Systèmes multivariables

Systèmes multivariablesCoordination de systèmes et de dispositifs dynamiques distribués

Dr Denis GILLETMaître d’enseignement et de recherche

Destiné aux étudiants des sections dela Faculté des Sciences et Techniques de l’Ingénieur (STI)

LausanneSeptembre 2011

Les ouvrages signalés dans ce cours sont disponibles pour la plupart à la Bibliothèque centrale de l’EPFL dans la collection d’enseignement COEN.

Pour tout renseignement complémentaire vous pouvez utiliser, à la Bibliothèque, les terminaux placés à proximité de la COEN.

Vous pouvez également vous adresser à l’accueil /Information à l’entrée de la Bibliothèque centrale, Tél.: 021 693 2156, [email protected]

Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur estillicite. © D. Gillet, 1995-2011

1

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

1.1 SystèmeLes différents éléments d’interaction entre un système dynamique et son

environnement sont représentés dans la figure qui suit.

Figure 1-1 Définitions des grandeurs relatives à un système.

• Actions• Causes• Données• Moyens disponibles pour

influencer le système• Influences de l’environnement

sur le système• Excitation• Grandeurs pouvant être

manipulées

• Réactions• Effets• Résultats• Comportements qui doivent

être observés ou modifiés• Influences du système sur

l’enviromment• Réponse du système• Observations

Entrées Sorties

Pert

urba

tions

Système

Objet de notre attention

Collection d’objets en interaction

Environnement

Influence de l’environnementsur le système

• aléatoires• négligées• non-souhaitées• inconues

2

SYSTÈME

Rappelons que les entrées d'un processus représentent des causes quiagissent sur lui de l'extérieur, par exemple des perturbations, ou encore desexcitations standard (impulsion, saut, rampe et sinusoïde). Les sorties regroupentles effets qui en découlent et désignent le plus souvent des signaux mesurés. Lessystèmes considérés dans ce chapitre sont essentiellement multivariables, c'est-à-dire qu'ils possèdent r entrées mutuellement couplées avec p sorties

; ainsi, l'entrée , par exemple, peut influencer simultanémentplusieurs sorties. Une description schématique d'un tel système apparaît dans lafigure 1-2.

Figure 1-2 Système multivariable à entrées et sorties

Soulignons que les entrées influencent l'état dans lequel se trouve unsystème et que les sorties dépendent de cet état. Bien que cette notion d’état puisseêtre perçue intuitivement, elle sera abordée formellement dans la prochainesection. Soulignons finalement que seule une représentation mathématique desinteractions mentionnées est à même de fournir les informations nécessaires àl’ingénieur pour ses tâches d’analyse et de synthèse de systèmes de commande.Une telle représentation constitue le modèle du système.

Les lois physiques régissant les systèmes étant presque exclusivement denature différentielle, les modèles les plus souvent rencontrés sont analogiques. Ilarrive néanmoins que le comportement du processus ne présente un intérêt qu'àdes instants discrets, plutôt qu'à tout instant. C’est le cas des modèles mis en jeudans des algorithmes d'automatisation et de simulation implantés sur ordinateur.Un caractère intrinsèquement discret surgit également lors de mesureséchantillonnées ou d'un fonctionnement pulsé.

u1 u2 … ur, , ,y1 y2 … yp, , , ui

u1

u2

ur

y1

y2

yp

r p

3

INTRODUCTION

1.2 Linéarité

Toute fonction numérique définie sur un espace vectoriel est appeléefonctionnelle.

Une fonctionnelle est dite additive, si . Elle estdite homogène, si pour tout et pour tout nombre on a .

Une fonctionnelle additive et homogène s’appelle une fonctionnellelinéaire. A titre d’exemple, citons l’intégrale définie qui est une fonctionnellelinéaire:

La combinaison des deux conditions mentionnées est connue sous le nomde principe de superposition, soit:

Un système dynamique dont le modèle satisfait leprincipe de superposition est dit linéaire.

Si l’excitation produit la réponse , c’est-à-dire si et si l’excitation produit la réponse , c’est-à-dire si, alors la somme pondérée des excitations conduit à une

réponse qui est la somme pondérée des réponses obtenues séparément:

On dit que le système se comporte de manière proportionnelle.

Le système régit par l’équation est linéaire (figure 1-3). Eneffet:

Le système régit par l’équation n’est pas linéaire, malgréle fait que cette fonction soit décrite par une droite (figure 1-4).

f V

f f x y+( ) f x( ) f y( )+=x V∈ α f αx( ) αf x( )=

I x( ) x t( ) td

a

b

∫=

f αx βy+( ) αf x( ) βf y( )+=

y t( ) f u t( ) t,[ ]=

u1 t( ) y1 t( )y1 t( ) f u1 t( ) t,[ ]= u2 t( ) y2 t( )y2 t( ) f u2 t( ) t,[ ]=

f αu1 t( ) βu2 t( )+ t,[ ] αf u1 t( ) t,[ ] βf u2 t( ) t,[ ]+ αy1 t( ) βy2 t( )+= =

y· t( ) au t( )=

a αu1 t( ) βu2 t( )+[ ] αau1 t( ) βau2 t( )+ αy1 t( ) βy2 t( )+= =

y· t( ) au t( ) b+=

4

LINÉARITÉ

En effet:

est différent de:

Un retard pur constitue également un système linéaire.Ceci se montre aisément.

Soit , c’est-à-dire que , et soit , c’est-à-dire que . Avec et pour , nousavons:

Figure 1-3 Modèle linéaire

Figure 1-4 Modèle non linéaire

a αu1 t( ) βu2 t( )+[ ] b+ αau1 t( ) βau2 t( ) b+ +=

αy1 t( ) βy2 t( )+ α au1 t( ) b+[ ] β au2 t( ) b+[ ]+=

αau1 t( ) βau2 t( ) 2b+ +=

y· t( )

u t( )

b

y· t( )

u t( )

y t( ) u t τ–( )=

u1 y1→ y1 t( ) u1 t τ–( )= u2 y2→y2 t( ) u2 t τ–( )= u y→ u t( ) αu1 t( ) βu2 t( )+=

y t( ) u t τ–( ) αu1 t τ–( ) βu2 t τ–( )+ αy1 t( ) βy2 t( )+= = =

5

INTRODUCTION

1.3 Signaux

Les signaux d’entrée, de sortie ou de perturbation d’un système sont soitde nature analogique, soit de nature discrète.

Soit une variable relative représentant le temps écoulé depuis le dé-but de l’observation, un signal analogique réel est une fonction continue

de cette variable. C’est-à-dire qu’elle est définie pour touttemps t.

Soit , un sous-ensemble de nombres réels appelés instantsd'échantillonnage. Un signal discret réel est une fonction .Cette fonction n'est donc définie qu'aux instants d’échantillonnage, comme lemontre la figure 1-5. Occasionnellement, des signaux discrets complexes

seront considérés pour condenser des développementsmathématiques.

Dans le présent cours, les instants d’échantillonnage sont uniformémentespacés:

Nous dirons que l'échantillonnage est périodique ou régulier; le nombreréel est appelé période d’échantillonnage et est la fréquenced'échantillonnage. Lorsqu'il n'y a aucun risque d'ambiguïté, la notation estemployée au lieu de pour représenter un signal discret; cette écrituresimplifiée ne provoque bien sûr aucune perte de généralité.

Figure 1-5 Signal discret

t R∈

s: t: t R∈{ } R→

tk: k Z∈{ }w: tk: k Z∈{ } R→

w: tk: k Z∈{ } C→

t 3– t 2– t 1– t0 t1 t2 t3 t4

t

w tk( )

• • •

••

• • •

tk kh=

h 0> fe 1 h⁄=w k( )

w kh( )

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EXEMPLES QUALITATIFS

1.4 Exemples qualitatifs

1.4.1 Entraînement électrique

L’entraînement est un système SISO (single input, single output) et linéai-re. Son entrée est la tension d’alimentation et sa sortie la position angulaire .Sa dynamique peut être décrite par une fonction de transfert (FT).

Une solution classique exploitée en pratique pour asservir la positionangulaire de cet entraînement consiste à introduire un régulateur de type PD(proportionnel, dérivé).

Une autre solution consiste à introduire deux régulateurs arrangés encascade. Cette méthode présente de meilleures caractéristiques en réjection desperturbations et permet de limiter la vitesse. Elle nécessite un capteur de vitesse etde position.

Une boucle interne de limitation du courant est parfois introduite.

Figure 1-6 Schéma fonctionnel d’un entraînement électrique

Figure 1-7 Réglage classique d’un entraînement électrique

Figure 1-8 Réglage en cascade d’un entraînement électrique

u θ

ω 1s---A

1 sτ+--------------u θ

Perturbations de charge

As 1 sτ+( )---------------------

θc

-

u θPD

PD PI A1 sτ+-------------- 1

s---

- -

θc ωc ω θ1s---

u

7

INTRODUCTION

Les solutions décrites peuvent être trop coûteuses lorsqu’il s’agit deproduire des entraînements en grande série. Il est en effet judicieux dans ce cas delimiter le nombre de capteurs. Ces solutions ne sont de plus pas capables deprendre en compte explicitement des contraintes, comme la saturation del’actionneur des gouvernes d’un satellite ou de minimiser l’effort de réglage(énergie utilisée).

Les méthodes d’état que nous étudierons dans ce cours permettentd’observer des grandeurs non mesurables ou trop coûteuses à mesurer. Il seraégalement possible avec une commande d’état optimale de régler un systèmeMIMO (multiple inputs, multiple outputs) en tenant compte par exemple dessaturations de la commande. Toutefois, l’application de ces techniques nécessiteune bonne connaissance du modèle, ce qui n’est pas le cas par exemple lors dudimensionnement d’un régulateur standard de type PID par la méthode de Ziegler-Nichols.

Avec une telle structure de commande, et comme nous le verrons par lasuite, toute la dynamique du système est contrôlée.

Figure 1-9 Structure d’une commande d’état

Régulateurd’état Entraînement

Observateur

θcωcic

u

θω

i

θ

Conception du régulateur d’état

Forme générale de représentation“représentation d’état”

Conception de l’observateurd’état

une mesure!

Nombre de contre-réactions= ordre du système

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1.4.2 Pendule inversé

Le pendule inversé est un système académique simple permettantd’étudier la dynamique de systèmes instables plus complexes, comme celle d’unefusée sur son pas de tir ou d’un bateau. Il s’agit d’un système SIMO (single input,multiple outputs).

Dans un tel système, l’entrée influence dynamiquement deux sortiessimultanément (et les sorties s’influencent).

Une description par fonction de transfert n’est plus possible dans ce cas,ce qui conduit à la recherche d’une forme de représentation plus général. Nousverrons qu’une représentation d’état est bien adaptée. Les solutions classiques decommande ne permettent pas non plus de régler deux grandeurs à la fois. Nousverrons que l’introduction d’une commande d’état est appropriée.

Figure 1-10 Pendules

Figure 1-11 Interdépendance des entrée-sorties d’un pendule

θ

θx

x

Plate-forme de lancement

Grue à portique

charge

entréeF

de fusée

PenduleFθ

x

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INTRODUCTION

1.4.3 Robot à deux degrés de liberté

Le robot représenté ci-dessous possède une rotule permettant à son brasd’effectuer une rotation complète dans le plan sous l’action d’un couple . Le braslui-même peut coulisser sur la rotule pour se déplacer radialement sou l’actiond’une force . Les grandeurs et sont les entrées de ce système MIMO. Sessorties sont les positions angulaire et radiale . Le déplacement du bras estsoumis à une limitation mécanique .

Figure 1-12 Structure de la commande d’état d’un pendule

Figure 1-13 Schéma de principe d’un robot

Figure 1-14 Interdépendance des entrée-sorties d’un robot

Régulateurd’état Pendule

Observateur

uθ

x

xcvcθcωc

xv

θω

T

F T Fθ r

rmax r0=

TF

r

θ

y

x

m

F

θT

r

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Une technique standard de commande d’un tel robot consiste à introduiredeux régulateurs qui travaillent séparément, parfois de façon antagoniste. Si laforce F est modifiée, cela modifie la longueur du bras, donc l’inertie. L’effet de Ts’en trouve donc perturbé.

Nous verrons que grâce aux méthodes d’état, il sera possible de tenircompte des interactions dans le régulateur, voire de découpler les comportementsde rotation et de translation. C’est-à-dire qu’une modification de ne provoquepas de modification intempestive de (interaction compensée par le régulateur).

Figure 1-15 Schéma fonctionnel de commande d’un robot

F

θT

rPI

PD

-

-

rc

θc

Robot

rcθ

11

CHAPITRE 2

REPRÉSENTATION D’ÉTAT

2.1 Etat et variables d’état

2.1.1 Introduction

L’état d’un système rassemble toutes ses grandeurs internes susceptiblesd’évoluer au cours du temps, que ce soit sous l’effet d’un apport ou d’un transfertde matière, d’énergie ou d’information. En d’autres termes, l’état correspond auxniveaux des réservoirs de matière, d’énergie ou d’information du système. Lecomportement d’un système dynamique dépend évidemment fortement de l’étatdans lequel il se trouve. Le choix des grandeurs qui caractérisent l’état n’est pasunique, le niveau d’une cuve de dimensions connues représente aussi bien son étatque le volume de cette cuve.

Dans le chapitre précédent, nous avons constaté que les relationsmathématiques qui décrivent les interactions dynamiques entre les entrées et lessorties des systèmes analogiques, en particulier les systèmes électro-mécaniques,ont la forme d’équations différentielles ordinaires. Dans le cas des systèmesdiscrets, les relations considérées ont la forme d’équations aux différencesordinaires. Les grandeurs qui apparaissent sous forme de dérivées dans leséquations différentielles, respectivement de différences dans les équations auxdifférences, jouent un rôle primordial en théorie des systèmes; elles sont appeléesvariables d’état. Elles portent l’information sur le passé du système; informationqui se résume à un état précis (contenu des réservoirs de matière, d’énergie etd’information). Ces grandeurs importantes sont maintenant définies de façonrigoureuse et une forme de représentation générale, commune à une large classede systèmes dynamiques, est également introduite. Elle est connue sous le nom demodèle d’état. De nombreuses méthodes de simulation et d’analyse se fondent surcette forme de représentation du processus à étudier. Il en est de même pour destechniques évoluées de conduite et d'estimation.

12

ETAT ET VARIABLES D’ÉTAT

2.1.2 Définitions

L'état d'un système à un instant donné quelconque est l'informationminimale qui permet, si les entrées sont connues à l'instant donné et pour lesvaleurs du temps subséquentes, la détermination unique des sorties à l'instantdonné et pour les valeurs du temps subséquentes.

Ainsi, l'état d'un processus est l'information résumant parfaitement le pas-sé du système puisqu'elle fixe toute évolution future si les entrées sont spécifiées.

Dans ce cours, on ne considère que les processus pour lesquels l'état à uninstant donné est un nombre fini n de nombres réels, qui sont tout naturellementrassemblés dans un vecteur x de dimension n dit vecteur d'état:

(2.1)

Les coordonnées du vecteur d'état sont les variables d'état.L'entier n est par définition l'ordre du système.

Dans le but d'alléger les notations, les entrées sont ellesaussi regroupées dans un vecteur u de dimension r, dit vecteur d'entrée:

(2.2)

Il en est de même des sorties , réunies dans un vecteur y dedimension p appelé vecteur de sortie:

(2.3)

x

x1

x2

xn

=

x1 x2 … xn, , ,

u1 u2 … ur, , ,

u

u1

u2

ur

=

y1 y2 … yp, , ,

y

y1

y2

yp

=

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Le schéma fonctionnel de la figure 1-2 est alors couramment remplacé parcelui de la figure 2-1, où les lignes doubles symbolisent des quantités vectorielles.

Cette figure met en évidence le fait que le vecteur d'état est une grandeurinterne au système, souvent non mesurable et par conséquent différente de lasortie. Ainsi, toute modélisation d'état fera intervenir non seulement les entrées etsorties, quantités externes, mais également des variables d'état internes. C'est laraison pour laquelle une telle représentation est dite interne.

2.1.3 Sélection des variables d’état

Pour extraire les variables qui permettent de décrire le système dans le for-maliste d’état choisi, il faut tout d’abord inventorier l’ensemble des grandeurs quiapparaissent sous forme dérivée dans les équations. Ces grandeurs sont notées ,

. L’ordre maximum respectif de dérivation des est noté . Cettequantité définit le nombre de variables d’état qu’il faut introduire pour représenterune grandeur . Ces variables d’état sont, par ordres de dérivation successifs:

où: et pour

L’ordre du système (linéaire ou non linéaire) et égal à la somme des :

La sélection des entrées et des sorties est fonction de l’applicationconsidérée. Les entrées sont les variables indépendantes, alors que les sorties sontles grandeurs mesurées. Les grandeurs qui ne sont ni des variables d’état, ni desentrées, ni des sorties, doivent être éliminées par substitution.

Figure 2-1 Schéma fonctionnel d'un système multivariable.

Etat: xu y

γii 1 … nγ, ,= γi ρi

γi

γi0( ) γi

1( ) … γiρi 1–( )

, , ,

γi0( ) γi= γi

k( )

tk

k

d

d γi= k 1 … ρi 1–, ,=

ρi

n ρii 1=

nγ

∑=

14

ETAT ET VARIABLES D’ÉTAT

Soit un système d’équations différentielles quelconques, comme parexemple:

L’application de la méthode à cet exemple donne:

L’ordre de ce système est donné par l’expression .

L’équation d’état est obtenue par dérivation des variables d’étatsélectionnées. Les équations originales sont exploitées par substitution pourexprimer les dérivées des variables d’état en fonction des variables d’état, desentrées et du temps.

La même démarche est exploitée pour exprimer les sorties en fonction desvariables d’état, des entrées et du temps. Par exemple, si seule la grandeur estmesurée il vient:

i grandeurs ordres variables d’état

1 v 1

2 w 2 ,

3 z 1

Tableau i Sélection des variables d’état

aw·· z·sin+ u12=

v· z·cos+ u2=

z· αt=

γi ρi

x1 v=x2 w= x3 w·=

x4 z=

ρ1 ρ2 ρ3+ + 4=

x·1 v· u2 z·cos–( )2 u2 αtcos–( )2= = =

x·2 w· x3= =

x·3 w·· 1a--- u1

2 αtsin–( )= =

x·4 z· αt= =

w

y w x2= =

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2.2 Modèle d’état analogique

2.2.1 Définitions

Après application des lois physiques les gouvernant, de nombreuxprocessus physiques peuvent être décrits par des équations différentielles etalgébriques exhibant la structure suivante:

(2.4)

(2.5)

La variable t est le temps. On introduit les notations vectorielles:

; et

Les fonctions f et g sont données par:

,

x·1 t( ) f1 x1 t( ) … xn t( ) u1 t( ) … ur t( ) t, , , , , ,[ ]=

x·2 t( ) f2 x1 t( ) … xn t( ) u1 t( ) … ur t( ) t, , , , , ,[ ]=

x·n t( ) fn x1 t( ) … xn t( ) u1 t( ) … ur t( ) t, , , , , ,[ ]=

y1 t( ) g1 x1 t( ) … xn t( ) u1 t( ) … ur t( ) t, , , , , ,[ ]=

y2 t( ) g2 x1 t( ) … xn t( ) u1 t( ) … ur t( ) t, , , , , ,[ ]=

yp t( ) gp x1 t( ) … xn t( ) u1 t( ) … ur t( ) t, , , , , ,[ ]=

x t( )

x1 t( )

x2 t( )

xn t( )

= u t( )

u1 t( )

u2 t( )

ur t( )

= y t( )

y1 t( )

y2 t( )

yp t( )

=

f x t( ) u t( ) t, ,[ ]

f1 x t( ) u t( ) t, ,[ ]

f2 x t( ) u t( ) t, ,[ ]

fn x t( ) u t( ) t, ,[ ]

= g x t( ) u t( ) t, ,[ ]

g1 x t( ) u t( ) t, ,[ ]

g2 x t( ) u t( ) t, ,[ ]

gp x t( ) u t( ) t, ,[ ]

=

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MODÈLE D’ÉTAT ANALOGIQUE

Par définition:

Les relations (2.4) et (2.5) prennent alors l'allure très compacte:

(2.6)

(2.7)

Le vecteur est l'entrée du système et sa sortie. Supposonsmaintenant que et , , sont connus. L'équation (2.6) peutconceptuellement être résolue pour , en admettant que les conditionsd'existence et d'unicité d'une solution sont vérifiées; la relation (2.7) permet alorsle calcul de pour . Ainsi, comme la notation le laissait présumer, forme l'état au temps .

L'équation (2.6) régissant le comportement dynamique du processus estappelée équation d'état; la relation (2.7) fournissant sa sortie est l'équation desortie. Notons que, dans la pratique, il est rare que intervienne dans cettedernière. Ces deux équations forment le modèle d'état. Il est dit analogique, àtemps continu et différentiel.

2.2.2 Représentation d’état des systèmes linéaires

Un cas particulier extrêmement important de modèle d’état est celui danslequel les fonctions f et g possèdent la forme suivante:

, , et sont respectivement des matrices de dimensions, , et .

x· t( )

x·1 t( )

x·2 t( )

x·n t( )

=

x· t( ) f x t( ) u t( ) t, ,[ ]=

y t( ) g x t( ) u t( ) t, ,[ ]=

u t( ) y t( )x t0( ) u t( ) t t0≥

t t0≥

y t( ) t t0≥ x t0( )t0

u t( )

f x t( ) u t( ) t, ,[ ] A t( )x t( ) B t( )u t( )+=

g x t( ) u t( ) t, ,[ ] C t( )x t( ) D t( )u t( )+=

A t( ) B t( ) C t( ) D t( )n n× n r× p n× p r×

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La représentation d'état devient alors:

(2.8)

(2.9)

Un système analogique décrit par les relations (2.8) et (2.9) est dit linéaire.Il est non stationnaire si les matrices apparaissant dans ces équations dépendentdu temps et stationnaire dans la situation contraire. La figure 2-2 fournit leschéma fonctionnel de tels processus.

Remarquons que, dans ce schéma fonctionnel, les variables d'étatapparaissent à la sortie des intégrateurs. Les divers rôles joués par les matrices dumodèle ressortent maintenant clairement; la matrice d'entrée résume laliaison du vecteur d’entrée avec la partie dynamique caractérisée par lamatrice du système ; la matrice de sortie représente la connexion entrecette portion dynamique et le vecteur de sortie tandis que la matrice depassage indique une intervention directe de sur .

Le cas monovariable est caractérisé par ; la matrice devient alors un vecteur colonne de dimension n, la matrice un vecteurligne de dimension n, et finalement la matrice un nombre .

Figure 2-2 Schéma fonctionnel d'un système linéaire analogique.

x· t( ) A t( )x t( ) B t( )u t( )+=

y t( ) C t( )x t( ) D t( )u t( )+=

D t( )

A t( )

B t( ) C t( )u t( )x· t( ) x t( )

y t( )+

+

+

+ ∫

B t( )u t( )

A t( ) C t( )y t( )

D t( ) u t( ) y t( )

r p 1= = B t( )b t( ) C t( )

cT t( ) D t( ) d t( )

x· t( ) A t( )x t( ) b t( )u t( )+=

y t( ) cT t( )x t( ) d t( )u t( )+=

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MODÈLE D’ÉTAT ANALOGIQUE

Une représentation par schéma fonctionnel est reportée dans la figure 2-3.

2.2.3 Exemple: Entraînement électrique

On considère ici un entraînement électrique composé d’un moteur àcourant continu et à excitation séparée couplé à une charge, comme illustré dansla figure 2-4.

R et L sont respectivement la résistance et l'inductance du circuit d'induit,traversé par le courant i, alors que J et f dénotent l'inertie et le coefficient defrottement de la charge. La position angulaire de celle-ci est la sortie duprocessus; son entrée est la tension d'alimentation variable u du moteur.

Nous savons que la tension induite est égale à , où k est uneconstante, et que le couple fourni par le moteur est . Ainsi:

Figure 2-3 Schéma fonctionnel d’un système linéaire analogique monovariable.

Figure 2-4 Entraînement électrique

D t( )

A t( )

B t( ) C t( )u t( )x· t( ) x t( )

y t( )+

+

+

+• ∫

θ

J

o

o

i

fu

R L

ui

θ

ui kθ·

ki

u Ri Ltd

di kθ·+ +=

Jθ·· ki fθ·–=

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Soient les variables d'état , et ; le modèle d'états'établit aisément:

Cette description peut être simplifiée si on néglige l'inductance du circuitd'induit. En effet, avec , l'équation électrique se réduit à . D'oùle courant d'induit:

L'équation mécanique devient alors:

Seules les deux premières variables d’état et préalablementsélectionnées sont maintenant nécessaires pour décrire le système. Le modèled'état simplifié est ainsi:

, avec et

Il s’agit d’un système linéaire et stationnaire. Les équations obtenues sonten effet de la forme et , avec dans ce cas particulier.

x1 θ= x2 θ·= x3 i=

x·1

x·2

x·3

0 1 0

0 fJ-- – k

J--

0 kL---– R

L--- –

x1

x2

x3

001L---

u+=

y 1 0 0x1

x2

x3

=

L 0= u Ri kθ·+=

i u kθ·–R

---------------=

Jθ·· k2

R----- f+⎝ ⎠⎛ ⎞ θ·– k

R---u+=

x1 x2

x·1

x·2

0 1 0 a

x1

x2

0b

u+= a 1J---– k2

R----- f+⎝ ⎠⎛ ⎞= b k

JR------=

y 1 0x1

x2=

x· t( ) Ax t( ) Bu t( )+= y t( ) Cx t( ) Du t( )+= D 0=

20

SIMULATION D’UN PROCESSUS REPRÉSENTÉ PAR MODÈLE D’ÉTAT

2.3 Simulation d’un processus représenté par modèle d’état

2.3.1 Introduction

On a examiné dans la section précédente la représentation d'état dessystèmes dynamiques. Cette modélisation par équations différentielles du premierordre se prête bien à une résolution par ordinateur, autrement dit à la simulationnumérique du processus.

La simulation d’un processus consiste en la détermination de l'état etde la sortie pour lorsque l'entrée du système pour et l’étatinitial sont connus.

Il n'existe pas de solution analytique à ce problème général. On doit avoirrecours à des méthodes d'intégration numérique pour résoudre le systèmed'équations différentielles que constitue l'équation d'état. Ces méthodes nefournissent pas comme solution une fonction continue dans le temps, seuls sontobtenus des échantillons de la fonction cherchée, habituellement uniformémentespacés. L’intervalle de temps qui les sépare, appelé le pas d’intégration est notéh. Les instants où la solution est connue sont donnés par:

, (2.10)

La méthode d’intégration la plus intuitive, proposée par Euler, consistetout d’abord à écrire le modèle d’état à l’instant :

(2.11)

(2.12)

puis d’utiliser comme approximation de la dérivée de la solution son expressionissue des premiers termes du développement en série de l’état:

soit:

(2.13)

Ce qui donne finalement:

(2.14)

x t( )y t( ) t t0≥ u t( ) t t0≥

x t0( )

t kh= k k0 k0 1 k0 2+,+ …, , N∈=

kh

x· kh( ) f x kh( ) u kh( ) kh, ,[ ]=

y kh( ) g x kh( ) u kh( ) kh, ,[ ]=

x kh h+( ) x kh( ) x· kh( )h+≈

x· kh( ) x kh h+( ) x kh( )–h

----------------------------------------≈

x kh h+( ) x kh( ) hf x kh( ) u kh( ) kh, ,[ ]+≈

21


L’allure de la solution cherchée, l’approximation de la dérivée et les échantillonsfournis sont représentés à la figure 2-5.

Après avoir soigneusement sélectionné le pas d’intégration h, lasimulation est menée en exploitant successivement les équations (2.14) et (2.12):

Cette méthode est peu précise et peu stable mais permet une évaluation ra-pide de la solution de l’équation d’état. Une méthode plus sophistiquée couram-ment utilisée est celle de Runge-Kutta. Elle est présentée au paragraphe suivant.

Figure 2-5 Approximation de l’état fournie par une méthode d’intégration numérique.

x t( )

t

• ••

• • •x t0( )

kh kh+hk0h

x· kh( )

h

x kh h+( ) x kh( )–h

----------------------------------------

x k0h h+( ) x k0h( ) hf x k0h( ) u k0h( ) k0h, ,[ ]+≈

y k0h( ) g x k0h( ) u k0h( ) k0h, ,[ ]=

x k0h 2h+( ) x k0h h+( ) hf x k0h h+( ) u k0h h+( ) k0h h+, ,[ ]+≈

y k0h h+( ) g x k0h h+( ) u k0h h+( ) k0h h+, ,[ ]=

x kh h+( ) x kh( ) hf x kh( ) u kh( ) kh, ,[ ]+≈

y kh( ) g x kh( ) u kh( ) kh, ,[ ]=

22

SIMULATION D’UN PROCESSUS REPRÉSENTÉ PAR MODÈLE D’ÉTAT

2.3.2 Méthode de Runge-Kutta

La méthode d'intégration Runge-Kutta fournit une solution au problèmede la simulation exposé précédemment sous la forme suivante:

où a, b, c et d sont des vecteurs de dimension n donnés par:

Si la commande n'est pas disponible entre kh et kh+h, les valeurs in-termédiaires doivent être déterminées par interpolation entre et .

Cette méthode est basée sur un développement en série de Taylor de lafonction jusqu'aux termes d'ordre quatre.

On remarque que le format introduit pour représenter les modèles d'étatfournit, dans le cas de l'algorithme de Runge-Kutta, une représentation trèscondensée de ses équations.

Cette méthode est d'une précision satisfaisante et offre de plus l'avantagede diverger très rapidement si le choix du pas d'intégration h n'est pas adéquat,permettant ainsi de déceler facilement des résultats erronés. Elle est disponibledans les librairies et les logiciels mathématiques standards comme NAG, IMSL,MATLAB, Mathematica ou Octave.

2.3.3 Remarque

La simulation numérique sur ordinateur d'un processus analogique offrede nombreux avantages. Pour commencer, les algorithmes mis en oeuvre sontparfaitement connus, ce qui permet de maîtriser la précision des résultats. Letraitement de systèmes multivariables ne pose pas de problème et les fonctionsnon linéaires peuvent être construites facilement, soit au moyen de polynômes ou

x kh h+( ) x kh( ) 16--- a 2b 2c d+ + +( )+≈

y kh( ) g x kh( ) u kh( ) kh, ,[ ]=

a hf x kh( ) u kh( ) kh, ,[ ]=

b hf x kh( ) 12---a+ u kh 1

2---h+( ) kh 1

2---h+, ,=

c hf x kh( ) 12---b+ u kh 1

2---h+( ) kh 1

2---h+, ,=

d hf x kh( ) c+ u kh h+( ) kh h+, ,[ ]=

u t( )u kh( ) u kh h+( )

f

23


de fonctions transcendantes obtenues par interpolation, soit par leur stockage dansdes tableaux de valeurs.

Il ne faut toutefois pas perdre de vue que le calcul numérique estapproximatif. En particulier, la représentation des nombres par un nombre limitéde chiffres provoque des erreurs d'arrondi qui peuvent ne pas être négligeablessuivant la précision du calculateur utilisé. Les erreurs de troncature sont quant àelles provoquées par l'approximation des fonctions mathématiques au moyen deséries numériques dont on ne prend qu'un nombre limité de termes.

Finalement, le choix de la méthode et du pas d'intégration assurant laconvergence et une bonne précision des résultats n'est pas toujours aisé.

La stabilité numérique d'un algorithme est garantie lorsque l'erreurd'intégration décroît à chaque étape successive du calcul. Cette stabilité estsouvent perturbée lorsque les ordres de grandeurs des nombres intervenant dansles opérations sont très différents. Il est parfois nécessaire d'effectuer des mises àl'échelle pour pallier ce problème.

Une grande partie des difficultés mentionnées dans cette sectiondisparaissent si le modèle d’état est linéaire et plus particulièrement s’il eststationnaire. En effet, dans ce cas particulier, les outils de l’algèbre linéairefournissent une solution analytique au problème de la simulation. La descriptionde ces outils sort malheureusement du domaine de ce cours d’introduction.

24

MODÈLE D’ÉTAT DISCRET

2.4 Modèle d’état discretLes systèmes intrinsèquement discrets, les représentations discrétisées de

systèmes continus, ou les algorithmes de simulation numérique décrits à la sectionprécédente sont représentés par des équations aux différences et des équationsalgébriques. Les équations aux différences de structure quelconque peuvent êtremises sous la forme d’un système d’équations aux différences d’ordre un, par unchoix judicieux de variables d’état. Ce choix s’effectue selon la technique décriteau paragraphe 2.1.3, où la notion de dérivé est remplacée par la notion de décalaged’une période d’échantillonnage. Ainsi, un modèle d’état discret exhibe lastructure suivante:

(2.15)

(2.16)

Soient les notations vectorielles:

; et ,

et les fonctions f et g définies de la façon suivante:

,

x1 k 1+( ) f1 x1 k( ) … xn k( ) u1 k( ) … ur k( ) k, , , , , ,[ ]=

x2 k 1+( ) f2 x1 k( ) … xn k( ) u1 k( ) … ur k( ) k, , , , , ,[ ]=

xn k 1+( ) fn x1 k( ) … xn k( ) u1 k( ) … ur k( ) k, , , , , ,[ ]=

y1 k( ) g1 x1 k( ) … xn k( ) u1 k( ) … ur k( ) k, , , , , ,[ ]=

y2 k( ) g2 x1 k( ) … xn k( ) u1 k( ) … ur k( ) k, , , , , ,[ ]=

yp k( ) gp x1 k( ) … xn k( ) u1 k( ) … ur k( ) k, , , , , ,[ ]=

x k( )

x1 k( )

x2 k( )

xn k( )

= u k( )

u1 k( )

u2 k( )

ur k( )

= y tk( )

y1 k( )

y2 k( )

yp k( )

=

f x k( ) u k( ) k, ,[ ]

f1 x k( ) u k( ) k, ,[ ]

f2 x k( ) u k( ) k, ,[ ]

fn x k( ) u k( ) k, ,[ ]

=

25


,

les relations (2.15) et (2.16) deviennent alors simplement:

(2.17)

(2.18)

Le vecteur est l'entrée du système et sa sortie. Supposonsmaintenant que et , , sont connus. L'équation (2.17) peut êtrerésolue de manière récurrente pour . la relation (2.18) permet alors le calculde pour . Ainsi, comme la notation le laissait présumer, est l’étatau temps .

L'équation (2.17) gouvernant le comportement dynamique du processusest appelée équation d'état; la relation (2.18) donnant sa sortie est l'équation desortie. Le modèle d'état est dit discret ou interne, les motifs de cette dernièreterminologie étant les mêmes que ceux mentionnés dans le paragraphe 2.2.1.

2.4.1 Représentation d’état des systèmes discrets linéaires

Un cas particulier utile du modèle d’état discret est celui dans lequel lesfonctions et possèdent la forme suivante:

(2.19)

(2.20)

, , et sont respectivement des matrices de dimensions, , et . La représentation d'état devient alors:

(2.21)

(2.22)

La terminologie associée au cas discret est identique à celle adoptée dansle paragraphe 2.2.2 pour les systèmes analogiques; les matrices apparaissant dansles équations (2.19) et (2.20) jouent le même rôle que celles figurant dans lesrelations (2.8) et (2.9) (la raison des notations pour la matrice du système et

pour la matrice d'entrée deviendra évidente par la suite).

g x k( ) u k( ) k, ,[ ]

g1 x k( ) u k( ) k, ,[ ]

g2 x k( ) u k( ) k, ,[ ]

gp x k( ) u k( ) k, ,[ ]

=

x k 1+( ) f x k( ) u k( ) k, ,[ ]=

y k( ) g x k( ) u k( ) k, ,[ ]=

u k( ) y k( )x k0( ) u k( ) k k0≥

k k0≥y k( ) k k0≥ x k0( )

k

f g

f x k( ) u k( ) k, ,[ ] Φ k( )x k( ) Γ k( )u k( )+=

g x k( ) u k( ) k, ,[ ] C k( )x k( ) D k( )u k( )+=

Φ k( ) Γ k( ) C k( ) D k( )n n× n r× p n× p r×

x k 1+( ) Φ k( )x k( ) Γ k( )u k( )+=

y k( ) C k( )x k( ) D k( )u k( )+=

Φ k( )Γ k( )

26

MODÈLE D’ÉTAT DISCRET

La figure 2-6 fournit le schéma fonctionnel d'un tel système; désignel'opérateur retard.

Pour les processus monovariables, caractérisés par , la matrice devient un vecteur , la matrice un vecteur ligne et finalement

la matrice un nombre :

(2.23)

(2.24)

2.4.2 Exemple: Retard pur de 3 périodes d’échantillonnage

Soit un retard pur continu . Le retard est un multipleentier, en l’occurrence trois, de la période d’échantillonnage, ainsi

.

L’échantillonnage de la sortie de ce système au moyen d’un convertisseurAD en des instants discrets fournit l’expression .

Pour simplifier la notation, la substitution est effectuée,conduisant à la relation .

Un décalage positif de trois périodes donne finalement l’équation auxdifférences .

Trois variables doivent être introduites pour représenter ce système dansle formalisme d’état, il s’agit de , et de

.

Figure 2-6 Schéma fonctionnel d'un système linéaire discret.

q 1–

D k( )

Φ k( )

Γ k( ) C k( )u k( )x k 1+( ) x k( )

y k( )+

++ +q 1–

r p 1= =Γ k( ) g k( ) C k( ) cT k( )

D k( ) d k( )

x k 1+( ) Φ k( )x k( ) g k( )u k( )+=

y k( ) cT k( )x k( ) d k( )u k( )+=

y t( ) u t τ–( )= τ

y t( ) u t 3h–( )=

tk kh= y kh( ) u kh 3h–( )=

#h #→y k( ) u k 3–( )=

y k 3+( ) u k( )=

x1 k( ) y k( )= x2 k( ) y k 1+( )=x3 k( ) y k 2+( )=

27


L’équation d’état exhibe alors la forme:

Quant à l’équation de sortie, c’est simplement .

Sous forme matricielle, ce modèle qui est linéaire et stationnaire seprésente ainsi:

x1 k 1+( ) y k 1+( ) x2 k( )= =

x2 k 1+( ) y k 2+( ) x3 k( )= =

x3 k 1+( ) y k 3+( ) u k( )= =

y k( ) x1 k( )=

x1 k 1+( )

x2 k 1+( )

x3 k 1+( )

0 1 00 0 10 0 0

x1 k( )

x2 k( )

x3 k( )

001

u k( )+=

y k( ) 1 0 0

x1 k( )

x2 k( )

x3 k( )

=

28

MODÈLE D’ÉTAT D’UN SYSTÈME REPRÉSENTÉ PAR UNE FONCTION DE TRANSFERT

2.5 Modèle d’état d’un système représenté par une fonction de transfertSoit la fonction de transfert discrète:

(2.25)

En effectuant la division, il vient:

Par conséquent , avec:

Cette équation peut également s’écrire:

Deux équations peuvent être tirées de cette dernière expression:

(2.26)

Effectuons maintenant le choix de variables d’état suivant:

H z( ) Y z( )U z( )----------

b0 b1z 1– b2z 2– … bnz n–+ + + +

1 a1z 1– a2z 2– … anz n–+ + + +-----------------------------------------------------------------------------= =

H z( ) b0b1 a1– b0( )z 1– b2 a2b0–( )z 2– … bn anb0–( )z n–+ ++

1 a1z 1– a2z 2– … anz n–+ + + +----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+=

Y z( ) b0U z( ) Y z( )+=

Y z( )b1 a1– b0( )z 1– b2 a2b0–( )z 2– … bn anb0–( )z n–+ ++

1 a1z 1– a2z 2– … anz n–+ + + +----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------U z( )=

Y z( )b1 a1– b0( )z 1– b2 a2b0–( )z 2– … bn anb0–( )z n–+ ++

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

U z( )1 a1z 1– a2z 2– … anz n–+ + + +-------------------------------------------------------------------------- Q z( )≡

=

Q z( ) a1z 1– Q z( )– a2z 2– Q z( )– …– anz n– Q z( )– U z( )+=

Y z( ) b1 a1– b0( )z 1– Q z( ) b2 a2b0–( )z 2– Q z( ) …+ +=

… bn anb0–( )z n– Q z( )+

W1 z( ) z 1– Q z( )=

W2 z( ) z 2– Q z( )=

Wn z( ) z n– Q z( )=

29


Nous obtenons alors:

ce qui permet d’écrire l’expression de en fonction des variablesd’état et selon la relation (2.26)

d’où le modèle d’état discret:

La lettre est introduite à la place de pour souligner que les variablesd’état sont artificielles, c’est-à-dire qu’elles n’ont pas forcément de sens physique.Leur choix est simplement adapté à la construction mathématique considérée.

L’équation de sortie devient quant à elle:

Sous forme matricielle, il vient:

(2.27)

zW2 z( ) W1 z( )=

zW3 z( ) W2 z( )=

zWn z( ) Wn 1– z( )=

zW1 z( ) Q z( )=

zW1 z( ) a1W1 z( )– a2W2 z( ) …– anWn z( ) U z( )+––=

w1 k 1+( ) a1w1 k( )– a2w2 k( )– …– anwn k( )– u k( )+=

w2 k 1+( ) w1 k( )=

w3 k 1+( ) w2 k( )=

wn k 1+( ) wn 1– k( )=

w x

Y z( ) b1 a1b0–( )W1 z( ) b2 a2b0–( )W2 z( ) …+ +=

… bn anb0–( )Wn z( ) b0U z( )+ +

w k 1+( )

a1– a2– … an 1–– an–

1 0 … 0 00 1

0 00 … 0 1 0

Φw

w k( )

100

0

gw

u k( )+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩

30

MODÈLE D’ÉTAT D’UN SYSTÈME REPRÉSENTÉ PAR UNE FONCTION DE TRANSFERT

(2.28)

Par conséquent, pour construire la représentation d’état d’un systèmeSISO décrit par une fonction de transfert, il suffit d’introduire l’opposé descoefficients du dénominateur dans la première ligne de la matrice . Le vecteurcolonne est indépendant du système. Le vecteur est déterminé simplementà partir des coefficients du numérateur et du dénominateur de la fonction detransfert.

2.5.1 Exemple: Modèle discret d’un entraînement

L’entraînement électrique décrit au paragraphe 2.2.3 peut être représentépar la fonction de transfert suivante:

Le passage entre le modèle d’état analogique et la fonction de transfertdonne une constante de temps et un gain statique en vitesse de

. Le modèle de ce système linéaire et stationnaire vu au travers deconvertisseurs AD et DA est obtenu, dans ce cas SISO bien connu, par la relation:

où , et .

Un modèle d’état discret équivalent peut être construit en exploitantl’approche introduite au paragraphe précédent. Ainsi:

y k( ) b1 a1b0 | – b2 a2b0 | – … | bn anb0–

cwT

w k( ) b0u k( )+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

Φwgw cw

T

G s( ) θ s( )U s( )----------- A

s 1 sτ+( )----------------------= =

τ 1 a⁄–=A b a⁄–=

H z( ) 1 z 1––( )Z L 1– G s( )s

-----------⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

H z( ) θ z( )U z( )-----------

b1z 1– b2z 2–+

1 z 1––( ) 1 αz 1–+( )-----------------------------------------------

b1z 1– b2z 2–+

1 α 1–( )z 1– αz 2––+----------------------------------------------------= = =

b1 A h τ 1 e h τ/––( )–[ ]= b2 A τ 1 e h τ/––( ) he h τ/––[ ]= α e h τ/––=

w1 k 1+( )

w2 k 1+( )α 1–( )– α

1 0

w1 k( )

w2 k( )10

u k( )+=

y k( ) θ k( ) b1 b2w1 k( )

w2 k( )0 u k( )+= =

31


2.6 Exercices

2.6.1 Bras flexible

Un bras solidaire d’une plate-forme tournante peut pivoter autour d’un axe. Ses mouvements sont limités et amortis par deux ressorts.

La dynamique du système est régie en bonne approximation par leséquations différentielles suivantes:

est le couple moteur (entrée), est la position angulaire de laplate-forme par rapport à un référentiel fixe et est la position angulairerelative du bras par rapport à la plate-forme.

Déterminer le modèle d’état qui décrit la dynamique de ce système pour lecas où la sortie mesurée est la position angulaire .

Déterminer le modèle d’état qui décrit la dynamique de ce système pour lecas où la sortie mesurée est la vitesse angulaire .

A

A

M t( )

α t( )

θ t( )

I Ib+( )ω· t( ) Ibα·· t( )+ M t( )=

Ibα·· t( ) Ibω

· t( ) fα· t( ) Rα t( )+ + + 0=

M t( ) θ t( )α t( )

θ t( )

ω t( ) θ· t( )=

32

EXERCICES

2.6.2 Mise en série

Soit deux systèmes dynamiques décrits respectivement par les modèlesd’état linéaires discrets et :

Déterminer le modèle d’état qui correspond à la mise en série de ces deuxsystèmes.

Dans quelle(s) condition(s) cette mise en série peut-elle être effectuée ?

2.6.3 Régulateur PI discret

Pour une implantation sur une carte processeur universelle, un régulateurPI discret doit être exprimé sous la forme générale d’un modèle d’état. L’entrée durégulateur est l’écart existant entre la grandeur de consigne et la mesure.

La sortie du régulateur correspond à la commande . Il s’agit de la somme descomposantes proportionnelle et intégrale ( ):

avec:

Les paramètres , et sont respectivement la période d’échantillonnage, legain proportionnel et la constante de temps de l’intégrateur.

Déterminer le modèle d’état qui correspond à ce système dynamique.

Ma Mb

Ma: xa k 1+( ) Φaxa k( ) Γaua k( )+=

ya k( ) Caxa k( ) Daua k( )+=

Mb: xb k 1+( ) Φbxb k( ) Γbub k( )+=

yb k( ) Cbxb k( ) Dbub k( )+=

ya k( ) yb k( )ua k( )Mb

ub k( )Ma

e k( )

c k( )ui

c k( ) Kp e k( ) ui k( )+=

ui k( ) ui k 1–( ) KphTi---- e k( ) e k 1–( )+

2------------------------------------+=

h Kp Ti

33


2.7 Solutions des exercices

2.7.1 Solution bras flexible

Déterminer le modèle d’état qui décrit la dynamique de ce système pour lecas où la sortie mesurée est la position angulaire .

, soit

Déterminer le modèle d’état qui décrit la dynamique de ce système pour lecas où la sortie mesurée est la vitesse angulaire .

Dans ce cas, on peut se passer de . Un partie de la dynamique est laisséeen aval du capteur et n’est donc pas “visible”.

, soit

θ t( )

x1 t( ) θ t( )=

x2 t( ) θ· t( )=

x3 t( ) α t( )=

x4 t( ) α· t( )=

x·1 t( ) x2 t( )=

x·2 t( ) θ·· t( ) RI---x3 t( ) f

I-x4 t( ) 1

I---u t( )+ += =

x·3 t( ) x4 t( )=

x·4 t( ) α·· t( )I Ib+

Ib------------– R

I---x3 t( ) f

I-x4 t( )+ 1

I---u t( )–= =

y t( ) θ t( ) x1 t( )= =

ω t( ) θ· t( )=

θ t( )

x1 t( ) ω t( )=

x2 t( ) α t( )=

x3 t( ) α· t( )=

x·1 t( ) ω· t( ) RI---x2 t( ) f

I-x3 t( ) 1

I---u t( )+ += =

x·2 t( ) x3 t( )=

x·3 t( ) α·· t( )I Ib+

Ib------------– R

I---x2 t( ) f

I-x3 t( )+ 1

I---u t( )–= =

y t( ) ω t( ) x1 t( )= =

34

SOLUTIONS DES EXERCICES

2.7.2 Solution mise en série

2.7.3 Solution régulateur PI discret

Pour supprimer le terme indésirable , on pose comme variable d’état:

(au lieu de )

Ainsi:

Le terme indésirable disparaît pour:

Finalement:

x k 1+( )xa k 1+( )

xb k 1+( )

Φa 0

ΓbCa Φb

xa k( )

xb k( )

Γa

ΓbDaua k( )+= =

yb k( ) DbCa Cbxa k( )

xb k( )DbDaua k( )+=

y k( ) Kpu k( ) ui k( )+=

ui k 1+( ) ui k( ) KphTi---- u k 1+( ) u k( )+

2-------------------------------------+=

u k 1+( )

x k( ) ui k( ) αu k( )+= x k( ) ui k( )=

x k 1+( ) αu k 1+( )– x k( ) αu k( )– KphTi---- u k 1+( ) u k( )+

2-------------------------------------+=

x k 1+( ) x k( ) Kph

2Ti-------- α– u k( ) Kp

h2Ti-------- α+ u k 1+( )+ +=

α Kph

2Ti--------–=

x k 1+( ) x k( ) KphTi----u k( )+=

x k( ) ui k( ) Kph

2Ti--------u k( )–=

y k( ) Kpu k( ) ui k( )+ Kpu k( ) x k( ) Kph

2Ti--------u k( )+ += =

x k( ) Kp 1 h2Ti--------+ u k( )+=

35

CHAPITRE 3

LINÉARISATION

3.1 IntroductionL’intérêt des systèmes linéaires réside dans la possibilité d’appliquer le

principe de superposition et dans celle de résoudre analytiquement les équationsdifférentielles qui gouvernent leur dynamique. Néanmoins, la majorité desprocessus rencontrés dans la pratique exhibent des non-linéarités conduisant auxmodèles d'état généraux examinés précédemment. De sérieuses difficultéssurgissent malheureusement lors de l'étude directe de ces systèmes, difficultésqu'il est souvent possible de contourner en se contentant d'une approximationlinéaire du modèle original, beaucoup plus facile à analyser mais valableuniquement pour de petites déviations autour de trajectoires nominales. Cetteapproche, appelée linéarisation, est formalisée en exploitant les conceptsintroduits précédemment après l’introduction de la nomenclature nécessaire.

3.2 Grandeurs nominales

3.2.1 Trajectoire de fonctionnement ou nominale

Un profil d’évolution de l’état, des entrées et des sorties d’une installationen fonction du temps est appelé trajectoire de fonctionnement ou trajectoirenominale, s’il correspond à un mode de fonctionnement pré-spécifié de cetteinstallation. Une telle trajectoire est mise en évidence par un surlignement de l’état

, des entrées et des sorties correspondantes. Par exemple, le profil deposition que doit suivre un axe de machine outil lors de l’usinage d’une piècecirculaire s’exprime sous la forme:

Afin que l’installation puisse suivre une telle trajectoire de fonctionne-ment, il faut qu’elle respecte les contraintes liées à sa constitution et à sa dynami-

x t( ) u t( ) y t( )

x t( ) A ωt( )sin=

36

GRANDEURS NOMINALES

que propre. D’une point de vue mathématique, la trajectoire doit satisfaire leséquations différentielles et algébriques du modèle de l’installation considérée. End’autres termes et respectivement dans les cas analogique ou discret, le triplet

ou est solution du système d’équations:

Par souci de simplicité, on ne considère ici que des processusstationnaires pour lesquels les fonctions f et g ne dépendent pas explicitement dutemps. La solution de l’un ou l’autre de ces deux systèmes d’équations algébriquesnon linéaires fournit une solution qui correspond à un état accessible du système.

Il y a toujours équations dans le système, ce qui correspond au nom-bre d’inconnues qui peuvent être déterminées parmi les grandeurs quicaractérisent la trajectoire nominale. Il y a par conséquent degrés de liberté pourimposer des entrées, des sorties, des états ou une combinaison de ces grandeurs enfonction de l’application considérée. Suivant les cas, la solution peut être obtenueanalytiquement ou numériquement avec un algorithme du type Newton-Raphson.

Pour l’exemple considéré, la commande à appliquer à la machine poursuivre le profil spécifié correspond à la solution du système d’équationsalgébriques et non linéaires:

où il a été tenu compte d’une dérivée de l’état de la forme ,spécifiée par le profil choisit.

3.2.2 Commande a priori

En l’absence d’erreurs de modélisation ou de perturbations sur le système,l’application en boucle ouverte de la commande engendre l’état et les sorties

. Il s’agit donc de la commande qui est a priori nécessaire pour suivre latrajectoire nominale. Le vecteur porte donc le nom de commande a priori,qu’il s’agisse du cas analogique ou du cas discret. Cette commande peut être pré-calculée ou élaborée en temps réel et appliquée continûment à l’entrée du système.

Cas analogique Cas discret

Tableau ii Spécifications d’une trajectoire de fonctionnement.

u t( ) x t( ) y t( ), ,{ } u k( ) x k( ) y k( ), ,{ }

x· t( ) f x t( ) u t( ),[ ]=y t( ) g x t( ) u t( ),[ ]=

x k 1+( ) f x k( ) u k( ),[ ]= y k( ) g x k( ) u k( ),[ ]=

n p+n p r+ +r

ωA ωt( )cos f A ωt( )sin u t( ),[ ]=y t( ) g A ωt( )sin u t( ),[ ]=

x· t( ) A ωt( )cos=

u xy

u

37

LINÉARISATION

3.2.3 Point de fonctionnement ou état nominal

Si une trajectoire de fonctionnement n’évolue pas au cours du temps, onl’appelle point de fonctionnement, point d’équilibre, ou état nominal. Cettecondition se traduit dans le cas analogique par et dans le cas discret par

. En introduisant le triplet constant , le point defonctionnement satisfait donc les équations:

Un système qui se trouve à son point de fonctionnement est, par définitionde ce dernier, dans un état stationnaire ou inerte. Il est par conséquent au repos,c’est-à-dire que l’effet des conditions initiales ou d’entrées passées ne se fait plussentir.

3.3 Linéarisation par la tangente

3.3.1 Principe de la linéarisation

Pour illustrer le concept de linéarisation, considérons à titre d’exemple lecas d’une fonction f d’une variable x représentée à la figure 3-1. Cette fonction estapprochée par une droite qui passe par le point de fonctionnement . Cette droiteest utilisée pour déterminer la valeur de la fonction à proximité de , en particulieren .


Tableau iii Spécifications d’un point de fonctionnement.

Figure 3-1 Fonction d’une variable.

x· t( ) 0=x k 1+( ) x k( ) k∀= u x y, ,{ }

0 f x u,[ ]=y g x u,[ ]=

x f x u,[ ]=y g x u,[ ]=

xx

x x x+=

••

x x

xz f x( )=

•z

exact

approchéf x( )

z

38

LINÉARISATION PAR LA TANGENTE

Nous avons:

Si l’on ne considère que la relation entre une variation de x et la variationcorrespondante de z, on obtient une relation linéaire de la forme:

Cette relation n’est évidemment valable que pour de faibles écarts .

3.3.2 Linéarisation

Le cas général des équations d’état et de sortie est maintenant abordé. Leprincipe d’obtention d’une représentation linéaire reste le même que celui illustrépar l’exemple précédent, toutefois, il s’agit de fonctions vectorielles de plusieursvariables. Supposons que les dérivées partielles:

, , et

existent et sont continues quels que soient x et u; ; et ; autrement dit, les fonctions f et g sont

continûment dérivables. Soient , et des déviations autour de trajectoiresnominales , et :

(3.1)

(3.2)

(3.3)

On peut alors écrire le développement en séries de Taylor de la fonction autour des trajectoires nominales pour :

(3.4)

Les fonctions dénotent des termes d'ordre supérieur.

f x( ) z≈ z z+ zxd

d f x( )x+= =

xz

zxd

d f x( )x=

x

xj∂∂ fi x u,( )

uk∂∂ fi x u,( )

xj∂∂ gq x u,( )

uk∂∂ gq x u,( )

i j, 1 2 … n, , ,=k 1 2 … r, , ,= q 1 2 … p, , ,=

x u yx u y

x x x–=

u u u–=

y y y–=

fi x u,( ) i 1 2 … n, , ,=

fi x u,( ) fi x u,( )x1∂∂ fi x u,( )x1 …

xn∂∂ fi x u,( )xn+ + +=

u1∂∂ fi x u,( )u1 …

ur∂∂ fi x u,( )ur pi x u,( )+ + + +

pi

39

LINÉARISATION

Il est naturel de définir:

Introduisons maintenant les matrices jacobiennes:

Toutes les relations (3.4) peuvent être rassemblées sous la formeextrêmement compacte:

(3.5)

De la même façon, devient:

(3.6)

p x u,( )

p1 x u,( )

p2 x u,( )

pn x u,( )

=

x∂∂ f x u,( )

x1∂∂ f1 x u,( )

x2∂∂ f1 x u,( ) …

xn∂∂ f1 x u,( )

x1∂∂ f2 x u,( )

x2∂∂ f2 x u,( ) …

xn∂∂ f2 x u,( )

x1∂∂ fn x u,( )

x2∂∂ fn x u,( ) …

xn∂∂ fn x u,( )

=

u∂∂ f x u,( )

u1∂∂ f1 x u,( )

u2∂∂ f1 x u,( ) …

ur∂∂ f1 x u,( )

u1∂∂ f2 x u,( )

u2∂∂ f2 x u,( ) …

ur∂∂ f2 x u,( )

u1∂∂ fn x u,( )

u2∂∂ fn x u,( ) …

ur∂∂ fn x u,( )

=

f x u,( ) f x u,( )x∂∂ f x u,( )x

u∂∂ f x u,( )u p x u,( )+ + +=

g x u,( )

g x u,( ) g x u,( )x∂∂ g x u,( )x

u∂∂ g x u,( )u q x u,( )+ + +=

40


où le vecteur q qui regroupe les termes d'ordre supérieur est défini de la façonsuivante:

et les matrices jacobiennes par:

La technique de linéarisation consiste simplement à négliger les termesd'ordre supérieur et . L'approximation semble tout à fait raisonnablepour de petits écarts et autour des trajectoires nominales; le succès de cetteapproche demeure toutefois a priori un sujet d'étonnement; une justificationrigoureuse relève de la théorie de Liapounov, qui sort du contexte de ce cours.

L'égalité (3.1) fournit:

(3.7)

q x u,( )

q1 x u,( )

q2 x u,( )

qp x u,( )

=

x∂∂ g x u,( )

x1∂∂ g1 x u,( )

x2∂∂ g1 x u,( ) …

xn∂∂ g1 x u,( )

x1∂∂ g2 x u,( )

x2∂∂ g2 x u,( ) …

xn∂∂ g2 x u,( )

x1∂∂ gp x u,( )

x2∂∂ gp x u,( ) …

xn∂∂ gp x u,( )

=

u∂∂ g x u,( )

u1∂∂ g1 x u,( )

u2∂∂ g1 x u,( ) …

ur∂∂ g1 x u,( )

u1∂∂ g2 x u,( )

u2∂∂ g2 x u,( ) …

ur∂∂ g2 x u,( )

u1∂∂ gp x u,( )

u2∂∂ gp x u,( ) …

ur∂∂ gp x u,( )

=

p x u,( ) q x u,( )x u

x· t( ) x· t( ) x· t( )+=

41

LINÉARISATION

En substituant (3.5), sans les termes d'ordre supérieur, ainsi que (3.7) dansl'équation d'état originale (2.6), et en tenant compte du fait que les trajectoiresnominales vérifient cette dernière, on obtient:

C'est une équation d'état linéaire. Elle régit les déviations des vecteursd'état et d’entrée autour de trajectoires nominales connues.

L'équation de sortie (2.7) peut subir une procédure identique; il en résulteque le modèle d’état analogique linéarisé est défini par:

(3.8)

(3.9)

La forme des fonctions f et g étant la même dans les cas analogiques etdiscrets, le modèle d’état discret linéarisé est défini par:

3.3.3 Systèmes intrinsèquement linéaires

Le triplet est toujours un point de fonctionnementpour un système intrinsèquement linéaire. Dans ce cas, , et ,conduisant ainsi à des représentations en variables écart (déviations) ou en vraiesgrandeurs (variables globales) identiques. Le triplet mentionné n’est néanmoinspas le seul point de fonctionnement; il peut en exister d’autres qui sont solution de:

Par exemple en analogique, si est spécifié:

et


Tableau iv Points de fonctionnement d’un système linéaire.

x· t( )x∂∂ f x t( ) u t( ),[ ]x t( )

u∂∂ f x t( ) u t( ),[ ]u t( )+=

x· t( )x∂∂ f x t( ) u t( ),[ ]x t( )

u∂∂ f x t( ) u t( ),[ ]u t( )+=

y t( )x∂∂ g x t( ) u t( ),[ ]x t( )

u∂∂ g x t( ) u t( ),[ ]u t( )+=

x k 1+( )x∂∂ f x k( ) u k( ),[ ]x k( )

u∂∂ f x k( ) u k( ),[ ]u t( )+=

y k( )x∂∂ g x k( ) u k( ),[ ]x k( )

u∂∂ g x k( ) u k( ),[ ]u k( )+=

u x y, ,{ } 0 0 0, ,{ }=u u= x x= y y=

0 Ax Bu+=y Cx Du+=

x Φx Γu+=y Cx Du+=

u

x A 1– Bu–= y D CA 1– B–( )u=

42


3.3.4 Exemple de la sustentation magnétique

Soit un système constitué d'une bille maintenue en lévitation dans le planvertical par une bobine (électro-aimant).

La force électromagnétique F exercée par la bobine dépend de la distancex qui la sépare de la bille et du courant électrique i qui la parcourt:

L est la différence entre l'inductance de la bobine lorsque la bille toucheson noyau ( ) et celle en l'absence de bille.

L'équation dynamique qui régit le mouvement de la bille est obtenue enappliquant la loi de Newton:

P est le poids de la bille et m sa masse.

L’équation différentielle qui régit la dynamique de la sustentationmagnétique est donc:

Figure 3-2 Sustentation magnétique.

F

P mg=

i

x

0

F x i,( ) 12--- L

1 x+( )2-------------------i2=

x 0=

mx·· P F x i,( )–=

x·· g 12m------- L

1 x+( )2-------------------i2–=

43

LINÉARISATION

En sélectionnant respectivement comme variables d’état, comme entrée etcomme sortie les grandeurs:

, , et

on obtient le modèle d’état suivant:

Le modèle linéarisé a la forme:

avec:

Attention, la variable u ne représente pas la tension aux bornes de la bobi-ne, mais la grandeur d’entrée qui est le courant.

3.3.5 Exemple de la cuve de mélange

Une cuve de mélange (figure 3-3) est alimentée par deux vannesfournissant des débits volumiques variables et qui contiennent desproduits dissolus avec des concentrations constantes et . Le mélange quittele bac avec un débit et, le brassage étant supposé parfait, la concentration du

x1 x= x2 x·= u i= y x=

x·1 f1 x1 x2 u, ,( ) x2= =

x·2 f2 x1 x2 u, ,( ) x·· g L2m 1 x1+( )2------------------------------u2–= = =

y g1 x1 x2 u, ,( ) x1= =

x·0 1

Lu2

m 1 x1+( )3-------------------------- 0

x0

Lum 1 x1+( )2-------------------------- – u+=

y 1 0 x=

x x x–=

u u u–=

y y y–=

q1 t( ) q2 t( )c1 c2

q t( )

44


produit final est uniforme et égale à . Les entrées sont les débits et ,et les sorties la hauteur du liquide dans la cuve et la concentration .

Si dénote le volume du mélange, nous avons les bilans:

(3.10)

(3.11)

Le débit de sortie dépend de la hauteur du liquide de la façon suivante(écoulement turbulent): . La constante se détermine expéri-mentalement. En désignant S la section constante du bac, les bilans deviennent:

3.3.6 Linéarisation par la tangente de la cuve de mélange

Après substitution, et en posant , , et , le modèle d’état suivant est obtenu:

(3.12)

(3.13)

Figure 3-3 Cuve de mélange.

c t( ) q1 t( ) q2 t( )h t( ) c t( )

q1 t( ) q2 t( )

c1 c2

h t( )

S q t( )c t( )

v t( )c t( )

V t( )

V· t( ) q1 t( ) q2 t( ) q t( )–+=

tdd c t( )V t( )[ ] c1q1 t( ) c2q2 t( ) c t( )q t( )–+=

h t( )q t( ) K h t( )= K 0>

V· t( ) q1 t( ) q2 t( ) K V t( )S

---------–+=

c· t( )V t( ) c t( )V· t( )+ c1q1 t( ) c2q2 t( ) c t( )K V t( )S

---------–+=

x1 t( ) V t( )= x2 t( ) c t( )= u1 t( ) q1 t( )=u2 t( ) q2 t( )=

x·1 t( ) u1 t( ) u2 t( ) Kx1 t( )

S----------–+=

x·2 t( ) 1x1 t( )---------- c1 x2 t( )–[ ]u1 t( ) c2 x2 t( )–[ ]u2 t( )+{ }=

45

LINÉARISATION

Le modèle d’état de la cuve de mélange est maintenant linéarisé autour destrajectoires nominales constantes et qui satisfont les équa-tions algébriques:

(3.14)

Le modèle d’état linéarisé s’obtient après substitution de l’équation (3.14)dans l’une des matrices jacobiennes et après quelques manipulations laissées ausoin du lecteur:

y1 t( ) 1S--- x1 t( )=

y2 t( ) x2 t( )=

x1 x2 u1 u2 y1, , , , y2

0 u1 u2 Kx1S-----–+=

0 1x1----- c1 x2–( )u1 c2 x2–( )u2+{ }=

y11S---x1=

y2 x2=

x·1

x·2

1x1-----– K

2----

x1S----- 0

0 u1 u2 +

x1

x2

1 1

c1 x2–( )

x1---------------------

c2 x2–( )x1

--------------------- u1

u2+=

46


3.3.7 Résumé

Le modèle d’état est un moyen adéquat pour représenter les interactionsqui existent entre les entrées est les sorties d’un processus. Il fait intervenir desgrandeurs internes qui portent toute l’information nécessaire pour caractériserl’état du processus à un instant donné. Les phénomènes dynamiques sont décritspar l’équation d’état (2.6) et les liens algébriques sont exprimés par l’équation desortie (2.7).

Que ce soit pour simplifier les calculs lors d’une simulation, pour faciliterl’analyse du comportement dynamique lors de la conception ou parce que ledomaine de fonctionnement d’une installation est limité, il est possible dereprésenter le système considéré par un modèle d’état linéarisé autour detrajectoires nominales. Ce modèle se comporte de la même façon que le modèled’état non linéaire d’origine uniquement pour de petites variations autour destrajectoires nominales spécifiées.

La simulation du processus représenté à la figure 3-4 nécessite l’usaged’un algorithme d’intégration numérique, contrairement à celle du processusreprésenté à la figure 3-5, où une solution analytique existe si les matricesjacobiennes ne dépendent pas du temps.

Figure 3-4 Représentation d’un système non linéaire par un modèle d’état.

Figure 3-5 Représentation d’un système non linéaire par un modèle d’état linéarisé.

Modèle d’étatnon linéaire

(2.6) et (2.7)u y

Modèle d’étatlinéarisé

(3.8) et (3.9)

u yu y

yu

- +

47

LINÉARISATION

3.4 Linéarisation par contre-réactionLa linéarisation par contre-réaction (feedback linearization) est une

technique qui fournit une linéarisation globale. Le prix de cette fonctionnalité estla nécessité pour l’implantation de disposer de l’état du système. Sa limitationréside dans le fait que tous les systèmes ne sont pas linéarisables de cette manière.

Une étude rigoureuse de cette technique et la détermination de l’existenceou non d’une solution nécessitent l’introduction d’outils mathématiques, tels lescrochets de Lie, qui sortent du contexte de ce cours. Néanmoins, son principe peutêtre aisément introduit sur l’exemple de la sustentation magnétique introduiteprécédemment et étendu à d’autres cas.

3.4.1 Exemple de la sustentation magnétique

En ne faisant intervenir que les variables entrée-sortie, le modèledynamique de la sustentation magnétique introduite à l’exemple 3.3.4 s’écrit:

Dans le contexte de la linéarisation par contre-réaction, ce modèle entrée-sortie (Fig. 3-6) du système à linéariser est appelé le modèle dynamique direct etest représenté par la lettre .

Un élément de “linéarisation” qui utilise les états et est maintenantajouté en amont du système physique. Le système équivalent qui résulte de lacombinaison de cet élément et du système physique constitue, du point de vue dela synthèse de la commande, le nouveau système à régler (figure 3-7).

Figure 3-6 Système à linéariser.

Figure 3-7 Système linéarisé.

y·· g 12m------- L

1 x1+( )2----------------------u2–=

M

Systèmeu ynon linéaire

M

x1 x2

Systèmeu ynon linéaire

Élément dew

x

linéarisationMM 1–

48

LINÉARISATION PAR CONTRE-RÉACTION

L’idée est d’obtenir des intégrateurs purs comme système équivalent(figure 3-8). Pour ce faire, doit être une dérivée d’ordre quelconque de .L’élément de linéarisation doit donc exhiber une caractéristique qui lie cettedérivée de la sortie avec l’entrée. En ce sens, il contient le modèle inverse dusystème physique noté . Pour obtenir cette caractéristique, il faut dériverl’équation de sortie du système physique, jusqu’à ce que l’entrée apparaisse dansla relation. Cette expression, qui est de nature algébrique, est ensuite inversée.

Le modèle algébrique inverse à implanter comme élément delinéarisation est:

(modèle inverse statique )

Dans ce cas particulier, seul l’état doit être mis en contre-réaction pourréaliser la linéarisation. Comme il s’agit de la position de la sphère et que cettegrandeur est mesurée, ceci ne pose pas de problème d’implantation. Le nouveausystème à régler est donc un double intégrateur (figure 3-9).

La commande à maintenant les dimensions d’une accélération plutôtque d’un courant. Elle doit être limitée afin que le modèle inverse soit toujours dé-fini. Dans ce cas, .

Figure 3-8 Système équivalent.

Figure 3-9 Système équivalent à la sustentation et à son modèle inverse.

Intégrateursw ylinéaires

w y

M 1–

y x1=

y· x·1 x2= =

y·· x·2 g 12m------- L

1 x1+( )2----------------------u2– w≡= =

M 1–

u 2m g w–( )L

------------------------- 1 x1+( )= M 1–

x1

w y··= y1s2----

w

w g<

49

LINÉARISATION

3.4.2 Formulation générale de la linéarisation par contre-réaction

Dans le cas MIMO, les équations de sortie ont généralement la forme:

Pour obtenir un modèle dynamique direct ( ), il faut dériver cetteéquation de sortie pour faire apparaître une des entrées:

et

La dérivée d’ordre minimum de qui fait apparaître une entrée estchoisie comme l’entrée correspondante du modèle inverse:

Le système équivalent (modèle inverse et système à régler) est alors unecombinaison de p intégrateurs SISO, découplés et linéaires.

3.4.3 Implantation discrète

Pour la synthèse d’une commande ou d’un observateur en vue d’uneimplantation discrète sur ordinateur, c’est le schéma fonctionnel donné à la figure3-11 qui est habituellement considéré.

En réalité, le modèle inverse n’est pas réalisé analogiquement maisnumériquement. La modification correspondante du schéma ne pose néanmoinspas de problèmes. Comme le modèle inverse est statique, on peut en effet déplacer


Figure 3-11 Système équivalent vu au travers de convertisseurs AD et DA.

yi gi x( )=

u yi→

yidi( ) gi

* x u,( ) i 1 … p, ,= = di 0 …,=

di yiwi

yidi( ) wi=

1sdp------

1sd1------w1

y1

wp yp

w t( ) y t( )

M 1– t( ) Mu t( ) y t( )w t( )

DA ADw k( ) y k( )

50

LINÉARISATION PAR CONTRE-RÉACTION

les convertisseurs D/A sans perte de généralité ni approximation (ceci revient àécrire le modèle inverse en ).

Il n’y a donc pas lieu de modifier le modèle inverse pour une implantationdiscrète sur un système informatique.

Figure 3-12 Schéma fonctionnel équivalent correspondant à l’implantation réelle.

t kh=

M 1– k( ) Mu t( ) y t( )u k( )

DA ADw k( ) y k( )

51

LINÉARISATION

3.5 Découplage non linéaireLa technique de linéarisation par contre-réaction introduite à la section

3.4 fournit à la fois une linéarisation globale et un découplage dynamique. Elle nes’applique néanmoins qu’à une classe limitée de systèmes qui possèdent le mêmenombre d’entrées que de sorties ( ). La mise en oeuvre de cette technique faitcorrespondre un intégrateur pur d’ordre à chaque couple d’entrée-sortie

. Un système MIMO non linéaire se transforme ainsi en systèmes SISOlinéaires découplés dont les commandes respectives peuvent être conçues parplacement de valeurs propres.

Le découplage non linéaire nécessite la connaissance de l’état du système.

Le découplage non linéaire de la cuve de mélange (§3.3.5) nécessite ladéfinition de deux entrées artificielles selon la technique de linéarisation parcontre-réaction décrite au paragraphe 3.4.2.

Le modèle inverse qui assure le découplage est donc:

Le système équivalent qui résulte de la combinaison du modèle inversestatique et du modèle direct dynamique présente deux intégrateurs (figure3-13).

Figure 3-13 Cuve de mélange découplée.

r p=di

ui yi,( ) p

y·1 t( ) 1S--- x·1 t( ) 1

S--- u1 t( ) u2 t( ) K

x1 t( )S

----------–+ w1 t( )≡= =

y·2 t( ) x·2 t( ) 1x1 t( )---------- c1 x2 t( )–[ ]u1 t( ) c2 x2 t( )–[ ]u2 t( )+{ } w2 t( )≡= =

M 1–

u1 t( ) 1c2 c1–---------------- c2 x2 t( )–[ ] w1 t( )S K

x1 t( )S

----------+ w2 t( )x1 t( )–⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

u2 t( ) 1c2 c1–---------------- w2 t( )x1 t( ) c1 x2 t( )–[ ] w1 t( )S K

x1 t( )S

----------+–⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

M 1– M

1 s⁄w1 t( ) y1 t( )

1 s⁄w2 t( ) y2 t( )

52

EXERCICES

3.6 Exercices

3.6.1 Échangeur

La vue en coupe d’un échangeur de chaleur est représentée ci-dessous:

Le conduit interne 1 est parcouru par un fluide à température . Leconduit externe 2 est parcouru par un fluide à température . La températureextérieure est constante. Les paramètres , , et

influencent l’échange de chaleur. Il s’agit de:

: masse et chaleur spécifique du fluide,

: conductance thermique entre les milieux 1 et 2

: conductance thermique entre le fluide 2 et le milieu ambiant

La dynamique de ce système est régie par les équations différentiellessuivantes:

Sachant que c’est la température du fluide interne qui intéresse leconcepteur et que l’entrée est l’apport de puissance , décrire ladynamique de ce système par un modèle d’état.Déterminer l’état au point d’équilibre spécifié par une puissance de20 W et une température ambiante de 20°C.Déterminer le modèle d’état valable pour des évolutions autour du pointde fonctionnement déterminé sous 2.

flux du fluide extérieur

flux du fluide intérieur

T2 t( )

T1 t( )

T

P t( )

2

1

T1 t( )T2 t( )

T m1c1 0.5= m2c2 2= k12 1=k20 0.5=

mi ci, i 1 2,=

k12

k20

m1c1T· 1 t( ) k12 T2 t( ) T1 t( )–[ ]=

m2c2T· 2 t( ) P t( ) k12 T2 t( ) T1 t( )–[ ] k20 T2 t( ) T–[ ]––=

T1 t( )P t( )

53

LINÉARISATION

Représenter la dynamique décrite au point 3 par une fonction detransfert.

3.6.2 Robot à deux degrés de liberté

La modélisation du robot décrit au paragraphe 1.4.3 est entreprise ensupposant que sa masse est négligeable vis-à-vis de la masse m de la charge.Notons que ce robot évolue dans le plan vertical.

Le modèle dynamique est obtenu par la méthode de Lagrange avec et comme coordonnées généralisées. Pour , le Lagrangien est lesuivant:

Ainsi:

donnent

Le modèle d’état est construit en définissant les entrées et, en sélectionnant les variables d’état , , et, et en repérant les sorties et .

Effectuer la linéarisation par contre-réaction de ce système.

r θr0 rmaximum=

L m2---- r·2 r2θ· 2+( ) mg r θsin r0+( )–=

ddt----- L∂

r·∂------ L∂

r∂------– F=

ddt----- L∂

θ·∂------ L∂

θ∂------– T=

r·· rθ· 2– g θsin+ Fm----=

r2θ·· 2rr·θ· gr θcos+ + Tm----=

u1 F=u2 T= x1 r= x2 r·= x3 θ=x4 θ·= y1 r= y2 θ=

x·1 r· x2 f1 x u,( )= = =

x·2 r·· x1x42 g x3sin–

u1m----- + f2 x u,( )= = =

x·3 θ· x4 f3 x u,( )= = =

x·4 θ·· 1x1

2----- 2x1x2x4– gx1 x3cos–

u2m-----+ f4 x u,( )= = =

y1 x1 g1 x u,( )==

y2 x3 g2 x u,( )= =

54



3.7.1 Solution échangeur

Modèle d’état avec , , et

Point de fonctionnement

Pour et il vient et

Ainsi

°C

Modèle à “linéariser”

Modèle “linéarisé”

Fonction de transfert:

x1 T1= x2 T2= u P= y T1=

0 k12 x2 x1–( )=

0 u k12 x2 x1–( )– k20 x2 T–( )–=

T 20= u 20= x2 x1 x= = u k20 x T–( )=

x uk20------- T+ 20

0.5------- 20+ 60= = =

f1k12

m1c1------------x1–

k12m1c1------------x2+=

f2k12

m2c2------------x1

k12 k20+( )m2c2

--------------------------x2– 1m2c2------------u

k20m2c2------------T+ +=

x· 2– 2

0.5 0.75–x 0

0.5u+=

y 1 0 x=

G s( ) Y s( )U s( )---------- 1

s 0.75+( ) s 2+( ) 1–--------------------------------------------------= =

55

LINÉARISATION

3.7.2 Solution robot à deux degré de liberté

Soit le modèle direct M:

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)

Considérons un réglage de la vitesse longitudinale et de la positionangulaire qui définit les sorties:

(3.19)

(3.20)

La dérivation successive de ces sorties fournit les entrées artificielles w.

Une des entrées apparaît ( ), on peut arrêter

Une des entrées apparaît ( ), on peut arrêter

x·1 r· x2= =

x·2 r·· x1x42 g x3sin–

u1m-----+= =

x·3 θ· x4= =

x·4 θ·· 1x1

2----- 2x1x2x4– gx1 x3cos–

u2m-----+= =

y1 x2 r·( )=

y2 x3 θ( )=

i 1= d1 0= y1 x2=

d1 1= y·1 x·2 x1x42 g x3sin–

u1m-----+= =

u1

d1 1= y·1 w1=

i 2= d2 0= y2 x3=

d2 1= y·2 x·3 x4= =

d2 2=y··2 x·4

1x1

2----- 2x1x2x4– gx1 x3cos–

u2m-----+= =

u2

d2 2= y··2 w2=

56


Le choix de et obtenu ci-dessus donne les équationssuivantes:

qui permettent d’obtenir le modèle inverse :

(3.21)

(3.22)

Le schéma complet du système linéarisé par contre réaction est représentéà la figure 3-14.

Figure 3-14 Combinaison du robot et de son modèle inverse.

y·1 w1= y··2 w2=

w1 x1x42 g x3sin–

u1m-----+=

w21x1

2----- 2x1x2x4– gx1 x3cos–

u2m-----+=

M 1–

u1 m w1 x1x42– g x3sin+( )=

u2 m w2x12 2x1x2x4 gx1 x3cos+ +( )=

(3.21), (3.22) (3.15), (3.16)(3.17), (3.18)

w1 r··=

w2 θ··=

u1 F=

u2 T=

r·

θ

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1 s⁄

1 s2⁄

w1

w2

y1

y2

(3.19)(3.20)

57

CHAPITRE 4

DISCRÉTISATION

4.1 Solution de l’équation d’état linéaire et stationnaire

4.1.1 Cas d’un système d’ordre un

En présence d’une seule variable d’état, la solution de l’équationdifférentielle linéaire, à coefficients constants et homogène:

se résout de la façon classique suivante:

où et sont des constantes. Cette dernière valeur peut être déterminée enposant comme condition initiale au temps . On obtient alors:

Si nécessaire, la fonction exponentielle peut être évaluée numériquementau moyen de la série:

x· t( ) ax t( )=

tddx ax=

dxx

------ adt=

x( )ln at c1+=

x c2eat=

c1 c2x xo= t to=

x ea t to–( )

xo=

eτ 1 τ τ2

2!----- τ3

3!----- …+ + + +=

58

SOLUTION DE L’ÉQUATION D’ÉTAT LINÉAIRE ET STATIONNAIRE

4.1.2 Equation d’état homogène

Pour obtenir la solution de l’équation d’état (2.8), cette dernière est toutd’abord résolue sans excitation extérieure, avec seulement des conditions initialesnon nulles. Il s’agit de l’équation homogène:

avec: (4.1)

Pour ce faire, sa solution est supposée suffisamment lisse de sorte qu’undéveloppement en série est possible:

(4.2)

En posant , on trouve immédiatement que . Si on dérive(4.2) et que l’on substitue l’expression obtenue dans (4.1), il vient:

et, en : . En continuant les dérivations successives de la série etde l’équation homogène évaluée en , l’expression suivante est obtenue:

Par analogie au cas scalaire, le terme entre crochets est défini commel’exponentielle de matrice et noté:

4.1.3 Propriétés de l’exponentielle de matrice

On peut montrer que la solution de l’équation homogène est unique, ce quiconduit à des propriétés très intéressantes pour l’exponentielle de matrice. Parexemple, considérons deux instants : et . Nous avons:

et

x· t( ) Ax t( )= x t0( ) x0=

x t( ) A0 A1 t t0–( ) A2 t t0–( )2 …+ + +=

t t0= A0 x0=

A1 2A2 t t0–( ) 3A3 t t0–( )2 …+ + + Ax t( )=

t t0= A1 Ax0=t t0=

x t( ) I A t t0–( )+A2 t t0–( )2

2--------------------------

A3 t t0–( )3

6-------------------------- …+ + + x0=

eA t t0–( )

I A t t0–( )A2 t t0–( )2

2--------------------------

A3 t t0–( )3

6-------------------------- …+ + + +=

Ak t t0–( )k

k!-------------------

k 0=

∞

∑=

t t1 t2

x t1( ) eA t1 t0–( )

x t0( )= x t2( ) eA t2 t0–( )

x t0( )=

59

DISCRÉTISATION

Comme le choix de est arbitraire, peut également s’exprimer de lamanière suivante:

qui donne par substitution de :

Maintenant, nous avons deux expressions différentes pour . Puisque lasolution est unique, elles doivent être les mêmes. Ainsi, nous pouvons conclureque:

(4.3)

pour tout , et . En particulier, si , alors:

Ainsi, l’inverse de s’obtient simplement en changeant le signe de l’exposant.

4.1.4 Solution particulière

La solution particulière de l’équation d’état (2.8) lorsque la commande est non nulle s’obtient par la méthode de variation des paramètres. Nous suppo-sons que la solution a la forme:

(4.4)

où est un vecteur de paramètres variables à déterminer, par opposition aux pa-ramètres constants . En substituant l’expression (4.4) dans l’équation d’état:

il vient:

et, par le fait que l’inverse de l’exponentielle de matrice est obtenu en changeantle signe de son exposant:

t0 x t2( )

x t2( ) eA t2 t1–( )

x t1( )=

x t1( )

x t2( ) eA t2 t1–( )

eA t1 t0–( )

x t0( )=

x t2( )

eA t2 t0–( )

eA t2 t1–( )

eA t1 t0–( )

=

t2 t1 t0 t2 t0=

I eA– t1 t0–( )

eA t1 t0–( )

=

eAt

u

x t( ) eA t t0–( )

v t( )=

v t( )x t0( )

x· t( ) Ax t( ) Bu t( )+=

AeA t t0–( )

v t( ) eA t t0–( )

v· t( )+ AeA t t0–( )

v t( ) Bu t( )+=

v· t( ) eA t t0–( )–

= Bu t( )

60


En supposant que la commande est nulle pour , peut être intégré de à pour aboutir à:

Par conséquent, la solution particulière exhibe la forme:

Cette expression peut être simplifiée au moyen de la relation (4.3) pour aboutir àla solution particulière:

Il s’agit d’un produit de convolution!

4.1.5 Solution complète

Le système étant linéaire et en vertu du principe de superposition, lasolution complète de l’équation d’état est la somme de sa solution homogène etd’une solution particulière.

(4.5)

4.1.6 Discrétisation

Si le système analogique est commandé par un ordinateur au travers deconvertisseurs A/D et D/A avec une période d’échantillonnage , l’équation (4.5)s’écrit pour (A/D) et :

t t0< v· t0 t

v t( ) eA τ t0–( )–

Bu τ( ) τdt0

t

∫=

x t( ) eA t t0–( )

eA τ t0–( )–

Bu τ( ) τdt0

t

∫=

x t( ) eA t τ–( )Bu τ( ) τdt0

t

∫=

x t( ) eA t t0–( )

x t0( ) eA t τ–( )Bu τ( ) τdt0

t

∫+=

ht kh h+= t0 kh=

x kh h+( ) eAhx kh( ) eA kh h τ–+( )Bu τ( ) τdkh

kh h+

∫+=

61

DISCRÉTISATION

Les convertisseurs D/A maintiennent la commande durant une périoded’échantillonnage. Par conséquent:

En posant , l’équation aux différences obtenue devient:

Si nous définissons:

Alors, le modèle d’état discret qui correspond à un système analogique commandépar ordinateur a la forme:

La série définissant l’exponentielle de matrice peut être intégrée terme à terme, cequi fournit:

D’un point de vue temps de calcul, il est très avantageux d’évaluer les deuxmatrices et à partir d’une seule série. Pour ce faire, introduisons la série:

Il est facile de vérifier que:

En cas d’implantation pratique, la série est évaluée de la façon suivante:

u τ( ) u kh( ) kh τ kh h+<≤,=

η kh h τ–+=

x kh h+( ) eAhx kh( ) eAη ηd Bu kh( )0

h

∫+=

Φ eAh= et Γ eAη ηd B0

h

∫=

x kh h+( ) Φx kh( ) Γu kh( )+=

y kh( ) Cx kh( ) Du kh( )+=

Γ Ih Ah2

2!--------- A2h3

3!------------ … Aihi 1+

i 1+( )!------------------ …+ + + + + B=

Φ Γ

ψ I Ah2!------- A2h2

3!------------ … Aihi

i 1+( )!----------------- …+ + + + +=

Φ I Ahψ et Γ+ ψhB= =

ψ

ψ I Ah2

------- I Ah3

------- … AhN 1–------------- I Ah

N-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞+⎝ ⎠

⎛ ⎞+≅

62


N doit être choisi suffisamment grand pour que la contribution de nouveauxtermes de la série soit négligeable.

4.1.7 Résumé

La solution de l’équation d’état linéaire analogique est nécessaire àl’obtention du modèle d’état discret d’un système stationnaire commandé parordinateur.

avec , et .

4.1.8 Exemple: Double intégrateur

Soit le système suivant:

Son modèle d’état est:

Sa fonction de transfert est:

Figure 4-1 Schéma fonctionnel d’un double intégrateur

x· t( ) Ax t( ) Bu t( )+=y t( ) Cx t( ) Du t( )+=

AD

DA

u kh( ) u t( ) y t( ) y kh( )

x kh h+( ) Φx kh( ) Γu kh( )+=y kh( ) Cx kh( ) Du kh( )+=

u kh( ) y kh( )

Φ I Ahψ+= Γ ψhB A 1– Φ I–( )B= = ψ Aihi

i 1+( )!-----------------

i 0=

∞

∑=

u θ· θx2 x1

1s--- 1

s---

x·1x·2

0 10 0

x1x2

01

u+ Ax Bu+= =

θ y 1 0x1x2

Cx= = =

63

DISCRÉTISATION

Lorsque ce système est vu au travers de convertisseurs AD et DA, sonmodèle prend la forme:

avec: ,

et: ,

soit numériquement: ,

et:

4.1.9 Calcul de l’exponentielle de matrice

Pour des systèmes de dimension raisonnable, la limite exacte de la sériequi correspond à l’exponentielle de matrice peut être obtenue. Pour ce faire, latransformée de Laplace de l’équation d’état est prise:

d’où:

Par comparaison avec la solution complète obtenue pour il vient:

Des logiciels comme Mathematica ou Maple peuvent être judicieusementexploités pour déterminer les transformées de Laplace nécessaires.

Nous verrons plus loin que l’exponentielle de matrice d’un systèmed’ordre peut être obtenue exactement en évaluant un polynôme matriciel.

G s( ) 1s2-----=

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=y k( ) Cx k( )=

Φ eAh I Ah A2h2

2------------ A3h3

6------------ …+ + + += =

Γ Ih Ah2

2----- A2h3

6----- …+ + + B=

Φ 1 00 1

0 10 0

h 0 00 0

h2

2-----+ + 1 h

0 1= =

Γ eAη ηBd0

h

∫ 1 η0 1

η 01

d0

h

∫ h2 2⁄h

= = =

sX s( ) x 0( )– AX s( ) BU s( )+=

X s( ) sI A–( ) 1– x 0( ) sI A–( ) 1– BU s( )+=

t0 0=

eAt L 1– sI A–( ) 1–[ ]=

n2

n

64


4.1.10 Algorithme de Leverrier

(4.6)

Si est la matrice de dimension (mineur) obtenue ensupprimant la ligne et la colonne de la matrice , alors l’élément se trouvantà la ligne et à la colonne de la matrice (adjointe) est:

Le déterminant s’écrit:

Il s’agit du polynôme caractéristique de . Les valeurs de s qui annulentce polynôme caractéristique sont les valeurs propres de .

Quant à la matrice adjointe, elle peut s’écrire:

Les matrices sont de dimension . Elles se calculentséquentiellement à partir de :

La trace (tr) d’une matrice de dimension est la somme de seséléments diagonaux.

sI A–[ ] 1– adj sI A–[ ]det sI A–[ ]---------------------------=

Aij n 1–( ) n 1–( )×i j A

i j adj A( )

1–( )i j+ det Aji( )

det sI A–[ ] sn a1sn 1– a2sn 2– … an+ + + +=

AA

adj sI A–[ ] H0sn 1– H1sn 2– H2sn 3– … Hn 1–+ + + +=

Hi n n×H0 I=

a1 tr AH0[ ] H1– AH0 a1I+= =

a212---tr AH1[ ] H2– AH1 a2I+= =

a313---tr AH2[ ] H3– AH2 a3I+= =

an 1–1

n 1–------------tr AHn 2–[ ] Hn 1–– AHn 2– an 1– I+= =

an1n---tr AHn 1–[ ] Hn– AHn 1– anI+ 0= = =

n n×

65

DISCRÉTISATION

4.1.11 Théorème de Cayley-Hamilton

Soit une fonction matricielle quelconque d’une matrice carrée A dedimension n. Il existe un polynôme p de degré inférieur à n tel que:

avec:

Si les valeurs propres sont distinctes, la relation précédente estsuffisante pour déterminer les . Si les valeurs propres sont multiples, demultiplicité , il faut utiliser les conditions supplémentaires:

Les exposants entre parenthèses indiquent l’ordre de dérivation par rapport à .Rappelons également que les valeurs propres sont les racines de l’équationcaractéristique de la matrice A, soit .

4.1.12 Exemple

• Soit:

• Valeurs propres de A:

• Calcul de :

(4.7)

(4.8)

(4.9)

f A( )

f A( ) p A( ) α0An 1– α1An 2– … αn 1– I+ + += =

f λi( ) p λi( ) i 1 … n, ,= =

λiαi λi

mi

f 1( ) λi( ) p 1( ) λi( )=

f mi 1–( ) λi( ) p mi 1–( ) λi( )=

λi

det A λI–( ) 0=

A 0 10 0

=

det Ah λI–( ) det λ– h0 λ–

0 λ2⇒ 0 λ1⇒ λ2 0 λ≡= = = = =

eAh

eAh α0A α1I+=

eλ α0λ α1+=

λdd eλ

λdd α0λ α1+( ) eλ→ α0= =

66


Pour (4.9)

(4.8)

dans (4.7)

4.1.13 Exemple de l’entraînement électrique

Considérons une application où seule la position angulaire del’entraînement est mesurée. Cette position constitue donc l’unique sortiedisponible. L’entrée est la tension d’alimentation. Les variables d’état sont

et . Le modèle d’état a été élaboré au paragraphe 2.2.3.Avec le nouveau choix de sortie effectué, il prend la forme:

avec:

Le modèle d’état de l’entraînement vu au travers de convertisseurs AD etDA est maintenant déterminé pour une période d’échantillonnage [ms].Pour ce faire, il faut d’abord calculer l’exponentielle de la matrice A.

λ 0= α→ 0 1=

1→ 0λ α1+ α1→ 1= =

eAh A I+=

eAh 1 h0 1

=

θ t( )

ux1 t( ) θ t( )= x2 t( ) ω t( )=

x· t( ) 0 10 a

A

x t( ) 0b

B

u t( )+=

y t( ) 1 0

C

x t( )=

a 1J--- k2

R----- f+⎝ ⎠⎛ ⎞– 5 s 1–[ ]–= =

b kJR------ 1 rad

Vs2---------= =

h 25=

eAt L 1– sI A–( ) 1–[ ]=

sI A–( ) s 1–0 s a –

=

67

DISCRÉTISATION

avec:

Les matrices de l’équation d’état discrétisée sont alors:

Finalement:

sI A–( ) 1–1s--- 1

s s a–( )------------------

0 1s a–-----------

1s s a–( )------------------ s a – 1

0 s= =

1s s a–( )------------------ 1

a--- 1

s a–----------- 1

s---–=

L 1– sI A–( ) 1–[ ] 1 1a---– 1

a---eat+

0 eat=

Φ eAh 1 1a--- eah 1–( )

0 eah

1 0.0235 0 0.8825

= = =

Γ eAη ηBd0

h

∫ηd

0

h

∫ 1a---– 1

a---eaη+⎝ ⎠

⎛ ⎞ ηd0

h

∫

0 eaη ηd0

h

∫B= =

Γ h h

a---– 1

a2----- eah 1–( )+

0 1a--- eah 1–( )

0b

ba--- h 1

a---eah– 1

a---+⎝ ⎠

⎛ ⎞–

ba--- eah 1–( )

0.00030.0235

= = =

x k 1+( ) 1 0.02350 0.8825

x k( ) 0.00030.0235

u k( )+=

y k( ) 1 0 x k( )=

68


4.1.14 Exemple de la cuve de mélange

Soit la cuve de mélange décrite au paragraphe 3.3.5 et son modèle linéarisé obtenu au paragraphe 3.3.6:

Le point de fonctionnement satisfait les équations:

Les valeurs numériques sont:

et kmole/m3; m2; ; m3;

kmole/m3; m3/s et m3/s

Pour simplifier les notations, écrivons le modèle analogique linéarisé sousla forme:

x·1

x·2

1x1-----– K

2----

x1S----- 0

0 u1 u2 +

x1x2

1 1

c1 x2–( )

x1---------------------

c2 x2–( )

x1---------------------

u1u2

+=

y1y2

1S--- 0

0 1

x1x2

=

0 u1 u2 Kx1S-----–+=

0 1x1----- c1 x2–( )u1 c2 x2–( )u2+{ }=

y11S---x1=

y2 x2=

c1 1= c2 2= S 1= K 0.02= x1 1=

x2 1.25= u1 0.015= u2 0.005=

x·1

x·2

a 00 b

x1x2

1 1 p q

u1u2

+=

69

DISCRÉTISATION

avec:

et

et

Le modèle discret est aisément obtenu en exploitant le théorème deCayley-Hamilton:

La matrice étant diagonale, nous trouvons directement et .

Après obtention de et et substitution, il

vient:

a 1x1-----– K

2----

x1S-----= b 1

x1----- u1 u2+( )–=

pc1 x2–( )

x1---------------------= q

c2 x2–( )

x1---------------------=

eAh α1A α2I+=

eλ1h

α1λ1 α2+=

eλ2h

α1λ2 α2+=

A λ1 a= λ2 b=

α1eah ebh–

a b–----------------------= α2

beah aeah–a b–

-----------------------------–=

Φ eAh eah 0

0 ebh α 00 β

≡= =

Γ eAη ηd B

0

h

∫ 1a--- eah 1–( ) 1

a--- eah 1–( )

pb--- ebh 1–( ) q

b--- ebh 1–( )

r rs v

≡= =

70

SOLUTION DE L’ÉQUATION D’ÉTAT DISCRÈTE ET STABILITÉ

4.2 Solution de l’équation d’état discrète et stabilitéL’analyse et la synthèse d’une commande pour un système multivariable

sont supportées par des outils mathématiques puissants, pour autant que lesystème considéré soit représenté par un modèle linéaire et stationnaire. De plus,la commande est généralement implantée sur un calculateur ayant une visiondiscrète de l’installation physique à régler. Grâce aux opérations successives delinéarisation et de discrétisation, la forme adéquate suivante est ainsi obtenue:

(4.10)

(4.11)

La solution de ce système d’équations aux différences s’obtient de manièrerécurrente:

et ainsi de suite, de sorte que nous obtenons:

(4.12)

4.2.1 Matrice de transfert discrète

L’application de la transformation en “z” des équations (4.10) et (4.11)donne, pour des conditions initiales nulles:

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=

y k( ) Cx k( ) Du k( )+=

x k0 1+( ) Φx k0( ) Γu k0( )+=

x k0 2+( ) Φx k0 1+( ) Γu k0 1+( )+Φ Φx k0( ) Γu k0( )+[ ] Γu k0 1+( )+

==

x k0 2+( ) Φ2x k0( ) ΦΓu k0( ) Γu k0 1+( )+ +=

x0 k 3+( ) Φx k0 2+( ) Γu k0 2+( )+Φ Φ2x k0( ) ΦΓu k0( ) Γu k0 1+( )+ +{ } Γu k0 2+( )+

==

x k0 3+( ) Φ3x k0( ) Φ2Γu k0( ) ΦΓu k0 1+( ) Γu k0 2+( )+ + +=

x k( ) Φk k0– x k0( ) Φk i– 1– Γu i( )

i k0=

k 1–

∑+=

zX z( ) ΦX z( )– ΓU z( )=

Y z( ) CX z( ) DU z( )+=

71

DISCRÉTISATION

ou, sous forme plus compacte:

ainsi:

et: .

Finalement est la matrice de transfert discrètequi est de dimension .

L’algorithme de Leverrier discret permet de déterminer aisément l’inversede la matrice .

4.2.2 Algorithme de Leverrier discret

L’algorithme de Leverrier décrit au paragraphe 4.1.10 peut être écrit sansautre en remplaçant l’argument par . Ainsi:

(4.13)

Le déterminant estpolynôme caractéristique de . Les valeurs de z qui annulent ce polynômecaractéristique sont les valeurs propres de . De par la forme de l’équation (4.13),on constate que ces valeurs propres jouent le même rôle dans la matrice detransfert que les pôles dans une fonction de transfert. Les matrices sont dedimension . Elles se calculent séquentiellement à partir de :

zI Φ–[ ]X z( ) ΓU z( )=Y z( ) CX z( ) DU z( )+=

X z( ) zI Φ–[ ] 1– ΓU z( )=

Y z( ) C zI Φ–[ ] 1– Γ D+{ }U z( )=

H z( ) C zI Φ–[ ] 1– Γ D+=p r×

zI Φ–[ ]

sI A– zI Φ–

zI Φ–[ ] 1–H0zn 1– H1zn 2– H2zn 3– … Hn 1–+ + + +

det zI Φ–[ ]-----------------------------------------------------------------------------------------------------------=

det zI Φ–[ ] zn a1zn 1– a2zn 2– … an+ + + +=Φ

Φ

Hin n× H0 I=

a1 tr ΦH0[ ] H1– ΦH0 a1I+= =

a212---tr ΦH1[ ] H2– ΦH1 a2I+= =

a313---tr ΦH2[ ] H3– ΦH2 a3I+= =

an 1–1

n 1–------------tr ΦHn 2–[ ] Hn 1–– ΦHn 2– an 1– I+= =

an1n---tr ΦHn 1–[ ] Hn– ΦHn 1– anI+ 0= = =

72

SOLUTION DE L’ÉQUATION D’ÉTAT DISCRÈTE ET STABILITÉ

4.2.3 Stabilité

Comme vu précédemment, la sortie d’un système multivariable peuts’exprimer sous la forme:

(4.14)

avec:

ou encore, selon le formalisme de Leverrier:

(4.15)

L’équation (4.14) représente, sous forme compacte, la relation:

Selon (4.15), chaque fonction de transfert a les mêmes pôles quicorrespondent aux valeurs propres de . est la fonction de transfert dusystème entre l’entrée j et la sortie i lorsque toutes les autres entrées sont nulles.Le système est stable si toutes ces fonctions de transfert sont stables, c’est-à-diresi toutes les valeurs propres de sont dans le cercle unité. Il s’agit d’unecondition de stabilité suffisante, mais pas nécessaire. En effet, certains élémentsde la matrice peuvent exhiber des zéros et des pôles identiques qui sesimplifient.

Y z( ) H z( )U z( )=

H z( ) C zI Φ–[ ] 1– Γ D+=

H z( ) Cadj zI Φ–[ ]Γdet zI Φ–[ ]

------------------------------------ D+=

Y1 z( )

Y2 z( )

Yp z( )

H11 z( ) H12 z( ) … H1r z( )

H21 z( ) H22 z( ) … H2r z( )

Hp1 z( ) Hp2 z( ) … Hpr z( )

U1 z( )

U2 z( )

Ur z( )

=

HijΦ Hij

Φ

H

73

DISCRÉTISATION


La matrice de transfert du double intégrateur introduit au paragraphe 4.1.8est obtenue de la manière suivante:

Par Leverrier:

soit le même résultat que celui obtenu en appliquant la relation bien connue dansle cas SISO:

zI Φ–[ ] 1– adj zI Φ–[ ]det zI Φ–[ ]----------------------------

zI H1+

z2 a1z a2+ +--------------------------------= =

a1 trΦ 2 H1– 1 h0 1

2 1 00 1

– 1– h0 1–

= = = =

a212---– tr ΦH1[ ] 1

2---tr 1 h

0 11– h

0 1–⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

– 12---tr 1– 0

0 1–– 1= = = =

zI Φ–[ ] 1– 1z2 2z– 1+-------------------------- z 1– h

0 z 1–=

H z( ) C zI Φ–[ ] 1– Γ D+ 1 0z 1– h

0 z 1–h2 2⁄

h1

z 1–( )2-------------------= =

H z( ) z 1– h h2 2⁄h

1z 1–( )2

------------------- z 1–( )h2 2⁄ h2+z 1–( )2

----------------------------------------- h2

2----- z 1+

z 1–( )2-------------------= = =

1 z 1––( )Z L 1– G s( )s

-----------⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

74

RÉSUMÉ

4.3 Résumé4.3.1 Démarche de discrétisation

Stabilité dans un domaine proche du point de fonctionnement: Valeurspropres de dans le cercle unité!

Figure 4-2 Représentation d’état discrète d’un système réel vu au travers deconvertisseurs AD et DA.

u t( ) y t( )x· t( ) f x t( ) u t( ),[ ]=y t( ) g x t( ) u t( ),[ ]=

u t( ) y t( )

u

-

y

+x·

t( ) Ax t( ) Bu t( )+=y t( )˜ Cx t( ) Du t( )+= yu

u k( ) y k( )

u

-

y

+x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=y k( ) Cx k( ) Du k( )+= yu

Linéarisation

Discrétisation

(adjonction des AD et DA)

Φ

75

DISCRÉTISATION

4.3.2 Alternatives de discrétisation

Modèle linéaire Modèle non linéaire

Linéarisation (pt de fonct.)

Discrétisation exacte

Calcul de l’exponentielle de matrice

et

, inversion par Leverrier

Cayley-Hamilton:

x· t( ) f x t( ) x t( ),[ ]=y t( ) g x t( ) x t( ),[ ]=



x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=y k( ) Cx k( ) Du k( )+=

x· k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=y k( ) Cx k( ) Du k( )+=

Φ eAh I Ah A2h2

2!------------ A3h3

3!------------ … Aihi

i!---------- …+ + + + + +≡=

Γ eAη ηd B

0

h

∫ Ih Ah2

2!--------- A2h3

3!------------ … Aihi 1+

i 1+( )!------------------ …+ + + + + B= =

Ψ Aihi

i 1+( )!-----------------

i 0=

∑ I Ah2

------- I Ah3

------- … AhN 1–------------- I Ah

N-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞+⎝ ⎠

⎛ ⎞+≅=

Φ I Ahψ+= Γ ψhB=

eAt L 1– sI A–( ) 1–[ ]=

α0An 1– α1An 2– … αn 1– I+ + +

76

EXERCICES

4.4 Exercices4.4.1 Retard

Soit le système analogique décrit par l’équation différentielle:

Donner le modèle d’état discret de ce système vu au travers deconvertisseurs AD et DA. Considérer le cas où le retard est égal à unepériode d’échantillonnage h (u est l’entrée et y la sortie).Utiliser l’approximation d’Euler de la dérivée pour discrétiserl’équation différentielle. Comparer les deux solutions obtenues etjustifier votre constatation.

4.4.2 Discrétisation de l’entraînement

Soit le moteur à courant continu dont la dynamique est décrite par leséquations différentielles:

Pour l’application considérée, l’inductance est prise en compte. L’entréedu système est la tension d’alimentation . Les grandeurs et sont res-pectivement le courant d’induit et la vitesse angulaire. , , ¾, et sont desparamètres physiques.

Déterminer la représentation d’état de ce système vu au travers deconvertisseurs AD & DA. Seule la vitesse angulaire est mesurée.Comparer une discrétisation approximative par Euler et une discrétisa-tion exacte (exploiter à cet effet le théorème de Cayley-Hamilton).

4.4.3 Matrice de transfert

Le modèle d’état discret d’un système dynamique est le suivant:

Déterminer la matrice de transfert de ce système.

y· t( ) u t τ–( )=

τ

u t( ) kω t( ) Ri t( ) Ltd

d i t( )+ +=

Jtd

d ω t( ) ki t( ) fω t( )–=

Lu t( ) i t( ) ω t( )

J R k f

ω t( )

x k 1+( ) 0 11 0

x k( ) 0 11 0

u k( )+=

y k( ) x k( )=

77

DISCRÉTISATION


4.5.1 Solution retard

Le changement de variable peut s’écrire au temps sans aucune approximation de la façon suivante:

, ou de manière simplifiée

Après observation de l’équation différentielle, la variable d’état est choisie. L’équation d’état se présente par conséquent sous la

forme: . Ainsi, les matrices standard sont et .

La discrétisation de cette équation selon la technique exacte qui tientcompte des convertisseurs AD et DA donne:

avec et

Ainsi , ou encore .

Un décalage de cette dernière expression donne:

Il s’agit d’une équation aux différences d’ordre deux qui représente lesystème discrétisé. Pour l’exprimer sous forme de modèle d’état, on pose

et . Ceci conduit à:

Quant à l’équation de sortie, il s’agit de

Le résultat avec l’approximation d’Euler est le même! en effet, l’intégrale d’une commande constante est une rampe (c’est également une rampe qui estconsidérée par Euler).

v t( ) u t h–( )= t kh=

v kh( ) u kh h–( )= v k( ) u k 1–( )=

x t( ) y t( )=x· t( ) y· t( ) v t( ) 0x t( ) 1v t( )+= = =

A 0= B 1=

x k 1+( ) Φx k( ) Γv k( )+=

Φ eAh e0 1= = = Γ e0η ηd0

h

∫ ηd0

h

∫ h= = =

y k 1+( ) y k( ) hv k( )+= y k 1+( ) y k( ) hu k 1–( )+=

y k 2+( ) y k 1+( ) hu k( )+=

x1 k( ) y k( )= x2 k( ) y k 1+( )=

x1 k 1+( ) y k 1+( ) x2 k( )= =

x2 k 1+( ) y k 2+( ) x2 k( ) hu k( )+= =

y k( ) x1 k( )=

78


4.5.2 Solution discrétisation de l’entraînement

Etat:

Sortie:

et

Discrétisation par Euler:

Pour ms, , ,

, et :

4.5.3 Solution matrice de transfert


La matrice de transfert est donnée par:

x1 ω=

x2 i=

y ω=

x·1x·2

f J⁄– k J⁄ k L⁄– R L⁄–

x1x2

01 L⁄

u+=

y 1 0 x1x2

0 u+=

x1 k 1+( )

x2 k 1+( )1 hf J⁄– hk J⁄ hk L⁄– 1 hR L⁄–

x1 k( )

x2 k( )0

h L⁄u k( )+=

h 1= L 0.01= J 0.001=

k 0.1= f 0.01= R 1=

x1 k 1+( )

x2 k 1+( )0.99 0.10.01– 0.9

x1 k( )

x2 k( )0

0.1u k( )+=

x k 1+( ) 0 11 0

x k( ) 0 11 0

u k( )+=

y k( ) x k( )=

H z( ) zI φ–[ ] 1– Γ 1

z2 1–-------------- z 1

1 z0 11 0

1

z2 1–-------------- 1 z

z 1= = =

79

Chapitre 5

COMMANDE PAR PLACEMENT DE VALEURS PROPRES

5.1 Principe de contre-réaction

Nous nous limiterons dans ce chapitre au cas de systèmes stationnaires quine possèdent qu’une seule entrée (SISO ou SIMO). De façon générale, ladynamique est décrite autour du point de fonctionnement. Il est possible de seramener si nécessaire au cas d’une dynamique exprimée selon les vraies grandeurs

et en annulant les grandeurs nominales et .

La contre-réaction étudiée dans ce chapitre est choisie proportionnelle àl’écart de l’état par rapport à l’état nominal. La commande correspond donc à unesomme pondérée des écarts de l’état par les gains de la commande:

Une commande d’état agit en quelque sorte comme un régulateur “PD”généralisé. Le cas de la commande d’un entraînement électrique, où les deuxvariables d’état sont et , illustre ce propos. En effet, la contre-réaction proposée conduit à une commande similaire à celle issue d’un régulateurPD standard:

x u, y x u, y

x k 1+( ) Φx k( ) gu k( )+=y k( ) Cx k( ) Du k( )+=

Ki

u Kx– K1 K2 … Kn

x1x2

xn

–= =

x1 θ= x2 θ·

=

80

PRINCIPE DE CONTRE-RÉACTION

5.1.1 Dynamique en boucle fermée

L’adjonction de la commande d’état dans la description de la dynamiquedu système à régler donne un nouveau modèle d’état, régissant la dynamique dusystème en boucle fermée. L’ordre de ce système est le même que celui du systèmeà régler.

La dynamique du système en boucle fermée est régie par les valeurspropres de la matrice . Ces valeurs propres sont les solutions de l’équationcaractéristique :

Les valeurs propres de dépendent de la constitution physique dusystème à régler. Elles ne peuvent pas être changées.

Les valeurs propres de dépendent du système à régler et durégulateur. Comme possède n valeurs propres et que le régulateur est forméde n gains, toutes ses valeurs propres ( ) peuvent être choisieslibrement. Un comportement dynamique donné est donc imposé en bouclefermée. Ainsi:

La solution cherchée est obtenue en identifiant terme à terme lespuissances successives de dans les deux membres de cette dernière équation.Cette comparaison fournit équations qui permettent de déterminer les inconnues , pour .

u k( ) K1 K2– θ

θ· K1θ k( ) K2θ

·k( )+ uP k( ) uD k( )+= = =

x k 1+( ) Φx k( ) g Kx k( )–[ ]+=

x k 1+( ) Φ gK–[ ] x k( )=

Φbf

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Φbfαc λ( )

αc λ( ) det λI Φbf–[ ] det λI Φ– gK+[ ] 0= = =

Φ

ΦbfΦbf

λi pour i 1 … n, ,=

αc λ( ) det λI Φ– gK+[ ] λ λ1–( ) λ λ2–( )… λ λn–( ) 0= = =

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

connuinconnu

αc λ( ) λn α1λn 1– … αn+ + + 0= =

λn n

Ki i 1 … n, ,=

81


Si le système bouclé est écarté de son état nominal (à cause de conditionsinitiales quelconques ou sous l’effet d’une perturbation) et que les valeurs propresde ont été choisies dans le cercle unité, le système retourneasymptotiquement à l’état nominal, c’est-à-dire en , avec la dynamiquesuivante:

L’inverse de matrice qui apparaît dans cette dernière expression s’obtientau moyen de l’algorithme de Leverrier. Il s’agit d’une matrice de fractionsrationnelles en , dont les dénominateurs sont tous égaux et valent ,soit . Ce sont donc bien les valeurs propres de qui régissent ladynamique du système en boucle fermée.


Le modèle d’état discret du double intégrateur a été obtenue au paragraphe4.2.4. Il est caractérisé par les matrices:

Comme ce système est d’ordre deux, il est possible d’imposer en bouclefermée un comportement oscillant décrit par une fonction de transfert du mêmeordre:

( est ici le gain statique du système à régler)

Les pôles de ce système analogique sont , etleur équivalent discret , où est la période d’échantillonnage.

Au stade de la conception, certains critères doivent être spécifiés. Enparticulier, des considérations liées à l’application considérée peuvent nécessiterune limitation de l’amplitude du 1er dépassement. Dans cet exemple, noussouhaitons que cette valeur n’excède pas 12.3%. Pour satisfaire cettespécification, il faut choisir . Généralement, la rapidité de la réponseindicielle est également fixée en relation avec l’application. Dans cet exemple,l’instant d’apparition du premier maximum est choisi comme mesure de cette

Φbfx k( ) 0=

z X z( ) x 0( )–[ ] Φbf X z( )=

X z( ) zI Φbf–[ ] 1– x 0( )z=

z det zI Φbf–[ ]αc z( ) Φbf

Φ 1 h0 1

; Γ h2 2⁄h

= =

Kωo

2

s2 2ζω0s ω02+ +

----------------------------------------- K

s1 2, ω– 0 ζ ζ2 1–±( )=z1 2, ehs1 2,= h

ζ 0.5=

82

PRINCIPE DE CONTRE-RÉACTION

rapidité et imposé égal à une seconde ( ), ainsi . Finalement, lespôles analogiques correspondants sont et leur équivalentdiscret , pour une période d’échantillonnage seconde.

Dans ce cas monovariable, les notions de valeurs propres et de pôles sontéquivalentes. Par conséquent, l’équation caractéristique imposée est la suivante:

Ainsi:

et finalement:

tp 1= ω0 3.6=s1 2, 1.8– 3.12j±=

z1 2, 0.8 0.25j±= h 0.1=

det zI Φ– gK+[ ] z 0.8– 0.25j–( ) z 0.8– 0.25j+( )=

z2 1.6z– 0.7+ 0= =

det z 1 00 1

1 h0 1

– h2 2⁄h

K1 K2+⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

detz 1– K1h2 2 ⁄+ h– K2h2 2⁄+

hK1 z 1 hK2+–

z 1– h2

2-----K1+⎝ ⎠

⎛ ⎞ z 1– hK2+( ) hK1h2

2-----K2 h–⎝ ⎠⎛ ⎞– 0=

z2 z– hK2z z– 1 hK2h2

2-----K1z h2

2-----K1– h3

2-----K1K2

hK1h2

2-----K2 h2K+–

+ + + + +

0=

z2 hK2h2

2-----K1 2–+ z h2

2-----K1 hK2– 1++ + 0=

hK2h2

2-----K1 2–+ 1.6–=

h2

2-----K1 hK2– 1+ 0.7=

K10.1h2------- 10= =

K20.35

h---------- 3.5= =

83


5.2 Synthèse constructiveL’exemple précédent a mis en évidence les problèmes liés à l’obtention du

gain de la contre-réaction d’état. Il est en effet nécessaire de développer ledéterminant de façon algébrique, puis de regrouper les termes relatifs auxdifférentes puissances de et finalement de les identifier. Cette méthode estdifficilement applicable pour des systèmes d’ordre supérieur à deux. Il existenéanmoins une alternative intéressante, basée sur l’exploitation de la formecanonique W (annexe A). Selon cette technique, la synthèse du régulateur esteffectuée sur la base d’une représentation d’état artificielle du système à réglerobtenue par la transformation:

avec:

où est la dernière ligne de l’inverse de la matrice de gouvernabilité G (A.4):

Ainsi:

avec:

Les sont les coefficients du polynôme caractéristique du système àrégler.

On choisit:

z

w Px= P

enTΦn 1–

enTΦn 2–

enTI

=

enT

G IΓ ΦΓ … Φn 1– Γ[ ]=

w k 1+( ) Φww k( ) Γwu k( )+=

Φw PΦP 1–

a1– a2– … an–

1 0 … 0

0 … 1 0

Γw; PΓ

10

0

= = = =

ai

u K 'w w k 1+( )– Φw ΓwK '–( )w k( )= =

Φwbf Φw ΓwK '–

a1– K1'– a2– K2'– … an– Kn'–

1 0 … 0

0 … 1 0

= =

84

SYNTHÈSE CONSTRUCTIVE

Le polynôme caractéristique de qui régit la dynamique du systèmeen boucle fermée est:

Le choix des valeurs propres désirées en boucle fermée conduit quant à luiau polynôme caractéristique:

Les gains de contre-réaction des états artificiels sont finalement donnéspar les simples expressions:

Comme l’implantation réelle de la commande est basée sur les variablesd’état physiques, il faut convertir les gains obtenus par une transformationinverse:

5.2.1 Résumé de la marche à suivre

- Calculer numériquement les coefficients de l’équationcaractéristique du système selon l’expression .

- Calculer numériquement les coefficients de l’équationcaractéristique en fonction des valeurs propres choisies en bouclefermée selon l’expression .

- La différence entre les coefficients des deux équations caractéristiques(boucle ouverte et boucle fermée) donne les gains .

- Ramener ces gains dans le vrai domaine de travail en les multipliant parla matrice P qui est construite sur la base de l’inverse de la matrice degouvernabilité.

Φwbf

αc λ( ) λn a1 K1'+( )λn 1– … an Kn'+ + + + 0= =

αc λ( ) λn α1λn 1– α2λ

n 2– … αn+ + + + 0= =

K1' α1 a1–=

K2' α2 a2–=

Kn' αn an–=

u K 'w– K 'P x– Kx–= = =

⎧ ⎨ ⎩

K

aidet zI Φ–[ ] 0=

αi

λ λ1–( ) λ λ2–( )… λ λn–( ) 0=

K '

85


5.3 Formule d’Ackermann

La procédure décrite précédemment pour déterminer le gain de lacommande d’état peut se réduire à une seule relation, appelée la formuled’Ackermann. En effet,

(5.1)

Les coefficients sont ceux du polynôme caractéristique du système à ré-gler . Les sont ceux du polynôme caractéristique du système complet enboucle fermée .

Le membre de droite de l’équation (5.1) peut être scinder en deux parties:

Le terme sous l’accolade est la première ligne de la matrice (annexe A, relation A.8), donc égal à . Le deuxième membre de cetteéquation se résume par conséquent à un facteur . Le vecteur de gain peutdonc être obtenu selon:

Il s’agit du produit de la dernière ligne de l’inverse de la matrice degouvernabilité 1 et d’un polynôme matriciel dont les coefficients sont ceux du

K K 'P α1 a1 – α2 a2– … αn an– P= =

aiα λ( ) αi

αc λ( )

K α1 α2 … αn P a– 1 a– 2 … a– n

enTΦnP 1–

P+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

PΦP 1–

enTΦnP 1–

enTΦn

K α1 α2 … αn

enTΦn 1–

enTΦn 2–

enTI

enTΦn+=

enTΦn α1en

TΦn 1– α2enTΦn 2– … αnen

TI+ + + +=

enT

1

Φn α1Φn 1– α2Φ

n 2– … αnI+ + + +

αc Φ( )

=

⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

86

FORMULE D’ACKERMANN

polynôme caractéristique choisi en boucle fermée (annexe A, paragraphe A.1.2),soit . Ainsi:

(5.2)

(5.3)

Si G est inversible, on dit que le système est gouvernable.


On souhait imposer en boucle fermée la dynamique suivante:

Donc avec et . Il vient:

, donc:

αc Φ( )

K 0 … 0 1 G 1– αc Φ( )=

K 0 … 0 1 g Φg … Φn 1– g1–αc Φ( )=

αc λ( ) det λI Φbf–[ ] λ2 1.6λ– 0.7+ 0= = =

α1 1.6–= α2 0.7=

G g Φg= G h2 2⁄ 3h2 2⁄h h

=

G 1– 1h3----- h 3h2 2⁄–

h– h2 2⁄– 1

h2----- 1– 3h 2⁄

1 h 2⁄–= =

K K1 K21h2----- 0 1

1– 3h 2⁄1 h 2⁄–

αc Φ( )= =

αc Φ( ) 1 h0 1

21.6 1 h

0 1– 0.7 1 0

0 1+

1 2h0 1

1.6– 1.6h–0 1.6–

0.7 00 0.7

+ + 0.1 0.4h0 0.1

=

= =

K 1h2----- 1 h

2---–

0.1 0.4h0 0.1

1h2----- 0.1 0.4h 0.1

2-------h–

0.1h2------- 0.35

h---------- 10 3.5

= =

= =

87


5.4 Comportements imposés en boucle fermée

5.4.1 Imposition d’une réponse pile

Cherchons le gain K qui permet de ramener un système perturbé à sonpoint d’équilibre en n périodes d’échantillonnage.

Perturbation:

Ramener à:

La séquence de commandes nécessaires est donnée par (4.12):

Dans notre cas:

En multipliant de part et d’autre par , nous obtenons :

De plus, nous avons choisi: donc

d’où:

D’après Ackermann, ceci correspond à . Par conséquent,. Tous les pôles se trouvent au centre du cercle unité. Attention

toutefois à l’amplitude des commandes qui peut en résulter.

x 0( ) x0 (x 0( ) x0)= =

x n( ) 0 (x n( ) 0 x n( )→ x)= = =

u n 1–( )u n 2–( )

u 0( )

Γ ΦΓ … Φn 1– Γ1–

x n( ) Φnx0–=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

G 1– Φnx0–

0 … 0 1 u 0( )

u 0( ) 0 … 0 1

u n 1–( )u n 2–( )

u 0( )

0 … 0 1 G 1– Φnx0–= =

u Kx–= u 0( ) Kx 0( )–=

Kx 0( )– 0 … 0 1 G 1– Φnx0–=

K 0 … 0 1 G 1– Φn=

αc Φ( ) Φn=αc λ( ) λn 0= =

88

COMPORTEMENTS IMPOSÉS EN BOUCLE FERMÉE

5.4.2 Imposition d’un pôle dominant

La réponse indicielle d’un système d’ordre un est choisie comme réponseen boucle fermée.

Le pôle dominant est sélectionné. Les autres pôles sont placésau centre du cercle unité. Les pôles discrets correspondants sont donnés par:

5.4.3 Imposition d’une paire de pôles complexes conjugués dominants

La réponse indicielle d’un système d’ordre deux est choisie comme répon-se en boucle fermée.

avec et

Les deux pôles sont imposés. Les autres pôles sont placés au centre ducercle unité.

G s( ) K1 sτ+--------------=

s1 1 τ⁄–=

zi esih=

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5

uω max

τ

Temps en [s]

G s( ) Kτ2s2 2ζτs 1+ +--------------------------------------= ω0

1τ---= s1 2,

1τ--- ζ ζ2 1–±( )–=

s1 2,

tpt

y t( )

u t( )U

KUKUe

ζπ

1 ζ2–------------------–

tpπτ

1 ζ2–------------------=

89


5.4.4 Filtre de Bessel

Phase la moins variable possible! (pas de déformation des signaux).Fréquence de coupure (bande passante en B.F.) .

n K pôles si

1 1 -1

2 1 -0.866 ± 0.5i

3 1 -0.7456 ± 0.7114i, -0.9416

4 1 -0.9048 ± 0.2709i, -0.6572 ± 0.8302i

5 1 -0.5906 ± 0.9072i, -0.8516 ± 0.4427i, -0.9264

ωn

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n=12

34

5

ωn 1=

HN s( ) K

s si–( )∏-------------------------- K

BN s( )-------------BN 0( )= =

B0 s( ) 1=

B1 s( ) s 1+=

BN s( ) 2N 1–( )BN 1– s( ) s2BN 2– s( )+=

90

IMPLANTATION DE LA COMMANDE D’ÉTAT

5.5 Implantation de la commande d’état

Contrairement à la conception d’une commande classique de type PID parla méthode de Ziegler-Nichols, la conception d’une commande d’état nécessite laconnaissance du modèle du système à régler. Une fois ce modèle à disposition, ilpeut être exploité de plusieurs façons pour améliorer le comportement dynamiquede l’installation, ou pour simplifier la tâche de la commande. Il est par exemplenaturel d’utiliser le modèle pour élaborer une commande a priori, apte à ameneren boucle ouverte le système à son point de fonctionnement. Par ce moyen,l’adjonction de la commande ne sert plus qu’à compenser l’effet de perturbationséventuelles, ou à corriger l’imprécision de la commande a priori, consécutive àl’inexactitude inévitable du modèle (structure ou valeur des paramètres). Ainsi, leschéma fonctionnel traditionnel d’une commande d’état se rencontrehabituellement sous la forme représentée à la figure 5-1.

Avec une telle structure, le réglage et l’asservissement sont assuréssimultanément. En effet, la contre-réaction maintient l’état autour de sa valeurnominale (réglage), tandis que les valeurs nominales sont générées en fonction dessorties désirées (asservissement).

Bien que le système physique puisse être non linéaire, le modèledynamique exploité pour la conception de la commande est:

Dans le cas de systèmes non linéaires, les valeurs nominales doivent êtreconstantes afin que les matrices et le soient également. Il s’agit doncd’asservissement autour d’un point de fonctionnement et non du suivi de

Figure 5-1 Schéma fonctionnel d’une commande d’état.

Systèmephysiqueu t( )u k( )u k( )

DA

x k( )x k( )

K–

u k( )

x k( )

x t( )D

A

y t( )

-

+Valeursnominales

y k( )

Commande a priori

u k( ) Kx k( )–=

x k 1+( ) Φx k( ) gu k( )+=y k( ) Cx k( ) Du k( )+=

Φ g C, , D

91


trajectoires nominales. Dans ce dernier cas où le modèle est évolutif, la stabilitén’est pas forcément garantie par un choix de valeurs propres dans le cercle unité.

Toute la partie du schéma située à gauche des convertisseurs AD & DA estréalisée par voies algorithmiques sur un calculateur. Il faut noter que les sortiesévoluent en boucle ouverte, seul l’état est réglé. Ceci peut poser des problèmes siles matrices et sont mal connues. En pratique néanmoins, estgénéralement nulle et les variables d’état peuvent souvent être choisies afin que lamatrice ne présente que quelques éléments égaux à l’unité sur sa diagonale (lessorties sont ainsi un sous-ensemble des variables d’état). De plus, l’état estsouvent reconstruit ou moyen d’un observateur à partir des sorties et des entrées.

Avec une telle structure de commande, l’imposition d’une consigne pourles grandeurs de sortie revient à choisir leur valeur nominale. Le régulateurramène ainsi l’état du système à son état nominal, c’est-à-dire à son état deconsigne. Le schéma fonctionnel précédent peut être réarrangé sous une formeplus traditionnelle pour faire ressortir ces consignes.

Figure 5-2 Schéma fonctionnel d’une commande d’état sous forme traditionnelle.

C D D

C

x k( )

xc k( )

Systèmephysique

u t( )u k( )u k( )D

A

x k( )

x k( )–K

u k( )

x t( )

y t( )-

+Valeursnominales

y k( )

e k( )

DA

yc k( )

92

RÉSUMÉ COMMANDE SISO

5.6 Résumé Commande SISO5.6.1 Régulateur

5.6.2 Gouvernabilité

Le système est gouvernable si:

.

5.6.3 Contre-réaction d’état

Valeurs propres imposées en boucle fermée: .

Polynôme caractéristique de :

5.6.4 Régulateur à réponse pile

Choix:

L’erreur de réglage est annulée n périodes d’échantillonnage aprèsl’apparition de la perturbation.

Risque de saturation de la commande!

Ce risque peut être réduit en augmentant la période d’échantillonnage ouen choisissant un autre polynôme caractéristique .

K–

x

x k 1+( ) Φx k( )gu k( )+

= y k( ) cTx k( )=y k( )

Système d’ordre n

u k( ) x k( )

Rang G( ) Rang Ig Φg … Φn 1– g[ ] n= =

βi i 1 … n, ,=

Φ gK–( )

αc λ( ) λ β1–( )… λ βn–( ) 0= =

K 0 … 0 1 Ig Φg … Φn 1– g[ ]1–αc Φ( )=

αc λ( ) λn=

αc λ( )

93


5.7 Exemple de synthèse: Enceinte de chauffeSoit l’enceinte de chauffe représentée ci-dessous:

La grandeur d'entrée est la puissance de chauffe . La sortie estla température dans l’enceinte . La température extérieure

qui varie lentement est considérée comme une perturbation.

5.7.1 Modélisation

Le modèle analogique est:

Pour et , il vient:

5.7.2 Solution par imposition d’un point de fonctionnement

Considérons un point de fonctionnement tel que et supposons quela température extérieure est constante. En posant dans le modèle d’état,il vient: et . Le modèle exprimé en variables écartautour de ce point de fonctionnement est alors:

Les matrices du modèle discret sont et:

Finalement, le modèle d’état discret exprimé en variables écart est:

Tex t( )

T t( )

P t( )

u t( ) P t( )=y t( ) T t( )=

q t( ) Tex t( )=

mcT· t( ) P t( ) R T t( ) Tex t( )–[ ]–=

mc 1= x t( ) T t( )=x· t( ) Rx t( )– u t( ) Rq t( )+ +=y t( ) x t( )=

y yc=q x· 0=

x y yc= = u R yc q–( )=

x·

t( ) Rx t( )– u t( )+=y t( ) x t( )=

Φ eAh e Rh– ϕ≡= =

Γ e Rη– ηd0

h

∫⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

B 1R--- e Rh– 1–( )– 1

R--- 1 ϕ–( ) γ= = = =

x k 1+( ) ϕx k( ) γu k( )+=y k( ) x k( )=

94

EXEMPLE DE SYNTHÈSE: ENCEINTE DE CHAUFFE

En imposant une seule valeur propre en boucle fermée:, le gain de rétroaction est un scalaire qui vaut:

Figure 5-3 Schéma fonctionnel

αc λ( ) λ α1+ 0= =

K 1 γ1–αc ϕ( )

ϕ α1+γ

----------------= =

Systèmephysiqueu t( )u k( )u k( )

DA

x k( )x k( )

K–

u

x

x t( )D

A

y t( )

-

+Valeursnominalesy

Commande a priori

95


5.8 Exercices

5.8.1 Commande d’état

Soit le système représenté par la fonction de transfert:

Déterminer le modèle d’état discret de ce système en présence deconvertisseurs A/D et D/A avec .

Déterminer la contre-réaction d’état K de façon à avoir en bouclefermée un comportement dominant caractérisé par et

.

Répéter la conception du régulateur, mais en plaçant toutes les racinesau centre du cercle unité ( ). Il s’agit d’un régulateur à réponsepile. Ce dernier ramène en effet le système dans la situation désirée enun nombre fini de périodes d’échantillonnage. Combien?

5.8.2 Régulateur PI

Pour une implantation sur une carte processeur universelle, un régulateurPI discret doit être exprimé sous la forme générale d’un modèle d’état. L’entrée durégulateur est l’écart existant entre la grandeur de consigne et la mesure.

La sortie du régulateur correspond à la commande . Il s’agit de lasomme des composantes proportionnelle et intégrale ( ):

avec:

Les paramètres , et sont respectivement la périoded’échantillonnage, le gain proportionnel et la constante de temps de l’intégrateur.

Déterminer le modèle d’état qui correspond à ce système dynamique.

Comparer un tel régulateur PI avec une commande d’état incluant desintégrateurs.

G s( ) 10s2 0.18s 9+ +----------------------------------=

h 0.1 s[ ]=

ζ 0.5=ω0 8 rad s⁄[ ]=

z 0=

e k( )

c k( )ui

c k( ) Kp e k( ) ui k( )+= ui k( ) ui k 1–( ) KphTi---- e k( ) e k 1–( )+

2------------------------------------+=

h Kp Ti

96



5.9.1 Solution commande d’état

Passage d’une fonction de transfert au modèle d’état

L’équation différentielle qui correspond à la fonction de transfert donnée est la suivante: .

En choisissant comme variable d’état et , cette équationpeut être arrangée sous la forme d’un modèle d’état.

Modèle discret

La fonction c2d de Matlab donne:

Contre-réaction d’état

Les spécifications correspondent aux pôlesanalogiques suivants:

Dans le domaine discret, ces pôles sont:

G s( ) Y s( ) U s( )⁄= y·· t( ) 0.18y· t( ) 9y t( )+ + 10u t( )=

x1 y= x2 y·=

x·1 t( )

x·2 t( )0 19– 0.18–

x1 t( )

x2 t( )010

u t( )+=

y t( ) 1 0x1 t( )

x2 t( )=

x1 k 1+( )

x2 k 1+( )0.9556 0.09760.8786– 0.9380

x1 k( )

x2 k( )0.04930.9763

u k( )+=

y k( ) 1 0x1 k( )

x2 k( )=

ζ 0.5 et ω0 8 rad s⁄[ ]= =

s1 2, ω0 ζ ζ2 1–+⎝ ⎠⎛ ⎞– 4– 6.93j±= =

z1 2, ehs1 2, 0.5158 0.4281j±= =

97


Ackermann nous donne le gain correspondant:

Les réponses obtenues avec ces gains et à partir des conditions initiales sont les suivantes:

Il faut dans ce cas plusieurs périodes d’échantillonnage pour stabiliser lesystème.

K 3.35 0.714=

x1 0( ) x2 0( ) 0.5= =

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

x1

x2

u

98


En fixant les pôles discrets au centre du cercle unité, Ackermann donne:

Les réponses obtenues avec ces gains et à partir des conditions initiales sont les suivantes:

Il faut dans ce cas 2 périodes d’échantillonnage, ce qui est le minimum réa-lisable et qui correspond à l’ordre du système.

K 9.27 1.47=

x1 0( ) x2 0( ) 0.5= =

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

x1

x2

u

99


5.9.2 Solution régulateur PI

Transformée en :

avec et

, avec ,

et

Modèle d’état dérivé de la forme canonique d’observabilité (Section A.2):

Modèle d’état obtenu selon une approche temporelle (paragraphe 2.5.1):

Pour supprimer le terme indésirable , on pose comme variabled’état (au lieu de ). Ainsi:

z

Y z( ) KpU z( ) Ui z( )+= u k( ) e k( )= y k( ) c k( )=

Ui z( ) z 1– Ui z( ) KphTi---- U z( ) z 1– U z( )+

2-----------------------------------+=

Y z( )U z( )----------

b0 b1z 1–+

1 a1z 1–+--------------------------= b0 Kp 1 h

2Ti--------+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

b1 Kph

2Ti-------- 1–⎝ ⎠⎛ ⎞= a1 1–=

v k 1+( ) a1v k( )– b1 a1b0–[ ]u k( )+ v k( ) KphTi----u k( )+= =

y k( ) v k( ) b0u k( )+=

y k( ) Kpu k( ) ui k( )+=

ui k 1+( ) ui k( ) KphTi---- u k 1+( ) u k( )+

2-------------------------------------+=

u k 1+( )x k( ) ui k( ) αu k( )+= x k( ) ui k( )=

x k 1+( ) αu k 1+( )– x k( ) αu k( )– KphTi---- u k 1+( ) u k( )+

2-------------------------------------+=

x k 1+( ) x k( ) Kph

2Ti-------- α– u k( ) Kp

h2Ti-------- α+ u k 1+( )+ +=

100


Le terme indésirable disparaît pour:

Finalement:

α Kph

2Ti--------–=

x k 1+( ) x k( ) KphTi----u k( )+=

x k( ) ui k( ) Kph

2Ti--------u k( )–=

y k( ) Kpu k( ) ui k( )+ Kpu k( ) x k( ) Kph

2Ti--------u k( )+ += =

x k( ) Kp 1 h2Ti--------+ u k( )+=

101

Chapitre 6

ESTIMATION

6.1 EstimateurIl ressort du chapitre précédent que l’état complet du système à régler doit

être disponible pour implanter une commande d’état. Néanmoins, il arrive quecertaines variables d’état ne soient pas mesurables, ou qu’en raison du coût descapteurs, elles ne soient pas mesurées.

6.1.1 Principe

Pour pallier les lacunes éventuelles de variables d’état, il faut élaborer unetechnique apte à “deviner” les grandeurs manquantes au moyen des informationsdisponibles. Ces informations sont les signaux d’entrée et de sortie (mesures),ainsi que le modèle du système. Pour simplifier les développements, seuls lessystèmes avec une sortie seront considérés ici (SISO ou MISO). De plus, noussupposerons que l’entrée n’influence pas directement la sortie, ce qui est toujoursle cas pour les systèmes analogiques échantillonnés. Ainsi, le modèle se présentesous la forme:

Le principe de l’estimation (ou de l’observation) des états manquantsréside dans l’exploitation des informations disponibles par un calculateur. Cedernier effectuera la simulation du modèle discret du système physique enexploitant les entrées qui lui sont appliquées. La simulation consiste en une simpleévaluation successive de l’équation d’état à partir des conditions initiales. Lemodèle étant une approximation de la réalité, le résultat de la simulation n’estqu’une estimation de l’état réel du système. Pour marquer cette différence,l’estimation est repérée par un accent circonflexe, soit (prononcer x crête).

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=

y k( ) cTx k( )=

x k( )x k( )

102

ESTIMATEUR

Cette estimation peut ensuite être exploitée en boucle ouverte dans un contexte demesure, ou par une commande pour élaborer une contre-réaction d’état (fig. 6-1).

Bien que ce principe soit séduisant d’un point de vue conceptuel, il souffrede deux problèmes majeurs. Tout d’abord, les conditions initiales de l’état nesont généralement pas connues; d’autre part, les mesures qui constituent uneriche source d’information ne sont pas exploitées. Il s’agit donc d’une estimationen boucle ouverte.

Une analyse de l’erreur d’estimation permet de mettreen évidence un défaut supplémentaire. En effet, l’erreur en vaut:

En d’autres termes:

Cette dernière équation d’erreur se présente sous la forme d’un modèled’état discret linéaire. Les considérations tirées précédemment sur la stabilité detels systèmes peuvent donc être exploitées pour caractériser la convergence del’erreur d’estimation. Il est intéressant de constater que la dynamique de cetteerreur est la même que celle du système observé, c’est-à-dire qu’elle estconditionnée par les valeurs propres de la matrice . L’erreur diminue donc avecla même dynamique que le système évolue. Si les conditions initiales sont malconnues, l’estimation ne rattrape donc jamais l’état réel. Finalement, si le systèmeest instable, l’estimation diverge.

Figure 6-1 Principe de l’estimation d’état.

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=

y k( ) cTx k( )=u k( ) x k( ) y k( )

x k( )

Calculateur

utiliser x pourla contre-réaction

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=

Système physique

x 0( )y k( )

δ k( ) x k( ) x k( )–=k 1+

δ k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+[ ]

x k 1+( )

Φx k( ) Γu k( )+[ ]

x k 1+( )

– Φ x k( ) x k( )–[ ]= =

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

δ k 1+( ) Φδ k( )=

Φ

103

ESTIMATION

6.1.2 Observateur de Leuenberger

La solution aux problèmes mis en lumière au paragraphe précédentdécoule de l’exploitation des mesures de la sortie du système réel. Il s’agit decomparer les mesures disponibles avec les sorties fournies par l’estimateur.L’écart résultant correspond à une mesure de la qualité de l’estimation. Cet écartpeut donc être exploité pour corriger l’estimation. Le schéma de principe associéà la technique proposée est représenté à la figure 6-2. L’estimation de la sortie esttirée du modèle original du système et est donnée par l’expression .

Une contre-réaction de l’erreur d’estimation est donc introduite. D’unpoint de vue analytique, le comportement dynamique de l’observateur se traduitpar l’équation aux différences:

est un vecteur colonne de dimension . Puisqu’il n’y a qu’une sortiemesurée , le terme de correction se présente sous la forme:

Figure 6-2 Structure de l’observateur d’état.

y k( ) cTx k( )=

ProcessusΦ Γ, cT

ModèleΦ Γ, cT

LCorrection

x k( ) y k( )

x k( ) y k( )u k( )

Installation physique

Calculateur

-

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+ L y k( ) y k( )–[ ]+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

Dynamiquesupposée connue

Correction en fonctionde l’erreur d’estimation

L ny k( )

L1

Ln

n 1×

y k( ) y k( )–

1 1×⎧ ⎨ ⎩⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

104

ESTIMATEUR

L’erreur d’estimation de l’état peut maintenant être évaluée, selon une dé-marche similaire à celle adoptée au paragraphe précédent:

Il s’agit d’une équation d’état homogène (sans excitation). Sa solutiontend vers zéro si les valeurs propres de se trouvent à l’intérieur du cercle unité.

Il y a “n” erreurs d’estimation des “n” états qui peuvent être contrôléesdynamiquement par les “n” gains de l’observateur. Par conséquent, laconvergence dynamique de l’estimation peut être choisie librement. Si les valeurspropres de sont toutes imposées dans le cercle unité, l’erreur d’estimation

tend vers zéro, quelles que soient les conditions initiales . L’équationcaractéristique de est:

Relevons qu’une seule mesure permet d’estimer états. De plus, ladynamique de l’observateur étant celle d’un algorithme, il n’y a pas de limitationphysique à la vitesse de convergence choisie, ni à l’amplitude des signaux dansl’estimateur. Ces derniers ne sont en effet que des nombres stockés en mémoire.Les valeurs propres sont par conséquent choisies afin d’obtenir la dynamique laplus grande possible, ou en tout cas une dynamique plus rapide que celle durégulateur. Nous verrons plus loin que cet objectif est atteint si elles sont toutesplacées au centre du cercle unité.

Tout comme dans le cas de la commande d’état, la qualité de l’estimationd’état dépend de la qualité du modèle disponible et de la précision des capteurs demesure.

δ k 1+( ) x k 1+( ) x k 1+( )–=

δ k 1+( ) Φ x k( ) x k( )–[ ] L cTx k( ) cTx k( )–[ ]+=

⎧ ⎨ ⎩

y k( )

δ k 1+( ) Φ LcT–( )

Φe

–

δ k( )=

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

Φe

Li

βi Φeδ k( ) x 0( )

Φe

αe λ( ) det λI Φe–( ) λ β1–( ) λ β2–( )… λ βn–( ) 0= = =

y k( ) n

105

ESTIMATION


Soit le modèle discret du double intégrateur:

On impose , avec . Ainsi:

Pour s, il vient:

Les gains de l’observateur sont finalement:

x k 1+( ) 1 h0 1

Φ

x k( ) h2/2h

u k( )+=

⎧ ⎨ ⎩y k( ) 1 0 x k( )=

⎧ ⎨ ⎩

cT

αe λ( ) λ β1–( ) λ β2–( )= β1 2, 0.4 0.4j±=

αe λ( ) λ2 0.8λ– 0.32+ 0= =

det λI Φe–[ ] det λI Φ– LcT+[ ] 0= =

det λ 00 λ

1 h0 1

–L1L2

1 0+

⎩ ⎭⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎧ ⎫

det λ 1– h–0 λ 1–

L1 0

L2 0+

⎩ ⎭⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎧ ⎫

detλ 1– L1+ h–

L2 λ 1–=

λ 1– L1+( ) λ 1–( ) L2h+ λ2 λ– λ– 1 L1λ L1 L2h+–+ + 0= =

h 0.1= λ2 L1 2–( ) λ L2h L1 1+–( )+ + 0=

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

0.8– 0.32

L1 1.2 L2; 0.52h---------- 5.2= = =

106


6.2 Synthèse constructiveL’exemple précédent a mis en évidence les problèmes liés à l’obtention du

gain de l’observateur d’état. Il est en effet nécessaire de développer le déterminantde façon algébrique, puis de regrouper les termes relatifs aux différentespuissances de et finalement de les identifier. Cette méthode est difficilementapplicable pour des systèmes d’ordre supérieur à deux. Il existe néanmoins unealternative intéressante, basée sur l’exploitation de la forme canonique V (annexeA). Selon cette technique, la synthèse de l’observateur est effectuée sur la based’une représentation d’état artificielle du système à observer:

Le passage à la représentation artificielle s’effectue par la transformation:

avec:

où est la dernière colonne de l’inverse de la matrice d’observabilité Q (A.16).

Ainsi:

avec:

Les sont les coefficients du polynôme caractéristique du système àobserver.

λ

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=

y k( ) cTx k( )=

x Rv= R Φn 1– en … Φen Ien=

en

v k 1+( ) Φvv k( ) Γvu k( )+=

y k( ) cTR

cvT

v k( ) 1 0 … 0 v k( )= =

⎧ ⎨ ⎩

Φv R 1– ΦR

a1– 1 0 … 0

a2– 0 1

0an 1–– 0 … 0 1

an– 0 … 0 0

= =

ai

107

ESTIMATION

Plutôt que de construire un observateur des variables d’état physiques dusystème, un observateur de l’état artificiel est implanté. Sa dynamique est régiepar l’équation aux différences suivante:

L’erreur d’estimation de est de ce fait régie par:

La dynamique de l’erreur dépend donc des valeurs propres de:

Cette matrice correspondant à la forme canonique V, le polynôme caracté-ristique de s’écrit donc par analogie:

(6.1)

La relation entre les variables d’état et étant statique (transformationlinéaire algébrique ou aux différences d’ordre zéro), la dynamique de l’erreurd’estimation de sera la même que celle de . Par conséquent les valeurs propresde et de sont les mêmes. Les matrices et sont dites similaires.

Le polynôme caractéristique (6.1) peut alors être identifié à celui quiimpose la dynamique de l’erreur d’estimation de :

v

v k 1+( ) Φvv k( ) Γvu k( ) L' y k( ) y k( )–[ ]+ +=

v

δv k 1+( ) Φv L′cvT–⎝ ⎠

⎛ ⎞ δv k( )=⎧ ⎨ ⎩

L1′

Ln′1 0 … 0

L1′

0 Ln′

=

Φv L′cvT–

a1– L1′– 1 0 … 0 0

a2– L2′– 0 1 … 0 0

an 1–– Ln 1– ′– 0 0 1

an– Ln′– 0 … … 0 0

Φve≡=

Φv L′cvT–

λn a1 L1′+( )λn 1– … an Ln′+( )+ + + 0=

v x

v xΦve Φe Φve Φe

x

αe λ( ) λn α1λn 1– α2λ

n 2– … αn+ + + + 0= =

108


Les gains sont ainsi donnés par les relations:

Pour revenir aux grandeurs physiques, la transformation d’état inverse esteffectuée dans l’équation de l’observateur:

Ainsi:

Seules des opérations numériques sont nécessaires pour obtenir les gainsde l’observateur selon cette méthodologie basée sur la forme canonique V.

6.2.1 Formule d’Ackermann pour l’observateur

La procédure décrite précédemment pour déterminer le gain L del’observateur peut se réduire à une seule relation, appelée la formule d’Ackermannpour l’observateur. Selon le paragraphe précédent le gain peut en effet s’écrire:

Les coefficients sont ceux du polynôme caractéristique du système àobserver . Les sont ceux du polynôme caratéristique de la matrice

qui régit l’erreur d’estimation. Le terme sous l’accolade est la première colon-

L1' α1 a1–=

L2' α2 a2–=

Ln' αn an–=

v k 1+( ) Φvv k( ) Γvu k( ) L′ y k( ) y k( )–[ ]+ +=

R 1– x k 1+( ) ΦvR 1– x k( ) Γvu k( ) L′ y k( ) y k( )–[ ]+ +=

x k 1+( ) RΦvR 1– x k( ) RΓv u k( ) RL′ y k( ) y k( )–[ ]+ +=

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩

Φ Γ L

L RL′=

L RL′ R

α1 a1–

α2 a2–

αn an–

R

α1α2

αn

R

a1–

a2–

an–

R 1– Φnen

+= = =

⎧ ⎨ ⎩

aiα λ( ) αi αe λ( )

Φe

109

ESTIMATION

ne de la matrice (annexe A, relation A.19). Le deuxième membre de cetteéquation se résume par conséquent à un facteur . Le vecteur de gain peutdonc être obtenu selon:

Le vecteur est la dernière colonne de l’inverse de la matriced’observabilité . Il peut donc s’exprimer de la manière suivante:

Finalement:

Il s’agit de la formule d’Ackermann pour l’observateur d’état. Ellen’exploite que des éléments du modèle du système à observer et ne fait plusressortir aucune matrice de transformation.

Dans MATLAB, la matrice d’observabilité est obtenue au moyen de lacommande Q = obsv( , ).

R 1– ΦRΦnen

L Φn 1– en … Φen Ien

α1α2

αn

Φnen+=

Φnen α1Φn 1– en α2Φ

n 2– en … αnIen+ + + +=

Φn α1Φn 1– α2Φ

n 2– … αnI+ + + +

αe Φ( )

en=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩en

Q

en Q 1–

0

01

cT

cTΦ

cTΦn 1–

1–0

01

= =

L αe Φ( )

cT

cTΦ

cTΦn 1–

1–0

01

=

Φ cT

110

OBSERVATEUR À RÉPONSE PILE

6.3 Observateur à réponse pile

Soit le système discret décrit par:

et l’observateur associé:

L’équation qui régit la dynamique de l’erreur d’estimation est:

(6.2)

L’estimation initiale est généralement choisie nulle ( ), ainsi.

L’observateur est à réponse pile si l’erreur d’estimation est nulle après npériodes d’échantillonnage:

ainsi que pour les instants subséquents.

Si le polynôme caractéristique de l’équation 6.2 est choisi égal à ( ), les gains de l’observateur du système mis dans une formecanonique d’observabilité sont . Ainsi, la matrice qui décrit ladynamique de l’erreur d’estimation du système “artificiel” est:

Il s’agit d’une matrice dite “nilpotente” dont la propriété est un décalagede la diagonale à chaque multiplication par elle-même.

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=

y k( ) cTx k( )=

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( ) L y k( ) cTx k( )–[ ]+ +=

δ k( ) x k( ) x k( )–=

δ k 1+( ) Φ LcT–( )δ k( )=

x 0( ) 0=δ 0( ) x0–=

δ n( ) Φ LcT–( )nδ 0( ) 0= =

αe λ( ) λn

α1 α2… αn,, 0=L′i ai–=

Φv L′– cvT

a1– L′1– 1 … 0

a2– L′2– 0

1an– L′n– 0 … 0

0 1 … 00 0

10 0 … 0

= =

111

ESTIMATION

Par exemple:

et

De façon générale, pour une matrice nilpotente de dimension n:

.

Ainsi:

Le choix de conduit donc effectivement à l’annulation del’erreur d’estimation en n périodes d’échantillonnage.

Mnil

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

Mnil2;

0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

Mnil3;

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

= = =

Mnil4 0=

Mniln 0=

δ n( ) Φ LcT–( )nδ 0( ) RΦvR 1– RL′cvTR 1––( )nδ 0( )

R Φv L′cvT–( )R 1–[ ]nδ 0( )

Rn Φv L′cvT–( )

n

0

R 1–( )nδ 0( ) c.q.f.d.

= =

=

=

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

αe λ( ) λn=

112

RÉSUMÉ ESTIMATION SISO

6.4 Résumé Estimation SISO

6.4.1 Observateur

6.4.2 Observabilité

Ce système est observable si:

6.4.3 Gain de l’observateur

Dynamique de l’erreur d’estimation imposée par les valeurs propres: .

Polynôme caractéristique de :

6.4.4 Observateur à réponse pile

Choix . Pas de problèmes de saturation. En effet, lesgrandeurs en présence sont des nombres et non des grandeurs physiques.

x k 1+( ) Φx k( )gu k( )+

= y k( ) cTx k( )=y k( )u k( ) x k( )

x k 1+( ) Φx k( ) gu k( )L y k( ) cTx k( )–[ ]

++

=x k( )

Rang Q( ) Rang

cTI

cTΦ

cTΦn 1–

n= =

εi i 1 … n, ,=

Φ LcT–( )

αe λ( ) λ β1–( )… λ βn–( ) 0= =

L αe Φ( )

cTI

cTΦ

cTΦn 1–

1–0

01

=

αe λ( ) λn=

113

ESTIMATION

6.5 Structure complète de commande d’étatPour réaliser une contre-réaction d’état, il est nécessaire de connaître l’état

du système à régler. Lorsque la mesure des variables d’état est trop coûteuse, voireimpossible, un observateur d’état doit être introduit. La combinaison et lesinteractions dynamiques de la contre-réaction et de l’observateur doivent doncêtre étudiées. Ces thèmes sont traités dans cette section pour le cas général d’unsystème SISO non linéaire analogique. Le modèle utilisé pour la conception de lacommande numérique complète se présente ainsi sous la forme d’un modèlelinéarisé et discrétisé (zone grisée de la figure 6-3).

L’estimation de la sortie n’est pas calculée explicitement dansl’observateur, elle apparaît néanmoins sous la forme de l’expression .

Si la commande issue du régulateur est saturée sous l’effet de l’actuateuravant d’être appliquée sur le système physique, la commande exploitée parl’observateur doit l’être également. Pour cette raison, un bloc de saturation ayantla même caractéristique statique que l’actuateur doit être inséré dans la boucle decontre-réaction (en pointillé dans la figure 6-3).

Figure 6-3 Commande d’état complète.

AD

u k( ) u t( ) y t( ) y k( )Systèmeà régler

u k( ) y k( )

+

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( ) y k( );+ Cx k( )= =

x k 1+( ) Φ x k( ) Γu k( )L y k( ) Cx k( )–[ ]

++

=K–

Observateur/estimateurRégulateur

u k( ) Kx k( )–=

u k( ) y k( )-

Saturation

DA

Cx k( )

114

STRUCTURE COMPLÈTE DE COMMANDE D’ÉTAT

En omettant le signe tilde par souci de lisibilité, le système complet repré-senté précédemment est décrit par:

Observateur

Équation d’état du système

Contre-réaction d’état

Équation de sortie du système

L’élimination de qui n’est ni une variable d’état, ni une entrée et niune sortie du système complet conduit à:

(6.3)

(6.4)

(6.5)

En termes d’erreur d’estimation , il vient:

Équations (6.3)-(6.4)

Équation (6.4)

Équation (6.5)

En choisissant comme variables d’état du système complet décrit ci-dessus les grandeurs et , le modèle peut être arrangé sous formematricielle:

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( ) L y k( ) C x k( )–[ ]+ +=

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=

u k( ) Kx k( )–=

y k( ) C x k( )=

u k( )

x k 1+( ) Φx k( ) ΓKx k( )– LC x k( ) x k( )–[ ]+=

x k 1+( ) Φx k( ) ΓKx k( )–=

y k( ) Cx k( )=

δ k( ) x k( ) x k( )–=

δ k 1+( ) Φδ k( ) LCδ k( )–=

x k 1+( ) Φx k( ) ΓK δ k( ) x k( )+[ ]–=

y k( ) Cx k( )=

x k( ) δ k( )

δ k 1+( )x k 1+( )

Φ LC– 0ΓK– Φ ΓK–

Φt

δ k( )x k( )

=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

y k( ) 0 C δ k( )x k( )

=

115

ESTIMATION

Il s’agit du modèle d’état du système complet qui est d’ordre 2 . Sadynamique est donc régie par les valeurs propres de la matrice , c’est-à-dire parles zéros de l’équation caractéristique:

Dans ces dernières expressions, l’indice des matrices carrées identité indique leur dimension. Les règles de calcul du déterminant d’une matricesubdivisée en blocs donne:

Ainsi, les valeurs propres du système complet sont les zéros de l’équation qui correspond au produit de l’équation caractéristique de

l’estimateur avec celle de la contre-réaction d’état. Par conséquent, l’ensembledes valeurs propres du système complet regroupe les valeurs propres choisies pourrégir l’erreur d’estimation de l’état et celles choisies pour la contre-réaction. End’autres termes, les valeurs propres imposées au système par la contre-réaction nesont pas modifiées par l’adjonction d’un observateur. Il n’y a donc aucunedégradation des performances dynamiques.

Cette propriété d’indépendance de la dynamique de l’observateur et de ladynamique de la contre-réaction d’état est connue sous le nom de principe deséparation.

Figure 6-4 Combinaison des valeurs propres.

nΦt

det λI2nΦ LC– 0

ΓK– Φ ΓK––

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

0=

detλIn Φ– LC+ 0

ΓK λIn Φ– ΓK+0=

I

det λI Φ– LC+[ ] det λI Φ– ΓK+[ ] det ΓK[ ] det 0[ ]– 0=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

αe λ( ) αc λ( ) 0

αe λ( )αc λ( ) 0=

∪ =

λi estimateur λi contre-réaction λi complet

116

EXEMPLE DE SYNTHÈSE: BALANÇOIRE

6.6 Exemple de synthèse: Balançoire

6.6.1 Balançoire

Le processus représenté à la figure 6-5 est constitué d'une bille enmouvement sur une poutre dont l'inclinaison peut être modifiée par l'intermédiaired'un moteur électrique.

est la position angulaire de la bille sur son axe de rotation, son rayon, sa masse, son moment d'inertie et sa position sur la poutre. est l’angle

d'inclinaison de la poutre par rapport au plan horizontal et sa longueur.

6.6.2 Modélisation

En négligeant la dynamique du moteur, c’est-à-dire que l’on considère unecommande appliquée directement sur l’angle: , la balançoire peut êtredécrite par le modèle non linéaire suivant avec et :

6.6.3 Découpleur

Le découpleur qui permet de linéariser ce système par contre-réaction estle modèle inverse du système original (Figure 6-6).

Figure 6-5 Schéma de principe de la balançoire.

Figure 6-6 Découpleur de la balançoire.

r

θ

mg

φ

y

φ rm J y θ

L

u t( ) θ t( )=M x1 φ= x2 φ·=

x·1 t( ) x2 t( )=

x·2 t( ) mgrJ

---------- u t( )sin=

y t( ) rx1 t( )=

M 1–

M 1– Mu t( ) y t( )w t( )

117

ESTIMATION

Avec , il vient:

est l’entrée du découpleur. Le modèle inverse statique qui ne nécessitepas dans ce cas particulier de mesure de l’état est donc:

Le modèle du système équivalent est (Fig. 6-7). Ce système ales mêmes états que le système original. L’avantage est que le modèle équivalentest linéaire. Il est ainsi possible d’effectuer sa discrétisation et la conception d’unobservateur des deux états et à .

Pour garantir la linéarisation, il faut limiter la commande par unesaturation .

6.6.4 Discrétisation

Le nouveau modèle d’état équivalent à exploiter pour la synthèse del’observateur et de la commande est donc:

Le modèle discret de ce double intégrateur a déjà été obtenu dansl’exemple 4.2.4. Il est s’agit de:


b mgr J⁄=

y t( ) rx1 t( )=

y· t( ) rx·1 t( ) rx2 t( )= =

y·· t( ) rx·2 t( ) rb u t( )sin w t( )≡= =

w t( ) M 1–

u t( ) w t( )rb---------asin=

y·· t( ) w t( )=

y t( ) y· t( )

1 s2⁄y t( )w t( )

w t( )w t( ) rb±≤

x·1 t( ) x2 t( )=

x·2 t( ) w t( )=

y t( ) x1 t( )=

x k 1+( ) 1 h0 1

x k( ) h2 2⁄h

w k( )+=

y k( ) 1 0 x k( )=

118

EXEMPLE DE SYNTHÈSE: BALANÇOIRE

6.6.5 Observateur à réponse pile

L’observateur à réponse pile pour le double intégrateur discret a égalementdéjà été obtenu dans l’exemple 6.1.3 avec .

6.6.6 Commande par placement des valeurs propres

Une commande d’état pour le double intégrateur discret a fait l’objet del’exemple 5.3.1 avec .

6.6.7 Implantation

Le schéma d’implantation complet est donné à la figure 6-8.

L’état observé correspond à la position et à la vitesse angulaire de la bille,soit ) et . Il s’agit d’une commande enaccélération .

Figure 6-8 Commande complète de la balançoire avec découpleur, observateur etcommande d’état.

αe λ( ) λ2=

L αe Φ( ) cT

cTΦ

1–01

Φ2 1 01 h

1–01

21 h⁄

= = =

αc λ( ) λ2 1.6λ– 0.7+ 0= =

K 0 1 g Φg1–αc Φ( )

0.1

h2------- 0.35h

----------= =

Balançoireθ t( )u k( )

DA

K–

y t( )

w k( )

ADw k( )

rb----------asinw k( )

Observateur

Système équivalent

x k( )

x k 1+( ) Φx k( ) Γw k( ) L y k( ) cTx k( )–[ ]+ +=

y k( )

x1 k( ) y k( ) rφ= = x2 k( ) y· k( ) rφ·

= =w k( ) φ·· k( )=

119

ESTIMATION

6.7 Exercices

6.7.1 Observateur d’état de l’entraînement

Soit la version discrétisée du modèle d’un entraînement électrique élaborée au paragraphe 4.1.13:

Vérifier ce modèle discret à l’aide de la commande adéquate de Matlab.La période d’échantillonnage est de 25 ms.Déterminer le gain d’un observateur d’état, en spécifiant toutes lesvaleurs propres associées au centre du cercle unité.Déterminer en boucle ouverte la réponse de l’entraînement et celle del’observateur au moyen de Simulink (choisir des conditions initialesdifférentes pour ces deux éléments).Choisir une dynamique pour concevoir une contre-réaction d’état etdéterminer le gain correspondant.Simuler le système complet dans Simulink (observateur et régulateur).



Déterminer toutes les valeurs de pour lesquels le système n’est pasobservable.Expliquer ce qui se passe dans les différents cas où l’observabilité estperdue. Si nécessaire, représenter graphiquement les couplagesdynamiques internes au système pour soutenir l’argumentation.

x k 1+( ) 1 0.02350 0.8825

Φ

x k( ) 0.00030.0235

Γ

u k( )+=

y k( ) 1 0

cT

x k( )=

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

K

x k 1+( ) 1– 01 0

x k( ) 10

u k( )+=

y k( ) 1 α x k( )=

α

120



6.8.1 Observateur d’état de l’entraînement

Soit:

, et , avec: et

Le modèle discret correspondant s’obtient dans Matlab au moyen de lacommande [phi,Gamma]=c2d(A,B,h).

La dynamique imposée pour l’observateur est:

Le gain de l’observateur est obtenu au moyen de la formule d’Ackermann:

, avec

Il vient:

Pour simuler l’observateur au moyen de Simulink, son modèle doit êtrearrangé sous forme d’un modèle d’état standard.

Les entrées de l’observateur sont l’entrée et la sortie du système àobserver.

Le schéma de simulation est donné ci-dessous.

A 0 10 a

= B 0b

= cT 1 0= a 5–= b 1=

αe λ( ) λ 0–( ) λ 0–( ) λ2= =

L αe Φ( ) cT

cTΦ

1–01

= αe Φ( ) Φ2=

L 1.88333.14

=

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( ) L y k( ) cTx k( )–[ ]+ +=

Φ LcT–( )x k( ) Γ L u k( )y k( )

+=

121

ESTIMATION

Les réponses sont reportées dans la figure qui suit. On constate que les estimations de l’état atteignent les valeurs réelles de l’état après deux périodesd’échantillonnage.

La commande est choisie pour imposer en boucle fermée les valeurspropres suivantes:

Le gain de contre-réaction correspondant est obtenu par la formuled’Ackermann, dont la commande Matlab est:

K cT=

x k( )

y k( )u k( )

x k( )

A Φ=C I=

x 0( ) 5 0=

B Γ=

D 0 0=

A Φ LcT–=C I=

x 0( ) 0 0=

B Γ L=

D 0 00 0

=

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

20

40

60

80

100

120

140

160

180

* Position estimée

* Vitesse estimée

λ1 2, 0.8 0.25j±=

Le schéma de simulation du système complet (observateur et contre-réaction) est donné ci-dessous. Les définitions de blocs sont les mêmes queprécédemment.

Les réponses réelles (traits continus) et leur estimation durant le réglage (*) sont représentées ci-dessous. La position initial est de 5 rad et la vitesse initialeest nulle. Le régulateur ramène ces deux grandeurs à zéro.

K acker Φ Γ λ1 λ2, ,( ) 174.5 9.794= =

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-50

0

50

100

150

200

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

0

2

4

6

8

10

123

ESTIMATION


La matrice d’observabilité est:

Le rang de la matrice n’est pas plein si le déterminant est nul:

Le système n’est pas gouvernable pour et .

Pour , n’influence pas la sortie. Cet état n’est donc pasobservable.

Pour , les CIs de et ne peuvent pas être différenciées.

En effet, et sont interchangeables dans ces équations:

, c’est-à-dire:

Q cT

cTΦ

1 αα 1– 0

= =

Qα α 1–( ) 0=

α 0= α 1=

α 0= x2

α 1= x1 x2

x1 k 1+( ) x1 k( )– u k( )+=

x2 k 1+( ) x1 k( )=

y k( ) x1 k( ) x2 k( )+=

x1 x2

x1 k 1+( ) x2 k 1+( )– u k( )+=

y k( ) x1 k( ) x2 k( )+=

u k( ) x1 k 1+( ) x2 k 1+( )+=

y k( ) x1 k( ) x2 k( )+=

z 1–

z 1–

x2 k 1+( )

u k( )

x2 k( )

x1 k 1+( ) x1 k( )-

α

y k( )+

+

124


En utilisant la forme canonique de gouvernabilité:

on obtient la FT équivalente:

On constate que dans les deux cas mentionnés, il y a une annulation pôle-zéro.

Pour : et pour : .

x k 1+( ) a1– a2–

1 0x k( ) 1

0u k( )+=

y k( ) b1 b2 x k( )=

Y z( )U z( )---------- z α+

z z 1+( )-------------------=

α 0= Y z( )U z( )---------- 1

z 1+( )----------------= α 1= Y z( )

U z( )---------- 1

z---=

125

Chapitre 7

COMMANDE OPTIMALE

7.1 Commande optimale

7.1.1 Structure de commande d’état standard

Dans le cas des systèmes ne possédant qu’une entrée, la structure decommande illustrée à la figure 7-1 est généralement exploitée.

La synthèse du régulateur est aisément réalisable en exploitant unetechnique de placement des valeurs propres. Dans cette situation, la difficulté deconception réside dans le choix de l’emplacement des valeurs propres en bouclefermée. Ce choix n’est pas trivial. Pour obtenir une réponse rapide, la spécificationd’une réponse pile peut être considérée, néanmoins cela conduit généralement àdes amplitudes de commande que les amplificateurs ne peuvent pas fournir. Enfait, la technique de placement des valeurs propres ne donne qu’un contrôleexplicite sur la stabilité, les transitoires sur les signaux ne sont maîtrisésqu’indirectement. De plus, dans le cas MIMO, la formule d’Ackermann n’est plusexploitable et l’utilisation d’une identification termes à termes des coefficients dupolynôme caractéristique est la seule solution possible. Cette approche, pluscomplexe et nécessitant des développements analytiques, présente en plus desdegrés de liberté additionnels dont la mise en valeur judicieuse n’est pasimmédiate, comme l’illustre l’exemple du paragraphe qui suit.

Figure 7-1 Structure de commande d’état standard.

Systèmeà régler

K–

x

u: scalaire

126

COMMANDE OPTIMALE

7.1.2 Exemple: Cuve de mélange

Soit la cuve de mélange décrite au paragraphe 3.3.5 et dont le modèlediscret a été élaboré au paragraphe 4.1.14. Il s’agit d’un système MIMO avec deuxentrées et deux états. La forme de la contre-réaction est donc la suivante:

Si le polynôme caractéristique est choisit en boucle fermée,les gains de contre-réaction sont obtenus en identifiant les deux membres del’équation .

En développant, il vient:

Pour lever l’indétermination due à la présence de 4 inconnues ( , , et ) et de seulement deux équations (facteurs de et de ), deux des gainspeuvent être choisis arbitrairement. Trois possibilités sont maintenant étudiées. Ils’agit de , ou .

Pour , seule la première commande est manipulée, tandisque la seconde reste à sa valeur nominale. Nous avons alors:

L’identification fournit un système de deux équations linéaires dont lasolution unique est la suivante:

et

u1u2

K–x1x2

k1 k2k3 k4

–x1x2

= =

αc λ( ) λ2=

det λI Φ– ΓK+( ) αc λ( )=

det λ 00 λ

α 00 β

– r rs v

k1 k2k3 k4

+⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

λ2=

detλ α– r k1 k3+( )+ r k2 k4+( )

sk1 vk3+ λ β– sk2 vk4+ +λ2=

k1 k2 k3k4 λ1 λ0

k3 k4 0= = k1 k2 0= = k2 k3 0= =

k3 k4 0= =

λ2 λ rk1 sk2 α– β–+( ) αβ βrk1– αsk2–( )+ + λ2=

k1α2

r α β–( )-------------------- 25= = k2

β2

s α β–( )--------------------– 97= =

127

COMMANDE OPTIMALE

Pour , seule la seconde commande est manipulée, tandis que la première reste à sa valeur nominale. Nous avons alors:

L’identification fournit un système de deux équations linéaires dont lasolution unique est la suivante:

et

Pour , la première commande ne dépend que des écarts surla première variable d’état, et la seconde commande ne dépend que des écarts surla seconde variable d’état. C’est-à-dire qu’une vanne est choisie pour régler levolume et l’autre pour régler la concentration. Nous avons alors:

Le système d’équations est dans ce cas non linéaire (produit ). Legain est solution de l’équation du second degré:

Quant au gain , il est tiré de:

Il y a donc deux paires de valeurs pour qui peuvent être choisies.

Cette exemple illustre bien, pour les systèmes MIMO, la difficulté deconception d’une contre-réaction d’état par placement des valeurs propres. Desdéveloppements analytiques sont nécessaires, ainsi que dans certains cas la réso-lution de systèmes d’équations non linéaires. De plus, une exploitation sensée desdegrés de liberté devient difficile pour des systèmes d’ordre supérieur à deux, ousi le nombre d’entrées et d’états diffèrent. La commande optimale ne présente pasces défauts grâce à l’approche de conception systématique sur laquelle elle repose.

k1 k2 0= =

λ2 λ rk3 vk4 α– β–+( ) αβ βrk3– αvk4–( )+ + λ2=

k3α2

r α β–( )-------------------- 25= = k4

β2

v α β–( )--------------------– 32.35–= =

k2 k3 0= =

λ2 λ rk1 vk4 α– β–+( ) αβ βrk1– αvk4– k1k4r v s–( )+[ ]+ + λ2=

k1k4k4

k42 vs v2–( ) k4 2βv αs– βs–( ) β2–+ 0 k4→

0.98510.3251⎩

⎨⎧

= =

k1

rk1 α β vk4–+ k1→0.24870.7388⎩

⎨⎧

= =

k1 k4( , )

128

COMMANDE OPTIMALE

7.1.3 Principe de la commande optimale

Le principe de la commande optimale réside dans l’élaboration explicited’une séquence d’échantillons de l’entrée qui minimiseune fonction coût prédéfinie sur un horizon d’optimisation , plutôt que dans lechoix de l’emplacement des valeurs propres.

Dans cette approche, le traitement des cas SISO et MIMO est similaire.

La fonction coût à minimiser est la suivante:

Les paramètres à ajuster par le concepteur sont les matrices depondérations et qui permettent de réaliser un compromis entre l’efficacitédu réglage et la mise à contribution des actuateurs. Ces matrices doivent êtresymétriques et définies non négatives, c’est-à-dire que . En général,elles sont choisies diagonales, avec tous les éléments positifs ou nuls. Les valeursrespectives des éléments de la diagonale de permettent de pondérerl’importance des états entre eux. Les valeurs respectives des éléments de ladiagonale de permettent de pondérer l’importance des commandes entre elles.Une valeur nulle revient à ne pas prendre en compte le terme correspondant. Desvaleurs de signe opposé sont évitées pour que les termes de la somme ne secompensent pas entre eux.

Le terme permet de limiter la somme pondérée des etde ramener ainsi l’état vers zéro ou vers sa valeur nominale (si les variables écartsont introduites dans la fonction coût). Le terme permet de limiter lasomme pondérées des et d’éviter par ce biais des variations trop fortes de lacommande.

Les couples qui apparaissent dans la fonction coût doiventêtre compatibles avec la dynamique du système à régler; la minimisation doit parconséquent prendre en compte la contrainte .

La rapidité de la correction est ajustée au moyen de l’horizond’optimisation. La séquence cherchée est telle que les échantillons sontnuls pour . C’est-à-dire que le minimum doit être atteint enn’exploitant pas la commande sur plus de périodes d’échantillonnage.

u 0( ) u 1( ) … u N 1–( ), , ,N

J 12--- xT k( )Q1x k( ) uT k( )Q2u k( )+[ ]

k 0=

N

∑=

Q1 Q2

xTQx 0≥

Q1

Q2

xT k( )Q1x k( ) xi2 k( )

uT k( )Q2u k( )ui

2 k( )

x k( ) u k( ),⟨ ⟩

x k 1+( ) Φx k( ) Γu k( )+=

u N i+( )i 0 1 …, ,=

N

129

COMMANDE OPTIMALE

7.1.4 Résumé du problème d’optimisation

Soit un état initial quelconque, des matrices et donnéeset la condition , trouver les états , où , ainsi que lescommandes , où qui minimisent la fonction coût:

sous la contrainte: , où .

7.1.5 Solution du problème d’optimisation

Pour trouver le minimum d’une fonction, il faut annuler ses dérivéespartielles. Si il y a des contraintes d’égalité, il faut utiliser la méthode desmultiplicateurs de Lagrange, c’est-à-dire qu’il faut minimiser la fonction coûtétendue :

Il s’agit de la combinaison de la fonction coût initiale et de la contrainted’égalité. Un multiplicateur de Lagrange est introduit pour chaque valeurde k (vecteur de n éléments). L’adjonction de ces inconnues est le prix à payerpour la simplification de la résolution du problème.

x 0( ) x0= Q1 Q2u N( ) 0= x k( ) k 1 … N, ,=

u k( ) k 0 … N 1–, ,=

J 12---

[ ]

xT k( )Q1x k( )

n n n× n

[ ]

uT k( )Q2u k( )

r r r× r

+

k 0=

N

∑=⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

x k 1+( )– Φx k( ) Γu k( )+ + 0= k 0 1 … N, , ,=

J'

J′ 12---xT k( )Q1x k( ) 1

2---uT k( )Q2u k( )+

k 0=

N

∑=

λT k 1+( ) x k 1+( )– Φx k( ) Γu k( )+ +{ }[ ]

k 0=

N

∑+

Jλ k 1+( )

Nn

130

COMMANDE OPTIMALE

7.1.6 Résumé du problème d’optimisation étendu sans contrainte

Soit des matrices et données, trouver les états , où, les commandes , où , ainsi que les

multiplicateurs , où , qui minimisent la fonction coût (sans contrainte).

Dans le processus de minimisation, les états sont obtenus au moyen dumodèle et à partir de la condition initiale (figure 7-2)..

Les commandes sont élaborées de façon à satisfaire la condition finale (figure 7-3).

Figure 7-2 Etats inconnus à déterminer par minimisation.

Figure 7-3 Commandes inconnues à déterminer par minimisation.

Q1 Q2 x k( )k 1 … N, ,= u k( ) k 0 … N 1–, ,=

λ k( ) k 0 … N 1–, ,= J'

x 0( ) x0=

x k( )

k0 1 2 N 1– N

ConnuInconnus

…

u N( ) 0=

u k( )

k0 1 2 N 1– N

Imposée

Inconnues

…

131

COMMANDE OPTIMALE

7.1.7 Solution du problème d’optimisation étendu sans contrainte

L’annulation des dérivées partielles des commandes fournit, pour toutesles valeurs de :

(7.1)

Ainsi, pour , la condition finale additionnelle suivante est obtenue:

, d’où:

(7.2)

L’annulation des dérivées partielles des multiplicateurs fournit, pourtoutes les valeurs de :

(7.3)

Cette expression n’est rien d’autre que la contrainte qui réapparaît grâce àla formulation de Lagrange du problème d’optimisation.

L’obtention des dérivées partielles par rapport à l’état nécessite la prise enconsidération de deux termes consécutifs de la somme où apparaît.

k

J′∂u1 k( )∂

---------------

J′∂ur k( )∂

--------------

J′∂u k( )∂

------------ Q2u k( ) ΓTλ k 1+( )+ 0= = =

k N=

Q2 u N( )

0

ΓTλ N 1+( )+ 0=

⎧ ⎨ ⎩

λ N 1+( ) 0=

k

J′∂λ1 k 1+( )∂

-------------------------

J′∂λn k 1+( )∂

-------------------------

J′∂λ k 1+( )∂

---------------------- x k 1+( )– Φx k( ) Γu k( )+ + 0= = =

J′ x k( )

J′ … 12---xT+ k 1–( )Q1x k 1–( ) 1

2---uT k 1–( )Q2u k 1–( )

λT k( ) x k( )– Φx k 1–( ) Γu k 1–( )+ +{ }

12---xT k( )Q1x k( ) 1

2---uT k( )Q2u k( )

λT k 1+( ) x k 1+( )– Φx k( ) Γu k( )+ +{ } …

+

+

+ +

+ +

=

132

COMMANDE OPTIMALE

Ainsi, pour toutes les valeurs de :

(7.4)

Pour et en exploitant les relations (7.2) et (7.4), la condition finaleadditionnelle suivante est obtenue:

, d’où:

(7.5)

La résolution du système constitué par les équations (7.1), (7.3) et (7.4)n’est pas triviale. Il faut en effet évaluer progressivement l’équation d’état (7.3) àpartir de la condition initiale :

La commande qui intervient dans cette expression s’obtient aumoyen de la relation (7.1):

Cette évaluation nécessite la connaissance du multiplicateur , quilui, est déterminé dégressivement selon (7.4) à partir de la condition finale

. Ainsi:

Il s’agit d’un problème imbriqué puisqu’il faudrait connaître l’état pourdéterminer les multiplicateurs et les multiplicateurs pour connaître l’état. C’estRiccati qui a trouvé une solution à ce problème en introduisant une variableauxiliaire sous la forme d’une matrice carrée symétrique telle que:

(7.6)

k

J′∂x1 k( )∂

---------------

J′∂xn k( )∂

---------------

J′∂x k( )∂

------------ λ k( )– Q1x k( ) ΦTλ k 1+( )+ + 0= = =

k N=

λ N( )– Q1x N( ) ΦT λ N 1+( )

0

+ + 0=

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

λ N( ) Q1x N( )=

x 0( ) x0=

x 0( ) x 1( ) … x k 1+( )→ → → Φx k( ) Γu k( )+ … x N( )→ →=

u k( )

u k( ) Q21–– ΓTλ k 1+( )=

λ k 1+( )

λ N( ) Q1x N( )=

λ N( ) Q1x N( ) … λ k( ) Q1x k( ) ΦTλ k 1+( )+= … λ 0( )→ → → →=

S k( )

λ k( ) S k( )x k( )=

133

COMMANDE OPTIMALE

La valeur finale de est obtenue en posant . Il apparaît que:

, d’où:

(7.7)

La matrice est utilisée pour éliminer et dans leséquations (7.1), (7.3) et (7.4). Il vient:

Il s’agit d’une équation de Riccati discrète dans laquelle n’apparaît que lavariable . Cette équation peut se résoudre en arrière à partir de la valeur finale

. Une fois la matrice déterminée pour chaque instantd’échantillonnage, la factorisation suivante peut être mise en évidence à partir deséquations (7.1) et (7.6):

La commande optimale cherchée est donc fournie par la relation:

Sans n’avoir rien spécifié sur la structure de la contre-réaction, il apparaîtque les commandes de la séquence optimale sont proportionnelles à l’état, toutcomme le sont celles introduites dans le contexte du placement des valeurs

S k( ) k N=

λ N( )

Q1x N( )

S N( )x N( )=⎧ ⎨ ⎩

S N( ) Q1=

S k( ) λ k( ) λ k 1+( )

S k( ) ΦT S k 1+( ) S k 1+( )Γ Q2 ΓTS k 1+( )Γ+[ ] 1– ΓTS k 1+( )–{ }Φ Q1+=

S k( )S N( ) Q1= S k( )

Q2u k( ) ΓT λ k 1+( )

S k 1+( )x k 1+( )

–=

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Q2u k( ) ΓTS k 1+( ) x k 1+( )–=

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Φx k( ) Γu k( )+[ ]

u k( ) Q2 ΓTS k 1+( )Γ+[ ] 1– ΓTS k 1+( )Φ x k( )–=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

K k( )

u k( ) K k( )x k( )–=

r r n× n–=

134

COMMANDE OPTIMALE

propres. Néanmoins, le gain est ici non stationnaire. La structure d’une commanded’état générale est donc celle représentée à la figure 7-4.

7.1.8 Algorithme d’élaboration d’une commande optimale

Pour favoriser la détermination du gain , deux variablesintermédiaires et sont introduites. La solution de l’équation de Riccatiétant indépendante de l’état initial , elle peut être déterminée a priori et le gainstocké en mémoire en vue d’une implantation ultérieure de la commande sil’horizon est constant. En relevant que comme et que , legain doit être nul, les étapes d’élaboration de la solution suivantes peuventêtre proposées:

Poser comme conditions finales et ;

Commencer avec ;

Déterminer et son inverse;

Déterminer ;

Déterminer le gain

Sauvegarder le gain

Poser

Poser

Recommencer en .

Figure 7-4 Structure d’une commande d’état générale.

Systèmeà régler

K k( )–

x

u k( ): vecteur

K k( )R k( ) M k( )

x 0( )

N u N( ) 0= x N( ) 0≠K N( )

S N( ) Q1= K N( ) 0=

k N=

R k( ) Q2 ΓTS k( )Γ+=

M k( ) S k( ) S k( )ΓR 1– k( )ΓTS k( )–=

K k 1–( ) R 1– k( )ΓTS k( )Φ=

K k 1–( )

S k 1–( ) ΦTM k( )Φ= Q1+

k k 1–=

135

COMMANDE OPTIMALE

7.1.9 Commande linéaire quadratique (LQR)

Comme solution d’un problème de minimisation, converge vers unevaleur stationnaire lorsque k diminue.

Comme la plupart des systèmes fonctionnent continuellement, etle régime transitoire est négligeable.

Le gain optimal stationnaire est obtenu en posant:

Prendre la solution définie positive.

La commande Matlab qui fournit ces valeurs optimales stationnaires est:

S k( )

0 Nk

Q1

S∞ cte=

K∞ cte: Gain optimaldet λI Φ– ΓK∞+[ ] 0valeurs propres optimales!

==

Cas SISOS k( )

N ∞→

K∞

S∞ S k( ) S k 1+( )= =

S∞ ΦT S∞ S∞ΓR 1– ΓTS∞–[ ]Φ Q1 LQR⇒+=

“carré”, donc 2 solutions

LinearQuadraticRegulator

K∞ S∞ E∞, ,[ ] dlqr Φ Γ Q1 Q2, , ,( )=

136

RÉSUMÉ DE LA COMMANDE OPTIMALE STATIONNAIRE

7.2 Résumé de la commande optimale stationnaireTrouver la séquence de commande qui minimise la fonction coût:

matrices de pondération diagonales, avec éléments positifs ou nuls.

Solution par la méthode de Lagrange de la forme:

Solution stationnaire pour un horizon d’optimisation .

avec les dimensions: et

Une commande obtenue par cette méthode optimale est plus “douce” pourles actuateurs que celle obtenue par un placement des valeurs propres. Lalimitation de la sollicitation des actuateurs est néanmoins obtenue au détrimentd’un contrôle explicite des amortissements absolus et relatifs. La suppressionéventuelle d’oscillations par un placement judicieux des valeurs propres n’estégalement plus possible, ce qui n’est pas acceptable dans des applications enmachines-outils par exemple.

u k( )

J 12--- xT k( )Q1x k( ) uT k( )Q2u k( )+

k 0=

N

∑=

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

Somme quadratique des écarts par rapport à l’étatnominal

Somme quadratiquedes écarts parrapport à lacommandenominale

Q1 et Q2

n n× r r×

u k( ) K k( )x k( )–=

N ∞→

S∞ ΦT S∞ S∞Γ Q2 ΓTS∞Γ+( ) 1– ΓTS∞– Φ Q1+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

R∞

K∞ R∞1– ΓTS∞Φ = S∞: n n× K∞: n n×

u k( ) K∞– x k( )=

137

COMMANDE OPTIMALE

7.3 Exemples7.3.1 Échangeur de chaleur

Soit l’échangeur de chaleur introduit dans l’exercice 3.6.1 et le modèled’état analogique linéarisé obtenu. Le modèle d’état discret peut être déterminénumériquement au moyen de la fonction c2d de Matlab. Pour une périoded’échantillonnage de , il vient:

La seule grandeur qui doit être réglée étant la variable , les matrices depondération suivantes sont choisies:

et

Le schéma fonctionnel pour l’implantation de la commande est représentéà la figure 7-5.

Figure 7-5 Structure de la commande optimale de l’échangeur.

h 0.25 s[ ]=

Φ 0.63 0.360.09 0.85

Γ; 0.0250.115

= =

x1

Q150 00 0

= Q2 1=

ADD

A

u t( ) Echangeurde chaleur

3.16

2.02

AD

u u k( )x2 t( )

x1 t( ) x2 k( )

x1 k( )

x1–

x2–

u k( )

x1 x2=

++

+

+

++ -

-

138

EXEMPLES

Le fichier de commandes Matlab pour obtenir à la fois un gain évolutif etun gain stationnaire est le suivant:

clear

% Modèle analogique% ----------------- A=[-2 2; 0.5 -0.75]; B=[0;0.5]; C=[1 0;0 1]; D=[0;0]; % Modèle discret% -------------- h=0.25; [F,G]=c2d(A,B,h); % Gain évolutif% ------------- Q1=[50 0;0 0]; Q2=1; N=20; S=Q1; K(N,1:2)=[0 0]; for k=N:-1:2, InvR=inv(Q2+G'*S*G); M=S-S*G*InvR*G'*S;

K(k-1,1:2)=InvR*G'*S*F; S=F'*M*F+Q1;

end, plot(K) % LQR (solution stationnaire)% --------------------------- [Ks,Ss,E]=dlqr(F,G,Q1,Q2); % Ks = [2.0205 3.1559] Ks % E = val. propres = 0.5333±0.1951i

L’évolution des gains optimaux est représentée à la figure 7-6.

Figure 7-6 Evolution des gains optimaux en fonction de k.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

k1 k( )

k2 k( )

139

COMMANDE OPTIMALE

Les valeurs stationnaires des gains pour sont et. Ces valeurs sont utilisées pour générer les réponses données aux

figures 7-7 et 7-8.

Figure 7-7 Evolutions des états en fonction du temps exprimé en secondes.

Figure 7-8 Evolution de la commande en fonction du temps exprimé en secondes.

N ∞→ k1 2.02=k2 3.16=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1 kh( )

x2 kh( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

u kh( )

140

EXEMPLES

7.3.2 Cuve de mélange

La commande optimale stationnaire (LQR) pour la cuve de mélangeintroduite au paragraphe 3.6.2 est déterminée au moyen du fichier de commandesMatlab suivant:

clear

% Valeurs nominales% ----------------- x1o=1; x2o=1.25; u1o=0.015; u2o=0.005; c1=1; c2=2; S=1; K=0.02; % Modèle linéarisé analogique% --------------------------- A=-[K*sqrt(x1o/S)/2 0 ; 0 u1o+u2o]./x1o; B=[1 1 ; (c1-x2o)/x1o (c2-x2o)/x1o]; C=[1/S 0 ; 0 1]; D=[0 0 ; 0 0]; % Modèle linéarisé discrétisé% --------------------------- h=2; % Période d’échantillonnage en secondes [F,G]=c2d(A,B,h); CI=[-0.1;0]; a=A(1,1); b=A(2,2); p=B(2,1); q=B(2,2); Fex=[exp(a*h) 0;0 exp(b*h)] Gex=[(exp(a*h)-1)/a (exp(a*h)-1)/a; p*(exp(b*h)-1)/b q*(exp(b*h)-1)/b]

% Regulateur optimal% ------------------ Q1=[1 0;0 1]; Q2=[10 0;0 100]; [Ks,Ss,E]=dlqr(F,G,Q1,Q2); [t,x,y]=sim('SimCuve',100); u=x*Ks'; plot(t,x) pause plot(t,u)

Des écarts initiaux des états et ont été choisispour illustrer l’efficacité de la commande dans un domaine de variations linéairesautour du point de fonctionnement.

Pour refléter le fait que les deux états sont de même ordre de grandeur, lamatrice de pondération suivante à été choisie:

x1 0( ) 0.1–= x2 0( ) 0=

Q1

Q11 00 1

=

141

COMMANDE OPTIMALE

Quant à la matrice , elle donne plus de poids à la seconde entrée:

Les résultats de simulation sont donnés aux figures 7-9 et 7-10.

Les écarts initiaux de commande sont et .

Figure 7-9 Evolution des états en fonction du temps exprimé en secondes.

Figure 7-10 Evolution des commandes en fonction du temps exprimé en secondes.

Q2

Q210 00 100

=

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.1

-0.09

-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

x1

x2

K∞0.2 0.092–0.03 0.067

=

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-20

-15

-10

-5

0

5x 10

-3

u2

u1

u1 0( ) 0.02= u2 0( ) 0.003=

142

RAPPELS MATHÉMATIQUES

7.4 Rappels mathématiquesSoit une matrice réelle, symétrique ( ), de dimensions .

Soit et des vecteurs réels, de dimension n.

7.4.1 Forme quadratique réelle

Cette forme est un scalaire.

A est définie positive si:

• Les valeurs propres d’une matrice réelle symétrique sont réelles.

• Si A est définie positive, ses valeurs propres sont positives (réelles)et A est régulière.

7.4.2 Dérivée d’une forme quadratique réelle

Cette forme est un vecteur colonne.

Rappel:

A aij aji= n n×

x y

xTAx aijxixjj 1=

n

∑i 1=

n

∑=

xTAx 0 pour x 0≠>

xTAx 0 pour x 0= =

x∂∂ xTAx 2Ax 2xTA( )

T x1∂∂

x2∂∂

xTAx= = =

AB( )T BTAT=

143

COMMANDE OPTIMALE

7.4.3 Forme bilinéaire

Cette forme est un scalaire.

7.4.4 Dérivée d’une forme bilinéaire

Cette forme est un vecteur colonne.

De même:

Comme est symétrique, .

xTAy aijxiyjj 1=

n

∑i 1=

n

∑=

x∂∂ xTAy Ay=

x∂∂ yTAx ATy=

A AT A=

144

EXERCICES

7.5 Exercices

7.5.1 Retard pur

Soit le retard pur discret décrit par l’équation aux différences suivante:

.

Déterminer un régulateur optimal stationnaire pour commander ce sys-tème en utilisant des matrices identité comme pondérations et . Commenter le résultat et comparer avec un régulateur à réponse pile.

7.5.2 Entraînement optimal

Réglage optimal de vitesse autour d’un point de fonctionnement.

La dynamique d’un entraînement dont on mesure la vitesse est donnée par:

Le modèle d’état discret équivalent est: (avec )

où et .

Décrire ce système par un modèle d’état valable autour du point defonctionnement: (c: consigne de vitesse).Esquisser la structure de réglage et d’imposition du point defonctionnement.Déterminer le gain de contre-réaction d’état stationnaire optimal avec

. Choisir et .

7.5.3 Enceinte de chauffage optimaleEsquisser le synthèse de la commande optimale pour l’enceinte dechauffage décrite à la Section 5.7.

y k 2+( ) u k( )=

Q1 Q2

ω· t( ) aω t( ) bu t( )+=y t( ) ω t( )=

x ω=

x k 1+( ) φx k( ) γu k( )+=y k( ) x k( )=

φ eah= γ ba--- φ 1–( )=

x c=

h 25 ms[ ] a; 5 et b– 1= = = Q1 100= Q2 1=

145

COMMANDE OPTIMALE

7.6 Solutions des exercices7.6.1 Retard pur

Soit l’équation .

Le choix des variables d’état est et . Ainsi:

Le modèle d’état est: , Ainsi:

, , , et

,

est solution de

d’où: et

Pour un retard pur de deux périodes d’échantillonnage, il suffit d’attendredeux périodes d’échantillonnage pour que l’entrée apparaîsse à la sortie. Noussommes donc en présence d’une réponse pile, même sans rétroaction ( )!

y k 2+( ) u k( )=

x1 k( ) y k( )= x2 k( ) y k 1+( )=

x1 k 1+( ) x2 k( )=

x2 k 1+( ) u k( )=

x k 1+( ) 0 10 0

x k( ) 01

u k( )+=

Φ 0 10 0

= Γ 01

= Q11 00 1

= Q2 q2 1= =

S∞s1 s

s s2= R∞ Q2 ΓTS∞Γ+ 1 0 1

s1 s

s s2

01

+ 1 s2+= = =

S∞ S∞ ΦT S∞ S∞ΓR∞1– ΓTS∞–

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

Φ Q1+=

s1 ss s2

0 01 0

s1 ss s2

s1 ss s2

01

0 1s1 ss s2

1 s2+----------------------------------------------------------–

⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

0 10 0

1 00 1

+=

0 01 0

s1s2

1 s2+--------------– s

s2s1 s2+--------------–

ss2s

1 s2+--------------– s2

s22

1 s2+--------------–

0 10 0

1 00 1

+1 0

0 1 s1s2

1 s2+--------------–+

= =

S∞1 00 2

= K∞ 0 0=

K 0=

146


7.6.2 Entraînement optimal

• Point de fonctionnement

• Schéma fonctionnel

• Réglage optimal

Système à régler:

et

• Gouvernabilité

Le système est d’ordre un. La matrice de gouvernabilité: de rangun, donc gouvernable, si

x k 1+( ) φx k( ) γu k( )+=

c φc γu+=

u⇒ 1γ--- 1 φ–( )c=

DA

AD

K–

Entraînement

1γ--- 1 φ–( )

u u k( )

u k( )

x t( ) y t( )=

x k( )cx k( )

+

+-

régulateur d’état

consigne

grandeur à régler

commande a priori

x k 1+( ) φx k( ) γu k( )+= y k( ) x k( )=

G γ=γ 0≠

147

COMMANDE OPTIMALE

• Gain stationnaire

“matrice” de dimension

Cette dernière équation s’écrit:

C’est la solution positive de cette équation du second degré qui permet de

calculer le gain .

• M-fileclear

% Modèle analogique de l'entraînement% ----------------------------------- a=-5; b=1;

% Modèle discret de l'entraînement% -------------------------------- h=25e-3; F=exp(a*h); G=b*(F-1)/a;

% Régulateur optimal% ------------------ Q1=100; Q2=1;

% Solution numérique par Matlab% ----------------------------- [K,S,E]=dlqr(F,G,Q1,Q2)

% Solution stationnaire analytique% --------------------------------

Sol=roots([G^2 (Q2-Q2*F^2-Q1*G^2) -Q1*Q2]);

Sinf=max(Sol)

Rinf=Q2+G'*Sinf*G;Kinf=inv(Rinf)*G'*Sinf*F

S∞ s= 1 1×

R∞ r Q2 sγ2+ 1.166= = =

s φ2 s s2γ2 1Q2 sγ2+---------------------– Q1+ 301= =

s2γ2 s Q2 Q2φ2– Q1γ

2–( ) Q1Q2–+ 0=

K 1r---γsφ 5.35= =

148


• Simulation

A F B, G CI, 2 rad/s= = =

C 1 D, 0 h,= =

K–

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

x

u

149

COMMANDE OPTIMALE

7.6.3 Enceinte de chauffage optimale

Commande optimale avec intégrateur (synthèse LQR)

, diagonale et symétrique

, symétrique et définie positive

Solution numérique avec Matlab ou

Solution symbolique avec Mathematica (inconnues: )

Une identification termes à termes est nécessaire.

Q1q11 0

0 q12=

Q2 q2=

S S∞s1 s

s s2= =

R R∞ Q2 Γ*TS∞Γ*+ q2 γ2s1+= = =

S∞ Φ*T S∞ S∞Γ*R∞

1– Γ*TS∞–[ ]Φ* Q1+=

s s1 s2, ,

s1 s

s s2

ϕ 10 1

s1 s

s s2

s12γ2 ss1γ

2

ss1γ2 s2γ2

q2 γ2s1+----------------------------------

–

⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

ϕ 01 1

q11 0

0 q12+=

1

q2 γ2s1+--------------------- ϕ 1

0 1

s1q2 sq2

sq2 s2q2 s1s2γ2 s2γ2–+

ϕ 01 1

q11 0

0 q12+=

151

Annexe A

FORMES CANONIQUES

A.1 Forme canonique de gouvernabilité (W)A.1.1 Modèle d’état d’un système SISO représenté par une fonction de

transfert

Comme déterminé au paragraphe 2.5, la fonction de transfert discrète:

(A.1)

peux être réprésentée par un modèle d’état qui fait intervenir des variables d’étatartificielles w:

(A.2)

(A.3)

Il est trivial de montrer que l’équation caractéristique de la matrice estla suivante:

H z( ) Y z( )U z( )----------

b0 b1z 1– b2z 2– … bnz n–+ + + +

1 a1z 1– a2z 2– … anz n–+ + + +-----------------------------------------------------------------------------= =

w k 1+( )

a1– a2– … an 1–– an–

1 0 … 0 00 1

0 00 … 0 1 0

Φw

w k( )

100

0

gw

u k( )+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩

y k( ) b1 a1b0 | – b2 a2b0 | – … | bn anb0–

cwT

w k( ) b0u k( )+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

Φw

det λI Φw–( ) λn a1λn 1– a2λ

n 2– … an 1– λ an+ + + + + 0= =

152

FORME CANONIQUE DE GOUVERNABILITÉ (W)

Les valeurs propres de sont donc égales aux pôles de la fonction detransfert .

A.1.2 Fonction de transfert d’un système SISO représenté par un modèle d’état

Soit le modèle d’état d’un système SISO discret:

Nous allons effectuer un changement de variables d’état pour trouver,comme représentation, la forme canonique de gouvernabilité (W). La fonctionde transfert correspondante s’obtient ensuite immédiatement grâce aux résultatsdu paragraphe A.1.1.

La représentation d’état n’étant pas unique, n’importe quelle applicationlinéaire bijective peut être choisie pour passer du vecteur d’état x à un nouveauvecteur d’état w, par exemple . La matrice , de dimension , doitêtre régulière (inversible), pour que la transformation inverse soitpossible. Le nouveau modèle d’état, exprimé par rapport à la variable d’étatartificielle w, est alors:

L’objectif est maintenant de trouver une matrice P régulière, telle que lemodèle d’état se présente sous la forme canonique souhaitée.

Choisissons tout d’abord une matrice particulière :

(A.4)

construite à partir des éléments du modèle d’état original. Cette matrice porte lenom de matrice de gouvernabilité ou de commandabilité. Cette dénomination serajustifiée plus loin. Les lignes de l’inverse de la matrice peuvent être repéréesarbitrairement de la manière suivante:

ΦwH z( )

x k 1+( ) Φx k( ) gu k( )+=

y k( ) cTx k( ) du k( )+=

w Px= P n n×x P 1– w=

w k 1+( ) PΦP 1– w k( ) Pgu k( )+=

y k( ) cTP 1– w k( ) du k( )+=

G

G Ig Φg … Φn 1– g[ ]=

G

G 1–e1

T

enT

=

153

FORMES CANONIQUES

Par définition de l’inverse d’une matrice, nous avons: , c’est-à-dire:

En identifiant la dernière ligne des deux membres de cette équation, ilvient:

(A.5)

(A.6)

Les vecteurs lignes sont linéairement

indépendants. En effet, supposons l’existence des constantes telles que:

(A.7)

La multiplication de (A.7) par le vecteur g donne:

Par les équations (A.5) et (A.6), il vient: . La multiplication de(A.7) par donne:

Par les équations (A.5) et (A.6), il vient: . En poursuivant ceprocessus, nous aboutissons à:

Ceci montre que les vecteurs sont linéairementindépendants. Ils peuvent donc être utilisés pour construire la matrice P, qui serarégulière.

I G 1– G=

1 0 … 00 1

00 … 0 1

e1TIg e1

TΦg … e1TΦn 1– g

e2TIg e2

TΦg … e2TΦn 1– g

en

TIg enTΦg … en

TΦn 1– g

=

enTIg en

TΦg … enTΦn 2– g 0= = = =

enTΦn 1– g 1=

enTI en

TΦ … enTΦn 1–, , ,

α0 α1 … αn 1–, , ,

α0enTI α1en

TΦ … αn 1– enTΦn 1–+ + + 0=

α0enTIg α1en

TΦg … αn 1– enTΦn 1– g+ + + 0=

αn 1– 0=Φg

α0enTΦg α1en

TΦ2g … αn 2– enTΦn 1– g+ + + 0=

αn 2– 0=

α0 α1 … αn 1– 0= = = =

enTI en

TΦ … enTΦn 1–, , ,

154


Par conséquent, la matrice qui entre dans le nouveau modèle d’état est:

Une simple inspection montre qu’il s’agit en fait de la transposée de ladernière ligne de la matrice . Ainsi:

Quant au produit , également présent dans la nouvelle équationd’état, il peut s’exprimer sous la forme suivante:

(A.8)

La première ligne de cette matrice est inconnue. On pose arbitrairement:

P

enTΦn 1–

enTΦn 2–

enTI

=

Pg

Pg

enTΦn 1– g

enTΦn 2– g

enTIg

=

G 1– G

Pg

10

0

=

PΦP 1–

P ΦP 1–( )

enTΦnP 1–

enTΦn 1– P 1–

enTΦP 1–

=

enTΦnP 1– a1– a2– … an 1–– an–=

155

FORMES CANONIQUES

Les autres lignes s’obtiennent par comparaison, sachant que :

Ainsi:

Finalement, le modèle d’état exprimé en fonction de par latransformation se présente sous une forme similaire à la forme canonique degouvernabilité (W):

(A.9)

(A.10)

Le facteur doit quant à lui être calculé de cas en cas.

Les coefficients du polynôme caractéristique de sont les mêmesque ceux du polynôme caractéristique de la matrice et que ceux du

PP 1– I=

PP 1–

enTΦn 1– P 1–

enTΦn 2– P 1–

enTΦP 1–

enTIP 1–

1 0 … 0 00 1 … 0 0

0 0 … 1 00 0 … 0 1

= =

PΦP 1–

a1– a2– … an 1–– an–

1 0 … 0 00 1

0 00 … 0 1 0

=

w

w k 1+( )

a1– a2– … an 1–– an–

1 0 … 0 00 1

0 00 … 0 1 0

PΦP 1– Φw=

w k( )

100

0

Pg gw=

u k( )+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩

y k( ) b1 a1b0 | – b2 a2b0 | – … | bn anb0–

cTP 1– cwT=

w k( ) b0u k( )+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

cTP 1–

PΦP 1–

Φ

156


dénominateur de . Les valeurs propres et les pôles constituent en effet unecaractéristique intrinsèque à un système, en relation avec sa stabilité, et doiventdonc être indépendants de la forme de représentation.

A.1.3 Exemple: Double intégrateur

Soit la fonction de transfert discrète du double intégrateur obtenue auparagraphe 4.2.4.

Les résultats du paragraphe A.1.1 permettent de construire directementune représentation d’état qui ne possède toutefois aucune signification physique.

La représentation d’état, équivalente mais possédant un sens physique, àégalement été obtenue au paragraphe 4.2.4.

Les résultats du paragraphe A.1.2 permettent de faire le passage inversepour revenir à une fonction de transfert. Les coefficients dudénominateur de sont les coefficients du polynôme caractéristique de ,soit:

H z( )

H z( ) h2

2----- z 1+( )

z 1–( )2------------------

h2

2-----z h2

2-----+

z2 2z– 1+--------------------------

h2

2-----z 1– h2

2-----z 2–+

1 2z 1– z 2–+–---------------------------------= = =

b0 0 b1; b2h2

2----- a1; 2 a2;– 1= = = = =

w k 1+( ) 2 1– 1 0

w k( ) 1 0

u k( )+=

y k( ) h2

2----- h2

2----- w k( )=

x k 1+( ) 1 h0 1

x k( ) h2 2⁄h

u k( )+=

y k( ) 1 0 x k( )=

a1 et a2H z( ) Φ

det λI Φ–( ) λ 1– h–0 λ 1–

0= =

157

FORMES CANONIQUES

Relevons que la transformation entreprise ne nécessite pas le calcul des ra-cines de ce polynôme.

Les coefficients du numérateur de la fonction de transfert sont ti-rés de l’équation de sortie: .

(A.11)

Comme , on sait que donc .

On a donc directement:

λ2 2λ– 1+ z2 a1z a2+ + 0= =

b1 et b2y k( ) cTP 1– w k( )=

G g Φg h2 2⁄ 3h2 2⁄h h

= =

G 1– 1h3----- h 3h2 2⁄–

h– h2 2⁄en

T→– 1h3----- h– h2 2⁄–= =

Pen

TΦ

enT

1h3----- h– h2 2⁄–

h– h2 2⁄–= =

P 1– 1h3----- h3–( ) h2 2⁄ h2 2⁄

h h––=

cTP 1– 1 0 h2 2⁄ h2 2⁄h h–

h2 2⁄ h2 2⁄= =

d 0= b0 0= cTP 1– b1 b2=

b1h2

2----- et b2

h2

2-----= =

158

FORME CANONIQUE D’OBSERVABILITÉ (V)

A.2 Forme canonique d’observabilité (V)

A.2.1 Modèle d’état d’un système SISO représenté par une fonction de transfert

Le système décrit par la fonction de transfert discrète (A.1):

peut être décrit par le modèle d’état suivant:

(A.12)

avec:

(A.13)

Il s’agit de la forme canonique d’observabilité (V). Pour démontrer cettereprésentation à rebours, il suffit de prendre la transformée en “z” des équations(A.12) et (A.13), puis de faire disparaître les variables d’état. Une approchesimilaire à celle prise au paragraphe 2.5 peut également être adoptée poureffectuer sa construction. L’équation (A.1) peut en effet être écrite sous la forme:

H z( ) Y z( )U z( )----------

b0 b1z 1– … bnz n–+ + +

1 a1z 1– … anz n–+ + +---------------------------------------------------------= =

v k 1+( )

a1– 1 0 … 0

a2– 0 1

0an 1–– 0 … 0 1

an– 0 … 0 0

Φv

v k( ) gvu k( )+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

gv

b1 a1b0–

b2 a2b0–

bn 1– an 1– b0–

bn anb0–

=

y k( ) 1 0 … 0 0

cvT

v k( ) b0u k( )+=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

Y z( ) 1 a1z 1– … anz n–+ + +( ) U z( ) b0 b1z 1– … bnz n–+ + +( )=

159

FORMES CANONIQUES

ou encore:

Cette expression peut être mise sous une forme imbriquée:

(A.14)

Cette équation suggère, par soucis de simplicité de représentationmathématique, le choix suivant des variables d’état artificielles :

(A.15)

Un transformation en “z” inverse de (A.14) et de (A.15) fournitrespectivement les équations de sortie et d’état attendues:

Y z( ) b0U z( )–[ ] z 1– a1Y z( ) b1U z( )–[ ] …+ +

… z n– anY z( ) bnU z( )–[ ]+ 0=

Y z( ) b0U z( ) z 1– b1U z( ) a1Y z( )– z 1– b2U z( ) a2Y z( )–

z 1– b3U z( ) a3Y z( ) z 1– …( )+–[ ]+

{

}

+(

)

+=

vi

V1 z( ) z 1– b1U z( ) a1Y z( )– V2 z( )+[ ]=

V2 z( ) z 1– b2U z( ) a2Y z( )– V3 z( )+[ ]=

Vn 1– z( ) z 1– bn 1– U z( ) an 1– Y z( )– Vn z( )+[ ]=

Vn z( ) z 1– bnU z( ) anY z( )–[ ]=

y k( ) b0u k( ) v1 k( )+=

v1 k 1+( ) b1u k( ) a1

y k( )

b0u k( ) v1 k( )+[ ]– v2 k( )+=

v2 k 1+( ) b2u k( ) a2 b0u k( ) v1 k( )+[ ]– v3 k( )+=

vn 1– k 1+( ) bn 1– u k( ) an 1– b0u k( ) v1 k( )+[ ]– vn k( )+=

vn k 1+( ) bnu k( ) anY z( )–=

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

160


A.2.2 Fonction de transfert d’un système SISO représenté par un modèle d’état

Soit le modèle d’état d’un système SISO discret:

Nous allons effectuer un changement de variables d’état pour trouver,comme représentation, la forme canonique d’observabilité (V). La fonction detransfert correspondante s’obtient ensuite immédiatement grâce aux résultats duparagraphe A.2.1.

La représentation d’état n’étant pas unique, n’importe quelle applicationlinéaire bijective peut être choisie pour passer du vecteur d’état x à un nouveauvecteur d’état , par exemple . La matrice , de dimension , doitêtre régulière (inversible), pour que la transformation inverse soitpossible. Le nouveau modèle d’état, exprimé par rapport à la variable d’étatartificielle v, est alors:

L’objectif est maintenant de trouver une matrice régulière, telle que lemodèle d’état se présente sous la forme canonique souhaitée.

Choisissons tout d’abord une matrice particulière :

(A.16)

construite à partir des éléments du modèle d’état original. Cette matrice porte lenom de matrice d’observabilité. Cette dénomination sera justifiée plus loin. Lescolonnes de l’inverse de la matrice peuvent être repérées arbitrairement de lamanière suivante:

x k 1+( ) Φx k( ) gu k( )+=

y k( ) cTx k( ) du k( )+=

v x Rv= R n n×v R 1– x=

v k 1+( ) R 1– ΦRv k( ) R 1– gu k( )+=

y k( ) cTRv k( ) du k( )+=

R

Q

Q

cTI

cTΦ

cTΦn 1–

=

Q

Q 1– e1 e2 … en=

161

FORMES CANONIQUES

La dernière colonne de cette matrice est utilisée pour construire la matricerégulière R (la démonstration de sa régularité est similaire à celle élaborée pourmontrer la régularité de P au paragraphe A.1.2):

Par cette transformation, le produit présent dans la nouvelle équation desortie se présente sous la forme:

(A.17)

et comme par définition de l’inverse d’une matrice , il vient:

(A.18)

alors la comparaison du vecteur (A.17) et de la dernière colonne transposée de(A.18) conduit à une équation de sortie similaire à celle qu’exhibe la formecanonique considérée:

La représentation d’état complète obtenue par le changement de variable est donc similaire à la forme canonique d’observabilité (V).

Le produit , il s’écrit quant à lui:

(A.19)

R Φn 1– en … Φen Ien=

cTR

cTR cTΦn 1– en … cTΦen cTIen=

I QQ 1–=

1 0 … 00 1

00 … 0 1

cTIe1 cTIe2 … cTIen

cTΦe1 cTΦe2 … cTΦen

cTΦn 1– e1 cTΦn 1– e2 … cTΦn 1– en

=

cTR 1 0 … 0 cvT= =

x Rv=

R 1– ΦR

R 1– Φ( )R R 1– Φ Φn 1– en … Φen Ien=

R 1– ΦR R 1– Φnen … R 1– Φ2en R 1– Φen =

162


de plus:

(A.20)

La comparaison de (A.19) et (A.20) donne:

Seul le terme est inconnu et est posé arbitrairement:

Ainsi,

Le facteur doit quant à lui être déterminé de cas en cas.

Les coefficients du polynôme caractéristique de sont les mêmesque ceux du polynôme caractéristique de et du dénominateur de :

I R 1– R R 1– Φn 1– en … R 1– Φen R 1– en= =

R 1– Φn 1– en

10

0

… R 1– Φen, ,

0

10

R 1– en,

0

01

= = =

R 1– Φnen

R 1– Φnen

a1–

a2–

an 1––

an–

=

R 1– ΦR

a1– 1 0 … 0

a2– 0 1

0an 1–– 0 … 0 1

an– 0 … 0 0

Φv= =

R 1– g gv=

R 1– ΦRΦ H z( )

det λI Φv–( ) λn a1λn 1– … an 1– λ an+ + + + 0= =

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Systèmes multivariables