PremièreScientifique-1èreS-11thgradeRépétition d’expérience aléatoire - Echantillonnage

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TD 3 (6 PAGES)

Act iv i té 1 - Le Q.C.M. -

Dans la partie précédente de l’exemple d’introduction (Fiche de T.D.2), on avait réalisé un arbre qui représentait, parmi

les quatre élèves sortis de l’épreuve, les possibilités d’avoir répondu correctement aux trois questions du QCM.

1) En vous aidant de cet arbre et sans en réaliser un supplémentaire:

a) Déterminer le nombre de chemins permettant d’obtenir 2 élèves ayant répondu correctement �aux trois

questions du QCM parmi 5 élèves. �

b) Déterminer le nombre de chemins permettant d’obtenir 3 élèves ayant répondu correctement �aux trois

questions parmi 5 élèves. �

c) Déterminer le nombre de chemins permettant d’obtenir 4 élèves ayant répondu correctement �aux trois

questions parmi 5 élèves. �

2) Ecrire les calculs précédents avec des coefficients binomiaux. �

3) Conjecturer à partir de ces exemples plusieurs propriétés générales sur les coefficients binomiaux. �

Exerc ice 1

Déterminer, sans calculatrice, les coefficients binomiaux suivants : 170

; 171

;1717

; 1716

Exerc ice 2

On donne !"! = 24 310.

En déduire les coefficients binomiaux suivants : !"! ; !"

! .

Exerc ice 3

Voici la ligne du triangle de PASCAL pour 𝑛 = 9.

𝑘 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9𝑘

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

En déduire la ligne correspondant à 𝑛 = 10.

Exerc ice 4

Voici la ligne du triangle de PASCAL pour 𝑛 = 14.

𝑘 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14𝑘

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

En déduire la ligne correspondant à 𝑛 = 13.

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Exercice 5

On a extrait un bloc du triangle de PASCAL.

171 969 3876

190 1140 4845

210 1330 5985

Déterminer 𝑛 et 𝑘 tels que !! = 171.

Exerc ice 6

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 1 rouge et 9 blanches.

On tire au hasard une boule.

1) Quelle est la probabilité de choisir une boule rouge ? Une boule blanche ?

2) Un jeu consiste à tirer 4 fois de suite une boule dans l’urne, en y replaçant après chaque tirage la boule tirée.

Soit 𝑋 le nombre de boules rouges tirées.

a) Déterminer 𝑝 𝑋 = 𝑘 pour tout entier 𝑘 de 0; 1; 2; 3; 4 .

b) Déterminer l’espérance de 𝑋. Interpréter.

Exercice 7

Chez un fabriquant de calculatrices, un étude a montré que 2% des produits ont un défaut.

Un professeur a commandé 34 de ces calculatrices pour ses élèves. On définit la variable aléatoire 𝑋 donnant le nombre de

calculatrices défectueuses.

1) Justifier que 𝑋 suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la probabilité qu’aucune calculatrice de la classe ne soit défectueuse.

3) Déterminer la probabilité qu’au moins une calculatrice soit défectueuse.

4) Déterminer la probabilité qu’au moins deux calculatrices soient défectueuses.

5) Calculer l’espérance et l’écart-type de cette loi. Interpréter ce résultat.

Exercice 8

Une urne contient une boule noire et des boules blanches. On tire 6 fois avec remise de la boule tirée et on définit la

variable aléatoire 𝑋 donnant le nombre de boules blanches tirées. 𝑋 suit une loi binomiale ℬ 6, 𝑝 .

1) Exprimer 𝑝 𝑋 = 6 en fonction de 𝑝.

2) Déterminer la valeur de 𝑝 pour que la probabilité de ne tirer que des boules blanches soit supérieure à 0,5.

3) En déduire le nombre de boules blanches à mettre dans l’urne.

4) Que vaut alors 𝑃 𝑋 = 6 ?

Exercice 9

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A un concours, un Q.C.M. comporte 8 questions. Pour chaque question, on propose quatre réponses dont une seule

est correcte. Une bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse enlève un demi- point. Un candidat décide de

répondre au hasard à toutes les questions.

1) On définit la variable aléatoire 𝑋 donnant le nombre de bonnes réponses du candidat.

a) Justifier que 𝑋 suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

b) Calculer la probabilité d’obtenir 4 bonnes réponses au Q.C.M.

2) On définit la variable aléatoire 𝑌 donnant le nombre de bonnes réponses du candidat.

a) Etablir la loi de probabilité de 𝑌.

b) Calculer l’espérance et l’écart-type de 𝑌 et interpréter ce résultat.

3) Reprendre les questions 1) et 2) en considérant un « Vrai ou Faux » et le même barème. L’issue est-elle plus ou moins

favorable pour le candidat ?

Exercice 10

Au biathlon, les skieurs doivent réaliser des séries de cinq tirs couchés à 50 m sur des cibles de 45 mm de diamètre.

Les meilleurs biathlètes mondiaux touchent leur cible 9 fois sur 10. On définit la variable aléatoire 𝑋 donnant le nombre de tirs

réussis dans une série.

1) Justifier que 𝑋 suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2) Dresser la loi de probabilité de 𝑋.

3) Déterminer la probabilité de toucher au plus 4 cibles.

4) Déterminer la probabilité de toucher au moins 3 cibles.

5) Calculer l’espérance de 𝑋 et interpréter ce résultat.

Exercice 11

On a constaté que 1% des pièces sortant d’une machine étaient défectueuses.

On fait des lots de 10 pièces et on suppose que les défectuosités sont indépendantes.

1) Quelle est la probabilité pour qu’on ait dans un lot:

a) exactement 3 pièces défectueuses.

b) exactement 10 pièces défectueuses.

c) exactement 1 pièce défectueuse.

d) aucune pièce défectueuse.

e) au moins une pièce défectueuse.

2) Combien aura-t-on en moyenne de pièces défectueuses dans un lot de 10 ?

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Exercice 12

Exerc ice 13

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Exercice 14

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Exercice 15