Sur r extension du thdorbme limite du calcul des probabilitds aux sommes de quantitds ddpendantes.

Von

Serge Bernstein in Charkow (Ukraine).

Introduction.

La thfiorie des probabilit~s est un des rares domaines de la science

math6matique, o~ le g6nie de Riemann n'ait pas Iaiss6 sa profonde em- preinte. Mais sa pensde indireetement a p6n6tr6 partout; et j'esp~re, en consacrant ce modeste travail s la m6moire du grand g6omgtre, avoir choisi un sujet qui ne lui aurait pas d6plu.

Les principaux r6sultats de ce M6moire ainsi que l'id6e g6n6rale de la m6thode ont 6t6 r6sum6s dans men article 1) ~Sur Ie th6orAme limite du calcul des probabilit~s>>. On donne le nora de th6or~me limite du calcul des probabilit6s ~ l'affirmation que, sous certaines conditions, la distribution int6grale des probabilit6s de la quantit6 S~ a pour limite, ctuand n crolt ind6finiment, l'int~grale connue de Gauss-Laplace. Aiusi rapplication ~ S~ du th6or~me limite signifie que, pour des vateurs de n plus ou moins grandes, sa distribution des probabiIit6s satisfait approxi- mativement ~ Ia c61~bre ~loi des erreurs ~> de Gauss. Le cas pratiquement le plus important est celui, o5 S n se pr6sente comme une somme de n quantit6s ind~pondantes ou non ind6pendantes, le cas le plus g6n6ral pouvant d'ailleurs 6~e toujours ramen6 ~ cette demi~re hypoth~se.

L'6tude des conditions suffisandres (et n6cessaires) pour t'applicabilit6 du th6orAme limite (ou loi de Gauss) s une somme d'un tr~s grand nombre de quantit6s ind6pendantes a fair l'objet de plusiemrs travaux importants de Tchebyscheff, Liapounoff, Markoff et, plus recemment, de M.M. Lindberg et P. L6vy. En particulier, clans son M6moire s) ~Nouvelle forme du th6o- ~ane sur la limite de probabilit6,~ A. Liapounofl a donn6 une forme tr&s

i) Math. Ann. 85. s) Mdmoires de l'Acaddmie de St. Pdtersbourg (8) II (1901).

Mathematische Annalen. 97.

S. Bernstein.

g~n~rale au th4or~me en question qui comprend comme cas particulier celui qu'on rencontre le plus souvent dans les applications, o6 l'on suppose seulement que le maximum de chaque terme de la somme S, est tr~s faible relativement & la racine carrie de l'esp~rance math4matique du cart& de S~.

N'ayant pas en vue ici de pousser plus loin l'&tude d&j~ tr&s avanc&e d'une somme de quantit&s ind&pendantes, nous nous bornons seulement dans le premier chapitre s d&montrer le th&or&me de Liapounof[, en I'ex- posant d'une fa~on q~i se pr&te facilement aux g&n&raIisations qui seront faites dans les chapitres suivants pour te cas des sommes de quantit&s d&pendantes. Le second Chapitre sera consacr& ~ une &tude syst6matique du cas d'une seule somme de quantit&s d&pendantes. Le m~me sujet a &t& &tudi& dans quelques M~moires remarquables ~) par i . Marker[ qui lui applique la re&rhode des esp&rances math&matiques, dent l'id&e premi&re remonte & Tchebyschef[. Nous examinons aussi en d&tail <~les chalnes simples d'exp&riences >7 de i . Marker[, en retrouvant et &tendant par Fap- plication de nos th~or&mes g&n&raux les r&sultats de l'iliustre g&om&tre & de nombreux cas, o~ la probabilit& de l'apparition de l'&v&nement con- sid&r& dans l'exp&rience suivante tend vers 1 ou vers 0, pour n ~ oo, lorsqu'on connalt le r&sultat de l'exp&rience pr&c~lente. Enfin, dans le troisi&me Chapitre, nous &tendons les principaux th&or&mes concernant une seule somme au cas de deux sommes d&pendantes, en dormant ainsi des conditions g&n&rales pour l'applicabilit& de la th&orie de la corr&lation normaIe qui jusqu's pr&sent n'a pas, il me semble, de fondement math&- matique suffisant. Les applications des r&suIta~s obtenus dans ce M&moire me paraissent nombreuses, mais leur &rude d&taill&e ne pouvait pas trouver place ici. Je me suis born& & des indications sommaires ~ ce sujet, en traitant seulement quelques exemples simples, moins & cause de leur int&r&t pratique, que pour illustrer les r&sulta~s math&matiques et les m&thodes g&n&rales de calcul.

s) ~ Extension des th6or~mes limites du calcul des probabilit6s aux sommes de quantit6s li6es en chaines~ (on russe), M6moires de l'Acad, des Sciences de St. P6ters- bourg (8) 22. -- ((]~tude du cas g6n6ral ~des experiences, formant une chainea, ibidem 25 (en russe). -- <~Sur un cas d'exp6riences formant une ctmine complexe~, Bulletin de l'Acad. Imp6riaae de St. P6tersbourg 1911 (en ru r~) . -- <~Sur tes quan- tit6s d6pendantms ne formant pas une v6ritable chaine)), ibid. (en ru s se ) . - (~Recherches sur un cas remarquable d'6preuves d6pendantes)~, Acta Mathema~ica 33 (en frau~ais). - <~Application de la m6thode des esp6rances math6matiques g des sommes de quan- tit6s d6pendantes>), Bulletin de l'Acad. Imp6riale des Sciences 1915 (en russe).

Th6or~me l imi~ du ealeul des probabilit6s. 3

Propositions

w 1. Nous

Chapitre L

pr~liminaires. Th~or~me

d~signerons d'une fa~on g~n~rale

de A. Liapounoff.

par ~ (u) ~esp&ance mathgmatique de u . Soit, en particuIier, 2~ une certaine grandeur in- connue, dont la loi des probabiIit6s d6pend du param~tre n; on pourra alors construire Ia fonction

qui ]ouera un rSle important dans la suite. Commengons par ~tablir le lemme suivant.

Lemme. Soit Z , une grandeur ]ouissant de la propridtd que, N dtant un hombre donn~ arbitrairement grand, on a, pour n assez grand ~),

2q 2~

(2) .f l~(e'Z,a)id~= f tcf,,(~)Id~ <A, --~V -2r

oct A , est un nombre fixe (ind6pendant de n e t N); dans ces conditions quel que soit t o et quel que petit que soit le hombre donnd e, 1) on peut choisir ~ su//isamment petit, pour que la probabilitd P de ~indgalitd

(3)

et d'autre part, on peut choiMr N asaez grand, soit in/drieure d e, 2) pour avoir

o o

pourvu que n soit su]/isamment grand.

D6montrons d'abord notre premiere affirmation.

A cet effet, remarquons que

l~'x-tol (5) "

car, si l'in6galit6 (3) est satisfaite, on a e z > e_l. il suffira de prouver que, pour n assez grand, on a

Par consequent,

g (6)

~) I1 est, bien entendu, sans importance que ~--~ ~ ~a lieu de ~endre vers m~o autre limi~e quelconque: nous raisons ce~t~ hypo~h~e qui se pr~sente |e plus souvent et ~. laquelIe ]e cas g~n~ral se ram~ne par un changement de-pa~am~tres, u n i q u o m ~ pour fixer les idles.

I*

4 S. Bernstein.

Or, en remarquant que

_I~ f w ~

on peut 6erire I sous la forme

f o ' ':. o ~x.=t_O)~d~l

[ roo ,,, yoo.<,, roos(_ , l _ ~ r _ ~ N

Mais il r~sMte de (2) que, quel que soit N, on a, pour n ~ssez grand,

~fg~[eos(.Yn-to)~]~.., f l ~ ( e i Z . , ~ ) I d ~ < A - - N - - N

et, d'autre part, on a 6videmment

l eo8 (-~ - to ) ~ d ~

N

f cos ( 2 . - to) ~ d~

- N

g ; r

Done, en posant 2=-2Ae

r

2 ~ 2 + 1 --- T 2- -- arctg2 , gg

1 = 2 N ) . ~_ ~ (y - aretg

et en prenant N assez grand pour avoir

-- aretg e~N I' e= (8) [Y ~-a~, < 4 . ,

on eonelut de (7) que 2A

(6 b~) I < -L ~ 2V e v

et notre premiere assertion est ainsi d6montr~e. Pour 6tablir l'in~galit~ (4), posons

IV

oh B se rapporte aux valeurs de Z~ qui satisfont b. l~ (3) et B I repr~sente la partie de l'esp6ranee math~matique 9Y~ qui contient celles des valeurs de 27~ qui ne satisfont pas s eette in6galit6.

Remarquons d'autre part que, pour route vateur de a > 0, on a, quel que soit b,

(to) ee < ~ , ee < lobl-~' a a

Th~or~me l imi te du catcul de s probabi l i tbs .

en supposant tab[ > g.

Or, en posant

on a

donc de l'~galit~

0

nous conctuons que

En ef[et, on a oO

a l lbt z

( k + l )

k~

~ , < i ~ , _ ~ ~ . . . < o~ o ~ ~ ;

sinz z d z = ~o - - ~ + Q~ - - " �9 �9 - - - ~

~rg 0 < e t - - ~ + i + - - - < y ,

quel que soit k, et par consequent, pour 0 < 0 ~ 1,

sinZz d z = IO0~-- ~ + ~ + 0~+~ - - . . . I < - i f , 1 I

car on a toujours une valeur entigre k, telle que k~ ~_ ] a b ] < ( / r Pour &ablir la seconde des in~galit& (10), il sufflt de constater que

1 ~r J O ol, - - ~I, + ~ -1- " . ] < 91, < ~ < i a b t - ~

(sous la restriction clue l a b l > ~ ) .

Cela &ant, en vextu de (3), nous avons

(11) B < P --~ .< --~ e ;

et, d'autre part, puisque, pour routes tes valeurs de 2 . entrant dans B~, on a I X . - t0] ~ 2, en supposant N assez grand pour avoir

2 (12) N 2 - - = > 7 , o n a u r a

(13) B1 < .Ni.-x < -fie.

Done, finalement, de (1 I) et (13) nous tirons o o

(4) t 2~

pourvu que, N &ant fix~ d'apr~s les in6~alit~s (8) et (I2), on air c h o ~ n assez grand pour que la condition (2) soit satisfaite.

6 S. Bernstein.

w 2. On peut d~duire s present du lemme que nous venons d'4tablir le th4or~me g4n~ral suivant-

Th4or~me. Si on a

~0

pour l x t < N, quelque grand que soit le hombre donn~ N, la probabilitd de ~indgalitd

(15)

tend uni/ormdment vers

t o < 2 \ < t~

• J F($) ~ ~- ~ to~ d$ ~ f l O

quels que soient t 1 e t t o dans un intervalle donn~ aussi grand qu'on veut.

En effet, soit c$ un hombre positif arbitrairement petit; nous pouvons fixer le hombre N suffisamment grand pour satisfaire aux in~galitds

( 1 6 ) f[F(x)Idx<#, flF(x)ldx<~,

et ensuite, il sera possible, par hypoth~se, de prendre n assez grand pour que dans l'~galit4 (14) on air Ir < ~, lorsque f x[<:. N. Or, il r~sulte, en particulier, du lemme precedent que la probabilit~ de chacune des 4galit4s ~ ' ~ - t o et ~'~ = t~ a pour limite z~ro. Done, en tenant compte de ce que, suivant le signe de k ~ 0,

1 / s inked~ = + l , -Z --V-

nous voyons que, pour n assez grand, la probabilit~ de l'in~galit~ (15) diff~re au~si peu qu'on le veut de

O0

2 ~ ~ ~ "

D'autre part, de la seconde pattie du m~me lemme nous concluons que H diff~re aussi peu qu'on veut de

iv N

pottrvu que iV et ~ soiont aase~ grands.

Th6or6me limite du oaleul des probabilit6s. 7

Par cons6quent, on a entre tes l~mites d'intAgration ( - -N, ~ N)

(20)

et, puisque

I t . i < 3 (car ~ = ft. + iy.). Ainsi,

Q = ~ [ 2 d$ - N

2r t, ~ to ~ cos t~ + to. sin - - - - ~ _ _ _

-N" (1

N

),. d~,

tl sin t~__~2 to

t

tt -- t o 2 , on voit que

(21) cosh+to A' sin t x ~ ~ ~ d~:

- N - - 0 0

t~ + to ~ t~ t o . t~ + to

--~D - - s

Done, rant que (t 1 --to) ne d6passera pas un nombre positif fixe L, aussi grand qu'on veut, Q et aussi par esns6quent (par l'interm6disire de H), la probabilit6 de l'in6galit6 (15) tendra uniformdment vers

j" sm --'2-- ~ c~ - -2- ~ 1 [ sin t~ ~-- sin to~ (22) ~-1 E(~) ~ d~ =~-~ E(~) ~ g~,

- - 0 0 ~ O t )

lorsque n croitm ind6finiment 5).

5) La convergence uni]orme vers la limite indiqude pourra~t ~ re rendue indd- pencl~nte de I,~ grandeur L , si Fort savMt qtm Ia foaotion $'(a~) sa$isfait $ux eon-

~ o 0

ditions tr~s laxges, d'aprbs lesquelles lira fE(~) --~a~ d~--ze(O). C'est co q~.ui

lieu dans le cas paxtieulilar important ClUe nous examiuons plm loin, off F ( w ) = �9 ~ , et nous ne d/scuterons pas iei cette question dams le cas g ~ r ~ .

8 S. Bernstcin.

w 3. Th~or~me. S i Z , jouit de la propri~t~ que~ ~ ~ n t un nombre donnd aussi petit qu'on veut et N u n hombre donn~ arbitrairement grand, on a, /orsque ]$]<: N, pour des valeurs de n su//isamment grandes,

(23) e 4 ~7~(e~2~0- 1 < ~,

let probabilitd de l'indgalitd

(15) to < z . < t1

tend uni/ormSment vers la [imite t l

J to

lorsque n cro~t indd/iniment.

En effet, d'apr~s le th~or~me precedent, la ]imite de la probabilit6 r est 6gale b,

$: t l

(24) 1 fe--~sint l$ sintoSd$ i f - - - - - - e - t~d t .

La convergence uniforme vers la limite indiqu4e r~sulte du r pr6c6dent pour le cas, off t o et t~ se trouvent h l'int~rieur d'un segment donn~ aussi grand qu'on veut. Mais, si L a 6t4 pris assez grand pour clue

- Z

off e est un hombre aussi petit qu'on veut, on pourra prendre n assez grand pour que la probabilit4 de l'in~galit4 (15), pour I to I ~ L, t tli ~ L,

g

diff&re de sa limite moins que de y , et, en partiouIier, la probabilit~ de

- - L < ~ < L sera sup~rieure ~ 1 -- e; done, si L < t o < t~, la proba- bitit~ de l'in~galit~ (15) devient inf4rieure ~ e, et par consequent, pour tout~s valeurs de to, t~, et pour los valeurs de n choisies plus hau$, la dif~$rence entre la probabilit~ de (15) et l'intbgrale correspondante sera, clans tousles cas, inf4rieure, en valeur absolue, ~ ~e.

Nous allons d~montrer h pr6sent une proposition auxilaire importante rela$ive aux esp6rances math6matiques ~nonc6e par h. Liapounoff~a).

w 4. Lemme. Quel~ que soient h ~ O, q > p >~ O, on a

(25) [~l,~+~!]~ [~1 ~IV-~ _>_ [~ix,+~l ] ~- On remarque d'abord que le passage b, la lira.ire permet de se l~rner au

a.) ~Nouvelle forme du thdor6me sm~ ta ~mit~ de probabilit6~.

Th~or~me limite du calcul des probabilitY. 9

cas, off la grandeur x ne ]?rend qu'un hombre l imi~ de valeurs, qu'on peut su]?poser routes non n~gatives: ainsS, t'in~gatit~ (25) ]?ourra ~tre rem]?lac~e par

(26) [2 :~ ~+~]~ [ 2 ~ x~] ~-~ => [ 2 s ~,

off fl > 0. De plus, en ]?osant f~ x~ = ~i, et en admettant clue ~ ~i = I , ce qui ne restrdnt ]?as la g6n6ralit4 de l'in~galit~, car celle ci eSl~ homo- g~ne par rapport aux f/, on est amen6 ~ ]?rouver que

(27) [Z',p,*/']~ _-> [Z'~i*g]q. Enfin, le ]?assage g Ia Iimite permet de se borner au cas oh tes

hombres ~i sont rationnels, et ]?ar eons~luent, on peut su]?]?oser tous tes 1 ~oi= g , n &ant le d~nominateur commun des q~i qui re]?r6sentera aussi

le nombre de valeurs x/ diff&entes ou non. Ainsi, iI suffit de voir que

1 1

7~(2J ~)~ __ ~ ( 2 ~)~, c'est-~.dire, en posant q-- ----- 2 => 1 et x~ -~- Yi, que

P zy~ 1

L = (~y,)---= ~ ~-T=~_~.

Or, cela est 4vident, ]?uisque le minimum de L e s t at~eint, Iorsque tousles y~ sont ~gaux, ce qui donne ]?r4cis4ment

n 1 L---~T~-n~,l, c.q. L d.

En particulier, on d4duit de (27) que rexistence de 9XIx~] entraine a for- tiori t'existence de ~J~lx~ t, et on a

(27~,) ~ l ~ t < [ g ~ l ~ ! ] ~ (~<q). Soit, d'aut~e t ~ t , %, %, . . . , % une suite quelconqae de quantit~s non n&

alors (en sup]?osant q :> 1) de (26) que

( ~ hi) q-~ ( 2 di) ~ ( ~ el) q, d'o~

(28)

Salt w

I

( ._~& ) ~ Zr

Passons g la d&nonstra#ion du t h ~ 6 m e de A. L i a l ~ n o ~ :

10 S. Bernstein.

une somme de quantitds inddpendantes. ralit~) 9J~(u~)=O; supposons de plus Si, n croissant indd]iniment,

(30)

#

o;~ B. = .2 b, 1

(31)

Soit (sans restreindre la g6n6- que 92~ (u~) = b i et T]~ tuf t = c, .

2~e~ ~ . - ~ / - ~ 0 ,

= ~ (~v~), /a probabilitd de ~indgalitd

t o ~ B . < & < t12ff-B.

a (uniform6ment) pour timite

to

.~--~- = Yk, alors Vzz~

I = 9X(e ~*~+u'-+-.'+y-) ~) = ~J~ (eiY~). . . ~] (e~y-~).

b~ ~' ~

3 (2 B . ) v : '

b ~ b ~ ( ~ )

A cet effet, posons

(32)

Or,

(33)

off

(34)

car

e ~ -~ cos b ~ i sin b = 1 ([O~I ~ 1, lO~ [ =<1),

en utilisant les d~veloppements de Taylor de cos b e t sin b avec le reste

de Lagrange. A cause de (30), ~k tend vers 0 avec 1 , et it en est de

4 do � 8 8 oar <o:, do quo

Nous pouvons done, en fixant un hombre N aussi grand qu'on le veut, prendre n suffisamment grand pour avoir

(35) ! bk~

off e est un nombre donn~ arbitrairement petit, rant que t ~ l ~ N. Par �9 b ~ ~

consequent, en posant % = 4B, A - ~ s , on aura

l o g / = log(1 + ol) + log(1 q- %) q - . . . q- !og(1 -f- a~)

= o~ (1 + ~1) + o~ (~ + ~ ) + ... + o.(1 +~,) ,

ThdorAme limite du ealcu! des probabilitds. 11

o~ l a, l < ~. Or, n

�9 -- ~ ~- = - u I

off, en vertu de (30) e$ (34), n peut &re pris assez grand, pour que ~ soit aussi petit qu'on veut; d 'autre part,

1 1 1

1 e"~ tendant aussi vers 0 avec --n (pourvu que l~I<= N). Done,

~ 2 P ---- eS t )~

d'ot~ nous eoncluons que, 6 &ant un nombre arbitrairemen~ petit, on a, pour des valeurs n assez grandes,

,lle~- --11<~I, Z .

vour~u quo i~I < ~- Le ~ o r ~ m e (~) ~ t don~ ~Vp~ble ~ Z V-~ = 2r 1

r qui prouve que la probabitit6 de l'Lnfgalitfi (31) tend uniform6ment vers la limite

tl

. . . . . . . = e - V d t .

~to Comme le remarque A. Liapounoff, son th6or~me comprend l e c a s

partieutier important, off fl existe un hombre L qui ne sera d6pass6 par

L g aucune des quantit6s u~, tel que lira ~ =-- 0. En e~et, on a manifestement

c k ~ b k L, done

L'illustre g6om&re a d'aiUeurs pr6sent6 son th6orgme sous une forme un peu plus g6n6rale, en consid6ran~, au lieu de ta condition (30) , la con- dition

c~ *~ (30his) 1 ~ ~-~" 0

off c~ (z) = ~ [ u ~ +z 1, c~ &ant un nombre ~ i t i f donn6 queleonque; comme il est ais6 de voir, le r de ~>~1 est une co~&tuenee (,~ cause do(28))

12 S. Bernste2u.

du th&)r&me tel que nous l'avons d6montr6, mais le eas off 5 < 1 est plus g6n6ral. Toutefois n'ayant pas br dans la suite du th6or~me de Liapounoff sous sa forme la plus g6n6rale j'ai pr6f6r6 me homer, pour fixer les id6es, au eas de ~ = 1. I1 est, d'ailleurs, ais6 de v6rifier clue, % d6signant la probabilit6 que I u~ [ > L, le ~h6or~me limite sera applicable

toutes les lois que l'on a en m6me temps ~3~ * 0 et 2 e ~ ~ 0 (la valeur 1

de B~ 6rant calcul6e ~) dans l 'hypoth~e que !u~I ~ L, en choisissant L convenablement). L'examen de ces g6n6ralisations n'entre pas clans le plan de notre 6rude actuelle.

Etude des

Chapitre II.

sommes de quantit s d pendante

w sera eependant d'une grande utilit6-

Commengons par 6tabhr une proposition

,S,,= 2" + o.,

et 9X (.S:) - - B,,,

L emme. So/t

(37)

grand la probabilitd de l'indgalitd

(38)

a pour limite

=

toF2B,~ < ~,, < t~ [2B,,

1j V~ e- '~dt ' to

Findgalit~

(39) t o t/2bn < S,, < t~ |'2b~

aura la mgme limite, pourvu que l i m ~ - ~ - 0 , en posant b,, n~---, oo

tr~s simple qui nous

si pour n trds

s) Ain~i, par exemple, si u~ reqoit toutes les vateurs possibles :J: Ifm avec une 3

probabilit~ x m ~ , m 6rant un nombre entier, ~ (u~) e t a for~iori B~ n 'a pas de sens.

Cependant, si on pose Z2= A~ ~log ~, off A est un nombre donn~ quelconque, on a, 2

en ne consid6rant que les valeurs de t uT~ ] < L , ~vx e~ < A ~/Io~ et, sous la condition

6n ~ I 6~ logn , L 2 indiqu4e, B~ = Z ~ m ~ ~ de sorte que ~ - - ~ 0. Done, Is probabilit6 de

-[/1"2~ n ~/12~ " ' 1 t~ l'in6galit6 V z ~ I~176 Z u ~ < V - ~ - l ~ a pour limite ~ - ~ e - ~ d t . Onre-

commit facilement, grgce b, (26), que dans Ie cas g6n6ra! de Liapounott la valeur de B~ est ind6pendant~ de L. ~

Th6or~me limi~o du cabul des prolmbflit6s. 13

En effet, on vertu d'un th6or~ne classique de Tchebyscheff, la proba- bilit6 de l'in6galit~

1 Par cons&luent, la probabilit~ p . qu'on a est sup6rieure ~ 1 - z-- ~.

satisfait d'une part, g l'in6galit6 1 (4t) ~. > P. , , ,

off P,~ est la probabilit6 que

car l'in6galit6 (39) sera certaiaement satisfait~, si l'on a simultan6ment 7) (40) et (42); et, d'autre part, en d6signant par P~ la probabilit6 de l'in6galit6

(43) ,o ~2%-~ - ~ L < z . < t~ V ~ + ~v~, on a aussi

(44) p. < .~ '

car l'in6gati$6 (43) doit avoir lieu, si on a en m6me temps :) (39) et (40). Or, e 6t~nt un nombre donn6 arbitrairement per i l on peut poser

1 , ( ~. ~ ~e , e~ prenclre ensuite n assez grand, pour avoir g cause de l'hypo-

th~se lira ~" b. ) ~,= ~ ~ ~ 0 qui ent-raine ,,=~lim ~ = 1

ti tl

- - - = e dt <-~, P;,----=_ e-t~dt < ~. to G

D onc, on a aussi

IPn- - -~o l f e - t ~ d t I < e , c .q . f , cl.

w 7. Avant d'aborder le cas g6n6ral des sommes de quan~t6s d6- pendan~es, nous examinerons pour plus de nette$6 t'hypoSh~se, O~l los quantit6s suffisamment 61oign6es sont enti~re~rtent inddpendantes, et nous ticherons d'61argir antant clue possible la distance des t~rmes d6pendants pour que le th6or6me limite des probabititgs (r Ia loi de Gauss) reste applicable. Comme pr6c6demment, nous supposerons tonjours, pour

~) Nous nous appuyons sur l'in~galit6 g6n6rale (AB)+I >~ (A)+(B), oh (A) et (.B) sont les probal~i!it~ de deux 6v6nemenf~ qu~conqnes, et (AB) ~ probabi!it6 de leur r~lisation, simul~n6e.

14 S. Ber~.ein.

simplifier l'6eriture, que lea diff6rents termes x~ de la somme S . on~ a priori leurs esp~ranees math6matiques nulles, ~ ( x ~ ) = O. Nous d6si- gnerons, en g6n6ral, par ~ ' les esp6ranees math6matiques a posf~riori qui pourront prendre diverses valeurs suivant les 6v6nements r6ahs6s qu'il faudra toujours indiquer. Ceei pos6 nous d6montrerons le th6or~me suivant:

Th6or~me A. Soit S~ = x~ + x~ + . . . + x,~ une somme de termes d~pendants ]ouissant des propridtds suivantes" t. B~ = ~ (S~) > MnZ,

2 ah 2 > ~; 2. x~ et x~+a sont inddpendants, si g > Hne; 3. quelles que

soient les valeurs dd]d connues de certaines des quantitds x~, ~esp&ance mathdmatique de I x21, o~ k > i, reste in/drieure s) d u n nambre /ixe L; 4. quelles que soient les valeurs connues de certaines des quantitds x~, O~ a g ) , t 90~r k > i ,

(45) si 2 ~ 1 , et

(45

:~'(x~,+~ + . . . + x~+~) ~ < N f - ,

si ~ ,>1.

~'(x~+~ + . . . + x~+a) ~" < N g n ~-1,

Dam ces conditions, la Trobabilitd de ~in$galitd

z o ~ 2 B,, < S,, < zl ( 2B , ,

a pour limite, quand n

air 9

ZI

if vrolt indd]iniment, -~ e-z~dz, pourvu qu'on ~o

A cet effet, raisons le groupement suivant des termes x~ de S,"

y~ = xl + x~ + . . . -4- xh, ul = x~+~ -4- xh+~ + . . . + x~+~, y~ = x~,+7,+ 1 + . . . -+- x~ ,+~ , , u., = x~ ~,+j,~_ 1 +... -+- %~+~,,

�9 �9 . o . . �9 o ~ . o . o . �9 . o . . �9 . . �9 . ~ ~ o ~ ~ . ,

off k = Hn~ est un nombre entier (ce qui ne restreint pas ls g6n6ralit6). Dans ces conditions les termes Yi de la somme

(48) + + . . . + y,

seront ind4pendants, par hypoth~se. Posons ensuite 1 = n ~, off le hombre positif ~ satisfait & l'in6galit6

(49) 0 < ~ < 2 - - 2e;

8) I1 est ais~ de v6rifior, que d, apr~s ~ t t e exmd/tion, 2 ~ 2; eG si on tiont compte de 2. il en r~ult~ ~ ~ 1 + ~.

9) D a ~ tous les cas, c'est celle des deux in6g~lit~s (45) et (45his) qui est la moins restrictive qui est ~ t e , car, pour ~ ~ 1, (45) est mm cons&Ittence de ( 4 5 b ~ ) , et , pour 2 > L e'est r inverse qai ~ ~eu.

9~) M, /~ et .~V son~, bien entendu, des e o ~ fixes.

Th~or~me limite du clfleul des probabiHt~s. 1~

on aura alors 4videmment

(50) h § k >= n~-'~> h,

si l'on veut que ~/~ ne contienne pas plus de ]r refines; supposons de plus, h ~ k. Cela ~tant, on a

off ~ = u~ -[- u~ - l - - . . + uz, et il est ais6 de montrer que lira

En effet, les quantit~s u~ 4rant ind~pendantes, on a

off O = L ~ est un nombre positif fixe, car, h cause (27~is),

de sorte que g2~(u:)=gJ~(xi(,+~,)_~,+~ + . . . 4 : x,(~+,)) ~ < k ~ C . en tenant compte des ggalit~s k ~ H n e , l = n '~, on voit que

B, ~ 0 .

Done,

s~ --x~+~ H- . - . -F x~+g, 8.~ -= x,,g+~ - t - . . . -1- xi+~g

et remarquons ClUe

~'I~ + ~o}~< ~ ' i 8~ t ~ + ~ ' l ~ t ~ + a ~ ' i 8 ~ i + ~ ' i ~ l sZ 3 ~Z

< 2Og ~ + ~ g ,

en ~ n ~ de (~b~) et (t~). Donc, l'in~ga!it~ (53)sexa vraie pour 2g, si

o ~ ( ~ ) ~ ,

(sa) ~'lx,+~ + . . . + ~+~1 ~ < Og ~"

= ~ I lnega- supposons d'abord que g 2 , s ~tant un nombre entier. Alom '" " lit6 (53) est bien v~rifi~e pour g = l ; il suffit de volt que si elle est vraie pour une valeur de g~ elle Ie sera ~galement pour 2g. Or posons

tend vers 0, lorsque n augmente (grace ~ (49)).

En vertu du lemme precedent, notre th~oreme sera donc ~aMi, si nous montrons que le neoreme limite des probabilit~s s'applique ~ ]a somme &~ des quan~it~s ind~pendantes y~. Pour ce]a, cherchons une borne superieure de ~ ' 1 Y~I et, d'une fa~on plus g~n~rale, Iimibons sup~rieare- ment ~P] x~+ 1 -~-, . . -~- xi+g ]a, quel que soit g. Examinons d'abord t'hypo- th~se que 2 ~ 1. Je dis qu'on peut fixer une constante C, telle que

16 S. Berns~in.

c'es~-~-dire, si

d'ofi 2 ~ O,

3N~-

Cette valeur de 0 sera admissible, pourvu que 2 > .~. Notre affir- mation 4tan~ ainsi d6montr~e pour g - - 2 ~, plagons nous clans le cas g~n4ral, off g~ ~- 2" ~- f avec f < 2 ~. I1 es~ &vident que dans le raisonne- ment fail plus haut pour le passage de g ~ 2g nous pouvons supposer une pa~tie des termes de S~ iden~iquement nuls; par cons&luent, si gx < 2g, on a a fortiori

,-~ C2 ~- ~- ~ ' t ~ , + x + x , + . + . . . + ~ , + ~ f ~ < O ( 2 g ) ~ ' < O ( 2 ~ ) : - (g~)" ;

donc, pour g quelconque~~

(~) ~' I ~§ + ~+~ + - . . + z~+~ !~ 3 3

3 N ~ g-f "~ <2 1 1 "

2 2.~z

II est ais6 de voir s present que le th6or~me de LiapounoiI est

applicable ~ ~ y ~ , c a r 2 [y~ ~ A Z h ~ ~ , off A es~ un 1 i

nombre fixe, de sorte que l

B:/,

1 2 tend vers 0 avec --n' pour ~ < 2 .

Soit h pr4sent 2 ~> 1, et supposons done que c'est la condition (45 b*) qui est remplie. Dans ce cas, nous pouvons indiquer tree constante C, telle que

(56) !fft'tx~+ ~ + . . . + x~+al a < C,g~n~ ~'-::).

En effet, en raisonant comme pr~c&demment, supposons que ~I et satisfont s (56).

Alors de

~' i~ , + s,l ~ < ~ ' i ~ i + ~'18~ l + a ~ ' l ~ l + a ~ ' l,~q I

~o) ~ moins que le facteur de g} ~ ne soit in~rieur ~ L, auqueI cas c~est pax L qu'il faudra le remplacer.

Th6or~mo limito du r des probabili tY. 1~7

nous tirons clue l'in6gulit6 (56) s'appliquera aussi ~. 5'1 + S~, si

c'est-h-dire, si

(2O+6N~)g{n ~(~-~) ~ C(29) % n -~(z-~),

3

2 G' + 6R "~ ~ 2'/~0;

donc, si g est une puissance enti~re de 2, fl suffit de poser

(57) O------ 3N~(1 -{-)~).

Comme plus haul, on reconnait qu'fl suffira de doubler la valeur de N pour que l'in6galit6 (56) devienne applicable, quelque soit h nombre entier g. Done, on aura un hombre fixe A, tel clue

d'ofi

.~g~iY~ < Alh~n V~ ~) < A 1

l

I~e th6or~me est done d6mon~r6 dans les deux hypotheses.

w 8. I1 importe de remarquer que si les conditions du th6or~me A ou des th6or~mes B e t •, de'montr~s plus loin, sont remplies, leur nature n'est pas chang~e apr~s la connaissance d'un nombre limit~ des termes de la somme S~ qui, par cons&luent , con~inuera ~ satisfaire ~ h loi de Gauss (pour n tr~s grand); nous allons montrer sur un exemple que la

situation a priori e t a posteriori pourront ~t~e bien diff6rentes, si ~ ~ ~,

et, en g~n6ral, Ie th6or~me limite ne sera plus applicable ni a priori, ni a posteriori.

Consid6rons m exT6riences ind~_pendantes, off la probabilit6 de l'apparition d'un 6v6nement E est 6gale ~ 1. ~, on effectue ensuite encore l exp6riences, clans lesquelles l'6v6nement E se r6alise n6cessairement, s'i! a eu lieu dans l a m m~ exp6rience, et ne se r6Mise jamais darts le oas con- traire. Supposons que x~-=- + 1, suivant clue E s'est pr6sent~ ou non la i me exT6rience. II est ais6, en appliquant le th6or~me classique de Laplace, de trouver la loi de distribution des probabilit~s de

~ =x~+.- . +xm+x~+~ +. . . +z~,

en posant ~-----m + L En eATet~ la prohab'flir limi~e de l'in6galit~

t/~ 2t o -~ < x~ + x~ + . . . + ~ , <: 2t~

Mt,h, mat~ho Atm~r 97. 2

18 S. Bernstein.

t l

est 6gale h 1 f _ e- t~dt . Done, darts Ie cas off. x~-~-1, on trouve la

to m6me valeur pour la limite de la probabiIitA de l'in6gaIit6

et dans le cas eontraire, o~ x , , , - - - 1, eette mgme valeur correspond l'inagalit~

2t o < S,~ + l < 2 t~ -2-"

Par consequent, en remarquant clue ~ (S~) = B , : m -~ 1 ~ ~- 2 l, on trouve par un ealeul facile que la probabflit6 hmite de l'in6galit6

est ggale

off

1 I t2 t,' tt

t~ = z~ ] / -2~ ' t~ = z~ V 2 m '

to = Zo + = zl + r

Done Ia condition ngcessaire et suffisante pour clue la loi de Gauss

soit applicable est que lira l ~=~ i/~ = 0. Ainsi, conform6ment au th~orgme A,

ce eas se pr~sentera, si l < H n e , o~ ~ < �89 et alors limto--- l i m t ~ = z o, l i m b = lim t~ ~-z~; au eontraire, la loi de Gauss ne serait plus apph-

1

cable, lorsque l = - n ~, car on aurait

lira t o + )'21 = lira t~ --1/--~1 = Zo 1/~ et lira t 1 -Jr- y21 __ lira t2 _ t ~ _=_ z~ I / ~ . 1

Duns ee dernier cas la loi de Gauss eat cependant applicable a posteriori (apr~s la eonnaissance du r~sultat de la m me experience seulement). Mais il suffirait de modifier notre exemple en ajoutant une nouvelle exp~ience ind~pendante des pr~c~dentes qui influe sur les I experiences voisines de la m~me fa~on que l a m me pour que la ]oi de Gauss soit ~galement inapplicable apr~s la "connaissance du r~suttat d 'une seule ex- perience quelconque.

Sans insister sur l'~tude plus d~taiU~e des conditions n ~ s s a i r e s pour la loi de Gauss, consid~rons un schema qui correspond aux conditions du t h~or~me A et qui clans une premigre approximation peut ~tre utilisg pour l ' interpr~tation de certains ph~nom~nes naturels. Soient ~ , ~ , .~,, u~

Th~or~me limite du oalcnl des probabilit~ 19

un grand nombre de quantit~s ind4pendantes et soient x~ ~ f~ (u~, u~, . . . , u ,) , xo=f~.(u~,u~,...,u~+~),..., x~=f~(u~,u~+~,...,u~), n=N--t-]-l~onc- tions born6es de ces quantit6s, le th6or4me A sera applicabIe S ~ = x~ -~- x~-~-... + x~, si, 9X (x~+~ -}- x~+~ -}-. . . -}-x~+~) ~ ~tant de l 'ordre g~., off )~ ~ ~, quels que soient les x~ ant4rieurs, le hombre t de variables

2 dont d4pend chaque fonction est inf~zieur ~ n% off ~)< ~ .

Supposons, par exemple, clue x~ - - f~(u~ ~-u~+~ ~ - . . . ~ u~+~ prend la valeur -4-1 ou -- 1, suivant clue ~ ~ u~ -}- u~ + ~ ~ . . . ~ u~ +,.,,est positif ou n~gatif, et x~-----0, lorsque % = 0. Si nous admettons que

le th4or~me limite sera applicable s o~ pour t tr~s grand. Dans ces con- ditions, lira ~ (x~) - - 0, lira ~ (x~) = 1; il est 4vident aussi que 9X (x~ x~ ) = 0, si ~ ~ - b - i > t, car dans ce cas x~ et x~ sont ind~pendants. Pour cal-

8 culer l im~(x ~x ~) , lorsque ~ ~ t, supposons d'abord que -~ ne tend pas

vers 0; dans ce cas, comme on le verra au Chapitre I I I , ~ et ~+~ seront en corr41ation normale, et puisque

~-~ (aio~+~) ~-= ~J~ (u~+~ ~ - . . . -]- u~+t) ~ - - (t -- J ) a ,

le coefficient de corr61ation entre a~ e~ ~+z est 6gal ~ t - ~ --y--, et par con-

s6quent la limite de la probabilit~ que a~ > 0 et a~+z > 0 est 4gale

1 VI o 0

~r~

1 II o

2

t

/ t - $ "~ i-k-7/ dydz

28 82

t t " ededO

0

Done, en tenant compte de ce que la probabilitY, de ~ > 0 est ~gale s �89 noas voyons que la prob~bili~ de l'm~galite a~+~ > O, lorsel~on ~ i t que a~ ~ O, a pour timite

1 1 t t - ~ 1 . (58) gy2 t_v

20 S. Bornsteim

II est 6vident maintenant que, T tendant vers 0, la formule (58)

subsist~ et donne lim P~,~= 1, car on voit sans aucun calcul ClUe P~ ~ -~ �89 + f (5), off f (~) doit diminuer de �89 ~ 0, lorsque ~ croit de 0 ~ t. Done, finalement, pour ~ ~ t,

2 t ~ lira g)~ (x~ x~+~) = ~ arcsin

et on a asymptotiquement pour g trgs grand (quel que soit i )

2g . ~ 2gt c . . . . ~ arcsm u - ~ jarcs in x d x - 71:

~ = 0 0

Par cons6quent, s i t ~ ne (r 1), Ies conditions du th6or~me A

(en particulier (45b'~)) sont remplies, et B,~,'~ n l+e ( 1 - ~ ) .

Nous avons 15~ un exemple, off le coefficient de dispersion croft in- d6finiment avec n, car si les quantit~s x~ ~ i e n t ind~pendantes, tout en conservant la valeur gJ~(x~)~ I , on aurait B ~ - - n ; le coefficient de

dispersion est done 6gal s n -ff 2.

Le plus souvent les fonctions x i = fl que nous avons introduites plus haut d6pendront de routes les variables ind~pondantes, mais iI y aura seulement un groupe relativement petit de variables dont l'influenee sera pr~pond~rante. Ce eas sera examin~ plus loin. I1 est certain, par exemple, que la pression barom6trique maxima de chaque jour de l'annSe dgpend d'un trgs grand hombre de causes, mais ce n'est clue les joumges voisines qui sont princip~.lement influenc~es par Ies mgmes causes. Ainsi, admettons qu's I'intervalle de 10 jouzs les pressions deviennent indgpon- dantes; d'une fa~on plus precise, supposons que si l'on note pour chaque jour donng du calendrier la pression barom~trique maxima, pendant 100 ans, par exemple, et clue l'on calcule sa valeur mgdiane pour ehac/ue jour d~ter- min~ (soit, Ie le~janvier), le fair clue la pr6ssion du 1 er janvier de cette annge est supgrieure s la m6diane de ce jour, ne permet pas d'attribuer pour le 11 janviex ou Ies jours suivants une probabilit~ plus grande au fair ~tue la pression d~passera la m~xliane du jour correspondant qu'& rhypo- th~se contraire. Si cette supposition est vraie, on devra trouver que dans chaque annie l 'exc~ du nombre de jours o~ la pression baromgtrique ~st sup6rieure s sa mediane sur le nombre de jours de nature optms6e ~atisfera approximativement s la loi de Gauss; natureltemen% Ia con- statation plus ou moins precise de cette cons&tuence ne prouverait pas I'exactitude de notre hypoth'ese.

Th~or~me limi~ du caleul des probabilitY. 2 f

Passons done s pr6sent s l'6tude du cas de la d@endance ggndrale de tousles termes x~.

w 9. L e m m e f o n d a m e n t a l . S o i t S ~ u ~ § § § !I)~ (S~)= B , , 99~ (u?) § 9)2 (u~) § § 9"J~(u2) --- B~ (on suppose toujours, pour simplifier l'6eriture, que 9~(u~)= 0). Si, qu'el que soit Fensemble des valeurs d~5 connues de u x, uo., . . . , u~_ ~ , Zes dcarts/que regoivent les espdranees maZhd- matiques de u~ et u~. ne d@assent pas respectivement a~ et fl~ et en m~me temps ~espdrance mathdmatique de [ u2 [ reste in/drieure d c i, la proba- bilitd de ~indgalitd

(46)

aura pour limite

pourvu que

1 tendent vers 0 avec - - .

q~

Zo~2B. < S~ < z~ ~ 2 B .

Zl

if -[_~ e -": d z ,

zo

1 1 1

Dans la suite nous dirons, en g6n6ral, pour abr6ger, u~ sont presque ind@endantes, si elles satisfont aux conditions lemme.

Passons h la d~monstration. Commengons par ~tablir que

(59) lira B,, = 1

que les quantitAs de ee

A cet effet, posons, en g6n6ral, S~ = ul § u~ § ... + B , =

En posant; m ~ n e t divisaat ]es deax membres pax .B. on

t off e,~ tend vexs 0 a v ~ -~ ,

(61)

o3 10j < 1. obtient

(62)

m ~J~(u~) § § ~J~ (ul) , pour m ~ n Nous aurons

(60)

or, on a 4videmmenr

si n o est la valeur de m pour laquelle B . atteint son maximum. Par cons&luent, I'6gatit~ (60) peut ~tre raise sous la forme

22 S. Bernsteim

2 car tend vers 0 par hypoth~se; or, en posant d'autre part m = n o

et divisant les deux membres de (61) par B~o, on a

(63) 1 ~:o , -~-s +~.,

oft e~ tend a fortiori vers 0, car B~o ~ B~. De (62) et (63) nous tirons

et puisque B," ~ B ' , on a a iortiori

off a~ tend vers 0, d'oft il resulte imm4diatement que

z" (59) lira ~ = 1. ~ ao

Ce r6sultat 6rant acquis, posons y~--- u~ et caleulons

pour m ~_~ n e t [~ I< h r, oft N e s t un hombre donn~ aussi grand qu'on veut. A cet effet, remarquons que, quels que soient yt, y ~ , . . . , y~_~, on aura toujours

~ ( e ~'k) = 1 ~(u~) ~ 4B,~ + ~' (65)

oft

(66)

A ~tant une constante fixe qui ne d~pend que de h r. Or, si on a deux quantit~s li~es d'une fa~on queleonque, x et z, telles que, x ~tant donn6, l'esp~rance matMmatique de z devien~ ~gale ~ R-~-~(x), off R e s t u n e c o n s t a n t e , on a

(67) ~ (xz)-~- R ~ ( x ) § ~ (x~(x)) ;

va~ ~o~uen~ , si Ix !< O et t~ (~)I<~ , il ~ient

(68) i !~t(xz)- R~Y~(x)[ < Ce.

En appliquant eeci au ea l~ l de G,~, nous tirons done de (64) que

= 1 -e ~ e _ - - - G m _ ~ 1

Th6or~me !imite du ~alcu~ des probabitit~s. 23

la valeur de G,~ ~r

(70) a,~= E,~ + ~ , ~ ~ 1

off

L'&tuation de r6eurrence (69) conduit imm&liatement

(71) E k = 1 4B~ } 1 }~ . . . 1 ~ 4B~ 4B" "

Or, en remarquant que, pour m ~ k , ~ - - 1

vers 0, lorsque n croit ind6finiment, nous voyons

(72) IG~- E.I < Xtr~t l

tend 6galement vers 0, queI que soit m =< n . D'autre pal%, en prenant les logarithmes des deux membres de (71),

apr~s y avoir pos6 k = n, on v6riiie faeilement clue

(73) lim E, = e ' ,

et par cons6quen~, on a 6galement

(74) Iim G,~=e 4

Done la probabilit~ de l'in6galit6

(46b~) zo Y ~ ' - - - ' . B . < s . < z~ V2B,

a pour limite (en vel%u du th~orgme~3) ~-~ e-z 'dz , et, grgme s (59), on

zo

peut remplaeer B : par B , clans (46b~). C . q . f . d .

R e m a r q u e . Avant de passer aax applications du lemme d6mon~6, remarquons qu'fl aurait pu 6tre g6n6ralis6 de la fae~on saivante: la con- clusion du lemme subsiste 6galememt, si ses conditions eessen* d'gtre v6ri- fi6es, Iorsque les quantit6s u~ prennent certaines vateurs ayant pour pro.

1 babilitgs %, pourvu que ~Y' % tende vers 0 a v e . - . I1 faudra, bien en-

tendu, que ta)utes les esp6rances math6matiques qui in~ervienneat daas l'6nonc6 soient caIcul~es d~ms I'hypoth~se qu'aucune de ces valeurs excep- tionnelles ne soit r6alis6e; it se pourrait m6me ClUe sans cette hypotk~se eertaines des esp6rane~s math6matiques n:aient pas de sens. (Voir la page 12.)

En effet, ta probabitit6 p~ que l'une au moins des vaIears exemption-

ne!|es so ~6~!isera est non sup6rieure ~ ~Y'e~; donc~ Ia ~ x i s t a n c e de e~

L~it ave* l'in~galit~

24 S. Bernstein.

a une probabiIit6 qui tend vers 0 avec 1 e~ Ia probabilit6 a priori de

l'in6galit6 (46) a, par cons&tuent, Ia m~me limite que la probabilit6 de sa rfialisation avee la non-existence des valeurs exceptionnelles, c'est-~-dire

~=~ ~ e - ~ d z = VX e-~dz" Zo go

w Thfior~me B. Soit S,~ ~-- x a --~ x~ + . . . + x~ une somme de quantit& d~pendantes entre elles ~ouissant des propri~t~s suiva~es:

2 . 1. 92~(S~)~ B,~ > Mn ~, off 2 > ~, 2. quelles que soient les valeurs d~j5 counues de certains des x~, on peut /ixer un hombre L , tel que, pour i > k, l'espdrance mathdmatique de l x2l reste in]drieure h L; 3. clans les m~mes conditions, on peut ]ixer un hombre N, tel que Fon air l'une des indgalites~):

99~'(x~+~+.. ~+a) < N g Z ou bien (xr - ~ X i + g ) ~ < N g n )'-1

quel que soit g; 4. dans les m~mes conditions, pour i - k > he, 04 2 9 <-~ est un hombre posi~i/ ]ixe, la variation de l'esperance mathdma-

1 04 l ~ > 1 - - 2 , et lorsqu'on a de plus f l

tique de x~ ne ddpasse pas n--- ~,

~ k > he, la variation de l'espdrance mathdmatique du produit x~x~ ne

d@asse pas 1 Dans ces conditions, la probabilitd de l'indgalitd

(46) z 0 ~2B. < S . < z~ [ 2 B .

a pour limite -~ e-"~dz.

La d6monstration est analogue ~ eelle du th6or~me A; seulement au lieu de r6duire S . , a_pr& I%liminafion de eertains termes et an groupe- meat convenable des t~rmes restants, h une somme de termes ind6pen- dants, nous devrons remplacer h pr~ent S~ par tree somme de quantit6s presque ind6pendantes. A cet effet, posons encore

(aTb,)

~ = ~ + ~ + . - . § zh+~

~ o m * * e * a o

�9 ~) Pour ;L ~ 1, c'es~ la premiere qui est moin8 restrictive; pour J. > 1, la so- condo indgalit~ est la moins restrictive. On pout a~mi rempla~r cea in~g~ l i~ par la

condition unpeu plus g~n&rale que l'une des in~gaIlt~s '~:' (x~+x+...+ x,+a) 2 < NB~ (. g )

soi~ 8af~sfait, e.

Th~or~me limite du caleul des probabilitfs. 25

off, comme auparavant k~-~ne, l = n ~, h - ~ - k ~ n x - a > h , avec 0 ~ ~ ~ 2 - - 2 ~ et h ~, k, en ajoutant encore Finfgalit~ ~ < ~.

On a alors

(37 ~u) S , = ~Y~ -}- a z,

off -Y~ ~- Yx A- y~ + . . . A- Yz, az -~ u~ -k- us + . . . -{- u~. En romarquant que ( ~ _ ) k L ~

O ~ ( u ~ ) < k ~ L ~ e t ] ~ ( u ~ u r ) ] < k ~ < - ~ 7 ' nous en coneluons que

l~k~L ~ = L-# n~+~e -~ L ~ n~+ee-~, (7~) ~(~:) < ~ L ~ - + ~,~ .

Done, A 6rant une constante fixe, le rapport

(76) - - ~ - < A [ n ~+*"e-~" -~ n ~+~e-x-~]

vers 0 avec 1, puisque 5 < 2 - 2~ et 5 <: # . Par consequent, en tend

vertu du lemme 1~) w 6 , notre th~or~me sera 6tabli, si nous montrons que le th4or~me limite est applicable s ~'z. I1 suffira ainsi (w 9 ) d e prouver que les quantit4s y~ sont presque ind4pendantes. Dans ce but, remarquons que l'accroissement de ~ ' ( y ~ ) , lorsque certains des y prfe&

h dents s0nt eonnus, ne peut dfpasser a i = n ~ ; done

l

1 (77) I / ~ < VM

tend vers 0. Dans les m~nes conditions l'aceroissement de ~fJ~'(y~) ne h ~

pourra d~passer fl~ n2_z , de sorte clue l

l

~B~ ~ M n v" ~ Mn~

tendra ~galement vers 0. I1 ne reste plus qu'~ d~montrer que, c~ 6tant le maximnm de ~[}~']y~],

1

2~c, lomque eert~ins des termes prfc~c!ents sont connus, on a lira ~ = ~=| ~ / ~ 0.

A cet effet, remarquons clue par un raisonnement absolument identique celui du w 7~ on peut fixer une constante U, tr que

~'}~+1 + . . . + z ~ + ~ l s < ~ ou

(7S) ~'lx,+~ + . . . +<+~]~ < C'g~ ~('-~

suivant que 2 ~_ 1 ou 2 > I ,

~) Il r~ulte aussi de ce lemme que lira ~ 2 " ~ - L

26 S. Bernsteim

quels que soient i e t g; done, en partieuher, en nous pla~ant, par exemple, duns Ia premiere hypoth&se,

c~ < C h ~-~ < C,n ~(~-~) .

(79) B~/~ < MY----; = ~-ql n~(~--~z)

1 2 tend vers 0 avec _ ~, si ~ :>-~; le th~orSme est ainsi d~montr&

w 11. Consid~rons l'exemple suivant. Un joueur k r~pSte un grand nombre ~ de lois un jeu ~quitable, de sorte clue dans eha~lue pax~ie son gain atg6brique xr a l'esp6ranee math6matique ~ ( x l ) ~ - 0 . Nous suppo- s o ~ que les diff6rents jeux se distinguent par Ies enjeux seulement qui son~ li6s de la fagon suivante. Soient ul, u:, . . . , u, les valeurs alg6briques du gain possible x 1 duns le premier jeu, et supposons que !u~l __~L (i = 1 , . . . , t). Ainsi, par hypoth&se, p~ d4signant la probabflit~ de l'6ga-

k lit6 xl -~ u~, on a !)~ (x~) = Z P, u, = 0 et soit ~)~ (x~) = b~. hTous

1 supposons que, si clans le premier jeu la valeur du gain alg6brique a regu une valeur d6termin6e xl, alors duns te second jeu Pk repr6sentera la pro- babilit6 de l'6galit6 x~ = uk(1 + e x l ) , off e est une eonstante positive

1 qui dolt satisfaire ~ l'in6galit6 e < ~ .

Du momen* que le r6sultat x~ du second jeu est 6galement connu, p, duns le troisiSme jeu est la probabilit6 d'un gain alg6brique

( " ) x a ~ %, 1 "-1-ex~-q-~ x x et ainsi de suite; en g~n~rat, duns le (i q-1 )me

jeu p~, apr~s la connaissanee des valeurs de x~, x : , . . . , x~, repr~sente la

probabilit4 du gain alg4brique x~+~ = u~ 1 q- ex~ q- yx i_~q - . . . - ~ x ~ .

It est ~vident que l'on a bien non seulement a priori, mais, quels que soient les r~sultats des jeux pr~c&lents 9)~(x~)--0 et ~ (x~zy)=0 , pour

1 i ~_: j. D'autre part, la condition e < ~ amine que le signe du gain x~+~

est toujours celui de u~, quels clue soient les r4sultats des jeux pr4e~dents (qui ont ainsi pour seul effet d~augmenter ou diminuer dans une certaine proportion les enjeux du joueur A suivant qu'fl air ~t~ pr~c~emment favoris4 ou non par la fortune, l'influence de ces r~saltaCs ant~rieurs dimi- nuax, t en progression g~om4trique h mesare clue la succession des jeux avanee). En effet, soit i la plus petite valeur de l'indice pour laquetle

le faeC~ur 1 ~- e x~-~- ~: x~_ 1 -~- - - -~- ~ x~ ~ (~i pourrait devenir inf~riea~

~, aiasi, par hypoth~se, pour les m~m~s valeurs de xl, x~, . . . , x , _~ ,

1 2~c~

1

D'ofi

Th&rr~me limite d. calcul des probabilit~s. 27

la somme ~_~ ~- 1 + e x~_~ + . . . + 2-K~_~ x~ serait positive; done, a~ serait

le plus peti$ possible, lorsque x~ prend sa plus grande valeur n6ga~ive possible qui corresponderait ~, % - - L, c'est-&-dire, pour

x ~ -- L ( l + ex~_:~ + . . . + ~.~_exl)= -- Lo~_~;

en tenant r de l'identit6

1 1 (so) ,~= ~o~_~ + ~-+ ez~,

nous en eoncluons que, pour avoi r or < �89 il f audra i t que

2L<:O~

ce qui n'est pas possible, puisque x~ < 0 e~ 2L - - ~ < 0; par cons6quent,

quel clue soit i, a~ _>-~. b i ~-~!~(x~ -~) a priori est d6termin6e par la relation de r~currence

f " ] ~,--b~ 1 + ~ _ ~ + . . . + ~-~_~ ~ ,

d'o~ l'on tire d'abord

e$, finalement,

On volt facilement que l'esp~rance math~matique

1 D'apr~s la condition e < 2 L ' blest born6 sup6rieurement par sa

1 11//~1 -b~ , car on a, a ion io r i , e < valeur limite, pour i-----ix), 1 - }~bI

L'esp6rance math6matique du carr6 du gain total est done &gale ~,

3nb~ e~ 1

et, asympto~iquement, anb~ B. "~ 3 - 4 ~ b l "

Pour prouver que le th4or~me B es~ applicable, calcalons encore b(~ , ~+,= ~ (x,+,) clans l 'hypoth~ que x l , - - - , x~ on~ 1 ~ aes v a l e u r s d4-

h~rmin4es x ~ . . . , x~; on a encore l'~luation de r ~ e t c e

u,+. = ~ : + ~ . . , + . _ ~ - t - . . . - - ~:~, + ~ ( r + . . , +

3

2 8 S. B e m s t e i n .

de laquel/e on d6duit, eomme pr&6demment,

1 ~s-1 8 - 0 (~bt +-g/

b{i~ b~ ~+s ~ 3 - - 4 e "z b~

a - c = 1 + (z2) + . . . + off C est d&ermin6 par l'6quation 8_4s~b 1 4t_---i~ 1/

Mais d'apr~s (80) on voit facilement que x i e s t born6 sup6rieurement

L , d'ofi il r4sulte que C est ~galement born4, et, par par la vMeur 1 - - 2 8 L

cons6quent, ui+8~(i) _ bi+, d&rolt avee la croissance de s comme tree progres- sion g6om6trique d6croissante, c'est-g-dire, m~me beaucoup plus rapidement que cela n'est exig6 par notre th6or~me. Les conditions 2 et 3 du th6o- r~me sont manifestement remplies. On peut done bien affirmer que la probabilit4 de

IS 6nb~ ~ ~//3 6nbl ZO I / "~ -- 4 ~ ~ b:t ~ x l - - x2 + " ' " + Xa ~ Z 1 -- 4 e ~ b 1

gi

af a pour I im i t e -= e-*~-dz.

Zo

w 12. Comme seconde application de notre th6orgme, nous aUons d6- monerer un th~or6me de A. Markoff. Ravpelons la d6fini~ion d'exli4rienees formant une cha~ne simple introduite par l'illustre g6om~tre russe.

$oit donn6e une suite d'exp6riences, dans chaeune desquelles se pro- duit l'6v6nement E ou son contraire ~E.

1. L'6v6nement g &ins la k m8 exp&ience a une probabilit6 a priori p~ (la probabitit6 de E est dans les m6mes conditions q~----1- p~).

2. Dans le cas, off l'on sait que l'6v6nement E s'est produit &ins la k ~~ exp&ience, mais qu'on n'a aueune connaissanco suppl~ment~re sur les r6sultats des exp6riences ult&ieures, la probabilit6 de 1'6v6nemen$ g clans la (k JF 1) m" exp6rience repoit une valeur ps (diff6rente, en g6n6- rate, de la probabilit6 a priori ~k+~) qui ne d6pend pas des r6sultats des exp&ienees ant6deares, suppos& connus ou non. De mgme, si l'6v6ne- ment B ne s'es~ pas produit daus la k ~" exp6rience et qu'on ne saehe den de nouveau au sujet des exp&iences ult&ieures, l'6v6nement g darts Ia (k- / -1) ra" exp&ience repoit ane nouvelle probabilit6 p " quels ClUe k + t '

soient les r~sttltat~ des exp~rienees ant~rieures (premiere, seeonde etc. jusqa'~ Ia (k -- 1 ) ~ indusivement). L'6v6nement contraire remevra, 6videmment, dans chacune de ees deux hypotheses, les probabilib:s respeeVives

q ~ + l = l T - ' q" = I - - " P~,+~, ~+i P~+l"

Th6or6me limite du ealoul des probabilitas. 29

Duns tea conditions, nous dirons avee A. Max-koff que los exprrienees considrrres ferment une cha~me simple.

II est d a b que los probabilitrs a priori p~ seront fires aux pro- babilitrs eondiL4onaeUes p~, p" par la relation grnrrah

ou bien, en posant

(si) P~ r = ~ ,

~+~ q~ ~+~ + p'~+~ ,

d'of~ p~§ = p,+~ - p~ ~,+:, - - p,+~ + P~+~ q, ~,+~,

D6signons, en g6n6ral, par P~+}~ la probabilit6 de E dams la ( k + s) me exp6rienee, lorsqu'on sait que l'6v6nement E s'est produit dans 1~ k m~ ex- p6rienee, sans rien snvoir sur les exp6rienoes ulCs ~ eeg~ derni~re; de m6me, notts d6signerons par ff(~)e+s ta probabili~6 de E d~ns la (k + ~)me exp6rienee, lorsque E ne s'est pas produit d~xs le k m~ exp6rienee. (Ainsi, en partieulier, ~.(~> ' P(~) P~+l)"

On a ainsi Ia relation r6eurren~

(82)

analogue ~ (81), off k + 1 eat remplae6 pax celle-I~ de (82), il vient

de 1~ on fire immrdiatement

(83) p.(~) =a~+ t

et d'tme fagon attalogae

p ( • ) _ p(k)

k + s, et, en re~anehant

Posons x i -= X ~ - p~, oft X~ re~oit ls va/eur I oa 0, snivant ClUe g se rralise ou non duns l~ i rue e~xprrienee. On a alors r

.93/(z~)= p,q~, et, po~r i < ~,

(s4) - ( t - e2' ) + ( 1 - - " ]

]')OnC~

(ss)

. . ~ + ~ q ~ .

30 S. Bern~im

A. Markoff a 6tudi6 le cas, off 1'on peut fixer deux hombres P o e t Po, tels que 1'on ait, queI que soit i ,

(86) o <~o=<~=<_Po< 1, vo__< ~'=<Po. En d'autres refines, apr~s la connaissance des r6sultats des expfriences

ant6rieures, l'6v6nement E dans l'exp6rience suivante ne devient jamais ni certain ni impossible et m~me sa probabilit6 ne s'approdl~e jamais in- d6finiment de 0 ou 1. Pour le moment, nous allons nous restreindre l'hypoth~se de A. Markoff, en nous r6servant de g6n6raliser un peu plus loin ses r6sultats.

Nous remarquons imm6diafement que l'hypoth~se (86) entraine 6galement

(ST) po_-< ~,_-< Po Par cons6quent, on a

(88)

et, en g6n&al,

(89)

et l~ , l_<_&--~o=~<l . ( i > 1 )

n 1+~ N n ,

gJ't(xi+ 1 ' . . < N g . --r- �9 + x~+~,) ~

Or, pour l'application du th6or~me B, nous avons besoin encore de prouver l'existenee d'un nombre positif M, tel que

B,, > M n .

A cet effet, nous aIlons pr&senter B , sous une forme remarquable due A. Markoff. Posons

TT,_ 1 ~ 1 + ~1,+ 31, b1,+i ,-+" - " - } - 3t, 5~+1 .-. ~,,, (90)

de sorte que

(9a)

par cons6quent, en remarquant que

1 4- 2 ~ k + 2 ~k(~+ ~ + . . . . + 2 (~ ~ + ~ . . . ~.

on met (85) sous la forme

(92) B,,

2 2 = T~_,--~,T~,

+ + P,,-lq,,-l( ,~-1-- P,,q,~ �9 . . , ~ , T ; , ) + T ;

-- Tg a , + T g ~ + + "~7 . ,

off

( 9 8 ) ~k = p, q, - ~;, p,_ , q,_ ,

e$

(k = 2, 3, . . . , n) ,

~1 = P~qr

T h 4 o r ~ m e l imi te d u ea l cu l d e s p robab i l l t~s . 31

Or, d'apr~s (8t) ,

et, pareillemen~,

79,,+~ q,+~ = (-- q, a,,+~ + Pi+~)(-- ~,,+~ P, + qL~) ?? ! 88

= a,:+, p,, q,, - a~,+~ (79,, 79;+~ + q,. q,,+~) + ~,,,+, q, ,+, . Donr

(94)

est darts tous les eas positif, et, de plus, ~ cause de (86),

(95) A, ~ 790 (1 -- Po).

D'autre part, de (91) nous tirons 2 2 r i _ ~ + Ti = ~ + e ,~ ,, T,, + ( I + ,~ ~ ) T: > ~ (96)

Done,

1 :2> 1

(97) B , , ~ po (1 - Po) = 2 ( l+a~ ) n .

Si nous ~remarquons, enfin, que, pour k -- i ~ off 0 < -~ , les valeurs

9~'(xk) eorrespondant aux cliff,rents r~sultats d~termin~s des i premigres

eX " " " " ~ . ? S peneneesne differen de plus de ~ne, et que dans les m~mes con-

ditions, pour k -- i :> ~" el; 1 - - i 3> 5"' il en es~; de m~me des varial;ions

de ~(xuxz) (ear on v6rifie sans peine que, I'av4nement E s'6tant produit la i me exp~rienee, on a

(100) ~'(x~x3=p~q~a~+~.. .az+q,(q~-p~)a,+~.. .a~.. .a, (oa k <= l),

et dans le cas eonCraire

(100 b~) ~'(x~xz)=p~q~Sk+~. . .~z+p~(p~--q~)~+ ~ ...5~)

nous voyons que le th~orgme B e s t applicable, et nous obtenons ainsi le

Th4or~me de Markoff . Si darts une ekalne simple ~ex~dences les probabilitgs conditionndles ~'~ et g ' sati~/ont aux indgaliNs (86), la probabilitd que le hombre m aYa79paritione de ~bz~ement E dane n ex. pdri~w.as saris/era h rindgalit~

(9 s ) z o ) 2 B n < m - - (Px + 79, n t - - - - n t" 79,) < z 1 1/2 B,~

a pour limite ~ e-z~dz, lorsgue n erMt in~/iniment.

82 S. Bernateim

w 13. La m6thode qui nous a servi pour 6tablir le th6orgme de �9 t A. Markoff permet de g6n6mliser consid6rabtement son resul ta , lqous nous

bornerons d'abord aux ehaines simples, en eherehant seulement b. remplacer la condition (86) par des conditions moins restrietives. A cot eitet, nous allons supposer que ~a)

(99) IO,[___< 1 - 1

off a est un nombre positif fixe (a fortiori, la condition (99) est 6videmment

remplie, lorsque ] ~ i ] = I c~ off c i est un hombre positif born6 in-

f6rieurement). En tenant compte de (84) et (100), nous voyons que, pour k -- i ~ n*, quels que soient rent pas

(101)

1 - - i > n e , k ~ t , les variations de ~ (x~) , !~(x~x~), les r6sultats des i premi6res exp6rienees ne d6passe-

( 1 �9 _~_ ~ e - n ~ - a < - -

c'est-s

Nous arrivons A. Markoff:

Si I a , [ s

satisferont h la condition (4) du th6or6me B, si a < ~ < 1.

ainsi h une premi6re g6n6ralisation du th6or6me de

1 n a (a < 1), /a probabilit~ de l'indgalit~

(98)

aura pour limite

Zo~2B, < m - - (pl + p~ + . . . + p , , ) < zl V2B,~

iy e - z ~ d z ,

zo

pour n= ~ o0, routes lea ]ois que B,, > M ~ , o4 ~ > 2~ , ~ > ~ et que X 2 ~'(x~+~ + . . . - + - ,+g) est (quels que saient lea r~.dtats des exl~riences

prdcddentes) in/~rieure au plus grand des ~ b r e s a ~ n , _ _

oh a eat un hombre positi] ]ixe.

En effet, dans cos conditions, on peut satisfaire s la double in6galit6 2 (102) a < e < y -

Oonsid6rons eert~ins r oh les conditions do cette propositions sent remplies.

~) II n'y aurait rion s eha~ger dam les raisonnements~ ai t__ 6fair rempla~ p a r

c: dana (99), e 6f~nt ma hombre po~itif fixo.

( oa) et supposons

e 1 (104) 1 - - i--g ~ d , s n-- ~,

Th6or~me limlte" du calcul des probabilit6s.

AdmetWns qu'it existe an nombre i~ositK tixe b, tel que u)

2 P~q~ > bn 1

off c est c=l). soit a .< 1.

En effet, ell vertu de (104)

(105) 3, + '~, ~, + 1 + " "�9 + ,~,... ~,, > ( i ~ ' - - 1 ) [ 1 - - ( 1 - ~}1~*~-'+ 1]j

1 > -~-(i"-- 1),

si i ~ n - - i , et, afortiori, si i ~ n - n". Done (d'apr~s (85)),

(106) B, > 2 p,q, ( i + 1)"; 1

or, en vertu de (103),

b 2 piq, > bn -- l n" > -ff n,

1

une eonstante donn6e (pour simplifier l'6eriture, nous poserons Dans ees conditions, le thdor~me limite est applicable, quel que

(lOS) na = n ~ _ l . ~i + ~ ~+ ~ + - - - + 51-.- ~. < ---V-

( 2 b n ) t+a __ Mnl+.. 4(1+a)

~ t a

par r en remarquant, qu'apr~s la r6ahsation de E dam la i~me exparience (i =< k), on a, en tenant compte de (100),

14) Cette in6galit6 (103) sera r6alis6e, par exemple, ai on a

6 , e~ partieulier, si p~P+x = 1 - a k + x - ! g , dam co demier e~s on a d'ailleurs ~=| ~ = 2"

de aorge que lira .... = ~.~ r ~i do plus ~l =~" on a, pour route valour r k,

1

~ = 2-" ~hemal~el~/U~mlem ~ .

d'ofi (s cause du fair que 10iq ~ ~ ~) 2 b ~ 2 b ~

(107) B~ > u u x " d x = 1 0

Mais, d'autre part,

34 S. Bemstein.

(109) ~9~'(x~,+t + .

on en conclut que,

(110)

L'existence des relations affirmation. I1 importe

. . +

(1 + 2 ~ + ~ + . . . + 2 ~ + . . . . - 3k+g)

+ [p~+~ q~ +~ + q, (q~+ ~ - p~+~) ~,+~... ~+~]

(1 -1-" 25t,+3-~--- "q- 2 ~,+~... 5~,+a)

-~ [p~,+ a q~,+ a + q,(q~,+ ~--p~,+ ~) (~,+ l . .. 3~.+ a],

quelles que soient les circonstances ant4rieures,

, 5 (x~,+~ + . . . + xk+a) ~ < ~ g n " .

(107) et (1"10) prouve l'exactitude de notre de remarquer que dans le cas mentionn4, la

probabilit~ de l'in~galit6 n

m 1 ~ e n

tend vers 1, quelque petit que soit e (on dit, pour abr~ger, que la toi des grands nombres s'applique), mais le coefficient de disperson croit ind~finiment. Au contraire, comme je l'ai montr~ s un autre endroit15), si dans (104) on avait a ~ 1, la loi des grands hombres ne peut 6tre applicable; et il est ~vident que, B , ~tant dans ce cas de l'ordre de n ~,

la. loi de Gauss ne sanrait aussi 6ire applicable ~ V_2_~ = z , car z serait

born&

1~) ,Sur la loi des grands nombres" (en russe). Communications de la Soc. Math6matique de Kharkow 16 (I917). Ce travail contient ]a d6monstration et quelques applications du th6or6me suivant: Soient A t , . . . , A ~ , . . . , Aa une suite quelconque d'6v6nements dent les probabilit6s a priori sent, respec4ivement,

~(~ et ~(,3 sent les probabilit6s respectives de A~, lorsqu'on Pl, --- , T~, - . . , P~; rk sait seulement que A~ a 6t6 r'ealis6 (n'a pas 6t6 r6alis6) (i <: k). La condition n6- cessaire et suffisante pour que, z 6rant arbitrairement petit, la probabilit~ de Fin- 6galit6

I---m--Pt+P~+"'+P'I < e n n

t endevers 1, lorsque ~ --~ oo, est que, ~ 6rant arbitrairement petit, on puisse prendro

. ~ z g~nd pour .voir ,,q, [ " ~ ' '7 '~' l < ,~. qnel ,a,~e soit, < . . 1

En partieulier, dans le cas d'une ehatne simple, si ~ = I - - ~ , la !el des grands

uombres sera applicable ou non, suivan~ qne p~ qi r vet, s 0 ou non, lorsque i eroit, 1

ind~ftuiment, et elle ne sera ~amais applicable, si ~ = 1 - - ~ off e > I. ~a"

Th~orbme limite du ealcul des probabilitda 35

Supposons ~ pr6sent que t o u s l e s ~ sent n6gatif~ ou, d'une far, on plus g6n6rale, que les valeurs n6gatives de ~i se rencontrent ~driodi~ment I1 est clair que, dans ces conditions, une somme de ]a forme ~ -{- 3~ ~5~ + ~ + . . . sera n6cessairement born6e; on pourra done toujours fixer une constante N telle que clans routes les circonstances

~'(x~+~ + . . . + ~+~)~ < ~g.

Ainsi, dans l'hypothgse indiqu6e, le th6or~me limite sera applicable pour ~outes les lois que

B, > Mn, M 6tant une consfma~.

En particulier, si on a un nombre fixe ~ < 1, tel que t 3~t < 3, le th6o- r~me limite restera applicable, m~me lorsqu'on a xs) p~ = 0 pour f~ute valeur de k, pourvu que lo~ > b ~-0.

Signalons aussi si ~ = -- (1 --~--g) , off a<.~," ~ le thdorgme limite %

que,

A ,, a off A est un hombre sera applicable, pourvu qu'on air Io~ > ~-~, q~ > n--g,

fixe. En effet, en tenant compte de (92), (94) et (96), on peut fixer un hombre M tel que

Mais d'autre part, en transformant (109) de la m~me f a ~ n que (85), on pourra 6crbe

(92 ~ ) ~ ' ( ~ + ~ + . . . + x ~ + ~ ) ~ - ' ~,r ,~ .. a" ~ , ) =-~+xk~+x) + . + r+ok r+#) ~,

off

Donc,

Z~k+l ---" i~+l qk§ -~ ql (q/c+l -- ~k+l)~i+l �9 " �9 ~k+l

,4' = + -

puisque actuellemen$ on a T~(~l < 1, on aura h=g--I

~'(x~+~ -1- .. . + x~+g)~ < P~+~ q~+~ + ~-~ P~+~q~+~ h=l

h=g--I q~

< 2 + ~ < 401--.

Nous reviendrons encore sur er sujet, mais il nous sera utile de d6-

~) On a alors, nb ( i - -~) done ~ > 2 ( 1 + ~ ) "

en effet, q t = 1 + 8 ~ ; done de (9~) ~ tire A t > ~ ( I + ~ ) ~

8*

36 S. 1~rns~in.

montrer auparavant un th~or~me g6n6ral analogue au th6or~me B, dont les conditions sont quelquefois plus commodes pour les applications.

w 14. T h e o r e m e C. Soit S~ = x 1 -~ . . . -~ x , une somme de quan- tit& d~pendantes jouissant des propri~tds: I. B , = ~ i ~ ( s ~ ) > M&' , 04

~, 2. quelles que soient les valeurs dd]5 connues de certains termes x~, on peut /ixer des hombres Lq tels que, pour i > k, l'esp&ance math& matique de I x~t q, oh q est un nombre entier quelvonque, reste in/&ieure

Lq; 3. si de plus I i -- k t > he, la variatiem de ~f2~'(x i) ne ddpasse pas e- , e dtant un hombre positi/ donnd arbitrairement petit. Dans ces conditions, le thdor~me limite sera applicable h la somme S~, pourvu

2 ~ - - 1 gue l'on ait ~ < - - ~ - -

La m~thode de d4monstration reste la m~me qae pour le theorems B. Ainsi, en conservant Ies m~mes notations, on trouve pareillement que

l l

~ et - B - ~ a ~ tendent vers 0 avec n ; seulement au lieu de prouver direc-

tement que l i m 2 ~ ! y ' l ~ - 0 , - - nous allons montrer que, pour 2q suffi-

- I

(111) lim ~ - - O,

ce qui sera saffisant, en vertu de la remarque qui termine Ie premier Chapitre (s cause de l'in~galit~ (28)).

A cet effet, remarquons que

(112) ~)~ ( y : ~ ) = .Z ~ ( x , xb . . . x= ) ,

off a , b , . . . , m sont 2q hombres quelconques compris (47 his) entre ( i - - 1) (h -~ k) et i (h -~ k) -- k ~- 1. Consid&ons un procluit X~,Xb...X=, Off a <: b ~ . . . ~ m. I1 y aura deux cas s distingaer- 1. au moins un des indices f jouit de la prop~i&4 que t f - - f ' I :> he, off f ' est un quelconque des indices des autres facteurs du produit consid&4; 2. aucun des indices ne jouit de la propri&$ indiqu~e. Darts le premier cas,

(113) 1 ~ ( x . ~ , . . . ~ ) 1 < L,q_ ,e - , ,~ ;

dans le second cas,

~114) 1 ~ ( x o , b . . . x ~ ) t < L, ~ .

Pour obtenir des produits de la seconcle esp~e, on pourra choisir arbitrairement Ies indices croissants fI, f s . . . f~q-1 du premier, troi- s igme, . . . , ( 2 q - - l ) me factcurs, le hombre de ees choix possibles &ant

samment grand,

Thdor~me limite du ca[cuI des probabilitY. 37

in%riet~r s hq; ensuite, Ies indices f~, f~, . . . , fsq des faeteurs occupant les places paires devront satisfaire respectivement aux conditions que [ ~ - - fs~-i ~ n e ou f~+x-- f ~ n e , car si Fun des indices fsk ne sates- fair ~ aucune des deux in6galit~s indiqu6es, il jouit pr~cis6ment de la propri6t6 qui ferait rentrer le produit eorrespondant dans la premi6re cat6gorie. Par eons6quent, le nombre des produits de seeoncle esp~ee est inf6rieur ~ (2hne)q; le nombre des produits de premiere esp~ee est in- f6rieur h h sa. Done, en tenant eompte des permutations des indices qui ne d6passent pas 2q!, nous voyons que

93~ (y~ ~) < 2q! [L~ ~_~ h ~ e - ~ + L~q( 2hne) ~] < Aqn (~-~+e)q,

od Aq est une constante qui ne d4pend que de q, pour n su~samment grand. Done

l

1 Aq (115) B~n < ~n(~-~+e-~)q +~

et, puisqu'on pout attribuer ~ ~ une vaIeur positive satisfaisant aux in- 6galit6s

1 + ~ o - - 2 < ~ - < 2 - - 2 ~ , car

22--1 e< : 3 '

l'exposant de n dans (115) devient n6gatif, si q est assez grand. Par cons6quent, q 6rant fix6,

lira ~ (y~q) = O. ~=~ / ~

w 15. L'apptication dR th6or&me O aux chaines simptes conduit imm6diatement s une g6n6ralisation nouvelle du th6or~me de A. Markoff:

Le thdor~me limite est toujours vrai, ~4

(116) 1 ~ 1 I

0 4 0 : < I

En effet, nous tirons de (94), Ak= q~-, ~(~i ' - - ql) + P~q~ -- ~'" ~"" done - - io~-~ ~ (p~'- q~) + ~,k ~,

1

Par consequent, en tenant eompte de (92) et (96), nous voyons que ~'6 l - a

(118) ~ - . > ~ = 8 -

0% d~autre part nous avons d6js (101) vu, que la variation de ~ ' ( x~ )

38 S. Bernsf~in.

est inf&-ieure ~ e - "e -a , quels que soient les r6sultats des i premieres exp&iences, si k - i > ne; et l 'on reconnait imm6diatement i7) qu'il en est de m6me de ~ ' ( x i ) , lorsque ce sont les r6sultats de la k m~ exp6rience et des suivantes qui sont connus. Ainsi, il suffit de remarquer que, sous la condition a <: 1 ~, on peut r6aliser l'in6galit6

2 ( 1 - ~ ) - 1

II y a lieu de signaler que ce dernier r6sultat s'6tend 6videmment au cas d'une ehalne S~ = x 1 + x~ + . . . + x~ de quanti t&, dont chacune peut reeevoir k valem~s d6termin&s a ~ , . . . , a~,, telle que, z i 6tant fix6, la probabilit6 P~+~.~ de l'6galit6 x ~ + l - - a a ne d6pend pas des valeurs de xl , x.2, . . . , x,_ 1 .

Le th~or~me limite est applicable ~ une telle cha~ne, si

1 1 n~, < P i + I , ~ < 1 - - n-~'

1 oit t~ < ~.

Comme nous l'avons vu plus haut au w 13, en introduisant des hypoth6ses supp16mentaires, on peut 61argir encore les in6galit6s (116). Mais la question reste ouverte de savoir, si la valeur de g clans (116) ne pourrai~ ~tre augment6e d'une fagon g6n&ale. I1 est certain cependant que le th6or~me limite peut eesser d'etre applicable pour a = ~. suffira d'indiquer un exemple, o~ ceei se pr&ente.

- - ~ et (a 6tant un nombre donn6 positif) Soit Pl - - ~,

p~, = q~ --~ 1 , , torsque i = < n ~ a n $

= - 7 , lorsque i > n ~ - ~ l

P~ ~ p~, __ _1 lorsque i --- n } -{- 1 2 ' "

Dans ces conditions, ~ �89 de sorte que l'on peut consid&er l'ensemble des n exp6riences comme deux chalnes ind~pendantes, dont la premiere et compos6e de n~ et la seconde n - n�89 exp&iences. Si le th6or~me ]~m~te 6fair inapplicable b~ la seconde chalne, colle-ci nous

~7) p/(~) d&ignan~ la probabilit6 de E dans la ime exp6rience, lorsqu'on salt que E est arriv6 dan~ la kme, on a

et da~ns Ies m~mes conditions ~R (~i) = p'qr ~l+z ... ~ < n a e -~e-a <~ e -he'-a, queIque ?k

soit e'<O.

Th6orbme limite du e.aleuI des prohabilit6s. 3 9

donnerait d6j~ elle-m~me l'exemple ehereh6. Admettons done, au con- traire, clue le th6or~me limito est applicable ~ oet~ derni~re, de sorte que, m~ d6signant Ie hombre d'6v&iements/~ dans ta seconcle ehabae, Is pro- babilit6 de l'in6galit6

<l~0) ~0 ~r2ff. < ~ - ~ ~, < ~i ~ . . { * ~ + I

off

l r} t n l f

x 4

a pour limite

I f --=- e -z 'z d z . V~ zo

Supposons • pr6senL pour renclre Is conclusion plus inSuitive, que le hombre a dans (119) crolt ind6finiment d'unefagon quelconque avee n. Alors, la premi6re chaine est earact6ris6e par cette propri6t6 que, si

evenement E s'est produit dans la premiere experience, la probabilit6 qu'il est arriv6 clans routes les n~ exp6riences a pour limite

a ~ x

( 5 ) - - lira 1 - - l i m e a = l ;

a

c'es~ le eontraire qui a lieu, si l'6v6nement E ae dest pas produit dams " " l l ta premiere experm ce.

On en eonelut que darts le premier cas, e'est la probabilit6 de Fin- 6galit6

et dans le second, la probabilit6 de l'in6galit6

1 I z ~ - qui a pour l i m i t e - ~ j e - a z .

zr

Done Ia probabilit6 de l'in4galit6

aurait pour timite rtl

+ f e '*~d , , J

~ 0 8. B o ~ .

off 1

1 1

r 1 l 1

Ainsi, dans la seconde hypoth6se, c'est ia chalne enti6re qui ne saris- fair pas au th6or6me limite. On peut donc a~rmer que /a limite supd- rieure des valeurs de a dana (116) pour lesquelles te thAor~me limite eat applicable d'une /agon absolument gdndrale eat coml~rise entre �89 et g.1 En aban- dormant ce sujet, nous n'avons donc pas compl6tement 6puis6 le probt~me de la g6neralisation des conditions (86) de A. Markoff, s propos duquel l'illustre g6om6tre s'etait exprim6 ainsiIS), ~on peut, certainement, poser ta question de la g4n~ralisation des r6suItats d6finitifs aux cas, off certains des hombres Pk, 1 - p~, ~+1 peuvent s'approcher ind4finiment de I'unit6. Mais nous ne nous occuperons pss ici de cette question difficile, en la laissant ouverte pour d'autres chercheurs)).

w 16. Je me suis arr~t6 assez longuement sur r~tude des chaines de A. Markoff, non seulement parcequ'eIles fournissent un des exemples assez rares, off les Iormules explicites qui interviennent dans les cslculs ne son~ pas tr~s compliqu6es et permettent ainsi mieux d'entrevoir la nature des choses, mais aussi l~rce ClUe je crois qu'il y a plusieurs ph~nom~nes r~els que l'on peut interpreter math6matiquement, en introduisant directe- ment ou indirectement des chalnes analogues ~ celles que nous venons d'~tudier. L'id~e de A. Markoff consiste, en effet, ~ exclure l'action ~ di- stance entre Ies exp6riences successives, en sdmettant clue leur d6pendance r~ciproque ne se manifeste que pax I'intermddiaire des liaisons imm6diates entre les experiences adjucentes. Or, ce point de vue, qui eat cordorme

celui de Is physique moderns, est, ell psrticulier, adopt6 dans les theo- ries nouvelles de l'h~r6ditA, bas~es sur tes d~couvertes de Gregor Mendel; on admet, ell effet, au]ourd'hui que, pour PStude des g6n~rations succes- sives, ce n'est que la constitution g~noty~gque des parents qui ddtennine celle des enfants conformdment aux lois des probahilit~s de Mendel, de sorte que les propriSt6s conn, ues des anc~tres ne pr~cisent enr ien notre pronostic sur la nature des enfants, du moment ClUe le caract~re g~noty, pique des parents est fix& On voit sinai que "nous ~vons l~ une dSpen- dance identique ~ cells des chaines simples. Le probl~me se complique, mais se ram~ne 6gatement d'une fae~n indirecte aux m~mes chalnes, si

is) A. Markoff, ~Etude du oas g6n~ra| des exp6riences forman~ une chaine~ p. ~. (g6m. de I'Ao. de St. P6tersbourg 25.)

Th~or~me l~mite da ca!cul de~ probabiIi~, 41

c'est la constitution p~no ty~que (apparemte) que l'on examine, pourvu qu'on Iasse des hypotheses d~termin~es sur !es relations (exprim~ms fonc- tionnellement au moyen de coefficients des probabili~s) entre les pro- pri~t~s .g~noVypiques et ph~notypiques. Mais, quelque vaste clue soit te champ d~application des chaines simples et de ]eurs g~n~ralisations ~9) im- m~diates, ce schema ne peut, comme on le volt par les exemples des w 8 et 11, compzendre tous ]es cas qni se pr~sentent d'une fa~on naturelle.

En gSnSralisan~ ce qui a ~t~ dit au w 8, on est amen~ A consid~rer les variables d~pendantes entre etIes x~, x e , . . . , x~ comme des fonctions (qui n'ont pas besoin d'etre compl~tement connues) r tr~s grand nombre m de quantit~s ind~pendantes c~ us, u c , . . . , u~. Supposons, pour simplifier, les quantit~s u~ ainsi que lea fonctions x~ ~--f~(ul, ue , . . . , u,~) et leurs

af~ d~riv~es partielles aui hornets en valeur absolue. Admettons de plus que f~

ne d~pend d'une fagon sensible que d'un certain noyau des variables u~, de sorte que lea oscillations de ~J~'(x~), lorsque u~ prend des valeurs quelconques, ne d~passent pas e - ~ , si }1r h i :> he, o~ ~ est un nombre positif donn~, aussi peGt, d'ailteurs, qu'on le veut, et r~ciproquement; le nombre ~o, conform~ment au th~or~me (7, sera assujetti s la condition

21--1 < - - T - ' e- supposant qu'on a B~ = ~ (~x~ + x~ + . . . + x,,) ~ > M n ~.

I1 est ais~ de voir que, clans ces conditions, la toi de Gauss sera applicable S~ = x~ -~- xc -~- . . . -~- x~, lor~lue n croltra ir~finiment.

En effet, pour pouvoir appliquer le th~or~me C, il suffit de prouver que, queUes que soient les valeurs de x~, lea oscillations de ~ ' ( x ~ ) ne d~passent pas e - ~ ' , od ~'~> 0, pourvu clue t b - i l :> 2he. Or, t'ac- croissement de x~

1

done, en vertu de nos hypotheses,

< (2n~ + L ) ~ e -'~ < e-~', off L est un nombre fixe ~ limite s ~ u r e ~ t l~-~ [, et < e.

Le c a s q u e nous consid&rons ~ present, off nous avons s~pl~fi~, pe~r

~9) A. Markoff, ~<S~ar un cas c F e x p ~ f o r m ~ une~ ~ ~mp!~xe~ (~a ru~e), Butlet~ de FAc'~. !mp&-~le de S ~ ' P ~ ~ g I9~L

Supposon-s, pour fr~er I~ idles, que ~ = ~. ~

42 S. Bern~tein.

abr~ger, les hypotheses concernant les fon~tions f~, comprend aussi comme cas par~iculier les cha~es de k. Markoff. / \ /

" ' d Soient u~, u ~ , . . . , ~%, . . . , u,~ une sui~ ~ de hombres indepen ants, tels clue le hombre u k peut prend~e les valeu~s + 1, 0, -- 1, ayant ~espec- tivement pour probabilit6s :~t, 5~ et qs Construisons la suite de fonc~ons

(121) X k u~ + ( 1 u~) uk-1 + (1 u ~ u ~ - - - - + . . .

+ (1 - - u ~ ) . . . ( 1 - - u~).

On voit ainsi que X~ ne pourra prendre que les deux valeurs • 1; X ~ = I , si u ~ i , ou bien, si u~=O et u ~ _ ~ l etc. De plus, on tire de (121)

~ ~" Z (1 2) +(1

Par cons6quen~, si X~_ ~ ~ 1, la probabilit6 que X~ ~ I pr~nd la valeur parfaitement d6termin6e :p~' + (~k qui repr6sente la probabilit6 que u~ == 1 ou u~-~ 0, de m6me la probabilit6 que X~ ~ 1, lorsqu'on salt que X~_ 1 = - 1, devient 6gale s p~' qui correspond s u~ ~-1. l~ous voyons que ces deux probabilit6s p~ = ~ ' + ~} et p~' restent les m~mes, quelles que soient les valears des Xi, o6 i < k - - 1 . II suffit done de poser

X~ + 1 pou~ que x~ 1 et x~ 0 c~rresponde k la ~6al[sation ou

non-r~alis~tion de l'~v~nement ~ dans la k m~ experience d'une chaine simple avec les probabilit6s condit~onnelles p~, p~'. En partant de l%qua- tion de r6eurrenee plus g~n~rale

(123) XB= $'~ (uB, XB_~),

les quantit~s u, 6rant suppos~es toujours ind~pendantes, mais admettant une distribution des probabilit~s donn6e arbitrairement, on peut construire la chalne simple g~n6rale de grandeurs, o~ les probabilit~s des diff6rentes valeurs de X, sent parfaitement d$term~n6es, Iorsque la valeu~ de XB_~ est connue. En consid~rant les ~luations de r6currence d'ordre sup~rieur

un, on trouvera des chaines complexes d'ordre correspondan~. Sans ent~er dans plus de d6tails remarquous seuIement qu'une ~quation de la forme

= ( )

ne conduirait certainement pas ~ une chaine; des~ ~e qui se px~nte d~ns l'exemp!e du w 11 qui correspond ~ l'~quatio~

ayant pour solution

Th6or6me timite du c~lcul des probabiK~. 43

Chapitre IH.

Fondements de la th6orie de la correlat ion normale .

w 17. Nous commencerons par 6tablir un th6or~me pr6fiminaire qui pr6sente une g6n6mlisation imm6diate du th6or~me du w 3 que l'on pourmit 6tendre aussi d'une racoon analogue & un nombre queleonque de grandeurs.

Th6or~me. Si deux quantitgs ~ et ~'~ d~pendant aVun m~ne para- m~tre n ]ouissent de la propridtd que, N dtant un hombre /ixe arbitraire- ment grand at 5 dtant un nombre donnd arbitrcdrement petit, on a

(124) I e ~" ~ [e ~(z~+z,:'~)] - 1 < ,~,

tant que 1~1 < N, l ~ [ < N, lorsque n est su//isamment wand, alors la probabilitd de l'existenc, e simultande des indgalitds

? (~%) to < -Y. < t~ et g < z" < t~

a pour limite, quand n cro~t indd]iniment,

t~ tx

d

Remarquons d'abord, en /aisant successivement ~ = 0 et ~1--0 dans

(124), que chacune des 6galit4s ~Y~ = to, Y,. - - t~, ~Y~-~ g ~'~ = t'~ admet

une probabilit6 (w 1) qui tend vers 0 avee - . ~ I1 en r~sulte que la limite n de la probabilitA P de l'existence simultan6e des in~galit~s (125) est la m~me que celle de l'esp~rauce math6matique

I sin (2= -- t o) -- s/n(2:'-t')~ l d~

sin (2~--t~),] d~}. Mais, d'autre part, en ver~u du lemme du w 1, en prenant N e t n

sulfisamment, grands, on peu~ rendre Oo m O O

f t l J " ' , --., t !~ t sin(~=-t~ d# !i~ s m ( 2 ~ - t l ) ' d t

i s ~ t nferleures ~ tout hombre donn6 d'avance. Par consequent, on" tenant c o m p ~ de ce qu'on a

44 8. Bernstvim

et; d'autres infgalit6s la m~me que oelle de

analogues, nous eoneluons que la limite de O~s~

~ o Q - t b �9 t

Eafin, qu'on veu~ de

ea v e r ~ de (124), pour n asse.z grand, D diff~re aussi I)eU

# #

t �9 , t t x + t o ~ t l + $ O "~ ~v ~ t~-- t0 ~ t i - - to - ~ ( - ~ + - .~ - -n j

d~dv

qui a pour Iimite 05

,ff --g e

b~= ~(x~ --a~) ~,

A,,= ~b~., O . = X b ~ , t 1

sent ind@enda~tes de x~ e~ x~, , i i ~ ~; soien~

t ~ �9 ~ - F r ~ r t

I 1

,~ = 9~ ( ~ - ~ ) ( z ~ - a~),

t

~z t l

to to

No~s poavons d'abord d~daire de 1~ un th~orOae fondamental qui joue le m~me rble pou~ la th~orie des eorr61ations que eelui de Liapo~off pour la loi de Gauss.

w is . Th~or~me. Soi~nt (z~, x;), (xo.,z~), . . . , (z, , x~) &* q~a~ tit~ ~elJes que x~ et x~ sent tide~ d'une /agon quelconque (x~ pour~ait &re m~me une fonc$ion parfaitemen~ d6~rmin6e de x~), mais $~ e~ x~

Thdor~me l imito d u calcul des probabflit4s. 4 5

1 ) ~ r conditions, la probabilitd de l'existence simu!tande des indyalit~s

t o I:-~ < S ~ , - M,, < t x I;2A,~,

t : , ~ c . < o. - m. < t~V2o . ,

pour n su / / i samment grand, d i / /&e auss i peu qu'on veut de t

l : f ~ 1 - - 1 ~ e d t d t ' , to to

~urvu que

22e~ (~) ~ ~ = 0 .=| [(~- R~)a . ] v,

oit c~ = 9~ i x ~ ai t ~ , ~fl [ x~ , s - - , c i ---" , a i I

En effet, nous pouvons ramener le cas g~n~ral ~ celui, off le coefficient d~ ta correlation R~ = O. I1 saffira de poser

, y~ = 2 x~ -[- x ~ ,

A n ~ Ct~r Oil ~ ~I01~

~ d = lira .=| [ (~ - ~g) V~] '/,

(130) a i= ~),(y~) = 2a, + a~,

doae a,) ( y, - - ~,) -~ 2 b, ~- ~, ,

(~) 1

~t

1

R : = B~ = o , o~ |/ A,,D~

A. - ( ~ - R 2 ) o..

Afiasi, nous Mlons eonsid~rer les deux grandeurs

1 1

o~ uk _~_ xk -- ak Y~, -- ~k

Caleulons i P

e~ profitant du fair qu~ (u~, v~) sont m ependants de (u~, v~), pour i ~ k. �9 d '

Or,

46 S. Berns~n.

off, en supposant clue N e s t un hombre donn6 arbi~rairemen~ grand,

(pour ]~t < N, t~t < N)

en ~enan~ eompte de ee que

on a done

(135)

(2z),,)~: (22).)*/, '

le,} < - ~ - ~.~.>v, +

ar"~ - - ~ ( A . ) v*

Nous en coneluons que,

grana pOUr avoir 1,~i < { , petit, et en m~me temps

(136) O < b~ ~ 4An" -}

C.~ + 4[(l_ p~)e.A,~]V, J ' ] ck Ck

[(z-~)A~]v,-k [ (z_~, )c~]v ~ . quel que soi~ N, on pourra prendre n assez

o5 ~ est un nombre donn~ arbitrairement

r~ ~ + ~ - < ,~,

~r ~ [~ , ~ + ~ ] ~ < { ~ 1 ~ } + ~ l ~ } ~. ae (~z~),

de sorte que

o~

NOIlS aVoIls donc~ eIl ver~;u

=o~(1 --}- ~ ) -}-. . . q- a,,(1 --}- Q,,),

[ ~} <: O- Par cons6quent,

(1~7) l o g I ~ ~ + ' ~ 4 f - e '

off e tend vers 0 avee 1 - - o

I1 en rdsulte que, pour " I~I< :N, I ~ I < N , e ~ I t e n d v e x s I , Iorsque n cros inddfinimen~, et en vertu du th~orbme du w 17 la proba- bilir de l'existence des deux in~gatit~s

(I25b~) 1

1

ThdorAme llmite du oaleul des probabilitds. 47

diff~re, pour n assez grand, aussi peu qu'on veut de

t~ Zx

l f f _(,,+,,) - - e d t d z . 2:o

Si nous eonsid6rons t = 2 uu, z = ~v vu 1 1

d'un point M du plan, nous en coneluons

eomme l'abseisse et l'ordonn6e

6galement que la probabilit6 Pn que M se troave k l'int6rieur d'une aire carrable donn6e ~ (c'est-h- dire telIe qu'il existe deux domaines ~ t et Q~ form6s d'un hombre fini de rectangles, le premier eon~enu dans 20 et le second contenant ~ , off .(29 --.(21 < e, quel que soit le nombre positif e) diff~re, pour n assez grand, au~si peu qu'on veut de

1 fJe-(,'+z')dt dz ( 1 3 8 ) .

En ettet, les domaines rectangulakes Q~ et Q~ 6taut ilx6s, on pourra prendre n assez grand pour que

par cons6quent, en remarquant que lvn~ < F~ <: Fn, et Pp.~ ~ Pn ~ Pp., o n a

et puisque 0 < F-n,-- $'p.~< ~-, done t .Fa , - -Pa , l<2--~, [ F a - - p a d < 2 . - - L �9 ~rg ~

on a finalement

(139) ]F~- - Pol < 2~.

Cela 6rant, revenons s nos sommes S~ et e~ et aux in6galit6s (128)

que nous pouvons, apr~s les avoir divis6es respeetivement par I / 2 A. e~ ~ 2 (7., 6crire sous la forme

to < 2 < 1

(140) . .

I 1

Ainsi, nous n'avons qu'~, d6terminer, en utilisant le r6sultat obtenu, la probabilit6 Pa que le poin~ M(t, z) se trouve ~ l'int62ieur du paralt61o- gramme .(2 eorrespondant aux in~.galit~

(141) t~ < * < tt

48 S. Bernstein.

On a done

g~.-- Rnt

(142) Fp. -~ ~- e - ' t"+ '~ )d td z - - [~ -~ e dtdt' to to ~ R n t

qui repr6sente la limite vers laquelle tend P~, c'est-~-dire la probabilit6 des in6galit6s (128), lorsque n crolt ind6fmiment. 0. q. f. d.

R e m a r q u e . L'6nonc6 de notre th6orgme n'exclut pas le eas off lira R , - - 1 , pourvu que la convergence de R , vers I ne soit pas trop

rapide pour emp~eher la r6alisation des conditions (129)~-x). Mais dans ce cas la substitution directe de 1 s la place de R , darts (142) conduit s une expression illusoire, et pour trouver la v6ritable limite de cett~ int6grale il faut utiliser la premiere expression de cette formule

t~ - - ~at

) e - u~+z~ d t d z .

to t~-- R~t I/1- ~;~

hTous voyons ainsi que deu~ cas sont ~ distinguer. 1. Si t~ ~ tl ou bien to ~ t;, on a F~ ~ lira P~ ~- O, car, pour ~1 > t > to, les l/mites d'int6-

gration par rapport ~ z sont routes les deux ~-oo ou routes les deux - - ~ (g6om~triquement parlant, le parall61ogramme D. s'en va s l'infmi). 2. Dans le cas contraire, c'est-s si on a t~ > t~ et to < t~, en d& signant par T o le plus grand des deux nombres t o et t~ et par T~ le plus

ej a2~) petit des hombres t~ et t~, on

-._ e - t " d t ,

car ce n'est que pour t compris entre T O et T1 que l'int6gration par rapport z conduit ~ une valeur di~4renee de 0 qui est 4gale ~ f-~, car ehaeune

des I/mites d'int~gration tend alors respectivement vers -- oo et vers -f- oe.

~1) I1 est 6vident d'ailleurs que si ~ tendait encore plus rapidement vers 1, la conclusion qui suit subsisterait afor t ior i ; voir le w 21.

~z) La conclusion serait analogue pour lira R~ = - 1: les quant i t~ S~ et o~

devraient respeotivement se trouver, ~, la limite, dans des intervalles sym6~riques par rapport ~ l'origine.

Th6or~me limite du calcul des probabilit~ 49

(Le parall61ogramme ,(2 se r6duit dans ce cas ~ une bande infinie comprise entre les droites t : Y o e t t ~ TI. )

w 19. Le th~or~me clue nous venons de d4mont~er contient des con- ditions d'une g6n6ralit6 assez consid6rable pour l~gitimer l'application de la th~orie des corr61ations normales dans des cas 6tendus. Je n'ai pas en vue d'exposer ici cette th6orie. Je me bornerai ~ indiquer quelques exemptes simples.

Supposons que deux joueurs A e t B participent au m~me ,]eu qui admet trois issues possibles a,, a2, %, ayant respeetivement pour proba-

8 2 I bilit~s p~ :-- $~,, p,. - - ~ , P3 = ~ ; darts le premier cas, ils gagnent tous les

deux I ft., dans le second cas, A perd 2 frs. et B perd 4 frs., dans le 3 m~ cas, A gagne 4 frs. et B gagne 16 frs. Darts chaque jeu particulier le gain (ou la perte) x d'un des joueurs d6termine sans ambiguit6 celui x ~ du second. Si on r6pgte le jeu un grand nombre de lois, la relation fonc- tionnelle disparait et donne naissance, d'apr~s le th6or~me d6montr6, ~ une corr61ation normale entre les sommes gagn6es (ou perdues) par les deux joueurs. Un ealcul facile montre que le jeu est 6quitable pour les deux

8 2 t 8 2 1 joueurs- ~ (x) =- 1-5 - - 2 .~ + 4 - ~ = 0, ~ (x') = 1--5 - - 4 - ~ - A_ 16- ~ -~ 0;

^ ~ 16 dememe, ona i ~ ( x ~ ) = - , ~ ( x ' ~ ) = 2 4 ; grt(xx') = 8 . D o n e A , = ~ n ,

8 W-~" Par cons6quent, pour des grandes valeurs

de n, la probabilit6 des in6galit6s simultanges

diff~re tr~s peu de t t

e d t d t ' . r

to t o

On v6rifiera, en particulier, que la probabilit6 que S , ~ , < 0 est 6gale 1 1 a~etg ~ 1 1 arctg~'5~-0,13 .; ainsi il n'est pas tr~s 2

improbable que la fortune favorisera un des joueurs en 6rant d~favorable l'autre pour l'ensemble des jeux, quoique cela ne soit pas possible pour

un jeu particulier. (NatureUement un gain considerable d'un joueur sera pratiquement incompatible avec une perte plus ou moins grande de l'autre.)

Soit n un grand hombre d'individus pris au hasard (indSpondammenr l'un de l'autre) d'une certaine population. On admet qne Pl est la proba-

Mathematische Annalen. 97. 4

50 S. Bernstein.

bilit6 qu'un individu possMe une premigre qualit6 A 1 et p~. est la proba- bilit6 qu'il poss~le une seconde qualit6 A~, on suppose de plus que/, p~ po. est la probabflit6 qu'un individu pris au hasard jouisse des deux qualit6s. On peut alors affirmer que les nombres m~ et m~ d'individus qui poss6- deront respectivement les qualit6s A1 et A~ seront en corrdlation normale. Ici

~ ( x ) = p l , ~ ( x ' ) = p : , ~ '~ (x - -px )~=p~q~ , ~-~(x'--po.)~ . ,

~ ( x - - p ~ ) ( x ' - - p ~ ) = ( H - - 1)p:po.

Ainsi le coefficient de corr61ation R n = ( / x - 1)],/~-' Pe qx~

Je n'ai pas ~ discuter ici les conditions r6elles, off l'on peut avec une certaine approximation affirmer l'existence des probabili~s p~, po.. De m6me, dens l'6tude de l'h6r6dit6 qualitative, lorsqu'on 6tudie le p~re et le ills au point de rue de la pr6sence ou absence d'une certaine qualit6 A, si l'on admet que P e s t la probabilit6 qu'un p~re pris au hasard jouisse de la propri6t6 A et p' et p" sont les probabilit6s respectives de retrouver la qualit6 A chez le ills suivant que le p4re la poss~de ou non, les hombres m e t m~ de p~res et ills, respectivement, poss6dant la qualit6 A seront aussi en corr61ation normale.

On pourrait aussi rattacher au th6or4me d6montr6 l'existence approxi- mative d'une corr61ation normale entre les grandeurs de divers organes chez des individus d'une m4me race; mais, comme nous l'avons d6j.~ remarqu6 plus haut, les difi6rentes causes dont l'action commune d6termine la grandeur de l'organe ne sont pas, en general, ind6pendantes, et il importe de mettre en 6vidence quels sont les degr6s de d6pendance qui n'excluent pas la possibilit6 d'une corr61ation normale. A cet effet, nous allons 6tablir un th6or~me analogue au th6or~me B.

w 20. Commengons par d6montrer la proposition auxiliaire suivante:

L emme. Si les grandeurs Zn et ~ ]ouissent de la proTri~t~ que, N dtant un hombre donn~ arbitrairement grand et ~ un nombre arbi- trafrement petit, on a, pour des valeurs de n assez grandes,

~2+ O R n x y +y~ 1

(144) ie ~ 11 < 6,

rant que I x [ < N , [ Y I < N, oh ] R n l < L < l , dans ces conditions la probabilit~ de l'existence simultande des indgalitds

! p t ( 1 2 5 ) t o < 2". < t o < <

di]]~re, pour les valeurs correspondantes de n, aussi peu qu'on veut de t

t , t~ t �9 + t '~ - 2 R ,~ t t '

e d t d ( .

Thdor~me limite du c~leul des prob~bilitds. 51

donne

off

En effet, le changement de variables

V x + R , , y ~ , y 1 .R ~"

x~-~ 2R,~ x y ~ y~ ~ ~ ~ V ~,

% = ~1 "s - - ~

Don~ pour t~l < :V~ = :V (: - - I R . I), I'll < :V~ < ~ V ~ -- ~ , la ~ndi~ion

(147) le ' ~[e ~z~:+"-~)]-I I< transform~e de (144) se trouve remplie pour les m~mes valeurs de n. I1 en r~sulte, d'apr~s le th~or~me du w 17 que, pour n suffisamment, grand la probabilit~ des in~galit6s simultanbes

to ~ ~V ~ t~, z o < % ~ z~

diff~re aussi peu qu'on veut de

~3 Z] lj?l['~ --(~22FZ2 , - e d tdz;

;rg

~oZ~

d'ofi nous concluons rexactitude du lemme annonc~, en r~p~tant le raisonne- ment qui termine Ia d6monstration du th~or~me pr~cSdent.

R e m a r q u e . L'application de ce lemme nous ob]igera de nous limiter aux cas, off lim]R~i < 1. Nous examinerons un peu plus le loin Ie cas, off

!ira R, ~- 1.

w 21. Th~or~meeS). Soient 2,,=x~-~-x~ ~- . . . -~x~, ~ = x ~ - . . . - ~ x ~ , deux sommes de quantit~s ddpendantes, telles que les variations de ~ ' ( x~+ ~) et , ,(x~+~) ne ddpassent pas a~ et fl~, respectivement, les variations de

(x~+~) et w~ (x~+~) ne ddpassent pas ~ et ~ re~pectivement, et ta ~z- riat~on de ~'(x~+~x~+:) ne ddpasse pas 7~, queues que soient les valeurs supposdes dd]~ connues de x~, x~, x s , . . . , x~. Si, pour n assez grand, on peut rendre ausM petit qu'on veut ~es nambres

1 1 1 1 1 1 1

~s) Nous supposons, pour simp!t6er l'dcrituze, ~R (a~) ~- ~ (~) -- 0, 4*

52 S. Bernstein.

, ,a, h~rsque oh, c~ et c~ sont les maxima respecti/s de ~)2;~' I x2 t et ~ ' f x~ ,, x~ et x~ (i < k) prennent des valeurs connues, A,~ = ~ (2~), G,~ = ~ (2~ ~ ), alors la probaMlitd de Vexistence simultan& des indgalit&

' Z ' . ' (148) to 2 ~ - A , < X , ~ < t ~ 2 A . , itoV2O,~< < to ~'2U~

di//&era, pour les m~mes valeurs de n, aussi peu qu'on veut de

t~ t t

, f ; - - 8

~ ) l - - - R ~ n t o to

t ~ + t '~ -- 2 R a f t "

~- ~ d t d t ' ,

On aura donc

(149)

en supposant I~i < 57,

ment grand. Posons (3LIIOnS

O = 9~ [e i(~ + <'>], ] ~ [ < N, off N est un nombre donn6 arbitraire-

x k z~ d'une fa~on g6n6rale u ~ - 2~-~' % -- F2O. et cal-

(150) Or,

off

(151)

quelles que soient les valeurs de % et v k (/~ =< m) , on aura 1

!gt' [e ~("-,§ +'-+,')] = 1 --~ ~ (u=+, ~ + v=+, ~)~§ ~=,

)o. ~. V~-T< c. qT"J M 6rant une constante qui ne d~pend que de N. Done

' , )~ + < , (152) G , + , = G , ~ [ 1 - - 5 9 ~ J ~ ( u , + , ~ § , +,

off I ~,~ + ~ l < e~, de sorte que

- ~ ~ ( u ~ §

1 1

.

( 2 ~ ) soit in/&ieur en valeur absolue h u n nombre pourvu que R~ = ~ 0,,

f ixe quelconque L < 1.

Dans la suite nous dirons que les quantit6s xk et x~ qui satisfont aux conditions du lemme son* presque inddpendantes mutuellement. La ddmonstration qui est analogue s cdle du w 9, consis~e s prouver que le

2. z: lemme pr6c6dent est) applicable s an---~ V2A----~ et o ~ - i/2~. I1 s'agit done de ealculer

Thdor6me limite du caloul des probabilitds. 53

Pax cons6quent, entre G e t

~- 1 ~j~ ( Un ~ _~ (153) H = [1- - ~ 1 (u~$ nc vl~/) ~'] . . . ~l --

peut ~tre rendu~ aussi petite qu'on veut (pour {~{< N, en prenant les logarithmes des deux compte de ce que, n 6rant assez grand,

I <

(15 )

on voit que H et, par veut de

en vertu des conditions du th~or~me, ta difference

t,l < or, membres de (153), et en tenant on a~'4), quelque petit que soit e,

j 1

1

$%

1

1 i 8 ~

cons6quent, G 6galement, diff6rera aussi peu qu'on

e - { (~+,F-+2/:~ v)

( 55) done,

(156)

z . - - o . - Or, il est ais~

et la d6monstration s'ach6ve sans difficult4.

R e m a r q u e . Le raisonnement qui pr6c~de s'applique aussi sans modi- fication au cas, off lim R. ~ _--4-1; seulement le lemme du w 20 ne serait

plus applicable. Mais alors on pourrait affirmer que, pour ix i__< 1, l Yi =< 1, on a, en prenant n assez grand (R~ :> 0, pour fixer les idles),

] (~+y)" - 1

!e 4 !)~[e~('-~+':u)] -- 1 I < c$;

en particulier, en faisant y = - x,

de montrer que, si, quelque petit que dgalitd (156) est satis/aite pour des valeurs assez grandes de n, x ~ 1 et x ~ 2, ~ ~tant un hombre irrationnel arbitraire donn~, babilitd de ~indgalit~

(157) iZ . l <: e,

04 e est un hombre posit i / aussi petit qu'on veut, tend vers 1, lorsque n cro~t indd/iniment, pourv'u qu'il existe une /onction monotone f ( lZ~D croissant i ndd/iniment avec son argument, telle que ~)~ [ f ( t g.1)] reste born&.

soit ~, Pin- lorsque la pro-

~4) Les deux premi6res indgalitds soar des cons6quences directes de (59), quant la troisi6me, elle r6sulte de l'6galit6 facile .g 6tablir:

1

Io1<= I.

54 S. Bernstein.

Actuellement on pout poser f ( l z = [ ) = z L car 3 (z2)g 1; pour fixer les id6es, nous nous placerons clans cette derni~re hypoth~se, mais on verra faeilemen~ que eette sp6cifica~ion de !a fonc~ion f n'est pas n6eessaire pour la validit6 du raisonnement.

Ainsi, d'apr~s un r6sultat classique de Tchebyscheff, la probabilit6 de t'in6galit6

(158) lz.I > T 1 est inf6rieure s ~-~. D'autre part, de l'in6galit6 (156) il r4sulte a fortiori

que l'on a

(159) ~)~(1 -- cos Z .x ) < ~,

et en appliquant Ie m~me raisonnement de Tchebyscheff s la quantit6 non n6gative ( 1 - cos Z .x ) , on voit que la probabilit4 de l'in6galit6

8 1 -- cos Z~x > ~t + - - 2 s i n ~ -,

qui est 6quivalente

(160) 1

est inf6rieure s ~ . Or,

tz, +1, + 2 , . . . )

si nous eonsid6rons routes les valeurs enti6res de

k e t k ' , telles que O < [ 2 k n ! < T , 0 < i 2 k ' ~ i = ,--2---. ~ T, on pourra supposer e

assez petit pour avoir, quelque grand que soit le hombre donn6 T,

(161) 12k~r 2k'~ I ~" Z > ~-+- ~ '

.par eons6quent, pour toutes ees valeurs (non nulles) de k et k', les in6galit6s

sont incompatibles. Done la probabilit6 qu'une au moins des in6galit6s

(162) [Z~-- 2kn} <:e (0 < 2kn g T) 1 aura lieu est inf6rieure ~ et, par r Ia probabilit~ de l'in~galit~

lz.t< 2 1 est sup6rieure s 1 t~ T~, c'est-s en faisant t et T aussi grands

qu'on veut, elle pout ~tre rendue aussi voisine de 1 qu'on veut, pourvu que n soit pris assez grand.

En appliquant ceei au cas qui nous oecupe, nous voyons qu'aemellement la probabflit6 de rin6galit6 ] ~ -- o~,[ < e tend vers 1, de sorte que rexistence simultande des indgalitds

to < a~ < tl, $ I

Th6orbme limite du calcul des probabilit6s. 55

a une probabilitd aussi voisine qu'on veut de

if . V-- ~ e -t~ dt , To

o~; T O est le plus grand des hombres to et t~, et T~ le plus petit des hombres t~ et t~.

w 22. Passons ~ pr4sent k la d6monstration du

T h 6 o r ~ m e D. Soient S,~ ~ x~ -~ x~ + . . . -~ xn, S~ ~ x~ ~- . . . + x,~ S ~ deux sommes de quantitds ddpendantes, oh T)~ ( n ) ~- An > M n ~',

~)~(S~) -~ Cn > M n x, les quantitds x~, x~ salis/aisant aux conditions des thdor~mes B ou C, dtendues ~ l'ensemble des lettres accentudes et non accentudes; alors la probabilitd des indgalitds simultandes

163) t~ | /2A" < S. < t~ I/2A~,

to (2 C. < S~ < t~ t2G,

pour n tr~s grand, di//~rera aussi peu qu'on veut de p

t t t 1 t ~ - + t , • '

1 ~ f e ~-~t~ dt dt', ,f

si R , - ~(S~S~) ne tend ~'~) pas vers • 1. V~e,.

En effet, en ef[eetuant le groupement de termes d6monstration du th6orgme B, e'est-~-dire, en posant

(164)

OIl a,

indiqu6 pour la

S. • + o~, ,~ = Z / + 6~, off

• = (x~ + x , + . . . + x,,) + (xh+, ,+~ + - . . + = ~ + , , ) + - - .

= Yl ,q- Y~ q - " " q- Yz, ' ' . . ' x ' x ' ~ ) + . . .

,t ! !

= y l q-y~ q - . . . q - y i ,

r IIOUS l~avons Vll~

~ ( ~ ) ~ ( ~ ) - . z ~ . we( l ) ~t(2/~) lira = lira = O, lira --- t im- = 1,

~) Dans Io cas contraire, c'est-g-dire, lorsqne tim ~ = q- I , les in4galit6s (168)

sont incompatibles ou bien~ conform6ment g la remarqu6 f~ite plus haut, ont une

e - t~ d t . probabilit~ qui tend vers l'int~grale [~=~-o

56 S. Bernstein.

et par cons&tuent

lira R. = lira ~ (s'~ S~)

=~=| ~ ~_~ ~, I/A. e. 1/Am r yA. r J

,,== 1/~ ( z / ) . ~ (x/~)

car on a, par exemple,

] ]/A.C~ I ~ ( - ~ { ) i =<5 ~ / ~ ( 2 " / ) . ~ ( ~ / " - ) A ~ e, "

I1 ne reste plus qu's r6p~ter sans modifications les raisonnements y ' sont presque des th~or~mes B et C pour voir que les quantit6s Yk, k

ind6pendantes mutuellement, e~ la d6monstration s'ach~ve sans difficult6, en admet tant que lim R~ + • 1.

w 23. Soit, par exempIe, une chalne simple de 2n experiences; on v~rifiera sans peine que, m~ d~signant le hombre d'~v~nements E dans les n experiences d'ordres impaires, et m~ ~tant le hombre d%v~nements E dans les n ex- periences paires, les hombres m 1 et m~ sont en correlation normale~S), pour n infini, routes les lois que la loi de Gauss s'applique s la c h i n e enti~re. Pour avoir des cas typiques, nous supposerons d'abord ~$~ - - ~ et Pi =q~ = �89

1+~ ~ n l i m R , = 28 . ainsi la correlation O n a a t o r s A ~ ~ (7 . ~ _ ~ 4 ' 1 + ~---~"'

sera positive ou n6gative suivant le signe de (~, et R~ tendra vers -4-1 en 1 - - ~ ~" n

m~me temps que ~. Supposons encore ~ = (-- 1 )i ~, alors A~,~ C~ ~ ~ - - 1+($ ~- 4

et lim R ~ = 0; done dans ce dernier cas, m~me si ~ tend vers 1, les

nombres m~ et m~ se comportent ~ Ia limite comme des nombres in- 1 o~ r 1 dtpendants, satis~aisant & la loi de Gauss rant clue ~ < 1 -- - ~ , -~.

Plagons-nous encore clans des conditions un peu plus g~ntrales pour

~) A moins que le coefficient de correlation R~ ne tende vers 4- 1. On se rend compte que cette exception ne pent se presenter dans les cas ~tudi~s par A. Markoff, car si on suppose tous les r~sulf~ts des experiences impa/res connus~ Ies e~u~ricnces paires deviendront ind~pendantes entre eIles avec des probabilit~s qui diff6reront de I e t 0 d'une grandeur finie, de sorte que, ~ ~tant donn~, l'oscillation probable de m~ ne sera pas d'ordre inf~rieur & ]/-n.

Th6or~me limite du calcul des probabilitLm. 57

avoir l'occasion d'appliquer au cas de deux sommes les considSrations g~n~rales du w 16.

Supposons donn~es deux s~ries d'exp~riences formant deux chaines simplement li6es entre elles. Ainsi nous admettons que, si l'on connait les r~sultat~ de la /r exp6rience pour lea deux s~ries, tea probabilit6s des ~v~nements E de la premiere s~rie et E~ de la seconde regoivent dans la (/r ~ 1) me experience des valeurs donn~es ind~pendantes des rSsultats des experiences ant~rieures. Pour fixer le probl~me il faudrait donc 8 constantes pour chaque valeur de /r ~ 1 (sans compter lea trois pro- babilit~s initiales de EEl , E E l , E.E~, clans la premiere exp6rience). Nous simplifierons les calculs, si nous supposons que lea apparitions et les non-apparitions sont li~es d'une fa~on sym~trique: en d'autres termes la probabilit~ de E apr~s EE~ eat la m~me, p ' , que celle de E apr~s E E l ; la probabilit~ de E apr~s E E 1 est ~gale ~, p", ainsi que celle E apr~s E E l ; alors la probabilit~ de E apr~s E.E~ et E ~ sera, respectivement, ~gale ~ q" et q'. De m~me nous aurons encore seulement

�9 ! ! 2 constantes pour El: lea probabflit~s p~ et Pi de E~ apr~s E E 1 et .EEl, respectivement. En g~n~ral, ces 4 grandeurs pourront varier avec k et il n'y aurait rien d'essentiel s changer dans ce qui va suivre, mais, pour simplifier l'~criture, nous lea supposerons ind~pendantes de k.

Consid~rons deux suites de grandeurs X~ et Y~, ~elles que X~ ~ _ 1, suivant que E arrive ou non dans la k m~ exp6rience, et Y~ -~ _ 1, suivant que E~ arrive ou non dana la k me experience. I1 s'agit de prouver que

~X~ et fl_~Y~ sont en corr6Iation normale sous des conditions analogues 1 1

celles clue nous avons trouv6es pour l'applicabilit~ du theorY, me limite aux chalnes simples.

A cet effet, introduisons deux suites de quantit~s ind~pendantes u~, u e , . . . , u , et v 1, %, . . . , v~, teIIes que u~ ainsi que v~ ne sont sus- eeptibles de prendze que lea trois valeurs • 1 et 0. Posons ensuite

i- -

(16 ) -

II est facile de voir alors clue les quantit6s X~ et Y, satisferont justement aux conditions exig6es, si nous admettons que T", (5 --~ T' -- P", r sont Ies probabilit~s respectives des ~gali~s uk+ 1 --- I , uk+ 1 ~ (t, uk+ I ~ -- 1,

v~+~ ~ O, vT,+i~- - - I .

En admettant que dans la premiere exp6rience les pzobabilit6s de E et E I sont 6gales g 1 ~, nous voyons qu'on aura pour route valeur de k,

5 8 S . B e r a s t e i n .

~}~(x~) = ~ ( : q ) = o. puisque X~ = Y~= 1. Pour 93~ ( Y~ r~+ a), remarquons que

On a aussi 6videmment ~ (Xff) = 932 (Yff) = 1, ~alouler ~a vateur de ~(X~X~+~) et

1 + e~) - < k ) ,, -~ ( O h + ~ ~ r

off <~) a~/+~ est l'esperance math6matique de X~+ a duns l 'hypoth~e que X~ = 1, et ~a+~(~) correspond ~ l'hypoth~se clue X ~ = -- 1, la signification de -a+~ et b(~)a+~ &ant analogue. Or, de (164) nous tirons les 6quations

ai%+: = (~," -- q') ~ i~ + ,~ai~,~

~i~+ ' = ( ~ ; ' - ~0 ~'% + ~,a~'%,

satisfont 6galement g ( ~ , b~,~+)~ avee les

a~ ~) 1, b~ ~) ~<~)" done

(166)

auxquelles

a~/') _~_ 1,

conditions initiales

(167) O)~ ( X~, X~, + ~, ) = a (~)

(k) - - r - (k) 9~ (X~ Y~+~) b ~> "~+a+~ +~+a ~--- / r = 10~__ q ,

off 01 et ~)~ sont les racines de l'6quation

t 1~ - - q ' ~ - - = 0 ,

les constantes C 1 et Co &ant d6termin6es par les relations (71 + (7~-~-1, C1 el + C~ e~ = (~ + b~ ~) (P" -- q'); on v&ifie facilement, en supposant, pour fixer les id&s, p" ~ q', que l eli e t t 0o~ ! sont inf~rieurs au plus grand des hombres ~ et IP~'--q;i- Ainsi en d6signant par 2 < 1 le plus grand des hombres ~, ~1, t ~ " - q ' t , !P; ' -q ; I , nous voyons que a % , ~'%, b~h, b~(~h d&roitront plus rapidement que les termes d'une progression g6ometriqne Ak2 h, off A~ est une eonstante qui d~pend de b~ (k) = ~J~(X k Yk), qui est born6e, puisque bk (~) satisfait ~ l'6quation

(168) b(~++">=(p " - q')(p'~' -- qO + ~ 01 + [ a (p~' - - qO + 3~ ( p " -- q')] bk (~) ,

qui se d6duit de (164) en 6galant l'esp6rance math6matique du produit des premiers membres g celle du produit des seconds membres (il suffit de remarquer que le coefficient de b~ ) clans le second membro de (168) est an plus 6gal au plus petit des nombres ~, ~1 et {). Remarquons, enfin, que les 6quafions (166) et (168) subsistent, si ton eonnalt les r6sultats des i < k premieres ex~riences; ainsi la variation qui pourra en r6sulter pour les valeurs de ~ ( X k Xk+~) , ~ ( X~ Y1,+ ~)etc. , ne tiendra qu'au change- ment des valeu~s initiales, c'estr~.dire de b~); or, il r~sulte de (168) clue

Thdor6me limite du caleul des probabititds. 59

(p , , _ ~,) (~ , , _ q , ) la diff6renee entre b~ *) et sa valeur limite 1 - [ ~ ( p " - ~ ) + ~ , ( ~ o " - q ' ) ~

sera d'ordre inf6rieur ~ 2 *-*. On en eonclat clue le th6or6me du w 28 sous la forme eorrespondant au th6or6me B est app'fieable, car une trans- formation analogue ~ eelle du w 12 montre que

k+g x 2 . k + g x ~

sont de l'ordre de g , quel que soit k, en supposant, pour ne pas entrer dans plus de d6tails, que 2 ne d6pend pas de n .

(Eingegangen am 3, 2. 1926.)