~ i h k ~ l '
d'ofi (6) en t ra ine :
(7)
Or on a:
(2, A,z~ <-2KC = A Q ' ~ 2 p o u r t o u t ( A , , . . . , A . ) ~ R ~.
Sup (~=1flkZk," ~t OtkZ~ ) k - - I
Vol. 22, 1975
ce qui entraine:
(8)
OPERATEURS LINEAIRES 359
Compte tenu de (8), l'in6galit6 (6) avec ;t~ = 1, k = 1 , . . . , n, donne:
~ zk < 4K2C k = l
Le th6or~me est ainsi d6montr6.
2.3. COROLLAtRE. ~x(E, X ) = B(E, X ) si et seulement si dim E < + oo.
DEMONSXRATmN. Soit E un espace de Banach de dimension infinie v6rifiant ~ x ( E , X ) = B ( E , X ) . On a alors: 6ex(E,E)= B(E ,E) . Soit {Xk}k~l une suite
d'616ments non nuls deux h deux 6trangers de X.
D'apr6s le th6or~me 1.6 il en r6sulte que l 'on a:
W*
1E E 5etx~(E,E) et 1~, ~ I - I ( E ' , E ' ) . ~xk )
D'apr6s 2.1 on a donc:
Par cons6quent d'apr~s 1.4, X est isomorphe g Co(F). Or il existe une suite
{q~j}j~, de formes lin6aires continues sur E v6rifiant: II II = 1 et lim~÷® ~oj(x) = 0 pour tout x ~ E [2]. I! r6sulte ais6ment de cette propri6t6 que l 'on a Nc~r~ (E, Co(F)) ¢ B(E, Co(F)). On obtient donc une contradiction.
2.4. REMAR0UE. Pour X = l p , l_<-p < + ~ le Th6or~me 2.1 redonne le th6or~me classique de Dvoretski-Rogers [1].
Pour {xk }k~-~ suite basique symm6trique le Th6or~me 2.1 a 6t~ obtenu dans [6] par une m6thode analogue.
Tout espace de Banach muni d 'une base inconditionnelle 6tant minimal, pour l 'ordre naturel, le r6sultat est donc 6tendu aux suites basiques
inconditionnelles.
BIBLIOGRAPHIE
1. M. M. Day, Normed Linear Spaces, Springer, 1962. 2. B. Jesefson, Weak sequential convergence in the dual o[ a Banach space does not imply
norm-convergence, Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975), 166-168. 3. H. P. Lotz, Minimal and reflexive Banach lattices, Math. Ann. 209 (1974), 117-126.
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UNIVERSITE DE NANTES NANTES, FRANCE