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Montage d’Automatique:

Asservissement numérique de vitesse d’une machine à courantcontinu de faible puissance (<100W).

par Olivier Martin & Nicolas Dandrimont

Le 10 mars 2010

Table des matières

1 Présentation du montage: objectifs et matériel utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Identification du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Problèmes liés à la discrétisation: illustration avec un correcteur proportionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1 Cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Choix de la fréquence d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3 Système bouclé: différences entre analogique et numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3.1 Implémentation physique: introduction du bloqueur et de l’échantillonneur . . . 53.3.2 Modèle discrétisé: dimensionnement du correcteur dans le domaine en Z . . . . . 8

4 Correction du système: calcul d’un correcteur PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1 Comment dimensionner le correcteur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Compensation de pôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Cas général sans compensation. Critère de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 Optimisation de la correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

1 Présentation du montage: objectifs et matériel utilisé

Ce montage porte sur la correction numérique de la vitesse d’une machine à courant con-tinu(M.C.C) de faible puissance. Cette dernière considération nous permet de nous affranchir dela boucle de courant qui est normalement indispensable si on souhaite éviter les accoups decouple et détériorer de façon irréversible la machine.

L’esprit du montage n’est pas la simple correction en vitesse d’une MCC, qui peut être faiteassez simplement dans le domaine analogique, mais l’observation et la compréhension des diffé-rences notables entre une correction numérique et analogique. Comprendre les avantages, les dif-ficultés et les contraintes liés à la correction numérique sera notre fil conducteur.

Nous disposons d’un banc moteur HMC-BAM 2 comportant une MCC de puissance 45Wcouplée avec un réducteur par 24 ainsi qu’une génératrice tachymétrique (mesure de vitesse), uncodeur incrémental et un capteur de position angulaire accouplé à la charge via un joint flexible.Le banc dispose d’une électronique intégrée assurant la mise en forme de la commande et desdifférentes informations disponibles (courant d’induit, vitesse et position). Le système possède sapropre limitation en courant.

Pour atténuer les effets non-linéaires dus au couple de frottement sec (modélisables par unezone morte de la commande), on polarisera la consigne d’entrée créneaux du banc autour de 5V.Il faudra donc retrancher en sortie la valeur correspondante à une commande de 5V grâce à unpotentiomètre dont le réglage donne déjà une information sur le gain statique.

Figure 1. Schéma de polarisation. La valeur à retrancher en sortie est ajustable en utilisant un gain

réglable. Lorsque la commande est nulle, la sortie mesurée doit être nulle aussi.

Pour cela on utilise un banc OPALE possédant des sommateurs, des soustracteurs, gainsréglable et des filtres. De plus, on utilisera la carte DSPACE et le logiciel MATLAB pour réa-liser les implémentations numériques des correcteurs.

2 Identification du système

Nous considérons le système comme une boite noire sans prendre en compte nos connais-sances sur le modèle de la MCC. Pour cela on propose déjà de réaliser un essai indiciel du sys-tème en boucle ouverte.

2 Section 2

Olivier Martin et Nicolas Dandrimont École normale supérieure de Cachan

Figure 2. Réponse indicielle du moteur après moyennage. On peut constater la présence d’un effet para-

site lors de la décroissance de la vitesse, probablement dû à la présence de jeu dans le réducteur.

Cet essai permet de mettre en évidence que le système se comporte comme un système dupremier ordre dont la fonction de transfert peut se mettre sous la forme:

H(p)=K

1 + τp, (1)

avec K=1,2 et τ = 59ms. Le gain statique peut être mesuré par un rapport d’amplitude (néces-sité du moyennage) et la constante de temps par méthode des 63% par exemple.

On peut remarquer que le pôle du système correspond à la pulsation ω =1

τ≃ 17rad/s, ce qui

est plus délicat à mesurer avec une réponse harmonique. Une réponse inpulsionnelle bienexploitée nous donnerait les mêmes résultats moyennant quelques calculs rapides mais est plusdélicate à mettre en oeuvre.

On peut aussi directement identifier la fonction de transfert numérique du système échanti-lonné en mesurant les suites de la commande et de la sortie en utilisant des méthodes d’estima-tion (Méthode des Moindres Carrés) ou de régression linéaire (méthode de Levy, méthode deClary ) basées sur la représentation d’état du système.

3 Problèmes liés à la discrétisation: illustration avec un cor-recteur proportionnel

3.1 Cahier des charges

On cherche maintenant à corriger le système afin d’obtenir un asservissement de vitesse avecles performances désirées. Pour cela on se fixe le cahier des charges suivant:

− erreur statique nulle

− temps de réponse de 30ms (on double la bande passante)

− Dépassement indiciel inférieur à 5%

Problèmes liés à la discrétisation: illustration avec un correcteur proportionnel 3


Nous verrons que ce cahier des charges n’est pas contraignant et donnera lieu à l’élaborationd’un correcteur simple à mettre en oeuvre. Néanmoins, le calcul de ce correcteur nécessitera uneétude de stabilité en utilisant les outils que nous connaissons pour réaliser cette étude (critère deJury par exemple).

Une première question qui vient est pourquoi utiliser le numérique alors que nous savons trèsbien faire une correction analogique? Une première réponse concerne la reproductibilité de lacorrection: contrairement en analogique où les paramètres non maitrisés (température, usure,variation d’alimentation) peuvent modifier le comportement de certains composants, le numé-rique à l’avantage de minimiser l’effet de ces perturbations ainsi que de s’affranchir des incerti-tudes sur ces composants. De plus, l’implémentation nécessite une simple reprogrammation etnon pas le changement de composants. Néanmoins, nous verrons qu’il est nécessaire de prendrecertaines précautions lorsqu’on souhaite réaliser une correction numérique.

3.2 Choix de la fréquence d’échantillonnage

Le premier point à éclaircir est le choix de la fréquence d’échantillonnage. Nous devons déjàrespecter la condition de Shannon, à savoir que la fréquence d’échantillonnage doit être supé-rieure à la bande de base des signaux numérisés. Cette condition n’est pas très restrictivepuisque le fondammental de la consigne de vitesse sera basse fréquence (quelques Hertz). Pluson augmente la fréquence d’échantillonnage, plus le comportement du système se rapproche deson analogue en temps continu. Donc, si on travaille à fréquence d’échantillonnage très grande(il existe évidemment une limite matérielle), on pourrait dimensionner le correcteur de façonanalogique et faire une transposition en numérique.

On se place en boucl ouverte. Le système analogique étudié possède un pôle stable ps =−

1

τ, ce qui correspond en numérique à un pôle:

zs = eps.Te = e−

Te

τ . (2)

Ce pôle est stable si il est contenu dans l’anneau de convergence, ici le cercle unité représentésur la figure 3 .

Figure 3. Anneau de convergence.

On représente sur cette figure le cercle unité et les pôles z1 = e−

Te1

τ et z2 = e−

Te2

τ , avec Te1 >

Te2. Nous avons déjà vu que la condition de Shannon impose une période d’échantillonnagemaximale à ne pas dépasser. Maintenant si on diminue cette période d’échantillonnage commeon le souhaiterait, on rapproche le pôle du bord de l’anneau de convergence.

4 Section 3


C’est une première différence à faire avec les systèmes analogiques. Théoriquement, lesystème reste toujours stable mais si le pôle est très proche du bord de l’anneau de

convergence, alors le moindre bruit de calcul peut engendrer l’instabilité du sys-tème.

De plus, il y a une condition assez simple à comprendre: il faut que la période d’échantillon-nage soit inférieure à la plus petite constante de temps du système étudié. En effet, entredeux instants d’échantillonnage, on ne controle plus le système puisque la com-

mande est fixe, ce qui est équivalent à un système en boucle ouverte !

C’est là le point crucial à comprendre en numérique: un mauvais choix de la fréquenced’échantillonnage modifie la réponse du système bouclé. Pour la suite on se fixe une fréquenced’échantillonnage de 1ms, ce qui respecte nos conditions précédentes.

3.3 Système bouclé: différences entre analogique et numérique

L’implémentation physique du correcteur numérique nécessite l’introduction d’un bloqueur etd’un échantillonneur dans la boucle. Ces fonctions sont respectivement assurées par le convertis-seur numérique-analogique et le convertisseur numérique-analogique. Connaissant les fonctionsde transfert équivalentes de ces convertisseurs, on est capables de dimensionner le correcteur.

Une autre méthode consiste à déterminer un modèle équivalent discret dans le domaine en Zde l’ensemble {CNA-Moteur-CAN} pour dimensionner le correcteur.

On se propose de montrer que ces deux méthodes sont équivalentes et conduisent aux mêmesperformances du système bouclé.

3.3.1 Implémentation physique: introduction du bloqueur et de l’échantillonneur

On se propose dans cette partie d’étudier les deux cas et de montrer que les résultats sontéquivalents. Dans un premier temps, on considère le système physique analogique avec une con-signe numérique.

Figure 4. Modèle Simulink du système bouclé sans filtre anti-repliement. Le bloqueur en amont du

moteur représente le CNA alors que le bloqueur en aval du moteur représente l’échantillonneur.

On rappelle que la fonction de transfert équivalente du bloqueur d’ordre zéro est donnéepar:

B0(p) =1− e−pTe

p. (3)

Le diagramme de Bode du système en boucle ouverte est alors donné en figure 4 et permetde mettre en évidence que la phase décroît en dessous de -180ř à cause de l’introduction du blo-queur. Plus on augmentera le gain du correcteur, plus la marge de phase diminuera ce qui peutnous amener à obtenir une régime pseudo-amorti, voire instable alors que le système est du pre-mier ordre.



Figure 5. Diagramme de Bode du système en boucle ouverte.

Nous avons prédit précédemment que si la période d’échantillonnage est supérieure à la cons-tante de temps du système on modifie complétement la dynamique du système en boucle fermée,ce qui est très visible en simulation.

Figure 6. Influence de Te sur la réponse indicielle du système bouclé. On observe en haut la tension de

sortie du moteur image de la vitesse et en bas la commande analogique du moteur.

Ici, lorsqu’on augmente Te suffisamment, on observe que la sortie est la succession d’archesexponentielles, réponse typique d’un système du premier ordre à une excitation indicielle. Maisattention, il ne s’agit pas d’oscillations dans le sens où le système est oscillant: le pôle associé àTe = 100ms ne donne pas plus lieu à des oscillations que le pôle associé à Te = 1ms.

Cette évolution caractéristique de la tension en sortie du moteur résulte du commande quireste constante pendant 100ms. Ainsi, le système répond successivement à des excitations indi-cielles de durée de 100ms et d’amplitude égale à l’erreur.

Cet effet est une illustration du fait que le système se comporte en boucle ouverte pendantdeux instants d’échantillonnage, d’où la nécessité d’avoir une période d’échantillonnage suffisam-ment faible pour contrôler correctement la sortie du système. On peut même rendre le systèmeinstable si on choisit Te trop élevée.

6 Section 3


C’est là le point fondammental dans la différence entre le numérique et l’analo-gique: en analogique, l’asservissement se fait de façon continu c’est-à-dire que lacommande varie continûment, alors qu’en numérique la commande est une succes-sion de paliers pendant lesquels le système réagit comme s’il subissait une excita-tion indicielle.

Figure 7. Réponse indicielle du système en boucle fermée pour Te = 100ms, C=1. On visualise ici la ten-

sion de commande composées de paliers et la tension image de la vitesse dont l’allure s’apparente à des

arches d’exponentielles.

Néanmoins, puisqu’on travaille avec des grandeurs échantillonnées en sortie du CNA, il estnécessaire d’utiliser un filtre d’anti-repliement. De plus, ce filtre permettra d’atténuer le bruitdû à la génératrice tachymétrique et de limiter le phenomène de résonance mécanique dû aucouplage du rotor à la génératrice tachymétrique via le joint flexible.

Puisque la fréquence de résonance est au alentour de 800Hz, on propose d’utiliser un filtrepasse-bas du second ordre de fréquence de coupure 80 Hz et d’amortissement 0,707 pour ne pasralentir la dynamique du système dans la bande passante.

On peut vérifier en simulation que l’insertion d’un tel filtre (avant l’échantillonnage) conduità un temps de réponse du système un peu plus grand, ce qu’il faudra prendre en compte dansles simulations lorsqu’on souhaitera obtenir la réponse la plus rapide. De plus, on réalise le fil-trage du bruit en sortie de la génératrice tachymétrique.

Figure 8. Influence du filtre anti-repliement sur la réponse indicielle du système bouclé corrigé avec un

correcteur P de gain unitaire.



3.3.2 Modèle discrétisé: dimensionnement du correcteur dans le domaine en Z

On se propose maintenant de déterminer la structure numérique équivalente de l’ensemble{Bloqueur+Moteur}. Avec Matlab, on détermine facilement la transformée en Z de l’ensembleavec la fonction c2d(H, Te) qui nous donne:

Hz(z) =0, 0205

z − 0, 9832, (4)

pour Te = 1ms. On peut le retrouver en se souvenant que Hz(z) est donnée par la relation:

Hz(z)= (1− z−1).Z{TL−1{H(p)

p}*}. (5)

Une décomposition en élément simple, puis en utilisant par exemple des tables, permetd’aboutir à l’expression:

Hz(z) =K(1− a)

z − a, (6)

avec a = e−

Te

τ = zs.

On peut travailler directement avec le modèle donné en figure 9.

Figure 9. Modèle simulink du système discret bouclé pour Te = 1ms.

8 Section 3


On peut commencer par comparer la réponse indicielle donnée par les deux approches propo-sées et constater que nous obtenons les mêmes résultats.

Figure 10. Comparaison des réponses indicielles avec les deux approches proposées.

Ensuite, on peut s’intéresser aux performances de la correction et en particulier au temps deréponse. La fonction de transfert en boucle fermée est alors:

HBF(z)=Hz(z)

1 + Hz(z)=

K.C.(1− a)

z − (a−K.C.(1− a)). (7)

Le système est stable si et seulement si:

|a−K.C.(1− a)|< 1⇔−1

K< C <

1 + a

K.(1− a)= 96, 7, (8)

pour Te = 1ms. Plus C augmente, plus le pôle dans le plan complexe se déplace vers la gauche.

En simulation, on peut visualiser la réponse indicielle du système pour plusieures valeurs dugain du correcteur.



Figure 11. Influence du gain du correcteur sur la réponse indicielle du système en boucle fermée pour

Te = 100ms.

On peut donc mettre en évidence que comme en analogique, l’erreur statique est non nulle etdiminue lorsque C augmente alors que le temps de réponse diminu.

Néanmoins comme on s’y attendait, on peut effectivement obtenir un régime pseudo-amortilorsque C est suffisamment grand. Il est plus délicat de montrer ces oscillations en manipulationpuisque celà nécessite d’avoir un gain très grand qui va faire saturer les différents modules élec-troniques.

Figure 12. Visualisation des différentes réponses indicielles pour C=1, 4 et 9. Plus C est grand, plus

l’erreur statique diminue.

Pour les pôles à partie réelle positive compris dans l’anneau de convergence, on peut définirune constante de temps équivalente définie par:

a−K.C.(1− a)= e−

Te

τeq ⇔ τeq=−Te

ln(a−K.C.(1− a)), (9)

qui représente le temps qu’il faut au système pour atteindre 63% de sa valeur finale. On peutalors comparer cette constante de temps équivalente donnée par le calcul et mesurée en simula-tion pour les différentes valeurs de gain:

10 Section 3


C 1 4 9τeq mesurée 25ms 13ms 5,0msτeq calculée 26ms 10ms 4,5ms

On peut constater qu’on a des différences entre les prévisions et les mesures dues à la pré-sence du filtre et aussi aux effets non-linéaires qui interviennent au niveau du système réel.

4 Correction du système: calcul d’un correcteur PI

On cherche maintenant à réaliser la correction du système selon le cahier des charges qu’ons’est imposé précédemment. Pour cela on utilise un correcteur PI qu’on cherche à dimensionner.

4.1 Comment dimensionner le correcteur?

Le calcul du correcteur peut se faire de trois façons possibles:

• Dimensionnement en analogique puis discrétisation

Il s’agit ici simplement de faire l’étude en analogique et dimensionner le correcteur en analo-gique. On obtient alors une fonction de transfert en boucle fermée dont le dénominateur condi-tionne la dynamique du système. Lorsque que nous avons l’expression du correcteur en analo-gique, la numérisation peut se faire par deux méthodes possibles:

→ Méthode d’Euler

On distingue la méthode Euler avant et Euler arrière pour la dérivation:

Euler avant: p =z − 1

Te

(10)

Euler arrière: p =z − 1

z.Te

(11)

Cela revient à faire un développement limité au premier ordre de la fonction e−p.Te qui esttrès satisfaisant lorsqu’on travaille à des fréquences bien inférieures à la fréquence d’échantillon-nage.

Néanmoins, la méthode d’Euler avant ne conserve pas automatiquement la stabilité d’un cor-recteur contrairement à la méthode d’Euler arrière.

En effet si le correcteur C(s) est stable alors ses pôles appartiennent au demi-plan gauchedu plan complexe et l’image de ce domaine par la transformation z = Tep + 1 est le demi-planℜ{z} < 1 qui n’est pas entièrement contenu dans le cercle unité. Pour la méthode d’Eulerarrière, l’image du demi-plan gauche par la transformation z =

1

1−Te.pest le cercle de centre

(0,5;0) et de rayon 0,5.

→ Transformation de Tustin

On pose cette fois-ci:

p =2

Te

.z − 1

z +1. (12)

On peut montrer que cette transformation permet de conserver la propriété de stabilité despôles mais introduit malheureusement une distorsion fréquentielle (warping en anglais).

Initialement, Matlab est configuré pour numériser suivant la méthode d’Euler mais il est pos-sible de le configurer pour utiliser la méthode de Tustin. Néanmoins, on travaille ici en fré-quence relativement basse et la méthode de Tustin n’a pas de véritable intérèt à être utilisé ici

Correction du système: calcul d’un correcteur PI 11


pour la numérisation. Aussi, on restera par la suite avec la méthode d’Euler.

Cela justifie une nouvelle fois que la numérisation doit être se faire en toute connaissance decause et il est nécessaire de choisir une fréquence d’échantillonnage correcte.

• Synthèse numérique du correcteur

On peut aussi directement travailler en numérique et déterminer les paramètres de l’expres-sion canonique de la fonction de transfert du correcteur.

La fonction de transfert numérique d’un correcteur PI est donnée par:

C(z)=C(z − b)

z − 1, (13)

avec b et C les constantes du correcteur à déterminer pour obtenir les performances désirées. Lafonction de transfert du système est alors:

FTBO(z)=C.K.(z − b).(1− a)

(z − 1).(z − a), (14)

ce qui nous permet d’écrire:

FTBF(z)=K.C.(1− a).(z − b)

z2 + z.((1− a).K.C − (1+ a)) + (a−K.C.(1− a).b). (15)

On peut alors identifier cette fonction de transfert à une fonction de transfert désirée dépen-dant du cahier des charges qu’on s’est imposé. Néanmoins, nous pouvons aussi réaliser une com-pensation de pôle auquel cas on aura un système du premier ordre en boucle fermée. C’est cetteméthode qui a été retenue.

• Transformation bilinéaire

En ayant connaissance du modèle numérique, on peut réaliser une étude de stabilité en utili-sant la transformation bijective bilinéaire, appelée encore transformation de homographique oude Möbius définie par:

w =z − 1

z + 1, z � − 1⇔ z =

w + 1

w − 1, w � 1. (16)

On peut ainsi appliquer le critère de Routh-Hurwitz au polynôme en w et dimensionner lecorrecteur.

4.2 Compensation de pôle

Dans un premier temps, on peut réaliser une compensation de pôle en posant a = b. Onobtient alors:

FTBF(z)=K.C.(1− a)

z − (1−K.C.(1− a)). (17)

Le système bouclé sera alors stable si le pôle est compris dans l’anneau de convergence, c’est-à-dire |1−K.C.(1− a)|< 1 ce qui nous impose:

−1

K< C <

2

K(1− a). (18)

Pour Te = 1ms, celà impose une borne supérieure égale à 97,5. Le facteur limitant risquedonc d’être la saturation de la commande qui sature à 10V. Pour obtenir une constante équiva-lente de temps (même définition que dans la section précédente) de 10ms pour le systèmebouclé, nous devons choisir C tel que:

(1−K.C.(1− a))= e−

Te

0,01 ⇒C = 4, 64 , (19)

12 Section 4


pour Te = 1ms. On peut vérifier ces résultats en simulation ainsi qu’expérimentalement.

Figure 13. Réponse indicielle en boucle fermée avec le correcteur PI, C = 4, 64 et Te = 1ms.

N’oublions pas que même si le système en boucle fermée n’est qu’un premier ordre, si le gaindu correcteur est trop élevé, on obtient un système instable, ce qui est bien illustré en figure 14.

Figure 14. Influence du gain du correcteur proportionnel-intégral sur la réponse indicielle du système bouclé

sans filtre pour Te = 100ms.

Néanmoins, le système reste ici un système du premier ordre. Si on accepte un léger dépasse-ment, on peut obtenir un système plus rapide si on choisit b � a. Dans ce cas, il est nécessaired’effectuer une étude de stabilité au préalable avec le critère de Jury pour déterminer quelles



sont les valeurs possibles de C et b afin d’obtenir un système stable.

4.3 Cas général sans compensation. Critère de Jury

On peut déjà dans un premier temps étudier l’influence de la constante d’intégration équiva-

lente du correcteur qui est contenue dans la constante b = e−

Te

Ti . On peut montrer qu’effective-ment pour b � a on peut obtenir des oscillations et on va chercher à jouer sur les deux coeffi-cients afin d’obtenir la réponse la plus rapide.

Figure 15. Influence de la constante d’intégration sur la réponse indicielle du système bouclé avec le correc-

teur PI sans filtre.

Comme on s’en serait douté, plus Ti est faible (donc b faible) plus le système est oscillant.Dans un premier temps, nous pouvons rappeler le critère de Jury qui est le pendant du cri-

tère de Routh en temps discret. Nous allons directement nous placer dans le cas d’un systèmedu second ordre. Soit le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée:

D(z)= z2 + a1z + a2,

avec a1 = α, a2 = β des constantes réelles. La première étape est de construire le tableau sui-vant:

1èreligne 1 α β

2ndligne β α 13ièmeligne b0 b1

4ièmeligne b1 b0

avec bi défini par:

bi = det

∣

∣

∣

∣

1 an−i

an ai

∣

∣

∣

∣

, (20)

avec ici n = 2. Cela nous donne alors:

b0 = 1− β2 et b1 = α(1− β). (21)

14 Section 4


Le système est alors stable si et seulement si les conditions suivantes sont respectées:

D(z = 1)= 1+ α + β > 0 (22)

( − 1)n.D(z = − 1)= D(z = − 1)= 1 − α + β > 0 (23)

|an| = |β | < 1 (24)

|b0| = |1 − β2| > |bn−1| = |α(1 − β)| (25)

Pour rappel, la constante a = e−Te/τ appartient à l’intervalle ]0, 1[. Nous cherchons donc lesintervalles de C et b pour lesquels le système est stable. L’équation (14) nous apprends quel’équation (15) peut se réduire à |1 + β | > |α|, ce qui est redondant avec les équations (12) et(13). Au final nous avons quatre conditions à respecter:

α > − (1 + β) ⇒ C.(1 − b) > 0 (26)

α < 1 + β ⇒ C.(1 + b) <2(1 + a)

K(1 − a)(27)

β < 1 ⇒ C.b > −1

K(28)

β > − 1 ⇒ C.b <1 + a

K(1 − a). (29)

On vérifie que pour b = a, on retrouve les conditions sur C données par (18) en prenant évi-demment les conditions les plus restrictives sur les quatre. Contrairement à ce qu’on pourraits’attendre, on peut obtenir un système stable en prenant un gain C négatif et un coefficient b >

1 tout en respectant les conditions précédentes. Pour b = 0, 98, la borne supérieure du gain ducorrecteur est de 97, 7 ce qui se vérifie très bien en simulation.

On peut donc à présent choisir sciemment C et b de sorte à optimiser la réponse tout en véri-fiant que nos prédéterminations donnent bien lieu à un système physiquement réalisable etstable.

4.4 Optimisation de la correction

En simulation, on peut mettre en évidence un minimum du temps de réponse à 5% du systèmebouclé pour C = 7 lorsque le système est corrigé par un correcteur PI en compensation de pôles.

Figure 16. Temps de réponse du système bouclé en fonction du gain du correcteur PI pour Te = 1ms en

compensation de pôle.



On met en évidence que le filtre permet, selon la valeur de l’amortissement choisi, de rendrele système plus rapide, voire oscillant lorsqu’on augmente C. Néanmoins, nous avons vu quemême sans ce filtre, nous pouvons obtenir un système oscillant, mais pour des gains tellementélevés que la commande saturera.

Figure 17. Réponse impulsionnelle du système bouclé corrigé par un correcteur PI en compensation de

pôle avec C = 7 et Te = 1ms.

Au final, on obtient un temps de réponse de 12ms ce qui correspond à une bande passanted’environ 80Hz, la bande passante du filtre. Si on souhaite obtenir un temps de réponse plusrapide, il faudra augmenter la bande passante du filtre, donc on sera plus perturbé par le bruiten sortie de la génératrice tachymétrique. En manipulation, on mesure une constante équiva-lente de temps de 15 ms ce qui semble acceptable au vu des différentes erreurs de mesure et demodèle.

Figure 18. Réponse indicielle du système en boucle fermée en compensation de pôle avec C = 7 et Te =

1ms.

En numérique, il est possible d’obtenir des réponses qui atteigne leur valeur finale en un oudeux coups d’horloge, ce qu’on appelle les réponses « piles ». Néanmoins, si le système estpseudo-amorti et si sa pseudo-période est un multiple de la période d’échantillon-

nage, alors les oscillations ne seront pas perçues en sortie du CAN ! Il faut donc aupréalable vérifier l’état de la commande du système.

16 Section 4


Pour obtenir une réponse pile en un coup d’horloge, il faut fixer la fonction de transfert dusystème en boucle fermée égale à:

HBF(z)=C(z).H(z)

1 + C(z).H(z)=

1

z, (30)

ce qui impose pour la fonction de transfert H(z) donné à l’équation (6):

C(z)=z − a

K.(1− a).(z − 1). (31)

Figure 19. Réponse pile en un coup d’horloge à Te = 100ms. On représente en trait continu la sortie

physique du moteur image de la vitesse ainsi que la suite associée après échantillonnage.

Les simulations mettent bien en évidence que la sortie numérique atteint sa valeur finale enun coup d’horloge (Te = 1ms). Néanmoins, on ne l’a pas représentée ici, la commande du moteurest trop élevée pour pouvoir implémenter le correcteur (à t=0 la commande vaut 50V pour uneconsigne de 1V) et il faudra déterminer un correcteur qui permettent une commande plusmodérée tout en assurant une réponse rapide en quelques coups d’horloges.

Ceci montre qu’un avantage certain du numérique, outre la reproductibilité et la minimisa-tion de l’influence des perturbations, concernant la souplesse dans le choix des performances dela correction et permet d’avoir des temps de réponse très rapides tout en étant simple à implé-menter. On se souviendra par contre que le choix de la fréquence d’échantillonnage est impor-tante et peut amener une dynamique non-maitrisée. Mais dans le cas où le correcteur est bienchoisi, on atteint des performances qui dépassent celles de la correction analogique.



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