C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Sbrie I, p. 427-431, 1998 Analyse math~matique/Mathematical Analysis

SW les s&es al6atoires de Dirichlet

Fan-ji TIAN, Dao-chun SUN, Jia-rang Y1J

Di;partrmrnt tir* math6maticprs. univvrsit6 tie Wuhan, 430072 Wuhan, K.P. (:hinv

(Rrqu Ir 3 janvier 1998. ucrrpt6 Ir 12 janvirr 1908)

RCsumC. On applique le lemme de Borel-Cantelli, une mkthode de J.-P. Kahane et une extension d’un lemme de Paley-Zygmund pour ktudier les skies aleatoires de Taylor et de Dirichlet. 0 AcadCmie des Sciencesklsevier, Paris.

On random Dirichlet series

Abstract. The Bow-Gmtrlli lemmcl, N method of’J.-P. Kahane, untl an estcnsion of’ a lemma of PaleyZyGymund arc’ upplied to study r~mdom fi~ilylor rind Dirichlet series. 0 Acadkmie des ScicncestElsevier, Paris.

Abridged English Version

This Note considers random Dirichlet and Taylor series:

under different assumptions on the random variables Z,,(w) (always complex and independent), the coefficients (I.,, and the exponents A,,. Theorem 1 says that both the abscissa of convergence and t.he abscissa of absolute convergence of (1) are zero, and gives the exact behaviour of the maximum modulus M((T. w) on the line Re s = CT as (T tends to 0, under the assumptions HI) 71, = 0(X,,) and log IcJ,~ 1 = 0(X,,) (n --i CC) and HZ) all Z,,(w) have the same distribution and they belong to L’( II). Theorem 2 is related to the distribution of values of !J(z% ti) near every point of the circle of convergence: the assumptions on the coefficients are log (arr( = o(7),) and. moreover,

H; ) ,,‘&I&> ,//, - 1/2 log+ In,, 1 = - lug+ I<>-+ )u 1 _ x, or Hk) lim I, - -XL --u - $ and. in addition to Hz), the lop, I,

Z,,(w) are supposed to be symmetric. Under assumptions H’,), each point on /zJ = 1 is Picard without exceptional finite value, meaning that .cl(z.w) takes every value infinitely many times in any neighbourhood of the point. Under assumption HI,), each point on Iz( = I is Bore1 of order p + 1

without exceptional finite value, meaning

lir*i logA 71( 7’. 20% n. w. ,q = fI,) -- f’- I-0

__ =p+l, - log( 1 - 1.)

Note prCsentCe par Jean-Pierre KAHAUE.

07h4-44i12/98/03260427 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris 427

F.-j. Tian et al.

where //.(I.. ,q,. ~5, UJ. g = (I) is the number of zeroes of !I(-. w) - U, in the domain 1: -- ;,,/ < A. 1 :I <: I’.

Theorem 3 expresses similar results for functions ,f(.s. dj. under slightly dif’fcrcnt assumptions on the Z,,(S). and convenient assumptions on the u,,, and X,,.

Pour 6tudier la croissance et la rkpartition des valeurs des skies de Dirichlet ct de Taylor

oti {(I,, } c C et { %,, (LJ) } est uric suite de variables al@atoires complexes dans I’espace de prohabilit6 (II. A. I’) (d E 12). R.E.A.C. Palcy ct A. Zygmund [?I], J.E. Littlewood et A.C. Offord 121. J.-P. Kahane

[ I ] et deux des auteurs ]4]-]I I ] ont consider& Ic C;IS oti {Z,, (LJ)} est une suite de Rndemkcher. de Steinhaus ou bicn une autre suite. Dans cette Note on utilise le lemmc dc Borel-Cnnlclli. unt

mkthode de J.-P. Kahane et uric extension d’un lemme de PaIcy-Zygmund pour etudier quclques cas plus gtnfkiux.

I. Du letnme de Borel-Cantelli on dCduit :

En effet, on :I respectivement :

y?i I(W Ill,,%,, iA,i)( ~._ K k I(),, I ‘/-, ‘c

-x,-- -- ,,~‘, y,- 1’3. =

E; *’ 1(x+ l(i,,%,, (till ,EL log- log c /(I ,, 1 ~ =:

,i- r-x log A,, ,,,&-- I’.h.-

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Sur les sbries alkatoires de Dirichlet

puisque

(4)

Oil AI, (/,. (I. il. UJ) = lllilX{ I!/ (2. Ld)/: [,I = /‘.(I 5 arga < /I}.

Si (3) n’Ctait pas vCriti&. on pourrait supposer que 13) ne soit pas vtrifiCe pour [CV. ij] = [O. %/VI, oil I/ E N,. Posons I< = 0. 1.. . 11 - 1 et dkfinissons :

‘, 1 c,, = si II $ X, (i~iocl I/).

‘, -1 c’,, = si II E 1,. (111oc1 tj).

\c yk(̂ /.w) = c c;y,, (w) 2”.

Ii=0

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F.-j. Tian et al.

Nous aurions

- liln

logf log+ MZk (7., 0, 2. w)

,~+l-o --- < 02 p.s.:

- log(1 - r)

et un rksultat analogue pour Hk (z, iu’ ) dans 0 5 tr.rg- z < $. Puisque HA. (2%~) = Hk (x?~,c,,-),

lirll logf log+ il!& (T. w) < 9c. ___- ___- 8, 1,--l -0 - lo& 1 - 7.)

Parce que

nous obtiendrons une contradiction avec (3). (4) est ainsi dkmontrk. La demonstration de I’) se compl&te suivant l’ordre d’idkes dans [7]. [4], 151. 2’) se dkmontre d’une man&e analogue.

2. Paley et Zygmund [3] ont Ctablit un lemme pour c c,~ Z,, (w), oti {z,, (w)) est une suite de Rademacher ou de Steinhaus et {c,, } c C, J.-P. Kahane [l 1 a gCnCralisC ce lemme au cas z: XT, (d). oti {X,) (u)} est une suite de vecteurs alkatoires indkpendants dans un espace hilbertien. En suivant l’ordre d’idCes de Paley-Zygmund nous avons consid& le cas oti {Z,, (u)} est une suite de Gauss ou une N-suite (voir [8], [I I]. [4]). Nous utilisons un autre lemme de Paley-Zygmund ([I], p. 8) pour obtenir une extension plus g&&ale que nos autres extensions.

Le lemme 2 peut s’ktendre au cas oti les Z,, (w) sont des vecteurs alCatoires dans un espace hilbertien. Du lemme 2 on dCduit par exemple :

TH~OK~ME 3. - S14pposo11,~ qur :

H 1) { Z,, (u)} clst une suite de vuriablrs alkutoires complexes iadkpendantes, oti V 11, E N, E (Z,, ) = 0, l?(lZ,,l”) = ffI’: < x8, E (I%,, l/17,,) = d,, > fl > 0 et que

Hd

Alors : I ) 1 ‘abscisse de convergence et crlle de convergence ubsolue de ( 1) sont p.s. :Pro ;

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Sur les skies albatoires de Dirichlet

-___. = M p.s..

c-haque point sur R.tb s = 0 est un point de Pimrd de ,f (:: 5 ui suns wleur ,finie exceptiorznelle ; ) 4) si

chayue point sur Ro s = 0 est un point de Bore1 de .f ( s, w) d’ordrtr p + 1 et saris valeur jifirzie

t~xceptionnelle, c’est-&dire, 3 E E A (P (E) =: 1). ‘d ~j E I2 - l3. V t E R, V 6 > 0 et V (I, E C,

lilrl ht~?l.(~.~,h.W,f = U) = ,,+ 1, -__

I,+0 - log Cl

ok n (0, t. n. w, ,f = CJ) est le nnmbre des racines de f’ (s, ii: ) = fLf1un.s 1.2 1 Res > (7 > 0, 1rIl~~s-t~ < c;}.

Par le lemme 2, on obtient I ) et 2) comme dans le thCorkme I. Par ce lemme, dans certains sens p.s. f (Y, w) a la m3me croissance dans chaque demi-bande horizontale et on obtiertt 3’) et 4’) comme dans les thkorkmes I et 2.

On peut ktudier Cgalement les fonctions entkres alkatoires definies par (1) ou (2).

(‘) Si {Z,, } vCrifie des conditions plus restrictives, on peut adopter une condition plus g6nCrale que celle-ci I vnir 11 I 1,.

I’rojet support6 par la Fondation des Sciences Naturelles de la R.P. de Chine.

RCfkences bibliographiques

[I] Kahane J.-P., Some random sCries of functions. 2nd ed., Camb. Univ. Press. Cambridge. IY8S. (Version chinoise, Wuhan,

Editeur Univ. de Wuhan. 1993).

[2] Littlewood J.E., Offord A.C., Ann. Math. 49 (194X) 88.5-9.52. 50 (1949) 990-l.

(31 Pdley R.E.A.C., Zygmund A., Proc. Camb. Phil. Sot. 26 (1930) 333-57 and 45X-74, 28 ( 1932) 190-20.5.

141 Sun D.C., Yu J.R.. C.R. .4cad. Sci Paris S&r. I 308 ( 1989, X.5-207, 321 (1995) 1405-1408.

[S] Sun D.C.. Yu J.R., Chin. Ann. Math. I IB ( 19YO) 33-44.

161 Sun D.C.. Yu J.R., SC. in China 39 (1996) 1233-1241.

171 Yu J.R.. Acta Math. Sinica 21 (1975) 97-l IX.

181 Yu J.R., C.R. Acad. SC. Paris SCr. I 296 (1983) 187-190. 300 (1985) 521-522.

191 Yu J.R., Chin. Ann. Math. 17B (1996) 343-348.

[IO] Yu J.R.. Wuhan Univ. J. Natural Sci. I (1996) 1-X.

[I I] Yu J.R., Sun D.C.. Lecture Compl. Anal.. Singapore, World Scientific. lY88, pp. 87-YS.

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