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C2 – TD Correction 1.0 1 B. Velay

C2 -Formation et caractérisation des images Utilisation de miroirs

TD 2.1- Miroirs d’un interféromètre de Michelson

Un interféromètre de Michelson est un dispositif destiné à produire pour l’observateur deux faisceaux de lumière à partir d’une seule lampe. La configuration exploite une lame « séparatrice » orientée à 45° à réflexion partielle 50-50, deux miroirs parfaits, orientables finement M1 et M2. La position de M1 est réglable à 5 µm près. En superposant les deux faisceaux, le réglage des miroirs permettra la réalisation d’interférences par une « lame d’air », exploitables pour des mesures de précision.

Données : d ≈ 1.40m, d’≈ 0.80, d1 = 24,125 mm et d2=28,150 mm

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C2 – TD Correction 1.0 2 B. Velay

Q2.1.1- L’observateur placé en O à l’impression de voir deux lampes L1 et L2. Où sont-elles situées et à quelle(s) distance(s) de l’observateur ?

A gauche l’image L2 par le miroir M2, à droite l’image L1 par le miroir M’1

Le miroir M2 reçoit des rayons issus de L propagé sur la distance d + d2 → L2 est situé à d + d2 en arrière de M2 (virtuelle) → Pour l’observateur la lumière semble reçue de L2 située à la distance de l’observateur O : (d + d2) + d2 + d’ 1.40+2*0.028+0.80 ≈ soit 2.256 m Le miroir M’1(symétrique du miroir M1) est en fait son image virtuelle par le semi-miroir à 45°. L’observateur semble recevoir la lumière issue de L1 située à la distance : (d + d1) + d1 + d’ soit 1.40+2*0.025+0.80 ≈ 2.25 m Q2.1.2- Quelles est l’épaisseur de la « lame d’air » étudiée ? Quelle est l’incertitude sur cette épaisseur ? L’épaisseur de la lame d’air est selon la figure e = d2 – d1 = 28,150 – 24,125 = 4,025 mm Chacune des deux mesures est réalisée à u(d) = 0.005 mm = 5 µm près L’incertitude sur la différence est ( u(d2)

2 + u(d1)2 )1/2 = 1.414 * 5 ≈ 7 µm

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C2 – TD Correction 1.0 3 B. Velay

Q2.1.3- Quelle fraction du flux initial fourni par la lampe sodium sera reçue en O ?

Remarques :

- La réalisation d’interférences en configuration de lame à faces parallèles nécessite l’utilisation de matériels complémentaires (3 lentilles, diaphragme, écran dépoli)

- On doit utiliser en TP une lampe assez puissante pour que les observations soient aisées avec figures d’interférences suffisamment lumineuses pour être photographiables.

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C2 – TD Correction 1.0 4 B. Velay

TD 2.2- Ouverture de champ de miroirs plan et convexe

Un observateur est situé à la distance L = 1 m d’un petit miroir plan de largeur d = 20 cm.

Les figures ne sont pas à l’échelle

Q2.2.1- Sous quel angle l’observateur A voit-il la limite du miroir B ? Calculer le.

Q2.2.2- Tracer la « zone de champ » que peut voir, derrière lui, l’observateur dans ce miroir. Calculer l’angle d’ouverture du champ (à partir de son image A’).

Q2.2.3- L’observateur peut-il voir dans ce miroir une lampe L située 4 m derrière lui, déportée de 1 m sur le coté de l’axe du miroir ?

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C2 – TD Correction 1.0 5 B. Velay

Le miroir plan précédent est remplacé par un miroir sphérique convexe, de même largeur d = 20 cm, de rayon R = 1.50 m et de centre C. L’observateur est encore à L = 1 m de S. Q2.2.4- Identifier le point A’, image de A sur la base de la figure proposée. Tracer la zone de champ du miroir convexe.

Le rayon AB se réfléchit selon la loi de Descartes avec l’angle δ Le rayon réfléchi semble provenir de l’image A’ : Le point D est donc confondu avec D L’angle d’ouverture est évidemment 2β’…

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C2 – TD Correction 1.0 6 B. Velay

Q2.2.5- En considérant les triangles (ABC) et (BCD), montrer que l’angle d’ouverture de champ de ce miroir est maintenant 2(α + 2β). Exprimer β en fonction des paramètres.

Rappel : la somme des trois angles d’un triangle vaut 180°

Q2.2.6- La lampe L est-elle visible de l’observateur A ? Il faut d’abord identifier la position de l’image A’, un peu plus proche que C

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C2 – TD Correction 1.0 7 B. Velay

On peut comparer le miroir convexe au miroir plan (même échelle et distance)

Le miroir convexe d’un rétroviseur améliore la visibilité par un champ visuel élargi

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C2 – TD Correction 1.0 8 B. Velay

TD 2.3- Images par un miroir convexe

Q2.3- Montrer que l’image d’un objet réel par un miroir convexe est systématiquement virtuelle, droite et diminuée.

La fontaine par Pol Bury au Palais Royal à Paris

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C2 – TD Correction 1.0 9 B. Velay

TD 2.4- Caractériser un miroir primaire de télescope

Q2.4.1- Prouver que le miroir primaire de ce télescope est concave.

concave : vue de loin (L > R)

l’image est renversée mais vu de près (L<R/2)

l’image est droite ! - Une image d’objet réel est systématiquement droite avec un miroir convexe (cf ; TD2.3)

- Une image est systématiquement droite avec un miroir plan puisque γ =+1

- Il est possible ici d’obtenir une image renversée en vue de loin

→ le miroir primaire de ce télescope est donc concave avec 0<=− SCR

Q2.4.2- On suppose que l’objet est réel en posant SA = - a R avec a > 0.

Exprimer la position de l’image 'SA et le grandissement γ en fonction de R et de a

Q2.4.3- On se tient près du miroir, par exemple SA =-0.4 R. Montrer que l’image est

virtuelle, droite et agrandie.

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C2 – TD Correction 1.0 10 B. Velay

Q2.4.4- On se tient plus loin du miroir, par exemple SA =-0.8 R ou -1.2 R. montrer que les

images sont réelles, renversée. L’une est diminuée, l’autre agrandie. On fera au choix le calcul pour l’un et le tracé pour l’autre cas.

Q2.4.5- A quelle condition l’image sera réelle, renversée mais de même dimension que l’objet ? Quel est l’intérêt pratique ? Cette méthode de mesure s’appelle « autocollimation ». C’est le cas limite entre ces deux situations A entre C et F ou au delà du centre C : A en C !

L’identification du rayon R permet de connaître la distance focale f’ = - R / 2

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C2 – TD Correction 1.0 11 B. Velay

TD 2.5- Télescopes pour l’astronomie : Modèle pour le télescope spatial Hubble

Au contraire des lunettes à lentilles, la solution « miroirs » permet l’augmentation de la clarté et du grandissement : - longueur focale f’ ↑ → encombrement moindre - diamètre d’ouverture D ↑

→ masse moindre → peu de perte de lumière → coût de fabrication moindre

Schéma d’un télescope en configuration Cassegrain (invention 1672) © schéma S. Bertorello

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C2 – TD Correction 1.0 12 B. Velay

Fabrication du miroir parabolique primaire de 3.5 m du télescope spatial européen Herschel

(2009)

Hubble Space Telescope (HST) (1990)

Télescope Hubble

- mise en œuvre 04/1990 - masse ≈ 11 000 kg, longueur 13,2 m, diamètre max 2,4 m, coût global ≈ 1 milliard de $. - télescope réflecteur à deux miroirs : diamètre du miroir primaire 2,4 m pour un coût de 350 millions de $ (d’après Wikipedia)

Modélisation du télescope Hubble

Caractéristiques des miroirs sphériques équivalents :

- Miroir primaire M1 : sommet S1 , rayon R1 = 11.025 m et diamètre D1 = 2.40 m - Miroir secondaire M2 : sommet S2 , rayon R2 = 1.355 m - Distance entre les deux sommets des miroirs S1 S2 = 4.90 m

Notations

- L’étoile à observer est situé à l’infini. Le point « objet » situé sur l’axe optique est noté O - L’image de ce point O par le miroir M1 est noté Oi (O ≡ O1 ) - Oi est une image intermédiaire qui sert d’objet pour le second miroir (Oi ≡ O’1 ≡ O2) - L’image de Oi par le miroir M2 est situé en O’ : c’est l’image finale de l’étoile ( O’ ≡ O’2)

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C2 – TD Correction 1.0 13 B. Velay

Position de l’image de l’objet observé O’

Q2.5.1- En raisonnant sur le miroir M1, identifier la position de l’image intermédiaire Oi .

Calculer 1SOi en fonction de R1 puis numériquement. Préciser la nature réelle ou virtuelle

de cette image intermédiaire. L’image intermédiaire O’1 d’un objet à l’infini objet O est située au foyer du miroir, donc en avant du miroir concave M1 : O’1 ≡ F’1 donc

mRSFSFSOSO i 513.52/'' 11111111 =====

Q2.5.2- Calculer la position intermédiaire iOS2 par rapport au sommet S2 du second miroir.

Est-il en avant ou en arrière de M2 ? Cet objet sera-t-il réel ou virtuel du point de vue de M2 ?

Pour appliquer la relation de conjugaison du miroir M2, il faut se référer à son sommet S2. Un relation type théorème de Chasles donne :

mFSSSFSOS i 613.0513,5900,41112122 −=−=+==

On remarque que l’objet intermédiaire est en arrière de M2 puisque celui-ci a un sens opposé à celui de M1. L’objet intermédiaire est ainsi « virtuel » pour le miroir M2. Q5.2.3- Déterminer la position de l’image finale O’ par rapport au sommet S2. Préciser la nature réelle ou virtuelle de cette image finale. Où doit être positionné le capteur d’image par rapport au sommet S1 ?

Relation de conjugaison pour M2 :

2222

21

'

1

CSOSOS i

=+

avec mOS i 613.02 −= et mCS 355.122 −= on calcule mOS 384,6'2 =

L’image est bien en avant du miroir M2 ( celui-ci est dans le sens contraire de M1). L’image finale est donc bien réelle.

mOSSSOS 485,1834,6900,4'' 2211 +=+−=+=

L’image se forme pratiquement à 1.50 m derrière le miroir primaire M1. On y placera le capteur d’image. L’image doit être réelle pour que de la « vraie » lumière arrive sur le capteur.

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C2 – TD Correction 1.0 14 B. Velay

Taille de l’image d’un objet à l’infini de diamètre angulaire α

L’objet astronomique observé parait évidemment très petit. Il est vu comme un disque situé à l’infini. Soit A et B les points extrêmes situés sur un diamètre vertical. On ne peut mesurer a priori la taille métrique de cet objet si on n’en connait pas la distance, car la seule grandeur géométrique mesurable depuis la Terre est son « diamètre angulaire » (l’angle 2α sous lequel on voit le disque - conventionnellement depuis le sommet du miroir primaire). Q2.5.4- L’étoile observée a un rayon angulaire α = 1’’ (1’’ seconde d’arc est 1/60ième de minute, soit 1/3600ième de degré). Calculer α en radian.

α = 1’’ = (1 /3600 )×(π /180 ) = 4.85 µrad où l’angle α est très petit, donc α ≈ tan α Q2.5.5- L’objet AB situé à l’infini forme une image intermédiaire AiBi situé par aplanétisme

dans le plan perpendiculaire à l’axe et passant par Oi. Déterminer la taille ii BA en fonction

de α et R1 L’image intermédiaire AiBi d’un objet AB situé à l’infini se forme dans le plan focal de M1 .

On a sur le triangle (S1 F1 Ai) αα ≈−= 11'/2

tan FSBA ii

avec un - car l’image AiBi est

renversée.

Or 22

' 111111

RRSFFS =

−−=−=

Donc la taille de l’image intermédiaire est 01 <−= RBA ii α

Q2.5.6- L’image finale A’B’ est située dans le plan perpendiculaire à O’. Calculer le grandissement transversal par le miroir M2 puis la taille de cette image finale. Cette image est-elle droite ou renversée ? Grandissement transversal de M2

4,10613,0

384,6

'

''''

2

2

22

222 =

−−=−=−==

iii OS

OS

AS

AS

BA

BAγ

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C2 – TD Correction 1.0 15 B. Velay

Taille de l’image 212'' γαγ ×=×= RBABA ii

056,04,10025,111085,4'' 6 <−=××= − mmBA

L’image finale est renversée (du fait de M1)

M51 (ou galaxie du Tourbillon ; Whirlpool Galaxy) Image prise en janvier 2005 par le télescope spatial Hubble.

Compacité comparée télescope / lunette

Pour l’objectif convergent équivalent :

'2'' fBA α−=

si α = 1’’ = (1 /3600 )×(π /180 ) = 4.85 µrad et

mmBA 56,0106,5'' 4 −=−= −

Longueur focale

mBA

f 7,571085,42

106,5

2''

'6

4

=×−−

=−= −

−

α

→ Un télescope est bien plus compact qu’une lunette :

la longueur totale du satellite Hubble est 13.2 m bien inférieure aux 58 m minimum du simple objectif équivalents.