Système de Yang-Mills-Vlasov pour des Particules avec Densité de Charge de Jauge Non-Abélienne sur un Espace-Temps Courbe :

Ann. Henri Poincare 1 (2000) 385 – 404c© Birkhauser Verlag, Basel, 20001424-0637/00/020385-20 $ 1.50+0.20/0 Annales Henri Poincare

Systeme de Yang-Mills-Vlasov pour des Particules avecDensite de Charge de Jauge Non-Abeliennesur un Espace-Temps Courbe

N. Noutchegueme and P. Noundjeu

Abstract. We prove local in time existence theorems of solutions of the Cauchyproblem for the Yang-Mills system in temporal gauge, with current generated by adistribution function that satisfies a Vlasov equation, and an unknown non-abeliancharge density subject to a conservation equation.

Resume. Nous demontrons des theoremes d’existence locale dans le temps d’unesolution du probleme de Cauchy pour le systeme de Yang-Mills en jauge tem-porelle, dont le courant est engendre par une fonction de distribution satisfaisant aune equation de Vlasov, et une charge de jauge non-abelienne de densite inconnuesoumise a une equation de conservation.

Introduction

Un plasma est un train de particules evoluant a tres grande vitesse et sous l’effet desforces qu’elles creent. Pour des electrons, dans le cas abelien,les forces creees sontdes forces electromagnetiques qui a leur tour reifluencent ces particules, et, lorsqu’iln’y a pas collision, ce phenomene auto-entretenu est gouverne par le systeme deMaxwell-Vlasov, qui a ete largement etudie ces dernieres annees. Nous consideronsici le cas de plasmas plus generaux ou les particules ont une charge non abelienne,par exemple le champ de quarks que l’on rencontre en chromodynamique; le champelectromagnetique est remplace par le champ de Yang-Mills, par exemple le champdes gluons de cette chromodynamique. Le plasma obtenu, appele ”plasma quarks-gluons”, est sense exister a tres haute temperature. Dans le cas sans collisions,ce phenomene est gouverne par le systeme couple de Yang-Mills Vlasov, dontles inconnues sont: les potentiels de Yang-Mills, d’ou derive le champ de Yang-Mills et la fonction de distribution des particules Yang-Mills. Nous prenons lesparticules en jauge temporelle, nous les couplons avec le champ de Yang-Millscomme s’ils etaient, a priori ,independants, et nous supposons que le courant deYang-Mills, source du champ de Yang-Mills, est engendre d’une part par la fonctionde distribution des particules, qui verifie l’equation de Vlasov et d’autre part parune charge de jauge non-abelienne de densite inconnue, soumise a une equation deconservation, consequence de la conservation du courant. Ceci nous permet d’unepart de generaliser et d’etendre aux espaces-temps courbes les resultats connus surle systeme de Maxwell-Vlasov sur l’espace-temps plat de Minkowski [2], [3], 5], [8]

386 N. Noutchegueme and P. Noundjeu Ann. Henri Poincare

d’autre part d’etendre les resultats de [4] qui etudie le cas ou la densite de chargeest nulle.

Nous etudions le probleme de Cauchy pour ce systeme couple, sur un espace-temps courbe et nous incluons le cas ou les particules ont une masse propre au reposnulle. Nous utilisons des majorations avec poids et nous demontrons l’existence desolutions locales dans le temps et globales dans l’espace, dans des espaces fontion-nels qui ne leur imposent pas de decroissance a l’infini spatial.

I Hypotheses et notations

Tout indice grec varie de 0 a 3 et tout indice latin de 1 a 3,sauf mention contraire.Onadopte la convention de sommation d’Einstein.

• Variete riemannienne de base :(V, g), C∞ , de dimension 4, orientee dans letemps ou;

• La metrique g est de signature hyperbolique (+,−,−,−), V = R × S decoordonnees locales (xα) avec x0 ou t sur R (xi), i = 1, 2, 3 sur S; St = t×Sspatial, R× x temporel, x ∈ S. Nous prenons g sous la forme

g = α2dt2 − gijdxi dxj (1.1)

ou gij = −gij ; (gij) definie negative.

• Les metriques gt = (gij) induites par g sur S sont proprement riemannienneset uniformement equivalentes a une metrique g sur S de rayon d’injectiviteδ > 0, donc complete. On suppose qu’il existe : A1, A2, B1, B2 > 0 tels quedans les boules geodesiques de rayon δ pour gt sur St on ait

A1

3∑i=1

(ξi)2 ≤ gijξiξj ≤ A2

3∑i=1

(ξi)2; B1 ≤ α ≤ B2. (1.2)

• Pour definir les normes de tenseur, on associe a g, la metrique elliptique γsur V , d’expression locale :

γ = α2dt2 + gij dxi dxj (1.3)

• On suppose que les derivees covariantes du tenseur de courbure R de g [resp.R de g] sont bornes.

• A represente un potentiel de Yang-Mills; c’est une 1-forme sur V a valeursdans G algebre de Lie d’un groupe de Lie G, muni d’un produit scalaireAd-invariant, note · i.e. tel que

a · [b, c] = [a, b] · c ∀ a, b, c ∈ G (1.4)

Vol. 1, 2000 Systeme de Yang-Mills-Vlasov sur un Espace-Temps Courbe 387

ou [, ] designe le crochet de Lie de G.G est considere comme un espace vec-toriel de dimension N sur R, dont on fixera une base orthonormee (εa),a = 1, 2, 3, ·, N. On ecrira dans les coordonnees locales xµ sur V et dans labase (εa) de G :

A = (Aµ) = (Aaµ) = Aaµ dxµ ⊗ εa (1.5)

• F = dA+12

[A,A] est la courbure de A, ou le champ de Yang-Mills associe aA. F est une 2-forme antisymetrique sur V a valeurs dans G. On a localement

F = (Fλµ) = (F aλµ); F aλµ = ∇λAaµ −∇µAaλ + [Aλ, Aµ]a (1.6)

ou ∇ est la derivee covariante dans g. On a

[Aλ, Aµ]a = CabcAbλA

cµ (1.7)

ou les Cabc sont les constantes de structure de G. On a Cabc = −Cacb et (1.4)entraıne que les Cabc on une trace nulle Caba = 0. Le potentiel A est pris enjauge temporelle i.e.

A0 = 0. (1.8)

• On suppose que les particules ont une masse propre au repos m ≥ 0.

• La charge de jauge non abelienne, appelee encore ” charge de couleur” et quenous appelons simplement : charge de Yang-Mills, est representee par unefonction C∞ donnee q : V → G, q = qaεa, de grandeur donnee e. on designepar ϑ la shere de G definie par

ϑ : q · q = |q|2 = e2 (1.9)

• On suppose que la charge de Yang-Mills q a une densite physique inconnueρ, fonction reelle positive sur V ; ρ : V → R+.

II Equations et problemes de Cauchy

La trajectoire d’une particule dans un champ de Yang-Mills sur (V, g) est con-tenue dans l’espace de phase des particules, P = T (V )×G de coordonnees locales(xα, pα, qa) ou x = (xα) represente la position de la particule, p = (pα) son im-pulsion et q = (qa) sa charge; q = (qa) representera aussi le point courant dans G.Cette trajectoire verifie le systeme differentiel:

dxα

ds= pα;

dpα

ds= −Γαλµp

λpµ + pβq · Fαβ ;dqa

ds= −CabcpαAbαqc (2.1)


ou les Γβλµ sont les coefficients de connexion de g. (2.1) exprime que dans P, levecteur tangent a la trajectoire est :

Y = (p, P,Q)ouPα = −Γαλµp

λpµ + pβq · Fαβ , Qa = −CabcpαAbαqc;

Mais les trajectoires de ces particules de masse propre m et de charge degrandeur e sont en fait contenues dans le sous-fibre Pm,e et de P d’equations:

gαβpαpβ = m2; |q|2 = e2 (2.2)

d’ou l’on deduit, vus (1.1) et (1.2).

p0 = α−1(m2 + gijpipj)1/2 (2.3)

Ce choix qui entraıne p0 ≥ 0 exprime le fait que les particules s’ejectent versle futur. Les coordonnees locales sur Pm,e ≡ R× T (S)× ϑ sont:

x0 = t, xi, pi, qA ou vu (2.3), A = 1, 2, ...N − 1. En un point de Pm,e, levecteur Y lui est tangent.

f : P → R+ represente la fonction de distribution des particules. La conser-vation du nombre des particules dans le cas sans collision ou nous nous placonsest exprimee par l’equation:

LY f = pα∂f

∂xα+ Pα

∂f

∂pα+Qa

∂f

∂qa= 0 (2.4)

dite equation de Vlasov. f induit sur Pm,e une fonction notee encore f et quiverifie:

LY f = pα∂f

∂xα+ P i

∂f

∂pi+QA

∂f

∂qA= 0 (2.5)

J : V → G represente le courant de Yang-Mills, engendre par les particules demasse m, de fonction de distribution f, de charge Yang-Mills q qui a une grandeurdonnee e et une densite physique inconnue ρ. On a localement J = (Jβ) = (Jβ,A)ou Jβ,A est definie au point de x de V par:

Jβ,A(x) =∫R3×ϑ

pβqAf(x, p, q)ωpωq − ρ(x)Uβ(x)qA(x) (2.6)

ou ωp = |g|1/2 dp1 dp2 dp3

p0; ωq est l’element de volume canonique de ϑ; U est le

vecteur unitaire temporel oriente vers le futur et tangent aux geodesiques dans(V, g) :

Uα∇αUβ = 0; gαβUαUβ = 1; U0 > 0 (2.7′)


Les equations de Yang-Mills s’ecrivent :

∇αFαβ = Jβ (2.7)

ou ∇α est la derivee covariante de jauge, definie sur les fonctions de V dans G par

∇α = ∇α + [Aα, ·] (2.8)

On a les identites de Bianchi

∇αFλµ + ∇λFµα + ∇µFαλ = 0 (2.9)

et les identites

∇α∇βFαβ ≡ 0 (2.10)

(2.11) entraıne , vu (2.8) que J = (Jβ) doit verifier la loi de conservation

∇βJβ = 0 (2.11)

En utilisant Caba = o, on montre le resultat suivantLemme 2.1 Soit

Kβ,A(x) =∫R3×ϑ

pβqA f(x, p, q)ωpωp (2.12)

Alors

1. Si f est de classe C1, a support compact et verifie l’equation de Vlasov avecA et F de classe C2 on a

∇βKβ,A = 0 (2.13)

2. Si de plus ρ verifie l’equation de conservation

∇α(ρUα) = 0 (2.14)

alors le courant J = (Jα) verifie la loi de conservation (2.12).

La jauge temporelle (1.8) entraıne, vu (1.6) que A verifie

∂0 Ai = F0i (2.15)


les equations de Yang-Mills-Vlasov sur (V, g) sont formees des equations: (2.6),(2.8), (2.16) en f, F, A, auxquelles on adjoint l’equation de conservation de ladensite de charge (2.15) en ρ, imposee par la conservation du courant de Yang-Mills J = (Jα). (2.15) est, vu, (2.3) equivalente a l’equation de conservation de lacharge de Yang-Mills

∇α(ρUαq) = 0 (2.15′)

Nous etudierons ce systeme integro-differentiel non lineaire et nous mon-trerons que sa solution verifie effectivement la condition de conservation (2.12).Les equations de Yang-Mills (2.8) sont seulement 4 equations pour les 6 incon-nues F 0i et F ij . On leur ajoute les identites de Bianchi (2.10) considerees commeequations en F. ceci nous emmene a prendre la ”partie electrique” F 0i sous formecontravariante et la partie ”magnetique” Fij sous forme covariante. On choisitparmi ces 10 equations, les trois equations (2.10) d’indices α = 0, λ = i, µ = j, etles trois equations (2.8) d’indice β = i. On obtient le systeme suivant en F, A, f,ρ, a etudier :

(Σ)

∇αFαi = J i (2.8′)

∇0Fij + ∇iFj0 + ∇jF0i = 0 (2.9′)

∂0 Ai = F0i (2.16)

∇α(ρUα) = 0 (2.15)

LY f = pα∂f

∂xα+ P i

∂f

∂pi+QA

∂f

∂qA= 0 (2.6)

Les donnees de Cauchy sur S d’equations locales x0 = 0 sont :

• Pour le potentiel A, la donnee d’un potentiel de Yang-Mills a : S → G, oua = i∗A, et i est l’immersion S → V. Localement a = (ai) = (abi ) ; b =1, 2, · · ·N.

• Pour le champ F, les donnees :

i) Pour la partie electrique, d’un vecteur E : S → G, localement E =(Ei) = (Ei,a), a = 1, 2, · · · , N

ii) Pour la partie magnetique, d’une 2-forme antisymetrique Φ0 : S → G ;localement, Φ0 = (Φa0,i,j) a = 1, 2, · · · , N . on prend , vu (1.6)

Φ0 = da (2.16)

ou d est la differentielle de jauge sur S, definie par d = d+ [a, ·], d etantla differentielle exterieure dans (S, g).


• Pour la fonction de distribution f, la donnee d’une fonction numerique pos-itive ϕ sur S ≡ T (S)× θ telle que : ϕ = f |S.

• Pour la densite de charge ρ, la donnee d’une fonction numerique positive ρ0sur S telle que ρ0 = ρ|S.

Contraintes. Les donnees de Cauchy sont soumises a des contraintes provenantd’une part des equations (2.10) en F , non traitees i.e. celles d’indices α = i,λ = j, µ = k et d’autre part de l’equation (2.8) non traitee i.e. celle d’indiceβ = 0.

(2.10) impose que l’on doit avoir dΦ0 = 0. Mais puisque l’on a de maniere

analogue a la differentielle exterieure usuelle d2

= 0, il en sera toujours ainsi si Φ0satisfait la contrainte (2.17).

(2.8) d’indice β = 0 donne la contraine sur S :

divE +∫R3×ϑ

p0q ϕωpωq − ρ0U0q = 0 (2.17)

ou divE = ∇iEi = ∇iEi + [ai, Ei] est la divergence covariante de jauge surS, associee a la derivee covariante ∇ dans (S, g. On sait resoudre (2.18) en E,moyennant certains hypotheses sur a, ϕ et ρ0 [1]. Si ces contraintes sont resolues,les seules donnees independantes du probleme sont a, ϕ et ρ0 et on montre leresultat suivant.Lemme 2.2Toute solution (F 0i, Fij), Ai, ρ au moins C2 et f au moins C1 duprobleme de Cauchy pour le systeme (Σ) telle que ∇αJα = 0, et qui prend lesdonnees de Cauchy satisfaisant aux contraintes (2.17) et (2.18) :1 – est telle que F est la 2-forme de courbure de A2 – verifie les equations non traitees

∇αFα0 = J0 (2.8′′)

∇iFjk + ∇jFki + ∇kFij = 0 (2.10′)

3 – est solution du systeme complet de Yang-Mills-Vlasov couple avec l’equationde conservation de la charge de Yang-Mills.

(2.8”) signifie que la contrainte (2.18) se conserve pendant l’evolution et lacourbure F de A verifie toujours les identites de Bianchi et donc (2.10’).

D’apres ce lemme, la resolution du systeme (2.6), (2.8),(2.15), (2.16)se ramenent a celle de (Σ).

III Systeme d’evolution lineaire associe

On suppose donnes f , ρ, A, F , et on considere le systeme lineaire suivant auxinconnues F, A, f, ρ deduit de (Σ)


(Σ′)

∇0F0i +∇jF ji = −[Aj, F ji] +

∫R3×ϑ p

iqf ωpωq − ρU iq (3.1)∇0Fij +∇iFj0 +∇jF0i = −[Aj, F0i] + [Ai, F0j ] (3.2)∂0Ai = F0i (3.3)∇α(ρUα) = 0 (2.15)LY f = 0 (3.4)ouY = (p, P , Q) avecP i = −Γiλµp

λpµ + pβq · F iβ ; QA = CAbcpαAbαq

c (3.4′)

Les donnees de Cauchy en x0 = 0 sont respectivement Φ = (E,Φ0), a, ρ, ϕ.On etudie (Σ′) sur VT = [0, T ]× S et VT = [0, T ]× T (S)× ϑ ou T > 0. Si E ⊂ Fon designe par C∞0 (E) l’ensemble des restrictions a E des fonctions ou tenseursC∞ et a support compact dans F, ou on prendra : F = V et E = VT ; F = P etE = VT ; E = F = S. Notons tout de suite que si F ∈ C∞0 (VT ) alors l’equation(3.3) admet une solution unique A dans C∞0 (VT ) donnee localement par:

Ai = ai +∫ t

0Foidτ (3.5)

On a :Proposition 3.1

1. Si F et A ∈ C∞0 (VT ) alors l’equation (3.4) en f admet une solution uniquef ∈ C∞0 (VT ) prenant la donnee de Cauchy ϕ ∈ C∞0 (S)

a) quel que soit T > 0 si m > 0b) Pour T assez petit et suppϕ ⊂ C0 ≡ gijpipj ≥ C > 0, si m = 0.

2. Si f ∈ C∞(VT ), ρ, A, F ∈ C∞0 (VT ) alors le systeme (3.1)-(3.2) admet unesolution unique F ∈ C∞0 (VT ) prenant la donnee de Cauchy Φ ∈ C∞0 (S).

3. L’equation (2.15) admet une solution unique ρ ∈ C∞0 (VT ) prenant la donneede Cauchy ρ0 ∈ C∞0 (S).

Preuve. 1) Considerons l’equation (3.4) en f sur [−T, T ]× TS × ϑ ≡WT

a) Si m > 0, elle s’ecrit vu (2.1):∂f

∂τ= 0, equation differentielle sur les

trajectoires du champ Y qui, d’apres les resultats sur les systemes differentielsexistent sur [−T, T ] car , d’apres (2.4) m > 0 ⇒ p0 > 0. D’ou si τ → (t +τ, y(τ, t, yt)) est la trajectoire de Y passant par le point fixe (t, yt) = (t, xi, pi, qA)de St = TSt × ϑ pour τ = 0 et qui coupe S pour t+ τ = 0 i.e. pour τ = −t alorsl’unique solution f de (3.4) dans C∞0 (WT ) qui prend la valeur ϕ sur S est :

f(t, xi, pi, qA) = ϕ[y(−t, t, xi, pi, qA)]. (3.6)


Sa restriction a VT est la solution cherchee.b) Si m = 0, la continuite de (xα, pi)→ p0 montre que l’on a p0 > 0 dans un

voisinage de tout point X = (X0, p0, q0) de P = T (V )×G ou p00 > 0 et, d’apres a)

les trajectoires de Y sont definies dans un tel voisinage. Pour X ∈ C0, on a p00 > 0

et les trajectoires de Y issues de C0 existent donc dans un voisinage de C0 dans P,donc dans VT ou T > 0 est petit. L’hypothese supp ϕ ⊂ C0 montre donc que (3.4)admet encore une solution f donnee par (3.6) pour 0 ≤ t < T, T petit.

2) Provient du fait que (3.1)-(3.2) forme un systeme x0-hyperboliquesymetrique du 1erordre au sens de Friedrichs.

3) Le systeme differentiel caracteristique associe montre que le probleme deCauchy pour (2.15) avec la donnee ρ0 sur S admet la solution unique, sur VT

ρ(t, x) = ρ0(x)exp(−∫ t

0

∇αUαU0 dx0

), x ∈ S (3.7)

IV Espaces fonctionnels et estimations a priori

Soit Bδ une boule geodesique de rayon δ de (S, g) et Ωt ⊂ R× S defini par:

Ωt =

0 ≤ x0 ≤ t,K(T − x0) ≥(

3∑i=1

(xi)2)1/2

; 0 ≤ t ≤ T

2;T ≤ δ

K(4.1)

On pose:

ωτ = Ωt ∩ Sτ ; ωτ = ωτ × R3 × ϑ; Ωτ = Ωτ ×R3 × ϑ; 0 ≤ τ ≤ t (4.2)

et quand les integrales existent pour f, fonction sur VT , U = A ou F : VT → G,tenseur et ρ : VT → R fonction :

‖f‖τs,2,k =

∑|β|≤s

yβ,f (τ)

1/2

ou yβ,f (τ) =∫ωτ

(p0)2k+2(β+β)+1 | Dβf |2 θτ (4.3)

‖U‖τs,2 =

∑l≤s

zl,U (τ)

1/2

ou zl,U (τ) =∫ωτ

| ∇lU |2 µτ avec U = A ou F (4.4)

‖ρ‖τs,2 =

∑l≤s

zl,ρ(τ)

1/2

ou zl,ρ(τ) =∫ωτ

U0 | ∇lρ |2 µτ (4.4′)

avec

| ∇lU |2= γλ1σ1 · · · γλlσlγα1β1 · · · γαkβk∇λ1 · · · ∇λlUα1···αk · ∇σ1 · · ·∇σlUβ1···βk

(4.5)


| ∇lρ |2= γλ1σ1 · · · γλlσl∇λ1 · · ·∇λlρ∇σ1 · · ·∇σlρ (4.5′)

ouDans (4.3), β (resp. β) est le nombre de derivees en pi (resp. qA) dans le multiindice β et k ∈ R+; po est donne par (2.4); s ∈ N. θτ = µτ ∧ ωp ∧ ωq ou µτ estl’element de volume induit sur ωτ par l’element de volume µ = µ(g) associe a g.

Si τ = 0, µ0 = µ(g), rappelons que ω0 ⊂ Bδ ⊂ S.Dans (4.4) et (4.4’), l, s ∈ N et dans(4.5) γ est defini par (1.3) et le point designele produit scalaire dans G. Noter que, vues les proprietes de g et g, les normes(4.4) et (4.4’) sur ωτ sont equivalentes a celles obtenues en y remplacant ∇ par Det avec des constantes ne dependant que de g. [si τ = 0, on remplace dans (4.5) et(4.5’) γ par g et ∇ par ∇ ou D]. D’apres les proprietes de g, (2.7’) entraıne qu’ilexiste C1 > 0, C2 > 0., tels que C1 ≤ U0 ≤ C2; la norme ‖ρ‖τs,2 definie par (4.4’)est donc equivalente a la norme definie sans le facteur U0. On designe ensuite par:1) Es2,k(Ωt), le complete de C∞0 (Ωt) dans la norme:

‖f‖Es2,k(Ωl)

= Sup0≤τ≤t

‖f‖τs,2,k (4.6)

2) Es2(Ωt), le complete de C∞0 (Ωt) dans la norme:

‖Z‖Es2(Ωt) = Sup0≤τ≤t

‖Z‖τs,2 (4.7)

ou d’apres ce qui precede, Z designe A,F ou ρ.

Esk(Ωt) = (Es2(Ωt))3 ×Es2,k(Ωt)

3) L, l’operateur de Maxwell defini par le membre de gauche de (3.1)-(3.2) etd = d(A, F , f , ρ) ou d = d(A,F, f, ρ) le membre de droite de ce systeme.

Proposition 4.1 Soient A,F, ρ ∈ C∞0 (Ωt), f, b ∈ C∞0 (Ωt), s ∈ N,τ ∈ [0, t], C > 0.1) Si LY f = b ou Y = Y (F,A), on a pour s ≤ S, S > 4 :

‖f‖τs,2,k ≤ C[‖f‖0s,2,k +

∫ τ

0‖b‖τ ′s,2,k dτ ′

]exp

[C

∫ τ

0

(1 + ‖A‖τ ′s,2 + ‖F‖τ ′s,2

)dτ ′]

(4.8)

2) Si LF = d on a

‖F‖τs,2 ≤ C[‖F‖0s,2 +

∫ τ

0‖d‖τ ′s,2 dτ ′

](4.9)

3) Si ∂0Ai = F0i, on a

‖A‖τs,2 ≤ C[‖A‖0s,2 +

∫ τ

0‖F‖τ ′s,2 dτ ′

](4.10)


4) Si ∇α(ρUα) = 0 on a

‖ρ‖τs,2 ≤ C‖ρ‖0s,2 (4.11)

5) Si f ∈ Es2,k(Ωt), avec k > 32 et si ρ ∈ Es2(Ωt) on a

‖J‖τs,2 ≤ C[‖f‖τs,2,k + ‖ρ‖τs,2

](4.12)

Si m = 0, on suppose en outre au 1) et 5) que supp f ⊂ p0 ≥ k0 > 0.Preuve. 1), 2), 3), 4): on derive les equations et on forme des produits que l’onintegre sur Ωt et Ωt. En prenant K suffisamment grand, la surface laterale de Ωtest spatiale. On applique la formule de Stokes et le lemme de Gronwall. Pour 1)l’hypothese S > 4 permet d’utiliser les theoremes d’injection de Sobolev et onapplique le theoreme de multiplication de Sobolev pour separer les produits Afet Ff. Les espaces fonctionnels ont en fait ete construits a partir de ces inegalitesqui expliquent la presence des poids en p0 dans (4.3) et en U0 dans (4.4’).

5) s’etablit en prenant d’abord f et ρ dans C∞0 . On utilise la definition parcompletion de Es2,k(Ωt) et Es2(Ωt); l’hypothese k > 3

2 assure la convergence al’infini des integrales en (pi) ∈ R3 et si m = 0, l’hypothese sur f dans 1) et 5)assure la convergence de ces integrales en (pi) = 0.

V Solution locale dans le temps et dans l’espacedu systeme non lineaire

Soit s ≥ 1. on designe par Es2(Ωt) et Es2,k(Ωt) les sous espaces vectoriels deEs−1

2 (Ωt) et Es−12,k (Ωt) formes des (classes de ) fonctions admettant des derivees

au sens des distributions qui sont des fonctions telles que

‖U‖Es2(Ωt)= ‖U‖Es−1

2 (Ωt) + EssSup0<τ<t

(zs,U (τ))1/2 < +∞ (5.1)

‖f‖Es2,k(Ωt)

= ‖f‖Es−1

2,k (Ωt)+ EssSup

0<τ<t

∑‖β‖=s

yβ,f (τ)

1/2

< +∞ (5.2)

ou dans (5.1), U = F, A ou ρ; les quantites ci dessus etant definies au paragrapheIV.

On pose

Es2,k(Ωt) =(Es2(Ωt)

)3× Es2,k(Ωt)

Hsk(ω0) = (Hs(ω0))3 ×Hsk(ω0) (5.3)


ou Hsk(ω0) est le comlete de C∞0 (ω0) dans la norme

‖ϕ‖Hsk(ω0) =

∑|β|≤s

∫ω0

(p0)2k+2(β+β)+1∣∣Dβ ϕ

∣∣2 θ0

1/2

(5.4)

et Hs(ω0) est l’espace de sobolev usuel sur la variete riemannienne (ω0, g).

Theoreme 5.1[Theoreme d’existence et d’unicite]. Soit U0 = (Φ, a, ρ0, ϕ) ∈ Hsk(ω0)satisfaisant les contraintes. Alors si s > N

2 + 5 et k > 32 : Il existe un nombre

t0 > 0 ne dependant que de la norme de U0 dans Hsk(ω0), fonction decroissantede cette norme, tel que, le probleme de Cauchy pour le systeme de Yang-Mills-Vlasov couple avec l’equation de conservation de la charge de Yang-Mills admetune solution unique U = (F,A, ρ, f) dans Es2,k(Ωt) prenant la donnee de Cauchy U0

pour t = 0. Si m = 0 on suppose en outre que supp ϕ ⊂ C0 ≡ gijpipj ≥ C > 0.La preuve utilisera le Lemme suivant: ou Y = Y (F,A), Yi = Y (Fi, Ai),i = 1, 2 :

Lemme 5.1 1) Si f ∈ C∞0 (Ωt), F1, F2 ∈ C∞0 (Ωl), s > 3, alors

‖LY1−Y2f‖Es2,k(Ωt)≤ C

[‖F1 − F2‖Es2(Ωt) + ‖A1 −A2‖Es2(Ωt)

]‖f‖Es+1

2,k (Ωt) (5.5)

2) Si f ∈ Es2,k(Ωt), F1, F2, A1, A2 ∈ Es2(Ωt), avec s > N2 + 4, on a si 0 ≤ τ ≤ t,

‖LY1−Y2f‖τ0,2,k ≤ C[‖F1 − F2‖τ0,2 + ‖A1 −A2‖τ0,2

]‖f‖τs,2,k (5.6)

3) Si F ∈ Es2(Ωt), d ∈ Es−12 (Ωt), ou s > 3, et si LF = d, on a ∀τ ∈ [0, t] :

‖F‖τ0,2 ≤ C[‖F‖00,2 +

∫ τ

0‖d‖τ ′0,2 dτ ′

](5.7)

4) Si A,F ∈ Es2(Ωt), ou s > 3, et si ∂0Ai = F0i, on a ∀τ ∈ [0, t] :,

‖A‖τ0,2 ≤ C[‖A‖00,2 +

∫ τ

0‖F‖τ ′0,2 dτ ′

](5.8)

5) Si ρ ∈ Es2(Ωt), ou s > 3, et si ∇α(ρUα) = 0 on a ∀τ ∈ [0, t] :,

‖ρ‖τ0,2 ≤ C‖ρ‖00,2 (5.9)

6) Si f ∈ Es2,k(Ωt), b ∈ Es−12,k (Ωt), A, F ∈ Es2(Ωt), ou s > N

2 + 4 et si LY f = b, siτ ∈ [0, t] :

‖f‖τ0,2,k ≤[C‖f‖00,2,k +

∫ τ

0‖b‖τ ′0,2,k dτ ′

]exp

[C

∫ τ

0(1 + ‖F‖τ ′s,2) dτ ′

](5.10)


Preuve du lemme 5.1. Pour 1) et 2) on utilise le theoreme de multiplication deSobolev. Le decompte des derivees en qA pour etablir (5.5) justifie la presente deβ dans (4.3).

Pour 3), 4), 5) l’hypothese s > 3 entraine, vus les theoremes d’injection deSobolev, que F,A, ρ ∈ C1

0 (Ωt) car Ωt est borne; on utilise la formule de Stokeset (5.7), (5.8), (5.9) s’etablisent respectivement comme (4.9), (4.10), (4.11) pours = 0. Pour 6) S > N

2 + 4 ⇒ f est bornee et de classe C1 sur Ωt, ceci d’apresles theoremes d’inclusion de Sobolev. Mais Ωt = Ωt × R3 × ϑ n’est pas borne. Onutilise alors une suite tronquante qui permet d’appliquer la formule de Stokes etd’obtenir (5.10) par passage a la limite.

Preuve du theoreme. Y etant defini par (2.2) et L et d au paragraphe IV on poseradn = d(An, Fn, fn, ρn); Yn = Y (Fn, An),

C∞0 (0) = (C∞0 (ω0))3 × C∞0 (ω0); C∞0 (t) = (C∞0 (Ωt))3 × C∞0 (Ωt); t > 0;

U0 = (Φ, a, ρ0, ϕ), Un = (Fn, An, ρn, fn) n ≥ 1,

D′(t) = (D′(Ωt))3 ×D′(Ωt), t > 0.

On suppose toujours supp ϕ ⊂ C0 si m = 0.La preuve du theoreme (5.1) se fera en six etapes.

1) Construction et convergence des iterees (s > 4)On prend d’abord U0 ∈ C∞0 (0); on prend ensuite U1 ∈ C∞0 (t); on construit

la suite (Un)n≥2 par iteration des solutions du systeme lineaire associe (Σ′) duparagraphe III i.e on y fait A = An, F = Fn, f = fn, ρ = ρn n ≥ 1, et on definitUn+1 = (Fn+1, An+1, ρn+1, fn+1) comme solution du probleme de Cauchy

LFn+1 = dn ; ∂0An+1,i = Fn,0i ;∇α(ρn+1U

α) = 0 ;LYnfn+1 = 0Fn+1 = Φ ;An+1 = a ; ρn+1 = ρ0 ; fn+1 = ϕ en t = o

(5.11)

En prenant U1 = [(x0)s+1 + 1]U0 on deduit de (5.11) que ‖Fn‖0s,2, ‖An‖0s,2,‖ρn‖0s,2, ‖fn‖0s,2,k, se majorent uniquement par ‖U0‖Hsk(ω0).

Si m = 0, supp ϕ ⊂ C0 ⇒ supp fn ⊂ p0 > k0 > 0; vu (3.6).On deduit alors des majorations §IV, Proposition 4.1 du fait que pour s > 3

2 ,Es2(Ωt) est une algebre, ce qui permet vu (1.7) de separer le produit An · Fn dansdn, que la suite (Un) est bornee dans Esk(Ωt) pour t > 0, petit, et que t est une


raison inverse de ‖U0‖Hsk(ω0). (5.11) donne ensuite :L(Fn+1 − Fn) = dn+1 − dn ; ∂0(An+1,i −An,i) = Fn,0i − Fn−1,0i ;∇α[(ρn+1 − ρn)( Uα)] = 0 ;LYn(fn+1 − fn) = −LYn−Yn−1(fn)Fn+1 − Fn = 0 ;An+1 −An = 0 ; ρn+1 − ρn = 0 ; fn+1 − fn = 0 en t = o

(5.12)

On deduit de (5.12) en utilisant encore les estimations §IV, Proposition 4.1et (5.5) pour l’equation en f, et le fait que ‖Fn‖Es2(Ωt), ‖An‖Es2(Ωt), ‖fn‖Es2,k(Ωt)

sont bornees pour t petit, que la suite (Un) est de Cauchy dans l’espace de BanachEsk(Ωt) et y converge vers U = (F,A, ρ, f) ∈ Esk(Ωt).

2) Solution dans Esk(Ωt) du probleme de Cauchy non lineaireavec donnees dans C∞0 (0) pour le systeme (Σ) § II (s > 4).

U = (F,A, ρ, f) etant defini ci-dessus, on deduit de la convergence de Un versU dans Esk(Ωt) que LFn+1 → LF et dn → d dans E0

2(Ωt), ∂0An+1,,i → ∂0Ai etFn,0i → F0i dansD′(Ωt) faible; (ρn) est constante et converge vers l’unique solutionρ ∈ C∞0 (Ωt) car ρ0 ∈ C∞0 (ω0), LYnfn+1 → LY f dans L2

loc(Ωt) ou Y = Y (F,A) etsi m = 0 : supp ϕ ⊂ C0 ⇒ supp f ⊂ p0 ≥ k0 > 0; Fn → F et An → A dansL2(ω0); fn → f, dans H0

k(ω0). (5.11) entraıne alors

LF = d ; ∂0Ai = F0i ;∇α(ρ Uα) = 0 ;LY f = 0 ;F = Φ ;A = a ; ρ = ρ0 ; f = ϕ en t = o

(5.13)

avec dans (5.13) d = d(F,A, ρ, f);Y = Y (F,A).Et U = (F,A, , ρ, f) ∈ Esk(Ωt) est solution du probleme de Cauchy non lineaire

pour (Σ).

3) Unicite de la solution du probleme de Cauchy non lineaireavec donnees C∞0 (s > n

2 + 4)

Soient Ui = (Fi, Ai, ρi, fi), i = 1, 2 deux solutions du probleme de Cauchydans Esk(Ωti) pour la meme donnee U0 = (Φ, a, ρ0, ϕ) ∈ C∞0 (0). Soitt0 = inf (t1, t2) > 0. Montrons que U1 = U2 sur [0, t0]. On sait que ρ1 = ρ2;(5.13) donne :

L(F1 − F2) = d1 − d2 ; ∂0(A1,i −A2,i) = F1,0i − F2,0i ;LY1(f1 − f2) = −LY1−Y2f2 ;F1 − F2 = 0 ;A1 −A2 = 0 ; f1 − f2 = 0 en t = o

(5.14)

On applique a (5.14); i) pour F : (5.7) puis (4.12) pour s = 0 et les inegalitesde Sobolev pour traiter [A1, F1] − [A2, F2] = [A1 − A2, F1] + [A2, F1 − F2] quiintervient dans d1 − d2;


ii) pour A : (5.8); iii) pour f : (5.10) puis (5.6), on obtient en faisant la sommedes inegalites obtenues, ∀ τ ∈ [0, t0].

y(τ) ≤ C∫ τ

0 y(τ ′) dτ ′

ouy(τ) = ‖F1 − F2‖τ0,2 + ‖A1 −A2‖τ0,2 + ‖f1 − f2‖τ0,2,k

(5.15)

ou C est une constante ne dependant que des normes des Ui dans Esk(Ωti)i = 1, 2. (5.15) donne, vu le lemme de Gronwall, U1 = U2 dans E0

k(Ωt0); or cetespace contient Esk(Ωt0) car s > 4. D’ou l’unicite dans Esk(Ωt) pour t petit.

4) La solution U = (F,A, ρ, f) dans Esk(t) est C∞ et verifie ∇αJα = 0 Jdefini par (2.7)

a) Dans ce cas des donnees dans C∞0 (0), on trouve donc U ∈ Esk(Ωt), ∀ s ∈ N.Les inegalites de Sobolev entraınent que ∀ j ∈ N si on prend s > N

2 + 4 + j, alorsU est solution de classe Cj . D’ou U est C∞.

b) Un = (Fn, An, ρn, fn) n ≥ 1, est solution dans C∞0 (t) ⊂ C10 (t) de (5.11).

D’apres § II, lemme 2.1, Un verifie ∇βKβ,An = 0 ou Kβ,A

n est defini par (2.13)avec f = fn. Puisque ∇α(ρnUα) = 0, Un verifie ∇αJαn = 0, vue l’equivalence de(2.15) et (2.15’) et ou Jn est defini par (2.17) avec f = fn et ρ = ρn. On en deduitque ∇αJα = 0 en utilisant Un → U dans Esk(Ωt), donc dans D′(t) faible, ou laderivation covariante de jauge ∇α est continue.

5) Solution dans ξsk(Ωl) du probleme de Cauchy non lineaireavec donnees dans Hsk(ω0) ou s > N

2 + 5On prend U0 = (Φ, a, ρ, ϕ) ∈ Hsk(ω0). Soit Vn = (Φn, an, ρ0,n, ϕn) ∈ C∞0 (0)

telle que Vn tend vers U0 dans Hsk(ω0). Si m = 0, on prend ϕn telle que supp(ϕ)⊂C0. On construit comme au 1) par iteration sur ν, une suite (Un,ν)ν∈N? telle queUn,ν = (Fn,ν , An,ν , ρn,ν , ϕn,ν) ∈ C∞0 (t) verifie

LFn,ν+1 = dn,ν ; ∂0(An,ν,i) = Fn,ν−1,0i ;∇α(ρn,νUα) = 0 ;LYn,νfn,ν+1 = 0Fn,ν+1 = Φn ;An,ν = an ; ρn,ν = ρ0,n ; fn,ν+1 = ϕn en t = o

(5.16)

On prend

Un,1 = [(x0)s+1 + 1]Vn.

La suite convergente (Vn) etant bornee, on montre comme au 1) que la suitedouble (Un,ν)n,νest bornee et que la suite (Un,ν)ν est de Cauchy et converge versUn = (Fn, An, ρn, fn) dans Es−1

k (Ωl), o u s− 1 > N2 + 4, pour t suffisamment petit

et ne dependant que de ‖U0‖Hsk(ω0) en raison inverse de cette norme. Maintenant(5.16) donne :


L(Fn+1,ν − Fn,ν) = dn+1,ν−1 − dn,ν−1 ;∇α[(ρn+1,ν − ρn,ν)Uα] = 0∂0(An+1,ν,i −An,ν,i) = Fn+1,ν−1,0i − Fn,ν−1,0i ;LYn+1,ν−1(fn+1,ν − fn,ν) = LYn+1,ν−1−Yn,ν−1(fn,ν)

(5.17)

ou

Fn+1,ν − Fn,ν = Φn+1 − Φn;An+1,ν −An,ν = an+1 − an,;ρn+1,ν − ρn,ν = ρ0,n+1 − ρ0,n; fn+1,ν − fn,ν = ϕn+1 − ϕn en t = 0 (5.17′)

On applique les estimations a priori du §IV, prop. 4.1 a (5.17). En utilisant(5.17’) et le fait que la suite Vn = (Φn, an, ρ0,n, ϕn) est de Cauchy dans Hsk(ω0);on passe la limite dans les inegalites obtenues pour ν −→ ∞. On deduit queUn = (Fn, An, ρn, fn) est une suite de Cauchy dans Es−1

k (Ωt), et qu’elle y convergevers U = (F,A, ρ, f) ∈ Es−1

k (Ωt). On montre alors, comme au 2) et 3) et utilisant laconvergence de Vn vers U0 dansHsk(ω0) que U est la solution unique du probleme deCauchy dans Es−1

k (Ωt) avec la donnee U0 dansHsk(ω0). Maintenant, l’espace ξsk(Ωt)est le dual d’un espace de Banach; ses boules fermees sont faiblement compactes,donc faiblement fermees. On en deduit, en extrayant des sous suites de (Un,ν) et(Un) qui convergent faiblement dans ξsk(Ωt) et donc a fortiori, dans D′(t) faible,que U est dans le sous espace ξsk(Ωt) de Es−1

k (Ωt).

6) Solution du systeme complet de Yang-Mills-Vlasov couple avecl’equation de conservation de la charge de Yang-Mills

D’apres 4) la suite Un = (Fn, An, ρn, fn) definie au 5) verifie ∇αJαn = 0, ouJn est definie par (2.7) avec f = fn et ρ = ρn. En utilisant la convergence de (Un)vers U = (F,A, ρ, f) dans Es−1

k (Ωt) on a ∇αJα = 0, ou J est defini par (2.7) avecces fonctions f et ρ; comme s > N

2 + 5, dans U = (F,A, ρ, f, ) F, A, ρ sont declasse C2 et f de classe C1, et U est solution du probleme de Cauchy pour (Σ) avecdes donnees de Cauchy qui satisfont aux contraintes. D’apres le lemme 2.2, §II, Uest solution du systeme complet de Yang-Mills-Vlasov couple avec l’equation deconservation de la charge de Yang-Mills. De plus la solution F est la 2-forme decourbure de la solution A. D’ou le theoreme 5.1.

VI Solution locale dans le temps et globale dans l’espacedu systeme non lineaire

a) Espaces fonctionnels des donnees sur S et S = TS × ϑ. On definit sur S decoordonnees locales xi, pi, qA a partir de la metrique g de S la metrique proprementriemannienne d’expression locale :

g = gijdxidxj + (p0)−2gijDp

iDpj + ds20 (6.1)


ou Dpi = dpi + Γi

hkph dxk et ds2

0 est la metrique induite sur la sphere ϑ de G

definie par (1.9), par la metrique euclidienne de G (Γ connexion de g).On designe par ∇ et par ∇ la derivee covariante au sens des distributions

sur (S, g) (resp; sur (S, g). On pose pour v = Φ ou a, tenseurs de S dans G,ρ0 : S −→ R, ϕ : S −→ R des fonctions :

| ∇l v |2 = ∇i1 · · · ∇ilvh1···hp · ∇i1 · · · ∇ilvh1···hp l ∈ N (6.2)

| ∇l ρ0 |2= ∇i1 · · · ∇ilρ0∇i1 · · · ∇ilρ0 (6.3)

| ˆ∇lϕ |2= ˆ∇

i1· · · ˆ∇

ilϕ ˆ∇i1 · · · ˆ∇ilϕ (6.4)

Ou dans (6.2) le point designe le produit scalaire dans G et dans (6.2), (6.3) (6.4)on monte et on desend les indices avec g et ˆg. On considere un recouvrement Bδde S, par des boules B; le boules B = B × R3 × ϑ forment un recouvrementde S; chaque boule est une boule geodesique de rayon δ de (S, g) [δ > 0 est lerayon d’injectivite introduit au §I]. On designe par H l,u

s (S) [resp. H l,uk,s(S), ] s ∈ N,

l’espace des tenseurs de S dans G ou des fonctions de S dans R, w = Φ, a, ρ [resp.

des fonctions ϕ sur S] mesurables, tels que | ∇lw |2 [resp. (p0)2k+2(j+j)+1 | ∇j

ϕ |2]soit integrable sur B (resp. B) par rapport aux elements de volume µ0 = µ(g) surS (resp. θ = µ0 ∧ ωp ∧ ωq sur S] et d’integrales uniformement bornees.

On munit Hl,us (S) de la norme :

‖w‖Hl,us (S) = sup ‖w‖Hs(B) ou ‖w‖Hs(B) =

∑l≤s

∫B

| ∇lw |2 µ0

1/2

(6.4′)

et ou le supremum est pris sur l’ensembe des B dans Bδ. Ce qui en fait un espacede Banach. Si w = ρ0, la relation 0 < C1 ≤ U0 ≤ C2 sur S montre que la norme(6.4’) ou B est remplace par ω0 est equivalente a (4.4’) pour τ = 0. On munitHl,uk,s(S) de la norme :

‖ϕ‖Hl,uk,s(S) = sup ‖ϕ‖Hsk(B)

ou ‖φ‖Hsk(B) =

∑j≤s

∫B

(p0)2k+2(j+j)+1 | ∇ϕ |2 θ0

1/2

(6.5)

ou le supremum est pris sur l’ensemble des boules B, et ou, vues les proprietes deg et la definition (6.1) de ˆg la norme sur B dans (6.5) est en remplacant B par ω0equivalente a (5.4), avec des constantes ne dependant que de g; d’ou la notationanalogue adoptee. H l,u

k,s(S) est un espace de Banach. On pose

Hl,uk,s(S) = (H l,us (S))3 ×H l,u

k,s(S)


Noter que ∀B ∈ Bδ, si ω0 ⊂ B et donc ω0 ⊂ B si U0 ∈ Hl,uk,s(S) alors i∗ω0U0 ∈

Hsk(ω0) [def (5.3)] ou iω0 : ω0 → S et on a

‖i∗ω0U0‖Hsk(ω0) ≤ C‖U0‖‖Hl,uk,s(ω0) (6.6)

ou C ne depend que de de g.

b) Espaces fonctionnels pour le probleme d’evolutionNous allons construire un espace fonctionnel adapte au probleme. D’apres le

theoreme d’unicite, le probleme de Cauchy a donnee nulle U0 = 0 sur ω0 n’admetque la solution nulle sur Ωt. Considerons le probleme de Cauchy a donnee U0 surS tout entier. Soient s > N

2 + 5; k > 32 , U0 = (Φ, a, ρ0, ϕ) ∈ Hl,uk,s(S), U0 6= 0, donc

‖U0‖Hl,uk,s(S) 6= 0.∀B ∈ Bδ, ∃xi ∈ S tel que B = B(xi, δ). Notons I l’ensemble des indices i

et Bi = B(xi, δ). On a donc S ⊂⋃i∈I Bi et S ⊂

⋃i∈I Bi ou Bi = Bi × R3 × ϑ.

Soit ti > 0 le nombre fourni par le theoreme (5.1) (d’existence) et Ωiti ⊂ R × Bi,le domaine de VT defini par (4.1) de ”base” ω0,i = Ωiti ∩ S, tel que le probleme deCauchy pour le systeme non lineaire de Yang-Mills-Vlasov, couple avec l’equationde conservation de la charge de Yang-Mills, avec les donnees de Cauchy j∗ω0,i

U0

ou jω0,i : ω0,i → S, admet une solution unique Ui = (Fi, Ai, ρi, fi) dans ξsk(Ωiti).Le nombre ti etant une fonction decroissante de ‖j∗ω0,i

U0‖Hlsk (ω), la famille (ti)i∈Iest vu (6.6), minoree par un nombre t0 > 0 ne dependant que de la norme deU0 dans Hl,uk,s(S). On a Ωit0 ⊂ Ωiti car ti ≥ t0, ∀i ∈ I et Ui ∈ ξsk(Ωit0), ∀i. On aVt0 = [0, t0]× S =

⋃i∈I Ωit0 ; Vt0 =

⋃i∈I Ωit0).

On definit sur Vt0 , de coordonnees locales x0, xi, pi, qA, a partir de la metriqueγ [def.(1.3)] la metrique proprement riemannienne d’expression locale

γ = γαβdxαdxβ + (p0)−2DpiDpj + ds2

0 (6.7)

ouDpi = dpi + Γihkp

hdxk ( Γ connexion de g)

On designe par ∇ (resp ∇ ) la derivee covariante au sens des distributions sur(Vt0 , g) [resp. (Vt0 , γ) ] On pose, pour une fonction f sur Vt0 :

| ∇jf |2= ∇A1 · · · ∇Aj f∇A1 · · · ∇Aj f j ∈ N

ou on monte et desend les indices avec γ. Noter que vues les hypotheses sur gdonc sur γ et vue la definition (6.7) de γ, la norme ‖f‖τs,2,k definie par (4.3) estequivalente a ∑

j≤s

∫ωr

(p0)2k+2(j+j)+1 | ∇jf |2 θτ

1/2

(6.8)


avec des constantes ne dependant que de g. On definit donc une norme equivalenteen remplacant dans (4.6) ‖f‖τs,2,k par (6.8).

On definit les espaces locaux Es2,loc(Vt) et Es2,k,loc(Vt) comme suit:

U ∈ Es2,loc(Vt0)⇔ i∗jU ∈ Es2(Ωjt0);

f ∈ Es2,k,loc(Vt)⇔ f |Ωjt0 )∈ Es2,k(Ωjt0);

∀j ∈ I, ou ij : Ωjt0 → Vt0 et U = F, A tenseurs de Vt0 dans G, ou U = ρ, fonctionde Vt0 dans R et f fonction de Vt0 dans R.

La topologie de Es2,loc(Vt0) [resp. Es2,k,loc(Vt0) ] est definie par la famille dessemi normes pj,s(U) = ‖U‖Es2(Ωjt0 ) [resp; pj,s(f) = ‖f‖Es2,k(Ωjt0 ) ] j ∈ I. qui en fontdes espaces localement convexes separes. On pose

ξs2,k,loc(Vt0) = (Es2,loc(Vt0))3 × Es2,k,loc(Vt0).

c) Le theoreme d’existenceTheoreme [solution globale dans l’espace et locale dans le temps] Si s > N

2 + 5 etsi U0 = (Φ, a, ρ0, ϕ) ∈ Hl,uk,s(S) et satisfait les contraintes, alors il existe un nombret0 > 0, ne dependant que de la norme de U0 dans Hl,uk,s(S), tel que le systeme deYang-Mills-Vlasov couple avec l’equation de conservation de la charge de Yang-Mills ait une solution et une seule U = (F,A, ρ, f) dans l’espace ξs2,k,loc(Vt0)prenant la donne de Cauchy U0 sur S. Si m = 0, on suppose en outre quesupp(ϕ) ⊂ gi,jpipj ≥ C > 0.Preuve. On definit U = (F,A, ρ, f) sur (Vt0)3 × Vt0 par recollement des solutionsUi = (Fi, Ai, ρi, fi) du systeme sur Ωi(t0) = (Ωit0)3 × Ωit0 en posant U = Ui surΩi(t0).

Pour i 6= j, on a la meme donnee de Cauchy sur ω0,i ∩ ω0,j et le theoremed’unicite assure que Ui = Uj dans Ωi(t0) ∩ Ωj(t0). Ensuite, puisque ∀i ∈ I, Ui ∈ξs2,k(Ωit0) on a U ∈ ξs2,k,loc(Vt0). Enfin l’unicite de la solution U dans ξs2,k,loc(Vt0)s’obtient a partir de son unicite dans l’espace localement convexe separe ξ0

2,k,loc(Vt0)que l’on prouve comme pour le theoreme (5.1) en utilisant prop (5.1), §V et lessemi normes pi,0 et pi,o.

Remarque Dans le cas m = 0, on peut en prenant V = R × S3, en deduire partransformation conforme, l’existense globale dans le temps, sur l’espace-temps deMinkwowki.

Conclusion Le probleme de l’existence globale dans le temps reste ouvert.Nous allons pour terminer indiquer quelques applications, parmi les plus

recentes de ces equations de Yang-Mills que nous venons d‘etudier. On peut citer:1) L’etude des excitations collectives et des phenomenes de transport de

plasma de Yang-Mills a haute temperature [7]


2) La reproduction par ces equations, dans certains regimes, des resulats dela theorie quantique des champs [6]

3) L’obtention des solutions numeriques des equations de Yang-Mills-Vlasovpour le probleme de la Baryogenese dans l’univers primordial [9], ou pour laphysique hadronique ”a petit x” dans les collisions d’ions lourds ultrarelativistes,resultats obtenus recemment par W. Poeschl et B. Muller.

References

[1] Y. Choquet-Bruhat et D. Christodoulou, ”Existence of global solutionsof Yang-Mills-Higgs and Spinor fields, Ann. Ec. Norm. Sup. 4eme serie,t.14(1981), pp. 481–500.

[2] R. Glassey, W. Strauss, ”Singularity formation in a collisionless plasma couldoccur only at high velocities. Arc. Rational Mech. Anal. 92(1986) pp. 59–90

[3] S. Wolman, Local existence and uniqqueness theory of the Vlasox-Maxwellsystem”,J. Math.Anal. appl. 127(1987), pp. 103–121

[4] Y. Choquet-Bruhat et N. Noutchegueme: systeme de Yang-Mills-Vlasov enjauge temporelle.Ann. Inst. Henri Poincare, Vol. 55, N 3, 1991, pp. 759–787

[5] R. Glassey, I. Scheffer : The relativistic Vlasov-Maxwell equations in low di-mension, Pitman research Notes in Mathematics series, MKV Murthy abdSpagnolo, (1992)

[6] J.P. Blaizot, E. Iancu, Physical Review Letters 70 (1993) 3376, and NuclearPhysics B 417 (1994) 608

[7] P.F. Kelly, Q. Liu, C. Lucchesi, C. Manuel, Physical Review Letters 72 (1994)3461, and Physical Review D 50 (1994) 4209.

[8] R. Balean, T. Bartnick, The null-time boundary problem for Maxwell equationsin Minkowski-space,Proc. R. Soc. London, (1998),pp 2041–2057

[9] G.D. Moore, C. Hu, B. Muller, Physical Review D58 (1998) 04001.

N. Noutchegueme and P. NoundjeuUniversite de Yaounde IFaculte des SciencesDepartement de MathematiquesB.P. 812Yaounde, Cameroune-mail : [email protected]

Communicated by V. Rivasseausubmitted 16/04/99, revised 3/07/99, accepted 1/07/99

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Système de Yang-Mills-Vlasov pour des Particules avec Densité de Charge de Jauge Non-Abélienne sur un Espace-Temps Courbe :