Synthèse Microéconomie 2007/2008...Synthèse Microéconomie 2007/2008 On peut représenter la relation de préférence par une fonction d’utilité notée U(x): U(x) ≥ U(y) x

Synthèse Microéconomie 2007/2008

Introduction :

La microéconomie étudie les choses à partir des agents économiques, par exemple, les entreprises (ONG, hôpitaux, …) et les consommateurs. Avant toutes choses il faut d’abord comprendre les consommateurs, ensuite on introduit les entreprises. Ici, on entame une approche désagrégée : on garde les différents marchés. La microéconomie nous donne des conseils et des outils afin de mieux comprendre les évènements qui nous entour.

1. Choix t préférences : deux approches duales

Choix individuels Tout individu faisant partie de l’économie a des préférences, différentes d’une personne à un autre. Malgré une certaine stabilité dans nos choix, nous sommes tout de même influencés.On appelle structure de préférence les 3 éléments suivants :

• X = l’ensemble des choix possibles• S = l’ensemble des possibilités qui peuvent modifier notre ensemble de choix• = est une relation de préférence définie sur l’ensemble des actionsC’est à partir de la relation de préférence que l’on va faire nos choix.

Axiome de rationalité : Par cet axiome on pose des conditions qui assurent une certaine cohérence dans nos choix. On dit d’une relation quelle est rationnelle si elle satisfait les conditions suivantes :

a) Complète : On est capable de comparer x et y, on peut hésiter mais on fait dans tous les cas l’hypothèse qu’on a un pouvoir intellectuelle discriminant.

Pour tout x, y X, on a x y ou y x

b) Transitive : On est capable de ranger les actions de manière univoque et cohérente en fonction de nos préférences (condition pas toujours satisfaite à cause de nos hésitations) :

x y et y z x z

c) Préférence stricte : est déduite des 2 conditions précédentes

x y x y et non y x

d) Relation équivalence : x ~ y ssi x y et y x ≥ = ORDRE = PREFERENCE

L’axiome de rationalité nous montre qu’on est capable de dire se que l’on aime et de ranger les choses selon nous préférence. Il nous impose un seuil de cohérence minimum…

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On peut représenter la relation de préférence par une fonction d’utilité notée U(x) :

U(x) ≥ U(y) x y

Cette représentation est dite ordinale car on introduit la notion de grandeur entre 2 biens. La fonction d’utilité est un « accessoire utile » pour comparer les comportements de choix des différents agents. Sa seule signification est d’indiquer si une action est préférée à une autre ou s’il y a indifférence entre les 2. Elle permet de remplacer la relation de préférence par la relation d’ordre (≥) définie sur les nombres réels, qui est elle-même complète et transitive.

Nos préférences peuvent être classés car :

Nous disposons de la capacité de structurer ses préférences lorsque l’ensemble des actions est grand (la 1ère chose que l’on fait c’est de simplifier, et c’est sur un ensemble plus petit que l’on va commencer à classer les choses,…)

Une réduction de 5€ sur un bien dont le prix est de 20€ n’est pas nécessairement perçue de manière équivalente à une réduction identique su un autre bien dont le prix est de 1000€.

Il peut y avoir des fluctuations dans nos choix, ce qui nous conduit au concept d’utilité aléatoire (la fonction d’utilité devient une variable aléatoire).

Les gens deviennent indifférent à partir d’un certain seuil car ils ne sont plus capable de discriminer (= la relation d’indifférence).

La notion de choix collectifs intervient mais nous allons voir ce concept dans le point 1.2

Choix collectifs

Supposons une population formée de n individus, dotés chacun d’une préférence rationnelle. Est-il possible d’agréger, ou de rassembler, les préférences individuelles au sein d’une relation de préférence collective ? ( = représente une procédure légale ou constitutionnelle de décision). On Suppose ici que chaque individu est susceptible d’avoir ces préférences personnelles.

• La querelle Borda-Condorcet ou comment classer les candidats ?

Borda fait observer que la pluralité (le plus grand nombre) de voix ne représente pas nécessairement le souhait des électeurs. Son idée est de mettre des points aux différents candidats selon leur ordre de préférence et ensuite d’additionner les points récoltés. Celui qui remporte le plus de points est élu. Borda essaye de tenir compte l’ensemble.

Il considère une population formée de 21 électeurs qui ont à choisir parmi trois candidats (x, y et z). Les préférences individuelles sont résumées dans le tableau repris ci-dessous :

6 électeurs z y x7 électeurs y z x7 électeurs x z y1 électeur x y z

Lors d’un vote, x obtient la majorité relative, soit 8 voix. Pourtant, x est le plus mauvais choix pour 13 électeurs ! Cette observation conduit Borda à proposer une méthode fondée sur les Quentin Collard Page 2


scores obtenus par chaque candidat. Plus précisément, le candidat rangé premier par un électeur obtient 2 points et celui rangé deuxième obtient 1 point. Dans ce cas, les scores sont de 16 (8×2) points pour x, de 21 (7×2+7×1) points pour y et de 28 (6 × 2 + 14 × 1) points pour z qui serait donc choisi.

Condorcet critique en argumentant à partir de l’exemple suivant:

19 électeurs a b c11 électeurs b c a

Condorcet considère que a, qui a la majorité absolue des suffrages, doit être élu. Pourtant, en appliquant la méthode de Borda, le score de a est de 38 (19×2) points, celui de b de (11×2+19×1) points et celui de c de 11 (11 × 1) points, de sorte que b serait choisi.En outre, on peut manipuler le résultat donné par la méthode de Borda en ajoutant ou éliminant des actions à l’ensemble de choix. Pour le vérifier, considérons l’exemple suivant avec 4 candidats :3 électeurs d c b a2 électeurs a d c b2 électeurs b a d cLes scores respectifs de a, b, c et d sont : 10(2 × 3 + 2 × 2), 9(2 × 3 + 3 × 1), 8(3 × 2 + 2 × 1) et 15 (3 × 3 + 2 × 2 + 2 × 1). Le classement est donc :

d a b c

Si maintenant d est éliminé de l’ensemble de choix, les scores deviennent respectivement : 5 (2×2+2×1), 7 (3×1+2×2) et 8 (3×2+2×1), ce qui implique :

c b a

Le classement de a, b et c est donc inversé du fait du retrait du candidat d ! Ca veut dire qu’il y a toujours moyen de manipuler des résultats (ex : vu au cours avec la personne qu’on a convaincu d’être bourgmestre alors qu’elle n’en a pas envie)

Quelque soit la méthode utiliser pour tenter de classer des candidats, que l’action qui est classé 1ere est battue par toutes les autres dans des cas de « duels ». Ce qui implique que le recours à des pondérations irrégulières est donc une « fausse bonne idée ».

• Le vote majoritaire et le théorème d’impossibilité d’Arrow

Considérons le cas où les électeurs ont à choisir entre 2 candidats (ou actions) x et y. Le choix collectifs est décrit par une fonction f qui dépend des opinions individuelles. Cette fonction de choix collectif doit satisfaire certaines propriétés qui semblent souhaitable du point de vue éthique :

Axiome de Bentham : Chaque électeur est entièrement libre de son choix. Si i = 1, ..., n préfère strictement x à y alors Di = 1 ; s’il préfère strictement y à x, alors Di = −1 ; s’il est indifférent, on a Di = 0. Par conséquent, la fonction f est définie sur le domaine {−1, 0, 1}ⁿQuentin Collard Page 3


Axiome d’anonymat : Si l’on change les noms, mais pas les préférences, des électeurs, le résultat final est identique. Ce qui explique en partie le fait que le vote est anonyme (parce que ça ne change rien que notre nom soit sur le bulletin de vote ou non)

Axiome de neutralité : Si l’on échange les noms, mais pas les attributs, des candidats (ou les caractéristiques des actions), ceux-ci sont inversés dans le résultat final. Prenons l’exemple des élections présidentielles en France, si on avait gardé le même pourcentage mais échangé les noms de Sarkozy et Royal alors Royale aurait été Président de la République française et Sarco aurait perdu…

Axiome de monotonie : Si un candidat gagne des partisans sans en perdre, il ne peut passer su statut d’élu à celui de battu :

Proposition 1 : Une fonction de choix collectif entre 2 actions x et y satisfait les 4axiomes précédents SSI le choix se fait à la majorité.

Ces 4 axiomes caractérisent le vote majoritaire dans le cas où le choix est restreint à 2 actions. Si ces axiomes sont éthiquement désirables, le système majoritaire est donc le seul système de choix collectif qui soit admissible. Lorsque le nombre d’actions ou de candidats excède 2, alors les choses se compliquent.

Paradoxe de Condorcet : Considérons 3 individus (1,2 et 3) et 3 actions (x, y et z) Les préférences individuelles sont reprises dansLe tableau suivant:

1 2 3x y zy z xz x y

Supposons que les décisions soient prises à la majorité absolue. Si on fait voter les trois individus sur les différentes paires, on obtient successivement: x est préféré à y, y est préféré à z, z est préféré à x. En d’autres termes, on tourne en rond et on n’arrive pas à décider ce qu’il faut faire.

On peut de nouveau manipuler les résultats selon l’ordre dans lequel on propose de voter (classement différent), de plus en proposant les choix 2 par 2.

╚═ On ne peut sortir de l’indécidabilité que par la manipulation.

Conclusion : Si on a 2 choix : le vote à la majorité est la seule solution, c’est-à-dire les 4 Axiomes du vote majoritaire. Si on a 3 candidats : on peut les comparer 2 à 2 MAIS il y a un risque de

Indécidabilité.

Kenneth Arrow a démontré un résultat plus général, connu sous le nom de Théorème d’impossibilité d’Arrow. On l’énoncera de la façon suivante en supposant que :



1. Chaque membre de la collectivité est doté d’un préordre complet défini sur l’ensemble des actions c’est-à-dire qu’on est capable de d’organiser nos choix ;

2. La préférence collective est elle-même un préordre complet défini sur l’ensemble des actions, de sorte que la collectivité est capable de ranger les différentes actions de manière cohérente et non ambigue c’est-à-dire que la collectivité est capable de classer nos choix ;

3. Si l’unanimité des individus préfèrent l’action x à y, alors x y, ce qui revient à dire que la collectivité est en accord avec la tonalité de ses membres c’est-à-dire que si nous sommes tous d’accord, la préférence collective nous donne le même résultat ;

4. La relation satisfait la propriété d’indépendance par rapport aux actions extérieures :(X ={x, y} et x y) (X ={x, y, z} et x y)

Autrement dit, l’introduction d’une 3ème action au sein de l’ensemble X, ici z, ne change pas la préférence collective entre x et y. Ce n’est pas parce qu’on rajoute z que l’on va moins préférer x à y

5. Qu’il n’y ait pas de dictateur, à savoir qu’il n’existe pas d’individu dont la préférence Soit toujours la préférence collective. On démontre alors qu’il n’existe pas de relation collective satisfaisant les 5 hypothèses précédentes, et ce quelle que soit la procédure retenue pour définir la préférence collective. Ce résultat, négatif, relève toute la difficulté que l’on rencontre à prendre des décisions collectives, même en l’absence de toutes manipulations. Cela ne veut pas dire qu’il vaudrait mieux choisir un dictateur pour trouver une solution au problème de choix collectif.

Imaginons que nous puissions ranger les actions individuelles les plus préférées de la gauche vers la droite et si, pour chaque individu, les action venant en 2ème, 3ème,… positions se retrouveraient le long de ce même axe gauche-droite, alors le choix le plus préféré de l’individu médian n’est jamais battu à la majorité absolue par n’importe quelle autre action. Dans ce cas particulier, le vote à la majorité permet de construire un rangement non ambigu des actions. L’individu médian n’est pas un dictateur car il est déterminé à partir de la distribution des actions les plus préférées des individus.

2. Théorie de la demande

Théorie du consommateur : préférences individuelles



Ensemble de consommation X : c’est l’ensemble des « paniers » de biens de consommation (ou les actions) possible est un sous-ensemble de Rⁿ fermé, convexe et borné inférieurement. On supposera ici que X = Rⁿ+). Ces différents paniers de biens peuvent varier d’un pays à un autre, de plus il y a un élargissement des paniers grâce à la marchandisation. Certains biens entrent et disparaissent de nos paniers

Préférences : un préordre complet sur l’ensemble de consommation que l’on peut représenter géométriquement par une « carte » de courbe d’indifférence (aussi appelée courbe de Coutour).1. On préfèrera toujours recevoir plus que pas assez, parce que si on à de surplus, on peut les revendre ou les échanger.Hypothèses comportementale complémentaires (x, y et z sont maintenant des vecteurs de Rⁿ ) :

• Monotonicité forte : x > y implique que x y,• Convexité faible de préférence :

y x et z x λy + (1-λ)z x pour tout λ [0,1] Si on est indifférent à 2 biens, le mélange des 2 biens sera préféré

Ce qui explique que la fonction d’utilité soit quasi-concave Les courbes d’indifférence sont convexes par rapport à l’origine :

U[ λy + (1 – λ )z ] ≥ u(x) Si on est indifférent à 2 biens, le mélange des 2 biens sera préféré là, c’est

du point de vue de l’utilité

• Convexité forte des préférences :

y x et z x λy + (1 – λ )z pour tout λ ]0,1[

Ce qui revient à dire que la fonction d’utilité soit strictement quasi-concave.

La convexité des préférences correspond à une inclination des individus pour la diversité des biens dans leurs structures de leurs consommations. Plus généralement, elle exprime un désir de « mélanger » les actions (le mélange est donné par la combinaison convexe λy + (1 – λ )z ). Mais attention, la convexité des différences semble inadaptée à l’étude de la consommation des biens de consommation durables où les choix sont souvent mutuellement exclusifs.

Proposition 2 : Toute relation de préférence rationnelle (et continue) est représentable par une fonction d’utilité continue.

Théorie du consommateur : demande individuelle

L’ensemble budgétaire d’un consommateur représente tous les paniers de biens qui lui sont accessibles aux prix p en vigueur, compte tenu de son revenu w qui est supposé donné, la quantité demandée dépend du prix et du revenu :

1 Une relation binaire est un préordre si elle est réflexive et transitive.Quentin Collard Page 6


B(p, w) = {x X ; p.x ≤ w}

Le problème du consommateur est de trouver un panier de biens dans son ensemble budgétaire qui lui assure la plus grande satisfaction, plus on est pauvre moins on à de choix et plus petite est la satisfaction :

U(x) sous condition : x ≥ 0 et x B(p, w)

SI les préférences sont strictement convexes et continues, il existe une seule solution à ce problème. On l’appelle la demande walrasienne (ou marshallienne) : x(p, w)

Pour tout p >> 0 et w > 0, x(p, w) satisfait les 3 propriétés suivantes :

• Absence d’illusion monétaire : x(p, w) = x(αp, αw) pour tout α > 0 (α est un coefficient qui dépend de la variation de la monnaie, donc si la monnaie varie alors α varie aussi)

• Continuité des demandes par rapport aux prix et au revenu (rôle de la convexité des préférences). Si les prix changent un peu, ça ne bouleverse pas notre consommation.

• Identité budgétaire : p.x(p, w) = w si les préférences sont monotones (les dépenses sons égales au revenu).

Pour des raisons de commodité, on suppose également que les utilités des différents individus sont continuellement différentes. On peut résoudre le problème du chois du consommateur en terme de calcule différentiel : pour une solution x >> 0, il existe un multiplicateur de Lagrange λ > 0, que l’on interprète comme l’utilité marginale du revenu, tel que :

Représente l’utilité marginale

De ces égalités, on en déduit immédiatement que :

x = Quantité consommée



Cette formule explique la relation de tangence où la pente de la droite budgétaire est égale à la pente de la courbe d’indifférence qui passe par le panier de biens demandés. C’est-à-dire le point d’équilibre entre la droite budgétaire et la courbe d’indifférence.

• Sensibilité de la demande par rapport au revenu et aux prix

Voyons d’abord 2 concepts très importants :

1. Un bien est dit normal, si sa consommation augmente avec le revenu du consommateur. 2. Un bien est dit inférieur, si sa consommation diminue avec le revenu du consommateur.

Exemple : transport en commun, si revenu augmente Achat d’une voiture, donc le transport en commun est bien un bien inférieure. Autre exemple vu au cour : le vin est-il un bien inférieur ?

Le revenu de la population augmente mais la part consacré au vin diminue. Si on décompose ce graphique en 2 sous graphiques : le vin de qualité et le vin de mauvaise qualité. Sur le premier, on constate une augmentation de la consommation et sur le deuxième, une diminution du vin de basse qualité. Dans les basses et moyennes classes le vin de table accompagnait tous les repas d’où une forte consommation du vin de mauvaise qualité parce que le revenu était très faible. Maintenant, les revenus ont augmenté et les gens se tournent plus vers le vin de meilleure qualité. Etant donné que le vin de qualité coûte plus cher, on dépense la même chose mais on achète moins de vin.

EFFET DE SUBSTITUTION

On constate qu’ils sont normaux s’ils correspondent à des catégories suffisamment agrégées. En, revanche, s’ils sont très désagrégés (par exemple, différents modèles de chaussures), alors ce n’est plus nécessairement vrai. La relation consommation-revenu est appelée COURBE D’ENGELS.



Effet de substitution : si le prix d un bien augmente, ce bien devient relativement moins intéressant par rapport à l autre

Effet de revenu : prix de l immobilier qui double alors diminution de la consommationOn peut démontrer que les effets de substitution sont négatifs (c’est-à-dire que les gens DOIVENT ce tourner vers d’autres bien parce que leurs revenu ne sont plus suffisant à cause d’une augmentation du prix d’un ou de plusieurs biens). Pour cela, il faut introduire le concept de compensation : pour une situation initiale (p, w) et de nouveaux prix données par p’ , on appelle compensation, la variation de revenu Δw qui permet tout juste au consommateur d’acheter le panier initial de biens x(p, w) aux nouveaux prix en vigueur :

Δw = p’.x(p, w) − w

Et

w’ ≡ w + Δw

Δw >=< 0 : la variation du revenu qui dépend du sens et de l’intensité de la variationdes prix. Δw est donc la variation compensée

Proposition 3 Pour toute variation compensée, une fonction de demande walrasienne est telle que la valeur de la variation de la consommation est négative:

(p’ − p).[x(p’, w’) − x(p, w)] < 0Ou

Δp.Δx < 0

p’ = le nouveau prix, p = l’ancien prixw’ = le nouveau revenu, w = l’ancien revenu

Ce cas se présente, si les nouveaux prix sont < aux anciens prix p’ < p.

Lorsqu’il y a une variation de prix alors les variations des quantités vont en sens opposés. C’est-à-dire que lorsque le prix d’un bien augmente, le revenu réel du consommateur diminue. Si le consommateur est compensé (=le revenu compensé) pour cette hausse de prix, cela implique que sa consommation du bien considéré diminue (présence d’un double effet, l’effet revenu et l’effet substitution).

3. Equilibre concurrentiel et optimum de Pareto

Considérons une population formée de m individus. Chacun possède une dotation initiale qui représente les quantités de biens qu’il possède. En pratique, ces quantités sont souvent nulles pour de nombreux biens. La raison d’être de l’échange réside dans le fait que les individus ont



des dotations initiales différentes et/ou des préférences différentes. S’ils avaient tous les mêmes préférences et dotations, il n’y aurait aucun échange.L’équilibre concurrentiel et optimum de Pareto se résume dans la boite d’Edgeworth qui est vue plus en détail lors du TP 2

• Equilibre dans une économie d’échange La valeur de la dotation initiale d’un individu définit son revenu: si wj Rⁿ+ désigne la dotation initiale de l’individu j = 1, ...,m, son revenu est endogène et égal à :

wj ≡ p.wj

p étant le vecteur des prix.

Le problème de chaque consommateur est de choisir son panier de biens le plus préféré sous la contrainte que ses dépenses n’excèdent pas la valeur de sa dotation p.wj .

Pour un vecteur de prix p, chaque individu j est la source d’une demande xj(p, p.wj ) de sorte que la demande de marché est donnée par la somme des demandes individuelles :

Toutefois, rien ne garantit que ces demandes puissent être satisfaites. Pour cela, il faut et il suffit que la demande de marché soit inférieure ou égale à la somme des dotations individuelles :

Si tel est le cas, on dit que les prix p sont des prix d’équilibre concurrentiels.

Les prix d’équilibre et les quantités consommées portent collectivement le nom d’équilibre concurrentiel (ou walrasien).Soit

et

La contrainte budgétaire de chaque individu implique que la somme des dépenses soit égale à la somme des revenus :

p.[X(p) − w] = 0

Cette relation est connue sous le nom de loi de WALRAS. Cette loi consiste à dire que s’il y a équilibre sur n-1 marchés, alors cela implique qu’il y ait équilibre sur le dernier marché. L’équilibre de marché va sélectionner un point sur les courbes d’indifférences (ou courbes de contrats) mais attention, l’équilibre trouvé n’est pas nécessairement l’optimum.



Théorème : Si les fonctions de demande individuelles sont continues et satisfont la loi de Walras, alors il existe un équilibre concurrentiel.

On dit des fonctions quelles sont continues si les préférences sont convexes parce que toute petite modification de prix entraîne de petites modification de la courbe.

• Optimum de Pareto

Le théorème d’impossibilité d’Arrow met en évidence la difficulté fondamentale que l’on rencontre lorsqu’il faut évaluer collectivement une situation économique donnée.Pareto propose le critère de critère de l’unanimité comme critère de comparaison. Autrement dit, une situation économique est jugée socialement préférable à une autre si la totalité des consommateurs préfèrent la première à la seconde. En d’autres termes, une situation est préférable à l’autre si tout le monde préfère la 1ère situation à la 2ème. Donc une situation est dite optimale s’il n’existe pas d’autre situation telle que certains individus soient mieux.

Soit x une allocation réalisable, c’est-à-dire un vecteur de paniers individuels de consommation (x1, ..., xm) telle que la somme des quantités de chaque bien allouées aux individus n’excède pas la somme de leurs dotations initiales :

On dit que cette allocation est Pareto-optimale si on ne peut pas trouver une autre allocation réalisable telle que :

U j ( j ) ≥ U j (x j)

pour tous les individus j = 1, ...,m et pour laquelle il existe au moins un individu k qui soit strictement mieux :

U k ( k) > U k (x k)

L’idée d’optimalité parétienne renvoi à celle d’unanimité et, par conséquent, permet d’éviter toute comparaison entre individus. (Exemple : 2 types d’état d’esprit, jalousie et pas de jalousie).

Premier théorème de l’économie du bien-être

Dans une économie d’échange, tout équilibre concurrentiel est un optimum de Pareto. Il n’est pas possible d’améliorer le bien-être de quelqu’un sans détériorer celui de quelqu’un d’autre. Bien entendu, la solution de marché, et par conséquent l’optimum de Pareto, dépend de la dotation initiale des consommateurs. Selon cette dotation, on peut obtenir des allocations très contrastées où certains consommateurs atteignent un haut niveau de bien-être subjectif et d’autres un bas niveau. Il existe un très grand nombre d’optima de Pareto et le fait d’en atteindre un ne suffit pas à résoudre le problème du choix collectif. En revanche, il n’est pas possible de justifier une situation non optimale au sens de Pareto.



4. Production

• Firme et technologie

Une entreprise ne cherche pas nécessairement à faire du profit mais toutes les entreprises suivent le même genre de processus. Soit Yk Rn l’ensemble de tous les plans de production réalisables pour la firme k. Les composantes négatives du vecteur yk Yk

représentent les quantités d’inputs (avec un signe négatif, par convention) et les composantes positives les quantités d’outputs qui peuvent être produites à partir des inputs considérés (avec un signe positif). L’ensemble de la production est égale à tout ce qui est techniquement réalisable. Par convention, le profit de la firme k aux prix p peut donc s’écrire p.yk . Si l’ensemble Yk est compact et strictement convexe, alors il existe un seul vecteur maximisant la fonction de profit de la firme k ; en outre, cette fonction varie continuellement avec les prix p. Puisque le vecteur 0 appartient à Yk, l’hypothèse de stricte convexité de l’ensemble de production implique que les rendements d’échelle sont strictement décroissants.L’ensemble de production agrégé de l’économie est donné par :

L’introduction de la production complique le problème du consommateur pour deux raisons : (a) chaque consommateur offre une certaine quantité de travail échangée sur le marché du travail et (b) le revenu de certains consommateurs varie avec les profits des firmes dans la mesure où ces consommateurs en sont propriétaires. Dans ce cas, si chaque firme k choisit un plan de production yk et réalise un profit égal à p.yk , la contrainte budgétaire du consommateur j s’écrit de la manière suivante :

Où θjk désigne la part des profits de la firme k revenant au consommateur j.

• Equilibre général

L’existence d’un équilibre est plus problématique dans le cas d’une économie avec production. Une allocation (x1, ..., xm; y1, ..., yn; w) et un vecteur de prix p constituent un équilibre concurrentiel si les conditions suivantes sont satisfaites: aux prix d’équilibre p(1) chaque consommateur maximise sa satisfaction sous sa contrainte de revenu (qui est endogène) ; xj maximise Uj sous la contrainte :

(2) chaque firme maximise ses profits :



yk maximise le profit p.yk sous la contrainte yk Yk

(3) les quantités demandées sont inférieures ou égales aux quantités offertes :

Théorème d’existence d’un équilibre concurrentiel dans une économie avec production :

Si les fonctions de demande des consommateurs sont continues et satisfont la loi de Walras tandis que l’ensemble de production agrégé de l’économie est convexe, alors il existe un équilibre concurrentiel.

En conséquence, la démonstration d’un équilibre concurrentiel réclame la présence de rendements décroissants ou constants dans la production au sein de l’économie.

Partie des Externalités

Nous avons 2 types d’externalités :

• L’externalité de CONSOMMATION : l’action d’un agent affecte la satisfaction des consommateurs (par exemple : les fumeurs)

• L’externalité de PRODUCTION : l’action d’un agent affecte la productivité des entreprises (par exemple : la pollution des eaux d’une rivière subie par les firmes implantées en aval)

Prenons l’exemple de 2 firmes S et F, se trouvent le long d’une rivière



Coût de S : cS(s, x) s = quantité d’acier; x = volume de production (output involontaire)

Coût de F : cF (f, x) f = quantité de poissons

Externalité:

L’action de S est de produire de l’acier, mais par cette production, S produit aussi de la pollution. Le x rentre dans le coût de production de f.Le coût privé de l’acier, ne va pas intégrer le fait que la firme S ait pollué mais elle augmente le coût de l’autre entreprise.Le coût social est bien plus important parce que le coût social tient compte de la pollution.

Le but serait de faire en sorte que les écarts entre coût privé et social ne soient pas trop importants.

Le profit des 2 différentes firmes est de

S : PS s − CS(s, x)

F : PF f − cF (f, x)

Si maintenant les 2 sociétés venaient à fusionner, ça permettrait d’avoir un respect mutuelle tant au niveau de la production sidérurgique que la production de poisson parce que la nouvelle firme a une nouvelle fonction de profit. Cette nouvelle fonction de profit est donné par :

Profit = PSs + PF f − CS(s, x) − cF (f, x) ;

Avec les conditions de maximisation du profit suivantes

(1)

(2)

(1)+(2)Quentin Collard Page 14


Cette nouvelle fonction est en réalité la somme des 2 fonctions de maximisations des firmes en tentant compte de la pollution car la pollution affecte la partie pêche de la société. Cela améliorerait le coût privé et le coût social parce que les firmes font être amenés à choisir un volume de pollution socialement désirable

On dit alors que la firme INTERNALISE la totalité des coûts provoqués par la production d’acier.

Le volume de production de pollution (x) est donné par :

Alors que

, mais le niveau socialement optimal de pollution n’est pas nul.

The Tragedy of the Commons

(Structure des droits de propriété)

Prenons l’exemple d’un grand terrain et d’une commune, où il y a de petits agriculteurs qui peuvent utiliser ce terrain pour faire paître les vaches.f (n) = la valeur de la quantité totale de lait produite lorsqu’il y a n vaches dans le pré ╚ f est une fonction croissante du nombre de vaches

Prix du lait par vache:



Il y a un surplus social, qui est du à l’achat d’une vache. C’est-à-dire qu’on va regarder ce que rapport une vache moins le coût d’une vache :

Si on veut maximiser le surplus social, il suffit juste de prendre la dérivée 1ère de f (n). On obtiendra donc :

Etant donné que les villageois, son libre d’utiliser le pré, il parait logique qu’ils choisissent n*

tel que :

Supposons maintenant que diminue avec n, parce que nous sommes dans le cas de

rendements décroissants alors , la productivité moyenne décroît, il faut que la productivité marginale soit en dessous de la production moyenne (pour pousser la production moyenne vers le bas).

Les biens communs poussent les agriculteurs à ne penser qu’à eux sans se préoccuper des autres, tant que leurs vaches rapportent plus que leurs coûts.Cela signifie qu’il y a surexploitation de la ressource naturelle.

Concurrence imparfaite

• Introduction à la théorie des jeux

Toute concurrence est caractérisée par « des jeux », les joueurs de ces jeux peuvent être des entreprises, des consommateurs, un gouvernement,… Ils vont agir pour leur propre compte selon le principe de rationalité économique. Pour l’entreprise, il s’agira de maximiser le profit qu’elle réalise face à des concurrents plus ou moins nombreux.

Jeu non-coopératif : les joueurs n’ont pas la possibilité de former des coalitions avec d’autres joueurs, il sera seul durant le jeu. La dynamique du jeu ce fera par des stratégies (tout ce que un joueur peut faire durant le jeu), ces stratégies peuvent être simples ou compliqués. Quentin Collard Page 16


Dans les jeux il y a aussi le gain (payoff), le joueur obtient ces gains qu’une fois les stratégies de tous les joueurs connues et que la partie est terminée.On peut distinguer certaines sortes de stratégies :

La stratégie pure : est une action, ou un plan d’actions, qui est choisie par chaque joueur avec certitude.

La stratégie mixte : qui est une extension de la stratégie pure, et est définie comme une distribution de probabilité sur l’ensemble des stratégies pures.

• Dé finition d’un jeu en forme stratégique

Les éléments constitutifs d’un jeu G en forme stratégique sont les suivants :

(1) N = {1,…, n} est l’ensemble des joueurs.

On suppose que les joueurs sont en nombre fini. Un joueur quelconque est désigné par l’indice i. L’extension au cas d’une infinité de joueurs ne pose pas de problèmes conceptuels particuliers.

(2) si désigne une stratégie du joueur i N.

Une stratégie décrite de manière précise tout ce qu’un joueur fait ou peut faire. Remarquons que si n’est pas nécessairement un nombre ; ce peut être aussi un vecteur ou une fonction.

(3) Si est l’ensemble des stratégies du joueur i N.

Cet ensemble décrit toutes les stratégies disponibles pour le joueur i.

(4) s = (s1,…, si,…, sn) S1 ×… × Si ×… × Sn ≡ S est une issue du jeu, c’est-à-dire une combinaison de stratégies, à raison d’une stratégie par joueur. On désigne par s−i S−i toutes les stratégies choisies sauf celle du joueur i.

(5) ui(s) R est la fonction de gain du joueur i N.

Autrement dit, la “fonction d’objectif” du joueur i dépend non seulement de sa stratégie si, mais aussi de celles choisies par les autres joueurs résumées dans s−i. Le joueur i préfère strictement l’issue s à l’issue s’ si ui(s) > ui(s’). Si ui(s) = ui(s’), le joueur est indifférent entre les deux issues.

(6) Chaque joueur connaît les ensembles de stratégies et les fonctions de gains de tous les joueurs, y compris donc les siens.

Du fait de cette dernière hypothèse, on dit que le jeu est en information complète. Dans le cas contraire, le jeu est dit en information incomplète. Les joueurs ne connaissent certains éléments constitutifs du jeu qu’en termes de probabilité ; par exemple, le joueur i ne connaît pas la fonction de gain du joueur k mais dispose d’une distribution de probabilité sur les fonctions possibles.

• Equilibre de Nash Quentin Collard Page 17


On dit qu’une combinaison de stratégies s∗ est un équilibre de Nash (ou un équilibre non-coopératif) si l’inégalité suivante est satisfaite pour chaque joueur i = 1, 2, ....n :

ui (s∗i , s∗−i) ≥ ui (si, s∗−i) si Si .

En d’autres termes, si le joueur i anticipe correctement que les autres participants au jeu vont choisir les stratégies associées à s∗−i , il maximise son gain en choisissant au sein de l’ensemble Si la stratégie s∗i .

Quel est le principe de l’équilibre de Nash ?

Chaque joueur choisit la meilleure stratégie pour lui-même compte tenu des croyances qu’il a sur les stratégies qui vont être choisies par les autres. Etant donné sa capacité à se mettre à la place des autres et à reproduire leurs raisonnements, chaque joueur est à même de formuler des anticipations correctes. Dès que le jeu est terminé et que les résultats sont observables, chaque joueur n’éprouve aucun regret car il n’aurait pu augmenter son gain en faisant un choix différent. C’est au travers de la formation des croyances sur les choix de chaque participant que s’exprime pleinement l’interdépendance stratégique qui relie les joueurs. L’exactitude des croyances définit précisément les conditions pour la réalisation d’un équilibre de Nash. Dans le modèle concurrentiel, les agents n’ont pas besoin d’avoir des anticipations sur le comportement des autres ; l’observation du système de prix suffit à chacun pour décider de ce qu’il doit faire.

Exemple vu au TP 2 : L’interdépendance stratégique qui est résumée dans l’équilibre de Nash est illustrée une nouvelle fois dans le jeu des marchands de crème glacée. Imaginons une plage où deux marchands de crème glacée doivent s’installer en début de saison. Ils vendent leur produit à un prix fixé par le fabriquant, mais sont, en revanche, libres de choisir leur localisation. Les clients sont les touristes venant tous les jours se reposer à la plage. Afin de profiter au mieux du soleil, ils se répartissent à distance égale de leurs voisins de sorte que leur densité est égale à l’unité. Les touristes n’aiment pas se déplacer du fait de l’encombrement de la plage. Dès lors, ils choisissent d’acheter auprès du vendeur le plus proche. Si les marchands sont conscients du comportement de leurs clients, comment vont-ils choisir leur emplacement sans avoir la possibilité d’observer le choix effectué par l’autre. Mettons-nous à la place du vendeur 1 et supposons qu’il imagine une paire de localisation. Une fois le jouer 2 installé, le joueur 1 se dit qu’il aurait pu faire beaucoup mieux en se rapprochant de 2. En effet, le point milieu qui segmente les deux marchés se déplace vers la droite, très près de 2 lorsque que 1 choisit une localisation proche de 2 mais située sur sa gauche. Par conséquent, 1 n’est pas la meilleure chose à faire pour lui parce que l’idéal serait de se situer le plus près possible de 2, et ce du côté où la plage est la plus longue. En effet, il maximise ainsi son nombre de clients et, donc, son profit. Mais où 2 va-t-il s’implanter ? Le joueur 1 doit être conscient que 2 tient le même raisonnement que lui, ce qui signifie que la meilleure chose à faire pour 2 est de se placer le plus près possible de 1, du côté le plus long de la plage. Est-il possible de concilier ces aspirations respectives, c’est-à-dire de trouver un équilibre de Nash en localisation ? OUI, c’est possible : les deux marchands s’installent au milieu de la plage. Chacun obtient la moitié des clients. Si l’un d’entre eux avait choisi une autre localisation, il aurait attiré moins de clients, de sorte que la paire de localisations retenue est effectivement un équilibre de Nash. On vérifie facilement que cet équilibre est unique : toute autre paire de localisations conduirait au moins un des vendeurs à regretter son choix.Quentin Collard Page 18


Dans ce jeu, chaque joueur doit se faire une idée précise de ce que veut faire l’autre. La solution proposée est donc plus sophistiquée que dans le cas du dilemme du prisonnier, qui ne réclame aucune croyance sur ce que veut faire l’autre. A l’équilibre de Nash, les deux vendeurs se localisent au centre de la plage. Cette solution n’est pas favorable aux acheteurs qui ne bénéficient pas des avantages liés à la dispersion géographique de l’offre. Si, au contraire, le choix des localisations était réglementé, les deux marchands devraient s’installer au premier et troisième quartile, à savoir 1/4 et 3/4, si on suppose sans perte de généralité que la plage est de longueur unitaire. Autrement dit, la concurrence stratégique entre les vendeurs conduit à une configuration

socialement sous-optimale.

• Concurrence en quantité

• Duopole de Cournot

Equilibre de marché : Imaginons une réserve d’eau minérale naturelle qui peut être exploite à partir de deux terrains différents. Ceux-ci appartiennent à deux propriétaires qui ne sont pas disposés à coopérer lors de la commercialisation de l’eau minérale. On peut donc les considérer comme les participants d’un jeu non-coopératif. Ils doivent décider simultanément de la quantité de bouteilles d’eau à mettre sur le marché. La fonction de demande inverse pour les bouteilles d’eau est donnée par :

p(Q) = max{a − (q1 + q2), 0}

où q1 et q2 désignent le nombre de bouteilles offertes à la vente par les producteurs et p le prix du marché auquel la quantité totale Q = q1 + q2 est écoulée auprès des consommateurs. La fonction de demande est alors donnée par :

Q = a − p.

Le coût de production d’une bouteille d’eau est identique pour les deux producteurs et égal à une constante 0 < c < a. La fonction de profit du vendeur i est alors donnée par :

πi = qi * [p(Q) − c] i = 1, 2.

Chaque joueur connaît sa fonction de profit ainsi que celle de son concurrent. En outre, il souhaite maximiser son profit en choisissant son volume de production et sait que son concurrent cherche à faire de même. Enfin, il sait que l’autre dispose de la même information le concernant. Il est évident que tout équilibre doit être tel que les deux vendeurs réalisent des profits positifs. Cela implique que les conditions du premier ordre soient satisfaites comme des égalités. Dans le cas du joueur 1, cette condition exprime sa volonté de maximiser son profit, elle s’écrit :

∂π1/∂q1 = 0

Mais le joueur 1 sait que le joueur 2 cherche aussi à maximiser son propre profit. Il simule donc le comportement optimisateur de joueur 2 en calculant la condition du premier ordre de ce dernier :

∂π2/∂q2 = 0Quentin Collard Page 19


Du point de vue du joueur 1, ces deux équations ont un statut différent : la première exprime son comportement optimisateur; mais la seconde représente une hypothèse que joueur 1 fait sur le comportement de joueur 2.Mettons-nous maintenant à la place du joueur 2. Il tient exactement le même raisonnement, mais dans lequel les indices 1 et 2 sont inversés. En conséquence, les deux joueurs sont confrontés au même système d’équations simultanées, lequel traduit ici l’interdépendance stratégique de leurs décisions. On vérifie sans peine que ce système est donné par les deux équations suivantes ;

a − c − 2q1 − q2 = 0

a − c − q1 − 2q2 = 0

qui admettent une solution unique donnée par :

qC1 = (a − c)/3

qC2 = (a − c)/3

Si joueur 2 choisit de vendre une quantité qC2, il est alors optimal pour joueur 1 de vendre qC

1, et réciproquement. Comme, par hypothèse, le joueur 1 est capable de se mettre à la place du joueur 2, il arrive à la même conclusion, à savoir qu’il est optimal pour le joueur 1 de vendre qC

1 si lui, le joueur 2, vend la quantité qC2. Dès lors, il y a une forte présomption que

Le joueur 2 pense que le joueur 1 va vendre qC1, ce qui implique que le joueur 2 va sans doute

offrir une quantité qC2. Il en va de même pour le joueur 1 qui est donc incité à choisir qC

i. Autrement dit, on constate que les duopoleurs sont incités à se comporter comme le suggère l’équilibre de Nash.

Le volume de production totale, le prix et les profits d’équilibre sont donnés par les expressions suivantes :

QC = 2(a − c)/3

pC = (a + 2c)/3

πCi= (a − c)2/9 i = 1, 2

Le paramètre a peut être interprété comme mesurant la “taille” du marché. En effet, une valeur élevée de a signifie que certains consommateurs sont disposés à acquérir le bien en question à un prix élevé. Dès lors, c’est sans surprise que l’on constate que le prix de marché et les profits des entreprises augmentent avec la taille du marché. En revanche, une augmentation du coût marginal de production c conduit à une hausse des prix, mais à une baisse des profits.Comme les conditions du premier ordre sont nécessaires et qu’elles n’admettent qu’une seule solution, l’équilibre de Nash est unique. De ces conditions, on peut également déterminer ce que l’on appelle les courbes de meilleure réponse sur le domaine où les quantités sont positives :



r1(q2) = (a − c − q2)/2

r2(q1) = (a − c − q1)/2

En conséquence, l’équilibre de Nash du duopole de Cournot est donné par le point d’intersection des deux courbes de meilleure réponse. Dans le cas présent, les deux courbes ont un seul point d’intersection. Toutefois, elles peuvent ne jamais s’intersecter (non existence de l’équilibre de Nash) ou admettre plusieurs points d’intersection (multiplicité de l’équilibre de Nash).De plus, les deux expressions précédentes révèlent également que la meilleure stratégie pour une firme est de réduire son volume de production chaque fois que son concurrent augmente le sien. Dans ce cas, on dit que les stratégies sont des substituts stratégiques. De plus si la firme 1 augmente sa production d’un montant M, son concurrent diminuera la sienne d’un montant inférieure à M puisque la pente de sa courbe de meilleure réponse est inférieure à l’unité en valeur absolue. Autrement dit, la firme 2 n’absorbe pas la totalité de l’accroissement M, de sorte que le volume total de bien mis sur le marché augmentera.

Il existe une autre manière de “justifier” la solution proposée ci-dessus pour le duopole de Cournot. Par souci de simplicité, on supposera que c = 0.

Dans un premier temps, chaque vendeur constate qu’il n’a pas avantage à offrir une quantité supérieure à la quantité de monopole a/2, et ce quelle que soit la quantité vendue par son rival, car autrement il réduirait son profit. On suppose que chaque vendeur est conscient de ce fait, ce qui le conduit à penser que son rival choisira également dans l’ensemble de stratégies [0, a/2] puisque les stratégies appartenant à ]a/2, a] sont strictement dominées. Cela étant fait, le vendeur 1, disons, restreint ensuite le choix du vendeur 2 à l’intervalle [a/4, a/2] car il n’est jamais profitable pour 2 de vendre une quantité inférieure à a/4. Cette quantité est en effet la meilleure réponse de 2 si 1 choisit de produire une quantité a/2, tandis que a/2 est sa meilleure réponse lorsque 1 choisit un output égal à 0. On suppose que 2 procède de la même manière.

A la deuxième itération, chaque joueur élimine donc les stratégies appartenant à l’intervalle [0, a/4[ de l’ensemble de stratégies de son concurrent parce qu’elles sont strictement dominées. A l’étape suivante du raisonnement, 1 réalise alors que 2 ne va jamais choisir une quantité excédant 3a/8. C’est en effet la meilleure réponse de 2 si 1 venait à choisir un volume de production égal à a/4. En d’autres termes, les stratégies appartenant à ]3a/8, a/2] sont strictement dominées du point de vue de 2 une fois que celui-ci est conscient que 1 va confiner son choix à [a/4, 3a/8]. Il en va de même pour 2. En poursuivant ce raisonnement (avant que le jeu ne soit effectivement joué), on constate que chaque joueur élimine de nouveaux intervalles de stratégies et que ce processus converge vers le couple (a/3, a/3), qui est l’équilibre de Nash du duopole de Cournot puisque le coût marginal de production est nul.

Collusion Supposons maintenant que les deux vendeurs décident de se comporter de manière collusive et de maximiser leur profit joint. Le profit joint est évidemment le profit de monopole :

πM = Q ・ [p(Q) − c]

La maximisation de cette fonction par rapport au volume de production total Q donne :Quentin Collard Page 21


QM = (a − c)/2pM = (a + c)/2

πM = (a − c)2/4

Il reste à spécifier comment les vendeurs vont se partager ce profit. En pratique, cette question n’est en général pas simple à résoudre. Toutefois, dans le cas particulier qui nous retient, la symétrie du jeu fait qu’il est raisonnable de supposer qu’ils vont se partager ce profit de manière égale, de sorte que chaque vendeur réalise un profit égal à (a − c)2/8. On remarque donc que les profits et le prix de marché sont supérieurs à ceux obtenus à l’équilibre du duopole.

Ces résultats confirment l’intuition selon laquelle la concurrence entre deux entreprises est, du point de vue des consommateurs, préférable à un monopole. En outre, ils suggèrent que les entreprises ont intérêt à s’entendre de manière à réduire les effets négatifs de la concurrence pour leurs profits respectifs en vendant chacun la quantité (a − c)/4 au lieu de (a − c)/3.

Mais qu’en est-il de la “stabilité” d’un tel accord entre les deux vendeurs ?

Si le vendeur 1 est convaincu que le vendeur 2 va respecter l’accord et vendre une quantité (a−c)/4, alors il n’a pas intérêt à respecter sa promesse. En effet, si q2 est remplacé par cette valeur dans la fonction de profit du vendeur 1, on obtient ;

π1 = q1 * [a − q1 − (a − c)/4 − c]

qui est maximisée lorsque 1 choisit de vendre un montant égal à ;

q1 = 3(a − c)/8

laquelle est supérieure à (a − c)/4 (et même à (a − c)/3). En d’autres termes, le vendeur 1 profite du fait que 2 réduit son volume de production pour accroître le sien et réalise ainsi un profit plus élevé. Toutefois, si les deux vendeurs se trompent sur les intentions de l’autre, ils vont mettre sur le marché une quantité totale égale à 3(a − c)/4 et réaliser un profit 3(a − c)2/32 qui est inférieur au profit qu’ils font à l’équilibre de Nash. Cette situation rappelle le dilemme du prisonnier.

Conclusion : les deux vendeurs ont un intérêt commun à coopérer, mais chacun est incité individuellement à ne pas respecter l’accord de coopération.

Optimalité sociale : On sait que la quantité socialement optimale de bien qui devrait être offerte sur le marché est celle qui égalise prix et coût marginal (p = c), à savoir ici :

Q∗= a − c.

Or, on a vu que le duopole conduit à un volume de production total égal à QC =2(a − c)/3.Cette quantité est donc inférieure à la quantité socialement désirable Q∗

Parce que QC=0,67(a − c) < Q∗= a − c.



En effet, chaque firme, anticipant correctement le volume de production de son concurrent qCj,

est confrontée à une demande résiduelle définie par ;

C EST PAS Qir PLUTOT QUE pir ???pir = Q − qC

j = (2a + c)/3 − qi i = 1, 2

dont l’élasticité est finie puisque le prix de vente ne s’impose plus comme une donnée.Elle va donc “manipuler” ce prix à son avantage en choisissant le volume de production qui lui permet d’égaler recette marginale et coût marginal, mais en tenant compte de ce que va faire son concurrent.

Etant donné la demande résiduelle Qir, le profit de l’entreprise i est donné par ;

πir = qi * (pir − c) = qi * [(2a + c)/3 − qi − c]

qui est maximisé lorsque qi = (a − c)/3, c’est-à-dire le volume de production correspondantà l’équilibre de Nash. Autrement dit, chaque firme réduit son volume de production afin d’avoir une marge positive. Cela étant, le volume de production est alors choisi de manière à balancer l’avantage que procure une marge plus élevée, ce qui se fait au travers d’une forte réduction de sa production, et une plus grande part de marché, obtenue par une expansion de sa production. Il en résulte le volume des ventes est inférieur à ce que la firme produirait si elle était en situation de monopole, les outputs étant des substituts stratégiques.

Conclusion : le duopole ne conduit pas à une situation socialement optimale, la présence d’un concurrent conduit chaque firme à augmenter son propre volume de production par rapport à ce qu’elle ferait au sein du cartel.

• Oligopole

Envisageons maintenant le cas plus général de n entreprises ayant toutes le même coût marginal de production c. On a :

Les conditions du premier ordre sont données par ∂πi/∂qi = 0, ce qui implique :

On a donc n équations à n inconnues. Du fait de la symétrie du système, il est raisonnable de penser que toutes les quantités sont égales, de sorte que ;



qC1 = ... = qC

n = (a − c)/(n + 1)

qui généralisent les expressions obtenues dans le cas du monopole (n=1) et du duopole (n=2). On vérifie facilement que le prix du marché et le volume total de production sont donnés par :

Comme

∂pC/∂n = (c − a)/(n + 1)2 < 0

On voit que le prix d’équilibre décroît de manière monotone et tend vers le coût marginal de production lorsque le nombre n d’entreprises augmente indéfiniment. De son côté, le volume total de production tend progressivement vers a − c, qui est très précisément la quantité vendue lorsque le bien est tarifé au coût marginal.Enfin, on vérifie que les profits ;

πCi = (a − c)2/(n + 1)2

tendent vers zéro (rappelons que les rendements sont constants) quand le nombre de firmes devient arbitrairement grand.

Autrement dit, le modèle concurrentiel peut être vu comme la version asymptotique du modèle de Cournot dans lequel le nombre de producteurs est arbitrairement grand.

On peut vérifier le bien-fondé cette assertion en calculant l’élasticité de la demande évaluée au point d’équilibre ;

de sorte que l’élasticité de la demande tend vers l’infini avec n, comme en concurrence parfaite.

Il semble donc que la libre entrée soit de nature à permettre au marché de se rapprocher d’une situation de concurrence désirable du point de vue social. De nombreux éléments viennent en fait bloquer ce processus d’entrée. Celui qui vient le plus spontanément à l’esprit est l’existence d’un coût fixe d’entrée F, par exemple sous la forme d’investissements à réaliser avant de pouvoir produire et vendre. Dans ce cas, la production est caractérisée par des rendements d’échelle croissants, le coût moyen de production diminuant avec le niveau de la production.

Dans ce cas, le profit d’une firme l’équilibre est donné par ;

πCi = (a − c)2/(n + 1)2 − F

d’où il résulte immédiatement que πCi < 0 si le nombre n de firmes est très élevé. Plus

précisément, le nombre maximum de firmes pouvant opérer sur ce marché est donné par le plus grand nombre entier inférieur ou égal à ;



que l’on obtient en calculant la solution de πCi = 0. Dès lors, le nombre maximum de firmes

actives augmente avec la taille du marché, mais diminue avec le niveau des coûts fixes.

• Le modè le de Stackelberg

On suppose maintenant que les firmes 1 et 2, au lieu de choisir leur volume de production simultanément, le font séquentiellement dans un processus à deux étapes, la firme 1 (= le meneur) étant la première à sélectionner sa stratégie. Ce jeu est très différent du précédent dans la mesure où il incorpore une dimension dynamique. En effet, lorsque la firme 2 (=le suiveur) doit choisir sa stratégie, elle a la possibilité d’observer le choix effectué par la firme 1. Il ne lui reste donc qu’à choisir sa meilleure réponse lors de la seconde étape du jeu. Dans ce cas, son choix n’a plus rien de stratégique : la firme résout un simple problème de maximisation.En revanche, la firme 1 intervenant à la première étape, elle ne connaît pas le choix que fera la firme 2. Cependant, si la firme 1 fait l’hypothèse que la firme 2 se comporte de manière à maximiser son profit, elle va comprendre que son concurrent choisira sa meilleure réponse à son propre choix. La firme 1 a donc la possibilité d’anticiper les conséquences de son choix sur celui que fera la firme 2. Le jeu étant en information complète, la firme 1 est donc capable de déterminer la courbe de meilleure réponse de la firme 2, à savoir ;r2(q1) = (a − q1)/2. Dans ce cas, la firme 1 va maximiser son profit dans lequel la quantité q2

est remplacée par r2(q1) qui ne dépend plus que de q1 ;

π1 = q1 * {p[q1 + r2(q1)] − c} = q1 * [a − q1 − (a − c − q1)/2 − c]

= q1 * [(a − c − q1)/2]

qui est une fonction quadratique et concave de q1. La maximisation de cette expression par rapport à q1 donne ;

de sorte que la firme 2 va choisir la quantité :

En conséquence, on obtient :

tandis que les profits sont donnés par :



Les deux entreprises ne réalisent donc pas le même profit, d’où la question de savoir qui va être le meneur et le suiveur. Il existe des situations où l’ordre dans lequel les joueurs interviennent résulte de circonstances extérieures qui s’imposent à eux. Dans certains cas, 1 souhaite être le meneur et 2 le suiveur. En outre, si les gains ainsi réalisés par chaque joueur dominent ceux qu’ils obtiendraient en jouant simultanément, la séquence retenue est une situation d’équilibre d’un jeu plus général dans lequel les joueurs choisissent, dans un premier temps, un rôle particulier et, ensuite, leur volume respectif de production. Ce n’est pas le cas ici puisque nous avons :πS

1 > πC1 > πS

2

Il est important de comprendre que les duopoles de Cournot et de Stackelberg correspondent à deux situations de marché différentes, qui sont décrites par deux jeux différents. Il est donc inexact, de présenter la solution du duopole de Stackelberg comme une “solution alternative” au duopole de Cournot.

Il est intéressant de remarquer que les quantités d’équilibre du duopole de Cournot forment elles-mêmes un équilibre de Nash du jeu à deux étapes. En effet, si 1 offre la quantité (a− c)/3 à la première étape, la meilleure réponse de 2 est de jouer (a − c)/3.En outre, si pour l’une ou l’autre raison, 1 pense que 2 va jouer (a − c)/3, alors il est optimal pour cette firme de jouer (a − c)/3 lors de la première étape. Dans ce cas, le joueur 2 réalise un gain supérieur qui se fait au détriment du joueur 1, qui réalise ainsi un manque-à-gagner. Cela donne à penser que 2 à intérêt à menacer 1 de jouer (a − c)/3 quand son tour viendra. Toutefois, cette menace n’est pas crédible : si 1 vend une quantité différente de (a − c)/3, il n’est jamais optimal pour 2 d’offrir une quantité égale à (a − c)/3 et la firme 1 le sait.

Autrement dit, lors de la seconde étape du jeu, 2 ne mettra pas sa menace à exécution. On remarque donc qu’il existe des équilibres de Nash impliquant l’emploi de menaces qui se révèlent non crédibles au fil du jeu. De telles menaces peuvent être éliminées en introduisant ce que l’on appelle un raffinement du concept d’équilibre de Nash.

• Concurrence en prix

Duopole de Bertrand

Revenons à la situation de marché étudiée par Cournot et supposons que les firmes choisissent leur prix de vente, p1 et p2, en lieu et place de leur volume de production.

Comment l’équilibre de marché va-t-il être déterminé ?

Supposons que la firme 1 affiche un prix égal à 10 euros. Si la firme 2 propose un prix excédant ce montant, elle n’aura aucun client puisque les biens offerts par les deux firmes ne diffèrent que par leur prix. Si elle propose le même prix que son concurrent, on peut admettre que les clients vont se répartir par moitié entre les deux vendeurs. Enfin, si la firme 2 offre un prix inférieur à 10 euros, c’est elle qui attirera la totalité des clients. Tant que le coût marginal c est inférieur à 10 euros, la firme 2 choisira donc de vendre à un prix légèrement inférieur à 10 euros, soit p2 = 10−ε. Dans ce cas, le prix de 10 euros n’est pas la meilleure r2ponse de la Quentin Collard Page 26


firme 1 puisque celle-ci n’a aucun client. Si elle pense que la firme 2 va proposer le prix p2 = 10−ε, elle va retenir un prix légèrement inférieur, égal à p1 = 10−2ε, qui lui permet d’attirer la totalité des clients. Mais alors, c’est au tour de la firme 2 de ne plus avoir de clients.pB

1 = pB2 = c.

En effet, aucune firme n’est incitée à monter son prix car elle perdrait tous ses clients, tandis qu’une baisse de prix la conduirait à réaliser des profits négatifs.

Mais que nous dit ce résultat ? Tout simplement que la concurrence en prix entre deux firmes vendant le même bien conduit à un prix de marché égal au coût marginal de production.

C’est-à-dire que la concurrence en prix serait tellement féroce qu’elle suffirait à rétablir la concurrence parfaite dans un marché avec deux entreprises, ce qui correspond à l’optimum social.

Il est vrai aussi que la concurrence en prix est souvent néfaste aux entreprises dans la mesure où elle conduit à une forte érosion de leurs profits.

Duopole d’Hotelling

Pour cela, considérons une variante du jeu des deux marchands de crème glacée qui sont, par hypothèse, localisés aux deux extrémités d’une plage de longueur L. En revanche, ils sont libres maintenant de choisir leur prix de vente, p1 et p2. On suppose également que tout baigneur supporte un coût de déplacement qui est proportionnel à la distance x qu’il parcourt pour se rendre chez l’un des deux vendeurs, soit tx euros.

Si p1 excède p2, la totalité des baigneurs ne va plus nécessairement acheter auprès du second marchand. Pourquoi ? Parce que les baigneurs choisissent maintenant leur lieu d’achat en tenant compte de deux variables, à savoir le prix de vente et le coût de déplacement, ce dernier variant selon l’endroit où chaque baigneur est installé. Si les prix sont les mêmes pour tous, les coûts de déplacement varient avec la distance séparant les consommateurs de chacun des vendeurs.Plus précisément, la plage est subdivisée en deux segments de marché, qui sont délimités par le point où le prix total, c’est-à-dire le prix de vente augmenté du coût de déplacement, est identique pour les deux vendeurs ;

p1 + tx = p2 + t(L − x)

de sorte que la position du consommateur marginal est donnée par

Dans le cas particulier où les prix sont égaux, les vendeurs se partagent donc le marché à parts égales. En revanche, si p1 > p2, les baigneurs installés au centre de la plage iront chez le second vendeur. Toutefois, ceux qui sont situés à gauche du consommateur marginal iront chez le premier vendeur car, bien que celui-ci vende plus cher que son concurrent, ce désavantage en prix est plus que compensé par l’avantage qu’offre une plus grande proximité.



Si le vendeur 1 augmente encore son prix, le point se déplace vers la gauche, ce qui signifie que ce vendeur perd des clients au profit de son concurrent. En vendant plus cher, il augmente sa marge bénéficiaire sur l’ensemble des clients qu’il conserve, mais son nombre de clients diminue. Cette diminution est faite progressivement et alors seuls quelques consommateurs basculent de 1 vers 2.

Les baigneurs étant distribués uniformément le long de la plage, les demandes respectives des vendeurs sont données par ;

et les profits correspondants par :

On est donc bien dans une situation de jeu non-coopératif puisque les profits de chaque firme dépendent du prix choisi par la firme concurrente.

En répétant la démarche suivie dans le modèle de Cournot, on montre que l’équilibre de Nash est unique et donné par :

pH1 = pH

2 = c + tL

Le taux de marge est donc égal à tL et le profit d’une firme tL2/2. En d’autres termes, les profits des firmes augmentent avec le taux de fret (= prix d’un transport de marchandise) et la distance qui sépare les deux vendeurs.

Les fonctions de réaction sont ici données par :

Quand qu’une firme augmente son prix de vente, son concurrent en profite pour augmenter le sien, mais cette augmentation est inférieure à l’augmentation initiale puisque la pente de la courbe de réaction est inférieure à l’unité. On dit que les biens sont des compléments stratégiques.

• Effets d’engouement

La question qu pourraient se poser les entreprises, est : « Es-ce que ce produit va avoir du succès ? ».La satisfaction d’utilité dépend de notre consommation mais aussi du nombre de personnes qui consomment ces produits.



Exemple 1 vu au cours avec macintosh et PC : je trouve que macintosh est mieux que PC mais on a créé plus de programmes pour PC, de plus l’adaptation de macintosh à PC est difficile ! Et par-dessus tout ça, tout le monde a un PC (= effet de la masse).Exemple 2 vu au cours avec les langues : plus il y a de gens qui parlent une langue plus il y a de l’engouement pour cette langue.

On apporte beaucoup d’importance aux décisions qui sont prisent par les consommateurs

Considérons maintenant le cas où les consommateurs retirent encore plus de satisfaction du fait d’un nombre croissant de consommateurs faisant le même choix qu’eux (=effet d’engouement), de sorte qu’un consommateur situé en x s’adresse au vendeur1 si :

N1 − p1 − tx > N2 − p2 − t(L − x)

Ni étant le nombre de consommateurs achetant auprès du vendeur i. Si la densité des consommateurs reste uniforme, on suppose maintenant qu’elle est égale à N, de sorte que le nombre total de consommateurs est donné par NL.

Les prix du marché diminuent au fur et à mesure que la taille de la population augmente.

On a vu que la taille de la population n’avait aucune influence sur le niveau des prix dans le modèle d’Hotelling, ceci n’est plus le cas en présence d’effets d’engouement : « Plus le nombre de consommateurs est élevé, plus la demande est élastique. » En effet, comme d’habitude, une baisse de prix augmente la clientèle du vendeur, mais cet accroissement de la clientèle rend le vendeur 1 plus attractif auprès des clients du vendeur 2, ce qui provoque une nouvelle augmentation de sa part de marché, et ainsi de suite. La demande de chaque firme est donc plus élastique qu’en l’absence d’effets d’engouement, de sorte que la concurrence est plus intense et conduit à des niveaux de prix plus bas.



Synthèse Partie Maniquet

Introduction:

Cette partie du cours est une introduction à l'économie de l'information. Cette partie de la microéconomie (on pourrait même dire, cette manière de faire de la microéconomie" s'est fortement développée depuis 30 ans, et a atteint presque toutes les branches de l'économie.

Les idées principales du cours sont les suivantes:

Tous les acteurs économiques prennent des décisions en situation d'incertitude (pensons à la probabilité d'un désastre écologique majeur, à la valeur réelle d'une voiture d'occasion, etc...)

• L'incertitude n'est pas la même pour tous les agents: l'information est dite asymétrique.• L'information est manipulable.• L'information a de la valeur, ce qui signifie bien plus que le fait que les agents

économiques vendent ou achètent de l'information. En effet, même sans transactions de ce genre, la distribution de la richesse est différente de ce qu'elle serait si toute l'information était disponible pour tous.

Chapitre 1 : La décision individuelle en situation incertaine

1. Introduction

Situations d’incertitude: loterie, assurance (du point de vue de l’assuré, et du point de vue de l’assureur), la qualité d’un produit, la qualité d’un service, etc...

Comment peut-on représenter une situation incertaine?

Il y a un ensemble connu d’événements possibles, et une probabilité connue associée à chaque événement. Les acteurs économiques ne connaissent pas toujours les évènements possibles, ni les probabilités qui leur sont associées. Il s'agit d'une hypothèse forte.

Formellement: les événements possibles: 1, 2,… , n, et leur probabilité : p1, p2, . . . , pn tels que 0 ≤ pi ≤ 1 et p1 + p2 + . . . + pn = pi = 1, et les résultats possibles sont m1,m2,…,mn .

Si les résultats possibles sont des gains monétaires, on parlera d’une loterie que l’on décrira comme ((p1,m1), (p2,m2), . . . , (pn,mn)).



2. Comment se comporte un agent économique face à l’incertitude

Un billet à 5 EUR vous donne la loterie ((0.5, 0EUR), (0.5, 20EUR)); l'achetez-vous? On peut représenter ce choix à l'aide du graphe suivant. Si vous n'achetez pas le billet de loterie, vous « gagnez » 5 EUR que le billet soit gagnant ou pas. Si vous achetez le billet de loterie, alors vous gagnez 0 EUR si le billet n'est pas gagnant, et 20 EUR si le billet est gagnant. Graphiquement, vous consommez deux biens: votre gain, ou richesse finale, en cas de billet gagnant, et votre gain, ou richesse finale, en cas de billet non-gagnant. On peut donc représenter ce choix dans un graphe à deux dimensions comme ceci. La droite à 45 degrés représente les « loteries » où le gain ne dépend pas de l'état du monde (vous ne « jouez » pas).

On peut observer que :

L'espérance du gain n'explique pas le comportement;

La plupart des agents économiques ne sont pas disposés à payer l'équivalent de l'espérance du gain, mais moins. Ils présentent de l'aversion au risque. Pour le dire autrement, les agents économiques, en général, préfèrent un gain certain à un gain risqué de même espérance.

Les préférences exprimées par les agents économiques à travers leurs choix révèlent des degrés différents d'aversion au risque: certains sont plus que d'autres prêts à choisir une option risquée plutôt qu'un gain certain mais moindre.

3. La théorie de l’utilité espérée

• Pour pouvoir étudier les questions économiques liées au risque et à l'incertitude, il nous faut une théorie de l'agent économique en situation risquée qui puisse représenter valablement le comportement (moyen) des agents économiques.

• Pour commencer, supposons qu'il y a deux états du monde possibles, notés 1 et 2, et que les probabilités associées sont 0.5 et 0.5. Toutes les loteries ((0.5, m1); (0.5, m2)) qui ont Quentin Collard Page 2


une même espérance m satisfont l'équation 0.5 * m1+0.5 * m2 = m, c'est-à-dire m2 = 2 * m - m1. Notez le parallélisme avec une droite de budget.

• Les loteries sans risque sont celles où le gain ne dépend pas de l'état du monde: c'est donc la droite à 45 degrés (la première bissectrice).

• Les préférences d'un agent présentant de l'aversion au risque sont représentées par des courbes d'indifférence qui sont tangentes à la droite des loteries de même espérance au point d'absence d'incertitude (c'est-à-dire sur la droite à 45 degrés). En effet, par définition, il préfère une loterie sans risque à toute loterie risquée de même espérance.

• Dans le graphe ci-dessous, deux courbes d'indifférence sont tracées, représentant deux agents différents. L'un a une aversion au risque plus grande que l'autre. Entre les loteries l et l’, ils choisiront différemment.

Graphiquement :

Supposons maintenant que les probabilités sont quelconques, p1 et p2.• Toutes les loteries ((p1, m1), (p2, m2)) qui ont une même espérance m satisfont l'équation :

Elles sont représentables par une droite de pente

• Graphiquement :



• Chaque axe représente le gain associé à un état du monde particulier.• Chaque point du graphe représente les gains possibles d'une loterie.

• Une fois que les probabilités liées aux états du monde sont connues, on peut tracer la droite des loteries de même espérance de gain. Sa pente est de

• La droite à 45 degrés représente les loteries non risquées (les gains certains).

• Les préférences d'un agent sont représentées par des courbes d'indifférence, pour lesquelles les choix optimaux, à espérance constante, sont les loteries non risquées (de telles courbes d'indifférence ne peuvent être tracées qu'une fois connues les probabilités des états du monde).

• L'aversion au risque est représentée par la courbure des courbes d'indifférence: une courbe d'indifférence linéaire représente la neutralité par rapport au risque, une courbe d'indifférence "normale" représente une aversion positive au risque, une courbe d'indifférence en "L" représente une aversion infinie au risque.

• Comment représenter les préférences d'un agent s'il y a plus de deux états du monde (les différents états du monde correspondent à l’ensemble des réalisations possibles) (il est possible qu'il y ait une infinité d'états du monde, par exemple, le dividende d'une action peut prendre n'importe quelle valeur dans [0, d])?

• Supposons qu'il y a n états possibles.

• Représenter les préférences d'un agent sur les loteries ((p1, m1), (p2, m2), … ,(pn, mn)) revient à construire une fonction d'utilité sur de telles loteries, U (une loterie préférée est une loterie à laquelle est associé un plus haut niveau d'utilité).

Nous savons que :

Mais attention, l’utilité d’une loterie ne vaut pas l’espérance du gain.

• Construisons une fonction u décrivant l'utilité d'un gain isolé, et construisons-la concave, c'est-à-dire que l'utilité marginale du gain est décroissante (j'attache plus de valeur à augmenter mon gain de 0 à 1 euro que de 10 à 11 euros, par exemple), ou, si cette fonction u est différentiable, c’est que la dérivée est décroissante.

Et supposons que l'utilité d'une loterie vaut l'espérance de l'utilité des gains (à ne pas confondre avec l'espérance des gains):

Une telle fonction d'utilité U( ) est appelée fonction de Von-Neuman-Morgenstern.

Exemple : Est-ce que U((0.5, 0), (0.5, 2)) < U(1, 1) ? Ce qui revient à se demander si :Quentin Collard Page 4


0.5 * u(0) + 0.5 * u(2) < u(1), où u( ) est l'utilité du gain. Certaines personnes (averse au risque) préfèreront un gain plus petit mais certain qui (non averse au risque) qui tenteront le tout pour le tout.

• Graphiquement :

Exemple : Est-ce que U(( 1/3, 0), ( 2/3, 2)) < U(1, 4/3) ? C’est le même raisonnement que précédemment.

• Graphiquement :

Comment représenter deux niveaux différents d'aversion au risque?Soient deux fonctions d'utilité, u( ) et u’( ), correspondant à eux attitudes différentes face à des loteries différentes. On va constater ces 2 différences via le graphique suivant :



Plus les préférences manifestent de l'aversion au risque, plus la fonction d'utilité du gain qui sert à les représenter est concave.

• Comment représenter la neutralité par rapport au risque (seule l'espérance du gain importe)?

• Graphiquement :

N'importe quelle fonction u( ) linéaire permet de représenter un agent neutre face au risque.

4. Conclusion

La fonction d'utilité Von-Neuman-Morgenstern est un bon outil pour étudier les choix des acteurs économiques en situation d'incertitude, car ;

Elle est très simple (beaucoup plus simple que les outils concurrents).

Elle est cohérente avec un grand nombre d'observations.

5. Résumé

Notions de loterie, espérance du gain, risque, aversion pour le risque, degré d'aversion pour le risque (notamment la neutralité face au risque, l'aversion infinie au risque).Lorsqu'il n'y a que deux états du monde possibles, les préférences peuvent être représentées dans un graphe à deux dimensions ; les loteries de même espérance sont sur une droite; les loteries non risquées sont sur la droite à 45 degrés; lorsque l'aversion au risque est positive, les loteries non risquées sont toujours les loteries préférées. L'outil le plus général de représentation de l'agent économique face au risque est la fonction d'utilité de Von-Neuman-Morgenstern, pour laquelle l'utilité d'une loterie est égale à l'espérance de l'utilité des gains qui lui sont associés. L'aversion au risque est représentée par une fonction d'utilité des gains concave.



Chapitre 2 : La tarification par un monopoleur

1. Introduction

• Dans une transaction où le vendeur a une certaine liberté pour fixer son prix, il souhaite connaître la volonté à payer de l'acheteur. C'est un cas typique d'asymétrie de l'information.

• Qui en profite? Quelles sont (devraient être) les conséquences sur le comportement du vendeur.

• Nous allons voir le cas simple où le vendeur est un monopoleur. En fin de chapitre, nous comparerons avec le cas (beaucoup plus simple) de concurrence parfaite.

• L'information a de la valeur, elle permet à certains agents de s'approprier une partie du surplus qu'ils ne parviendraient pas à s'approprier si l'information était incomplète.

• L'asymétrie d'information peut également impliquer une perte de surplus total (c'est-à-dire qu'elle engendre un coût pour la société).

2. Présentation du modèle

• On suppose qu'il y a deux biens: le bien 1, produit par le monopoleur, et le bien 2, qui représente tous les autres biens, qu'on appellera monnaie: ce bien est le numéraire, son prix est normalisé à 1 (on parle donc en euros).

• Le monopoleur :

produit à un coût marginal constant de c, propose une tarification F,

Par exemple : 1) Un prix unique, quelle que soit la quantité: F(x1) = px1 ;2) Un abonnement, suivi d'un prix constant: F(x1) = F0 + px1 SI x1 > 0 et F0 pour

les frais fixes;3) Un double prix: p pour une petite quantité, p0 pour une quantité supérieure à un

seuil x1 ;4) Une offre à prendre ou à laisser: (x*

1 ; F(x*1)) ;

5) etc...

Cherche à maximiser son profit.

• Un consommateur est intéressé par le bien 1 qu'il consomme en quantité x1, et par les autres biens (la monnaie) qu'il consomme en quantité x2.

• Nous faisons l'hypothèse que sa fonction d'utilité est quasi-linéaire, c'est-à-dire,



Etant donné que la fonction U( , ) est linéaire en monnaie (un euro de plus augmente l'utilité de 1), elle mesure l'utilité en unités monétaires.

• La fonction v représente l'utilité que ce consommateur tire de la consommation du bien 1: on suppose que cette fonction est croissante (la volonté à payer pour le bien est toujours positive) et concave (la volonté à payer est décroissante):

• Cette fonction d'utilité U a une propriété remarquable: la maximisation de l'utilité, lorsque le consommateur fait face à une tarification F, est résolue de la manière suivante: maxx1,,x2 U(x1, x2) s.c. F(x1) + x2 ≤ y.

• Comme la fonction U( , ) est croissante dans chacun de ses arguments, la contrainte doit être liante(càd que la fonction satisfait avec égalité(=) et non avec inégalité(≤ )), le problème devient:

En annulant la dérivée, on obtient:

• La quantité optimale de bien 1 ne dépend pas du revenu y! Elle dépend uniquement de v et de F.

• C'est une hypothèse simplificatrice. Elle revient à dire que le bien 1 est petit dans le budget de ce consommateur.

• En conséquence, le surplus du consommateur, c'est-à-dire ce que le consommateur gagne, en bien-être, dans la transaction, peut se mesurer en monnaie. C'est donc également une mesure de la richesse créée par la transaction.

• Etape technique: déplacement d'un axe: plutôt que de mesurer x2, on va mesurer x2 - y, ce qui est « gagné » (c'est-à-dire l'opposé de ce qui est dépensé) par le consommateur dans la transaction. Donc, x2 = 0 représente à présent une dépense nulle, x2 = -1 une dépense de 1 euro, etc.

• Dans le graphe, le point qui représente la situation du consommateur avant la transaction devient la panier de coordonnées (0,0); la représentation ne dépend plus de y.



3. Un consommateur, un producteur, et un planificateur

Supposons qu'un planificateur bienveillant et omniscient décide de la quantité à produire, x1, et de la manière de répartir le surplus entre le consommateur et le producteur. S'il veut garantir un profit de au producteur, son programme est le suivant :

Sous la contrainte :

Le Lagrangien de ce programme vaut :

La solution :

Par conséquent, v0(x*1) = c, quel que soit le profit garanti au producteur, (c'est-à-dire, quelle

que soit la manière de répartir le surplus). La quantité produite est celle qui maximise le surplus.

4. Un consommateur, un monopoleur en information complète

• Le monopoleur choisira la tarification qui maximise son profit.• Le consommateur acceptera la transaction tant que U(x1, x2) ≥ U(0,0), c'est-à-dire :

v(x1) + x2 ≥ 0:

C'est la contrainte de participation (CP).

• Notons que x2 = - F, qui est égale a la valeur négative des dépenses.

• Le programme du monopoleur: maxx1,F F – c.x1 (F= aux recettes totales et cx1= à la production) sous la contrainte ;

v(x1) - F ≥ 0, ou F - v(x1) ≤ 0

• Comme la fonction objectif du monopoleur est croissante en F et décroissante en x1, la contrainte doit être liante: F* = v(x*

1), et donc U(x*1, F*) = 0.

• Le problème revient à maxx1 v(x1) - cx1, ce qui donne v’(x*1) = c.

• La solution est efficace, au sens où tout le surplus potentiel est réalisé (la quantité produite est la même que celle que le planificateur aurait produite).Quentin Collard Page 9


Le monopoleur accapare tout le surplus.

Plusieurs tarifications différentes peuvent mener à la solution, dont une tarification avec un bonnement et un prix constant de c, ou un contrat à prendre ou à laisser (x*

1, F*).

5. Plusieurs consommateurs, un monopoleur, information complète

• Plusieurs consommateurs: supposons qu'ils sont de deux types.

• Supposons que l'on peut ordonner les consommateurs selon leur goût pour le bien 1:

U(x1; x2) = gv(x1) + x2 .

• Les deux types: ga > gb.

• La volonté à payer des a est toujours supérieure à celle des b: c'est ce que l'on appelle la condition de single crossing; elle revient à dire que :

les courbes d'indifférence de deux agents aux goûts différents se croisent au plus une fois,

tous les consommateurs peuvent être rangés selon une seule dimension, le taux marginal de substitution d'un consommateur est en tout point supérieur (ou,

en tout point inférieur) à celui d'un autre consommateur. Comme l'information est complète, le monopoleur peut proposer deux contrats

différents (xa, Fa) et (xb, Fb) aux deux types d'agents, comme s'il faisait affaire avec les agents a et les agents b séparément. Il suffit donc de répliquer la solution précédente.

• Graphiquement :

Les droites représentent les différentes contraintes de budget des agents a et des agents b, représente le tarif (ou profit) du monopoleur pour a, représente le profit du monopoleur pour b, les trais avec des flèches représentent les frais fixes (ex : les forfaits d’abonnements téléphoniques), les traits en gras sur l’axe x2 représentent les frais variables (ex : les minutes supplémentaire du forfait), et représente ce que devrait payer le consommateur a et b au total.Quentin Collard Page 10


• De nouveau, plusieurs systèmes de tarification permettent d'atteindre cet objectif, notamment une double tarification à prendre ou à laisser.

• Avec le système de tarification à abonnement et prix constant, il faut que p = c pour chacun des deux contrats.

• La solution est efficace: tout le surplus potentiel est créé.

• Tout le surplus est accaparé par le monopoleur.

• La solution est généralisable à plus de deux agents.

• Qu'arriverait-il si le monopoleur proposait ces deux menus mais ne pouvait observer les paramètres de préférences (c'est-à-dire ne parvenait pas à distinguer les agents a des b)? Les agents de type a pourraient se faire passer pour des agents de type b. Ils consommeraient moins, mais payeraient tellement moins qu'ils s'en trouveraient mieux.

6. Plusieurs consommateurs, un monopoleur, information incomplète

• Supposons à présent que le monopoleur est incapable de distinguer les agents de type a des agents de type b, mais connait la probabilité de faire face à un consommateur de chaque type, qa et qb respectivement.

• Un consommateur de type a peut se faire passer pour un consommateur de type b. C'est un cas d'anti-sélection (en anglais, adverse sélection).

• Supposons que le monopoleur se limite aux offres à prendre ou à laisser (c'est sans perte de généralité), (xi

a , Fia) et (xi

b , Fib).

• Le monopoleur est en situation d'incertitude. Supposons qu'il est neutre au risque (ce qui signifie qu'il fait face à beaucoup de consommateurs, de sorte que, par la loi des grands nombres, il est certain qu'il fait face à une proportion qa d'agents de type a, et qb d'agents de type b).

• Son objectif est de maximiser

• Il doit tenir compte de deux contraintes de participation (appelons-les CPa et CPb):



• En plus, le monopoleur doit tenir compte de l'incitant que des consommateurs d'un type pourraient avoir de se faire passer pour des consommateurs d'un autre type. En d'autres termes, il faut que chaque consommateur soit d'accord de prendre le contrat qui lui est destiné. Ce sont les contraintes de compatibilité avec les incitants (appelons-les CIa et CIb).

Est-il possible que toutes les contraintes soient liantes? Cela signifierait que :

ce qui ne peut être vrai que si xia = xi

b = Fia = Fi

b , auquel cas le profit du monopoleur est nul. Cela ne peut donc pas être la solution.

• On peut montrer que si CPb et CIa sont satisfaites, alors les deux autres contraintes le sont aussi. En effet, par CIa ,

• Par le fait que ga > gb ,

• Par CPb ,

• Par transitivité ,

ce qui signifie que CPa est satisfaite.

• On a vu précédemment (et c'est parfaitement intuitif) que les agents a peuvent avoir intérêt à se faire passer pour des agents b, mais pas le contraire (vous n'avez jamais intérêt à essayer de faire croire à un monopoleur que votre volonté à payer pour le bien qu'il vend est supérieure à sa valeur réelle).

• Le problème devient :

sous les contraintes



• Est-il possible que la solution consiste pour le monopoleur à n'offrir qu'un contrat à prendre ou à laisser (xi , Fi)?

• Par l'hypothèse de « single crossing », nous savons que la volonté de payer des agents a est toujours plus élevée que celle des agents b.

• Il y a donc 3 cas à considérer : 1) où les volontés à payer des deux types d'agents sont supérieures à c, et, donc, celle des agents a est strictement supérieure, 2) où les volontés à payer des deux types d'agents sont inférieures à c, et celle des agents b l'est strictement, où 3) la volonté à payer des agents a est supérieure à c et celle des agents b inférieure, l'une des deux strictement.

• Or, dès que les agents a sont prêts à payer plus que c, il est profitable de leur proposer un contrat spécifique (xi

a , Fi ) avec xia > xi et Fi

a > Fi + c(xia - xi).

c représente le coût marginal

• Le même type de raisonnement tient lorsque les agents b sont prêts à payer moins que c.

Ceci démontre que, sous nos hypothèses, il n'est jamais optimal pour le monopoleur de n'offrir qu'un contrat. Pour le dire autrement, l'équilibre ne peut pas être mélangeant.

• Par conséquent, un monopoleur rationnel devrait offrir autant de contrats différents qu'il a de types de consommateurs.

• Nous devons donc chercher deux contrats optimaux (xia , Fi

a) et (xib , Fi

b) différents.

• Un candidat à l'équilibre serait : xia = x*

a, xib = x*

b , Fib = F*

b et F*a serait calculé pour

que la contrainte de CI soit juste satisfaite.

• Graphiquement :



Il est impossible que ce soit la tarification optimale. Le monopoleur peut augmenter son profit en modifiant sa politique comme suit :

Il diminue xib, et donc Fi

b ; il prélève ainsi moins de surplus sur les agents b. Ce faisant, il diminue l'envie qu'ont les agents a de se faire passer pour des

agents b. Il peut donc augmenter le prix payé par les agents a, et accaparer une plus

grande part de leur surplus. Au total, en fonction de la proportion d'agents a et b, il augmente le profit total.

Graphiquement, les contrats optimaux ont la forme suivante.

Démontrons ce résultat algébriquement :

• L’objectif du monopoleur est de :

• Sous les contraintes :

• Le Lagrangien vaut :

• Les conditions du premier ordre sont :



• On en déduit µ = qa et µ = qa + qb = 1.

• Par conséquent, gav’(xia) = c, c'est-à-dire que la quantité achetée par les agents a est

celle qui maximise leur surplus.

• Il reste à trouver la valeur de xib, à partir de :

• D'où :

• Et,

Puisque , de sorte que , la fraction qui multiplie c est supérieure à 1.

• Si , alors nous avons une solution de coin avec xib = 0.

• Nous venons de démontrer que la solution optimale présente les caractéristiques suivantes :

Il y a deux contrats (autant que de types d'agents). L'équilibre est dit séparant. Cela signifie que, l'information (= le type = le goût pour le bien produit) est révélée!

La quantité achetée par les agents a (ceux qui ont la volonté à payer pour le bien la plus élevée) est la même que si le monopoleur avait toute l'information.

Par contre, le tarif qu'ils payent est moindre que si l'information était complète. Ces agents sont donc strictement mieux quand l'information est incomplète (formellement, gav(xi

a) - Fia > 0). Ils bénéficient d'une rente informationnelle.

La quantité achetée par les agents b (dont le goût pour le bien produit est moins prononcé), est plus petite que si l'information était complète. Leur demande est volontairement distordue par le monopoleur, avec comme conséquence que le surplus créé lors de cette transaction est moindre que si le monopoleur observait les goûts.

Par contre, les agents b payent moins, et leur utilité n'est pas affectée par l'asymétrie de l'information.

Le surplus total est moindre que si l'information était complète (en raison de la distorsion). On dit alors que cette solution est optimale de second rang, contrairement à la solution optimale

de premier rang obtenu quand l'information est complète.



7. Concurrence parfaite

• Faisons un rapide détour par la concurrence parfaite. Supposons que les firmes sont si nombreuses que leurs profits sont nuls, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent rien faire d'autre que de proposer p = c : elles sont « price takers. »

• Faisant face à ce prix, les agents choisissent librement leurs quantités et demanderont x*

a et x*b , qu'ils payeront respectivement cx*

a et cx*b .

• Cet équilibre est efficace, le surplus est maximal.

• Tout le surplus est accaparé par les consommateurs.

• Que les producteurs soient informés ou pas des goûts de leurs clients n'a pas d'importance: l'information est devenue non pertinente.

• La plupart des marchés réels ne sont si pas monopolistiques, ni concurrentiels. Ce que l'on peut déduire de ce qui précédé, c'est que plus il y a de concurrence, plus le surplus est distribué vers les consommateurs, plus le surplus total est élevé, et moins l'asymétrie de l'information importe.

8. En résumé

• Asymétrie d'information, (fonction d'utilité quasi-linéaire), anti-sélection, contrainte de participation, contrainte de compatibilité avec les incitants, rente informationnelle, équilibre mélangeant ou séparant, distorsion, équilibre optimal de premier rang, équilibre optimal de second rang.

• Tout équilibre est séparant.

• Les agents possédant la « bonne » information (ici, ceux qui sont prêts à payer le plus pour le bien) obtiennent une rente informationnelle.

• Les agents possédant la « mauvaise » information ne sont pas affectés par l'asymétrie d'information en terme de bien-être, mais, par contre, il y a une distorsion de la quantité qu'ils achètent.

• L'asymétrie d'information entraîne une perte de surplus total.

• En concurrence parfaite, l'équilibre est efficace, tout le surplus est accaparé par les consommateurs, et l'information dont disposent les producteurs devient non pertinente.



Chapitre 3 : les marchés de l’assurance

1. Introduction

• L'étude du marché de l'assurance permet d'illustrer les concepts et les idées rencontrés dans les chapitres précédents.

• Les agents qui souhaitent s'assurer font face à un risque.

• Ils sont en général mieux informés sur la nature de ce risque que les compagnies d'assurance. L'information est de nouveau asymétrique.

• Les des conclusions sont semblables à celles que nous avons tirées du chapitre 2.

• Voici le genre d'observation que l'on peut faire sur le marché de l'assurance. En Suisse, les assurés ont le choix entre différents contrats d'assurance en soin de santé. Les contrats différents en termes de franchise et de prime (la franchise est la part d'un dommage qui reste, malgré l'assurance, à charge de l'assuré, la prime est le montant fixe que paye l'assuré à l'assureur). Lorsque la franchise est plus grande (l'assurance est moins bonne) la prime est plus faible. On a observé le taux de mortalité suivant, en fonction de l'âge et du choix du contrat.

Comment peut-on expliquer que les moins bons contrats (ceux où la franchise est la plus élevée) ont été choisis par les personnes en meilleure santé (celles dont le taux de mortalité s'est avéré le plus bas)?

2. L'assuré

• Supposons qu'un agent fait face à un risque (risque d'accident de voiture, risque d'hospitalisation, etc.). Pour simplifier, supposons qu'il y a deux états possibles: accident ou pas d'accident. Un accident lui fait encourir une perte de L.

• Sans accident, sa richesse finale sera de y. En cas d'accident, elle sera de y - L.

• Supposons, pour commencer, que le risque d'accident est de 0.5. Il fait face, en l'absence d'assurance, à la loterie suivante: l = ((0.5 , y), (0.5, y - L)).



• Il peut acheter un contrat d'assurance. Au prix F, la prime d'assurance, il peut se garantir d'être remboursé z s'il a un accident.

• Ainsi, s'il s'assure en achetant un tel contrat, il fait face à la loterie : ((0.5 , y - F), (0.5 , y - F - L + z)).

• Nous faisons l'hypothèse que cet agent présente de l'aversion au risque. Il préfère strictement la loterie l’ = ((0.5 , y – L/2 ), (0.5 , y – L/2 )) à la loterie l.

• Dans ce cas, cela signifie qu'il est prêt à sacrifier une partie de sa richesse pour diminuer le risque auquel il fait face.

• S'il accepte un contrat (F , z), cela signifie qu'il est prêt à renoncer à une espérance de gain au profit d'une diminution du risque. Si l'accident ne se produit pas, sa richesse finale sera de y - F au lieu de y. Si l'accident se produit, elle sera de y - L - F + z au lieu de y - L. En espérance, sa diminution de richesse sera de :

Soit u sa fonction d'utilité de la richesse. Cette fonction est (strictement) concave. La loterie sans risque de même utilité que l est une loterie l’’ = ((0.5 , x), (0.5 , x)) où x est défini par :

• Graphiquement :

3. L'assureur

• Supposons qu'il y a une seule compagnie d'assurance, en situation de monopole. Supposons de plus qu'elle est neutre au risque (ce qui correspond à l'idée qu'elle a énormément de clients de même type), de sorte qu'elle est « certaine » que 50% de ses assurés auront un accident et les 50% restants n'en auront pas.

• Cette compagnie d'assurance va essayer de maximiser son profit espéré, mais comment fait-elle du profit?Quentin Collard Page 18


• Si les termes du contrat sont (F; z), son profit espéré est de :

• Le profit espéré de l'assureur est égal à la perte de revenu espéré de l'assuré.

Par exemple : si le contrat est de (L/2 , L), ce qui signifie que l'assuré paye une prime de L/2 et l'assureur rembourse L en cas d'accident, l'assuré se retrouve avec la loterie l’, et le profit espéré est de

• Si le contrat est celui qui amène l'assuré à la loterie l’’, le profit espéré est de :

½(y - x) c’est quand l’agent est assuré mais n’a pas d’accident ½(y - L - x) c’est quand on est assuré et qu’on a un accident Le tout est égal au profit espéré de la firme

• Graphiquement, pour un contrat quelconque (F , z), le profit espéré est proportionnel à la distance entre la droite qui passe par l et la droite de même pente (la pente est déterminée par le rapport entre les probabilités des 2 états du monde possibles) passant par la loterie ((0.5 , y - F), (0.5, y - L - F + z)).

Le trait en gras sur l’axe pas d’accident représente ce que l’on paye pour bénéficier de l’assurance (c’est ce qu’un agent est prêt à renoncer pour éviter le risque d’avoir un accident)

Le trait en gras sur l’axe accident représente ce que l’assureur va perdre en cas d’accident si il propose ce type de contrat à l’assuré.

l = accident/pas accident sans assurance l = ((0.5 , y), (0.5, y - L)).

l’= aversion pour le risque (loterie sans risque) l’ = ((0.5 , y - L/2 ), (0.5 , y - L/2 ))



4. Un assuré, un assureur, information complète

• L'assureur va proposer à l'assuré un contrat (F , z) qui maximise son profit et qui respecte la contrainte de participation de l'assuré.

• Celle-ci s'écrit:

U((0.5 , y - F), (0.5 , y - L - F + z)) ≥ U((0.5 , y), (0.5 , y - L)):

• Graphiquement, on voit que :

tout contrat sur une droite de loterie de même espérance donne le même profit espéré au monopoleur ;

le monopoleur veut choisir un contrat où le revenu espéré de l'assuré est le plus faible, tout en satisfaisant la contrainte de participation;

le contrat qui sera choisi par le monopoleur est le contrat correspondant à la loterie l’’ pour l'assuré.

• Le partage du risque est optimal: le monopoleur, qui est neutre au risque, prend tout le risque sur lui; l'assuré se retrouve avec une loterie sans risque.

• Le profit est maximisé, ce qui correspond à une solution de premier rang du chapitre précédent.

• Nous pouvons démontrer ce résultat algébriquement. Le programme du monopoleur est le suivant: maxF,z 0.5F +0.5(F - z) sous contrainte de participation :

0.5u(y - F) + 0.5u(y - L - F + z) ≥ 0.5u(y) + 0.5u(y - L)

on peut faire disparaître tous les 0.5

Les deux premières conditions du premier ordre (=dérivée 1er) sont :

D’où

ce qui signifie que λ ≥ 0 puisque u’ est strictement positive, de sorte que la contrainte doit être liante.



• Utilisant la valeur de λ dans la première équation, on obtient

• ce qui donne :u’(y - F) = u’(y - L - F + z)

Etant donné que la fonction u est (strictement) concave et strictement croissante, cette équation ne peut être vérifiée que si y - F = y - L - F + z, c'est-à-dire si L = z : l'assurance est parfaite, c'est-à-dire qu'en cas d'accident, l'assuré sera exactement remboursé du montant perdu.

5. Plusieurs assurés, un assureur, information complète

• Comme au chapitre 2, nous allons supposer qu'il y a deux types d'assurés: les agents a qui ont un risque élevé (disons 0.5) et les agents b qui ont un risque faible (disons 0.25).

• Supposons aussi que les y et L sont les mêmes entre ces deux types d'agents (ils ne différent qu'en terme de la probabilité d'encourir la perte).

• Comme au chapitre précédent, cela revient à résoudre deux fois le problème du monopoleur. On en déduit les loteries d'équilibre l’’a et l’’b .

• L'assureur prend donc tout le profit (tout le surplus).

• Les assurés sont débarrassés du risque. Le partage du risque est optimal. La situation est efficace (les quantités d'assurance sont celles qu'auraient choisies un planificateur bienveillant et omniscient).

• Graphiquement, on peut superposer les graphes des deux types d'agents (les droites des loteries de même espérance ont des pentes différentes).

La partie en couleur représente la zone dans la quelle l’assuré est tellement bien assuré, qu’il toucherait plus en faisant un accident que s’il n’en faisait pas.Quentin Collard Page 21


• Qui aurait intérêt à se faire passer pour un autre ? Les personnes ayant une plus grande utilité pour un certain contrat, choisiront de changer de et de ce diriger vers d’autres contrat qui sont préférés (exemple vu au TP avec les jeunes et les vieux)

6. Plusieurs assurés, un assureur, information incomplète

• De nouveau, l'asymétrie de l'information oblige le monopoleur à tenir compte des contraintes de compatibilité avec les incitants: les agents à haut risque ne doivent pas avoir d'incitant (ou intérêt) à se faire passer pour des agents à faible risque (l'opposé étant non pertinent).

• Ce sont donc les agents au haut risque qui ont la bonne information. On aurait pu croire que la bonne information était détenue par les agents en meilleure santé, parce qu'ils ont moins de risque d'encourir la perte. Mais, contrairement à cette intuition, la bonne information est détenue par les agents en moins bonne santé, parce qu'ils sont davantage enclins à prendre une assurance, c'est-à-dire à payer cher pour être couverts.

• Un seul contrat n'est pas optimal: cela se montre comme au chapitre 2.

• Les agents au risque le plus faible ne seront donc pas entièrement couverts (c'est la distorsion) et ne sont pas mieux que sans assurance.

• Les agents au risque élevé sont entièrement couverts et ont une rente informationnelle.

• Graphiquement, le contrat offert aux agents de type a (qui ont un risque élevé) est le contrat li

a sans risque (pas de distorsion), que ces agents préfèrent strictement à l'absence de contrat, et le contrat offert aux agents de type b (qui ont un risque faible) est le contrat li

b qui est risqué (distorsion), et qui n'est pas strictement mieux que l'absence de contrat.

7. Conclusion

• Quelle politique de prix pour un monopoleur?



Première question: de quelle information dispose-t-il concernant les types de ses clients potentiels?

S'il peut observer les types, il proposera un contrat par type d'agents, chaque contrat étant prévu pour maximiser son profit par transaction.

S'il n'observe pas les types de ses clients, il peut être optimal pour lui de distordre le contrat des « mauvais » clients pour les séparer des « bons » et obtenir un grand profit du contrat conclu avec les « bons » clients.

• Quelle conclusion (normative) pour le planificateur ? La concurrence parfaite, quand elle est possible, est la structure de marché la plus bénéfique pour les consommateurs. Elle n'élimine pas l'asymétrie d'information mais fait disparaître les distorsions.

Chapitre 4 : La manipulabilité des règles de décisions collective

1. Introduction

• Dans ce chapitre, nous étudions un type différent d'asymétrie de l'information.

Celui qui doit écrire le contrat n'a pas d'intérêt privé. L'information privée d'un agent est constituée par ses préférences, c'est-à-dire la

valeur qu'ont pour lui les décisions possibles. Il y a plusieurs agents, chaque agent a de l'information privée, et le résultat, c'est-à-

dire la décision qui sera prise, dépend de toute l'information.

Par exemple: une constitution, plusieurs firmes ou un groupe de citoyens ou un groupe de pays devant choisir un projet commun, des citoyens devant élire un représentant, les membres du CA d'une entreprise devant faire un choix stratégique, etc…

2. Exemples de règles de décision collective

Rappel:La règle de Borda (voir: 1re partie, chapitre 1): chaque participant donne zéro point à l'option qu'il aime le moins, 1 point à l'option juste meilleure, ..., et n - 1 points à son option préférée, et l'option retenue est celle qui totalise le plus grand nombre de points.

• Dans la situation suivante, où l'on suppose qu'il y a deux agents, {1, 2}, et quatre options, {a, b, c, d}, l'agent 1 a-t-il intérêt à révéler ses préférences?



• S'il annonce abcd, la décision sera b (puisque le score de b est de 2+3=5 alors que le score de a est de 3+1=4). S'il annonce adcb, la décision sera a (puisque le score de a est dans ce cas de 3+1=4 alors que le score de b n'est que de 3+0=3).

• Donc, dans ce cas, l'agent 1 n'a pas intérêt à révéler ses préférences. Il a intérêt à voter stratégiquement. Il a intérêt à se faire passer pour un agent de type adcb, parce qu’alors b sera égal à 3+0 = 3, donc ce sera a qui l’emportera !

• S'il ne connait pas les préférences de l'agent 2, il fait face à un dilemme: voter selon ses préférences ou stratégiquement ?

• Supposons que la règle est la règle majoritaire à deux tours (comme dans l'élection présidentielle française).

• Dans le profil suivant (les chiffres de la première ligne du tableau indiquent le nombre d'agents ayant les préférences correspondantes), les deux options qui passent le premier tour sont a et c (avec 6 voix chacune), au second tour, c l'emporte (11 voix contre 6 voix).

• Si un électeur de type abc se fait passer pour un électeur de type bca, c'est-à-dire vote pour b et non pour a, les deux options qui passent le premier tour sont b et c (avec 6 voix chacune); au second tour, b l'emporte (11 voix contre 6), si bien que le résultat est meilleur pour les électeurs de type abc s'ils se font passer, au premier tour, pour des électeurs de type bca plutôt que s'ils votent selon leurs préférences. De nouveau, un vote stratégique est profitable.

• De nouveau, l'exemple précédent supposait que les électeurs de type abc savaient comment les autres allaient voter. En réalité, l'information n'est pas complète, mais les sondages donnent une image statistique de plus en plus fiable des préférences des électeurs.

3. Non-manipulabilité et efficacité

• On dit qu'une règle de décision est manipulable si, dans ne fut-ce qu'un cas possible, c'est-à-dire pour un profil donné des préférences des autres agents, un agent gagne en ne révélant pas ses véritables préférences. L'idéal consiste à identifier des règles non manipulables.



• La manière la plus simple d'être non-manipulable consiste à ne pas tenir compte des préférences. Par exemple, la règle qui sélectionne toujours a est non-manipulable.

• C'est non-démocratique, non respectueux des libertés, etc...

• Une manière (minimale) de tenir compte des préférences consiste à appliquer le principe d'unanimité : si tout le monde préfère l'option a à l'option b, alors b ne peut être choisi: c'est l'efficacité au sens de Pareto.

• Un exemple de règle efficace et non-manipulable: choisir un agent et en faire un dictateur: la règle sélectionne toujours l'option que le dictateur préfère (il est donc impossible de faire au moins aussi bien pour tous!).

• C'est très inéquitable. Existe-t-il d'autres règles efficaces et non-manipulables?

• Le théorème de Gibbard et de Satterwhaite dit : « Si tous les goûts sont dans la nature, alors les seules règles efficaces et non-manipulables sont les règles dictatoriales ».

• Démontrons ce théorème dans le cas le plus simple : deux agents {1,2} et trois options {a, b, c}.

• « Tous les goûts sont dans la nature » signifie dans ce cas que toutes les préférences imaginables sont possibles: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

• Une règle de décision collective est une fonction f : {abc, … , cba}2 → {a, b, c}.

Un exemple de règle:

Note: il y a 336 règles possibles.(càd qu’ayant 3 choix et 6x6 choix cela nous donne 336)

• L'efficacité restreint les choix possibles comme suit: on élimine, pour chaque profil de préférences des agents, les options que les agents, unanimement, trouvent moins bien qu'une autre option. Par exemple, si le profil est (abc, bca), c'est-à-dire si l'agent 1 préfère a à b et b à c tandis que l'agent 2 préfère b à c et c à a, alors l'option c est dominée par b et seules les options a et b sont efficaces.



• Pour aboutir à la sélection d'une option unique par profil de préférences, il faut affiner la règle. Pour le profil (abc, bac), par exemple, il faut choisir entre a et b. Supposons que f(abc, bac) = a. Quelles conséquences doit-on en tirer?

♦ 1: Sinon, 1 manipule (acb, bac) en annonçant abc.♦ 2: Sinon, 2 manipule (abc, bac) en annonçant bca.♦ 3: Sinon, 1 manipule (acb, bca) en annonçant abc.♦ 4: Sinon, 2 manipule (abc, bca) en annonçant cab.♦ 5: Sinon, 1 manipule (acb, cab) en annonçant abc.♦ 6: Sinon, 2 manipule (abc, bca) en annonçant cba.♦ 7: Sinon, 1 manipule (acb, cba) en annonçant abc.♦ 8: Sinon, 1 manipule (bac, cba) en annonçant abc.♦ 9: Même raisonnement que supra, en remplaçant a par b.♦ 10: Même raisonnement que 8 et 9, en remplaçant b par c.

4. Et si tous les goûts ne sont pas dans la nature?

• Il est possible d'échapper au théorème négatif de Gibbard-Satterthwaite dans certains cas où toutes les préférences ne sont pas possibles.

• Supposons que toutes les préférences possibles sont {abc, bac, bca, cba}.

• C'est comme si les options a, b et c peuvent être rangées de gauche à droite sur une ligne et chaque électeur a une option préférée à partir de laquelle les options sont d'autant plus mauvaises qu'elles en sont éloignées.

• La règle suivante est efficace et non-manipulable : l'option b, qui est, a priori, un bon compromis puisque c'est l'option du milieu, est sélectionnée, sauf si les deux électeurs préfèrent tous les deux a, ou s'ils préfèrent tous les deux c.Quentin Collard Page 26


• Cette règle est aussi anonyme, c'est-à-dire que le résultat ne dépend pas de qui exprime telle ou telle opinion, mais seulement des opinions elles-mêmes.

• Cette règle est représentée comme ceci :

• Ce n'est pas la seule règle efficace, non-manipulable et anonyme (le tableau est symétrique).

5. Conclusion - résumé

• Règle de décision collective, (non-)manipulabilité, efficacité (=unanimité), règles dictatoriales, anonymat.

• Si tous les goûts sont dans la nature, alors toute règle de décision collective efficace et non-manipulable est dictatoriale (Gibbard-Satterthwaite).

• Si tous les goûts ne sont pas dans la nature (certaines préférences ne se rencontrent pas), alors il est parfois possible de définir des règles non-manipulables, efficaces et anonymes.

• Remarque: le principe d'efficacité de Pareto est faible (il n'exclut pas les règles dictatoriales) ; cela signifie qu'il doit être accompagné d'autres principes, mais cela ne signifie pas qu'il doit être abandonné.

• La leçon à tirer de ces quelques résultats est pessimiste: en général, soit les acteurs économiques ont intérêt à mentir (manipuler), soit la décision qui est prise n'est pas efficace. Il convient donc d'essayer de définir les institutions les moins mauvaises, ou les moins inefficaces mais qui donnent les bons incitants aux agents. C'est tout l'objet de la théorie du mechanism design.



Chapitre 6 : Le contrat de travail

1. Introduction

• Nouveau type d'asymétrie d'information: un agent choisit une action qui affecte le résultat d'un autre agent mais qui est inobservable.

L'exemple par excellence est celui du choix de la quantité d'effort, ou de la qualité du travail, d'un employé.

• Comme aux chapitres 2 et 3, celui qui écrit le contrat a un intérêt privé : il voudrait que l'agent choisisse telle ou telle action plutôt que telle autre.

Exemples : actionnaire-manager, employeur-employé, compagnie d'assurance-assuré, électeur-élu, propriétaire-locataire, etc...

• On dit qu'un principal confie une tâche à un agent et fait face à un risque d'aléa moral.

• La démarche est positive.

2. Employeur-employé

• De nouveau, nous essayons de définir le modèle le plus simple qui permet d'étudier cette question.

• Deux niveaux d'effort: {0,e}, 0 < e ;

• Deux états du monde: l'état normal, n, où le surplus vaut s, et le bon état, b, où le surplus vaut S. Le surplus est une quantité monétaire, la valeur ajoutée liée au travail de l'employé, que le principal et l'employé doivent se partager.

• Si l'employé choisit 0, le surplus vaut s dans tous les cas.

• Si l'employé choisit e, le surplus vaut s avec probabilité 0.5, et S avec probabilité 0.5. En effet, ce qui est essentiel dans ce genre de transaction, c'est qu'un effort élevé (un travail de qualité) n'est pas suffisant pour un bon résultat.

• L'employeur décide de la rémunération de l’employer, y, et, par conséquent, de son profit :



• L'utilité (à bien travailler) de l'employer dépend de son salaire, y, et du coût de l'effort.

• Si son niveau d'effort est de 0, son utilité vaut v(y) ; si son niveau d'effort est de e, son utilité vaut v(y) - e.

• Face à l'incertitude, l'employé à des préférences de type Von Neuman-Morgenstern (il maximise l'utilité attendue) ; de plus il présente de l'aversion au risque : v est concave.

• Par conséquent, si son salaire dépend de l'état du monde, y {yn , yb}, son utilité sera de :

Le ½ vient du fait que la probabilité d’avoir s ou S est de ½ si le travailleur fournit un travail e !

• Si l'employé n'est pas engagé par cette firme, son utilité est de v0. C'est l'utilité de réserve.

• Définissons y0 et ye0 les salaires qui, s'ils sont reçus avec certitude, laissent l'employé

indifférent entre (i) être engagé, fournir un effort 0 et gagner y0, (ii) être engagé, fournir un effort e et gagner ye

0, et (iii) ne pas être engagé:

v(y0) représente le travail sans effort, v(ye0)

• Graphiquement :

Les droites v0 représentent les courbes d’indifférences pour un salaire de y0, si le contrat proposé se trouve en dessous des ces droites, alors le travailleur préfèrera

chômer.



• Graphiquement, si l’effort est de e :

Les courbes v0 représentent toujours les courbes d’indifférences du travailleur, mais cette fois-ci dans le cadre d’un effort e. La façon de procéder pour les

contrats est la même vu juste au dessus

• Si on superpose les deux graphes :

• L'employeur : son profit vaut soit πn = s - yn , soit πb = S - yb .

• Son profit espéré vaut :

On suppose que l'employeur est neutre au risque.

• Pourquoi? On peut justifier cette hypothèse de manière similaire à ce qui a été dit dans les chapitres précédents. Un employeur peut diminuer le risque lié à son chiffre d'affaires en diversifiant ses produits. Par exemple, en produisant à la fois des parapluies et des lunettes solaires, un producteur diminue sa dépendance par rapport à la météo. Un gestionnaire de portefeuille est le mieux placé pour diversifier ses risques, en investissant dans un maximum de firmes différentes. En investissant dans de nombreuses sociétés, il est « certain » que, si l'effort des employés de ces sociétés vaut e, alors 50% des sociétés vont dégager un surplus de S, et les 50 autres un surplus de s.Quentin Collard Page 30


3. Le contrat optimal en information complète

• Supposons que l'employeur observe l'effort: il peut choisir (yn , yen , ye

b ).

• Supposons qu'il est le seul demandeur de travail sur ce marché.

• Il fait face à la contrainte de participation de l'employé :

• Si l'effort est observable, il est très facile pour l'employeur d'obtenir le niveau d'effort qu'il souhaite : s'il souhaite effort = 0, il suffit que ye

n et yeb soient suffisamment bas ;

s'il souhaite effort = e, il suffit que yn soit suffisamment bas.

• Supposons que effort = e soit plus profitable, le problème de l'employeur est de

• sous les contraintes :

• Le Lagrangien donne :

• Les conditions du premier ordre donnent :

• On en déduit que , et donc λ > 0. La contrainte est donc liante, parce que les dérivées sont = 0.

• On en déduit aussi que v’ (y*n) = v’(y*

b) = 1 y*n = y*

b = y* . λ

• Ceci signifie que dans le contrat optimal de premier rang (c'est-à-dire lorsque l'information est complète), le salaire de l'employé ne dépend pas de l'état du monde.Quentin Collard Page 31


• Comme au chapitre 3, le partage du risque est optimal : le principal, neutre au risque, se charge de tout le risque et assure l'agent.

• Vouloir « intéresser » les employés au résultat de la firme n'a pas de sens dans ce cas-ci, puisque tout contrat tel que y*

n ≠ y*b rapporte moins à l'employeur que le contrat optimal

de premier rang.

• La contrainte de participation est liante, donc v(y*) - e = v0 , donc y* = ye0.

4. Contrat optimal sous information incomplète

• L'effort n'est plus observable. Le contrat se réduit à (yn , yb), puisque le niveau de surplus, lui, est observable.

• Si yn = yb = y, il est rationnel pour l'employé de choisir un effort de 0:

• Si l'employeur se contente d'un effort de 0, son programme est de maxy s-y sous contrainte v(y) ≥ v0 , ce qui donne un salaire de , tel que .

• Si l'employeur veut inciter l'employé à choisir e , il faut que yn < yb.

• L'employé choisira e si et seulement si :

C'est la contrainte de compatibilité avec les incitants.

• Quel contrat est compatible avec les incitants? Quel contrat maximise le salaire espéré de l'employé? Quel contrat maximise le profit de l'employeur? Graphiquement :



• Supposons que le contrat proposé est a. En choisissant un effort de e, l'employé a une utilité espérée de v0, alors qu'en choisissant un effort de 0, il a une utilité espérée strictement supérieure à v0 (puisque la courbe d'indifférence est supérieure à celle qui passe par y0. L'employé préfère donc fournir un effort bas.

• Supposons que le contrat proposé est b. En choisissant un effort de e, l'employé a une utilité espérée strictement inférieure à v0, alors qu'en choisissant un effort de 0, il a une utilité espérée égale à v0. L'employé préfère donc fournir un effort bas.

• Si le contrat proposé est c, l'employé préfère ne pas accepter le contrat. En effet, qu'il choisisse un effort de 0 ou de e, son utilité espérée est inférieure à v0.

• Si le contrat proposé est d, qu'il choisisse un effort de 0 ou de e, son utilité espérée est égale à v0, de sorte qu'il est indifférent entre un effort bas, élevé, ou quitter la firme.

• Si le contrat proposé est e, l'employé préfère strictement un effort élevé à un effort bas.

• Le salaire espéré, pour un effort élevé, est le même en a, b et c. Il est plus élevé en d, encore plus élevé en e.

• Par conséquent, le profit espéré de l'employeur est le plus faible en e, est supérieur en d, et le plus élevé en a, b, ou c, si l'effort est élevé.

• Le contrat optimal (de second rang) est donc le contrat d, où l'employé choisit un effort de e et où, parmi les contrats tels que l'employé choisit e le profit de l'employeur est maximum.

• Confirmons çà de façon algébrique ; Le programme de l'employeur consiste en :

• Sous les contraintes :

• Les deux premières conditions du premier ordre s’écrivent :



• On en déduit :

Par conséquent, µ > 0 et la deuxième contrainte est liante, c’est-à-dire

, qui peut s’écrire

• Puisque e > 0, on déduit de cette relation que v(yn) – v(yb) > 0, ce qui implique λ > 0: les deux contraintes sont liantes.

• On calcule aussi, à partir des conditions du premier ordre :

• et donc,

• Il faut que :

En soustrayant la première équation de la deuxième, cela donne , c'est-à-dire .

• Qu'en est-il du profit de l'employeur?

• à comparer avec si l'effort est observable.

• Etant donné que , et étant donné que l'employé présente de l'aversion au risque, le profit de l'employeur est moindre.

• En raison de l'asymétrie d'information, le contrat optimal de premier rang n'est plus possible.

• Par rapport au contrat optimal de premier rang, le contrat de second rang est tel que l'employeur y perd en terme de profit espéré, alors que l'employé est inaffecté en terme d'utilité espérée, mais le contrat présente un certain risque.

• La perte de profit espéré est d'autant plus grande que l'employé présente de l'aversion au risque.



• Par conséquent, si l'aversion au risque est trop élevée, l'employeur a intérêt à « demander » à l'employé un effort faible (et lui offrir un salaire certain); cette limite sera d'autant plus vite atteinte que le gain lié à un effort élevé (S - s) est faible.

5. Résumé

• Principal, agent, aléa moral, utilité de réserve (contrainte de participation, contrainte de compatibilité avec les incitants, optimalité de premier rang, optimalité de second rang).

• En information complète, le salaire ne dépend pas du résultat de l'entreprise.

• En information incomplète, le salaire dépend du résultat:

l'employé n'y gagne rien, n'y perd rien (en utilité espérée), l'employeur y perd (en profit espéré), il peut devenir rationnel de ne pas chercher à inciter l'employé à choisir un effort

élevé.


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Synthèse Microéconomie 2007/2008...Synthèse Microéconomie 2007/2008 On peut représenter la relation de préférence par une fonction d’utilité notée U(x): U(x) ≥ U(y) x