Symphonie Hydrostatique 2007 2008 POC VIFOP Sirocco Toulouse 25-26 nov. 2008 SNH T-UGOSEQUOIA Symphonie Hydrostatique 2007 2008 POC VIFOP Sirocco Toulouse

Symphonie Hydrostatique20072008

POC VIFOPSiroccoToulouse 25-26 nov. 2008 SNHT-UGO SEQUOIASymphonie Hydrostatique

20072008

POC VIFOPSiroccoToulouse 25-26 nov. 2008 SNHT-UGO SEQUOIA

Journées SIROCCOToulouse 25 & 26 Novembre 2008

Introduction au modèle SymphoniePatrick Marsaleix

Pôle d’Océanographie Côtièrede

l’Observatoire Midi-Pyrénées



20072008


Fiche technique

Equations de bases

Mélange Fermeture de la turbulenceDiffusion numérique:

AdvectionFiltre d’Asselin

Transformation de coordonnées

Grilles verticalesCoordonnée verticale

généralisée

Equation de continuitéAdvectionLaplacienGradient de pressionEquation pour u

Formes numériques La grille C

Grilles horizontales & verticalesRègles d’arrondis Equation de continuitéAdvection des traceurs

Symphonie2008Coordonnée horizontale curviligne Divergence horizontale Laplacien Formalisme de l’équation des moments Equation de continuité

Forme numériqueConvention de programmation

Fiche technique:Symphonie Hydrostatique

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Equations primitives

Approximations: Boussinesq, Hydrostatique

Fermeture turbulente: Gaspar & al., 1990

Surface libre: ondes barotropes, marée,…

Time splitting: modes internes & externes

Conditions de surface: Bulk

Conditions aux limites ouvertes: Flather 2D, Sommerfeld

Coordonnée verticale sigma généralisée

Coordonnée horizontale curviligne (Symphonie2008)

Méthode numérique: Grille C, Arakawa & Lamb (1977) « energy conserving »

Langage de programmation: Symphonie2007: f77Symphonie2008: f90

Sorties: binaires, netcdf

Visualisation: xscan

Equipe de développement:

Patrick Marsaleix: Module Physique Hydrostatique

Francis Auclair: Module Physique Non-HydrostatiqueCyril Nguyen: Solveurs, Coupleurs & ParallèlisationCaroline Ulses: Module Biogéochimie & SédimentClaude Estournel: Transport Sédimentaire, Flux Air-Mer

zw

yv

xu

tdt

d

.....

z

Kzy

Kyx

Kx zyxD

....3

Equations de basesSymphonie Hydrostatique

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)(31

0 ux

pfv

dt

duD

)(31

0 vy

pfu

dt

dvD

0

z

w

y

v

x

u

gz

p

FTdt

dTD )(3

)(3 Sdt

dSD

Deux équations pour les composantes horizontales du courant

Vitesse verticale donnée par la conservation du volume

Pression hydrostatique

Densité dépendante de la Température et de la Salinité via une équation d’état

Equations de transport et mélange de la température et de la salinité

: le mélangeEquations de basesSymphonie Hydrostatique

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l

EcE

z

g

z

v

z

uK

dt

dEDz

2/3

30

22

)(

2/1ElcK kkz Fermeture turbulente:

Gaspar et al. (JGR 1990):

- Equation pour l’énergie cinétique de la turbulence

- Echelles de longueur pour le mélange et la dissipation

controllées par la stratification

)(')'()(')'()(00

zEdzzzg

dzzzg

ldownz

z

lupz

z

ldownluplldownluplk ),min(

7.01.0 cck


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20072008


l

EcE

zK

g

z

vK

z

uK

dt

dEDzzz

2/3

30

22

)(

Pourquoi une fermeture de la turbulence basée sur une équation pour E ?

h

hz

h

z PSdzz

uKdz

z

uK

zu

2

Conservation globale de l’énergie entre échelles résolues et sous-mailles:

h

z

h

z Fdzz

gKdz

zK

z

gz

00

Cascade de l’énergie cinétique: la croissance aux échelles sous-mailles est paramétré à partir du cisaillement à l’échelle résolue. Energie perdue aux échelles résolues = Energie gagnée aux échelles sous-maille.

Le mélange des masses d’eau élève le niveau d’énergie potentielle: il consomme l’énergie des échelles sous-maille et s’arrête quand E est épuisée.

La vérification numérique de l’équilibrage des transferts entre échelles résolues et échelles sous-mailles améliore le fonctionnement des modèles (Buchard, 2002).


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Diffusion des schémas numériques: cas de l’advection

x

uu

x

u

tii

2/12/1

Définition (arbitraire ?) de la diffusion numérique d’un schéma d’advection:

- Vitesses: perte globale d’énergie cinétique

- Densité: augmentation irréversible de l’énergie potentielle

2

12/12/1

iiii uu

i 1i1i

2/1iu2/1iu

NON-Diffusif:-Le schéma centré car modification réversible du

niveau d’énergie potentielle et conservation globale de l’énergie cinétique aux échelles résolues. Diffusifs:

-Les schémas Upwind, Lax-Wendroff,… car ils sont numériquement équivalents à ajouter une diffusion Laplacienne à un schéma centré.

x

Kuu iix

iiii

11

2/12/1 2

Upwind Lax-Wendroff

2

xuK x

2

2 tuK x

TVD Minimod, Monotonic, MUSCL, Superbee,…

222)1(

22 tuxutuK x


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Diffusion des schémas numériques: cas de l’advection

Symphonie: schéma hybride Centré+Diffusion

Traceurs

2,,

11

xu

xxxfK

iiix

10 f 10 Coefficient de calibration fixé dans notebook_advection

f mesure la régularité du champ. Ne préservepas (intentionnellement)la monotonie.

Vitesses

10 2

xuK x

x

uxK x

2

2

Symphonie2007 Symphonie2008

x

Kuutt

itt

ix

ti

ti

ii

112/12/1 2

pour conservation de l’énergie

pour stabilisation du schéma Leap-Frog

Si est nul le schéma est 100% centré. Si =1 la diffusion est maximum. Pas de diffusion en dehors du calcul de l’advection (pas de Laplacien explicite, ni bi-harmonique, etc…)

0


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Diffusion des schémas numériques: le filtre d’Asselin

Note: quelque soit la dimension considérée, x, y, z, t, les processus diffusifs ont la forme d’un opérateur Laplacien associé à un coefficient de diffusion parfaitement identifié et contrôlé.

ttttttttt

tt22

22

1 2

22

2 tK

t

ttttt

t

tttt

4

tK t

Le filtre d’Asselin est appliqué à la manière d’un opérateur Laplacien

Dissipation d’énergie cinétique:2

t

uK t

est le coefficient d’Asselin défini dans notebook_visco0<<0.5

la coordonnée verticaleTransformation de coordonnées:Symphonie Hydrostatique

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Coordonnée Sigma conventionnelle: Coordonnée généralisée:

tjiktkji Hz ,,,,,

La hauteur d’une maille est donnée par la même relation de proportionnalité à l’épaisseur totale de la colonne d’eau, quelque soit la positionhorizontale:

Limitations: - Appauvrissement de la résolution dans la couche de surface (euphotique) quand Haugmente.

- Dégrade la précision du Gradient de Pression au dessus des pentes fortes.

La position des niveaux verticaux est libre:

tjikjitkji Hz ,,,,,,, Possibilités: - de préserver la résolution dans les couches limites de fond et de surface,

- de limiter la pente des niveaux clefs pour la précision du Gradient de pression

Limitations:

- Le nombre total de niveaux verticaux est fixe, ce qui peut conduire à une sur-résolution des zones peu profondes.


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Coordonnée hybride step+généralisée:

Possibilités: - d’utiliser une coordonnée généralisée tout en évitant une sur-concentration de niveaux dans les zones peu profondes.

Limitations:

- Cascades d’eaux denses: le franchissement des marches conduit éventuellement à une dilution des cellules d’eaux denses


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Coordonnée généralisée: 1

1

max

k

krk

*

*

max rr

rrr

k

k

*

*

1 rr

rrr k

01 rk

1max rkk

*r

Couche supérieure

Coucheinférieure

0

1

0

1

Zones peu profondes (plateaux): - Coordonnée sigma conventionnelle: tjikjik rhrz ,,,)1(

0hh

La Zone critique donne une résolution « idéale » de référence)( 0hh

tjikjik rhhrz ,,,0 )1()1(

tjikjijik rhhhrz ,,,,0 )1(

Dans la couche supérieure: on souhaite maintenir une résolution élevée (référence) près de la surface.

Zones profondes : 0hh

Dans la couche inférieure: on souhaite maintenir une résolution élevée (référence) près du fond.

*rr

*rr

zrr

zr

0*

11

zrr

zr

0*

10

notebook_vertcoord: HGESIG= PGESIG=0h *)1(100 rFond

Surface

résolution de référence

résolution sigma conventionnelle

résolution de référence

résolution sigma conventionnelle

tt

tzxCk

xx

*

),,(

* zx

z

xx

.

**

..

kz

k

z

..

Nouvelles coordonnées *),*,( tkx

*

.

*

..

t

z

ztt

Equations dans le nouveau systèmela coordonnée verticaleTransformation de coordonnées:Symphonie Hydrostatique

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Equation de continuité:

z

w

z

u

x

z

x

u

**

k

w

k

u

x

z

x

uz

**

k

w

k

z

xu

x

zu

kx

zu

x

uz

****

0**

x

zuw

kx

uz

0**

k

w

z

k

k

u

z

k

x

z

x

u

z

w

x

u

k

z

z

kz

1

Facteur d’échelle verticale:

(*): Par soucis de clarté on se place dans un plan 2D vertical.

(*)

tt

tzxCk

xx

*

),,(

* zx

z

xx

.

**

..

kz

k

z

..


*

.

*

..

t

z

ztt


20072008


20072008


0**

x

zuw

kx

uz

0**

~

t

z

kx

u

** t

z

x

zuw

uzu ~


0**

tx

U

L’intégrale verticale de l’équation de continuité donne la variation dans le temps de la hauteur de la surface de l’océan:

max

1

~kk

kk

h

udzuU

= 0

= 0

0

z

Note: la véritable vitesse verticale n’apparaît pas formellement dans le modèle. Elle doit être déduite de , du courant horizontal et de la déformation de la grille.

Note: est la composante du mouvement perpendiculaire à la surface iso-k. Le déplacement des niveaux n’est pas comptabilisé, de sorte que =0 à la surface.

tt

tzxCk

xx

*

),,(

* zx

z

xx

.

**

..

kz

k

z

..


*

.

*

..

t

z

ztt


20072008


20072008


Advection:

zw

xu

tdt

d

kz

kw

kz

k

x

z

xu

kz

k

t

z

t

****

** t

z

x

zuw

uzu ~

k

z

z

kz

1

Facteur d’échelle verticale:

kxu

tz

*~

*

0**

~

t

z

kx

u

Combinaison avec l’équation de continuité:

kx

u

t

*

~

*

~

z~

Note: la variable d’état n’est pas mais ~

ky

v

x

u

t

*

~

*

~

*

~

Symphonie Hydrostatique

...,,,,, BESTvu

tt

tzxCk

xx

*

),,(

* zx

z

xx

.

**

..

kz

k

z

..


*

.

*

..

t

z

ztt


20072008


20072008


Laplaciens:

xK

x x

zx

z

xK

x x

***

zx

z

xK

zx

zx

***

Mellor & Blumberg MWR 1985

kz

K

kzxK

xzK

zxK

xz

xzx

1

**Note: Par soucis de clarté on se limite à un plan 2D vertical.

tt

tzxCk

xx

*

),,(

* zx

z

xx

.

**

..

kz

k

z

..


*

.

*

..

t

z

ztt


20072008


20072008


Gradient de pression:

x

p

gx

z

x

p

**

z

p

x

z

x

p

**

gz

p

'**

'

*0 gx

z

x

p

xg

x

p

'0

z

dzgp ''

Note: l’optimisation du « modes splitting » peut influencer la manière de calculer la constante de référence de densité:

1

0

VV

dVhzdVhz

tt

tzxCk

xx

*

),,(

* zx

z

xx

.

**

..

kz

k

z

..


*

.

*

..

t

z

ztt


20072008


20072008


Equation pour :u~

k

u

y

uv

x

uu

t

u

*

~

*

~

*

~

uPvfz D31

0

k

u

y

uv

x

uu

t

u *

~

*

~

*

~

'

**

'

*1

01

0 gx

z

x

p

xgfvz

kz

uK

kzy

uK

yx

uK

x zyx ****

la grille CFormes numériques:Symphonie Hydrostatique

20072008


20072008


v~

u~

,, ST

v~

u~

,, ST

v~

u~

,, ST

v~

u~

,, ST

u~

u~

v~ v~

*x

*y ST ,

u~

ST ,

u~

ST ,

u~

ST ,

u~

u~

u~

*x

k

Grille horizontale

Grille verticale

T, S, , p

, Kz,

u

v

Note: les axes de la grille ont une direction conforme aux conventions physiques usuelles. L’axe vertical pointe notamment vers le haut, ce qui permet aux dérivées discrètes de conserver le même signe que leur correspondant théorique.

Indices: les règles d’arrondisla grille CFormes numériques:Symphonie Hydrostatique

20072008


20072008


Grille horizontale Grille verticale

i

j

ji ,,, ST

2/1,~

jiv

jiu ,2/1~

2/1,~

jiv

jiu ,2/1~

kiST ,),(

2/1, ki

kiu ,2/1~

i

k

kiu ,2/1~

2/1, ki

i

j

ji ,,, ST

jiv ,~

jiu ,~

1,~

jiv

jiu ,1~

kiST ,),(

ki ,

kiu ,~

i

k

kiu ,1~

1, ki

Formalisme théorique centré Formalisme théorique centré

Formalisme de programmation Formalisme de programmation

Note: les règles d’arrondis sont les mêmes dans les trois directions, permettant une parfaite symétrie de la discrétisation des équations de base (voir plus loin l’exemple de la forme discrète de l’équation de continuité)

Z

Z

Y

X

NomenclatureExtension des noms des variables:

ji ,,, ST

jiv ,~

jiu ,~

1,~

jiv

jiu ,1~

jiST ,,

ki ,

kiu ,~

kiu ,1~

1, ki

Equation de continuitéFormes numériques:Symphonie Hydrostatique

20072008


20072008


Note: cette forme numérique est celle utilisée dans Symphonie2007.

Symphonie2008: introduction de la coordonnée horizontale curviligne (Madec et al. 1998)

ts

y

vv

x

uu ttji

ttji

kji

tkji

tkji

tkji

tkjit

kjit

kji

2

~~~~,,

1,,1,,1,1,1,,1,,1

1,,,,

0**

~

*

~

t

z

ky

v

x

u

*)*,*,(**,)*,*,(*,*,*, tyxyxhkyxstkyxz

1)*,*,(max,1

kk

kyxs** t

st

z

L’équation de continuité permet de calculer :

Correspondance avec les variables de omega_upd.F:

y

x

v

u

~

~ OMEGA_Z

VHZ_X

VHZ_Y

DXB

DYB

tt

s

,2DSIG_Z

DTI_CE, DTI_FW

ZTA_INT_Z

Note: Le pas vertical n’apparaît pas

explicitement car k=(k+1/2)-(k-1/2)=1

...2

~~

,,1,,,,,1,,,,,1

,,,,

Zkji

Zkji

Ykji

Ykji

Xkji

Xkji

ttkji

ttkji

FFy

FF

x

FFt

ji ,,, ST

jiv ,~

jiu ,~

1,~

jiv

jiu ,1~

jiST ,,

ki ,

kiu ,~

kiu ,1~

1, ki

Advection des traceursFormes numériques:Symphonie Hydrostatique

20072008


20072008


Note: cette forme numérique est celle utilisée dans Symphonie2007.

Symphonie2008: introduction de la coordonnée horizontale curviligne (Madec et al. 1998)

Correspondance avec les variables de advection_ts.F:

Z

Y

X

tt

Ft

yFt

xFt

2

/2

/2

~Température

...*

~

*

~

*

~

ky

v

x

u

t

uF X ~ vF Y ~ ZF

THZ_Z(i,j,k,0)

ANYV3D(i,j,k,1)

ANYV3D(i,j,k,2)

ANYV3D(i,j,k,3)

SHZ_Z(i,j,k,0)

ANYV3D(i,j,k,4)

ANYV3D(i,j,k,5)

ANYV3D(i,j,k,6)

Salinité

max

min

min1max1

max

min

'~ i

i

Xi

Xi

Xi

Xi

x

x

FFFFdxx

uLe schéma flux est conservatif car

est nul si le domaine a des frontières solides

*, jiv

ji ,,, ST

*, jiu

*,1 jiu

jix ,

1, jix

jiy ,jiy ,1

*1, jivCoordonnée horizontale curviligneSymphonie 2008:



20072008


y

v

x

u

S

S

dxdy

dxdy(.....)vérifié en moyenne sur l’aire de la maille de

calcul:

Bilan surfacique de la divergence = Bilan périmètrique des normales

Divergence horizontale:

1

,',

1

1,'1,

1

',,

1

',1,11 ''''

i

i

njiji

i

i

njiji

j

j

njiji

j

j

njiji divxdivxdjuydjuyS

'* djuu n '* divv n yxS u*,v*: moyennes, pour chaque bord, de la vitesse normale

j

xv

i

yu

yx

**1

Voir également: Madec G., Delecluse P., Imbard M., Lévy C., 1998. OPA8.1 Ocean General Circulation Model Reference Manual.

*, jiv

ji ,,, ST

*, jiu

*,1 jiu

jix ,

1, jix

jiy ,jiy ,1

*1, jivCoordonnée horizontale curviligneSymphonie 2008:



20072008


y

F

x

F

yK

yxK

x

YX

yx

..

S

S

dxdy

dxdy(.....)vérifié en moyenne sur l’aire de la maille de

calcul:

Bilan surfacique de la divergence = Bilan périmètrique des normales

Laplacien:

1

,',

1

1,'1,

1

',,

1

',1,11 ''''

i

i

Ynjiji

i

i

Ynjiji

j

j

Xnjiji

j

j

Xnjiji diFxdiFxdjFydjFyS

j

xF

i

yF

yx

YX **1 ix

KF xX

.*

jyKF y

Y

.*

Axes i et j localement orthogonaux:

'* djFF XnX '* diFF YnY

Flux normaux moyens:

Coordonnée horizontale curviligneSymphonie 2008:Symphonie Hydrostatique

20072008


20072008


Formalisme des équations des vitesses:

....2

1)( 22

z

uwvu

ixvf

t

u

j

xu

i

yv

yx

1

Formalisme en gradient d’énergie cinétique: (OPA8.1 Madec et al. 1998)

....2

1)( 22

z

vwvu

jyuf

t

v

Formalisme en flux: (Symphonie2008)

....1 *

vfz

wu

j

vuy

i

uuy

yxt

u j

x

yx

u

i

y

yx

vff

*

....1 *

ufz

wv

j

vvy

i

uvy

yxt

v

Conservation de l’énergie: on vérifie numériquement que l’intégrale de –u f* v + v f*u est bien nulle.

Coordonnée horizontale curviligne & verticale généraliséeSymphonie 2008:Symphonie Hydrostatique

20072008


20072008



*

~~1

t

z

kj

vx

i

uy

yx

0*

~~~~1

t

z

kj

v

i

u

yx

uzy

uyu

~~~

vzx

vxv

~~~

Forme numérique:

t

svvuuyx

ttji

ttji

kjit

kjit

kjit

kjit

kjiji

tkji

tkji

2

~~~~~~~~1 ,,1,,1,,1,1,1,,1,,1

,1,,,,

yx

v

u

~~

~~OMEGA_Z

VHZ_X

VHZ_Y

DXDY_Z

tt

s

,2

DSIG_Z

DTI_CE, DTI_FW

ZTA_INT_Z

Correspondance avec les variables de omega_upd.F:

Note: les variables d’état ne sont pas les vitesses mais les flux au travers des facettes des mailles de calcul.

)~~,

~~( vu)( 13 sm

DéveloppementsSymphonie 2008:Symphonie Hydrostatique

20072008


20072008


Récents ou en cours:

Conditions aux limites Conditions de Flather 3D

MultidirectionnellesModes normaux

Effet de la rotation

Gradient de pression Forme primitive ou Jacobien de densité?

Conservation de la masseCouple de pression de fond

Symphonie Non-Hydrostatique(Francis Auclair)

Parallèlisation (Cyril Nguyen)

Projets:

Coordonnée verticale:

Ondes de gravité internes Bancs découvrants

Persistance d’une ligne générale:Approche physique & schémas d’ordre peu élevés: Préserver les propriétés de conservation fondamentales (Marsaleix et al., OM, 2008)

Cohérence du coeur (Eq. pour u,v,T,S) avec les conditions aux limites (Marsaleix et al., JAOT, 2006) et la représentation des échelles sous-mailles.

Documents

Symphonie Hydrostatique 2007 2008 POC VIFOP Sirocco Toulouse 25-26 nov. 2008 SNH T-UGOSEQUOIA Symphonie Hydrostatique 2007 2008 POC VIFOP Sirocco Toulouse