5à 8
Table des matières
VISION 5 ..................................................................................................................................... 5 SECTION 5.1 – SAVOIRS ..................................................................................................... 2
AIRE ET VOLUME ............................................................................................................ 2 CONVERSIONS ................................................................................................................. 2
SECTION 5.1 – MISE AU POINT ......................................................................................... 6 SECTION 5.2 – SAVOIRS ..................................................................................................... 9
VOLUME D’UN PRISME DROIT .................................................................................... 9 VOLUME D’UN CYLINDRE DROIT ............................................................................... 9 CALCUL DU VOLUME DU PRISME ET DU CYLINDRE .......................................... 11
SECTION 5.2 – MISE AU POINT ....................................................................................... 12 SECTION 5.3 – SAVOIRS ................................................................................................... 15
VOLUME DE LA PYRAMIDE........................................................................................ 15 VOLUME DU CÔNE ....................................................................................................... 16 VOLUME DE LA SPHÈRE (OU DE LA BOULE) ......................................................... 18 SOLIDES DÉCOMPOSABLES ....................................................................................... 19
SECTION 5.3 – MISE AU POINT ....................................................................................... 25 SECTION 5.4 – SAVOIRS ................................................................................................... 32
RACINE CUBIQUE D’UN NOMBRE ............................................................................ 32 OUTILS ALGÉBRIQUES (RAPPEL) .............................................................................. 33 SOLIDES SEMBLABLES ................................................................................................ 36
SECTION 5.4 – MISE AU POINT ....................................................................................... 40 VISION 6 ................................................................................................................................... 58
SECTION 6.1 – SAVOIRS ................................................................................................... 59 EXPOSANTS NÉGATIFS ................................................................................................ 59 THÉORIE DES EXPOSANTS ......................................................................................... 60 EXPOSANTS FRACTIONNAIRES ................................................................................. 62
SECTION 6.1 – MISE AU POINT ....................................................................................... 63 SECTION 6.2 – SAVOIRS ................................................................................................... 64
DÉCOMPOSITION EN FACTEURS ............................................................................... 66 FACTORISATION : MISE EN ÉVIDENCE SIMPLE .................................................... 66 FACTORISATION : MISE EN ÉVIDENCE DOUBLE .................................................. 69 FACTORISATION : DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS ............................................. 71 FACTORISATION: TRINÔME DE LA FORME ax2 + bx + c ....................................... 73
SECTION 6.2 – MISE AU POINT ....................................................................................... 76 SECTION 6.3 – SAVOIRS ................................................................................................... 96
RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE ....... 96 PROPRIÉTÉS DES INÉQUATIONS ............................................................................... 97 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES AVEC INÉQUATIONS À UNE VARIABLE ....... 106
SECTION 6.3 – MISE AU POINT ..................................................................................... 108 VISION 7 ................................................................................................................................. 120
SECTION 7.1 – SAVOIRS ................................................................................................. 121 RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS .................................................................................... 121 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES AVEC ÉQUATIONS À UNE VARIABLE ........... 122 LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ................................................................................ 127
RÉSOLUTION GRAPHIQUE DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ................................ 129 CONSTRUCTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS ................................................ 130
SECTION 7.1 – MISE AU POINT ..................................................................................... 131 SECTION 7.2 – SAVOIRS ................................................................................................. 142
RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS .............................. 142 CHOIX DE LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS 146
SECTION 7.2 – MISE AU POINT ..................................................................................... 147 SECTION 7.3 – SAVOIRS ................................................................................................. 157
LES QUARTILES ........................................................................................................... 157 LE DIAGRAMME DE QUARTILES ............................................................................. 158
SECTION 7.3 – MISE AU POINT ..................................................................................... 162 VISION 8 ................................................................................................................................. 167
SECTION 8.1 – SAVOIRS (RAPPEL) .............................................................................. 168 EXPÉRIENCE ALÉATOIRE ..................................................Erreur ! Signet non défini. UNIVERS DES RÉSULTATS POSSIBLES ...........................Erreur ! Signet non défini. ÉVÉNEMENT ..........................................................................Erreur ! Signet non défini. ÉVÉNEMENT ÉLÉMENTAIRE .............................................Erreur ! Signet non défini. PROBABILITÉ THÉORIQUE ....................................................................................... 169 PROBABILITÉ FRÉQUENTIELLE .............................................................................. 170
SECTION 8.1 – MISE AU POINT ..................................................................................... 172 SECTION 8.2 – SAVOIRS ................................................................................................. 173
EXPÉRIENCE ALÉATOIRE AVEC ORDRE OU SANS ORDRE .............................. 173 ARRANGEMENT, PERMUTATION ET COMBINAISON ......................................... 173
SECTION 8.2 – MISE AU POINT ..................................................................................... 181 SECTION 8.3 – SAVOIRS ................................................................................................. 186
LES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES ..................................................................... 186 PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À UNE DIMENSION ........................................ 186 PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À DEUX DIMENSIONS ................................... 188 PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À TROIS DIMENSIONS ................................... 190
SECTION 8.3 – MISE AU POINT ..................................................................................... 191 RÉPONSES
SECTION 5.1 - MISE AU POINT (RÉPONSES) .............................................................. 196 SECTION 5.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 197 SECTION 5.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 197 SECTION 5.4 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 198 SECTION 6.1 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 200 SECTION 6.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 201 SECTION 6.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 204 SECTION 7.1 - MISE AU POINT (RÉPONSES) .............................................................. 206 SECTION 7.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 208 SECTION 7.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 209 SECTION 8.1 - MISE AU POINT (RÉPONSES) .............................................................. 210 SECTION 8.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 211 SECTION 8.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 212
MATHÉMATIQUE 1re année du 2e cycle du secondaire
VISI N Des outils pour mesurer l’espace
VISION 5
Collège Regina Assumpta
5
Vision 5/Section 5.1/SAVOIRS 2
SECTION 5.1 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 8 et 9.
AIRE ET VOLUME La mesure de la surface délimitée par une figure est appelée ou
.
La mesure de l’espace occupé par un solide est appelée .
CONVERSIONS
km hm dam m dm cm mm
x 10 10
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
x 102 102
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
x 103 103
1 dm = 10 cm
1 dm = 10 cm
1 dm = 10 cm
1 dm • 1 dm • 1dm = 10 cm • 10 cm • 10 cm
1 dm3 = 1 000 cm3
Vision 5/Section 5.1/SAVOIRS 3
Nom de l’unité de volume Symbole Exemple de contexte approprié
Kilomètre cube km3 Volume d’une montagne Hectomètre cube hm3 Volume d’un centre commercial Décamètre cube dam3 Volume d’une maison Mètre cube m3 Volume d’un réfrigérateur Décimètre cube dm3 Volume d’un téléviseur Centimètre cube cm3 Volume d’une gomme à effacer Millimètre cube mm3 Volume d’une pièce de monnaie Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, page 8. Capacité: C’est un exprimé principalement en ml, l et kl. Il existe
une équivalence entre les unités de volume et les unités de capacité.
kl hl dal l dl cl ml km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³
Voici un tableau d’équivalence entre les unités de volume et de capacité :
Volume 1 m3 1 dm3 1 cm3
Capacité 1 kl 1 l 1 ml
Exemple 1
Convertis chacune des mesures suivantes. Unités de longueur et de capacité
a) 6,8 dm = mm b) 7,31 dam = hm c) 0,005 km = m d) 3,56 l = hl e) 457 ml = l f) 0,5 dal = cl g) 0,000 047 hm = mm h) 6 mm = dam i) 21,5 ml = dal j) 15 cl = l
=1 dm3 1 litre
10 10
1000
10 10
1000Unités de volume
Unités de capacité
Vision 5/Section 5.1/SAVOIRS 4
Exemple 2
Convertis chacune des mesures suivantes. Unités de surface
a) 8 m² = cm² b) 7,1 m² = hm² c) 3,5 dam² = dm² d) 478 cm² = dm² e) 0,073 km² = dam² f) 8 340,72 mm² = cm² g) 0,000 7 m² = cm² h) 5,2 10³ dm² = dam² i) 5 421 ha = km² j) 291 km² = ha
Exemple 3
Convertis chacune des mesures suivantes. Unités de volume
a) 10,5 cm³ = mm³ b) 7 392,34 m³ = hm³ c) 48 km³ = m³ d) 6 924,5 dm³ = dam³ e) 597,996 3 hm³ = km³ f) 35,4 m³ = dm³ g) 5,8 m³ = dam³ h) 3 457 cm³ = dm³ i) 0,359 dam³ = m³ j) 20 mm³ = cm³
Exemple 4
Convertis chacune des mesures suivantes. Conversions d’unités de volume en unités de capacité
a) 25,3 l = dm³ b) 145 dl = cm³ c) 0,375 cm³ = ml d) 887 000 mm³ = dl e) 0,02 dm³ = kl f) 500,06 mm³ = l g) 339 004 cl = m³ h) 0,007 8 kl = mm³
= ml = ml = l = l = l = cl = cl = dl = dl = dl
Conversions d’unités de volume en unités de capacité
1 ha = 10 000 m² = 1 hm²
Vision 5/Section 5.1/SAVOIRS 5
Exemple 5
Trouve le résultat de ces additions: a) 5 cm3 + 4 ml + 15 mm3 = __________ ml
b) 10 m3 + 15 cm3 = ___________ dm3
c) 150 l + 3 kl + 1 km3 = ___________ l
Vision 5/Section 5.1/MISE AU POINT 6
SECTION 5.1 – MISE AU POINT
1) Convertis les mesures suivantes :
a) 557 mbar = ___________ bar
b) 11 690 g = ____________ kg
c) 0,0023 A = ___________ mA
d) 2 120 cl = ___________ hl
e) 244 dam2 = ___________ km2
f) 335 cm3 = ___________ l
g) 0,0032 m3 = ____________ dm3
h) 1,359 kPa = ___________ Pa
i) 36 hm = cm o) 34,57 cm2 = m2
j) 3,54 m = km p) 2,035 m2 = hm2
k) 0,53 cm = m q) 35,4 m3 = dm3
l) 16,41 dam = dm r) 35,8 m3 = dam3
m) 53 hm2 = m2 s) 3457 cm3 = dm3
n) 65,7 m2 = dm2 t) 0,359 dam3 = m3
2) Convertis les mesures suivantes :
a) 8 dm3 = ml f) 144 ml = dm3
b)100 cm3 = l g) 350 kl = cm3
c) 10 m3 = ml h) 180 000 km3 = kl
d) 40 cm3 = kl i) 350 kl = ml
e)10 dam3 = l j) 1000 l = km3
3) Trouve le résultat correspondant pour chacune des sommes :
a) 3 000 mm³ + 7 dm³ + 3 dl = ml
b) 4 kl + 20 000 000 cm³ + 5 hm³ = l
Dans le Système International, il existe, en plus des préfixes que tu connais déjà, d’autres préfixes pour faciliter la tâche aux physiciens, aux chimistes et même aux informaticiens (qui parlent de mégaoctets et de gigaoctets). Un mégalitre (Ml), par exemple, vaut 1 million de litres, et un gigalitre (Gl), c’est 1000 mégalitres! Et si on va du côté des petits nombres plutôt que de celui des grands, on a qu’un micromètre ( m ), c’est 0,001 mm, et qu’un nanomètre (nm), c’est 0,001 m …
Vision 5/Section 5.1/MISE AU POINT 7
c) 314,5 dm³ + 30 004 cm³ + 5 l = dl
d) 4 dal + 62 dm³ + 1 m³ = cl
e) 1 m3 + 3 dal + 92 dm3 = cl
f) 5 l + 2113 cm3 + 302,9 dm3 = dl À la lueur de ce que tu viens de découvrir, tu peux appliquer les mêmes
conversions pour d’autres unités comme le gramme (g), le joule (J), le
hertz (Hz), le newton (N), le bell (B), le volt (V), le watt (W) et bien d’autres
unités utilisées en physique et en chimie. Ces unités sont toutes des unités
du Système International (SI).
4) Convertis ces unités.
a) 10 g = kg b) 3,2 mJ = hJ c) 150 kHz = dHz d) 42 cg = hg e) 3 dN = kN f) 2 450 mg = kg g) 620 hB = dB h) 1,5 kV = mV i) 72 V = kV j) 16 dW = hW
Convertis 68,555 heures en jours, heures, minutes et secondes?
Convertis 253 995 secondes en jours, heures, minutes et secondes?
Vision 5/Section 5.1/MISE AU POINT 8
5) Lors d’une fête d’enfants, Julie a acheté des verres pouvant contenir 375 ml. À
combien d’enfants pourra-t-elle servir un verre plein si elle a un contenant remplit
à ras bord de jus de forme cylindrique de 10 cm de rayon et de 2,5 dm de
hauteur. L’épaisseur du verre est négligeable.
6) Une piscine pouvant contenir 42,55 m3 d’eau est remplie aux 6/7 de sa capacité.
La toile de la piscine étant percée, la piscine perd environ 3254 ml d’eau par
minute. Après combien de jours sera-t-elle vide? On ne tient pas compte de
l’évaporation.
Vision 5/Section 5.2/SAVOIRS 9
SECTION 5.2 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, page 19.
VOLUME D’UN PRISME DROIT De quelle façon pourrais-tu calculer rapidement le nombre de
cubes dans ce solide?
VOLUME D’UN CYLINDRE DROIT
Source:http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_indivisibles
De quelle façon pourrais-tu calculer rapidement l’espace occupé par cet empilement de sous (cylindre)?
Soit un cylindre droit de hauteur h. On peut considérer à
la limite ce cylindre comme étant un
de même hauteur et dont la base est un
polygone régulier ayant un très grand nombre de côtés.
L’aire de la base de ce prisme ayant un très grand
nombre de côtés est approximativement égale à l’aire
d’un disque. Dans un cercle :
C = et A =
Formule générale du volume d’un prisme : V =
où AB :
et h :
Formule générale du volume du cylindre : V =
où r :
et h :
Vision 5/Section 5.2/SAVOIRS 10
COMMENT CALCULER LE VOLUME DES SOLIDES SUIVANTS?
Exemple 1
Il y a une pile de feuilles sur le pupitre de ton enseignant(e). Accidentellement, lors
de ton entrée en classe, tu heurtes ce pupitre. Voici ce qui se passe :
La forme de ces 2 piles a-t-elle changée ?
Les deux solides ont-ils la même hauteur?
L’aire de chacune des feuilles est-elle la même pour les deux solides?
Serais-tu en mesure de calculer le volume des deux piles de feuilles ?
Que peux-tu conclure du volume de ces deux solides?
Exemple 2
Source: http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_indivisibles
La forme de ces 2 piles a-t-elle changée ?
Les deux solides ont-ils la même hauteur?
L’aire de chacun des sous est-elle la même pour les deux piles?
Serais-tu en mesure de calculer le volume des deux piles de sous ?
Que peux-tu conclure du volume de ces deux piles?
Conclusion
Si deux solides ont la et la pour chacune
des sections parallèles à la base, alors ces deux solides ont le
Source : http://www3.unibo.it/ avl/storia/cavalier.htm
1598-1647
C’est ce qu’on appelle le principe de Cavalieri.
Vision 5/Section 5.2/SAVOIRS 11
CALCUL DU VOLUME DU PRISME ET DU CYLINDRE
Exemple 3
Calcule le volume de ces prismes. a) b) c)
d) e)
Exemple 4
Trouve le volume des cylindres suivants et arrondis ta réponse au millième près.
a) b)
L = 6 cm l = 3 cm h = 4 cm
c = 8 cm h = 17 cm
c1 = 6 cm c2 = 8 cm c3 = 10 cm h = 20 cm
h = 4 dm r = 2 dm
h = 55 m d = 25 m
aB = 0,04 m c = 46 mm h = 12 cm
Pourrais-tu trouver une formule générale pour
calculer le volume d’un cube?
V cube =
c = 9 dm
Vision 5/Section 5.2/MISE AU POINT 12
SECTION 5.2 – MISE AU POINT
1) Pour chacun des solides suivants, calcule son volume et arrondis tes réponses
au millième près.
a) h = 20 cm
r = 4 cm
V ________________________
b) (les unités sont en cm)
V = ________________________
Vision 5/Section 5.2/MISE AU POINT 13
c)
V = ________________________
d) Prisme droit à base rectangulaire avec les dimensions suivantes : h = 4 cm,
L = 9 cm et l = 7 cm.
V = ________________________
e) Prisme droit dont la base est un pentagone régulier, dont le périmètre et
l’apothème de la base sont respectivement de 15 dm et de 2 dm et dont la
mesure de la diagonale d’un rectangle latérale (segment DJ) est de 8 dm.
V ________________________
Source: www.tassignon.be/ trains/piqueur/images/fig017.jpg
Vision 5/Section 5.2/MISE AU POINT 14
2) Un cube de 10 cm d’arête fait de broches métalliques de dimensions fixes est
illustré ci-dessous. On applique une légère pression sur l’arête AB de telle sorte
que le cube se déforme en un prisme oblique à base carrée. Dans les deux cas,
les mesures des segments AB et AC (cube et prisme oblique à base carrée) sont
de 10 cm. Les dessins ne sont pas à l’échelle.
Indice : La hauteur AD du prisme oblique n’est donc pas équivalente à l’arête du
cube.
a) Quel est le volume du cube ?
b) Quel est le volume du prisme oblique ?
c) Ces deux solides ont-ils le même volume ? Justifie ta réponse.
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
A
C
A
C
30˚
D
B B
h
Vision 5/Section 5.3/SAVOIRS 15
SECTION 5.3 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, page 30.
VOLUME DE LA PYRAMIDE
1. Les trois pyramides construites ont-elles le même volume ? Pourquoi ?
2. À quel solide ressemble l’assemblage de ces trois pyramides ?
3. Compare la hauteur du solide à la hauteur d'une pyramide. Que remarques-tu?
4. Quelle est la formule générale du volume d'un prisme ?
5. Que peux-tu dire sur le volume d'une seule pyramide ?
Conclusion :
Cette formule permet de calculer le volume des pyramides régulières et non-régulières.
Formule générale du volume d’une pyramide : V = où AB :
et h :
h
aB
aP
Apex
Vision 5/Section 5.3/SAVOIRS 16
VOLUME DU CÔNE
Il y aura une démonstration afin de trouver la formule du volume du cône. Ton
enseignant(e) utilisera un cylindre et un cône de même rayon et de même hauteur.
1. Mais avant, quelle est la formule du volume du cylindre ?
Après avoir observé les manipulations de ton enseignant(e), que peux-tu conclure ?
2. Le cylindre est rempli par cônes.
3. Alors, on a : Volume du cône = Volume du cylindre. 4. Donc, Volume du cône = .
Conclusion :
Exemple 1
Trouve le volume de la pyramide à base carrée de 24 cm de périmètre et de 10 cm
de hauteur.
Formule générale du volume du cône : V =
où r :
et h :
apex
aCh
r
Vision 5/Section 5.3/SAVOIRS 17
Exemple 2
Une pyramide régulière à base pentagonale mesure 615,7 mm d’apothème. Le
périmètre et l'apothème de sa base mesurent respectivement 10 dm et 13,8 cm.
Trouve le volume de la pyramide en dm3 et arrondis tes calculs au dixième près.
Exemple 3
Sachant que la hauteur et le diamètre d'un cône mesurent respectivement 27 cm et
12 cm, calcule le volume exact de ce cône.
Exemple 4
Sachant que le rayon d’un cône mesure 3 cm et que son apothème mesure 5 cm,
calcule le volume de ce cône et arrondis tes calculs au centième près.
Vision 5/Section 5.3/SAVOIRS 18
VOLUME DE LA SPHÈRE (OU DE LA BOULE)
Suite de l’activité de ton manuel :
Exemple 5 Quelle est le volume exact d’une boule sachant que son rayon est de 5 cm ? Exemple 6 Si l’aire d’une boule est 16 cm2, alors quel est le volume exact d’une demi-boule de
même rayon ?
Formule générale du volume de la sphère (ou de la boule!) :
le volume de la boule est :
le volume de la demi-boule est :
où r :
Vision 5/Section 5.3/SAVOIRS 19
SOLIDES DÉCOMPOSABLES
La nature ainsi que les humains créent toutes sortes de formes plus ou moins
complexes. Souvent ces solides complexes sont décomposables en solides plus
simples, comme un prisme, un cylindre, une pyramide, un cône et une sphère. C’est
de cette façon, que l’on peut calculer plus facilement leur volume et leur aire totale.
Rappel :
L’aire totale d’un solide décomposable n’est pas la somme ou la différence
des aires totales des solides qui le composent. Il faut calculer seulement l’aire
visible.
Exemple 7
Une boîte à lunch en métal a la forme et les dimensions représentées ci-contre et le
couvercle est un demi-cylindre. Quel est le volume de cette boîte ?
Dans tes calculs, néglige la poignée et arrondis tes calculs au millième près.
Le volume total d’un solide décomposable est la ou la
des des solides qui le
composent.
17 cm 27 cm
14 cm
Vision 5/Section 5.3/SAVOIRS 20
Exemple 8
Calcule le volume de ce solide troué, sachant que le prisme a 36 cm de longueur,
11 cm de largeur, 12 cm de hauteur et que le cylindre a un rayon de 2,5 cm.
Arrondis tes calculs au millième près.
EN RÉSUMÉ
Volume
Aire latérale
Aire totale
Prisme AL = PB • h AT = PB • h + 2AB
Cylindre
AL = 2rh
ou
AL = dh
AT = 2rh + 2r2
ou
AT = dh + 2r2
Pyramide
AL = 2
PB aP AT =
2PB aP
+ AB
Cône AL = rac AT = rac + r2
Sphère AT = 4r2
Demi-sphère AL = 2r2 AT = 3r2
Vision 5/Section 5.3/SAVOIRS 21
Exemple 9
Soit le solide à base carrée suivant:
N’oublie pas d’écrire tes formules et d’arrondir tes calculs au millième près, afin de…
a) calculer son aire latérale.
b) calculer son aire totale.
c) calculer son volume.
6 cm
8 cm
aP = 7,6 cm
Vision 5/Section 5.3/SAVOIRS 22
D = 10 cm
20 cm
50 cm
Exemple 10
Soit le solide suivant :
N’oublie pas d’écrire tes formules et d’arrondir tes calculs au millième près, afin de…
a) calculer son aire latérale.
b) calculer son aire totale.
c) calculer son volume.
Vision 5/Section 5.3/SAVOIRS 23
Exemple 11 Calcule l'aire totale et le volume de ce solide. D = 8 cm et d = 2 cm
Dans un premier temps, calcule et inscris tes réponses de façon exacte, puis arrondis-les au millième près.
Aire Volume
Vision 5/Section 5.3/SAVOIRS 24
Exemple 12 Calcule, au millième près, …
a) l’aire totale de ce cône tronqué.
b) le volume de ce cône tronqué.
Je vois très bien que ce cône tronqué est un gros cône auquel on a enlevé la pointe qui représente un petit cône…
12 cm
25 cm
7,5 cm
15 cm
Vision 5/Section 5.3/MISE AU POINT 25
SECTION 5.3 – MISE AU POINT
1) Calcule le volume de ces pyramides à base carrée et arrondis tes calculs au
millième près. Les dessins ne sont pas à l’échelle.
a) b)
c) d)
aB = 10 cm h = 15 cm
aP = 25 cm h = 12 cm
aP = 30 cm c = 28 cm aP = 10 cm
PB = 24 cm
Vision 5/Section 5.3/MISE AU POINT 26
2) Calcule le volume de ces cônes et arrondis tes calculs au millième près. Les
dessins ne sont pas à l’échelle.
a) b)
c) d)
d = 10 cm aC = 12 cm
r = 5 cm h = 9 cm
C = 16 cm h = 10 cm
C = 20 cm aC = 21 cm
Vision 5/Section 5.3/MISE AU POINT 27
3) Quelle est l’aire totale exacte d’une demi-sphère de 12 cm de rayon ?
4) Quel est le volume exact d’une boule de rayon égal à 15 cm ?
5) Calcule l’aire et le volume de ce solide.
V ___________________ , AT _____________________
3,25 m
4 m
4,5 m
8,4 m
3,25 m
2,345 m
Vision 5/Section 5.3/MISE AU POINT 28
6) Calcule l’aire totale de ces solides et arrondis tes calculs au millième près. Les dessins ne sont pas à l’échelle.
a) b)
c) d)
hcyl. = 12 cm ac = 8 cm r = 5 cm
ac = 24 cm hcône = 17 cm
Prisme à base carrée
Cube
aP = 30 cm c = 22 cm hPrisme = 45 cm
hPyr. = 16 cm diagonale d’une face du cube (d) = 32 cm
Vision 5/Section 5.3/MISE AU POINT 29
7) Calcule le volume de ces solides et arrondis tes calculs au millième près. Les
dessins ne sont pas à l’échelle.
a) b)
c) d)
hcyl. = 12 cm ac = 8 cm r = 5 cm
ac = 24 cm hcône = 17 cm
Prisme à base carrée
Cube
aP = 30 cm c = 22 cm hPrisme = 45 cm
hPyr. = 16 cm A base du cube = 36 cm2
Vision 5/Section 5.3/MISE AU POINT 30
8) Calcule l’aire totale et le volume du solide suivant. C’est un cylindre de 30 cm de hauteur et 8 cm de rayon surmonté d’une demi-sphère de même rayon. Arrondis la réponse au millième près.
9) Voici un altère formé d’un cylindre de 2 cm de rayon et de 1 m de hauteur ainsi que de deux boules identiques de 2 dm de rayon. Quel sera le volume de métal nécessaire pour former un altère ? Donne ta réponse en décilitres et arrondis au millième près.
Vision 5/Section 5.3/MISE AU POINT 31
10) Calcule, au millième près, …
a) l’aire totale de cette pyramide à base carrée tronquée.
b) le volume de cette pyramide à base carrée tronquée.
Je vois très bien que cette pyramide tronquée est une grosse pyramide à laquelle on a enlevé la pointe qui représente une petite pyramide de même base…
22 cm
13,2 cm
10 cm
4 cm
Vision 5/Section 5.4/SAVOIRS 32
SECTION 5.4 – SAVOIRS
RACINE CUBIQUE D’UN NOMBRE Exemple 1
Sachant que le volume d’un cube est 238 328 cm3, trouve la mesure de son arête.
e
Source : http ://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Structure_d%27une_racine.PNG
La racine cubique d’un nombre (radicande) est la recherche d’un autre nombre
qui, élevé au cube, donnera le radicande.
Par exemple, la racine cubique de 1331 est égale à 11, car 113 = 1331.
N.B. La racine cubique est l’opération inverse d’élever un nombre au cube.
Vision 5/Section 5.4/SAVOIRS 33
THÉORIE DES EXPOSANTS (RAPPEL)
Lois des exposants (a R, b R, m R, n R)
Exemples
1) a1 = a
2) a0 = 1 a 0
3) am • an = am + n R
2 3 • 2 4 = 27
a 3 • a 2 = a5
4) am an = n
m
a
a am – n a 0
3
5
5
5 52
5
3
a
a a-2 =
2
1
a
5) (am)n = am • n = amn m, n R
(2 4 ) 3 = 212
(a 2 ) 3 = a6
6) (a • b)m = am • bm = am bm m R
(32 • 7)5 = 310 • 75
(a • b)3 = a3b3
7) m
b
a
= m
m
b
a b 0
3
5
33
3
5
3
4
d
c4
4
d
c avec d 0
Le symbole « » signifie
appartient à… OU est élément de…
Vision 5/Section 5.4/SAVOIRS 34
OUTILS ALGÉBRIQUES (RAPPEL) Exemple 2
Simplifie les expressions algébriques ou résous les équations selon le cas. Fais
tes calculs et laisse ta réponse exacte.
a) 233 ba b)
252 x c) 104x =
d) 8416 yx = e) 3232 ba f)
33
2
x
g) 3
9
8x = h) ba
64
49 = i) 3 3)9( x =
j) 3 33
30 z = k) 3 63
27 ba = l) 3 396 x =
m) 24 )26( x = n) 3
3
27x
=
o) (22 a2b3)3 (23 ab2)6 =
p) (5 cd2)3 (5 cd4)2 = q) (2c – d) (d + 3) =
r) (2x – 3) (4x + 3) =
s) (x + 7)2=
t) (3x – 4)2=
Vision 5/Section 5.4/SAVOIRS 35
u) 2
2
4
5
3
4
yx
=
v) (a – 1)(a + 1) =
w) 103
)4(3 3
x
x) 37a6a
43
y) -4(3z – 6) – (2z + 4) = 8(z – 6) z) 4
6
3
7 22
xx
aa) 4
6a36
4a2 bb) 3
7x56x
2
3
Vision 5/Section 5.4/SAVOIRS 36
SOLIDES SEMBLABLES Deux solides sont semblables si l’un est un agrandissement, une réduction ou la
reproduction exacte de l’autre.
*Dans des figures semblables, on remarque une régularité intéressante entre
certains rapports.
Deux solides sont semblables si :
1) Les angles homologues (correspondants) sont isométriques
2) Les mesures des arêtes homologues sont proportionnelles
N.B. Ces deux conditions sont les mêmes que pour les figures semblables (à
deux dimensions).
Toutes les mesures du rectangle
ABCD ont été
de façon à obtenir le rectangle
A’B’C’D’.
L’aire a-t-elle été triplée elle
aussi?
Toutes les mesures du prisme 1 ont
été de façon à
obtenir le prisme 2.
Que peux-tu dire au sujet de leur
volume ?
A D
CB
B '
D'
C'
Rectangle AB CD
Pris m e 1
Pris m e 2
Vision 5/Section 5.4/SAVOIRS 37
Les rapports…
Rapport de similitude =
Rapport des aires =
Rapport des volumes = Exemple 3 Voici deux solides semblables. a) Calcule le volume de chacun des solides. b) Calcule le rapport des volumes. c) Calcule l’aire totale de chacun des solides.
c = 8 cm h = 14 cm
I
H K
L
M
N O
P
c = 32 cm h = 56 cm
I’
H’ K’
L’
M’
N’ O’
P’
Solide 1
Solide 2
Vision 5/Section 5.4/SAVOIRS 38
d) Calcule le rapport des aires totales. e) Détermine le rapport de similitude de ces deux solides f) Compare le rapport calculé en b) avec celui trouvé en e). Qu’observes-tu?
g) Compare le rapport calculé en d) avec celui trouvé en e). Qu’observes-tu?
Exemple 4
Voici le volume de 2 cylindres semblables. Trouve le rapport de similitude simplifié de ces solides. V1= 343 et V2= 27
Exemple 5
Voici l’aire totale de 2 cubes semblables. Trouve le rapport des volumes simplifié de ces solides. A1= 864 et A2= 1350
Vision 5/Section 5.4/SAVOIRS 39
Exemple 6
Voici l’aire d’un solide : A1 =
. Trouve l’aire d’un solide semblable plus grand dont
le rapport de similitude entre ces 2 solides est de .
Exemple 7
Le rapport des volumes de deux cylindres est de 1125
. La hauteur et le rayon du plus
petit cylindre mesurent respectivement 12 cm et 3,4 cm. Calcule l’aire totale exacte
du plus gros cylindre.
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 40
SECTION 5.4 – MISE AU POINT
1) Identifie, dans cette expression, chacune des composantes.
1113313
2) Le volume d’un cube est de 1157,625 cm3. Calcule son aire totale exacte.
3) Soit une boule de 64 dm3 de volume. Arrondis tes réponses au millième près.
a) Calcule le diamètre de cette boule en dm.
b) Calcule le rayon de cette boule en mm.
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 41
4) Le volume d’une orange est de 300 ml. Tu coupes cette orange en deux parties égales.
Calcule au millième près, l’aire latérale de l’une des deux demi-oranges en mm2.
5) Pour chacun des solides ci-dessous, détermine la formule algébrique permettant
de calculer le rayon. Calcule ensuite la mesure exacte du rayon de chacun d’eux.
a) Cône circulaire droit de 12 cm de hauteur et dont le volume est de 64 cm3.
b) Boule de 36 m3 de volume.
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 42
c) Cylindre circulaire droit de 15 cm de hauteur dont le volume est de 13,5 dm3.
d) Demi-sphère de 1587 m2 d’aire totale.
6) Pour chacun des solides ci-dessous, trouve le polynôme simplifié représentant
l’aire totale et le volume. Laisse dans tes réponses.
a) Cube
b) Prisme à base carrée
3x cm
(x + 1) cm
(2x) dm
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 43
c) Pyramide à base carrée
d) Demi-boule
e) Cône circulaire droit
6x cm
aP = 5x cm
r = 4y dm
h=12x m
r = 5x m
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 44
7) Trouve la mesure exacte du segment AB dans le cylindre suivant sachant que
son volume est de 12 000 cm3.
8) Trouve la mesure du rayon exact du cône ci-dessous sachant que son volume
est d’environ 47,56 m3.
9) Le volume du solide ci-contre est de 10 878 m3. Sachant que le rayon de la
demi-boule est de 21 m, quelle est la hauteur exacte du cône circulaire droit?
40 cmA
B
43 dm
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 45
10) Une boîte ayant la forme d’un prisme à base carrée de 12 cm de côté contient un
objet cylindrique de 12 cm de diamètre. Cette boîte a un volume de 2880 cm3. Le
volume de l’espace inoccupé dans la boîte est de 844 cm3. Quelle est la hauteur
de la boîte et celle de l’objet cylindrique? Arrondis s’il y a lieu au millième près.
11) Le volume du solide suivant est de 21 609 m3. Si le rayon de la petite demi-
boule correspond aux 3/4 de celui de la grande demi-boule, calcule
a) le volume de chaque demi-boule. Arrondis ta réponse au millième près.
a) le rayon de chaque demi-boule. Arrondis ta réponse au millième près.
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 46
12) Le volume d’une boule est de 288 cm3. Détermine la mesure EXACTE de
l’apothème d’un cône circulaire droit ayant le même volume et le même rayon
que la boule.
13) Un cube et une pyramide à base carrée ont la même aire totale. Le cube a un
côté de dm. Si le côté de la base de la pyramide mesure
dm, quelle est la
mesure exacte de l’apothème de la pyramide?
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 47
14) Le volume d’une pyramide A correspond au double de celui d’une pyramide B,
tandis que le volume d’une pyramide C correspond au cinquième de celui d’une
pyramide A. Si le volume total des trois pyramides est de
m3, détermine :
a) le volume EXACT de chaque pyramide;
b) la hauteur de la pyramide C sachant que le côté de sa base carrée mesure
4 mètres.
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 48
15) Exprime le volume de chacun des solides ci-dessous à l’aide d’une expression
algébrique simplifiée.
a) Cube
b) Prisme droit
16) Un contenant de forme cylindrique de dm de rayon contient 9 cubes de glace
de dm de côté. Si on laisse fondre les cubes de glace, à quelle hauteur sera
l’eau obtenue par les glaçons fondus? Donne une réponse EXACTE.
xy2 cm
2y2 cm7y2 cm
(5y2 + 4) cm
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 49
17) Un cylindre de cm de rayon a le même volume qu’une boule de 2 cm de rayon.
Quelle est l’aire latérale EXACTE du cylindre?
18) L’aire totale d’un cône est de 24 dm2 et son rayon mesure 3 dm. Calcule le
volume exact de ce cône.
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 50
19) L’arête d’un cube mesure (2x - 5) cm. Détermine le polynôme simplifié représentant :
a) l’aire totale du cube;
b) le volume du cube.
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 51
20) Les dimensions d’un prisme à base rectangulaire sont exprimées par les
polynômes suivants :
Largeur : x+4 Longueur : 2x – 3 Hauteur : 3x
a) Donne l’expression algébrique simplifiée représentant l’aire totale de ce
prisme.
b) Exprime le volume de ce prisme à l’aide d’un polynôme réduit.
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 52
21) Trouve l’expression algébrique simplifiée représentant le volume de la pyramide
à base carrée suivante sachant que la hauteur est de 5x cm et que le côté
mesure (2x - 3) cm.
22) Le rapport des aires de deux cônes est de
. La hauteur du cône le plus grand
mesure 12 m, son apothème mesure 13 m. Calcule l’aire totale exacte du petit
cône.
(2x -3) cm
h = 5x cm
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 53
23) Le rapport des volumes de deux sphères (boules) est de 91,125. Le rayon de la
plus petite sphère mesure 9 cm.
a) Calcule l’aire exacte de la plus grande sphère.
b) Calcule le rapport des aires de ces deux sphères.
24) Voici le volume algébrique de 2 solides semblables. Trouve le rapport de similitude simplifié de ces solides. Il y a deux réponses possibles.
V1= 27x3y3 et V2= 216x3y3z3
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 54
25) Voici l’aire totale algébrique de 2 solides semblables. Trouve le rapport des volumes simplifié de ces solides. Il y a deux réponses possibles.
A1= 45x3y9 et A2= 5xy3
26) Voici la mesure de l’arête de 2 cubes semblables. Trouve le rapport des volumes simplifié de ces cubes. Il y a deux réponses possibles.
c1= 4x4yz2 et c2= 6x4y3z6
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 55
27) Voici le rayon de 2 cylindres semblables. Trouve le rapport d’aire simplifié de ces
cylindres 1
2
solide
solide
A
A .
r1= 4xy2z3 et r2= 8x2y2z3 – 12xy3z3
28) Voici l’aire totale algébrique d’un solide : A1 = 5x2 - 3xy + 4y2. Trouve l’aire totale d’un solide semblable dont le rapport de similitude entre ces 2 solides est de 2x. Il y a deux réponses possibles.
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 56
29) La hauteur d’une première pyramide à base carrée A mesure la moitié de la mesure du côté de sa base. Si l’aire de cette base est 16x2, quel serait le volume d’une deuxième pyramide à base carrée B semblable à la première dont le
rapport de similitude BPyramide
APyramide
est x4
3
?
30) Le rapport des volumes de deux sphères est de 27
3x
, ce qui signifie que
27
3x
sphèrepetiteladeVolume
sphèregrandeladeVolume
. Le rayon de la plus petite sphère mesure x
y
4
9 2
. Calcule le volume algébrique exact de la plus grande sphère.
Vision 5/Section 5.4/MISE AU POINT 57
Défi!!!
Le rapport des aires de deux cylindres est tel
que
49
4 2
x
cylindrepetitdutotaleAire
cylindregranddutotaleAire
. La hauteur et le rayon du plus petit
cylindre mesurent respectivement 2
7x
et 3
7x
. Calcule l’aire totale algébrique exacte du plus grand cylindre.
MATHÉMATIQUE 1re année du 2e cycle du secondaire
VISI N Du symbolisme pour généraliser
VISION 6
Collège Regina Assumpta
6
Vision 6/Section 6.1/SAVOIRS 59
SECTION 6.1 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 82-83.
EXPOSANTS NÉGATIFS
5 513 = =
2n Puissance 5n Puissance
… … … …
25 32 55 3125
24 16 54 625
23 8 53 125
22 52
21 51
20 50
2-1
5-1
2-2
5-2
2-3
5-3
2-4
5-4
… … … …
Quelle opération dois-tu faire pour
passer d’une ligne vers une autre ?
Toutes les réponses doivent s’exprimer avec des exposants positifs.
Vision 6/Section 6.1/SAVOIRS 60
THÉORIE DES EXPOSANTS
Lois des exposants (a R, b R, m R, n R)
Exemples
1) a1 = a
2) a0 = 1 a 0
3) am • an = am + n
2 3 • 2 4 = 27
a 3 • a 2 = a5
4) am an = n
m
a
a am – n a 0
3
5
7
7 72
5
3
a
a a-2 =
2
1
a
5) (am)n = am • n = amn
(2 4 ) 3 = 212
(a 2 ) 3 = a6
6) (a • b)m = am • bm = am bm
(3 2 • 7)5 = 310 • 75
(a • b)3 = a3b3
7) m
b
a
= m
m
b
a b 0
3
5
33
3
5
3
4
d
c4
4
d
c avec d 0
8) a-m = a 0
2-7 =l x -5 =l
9) ma
1
311
1 l
5
1
g l
Le symbole « » signifie
appartient à… OU est élément de…
Dans la réponse finale, on ne laissera jamais d’exposants négatifs!!
Vision 6/Section 6.1/SAVOIRS 61
Exemple 1 Rends les exposants positifs et exprime ta réponse en notation exponentielle.
a) 231 = b) (23)-4 =
c) 73 • 2-4 = d) 7
4
25
=
e) 74 77 = f) 2
511
g) (c • d2)-w = h) d
xa
=
Exemple 2
a) 50 =
b) x0 = (x ≠ 0)
c) 5-2 =
d) 7
5
2
=
e) 34 b-2 =
f)
g)
h)
i) (a2 )-3 (a 3)–2 =
j)
531
6c
1
322
1
a
2
3
2
2 a
a
Vision 6/Section 6.1/SAVOIRS 62
EXPOSANTS FRACTIONNAIRES
Exemple 3
a) 3 2 =
b) 5 23 =
c) 36 43 =
d) a =
e) 3
1
2
1
aa =
f) 2
1
33
2
a
b
b
a =
nm
n maa pour a R , m Z et n Z*
nba pour a et b R et n N*
n ba pour a et b R et n N*
dc a )(
1 pour a R, d R et c N*
Rappel : Z* signifie
Vision 6/Section 6.1/MISE AU POINT 63
SECTION 6.1 – MISE AU POINT
1) Simplifie et exprime sous forme exponentielle chacune des expressions
suivantes.
a) 3c • 33c3 • 34c4 = b) 22 x 3y 2 • 22 • 32 x y 4 • 24 • 3 x 2 y 5 =
c) (22 x2y-2)3 = d) (24 a-3b2c)6 = e) (22 • 5 cd-2)4 • (2 • 3 c-1d3)-2 =
f) 4
12444 32 yx = g) 343224 32
cba =
h 4224 52 yx = i) 3 33239 32 cba =
j)
3243
433424
732
32
cba
cba=
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 64
SECTION 6.2 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 94-95.
Exemple 1
Simplifie et exprime ta réponse en notation exponentielle. N’oublie pas de rendre
tous les exposants positifs dans ta réponse finale.
a) y8z9
y5z13 =
b) w
w4
46
)52(
)52(
=
c) 23
22
73
75
ts
ts
=
d) 222
242
)32(
32
ab
ba
=
Voici les 3 étapes à faire pour simplifier une expression algébrique :
1) Enlever les parenthèses et les
2) Multiplier ou diviser les mêmes bases
3) Rendre tous les exposants positifs
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 65
e) 31
2323
)32(
2
xy
zyx =
f) 122
2323
)5(
)5(
abc
bca =
g) 1114
42
3
32
zyx
xyz =
h) 413448
4342
)32(
)532(
kji
kji =
i)
323
132
52
32
dc
dc =
-3
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 66
DÉCOMPOSITION EN FACTEURS
La décomposition en facteurs est le processus inverse de la distributivité. La factorisation est la recherche des facteurs d’un produit. Chacun des cas de facteurs vus cette année correspond à une multiplication de polynômes bien précise.
Factoriser ou décomposer en facteurs un polynôme, c’est retrouver les expressions
qui, multipliées ensemble, ont donné comme produit le polynôme initial.
FACTORISATION : MISE EN ÉVIDENCE SIMPLE
À partir d’un polynôme donné, on retrouve un facteur commun ou un diviseur
commun à TOUS les termes. Ce facteur ou ce diviseur commun que l’on met en
évidence est appelé le plus grand commun facteur (PGCF) ou le plus grand
commun diviseur (PGCD).
La mise en évidence simple se fait avant toute autre
factorisation !
Décompose en facteurs le nombre 12.
Décompose en facteurs l’expression algébrique 6x2.
Effectue… 2(3x – 5) = Factorise… 6x – 10 =
Effectue … 7t(2t + 4) = Factorise… 14t2 + 28t =
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 67
Exemple 2
Factorise (ou décompose en facteurs) les polynômes suivants.
a) 25x + 15y = Preuve :
b) 7ab + 6bc = Preuve :
c) 8xy – 4xyz = Preuve :
d) -16a3b – 12a2c = Preuve :
Comment faire une mise en évidence simple ? 1 Trouve le PGCD ou le PGCF de tous les termes du polynôme.
2 Divise chacun des termes du polynôme par ce PGCD ou PGCF.
3 Exprime les facteurs du polynôme en multipliant le diviseur (PGCD ou PGCF)
et le quotient obtenu.
LE PGCD D’UNE EXPRESSION AYANT DES VARIABLES COMMUNES DOIT
ÊTRE COMPOSÉ DE CELLES AFFECTÉES DU PLUS PETIT EXPOSANT.
UN POLYNÔME FACTORISÉ EST REPRÉSENTÉ PAR UN SEUL TERME
COMPOSÉ DE DEUX OU PLUSIEURS FACTEURS.
LES FACTEURS OBTENUS DOIVENT ÊTRE DES POLYNÔMES PREMIERS ET
SIMPLIFIÉS. UN POLYNÔME PREMIER EST UN POLYNÔME N’AYANT QUE 1 ET LUI-MÊME
COMME FACTEURS.
ATTENTION !
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 68
Exemple 3
Factorise les polynômes suivants.
a) 6x³ - 12x4y + 9x² = b) m²n4 + 7m³n² - 5m³n + m²n = c) 3(x + y) + 5a(x + y) = d) 8x²(a + b) – 7(a + b) = e) 3a²(c + d) – 6a(c + d) = f) 7x³(4x – 2y) + 14x²y(4x – 2y) = g) (a + b)(a – b) + (a + b)² = h) 2x (3a + 6b) – 4y (3a + 6b) = i) 20x2(3x + 6y) – 10xy(3x + 6y) =
j) )()(
yx5yx3
= k) y48ay12
xy6yx6²
=
l) bmbnanam
= m)
x4x6x8x12
²²³ =
Pour simplifier des expressions rationnelles, il faut exprimer le numérateur et le
dénominateur sous forme de facteurs !
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 69
FACTORISATION : MISE EN ÉVIDENCE DOUBLE
Comment faire une mise en évidence double ? 1 La mise en évidence double permet de trouver les facteurs d’un polynôme
comportant un nombre pair de plus de deux termes.
2 En groupant par paires les termes, on essaie d’abord d’effectuer la mise en
évidence simple d’un facteur commun à chaque groupe.
3 Puis, on trouve un nouveau facteur commun à mettre en évidence. Ce nouveau
facteur commun est le polynôme (entre parenthèses) trouvé à l’étape 2.
La mise en évidence simple se fait avant toute autre
factorisation !
Décompose en facteurs : ax + ay + bx + by.
Y a-t-il une autre façon de regrouper les termes?
Décompose en facteurs : 3x2y + y – 9x2 - 3.
Y a-t-il une autre façon de regrouper les termes?
Qu’importe le regroupement, la réponse est toujours
.
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 70
Exemple 4
Factorise les polynômes suivants.
a) 6a²x + 3ax – 2a – 1 = b) 2ax + 2bx + 4ay + 4by =
c) 6ax + 12bx – 12ay – 24 by = d) 9a12
b3a3ab4a4
² =
e) a6ax4a3xa2x6x4ax3ax2
²²²² = f)
b4bx6a10ax15b2bx2a5ax5
=
Pour simplifier des expressions rationnelles, il faut exprimer le numérateur et le
dénominateur sous forme de facteurs !
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 71
FACTORISATION : DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS
Observe attentivement le polynôme suivant et répond aux questions. Soit le polynôme a2 – b2. 1. Comment s’appelle ce polynôme?
2. Quelle est l’opération entre les deux quantités?
3. Comment qualifierais-tu la quantité à gauche
du signe « - »?
4. Comment qualifierais-tu la quantité à droite
du signe « - »?
5. Comment s’appelle un tel cas de factorisation?
Avant de factoriser ce binôme, effectue la double distributivité suivante : (a + b) (a – b) =
=
=
En comparant ta réponse obtenue par le produit de deux binômes et le binôme du
départ, que peux-tu conclure ?
Alors, la factorisation de a2 – b2 est .
Comment factoriser une différence de deux carrés ? La différence de deux carrés se factorise en deux facteurs. L’un est la somme des deux racines carrées et l’autre est la différence de ces deux mêmes racines.
Exemples de carrés
Carrés 12 1 22 32
(x4)2 (y5)2 (5x3)2 (7b9)2 (x+y)2 (x+y)2
Pour être un carré, le coefficient doit être un et l’exposant doit être .
Carré
(x)
Racine carrée (x)1/2
Preuve
1 1 12 = 1 4 22 = 4
9 32 = 9
x8 (x4)2 = x8
y10 (y5)2 = y10 25x6 (5x3)2 = 25x6
49b18 (7b9)2 = 49b18 (x+y)2 (x+y) (x+y)2 = (x+y)2
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 72
Exemple 5 Factorise ces polynômes.
a) 25x6 – 81 = b) –100 + x² =
c) –36 – y² = d) 7c² - 7d² = e) a²x – x + 4a² - 4 = f) (x + y)² - z² = g) (a – b)² - (x + y)² = h) (x – 4)² - (y + 3)² = i) x4 – 1 = j) x16 – 1 =
k) (3a – 2b)² - (5a + 2b)² = l) 6a29a
² =
m) 16x
x4x
²² = n)
4a9a6a9
²² =
o) ²²
²n25m16
mn10m8 = p)
))(²(²
1xx2x21x
=
La mise en évidence simple se fait avant toute autre
factorisation !
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 73
FACTORISATION: TRINÔME DE LA FORME ax2 + bx + c
Simplifie l’expression suivante : (2x + 5) (x + 4) = Quel est le produit des coefficients des deux termes semblables?
La somme des nombres représentant les coefficients des termes semblables
est-elle égale au produit de ceux-ci?
Comment obtient-on ce produit?
Exemple 6
a) 2x2 + 5x + 3 = b) 10y4 – 9y2 + 2 =
ax2 + bx + c
Comment factoriser un trinôme de la forme ax2 + bx + c ? 1 Trouve deux nombres, n1 et n2, dont la somme donne b et le produit
donne ac.
2 Remplace le terme bx par la somme des deux termes trouvés.
3 Factorise le polynôme à quatre termes obtenu en effectuant une mise en évidence
double.
Ce terme contient toujours les racines de toutes les variables.
+ =
=
n1 + n2 = b
n1 n2 = a c
+ =
=
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 74
Exemple 7
Factorise. a) 5x² - 17x + 6 =
b) 2a² + 3ab - 5b² = c) 3
42
3
a13
3
²a =
d) 25a7a
23 ² = e) -x² - 3x + 28 =
f) 1x
1x7x6
²
² = g) 9y12y430y26y4
²²
=
h) ²²
²²yxy2xy3xy5x2
= i) 22
22
bab4a4b2ab5a2
=
La mise en évidence simple se fait avant toute autre factorisation !
+ =
=
Vision 6/Section 6.2/SAVOIRS 75
Comment reconnaître le cas de facteurs à utiliser ?
Nombre impair de termes
Polynôme
initial
binôme trinôme Nombre pair de termes
C’est terminé, lorsque tous les facteurs sont des
polynômes premiers et simplifiés. Au besoin, reprendre l’arbre des décisions.
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 76
SECTION 6.2 – MISE AU POINT
1) Simplifie les expressions algébriques suivantes et exprime ta réponse en notation
exponentielle.
a) 452
342
2
3 x
x =
b) 242
432
3
32
ab
ba =
c) 232
4223
7
7
cd
dc
=
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 77
d)
4222
5133
32
3
rp
rp =
e)
333
222
53
5
gh
hg =
f) 2
238
32
3
3
kj
kj=
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 78
2) Simplifie et exprime sous forme exponentielle.
a) 10682 ba b) (26 a-2b-3)-3 (2-3 ab2)-6 =
c) 634 32 33 aa d) yxyx 13 32 535
e) 73 39 32 bcba f)
yx
yx624
5
1
3
)32( 22 =
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 79
g) 3 533
533
32
32
baba
= h)
)zx7)(2(
)532(3-22 3-
3 323
y
zxy
=
i) yx
zyx8
752
32
3
= j)
32323
y
x=
k) 22
2
3
3
yb
by = l)
2
43
32
2
a
a =
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 80
3a23a
ba2b7a5
bab3a5
5a35a2
a2
y3
y3a2
Problèmes Défis
m)
22
322
22
2
3
128
3
134
32
35
32
53
xb
ay
xb
ya
=
n)
3323
7422
5
3
4
1
2
12
3436
7
32
7
2
yx
yx
yx
yx =
o)
p) 1
2n
1n2
1n
1n
aa
aa
=
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 81
3) Décompose en facteurs les polynômes suivants.
a) -16x6y6z6 32x5y5z5 4xy5 b) 5ab2 + 20bc 15c + 25
c) -6m2n3 + 4mn2 + 3n2 + n d) 7abx + 8acx 3x + 4
e) 49x8y4z2 + 56x5y2 + 42x2y2z f) -128s5t6v2 28s4t3
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 82
4) Décompose en facteurs chacun des polynômes suivants.
a) 3a(x - y) + (x - y)
b) (a + b) (a + b) + 2 (a + b)
c) 4(a - b) + (a - b)2
d) 7a2(3x + 4y) + 8b(4y + 3x)
e) 2a3(a + b) - (a + b) f) (x - y) - (x - y) (x + y)
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 83
5) Factorise les polynômes suivants.
a) x8 + x6 + x4 + x2 b) 2ax - 4bc + 6ad - 8d
c) -5ab + 15ac - 125abc + 625a2 d) a3x2 + a3y + a2bx2 + a2by
e) 12a2b4 + 3b4 - 1 - 4a2 f) 10a - 30 - 24a3 + 8a4
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 84
6) Décompose en facteurs chacun des polynômes.
a) ab 5a2 3b 15a b) 2x3 6xy 6x2y + 18y2
c) 24ac - 4a2b2 + 96bc 16ab3 d) 4(2a b) 4x(2a b)
e) 3ab2 9ax 12ab + 27x f) 10x(a + 2b) 5x2(a + 2b)
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 85
7) Simplifie chacune des expressions rationnelles en factorisant d’abord le numérateur et le dénominateur.
a) 2 4 6
6 6
2x x
x
b) 12 4 2
6 2 1
3 2
2
a a a
a a
c) 2 8 4
8 4
4 4a b ab a a
ab a
d) 2 2
2 2
2x x xy y
ax a bx b
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 86
e) 4 8 12
10 2
2x y
x a b y a b
( ) ( )
f) 8 4 4 2
2 2 6 2
2 2
2
ax bx ay by
x a b y a b
( ) ( )
g) 4 5
2 6 10 30
2 4
3 2
( )a
a b a ab
h) 4 1 16 1
1 10 40
2 2
5
a x b x
x a b
( ) ( )
( ) ( )
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 87
8) Factorise.
a) a2 - b4 b) (2y + z)2 - 36
c) 4 - a2 d) a2b4 - 4
25
e) x2 - (3 - a)2 f) x2 - b2
16
g) b2x4 - 36a2 h) 121b2 - a2
9
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 88
9) Il faut reconnaître les binômes qui sont des différences de deux carrés, même s’ils ont une drôle d’allure! Factorise-les.
a) (a - 8b)2 - (c + d)2 b) (a + b +c)2 - (m - n)2
c) 1 - (x - y + z)2 d) (x - y + 2)2 - 4
e) 4 - (x - y + 2)2 f) (3x 2y)2 (4x y)2
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 89
10) Factorise.
a) x4 + x3 + x2 + x b) x6 9x4 x2 + 9
c) a2 + 4b4 d) 5ax + 5bx + 15a 15b
e) 125(a2 16b2) 5a4(a2 16b2) f) 2m3 4mn2 m2n + 2n3
g) 27a2b 81b h) c2(a + b) (a + b)
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 90
11) Factorise et simplifie chacune des expressions rationnelles suivantes.
a) )y2x(y2)y2x(x
y8x2434433
86
b) 2 10 5
2 10 5
xy x y
xy x y
c) a
a a a
2
3 2
1
1
d) 10 20
40 80
2 2
2
x y
ab b
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 91
e) x xy x y y
x y
3 2 2 3
2
4 2 8
4
f) 2
6 3
2m m
m
g) ( )( )
( )
a a
a
2 2
2 2
4 4
4
h) 15 20 18 24
9 12
2xy y x y
x x y
( )
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 92
12) Factorise les trinômes suivants.
a) 2m2 - 11m + 12
b) 7x2 + 6x - 1
c) 5a2 + 7a + 2 d) 3a2 + 5ab - 2b2
e) 4x2 + 9xy + 2y2 f) 6m2 + 7mn - 3n2
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 93
13) Décompose en facteurs ces polynômes.
a) 4 - 4a2b2 b) 4x2 + 20xy + 25y2
c) 36a4 - a2 d) x2 - 11x + 24
e) -b2 - 3b + 28
f) 3x2 - 24x + 48
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 94
14) Factorise chacun des polynômes suivants.
a) y4 15y2 + 36 b) x8 13x4z2 + 36z4
c) 3a3 60a2 + 300a d) 2x2 + 18x 104
e) -4a2 60a 216 f) 3a4b2 51a2b2 + 48b2
g) 4x2 + 4xy 120y2
h) 2a4b2 + 20a2b2c + 50b2c2
Vision 6/Section 6.2/MISE AU POINT 95
15) Factorise et simplifie chacune des expressions rationnelles suivantes.
a) a a
a a
2
2
20
10 25
b) 2 6 8
2 10 8
2 2
2 2
a ab b
a ab b
c) 5 5
20 4
3 2 2 3
2 2
x xy x y y
x y
d) a a
a
4 2
2
2 63
9
e) a a
a a
2
2
22 120
2 44 240
f) m mn n
m n
2 25 66
11 66
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 96
SECTION 6.3 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 107-108.
RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE
Une inéquation est une forme propositionnelle comportant une relation d’inégalité. Les quatre symboles utilisés sont : : est inférieur à
: est supérieur à
: est inférieur ou égal à
: est supérieur ou égal à
Résoudre une inéquation, c’est trouver la ou les valeurs numériques qui transforment
cette inéquation en une proposition vraie.
Cette nouvelle inéquation est dite équivalente avec la première forme
propositionnelle.
Il existe des propriétés pour les inéquations. Voyons si on est capable de les trouver…
À partir de la forme propositionnelle suivante : 10 20
1. additionne une même quantité aux deux membres de l’inéquation :
2. soustrais une même quantité aux deux membres de l’inéquation :
3. multiplie par une même quantité positive les deux membres de
l’inéquation :
4. multiplie par une même quantité négative les deux membres de
l’inéquation :
Thomas Harriot (1560-1621)
Explorateur, expert en navigation, mathématicien, scientiste et astronome anglais, Thomas Harriot est né à Oxford. On lui doit l’introduction de ces symboles.
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 97
5. divise par une même quantité positive les deux membres de l’inéquation :
6. divise par une même quantité négative les deux membres de l’inéquation :
PROPRIÉTÉS DES INÉQUATIONS 1) Propriété d’addition L’addition d’une _même_ quantité aux
deux membres d’une inéquation ne
modifie pas l’ensemble solution.
2) Propriété de soustraction La soustraction d’une _même_ quantité
aux deux membres d’une inéquation ne
modifie pas l’ensemble solution.
3) Propriété de multiplication La multiplication des deux membres d’une inéquation :
par un même nombre positif non-nul
ne modifie pas l’ensemble solution.
par un même nombre négatif non-nul
ne modifie pas l’ensemble solution en
autant qu’on change le ________
_____________________________.
4) Propriété de division La division des deux membres d’une inéquation :
par un même nombre positif non-nul
ne modifie pas l’ensemble solution.
par même nombre négatif non-nul ne
modifie pas l’ensemble solution en
autant qu’on change le _________
_____________________________.
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 98
De plus, lorsqu’on trouve la ou les valeurs attribuables à la variable afin que la forme
propositionnelle devienne une proposition vraie, on vient de trouver l’ensemble
solution.
L’ensemble de toutes les valeurs qu’il est possible d’attribuer à la variable s’appelle
l’ensemble de référence ou l’ensemble de définition.
On emploie les ensembles de nombres : N, Z, Q, Q’ et R, mais les ensembles N, Z et R
sont les plus utilisés.
N.B. C’est dans un de ces ensembles que proviennent les éléments de l’ensemble
solution.
Chaque ensemble solution trouvé peut être représenté :
en extension, seulement avec les ensembles de référence N et Z.
en compréhension.
graphiquement à l’aide de la droite numérique.
sous forme d’intervalles, seulement avec
l’ensemble de référence R.
Proposition Graphiquement (R) Intervalles (R)
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 99
Exemple 1
Complète le tableau suivant, à partir de chacune des inéquations :
a) 5x
Ensemble
de
référence
Extension Compréhension Graphiquement Intervalles
N
N / A *
Z
N / A *
R
N / A *
* N / A signifie que cette présentation est non-applicable.
b) 2x
Ensemble
de référence
Extension
Compréhension
Graphiquement
Intervalles
N
N / A
Z
N / A
R
N / A
Un nouveau symbole : qui signifie l’infini.
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 100
c) 2(x – 2) + 9 > 20
Ensemble
de référence
Extension
Compréhension
Graphiquement
Intervalles
N
N / A
Z
N / A
R
N / A
d) –2x > 8
Ensemble
de référence
Extension
Compréhension
Graphiquement
Intervalles
N
N / A
Z
N / A
R
N / A
Si la valeur de la variable n’est pas un entier,
laisse cette valeur sous forme fractionnaire.
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 101
e) 3x + 5 x + 7
Ensemble
de référence
Extension
Compréhension
Graphiquement
Intervalles
N
N / A
Z
N / A
R
N / A
f) 5(x – 2) + 7 > 8(x + 1) – 9
Ensemble
de référence
Extension
Compréhension
Graphiquement Intervalles
N
N / A
Z
N / A
R
N / A
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 102
Exemple 2
Résous graphiquement et sous forme d’intervalles dans R.
a) 3(a + 4) – 5(a – 4) < 6(a + 3) – (a – 2)
b) 3
5y
5
4y3
c) 32
y
3
1
5
y
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 103
Exemple 3
Résous graphiquement et écris l’ensemble solution en compréhension à partir de
l’ensemble de référence N.
a) 3
)1x(2 2
9x6
b) )4x(8)6x(53x2
c) 21)3x4( x
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 104
Exemple 4 Résous graphiquement et écris l’ensemble solution en compréhension à partir de
l’ensemble de référence Z.
a) 8n32
1n7
b) 2x – 5 – 15 + (10 + x) 0
c) 5
3y2
21y
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 105
Exemple 5 Résous et exprime l’ensemble solution en compréhension et sous forme d’intervalles
dans R.
a) 21y5
3y2
b) (x + 1) – x –
(x + 4) - 2
c) 2x)4x(
43
21x)2x(
35
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 106
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES AVEC INÉQUATIONS À UNE VARIABLE
Le processus est pratiquement le même qu’avec la résolution de problèmes avec équations. La seule étape qui change, c’est la quatrième. On doit donner la réponse selon des critères bien précis. Exemple 6 1) Trouve le plus petit entier possible qui, multiplié par 4, est supérieur ou égal à la
somme de cet entier et de 7.
Étapes
Résolution du problème
1) Identifie l’inconnue ou les inconnues.
Quel est l’objet recherché? _________________________________
Identifie l’inconnue ou les inconnues.
_________________________________
_________________________________
2) Écris l’inéquation appropriée.
Construis une inéquation mettant en relation l’inconnue et les données du problème. _________________________________
3) Résous cette inéquation.
Résous l’inéquation posée.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
4) À partir de la mise en situation,
regarde les possibilités et donne une réponse complète.
Quelles sont les valeurs possibles pour x? Quelle est la valeur de l’objet recherché ? Réponds par une phrase complète. _________________________________
_________________________________
_________________________________
Vision 6/Section 6.3/SAVOIRS 107
Exemple 7 Trouve les trois plus grands entiers consécutifs tel qu’en retranchant le premier du triple du troisième, on obtienne un résultat supérieur au quadruple du second.
Étapes
Résolution du problème
1) Identifie l’inconnue ou les inconnues.
Quel est l’objet recherché? _________________________________
Identifie l’inconnue ou les inconnues.
_________________________________
_________________________________
2) Écris l’inéquation appropriée.
Construis une inéquation mettant en relation l’inconnue et les données du problème. _________________________________
3) Résous cette inéquation.
Résous l’inéquation posée.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
4) À partir de la mise en situation,
regarde les possibilités et donne une réponse complète.
Quelles sont les valeurs possibles pour x? Quelle est la valeur de l’objet recherché ? Réponds par une phrase complète. _________________________________
_________________________________
_________________________________
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 108
SECTION 6.3 – MISE AU POINT
1) Illustre graphiquement l'ensemble solution de chacune des inéquations suivantes.
a) 8k - 5 < 35 pour k Z b) 4 y - 2 6 pour y R
c) 3 - y > 12 pour y R d) 35 8n - 5 pour n N
e) 4 - 6p < 16 pour p Z f) 8 t < 35 + 3 t pour t R
g) 64
m > -4 pour m Z h) 8 < 5 + 3m pour m R
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 109
2) Résous chacune des inéquations suivantes dans R. Exprime l’ensemble solution sous forme d’intervalles.
a) 2
3 ( x 3) < 2 b)
4
m 1 >
5
m
c) 4
x 9
4
x3 d) 4 (3 y ) < 5 (2 y + 1)
e) 3 (2 x 4) 9 f) 3 ( y + 4) < 5 y
g) 50 7t > 4t t h) 6 (4x + 7) < -4 (5 x) + 2
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 110
2) Résous chacune de ces inéquations dans l’ensemble des nombres réels. Exprime l’ensemble solution sous forme d’intervalles.
a) x43
8x5
b) 3x2
4
2x3
c) 12)x25(3 d) 52
xx
e) 4
1x
2
1x4 f) 2x
3
x2
g) 21x3
47x2 h)
3
3x)x32(4)2x(3
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 111
4) Résous chacune des inéquations suivantes dans R. Exprime l’ensemble solution graphiquement.
a) 8n32
1n7
b)
4
1x
2
1x4
c) 9a3
24a6 d) x
2
1)3x4(
e) 2
9x6
3
)1x(2
f)
5
3x3
2
1x2
g) 7
2x4
7
x2 h) 1)11x(2)x24(x5
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 112
5) Trouve l'ensemble solution des inéquations suivantes dans R. Exprime-le en compréhension.
a)3
1x4 >
2
1x b)
4
x
3
x24
3
x1
2
x23
c)3
x2)1x(
2
x d)
2
1
3
x
3
5x2
e) 86
x54
3
x7 f) )4x(8)6x(
5
3x2
g) )1x(3)1xx()2xx( 22
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 113
6) Résous ces inéquations dans R. Exprime l’ensemble solution sous forme d’intervalles.
a) 2
1
6
4a1
3
a
4
a
b) 5
32
3
35
2
3
mm
mm
c) 2
)2x(3
8
)1x(5
d)
2
x
3
1
5
1
4
x
e) 2
y35
3
1
7
y f)
4
)2x(3
3
1
2
x
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 114
g) 2
1x
6
)3x2(5
h) )4x3(
2
x)1x(3
3
2x5
i) 3
1
2
)1a(3
3
2
5
a3
j)
3
1)5x2(
2
11)3x2(
3
2
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 115
7) La différence entre le double du plus grand de quatre entiers impairs consécutifs et le plus petit de ceux-ci est au moins égale à 17. Trouve le plus petit ensemble formé de ces quatre nombres.
8) Trouve les quatre plus grands entiers impairs consécutifs dont la somme est plus petite que 105.
9) La longueur d'un rectangle est égale à 2 fois sa largeur. Si le périmètre est supérieur à 600 cm et qu’il n'excède pas 1 200 cm, quelle est la plus grande largeur possible?
10) Trouve les trois plus grands entiers pairs consécutifs dont la somme est plus petite que 61.
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 116
11) Trouve le plus petit entier tel que le produit de cet entier et de 3
7 soit inférieur à
21.
12) Trouve le plus petit entier positif tel qu’en retranchant 5 au résultat obtenu en multipliant ce nombre par 4, on obtienne un résultat supérieur à 8.
13) Trouve les trois plus grands multiples de 5 consécutifs dont la somme est inférieure ou égale à 90.
14) Trouve les entiers tels qu’en additionnant 35 au triple de ce nombre, le résultat soit supérieur au produit de cet entier par 8.
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 117
15) Tu dois maintenant trouver les dimensions minimales d’un rectangle sachant que la longueur est le double de sa largeur auquel tu dois ajouter 5 cm. Si tu désires que le périmètre soit supérieur ou égal à 80 cm, quelles doivent être les mesures entières de la longueur et de la largeur?
16) Ghislain a 123 timbres de moins que Gilles. Ensemble, ils ont moins de 403 timbres. Quel est le maximum de timbres que Ghislain peut posséder?
17) Michel a une somme d’argent égale au triple de l’avoir d’Isabelle. Michel reçoit 70$ et Isabelle dépense 8$. L’avoir de Michel devient alors inférieur au quintuple de l’avoir d’Isabelle. Quel était l’avoir minimal initial d’Isabelle ?
Vision 6/Section 6.3/MISE AU POINT 118
18) La longueur d’un terrain rectangulaire est de 5 mètres de plus que sa largeur. Son périmètre est supérieur à 370 mètres mais inférieur à 730 mètres. Représente les valeurs possibles de la largeur sur la droite numérique.
R
MATHÉMATIQUE
1re année du 2e cycle du secondaire
VISI N Des comparaisons pour décider
VISION 7
Collège Regina Assumpta
7
Vision 7/Section 7.1/SAVOIRS 121
SECTION 7.1 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 135 et 136.
RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS Exemple 1
Résous les équations suivantes. Donne la réponse exacte.
a) -4(3z – 6) – (2z + 4) = 8(z – 6) b) 4
6xx
3
2
c) 7 – (3x2 – 7)(2x + 4) = (6x – 1)2 – 2x(24x – 13) d) 5y – y –
= y
e) 2(3x – 4)(2x + 7) = 5x(x + 6) – (x + 2)2 f) x5
28x3
3
5x2
)(
Vision 7/Section 7.1/SAVOIRS 122
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES AVEC ÉQUATIONS À UNE VARIABLE Chaque problème, en résolution de problèmes, demande de bien étudier la mise en situation. Il y a quatre étapes afin de compléter tout le processus. Tu dois : Identifier l’inconnue ou les inconnues; Écrire l’équation appropriée; Résoudre cette équation; À partir de la mise en situation, donner une réponse complète.
Exemple 2
Un terrain vaut cinq fois moins que la valeur de la maison. L’achat total est estimé à 310 000$. Quelle est la valeur de la maison, sachant que notre nouveau propriétaire doit payer 10 000$ pour les infrastructures?
Étapes
Résolution du problème
1) Identifie l’inconnue ou les inconnues.
Quel est l’objet recherché? _________________________________
Identifie l’inconnue ou les inconnues.
_________________________________
_________________________________
2) Écris l’équation appropriée.
Construis une équation mettant en relation l’inconnue et les données du problème. _________________________________
3) Résous cette équation.
Résous l’équation posée.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
4) À partir de la mise en situation,
donne une réponse complète.
Quelle est la valeur de l’objet recherché ? Réponds par une phrase complète. _________________________________
_________________________________
Vision 7/Section 7.1/SAVOIRS 123
Exemple 3
Trouve trois nombres pairs consécutifs dont le quadruple du plus grand moins le double du second donne 44.
Étapes
Résolution du problème
1) Identifie l’inconnue ou les inconnues.
Quel est l’objet recherché? _________________________________
Identifie l’inconnue ou les inconnues.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
2) Écris l’équation appropriée.
Construis une équation mettant en relation l’inconnue et les données du problème. _________________________________
3) Résous cette équation.
Résous l’équation posée.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
4) À partir de la mise en situation,
donne une réponse complète.
Quelle est la valeur de l’objet recherché ? Réponds par une phrase complète. _________________________________
_________________________________
Vision 7/Section 7.1/SAVOIRS 124
Exemple 4
Un examen, noté sur 100 points, comporte deux parties. Dans la première partie, chaque bonne réponse donne 2 points. Dans la seconde partie, chaque bonne réponse donne 4 points. La seconde partie compte cinq questions de moins que la première. Combien y a-t-il de questions en tout dans cet examen?
Étapes
Résolution du problème
1) Identifie l’inconnue ou les inconnues.
Quel est l’objet recherché? _________________________________
Identifie l’inconnue ou les inconnues.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
2) Écris l’équation appropriée.
Construis une équation mettant en relation l’inconnue et les données du problème. _________________________________
3) Résous cette équation.
Résous l’équation posée.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
4) À partir de la mise en situation,
donne une réponse complète.
Quelle est la valeur de l’objet recherché ? Réponds par une phrase complète. _________________________________
_________________________________
Vision 7/Section 7.1/SAVOIRS 125
Exemple 5 Une mère a 40 ans et sa fille, 16 ans. Il y a combien d’années que l’âge de la mère était trois fois l’âge de sa fille?
Étapes
Résolution du problème
1) Identifie l’inconnue ou les inconnues.
Quel est l’objet recherché? _________________________________
Identifie l’inconnue ou les inconnues.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
2) Écris l’équation appropriée.
Construis une équation mettant en relation l’inconnue et les données du problème. _________________________________
3) Résous cette équation.
Résous l’équation posée.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
4) À partir de la mise en situation,
donne une réponse complète.
Quelle est la valeur de l’objet recherché ? Réponds par une phrase complète. _________________________________
_________________________________
Vision 7/Section 7.1/SAVOIRS 126
Exemple 6 L’âge actuel de Stéphane est sept fois celui de Robert. Dans six ans, l’âge de Stéphane sera cinq fois celui de Robert. Trouve l’âge actuel de chacun.
Étapes
Résolution du problème
1) Identifie l’inconnue ou les inconnues.
Quel est l’objet recherché? _________________________________
Identifie l’inconnue ou les inconnues.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
2) Écris l’équation appropriée.
Construis une équation mettant en relation l’inconnue et les données du problème. _________________________________
3) Résous cette équation.
Résous l’équation posée.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
4) À partir de la mise en situation,
donne une réponse complète.
Quelle est la valeur de l’objet recherché ? Réponds par une phrase complète. _________________________________
_________________________________
Vision 7/Section 7.1/SAVOIRS 127
LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS Un système d’équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations.
Exemple 7
2
64
xy
xy ces 2 équations forment un système d’équations
Exemple 8
9
223
yx
xy ces 2 équations forment un système d’équations
Exemple 9
a) Quelles sont les variables contenues dans le texte? *** Identifie respectivement la
variable indépendante et celle qui est dépendante à l’aide des lettres x et y.
1.
2.
b) Quels sont les éléments clé du texte (éléments mathématico-importants!)?
1.
2.
3.
(4. )
c) Détermine une règle (équation) permettant de calculer la somme totale déboursée
par un joueur non membre selon le temps de location d’un terrain de tennis.
http://www.clg-mistral-portdebouc.ac-aix-marseille.fr/webphp/img/balle_tennis.jpg
Pour réserver un terrain de tennis à un club public, il en coûte 20$ de l’heure à un
joueur non membre contre 10$ de l’heure pour un joueur membre du club. Il faut
savoir que la carte de membre coûte 50$ pour l’année.
*4 est sous-entendu!
Vision 7/Section 7.1/SAVOIRS 128
d) Détermine une règle (équation) permettant de calculer la somme totale déboursée
par un joueur membre selon le temps de location d’un terrain de tennis.
e) Écris le système d’équations qui représente mathématiquement le texte que tu
viens de lire.
Équation 1 :
Équation 2 :
f) Représente dans le plan cartésien ci-dessous, chaque équation que tu as obtenue.
g) Après combien d’heures de location, les montants totaux déboursés par un joueur
membre et un joueur non membre seront les mêmes?
On remarque donc qu’un système d’équations peut être « camouflé » à l’intérieur d’un texte.
Le point de rencontre des deux droites est appelé le .
La solution de ce système d’équations est donc : x = et y =
Vision 7/Section 7.1/SAVOIRS 129
h) Pour 10 heures de location d’un terrain, combien en coûtera-t-il de plus pour un
non membre que pour un membre?
i) Pour 13 heures de location d’un terrain, combien en coûtera-t-il de plus pour un
non membre que pour un membre?
RÉSOLUTION GRAPHIQUE DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS
Exemple 10
David est le nouveau propriétaire d’une maison qui nécessite plusieurs réparations. Il
doit entre autre effectuer des travaux de plomberie de grandes envergures. Comme il
n’a pas l’habileté pour le faire lui-même, il hésite entre deux compagnies qu’il a
trouvées. La compagnie Des gars d’eau demande un tarif horaire de 35$ et un coût
fixe de déplacement de 20$, tandis que la compagnie Allô plomberie demande quant
à elle 50$ de frais de déplacement et un tarif horaire de 30$. Pour quel temps de
travail du plombier le prix sera-t-il identique pour ces deux compagnies?
Ce qu’il faut faire : 1) Tracer le correspondant à chaque situation.
2) Trouver le sur le graphique.
Réponse : Après heures de travail, le coût sera identique pour les 2 compagnies et il sera de .
Vision 7/Section 7.1/SAVOIRS 130
CONSTRUCTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS
Pour résoudre un problème, il est parfois fort avantageux d’avoir recours à un
système d’équations. On procède alors comme suit :
On débute par une attentive du problème!
On de manière claire et complète les
variables!
On cherche dans le texte les éléments mettant en les
variables.
On écrit le
On peut toujours tracer le graphique illustrant un système d’équations, mais ce n’est jamais nécessaire de le faire pour résoudre le système d’équations.
Source http://www.vienne-vehicules-utilitaires.com/images/postit.jpg
On peut représenter le système dans le
.
On peut utiliser des méthodes de résolution.
Section 7.2 …
Résolution du système
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 131
SECTION 7.1 – MISE AU POINT
1) Résous chacune des équations suivantes. Donne une réponse exacte.
a) 4
1
2
3b
4
3
b) 2(c - 4) = (2c – 5) (c + 3)
c) 5
2x3 =
3
2
d) ( )y ( )y – = 4
y –
e) x
- 4 ( )x = ( )x
f) -5
a( )a ab +
4
6
3
7 22 a
a ( )ab
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 132
2) Résous chacune des équations suivantes. Donne une réponse exacte.
a) (2a 8) (-a 4) = 5
b) 5
x3
15
x2 = 14
c) -(n 7) 3(n + 4) = -17 d) 11 = (5x 1) 4x 2(x 2)
e)
y
y
– (y – 3)
y
=
y
f) 2(-a + 3) - 2
3(-4a – 6) = -9
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 133
3) Résous chacune des équations suivantes. Donne une réponse exacte.
a) z
- z
=
b) y – y
= 10
)25( 2y
c) u –
- = u
- u –
d) (3t 5) = 2t + 5(1 9t)
e) 2(b - 3) + 1 = 5b - (b +1)
f) 2(3x + 5)(x – 3) = -2(3x – 1) – (x + 1)2
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 134
4) Résous chacune des équations suivantes. Donne une réponse exacte.
a) 5
x =
7
2x
b) 5
7x3 =
2
x4
c) 5
3y2 =
2
1y
d) 16 + x = 3
x52
e) 34
6x
5
x2
f) 3
5x24
2
x
g) 2
1y5
3
y2
h) 2
1)2x(
6
1
2
x
3
)3x(4
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 135
5) Résous chacune des équations suivantes. Donne une réponse exacte.
a) x73
1x2x
2
5x3
b) y + – y
=
y + y
–
c) )4x2(3
1)1x3(
2
5)1x(
2
1)1x(
4
3
d) 2
1
5
1a25
2
1
3
2aa
e) )b32(4
1)1b(
3
2
2
b
6
1
2
5bb
3
4
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 136
6) La façade d'une maison présente le même nombre de fenêtres aux divers étages. Au premier, au deuxième et au troisième, chaque fenêtre a 12 carreaux; au quatrième étage, chaque fenêtre en a 8 seulement. On compte en tout 264 carreaux. Combien y a-t-il de fenêtres à chaque étage?
7) Partager 340$ entre trois personnes, de manière que la première ait 10$ de moins que la deuxième, et celle-ci 40$ de plus que la troisième.
8) La somme de trois nombres est 299. Il faudrait ajouter 20 au premier nombre pour
atteindre le deuxième; quant au troisième, il surpasse le deuxième de 10. Quels sont ces trois nombres?
9) Trouve trois nombres consécutifs tels que le tiers du premier, plus le quadruple du
second desquels on retranche la moitié du troisième donne 26.
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 137
10) Quatre personnes se partagent 1 460$. Pierre reçoit le quart de la part de Paul. Jacques reçoit le double de la part de Paul et Luc reçoit le cinquième de la part de Jacques. Calcule la part de chacun.
11) Si dans une classe on met 5 élèves par rangée, 4 n'ont pas de place; si l'on en met
6 par rangée, il reste 2 places. Combien y a-t-il de rangées et d'élèves?
12) Cinq personnes se sont partagé 8 591$. Trouve la part de chacune, sachant que
la deuxième a reçu les trois quarts de ce qu’a reçu la première, la troisième, les
trois quarts de ce qu’a reçu la seconde, et ainsi de suite.
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 138
13) Traduire chacune des situations décrites par un système d’équations.
a) La somme de 2 nombres est de 54 et leur différence est 30.
x : _____________________________________________________
y : _____________________________________________________
Le système est :
______________________________________________________
b) Si tu additionnes le premier de 2 nombres au double du second, la somme est
21; mais quand tu additionnes le second nombre au double du premier, le
résultat est 18.
x : ____________________________________________________
y : ____________________________________________________
Le système est :
______________________________________________________
c) Il y a 6 ans, Christophe avait 4 fois l’âge de Sylvie. Dans 4 ans, il n’aura plus
que 2 fois son âge.
x : ____________________________________________________
y : ____________________________________________________
Le système est :
______________________________________________________
d) Deux nombres sont dans le rapport 6
5. Leur somme est de 88.
x : ____________________________________________________
y : ____________________________________________________
Le système est :
______________________________________________________
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 139
e) Il y a 4 ans, Normand avait 4 fois l’âge de Bruno; dans 2 ans, Il n’aura plus que
3 fois son âge.
x : ____________________________________________________
y : ____________________________________________________
Le système est :
______________________________________________________
f) Pour 10$, Sophie achète 14 poires et 4 jus de fruits ou encore, 8 poires et 8
jus de fruits.
x : ____________________________________________________
y : ____________________________________________________
Le système est :
______________________________________________________
g) Une somme d’argent s’élève à 68,70$ et est constituée de pièces de 25 cents
et de pièces de 10 cents. On compte en tout 300 pièces de monnaie.
x : ____________________________________________________
y : ____________________________________________________
Le système est :
______________________________________________________
h) Cinq tables et 8 chaises coûtent 575$ alors que trois tables et 5 chaises
coûtent 350$.
x : ____________________________________________________
y : ____________________________________________________
Le système est :
______________________________________________________
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 140
i) Six disques et quatre DVD coûtent 116$ tandis que onze disques et 4 DVD
coûtent 183$.
x : ____________________________________________________
y : ____________________________________________________
Le système est :
______________________________________________________
j) Une somme de 24$ est constituée de 135 pièces de monnaie, les unes de 25
cents et les autres de 10 cents.
x : ____________________________________________________
y : ____________________________________________________
Le système est :
______________________________________________________
14) Détermine graphiquement le couple solution du système d’équations ci-dessous.
Réponse : Le couple solution est : ( , )
Vision 7/Section 7.1/MISE AU POINT 141
15) Détermine graphiquement le couple solution des systèmes d’équations suivants.
a) y = 22
1x et y = 4
2
1 x
Réponse : Le couple solution est :
b) y = - x et y = 23
1x
Réponse : Le couple solution est :
Vision 7/Section 7.2/SAVOIRS 142
SECTION 7.2 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 145.
RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS
La section 7.1 de ce document nous a permis de résoudre, à l’aide de la
représentation graphique des droites, des systèmes d’équations.
Par contre, il arrive souvent que des systèmes d’équations ont malheureusement des
solutions qui, d’un point de vue graphique, sont difficilement identifiables.
En voici un exemple.
Pour être capable de résoudre avec précision un tel
système, nous étudierons deux méthodes algébriques
fiables et simples d’application.
(? , ?)
Vision 7/Section 7.2/SAVOIRS 143
Première méthode : La comparaison
Exemple 1
Dans un immeuble, un ascenseur situé au rez-de-chaussée se met en marche
et commence son ascension. Au même moment, un deuxième ascenseur
situé au 7e étage se met également en marche et entame une descente.
Le système d’équations suivant illustre la progression de chaque ascenseur,
où x représente le temps écoulé en secondes depuis leur mise en marche
et y, l’altitude (en étage) à laquelle se situe chaque ascenseur.
y = x7
5 y = 7
7
9 x
a) Après combien de temps se rencontreront-ils?
Une chose est certaine : lorsqu’ils se rencontreront, ils seront à la
(au même ) ! Les 2 « y » seront les
mêmes alors nous pouvons poser l’équation suivante :
x7
5 = 7
7
9 x
Résolution de l’équation
Réponse : Ils se rencontreront après .
b) Où se trouveront-ils lorsqu’ils se rencontreront?
A
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Feature_elevators.svg/400px-Feature_elevators.svg.png
Vision 7/Section 7.2/SAVOIRS 144
c) La solution de ce système d’équations est donc ___________
d) Représente cette situation dans le plan cartésien suivant.
Vérifie si le couple solution qui apparaît dans le graphique correspond bien à
ce que tu as trouvé algébriquement.
En résumé…
Pour résoudre un système d’équations par la méthode de COMPARAISON
Isoler la même variable dans les 2 équations.
On pose une équation avec les 2 expressions algébriques contenant la
variable qui n’est pas isolée.
On résout l’équation obtenue.
On remplace la valeur obtenue dans l’une des équations de départ afin
de déterminer la valeur de l’autre variable.
Vérifier sa solution en remplaçant le couple trouvé dans les
2 équations de départ
Vision 7/Section 7.2/SAVOIRS 145
Deuxième méthode : La substitution
Cette méthode de résolution est toute aussi simple et efficace que la méthode de
comparaison.On pense surtout à l’utiliser lorsqu’une variable est déjà isolée
dans une des 2 équations.
Exemple 2
Audrey et Joëlle accumulent des magazines de mode. Ensemble, elles possèdent
200 magazines et Audrey possède 110 magazines de plus que la moitié du nombre
de magazines de Joëlle. Désignons par x le nombre de magazines que possède
Audrey et y le nombre de magazines de Joëlle. Détermine le nombre de magazines
détenu par chacune d’elles.
Voici le système d’équations représentant cette situation :
x + y = 200
x = 2
1y + 110
Nous connaissons une expression algébrique pour x, il s’agit d’aller
cette variable par sa valeur algébrique dans l’autre équation.
Ce qui nous permet d’écrire :
Résolution de l’équation :
Solutions : x = _____________ et y =
Réponse : Audrey possède donc magazines et Joëlle en possède .
B
x + y = 200
x = 2
1 y + 110
Vision 7/Section 7.2/SAVOIRS 146
En résumé…
CHOIX DE LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS
Quelle méthode est la plus efficace ?
1. Si la même variable est déjà isolée dans les 2 équations, la méthode la plus
efficace est la méthode de
2. Si une variable est déjà isolée dans une des équations, la méthode la plus
efficace est la méthode de
3. Si aucune variable n’est isolée dans l’une ou l’autre des équations, il n’y a pas
de méthode plus avantageuse!
Pour résoudre un système d’équations par la méthode de SUBSTITUTION
Isoler une variable dans une des équations.
Remplacer, dans l’autre équation, cette variable par l’expression
algébrique trouvée à l’étape 1.
Résoudre l’équation à une variable ainsi obtenue.
On remplace la valeur obtenue dans l’une des équations de départ
afin de déterminer la valeur de l’autre variable.
Vérifier sa solution en remplaçant le couple trouvé dans les 2
équations de départ.
Bien que les méthodes de comparaison et de substitution peuvent toujours être
appliquées (peu importe le système d’équations donné), il arrive souvent qu’une
méthode soit plus appropriée ou plus efficace que l’autre pour résoudre
rapidement un système d’équations.
Vision 7/Section 7.2/MISE AU POINT 147
SECTION 7.2 – MISE AU POINT
1) Résous les systèmes d’équations suivants par la méthode de ton choix.
a) 4
134
xy
xy b)
2
57
y
xy c)
12
8
yx
yx
d) xy
xy
4
32
e) 4
5
3
15
1
xy
xy f)
13
12
1
6
yx
yx
g) 32
43
xy
xy h)
25
32
xy
xy
i) 43
3
433
yx
yx
Vision 7/Section 7.2/MISE AU POINT 148
j) 1
62
xy
yx k)
93
13
y
xy l)
012
8
yx
yx
m) yx
xy
8
22
1
4
3
n)
22
1
522
yx
yx o)
12
8
yx
yx
p) 852
43
2
yx
xy
q)
3
2
5
632
3
yx
yx
r) 4
2
3
724
xy
yx
Vision 7/Section 7.2/MISE AU POINT 149
2) Résous les systèmes d’équations suivants par la méthode de ton choix.
a) 734
1052
yx
yx b)
224
332
yx
yx c)
1252
543
yx
yx
d) 422
1628
yx
yx e)
335
1132
yx
yx f)
82
1644
yx
yx
Vision 7/Section 7.2/MISE AU POINT 150
g) 432
543
yx
xy h)
725
725
yx
yx i)
426
673
yx
yx
j) 333
546
yx
yx k)
453
31464
yx
xyx l)
136332
653224
xyyx
yxyx
Vision 7/Section 7.2/MISE AU POINT 151
Résous les problèmes suivants à l’aide de la méthode de ton choix.
3. La somme de 2 nombres est de 54 et leur différence est 30. Quels sont ces 2
nombres ?
4. Si tu additionnes le premier de 2 nombres au double du second, la somme est 21.
De plus, quand tu additionnes le second nombre au double du premier, le résultat
est 18. Quels sont ces 2 nombres ?
5. Il y a 6 ans, Christophe avait 4 fois l’âge de Sylvie. Dans 4 ans, il n’aura plus que
2 fois son âge. Quel est l’âge actuel de chacun ?
Vision 7/Section 7.2/MISE AU POINT 152
6. Deux nombres sont dans le rapport 6
5. Leur somme est de 88. Quels sont ces
deux nombres ?
7. Il y a 4 ans, Normand avait 4 fois l’âge de Bruno; dans 2 ans, Il n’aura plus que 3
fois son âge. Quel âge auront-ils dans 6 ans ?
8. Pour 10$, Sophie achète 14 poires et 4 jus de fruits ou encore, 8 poires et 8 jus de
fruits. Trouve le prix d’une poire et celui d’un jus.
Vision 7/Section 7.2/MISE AU POINT 153
9. Une somme d’argent s’élève à 68,70$ et est constituée de pièces de 25 cents et
de pièces de 10 cents. Si on compte en tout 300 pièces de monnaie, combien y a-
t-il de pièces de monnaie de chaque sorte ?
10. Cinq tables et 8 chaises coûtent 575$ alors que trois tables et 5 chaises coûtent
350$. Détermine le coût d’une table et celui d’une chaise.
Vision 7/Section 7.2/MISE AU POINT 154
11. Six disques et quatre DVD coûtent 116$ tandis que onze disques et quatre DVD
coûtent 183$. Trouve le prix d’un disque et celui d’un DVD.
12. Une somme de 24$ est constituée de 135 pièces de monnaie, les unes de 25
cents et les autres de 10 cents. Trouve le nombre de pièces de 10 cents et de 25
cents.
13. Un père a 44 ans et son fils 20. Combien y a-t-il de temps que l'âge du père était trois fois celui du fils?
Vision 7/Section 7.2/MISE AU POINT 155
14. Un maître propose 16 problèmes à un élève et lui promet 10 points pour chacun des problèmes qu'il réussira, à condition que l'élève lui remette 5 points pour chacun de ceux qu'il ne réussira pas; or, il arrive que le maître doit 70 points à l'élève. Combien celui-ci a-t-il réussi de problèmes?
15. Une mère a 30 ans et son fils a 5 ans. Dans combien d'années l'âge de la mère
sera-t-il le double de celui de l'enfant?
16. Dans la rue, il y a des automobiles et des bicyclettes. Il y en a 20 en tout. Si le total des roues est de 50, quel est le nombre d'automobiles et de bicyclettes?
17. Il y a 5 ans, Simon avait 5 fois l’âge de Lyson. Aujourd’hui il a 3 fois l’âge de
Lyson. Quel âge aura-t-il dans 8 ans ?
Vision 7/Section 7.2/MISE AU POINT 156
18. Partager 20 en deux parties telles que la somme de 5 fois l'une et de 7 fois l'autre soit 124.
19. Caroline a 9$ en pièces de 10 cents et de 5 cents. Trouve le nombre de pièces de chaque sorte, sachant qu'il y a 100 pièces en tout.
20. Une voiture roule à 30 km/h. Une moto quitte le même endroit une demi-heure plus tard et roule, dans la même direction, à 40 km/h. Au bout de combien de temps la moto aura-t-elle rejoint la voiture ?
Vision 7/Section 7.3/SAVOIRS 157
Deuxième quartile : Q2 Premier quartile : Q1
Q1 = 2
4745
Q1 = 46
Troisième quartile : Q3
Q3 = 2
5755
Q3 = 56
SECTION 7.3 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 156 et
Manuel POINT DE VUE mathématique, volume 2, éditions HRW, pages 720-721.
LES QUARTILES
Les quartiles sont des valeurs qui partagent une distribution statistique ordonnée en
quatre sous-ensembles comprenant le même nombre de données. Chacun de ces
sous-ensembles est appelé quart.
On note généralement le premier quartile par Q1, le deuxième par Q2 et le troisième
par Q3.
Exemple 1
Voici quelques données recueillies lors d’un sondage.
43 45 45 47 49 51 51 54 55 55 57 58 59
Remarques :
Il faut d’abord s’assurer que les données sont placées en ordre croissant.
Le deuxième quartile correspond à la médiane de la distribution.
La médiane des données qui précèdent Q2 correspond à Q1.
La médiane des données qui suivent Q2 correspond à Q3.
Chaque quart contient le même nombre de données. Il y a 3 données par quart dans
cet exemple.
Il faut faire la distinction entre le quartile et le quart!
Il y a 3 quartiles (3 séparateurs), mais bien 4 quarts!
La médiane est la
valeur au centre de la
distribution.
Vision 7/Section 7.3/SAVOIRS 158
Deuxième quartile Q2 (qui est la )
Premier quartile Q1
Q1 = 2
6157
Q1 = 59
Troisième quartile Q3
Q3 = 2
8985
Q3 = 87
L’étendue interquartile, tout comme l’étendue, est une autre mesure de dispersion
qui correspond à la différence entre le troisième quartile et le premier quartile.
Dans cet exemple, l’étendue interquartile est: .
LE DIAGRAMME DE QUARTILES
ou
LE DIAGRAMME À MOUSTACHES!
Le diagramme de quartiles nous donne de l’information sur la façon dont les données
de la distribution sont sont réparties, concentrées. Pour arriver à tracer ce
diagramme, nous avons besoin de 5 valeurs : la valeur minimale, la valeur maximale
et les 3 quartiles de la distribution. Voici les 3 étapes pour tracer ce diagramme.
Exemple 2
Voici une distribution de notes en % : 47, 57, 61, 72, 75, 82, 85, 89, 92
Étape 1 : Calculer les quartiles.
Il faut s’assurer que les données soient placées en ordre croissant.
47, 57, 61, 72, 75, 82, 85, 89, 92
http://media.canada.com/canwest/90/moustache_competition090107.jpg
Comme dans la vie de tous les
jours, la moustache se porte
fièrement en mathématiques!
Vision 7/Section 7.3/SAVOIRS 159
Étape 2 : Construire un axe de nombre.
On peut déterminer les graduations de l’axe en considérant l’étendue de la
distribution. On place habituellement entre 10 et 20 graduations.
Rappel : L’étendue d’une distribution correspond à l’écart entre la plus grande et la
plus petite donnée.
Ici, l’étendue est de : .
Si on utilise 12 graduations avec un pas de 4, on obtient 48.
Étape 3 : Construire le diagramme de quartiles au-dessus de l’axe de nombres.
a) Positionner les 5 valeurs déterminées plus tôt sur l’axe de nombres : la valeur
minimale, la valeur maximale et les 3 quartiles de la distribution. Au-dessus de
l’axe, tracer des traits verticaux vis-à-vis ces 5 valeurs.
Valeurs : xmin = 47 Q1 = 59 Md = Q2 = 75 Q3 = 87 xmax = 92
b) Toujours au-dessus de l’axe, tracer un rectangle dont le côté gauche et le côté
droit correspondent respectivement aux traits verticaux de Q1 et Q3.
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94
xmin Q1 Md = Q2 Q3 xmax
xmin Q1 Md = Q2 Q3 xmax
Vision 7/Section 7.3/SAVOIRS 160
c) Tracer un segment horizontal (une tige) reliant les deux traits verticaux à gauche
et un autre segment horizontal reliant les deux traits verticaux à droite.
Dans un diagramme de quartiles :
Les tiges de gauche et de droite représentent chacune un intervalle
comprenant environ des données de la distribution.
Le rectangle au centre représente un intervalle comprenant environ des
données de la distribution. Quelle définition pourrait-on associer à la longueur
de ce rectangle?
Cette année, nous avons déjà parlé de données extrêmes (ou données
aberrantes) qui sont fortement éloignées des autres. On considère qu’une donnée
est aberrante si une des tiges du diagramme est au moins une fois et demie (1,5)
plus grande que la longueur du rectangle (que l’étendue interquartile)..
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94
xmin Q1 Q2 Q3 xmaxMd = Q2
Vision 7/Section 7.3/SAVOIRS 161
Exemple 3
Voici les résultats à un examen de mathématique dans une classe de 36 élèves.
Trace le diagramme de quartiles correspondant à cette distribution.
Étape 1 :
Étape 2 :
Étape 3 :
Valeurs :
25 50 55 63 63 73 74 74 76 78 80 80 80 83 84 85 85 85 89 90 90 90 90 93 94 95 95 95 95 99 100 100 100 100 100 100
13 14 1211109876 5 4 3 2 1 0 15 16 17
Vision 7/Section 7.3/MISE AU POINT 162
SECTION 7.3 – MISE AU POINT
1) Un midi, à la cantine de l’école, Julien demande aux personnes qu’il rencontre combien d’argent elles ont en poche. Voici les résultats obtenus (en dollars) :
10 12 5 3 6,50 8 10 7 5 10 10 2,50 0 5 4 7,50 20 21 16 14
12,50 18 15 45 10 10 5,50 4 9 0 Représente la situation par un diagramme de quartiles.
2) Le diagramme de quartiles suivant représente l’âge des différentes personnes qui se sont présentées dans un magasin de musique samedi dernier.
a) Quel est l’âge approximatif de l’aîné des clients ?
b) Quel est approximativement l’âge médian des clients de ce magasin ?
c) Quel est le pourcentage approximatif des gens qui sont âgés de 18 ans et plus ?
5040 60 2010 0 30
Vision 7/Section 7.3/MISE AU POINT 163
3) Voici l’indice d’effet de serre (en millions de tonnes métriques) pour trois sortes de gaz selon les pays étudiés.
Pays Dioxyde de
carbone Méthane
Chlorofluorocarbones (CFC)
États-Unis 540 130 350 Brésil 560 28 16 Chine 260 90 32 Inde 130 98 1
Allemagne 118 10 95 Japon 110 12 100
Royaume-Uni 69 14 71 Indonésie 110 19 9
France 41 13 69 Italie 45 6 71
Canada 48 33 36 Mexique 49 20 9 Myanmar 68 9 0 Pologne 56 7 13 Espagne 21 4 48
Source : World Resources Institute, World Resources 1990-1992, Oxford University Press, New York, 1990.
Voici un diagramme de quartiles qui représente chacune des distributions ci-dessus sur le même axe.
Dioxyde de carbone : Méthane : CFC : Q1 = 48 Q1 = 9 Q1 = 9 Médiane = 69 Médiane = 14 Médiane = 36 Q3 = 130 Q3 = 33 Q3 = 71 Minimum = 21 Minimum = 4 Minimum = 0 Maximum = 130 Maximum = 33 Maximum = 100
a) Commente la répartition des indices d’effet de serre pour le méthane par rapport à la répartition des indices pour le dioxyde de carbone.
100 50 0 150 200 300250 350 400 450 500 550
* * *
*
*CFC
Méthane
Dioxyde de carbone
* *
Vision 7/Section 7.3/MISE AU POINT 164
b) À l’aide des diagrammes de quartiles et du tableau de données, situe la position du Canada par rapport aux autres pays.
4) Les diagrammes de quartiles ci-dessous représentent le nombre moyen de jours pendant lesquels on a pu observer divers phénomènes atmosphériques. Ces données ont été recueillies à différentes stations du Canada au cours d’une année.
a) Compare la répartition de la première moitié des données associées à la foudre avec celle de la deuxième moitié.
b) À partir de la situation, interprète les données éloignées dans les cas du
brouillard et du verglas.
c) Quelle est la particularité du diagramme de quartiles associé à la neige ?
20 10 0 30 40 6050 70 80 90 100 110
Foudre
*Verglas
Neige
*Brouillard *
Vision 7/Section 7.3/MISE AU POINT 165
d) Compare les différents phénomènes atmosphériques selon le nombre médian de jours où ils se produisent.
5) Compare les répartitions des données associées à chacun de ces diagrammes de quartiles.
6) Josianne a construit le diagramme de quartiles ci-dessous : la médiane est au
milieu du premier et du troisième quartile et les tiges de chaque côté sont de la même longueur.
a) Dans une telle situation, peut-elle affirmer que la moyenne est toujours égale à la médiane ?
b) Donne une distribution de 20 données entières et dont le diagramme de
quartiles correspond à celui de Josianne qui te permettrait de calculer la moyenne la plus élevée?
Quelle est la valeur de cette moyenne?
35 30 40 2015 10 25 45
3530 40 2015 10 25 45
Diagramme B
Diagramme A
7065 75 55 50 45 60 80
MATHÉMATIQUE 1re année du 2e cycle du secondaire
VISI N Des expérimentations pour quantifier
des chances
VISION 8
Collège Regina Assumpta
8
Vision 8/Section 8.1/SAVOIRS 168
SECTION 8.1 – SAVOIRS (RAPPEL)
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 184 à 186.
EXPÉRIENCE ALÉATOIRE
Pour qu’une expérience soit aléatoire, elle doit répondre aux deux conditions suivantes : Son résultat relève uniquement du hasard, il est donc impossible de prédire le
résultat avec certitude.
On peut décrire, avant le début de l’expérience, l’ensemble de tous les
résultats possibles de l’expérience en question.
UNIVERS DES RÉSULTATS POSSIBLES
L’ensemble de tous les résultats possibles est désigné par qui se lit oméga .
Notation : Les résultats possibles sont séparés d’une virgule et inscrits entre { }.
ÉVÉNEMENT
Un événement est un sous-ensemble de l’univers des possibles. Notation : Un événement est noté entre { }.
ÉVÉNEMENT ÉLÉMENTAIRE
Un événement est dit élémentaire s’il est composé d’ un seul résultat de l’univers
des possibles.
Si on regroupe des éléments de , on forme un sous-ensemble de .
Vision 8/Section 8.1/SAVOIRS 169
Exemple 1
Complète le tableau suivant :
Lancer d’une pièce de
monnaie
Lancer d’un dé
Décris l’ensemble de tous les résultats
possibles ().
Écris 2 exemples d’événement.
Donne 2 exemples d’événement élémentaire.
PROBABILITÉ THÉORIQUE
La probabilité d’un événement est une valeur indiquant la possibilité que l’événement se produise. La probabilité P d'un événement A est égale au rapport du nombre de résultats favorables au nombre de résultats possibles :
N.B. La probabilité d’un événement est un nombre compris entre et .
P(A) =
L’ARBRE DES PROBABILITES EST IDENTIQUE AU DIAGRAMME EN ARBRE EXCEPTE QU’A CHAQUE
ETAPE, ON INSCRIT LA PROBABILITE DE CHACUN DES RESULTATS SUR LA BRANCHE
CORRESPONDANTE A CE RESULTAT.
Vision 8/Section 8.1/SAVOIRS 170
PROBABILITÉ FRÉQUENTIELLE
La probabilité fréquentielle d’un événement est le nombre obtenu à la suite d’une
expérimentation.
N.B. La probabilité fréquentielle est souvent utilisée lorsque la probabilité théorique
est impossible à calculer.
Quelle est la probabilité théorique d’obtenir face en lançant une pièce de monnaie ?
___
Si tu lances une pièce de monnaie deux fois, es-tu certain d’obtenir une fois face et
une fois pile ?
Si tu lances une pièce de monnaie trois cents fois, as-tu une idée du nombre de fois
que tu obtiendras face ?
Exemple 2
Tristan a écrit les lettres du mot "vacances" sur des cartons. Il a déposé ces cartons
dans une enveloppe. Son amie Joséphine prend une lettre au hasard.
a) Quel est l'ensemble des résultats possibles?
b) Calcule les probabilités suivantes:
1) P(e) =
2) P(a) =
3) P(n) =
4) P(c) =
5) P(v ou a) =
Probabilité fréquentielle =
Plus les essais sont nombreux, plus la probabilité fréquentielle se rapproche de la probabilité théorique !
Vision 8/Section 8.1/SAVOIRS 171
Exemple 3
Dans une expérience aléatoire, on lance successivement deux pièces de monnaie.
Construis l’arbre des probabilités de cette expérience aléatoire. Prends bien soin d'écrire tous les résultats possibles aux terminaisons des branches !
Vision 8/Section 8.1/MISE AU POINT 172
SECTION 8.1 – MISE AU POINT
1) On tire une carte d'un jeu de cartes à jouer (sans les jokers). Quelle est la
probabilité de:
a) tirer une figure ?
b) ne pas tirer une figure ?
2) Mathieu aime la lecture. Il se rend à la bibliothèque et doit choisir un livre parmi
3 récits d'aventures (a), 2 récits de science-fiction (f) et un roman policier (p).
a) Quel est l'ensemble des résultats possibles ?
b) Combien d'événements élémentaires peut-on former à partir de l'?
c) Énumère les événements élémentaires.
d) Calcule les probabilités suivantes.
1) P (p) = 3) P (a, f) =
2) P (a, p, f) = 4) P (a) =
3) Dans une expérience aléatoire, on lance une pièce de monnaie et on tire une
lettre du mot AVRIL.
a) Construis l’arbre des probabilités de cette expérience aléatoire.
b) Quelle est la probabilité de l'événement élémentaire {(P, I)}? Avec démarche.
Vision 8/Section 8.2/SAVOIRS 173
SECTION 8.2 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 194 -195.
EXPÉRIENCE ALÉATOIRE AVEC ORDRE OU SANS ORDRE
Lorsque l’on effectue une expérience aléatoire, on peut décider de tenir compte ou non de l’ordre dans lequel on tire nos résultats. Par exemple, si l’on demande de tirer au hasard sans remise trois chiffres parmi les chiffres 1, 2 et 3 dans une enveloppe, les résultats possibles sont : (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) et (3, 2, 1) en tenant compte de l’ordre, alors que si on ne tient pas compte de l’ordre, la seule possibilité est (1, 2, 3).
ARRANGEMENT, PERMUTATION ET COMBINAISON Exemple 1 Pour la prochaine année scolaire, tu dois choisir une activité parascolaire parmi les 4 activités qui te sont proposées :
A) Aquaforme B) Badminton C) Curling D) Décathlon (initiation au décathlon)
Tu dois inscrire 3 choix dans l’ordre de préférence. Si tu inscris B, C et D, c’est que tu préfères Badminton à Curling, et Curling à Décathlon. Par contre, si tu inscris C, B et D, c’est que tu préfères Curling à Badminton, et Badminton à Décathlon. Donc l’ordre dans lequel tu inscris tes choix est très important. Combien de choix différents de 3 activités s’offrent à toi?
Généralement, l’univers des possibles comprend moins de résultats lorsque l’on ne tient pas compte de l’ordre.
Cette situation correspond à un(e)
Ici, on tient compte de l’ordre.
Vision 8/Section 8.2/SAVOIRS 174
Sans faire l’arbre des résultats, sans écrire toutes les possibilités, on
aurait pu trouver la réponse avec le calcul suivant :
Il y a : - façons de choisir la première activité
- façons de choisir la 2e activité
- façons de choisir la 3e activité
d’où le calcul :
1er choix 2e choix 3e choix Résultats
C
D
B
D
B
C
C
D
A
D
A
C
B
D
A
D
A
B
B
C
A
C
A
B
B
D
C
A
C
B
A
D
B
A
D
C
A
B
C
D
(A, B, C)
(A, B, D)
(A, C, B)
(A, C, D)
(A, D, B)
(A, D, C)
(D, A, B)
(D, A, C)
(D, B, A)
(D, B, C)
(D, C, A)
(D, C, B)
(C, A, B)
(C, A, D)
(C, B, A)
(C, B, D)
(C, D, A)
(C, D, B)
(B, A, C)
(B, A, D)
(B, C, A)
(B, C, D)
(B, D, A)
(B, D, C)
Nous devons choisir 3 activités parmi les 4
offertes A, B, C et D en tenant compte de
l’ordre.
=
Vision 8/Section 8.2/SAVOIRS 175
Exemple 2 Le (la) président(e) de ton groupe organise un dîner pizza et il (elle) a besoin de 3 personnes pour aller chercher les pizzas lorsqu’elles arriveront. Il y a 4 volontaires dans ton groupe pour aller chercher ces pizzas : Antoine (A), Brigitte (B), Christian (C) et Diane (D). Ici, choisir B, C et D est le même résultat que de choisir C, B et D. Combien y a-t-il de façons différentes de choisir 3 élèves parmi les 4 volontaires? Voici un rappel des 24 possibilités si on tenait compte de l’ordre : Voici nos 24 résultats si on tenait compte de l’ordre. On remarque bien qu’il y 6 résultats qui utilisent les mêmes lettres pour chacun des trios.
(A, B, C) (A, B, D) (A, C, B) (A, C, D) (A, D, B) (A, D, C)
(C, A, B) (C, A, D) (C, B, A) (C, B, D) (C, D, A) (C, D, B)
(D, A, B) (D, A, C) (D, B, A) (D, B, C) (D, C, A) (D, C, B)
(B, A, C) (B, A, D) (B, C, A) (B, C, D) (B, D, A) (B, D, C)
1er choix 2e choix 3e choix RésultatsNous devons choisir 3 élèves
parmi les 4 volontaires A, B, C
et D en tenant compte de l’ordre.
CDBDBC
CDADAC
BDADABBCACAB
B
D
C
A
C
B
A
D
B
A
D
C
A
B
C
D
(A, B, C)(A, B, D)(A, C, B)(A, C, D)(A, D, B)(A, D, C)
(D, A, B)(D, A, C)(D, B, A)(D, B, C)(D, C, A)(D, C, B)
(C, A, B)(C, A, D)(C, B, A)(C, B, D)(C, D, A)(C, D, B)
(B, A, C)(B, A, D)(B, C, A)(B, C, D)(B, D, A)(B, D, C)
Cette situation correspond à un(e)______________
Ici, on NE tient PAS compte de l’ordre.
Vision 8/Section 8.2/SAVOIRS 176
On pourrait réorganiser ces 24 éléments par trios que l’on peut former avec des personnes (lettres) différentes: Réponse : Il y a donc seulement façons différentes de former des trios :
(A, B, C), (A, B, D), (A, C, D) et (B, C, D) Sans faire l’arbre des résultats, sans écrire tous les résultats, on aurait pu quand même trouver ces résultats. Si Antoine (A), Brigitte (B) et Christian (C) sont choisis pour aller chercher les pizzas, combien y a-t-il de façons de choisir ces 3 élèves? Donc, pour calculer le nombre de résultats sans tenir compte de l’ordre :
46
24
123
234
ordreldecomptetenantenrésultatunécriredfaçonsdeNombre
tsarrangemendNombrenscombinaisodeNombre
''
'
Si on ne tient pas compte de l’ordre, il n’y aura que 4 résultats différents :
(A, B, C), (A, B, D), (A, C, D) et (B, C, D)
3 2 1 = 6
1er choix 3e choix 2e choix Résultats
B
C
A
C
A
B
A
C
B
C
C
B
B
A
A
(A, B, C)
(A, C, B)
(C, A, B)
(C, B, A)
(B, A, C)
(B, C, A)
(A, C, D)
(A, D, C)
(C, A, D)
(C, D, A)
(D, A, C)
(D, C, A)
(A, B, C)
(A, C, B)
(C, A, B)
(C, B, A)
(B, A, C)
(B, C, A)
(A, B, D)
(A, D, B)
(D, A, B)
(D, B, A)
(B, A, D)
(B, D, A)
(C, B, D)
(C, D, B)
(D, B, C)
(D, C, B)
(B, C, D)
(B, D, C)
A, B et C A, B et D B, C et D A, C et D
Vision 8/Section 8.2/SAVOIRS 177
Exemple 3 Dans un groupe de 5e secondaire, on décide de former un petit comité de deux élèves pour représenter ces derniers auprès de la direction. Les six candidats retenus sont Annie, Benoît, Christine, Denis, Éloïse et Fabrice.
a) S’il est décidé que dans les 2 élèves choisis, un seul peut rencontrer la direction et qu’il faut donc nommer un président et un vice-président (en cas d’absence du président), combien de paires d’élèves peut-on former parmi ces 6 élèves ?
Voyons toutes les possibilités : (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (A, F) et (B, A), (C, A), (D, A), (E, A), (F, A) (B, C), (B, D), (B, E), (B, F) et (C, B), (D, B), (E, B), (F, B) (C, D), (C, E), (C, F) et (D, C), (E, C), (F, C) (D, E), (D, F) et (E, D), (F, D) (E, F) et (F, E)
Il y aurait donc en tout possibilités différentes de paires d’élèves.
De quelle façon pourrait-on calculer ces possibilités sans les énumérer?
b) S’il est décidé que dans les 2 élèves choisis, ces deux derniers seront présents pour rencontrer la direction (sans poste de président et vice-président), combien de paires d’élèves peut-on former parmi ces 6 élèves ?
Voyons toutes les possibilités : (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (A, F)
et (B, C), (B, D), (B, E), (B, F) et (C, D), (C, E), (C, F) et (D, E), (D, F) et (E, F)
Il y aurait donc en tout possibilités différentes de paires d’élèves. De quelle façon pourrait-on calculer ces possibilités sans les énumérer?
Cette situation correspond à un(e)
Cette situation correspond à un(e)
Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.
Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.
Vision 8/Section 8.2/SAVOIRS 178
Exemple 4 Supposons que dans ce même groupe de 5e secondaire, on décide plutôt de former un petit comité de trois élèves pour représenter ces derniers auprès de la direction. Les six candidats retenus sont les mêmes : Annie, Benoît, Christine, Denis, Éloïse et Fabrice.
a) S’il est décidé que dans les 3 élèves choisis, un seul peut rencontrer la direction et qu’il faut donc nommer un président, un vice-président (en cas d’absence du président) et un assistant au vice-président (en cas d’absence du vice-président), combien de trios d’élèves peut-on former parmi ces 6 élèves ?
Voyons toutes les possibilités : (A, B, C), (A, B, D), (A, B, E), (A, B, F), (B, C, D), (B, C, E), (B, C, F), … (A, C, B), (A, D, B), (A, E, B), (A, F, B), … (B, A, C), (B, A, D), (B, A, E), (B, A, F), … (B, C, A), (B, D, A), (B, E, A), (B, F, A), … (C, A, B), (D, A, B), (E, A, B), (F, A, B), … (C, B, A), (D, B, A), (E, B, A), (F, B, A), …
Bien sûr, énumérer les possibilités devient une tâche longue et pénible. De quelle façon pourrait-on calculer ces possibilités sans les énumérer?
b) S’il est décidé que dans les 3 élèves choisis, ces trois derniers seront présents pour rencontrer la direction (sans poste de président, vice-président et assistant au vice-président), combien de trios d’élèves peut-on former parmi ces 6 élèves ?
c)
Crois-tu qu’il y aurait plus ou moins de possibilités que les ___ trouvées en a)? De quelle façon pourrait-on calculer le nombre de trios d’élèves possibles sans les énumérer?
Examinons les 6 arrangements formés par Annie, Benoît et Christine trouvés en a) : (A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A)
Cette situation correspond à un(e)
Cette situation correspond à un(e) . Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.
Ces 6 arrangements correspondent à UN SEUL trio d’élèves, étant donné qu’ils n’ont pas de postes attitrés (on ne tient pas compte de l’ordre).
Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.
Vision 8/Section 8.2/SAVOIRS 179
Sans avoir écrit les 6 arrangements, comment pourrait-on savoir qu’il y avait 6 arrangements formés des mêmes trois personnes? (Indice : construis le diagramme en arbre correspondant aux 6 arrangements précédents.) Puisqu’il y a 6 arrangements pour une combinaison, il y a donc de combinaisons que d’arrangements. Il faudrait donc diviser le nombre total d’arrangements possibles par 6. D’où :
En conclusion :
ordreldecomptetenanten
résultatunécriredsdifférentefaçonsdenombre
ordreldecomptetenanten
possiblesrésultatsdenombre
'
'
' =
Vision 8/Section 8.2/SAVOIRS 180
Exemple 5 Supposons que dans ce même groupe de 5e secondaire, on décide plutôt de former un petit comité de six élèves pour représenter ces derniers auprès de la direction. Les 6 candidats sont les mêmes : Annie, Benoît, Christine, Denis, Éloïse et Fabrice.
a) S’il est décidé que dans les 6 élèves choisis, chacun aura un rôle déterminé : un président, un vice-président, un trésorier, un vérificateur pour le trésorier, un secrétaire et un adjoint au secrétaire. Combien de comités d’élèves peut-on former avec ces 6 élèves ?
Voyons toutes les possibilités : (A, B, C, D, E, F), (A, B, C, D, F, E), (A, B, C, E, D, F), (A, B, D, C, E, F), …
Bien sûr, énumérer toutes les possibilités devient une tâche… interminable!
De quelle façon pourrait-on calculer toutes ces possibilités sans les énumérer?
b) S’il est décidé que dans les 6 élèves choisis, aucun rôle ne sera déterminé, c’est-à-dire que tous les élèves auront le même droit de parole sur tous les sujets. Combien de comité d’élèves peut-on former avec ces 6 élèves ?
Cette situation correspond à un(e)
Cette situation correspond à un(e)
En mathématique, le symbole « ! » se nomme « ». Par exemple, « n ! » se lit « n » et signifie : n • (n – 1) • (n – 2) • … • 3 • 2 • 1. Exemple : 4 ! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24
La situation exige-t-elle de tenir compte
de l’ordre (disposition ordonnée)?
Dans cette disposition, utilise-t-on tous
les éléments de l’ensemble de départ?
Une disposition non ordonnée de ces
éléments est une
Oui Non
Oui Non
Une disposition ordonnée de tous
ces éléments est une .
Une disposition ordonnée de quelques
éléments est un
En résumé
Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.
Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.
Vision 8/Section 8.2/MISE AU POINT 181
SECTION 8.2 – MISE AU POINT
1) Un sac contient 10 billes de couleurs différentes.
a) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 5 billes de ce sac.
b) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire avec remise 5 billes de
ce sac. c) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 5 billes de
ce sac.
d) Combien y a-t-il de permutations possibles? e) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 7 billes de
ce sac.
f) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 7 billes de ce sac.
Vision 8/Section 8.2/MISE AU POINT 182
2) Un petit sac contient les 26 lettres de l’alphabet.
a) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 5 lettres de ce sac.
b) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire avec remise 5 lettres de
ce sac. c) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 5 lettres
de ce sac.
d) Combien y a-t-il de permutations possibles? Arrondis au millième près. e) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 7 lettres de
ce sac.
f) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 7 lettres de ce sac.
Vision 8/Section 8.2/MISE AU POINT 183
3) Dans une émission pour un jeu télévisé, un concurrent doit choisir une valise parmi 30 comprenant des montants cachés entre 0,01$ et 1 000 000$. Le concurrent a donc une chance sur 30 de choisir la valise comprenant le 1 000 000$. Pour la suite du jeu, il doit choisir 6 valises à éliminer parmi les 29 valises restantes. Combien y a-t-il de combinaisons possibles pour faire le choix de ces 6 valises?
4) Ma tante Gertrude est une fanatique du bingo. Elle se rend religieusement, 6 jours
par semaine, à la salle communautaire pour pratiquer son passe-temps préféré. Si le boulier utilisé contient 250 boules, calcule au millième près:
a) Le nombre d’arrangements possibles pour tirer sans remise les 5 premières
boules du boulier. b) Le nombre d’arrangements possibles pour tirer sans remise les 10 premières
boules du boulier. c) Combien y a-t-il de permutations possibles? Donne la réponse exacte.
5) Pour fabriquer une lampe de salon chez IKIKEA, on a le choix entre 3 formes
possibles pour l’abat-jour, 5 choix de couleur, 4 choix de puissance et 2 choix de matériaux utilisés. Combien y a-t-il de choix différents pour cette lampe?
Vision 8/Section 8.2/MISE AU POINT 184
6) On place le nom des 39 élèves de ta classe dans un sac pour effectuer un échange de cadeaux. Le premier nom pigé aura le choix parmi les 39 cadeaux disponibles, le 2e nom pigé choisira parmi les 38 cadeaux restants et ainsi de suite. Arrondis tes calculs (s’il y a lieu) au millième près.
a) Calcule le nombre d’arrangements possibles pour tirer sans remise les 6
premiers noms. b) Calcule le nombre d’arrangements possibles pour tirer sans remise les 11
premiers noms.
c) Combien y a-t-il de permutations possibles? d) Si les 6 premiers noms pigés avaient tous le même cadeau, calcule le nombre
de combinaisons possibles pour tirer sans remise ces 6 premiers noms. e) Si les 15 premiers noms pigés avaient tous le même cadeau, calcule le nombre
de combinaisons possibles pour tirer sans remise ces 15 premiers noms.
7) Calcule le nombre de combinaisons possibles de 6 chiffres que tu peux former si tu
décides d’acheter un billet de loto 6/49. Pour ceux et celles qui ne connaissent pas cette loterie, tu dois choisir 6 nombres compris entre 1 et 49 inclusivement.
Vision 8/Section 8.2/MISE AU POINT 185
8) Un sac contient 12 billes de couleurs différentes.
a) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 6 billes de ce sac.
b) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire avec remise 6 billes de
ce sac. c) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 6 billes de
ce sac.
d) Combien y a-t-il de permutations possibles? e) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 8 billes de
ce sac.
f) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 8 billes de ce sac.
Vision 8/Section 8.3/SAVOIRS 186
SECTION 8.3 – SAVOIRS
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 204 - 205
LES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES Avant de débuter, distinguons 2 types de variables aléatoires.
1. Variable aléatoire discrète :
Une variable aléatoire est discrète si elle ne peut pas prendre toutes les valeurs
possibles d’un intervalle de nombres réels.
2. Variable aléatoire continue :
Une variable aléatoire est continue si elle peut prendre toutes les valeurs
possibles d’un intervalle de nombres réels.
PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À UNE DIMENSION
En géométrie, un objet à une dimension est représenté par un segment. Admettons
donc un segment AB de longueur L et une section D de ce segment AB.
La probabilité de choisir au hasard un élément de D est donnée par :
A
P(D) =
section D
Vision 8/Section 8.3/SAVOIRS 187
Par exemple, on désire connaître la probabilité de choisir au hasard un point du
segment CD dans la figure suivante.
Cette probabilité est donnée par : P(point sur CD ) =
Exemple 1
Si un point est situé sur le contour du polygone régulier ci-dessous, détermine la
probabilité que ce point soit situé sur le segment AB. Son aire est de 30 dm2 et son
apothème mesure 5 dm.
=
Vision 8/Section 8.3/SAVOIRS 188
PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À DEUX DIMENSIONS
À l’instar de la probabilité à une dimension, ce deuxième cas de probabilité
géométrique se calcule en considérant une partie de la surface d’une figure
géométrique par rapport à la surface totale de cette figure.
Ici du moins, le tout n’est plus un segment, mais une figure à deux dimensions
(figures géométriques planes).
Soit une figure géométrique plane F et une surface S de cette figure géométrique.
La probabilité de choisir au hasard un point sur la surface S est donnée par :
B
P(S) =
Surface S
Vision 8/Section 8.3/SAVOIRS 189
Exemple 2
Voici une cible d’un jeu de fléchettes. Elle est formée de 3 cercles concentriques de
rayons mesurant respectivement 2 dm, 3 dm et 4 dm.
Détermine la probabilité exacte de :
a) lancer une fléchette dans la zone 3
b) lancer une fléchette dans la zone 2
c) lancer une fléchette dans la zone 1
Vision 8/Section 8.3/SAVOIRS 190
PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À TROIS DIMENSIONS Soit un objet géométrique V à 3 dimensions et R une partie de l’objet V. La probabilité
de choisir au hasard un point de R est :
Exemple 3
Lors d’un jeu aquatique, l’arbitre lance aléatoirement dans une piscine un objet que
les concurrents devront chercher le plus rapidement possible. Sachant que la piscine
est d’une longueur de 30 pieds et d’une largeur de 15 pieds, détermine la probabilité
que les nageurs retrouvent l’objet lancé dans la section la moins profonde de la
piscine. Le dessin n’est pas à l’échelle.
N.B. L’objet reste en suspension dans l’eau (il ne flotte pas et ne coule pas au fond).
C
P(R) =
Profondeur5 p ieds
Profondeur 12 p ieds
Largeur 15 p ieds
Longueur 7 p ieds
Longueur 8 p ieds
Longueur 15 p ieds
Vision 8/Section 8.3/MISE AU POINT 191
SECTION 8.3 – MISE AU POINT
1. À l’émission télévisée la Roulette chanceuse, Benoît doit faire tourner une roulette
de 1,2 dm de diamètre subdivisée en 3 portions. La portion rouge est formée par
un angle au centre de 74º, la jaune a une aire de 9π cm2 et la verte occupe le reste
de la roulette. Si la roulette s’immobilise sur le vert, Benoît est le Grand Vainqueur!
a) Détermine la probabilité que Benoît soit proclamé Grand Vainqueur.
b) Détermine la probabilité que la roulette ne s’immobilise pas sur le secteur
jaune.
2. Une piste de course de voitures téléguidées est formée de 2 demi-cercles
congrus joints par les segments AD et BC (de
même longueur). Pendant un essai routier de
la nouvelle Ferrari d’Eddy, une panne
d’électricité survient…
Détermine (au millième près), la probabilité
que la voiture s’immobilise sur le segment
BC.
Vision 8/Section 8.3/MISE AU POINT 192
3. En reliant les milieux des côtés du carré LMNO, on a formé le carré PQRS. En
reliant les points milieux des côtés de ce dernier, on a formé le carré TUVW. On a
noirci une partie de la figure. On choisit au hasard un point à l’intérieur du carré
LMNO.
Laquelle des expressions suivantes représente la probabilité que le point choisi
soit dans la partie noire?
a) 1 -
LMNO carrédu Aire
TUVW carrédu Aire
b) LMNO carrédu Aire
PQRS carrédu Aire
c) PQRS carrédu Aire
TUVW carrédu aire - PQRS carrédu Aire
d) LMNO carrédu Aire
TUVW carrédu Aire - PQRS carrédu Aire
4. La cible circulaire illustrée ci-contre est subdivisée en secteurs. Certains secteurs
sont gris, les autres sont blancs. On lance une fléchette sur cette cible alors
qu’elle tourne sur elle-même. La fléchette atteint la cible.
Quelle expression ci-dessous permet de calculer la probabilité que la fléchette
atteigne un secteur gris?
a) blancs secteurs de Nombre
gris secteurs de Nombre
b) blancs secteurs des totaleAire
gris secteurs des totaleAire
c) secteurs de totalNombre
gris secteurs de Nombre
d) gris secteurs des Aire blancs secteurs des Aire
gris secteurs des totaleAire
Vision 8/Section 8.3/MISE AU POINT 193
5. Un curseur va et vient au-dessus d’un segment AF. Le segment AF est subdivisé
en 5 segments par les points B, C, D et E.
70AFm
10ABm
5CDm
15DEm
Le point C est le milieu du segment AF.
Les segments AB, CD et EF sont ombragés.
Un système informatique commande de façon aléatoire l’arrêt du curseur.
Quelle est la probabilité que le curseur s’arrête vis-à-vis un segment ombragé?
6. Une roue de fortune circulaire est illustrée ci-contre. Deux diamètres divisent cette
roue en 4 arcs, parmi lesquels, 2 sont noircis. L’angle au centre associé à l’un des
arcs non noirci mesure x°. On fait tourner cette roue. Le hasard détermine l’arc
indiqué par le pointeur lorsqu’elle s’immobilise.
Quelle est la probabilité que le pointeur indique un arc noirci lorsque la roue
s’immobilise ?
a) 360
2360 x
b) 360
180 x
c) 360
360 x
d) 360
2x
x°
Vision 8/Section 8.3/MISE AU POINT 194
7. Météo Aujourd’hui prédit la tombée d’une météorite sur le sol québécois! Marco
intrigué effectue des recherches et s’aperçoit que la météorite va tomber sur son
terrain! (Rassure-toi Marco, il s’agit d’une petite météorite!)
L’illustration ci-dessous illustre le terrain de Marco où la partie ombragée
représente la partie gazonnée et le carré blanc, la maison.
Détermine les dimensions de la maison de Marco sachant que la probabilité que
le météorite tombe sur le gazon est de 6
5.
8. Un jeu consiste à lancer une fléchette sur une cible carrée. Un cercle et un
triangle sont dessinés sur cette cible. Si la fléchette atteint la partie ombrée, le
participant gagne un prix.
Quelle expression ci-dessous permet de calculer la probabilité de gagner un prix
à ce jeu?
a) carrédu Aire
cercledu Aire
b) carrédu Aire
edu triangl Aire - cercledu Aire
c) carrédu Aire
edu triangl Aire - carrédu Aire
d)edu triangl Aire cercledu Aire-carrédu Aire
cercledu Aire
maisongazon
RÉPONSES 195
RÉPONSES
(MISE AU POINT)
RÉPONSES 196
SECTION 5.1 - MISE AU POINT (RÉPONSES)
1)
a) 557 mbar = 0,557 bar b) 11 690 g = 11,69 kg c) 0,0023 A = 2,3 mA d) 2 120 cl = 0,212 hl e) 244 dam2 = 0,024 4 km2 f) 335 cm3 = 0,335 l g) 0,0032 m3 = 3,2 dm3 h) 1,359 kPa = 1 359 Pa i) 36 hm = 360 000 cm o) 34,57 cm2 = 0,003 457 m2 j) 3,54 m = 0,003 54 km p) 2,035 m2 = 0,000 203 5 hm2 k) 0,53 cm = 0,005 3 m q) 35,4 m3 = 35 400 dm3 l) 16,41 dam = 1 641 dm r) 35,8 m3 = 0,035 8 dam3 m) 53 hm2 = 530 000 m2 s) 3457 cm3 = 3,457 dm3 n) 65,7 m2 = 6 570 dm2 t) 0,359 dam3 = 359 m3
2)
a) 8 dm3 = 8 000 ml f) 144 ml = 0,144 dm3 b)100 cm3 = 0,1 l g) 350 kl = 350 000 000 cm3 c) 10 m3 = 10 000 000 ml h) 180 000 km3 = 180 000 000 000 000 kl d) 40 cm3 = 0,000 04 kl i) 350 kl = 350 000 000 ml e)10 dam3 = 10 000 000 l j) 1000 l = 0,000 000 001 km3
3) g) 3 000 mm³ + 7 dm³ + 3 dl = 7 303 ml h) 4 kl + 20 000 000 cm³ + 5 hm³ = 5 000 024 000 l i) 314,5 dm³ + 30 004 cm³ + 5 l = 3 495,04 dl j) 4 dal + 62 dm³ + 1 m³ = 110 200 cl k) 1 m3 + 3 dal + 92 dm3 = 112 200 cl l) 5 l + 2113 cm3 + 302,9 dm3 = 3 100,13 dl
4)
k) 10 g = 0,01 kg l) 3,2 mJ = 0,000 032 hJ m) 150 kHz = 1 500 000 dHz n) 42 cg = 0,004 2 hg o) 3 dN = 0,000 3 kN p) 2 450 mg = 0,002 45 kg q) 620 hB = 620 000 dB r) 1,5 kV = 1 500 000 mV s) 72 V = 0,072 kV t) 16 dW = 0,016 Hw
RÉPONSES 197
Pourrais-tu convertir 68,555 heures en jours, heures, minutes et secondes?
Pourrais-tu convertir 253 995 secondes en jours, heures, minutes et secondes?
5) π ml ml
≈ 20, 94 verres ≈ 20 verres pleins
6) Après environ 7,78 jours.
SECTION 5.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES)
1)
a) V 1 005,310 cm3
b) V = 18,000 cm3
c) V = 105,000 m3
d) V = 252,000 cm3
e) V = 15 55 dm3 111,243 dm3
2)
a) V = 1 000 cm3
b) V = 100 75 cm3 ≈ 866,025 cm3
c) Non, car dans cet exemple, même si les deux solides ont la même aire de
base, ils n’ont pas la même hauteur.
SECTION 5.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES)
1)
a) V = 2000 cm3
b) V 7696,851 cm3 ou V 7696,851 cm3 c) V 6933,957 cm3 d) V 114,468 cm3 ou V 114,473 cm3
Réponse : 2 jours, 20 heures, 33 minutes et 18 secondes
Réponse : 2 jours, 22 heures, 33 minutes et 15 secondes
RÉPONSES 198
2) a) V 285,589 cm3 ou V 285,597 cm3 b) V 235,619 cm3 c) V 670,206 cm3
d) V 1 933,755 cm3 ou V 1 933,774 cm3
3) L’aire totale exacte est de 432 cm2.
4) Le volume exact de la boule est de 4500 cm3.
5) V 195,521 m3 , AT 206,153 m2
6) a) L’aire totale est de 5 764,000 cm2
b) L’aire totale est environ de 208,996 cm2
c) L’aire totale est environ de 581,195 cm2 d) L’aire totale est environ de 3 080,601 cm2
7) a) Le volume de ce solide est environ de 26 282,906 cm3 b) Le volume de ce solide est de 408,000 cm3
c) Le volume de ce solide est environ de 1 105,971 cm3 d) Le volume de ce solide est environ de 15 292,411 cm3
8) AT 2 111,150 cm2 , VT 7 104,188 cm3
9) V 68 277,280 cm3 682,773 dl
10) a) L’aire totale de cette pyramide tronquée est environ de 495,025 cm2. b) Le volume total de cette pyramide tronquée est environ de 686,400 cm3.
SECTION 5.4 – MISE AU POINT (RÉPONSES)
1) Identifie, dans cette expression, chacune des composantes.
1113313
2) Son aire exacte est de 661,5 cm2.
3) a) Le diamètre de cette boule mesure environ 7,268 dm.
b) Le rayon de cette boule mesure environ 363,4 mm.
Racine cubique
Radical
Indice
Radicande
RÉPONSES 199
4) L’aire latérale est d’environ 10 836,867 mm2.
5) a) r = Vh
et r = 4 cm
b) r = 3
4
3
V
et r = 3 m
c) r = Vh
et r = 3 dm
d) r = 3A
et r = 23 m
6) a) AT = 24x2 dm2 , V = 8x3 dm3
b) AT = (14x² + 16x + 2) cm² , V = (3x³ + 6x² + 3x) cm³ c) AT = 96x² cm² , V = 48x³ cm³
d) AT = 48y² dm² , V = 3
128 3y dm³
e) AT = 90x² m2 , V = 100x³ m3
7) La mesure du segment AB est de 50 cm.
8) r = 32,50 dm ou r = 3,25 m
9) h = 32 m
10) La hauteur de la boîte est de 20 cm et celle du cylindre est d’environ 18,002 cm.
11) a) VG 47 744,475 m³ , VP 20 142,200 m³ b) rG ≈ 28,354 m , rP ≈ 21,266 m
12) L’apothème du cône mesure 612 cm.
13) aP = 9760
dm
14) a) Volume pyramide A : 2563
m³
Volume pyramide B : 1283
m³
Volume pyramide C : 25615
m³
b) La hauteur de la pyramide C est de 3,2 mètres.
15) a) V =
27
343 x³y6 cm³ b) V = (70y6 + 56y4) cm³
16) h = 9625π
dm
17) AL cylindre = 64π7
cm²
RÉPONSES 200
18) V = 12π dm³
19) a) AT = (24x² - 120x + 150) cm² b) V = (8x³ - 60x² + 150x – 125) cm³
20) a) AT = 22x² + 16x – 24 b) V = 6x³ + 15x² - 36x
21) V =
x³ x² x cm³
22) L’aire totale exacte est de 0,9 m2.
23) a) L’aire est de 6 561π cm2. b) Le rapport des aires est de 20,25.
24) k = 2z ou k = 12z
25) k³ = 9³27
1
yxou 9³27 yx
26) k³ = 126
126
27
8
8
27
zyou
zy
27) k² = ²912²4 yxyx
28) A2 = 20x4 – 12x³y + 16x²y² ou A2 = 54 - 3y
4x + y²
x²
29) Volume B = 2048x6
81
30) V = 16
9 6y
Défi : 441
39201960245 234 xxxcylindregranddutotaleAire
SECTION 6.1 – MISE AU POINT (RÉPONSES)
1. a) 38c8 b) 28 • 33 x6y11
c) 6
662
y
x d)
18
612242
a
cb
e) 142
646
3
52
d
c f)
2
1
32 y
x
RÉPONSES 201
g) 612
1296
32 cba
h) 2
2 52
xy
i) b
ca 3
23 32
j) 631119
7
732 c
a
SECTION 6.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES)
1. a) 8
326
2
3 x b)
10
442
a
b
c) 14
687
d
c d)
1
7238 32
r
p
e) 7
753 53
h
g f)
2
2143
k
j
2. a) 24a3b5 b) 3
1
b
c) 4
1523 a d)
3
4
3
5
53 y
e) 3
1
2
932
1
3
1
32 cba f)
yx 5
17
5
3
5
9
5
1
3
2
g) 221
· ba 65
21
61
3 h) · · · x 3
19
y3
11
z
i) 2
1
2
13
2
3
2
3 zxy j) 3
18123
y
x
k) yb3
1 l)
6
4
2
a
m) 3
4
22
5
6
11
6
5
3
414 532
x
yba n)
10
13
5
51
20
719
7
32
x
y
o) 2a+2 · 34b aa+2ya p) a
RÉPONSES 202
3. a) -4xy5(4x5yz6 + 8x4z5 + 1) b) 5(ab2 + 4bc 3c + 5)
c) n(-6m2n2 + 4mn + 3n + 1) d) C’est un polynôme premier
e) 7x2y2(7x6y2z2 + 8x3 + 6z) f) -4s4t3(32st3v2 + 7)
4. a) (x - y) (3a + 1) b) (a + b) (a + b + 2)
c) (a - b) (4 + a - b) d) (3x + 4y) (7a² + 8b)
e) (a + b) (2a3 - 1) f) (x - y) (1 - x - y)
5. a) x²(x² + 1) (x4 + 1) b) 2(ax - 2bc + 3ad - 4d)
c) 5a(-b + 3c -25bc + 125a) d) a²(a + b) (x² + y)
e) (3b4 - 1) (4a² + 1) f) 2(5 + 4a3) (a - 3)
6. a) polynôme premier b) 2(x 3y)(x2 3y)
c) 4(6c – ab2)(a + 4b) d) 4(2a b)(1 x)
e) 3(ab2 3ax 4ab + 9x) f) 5x(a + 2b)(2 x)
7. a) x x
x
2 2 3
3 1
( )
b) 2a
c) a3 4
4
d)
x y
a b
e) 2 2 3
5
2( )
( )( )
x y
a b x y
f) 2
3
2
2
x y
x y
g) 2 5
3
2 3( )a
ab
h) 2
5 1 3( )x
8. a) (a - b²) (a + b²) b) (2y + z - 6) (2y + z + 6)
c) (2 - a) (2 + a) d) (ab² - 2
5) (ab² +
2
5)
e) (x - 3 + a) (x + 3 - a) f) (x - 1
4b) ( x +
1
4b)
g) (bx² - 6a) (bx² + 6a) h) (11b - 1
3a) (11b +
1
3a)
RÉPONSES 203
9. a) (a - 8b - c - d) (a - 8b + c + d) b) (a + b + c - m + n) (a + b + c + m - n)
c) (1 - x + y - z) (1 + x - y + z) d) (x - y) (x - y + 4)
e) (- x + y) (x - y + 4) f) –(7x – 3y)(x + y)
10. a) x(x + 1)(x2 +1) b) (x2 + 1)(x + 1)(x 1)(x + 3)(x 3)
c) C’est un binôme premier d) 5(ax + bx + 3a 3b)
e) 5(a + 4b)(a 4b)(5 + a2)(5 a2) f) (2m n)(m2 2n2)
g) 27b(a2 3) h) (a + b)(c + 1)(c 1)
11. a) 2 b) x
x
5
5
c) a
a
1
12 d)
x y
b a b
2 22
4 2
( )
e) x y 2 2 f) m3
g) 4
)2)(2(2
a
aa h)
5 6
3
y
x
12. a) (m - 4)(2m - 3) b) (7x -1)(x + 1)
c) (5a +2)(a +1) d) (3a -b)(a + 2b)
e) (4x + y)(x + 2y) f) (2m + 3n)(3m - n)
13. a) 4(1 - ab) (1 + ab) b) (2x + 5y)²
c) a²(6a - 1) ( 6a + 1) d) (x - 8) (x - 3)
e) (-b + 4) (b + 7) f) 3(x - 4)²
14. a) (y2 12) (y2 3) b) (x2 + 3z)(x2 3z)(x2 + 2z)(x2 2z)
c) 3a(a 10)2 d) 2(x + 13)(x 4)
e) -4(a + 9)(a + 6) f) 3b2(a + 4)(a 4)(a + 1)(a 1)
g) 4(x 5y)(x + 6y) h) 2b2(a2 + 5c)2
RÉPONSES 204
15. a) a
a
4
5 b)
a b
a b
c) x y
4 d) a2 + 7
e) 1
2 f)
11
n11m
SECTION 6.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES)
1. a) k < 5 b) y 2
c) y < -9 d) n 5
e) p > -2 f) t < 7
g) m > 8 h) m > 1
2. a) 6x et - , 6[ b) 20m et ]20, c) 9x et - , 9]
d) 2
1y et ,
2
1 e)
2
7x et
,2
7 f) 6y et ,6
g) 5t et 5, h) 3x et 3,
3. a) 7
8x et [
7
8 , b)
5
14x et [
5
14, c)
2
1x et -,
2
1]
d) 10x et -, -10] e) 4
1x et -,
4
1 [ f) x > 6 et ]6,
g) 4
5x et -,
4
5 ] h)
28
3x et -,
28
3]
8 9 10 11 12 13… Z 1 R
-9 R
7 R
-2 -1 0 1 2 3 ... Z
... -1 0 1 2 3 4 5Z
2 R
0 1 2 3 4 5 6 N
RÉPONSES 205
R 4
1
R 2
1
R 14
31
R 5 R 6
R 10
1
4. a) 17n b) 4
1x
c) 20
39a d)
2
1x
e) 14
31x f)
10
1x
g) 6x h) 5x
5. a) {x R | 18
5x } b) {x R |
3
2x } c) {x R | 2x }
d) {x R |10
7x } e) {x R | 8x } f) {x R |
6
1x }
g) {x R | 0x }
6. a) 3
14a et -,
3
14] b)
5
29m et [
5
29,
c) 17
19x et ]
17
19 , d)
45
8x et -,
45
8[
e) 69
119y et [
69
119, f)
3
14x et -,
3
14 ]
g) 3x et -, 3 [ h) 7
2x et ]
7
2,
i) 9
5a et [
9
5, j)
2
5x et [
2
5,
7. Les quatre plus petits nombres impairs sont 5, 7, 9, et 11.
8. Les quatre plus grands entiers impairs sont 23, 25, 27 et 29.
9. La plus grande largeur possible est 200 cm.
10. Les trois plus grands entiers pairs sont 18, 20 et 22.
11. Le plus petit entier est – 48.
12. Le plus petit entier est 4.
13. Les trois plus grands multiples de cinq sont 25, 30 et 35.
14. Le plus grand entier est 6.
R 20
39
R -17
RÉPONSES 206
R 90 180
15. Les mesures entières pour la longueur est 29 cm et pour la largeur est 12 cm.
16. Ghislain possède un maximum de 139 timbres.
17. L’avoir initial minimal d’Isabelle est 55,01$.
18.
SECTION 7.1 - MISE AU POINT (RÉPONSES)
1) a) b = 3
7 b) c =
c) x =
9
4 d) y =
2
1
e) x =
f) a =
2) a) a = 3 b) x = 30 c) n = 3 d) x = -8
e) y =
f) a = – 6
3) a) z =
b) y =
c) u =
d) t = 0
e) b = – 2 f) x =
4) a) x = – 5 b) x = 1 c) y = – 11 d) x = 2
e) x = 10 f) x = 34 g) y = 2
33 h) x =
6
23
5) a) x = 53
17 b) y =
47
34 c) x =
67
43 d) a =
4
97
e) b = 15
46
6) Il y a 6 fenêtres par étage.
7) Les trois personnes ont 90$, 120$ et 130$.
8) Les trois nombres sont 83, 103 et 113.
9) Les trois nombres sont 6, 7 et 8.
10) L’avoir de Pierre est 100$, celui de Paul est 400$, celui de Jacques est 800$ et
celui de Luc 160$.
11) Dans la classe, il y a 6 rangées et 34 élèves.
RÉPONSES 207
12) La première personne a 2816$, la deuxième a 2112$, la troisième a 1584$, la
quatrième a 1188$ et la cinquième a 891$.
13) a) x : Le premier nombre y : Le deuxième nombre
x + y = 54 et x – y = 30
b) x : Le premier nombre y : Le second nombre
x + 2y = 21 et 2x + y = 18
c) x : L’âge actuel de Christophe. y : L’âge actuel de Sylvie.
x – 6 = 4(y – 6) et x + 4 = 2(y + 4)
d) x : Le premier nombre y : Le second nombre
6
5
y
x et x + y = 88
e) x : L’âge actuel de Normand y : L’âge actuel de Bruno
x – 4 = 4(y – 4) et x + 2 = 3(y + 2)
f) x : Le prix d’une poire y : Le prix d’un jus de fruits
10 = 14x + 4y et 10 = 8x + 8y
g) x : Nombre de pièces de 25 cents y : Nombre de pièces de 10 cents
25x + 10 y = 6870 et x + y = 300
h) x : Le prix d’une table y : Le prix d’une chaise
5x + 8y = 575 et 3x + 5y = 350
i) x : Le prix d’un disque y : Le prix d’un DVD
6x + 4y = 116 et 11x + 4y = 183
j) x : Nombre de pièces de 25 cents y : Nombre de pièces de 10 cents
25x + 10y = 2400 et x + y = 135
14) Le couple solution est : ( -2 , 2
5 )
15) a) Le couple solution est : (6 , 1)
b) Le couple solution est : (-2
3 ,
2
3)
RÉPONSES 208
SECTION 7.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES)
1)
a) (-3 , 1) ou x = -3, y = 1 b) (-1 , -2) ou x = -1, y = -2 c) (-5 , -3) ou x = -5, y = -3
d)
2,2
1ou x =
2
1, y = 2 e)
4
1,
4
25ou x =
4
25, y =
4
1 f) (0, -3) ou x = 0, y = -3
g) 17,7 ou x = -7, y = 17 h)
7
4 ,
7
50ou x =
7
50 , y =
7
4 i)
3
4,0 ou x = 0, y =
3
4
j) (5 , 4) ou x = 5, y = 4 k) (18 , 9) ou x = 18, y = 9 l) (-5 , -3) ou x = -5, y = -3
m)
19
8,
19
2ou x =
19
2, y =
19
8 n)
3
1,
6
13ou x =
6
13, y =
3
1 o) (-5, -3) ou x = -5,y = -3
p) (-21, -10) ou x = -21, y = -10 q)
33
50,
33
32ou x =
33
32, y =
33
50 r) (10 , 19) ou x = 10, y = 19
2)
a)
1,
2
5ou x =
2
5, y = -1 b) (0 , 1) ou x = 0, y = 1 c) (-1 , -2)ou x = -1, y = -2
d) (2 , 0) ou x = 2, y = 0 e)
3
7,2 ou x = 2, y =
3
7 f) (0, 4) ou x = 0, y = 4
g)
1,
2
1ou x =
2
1, y = -1 h)
2
7,0 ou x = 0, y =
2
7 i)
1,
3
1ou x =
3
1 , y = -1
j)
2
1,
2
1ou x =
2
1, y = -
2
1 k)
4
3,
12
1ou x =
12
1, y =
4
3 l) (4 , -2) ou x = 4, y = -2
3) Ces deux nombres sont 42 et 12.
4) Ces deux nombres sont 5 et 8.
5) Christophe a 26 ans et Sylvie a 11 ans.
6) Ces deux nombres sont 40 et 48.
7) Dans 6 ans, Normand aura 58 ans et Bruno aura 22 ans.
8) Une poire coûte 50 sous et un jus de fruit coûte 75 sous.
9) Il y a 258 pièces de 25 cents et 42 pièces de 10 cents.
RÉPONSES 209
10) Une table se vend 75$ et une chaise 25$.
11) Un disque coûte 13,40$ et un DVD coûte 8,90$.
12) Il y a 70 pièces de 25 cents et 65 pièces de 10 cents.
13) Il y a 8 ans, l’âge du père était trois fois celui du fils.
14) L’élève a réussi 10 problèmes.
15) L’âge de la mère sera le double de celui de l’enfant dans 20 ans.
16) Dans la rue, il y a 5 autos et 15 bicyclettes.
17) Dans 8 ans, Simon aura 38 ans.
18) Les deux parties sont 8 et 12.
19) Caroline possède 20 pièces de cinq cents et 80 pièces de dix cents.
20) La moto rejoindra la voiture après 1h30.
SECTION 7.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES)
1)
Ou en enlevant la donnée aberrante qui est 45$ : 2)
a) L’aîné a environ 40 ans. b) L’âge médian est d’environ 18 ans. c) La moitié (50%) des gens sont âgés de 18 ans et plus.
3) a) Pour le méthane, les indices sont concentrés très près de la médiane. On peut
même constater que 75% des indices se situent autour de la médiane. Ce n’est pas le cas pour le dioxyde de carbone.
b) 75% des pays mentionnés ont un indice d’effet de serre plus grand que celui du Canada pour le dioxyde de carbone. Pour le CFC, il y a autant de pays qui ont un plus grand indice d’effet de serre que celui du Canada que de pays qui en ont un plus petit. Pour le méthane, la Canada fait partie des 25% des pays mentionnés qui ont un grand indice d’effet de serre.
50402010 0 30
*
50402010 0 30
RÉPONSES 210
4) a) Les données de la première moitié semblent plus concentrées autour du
premier quartile. Celles de la deuxième moitié semblent plus dispersées autour du troisième quartile.
b) Ces données ont été enregistrées dans des stations météorologiques situées dans des régions à haut risque de brouillard ou de verglas.
c) Il a neigé au moins 14 jours dans les différentes stations du Canada cette année là. Les données situées entre le premier quartile et la médiane (le 2e quart) sont très concentrées par rapport aux trois autres groupes de données.
d) La chute de neige est le phénomène atmosphérique qui dure le plus longtemps au Canada et la foudre et le verglas, ceux qui durent le moins longtemps.
5) Les deux diagrammes ont la même médiane et la même étendue. Dans le diagramme A, les données semblent plus concentrées aux extrémités de la distribution. Dans le diagramme B, elles semblent plus concentrées autour de la médiane de la distribution.
6) a) Non b)
49 54 54 54 54 54 62 62 62 62 62 70 70 70 70 70 75 75 75 75
La moyenne la plus élevée est exactement de 63,95 (environ 64,0), soit 2,0 de plus que la médiane qui est de 62.
SECTION 8.1 - MISE AU POINT (RÉPONSES)
1)
a) P(figure) = 52
12 =
13
3 b) P(pas une figure) = 1 -
13
3=
13
10
2) a) = {a, f, p} b) 3 événements élémentaires
c) {a}, {f} et {p} d) 1) P (p)= 6
1 2) P (a, p, f)= 1
3) P (a, f)= 6
5 4) P (a)=
2
1
RÉPONSES 211
3) a)
b) P( (P, I) ) =10
1
SECTION 8.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES)
1) a) 30 240 arrangements
b) 100 000 arrangements c) 252 combinaisons d) 3 628 800 permutations e) 604 800 arrangements f) 120 combinaisons
2) a) 7 893 600 arrangements b) 11 881 376 arrangements c) 65 780 combinaisons d) 26! permutations ou environ 4,033 1026 permutations e) 3 315 312 000 arrangements f) 657 800 combinaisons
3) 475 020 combinaisons
4) a) Environ 9,380 1011 arrangements b) Environ 7,947 1023 arrangements c) 250! permutations
5) 120 choix différents
6) a) 2 349 088 560 arrangements ou environ 2,349 109 arrangements b) Environ 6,690 1016 arrangements c) 2,040 1046 permutations d) 3 262 623 combinaisons possibles e) 2,514 1010 combinaisons possibles
7) Il y a exactement 13 983 816 combinaisons possibles loto 6/49.
2
1
2
1
5
1
5
1
RÉPONSES 212
8) a) 665 280 arrangements b) 2 985 984 arrangements c) 924 combinaisons d) 479 001 600 permutations e) 19 958 400 arrangements f) 495 combinaisons
SECTION 8.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES)
1) a) P(vert) 54,0
b) P(vert ou rouge) = 0,75
2) P(s’immobilise sur BC ) 254,0
3) d
4) d
5) P(segment ombragé) = 7
3
6) a
7) Les dimensions de la maison sont de 5m par 5m.
8) b