Synthèse des figures géométriques et solides géomé · PDF fileMichel DEMAL 34, avenue Saint Pierre B7000 Mons 065 84 77 86. Danielle POPELER 6/1 place des Droits de l'Homme B7130

Michel DEMAL 34, avenue Saint Pierre B7000 Mons 065 84 77 86. Danielle POPELER 6/1 place des Droits de l'Homme B7130 Binche 064 26 79 91. Copyright DEMAL-POPELER 2000-2004 Site WEB : www.uvgt.net
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U.R.E.M. (U.L.B.) H.E.C.F.H.- U.V.G.T.
LA GEOMETRIE DES TRANSFORMATIONS
dans l'apprentissage des mathmatiques
Site WEB : www.uvgt.net
Synthse des figures gomtriques
et solides gomtriques en
Gomtrie Elmentaire
Approche intuitive
Michel DEMAL - Jacques DUBUCQ
Danielle POPELER

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Plan des figures gomtriques et solides gomtriques
en gomtrie lmentaire
1. Les figures gomtriques Dfinitions de figures gomtriques
et exemples Dfinition de polygones Dfinitions de figures rondes Dfinitions de figures hybrides Classement Structure de ltude
des figures gomtriques planes
2. Les solides gomtriques Dfinitions et exemples Caractristiques des polydres Polydres de Ptrie Classement Analogies entre le classement des figures
gomtriques et des solides gomtriques Structure de ltude des solides gomtriques

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1. Les figures gomtriques
Dfinitions
Familles de figures gomtriques rencontres ds la premire anne
primaire.
Comme il s'agit de rencontrer ces notions, les dfinitions adoptes ne sont videmment pas plaques, a priori, mais dcouvertes tout au long des activits dveloppes avec les enfants. Il s'agit en fait qu'il s'imprgnent, a posteriori, des contraintes dlimitant les figures gomtriques et en particulier les polygones. D'ailleurs, comme le rappelle FREUDENTHAL: " Comment peut-on dfinir un objet ou une famille d'objets avant de connatre cet objet ou cette famille d'objets?".
Les figures gomtriques.
A propos des contraintes dlimitant les figures gomtriques. Les figures gomtriques que nous retenons et partir desquelles nous construisons une premire activit structure et cohrente se dfinissent de la manire suivante.
Par dfinition, les figures gomtriques sont formes de cts et de sommets de telle manire que: les sommets sont des points et les cts sont soit droits, soit
courbes; les cts droits sont des segments de droite dont les extrmits sont
des sommets; les cts courbes sont tantt des courbes fermes sans sommet,
tantt des arcs de courbe dont les extrmits sont des sommets; les cts courbes sont "lisses", sans asprit (sans pointe) sauf
ventuellement aux sommets; tout sommet est l'extrmit d'exactement deux cts; la figure est en une seule partie (connexe); deux cts droits conscutifs ne sont jamais aligns.

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Exemples de figures gomtriques:
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Contre exemples : dessins de figures qui ne sont pas des figures
gomtriques.
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4 figure 4 sommets

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En rsum, une dfinition des figures gomtriques que nous travaillons ce stade peut s'exprimer de la manire suivante:
Il dcoule immdiatement de la dfinition adopte, que dans le plan, il existe 3 types de figures gomtriques. Les figures gomtriques dont tous les cts sont des segments de droites: les polygones. Les figures gomtriques dont tous les cts sont des cts "courbes": les figures rondes. Les figures gomtriques qui possdent au moins un ct droit et au moins un ct courbe: les figures hybrides.
Les figures gomtriques planes sont formes de cts droits et/ou de cts courbes de telle manire que: tout sommet est l'extrmit d'exactement deux cts; la figure est en une seule partie; les cts courbes sont lisses, dpourvus d'asprit (sans pointe)
sauf ventuellement aux extrmits; deux cts droits conscutifs ne sont jamais aligns.

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Classement des figures gomtriques planes
Les figures
gomtriques
Les polygones
Les non polygones
Les figures hybrides
Les figures rondes

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Structure de l'tude des figures planes
en gomtrie lmentaire
Figures planes
Figures gomtriques planes
Non polygones Polygones
Figures rondes
Figures hybrides
La famille des
cercles
Polygones convexes
Classement en fonction de la rgularit des angles et des cts
Classement en fonction du nombre de cts
tude des familles et sous familles des quadrilatres
tude des familles et sous familles des triangles
Polygones rguliers
Polygones non rguliers

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2. Les solides gomtriques
Dfinitions Dfinition de polydre.
Remarque.
On peut montrer que sur base de ces caractristiques, en chaque sommet il arrive au minimum 3 faces. Exemples de polydres.
Sommet
Face Arte
Un polydre est un solide gomtrique dont toutes les
faces sont des polygones, telles que: toute arte est un ct de deux faces; le solide est en une seule partie; aucun sommet n'est commun plusieurs angles polydres ; deux faces contigus ne sont jamais dans un mme plan ; les extrmits des artes sont les sommets du polydre.

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Exemples de solides forms de faces polygonales, qui ne sont pas des polydres.
Dfinition de corps rond.
Dfinition de corps hybride.
Remarques:
-Un corps hybride est un solide gomtrique o il existe au moins une face hybride et au moins une face courbe (non plane). -Certains corps hybrides possdent aussi une face polygonale.
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Un corps rond est un "solide gomtrique dont toutes les faces sont des faces courbes (non planes) ou (et) des faces planes rondes".
Par dfinition, un corps hybride est un "solide gomtrique o il existe au moins une face hybride."

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Conclusion : Nous avons retenu comme critres de classements, des critres mathmatiques et non pas des critres non mathmatiques tels que "roulent ou ne roulent pas" ou "boule ou non boule" ou toutes les faces planes ou
non planes .
Polydres de Ptrie
Contrairement bien des affirmations, les critres " toutes les faces sont planes" et "toutes les faces sont des polygones" ne sont plus des critres quivalents. En effet, et titre d'exemple, citons le fameux "cube" faces gauches (non planes) de PETRIE (ci dessous), dtermin par quatre hexagones gauches rguliers.
Ce sont les 4 hexagones rguliers suivants: L'hexagone rouge ( 7 - 8 3 4 1 - 6 ) L'hexagone bleu ( 7 2 3 4 5 6 ) L'hexagone vert ( 7 8 5 4 1 2 ) L'hexagone noir ( 2 3 - 8 5 6 1 )
Si ce type de polydre peut paratre surprenant, il vrifie nanmoins les caractristiques habituelles des polydres usuels.
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