Comment. Math. Helvetici 54 (1979) 126-132 Birkh~iuser Verlag, Basel

Sur les Plongements du Type D~formation

par ANDRI~ HIRSCHOWlTZ

w Introduction

Soient fl :A--~ Y1 et fE:A ~ Y2 deux plongements d 'une m6me vari6t6 analytique compacte A (dans toute la suite, on ne plonge que des vari6t6s compactes) dans deux vari6t6s Y1 et Y2- On dit que ces deux plongements sont dquivalents s'il existe un diagramme commutatif

A

Y1 ~ ~ Y ~ ~Ya

dans lequel a et /3 soient des plongements ouverts. Si g : A --~ X est un plongement, on note A (n) (ou A ~") s'il n 'y a pas risque de

confusion) le voisinage infinit6simal d 'ordre n de A dans X et A ~ ) le voisinage formel de A dans X. Disons que g est trivial si g est 6quivalent ~ un plongement de A comme fibre d 'un produit et que g est formellement trivial si A ~) est le produit de A par un espace formel. Disons maintenant que g est du type deformation si g est 6quivalent au plongement de A comme fibre sp6ciale dans l 'espace total d 'une d6formation de A. Disons que g est [ormellement du type deformation si A~ =) est l 'espace total d 'une d6formation de A param6tr6e par un espace formel. On d6montre ici que tout plongement formellement du type

d6formation est du type d6formation. On en d6duit les r6sultats suivants concer- nant la d6termination des plongements; tout plongement formellement trivial est trivial; tout plongement d 'une vari6t6 X0 v6rifiant HI(Xo, C ) = 0 dans une d6formation h u n param~tre dont la fibre g6n6rale est rigide, est de d6termination finie. On retrouve aussi le r6sultat suivant de Gritfiths: si H!(A, ~) = H~(A, 0) = 0, 0 d6signant le fibr6 tangent, alors tout plongement de A dont le fibr6 normal est trivial est un plongement trivial.

D 'autre part, on en d6duit des exemples de plongements formels ne con- vergeant pas.

Je remercie A. Douady qui m'a expliqu6 la d6monstration du Lemme 1 et H.

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Sur les plongements du type d6formation 127

W. Schuster qui s'est int6ress6 ~ cette affaire et qui m'a indiqu6 que la Proposition 2 est dfie ~ Griffiths.

w Une application de la thee de Douady

L E M M E 1. Soit H : X --) S un morphisme propre et plat, of~ S est un germe et la

fibre est connexe en ce sens que les fontions holomorphes globales y sont constantes. Alors le morphisme naturel de t~ s dans II,~7 x est un isomorphisme.

DI~MONSTRATION Mile h Douady). On sait (cf Kiehl-Verdier [11]) qu'il existe un complexe 0 ~ L" de fibr6s sur S tel que, pour tout changement de base T---~ S, le complexe 0--~ L ' (T) ait pour cohomologie la suite des R q H ~ x ( T ) of a H r d6signe la projection de X ' = T X s X sur T. On a ~Tx(T)= ~Tx, e t / /~Tx , regoit ~TT ce qui permet d 'augmenter le complexe avec le fibr6 trivial Cs de fa~on que la cohomologie de CT--~ L~ LI(T) soit maintenant conoyau de (7 T ~ I1~7x,. On applique cela h T = {s}.

Le conoyau de ~Tr--,H,~7 x, est ~/lors nul par hypoth~se. La suite de fibr6s Cs--~ L~ --* LI (S) est donc exacte au point s. Par suite, elle est exacte au voisinage, c'est-h-dire sur S, ce qui signifie que ~Ts ~ H , Ox est surjectif. Comme ce morphisme est 6videmment injectif, c'est un isomorphisme. C.Q.F.D.

L E M M E 2. Soit X ' ~ T u n morphisme de germes et Y un sous-espace de X ' plat sur T. Si les fibres Y( t ) et X ' ( t ) sont ~gales, alors Y e t X ' sont ~gaux.

DI~MONSTRATION. Soit ~ l'id6al de Y. La suite 0 ~ ~ ~ ~Tx, ~ ~%,- ~ 0 est exacte. Comme ~7 v e s t ~%r-plat elle le reste par l'extension des scalaires,

L'hypoth~se implique donc 9: | 6r/A/, = O. I1 en r6sulte que :T |215 (?x,/A~ est nul et d'apr~s le lemme de Nakayama, que ~: est nul. C.Q.F.D.

L E M M E 3. Soit X--~ S u n morphisme propre et plat. On suppose que les fibres sont connexes au sens analytique (cf. Lemme 1). Alors le morphisme naturel de S darts l' espace de Douady ~ ( X ) des sous-espaces analytiques compacts de X est un plongement ouvert.

Dt~MONSTRATION. Soit 0 un point de S, soit Xo la fibre de X au-dessus de 0 et soit ~ : Y ~ T u n germe de d6formation de Xo dans X. On peut supposer que S est de Stein. Alors le morphisme naturel de Y dans S se factorise ~ travers T

128 ANDRI~ HIRSCHOWITZ

d'apr~s le Lemme 1. Soit f le morphisme correspondant de T dans S e t posons X ' = f*(X). Le morphisme naturel de Y dans X' est un plongement ferm6, comme celui de Y dans X • T, et il commute h la projection sur T.

En outre, les fibres de Y e t X' sont 6gales. D'apr~s le Lemme 2, on a alors X ' = Y, ce qui prouve que S a la propri6t6 universelle cherch6e. C.Q.F.D.

THt~ORI~ME. Si g est formellement du type d~formation, alors g est du type d~formation.

DI~MONSTRATION. On utilise la solution du petit probl~me des modules ( D O U A D Y [3]). Soit 9 l 'espace des sous-espaces analytiques compacts de X, soit a l e point de @ correspondant ~ A et soit D (") le voisinage infinit6simal d 'ordre n du point a dans 9 . Soit Y( le sousespace universel de 9 x X et soit ~(") sa restriction au-dessus de 9 (n). On va montrer que la projection naturelle de ~ sur X est un plongement ouvert au voisinage de la fibre sp6ciale. D'apr~s le Nullstellensatz Y((") est un sous-espace d 'un voisinage infinit6simal de {a} x A donc d 'un produit 9(P) x A ("). Comme ~(") est aussi un sous-espace de @ (n) x X,

c'est un sous-espace de 9 ( " ) x A (p). Soit @p la composante connexe du point av correspondant h A dans l 'espace des sous-espaces analytiques compacts de A (P) et ~p le sous-espace universel de 9 o x A (p).

Par fonctorialit6 du passage au n e voisinage infinit6simal, le morphisme de 9 t") dans 9p correspondant au sous-espace y&n) de 9(n) X A (p) se factorise travers le n e voisinage infinit6simal de ap dans 9p. D'apr~s le Lemme 3, ce voisinage infinit6simal est naturellement isomorphe h 9 , , la restriction correspon- dante de Yfp s'identifiant h Yr,. Cela signifie que Y(("~ est en fait un sous-espace de 9 ~") x A ("). Soit a l e morphisme ainsi d6fini de 9 (") dans 9~. Le morphisme de 9~ dans 9 correspondant au sous-espace Y(, de 9 , x X se factorise, lui aussi par fonctorialit6 du passage aux voisinages infinit6simaux ~ travers 9 ("). Soit /3 le morphisme ainsi d6fini de 9 , dans 9 ("). La propri6t6 universelle de 9 , assure que a o/3 est l'identit6. La propriBt6 universelle de 9 assure que l ' injection naturelle de 9 (") dans 9 se factorise ~ travers /3 o a donc que /3 o a est l'identit6. Par cons6quent a est un isomorphisme. D'apr~s le Lemme 3, la projection naturelle de ~ , sur A ("~ est un isomorphisme. Comme a est un isomorphisme, la projec- tion natureUe de ~f(") sur A(" ) e s t aussi un isomorphisme. Cela 6tant vrai pour tout n, la projection de ~f sur X est un plongement ouvert. C.Q.F.D.

C O R O L L A I R E . Si Hi(A, (?)=0 et si le fibr~ normal au plongement g est trivial, alors g est du type d~formation.

DI~MONSTRATION. I1 est bien connu que si g est du type d6formation, le fibr6 normal est trivial. Inversement, soit E l 'espace vectoriel des sections du fibr6

Sur les plongements du type d6formation 129

normal. Si le fibr6 normal est trivial, le morphisme naturel de A ~) dans le premier voisinage infinit6simal de l'origine dans E est lisse e t a pour fibre sp6ciale A. Montrons par r6currence que q est formellement du type d6formation.

On suppose que le plongement de A dans A ~") est une d6formation dont la base est le voisinage infinit6simal d'ordre n, F ~"), de l'origine dans C k. Soit (H1 . . . . . Hk) le morphisme correspondant de A ~") dans C k. Si ~; d6signe le fais- ceau d'id6aux de A dans X, la suite exacte

0 ~ :~,+1/~,+2 ~ ~l~;,+z ~ ~/ek-,,+l _~ 0

donne naissance h la suite exacte:

(~(A(n+l)) ..~ ~(A(,)) ~ Ha(A, ~;,+1]~,+2).

Mais ~;n+l/~;n+2 est une puissance sym6trique du fibr6 normal. L'hypoth~se assure par cons6quent que la restrictio~i C~A ~"+1)) ~ ~(A ~"~) est surjective. Soit

alors (/I1 . . . . , /Ik) un prolongement de (1I 1 . . . . . Ilk) ~ A ~"+x). Comme n est au moins 6gal h 1; il suffit que (Ha . . . . , / /k) soit lisse (~ valeurs dans F ~")) pour que (/I1 . . . . . /Ik) soit lisse (h valeurs dans F~"+I)). II reste ~ appliquer le th6or6me pour obtenir Ie corollaire. C.Q.F.D.

w Determination de piongements

Le probl~me g6n6ral est le suivant: soit g : A ~ X un plongement; existe-t-il un entier n 6ventuellement infini tel que tout plongement g' : A ~ X' oh A~") est isomorphe ?a ._gA ~") soit 6quivalent ~ g? S'il existe un tel n fini, on dit que g est de d6termination finie. Le probl~me a 6t6 r6solu dans le cas oh le fibr6 normal est n6gatif (Grauert [4] Hironaka-Rossi [10]) et abord6 dans le cas oia le fibr6 normal est positif (Nirenberg-Spencer [12], Gritfiths [5]) et dans le cas oh le fibr6 normal est trivial (Griffiths [5]). On s'int6resse ici h ce dernier cas.

PROPOSITION 1. Tout plongement formellement trivial est trivial.

DI~MONSTRATION. Tout plongement formellement trivial est en par- ticulier formellement du type d6formation donc du type d6formation d'apr~s le th6or~me. La proposition r6sulte alors du r6sultat de Schuster (cf [13]) selon lequel toute d6formation formellement triviale est triviale. C.Q.F.D.

PROPOSITION 2. (Griffths [5] Prop. 3.1.): Si Ha(A, ~) = Ha(A, O) = 0 (ici 0 d~signe le fibr~ tangent), alors tout plongement de A dont le fibr~ normal est trivial est le plongement trivial.

130 ANDRE ttlRSCtlOWITZ

DI~MONSTRATION. D'aprbs le Corollaire du th6orbme, un tel plongement est du type d6formation et comme H~(A, 0)=0, toute ddformation de A est triviale. C.Q.F.D.

PROPOSITION 3. Soit A compacte avec H~(A, (7) =0. Soit g : A --~ X un plongement dans une dOformation it un param&re dont la fibre g~nkrale F est rigide (c'est-it-dire v~rifie Hi(F, O) = 0). Alors g est de d&ermination finie.

Dt~MONSTRATION. D'aprbs un th6orbme d'Hervier (cf [8]), il existe un entier n tel que tout plongement g ' :A- -~X ' dans une d6formation ~ un param&re v6rifiant A (")-A(") est 6quivalent ~ g. Mais tout plongement g ' :A --~ X' v6rifiant A (") ~ A(", ) (avec n --> 1) est du type d6formation d'aprbs le Corollaire, ce qui permet de conclure. C.Q.F.D.

EXEMPLE. La Proposition s'applique h tout plongement de la vari6t6 de Hirzebruch X2, comme fibre sp6ciale d'une famille h un parambtre de P~ xP~.

w Piongements tormeis et plongements convergents

En g6om6trie alg6brique, on connait des plongements formels de la sphere de Riemann qui ne proviennent pas de plongements dans des vari6t6s alg6briques (Hironaka-Matsumura [9]). Mais il se pourrait (cf [2]) que tout plongement formel en codimension 1 de la sphere de Riemann soit convergent en g6om6trie analytique, ce qui s'appliquerait aux exemples de [9]. Nous allons maintenant construire des plongements formels du type d6formation qui ne proviennent pas de plongements dans des vari6t6s analytiques.

Le principe est le suivant: on choisit une vari6t6 compacte A dont le germe semi-universel de d6formation G est universel dans la cat6gorie des germes d'espaces analytiques donc aussi dans ~celle des germes d'espaces formels par passage ~ la limite inductive; on peut prendre pour A une courbe de genre au moins 3 (cf [6], Corollaire 6.6.) ou un tore (cf [7] Remarque 2.7). Notons C~ le voisinage formel de 0 dans C et soit j un morphisme de C~ dans G qui ne se factorise h travers aucune immersion de Ca dans C. Alors la d6formation formelle d6finie par ] constitue un plongement formel qui d'apr~s l'hypoth~se pr6c6dente ne se prolonge pas en plongement du type d6formation convergent. D'apr~s le th6or$me, il ne se prolonge pas du tout. I1 reste donc h construire un tel morphisme j.

Si G est isomorphe h C 2 (ou plus g6n6ralement est de dimension au moins 2) c'est facile:

PROPOSITION 4. //existe un morphisme j de C~ dans C 2 n e se factorisant & travers aucune immersion de C~ dans C.

Sur les plongements du type d6formation 131

D I ~ M O N S T R A T I O N . On va montrer que si un morphisme j de C~: dans C 2 est de la forme j(x) = (x, f(x)) et se factorise ~t travers une immersion p de Ca dans C, alors f e s t une s6rie convergente, ce qui permet t ra dvidemment de conclure. Ecrivons j = q o p avec q = (ql, q2) convergente. On a donc ql ~ P = id, donc ql est inversible et p = q]-~, d 'oh f = q2 ~ q]-i ce qui prouve sa convergence. C.Q.F.D.

Si G est de dimension un, il est facile de voir que tout morphisme de C~ dans G se factorise ~ travers une immersion de C= dans C. En revanche, on a la:

P R O P O S I T I O N 5. Il existe un morphisme de C 3 dans C ne se factorisant & travers aucune immersion de C 3 dans C 3, c'est-&-dire une s&ie formelle & trois variables qu'aucun changement de variables ne rend convergente.

D t ~ M O N S T R A T I O N . On va mont re r que pour que

s(x, y, z) = xy(y - x)(y - zx)(y - f (z )x)

puisse 8tre rendue convergente par changement de variable, il faut que f soit convergente, ce qui permet t ra de conclure en choisissant f divergente. Soit x(a, b, c), y(a, b, c), z(a, b, c) un changement de variables rendant s convergente. On peut 6videmment supposer ce changement de variables tangent ~ l'identit6. Ecrivons s(x(a, b, c), y(a, b, c), z(a, b, c)) = 0-(a, b, c). C o m m e les anneaux consid6r6s sont factoriels, la d6composit ion en facteurs premiers de o" s'6crit Or'-~--0-10"20-30r40- 5 avec 0-1~-XUl Or2~---y/l 2 O ' 3 = ( y - - x ) b / 3 O ' 4 = ( y - - z x ) u 4 0"5 -~

( y - f ( z ) x ) u 5 et Ul•2/A3Ua/A5 = 1, les ul &ant des s6ries formelles en (a, b, c) valent 1 en z6ro et les 0-~ &ant convergentes. On peut supposer que a = 0-1 et b = 0-2. Dans le nouveau syst~me de coordonn6es la vari6t6 X des z6ros de or est la r6union de cinq hypersurfaces lisses N~ se coupant le long de l 'axe des c. Un calcul 616mentaire mont re que le b i rappor t en (0,0, c) des espaces tangents ?a ~1, ~2, ~3) ~4 est z(0, 0, c) et des espaces tangentes h X1, ~2, ~3, ~5 est f o Z(0, 0, C). Les deux s6ries d 'une variable sont donc convergentes.

C o m m e

~( o, o, o) = a~ (o, o, o) = o,

z(O,O,c) est un changement de variables convergent et donc f est convergente. C.Q.F.D.

Plus g6n6ralement, soit 7r : X ~ C un germe de d6formation ~ un parambt re non triviale de la vari&6 compacte A. Alors si s d6signe la s6rie formelle ~ trois variables construite dans la d6monstrat ion de la proposi t ion pr6c6dente, s*Tr est une d6formation formelle non convergente: en effet; si s*Tr converge, le "l ieu

132 ANDRt~ HIRSCHOWlTZ

t r iv ia l " de ce t t e d r f o r m a t i o n p e u t 6t re r e n d u c o n v e r g e n t p a r c h a n g e m e n t de

va r i ab l e s (cf Schus te r [14] qui d r m o n t r e que la r r u n i o n des ge rmes de sous-

e spaces o h une d r f o r m a t i o n es t t r iv ia le est e n c o r e un g e r m e de sous -espace) . Or ,

ce q u ' o n m o n t r e en d r m o n t r a n t la P r o p o s i t i o n 5, c ' e s t que s - l ( 0 ) ne p e u t ~tre

r e n d u c o n v e r g e n t p a r aucun c h a n g e m e n t de var iab les . D o n c t o u t e va r i r t 6 a d m e t -

t an t un g e r m e d e d r f o r m a t i o n h un p a r a m b t r e non t r iv ia le a d m e t aussi un

p l o n g e m e n t fo rme l non c o n v e r g e n t (du type d r f o r m a t i o n , en c o d i m e n s i o n 3).

D E R N I E R E M I N U T E : B i n g e n e r et F l e n n e r on t cons t ru i t de fagon a n a l o g u e

un p l o n g e m e n t fo rme l non c o n v e r g e n t [1].

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Regu le 19 drcembre 1977